6.1 FRACCIONES ALGEBRAICAS RACIONALESUna fracción algebraica racional es una expresión que se puede escribir como el cociente de dos polinomios P/Q. El polinomio P es el numerador y Q el denominador de la fracción. Por lo tanto,

son fracciones algebraicas racionales.Las reglas para el cálculo con fracciones algebraicas son las mismas que las correspondientes de las fracciones

en aritmética. Una de las fundamentales es: El valor de una fracción no se altera si se multiplican o dividen el numerador y el denominador por una misma cantidad, siempre que ésta sea distinta de cero. En estas condiciones las fracciones se llaman equivalentes.

Por ejemplo, si multiplicamos el numerador y denominador de (x 1 2)Y(x 2 3) por (x – 1), obtenemos la fracción equivalente

siempre y cuando (x – 1) no sea cero, es decir, siempre y cuando x Þ 1.De manera similar, la fracción (x2

1 3x 1 2)Y(x21 4x 1 3), se puede expresar como,

y dividir el numerador y el denominador entre (x 1 1) para obtener (x 1 2)/(x 1 3) siempre y cuando (x 1 1) no sea cero, es decir, siempre y cuando x Þ 21. La operación de dividir entre un factor común al numerador y al denominador recibe el nombre de simplifi cación y puede indicarse por medio de una línea diagonal, por lo que,

Simplifi car una fracción es transformarla en otra equivalente cuyo numerador y denominador no tengan más factores comunes (excepto ± 1). En tal caso se dice que la fracción se ha simplifi cado a sus términos de menor grado.

6Fracciones

3x 4x2 6x 1 8 y x3 1 2y2

x4 3xy 1 2y3

(x 1 2)(x 1)(x 3)(x 1) 5

x2 1 x 2x2 4x 1 3

(x 1 2)(x 1 1)(x 1 3)(x 1 1)

(x 1 2)(x 1 1)(x 1 3)(x 1 1) 5

x 1 2x 1 3 :

41

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!!!"#$%%&'($)*"+),

42 CAPÍTULO 6 FRACCIONES

Esta reducción se logra factorizando el numerador y denominador y eliminando los factores comunes, suponiendo que éstos son diferentes de cero.

Por lo tanto, x2 4xy 1 3y2x2 y2 5

(x 3y)(x y)(x 1 y)(x y) 5

x 3yx 1 y , siempre y cuando (x – y) Þ 0.

Tres signos están asociados con una fracción: el correspondiente al numerador, el del denominador y el de la fracción. Se puede cambiar cualquier par de estos signos sin que cambie el valor de la fracción. Si a una fracción no se le antepone signo alguno, se sobrentiende que es positivo.

EJEMPLOS 6.1

A menudo la simplifi cación consiste en un cambio de signo. Por lo tanto,

6.2 OPERACIONES CON FRACCIONES ALGEBRAICASLa suma algebraica de fracciones que tienen el mismo denominador es otra fracción cuyo numerador es la suma algebraica de los numeradores de las fracciones dadas y cuyo denominador es el denominador común.

EJEMPLOS 6.2

Para sumar y restar fracciones con distinto denominador, escriba cada fracción dada como fracciones equivalentes que tengan un denominador común.

El mínimo común denominador (MCD) de un conjunto de fracciones dado es el mínimo común múltiplo (MCM) del denominador de las fracciones.

Por lo tanto, el MCD de 34, 45, y 7

10 es el MCM de 4, 5 y 10 el cual es 20 y el MCD de

EJEMPLOS 6.3

ab 5

ab

ab , a

b 5ab , a

bab

x2 3x 1 22 x 5

(x 2)(x 1)2 x 5

(x 2)(x 1)(x 2) 5

x 11 5 1 x.

35

45

25 1

15 5

3 4 2 1 15 5

25

25

2x 3

3x 1 4x 3 1

x2 1 5x 3 5

2 (3x 1 4) 1 (x2 1 5)x 3 5

x2 3x 1 3x 3

2x2 , 3

2x , x7 es 14x2.

34

45 1

710 5

1520

1620 1

1420 5

15 16 1 1420 5

1320

2x2

32x

x7 5

2(14) 3(7x) x(2x2)14x2 5

28 21x 2x314x2

2x 1 1x(x 1 2)

3(x 1 2)(x 1) 5

(2x 1 1)(x 1) 3xx(x 1 2)(x 1) 5

2x2 4x 1x(x 1 2)(x 1)

Spiegel 06.indd 42 19/12/06 00:15:31

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El producto de dos o más fracciones es otra fracción cuyo numerador es el producto de los numeradores y cuyo deno-minador es el producto de los denominadores.

EJEMPLOS 6.4

El cociente de dos fracciones es otra fracción que se obtiene invirtiendo el divisor y después multiplicando.

EJEMPLOS 6.5

6.3 FRACCIONES COMPLEJASUna fracción compleja es aquella que tiene una o más fracciones en el numerador, en el denominador o en ambos. Para simplifi car una fracción compleja:

Método 1

1. Reduzca el numerador y el denominador a fracciones simples.2. Divida las dos fracciones resultantes

EJEMPLO 6.6

Método 2

1. Multiplique el numerador y el denominador de la fracción compleja por el MCM de todos los denominadores de las fracciones en la fracción compleja.

2. Simplifi que lo más posible la fracción resultante.

EJEMPLO 6.7

23

45

1516 5

2 4 153 5 16 5

12

x2 9x2 6x 1 5

x 5x 1 3 5

(x 1 3)(x 3)(x 5)(x 1)

x 5x 1 3

5(x 1 3)(x 31(x 5)(x 5)(x 1)(x 1 3) 5

x 3x 1

38 4

54 o 3y8

5y4 538

45 5

310

7x2 4 4

xyx 1 2 5

7(x 1 2)(x 2)

x 1 2xy 5

7xy(x 2)

x 1x

1 11x

5

x2 1xx 1 1x

5x2 1

xx

x 1 1 5x2 1x 1 1 5 x 1

1x2 41x 2

5

1x2 4 x2

1x 2 x2

51 4x2

x 2x2 5(1 1 2x)(1 2x)

x(1 2x)

51 1 2x

x

6.3 FRACCIONES COMPLEJAS 43

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44 CAPÍTULO 6 FRACCIONES

Problemas resueltosSimplifi cación de fracciones

6.1 a) c)

b) d)

e)

f)

g)

h)

i)

j)

Multiplicación de fracciones

6.2 a) b)

c)

d)

e)

División de fracciones

6.3 a)

b)

c)

15x2

12xy 53 5 x x3 4 x y 5

5x4y

14a3b3c2

7a2b4c22ab

4x2y18xy3 5

2 2 x x y2 9 x y y2 5

2x9y2

8x 8y16x 16y 5

8(x y)16(x y) 5

12 (donde x y Þ 0)

x3y y3xx2y xy2 5

xy(x2 y2)xy(x y) 5

xy(x y)(x 1 y)xy(x y) 5 x 1 y

x2 4xy 1 3y2

y2 x2 5(x 3y)(x y)(y x)(y 1 x)

(x 3y)(x y)(x y)(y 1 x)

x 3yy 1 x 5

3y xy 1 x

6x2 3xy4x2y 1 2xy2 5

3x(2x y)2xy(y 2x)

3x(2x y)2xy(2x y)

32y

r3s 1 3r2s 1 9rsr3 27 5

rs(r2 1 3r 1 9)r3 33 5

rs(r2 1 3r 1 9)(r 3)(r2 1 3r 1 9) 5

rsr 3

(8xy 1 4y2)2

8x3y 1 y4 5(4y 2x 1 y )2

y(8x3 1 y3) 516y2(2x 1 y)2

y(2x 1 y)(4x2 2xy 1 y2) 516y(2x 1 y)

4x2 2xy 1 y2

x2n11 x2nyxn13 xny3 5

x2n(x y)xn(x3 y3) 5

x2n(x y)xn(x y)(x2 1 xy 1 y2) 5

xn

x2 1 xy 1 y2

2x3y2

6yx2 5

12xy3x2y2 5

4xy

93x 1 3

x2 16 5

93(x 1 1)

(x 1 1)(x 1)6 5

x 12

x2 4xy2

2xyx2 4x 1 4 5

(x 1 2)(x 2)xy2

2xy(x 2)2 5

2(x 1 2)y(x 2)

6x 124xy 1 4x

y2 12 3x 1 x2 5

6(x 2)4x(y 1 1)

(y 1 1)(y 1)(2 x)(1 x)

6(x 2)(y 1 1)(y 1)4x(y 1 1)(x 2)(1 x)

3(y 1)2x(1 x) 5

3(y 1)2x(x 1)

ax 1 ab 1 cx 1 bca2 x2

x2 2ax 1 a2x2 1 (b 1 a)x 1 ab 5

(a 1 c)(x 1 b)(a x)(a 1 x)

(x a)(x a)(x 1 a)(x 1 b)

(a 1 c)(x 1 b)(x a)(a 1 x)

(x a)(x a)(x 1 a)(x 1 b)

(a 1 c)(x a)(x 1 a)2 5

(a 1 c)(a x)(x 1 a)2

54 4

311 5

54

113 5

5512

97 4

47 5

97

74 5

94

3x2 4

6x2

4 53x2

46x2 5

1x

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PROBLEMAS RESUELTOS 45

d)

e)

f)

g)

h)

Suma y resta de fracciones

6.4 a) d)

b) e)

c) f)

g)

h)

i)

j)

k)

l)

Fracciones complejas

6.5 a) b) c)

10xy2

3z 45xy6z3 5

10xy2

3z6z3

5xy 5 4yz2

x 1 2xy3x2 4

2y 1 16x 5

x 1 2xy3x2

6x2y 1 1 5

x(1 1 2y)3x2

6x(2y 1 1) 5 2

9 x2

x4 1 6x3 4x3 2x2 3xx2 1 7x 1 6 5

9 x2

x4 1 6x3x2 1 7x 1 6

x3 2x2 3x

5(3 x)(3 1 x)

x3(x 1 6)(x 1 1)(x 1 6)x(x 3)(x 1 1)

3 1 xx4

2x2 5x 1 22x 1

35

(2x2 5x 1 2)1

32x 1 5

(2x 1)(x 2)1

32x 1 5 3(x 2)

x2 5x 1 6x2 1 7x 8

9 x264 x2

5x2 5x 1 6x2 1 7x 8

64 x2

9 x2 5(x 3)(x 2)(x 1 8)(x 1)

(8 x)(8 1 x)(3 x)(3 1 x)

(x 2)(8 x)(x 1)(3 1 x) 5

(x 2)(x 8)(x 1)(x 1 3)

13 1

16 5

26 1

16 5

36 5

12

3t2

54t2

15 53t2(3) 4t2(1)

15 55t2

15 5t2

35

18 17

24 55(4)72 1

7(3)72 5

4172

1x 1

1y 5

y 1 xxy

x6 1

5x21 5

x(7) 1 5x(2)42 5

17x42

3x 1

43y 5

3(3y) 1 4(x)3xy 5

9y 1 4x3xy

52x

34x2 5

5(2x) 3(1)4x2 5

10x 34x2

3abc 1

2bac 5

3a(a) 1 2b(b)abc 5

3a2 1 2b2

abc3t 1

10 15 2t

15 5(3t 1)3 1 (5 2t)2

30 59t 3 1 10 4t

30 55t 1 7

303x

2x 1 1 1

2x2 5

3x(x 1 1) 2x2 1 2(x 1 1)x2(x 1 1) 5

x2 1 5x 1 2x2(x 1 1)

5 5x 1 3 1

10x2 9 5

5(x2 9) 5(x 3) 1 10x2 9 5

5(x2 x 4)x2 9

3y 2

2y 1 2

yy2 4 5

3(y 1 2) 2(y 2) yy2 4 5

10y2 4

5y73y4 5

57

43 5

2021

2y37 5

23

17 5

221

105y6 5

101

65 5

605 5 12

Spiegel 06.indd 45 19/12/06 00:15:33

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46 CAPÍTULO 6 FRACCIONES

23 1

56

38

5

46 1

56

38

5

9638

96

83 5 4

2a ba b 5

2a b

1a b 5

2(a b)2

x 1 y3x2

x yx

5x 1 y3x2

xx y 5

x 1 y3x(x y)

2aa

x 1 15

2a1

x 1 1a 5 2(x 1 1)

1x 1 11x 1

5

1x 1 1 x1x 1 x

51 1 x1 x

24x3y218xy3 5

4x23y

4x2 16x2 2x 5

4(x 1 2)x

ax4 a2x3 6a3x29a4x a2x3

x(x 1 2a)a(x 1 3a)

36xy4z2

15x4y3z 512yx5x3

y2 5y 1 64 y2 5

3 yy 1 2

xy y2

x4y xy4 51

x(x2 1 xy 1 y2)5a2 10ab

a 2b 5 5a (x2 1 4x)2

x2 1 6x 1 8 5x2(x 1 4)

x 1 23a24b3

2b49a3 5

b6a

8xyz2

3x3y2z9xy2z4xz5 5

6yx2z3

x2 4y2

3xy 1 3x2y2 2

2y2 1 xy x22(x 1 2y)(y 1)

3x(x 1 y)xy2

2x 2yx2 y2

x3y2 5x 1 y2x2

y2 y 6y2 2y 1 1

y2 1 3y 49y y3

(y 1 2)(y 1 4)y(y 1)(y 1 3)

x2 1 3x4x2 4

2x2 1 2xx2 9

x2 4x 1 3x2 5

12

t3 1 3t2 1 t 1 34t2 16t 1 16

8 t3

t3 1 t 5(t 1 3)(t2 1 2t 1 4)

4t(2 t)

3x8y 4

9x16y 5

23

24x3y25z2 4

8x2y315z4 5

9xz2y

x2 4y2x2 1 xy 4

x2 xy 6y2y2 1 xy 5

y(x 2y)x(x 3y)

6x2 x 23x 22x 1 1

5 (2x 1 1)2y2 3y 1 2

y2 1 4y 214 4y 1 y2

9 y2

(y 1)(y 1 3)(y 2)(y 1 7)

x2y 1 xy2

x yx 1 y 5

xyx y

2x3

x2 5

x6

1x 1 2 1

1x 2

xx2 4 5

xx2 4

43x

54x 5

112x

r 1r2 1 r 6

r 1 2r2 1 4r 1 3 1

13r 6 5

r2 1 4r 1 123(r 1 3)(r 2)(r 1 1)

32y2

8y 5

3 16y2y2

x2x2 1 3xy 1 y2

x yy2 4x2 1

y2x2 1 xy y2 5

3x2 1 xy(2x 1 y)(2x y)(x 1 y)

x 1 y2x2 1

x 1x 1 5

y2x2

a(c a)(a b) 1

b(a b)(b c) 1

c(b c)(c a) 5 0

d) f)

e) g)

h)

Problemas propuestosDemuestre que:

6.6 a) d) g)

b) e) h)

c) f) i)

6.7 a) d)

b) e)

c) f)

6.8 a) b) c)

6.9 a) b) c)

6.10 a) e)

b) f)

c) g)

d) h)

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