Álgebra Superior

M.I.C. Héctor E. Medellín Anaya

Operadores lógicos

La negación de una proposición es falsa si ésta es verdadera y verdadera si es falsa.

P ¬ P

V F

F V

La conjunción, denotada por P QP Q P QF F F

F V F

V F F

V V V

Operadores lógicos

La disyunción, denotada por P QP Q P QF F F

F V V

V F V

V V V

La implicación, denotada por P QP Q P Q

F F V

F V V

V F F

V V V

Operadores lógicos

La bicondicional se define como P Q, la cual se lee “P si y solo si Q”.

La bicondicional es verdadera cuando P y Q son verdaderas o falsas simultáneamente.

Dos proposiciones son equivalentes si tienen los mismos valores de verdad.

Teorema 1.1. Sean P y Q proposiciones para las cuales P Q es siempre verdadera. Entonces P y Q son equivalentes. Y viceversa.

Operadores lógicos

Una tautología es una proposición que siempre es verdadera y la contradicción es aquella que siempre es falsa.

Las proposiciones que contienen variables se les llama proposiciones abiertas.

Una frase abierta o función proposicional es una proposición que contiene una variable.

Se denota por P(x).

La colección de objetos que pueden ser sustituidos por una variable en una frase abierta se llama conjunto de significados de esa variable.

Operadores lógicos

Se definen también los cuantificadores universal y existencial: “para todo x, P(x)” se denota por x P(x) y “existe x tal que P(x)” como x P(x).

Teorema 1.2. ( x P(x)) es equivalente a x P(x).

Si P(x) es una frase abierta, entonces un contra ejemplo para x P(x) es un elemento, t, del conjunto de significados de forma que P(t) sea falsa.

Operadores lógicosDemostración

Considere un conjunto finito de individuos a1, a2,... an, x P(x) es verdadero si P(a1), P(a2),... P(an), son verdaderos, o sea

x P(x) P(a1) P(a2) ... P(an)

Por otro lado

x P(x) P(a1) P(a2) ... P(an)

Entonces

¬ x P(x) ¬ (P(a1) P(a2) ... P(an))

¬ P(a1) ¬ P(a2) ... ¬ P(an) por la ley de De Morgan

x ¬ P(x)

ActividadMostrar que la siguiente proposición es una contradicción:

((PQ)¬P)¬Q

Probar la equivalencia de las siguientes expresiones usando tablas de verdad.a) (P Q) (P Q) (Q P)b) (P Q) (Q R) Q (P R)8. En el dominio de los animales, ¿cómo traduciría las expresiones siguientes?a) Todos los leones son predadores.b) Algunos leones viven en África.c) Sólo rugen los leones.d) Algunos leones comen cebras.e) Algunos leones solo comen cebras.

SoluciónP Q P Q P (P Q) P Q ((PQ)P)Q

F F F V F V F

F V V V V F F

V F V F F V F

V V V F F F F

P Q P Q P Q Q P (P Q)(Q P)

F F V V V V

F V F V F F

V F F F V F

V V V V V V

P Q R PQ QR (PQ) (Q R) (P R) Q (P R)

F F F F F F F F

F F V F F F V F

F V F F F F F F

F V V F V V V V

V F F F F F V F

V F V F F F V F

V V F V F V V V

V V V V V V V V

a) Todos los leones son predadores.x: x es león x es predador

b) Algunos leones viven en África. x: x es león x vive en África

c) Sólo rugen los leones.x: x ruge x es león

d) Algunos leones comen cebras. x: x es león ( y: y es cebra x come a y)

e) Algunos leones solo comen cebras. x: x es león ( y: x come a y y es cebra)

ConjuntosUn conjunto es una colección bien definida de objetos llamados elementos o miembros del conjunto.

Denotaremos los conjuntos con letras mayúsculas y sus elementos con minúsculas.

Se utilizan llaves para encerrar los elementos de un conjunto, por ejemplo:

A = {2, 3, 5, 7}

Para indicar la pertenencia a un conjunto usamos el símbolo y para indicar la no pertenencia el símbolo , ejemplos:

3 A 6 A

Especificación de conjuntosUn conjunto puede especificarse de varias maneras:

•Enumerando sus elementos

•Especificando mediante un enunciado los elementos del conjunto

•Mediante una proposición abierta

El conjunto A se puede especificar como:

Enumeración. A = {2, 3, 5, 7}

Especificación: A = {números primos menores que 10}

Proposición: A = { x | x es primo x<10}

Igualdad de conjuntos

Dos conjuntos A y B son iguales si tienen los mismos elementos. Denotamos la igualdad de dos conjuntos A y B por A = B.

Ejemplos

{números pares positivos menores que 100} = {múltiplos de 2 menores que 100}

{x | x2 – 4 = 0} = {-2, 2}

{1, 2, 2, 3, 4, 4, 5}= {1, 2, 3, 4, 5}

Subconjuntos

A es un subconjunto de B si todo elemento de A es también elemento de B, lo representamos por A B o sea que:

A B x A x B

Ejemplo:

A = {1 .. 100} y B = {2, 4, 6, … , 50}, entonces B A pero

A B

Si A es diferente de B y A es subconjunto de B, lo denotamos por A B

Actividad

Defina los siguientes conjuntos enumerando sus elementos:

{números primos entre 30 y 60}

{x | x2 – 5x +6 = 0}

Diga si son verdaderas las siguientes sentencias para los conjuntos A = {1, 3, 5, 7, 9, 11}y B = {1, 5, 7}:

A B B A B A A B

8 B

Defina el siguiente conjunto utilizando un proposición abierta:

{4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, …}

Diagramas de VennEl conjunto universo es el conjunto que contiene todos los elementos relevante a un problema. Se denota por U.

El conjunto universo se representa como un rectángulo.

Los demás conjuntos se representas por curvas cerradas dentro del universo.

U = {1, …, 10} A = {3, 4, 6, 8} B = {5, 6, 7, 8, 9}

A B

U

3

4

68

5

7

9

101

2

Diagrama de Venn de AB

A B

U

A B

Teorema 1.3. Si A B y B C , entonces A C

Demostración con diagramas de Venn

A B

U

C

Conjunto Vacío

Un conjunto importante es el conjunto vacío o nulo, el cual no contiene ningún elemento, éste es subconjunto de todo conjunto. El conjunto vacío se denota por .

El conjunto de todos los subconjuntos de A se le llama el conjunto potencia de A, se denota por 2A = {B | B A}.

Ejemplo:

A = {1, 2, 3}

2A = {{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3}, }

Unión de conjuntos Definimos la unión de dos conjuntos A y B como el conjunto formado por los elementos que pertenecen a A o a B y se indica por A B.

A B = {x | x A o x B }

Ejemplo:

A = {1, 3, 4, 5}

B = {3, 4, 6, 7, 8}

A B = {1, 3, 4, 5, 6, 7, 8}A B

U

3

4 68

57

9 10

1

2

Intersección de conjuntosDefinimos la intersección de dos conjuntos A y B como el conjunto formado por los elementos que pertenecen a A y a B y se indica por A B.

A B = {x | x A y x B }

Dos conjuntos son disjuntos si su intersección es el conjunto vacío.

Ejemplo:

A = {1, 3, 4, 5}

B = {3, 4, 6, 7, 8}

A B = {1, 3, 4, 5, 6, 7, 8}

A B

U

3

4 68

57

9 10

1

2

Propiedades

Teorema 1.4. Dados conjuntos A, B y C se tiene que:

1. A = A2. A = 3. Si A B, A B = A4. Si A B, A B = B5. A B = B A 6. A B = B A 7. A (C B) = (A C) B 8. A (C B) = (A C) B 9. A (C B) = (A C) (A B)10. A (C B) = (A C) (A B)

ComplementoEl complemento de un conjunto es el conjunto de elementos que pertenecen a un universo en el que esta definido el conjunto y que no pertenecen al conjunto. Se representa por.

A'= {x | x A }

Ejemplo:

A = {1, 3, 4, 5}

A’ = {2, 6, 7, 8, 9, 10}

A

U

3

4 68

57

9 10

1

2 A’

La diferenciaDefinimos la diferencia de A y B como el conjunto de los elementos que pertenecen a A pero que no pertenecen a B. La designamos por A B.

A B = {x | x A y x B }

Ejemplo:

A = {1, 3, 4, 5}

B = {3, 4, 6, 7, 8}

A B = {1, 5}

A B

U

3

4 68

57

9 10

1

2

Actividad1. Dados A = {1, 3, 4, 6, 8, 9} y B = {2, 3, 4, 5, 8, 11, 12} sobre el universo U = {1, 2, 3, ...20}, calcular lo siguiente y hacer los diagramas de Venn correspondientes.

a) A Bb) A Bc) complemento de A d) A - Be) B - A

Diferencia simétricaLa diferencia simétrica de A y B es el conjunto formados por los elementos que pertenecen a A o B pero no a ambos. Se representa por.

A B = {x | (x A y x B ) o (x B y x A )}

Es fácil ver que.

A B = (A B ) (B A )

Ejemplo

U = {1, 2, …, 10}

A = {1, 3, 5, 6, 7}

B = {3, 4, 7, 8, 9}

1

2

3

475

6

10

8

9A B

U

A B = {1, 4, 5, 6, 8, 9}

Conjuntos finitos e infinitos

Un conjunto es finito si tiene un número finito de elementos y es infinito si tiene un número ilimitado de elementos.

Ejemplo

N = {1, 2, 3, …} = conjunto de los números naturales, es un conjunto infinito

A = { x N | x >0 y x< 1000} es un conjunto finito

B = { x N | x es primo} es un conjuto infinito

C = {átomos en el universo} es finito

Subconjunto estándar de NSi ponemos en correspondencia los elementos de un conjunto con algún subconjunto propio de N, comenzando con 1 y siguiendo en orden sin saltar ningún elemento, definimos un subconjunto estándar de N.

A = {a, b, c, d, e}

1 2 3 4 5

a b c d e

El subconjunto {1, 2, 3, 4, 5} es equivalente {a, b, c, d, e}. Decimos que A tiene 5 elementos.

Cardinalidad

Cuando un conjunto S se equipara con un subconjunto estándar de N, el último elemento usado se le llama la cardinalidad del conjunto S y se denota por | S |, n(S), card(S) o #S.

La cardinalidad del conjunto vacío es 0.

Si es posible encontrar un subconjunto estándar de N que se pueda hacer corresponder con un conjunto S, decimos que S es finito, sino S es infinito.

Producto cartesianoUn par ordenado es una tupla de dos elementos, tal que uno puede ser distinguido como el primero y el otro como el segundo.

Un par ordenado con primer elemento a y con segundo elemento b es escrito usualmente como (a, b).

Dos pares ordenados cumplen:(a, b) = (c, d) si y sólo si a = c y b = d

El producto cartesiano de dos conjuntos A y B es el conjunto de todos los pares ordenados (a, b) tales que a es elemento del conjunto a y b es elemento del conjunto B.

A B = {(a, b) | a A y b B}

A = {2, 4, 5}

B = {1, 3, 5, 6}

A B = {(2, 1), (2, 3), (2, 5), (2, 6), (4, 1), (4, 3), (4, 5), (4, 6), (5, 1), (5, 3), (5, 5), (5, 6)}

Note |A B| = |A||B|, en este caso |A B| = 3 4 = 12

B A = {(1, 2), (1, 4), (1, 5), (3, 2), (3, 4), (3, 5), (5, 2), (5, 4), (5, 5), (6, 2), (6, 4), (6, 5), }

Note que A B B A

A A = A2 = {(2, 2), (2, 4), (2, 5), (4, 2), (4, 4), (4, 5), (5, 2), (5, 4), (5, 5), }

Actividad¿Cuál es la cardinalidad de los siguientes conjuntos?

{seres humanos}

{x N | x > 34 y x < 16}

{x N | x es múltiplo de 1,000,000}

{mesa-bancos en el salón}

Sea A = {4, 6, 9} y B = {s, t} encuentre A2, B2, A B, B A.

RelacionesSe define una relación del conjunto A con el conjunto B como un subconjunto de A B. Si R A B y (a, b) R se dice que a está relacionado con b bajo la relación R y se denota por aRb.

Para expresar una relación de A en B, escribimos: R: A B

Si A y B son el mismo conjunto, entonces se dice que la relación es sobre A.

Gráfico de una relaciónS = {s1, s2}

P = {p1, p2, p3}

R = {(s1, p1), (s1, p3), (s2, p2), (s2, p3)}

s2

s1p1

p2

p3

Dominio e imagenSe definen los subconjuntos Dominio e Imagen de la relación R como sigue:

Dom(R)={a | a A y (a, x) R para algún x B}

Im(R)={b | b B y (y, b) R para algún y A}

a1

a2 a3

an

b1

b2

b3

bm

ak

bj

A = {1, 3, 5, 7}

B = {4, 5, 6}

R = {(a, b) A B | a > b} = {(5, 4), (7, 4), (7, 5), (7, 6)}

S = {(a, b) A B | a = b} = {(5, 5)}

T = {(a, b) A B | a b} = {(1, 4), (1, 5), (1, 6), (3, 4), (3, 5), (3, 6), (5, 4), (5, 6), (7,4), (7, 5), (7, 6)}

W = {(a, b) A B | b = a + 3} = {(1, 4), (3, 6)}

Dom(R) = {5, 7} Img(R) = {4, 5, 6}

Dom(S) = {5,} Img(S) = {5}

Dom(T) = {1, 3, 5, 7} Img(T) = {4, 5, 6}

Dom(W) = {1, 3} Img(w) = {4, 6}

Inversa de una relaciónSi R A B es una relación de A en B, entonces la relación R–1 = {(b, a)| (a, b) R } es la inversa de la relación R. Por tanto si aRb bR–1a.

S = {s1, s2} P = {p1, p2, p3}

R = {(s1, p1), (s1, p3), (s2, p2), (s2, p3)}

R–1 = {(p1, s1), (p3, s1), (p2, s2), (p3, s2)}

s2

s1p1

p2

p3

s2

s1p1

p2

p3

RR–1

Operaciones con relaciones

Dado que las relaciones son conjuntos, todas las operaciones de conjuntos se pueden aplicar a las relaciones.

Si R y S son relaciones, R S es una relación tal que

x(R S)y = xRy xSy

Similarmente

x(R S)y = xRy xSy

Y

x(R – S)y = xRy xSy

Donde S indica que x no está relacionado con y a través de S

X = {a, b, c}

V = {a, b}

Y = {A, B, C}

W = {B, C}

R: X Y S: V W

R = {(a, A), (a, B), (b, C)}

S = {(a, B), (b, C)}

S =

R S =

R S =

R – S =

ActividadL representa la relación “menor o igual que” y D representa la relación “divide”, donde xDy significa “x divide a y”. Tanto L como D están definidas en el conjunto {1, 2, 3, 6}. Escribir L y D como conjuntos, y calcular L D, L D, L – D.

Composición de relaciones

Sean R: X Y y S: Y Z dos relaciones. La composición de R y S, que se representa por R S, contiene los pares (x, z) si y solo si existe un objeto intermedio y tal que (x, y) está en R y (y, z) está en S. Por consiguiente

x(R S)z = y (xRy ySz)

Ejemplo:

La relación “tía de” se compone de dos relaciones, la relación “hermana de” y la relación “padre de”.

x2

x1y1

y2

y3x3

x4y4

z1

z2

z3

z4

z5

x2

x1

x3

x4

z1

z2

z3

z4

z5

R: X Y S: Y Z R S: X Z

R = {(1, a), (2, b), (1,c)}

S = {(a, A), (a,B), (c,D)}

Calcular R S y hacer el grafo dirigido.

Actividad1. Representar con un grafo dirigido

A = {1, 2, 4, 6}, B = {a, b, c}

R = {(1, a), (2, b), (2, c), (4, b), (6, a), (6, c)}

2. Dado el siguiente grafo encuentre los pares ordenados de la relación S

b

a A

B

c C

ActividadW = {(1, 3), (1, 5), (2, 2), (2, 4), (4, 1), (4, 5)}

S = {(1, 4), (2, 3), (2, 4), (3, 3), (4, 5), (5, 1)}

Encuentre W S y S W y haga sus grafos dirigidos

Propiedad de las relaciones

R (S T) =(R S) T

Demostración:

x(R (S T))w = y (xRy y (S T)w)

= y (xRy z(ySz zTw)

= y z (xRy (ySz zTw)

Intercambiando cuantificadores y agrupando

= z y ((xRy ySz) zTw)

= z (y (xRy ySz) zTw)

= x((R S) T)w

Propiedades de las relacionesUna relación R sobre un conjunto X es reflexiva si a: (a, a) R

O equivalentemente a: (a, a) R

R = {(a, a), (b, a), (b, b), (b, c), (c, c)} reflexiva

S = {(a, b), (b, a), (b, b), (b, c), (c, a)} no reflexiva

Una relación R sobre un conjunto X es irreflexiva también llamada antirreflexiva o antirrefleja, si a: (a, a) R

O equivalentemente a: (a, a) R

W = {(a, b), (b, a), (b, c), (c, a)} irreflexiva

S = {(a, b), (b, a), (b, b), (b, c), (c, a)} no irreflexiva

Propiedades de las relaciones

Una relación R es simétrica si a,b: (a, b) R (b, a) R.

También a,b: (a, b) R (b, a) R

R = {(a, b), (b, a), (b, b), (b, c), (c, b)} simétrica

S = {(a, b), (b, a), (b, b), (b, c), (c, a)} no simétrica

Una relación R es antisimétrica si a,b: ((a, b)R(b, a)R) a = b. También a,b: (a, b) R (b, a) R a b

R = {(a, b), (b, b), (b, c), (c, a), (c, c) } antisimétrica

S = {(a, b), (b, a), (b, b), (b, c), (c, a)} no antisimétrica

La simetría no es lo opuesto de la antisimetría.

Ejemplos:

Existen relaciones que son simétricas y antisimétricas al mismo tiempo (como la igualdad)

Otras que no son simétricas ni antisimétricas (como la divisibilidad)

Otras que son simétricas pero no antisimétricas (como la relación de congruencia módulo n)

Otras que son antisimétricas pero no simétricas (como la relación "menor que").

Propiedades de las relaciones

Propiedades de las relaciones

Una relación R es transitiva si a,b: (a, b) R y (b, c) R (a, c) R

R = {(a, a), (a, b), (b, a), (b, b), (c, c)} transitivaS = {(a, b), (b, a), (b, b), (b, c), (c, a)} no transitiva

Una relación es total si a,b: (a, b) R (b, a) R.

W = {(a, b), (a, c), (b, a), (b, b), (c, b)} totalS = {(a, b), (b, a), (b, b), (b, c), (c, b)} no total

R = {(1, 2), (3, 4), (2, 2)}

S = {(4, 2), (2, 5), (3, 1), (1, 3)}

Calcular

RS, S R, R (S R), (R S) R, R R, S S, R R R

Relacón Refle. Irrefle. Sim. Antisim. Trans. Total

{(1,2). (2, 2), (3,4), (4,1)}

{(a, b), (b, a), (a, c), (c, a), (b, c), (c, b)}

{(a, b)N 2 | a divide a b}

{(a, a), (b, b), (a, c), (b, c), (c, a), (d, d)}

{(a, a), (a, d), (c, b), (d, a), (c, e), (e, e)}

{(a, a), (b, b), (c, c), (d, d), (e, e), (b, c), (b, a)}

{(a, a),(a, b),(b, a), (b, b), (b, c), (b, e), (c, e), (b, d), (d, a), (e, e)}

{(a, c), (a, e), (e, c), (b, c)}

{(a, a), (b, b), (c, c), (d, d), (e, e), (a, e), (b, c), (c, b), (e, a)}

{(a, b), (b, d), (c, a), (d, e), (e, c), (b, c), (b, a)}

Relaciones de equivalenciaUna relación que es reflexiva, simétrica y transitiva se denomina relación de equivalencia.

Una relación de equivalencia define clases de equivalencia.

Cada clase de equivalencia es un subconjunto del conjunto A.

Los subconjuntos definidos en las clases de equivalencia son disjuntos y la unión de ellos es igual al conjunto A, se dice que forman una partición del conjunto A.

Para cada elemento x de A se define un conjunto [x]={y A | (x, y) R} como la clase de equivalencia de x.

Clases de equivalenciaTeorema 1.5. Las clases de equivalencia de una relación de equivalencia R sobre un conjunto X forman una partición de X.

Demostración: Sea z [x][y], entonces (x, z) R y (z, y) R. Como R es transitiva, entonces (x, y) R. Por lo tanto x [y] y y [x], y en consecuencia (y, x) R.

Si t [x], entonces (t, x) R y por transitividad (t, y) R. Por tanto t [y]. O sea [x] [y].

Si t [y], entonces (t, y) R y por transitividad (t, x) R. Por tanto t [x]. O sea [y] [x].

Dado que [x] [y] y [y] [x], se tiene [x] [y].

Clases de equivalencia

Por otro lado, todo x debe pertenecer R, ya que (x, x) R. Esto implica que todos los elementos pertenecen a alguna partición.

Teorema 1.6. Cualquier partición A de un conjunto no vacío X define una relación de equivalencia sobre X.

EjemplosLa relación de igualdad de enteros define una relación de equivalencia, dado que

a = a (reflexiva)

si a = b b = a (simétrica)

si a = b b = c a= c (transitiva)

Por lo tanto es una relación de equivalencia.

EjemplosDos números son congruentes en módulo n si al dividir dos números se obtiene el mismo residuo. La congruencia de a y b se denota por a b (mod n).

Por ejemplo: 2 12 (mod 5), 3 24 (mod 7), 8 17 (mod 3).

Si a a (mod n) (reflexiva)

Si a b (mod n) b a (mod n) (simétrica)

Si a b (mod n) b c (mod n) a c (mod n) (transitiva)

0 3 (mod 3) 1 4 (mod 3) 2 5 (mod 3)

0 6 (mod 3) 1 7 (mod 3) 2 8 (mod 3)

0 9 (mod 3) 1 10 (mod 3) 2 11 (mod 3)

[0] = {0, 3, 6, 9, …} [1] = {1, 4, 7, 10, …} [2] = {2, 5, 8, 11, …}

Actividad

Encuentre la partición que crea la relación R = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (4, 5), (5, 4), (5, 5)} sobre el conjunto A = {1, 2, 3, 4, 5}

Encuentre la relación de equivalencia que crea la siguiente partición del conjunto B = {a, b, c, d, e, f}

P = {{a, c, d}, {b, e}, {f}}

FuncionesUna relación de A en B es una función si Dom(f) = A y para todos los pares (x, y) y (x , z) pertenecientes a f implica que y = z, y se escribe f: A B.

Una función es un subconjunto del producto cartesiano de A y B tal que no existe dos pares ordenados con la misma primer componente.

f :AB (f A B) x A, y1, y2 B, ((x, y1) f (x, y2) f y1= y2)

Ejemplos

A = {1, 2, 3}

B = {1, 2, 3, 4}

F = {(1, 3), (2, 1), (3, 2)}

G = {(1, 3), (2, 1), (2, 4), (3, 4)}

H = {(1, 4), (3, 1)} función parcial

Gráfico de una función

1

2

3

a

e

i

o u

F = {(1, a), (2, o), (3, e)}

Definiciones de funcionesUna función se puede definir mediante una fórmula.

La función f = {(1, 1), (2, 4), (3, 9), (4, 16), …} se puede definir como

f = {(x, y) NN | y = x2}

La función f = {(1, 5), (2, 7), (3, 9), (4, 11), …} se puede definir como

f = {(x, y) NN | y = 2x + 3}

Sea D = {1, 2, 3, 4}

f = {(x, y) | y = 3x2 + 4}

Encontrar la imagen de f. Hacer el gráfico de los conjuntos.

Sea g = {(-2, 4), (-1, 3), (0, 2), (1, 1), (2, 0), (3,-1) }

Encontrar dominio, imagen y la regla de correspondencia

Sea D = {-3, -1, 0, 1, 3} y f(x) = x2/2 – 1

Escribir f como pares ordenados y encontrar la imagen.

ActividadSea D = {1, 2, 3, 4, 5}

f = {(x, y) | y = 7x2 – 6}

Encontrar la imagen de cada elemento del dominio. Hacer el gráfico de los conjuntos.

Sea g = {(1, 0), (2, 2), (3, 4), (4, 6), (5,8) }Encontrar dominio, imagen y la regla de correspondencia

Imagen y preimagenDada una función f: A B, la imagen bajo f de un elemento a del dominio es el único elemento b del contradominio con el que a está relacionado. Se denota por b = f(a)

Simbólicamente

f(a) = b (a, b) f

Dada una función f: A B, la imagen bajo f de un subconjunto X del dominio es el subconjunto Y del contradominio formado por las imágenes de los elementos de X. Se denota por Y = f(X). Así mismo, X se llama preimagen de Y y se denota por X = f –1(Y).

Simbólicamente

f(X) = Y X = f –1(Y) (X dom(f )Y img(f )

xX, f(x)Y y Y, xX, (x, y) f )

FuncionesTeorema 1.7. Sean las funciones f: A B y g: A B, entonces f = g si y solo si f(x) = g(x) para toda x A.

Demostración:

Si f = g.

Sea x A. Si y = f(x), se tiene que (x, y) f y por tanto (x, y) g. En consecuencia y = g(x).

Si f(x) = g(x).

Entonces, si (x, y) f . Entonces y = f(x) = g(x) con lo que (x, y) g, y por tanto f g.

Por otro lado, si (x, y) g . Entonces y = g(x) = f(x) con lo que (x, y) f, y por tanto g f.

Función parcialDefinimos una función parcial como una función en la que Dom(f) A.

Sea una función f: A B . Si X A, diremos que la imagen de X bajo f es

f(X) = {y B | y = f(x) para algún x X}

Si Y B, la imagen inversa de Y bajo f es el conjunto

f -1(Y) = {x A | f(x) = y para algún y Y}

FuncionesTeorema 1.8. Sea una función f: A B . Entonces

1.   f() = .

2.   f({x}) = {f(x)} para todo x A.

3.   Si X Y A, entonces f(X) f(Y).

4.   Si X Y B, entonces f -1(X) f -1(Y).

5.   Si X y Y son subconjuntos de B, entonces f -1(X - Y) = f -

1(X) - f -1(Y).

Funciones inyectivasUna función es inyectiva si, para cualquier (x, y) f y (z, y) f , entonces x = z. 

inyectiva

NO inyectiva

Ejemplos

F = {(1, 2), (2, 4), (3, 5), (4, 2)}

G = {(1, 2), (2, 4), (3, 5), (4, 1)}

H = {(1, 2), (2, 4), (3, 3), (4, 5)}

R = {(x, y) N2 | y = x2}

S = {(x, y) NR | y = +√x}

W = {(x, y) | x2 + y2 = 25}

Funciones sobreyectivasUna función es sobreyectiva si, para cualquier y B existe una x A, para la que f(x) = y.

sobreyectiva

NO sobreyectiva

Ejemplos

F = {(1, 2), (2, 4), (3, 5), (4, 2)} A=B = {1, 2, 3, 4, 5}

G = {(1, 2), (2, 4), (3, 5), (4, 1), (5, 3)} A = B = {1, 2, 3, 4, 5}

H = {(1, 2), (2, 4), (3, 3), (4, 5), (5, 2)}

R = {(x, y) N2 | y = x2}

S = {(x, y) NR | y = +√x}

W = {(x, y) | x2 + y2 = 25}

BiyecciónUna que es inyectiva y sobreyectiva es una biyección o correspondencia uno a uno.

biyectiva

NO biyectiva

Ejemplos

F = {(1, 2), (2, 4), (3, 5), (4, 2)} A=B = {1, 2, 3, 4, 5}

G = {(1, 2), (2, 4), (3, 5), (4, 1), (5, 3)} A = B = {1, 2, 3, 4, 5}

H = {(1, 2), (2, 4), (3, 3), (4, 5), (5, 2)}

R = {(x, y) N2 | y = x2}

S = {(x, y) NR | y = +√x}

W = {(x, y) | x2 + y2 = 25}

Composición de funcionesDefinimos la composición de dos funciones f y g como:

g f = {(a, c) | y, f(a) = y b = g(y)}

El contradominio de f debe estar incluido en el dominio de g

Dadas las funciones f: A B y g: B C

g f : A C Dom(g f ) = Dom(f ) Img(f)Dom(g)

xDom(g f ), (g f )(x) = g(f(x))

A = {1, 2, 3}

B = {a, b, c, d}

C = {, }

f: A B dada por: f(1) = a, f(2) = b

g: B C dada por: g(a) = , g(b) = , g(c) =

Encontrar la composición y hacer el grafo.