Álgebra U3 Final
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1) Lenguaje algebraico. b) Operaciones AlgebraicasLa Multiplicación:
Multiplicación de Polinomio por Polinomio.- Se multiplican todos los términos del multiplicando por cada uno de los términos del multiplicador, teniendo en cuenta la ley de los signos, y se reducen los términos semejantes.Ejemplos:1) Multiplicar a+b+c por m+n
(a+b+c)(m+n) =
a(m+n)
+c(m+n)
+b(m+n)=
am +bm
+bn
+cm
+cn
a-4a+3
. (a)(a)
-4(a)+3(a
)
+an2) Multiplicar a-4 por 3+a
(a-4)(3+a) =
a(3+a)
= 3a
-4(3+a)
+a2
-4a
=a2
-a -12-12
-3(4) . a
2
-a -12
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1) Lenguaje algebraico. b) Operaciones AlgebraicasLa Multiplicación:
Multiplicación de Polinomio por Polinomio.- Ejemplos:3) Multiplicar 2+a2-2a-a3 por a+1
(2+a2-2a-a3)(a+1) =
=2(a)
+a2(a)
+2(1)
+a2(1)
-2a(1)-a3(a)
-a3(1)
2+-2a+a2-a31+a
. 2-2a
+ a2 -a3
–2a(a)
2a
-2a2 +a32
-a4
-a2 -a4
=2a
+a3+2
+a2 -2a-a4-a3–2a2
=-a4 +2
–a2
.
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Multiplicar:
1) a+3 por a-1 2) a-3 por a+13) x+5 por x-4 4) m-6 por m-55) –x+3 por –x+5 6) –a-2 por –a-37) 3x-2y por 2x+y 8) 5x-4y por -3x+2y9) 5a-7b por a+3b 10) 7x-3 por 2x+411) –a+b por 8a-4b 12) 6m-5n por m-n13) -9m+8n por 6m+8n 14) -7y-3 por 2y-1115) x2+xy+y2 por x-y 16) m4+m2n2+n4 por m2-n2
17) a2+a+1 por a2-a-1 18) a3-5a-a por a2-a+519) –a3+2ax2+3x3 por 2a2-3ax-x2
20) a3-3a2b+4ab2 por a2b-2ab2-10b3
21) y2-2y+1 por y4-2y2+222) 3a2+2a2-5a-4 por a3+a2-2a+123) x+2y-z por x-y+z 24) ax+2-ax+1+ax por a+125) an+2+3an+1-2an por an+1+an
26) ma+4-ma+3-2ma+2+ma+1 por -ma-1+ma-2+ma-3
27) -5a2m+2+a2m+1+3a2m por 6a3m-1-8a3m+a3m-3
1) Lenguaje algebraico. b) Operaciones Algebraicas
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1) Lenguaje algebraico. b) Operaciones Algebraicas
223223
223
22223
2222
32
2222
222222
25
32
32
por 41
52
21
43
10)
51
101
23
por 21
41
31
41
9)
65
32
41
por 21
51
72
8)
32
23
por 32
31
21
- 7)
231
2por 52
41
83
6)
223
por 21
31
52
5)
23
41
por 32
41
4) 23
32
por 41
31
21
3)
65
31
por 52
2) 21
31
por 32
21
1)
:r Multiplica
nmnmnmnnmm
xxxxx
yxyxxyyxx
aaxxaaxx
xxxx
nmnmnmnm
bababayxyxyx
yxyxbaba
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1) Lenguaje algebraico. b) Operaciones AlgebraicasLa División:
La División, esta formada por tres elementos: 1) Dividendo, 2)Divisor y 3) Cociente.
Ley de los SignosLa división de signos iguales es positivo (+).La división de diferentes signos es negativo (-).
)4 )3 )2 1)
Casos de la División:
3) División de polinomio por polinomio
1) División de monomios.2) División de Polinomio por Monomio.
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1) Lenguaje algebraico. b) Operaciones AlgebraicasLa División:
División de Monomios.- Se divide el coeficiente del dividendo entre el coeficiente del divisor y a continuación se escriben en orden alfabético las letras poniéndole a cada letra un exponente igual a la diferencia entre el exponente que tiene en el dividendo y el exponente que tiene en el divisor. El signo lo da la ley de los signos. . Ejemplos:1) Dividir 4a3b2 entre -
2ab
2) Dividir –5a4b2c entre –a2b
)4( 23ba )2( ababba
24 23
2
4 13a 12b ba22
)5( 24 cba )( 2bacba 245
ba2
15
24a 12b c bca25
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1) Lenguaje algebraico. b) Operaciones AlgebraicasLa División:
Ejemplos:
3) Dividir -20mx2y3 entre 4xy3
4) Dividir –xmynzk entre 3xy2z3
)20( 32 ymx )4( 3xy3
32
420
xyymx
420 m 12x 33y mx5
)( knm zyx )3( 32zxy 323 zxyzyx knm
31 1mx 2ny 3kz 321
31 knm zyx
)4( 34 yax
5) Dividir 4ax4y3 entre 2x2y
)2( 2 yx yxyax
2
34
24
24
a 24x 13y 222 yax
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1) Lenguaje algebraico. b) Operaciones AlgebraicasLa División:
1) −24÷82) −63÷ −73) −5a2 ÷ −a4) 14a3b4 ÷ −2ab2
5) −a3b4c ÷a3b4
6) −a2b÷ −ab7) 54x2y2z3 ÷ −6xy2z3
8) −5m2n÷m2n9) −8a2x3 ÷ −8a2x3
10) −xy2÷2y
11) 5x4y5 ÷ −6x4y12) −a8b9c4 ÷8c4
13) 16m6n4 ÷ −5n3
14) −108a7b6c8 ÷-20b6c8
15) -2m2n6 ÷-3mn6
16) ax ÷a2
17) −3axbm ÷ab2
18) 5ambnc ÷ −6a3b4c19) axbm ÷ -4ambn
20) -3manxx3 ÷-5mxn2x3
21) am+ 3 ÷am+ 2
22) -3am-2 ÷ -5am-5
23) -4ax-2bn ÷-5a3b2
24) 5a2m-1bx-3÷ -6a2m-2bx-4
25) am+nbx+a ÷ amba
3434535365652
543352
21
26 43
83
5 25
87
4
292
3 61
32
2 32
21
1
:Dividir
baba) dcdc) cabcba)
yx) zzxy) x)
mxx
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1) Lenguaje algebraico. b) Operaciones AlgebraicasLa División:
División de un Polinomio por un Monomio.- Se divide cada uno de los términos del polinomio por el monomio separando los cocientes parciales con sus propios signos. (Ley distributiva de la división). Ejemplos:
1) Dividir 3a3-6a2b+9ab2 entre 3a
)abba-a( 223 963 a3a
abba-a3
963 223 aa
33 3
a
ba36 2
aab3
9 2
22 32 baba
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1) Lenguaje algebraico. b) Operaciones AlgebraicasLa División:
10
1) 3x2y3 ÷ 5a2x4
2) X3-4x2+x ÷ x3) 6m3-8m2n+20mn ÷ 2 m4) X4-5x3 -10x2+15x ÷ −5x5) ax+am-1 ÷ a2
6) ambn+am-1bn+2-am-2bn-4 ÷ a2b3
7) 4ax+4bm-1-6ax+3bm-2+8ax+2bm-3 ÷ −2ax+2bm-4
2115335
222342
61
52
41
32
4 531
52
3
41
32
32
41
2 x 32
32
21
1
:Dividir
xxxx aaaa) aabbaa)
mnmnmm) xx)
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1) Lenguaje algebraico. b) Operaciones AlgebraicasLa División:
División de Dos Polinomios.- Se ordenan el dividendo y el divisor con relación a una misma letra.Se divide el primer término del dividendo entre el primer término del divisor y tendremos el primer término del cociente.Este primer término del cociente se multiplica por todo el divisor y el producto se resta del dividendo.Se divide el primer término del resto entre el primer término del divisor y tendremos el segundo término del cociente.El segundo término del cociente se multiplica por todo el divisor y el producto se resta del dividendo.Se divide el primer término del segundo resto entre el primero del divisor y se efectúan las operaciones anteriores; y así sucesivamente hasta que el residuo sea cero.
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1) Lenguaje algebraico. b) Operaciones
AlgebraicasLa División:
1) Dividir 3x2+2x-8 entre x+2
2x 823 2 xx
x3
x623xx4 8
4
x4 80 0
0
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1) Lenguaje algebraico. b) Operaciones
AlgebraicasLa División:
1) Dividir 28x2-30y2-11xy entre 4x-5y
0
230yxy24xy24 230y0xy35228x
yx 54 22 301128 yxyx y6x7
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14
1)a2+2a-3 ÷ a+32)x2-x-20 ÷ x+53)x2-8x+15 ÷ -x+34)6x2-xy-2y2 ÷ 2x+y5)5a2+8ab-21b2 ÷ a+3b6)-8a2+12ab-4b2 ÷ -a+b7)-54m2+12mn+32n2 ÷ −2m+8n8)x3-y3 ÷ x-y9) x2-9x2+x+3 ÷ x+310) m6-n6 ÷ m2-n2
11) 3y5-12y+5y2+10 ÷ y 2+212) 12a3-35a2b+33ab2-10b3 ÷ 4a-5b
13) m2-5m4n+20m2n3-16mn4 ÷ m2-2mn-8n2
14) m6+m5-4m4+m2-4m-1 ÷ m3+m2-4m-115) n4-2n3+2n-1 ÷ n2-2n+116) 4y4+4y3-13y2-3y-20 ÷ 2y+517) a6-5a5+31a2—8a+21 ÷ a3-2a-718) x6-2x4y2+2x3y3-2x2y4+3xy5-2y6 ÷ x2+xy-
2y2
19) a6+2a5-2a4-3a3+2a2-a-1 ÷ a3+a2-a+1
20) x7-3x6+6x5+x2-3x+6 ÷ x3-2x2+3x+6
21) -m7+5m6n-14m5n2+20m4n3-13m3n4-9m2n5+20mn6-4n7 ÷ -m3+3m2n-5mn2+n3
22) a2-b2+2bc-c2 ÷ a+b-c23) a5+b5 ÷ a+b24) x10-y10 ÷ x2-y2
25) x5+y5 ÷ x4-x3y+x2y2-xy3+y4
26) ma+4-ma+3+6ma+1-5ma+3ma-1 ÷ m2-2m+327) ax+2-2ax+8ax-1-3ax-2 ÷ ax-2ax-1+3ax-2
28) x2a-2+x2a-3-4x2a-4-x2a-7 ÷ xa-1-xa-2-xa-3
29) ax+2-2ax+8ax-1-3ax-2 ÷ ax-2ax-1+3ax-2
30) Ax-ax-1b+bn-abn-1 ÷ a-b322354322345
41
52
21
43
85
67
60101
4099
65
21
)34 nmnnmmnmnnmnmnmm
22432234
3223
22
32
23
31
1813
121
49
)33
23
41
b-35
85
161
)32
21
31
61
365
61
)31
xaxaxaxxaxaa
baabbaa
bababa
![Page 15: Álgebra U3 Final](https://reader031.fdocuments.es/reader031/viewer/2022012305/5571f8c649795991698e1033/html5/thumbnails/15.jpg)
1) Lenguaje algebraico. b) Operaciones AlgebraicasDivisión de Dos Polinomios con Cociente
Mixto.Cuando el dividendo no es divisible exactamente por el
divisor, la división no es exacta, nos da un residuo y esto origina los cocientes mixtos, así llamados por que constan de entero y quebrado.
Cuando la división no es exacta debemos detenerla cuando el primer término del residuo es de grado inferior al primer término del divisor con relación a una misma letra, osea, cuando el exponente de una letra en el residuo es menor que el exponente de la misma letra en el divisor y sumamos al cociente el quebrado que se forma, poniendo por numerador el residuo y por denominador el divisor.
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1) Lenguaje algebraico. b) Operaciones Algebraicas
1) Dividir x2-x-6 entre x+3
División de Dos Polinomios con Cociente Mixto.
62 xx3 x x
2x x30 x4 6
4
x4 12
3
62
xxx
6
4x3
6
x
![Page 17: Álgebra U3 Final](https://reader031.fdocuments.es/reader031/viewer/2022012305/5571f8c649795991698e1033/html5/thumbnails/17.jpg)
1) Lenguaje algebraico. b) Operaciones Algebraicas
1) Dividir 6m4-4m3n2-3m2n4+4mn6-n8 entre 2m2-n4
42
8622
42
8642234
22
232
4346nmnmn
mnmnm
nmnnmnmm
División de Dos Polinomios con Cociente Mixto.
4346 8642234 nmnnmnmm 422 nm
2m3
423 nm46m0 234 nm 0 64mn
22mn
234 nm 62mn0 62mn 8n
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1) Lenguaje algebraico. b) Operaciones AlgebraicasDivisión de Dos Polinomios con Cociente Mixto.
1) a2+b2 ÷ a2
2) x4+2 ÷ a3
3) 9x3+6x2+7 ÷ 3x2
4) 16a4-20a3b+8a2b2+7ab3 ÷ 7a2
5) x2+7x+10 ÷ x+66) x2-5x+7 ÷ x-47) m4-11m2+34 ÷ m2-3
8) x2-6xy+y2 ÷ x+y9) x3-x2+3x+2 ÷ x2-x+110)x3+y3 ÷ x-y11)x5+y5 ÷ x-y12)x3+4x2-5x+8 ÷ x2-2x+113)8a3-6a2b+5ab2-9b3 ÷ 2a-3b14)X5-3x4+9x2+7x-4 ÷ x2-3x+2
Resuelve las siguientes divisiones:
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1) Lenguaje algebraico. b) Operaciones AlgebraicasProductos Notables.-
Los productos notables son normas que se establecen para resolver algunas multiplicaciones sin necesidad de aplicar el método adecuado.
Binomio al cuadrado (a+b)2 el cual se resuelve de la siguiente forma:
Si observamos con atención podemos obtener la siguiente regla para resolver el binomio al cuadrado:
(a+b)2
= (a+b)(a+b)
= (a)(a)
+ab
+ab
+(b)(b) =
a2+2ab+b2
El cuadrado del primero mas el doble producto del primero por el segundo
mas el cuadrado del segundo.
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1) Lenguaje algebraico. b) Operaciones AlgebraicasProductos Notables.-
Por ejemplo:1) Resuelva el siguiente binomio al cuadrado:
(4a+5b2)2
Primero:
(4a)2
4a
(4a+5b2)2
=16a2
+40ab2
+25b4
5b2
+2(4a)(5b2)
+(5b2)2
El cuadrado del primero :
mas el doble producto del
primero por el segundo
mas el cuadrado
del segundo.
Segundo:
16a2
+40ab2 +25b4
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1) Lenguaje algebraico. b) Operaciones AlgebraicasProductos Notables.-
Por ejemplo:1) Resuelva el siguiente binomio al cuadrado: (x-5)2
Primero:
(x)2
x
(4a+5b2)2
=16a2
+40ab2
+25b4
-5
+2(x)(-5)
+(-5)2
El cuadrado del primero :
mas el doble producto del
primero por el segundo
mas el cuadrado
del segundo.
Segundo:
x2 -10x +25
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1) Lenguaje algebraico. b) Operaciones AlgebraicasProductos Notables.-
Binomios conjugados son de la forma: (a+b)(a-b) , el cual se resuelve de la siguiente forma:
Regla para obtener el resultado de binomios conjugados:
(a+b)(a-b)
= (a+b)(a-b)
= (a)(a)
-ab+ab
+(-b)(-b) =
a2-b2
El cuadrado del primero menos el cuadrado del segundo.Por ejemplo:
1) Efectúe: (2a+3b)(2a+3b)Primero:
(2a)2
2a
(2a+3b) (2a-3b)=
4a2 -9b2
3b
-(3b)2
El cuadrado del primero :
menos el cuadrado del
segundo.
Segundo:
4a2 -9b2
![Page 23: Álgebra U3 Final](https://reader031.fdocuments.es/reader031/viewer/2022012305/5571f8c649795991698e1033/html5/thumbnails/23.jpg)
1) Lenguaje algebraico. b) Operaciones AlgebraicasProductos Notables.-
Por ejemplo:1) Efectúe: (5an+1+3am)(3am-5an+1)
Primero:
(3am)2
3am
(3am+5an+1)(3am-5an+1)=
9a2
m
-25a2n+2
5an+1
-(5an+1)2
El cuadrado del primero :
menos el cuadrado del
segundo.
Segundo:
9a2m -25a2n+2
Lo acomodamos de la siguiente manera (3am+5an+1)(3am-
5an+1)
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1) Lenguaje algebraico. b) Operaciones AlgebraicasProductos Notables.-
Binomio al cubo: (a+b)3 , el cual se resuelve de la siguiente forma:
Regla para obtener el resultado de binomio al cubo:
(a+b)(a+b) (a+b)
= (a+b)[(a+b) (a+b)]= (a+b) +ab+ba
+(b)(b)] =
El cubo del primero mas el triple producto del cuadrado del primero por el segundo, mas el triple producto del primero por el cuadrado del segundo, mas el cubo del
segundo.
[(a)(a)
(a+b)
+2ab
+b2][a2
+(2ab)(a)
+(b2)(a)
=(a2)(a)
+(2ab)(b)
+(b2)(b)
+(a2)(b)
+2a2
b+ab2
= a3
+2ab2
+b3+a2
b+3a2
b= a3
+3ab2
+b3
![Page 25: Álgebra U3 Final](https://reader031.fdocuments.es/reader031/viewer/2022012305/5571f8c649795991698e1033/html5/thumbnails/25.jpg)
1) Lenguaje algebraico. b) Operaciones AlgebraicasProductos Notables.-
Por ejemplo:1) Efectúe: (a-b) 3
Primero:
(a)3
a
(a-b) 3=
b
+(b)3
El cubo del primero :
Mas el cubo del segundo.
Segundo:
+3
Mas el triple del cuadrado del
primero por el segundo :a2 b +3
Mas el triple del primero por el cuadrado del
segundo :ab2
a3 +b3+3a2b +3ab2
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1) Lenguaje algebraico. b) Operaciones AlgebraicasProductos Notables.-
Producto de dos Binomios con un término común : (x+a) (x+b) , el cual se resuelve de la siguiente forma:
Regla para obtener el resultado de binomio al cubo:
(x+a)(x+b)
= (x)(x)
+(a)(x)
+(a)(b)
El cuadrado del primero mas el producto de la suma de los no comunes por el común,
mas el producto de los no comunes.
+(b)(x)
=(x)2
+ab
+(a+b)x