Algebra y Principios Del Análisis

7/26/2019 Algebra y Principios Del Análisis

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eta_asde la

T

a.n.e. TableEasLa numeración sumena(sexagesimal) ycunei(ormes. el _lgebra(resolución deecuacionesdelOy 20 grado por losbabi lonios).ecimjento decorrespondencia s

al 600 a.n.e. Numeración decimal por yuxtaposici6n ;

nSigloV1ll-pnnci -

50-450 a.n.e. _imogeomet_ade lospit agóncos.Irra -onalidad de; inconmensucablesen-as(consecuenciadel teoremade__oras).

lo Va.n.e.

EO_OROdeCirene, el matemático_cubrimiento delairracionalidad de:, _, ..., _.



_

Na.n.e. Teo a delos números: ARQUlT_ ham_sibilidad deencon-

Un nÚmerOentefOCOmOmediaOmétnCaentfed05 nÚmerOS en laF_Ón

CeS

TEETETES (hacia4 l O-368 a.n.e.): Teoas números; estudio delosirracionaN

o- HERmoT_Mo decolorón; cont_nuac_ónde1ostrabaJosdeEudoxo y de Teetet

a.n.e. EUCLIDES: Teoa delosnúmerosirra-les.

_QUlMED_: Teo_ade_os números; 'emadenumeracin por clase; des-ubrimiento del c_c. ulo inrlnitesimal.

O< _ _ 3 l 070



_ _ _ _

ONlO:Nolacióndelosgrandesnú-ros; n=3_l4l6

-I a.n.e. HIPSlC_: _ogresioneseeomélncas_

o _ d.n.e. HlR_CO(l6I -I26 a.n.e.): _trónOmo,izalasFraccionessexagesimalesparar losngulos (estasfraccionescons-ados'',tOS'' Y''SegUndOS''); PreCUrSOf dela

ucción aIa_itm_tic0 (auetendráunagran innuen-n laEdad Media)_ONde_mirna(l20-l80): MposiciónconocimientosmalemáticosútilesalalecturadePlatón. Desarrollo de

I y IVTEN deAJejanda (siglo IV): CálculoFraccionessexagesimales_eIC.J_ _tfaCCiÓn def_CeS CUa-

_SU_la_ HIPat_a(mUe_aen 4l5)_

ma Caam05a'OFVTE (hacia325-QlO): Autor delas

eoremasobrelateoa devy vl losnúmerosy, pnncipalmentet teoa de

acionesdeI Oy 2^ grado (sin dudamicas).

MlNUS deLa_sa: _blicauna_tmé-_na.

-



ZADOS

eI Siddhanta_ del matemático hindú Brahmagupta,llamado

hind, por Ja'qub ibn Tariq (m. 796) y al-Fazari, delgani (m. 833.), conocido en laEdad Mediacon elEucIide_ por al-Hajjaj.

mad ibn Musaal-Khare2mi (o _-Jwarizmi),deBagdad: in-quetraladela resolución deecuaciones,titulada:educción) , dedondeseonginar lapalabra''átgebra''n ala palabraálgebra.si (m. 883), el Almageslo y los_lemenrospor TabitHazan y Muhammad Banu Musa(reanudacin de

con comentanos_ trabajosoriginalesdeal-Battani (877-tili2adahastaentoncesen tne_nometja, por ladeIatngonometa esFérica; deAbu'l-WaFa, llamado

cionó lat_gonomeljaintroduciendo lasnocionesde

tado deálgebrasobrelasecuacionesdel tipo _n+b_ c.987- l 038), descubrelapruebadel nueve. Al-Biruni

cas. AJ-Hajjami (l044-I l23) abordalasecuacionesnicasyestudialos''postulados'' euclidianos; dio,

m. hacial l23) da ciertassotucionesgeométncasparatascación importantedelas ecuaciones. Al Tusi (l201 -srRctángu Iosy unatraducción delos_(emen-' declina. El soberano UlugBeg daunas Tablass. iU-Kalcadi daun proced_miento deadiciónador FueBahaal .Din muhammad al_Amili 1547_



_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

_,.,'N'__. ._..:Y..:__''_._o,_S'''MA!'',!.TEMA-- _-_ -c-.'''o''''s.;D_'__E__-_s' rG.Lo,' _' _AL.' s_GL__- xn!._ - --'---"-

ecisione_sob_lateaíade. l_snúmero_

), traduccionesdelos matemáticosárabes(y, atravésde

I l 75, despuésdel 240) introduceen Europaoc-mticos árabes, su sislemadenumeración y sus); estudialaspropiedadesdela seneO,l, l, 2,3, 5,

mlnOS qUeepfeCeen. UOraeVa etltUlO

349), arzobispo deCanterbury, teólogo, seinleresaenlageome-telanoción de loganEmo.introducela' representación deun sistemadecoordenadas

mo alemn, per Feccionalatrieonome_aplanay esféncaOSe_UbtiCafa, haS tal 553, _O_ StUmamente).

nparty sur tasciencedesnombres_ uso delosexponentes,reglarsor delanoción delogajtmo.atado deajtmélica, en el cual emplea, porvezpjmera,

n del88 _uaone8 de30 y 40 grada. _ .. ..'ción delaecuación_+px=q.tartamudo'') redescubreel método desolución de laecuaci6n

á_cas, ycomunicasu descubnmiento aCard_o.icael Arsmagna_ tratado en el cuat dala (rmula eeneralllamadarórmu IadeCárdano, utili2ando el método

uerse, queconlienelaexposición desu método deo.

ntroduceel signo."), discípu lo de Cardano, descubreel método desolución



___________,________,_ _ _______ ________________ _____ __ ___ _ __ __ _ __ __, __ ___ ________ ________ ________ _____ _ ___ ___ ______! _____ ___ ____ _ ___ _______________ __________________ ___________ ___ ___________ _ _____ _____ __________ __________________

athematicus, quedasu formadeF_nitiva alatngonometria.

publicasu iMthmetiqueintroducci6n dela noIación deci-deun sistemadeunidades Fundado en el sistemaco).

mpleo de letraspararepresentar cantidadesnumncasncógnita,sy delasconsonantesparalascantida-losmétodosde cáIculo (haslaentoncesexpresa-

cas. Numerososdescubnmientossobrelaleoa deión del número n medianteun producto ilimitado

problemasdegeomet_a.

,,,. ,,_, ?_ ,_,__n_,_,,__,__g,_?,_J,_,_?,_,,_,?_,,_,?,s,,,,,0,,,,?,_,J_,_v_ _,__,,,___,,?,,,?_ c_v,_,_,,_,,;,?_ __ _.__ x,,,,_, ;,

es), del cálculo di Ferencial-integraI (Leibnitzy Newton),rena-eojadelosnúmeros (Bernoulli_ Pascal).

cipiosdel siglo XVlI: Laen0_ delageomelnae, pnncipalmenleadel tratado deClanus, aquien sedio e1 sobrenombreclidesdel Siglo XM''.

Geometríedelos jndjvj_ l637_ DeSCa_eS: InVenCiÓn deel cálculo integral. la_eOmeta analítiCa(en elfaCio eS el DiS-

_ PaSCal: _C_be(a lOS I6S) el Tf_t0dOSObrelaS CÓ-

étic_ in_nitofum,o jntegral. Fófmulal6_2-l6__: Tr0b0iOS de DeS_r-ues, queco_stituyen labase

uguran lageome_/asupe-



___________ ____ ____ ______ __________________________ __ ____ __ _ ____ _ _____ ___ _________ ________ __ ___________ _____ _ __ ____ ____________ _______ ___ _ __ ____ ___________________ ___ __ ___ _ __ __________ _____________ ______ _ _____________

athematicus, quedasu Formadef_nitivaalatngonomet_a.

0) publicasu iMthmetiqueintroducción delanotación deci-n deunsistemadeunidadesrundado en eI sistemao).

mpleo de_etras pararepres ent_ cantidadesnuméricasncógnita,sydeIasconsonantesparalascantida-oslosmétodosdecálculo (haslaentoncesexpresa-icas. Numerososdescubrimientossobrelateoríade

n del número n medianteun producEo itimitadosproblemasdegeometa.

?_g,,, ,_,u______q gq, ,e_ __ ,,,,,n,__0__ev?m,m _ _,,_,__ _,, ? ___ _v,,_, ,,?_, __ ,_,_,_, _, _ _

tes), del cálculo di Ferencial-integr_ (leibnit2 yNevvton), rena-teoa delosnúmeros(Bernoulti, _scat).

cipios del sielo XVII: Laanza dela geometjaa_e_ pnncipalmenteadel tra_do deClanus_ aien sedio el sobrenombreli desdel Siglo XVI''.Geome__adelos indi__ l_1- DeSC_eS: lnVenCindeel c_culo integral. l4 geOmeta analítiCa(en el

ßfefaCiOeS el DiS-

639_ P_Cal: _Cnbe(alOS l 6) el TfatadOSObrelaS C_

méfic_ in_ini(orum,_c,1o jnteg,a_. Fó,mu_al6g2-l_5: Tr_b0iosdeDesar-gues, queco_stituyen la_sectivaeguran lageometfl_asupe-



_ _ _

scal: _opiedodesdel triÓngu Io l656. TrabajosdeHuygensso-(ßrellml_af al CálCUlO1nte- brela cjcloide.d

ddeunca/lculosobrelosqueos.

DelaHire: Nue,vo méto-assec.

método parala

UPertOr),

lli: Cálculo integral_ (so- l690. leibnizintroducelapa-acionesdi Ferenciales, labracoordenadas.eBernoulliJ.

unaFuncjón noarsemásdeunavezen el

SepafaOS IalCeS realeutivasdesu denvada. 16gg

c(o,'_es.sinnni_a-



________________ ____ _____________________________

: ... ...... _.. ' ,,,...5l__,. L, o.:._ _XvI... ' .__..I.':_ D'_,._'',,.:,_ , ' '_'- ò.____: _ _'Q:.D.._._ ._!. '_.'' '.:--- =._._ _:---,-s,:--_--,--'_ ':';:..:;.' '::: :: :'::...::._;;__=__- W:-___'- -___Y':'::'''''..::'''.:'.'':':.:.''''''.'-'-''n-_'----n_-' :"-O::

ados, lamayoríadematemáticos_ en el siglo XVI I I, explotaronon: El c_cuIo diferencial einlegral, queseconvie_eentantosobjetosmalemáticoscomo lasfuncionesde unaométncas, IasprobabiIidadeso lamecánicaceleste.

cionando el Análisis,, seainvenlando mediasparasimplin_carer_nicionesy desus razonamientos, con lostrabajosomela nueva. Heaquí lasetapasesencialesdeeste

stumo) , s_ obrelas "leyesdel azar''.

ectae( jnuena(Mélodo delos ''incrementos'' direcloseejedeunaFunción de unavariablereal (Fórmula

+R,(x)

onesprácticasdel cálculo deprobabilidades; teore-

esdelaforma

málico suizo Euler, sobrelas Fraccionesconlinuasaspectosdel Análisis_ lostratadosdeEuler sobrerablesmemonas, artículos, etc.; proporcionaron

XIXun matejal cuya_que2atodaa esmaniF1estaen

doublecourbure.

ginariosen t_gonome_ay establecelaFórmula__

atus. Saccheri esel primero en establecer un métudc7robar el valor del postul_do deEuclides; e__ _ldel si__lo siguiente.



evanacionesc_ problemaqueseplantea(y quere-Icular lavariación 6/ de ciertostiposdeintegralestesis en queeslafuncin vae asu vez6y.nimen( peti(s. Estetratado eslaobramásimportantedeesu lralamiento medianteel cálculo diferencial e

uIbes_(_éb_ques(uno delospnmerostratadosdegeo-n sistemadeecuacionesdepnmer grado (mé-

erminanles.0lis.ticas.

arían alageomela descnptiva (aprox. l 799).meta esFénca. TrabajassobreIascónicas.

ecuaciones dequinto grado., introducción del conceplo deinvnanIe. Laobradeuler, pero sus fundamentossondeun ngor que

gica.ecáica celestetratadacomo unaramadeanálisis.Es

os (vanos) p_ademostrar el postulado de

n_íticas( l 797) y Lecanssur lecalcul desfonctions( l 799).noción de función un signif_cado má general

ylor (hacial 7 l 5J.

me_edesrripliue.



_m,:^'\____,,?

oluciones, tanto enmatemáticascomo enlosoEroscamposdelugar lacreación del álgebramoderna(teo a de losgr uposdes(Gauss, Riemann_ Poincaré), lareconsideración delageome-eI análisis, lo cual tlevaaCantor ala elaboracióndelaleoría

snúmeroscompfej0s,

s_dio de_scongruenciasxf_en_adel_ Sef'_eSt etC.

nC_On (eeO'

et: rr_ilédesprDpié-juesdesn_gures(edi_ca-

cionessobrelaslransFor-esmedi_tePolaresreCí--

ker: lntroduceen geo-ticalascoordenadas

o delasrun- l829. Lobachevski_ Lageometría



_ _ __ _ _ _

ión por Liounlledel l833. Boly_: GeometríanoMathémaliquespureseuclidiana.ées.,sso,. Teon/ede_aproba.

ones,na(,_tJ-

,., o,, e,t,e

ntes.

Slaudt: GeDme_ade

n:_studiodelasf un- I852. Chasles: Apercuhjstonqueeia. sur Iesmé(_odesgeomét_ques.

Weierstrass: Funcionesde l85_. Riemann: Fundamentospótesjsdelageometrí_

anOeUClidiana)_

57. _emann: E_in_c0cjón deogía(llamadaenlonces



usMe: Noción degru-fo_acionesy descu-latrans(ormación

rrea l (l850-l923), nacido en Tucuman, Lambayeque,cuandouevo mélodo paraelevar un polinomio acualquier potencia.rsal.al deLosaday Puga, ledio pro Fundosestudiosal descubri-'polinomiosnll areal'', considerándolo realmentenuevo,''a b-

aun p_ael caso deun binomio resultó másfácil,seguro yrápido

re: LasFuncionesFu-Funcionestrascenden-nvanables

n ser l.Ds nú__, ?- -- _ __ jt_ _as__onesi' ' m

= _ _las_on' ''___' _os:_ : ' ' ''; '''. : :__ _ .. '' "lerra; Direrenciale sh - l899. Hilbert; Fund_menrosdela!,í4.



usieron en orden el conJunlo deconocin_ientos matem_ticos, mos-ntreel Algebra_ el Análisisy laGeometjay crearon-según latico._''. Sin embargo_ seabreaunac_sisgraveen el Siglo XX_que

n los aos 30. Trasestaépo_a, los esfuerzosdelosmatemáticoslasestructurasalospro_lemaslgicos y a ciertosdominios

dholm: Teoa delasecuacionesintegraleslineales(''deter-

eseue: LeccjonessobreIaintegracjón y lainuesli_acjóndentegr_esen el sentido deLebegue'').

omadeZermelo._init2; Fundadordel_gebramoderna.

neraljzados_ concepto debsoluto.i.

cionalidad Alemana, elaboró alo queha dado en llamar eln teoremadelógicay retomando losinnnitesimalesquenosharáacadesarr ollar todo el c_lculo '_nr_n_'tes_'mal, s'_ucionespueden hacersedemaneram_ssimplequeutiIizando el

andelbrot, con el apoyo delas computadorasl ogravisual i2ar diver-teirregularesoriginadaspor alteracionessucesivasdefunciones.

ales(del latín FRACTUS; quebrado o roto sîno qu_ hacever laescnbir el mundo natural. Aunquesusteoríasno fueronasumi-lic_ sehaido introduciendo en rnuchasramasdelaciencia,física, informática, economía, lingüística.incluso la psicología,zay lossis(emoscaótjros.delaur_iversidad dePrincelon, demoslróquelaecuaci_nZ v, n>2,llamado el ''u Itimo teorem0 deFerma('' pl0teado haceI Oaos delrabajo, aplicó lo__ lrabajosdelu.sjaponesesSh__muraueocupacien páginas,ho Manco, resuelveproblema__ deecuaciones di Ferencialesot _' _ouquet en I 854, su traba' jo y esFuerzo fuereconocido_. 'n_o He_,_-riqueC ardoso.



dm ;q;'~__ ___ _,, wg_'_,_ ____ ;' ''___,__?_''' _9 _,__,y_,,__',m_ _____ ?00'_:n_'n_ ,_,_ _.o, , _'_' _:''_ __ __:_'__ .,,__.__ n' : : _ 'C'__ , ,._''_ _'9'_ '_'_' _' __' , ,, ;, , __ ____., _' :__'.,

uadrado perrecto v, suscarasson lnángulosequiláteros

recibeperpendicularmentelalu2 deSirio y al pasar por elión qu_terminaen la cámaradel Rey.

queconducealacámarasubterránea; paraletaaellahaycialaestreIl_ polar dela_poca(AlradelaconstelacióndeleI mundo_ acau.sadel mavimiento debalanceodelaT_erra,y espreciso quetrans curran veinticinco mi1 uchocientos

ríaaladeentrada, tacuaI recibelaluzdelaestrellap_larejdiano.

roporcionalesa3. 4 y 5, numeros_uesegún PIutarcorespectivamenEe.

unaespeciedepiIón degranito rujo pulin_entadc_tallado enue_7emil pulgadascúbicaspirarnidales, queesun décimo

adas(rracción del ejeterrestre), por la den._idadmediadenidad depeso en la esc_ladelapirámide., y el volumen

u capacidad y coinci_econ el del ArcadelaAIian2a,que,araguardar lasTablasdela Ley y cu_'amediUaano_aenel

iegosatnbuyelainvenci6n deIageometríaalosegipcios(si-necesidad devolver aencantrar laslímitesdeloscampos



_-ö' _í1___ï__.ì_8ì2'j' .'^_^_-V_ _

ent el amásEj st ey l amentabl edetodaIahi s tori adel a

le-CJrand deRas, dondelasmateriasprincipales eraelgnaturase ran mediocresy decidió seguir un curso optativoida, 7eentró una exaltación sin precedentes: terminó en

s. Lev, ó y asimiló atodoslos maestrosde su tiempo, taleso creador lo ltevó ahacer descubrimientos inesperadosado, con Iasque habían tropezado muchosmaEemáticos

radicales).

conocieron paranada s_ Eale__Lo ni su geI_io. _st_sson losres:

eo claramentesu engreimiento,. ..ha descuidadogran partese _ámenes''.

_ lo hevisto Lod_via; no lIegar anada, su trabajo solo

lasituación empeoracadadía''.

otrasasignaturas v, ques'e dediqueexclusivamente alase haapoderado deeste joven, aquí estáperdiendo el

conductaes pésima, su carácter muyreservado''.

ue_ lamejor escueladematemáticade francia,y sepre-asmreeunt_s, F_einsolenlecon losexa_ minadoresy no Fue

eC ienci asunamemori asobrel aresolución deecuacionesas malemáticasmásimportante sdel siglo''; desgraciada-rabajo; esmuy probablequeCauchy, el principaf mate-

l_'techni_uey por seeundavezsepeleó con lose_aminadorese. Enq_iô un segundo trabajo alaAcademi_a; es_tavez Poisson,

declaró _l trabajo "incomprensib_e''.



Fueranalmente admitido en la''EcoleNormale'',de menoro connictoscon losprores_res, pa_icipó en tuchaspoliticas

áticas, sed__dicó alafucha re__olucion_riav. llegó aser u__ líderseenamor deunajo__en (''une_uquette de_as étage'') que

corta y dramáti_-a_ salió delacál'cel el 29 d_ mav.o d_I832 yíc'ulo (sesos_echaque _3 coquete_' laprovocacióna duelol aos.

unassesentapáginas dematemáticas. En ellasfundando así el álgebraabstracta moderna,que ibaamatemáticos y defí_sicos.

aIemn del sio__o _, dijo deeste testamentooriginalidad y laprofundidad dela.sideasque contiene,so detodala Iiteraturade lahumanidad''.

frasede su ú_timacartapedía: ''Conserv_d mi recuerd_,vidaparaquemi paí s_onozcami nombre' ' , pueselioso le_ado alahurnanidad.



0__0_v___o_e00_v___0_________00_0qo__________c_c0_c______9__v_______e_on_c000____00coo____o__D0_______0__0___0_o0_c_o0D_D______0_________c0________0_0___00n__D________________________e_____o___o____0_________D__D_______0___0_____e_______o0__oo_0___o___D__________0____e00o_0_____0_c__________0______o____00_____0__Do_____0___o_o_oD__D______0____0___oo_o_0oo0_u__o_0___on____00____o_o0__ce__c______________t_o___o0____oe______cceca__9_____v_0___c__c_0oc____v_0_e?_r___c_____o_o_o___0o,_oe0__r_____________0_0____00_0ct0___0r0?___________t_a___000_0__c__0__________________________o___,___0_0__o______o____________________?_________________0______t____________v__oo0o___o_o0___o___________o0_0oo_0__o_____o___0_c__o_0o_o00o_o__o_?_DDaD___o___D____0o0______0_0__0_o0____c_____0o_____0__________D______o_______o0__0c_o__000__0_D____0aR_sht tad_ __ _____r_____n_0'___t_____ ____________n4___tt_____'______m______________m_1____tm_2____t_th3_v________t_________ __ ________?____)t______>_____r__________ _____________/_ 0

_,0' 0o0'_ o0,_'_0_, ec',, 9__'_,' __ai_n_'_0,, V_'___o______'_0_D __,i_,0 '_c ,''__''v_, '0___, _'_9,'_',o_0____ '___;' '_,",''o___0''_^ '_0 ',__-_ __J_;m'__- ,_.__ ' _____M_,_t_!',___x__y__t'm1___,0_0_,____c,ce'_o__' v0_'__,____,_'_'___,o,,o___ __' '__o__'_,0'_'_o__,0o_o_,'c, _c_0___,_'_,___,_,_c _ ', 0'__ ___, .m_ __ 'l 3n_,_n ?^_v__, _,__,_'__.x_;,_?__o___ _ '0 ___, _ __, __D, ;_ _, _ __ __,v i _' _' _0_, ___ _ _,,_o _, __ _,',o0, __, __ ', _,_,,_ ,, _,_' _ oo _ __,_ _ _ _0__ _;,' ' _, ', _, _, 0oa_ _ jv U c___ i __ ' _' _ ' - ' } W' __.._ ' 'n_ _0__ _,_' 00ca_' ___0_ __0_ ______ _0T ____0' 'a_,___ _0a, _, __D,_' __ 00_'D__ __, _',00 _, _0 _'_ __,'' ___,'_'_0_'_0_ _', '_,, '0oa_~_0__o o ''00- M _. _ __?,m' _- - ' ' - - ____ _' _ _?_, '_! _m_____' __ n,, J !,_ ,0' _0__'_, 0_______ '_,'_o__'_,'?,_,' ,_'_, '___,0_'_0 ' _, '_o____'_________'_0 '0_D, _'_0_' ec0___' __ X/_- 'C - !,_bf_ 1).-____- ___.14_, ___j__9__a_D _T, ' _o00_u_0 __ ___o, '_v _ o_n_ __, ' __,'_,,_ _,_,_ 0_,_o_ _ _, 0,,___0__ ___L__o',_0_o o _0o0 _'___''o__e,__,,, __%_ __o 0,0, _o _,__,__ 'a0oo00o0, ' __, _ %__.y____x _ cK,__11q_,t; i__?.___mL0_0_,__,_,_' _ ___'__,m_,,''_0___,0_,,o0, ,_____00,o__ca____0_0_,,Voo,o 0_,_'__,__,, O'0 ___a_0_,_,____,,_,_0 _, _0_,__, ,,''0,v0_'0_a____, 'v,,''_''_,0__ pa__ro ___-,,:-x__ ___________im__,___.____'_

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llG'PYSOp l'01lOcllIl IeJltO.n pc_Jrn,lecido íJlriJJ,4J,,pJJte lignrJo nIn rco Iogín .?' n InJiIoso_rn,nbínJ, /,pcI,o dlrJ_nJrreeI J-_JJaciJJJic,,to, su_J-erodo e,,el re,7-eJ7oJo,JJín, /,n_ín97 __i_o z,iol_J,JrnJ,JeJlrecoJJJbntidnspoJ' In ig/esin .?7 Inre,J/4bn relr lli/' e1J,,J, coJ,JirJ,ro L'o/J,J-e,,tc rodo eJsn_pJ' des,Jcianislndn, InsposicioJlesieIieiosn__ deJsigIo ,__I ,1o_nz'oJ_ec_ieyotJ

nJf7__iL'esn Cnli Ipo, Ivp/eJ_, DcscnJf_?s,Lei_J,j__ _' ,\_eT__ro,J.Jr'oJl._ic'rosfeoJó_i,_os, _?'4 _JJeIn i__l__si4,_,rc /ln_í4 coJ,de12ado47l Jiic'o eJ, s,r __isióJl d,l 7JJlJ1rrIo. DiscípIJlo de_1istórelcs.,,opllede

J_c_irJo poJ' le_?'esJJ,4/e,J,ár ic-nsJ_, si,JeJJ7_nJgo, Iossn_iosdeI sigIo.?' c_íI,-Jr IopeJfe?c'c_io1lr_/,du deJJl,lcJsrJ_r2,,rJlle eseI soI e7 _,rcesrá eJJe_I

e,_R9lo es7r1JIí_J/i_o c._rnJ,c_ndo. SiJ, eJJ,_nJgo,pnJ_n In JI,n?'oJ-índc /osJ-cdicJJo ''. _ In JJll,,J1edcCJisriJ1n deS,re c_in, e( __,_rpo desnbios_,rJ_opn, peJ_segl,irIos.J/-ecl_eJ,le1J,c1,repo/' Jn ,-o1,l,-n ,-e_oJ1Jln.PeJ-o,,Jtip/icnJ, _J_ncinsrl lI,l nJ/ligo deDcscnJ1es, eJpndJ_e_'__erseJJJ,e,densJJ,nsJ__7_'o Ilrc'io/,nJnins, e,J,p,vn,,do pu_ InsdeGnJi Jeo+

I _j8_j. SedPdicó n csrJJrJiaJ'pJ-iJlcipio__ de_J__JIíJJ7,des.Jte, es(edis,-ípJr lo dcCopé,1liL_o J__iJ,lel_pJ-Rtrl el JJ,o'_!iJJ,iel,to dei/_n,lrJo r,IJ-ededoI- deI sol.icns_JJ7 eI sPJ,u d_?/r___ cieJ,L'ir_s.?' In ,-eIixióJ,.Rc_/Jo, In g_?o Iogír_, Ir_s11JnfeJJlá/ic-ns_' In Jj/yso__n,dolnJo dc lr,rc'r/_jJJn de_esc_nJ1c._. _lr Jlro coJ, _!_'e1L_toJ,dcsnJ1-oJJnel c'IL' , l Jo

lI(.



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f

_ _ _m_\ __=; _-"_____"_-_uesom,, cons,_,.en,esde___e, ,ec_o, eces,.,,_

b_icosde_ __ebra_omo:s (adici6n, _ust_acci6n, multiRlicaci 6n, di_i6n,

r en el de; __,_0 del texto. '

, parado para_provechar con mayocer_cenc ia el desanollo ___,_-: , _''''X''

artiremosdealgunosejemplosprácticos.

los. Si los junt_ramosen unasolabolsatendríamosl2ar delasiguienlemanera:

uisiéramosjuntarlosen unasolabolsa, sólo diríamos: "sed ía eFectuarseoperación antméticaalguna,

elementosde un mis_no conJunto.

obJelo o cantidad deobjetos,trasequivalenlesal nombre.

esar delasiguientefonna:s_anciassetendr_ 7_+5_ y se obtend_aI_.



_ __ _ __ _ _ ____ _ _ ____ _ __ _ _ _____ _ _ _ _ _ _ _ _ ___ _ _ _ _ _ _ _ , _ ___ ___ __ _ ______ ________________

etalladamente. \-asdebenser semejantes. __ nnx sí y sólo sí x tieneel mismo exponenteen'por laIey distributivademultiplicación respecto alaadici6n

ones_ - 5_

lIar el eQUiValenlede. l. A+ BIIl. 2A+ 3B, ,__

, _ _3,s(') ,+ (-5 _

_J-7,-5y')=_-l4xy_lO_'0)_ + (- _o_9)_-

el lector. ,;



_ __ __ _ _ __ __ __ __ _ _ _ _ _ _ __ _ __ _ _ _ _ __ _ _ __ __ __ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ __ _ _ _ _ __ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _

ar dea_

2+ 5ab + I

ab+l ';__ __.. ._ _-_.... N_. ..... _ ........ ... ..._:'

_

+ 5ab + _ _ 3a2

mPlO8

b)J+3b) +4aJ

'lf_ lOS afeCtadOS

+(2



__?_0___0t__0___0_________\0_0___0__)____2____c__0______0p_n_____3__)__o__+0(0_00300)__00__00___0_000_0_03_00_0_00_00__0____0_0_0__0___0______________a___0_5___a___0_o_0______0____o_m0y____(0____0__0m_____________o+____o______+5_)_____000____a____(_0__0n____00__0_2n_n____t_mJ)____0_00500_0_+0_00_000o+02_000_00_0_0__0_000_0_0_ _0__0m___0__0_(y_0_0_0m____)___0_+_0_________+__o__o____n__nn___)_00y00on00000__0__0__0_0__0__0_00_0_0__0_o0__00__0___0__________0____________0____0_0oo0o_o0_o_____ _ R2p_a(a+2__nym32 a_m__+____n 22n_ _/As_3n3)_(__ma_a_3n _t3+_a+anmyan6_ a_+man m6na2)

elamultiplicación como:

)(a3b+mn + abmn_)

_,''_'__,'''', '''_,,_'0''''''''' ''' '_'_''_ __'''.'_'_'''''___'__' _ __'_'''_ _____*___' __"_ _'_e__%''__ ___' __'_'_____''''''__'__'_d_,___D_ __ __' _ _'' _0__ _ ' ' ^ ' ' ' '''_'__0, 0 '_- _'' '_,_..; '; _'' _:_ _ ::._, ';; ___, _ _,d'__d _0'_D,

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___ _ _ _ ____ _ _ _ ____ __ ___

x+3)(x-2)(x+l)

ducido es: I4x - l l



_ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ __ _ _ _ __ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ __ __ __ _ _

ndo lasequivalenciasnotables

(3_-5Y4)2 = (_)2-2(3_J(5YQ)+ (5Y')'O_y9+ 25_

) (__ 5y4) = (_)2 - (5v4)'

= (2x)2 + (1+5)2x + _.5



__ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ __ _ _ _ _ __ __ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ __ __ _ _ _ __ _ __ __ __ __ __ __ _ _ _ _ _ __ __ __ _ __ _ _ _ _ __ __ _ _

D..,_D.,..,..,,.,.d.,..,...,.o.d...,...,....,,...o.........,.......Sedebetener presentequela__i,.i _0_,,.._,.D__''_,:_'_,___:'.__::'._S'''''',:_::_;_,'__',''''_'_,,.''','_''''''_'_,''''_,''_'''_,_'_'0'''''''''_,''''''?'''''''''''' ____''_,,a'____0__,,0_,__,__,_00'_0_0a0__,,i00,o0__'0,a0,o_0_o0a,'__,o__0_0,,__0,'__,,'___'_0'__'_,'__'_''__0___'______ii',',__,__0_,0___,'__8_'_,'___i_,____'_,_'____.__',,_0___,._e'___,____,''_'__.i'___i_'_,i____,_i'__'_.''__i'_,i___,i.____,i'____,i d!V!S!Ón _rCerO' nOeStá_'___0'''0____i''_'''''__..'_.__.__'__''''__...'__',;'._ _'' t' _'____i'''_.._,'__,___,_,_____i'_,_O..'0,0o____' '^P___...._.=,._'_''':'=_'._''''''':'''==......,=_.ao.'_.._.._ii.i_ii''_.'_..i'_._iii'_._ii deF_njdoior lo tantoel '_'_''_._.:''_:'_. '''''' ::': '''.', ::. '__:'_'_.'' ''''_.,_ ''c' '' '''' ' ' '_'_ ''''' '''' '' ''' '''' ' ': ' ' ' '''' '''' ''''' "' '' ' '' '' '' ' ' _ :; __ ' _ ___ ''. '. '...' ''... c: i_, _ ___...__,,__; ___., _ 0 __,'_.,.,0.._,. _._9.;._..;_..;;._:_,!v,::.__.,';,,_,,:_;,denom __nadordebe 'se, i.__,_.iii__.,

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anotase

_____.'__'_i___'___'0a'_'''_da'_____,o.ida____'_a0'_'_0__.0___.'_.,_,_,_,___,__,0___?,___0,_e. __.__,__,__0i_____,_e,_,_,_,,_,'_a0_0,0,___, 0__,,'_,0'_,,'__,,_'_,_i_+ b + b a+ by ",_i0'''D_,x(x _ 2) _x_0_^ _P..__D.____'___'''^__'_____i^_______ c+x_+x _+xi'__,_ - x ______:,'__.'_,'_.'__:'v_'__:','_'_v''__''_''_._'_,:_.'''_,__ Y_ i__'',___,

s

utilizando expresionesque seconsiderarán bien

dividiendo ambosmiembrosenlrer)



_ _ __ __ _ . __ ____ _ ___ __

-l

6_ - 5XP(X)



_ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _

o Efectuar

+ c_a2bc

=_ - l



_

)'_2x(_x_5)+(x_l)2

3J + 2x(x+5)

entesexp Fes_,

I

J

4



_ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

n - l. + 1



___ _ ______ __ _ __ _ _ _ _ _ _ ___ _ _ _ _

M + 5y - _ x x

_l

, __J__ N



C PÍTULO

Leyes de exponentes

rquímedes (287 a 212 a.n.e.)

Sin discusión fue el matemático griego más

genial. Vivió en Siracusa de 287 al 212

a.n.e. Su padre fue el astrónomo Fidas. Se

atribuyen a Arquímedes numerosos

inventos, entre ellos el Tornillo sin fin

detinado a traer el agua subterránea

de

las

minas

de

Egipto. Participó en la defensa de

Siracusa. La originalidad

de

Arquímedes

convirtió

junto

a Platón, en la flor innata e

genio griego. Descubrió las propiedad

del número

rr

y las enunció en el l it

Medida del círculo

En este libro existe

importante teorema que afirma el valor

n

varía entre:

3 10 3 1

B · 1

d

. t

f

.

71

Y

7 .

usco

os proce

1m1en

os 1s1c

de los descubrimientos, dando ensegui

una exposición lógica y demostrativa

de

resultados obtenidos; llamaba no a

intuición y al tanteo, sino a la lógica físic

matemática.

En su teoría

de

los métodos, anticipándo

en 2000 años a Newton, descubrió y usó

conceptos básicos del cálculo integral y

el uso

de

sus problemas anticipó

creación del cálculo diferencial.

Murió asesinado por un soldado romano

la cárcel. mientras resolvía un problema.

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sp J_só e1_ _J_rDpn In JlJ____e_/_n_,'ó_l _lJ14,,n.p, y ,s-PisnJ1o,nl __o/_'e/' de,I1J InJ_o _'iniepo,' ,_J_i_'n _' eJ

ndo _i_erAbaci do1J_ee_'poJlír_ ._'pJ_poJlir_ el_JpIenJ' InI __e_ In /lnb/n1, npJ-_J1rIi_o deIosIlixlrIIícs.?_ r/_JeJ,o

_1l /lec/l o li_'o Il_cioJlnJ_io, _ebi_o n _IJeI_o estnbncJ_IMi ttissigIospnJ_n _J_eJ,_iJ_n c'o,_oc'i_neJJ_o_n

7cn pI-ecolo1IJbi1In, IJIs precisnJJleJIteeJJ1r_los1Ile_ glIeellose1J_plen6n_l eJ_ sJI sisl_I,n _R

es_I_'_e,_cio1JesdpI geI_io IJ_I1IJn1Io _'n _I_e_-4_'ins1nl ln, ndoplJIdo5R ln dpci_IInl _'igeJIrenIíJJe1JI_IIrslrosJ-acioJ1esnni_IIéJicns.

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e5 _ _osteoremascarresP0ndjentesalos _Pon_ntesde

en eC CU0 C_n Can l aeS mUy peQUenaS OmU y s_

mresdecacientes, praducto5, potenciasora_ces_; _

nentea e0onenteen laresolu_i6n delasecuacione5

capíEulo atravésdealgunosejemplos:n papel muy importanteen lanotación decimal y sellamandicar estaspotenciasesmedianteel uso deexponentes:

za laquintapotencia". El numeral 5 en lO' sellama

ialesestáen e l trabajo cientíF_co, debido alanecesidadmuygrandeso númerospequeos. CitamoslossiguienEes

estáa25.OOO.OOO.OOO.OOOmillasdelatierraquepuedea25. l0'_ millasde latierra. .orteamencano RobertAndrewsMilfikan2gdedujo quelacarga

ial?adeo Avogadro determinaunaconstantellamándolael

nencial en el trabaJo cientíF_co.blemadeastronomía. Seacostumbradescribir lasdesllamadasaos luz. Por deF_nición, un ao luzeslaas}. Si laluzviajacon unavelocidad de3, l _ lO' kmrs.o _u2?



_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ , _ _ __ _ _ _ __ _ __ __ __ _ _ __ __ __ _ _ _ _ _ _ , _ _ _ __ _ _ _ _ __

_;;_:x"v___ ,,'. ,__,,';_v_,,___,' _ ,__n,\,_ _ .',;:'''_'

dicael num/ ero devecesqueserepi_e unaexpresi6n

'._' ' _ _ ;,, v___';,'x__:_'_,5"'"Y

/ '^__ v_; . , , _, '

úmero

exponentecero eslaundad.

e_aci6

esión no esta/ der_ida.



__ _ _ _ _ _ _ _ __ _ __ _ __ _ _ _ _ _ _ __ __ _ _ _ _ _ _ _ __ __

invierte(inverso multiplicativo).

os radicaJes, dondeel denominador dedicho

a



_ _ _ _ _ _ _ __ _ _ __ __ _ __ _ . _ ; _ __ __ _ _ _! __ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ __ __

_ ' ': ., __' '_?''_;' .. _^ ' -_'en hallar unaexpresin Ilamadapo_encia,pa_iendo deo_as

mente.

3_ __-4 ._s=x__ .x___ =__' _

_o o,

r1al de50 _,_



_ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ __ _ __ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ __ _ _ _ _ __ _ __ _ __ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ __ _ _ _ _ __ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ __ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ __ _ _ _ __ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

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0',___,__'_'_____' _,__,_'0'_a________i0_____do,_,___..__._0_, __,'_o,,,___Do,___,,_o_'_____.___,__o, ,,'__o,,__,a,_,_,___,___,__? ,.....___..,,_9__._ L o st eo r em as exp ues t osy _i_i____'_,____.~__'__, _______'_____'?'''''_! . demoslradospa raexponentes ____i.,._'i?,,_:__:_''' naturales, puedenampIiarsea '__'_,_''_,_,,' _D_,,_,troselementosde__l,__,,,,,



e enn________o___tTa_Epoa_____r________E__A___________o_D___D_____0___ m__y__________+__y___________________________n_________________________a______________0____________0__0 _N_________________________________0________________0__0________________0____0________0_____0__x__00_________________N0_________p__________________________________n0__D_____________0____e___c_t___0____a____y____os____o_oe___N_______n__________t_______0_n_________________0__________e_0>__)0s2__M_____________Ty_p0__a_____0_E__r__________0__e___p_____9__A____o___ooo0_0n_ a(t Ro)__n_)__E__c__e_s__3A__e_________>___ 2o___ >o___ _

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2



________________ _________________________________________ _________________________________________________________________________________________________ __ _____________________________________________________________________________ _ __ _______________________________________________________________ __________________ _______________ _________________ _______________________________ ___________________________ _______________________________________ __

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n' ' (l_4+3)3+4 _ 24 2S

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0_oo_____00ppp_____00o_o0000__0_0_0_00009_)__0oap_______000o_ooo0_oo00o__pp__00_______00o0ooa_____________0_______0D00q0q0_______________o________e________________________0__________________________p_q_(_q0pp_0p_o0_(_(__00____00___0D_0__0_________0o_______________________________+0________________70_)____0__0_____x_00___00)__0___)00_00_0000__0__000_0_0__0_0o___________o________o__o____________oo_2____000___o4_p_0___00300__0_x_00o0o_0_0_0_0p020p0__0_000_0)00___2_0____q___oy_____0____________________0o______0___0___0_______0_____0________0_0__000__000_0_____000_0__00_0______0____0__________________4+ ) (____8_2__)2__x3__3_x___(xo_3__x__83_3_)3__3__t_24x__2_24___4_t__x_ _5>_M__2o2____x_o_2_2J_

plosaplicativos:

ión:reg lapr áct icaI_o' - _x{J,2_J_,3__ . x2 _x22. x

_)'_

Unt_S: 3 4

á



_ _ _ __ __ _____ ___ __ ____ __ __ _ _ _ _ _ _ __ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _____ _ __ ____ _ _

nes

xx O

ominador)

i._,.,..,._._,.__.,,.__.,,,,_o,,.e_,_ai8,___,,_,6,_?____.__,__._._,,__a.,__,,.i__,,_,_,,__,.,___?i_.,._,,,_o.i_.,._i,.i_..,_,0.e_._i_._a_.____9_..i.,.__'____^^'_D,o..g.._.__.._._..'0..-_,:_=_'_.'':___,:'__'____;,';_;;._;;;?__?M__.__o,..,.___;'__...... O' noestádeFlnido 0_____^^__,,,0,......... (F)'_,_,,_,_,,_,,0,,_,_,,0,,_,,0,,0,,0,,_,,0,,_,,_,,_,,__,_,_,_,_,,_0,9_.__,_a.8_._8,_,_,_,_,_,_,,_,,_.__._,0._._._,.__,_._,0._,.,0,9,,,,,.,,,0.,,,.,,,,.,,.,9,,,,,9,..,,,..,,,,,.,,0,.0,,9.,..,,,.,.,,_,,,,.,,,,,,,.,.,,, ,,,,_,8,,o _ ___ ' '_ _ ' ' '

o Con respecto alaexpresión



_ _ _ _ _ ____ _ _ _ _ _ ____ _ _

_+ 3

da-- 45

delas:

_isteenIR; sixeN/_ y>O

ioural_f_ Z,

V. (F)

accionariosse



_ _ _ _ _ _ __ _ __ _ __ _ __ _ __ _ __ _ __ _ __ _ _ _ _ _ _ _ __ _ __ _ __ _ __ _ __ _ _ _ __ _ __ _ __ _ __ _ _ _ __ _ __ _ __ _ __ _ _ _ _ , _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ __ _ __ _

_2'.x(24)4

nan , I

n ,_ 2

__l

__iii._..i _ii'i,._ ,2 , '_,__ '_0

n''''''_'''''''''''''''"''''''''''''"' __,__,,,__ ''"^ ' ""_ MY_"'' __' "''d___"''___'' _'' ''_""____''"'''_" "___ ' ' ^



_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ __ _ __ _ __ _ __ _ _ _ _ _ _ __ _ __ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

__'''^% _'_'_____~_'____''_^__' 3_ _8 3_J3_ c_

_3_ +3_)

sió

e unaoperación.es,esultae_ Usaremosel cnlerio sieuiente

ión se"Inrr_io e_ _4c0nti_ad inmen. sA_e____n% quesi !nces, _'if_sJ. ,=_,.,;J_;,._.n. ;''nFdY,,m- s'_, re__,_____' njro_.._



_ __ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _. __ _ __ _ _

_o_n..

2en el mayor valor den setomar_

0,,.,,..i_. _ _..''0 '' _ O_ "_''_=' _0 ' _V_' __._ _.__ _ _'_ _'._'. _' _' '_' __,__ ___ ________,___ _. ;_h a_ ' ' !_ ____.,, ''_,,,,,,',,,,,

...,....,. ..........,,, ..,.,,.,..,, ,,p.,,,.,,,., ....,..,,,.,, ,.,,,.....,, .,,,,. ,..,0., .. .,.,._ __.,_,..



0___t__0__t__________o_____________0______q/___ __00_0__00_0___000)__0n)_____00____________(00_______0__D_____n____t_0_______0_________0________t________0__0__p____________0___________+__0_________________________________0___0_______0____t____ap5_00o________0__m0___________)__0_____o_0_0__________________________o__0___o0__________v______o_o______n___0xD___0_________0_(______0_(___02________4n____0__v_____p______________t_____0_0q_3_0______0_________000_________p_______00___Tx__t____0__n__0______0n04a__0__0_0__)__0x)0__n0___0__K__00___________062_T____x____0rm__t_______0___70___0____0___00___e______0___0_0__00_00__+___0_0_t00_0_00__0____0_0x_00___00_____(_00_00(_00__0___0>__n0__0__________(0______0____)_0______L____________________0_0____0_t__0_o_0_00+_0_0__0__a_____o____)__t___0______00_0__00_(_0___000y0_)___(___)_____l_xlgsfl(na_lul_ao2d___e_r3eaJ_or7_derm3x4a_ecllN4a__38ml2_e35_xxr_rl_oxe2ap_o2xs_gtl(_xdod__5l_x_u2_labn3c_n_et4apJg_an7l4lr__xe__aL_/__el6s____ce3l3x_)x3bytd_l2_5t33_cxoe__q__a1x___6__u_x24txe_x___4834e__n34x(n6olx_o___3ls7_h)t)tGp_____5xpe521foJ_xms_____l__6t2a0_xxh___Ja__nr_1_l7larruna

__;. _ _._. i ;. _.. ;,_;, ;,, '_,_ ' _, '_,' _, i_ ': ! _ r,,0,,,,_ oo,,,,

_, _ _ ' __. '_, _._ 0: : : __ e., ' "_ _ _ _ 0 ' ,,,D_ 4, j _

cales

uctivo).,adical

fáCtlCaen ve,moslaFo,mación desus ex one,tes

4



_ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ __ _ __ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ __ _ __ _ __ _ __ _ _ _ _ __ _ __ _ __ _ __ _ __ _ __ _ __ _ _ _ _ __ _ __ _ __ _ _ _ __ _ __ _ __ _ _ _ __ _ __ _ _ _ __ _ __ _ _ _ _ _ _ __ _ _ __ _ __ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ __ _ _ _ _ __ _ __ _ __ _ __ _ __ _ __ _ __ _ __ _ _ _ _ __ _ __ _ __ _ __ _ __ _ __ _ __ _ __ _ __ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ __ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _

ando y de_ = _ se tiene

OndeX= 3

ad.

/nit

nde_ _y _ _=y_y ..... (,)

= y......... ... (ß)

_'.D3_ _J_''__ ' ' ' ''''_,D'_,,,,,, ae n D: 72 + y



_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ __ _ __ _ __ _ _ _ _ _ _ __ _ __ _ __ _ __ _ __ _ __ _ _ _ _ _ __ _ __ _ __ _ __ _ __ _ __ _ __ _ __ _ __ _ __ _ _ _ __ _ __ _ __ _ __ _ __ _ __ _ __ _ __ _ __ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ __ _ __ _ __ _ __ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ __ _ __ _ __ _ __

E_ va_o, ap,ox;

,,,,,,.,,,.,,.o,.,.,..,,,.0...,,,a,..,,,,.,,,.,.0.., a+ar+a+ + _ a'_,_'_,''''_'''''_i'_''''''__''''_'''_'''_'''''''''''''''''_'''_''''_!''_''''''__''^''''_0_"_''__'_,_',_'_'_.'_i''__ '-'''' - _- r '''_.''_.

-__'__''_---''"' l' ' < r < _'_.



_ _ _ _ _ __ _ _ __ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ __ _ ' _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ __ _ __ __ _ _ _ __ __ _ _ __ _ __ __ _ _ __ _ _ __ __ __ _ __ _ ,_ _ _ __ _ _ __ _

dicales, luego para

__a

nte: _

a__ _ _



_ _ ___ _ __ _ __ __ ___ ______ __ _ _ __ ____ _ _ _ _ _ _____ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ ___ _ _ __ _ __ _ __ __ ___ __ _ _ ___

exponentesde

al dex en

Ee



_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ __ _ _ _ _

2 c) _

onencial._

_ex tomalafo_ma4ndonde ''n"es

n

naA) _ B) __ c) 3

-4

ntesucesiún

d X3 _x_o



___ __ _ _____ _ __ _ _ _ __ __ _ _ _ _ _ ._ . ___ ____ __ _ __ __ _ _ __ __ _ _ _ _ _ __ __ _ _ _ _ _ __ __ _ __ _ __ __ _ ___ _ _ _ . ___ _ _ _

a_ lasproposicianessiguientes:_

n ;R: _(-_)(-2j = ___ _-2

FFF c) wv

deve,d,d dela.s

_ = -_

x o

a



____ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ __ _ __ ___ ___ ________ _ ___ _ _| _ _ _ _ _

= 3 _ ,_ además_ y=2_/3

__n.(48)n.9

...

n_



___________________________________cc______________________________________________________________'______________________________________________7___________________________________________________________________ _t_______7_____________________________________________________________________________________t)__________________ ____________________________________________________________________________ _________________________r__________'___________________________________________n____________________________________________________________?___7_______________________________________________________r____________________________________________________________l______l__________________________________________________________________y_h__________y___________7________________________________________r____________________ll_____l_______________y__________y________________________n________________________________l_______________________________________________________________________________n_________________n__________________________r_____________________________t________________?_____l____________________________t_______t________________n_r__y_h_____h_r______________________________________r__J________________m____m__________________________________________________y_______________________________________________y_____h______________________________________________________________________l_______l___l_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________?__________________________________________________________________________________7________0___________________l____________________0________t___t_7____t____________l_______________________________f___________________________________________________v_______________________________________________________________________________________________________________________________r____________________________________________________________________________________________________________________?___________7______________________m________D_________________________________________'___________'__________________________________________________t__________n__________________y__7___

n?,0__'__, _, V_ '_'_ ; _: ' _ ?_ ' __._,v_ : ' ,i p ' '3 ?_ ' m,' :._._ m _ _ _ ; si ,_.. '.n.\ ' ' ' ' _.._._. _: __' ' ' ':v,._t._,_._4, !a_:-_,2 _.,.,.,_nnm,_ ,x,._-_ ;- _;__ __ '-; __ !m_ _ ', ' ' ''_.'i__..<, :_-,,_.......;.. _1 _;'_ An,_1 1 _ g _2 1 __g _ _v:__''.:,,.._'._n__._.;;_-y,.__,-a: A,_.,_._12 _,_i_ c_, ,2..2. . i A_32_if ___-___:-n_.__y;; E _13 __;; A_2j3 _' B_3 3 __ '__,_''',_:.:_._...._.._;:.,__..'_'_::_;___.''_,.___;. _4._,___'- cm _c_,,0.1o4o..,,. ..... A' _, ,,,,2,,4,,, ;_A __,,,,_4,,,,, ,,_ _, _-n__;_____,,.-__:--:;-:

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CAPÍTULO

BrookTaylor 1685-1731)

Las cuestiones relativas a las series

infinitas, lo que es justificado por

el

hecho de que el cálculo con los

infinitamente pequeños lleva la

cálculo de las series. Demostró que

una función de una sola variable

puede ponerse

en

forma de serie

desarrollando en serie de una

función) conjuntamente con Abraham

de Moivre 1567-1759), francés

exiliado en Inglaterra. Colin Maclaurin

1698-1745), Jean

y

Jacques

Bemoullí 1667-1748 y 1654-1705),

desarrollaron

el

cálculo exponencial.

La

fórmula de Taylor:

Si

f x) admite

unas derivadas continuas de orden

1,2,3, .

..

nen

[a b]

y usa derivada de

orden

n+

1 en <a

b

se puede escribir:

h2 hn

f ( x + h ) ~ f ( x ) + h f ( x ) + - f ( x ) + ...+-flnl x)+Rn x)

2

n

Rn

es el resto de la fórmula de Taylor).

Polinomios

h

h

f x

+

h)= f(x)+ hf ' (x)+- f (x)+- f (x)+

... +

R x)

2 3n



____ '' ''

'' _,,_,;,_;,,_,,, ,,,,;;,,_,,_____, _,'';,,,,;_; ';_,_,,,,,,,; ''.,_.;_.,_.. .,. ..'. L.......__,,0,,, ,,,?,._c ,,,,:,_,,,,,, ,_,, -_l_-li:_'o... ..__'_''o -- ' ' __'' "

_-rJ_éJJ,oJ,ose,, eJc_JJ_JiJ__o _, _J_eeseJ _e/ Ig_bya eJe_,pii_a/,J_.nJ_l_ieJ_n _lo cJ_I, coJJlo /___'o/_JnJJios, seesc_bex_ e _).IedeseJ- e_ectJcndo sob1_RJos1J7j1JIeros__oJJJov_'.d ,-,Jd,f,J,JJ,',7,da,,,,d,'d, ,,JJJJ,rJ,os. ,J,fo,,,,so delndo v_ J,' v_ ' eI __oIJ_11Je?IJdeJIJJ_'l_bo denJ_istr_,x.

y4+l_es_'ecesn Ialo1Jgi/,r_ di _K, esdeciJ-J__ JJIelJ_s._,

_,' estacJIe1_daL-7resrn p,Ies:

eJ_jciel_K' ie1J,J,_,//_os_'JrI__J_ndosJ, nIpr_r'io deJ_estetnbleJ _ cJIest4 ___+_. /_ = _1._'_ soIes.(cJI JJIerJ_osc'líbicosJ, n Ipl '_9c-io del su Jese?I Iir,_

gJI__ e9JJIJJ7Jret1_u L'Ijbi_'o /JaJ' 1000 7irJ_osJ,_ _'JI.este

Oso Jes sepi_eevK'pl_esn/' In slIJIJn _J_e_esrn peJJ_so1'_nee_'ide1Ire_,_eesrn s,I,Jln depeJ,__ dcvK?' _J_J7o sepJrcdei7ndo,' si1Je7JI_a/gopJ_ede_,x'p/_esnJ_s_,e,_ so Jeshnjo la_oJ7JJn

apo IiJJoJJ,io deIJJ,n iJJdetRJ1JJiJJndn (lnaL_o1l _/_ecJIeJ1ciapo1- P(.KJ, _JJeseIce"P de_K'' (P esIn

le_'n1ín17 n es'tn_Iec-eJ; poI' ejeJJJp Io,eIpo IiiJoJJJio:

_rl(J'_,rJ lç_Jren Jns_) Js_nJ= Ji - l._' + 2._n', ercérer_.

P, , P,, .... , JJo es In preseJJci4 _ l4reJ_cio l. etc., siJJu el coJ,iJ,9Jro dec'oeJic'ieJllcs:

JoIJlio,+

sJ__,_isto, o_eI'acioJlescoJl IospoIii7oIJ7ioscoJ_ro

de_i1lició1l n(go J1_s geJ7e1-nI delos poIiJloJJJios.JJ,4g1JirJrd illJelcl7llilJa_ sobJ__ Ja_lres'ec4IcJr/a, J,losetJ-ns1JlillJíscJIlnscoiJJo n, b, c,... o -pnJ-n I1o agornr

eJJ7iJJJjsclil4sn_c__I4daspoiI,__ j1,dice, es deciJ-,_r II1_nJ-ncteJ_es_4lieMloseJ, In paJ_eiJ,_eJioJ-.?' n IndeJ__cl_a

?'a_Joses_n1/liJin/-, nreJ1Jo__?n n__ecesalosJ,oadeiJlistelioso.' siJJJpleJJJeJJreesJ__J1Jledioc_7JJodo

_._' _i1K_rl1-r_.



__ _____________________ _ ___ _ _______ ___ _ _____________ ________,_ __ __ _____ __ ________________________________ ________,,____ ___ _ ___ _____, _ ____ __

m_m_ y

___,,'_,,;' ,; _

___x _:-_s_,__, __''___ ____r_, c_a_, a_qu___!'_ere_____ac__?__' r_se___' ; v'' ' ;':''',,,'_ ,, _' ;;, ' ''",y'_'v__

de_ S_poM0mta_ _ __ Ver con _ac_I1_ad l_ o_iä_ones'___ '_ _ ;__,'' i_ _;;_J,J,:?__ __,5,____' _s:_,. _,_''_'v,x_,?x_'c__e___6n_eun' 6__erta_xpîài6nmaEe!__c a. '_ ''

__;___x;_,,_,_'___,_ '_, '',n;_';,,i', "' _ _vn_,;n,;,__,"_ ,n ' ', '__"n; '____n;,, ,, , , ' ' __',s, ' ', V'/

tir_ comprender lautiIidad delospol'_omiosen nuestraparaproyectosm_s_ndes:apenasunahabilaci6n de"y_ metrosdelargo,"_''etros, demandarálossiguientesgastos: ''8"solesenlaacalidad del suelo, 4c"solesen laconstruc_ióny Ud'' soles

ariablescon lacual se tendr_ un presupuesto totaI6n), quedependerádedichasvariablesy lo denotaremos).niero civil paraelaborar un proyecto deconstrucciónnesno necesariamentehomoséneas.

--:_

__ _, ' __, _ _' __x_! i_ ; ___ _ _ __. _ _ , - - ____?,D ______c--,_

os, queF_nalmenteobedecen aciertosmodelos



_ _ _ _ __0__o__________0______o__0_0__o__o_________o____________o_0______________________o____o___0_____0_0______o_____o______0___o_0___________0______________________________0_____________________________0_____________________o__________________o____0__o_________o________0__o________0____o_____________________0_____0_0___________o___________o____________________________0_________________________________0__________7_______________0__________________0__0_ yJ ___

rosy letrasligadospor losdi Ferentesoperadores

esionesliterales

og(_ _ 3)

resión matemáticaquenospermitediferenciar las

car lasvariablesy constantesen;ta_ R(xy) __ 9gx_y + _sen(x_

or

'_____ __

asson: P

ón dele

alavariableo vanabless6lo seden_nen laso_racionesación, división, elevaci6n a exponentenatural, extracciónde

odecombinacionesdeestos.



__ __ __ _ __ _ _ , _ . _ _ _ __ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _

ducidadondeno sedeF_nelasoperacionesdeadici6n

__ + a__ '96

tasexpresionesasu vezpueden ser:

una expresión racion_I, _ondepuraableo uariab(esno estápe__tidaladiuisión.

y_ab+-C

iujsión que reng0 en elujsorpor ro menosaunaua_able.

G(X_ Yt _) = -32x + _

entesradicación queinvolucrealasvariables.leza)

x _ 4

s(x y ,J_ 45 _ __3



__ _ __ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _

x__'n,''_' Ete_plo ,

l_- l7___

raicasalascualesse les_lamatra8cendentes, lasm_simport3ntes:

eslog0rítm_c4s_eF_nidaspor logaritmos.

d F e ?

+_3 +_4 _ _

ý '_ nx__ _ ' _ '

ticasehalladeF_nidaasí:

eXCe_tOen

_o _ x__r-3,3]

seasignea x quepuedeser realo cornplejo

osìbili_, _d' __irlo,que.__es,_. ' p0lino__.



__ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ __ _ __ _ __ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ __ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ __ _ _ __ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ __ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _

__ ''''..,.

ard_cionai entera, queasu vezestádefiniclasobreunmérico paralasvariables.

__0dOC_V_A_(RO_)

::''_;., .;, ,_.: :''''' '''. ''_' _: '' .. '_' ' ' ' '

nteformageneral:

^'^'''___'''. _^:_''^"^^ "''_^^'^ '_ _'_'' :P 2'''__ _'''' _' _^ ' __'"' ' '_' _ W_'_'_' '-"_____,'+. _._._ +..a. n _a_0...._,,,

+ _

2x' + l6x''

_R__E___'__6.Mmn__Cn'''''' ''''''''__'''''''' '''''''''''' ''' /..'_' _'__ _

las_'ajablespor algunaconstante.

_ derin_ido,o o denl_unasniciones matemáticas.

) = _ + 2x_ l

1n__

o ex._steo no esta, der_nl.

perado,d,.v._s.lo,,esta, __,,___0_,____,'_o_0,__,_,_o_0'__'__0__'_,____i,____'____0',___o____,__0_,"_ . ,. . '___i__,__^___'_'__g'o. delnl O SOOSl edenOmlnadOr eS t_'_,,i_0_o .__,_,e,_,



_ _ _ _ __ _ _ _

. En_aex ,es._o,n. _;.

_:.:_,?____' P(x+ l ,_'-3) = 2x-y l''_''___,.

+ _ _

nidoampo deG 2 3 _ _ 42 _ g 3 _mos. _ 2

=__3__+y__

oen (l,3,5

y__=2

_ 4- 12 +8_ O

umedesus coef_c_entesseobt_iene

_,depe,d.,e,te,eobt.,



__ _ ___ _ _ _ ___ _ __ _ _ _ _ _ ___

riable:_ii__ _ Lasuma decoenc__

unadel aSv_rlablespoC

ntedelasvariableslazando cadaunadelasero cero.l__ ' _'00 _ 0'_ 0''d_,_,8i8,_d,_,d8_,_,,_d,8,__d_._,_d,_,,8_8, ,_._,__,___,_.i_Dd_.d_D_,_D,_, d_.__.0_,__m__.__. .!,e0____0_0._,_8__.,,_,_00,,,_,__0,_0,i_._, ,8__,_,_,___,,__,_,__,_,8i_. _,e_,,8_,____,__o,_,8_0__8__08_,0__,_,o_,8____9_ _.,.\, ..,_ ,____,_,_,_,,0___0,,_,,0,,0,,_,_,_D, ,_0i_-,_w___,8i_,d__,8_,_,d_,, 8i_,d8_,_,,__,_,d8i_,,_,d_, d__,_D,_,d0,00_,_e0

t. ind. _ o

nte)7 lasumade

funcionesdentro deun conjunto devaloresadmisibles.s_or otras.

do



_ _ _ __ __ __ _ _ _ _ _ _ _ _

m_lO_

5 6x=_I

ivamenteparalospolinomios_ relacionado con los

x'y'sgradosabso_utosde_osmonom_.osson._2 respect__

_3_14x"-5_+__"ón:mo i(x_y) esun polinomio, los

onentesdelasva_ablesdeben seFlOentefosy posit_vos.

N

eo i(x,y)=__-I4_y'+__



__o_______0__00___0_000_0__0________0___0___0_0____00____0pq0_0_00p_0_(p_0___0pp__p0p_0_)0_p00o____00____00__0D_pp___0(p0__0_,00pT0_____p00E__o0__0__0___o_0_q0)op00_0___00__R___p0_00_0q_p0___E0__________p______m_0_o__________o___)A____0__0_____p_____e_0___00____p_0__0__0p___0__T__0_______00_________0____0_____________________________________0_0_0__0_0____0_0_____0_0,___0_0_0__0_____0_________v_______

8_,_,____,_,,'_,,,,,__,,__,_,,_o_,.._,,,,,__,_,_,,'_,,_a_'_o0'_09o____0,,a,o__0%__'_a_,_,_0 _,g'_00__,__a_,,,__0,o_ R_,_,_,____._ __,. i _,__ _.,.. _,... _... __'_'._. _,:_'._0....,.__,._,,'.''_: '_.. _ _ __' _ %^'_:_: _ 0^0a__O_,^^ _'__.:_, _''D_ ___, '"0,,,^o_,,,,,

omo el exponentedela___

__,^^'0,

^enderáqueserenlerealgradoabsoluto. _____

rtascaracterísticasy deacuerdo aelloson:

oun_olinomiocomplet_enunaveriebte,elOdetfmlnOS eS igUal aSUerado

a+4_+ (__ 1)_do 5 y tiene6 térmir_os

RE._A'' ''

pectovoser_eren

emplos:,



___ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _

icoso Doso máspolinomiosen lasmismaso varia_lesson idénticos_ cuando tienen losoresnuméricosparacualquier

_Q(x,y) = (x-yJ_

+b 2 4ab _ a2+b_

smo valorrminado valor dex e

tesp _

mismo

_ , a, = b, .......... _, , -_ b,

+c

osHa__ar (a+b_

_'_'___'0'___'0,'___,_,__'_____. En esteProblemasehallaqueM y N__,'ese jg_eles. __._,'_'0.. _ a+ +C'_



_ __ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _

onpolinomio esidénticamentenulo_ si sus

CUalqUler ValOf OOfeS aSi_nadOS a laS V^nableS feSUltaSef

p (x y) es_.dent__

osquesi x tomael valor de8,

P( J= _("+2)J _ ' (' - 2)2 8a

8a'8at P(')_O ?_a_i

esdec__,.

rX- -+C+xeS

amentenUlOSi...................,.. (l)

, - -



_ _ __ ____ _ _ _ _ ____ _ _ _ _ __ __ _ _ _ _ _

ualeslaSi P(X) eS _linOmio ; (n -- l) e__ setiene:OJ

ef_ __nCiPal: l _6_2_(-5J "'60

= _2 _ n_-3(X) eS

queResolución:4

6n:P(P(P(X))) eSlineal

+b = a(_+b)+b



__ ___ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _____ _ _

ecesel término independiente

mO_ene0 y

(__,y) es el po!inomio

b--l5 ..... ......... ', .... ... (I)



__ _ __ __ __ __ __ __ _ __ _ _ __ _ _ _ _ _ __ _

0

solut_dismir_uye.

3 y p=4

. nx_2 - l

O'd'^"d0' 'd'm_' '""e4" '

ntedea_ - ' a-



_ _ _ _ _ ___ __ _ __ ___ _ __ _ _ __ __ ___ _ __ _ _ ____ _ _ _____ _

, calcular lasuma deuex+3)+f(3_x)

zseen _(x_ I) _ F(x+3J+ f(3-x)

I l ParéntesisF(x} -- 3x - 22 = 3(3x_2)-2

x)) = 2

3 _ 3 ' -3+2)

inducción

mio_ IJm + (2x+ IJm - 2x+ l'm'' si se cumpleen el

omio quelasumadecoerlcienlesy su_ o

2Ic_ 7.

OlUCiÓn:

. p(_) p(o)



_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ __ __ _ _ __ __ _ _ _ _ _ __ _ _ _

J_+(b+c)x+a+c

Os

a= b

c

P(x)=_+px+q decoe F_cientesamínima, queveriF1calass:

o

p+q esmínimo ; p , q eN

p+3l=7

_+ l5



_ ___ __ _ __ _ _ _ _ _ _ _ __ __ _ _ _ __ __ _ _ _ _ _ __

Of(t,+_,) = f(ta). F(tbJobtenemosheb t _ _sl53 b

+e_+-+ ..... + e'' _

minoaDe_ o__.nom._

(x,y) _ 3'5_'' ym 2+ xn+2 ym '

n-_ lo ....... (,); Gi,, = m_2-_n



_ __ __ _ _ __ _

nelpolinomiop(x) = (1 +2x)n + (I +3x)nsexcedeen 23 alfmino jndependiente.

E_ po_;nom,_o p(x) e, de gr,do -2

eXßreSlÓn -xJ___ (x n -2 )3. x 'n -3 _2. x '

do grado,

y DJ4 E) 5

sNl e_ pol__nom__

x,y) -- (a'-+ l)x"'2y'+ (a+I) ^ 'y"- l

__cientes.

d delas

ValOr de_ eS 0_ l _5



_ _ _ _ _ ___ _ _ _ __ _ __ __ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _

eidentidad:(x- l)7 = (_+9x+l8)A(x)+_+bndeA(x) = a_'+a_x4 +....+ as_ ao_o_

) 2(47 + l) B) 3/47 + l) c) 2/47

l) EJ4325na

_(a+b-c-d2J_+(b_de) _+g(b+c-a-e_ntenulo, calcular

mio

em+nCOn aCOnqueelpol inomio

adiferenciadea6.

hOmO_



_ _ _ __ _ _ __ _ _ _ _ _ _

queposeegrado absoluto

Pecti_'amente.

ado P(x) = 6_' + 5_4a+ 4_' + 3_'a

alcular el valor dea, sj secumplequelan sumadecoe Flcientesesigual asu te/ rminoel jndependjenteincrementadoenJ6.

coer_cientesdeldo

nadosasu vanable

c(a+b)(a+cJ(b+c)

l63 C) 16 l

2o E) _o



__ ___ ___ _ __ __ _ __ _ ___ ____ _ __ _ _ __ _ _ _ _

. Dado el polinomio

término independiente es

os:

nde

geb,,;c,

lasabiendo queel grado deEp(x) l2 lQ(x}lJes

Q(xJl' esigual a22.



__?_,?__,____________________ ____x____________________<_______xn_______________y_______J,_________________m_____t____9_________________ny___7n_4_xr_____n_s____________________c_________________o________________y___________________n_____r_______n_______________________t_t________________n __________________r_7__r_______________________________0__________________________________m__t_____________________________________J____________________n____y______________________________________________________________________t__y______________y_____________________7_7________________________________________m__nn___________y______________m____r_________________________________________________________?____________________________________________________________________________o_____________________J________7______________x__________

;',_.' ':''V'':!'' _ ..,_ :'':;'___V' _. -'__-'-'.-,-_-- --_-__--__:-=-.___-----= ---__;_.._...__.:.: ''.''.' ':___.':' '._. ._;; __.?_.'_:''.!_. ;.. '_.:__'.':_; -_.:-_'' -;---;_-__-----_-_-_; -_----._'-_-__-==_-=; '=_ :' .,__ __.._,.'.:,. ;:, ,.''',__--; -='-n-_=--'__=---- :_5_-_--:-=:_=_-=M: ___=;"--_-;'~:; ____,,'';j.:_.. __._:_,x,1_x,__f. _;;__'_,.'=''_'._._';_. ;_::.;__"-,._:i '_'_:.;'_;: ;:.;-: .;''-' :_;-f_.;; : _ '_' __' ._' ,,__;:' _:,:;:,;_;_; ;''_'_: ''''__._ :;_:: :_._ ' ,._'.;__; ..____:',__'n'_' ;:'n:___.:':'___. ;;_.__;___:'___;:: :..;._._:_.;, '_._::'_';_':': , ,,?,,_;..;:. _;_,.'i __'''.'_,'.,' _,._!._, _;_::

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_ 1 7 j' _ _Dw_ _'-__'---___'''___..'.-,__!___ m_,__, '__,: __: _'.:' _'_ _E 1g _ B2g f _E 36 _ __ :,; _=; ' y ;,. _N______ _ ' nm___ 0, _,_ , , ! ____ 0__ ____ _M-.._ _. _._.. (,

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Dt__oc__0e_0_D?e____re_00_____ocn____v_0________Dc_0__0_________o____o_D____o____?0ec_n______0c____u_00___o__0o___________p_?_____c__o0________0____0_______________00__u__?_0__vc0____c___________0D______________0o0o0o______v______0ct90____v0o_____,____0_c___________00_0_____D____t__ce__0__oc_c___0_____0____c_0___________0____0_0_co___c___Dontn____?__0_0____0________o___u__oo0____0_0oc__o___o__0_o_v00____________0______0_____00_______cc_____v_o0____D__0___t_____o___c0____0c_c_______vc__0_0__________po___c0_00____c___0_______o__c________________t0__0e,_0__c_______00D________0__________t_c0__0___0o_0__00__t0____c0o__oe0_o___o_t_____o0e____0___0______n__e_0_____v__0___e_0_oo______0__0_____0___0___0,_____00_D____0c____0__t0_____o__t__0__c___o__vp0o______o000o0oec_c_0o____0______0_00________0v__o0___0______D_c0__v0_0_0_oc0_v__o0(___p____æ____l__t_J___)_(4___t____ _+g____v___>_____c____)___x_o_>____v_____________________0__rc___0_0___o0___,___o______t___>__ 0_ ___

D,_,___,c__v,_D____,,,^_o0'_o,0,___^'__',,_^'__,,0o0__,_,^'_^V'_,_0^_'ao_______oD0ô,0oOccvo0__0,__'__T,,_ooc_0,_'____0D__o,,_o'___,,^'_,^c,o___,,,___'__c__,c,'ec_,,:_,_,,__0,v_,_'_,_,_,_D__,_,c^00__,__^'oLagrange, JosephLois (1736- 181 3)

^_0_ __', ",_' __c,_ ''_ _,^0_,^'_,__ ,,____ '__,_'',c___ __ '_,_' _,_,_o''__,0'__v, ,__,'_,^D,,_'_0_dn,_,'', '0_,,__',v _v"O_c,n' ^''__,, vD''o,_,'__,_a^__' ''__''e00^,,c_ '_,^'_ _,_ ''co0Matemtico. astrónomo,nacido en_o_o_o___,:_c__,_O__8_,c?__''"____o'____D',,_,'__?'_,,'0_o___'__^'_,,0,_0__,'D__0D,"_,,,0'v,00_0o__,_',''__,'0_,,o___;^'__'_o'_,___P__,,'_,'_u___^'',,OItatiay desangrefrancesa. Alos16

0,___0,a_8','__^'0,,''o_,_'___'0o__,_'_____,'_,___0,_'_o,_%'_^__o__^__,__"c_,__,0_,0__,_'_^_''__,,o_,__o___',o_cec_____'___'_c,__,_;_"c0a,_0D__,'___,_cc,0__vaos fuenGmbrado profesor de0_0^0,v,___,_0''____0,,0o,_,'__''_0,'^'_0_u__,_o_'__',D0,,^_o_,,_,;_'_00'_o,o__o_,_,''0_oo,_e_0''___,_'0',c0____,''_c0,,_,'_'a_,___,'_,,_'__,^'__,__''_______i'_'0__',__^'cD' Matemtica enlaReal Escuelade_o'_e,_______'__,t'____0____0_,,___i'_0_o,_o000____,''_,0_,,___'_o_,ô,__o_''_,cc,_,________ _'_o,,_,,_^_g_,''_,o^_,,_,'___'_,_O'cooô__,__DnD_0'_,,0_o AItilleríadeTurin.__,o,_,,o_____,_ 'c_,_,o_____ooo, _^0__00,D_'__^___,,_,_,___,D0_,,_o_,,__,_'__,_o,__,c,o0,___D'',0_,_o_'c,v,___,^'__,'_c_0_D_'___,D_'0,i_v_,u_,o____'^v,o,e__'_,_'n,fueunodeI_s ms grandesanatistas__'_,',_'0_,,_,_,V_''_,___''_,_'___0a___'_,'_0,'C'_,_,_,'____00'o,,,00a0_'_'_,'0'_0c0_0_c0_^^,_,^___,,'_,c,'__,,__''_,'_,,_'0,_______,'o,^'_c,_______D_'_,eo:,'____'^'ec,,',___0del siglo XVlll, lamayor contribucin ,,' >'._._m^_w "''''__,'_ ' 0_ou___, ____v ' ' '_,0,, __D, _0D_,c'0,o_c,_____ _, _'_ 0'_ __, ___ _ _0_ __0,,', _ _ '__ '0,_6 _ D_' c__D_ 0'_,_ ___,, _''_' _''__, ''__DO0c__0 __ '_o__0L, _:_'_ _, '___,__ __ '' _a, _DD^'_o0_ '__0, '_cc _oat Álge bra est enla memoriaque es- __..,4,_ _0,_;,_',___D'_'_"____v__0_;g'__,_o0_0,'_,'_''_,_'',,a___'__,^_o_ec,_cc__''''__0,^00__0_,__0___o^''_,_,a_o'_,__,__'oc__,^0'_,_''o0_,__v___'''u_0,_,_0'_,,_0___'__,_0o__e__^'_,'_,oOo0, cribi enBerlinhacia1767. ''Sobrela!._>'_,._,,__-_-o _''_'_'__c

__,_^0'o,_,,_,_D__D''v ",,,__''_D00_,,^_'ccc,o____,'c_^,_' ___D^'___'0__ _0,__o0 _00__oD,,c'_vc,,_,_'_,0'__,_00 _,,_s'_,_''v_0, _o00__ '__,_''_,,_c_0___,_,__, ''___^__o___, _'__'_'_,__''v____Resolucin detas Ecuaciones_00_'0' _D0,,,''__',0'''__'' -\_,-_'__i's_,o'______0_0,_____''___,o____,___0o__o,__'v_,,90___'___,___o_n'___'''_^_'_,0_____o,___'^''o0__,__,'_^'',o'c__,_^'_'ê,,,__'' Numricas''_ sehizocélebrepor su , _' _ ; _:_ '''___,__0_,___-_ :__,,c\_'_,_','-,'__'_^'v_",___o__'''__'_,___'^0___^'v',_0u__,''__i,%__,''_o"c:^_''c_c_'_eDU'_,,_''_,_,^'__'_,00teor__ao re_ __ - _ _ 9 "'__,Ç_c_,' __,_0c___0':___ _0__00_oD____ 'v^_00_o_ _, ___ __0n__'_00'_,c___?_0_ ___v _,__n,'_o_______ ''0'o,___ 0,____ '^_,'0',_n _^___,c_ S ?_ _- ' x'_/ ___,_, __,',_'^,;',___G_'__,_0__,_'00,______,00v,'0a_,,___,___,_'_0ô_,n,____0D_0'oc___'_____^^''_,,___,'_c_0___:^__,o,c_0oec!__v^'__''__,_,__u_'0_____^'_,'0,0_o_,___v_0'_,,^c_o,_,____0oyporsumatemati2acinyracionaliza- '__\. __-q'_._;_,_,_,,_,_'_-;__

e__^^D,'^c_O__^___'c_,____e,_____'__,,'_'0,,o_,0o,_c_o_,^'_,_ao___0o_,'_00'o_n,0'_,_0__o_,o0__,c_____0'_0,_o___'_v,"a_c,;,_,_^v__,0'^__,,''cc0_0,_^'_0'v,,Ôc_,o__,__^'_,,00,_cin delamecánicaen suobra _:D,. 0 ,,_. nc__..,_._,,nc_'__î':._!'0 _c____ '''__,, a0,0,___ _,0q,,''__,,_o,,_0,_0,,^c_,v_ P'0,_0,_e0 '''_,_0,o _n_ _ _'_,,0 0,0,__,oo__n'_,,^'v,,_ 'c,,o__,'__,, 0^''_,0' 'cc0_c_ ' ,' __o__ '''a,,,_o_,,,____, _'__ 00___,o__''_,_ _,, '__,' _'c,, O__, ____, '^v,0_,_,_,'o0,, lWecani4ueAna/ _ique. Descubri __ o ____ _ _ ^''_0' ~___-d9_^' ''_^_,0 _',_nh.'s-'_' ,7,, . ,_;,_'_c_cc__ _' __ ''' _''___ '^'0,0e'_c, _'_ ' _''J_,__,vô',__ __D,^ ''''_,O"0_,,co0_'_ _'_ae^,__, '^0__ ' _'0_0'0 _,_' ^_''_ ^ 'c_, O_^0,^' ___, ^''_o_ ' _^ _^'_^_D,__ ' _''_'0'0_0c,c_6"_ '^0_ '__,,0''D_ _'''___'ô00_u0o_0_'0, ' _0___' __ 0'__ _0'_,c 00 _c^"'^ _' _____^'''_0 _,"__,'otambié n las__amadasseries de _' , _ _o "_ '___ __'v__ ___ '''' ' ' '___'_''^'___'__,_c,,__n,_v_,,_o__,_,___00,,0_'_o^'_,0,0_,o,___,___,__00__,___0___,c_O_______,e,c_,___0__0,,_'____,_0__0,c,_,,__,_c,_o__,,'__,_,_,a, Laran elafrmuladeinter olacin ' -^ '_' ''_; ___t ,__' o___oi__>__,.__ _;a,,_ _' ___, __ 0_e,, _ __ _ ___,D"__L0'_,0 _;_o ___0 _, _0_o _0'_0o00o'_,_, _,'_ _0,_o_ __ _v,_ _0,0 _0__ _ __,,_, 0c_0_n,_ ''____^__,_ ' 0'_,__,,__ '''__ _0_, ''_cao_'oD^''___ ',,'____,, _ _,c_ _' __0 qv___ _____,_que Itevasunombre.' ' _' \ '' _ .,_' ._,, __,,___,__a'n9,___ %_;'_, '_'_; _-"' _ ^_,

___,o_0c______''__oie_0,__'___,_''__,_n^__,___^_'___0___00,_____00__^0_,,00_oon_,^'__0'_____,,__^0v''c0_,_0_,gv___,__,'_0e,v0_D_,_;,_0u0c,,__',______;,00n0_,__''_'___,^_ecc,en'_Respetado por Ia revolución fueami- ' ',__o, ' __ ' _' '_''~^^>''''"'' .__,__o^'_,00,,i__'_'0_o^'_,o___'_,D^'"'_,,'o______,_D'__,__'___'_'_oi'_,0__0''___,'C'__,_'_,co0__0____0__,_,c,'c____g_____o,__,'o__o'_,___'_,_?_,,0''_'__,'__co__,'_Dc_c,,0_go de Bonapa_equienlonombr - ;_ '__' ,,, _,. ,_ J_ ;-7';,_'_,o_,''0__'0_,_,___,_'_'____,_,o'^_o^',_,_D__,,^_v,___>'0_'_0_c___,____,â;_^_''0,___,__0__,'D__,^'0,'e_,,0:_______'_0_,'',''o_,0e'_,_,,_'___,g0_,'^'_,,0e_n,___'_o,oSenadorporsuscualidadesdecientí- '_!.\ _' _"'__.___ ' ' _n, ' s' ' _ _0, _ ' e00, __0, ,,DOo _ _,c_ _ ' ' ' v,,0 ___, _ ' _ ,, _D^ ' _,0 , _',_0, _ ' _ _,_D,0 _ _,, ' 0' _ _,0 , __,_, __o ' _ _, , 0 0 0 ,, _00, _0 __^ _0, , 0 ' o_, _ _o _o, _ o ____ _, _ , c _0_, ,D , _, ',' ' __, , _,o __ _,o_, __ ; _, _, 0__, ' 0_0_, , ce, __ ' _, c__,^ ___ o _ ' ' _ c, ', _ ' _, __ _ __L__v ' v cu_ _ __ ' _^ ' _ _ _,, _ co y g e n i o. '_

_0 _,0 'c,D_,_ &,__,eo_, ?_, ' ', _',,_0__o _ _, ', ' _,,, ',_, _,0,0,,__, _o _,'_o,0 ; - :___?____'0_??__''_'_o___0__,_,_cc,,c,c_'__'___,,__n___;__;;o_,,____,c_,,_v_'0_v;_^_o,0__,,_0,_0__,^_0__,',,_,o__,_,_,_,,v0o_______,,_,0__','0_,,___',o_,_',0'_,ax+b2+ abx 2 _ a2+b2x2

_00_'__0_'0^_c''n'__'^'_^_''_''__^_o _ '_,'_,,,_c,___,'u,_,e_,,_,__0,,c,c,_,___,0uo,,0,,ec___0,_,'v_,n_e,'_,____,__,,','__'__o0_,v,_0o0__^_o^'_co_'e___i_.___.____.___.__._____._________________.__________.__,.i



o

JJpJic-rl nIgo iJJJJJpJlso eil)7posib IedeIl,gnJ-n c-oJJocpy._JJeJ Je,,_,,nJ,_ln pn)n_J-n pnyn iJJdicnJ' de.roJJJJn _'ngn "ev_'ryeJJIndnJJJeJJ(egJ_nJJde'' u_c9ltelJlellteseciln eJ1llj1JleJ_DdeestJ_RIInseJ2e/ cielo o deeJ-nJ7ossJJo so1J, des_ IIIego, J-enIJJleJIreiJ7JiJliros,sólopodeJJJosobseJ__nJ-_scJJIJJl iJIs-tnJJtedndo. De/Jec-I1o, eJ) In _'i_rJdinJin jrJI1Jcn /eIle1JJos,iro.Jt_-n JJIJIcIJns_'eceseI i1J_jJ1iro, eJJocnsioJJesde/o_1In

po rJIleIosJJ_n/eJJJlic-os e9JJpe_nJ_uJJn iJ,reJJtrlJ'oIJreJleJ'I,9JnJJJe_i_npeI7JIiriernJ_ _JIeeI iJ1_iJJiro eJ1grosnrn Ins_iJnsdeorJ-os o_je_os_ieJJcoJ_ocido ?' discip IiJJndo. IbnJJn 1e?JJe_JJJJ__'IJnsso JprRsns.Ji1JJifndospJ_ogJ-csos, ?' JJoJJ_esiJ1o /Instn eI siglo___.cJ_nJIdosernbnjo degJ_nJJr Ies 9JJnre7JJ1icos coJJJoGeoJgeC_nllror .?! JV/_l

J-n JJJJ_c'IJose_ecros, so In1JJeJJle7n iden Ii_ncióJ2 de JIJJne_JlecoJlsider JJ_ola co1JJo esrJ-ic_rnJJJeJJreiJJ_iJJirnsec_oJJ_eleJ1 cIInJJdo, In npn_iió1JdeI ilJJjJJiro eJJ__J,n reoJínJ(sicniJzdic_nJdeIn JJJisJJlafeoJín o bieJJrJelo _lIeésfn__sL'_i_e. _steeseI cnsopo. GJ_ncinsneJJns1los eJJcoJ7(J__rR1JJosc_nJ_an cnrn co_I elelnJJdo nlgo JJJ2I_1Jpl_o_J,JJdo.' _,Ie/JeJ1JosIIegndo nIJilJdeI IIJJi__e_so.

I .1Jr_r Ji1'17r_ _ I_I/il/irI1_1 J__. JIr_11ellI__J._.



_ __ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ __ __ __ __ _ _ __ __ __ __ __ _ _ __ __ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _

a_ul_plicar _lin_m as.ble8 por ser desuma ^_portanci_ en lasimpli_caci6n

ca5osparalarRso1u_i6n deecuacíones._s

ticatienesu origen en lasescuelascientír_casyescubiertoslosnúmerosirracionales, enlaaún no fortalecidaar paralainvestigación cientír1caunateoríamatemáticacionalescomo paralosirracionales.ionalesresultó quelacolección demagnitudes

amáscompletaqueel conjunto delos número racionales,ulo másgeneral en formageométrica.Estecálculofueométricapuesdesdeeste momento losproductosnotables_retación geométnca.ntinuación:



_ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ __ _ __ _ __ _ __ _ _ _ _ _ _ __ _ __ _ __ _ __ _ _ _ _ __ _ _ __ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ __ _ _ _ _ __ | __ _ __ _ __ _ __ _ __ _ __ _ __ _ __ _ __ _ __ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ __ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ __ _ __ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ __ _ _ __ _ _ _ _ __ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _

2 _ b2_!_m i___m___ _S! !_, :,;nnJn,_.mn

__ac_ 2bc?_;

_'"____' '-'-'' '__ _ v_,_ _'emáticaqueconsisteen hallar unaterceraexpresiónllamadasmultiplicando [ M (x) Jy multiplicador l N(x) J

mo producto _+_-x-

E_emplos=

_,(__c_5 -a__' ) _;____' ' _____'_



_ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _

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et p,oduc_o r_e_,ab, es,_a,, s,.y so__os._

mOel _foducto _b escero, 5i Y sólo si

__+y)(3y-_x) _ Osol4_ mentecuand_

_bu__

_....__. ._._,

b3 6+ q 3

-'_' _ '?, _ - ,_ _ , - ' v

plo8:

j7

' ' ' ' ' ' - ' ' ' ' ' - :' 2 3 3s_ J t 3 3 7 s3 3 _J3 sg

o

6 - 2y



_ __ _ _ _ _ _ __ _ __ _ __ _ __ _ _ _ _ _ _ _ __ _ __ _ __ _ __ _ __ _ __ _ __ _ __ _ _ _ __ _ __ _ __ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ __ _ __ _ __ _ _ _ _ _ _

__0s_ ... _ '' ' ... ':_,_,.. ::.gebraica, con laparticulajdad quesuselementossonentidad entretalespolinomios.

)(_) = __ Tad_0 P X_ _fadD_(X),,.,,,0 ___,, 0 , ,,,, ,, ,,,,,,, , , ,,,., ,, ,, ,,_00,,,,,,.,,, ._,,, ,,,,,, _,\_,__.__' ._. ,.___ ,,, d,,0 __'

''''''''''''''''''_''',:'._,,':,'__:_'__,_._,'''_:?,_...__'_,M'___,,_''.__,;,m_,__e__.__'.:'; = Pvr'''^ + ... + B__,_,''''''''''''''''' El grado dep(x) ser m.n, su término ___,__,,,_,''

_,,'_,,

"__^^^"'i' P_"'"'P_''_d'___'''0_ ''' ''''i'_O''''__'^"_ '^_' __0'_ '__^^00'_^'^' _^^_' '^''_^'''_0"' _ ''"0_''0 ^_'^"'"^O'''""P^'^^^_^_'^'i'''^'_'^^_^'"^_^__^_^"^'"^""' ''n0'__''__'''"_'^''_^__"'^''"_"^""^_'_^_^'^'^"^'''_^^^'^^^^^

_+9x+l

_).Q(x) es5+g _1_

_ _1

7(3) y el grado _e

__ tC1 X"' + _v _ + C3

esindicadasqueseobtienen en rormadirecta,butivadelamultiplicación, por laformaquepresentan:

m__nn_n__v_'n___ ___; l. (2_' +3_)' = (2_)'+_' (2_)(3vx3) + í3_)'

__ lox_y6+yI2 -



__ _ _ _ _ __ _ __ _ _ _ ___ _ _ __ _ __ _ _ _ _ _ _ __ __ _ _ _____ _ __ ____ _ ___ __ ___ __ _ __ __ __ _ _ _ _ _ ___ _ ___ _ ___ ____ _ __ __ _ _

a

- _ _ (2) + 2(2__)(3y) + 2(2x)22 + 2(3y)_?2_ (3) 4_ _ _ _ _J6 _9_+_+l2_+ _-+___-

)2 __ m2+n'+p2

D_5a_OOeUn InOmlOal _bO

eS 3 3 _ 2 3'

2a(a__3b_)

3y)3 _ (2x)' + 3(2x)2 (3__)

__+27y_1

O+ 3abJ_x_v__ by_

y __ 3 ,, _y __ 4 h,_lar. _+y _

sdatos en



__________n>___>____>__n__>s_p_>_ta_n_ta_uu_>o____>__mr_____Jeen_r>____+___r(_nex_ __>_________rroo_______a n___nm______n______>_te_o__mo_______>n__+sN____________>_____n____t_______m___q_(_>___t__c___________a____u_________________n__)_____ea(__t____________)_at_s_____________t__e____+__)_3_n(______na_t_a______(_r____e_ +n_>_+>___(____nn_c____m_rc_m>_t____t_t)+_ttn__n_____c____t_m_______)________c___o____)(_____)______a_________(____________>_+_______>_____>___a__o_>__>__>a_________a__>__(______+____a________>_>_____c_________ur) ____>__n__(__________ax_t+ct___ _____+__t___)__t_>_c_n_+___t+n__c_c__nt___+3__)_>a____n__(____(___+__na____a_>______+__+_+__3_q_______> _>(__c3__)____a_J+_(c________a_v_)c__3__+()__>_(a__(ac___ _t_tn)_ _c)+(p(+ __+aa+cc)_c+))__tc)__(J_____3__a__ __)c(a)_3()

+2)(__2x+4) _=_+23_-x'+8____, __,... _____ ___,______ __ __'''''''''''''' ',:;'' '''__2 '-' 3'''UV_'.'_-''_'_! 3. (_+6_+9_?')(2x_352) _- (2x)3 _ (3?'-)3

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e_ino común

. ___:'x.,...+.. ......ab .::ix

) ,-M_ x... S + i; .+. _ +.. c'),2..+ .(,.. b ._'_b.c_'''_._ '',_ j' x_.: + a__bc. t_:''_''_.'__''..: '' -_. ::'_-:'._' ' '_ '' '''_ '--'_'' ''' ' ' ''_'' '-'''' '''' ' ''- ' '' ' '' __' ' ''''''_'__:'''''''-'-'-' '_'_.'' ' - '''' '''__.'_'_.'_ _''''''__'__''_.__.'.'_','_' ''' - ''''n'_V_:_: _i_________,_. _m'__.'''"'-' '_'_' ________''__?-___''_:'__':._____V__ _ ::_;__'':-''''_' :;Y,; '_.'__' '_'___.' __ :_.; ' _____, 9,_:_:.._;.::b. _ _),(x. -' '_'c:___. '':__-_._. _;.x.. :..' ?_-''_'__a.. _. >.._:i."_.. ::'_....:._;_..;e___.:_x;.'. ..._ Z:'___. _'_a__' _' _''' :_. c__:_'_':c.______'_'J.x.-'_a__...e__'''t



____________s__(____________x______________ _0_________________________________________________+a_______y___________________________________________________________________________________+___________________________+____0__0___o___)____________________o___c(___________x____________________________________________________________________________________________M______________________w____________________________3____3_______________________________________(_____________________________t_______________________________+______ __________________________________________________________________________________________________________________________+________________________________t_______________________)________________________________________________________c____________>__________________________+______________________________(_______________________________t_________________________)_________________30__________0_____0________________________________________________________________________________________________________J_____________3_____w_______t__(___________N______l_ 3+

b,a__

_ __22x+ I20+2.3+5.3)x+2.5.3= _ + IO_+ 3 lx+3o+4.3-6.3J x + 4.6.3 = _-_-3ox+72

'd_

... '.. .._ _.__(x.___. .;'':,;. ;?.;;'::_.;;...:..'?''.'';...;...>.:::_':,._''__...,___,_.,.':..,,_ ...;....._:.....4,i...;.._;_;__.....:_..._,;._:._:,_..;;_;._;.;..___:_.__.'; _.... ' .._':_'',.:'.....':..::.':'::_:_',:'':;.__'_::'_:::,::.__,;..:,.....:......_',M _ener8l:

_.______::;_. _:._._'..;.t. .:,;_..._._... .:;.______)...;;. _.._........,. _'.:._..__... /'_::''_:. :_':_?.:.:__: _,x_~.'_______:._'_____2'_'y' _,_;;.: .;:_:,;;_... ...:_..;_.... ..,__;..:,. ,t D_:_'_._.;.__,..l x_.: __::_;;., ,.,..:...'__., :;__;._,._..__.. ..;:._..; .;.._..:.._.. _;m.____,:... .,__.. ;!_....:._m_ ., ;_'__:_:,:__...g____: _,,;_ :,,,,,_C'x_' '''''''' _;._.,., ,__,:'_'':'_ ''_i_.__,, __...._.':__.___,:. .,,._:_:._.:: ...:::_.:.' :..;.._''_; '''''''; ._.. _,......,_.. _-______;..,____.._..___...; .:_:..:..:. _.__._.:..,,.... .......,;,; ,_........_:__,. ..x..:; _s.;.__;___:__::_' '______:_t_..;,.,__ __ _._. y_..; _-::'

+ y4 -_ x"+ x6_ '+ y4(3yJl' + (3y)4 _- I_4+ 3__ + 8ly4

_s_

,..._;'3' a__.___:'.,;.._; ;.________ __:.i. a_'b...m;..... ...c..;?.. _..__:______._:2:___..__ ___; _._:_.___._:_....; _;.,_,;..,..: .__:....._:.c. 2'_ __...;;,...a :....:...b.. '_a..c'' _.'':''_'' ''::',:_: '_'.''____.... .':_._;....J ,

, '_a;:'' .;(_a_+_ _'m'c,J_._a' __.;.:_:..::'':__: _0._.:...:.:. ::5__._:;.__:_'. :.:_.____..;_...: _._.;__'. '__.:_'''_''?_

m + n + ß = O

3



_ _ _ _ __ _ __ _ __ _ __ _ _ _ _ __ _ __ _ __ _ _ _ _ __ _ _ _ _ __ _ __ _ __ _ __ _ __ _ __ _ __ _ __ _ _ _ _ __ _ __ _ __ _ __ _ _ _ _ __ _ __ _ __ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ __ _ __ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ __

uivalentede

elaidentidad Setienea= _ = c

..:.:...:._._.._...:....::p_.:._p_:._p.,.._..p..,...p._.,:,.:,._,,,,,;p._,._.,,,,.,0,..,,,,...,.,,o..,.,,..,,,,....p.,,,,,,.,.,,,,..,,,0,,,,o...,,,0.,,,do,,,,,o,.,,..,p..,,..,,,.0,.,0000oo,p,0,p,p,,.,pp,,.00.0,,,p,,.,0p,,,,0,,,,,0,,,,,0,,,,,0.,,,,,,...,.,,,...0.,,..,.0,,0,.0..,,,.0,,,,,,,,0,,,,,,,,,,,,o0..,0,,,p,0,,0,..0,00.,,,,0,,.,.,,.,,,,,.,00,,p,0,,,,d,,0,,..DD,0,,,,,,,,,,,,,,,.0D,.,,0,,,,d,,.,0.0,,,,,0._,___,,,,,_____,.,,o Luego lobuscado esequivalentea

"'_:/.__'_________''_"'_"'_::_''____"::._'_:'..'-_:,.__.' '''.. '__''_.___._ 5 a2a3a2 5a7 5.._____.;2__:(:a..4_. __:b'__ +__c__?,._;j! '___ _____ ____/__:_._ ____ ___'_____._:____:.._.:: ;__. ._;.,__..._.:. :___ ,._.,,..__::_.j/_ 3. Haar eVaOr nUmerlCOdelaeXpreSlÓn3.':!

_>>: si x, y, ?son realesque cumplen la...n..___ __,_.:_?,.___":_:;_;;:_;__,'__:_.. ____..__._ ___ _._;__.;:_,___._.__5___ siguiente

___:___.__,.__._.,__.__' _ ' '' _'____'_____'n_ i + _ + 2y - 4x+ 5 + 9_' O_,X_ R_ ./

__' . . y_;_ El dato esequivalentea

_ 2

ea

_o

_+y_)



__ _ _ _ _ _ __ __ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _____ _ _ __ _ _ __ _ _ _ _ ___ _ __ ._ __ _ _ ____ _ _ __ _ _ __ _ _ _ _ _

de

relvalor

e_a ntesse

_- 1)(_ +_+1)(_t-_+l)



__ _ _ _ ___ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

+ .....

o__.,om,.

5 gradolp(xJl= 12.2 +22.3 +32.4 +42.5+....+ lo2. l l

7 + 55'- "55(7+55)

olosbinomiosal cuadrado en el

+4b 2 + x2 _+ c2



_ __ _ __ __ _ __ _ _ __ _ __ _ _ _ __ _ __ _ _ _ _ _ __ __ ___ _ ___ __ _ _ _ ___ _ _ _

ica

ácil inte_retar quelastir_que

_uex3 Jy3_ +__3 6

o.

n) Operemosy Ordenemosconvenientemente,da. Así por

b2_J/a2 bJ__7)i: xev er i r _ ca n J4 ,3 b !3 / _ ' l! 4 J ,3! b , /

r laexpresión

seobtieneesoluctón:

COmO



__ _ _ _ _ ___ _ _ _ _ _ __ _ _ __ _____ __ ,__ ___ __ _ _

ial iroDlgmg 1_4b ' a)'- _ara: x_o, simp1ir_car

mios:

3xy4 - y'

_4

esPOr lOtantOualizar x 2 + 3 _ x 2 + 3 _ 1

m o a7_ b + ab7_ _ _d e_ aco n d._ c_. o,

_g elevemosalcubo

/a3b3 _ I

2a3b3 __

efa

_ + bx + a



_ __ __ ___ __ _ _ __ __ _ ___ _ _ _ _ _ __ __ _ _ ___ __ __ __ _ _ _ _ _ _ __ __ _ ___ __ __ ___ _ _ __ __ ___ _ _ __ ______ _ __ _ __ __ _ _ ___ _ __ __ __ _ ___ _ _

b _ ab _ l

+y) = AzJ3 __ 3+3A

bc_ o n a+ b + c_



_ ___ ______ _ _ __ _ __ __ _ _ _ _ _ __ _ __

e( l) al cuadrado:

_ _ __

reducidaa

mpliéndOSeqUe- _t t _ t _ (IJ

de

a_

no, X + Y+ _ + 2(a+b+C) = 3(a+b+C)



_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ |_ _ _ ___ _ _ _ _ _ ____ ______ __ _ _____ _ ___

3. 3

.......... ... _

ab 2+ bc2_ ca2c._...... _ _ (2l

3abc

GaussJ



_ _ _ _ _ _ _ _ _ __ ____ _ _ _ ____ _ ___ ______ ______ _ _ _

x + y + _?= _

iÓn_

o__menteeh Y+ X__ = _ + X) _ + _)

x+ _?) _ +x) _ + _) (_ +x)(_ +y)_ __ + _J+ (Xt _J+ (X + Y)+ x)

l ___+y3+_'+3(x+y)(x+?)_+_)= I

_+_?) = I

l_ando (_) en (_)



__ _ __ __ _ _ _ _ _ _ _ __ __ _ _ _ _ _ _ _ __ __ _ __ _ __ __ _ _ __ __ _ __ __ _ _ __ _ _ __ __ __ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ __ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ __

O

E ' _2 - _' _ _ -

c



_ _ __ _ __ __ _____ __ _ _ _ _ _ _ __ _ _ __ __ _ __ _ _ _ _ _ __ ___ __

3

) w2 C) í-w2

y

llrlCaf -

O

sión

8 A) I B) 2 c) 4



_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ___ _

b,a_,

) l B) -l c) 3

b+c= O

CUanli FlCaF el ValOF de

n

X(_+_+_3+3') es:

OS ValOreS de



_ ___ _ _ _ _ _ _ ___ _ ___ ___ _ __ _ _ __ ___ __ __ _ _ _ _ _____ _ , _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ___ _ _ __ _ __ ___ _ __ __ _ _ _ _ _ _ __ _ ___ ____ _ __ _ ____ __ _

relvalorde

D) 36 E) 3 2

+3a_)



_ _ _ _ ___ _ __ _ _

4__

2__

bJ

c_ aJ2



¡---;;--

_ _

2 f A

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• Sub preguntas

11

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_ _ ___ ____ __ _ _ _ _ _0o_________0____0_____0___0e_______0____0______0___0_0_______00_o________0_________0_______0_0o______0______@_0___D____________0________0_D___0___________0_oo____0______________00_ao_______000____o_0__________________0_______0______00________0____0__________t__o0__0____0___0_______0_______00______p_________p____v_______________________t_____0____________t___0_______________________0____0____________________________________0_p__________________________________________________0_________t______________t0____________0_______________p______a0______o_________________0o____________________00__o0__o________0___o0pp__________________0__a_______t_0__________D_________________________________________________v___o_____0_______________0_o___________0_____0_____________o_o_0__0____0___0___p____0_0_____0o______0___p__00________ro_

g,;___!x,.. ,,'_.____?o.__,__i,0_g:_.,;.0;____..._; ____;._o____,,_.,,_,-o.__o.._____d_0_., i,_. ,__9.'__i__', ,_._,.0__0_,_,0_.0____:;'_ ____!'.__.____'_d_..._._?_,__._, __,_',io,i_,____,d. _,_____'..;0_'a.0_,_'____' _o,,____..:--______ii_;, _'_0__''' d,__ __''_: _ _._. 00_0'_.__d_0___"'___,?_"=__d_,,_ __'''i''__ 0j _'__i_-__'__'_' '___, _ _9?'._. ..0 '.__.__. ,0

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______________________________________________________________________________________________________________ _____________________________________________________ ____________________ __ ______ ________________________________ _____ ___________________________ _ __ ___ _ ___ _ _____ ____

'.;_..._,_.:'_,;_ .__.c..:__,_:,..:_;.;__.;._,_ ..:_.,_._.:.__...:_____:::_.___:..__.;':';,';_.:____'_.._.:___:,':.''__'___i';-.___._i;,v;,_,..':.:_;_:_,_____________,__..._,_;,._,,__:_._._..____.._.._.._._.'__..._;,,._.._..;.._..;..__..';..,..;.._;._.._..'..;...:'__;.,.,_.._....';.;_:_;__;_.;:.,..___;__,_._;___:___;;.,_,._;__.::.._...__,_......_...;...:.;.._..!.!....;._..'..:.:....._.:'__;'.__.._.' .._::,,,,...__,_. .....:_:....;....._.,___..._........._Y_____:_. ._!_'_ _' '_..__Ö,:._.,,:_6....,..,._.............,.......:..:._:.....::..:._.._;._..:.__..._._,._..!!._ :.!,!',.;,..:'.,__:___.:.._.:.___.,.__.____.._.._,.;.___:._:_.:__..__..._.__..:_.,__.:..._'j.!.iw...'.. _:_:.__:..::. '______:__'_2_ ___ o.s''. .:' ::':.;,,:.,.:,.,.;::_._;::';__....;._','_'_' ,....:.. ...:._._..:..,..:._.:.,'''._:::_:.= __:'':' ''_:._. ; _.;,;.,_::''''_''__'':;11 exigeco1JdicioJ2esespeciales:;

_ ' :'' _0 _JAp/__c__/JospJ _/J_rodo dg HoJ__eyco12_r o______J__1'eJ_ro _ lospol i__o9J_ iosnsce_Jdg9J_ei_Je_Jre.bte77i_o poseei1i_i2itostémJi12os.

12re_>_ Ios_ Ia_!a__ble.

,. _x_ <_

_;

K//2t.



ivisión

enter

de polinomios

INTRODU OÓN

La división

de

polinomios

se

origina con la división entera

de

números naturales; como se verá hay

un relación entre las propiedades de ambas divisiones.

Asimismo, se debe tener presente que los matemáticos Guillenno Homer y Paolo Ruffini fueron

quienes desarrollaron y esquematizaron los métodos para efectuar dicha operación

con

los polinomios.

La

división de polinomios tiene múltiples aplicaciones, entre ellas:

l.

En la obtención de los factores de un polinomio, mediante los divisores binómicos.

11

En

la resolución de ecuaciones polinomiales mediante la aproximación (aplicación de la regla de

Ruffini .

111 En el desarrollo

de

las series

de

potencias, como:

P(x) =

o

x +

a, x

1

+

~

2

+

ª

que mediante divisionés sucesivas por la regla

de Ruffini es

posible escribirlo mediante la forma:

P(x)

=

b

0

(x-a) + b

1

(x - a)

1

+ b

2

(x-a)

2

+ + bm

que en aritmética se conoce como el cambio

de

base.

Las

operaciones algebraicas

de

polinomios son análogas a las operaciones de los números naturales,

de

este modo, vemos que la adición y multiplicación de números naturales generan números naturales,

en cambio la sustracción y la división

de

los números naturales no siempre genera números naturales.

Del mismo modo, en la división

de

polinomios las operaciones de adición, sustracción y multiplicación

de

polinomios, h n generado siempre otros polinomios llamado suma, diferencia o producto

respectivamente, es decir, dent,ro de los polinomios

son

siempre posibles estas tres operaciones enteras.

En cambio dados dos polinomios P(x), h x) no siempre será posible hallar otro polinomio q x) que

multiplicado por

h(x)

genere

P(x).

Es decir, dados los polinomios

P(x)

y

h x)

no siempre existe q(x)

de

tal modo

que se

cumple

117



____0)_______0___D_______o_0____0_________p_____________________D______0________0______p____________D______0_______D________00____________0__________0_____0____D____0___________D________0__________o_______________o_____D_________)_____D_____t____0___________________0_______________0_______t___p______________0__________0_____r________0__________________________________0___________n_____________0________p______________0________________0________0__________0______0_____________________0__________0__0____0__0__0______________0_________0___0__________0_________________________o________0____0______________________________________0_________0______________________________________________________0____0________________________________________________________0____________________________0_________n______________x____0________

nStantenOnUla.polinomiosse haprocedido demaneraanálogaalagando ladeF_nición deresiduo.

nida, pero deFlniendo como división enteray uncierto

sible efectuar en losnaturalesni siquieracon residuo,o modo 2_+3x- l entrex'_2x+3 no seráposible, puesto quequeel segundo (7) imposibilitando estaoperación.o objetivo resolver operacionesdedivisión de polinomiosseen cuentalasiguiente der_nición:

_: _:,,._,_._.__.0.:._:.__:__::_:_...___,.___.__,___,. _. .____ :ími' .. .'''''' 0''''''_'' ''__;::__'''_D. (x_:_':.^'_:______'y._'__'__, .ix__''',_:_.,d_._..:_,_:_'..!__:'.0_ ._r.._..____.._______'___:___._''___,._m_'^_;_''...,.,_., ..,'_:_,_.,;_','"'.n_i__'_''''_'.re. .'.s.''_0__,,c......M:_. _.a_.m'._._nt.e....Ç.m._:_nJ Ila. rn.a..dDs'._._;___a__ _e_d_________'__.,._.;_'__ ,__!... .: _.0r; dNi_f. ' 'i_:_0.'_ix') _e''n_ed___x__:_:________'_:_c_ :a._ n_ ?. i..__.e.'. .:'_n'' ''h_. l.a._'_:0_t_r_o____d_o_? 'g0_inanu_' . s_q''' _x''''') Y:.''R(x) __,,_'''_'__' '''____''_'' 'i__e_ __ ______T__s__d. _'___''''''''''''._. o'' n' d. eel ____ad0d' e'''''''''_''''''_:'_. .Cx) es_.____:_m..__:R.. _n:a_..r que' :.... v_..:ß' ' .'' ',,..__.! .,. b.i_m .R(x);-_-O. ; .de_ tal '___._,__,,.s....'.':'''_0!' _..':'':_.__'_____...;___..____:......_.:::;....o......___tXu....:.. ______' '_c' .um_., 'p_,__.. 'Iaiden_da..d.. '_u_nd. _a;ment_..de..'_. _.a.... :d.,._..i:'' '''..s_'_6.........'n'' e'''nte....i..a.....,.....,.,,.__,.,......,.:_:..,,. ' ......__.,___,_

a_..._,. _0_'_ _'_._;_,.;.__;.._____....!...;.. _;_.. __' :_. __.:_'__._.....__. E_.. 'n....._' __''_'''''''.E'' .' ':aN_si_: .a..._.h___.____.._:..E___ __^__ _ __. . : ,__Rh''' '' ''_'''''''''''''''''_.''''_,''''':_.''>''_'__,:'__'__':,'_,'_,___.:,:_;,.;'_,,,:,_.,,,,.,..,,,,____.,,__,'_.',:..,,,,,,.,.,.:_;_;.,__....._,....;_... ;':__'___.___:.:.'_''...,,_:.:_:_._;:''..,_..__.,_,__.:,,,,.,.,,,,,...,,'_.'_. _ ._ ';. _._,_._,_::___.;_.:n'.::__ :_,..,::_!,:___'.::_::_:,_.,._.__.'''''-'__:;.,;.;,_._,,.,,.,,,.,,,.:,''.,. ..........,..... .....

sor (d(x)), cociente(q(x)) y residuo (R(x))e:;.'_:a...'..__..'.._x. '_ )_ _;.__''''.q,..: '(...._............._...:...,;,._. _'' '_,_:'.R''0. : ' ''' ''''_.._ 'x. ..)..::.. _''_,,,,

00'^_:O'___o''____0__0'_,_!_,"_,'''__'_,___ Su residuo es idénticamentenulo __i0d____,_'__'___:'__'_._._.''__:__.:.2'_____._'''''''_''''___''_'___'__:''''__'' __._'__,_'_.



_ _ __ _ _ _ _ __ _ _ ___ _ _ _ __ _ __ _ _ _ _ ___ _____ __ ____ _ ________ _ _ ____ __ _ _ ___ _ __

os

datambien Di__t6n no ex8ctgt toma, losestenombcecuando el Fesiduo no esdénticamentenulo, por lo queder_nimos

Rìx)

'^i_-_ i_,:5' ___

_ __ (ß) Al dividir _-3x+4 entre_+x_ _

_ + 4 =_ (_+x_ l) (x- _) + 3 - x

deUedeSe, Demane,ae uN_va_entecualx3-_+4 x_ 3_x

_0_i_ad_ deGradOS

grado de_ dividendo y e_ grado

_v _ ad(dT

ad(q) _- Grad (DJ- Grad (d )

mo que puedetomar eI residuo

_n_.,_,d:_'____n._R.._-?_ .r6dC__ )__'_'divisor e5 deg Fado _ln'_t e_ Fesiduo alo_rado (n- l)



_ _ _ __ __ _____ _ _ _ __ _ _ _ __ ___ __. _ _ _ _ _ _

._

Ue

_

- _ _ n dep o _ _ n o_ _-om_.lel cual seIlama

,;s;6, e,te,a..

S

=o_ P (O) = d (O) q (O) + R (O)

;_



_ _ _ _ _ _ __ __ _ _ _ ___

os

+b_l0+c= (2+3)q(l) + 15

5

D_v___Rio__Nom_osstoser completosy ordenadosen _or_nascendente. Sifaftasealgúntérmino_ensulugar

mino con coeFlcientecero.

_3 _ _p,ev_NamenteSeo,dena,a/ y ag,ega,a/

2

POLIM0MlaS _ cvisión enteradenúmerosenteros

elos

CO

ndeq(x) = _+x+3

Sl0n



__ _ ____ _ _ __ __ ______ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ __ _ _

on lacons. En estecasasí seexigequelos

o dividendo y divisor_ seaner_dente.

me su prop Nl

2x+3J

n

ar_lo 2ividir x+2_+_+2_+x4+2 entre x4+2



_ __ __ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ __ _ _ _ _ _ _ _ __ _ __ _ _ __ __ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ __ _| _ __ __ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ __ __ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _

ios

,

s,

nOr: - '' ;

n ;, ;,

nteCoef.del reBiduo

ey ereSldU

tadosen unaFlla, deunacolumnahacia

dOS atrás.

como Il)'

_c_ _' ,'__-..._b,_',' .. .... -c__._b1 \'';.

.a.. ',:_,

uela

ción toquelaúltima

os



_ __ _ _ __ __ _ _, _ _ __ _ _ __ _ _ _ _

a_ + axn-1 + an-2 + +

of lo _antoisor _

. __' _ , ''' __,_,o Y' __ ___ ___l ' - , '' ;_, ' _are_la

rdenado)

7 78 204 648

6

c_ R(XJ"_663



_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ __ _ __ _ __ _ __ _ __ _ __ _ __ _ __ _ _ _ _ __ _ __ _ __ _ __ _ __ _ __ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ __ _ __ _ __ _ __ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ __ _ __ _ __ _ _ _ _ _ _ __ _ __ _ _ __ _ __ _ __ _ __ _ __ _ __ _ __ _ __ _ __ _ __ _ __ _ __ _ __ _ __ _ _ | _ _ __ _ __ _ _ _ __ _ __ _ __ _ __ _ __ _ _ _ __ _

;

-----C_-l_

.d,do,o.a0. ,,....,.......,. .._,,,,,, _ _, ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,w_.,, ,,,,,,,,,,o__..... .,. .,.

- Cn f

.''' . , ' '.

_..

E_. DE.__ .R. M._Q,_, '' '''''' ,,_,_ '_._ _''_:: '

unadivisión depolinomios sin lanecesidad deeFectuar dicha

ax+b), el resto sehallamedianteel valoro x tomael _,elor de b



_ ___ _ _ ___ _ __ __ _ _ _ _ _ _

l 9 3

adel reSto

ual

3)(_+ 2_+ x - 5

x - _



_ _ _ __ _ _ _ __ _ __ _ _ _ ___ ____ . _ __ .._ _ _ _ _

+ 7x 3_ _

nUnCiar el VaIOf deVerdad OfaISedad deCada

_+2_+ l

deHOfner

O

= + 2 + l _''_

r_ni



__ _ __ .| _ _ __ _ _____ .. _

_ _

EnunCiar et VaIOr deverdad o falsedad deCada

_+2_+ l

e Horner

2 O

a_lar lasumade_oscoc.l

__ l __) _2x3+__ 7

RuFFlni

x-2



_ _ _ _ _ _ _ _ _ _

:

q_3

p-2)

mg _

n

_l_m8lglx424 _ 5x _

3)____5(_3)__g_4 + _5 __

sea33.



__ __ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ | || __ __ _ _

S!On_ e3P_O!nOnll

éntjco a

HOm_'

4edonde a2Q) - _ 3o - 24

__ cla d_'v'Is!o_n

o resultaser -3.

aus ar Ho m er.



_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ __ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _

en la

def(xJ

R_ y_

615 39132

3 t 6

(x+3)=2x4+23_+97_+l82x+I3I

__al

nomio

- _ución:esiduo dedividif

e

x+2

_ _



_ _ _ _ _ _ _ ___ ____ ____ __ __ __ __ __ _ _ ___ _ __ _ __ __ _ _ _ ____ ____

mios

adivisi6nl entre(_+ 2x) tienelasiguienteforma

_ax+ bsegu_n e__o sen_ala'r

a"8'') división Resolucin:

plicaT _ l -a

eS 2

_2) + 2

P

or el teofemadel resto

ienteindica_-2x+ l)(xJ(_ _2x)

el coc__o es el dividendo?



_ _ __ _ _ __ _ __ _ _ __ _ _ _ _ ____ _ __ _ _ ___ ___ _ __ __ _____ ___ _______ __ _ __ _ _ _ __ __ _ _ _ _ _ _ _ _ ___ _ __ _ ___ _ _ _ _ __ _ __] _ ___ _ _ ____ _ _____ __ _______ __ ______ _ _ __ ____

ellpolinomior esiduo.

residuo de_er.

C _+ C_x+ ___

+r_

ismo: r_ = 2

,i,ión

_._.......,,_, ..0,..,._...,_......_.d_, .,..,,._,d,,.,,......._.. .....,........... ... .._., ............... ............ .o;b__ _' _g._ __ ..'i_)___ _ _n______ in_ +i x, .nf.N.___eR / ..._..'''''_'' ''' '_''' _____'_'''''' '''' ' ''''d'•_-_______'__ ' '':'''_'-___''_- d_ _ _'0''_'0'__'''''''0' m___ __'_ _____''' ' ' ''_ ' '

_ = 5



_ _ _ _ _ __ _ __ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ __ _ __ _ __ _ __ _ _ _ _ __ _ __ _ _ _ _ __ _ _ _ _ __ _ __ _ __ _ __ _ __ _ __ _ __ _ __ _ _ _ _ __ _ __ _ _ _ _ __ _ __ _ __ _ _ _ _ __ _ _ .. . . _ _ . ._ _ _ __ _ __ _ __ _ __ _ __ _ __

m_

x- 1)2) = o __ p'(I) = o

e

_''_''.0____''__________' ,,_'__'_=0___'d_''___' _'_i'''_'. P'(x)es1aprimeraderivadadeP(x) ''ii''...,,.....,,.,,.,,0.,. ,,,,.0........ ... ...,........ ............ ..,...,, 9...,.,.0..,,, .,,0,,...,... .......,.,.,, .,,,.,.,,,o,, ,..,.,.,9,,,. ,.,0,,,,.,,,,, ,,,,.,.0,,,. ...,_,..,.,...,.,., ,,_,__ii.

_ + 9 deflCientesnaturalesy desumamínirna, quesadicionales3! eS di_SiblePOr 6

le_or IO

Resoluci6n:

Homer _- + P+q = ___.t"'''__-'N

l5m p espar

_endr_

__+8x+_s



_ _ _ __ ___ __ _____ _ _ __ _ __ _ _ _ _ _ _ _____ _ _ _ _ ___ _ __ __ _ _ __

-;-';,_=-;-;=_-_; _ ;- _ _--_' !_

S_+1 l ; _+3

ceseldelaPOr datOn_I

5n+l _ n+3

OnCeS

ene

deB.

de_ ,es__duo Delaidentidad fundamental

_)+2x+ l

''_'__'''''_ (a)

l resto De(a) y (ß) sumando obtenemos2B= 2



__ _ _ _ _ __ _____ _ ___ _ _ _ _ _ ___ _ _ | _| _|_||_ __ _____ _ __ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ __ _ _ _ __ _ _ __ __ __ __ _ _ _ __ _ __ _ _ _ _ _ _ _ ___ __ __

os

3 a2 3/5 _ a3

inomio

n AB_ O

epor

A

An __ o+l)= O; A'''' r O

suman 8.



_ _ _ _ _ _ _ _ __ __ ___ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

6. Al efectuar ladivisión_+_3+__2+3x+2

allar el residuo en3n+3

uiente

división



_ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ___ _ _

mos

-9)(x+3) seobtuvoresiduo de

ivisión deor

_ + px 2+esx J_ _ ,,

lar b_asj ladivisión

l D) _ E) _ 6

nte

x_2 c)1Jo E) -- _

r ladivisjón



_ ___ __ _ _ _ _ _ _ _ ___ _ _ _ _ __ _ _ _ _ ___ _ __ _ __ _ _ _ _

dividir el polinomioy-(b+2)x+2bs_os7x_4 ?,_ 5x-8

e

s'j al d'lv'ldl'rabx5t b2x_+bcx3_ abx +acx2t c_

_a, _b (a+c)

_ 1) (x +2)

oljnomio de_l)es(_+2x_3)yel

la,elrestoobtenidoald_v__ir

5 C! _ 4_D) 4E)

c__ _-__ abc

rm._



_ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _

i

ntede36. Al eFectuar la división siguiente5 + 9x _ _

assiguientes

constante

o esx- 2

+bx+c es

^ 3-

eobtieneun residuo deprimer grado.siduo.

llo

3_+4 ab(,n+bn)x n+2-ab(a__b_ _ _bna- l)x __+_ _abx _ T l

dir P(x) entre(í' +x+ I) se obtu\/o _or



_______________________>____vM__x___t__s_t___0________c/______________m_____m__,__rrt_r__ns__nnr _____)_____________r_________________n___?_____0____________m__t)___m_____rr_t_______n__y_____m_____t___________________y_________________ry_______t_______n___n_______________o__________________?___r____________t_________y___ s____________t____________________00_____________________r________<____r____________________________________?__________________________________________m__________________m_______nx_______x__o________0__________________r__________________t_________K____________________________________________________t_____x_______?_______________________x____m_________________________________________n_____________________tx_______________?___n_____/________________m___x_____n____________________________________r___________

;_. ''_' _:___,;::_'_.':...'::..,_;',.5_,;_'__,_.._,'__':''_C''' ';';.' __'t?';,,_;'',__;____'"'_'":., :___,. :'''' " ' _: _'._:':,_.:._ ,,_:_._:'!_'':._,.':'';_.: _::;,':;::_...''.::':: :::._.:'''':_':'._;'''.;.:_.;c_.;._'';.:xt_j;'_'i'?__:_'' '';; ,;_.;!'._,:;;.,;_,;.__;.'?,'.'_,''_.'"i__:;---_.:__-;_---_._Sn-._.__-=_-__;.-=;-.._;=_._;'-;.y-_::--_--_-?_--'.__=-:-_,.._.._':_'..__;;'''.:_'._;'__;:;.:.'__'._!;'..':.v;.. _:_.:i_ ''; =:;___._-'-"-_:-_ __.;=;=-___-----_,!5___._,-_'.'::' :. ''',_'''_'__.__;:_;,;,._.:::;._.,:_:; .;._-_____-_._'-_-_:.-_-;._=-:_--_-_;-.:i-___'-_:-?__:_;-_.._-_-_'--_-_=_:.__;;'...._.:.. ;...:.';t_.:::...v__;;v:.'::_'_'.:;_:_'.__._';!._...:._.:!_;_.':...._;___i_-.--:n_-_-_-_;:_.;___^_.:_-_.;..-_=-___-,.__'-_n-_n:':v_n___.:.. _.____"'_ -' --_ i''' _ ';'_ .;C_.!'_'^'_',;-''!.J'_____;'___ _g,i''_::'_'_0 -_-'_- ;__,_4N__.,*,!_' -_ j'_, __- !_._...._..._!' _.n 'mxt

,.??_?_,.__''_;::__;'_'5_::,__.. _1 ___; c_1 1 __:: E Wc_ __5'',;;''_.._'_,.;_,,.__,__.....;..;...;.._.......!.. 2 _;... _'-____' 1__ _;.,n_''_" 22 C. 32_-_ ,__...__....._.x'_._,_,._, __3 __. g _1 3 ;; B_23 __ _ ___;___-;_..:___,_;_.;.____.__'';__.__,_v_.__.'._,_;iv_;.___,v.;:, 4 ___+ A 1 4'__E 24 _34_ __: _?,?.,._-_,_',,_''

_ _5 __ c_1 5 _;'! A_2 5 !__ _ __;m__v, __-.-_''. ';__,__.,._Vi,.._;'-;;__.__;._'_'.__;_;._.;..'_;.,;. _n...M6___,,,,,,0 ;_'' E __t 6___; A_, ,2.6,, ,_g _3_6 _B_,?_._.__,....._;'__'_':.-::-,-_--- _7 :^--. g _1 7 ;_'--. _ WÈ '0'_V,.:,.;.. ;;.:'__.,_._,,.__:'__:__'.;._,::;s'__..;._.,___''_,.,:,__._v.n._v:''__..._,;_i..,;. __8__,.. _'-!' D._,o,o,1,,,8,,,,,,,,,,,__;._ A_.....2.8.... . . A _.. .38 ....p 'g'' ' ______, ~_..;:m-._._:__-_.--.-;.,.. _9 ---_: B__ 9 _ D._g'_v_:__'__Ldi:0 _1 o _!. g 2o __-_., A3o _ _4o CD;q'' 'i'' -



ivisibilidad

Pierre ermat

(1601-1665)

Famoso matemático que nació en Beaumont

de Lomagne, Francia, y murió en Castres. La

mayor parte de su vida transcurrió en Toulose,

donde fue consejero del parlamento local. Fue

el matemático más original de su tiempo y el

primer geómetra. Estudió preferentemente la

teoria de los números. Publicó pocas obras; la

m yorí

de sus

tr b jos

consisten en

anotaciones marginales en obras matemáticas

que había leído. Entre sus trabajos merecen

destacarse el conocido principio de Fermat,

sobre óptica geométrica, y dos teorema que

llevan su nombre, uno de los cuales ha sido un

enigma para los matemáticos de todos los

tiempos.

El

teorema para el cual no era posible

hallar una solución general es

el

siguiente:

No existen tres números enteros que satisfagan

la

siguiente ecuación:

x +y =z s n

>2

Este problema sólo fue resuelto por Euler (para n=3) y por

el

propio Fermat

(paran=4)

Se supone que Fermat poseía la demostración. Los grandes matemáticos no han

podido resolverlo, hasta después de 350 años; el matemático inglés Andrew Pilles,

luego de 1O años de investigación, logró demostrar el teorema de Fermat en la

Universidad de Princeton en 1997.

Fermat también hizo trabajos sobre el cálculo de probabilidades.

x y



_ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

'-, '--.:= -,;__n- _, _,,'_, ' _,'_,,;_i___0s,= :_ ,,'; :__'_; '

JleI-4 __e_ e9Jel sigIo pnsn_o, c'JJeJ_tn c_oJJln siJIJpnt1_aJee_l /icos

_leS, evX___SJOlJesell laS _JIPJill2to c'oJJsíJll_o IosJllareJJláricossMJlples.PnJ__ exprisn_7eces_noslossi_2os deIas cJ_ar_ o_y_ciolJesipIicnrJ_ di_i_iy.

r_l0_rll.



________ _______________ ___ __________ _ |____________ ______________________________|_____________ ______________________________________________________|___________________________________________________|___|______________ ___|____ _______________ ___ _____ ____________________________________________________________ _________________________________ _______ ______________ ____________________________________________________________________________________________________________________________,___________ |______ _ ____ _ ________________________a______________0____0____________________e_______________|_n___________________o___a____>_________(s_v_________0_________)_q____\_s0t__u___e_ _r_ _e__t_m_______________________J_o___________t______s_________ts___J___a_________t_____t_____t_0______0__e_____p___________r_______0

_''''-':....

;;.;_..,._;._'____;_.._,___;,..,.._..,..:,__.;;_;._;_;_^'',,,,0',,_,0,,_,,,_,,_,0,,_o,_.,,,_,__,,_0__,o,__,,o_,,;,____'_,,,;.;,_,,,,,,_,,,_,,,,,;,,_;,_'_'';__;,___,__ ;0. m' ^' _

_;' _'', ' ' ' '' ''''_. ' ''''''_.___.0"' ''i_ ___''___ ' .^_^^,"__. P.?..0 _.^_P'' _ '__. ' __,, ,_' ,,,___,,,'_,'?'',_,, _''_,,,____,_,_'_'_,,,,_'''_'g'__'_\ 0. __'_____'P '_,__0 _o'_'_0_,;._,_: '' ' ._._''_; ' ' ' ' ' ' .. ' ' ._. '.''"'_''';,'_---''"_' ''''_d'_"____''''_';' :' s_P'd_''?' '''_' ''''''__.' "^' '' ' a'''''' _,,..____,.,'':_''. '''''''' '' ''' ' '' ' '''' ' '' ,,_'''' _'::_'_''N;:'_;:_:,.- _ ' ''_: ''.. '_'_'_' ':,.,. '' -- ;-_---=-=--c_, --.-' __ ' / ;. , 9_M' _ane.sex. actas.. .. ._ _' . , ''''_ 'X' ;,, ;, . _ ' '_____''__:: ..._/ x _;'_ , ' '3vii.on__e_smt.able._..'''...:..:_"'_'''.'.'''''';_':..'''''_'' ;_.,. _ ''_, __. _, '"'__-,__''''', ' '' ' '... gre__'_' a.._?aptai_ _:la. :i_d_.a;?_,.;c!''..'''a'.' b.. al'''de.laFact0nz_ci6n' (_._ .ce.m. âde_ E_cto_). __'_i__'._......_...0.........d....e..,,'_/ ___ m!_ î__n__n Fun___c___: i6._n__ _'_a_ ': .l.'o.'s''''.'' 'g''.i. .__d......os d_._,l0n__ _, fi_'_m'' ....î0.s.,;,'';.:''''''''''..'';;'_'.' , '';,': ,,''_n__,,,,,.,,;,,''';,,,, ,, ... .. _0'0__

udialaspropiedadesque tieneunadivisión exactaenlreosenteros_ ladivisibilidad nosda aconocer diversoscritejosual lapa_eopera_vasereducenotablementey sobresa_ela

os: dividendo, divisor, cocienEey residuo) también tieneentasparareconocer divisionesexactas_puesesto permite

al esfundamental enlateoríadeecuaciones.b_idad depolinomiossinren parafactonzar polinomios.inomiosesuna teoa básicaquedebeconoce-rseparan loscapítulosen lascua_essetengacomo elementosalospodía ser el siguienteejemplo:ave_ocidad va_acon el liempo según laexpresiónsedose_ auto sedetiene/ n sedeliene.locidad escero, paraello ree_nplazamosen laexpresi6n

5, entonces, el auto sedetiene. Ahoraveamos,si parane_ paraello vamosa transformar nuestraexpresiónen una

aCta, en eSleCaSO dl CemOS QUeVt eS dlVlSlblepOC

nemos

ro tiempo di Ferentede''5'' lavelocidadno escero-

no sedetiene.



____________________________________________ ____________ _ ___________ __ _____ _______ ___________________ ____________________________________________________________________________________________________________________________________ ______________________________________ ___________________ __________________ __________________________________________________ __________________________

o nuloscon coeflcientesrealeso complejos_ si el restomentenulo, entoncesg(xJse llam_ divisor def(x).

..,. ...snonulos sedi_ queF(x) esdinsiblepor g(x) si existeela identidad dedinsión exacta.

-3- !__(xJ; r(x)=-g(x)_h(x_ '_

entede ladivisión f(x_) entreg(h-) esh(x).sun factor der(x-).

ax=a_ esO_ decir_ P(a) = O _ el resto dedividir _(x) entreuef(x) (x- a) escero_ luego P(x-) esel producto de(x -- a)sporot Fopolinomiodegrado (n-l),sie__do_cn''e!doquegrado del polinomio i(x), esdecir,i(x) es

dedividir divisiblepor (x- a).equivalenteaaparax=a.

Lacondición necesariay su Flcientep4_ raquesiblepor (x-a) esqueX=a.

n X-

2do. grado

dir

x). g(x) 20 0 _ -12

l -4 ; Ox-a) es_



_ _ ____ _ _ _____________________________________________ _ ___________________________________ _____________________ ___________ ______________.___. .______ ________________________

os, coc_entesnotabl

' ..:..''''' ..... ''' ''___,,,__',_':..,..;.._._,._:.,_._.....'.....,--.::--_. _'_,..,.;..;..... ..__; _:_____,:_:_,,,.h'' -:._,,,...._;.''''_' ..,- ' ''__ '

^' '-_'_ Delosteorem&s2 y 3sededuce:

lei_''P' _ _- v '' ' ''""'''_ __., .,. ' 'V' _- '' '' - -- '' - _,_ '__'__, _ '......_C_aUm,0,, ,,8, e l__Iin0mJaS_ ,;' ,,;_'.'' :_;_ _''_,..,,._-_-._,____'_____) _. _-_n divìsi__l'e___ _r _x:); _'',

X.) _ __.._._ _'d0_d_'_' '_l_?'_ _2(X)' ..'._''_. '_' 4'''''''(X) __'_'__,,'_i&n. es_ _i_g ' ---' '_1.inomi0. fÇxJ_'''_'''' _1vi?ibte__'' '''_''' _,__m:íodescadD_ro. ' ' ,''_'

x)_'' _c, _'"_v''_un Mom___ '

x)I, ___.,,,,,,, arbitrariode,2rad,ocero. .,_0__'_(x) ___, MIO__. __ ''' ''' .. . '''' _x .o,

__ ' ___o__,

e_r g(x), fix) :tumay ,__. '' estambiem d'_msible_r c.g(x), dondeces ___r h(x) __g _acons__e_ n___....' ,_ _€Cx)-_h, (xJ,gtxJ'_h x c_ x. ___x) y g(x_' ','so_ 4m_' ('b_"''i_

oy_s_ó_ocuand_ f(x) _'''__.g(x), ;'_'___te_o nW_ _'''_-_''__''____0'"_ __dm_-v___0''_'_''__ w__'' _'__'__'a'0___ _ - _ ______ _______' _ __'__''_'0'_____' _ ___ "___ _' ' ''

n(X) ' Osi el po_inomio p(x) es divisibleseperadamente/a_b_c_

(x.a x_b x_c

_''''''__.._' _M..__''__. J_..,:'_'_:._g'__,_'_'_'','___;_ ...-- ,_',''_',._,_,_:'._''''''''''''''' Demostrac16n;) l ComoP(x) esdivisiblepor (x_a)_ _(x) _ (x-a)q_(x)__v__s_.

x_c) / atbtc__(x-C) Q3(x)

_-(X_a)(x-b)(x-C)Q3(x)_ !ue_Ose

) (x_a)(x_bJ(x_c)



_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ __ _ __ _ _ _ _ __ _ __ _ _ _ _ _ _ __ _ __ _ __ _ _ _ _ __ _ __ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ __ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _

. ___ '_;.._,_,,.;;_.,.:;;._,.......:;..._.;,__,.:_--;----_-__-----;;-------_--;---_-_;--:----;---__--:-_---_--;--_--_--:--------_:_::,_;_'_,__'_____:'__,_:_,____::._.,_:_._,___,:_:__,_:_::_;,._;_,_:__-----_------_;--___-__-_;--_--__--_--=_---=_-;__'---------=-_?__..'_;':_-__- ';g--;___'''_;,__'__' xg,..',,=_--_-=__:_:__:.n._,___;;__:._'_,'_:,_..'__.'_____,'__.__.;__,___-_---_-_-___--_--_=_-;,_===a-__-:.,.;_.;'_.c_._.,::._.____,-'0_0_'_'______R_m___d______'_',''|'"__i_''''''!'.i,.i____i___,_.'_ _r (x_a)(x-b)(x_cJ; axb_c,será' _'' ____-_-'-'__^^"_"'^. '":'''':''_-__--' _ ' : -' :'' ' '''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''_-----_-------- ' ''''''''

__,''_'0_, d'Nisjbleseradamenter (x_a) _ ntOdaIVlSlÓn ePOllnOmlOS,SialdiVidendOyal_' cx-bJy cx_cJ' __ , diviso_, seles mu__i_lica_cun _linomi,,p.pp0.,,, ....,........,...... ........ ..,.,.p.,..,.,,.,,,,.,........,.,..grado no nulo, el cocienteno seallera; pero elmio.

, D(X) ' S(X)=-_d(X) ' S(X)l4(X)+ lR(XJ_ S(X)_r DedondeseobSe_aque el residuo quedac_.multiplicando _rS(xJyel cocienteesel mismo.

__ o EiemPlo

X'_

ividendo y divisor por x+ l_ _ _'_;__;;.;__ _.__'''___.._:_';____ _.;_____...__.__:_.; _:____ _.___._,,,,.;_''__'':-'':.a.__'' _'_,_.î ::,__0_0,,_0, _,._,_ ___.: __. _ :.;;,.__,;'_,,_'' '' _':____''_::__;::'''',,__,_'::'':,_;,'_': '' '''''':;:'; '_::,_.' '__' '_,' '' ' ' ' "' ''' ____^''_'____e_;__"''''__:/__"''::'__: (2x__7x + 4)(x + _)(2x.w_ 7x_ 4)(x+ _J_ _ _3 _

idirar_eS l2( ). X_7X+4l(_X+

+ l)dó mWtiplicado por x+ I, se_ queR(x) -- '9x + 4

.'....---_-,___;_-----_=;;-__;=_-__--__--;-__-_;-;,-;-;_;=--__,....,..::_.,.,.;_._'0_=_.gE..._0,,.0w,_,0___ _J' -_--- ,,._g,.,:..__.._:.;.:.__;'' ___ .-_,_.s._o,n_epol._num.,oss.,ald._v_.sdindepor un polinomio de_r_dOc_ientenosealtera; _roelresiduo

l- D'v'd'endOPO' S(X) ' Oc) _D(x! ___ _d(xJ. q(x) + _R(x)S (x JndeseObSeNaqueel residuOmUedamo.



________ _ __________________________________)__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________o______n__________________o________________________0____p____________D0__0DD_______________0________t____________0_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________J___________________J_\__________________________________________________________________________J_____________________________________________________________________________ ____________ _____ _______

o,, cociente, notab_

to en cada

(x+ l) __ (x 2- _ + I J3l + x

_+_)(x_2)52J6

___=-'- - _i- -_-' --c---=-=-------- _ ' '' _:_ _.:__':- -_-_-_=---i----__--_-_-_- -------_------_-_-_-__-___-_' -_'______^ ______0^ -____P_:--5_---_--_______;_, ,_/'''__;__,;' , q__ ?____ ' ' ':'':'. ___:__'t_'/:;__._______, ____,.,';''_;; ,'(__'''___',____' _;'_t',_,_,_;_' __, ' ^ _''_^ _,__^ ' _, '_ _, '_^ ' ___'_ _,_^ _ '_, , ___,'__:_;'_::_:____:_' '_~___':____::': '''''_'' ''___'''.'' _:'.''''' :'_._':_:'_'_' ':''':' _':_':'_:'' ''':_''_'' _X__'J'X''__'_: '''___';_o ___;__ _ _________'__:--_______-__-= __-___-_ :_ _' ....'''__.__''._.._, .'_._ _:'.,..._:.__----_-- -'--:__--_-_-__--:_-__-- _----____--_---._--___.---:. _--_--___----__;_--_-_-=--_- _;.-_;-__-___;-----.- -.______.=_.__d_,,;,__.d_.,, ,._,,. ___0____8____ _dD____ --__-___. _ __ ___ '_.'',,''; ____,'_;_,,''______'_' ;__.;'' n,__.y P'' . ,':'. .. _ ....::::. .:' ::.::...,,..,:,,; .:__:_,,;;._: __;_.,_,i_._.;;_. '_,_. ;_;__:__,;_,_;_,____,,;___,_;;, ;_;,;,' _ o ,, o',_' __0_, o' _,'_,,'_,'_,,' _,'_,,'_,_, o'_,,,,_'_,, o__,,_,, o', o,,_' ,_,',,,, _,_,______g.__.__;_;.._...__. ;_....:_;'_: :_.,.._,: __ .. _...... ... ......:___..___;....._:_,_' _. ..__::___....._._.__,._._,____'_ ._'__..,__:, .__'_:_._._,',;n_?v' ,, ,;;'___, ,_?,__X__

cocientesqueseobtienen en Fo_adirecta, esdecir,sinnsión.stoscocienlesnotablesson delafo_a:

___ '?___'___._ __ __ ' :__ _ ___ _ '___; ___ ___.: __ _ __ _ _ _ _ _._ /'_.;_ _ ___._ ': _ '__; P._' _ ' ''___' P___ ' __ , '_. '____ _' _ ' _ ' '''. _'__'.: '; ; _''_. : '_,_''_.: , __ ' '___m _ _'__''' ____ :___, _ ___'_ :__ _ _ _ __ :,'':'' _' ''''' '''' _ ___ ': _''' _:' '''''. _ _''''_,'' ''.', __':'_. ___''' '___ ''''' _.' _'' ''''_' ______._.__ ' '_._'_ _____.''' __ ;,__.____' _'_ '_'.____;_.____. '' ___5__, _ ~'__~_ __. _ __;-.___. '- _'_. : '_ _.__ _'_ ___.;: '____-_ :__ ____.___' '_ ____._' _.:;___-___ __;;.' '' ____ _'' _._ __ ____._____ ' __-' __'' _ _ ______ _'_' _ ___'__ ____ _ '_._: _ _' _' ________ _'_.__:' :_' " _'' n ' '- _ ' '' _ ' 0''''''''''''' '''''''' :'''':'' ''''''' . '''_:_._''' _''':'__''' .'''_:?_,_,___:____. ____::.;.__.'_;: ._.::'',:' _'_''__ ;___''.__.:_, .._'__..,.n._...2' , __.'_--,- -

_:__.;. .:.:_:_..;__:___. _.;_;.;;.;: '_..:_'___;.! _..;_:,,_'' :._''' :v_'''''' :__,___:_;._._,__. :_;;__:; _;',_.: '_'',:__';_,' _,:_.:'__,..;: :;::,,___,:: _.',,__:_,__.,, .;,_____,:.;_,_.. ,_._;::;,,: _._.___.,_...,___;-,.: ..,_:__:_..,:_, _.,:_,-.,:,;_. :_':,_.,__.,:: ._____,,:,; ;,_..,:__.,___.,. :._,,:_:.;__.m_._. :...;: .__., '__,_;.,m:.,_,,: _,:;_,..,:P,. .,__\v. .._;0_. .;_. ._.

. Su cociente: _ectuando ladivisión por la

__ n-Yn setendrá

__0':_.: _:._'_____:___._:__i.' __,:_____._._,:.__'': _ _:___ d'_'d__' '' '_ ' ' ' '_''_'_n'__i __ __,_,.:..;........_'.. :___.'''..:. . X''Yy l

_= :_-___ ::=y-. ---=:----------- -:---,---_;._. ,_,:m,....... .....,......: ........... ....:..:... ............. ..........; ...,,...,.,., ..,.,...:.; ._,..;,..;._. ..../.:_''i .l Y. .."'..

l de



_ ___ _ _ _ _ _ _ _ _ ____ ____ __ _ _

uiente_, _ _ . ..'_.__;.._;:.:_.::.:.;:_.....__'___;-__.._T. '''E.Q_-__,_. ,__o_ ... _.,,...'' '' _

_'''''''!''''''''''"' _ _ '______;''_,___"__ __;,,,, ';,',_'__'___________.____.,:o_ '________:.. __.______-____''____'__ ________ _' _''' '''''' ''''''''''_,,!___.''e___ '' '__ _- '' '' _'_'_'___^'^___^^_^_,^'_^_'_'_:_^_'_'^^^_,_^__y:____' ':'.__i;_'_/''_,_'..__ _:i'' ''_'_ __' _'_"_' :;__._'''_,_ __;_,.'' _'_'_' ,,__W _ DadOel CoclentenO_able:_ n-_l___,_.,i_0__,8'_ _e_;'o._'___0___',_^'0;^',^'^'^'_^'__0___._''_.,:__::_. ,_._' ;_,'__;''''..____;:__:_'_.''___i___'__;n... _,_._f_.___:,___'_''' ''0x n,_,_ ' ___x _____:n___' '' _ !_,' '''::'_''''_"'''''':___ i"' ___,_,. _ ,_ '__ i.____ ;_'v 4,_ -, un lérmino cualesquieralh esigual

_:_''}_''_____"... ..,.....,..,..:..'_.',__.;,_;'..:._';_X"''_ ' .-_ ' ------__;_:___ _-,-_._':'_'.._:_'/_'._::',_.'''_;:.^__,:...........,...._....:...,..1 . x -y

y_'l

2

_ _ -- _

5

nneCeSidada40 _ b _ugar 2 l



_ _ _ _ __ __ __ ______ _ _ _ _ ___ ___.. ..__ _ _

s, cocientesnotables

___ ____ s

a. Ve_o_ su resto:a_

o, RnY' -- -Y-

.

_

le

x -_ +xn-_2 - ...,. -yn-'

et OOO_______NO-_

elEntOnCeS

ero la



__ __ _ _ __ _ __ _ _ __ __ __ _ _ __ _ _ __ ___ _ __ __ _ _ _ __ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

ntecuadro__

_nh_ _ _ \ _?_ __,n_?- ' __'/ , ' ';_ ' _n ' ' ò_' b__ _ __ ;;'w_'__,_ ,' ' '' , _q'n ?' ___ ' x ' J J_ J' _! ó Q___' _uo,v,

laResolu_6n;

o

x 2 _y

+k_I_3Q__-_5___Lueo el te_ino en mención ocu ael uinto_? __' ,_,___

m____

eracocientenotable

___ ._ n ,_ y

o _ (5m+ _)(m_2) __ o.,

ner _'

=2 seobtendráun cocien_e



_ _ _ _ _ _ _ _ __ _

visibleUn polinomio P(x) detercer grado sedivideesseparadamenteentre(x_l); (x-2) y (y+3);ando como resto com_ 5. Adem_sal di_dirlo29. Calculaf el2) y té__no_'nde_ndientedep(x).

_6n..ueal djvjdir p(x) entfe(x_ l)N, (x_2)te, dejael mismo

ir el polinomio P(x) entre-2)(x-3Jdejaráalmismo res_o5.2J(x+3) q(x) + 5

x- l) (- l- l)(- l-2)(- I +3)q+5 = 29nte. _ q -_ntre

mo resto_vl.d__, (p(x))_a



_ _ _ _ _ _ __ __ __ __ ____ _ __ _ _ _ ___ _ _ __ ___ _ _ __ _ _ _ _ _ __ _ _

_e (m_OJ

x- I, se3 __

por s_. el o__.nom_,o p(x) _ x__ + _3+x7 esd,___s,._or de_ es,

sdivisiblepor

+ _ + _ esd_._._.s_.b_eo,_

Luego por Ho_er

lepoc_ _ _ _ =

; h _h

ución:

x 4 _ _

o en el dividendo reemplazamosx4-- lx) _- O'



_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ __ _ __ __ __ __ __ __ __ _ _ _ __ _ _ __ __ __ __ __ __ __ __ _ __ __ __ __ __ __ _ __ __ __ __ __ __ __ _ __ _ __ __ __ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ __ _ __ __ _ __ __ _

, cocientesnot4bles

Sea n

n = 5e_o ladivisión indicadaes

_''i___0_'_'_a_,'_i_'0a0_,'___i,'__,__0'0_,__'0a__'0a___a___,_',__,'_8_,_,_',__,'_8,_,,__,__,_0_,_i,'0a,__,'_,__,'0a,__,_,__'0___,'0_,__,'____,_0,_io'0_,___'_,__,'0_,__,'0___._,'0_,_i,'_,'_'_nn _,_'_i''_,,__,,^'_,,,__0^. "^'^_y_____i_'''^''_^o^'',^',^_'___^''_0'^'^'^'^^'^''^'^'^''__^',i^',,'',^',,'___,_0_,__o'__0_,_,___,_.,.0"_,_,_0,0__,o.en. a- . t _ an__ 1,.__,^'_,.',::.''',,,'_ ' a_b ' k' ____..__o,^^,.,.

__i'________'_'___'____'-0__0_0'00__-'_0____________'0-___0_-__,____'0___________ ___0i ___ _____________________ii-_________-___ __________ ___i_______i_____i_____i__ddo___-___i,___-i___i________i_'_--___-___d_,__i____,i0_iii,____i_i__ii___'V,i

n el

3_, ademásPa'+b2

a+b 9p _ a_b 9p a+b 'p_ a_b _p

r l(a2+b2_bJ8 (a+b)_-(a--b)'1

tonces_.nos

- '

visión

ro de



__ _ _ __ _ _ __ _ _ ___ __ __

eHallaF el númeFodete__inosde_ sigujente

visión

ococ_t

CUtiVOS.

nticos40

x78 _x16 +x74 _x72 +. .. .x2 _ l

denomi



_ __ __ __ _ _ __ _ _ __ __ __ __ _ _ __ __ __ _ _ __ _, _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ __ __ _ __ _ _ _ _ __ _ _ __ __ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ __ _ _ _ __ _ _ _ _ _ __ _ _ __ __ __ __ __ _ _ _ _ __ _ _ _ _ __ __ __

s, cocientesnot4bles

sracional entero sisva_ablesson enterosy

acional

alores, 6 términosserán

s: Si la diViSi6n:

;naun coc;entenotableen e_ cua_ un te/rm__25__l)Y.

ido por

ón: __,,_,,_'___~v ______'_,_____,__0_.._o0_,_,o' _ox_ 5x _ + sx+_ ___,___,__,__.!,____..'_^ :,,: - __'__,,__,_,,,__,,,, ,,,,,,,,,,,,, ,,,,,,,,,,,, ,.,,,,,.0,,,0, ..,,0,,,,,,,,, ,,,,,,,,,,,, ,,,.,,,,,,,, ,,,,,,,,,,,, ,,,,,,,,,.,,, ,,,,,,,,,_,,, ,,,,,,,,,,,, ,.,,_,,,,,,,,, ,,,,,,,,,,,, ,,,.,,,.0,,,, ._..,.., .0,., .,9.,.,,._,,.0. 0..0.. ,. ,o.,0....,..,.. ,..,...,.... .,.......... ..........,,, ,,v, .,.,,,,,_o.,,, ,0,,,,0,,,,,,,, ,,,,,,,,,,,, ,,,,.,, _,,_ '_,, __

t l o

cua_qu;

+

x__)B(5x+_)B_ 9g__ __ ___. x__



__ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ __ _ _ _ _ __ _ _ _ _ __ _ __ _ __ _ _ _ _ _ __ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ __ _ __ _ __ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ __ _ _ _ __ _ __ _ __ _ __ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ __ _ __ _ __ _ _ _ __ _ __ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ __ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ __ _ __ _ __ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ __ _ __ _ __ _ __ _ _ _ _ __ _ __ _ __ _ _ _ _ __ _ __ _ __ _ __ _ _ _ _ __ _ __ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

deté_inos.

al6y8

i._,_,_..i__D.,_,,._i...,.,_,._.,_,.,.,,.,,,_i_.,d_i.,a,i,._ii,,._.i,.,_,_,.i.,.._. ; , _''i__0'. x:(3"-l)(a-2)=16 .................. (I)__0:_g'g'_____.____v_,o__i/' 8_(_+r) = (X+Y)' - (X'Y)' ______'...,_0,,_ . n_ __ ,

a

OlUCt6n:ladivisión

^pael lugar 6.

en_eunpo__nom_o p(x) de5to.g,ado estal

__v_.dl_ecomaresiduo _ _+ 1 7.



_ _ _ __ _ _ _ _ _ __ ___ _ _ ___ _ _ _ ____ __ __ _ __ __ __ __ __ _ _

os, cocientesnotables

mos al dividendo yr ?- 2, el cocienteno sealtera; peromultiplicado por ? _- 2

__ _ 2

R(Z -2)

x-4. 83+ l+ bratlCOeS ' a- _ ' _ - '

enede

el F_nal,esonales



_ _ _ _ ____ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

ando se_aR_.(x+ l), siendo R_ el resto en:

2(_)s+ _ 2

e

eSeeUndO_fadOalnCcoc_Nen t eQ( x) y u n, e st o _ 2 s_. sed__v __enteaurnenIadoen4, la

_.d_.

_ (x + 3) Q(x) + 12

enePerO)

+ (a+4+bJx+b(a+4)



_ _ __ _ ___ _ _ _ . _ __ _ _ _ ___

cociente, notab1

polinomios

Q(x) I

mios no cons_ntes.

(_+x+ I ); enloncese neP(x) = (_+x+ l) q_(x)................. ..( l)

X- l)(X-2) _ f(x). i(xJ_ (_+x+ l) f(xJ. q_(xJ

POlinOmiOP(X) eS diViSibl_ POC(_+i+ l ).(xJy B(x)

VJ

delresto(x-l) (_+x+l)= O)= xA(_)+B(_)

el resto de



_ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

Si el residuo deladivisión del po l inom iotre(x_+4) es7 yla sumadelosel cocientees6, hallar el

x) entre_+x-+ I seobtuvocomo residuox+l, v, al divjdjr i(x) entrex-_ l.Calcular el resto de

naDJ_+x E) x+ I

deefeciuar ladivjsión+x_

) l B) 2 c) cx__ _xJ+ t E 2_ + 1

sdivisib leentr___

s nula. si al dividir p(x) entre(x-2) se3 obtuvo como residuo 50.

Hall,,e_restodedi ,l_d;,p(.x)enE,e (_7__)

y

ablegenerado por

U<331talqueexist enl3té_inosente rosenudesa,o__o.



___ _ _ _ _ _ _

os, cocientesnotables

Unpolinomio m6nico denoveno gradocúbicaexacta, ademásesdi_sible

omo en_e(x_4)entede dicho

o decuartoseadivisibleseparadamentepor_v N_d__-3 dejaun resto igual alOO_ luegocho

omio entrex+ t

un te_ino del cocientenotable

Um ax_+yIo

' equ__d__



_ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _

m_salserd'__'dido_r(x+_)seobtieneendiente

olinomio de grado n y devariablex esleen_re_ l+_ 2+ _iente2. Sabiendo que

nte, calcular el

+ l)"

- l_

q2 - l _pqq2

E) pa_ _ __

e

Hallar el

_c) (X- l)(X-2)

Vament_ Se



_ _ _ _ _ ___ __ _ _ _ _ _

/ coc;entesnot,b_

4 ; se36. Simpli Flcar+xp+x2p +x3p + x(2n - _)p

_P_ l

nEenOtable; el Se_undOeStáadosareS del ß_meCO. _CUál eS el té_inoeCentral en d_ChOCOClentenOtable_ SabiendO

) se38_ HallaC el g CadOabSOlUtOdel déCl mO_ Pnmef téCmlnOen el COCientenOtableQUeSeeObtleneal diVidif:

ble9 sl, el poll_noml_) _ b_ _ b _ d. .sl.

x _ + __2

: D) 2 E) - '/2

_j ;

SYmnpq t Oobtiene?



r

rf ___ l_fD

2

2

22

rs

A

3

------

--1L.IC

--1Lil>

A

i

_ ___[A

1

1

___2___fA

_ L _ f A _lLJC

6

r ¡ ) 16

D

_2..§.._fl

_L__JD

17

re

___L_J

__ 2..___JC

__1Q____jC

___ º___JB

__lQ_____J.4



n?,___,?vv__?_,,__s_,,__s_;__v__?_,v,,_?__n,_?_?____?v__?,q?,,_;_t____vn_t?v__?__,_,vs_v_v___v_____sss;__;n_?nvn_?_____?_v____,,_?__v__,,v?n,___?v??v_vv;__,_?_vs_?;______,_,v__nv____?,?_;_,?_m?v;s_??_?___nt,r,_?_?,J?u__?_,ss??_____?__v_v_t_s?;_?_v__s_;_?,t_?s,?v___?,?vs_v_s?_s,_c?n__v;_?vs___?__,;_;____?_v,_,_;__?;,_;__n__v_ss?_?___vvs;_;?_v__;__vv_?,,,_?_n;_____?,_,n,v?_?_?__?_????n_t?v?_v__?nv__9___?;,,___?_s_;,_n;;_,;;__v__t_;__,_?,_vv,nv_?__?s?_?_;_s_,,_st;?tv______;_ns;n_?;_v?_?__;;,t;_?__?__s?_;____s?___?n__v_??;?___s__oe_fmea_a__ntolrsn_caonu_st_letme0nu___ccasenapuouf_ee9yaa__Asermccn__obeno__oploorrluno_r_anpsumsrt__eatcee_taesc1aJ9_(onr9a_caoo9tsule_ls9eaeyayaeenn_ntta)etrobreaoosrurc_haoar1n_lt_ot_+_nJsf__aca0fdoa9eccelstrrm_adnataedemesoanenel__(r_cFacc______ttg___0

_c_?__?r______qe5t________K_____?__?cre_c____r?___t__x_???_n_f_?_%____n_t__h0?J________?t??___________?a_?r___?______v__n_v_/l__t____?b__ty__l__t_J_q__?__2t______________?/_gv_v_J_r__?___xy_t______a______ny\_r__\nv_ry__;__t___M__t_\__n_____v__x____c___t____nqs___tt_v_rn__________?____t___tv__yv_s/_??_______9___n??___mt___qx______?_______t?sxx____?__?__v____0??___t_F_l?_??_?_?tt??__?tt___t_\_____??______??__n_?_?_?_?__?_m?_____nc__??__xce__sto___?_q___0__;?_?_tt?__J___??__J__?v____?__JeJ_______n____9_,_?_r_q?_0_?__xo___t___h_t?(xc\_x______n_D???_?_?v

_,,5_ __,____%,

n cond iciones? L, __,, \ _ ___ ' _ _ _> _cX' _, ' '_ __,,'__A lOS 16 anOS, __L__,:'' ''' __ ,, _ __,os n _,n_\_ .,. ' ___G_ _i_

-___ ___y"'__'___; _ _"_,:_',__.___;_'__ '! _M_;____n ,_"elativa! ,_n_;_,,__' ', _,,_ _,__ __e_q j _\v __ ;_ _; ;;,c_x__ ',\ ?',_ _' ;_,' ' :v,_v,,cior :_ ,,", n',_/n, _',,__nsesc,.. ''' 'x ,,"' , ' _;_.,x ; __



_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ __________________ ________ __ _ __ _________________ ______ ______ __ _____ __ ___ _________ ____ _____ _ ___________________ ____ _____ _ _ _______ ___ ___ _ ______ ___ _ ___ _ _ _ ______ _______ ______ ___ __ __ ______

'' _.''''_'_.' '_''' 9__.:'''_.'' __.''_:''_'_.' '_'''_.'_'_. _'''_'___:'__'_, ''__'__'_.__''' _.'_''s_'_,'___' __:_''_._:':' _''''''___'__' _,''_''_.?'__' ''_.__4mv,__'y_'__v!_?.v.! _'.'''__';' .'_!'__._.;_''' ''_'''_:: ';__'' ._'_.;''__5_'___.? _'_n_;___'__.:_?___;_:______._/ '__;_'_:__._, _______;:______.n'' :;':i.n.'' .;_'''''_' !:_.'iqM:'_:' ''y_'':_.__'_' _._'g'__.'0_ ''_X'.'___' _.''_._''__'' '_''_'''_:' '_'__'_.''_'' __''_''_'''_. __'_____._'''.''_' ''_.__'î''. '''_'.'____'__' '_.'__:'__''_' _'_:''___'_.'__ .'._'_'._'_'.x''_: ,__:i.'_'_._'_, i___'__;!6'9._s_.: _._;___;_:_:i:'' ___i'''''' '''''.;_. _'''''_ '___:'__' ___''_''_:':_' _.'__'' ' _ ' ' ____..'_ _._.'____ _. ___ __., :'_::.__,''_. _,__'.,_.'::,i __'_.._.__..,__,'__i '.'_::,_''_: .._'_::._:,____.. .,_':.__._::._. y_'_.i:._..:.' ;.__.:'_::,, _,_':'_,y__.:,.' :::_j.:_.; y'::._:',.' :.'':x__. .:__. n_'_y__.,,_,, m____.,;y.,_,,.M_,>____,_;_' '_:)''_''_' .:'__._._'.,'' __.i'':_',. _.__.'_:.____.','' 'v_s:::.j_____,. .'i.:'_~n.__.: __/_';'?i__.. .;vi__n,,,':;' _K;;_;e,''' _;.,_''!,;:. i,_._._;_'_,;' .'','__'__;;__, !_. :_,,..,_,.;.; i,..,__'__ .,;.. ..._.0..._..., ......_....._,. ?....._:.__..,. ,,;._.... ..._........ ..2......._,_.. _....,...__._'.. ,.'':___,j,_.. ,..v.'__. _;. .h'q.;i 's:''..: _._;,___V_:; n,/,;_...;,,. ._.;_,_:,''' _.:_':_':._: .'_:;.._'_:' __,._.:.:. ':!___':.'_; :;..'' ' ,, ' __''':'.:' '_'_'.:___...:, ::_:__.: .__'::__.__:' _

_, _'''', ''''''_ ''''','''''' : '''''''''_ ::''''','''''_, :_'''','''_::''''' '''''' Al expyRsay24 =J.8 se)_a_4cro__?4do 24 e97p_d7_ctodeeJ2reyos,_ sic92doJ?_ 8_4ctoyess7_ vem l4 =J._;' J__ 2 so17 raJJ2biéi2 JacrorRsde24 _7seJl4_JIn17 _4ctoJ__s

JJJo Jn 1JIJIltipl-icncióJJdeotyospoIi17orJ7iospeJ1e12ec_ie_7t_sn JI1J.ct o__?ació12 depoIi12o1JJios.

cro___ay. DeacJieido nl4scaJ_acteJísricasrl_Ielic4r ral o c7_.al c_ieiio, poy ejeJ'JIp Io:

_ _spadobleespeci4Icos

Ios poli12oJ17ios:

Jrdo e1l esreJJlnJ_n_'iII oso reJiI4 _JIee._ /nJncroJih_ncióJ 7.



_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ __ _ , _, __

_/?_?î6n i_cadae_0_' n'__X_ _sdem_or_' _\_''_.uact_n.es, __ent_ /en la_ e_i___es, _tc. ?h'__n ?î-';_ \ __ '' ,_ - - "_ '

__ inc____,c, __,n.n,es,,,. ''nn v',n' 'S ,, ,,,,, _

sdetodo _nsamienlo matemá_co, surgelateoríadeealgebraica.siones_ esta ayudanoslabjndalateoríadelasimpli F_cacálculosengorTososy pennitelaresolución deunciones, etc. Paraello, desanoIlaremosel temaconco, polinomiosirreducti bles, Faclor pjmo,etc. _ así como losmios, sobredeter minadosconjunt osnumericos.

ctoreslineales.caremos''diferenciadecua_rados'' o "aspasimple''.et_aparagraF_car ciertasregior_es.ipalmentealgunasecuacionescuárticas.aresolver ciertasecuaciones, de preFerencia,con grado

mosfact onzar.debemos facto_zar numerador y denominador para

vasFormasdeoperar, paraaplicarlasenotroscapítulos

sentecapítulo.



._.''_';\__:'_';'';v' ____'.,_;,,_,.,;,;V,,'''_,,__'''_,'_,;;''J"''_'_'__::' _''_,'_,''__,_'___ '''';'''''':':':''_,''_''''__''_'','''''_:'''''''''''''__'__'''''''''','''''''''''''':'';,''''''''''',:';''':''':''',':'_;'_'';'''_'__''''Y__=_=__=:;--=--:--,______,_,-_---_-=--'_-_=__--__=:;--__----_------;----=--------_---_-------------_--;--=--=--=------------_----_''' ..:'... /'''__-,__,-=;_-_--:_-___-__'=_=-_-___-_-_ m-'_'__=.''__:',;=';...,..;.=;:':.:' ..,.'' :-------------- -----------------_-''_.'' '

eracionesbinanas: adición (+) y multiplicacio'n(.)mpo numérico si secumpIen lossiguientes_iomas:

elementosay b deun conjunto Kt existeun únicoconjunto / c=a+bdapar deelementosa, b del conjunto K, setendrá:

elemento a, b, cdet conjunto Kt lasumadeestosese.

o como neutro aditivo. Paracadaelemento del conjuntoO''; OfK; a+O=O+a=ao de''&'' o simétrico: Paracadaelemento 8 del conjuntoa, (-a)eK_ a+(-a)=(-a)+a=O

mentu a, b del conjunto K, existiráun único elementoceneceal conjunto K.lemento a, b del conjunto K, secumple: 8b b8ro ''.o 8t b, celementosdel conjunto K,se lendrá:

como seasocia0 loselemen(os_, b, c,' esdecii,el

tivo: Paratodo elemento "8'' del conjunto K, existeun8

&do inverso multiplic8_vo: Paracadaelementono nulo aotado or a- _ deK, aal _ a 1.

mu_n___CAc_6_coNREs_E_on ln AD_c_óN;

os numé_cosconsideradoscomo camposson loss(_).

_Losirr8cion8les(_') forman un c8mpo?_

iemßreCUmpleel aXiOmade

_ _) __'

osi_acionalesno fo_an



_ _ ___ _ _ _ __ ___ _ _ _ ____ __ _

_y_ __ , _v,_N ,' ' "_,_ ' , ' ,__ '' -,, __, '

s,,_,,,,, ,, , cno e, consI,o por ser degrado nulo.

o dete__.nado campo nume_,__co s__ noadm___sado como la mu_t__ p___cac__o_n dedoso ma_

ocampo.

; E.x) __ __1 _ _

=4x4_ I no esirreductibl een _ porquepUedeeX_reSarCOmO

I_ F(x) = 2_- l esi_eductibleen _' _ero no en

pero

m_'___v,_________, _ ,, , , _ eslaunidad ima_inariadenotado_?_ _ '_ . . , J

"_' _ adela,te D

, _' '' _ _ __ _ __ _ __ _

dOPOlinOmiOdRPrimef _fadOeS iffedUCtibleen_

XSl

ledeun

_sonx__2,_+__+Ien

v_- 2)

2) n, ,___"; _,,,__,_?AlfaCtOCde Un_lInOmiOtamblRnSe _0eno '

-y_''



_ _ _ _

_;';, s5_;_ Enp(xy_,) __ _yz2acto_spjmosson tres: x, y, _

nlCOSOfeS en tOtal.

namultiplicación indicadadesusFactorespnmoso sus

cAmio esúnica,

maquepresenteel polinomio.

esoIución:

so P(x) = _(4_+5), donde_usfactoresmino. pnmosson' x_ 4 +5

FJem_ O_Y) '' (X+Y) + 5_(X+Y)

y



_ _ _ _ _ _ _ ___ _ _ __ _ _ __ _ _ _ _ _____ _ _ _ __ _ __ _ _ _ _ __ ______ __ __ _ _ __ ___ _ __ __ _ __ _ _ ___ __ ___ _ __ _ ___ ___ _ __ __ _

op(x ab) __ _ + 2(a+b)x + (a+b)2

tnnomio cuadrado pe_ectoar

(x) __ x4 + 2_7

a___andOCOnVenlentemente3 2_ 2x 2

lUCiÓn:

-ac-bc) :'............................. ;_

+ (- 2)'

a.

E _P_

alospolinomiosdeen_efo_, ene,,_..

__ym + Cy_ 6

_Y) = _ '"+ _m + C_



_ _ _ _ _ _ _ __ _ _ __ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ __ __ __ _ _

olucl6n:- Descomponjendo los ext Femosadecuadamente

2 _ gy2)

(x, y) -_ (_+6 _) (2x+3 y) (2x_3n

___,,TEoRE__,,,,_,.....v ''m), T

(x) =_+_+c__ (A_B,c) cz, _A, o,_

5x + 2, sí

lo 2sractor'_ableeng 7.

dO

Zab e

mOs

+(_+t)x+_

_) _ _'_+2_+ l -4_ = (__ _)'-_ _)2 esun cuacl,ad



____A______________e____t_______D ___t______e_o______B______o_______________r_____0___E ________________e______o_o______n________0___f_0______0a____0_0_00______0_0________0_0_0_______v______0_____r_0_____0______________r_________e__0___________0_____00____0________________________________p____________________________o__________t____________x______________________J_________ __________________________________________________________________________________________________________________t_________________________________________________________________r_t_____t___ __________________________ ___ __0__________________________0________________o0________o_o )

gotenemos:adr_tico en unavariable, si esP (XtY) = (a__+ C__ + F_) (a_ + CW"+ _j)

__rqueno es

.................................................................,..........,,.....,.......................,...........,,........,..,..,......,....,..,. Factori2ar

_i. Re8oluc16n:______''' =_._'_,!'.,_'_.' ,''__!,.!_,_!_!__!,, . ,,,. Aplicandol asaspa ssimples :

eneral, li_ii_i''_,.pa '-__''_'',,. D.o. _ t l_ + 6_ + 7_ + 8 + 2

S de_ - _ly - 3

,,,, , , ,, ,, _, , ,,,,, ,,_ _ __,., ,, , _,, ,,,, ,,_,,,,,,,,,,_,, ,, 5_ D-2y -3.:;_':.:._::_:_:__'::.::.;_:.....''_' ...._:.... , _,, , ___so_b_i

_.___ _:'?____.___'_,_...__. ..._q._.,.....; ...,.._;_; +_'''_C_2,___ '';..__.,._,_; .,_'___!0:.!i,,, ,,,,,,,,,_,,, ;,;,_,,,,__,,_, ,,,,,,,, _,,, _; ;_,,', ;:' _ 3yl

3)(2x + 3y + l

en su EJempIo 3

) -- _ - 25_ + 20z2 - 5__ 2Mz_5y_

eacuerdo alaFonna_eneralterceravariablecomo si (uera

O_

suFo_afacton.zadaes.2x _ 5 _ 5_,



__ _ _ _ ___ _ _ _ _ _ __ __ _ _ __ _______ __ __ _ _ ____ ___ _ _ _ __ _ _ _ _ ___

cto_zar F(xJ=_(x+ l) + 2_ + 5(x-3)olución_..'':_:._'''__ __:,. .,,,.,.,,.'0 '' i''': _' _': _,.':''"''i''_''''''i'''''''_,__,''',...'._ EFectuando y ordenandodeacuerdo ala Forma._,',__.:___':. :....B' ,,. _: _'''''t' _;__,;.._. _' ,,_... __' ' _''''''___''_E, ,_,_'_;;,. . genefal_

5x - l5 SDT:

___: 2StV

te_ p __ ,2_s_ +6 2 ,2_5, +q 2

ntal. _ -2Y_ -Y

_ __ _+_ _Juc_o/

_ SDT: llx_4

+3 4)(_+2 +2 _J



_ _ ___ _ __ _ _ _ _ _ __ _ _ ___ _ __ __ __

S

unto-_n5___v__ delos_siblescerosracionales._or, _ _ _Factor EJ.e_plo.

ona_esson l o,Asl/m_,smo p(_) _

O.

lOnaeS, pOf _l.nea_es.,nd._

acionales.

eS :__:__ 0_s, ' ___n _____. 'do unpo1_nom_o p(x), e1 número _b_,es undeun cero de este_linomio, si y sálo si (x- b) seráunOr deP(XJ_

6 = O

Dado el polinomio_n 2 + ... +a, _, ao.a,,o

noss._ u_.en_emane,a.

S QUenOS

ClOnal_

Rufflni entreele, grado depolinomio y el pnmer factor encontrado,neraícesSlendOel COClentedeeSta dIVISlÓnel OtfO



__ _ _ _ _ ______ ____ _ _ _______ ___ _ __ ___ __ _ __ __ __ _ _ _

cton_za,6

on,_es..

orcutivamente.

_tan lao;



_ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _

, lasuma defactoresRrimoses:x + 5 + x + 2 + _ + 7x + 3 = _ + 9x + lO

amARYRESTAR

mponer algúne, unaensFo,meen otro ra/c_._

Nom_osDE G_o pAR: consist

varlo aunadiferenciadecuadrados.

,maf y rest,, 4_)

mosde

x_2x)

+ 2x + 5)(_-2x+5)

oluc_'o/ n:



________ ___ _________ ______________________________ ___ _____________________________ _____________ ____ _________________________________________________ ___ ____ ___ _ _________________________________________ _________ _ __________________________ __ ______________________ __________ _____________________________________ ___ _ __ __ __ _ _ _____ _ __ __ _ ________ __ ___________

R_CíPROCOSnomios4uetienen pori un_raiz cuo Iqu ieraesKla

= ax3+b_+bx+a+_+bx+a

_,,--_.-_--'_ ' _'__., ;n__, - -i_ _- +_ _ "'l::_:-_- :''' ., ... '''___,::'_,:';'''_,::''_;__'_. ' ' '''__ii .. ,.,....,._, __ E o &_ M A,.__?;,?_.='-_-----=_-J'' .', . ..._'''___ ''ii ' '' '''''''''''''''''''''' '' _' ''x__'_:'_i_ l) _ Todo polinomio recíproco degrado impar se anula

_.,:,.;.................,,,;D,, :;.,,_,;..;.,;0:..,,. ,. ,.,.,:_:;,.:.;;,;._;____;. .... paraI ó - l

,,,8,,0d,..,,8,,,_,D,d,,,,Ddd,,.,...,,,..,.,,_....,.,,,,0,.,..,.,_,,.,.._=,_,,......,._.g_.,..,..,.,._...,_SeaP (x) un _ l ino m i o de grad o i m p ar i ___o '_, '' _=:_' 'P'_'.P_ '_,___i'_''_ _'_'_''_''_i_|'_i'_''''_ en_onces(x- l)6 (x+I)seráunodesus'__ __ _''_ __'_d'_ ractores. ____,'d''0o0___....____''_'_'_'_'_''''''''-'''''_''0'''_ '_'-'i''''__''''-____'"'''_'''''-'''''"'''''''''''''''''_'_'_'_''__'_'''___'_'_''__''''_'__ __0 '''''''''''''''''''''''''''''''''''9''_'__'-__'-'__''____'"-'__''_'''_'''''-''''''''''_''''''_''_'_''''__''_'-'''_'-_'__'--_''_''_"''0'''''"_''''''

actorizar polinomiasar;

al

grado del

eral del término central.



_ _ _ _ _ _ _

_

nde el ractor demayor sumade

OS SIM_' l_OS

r

_

r.



__ __ _ _ __ __ __ __ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ , _ , _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

cos:

2_ --- '''' ' ''_'__'':''''''''''_''___'''':,,''''_''','_::'';_;,:'''''/''..''_:___'?'_:s_' _/n___.____'"''_' ''___''',,'''''''''_'_''''''':''.''_'''__;''''''_','_;_, ':' '.__;''__' _,''' - _ ... .. ....O_ ' ' ;:..''..,: ''___,';_,'__''____''''',:;:.;'_.__''.___.'_._'_____: _'^ iq' .,'_:... .,'' ....;:.,;_"'';,;,'''''_ _. _''''''.: , rBO ' ..:'' ,__.' _... :: '' '' '; ;

__ __. .. __ ', ___ ____'_ _ ; . _.. '' ' :'_,,_,,:,;'',_,__,_ ____, '' : ' ;,,'_',:' '_'. ' ' :''_ .. _' _, '''' _,_,___'._, ;_,:;.', :,''''___'_ _ __' ' ' '' '' : _'__ .. _' __, ' ' ' ;' ' ' ', _ ' ' _ ' :' : _ ..,,;'__'_''_:''__ _' '_- :-- __ _--- : : ' _- _:-- _'- '-' '-- ' '--'-: :-'-'--- ' , '''_' _ '_: _d_'_;n ' _ '_' ' ' ' ' :_ ' ' ' ' ' ' ' ' ' '' ' '_''' _' ; ';.__' _' '_ ' ' _ :. ; ' ' ,,''_' x-- ' _ ' , _._''_ ''''' ' ' '

y+_)

d:al (x + yJ5 _ _-_ _- _(x + y) a(x. y)e,. g,ado _2do. g,,d

N

ac_.endo.

.:,.._, . .:,_' _ l_2S

ón det 5M _ 2N __ l5 ....___N__ (_)

X,1 = _ X+y 5 + + 5xy)x _

algunaEJe_PlO

a __a3c+c3b+ Ja_a_Jb_ 3_ 3bleResoIu_ón:ier par devariab_es, el

_-M(bta,cJ. Entonces, el polinomj'omado, ade_násparaa=b setieneunam(b,b,c)_o _ (a_b) esun Factof dem. Luegr polinomiosalternados, losotrosfactoressonay (c_a)

a-b b-C(C-a. k(a+b+C)

menteal procedirniento del problema

M(a,b,c) = (a-b)(b-c)(c-_a)(a+b+c)



__ _ _ __ __ _ ____ _ _ _ _ _ _ , , _ _ _ _ __ _ _ __ __ _ __ __

alor __)+__)+_'_) ,por lo tanto P(x,y) __ (x+Y+z)(_+_+?2),delOS FaCtOresprimoses:y2+_'

lojzar, indicar un Factor primo de2__2+2_)

__m+_?)2 + (m__,)2_ + 5(m2__,2)V

o desus

385

oresprimoslineales.olución:

aP(xJ=x4+_+ l+7__385ivamente. Reduciendo seobtieneP(x)=x4+_-389

3 como =_ (_+24)(x+4)(x-4)

_4), cu asumaes2 x



_ __ __ _ _ _ _ _ _ _ __ _

a+I=O

x)

mos

xJ.

ct or n.

orizando por aspadoble:6 xg_ _ 3 x2

) = (3_+2_+3)(2x'-3__2)zables

omios; sin embargo, no_UYeentOnCeS qUe2_-3_'2 eS eles.

dar lasumadesus(actoresprimos.

a+b)'- _ l)obtiene

ntoncesK(a,b) -- (a-b)(a+b+ l)(a+b- IJOCeS ßnmOS SOn

; a+b_ ICt_ pnmOS eS 3a+b



_ _ _ _ ___ _ _ _ ____ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ __ _ , _ __ _ _ __

decoeF_cientedeun factor prirnomio S(x) = _ - 2b2x - b8 - b4 - l

,...,.,. .,,,,,.,,,.,. ,.,,,.,,,,,, ..,._,,.,.,,, .,,, , ,, __ _D_D'd0d0.. ___i__'____'___0_____..'_' _..q_,.__,_,,_,,,,, ,_,,_,,_._.'_'_... '_0_','_'_'__;,, _,..',,.,. ' 2b-X+ b' --' _ "b) _ _,,'_0a, ,''?_... , ,............................ ,... ,........ ,............,........ ,.... ,........... ,....,.......... ,............................................ ,. ,.......,............... ,..... ,.. _... i i. i i i

s+ l

teses

Ci r b - b + 2 _ -b ' b

s

del POl!'nOml'O

imo R' C

+ + a+ CC+

: -- C+ a+CaC+c+l 6 a+c ó ac+I

OS

_ ( 6 _ )2d derfeCtOt

efOS COnSeCUtIVOSmbossean cuadrados

nConSecuencia, _ + 6_ + l no es factojzable



_ __ __ __ _ _ __ __

+ _2 = m

cir setendr;2bcms _ 3n2m + 2n3and o 3 n2

m+2n)(m_n) _ (m-n)'-(_n+2n)

+ _+,2

_)'_actoresalgebraicoses

pnmOdemayOf SUmadeOeFlCiente5 en36x_

or común monomio: 6xy', sel Ox-_+y+6)

(_ + O_ - _ + l ax + y + 6)

pOlinOmiO._.H(x,yJ= __(2x+y+2)(2x.-y+3)

y + , X-Y+decoeF_c, Nenteses 2



_ _ _ _ __ _ _ __ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ __ __ _ __ _ _ __ _ _ _ __ __ ___ _ _ _ _ _ __ _ _ _ __ ___

x-4)x+4 x_rimo dedonde un Factor primo puedeser

ner el nu/ me,o de factoresa_eb,al.

Factoresal eb,a_.+ _)(_+ 1)_ _ -_ 7

primo

un cambio devariablex -3 = _I__ + 243

N+_N+

_ =



__ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ __ _ _ _ __ _ _ _ ___ _ _ _ _ _ __ __ _ _ _ ___ _ ,

+27I J(x,yJ= (_+y2-y_6_)(í+y2-_+2_)

Factor demenor sumadecoeflcientesesctor Y_'

Oi(x) _ xG-9_+30x4-45_+30ì_9x+ Ior pnmo mónicov_ + l-3x

_ ' ' _3 --_ -3?

_) v _l) F lll) _/

em8 28

_b_C-- a+ tC - -- ' '



__ _ _ _ _ _ ___ _ __ __ _ __ _ _ _ ___ _,

oQlem8 30mio

z) X- X' - _+ ^ + ,delas siguientes

(x,y,z) l_ Tlene4 (aCtO reS PC_mOS

m(x) pol_.noml.o recl/p,oco degrado l.r Ay Bm(_ _ j __o _ueo o, d_.v._so,e,b.lno/ ml.cos.

J

nosde

+30x4-Q5_+3O_- 9x+ I

proco degradpa, Facto,;zado (_) set;ene.

x + 30x - 45 + - - - _ -, i

mismo

x+_ _ 3 __ (x2 _3x_ _);_

+I)J

_T. F _T_. v



_

sT. lndicar unfactor pjmo de

resionesno es_ino de un factor pnmo de?.

9. Indicar el Factor primo cuadrático demayorespuésdefacLori2ar4__

+2x 4 c)_+x_g

_ospol,_nomN_y+_5y2_ 1 _x_ 17y+4

como respueslael factor pr_monoe coerIcientes.

+5y_4 B) 2x+3y- l C) x+y+4_ E) 2x+y+4

uadrático demayor

)__2x+5 C)__4x-2

tesdeun raclor



_ __ _ _ _ _

DJa+b+c+2 EJ 2a+2b+2c. _

s

actory'-

-

posicionessiguientes:

ade_1_ a_ c7_ no esun rac_o, pn.

ode Q(x) -_ aa_ + (2,_+,__J_+ (_a+2,__a)x+a_3

_ __ __ 4ro o falso con fespecto a

ns2- 2c'- ; O< c< I

A) VWBJVFF C) FVF



b+ l _ a_ I cuadradosper€ectos.

x+ 2dad deoPosicianes:

x + lprimo es_ _ x + l

eS l

FV

or dealeaquel queno es factor

x + 1

n Factor primo de

+bs+c.5+abc(a2b2cJ_

Y"2x)'+ (3_-x)5



_ _ _ _ __. _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ __ _ . __ _ __ _ _ _ _ _ _ _ ___ ___ _ _ _ __ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _

) en l o ss (a_ b ,c) _ ( 2 a2 + a b + ac+ b c) 2 + a_ ( b c)

F d ev e, d ad dec ad au na d eIi en t e p (x ) __ __5y. 1 _



. - - -

, A

2 ; ·

· ·_¡

3 ¡ ¡

4

r c

~

6

¡ -

----- e

7 -

- - ~

11

18

12 E

16

¡ ~

- - · - - - - '

19 iE

23

D

25 -

- - ~ I

26 i A

__

27

ID

a íT

30 ID

_ 3 1 _ . _ j E

33 rs

35

B

__l§_f



_ _ __ _ _ ,__ _ ,_ _ __ ,__ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ __ _ __ _ __ _ __ _ __ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ __ _ _ _ __ _ _ _ _ __ _ __ _ __ _ __ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ __ _ __ _ __ _ __ _ __ _ _ _ _ __ _ __ _ __ _ __ _ __ _ __ _ __ _ __ _ __ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ __ _ __ _ _ _ __ _ __ _ _ _ _ _ __ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ __ _ __ _

ud _ossobre,?,__ ___ ,_M_________5,_-m____'a ?_ , "^ß' v_ ' vw'' _'_,c3_,n_a_U__ade /aJ__^Ç_'J;cy' ' ' _ ; ' ,_, ??_;,_f l0s_,?, m'?__J' _ ', ___, _ _'_''af_sic, J,_,_ __?__'i, _ n ! _ _ _'.VXcc__y' ' " _,_ 'C,___-___, 'e,

___,d, _c_,_,__,__ _._ ___ _ _ t,_C___ _'_, 5_, x '___'_'_v_,''_'. _

ndo en ''_,_c0__ _ ,'__'_5'?___,,,?_?___, _5___ç'z_,''__ ,n,v,_ __, '- \' ?___,_

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__.di__; _'_M_s_ces_*:n, c_'-.'_,._.

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Sx' -___x - J

_ _

_(xJ _- 2___- - Jlx'' + l_xn + _

&-4_-/ax2+/8x+;a+ r__

_. _.D.(_,BJ

__1rJ.



_ _ _ _ __ | _ __ __ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ __ __ __ , _ _ _ _ __ |_ _ _ _ _ __ _ | __ _ _ _ _ __ _ _ __ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ ,_ __ _ __ __ __ __ _ _ _ _ _ _ _

_ , 'S_esde{ m__mo' ' com5X'^~ __ša___^ __ com_YS _ m' __.__i_, _-_ _h___' as'p__ ' _ _s_, r cua_ c_mÓ_' nes,;__;_ _ ;"'_ '__; "'

m. y M.C.D.son consecuenciasdela teo_ademúltiplosmética. Unadelas aplicacionestécnicasdel m.c.m.y

deobjetosgeométjcossemejantesde unaFormaexactaen

^_____^__ ''m' 'n___h~"?__M_

trar lacantidad decajaspequeas que en_anen lacaja__ M-C.D.

úmero deplanchasque sedeben utilizar en laconst_cci6nsnecesario utilizar el concepto defracciones.

C.D.segeneralizan aexpresionesalgebraicasy esteecapítWo.



___ , __ __ _ _ ____ _ _ , _ _ _ _ _ __ _ __ __ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ __ __ _ _ __ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ __ _ ___ ____ _______ _____ _ _ _ _ ___ _ _ _ _ _ __ _ ___ _ _ _ _ _ _ _ _ _____ ___ _ ____ _ __ _ _ _ _ _ ___ _ _ __ _ _ _ __ ___ ___ ___ __ _ __ _ __ _

._,.::,_:_._..:_..?,''';_'':;;_.'_:_"'"' '"_'_._.___,_.''__.;,,'':'._',.!'..^'":""'._:__.;:__.:_,_.;:____'__.;;__'5.:,_;''....:'_.;...._:....,.._;'''_''''_;____.:_'__:____._:_.'/.:,';;__;_'_;,..:.._.._..,,.;,:'.../.''_'';.,_:'__.,'''':..,.::.''''' "''._'__,.'_,.____:._.'__''':'':;..""'._'.'''..,..''::;_;._;,;_:_;_,'' .:.:'';':''''_,_.'_,:_''_,:.___'_''_;,''' ''. _ :_',_.____. _'_,'__'_,_',:_..._ .: :'...;,_._;_:__:;'._.:'_' ,,''_,.... :,_.,... ...spolinomiosde gradosno nulosP (x) yQ (x ), sed icequeQ (x)esexacta. En tal caso seráposibleexpresar lo por:

x_____' .; H.ix' ' J'...:_'... n'u_0..........,.::'_

mlOS, DiremosqueM (x) ser áun factor com ún a dosnomiosf(x) y g(x) nonulosde tal maneraqueseaposi b le

o tanto, susfactorescomunesson:) '-

,_,.,,_t P(xJ= 2x 4 - 3 _ + _ + Ax+ B ytor Q(x) = 3x 4_ 7 _ + NTx + N

n te,

_2 ;,^,.^'.^^^o^^0^^......^_^,a'_,^__,__^__.___'_.__:_____._^^_._____,.._Og._0,_,,_ _'__,t _t00''___,.___'oi,_ 6 ; 12 72esse'0_,__D'00___0o0 2 - l l 2 ; O O

6 + 12-_ o _A= _6poseen __D,_., _,,.0,,



_____________________________________________________________________ __ ___________ ____ _ _ __________________________________ _________ _____ _ _ __,____ _____ __ _ ___ _ ,

E UNPolIN0Mlo

sisible

masepaFada.

Q(x),

x+l)(_+3)l)(x+I)'(_+3)3, ...

polinomio múl_pIo comun demenor grado.

x). A(x). C(x)) B(x) A(x) c(x)

M'C'D'(P,Q) m'C'm'(P,Q)-- M.C.D.(P,Q).m.c.m.(P,Q)

El m.c.m. dedospolinomiosA(x) y B(x) es_x _ 2. Hallar ell) número defactoresprimosdeA(x).B(x)

_,':_.',_.,.__:_.._:__:_'_'_,:._._,_:M.....:_......:.,__._'_'_,__.__:_: '',..._._:.__,__,_'_a'''_0......_,_..R.''''E: _. .._.' _ '' ..,... :..'_''_:_' _. ,'_.' ,,,n.,,__.;';,''' ., A(x) B(x) =eque _ _3 x2 4 _ + 4 _2

+2J(x- IJ

+2)2(x_ _)2(

) _._ene3 Facto,esp_.



__ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ __ __ _ _ _____ __ ______ _ _ __ ___ _ _____ _ _ __ ____ _ _ _ ___ ___ _ _ _ _ _ _ __ ___ __ __ _ _ __ _ __ _ __ _ __ _ _ _ _ ___ ______ _ _ _ _

OmlOS en (x2 + _)2 _ _2 (x 2 _ l)2OllnOmiOS eS 2

mOdedondem.c.D.(A,B) -_ x4+ _ + l

s:

_) A(x) __ x4+ 2x2 _ 3

x 6 + x2 + 1

en el;5) -_



_ _o_____________________0pu____E________o_0_____________0__________________________A____________________________________c_______________p_0_p____x_____________00_____0_______________o______________________N___+_______________E5x___________s____________+________________7_______________E_____________N____________________T_________________R__________________E________________________________N______________u___r________m________E_________________o________s_____________________

s

''_'''''':.:_''':'''__:,'''',''''._''':_'':'_'_';__''_'''-.'''__._'':'''__'_;:_.''_'.,,;_'_. ';_ _---- _,':.'''__'___:.''_'''''_'''''___'_'''''''''''.':''''' _ -__;=,--=---/---_: _-;__--:_--___;'________'_'___''Y';'__.'_''':,;.,''',':h_';'''_,_',..''''_.':.''''',;'__.''___.''_',;'''''_''',,'',.''''_.;,...;..__:''.'',,''':''__,_..:,.,'_'::_::---... :- .. _:;_._,_:_,___;,m_~::;_;.____:;:____:____;___,_____.:'__;;__:_:____:'___-'i__':_:___':-..,_.:-_.,_....:_:,.;_;-^,;:;--_..,__..;;:Y:,:'',, ____,_:_,_,;_;;;:''_,:__,''___';''_:___.-,__._,,_:,.'-:__:-':--'-'' ' ''' ___,;_.;_,,:_:_____::______.,__'__ X_,Y_V''-_:_;;____;,;_':__,,,_:_:.__;,_ '_ ..

_';:'::::__.'.:,.:;:,.,.'_,::._'_,''''_,:'.,__''_:_,:::''''_.,___;____,_::_'''_,_'''',''';,N''''''''''_'__'x_'__ J'' ''::'..,.:/'_;;''_____::.''_:_:___:_:____^'^''_^''_:,_:n__n_:.,..'':: ..''':'':''''_'0vv^_^^'_'_''_"'D(x), i..;........._..._',,,,_0i_._a_i0_,,o'_''_ ;~im-- :.. ..D.:_. _.:- ----:--- ___m__n___,__,;.__,__':___.;_;_._ ,_ ''' ' _' ' ' ' .. .....

;;.;-_--_-____--_-_;-,_----'---:--:---_---_---__-__=__-_=--_----_-,=-_-:-'''' _,,.,....:.:..,:..:.._,:..,..__.,.:._;_..........,...',._:'. _"?_.,,','';' ,.. .. '.... _:., _:-' m: - .. _.;.;./,.'__;';;:^'':_

_'__,'_,'_;''__'__;__'''::,''____''''__,'''''''''':_''_:'__,''._.___''__n''''___''''':'''',,'''__:'''''._'_..__._'-_''.__:__,_,_x:__:__;__:._,_____ '_,,_''_,,,a,,_____0,_'ix_' _?'.___:'_,_:'_._'___''''''_,;____',_''____' :; "_d__''"_0 :'__''0o:'0'_'_'^^___'_"' 'm'''''''''' '' _'__'' '_' ''-':''''=''' '0''___ __ j .

encial).

JemPlos_

do

caexcepto _2 y _I_porquedetomar x talesaloF deido lafracción.e,c.v.A. (f)-_& _ (__2, _ _)

-

adOF_ x2 + 4

mero Fealc'x"_pues_+4nuncaescero.C_ Entoncesc.v.A.(_ _ _

___

___.__,_o0.__0.,__,_'i'_i_"'''''_''_.''___'_i'''_____'______=''_,i'=__=_''__'''''''-'''____________',,_,,_n__,,_',,_o,'_,,,0'_,, presenteque debemoseliminar ''__'_,_,_.,,,,.:_:,,'.:;;:.,. ____:_ valoresdelavariableque anulei_t_____'.,.

era, el ___._.im encordar:

nOS ac

aun. _iCiÓnbC

en b d bd



______c___________________________o___________________o______v_D_____________________o___________0______(________________________________c_______________________r______________________________t______________)______________________________x____o__________________o_(__________________o_0__o____)_o______________o___00_____________________0_________________________________________________D__(_p___________(__)______________)___r_______________0_______o_____y___o_x__p______0_s0___o__t___20____o___________________________________0___________(__________________)________0 3N((J )__t_(x(__txx)t+_+x__)_x2(____F_)x__ aa2c)_v_A_oe

+I)+(x-I)(x-I)+l)

x_U- (I, -l)

..'''''''':':' _N_tXJ_2L_X)''t N_(X_---D____;_--_) .:''''' '''--' D_._xJ' ._.'D2(___:_-' :_- _--=----.:. '' '. r_cc_oN_n_GEB__c_ REDumB_Es'o'''i' '''' __''''''''-'_''-'''''''v''-'' '_'i '_''''e' '''''''''''0d'd'_ddd''0_0'o__d'"d' '''''''' u F . , f() N(x) d.bl .

tr

ctible, seprocedeala__.:_._/_''A':__:_,_.:_ _ _ ( _''"o, simpliF_cacióndefactorescomunesconsiderando_..._. X_,,,,' 2 .,__D0 comocvAde _arracct_o,nreduct_;:'' _,''x'''''''n_''D-;'?_. J...,.. _2_X_J_:-':-:___:'--;___.... lafracción inicial.

O) l. LaFracción en_

''_-_-- __ -= , N--f'_''':''x' '''_''' ':..;.._^__-_C__'-___0_,i. Puedereducirsea_;_......._....__=.,.,,,_!'''' _ ' ,,,.,. ''' . . ------_----;;:-:-_:.;;:-_''_,i_

X^''____ ,; 2_ X..._:_ F(X) = _X'' ' '__ : ;:: ;_. ___ ;___'__._.:_;. _'_;_., ;....__.:;..____. _,;:;. ..,_n;_.:._,.:\. _,_:_ _: ':..:.......dd. .......,.........,_;..v.,.. ;: _ ' __ '_, ,_ :'_,d_:,_;;__:..._,...._' :....;_.__;_:: __0 ::_' x - 5:J_(x)--o) C,V,A_(_ -- _ ' (3, 5)



_ _ _ _ ________ _

g_poscomomogeneas

_ICAS homogéneassi todas poseen igual polinomio

(aS.

cionesal_ebraicassonf

nadoF

erogéneas.



_ _ _ _ __ _

de8 '4 7eune

N E_

nes, por ejemplo+d7_)

_2 ' (x_2j(x+ j

r.decir_di

l6n PrOplaIr fedUCtlblel denO

mio

v8 que

eneracomo sumando al a

_,. _,, ,,,,,,,,,,,a,,,,,, ,,,.,_,,.,..,.,. ,,,,.,,,o.,., .,

a _' ''' ': ''' ' ''' '''' '' '' '''' S'' _

esle ^'_,_,v0 .....,.,,o_o ''..:. . ' :'''' _' '_'_ ,,, _n ' _ ''' ' ' ''' ___



_ _ _ __ _ _ __ _ _ __ __ __ _ __ _ _ _ _ _ __ __ _ _ _ _ _ _ __ __ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ __ _ _ __ __ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ __ _ __ _ _ __ __ __ _ _ _ _ _ _ __ __ _ __ _ _ _ __ _ _ __ __ __ _ _ _ __ __ __ _ _ _ _ _ __ _ __ _ __ _ _ _ _ _ __ _ _ __ _ _

+ _ _

_A(x_l!(x+2!+B(x+!!(x+2!+C(x+!)(x-'!)l)(x- IJ(x+2)

x+2)

r del_ fO_a(_+bJ" n 8tO

ade

,,-,,,,, ,, ,, , ,..,,..,_ ,._ ,,..,,,,_ ..-...... .. .,,, ,,,e-,,,,-,,..,.,,, .....,,.,,d ,.,,'''' ''B,,'_'' c''' '''''''' ___ ' M ''''',''

_'_,,-,'_

e

_ 1 3_ l 4 no _o esento x__ l 3

actor



_____ _ __ _ __ _ _____ ______ __ ____ _ _ _ __ __ ____ ____ _ _ __ _ ______ __ _ ___ __ __ _ _ ___ __ ___ _ _ _ __ _ __ _ ___ __ _ _

_ + BJ(X2 + 2X+ 2) + _ + D

resdeben ser

radores

2ue puedeexpresarse

escomponeF en laadición indicadad

+ 4 t ene,a__ t Co_n '

-'''- '-'' ''' ''-' "' ' ''' '''''''' '''''' '' '-_':'-'__'D''_' '_ --- - ' i-'---------,'__----- ____i f(X)-+-

--=+____î-:_-'''-----'''_ x _2 x2+4_' _-l,''_

_i_2 ,.___'__i. f(xJ= _+ X+ +- _--:.?- _).,=m i.' (x + 2)(x_ + Q)

0^"0'^^____ '"' ' '"''^' ' _0'0^i__0^___'_'_ __ i'_'_"i"^_0^^''' Entonceslos polinomiosnumeradoresdebenser

B+C)X+ 2C+ _



_ _ _ _ _ _ _ __ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ __ __ __ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ __ __ _ __ _ _ __ __ _ __ _ _ _ _ _ _ _ __ __ __ __ __ __ __ _ _ _ __ __ _ _ __ __ _ _ __ __ __ _ _ _ _ _ __ _ __ _ __ _ __ _ _______0___)______________(_____________________________________0__________________J0__o0_____K__(______________________)__________o______________o____o_o_0____2o_______)_(______+___F______________x________0_________________0___________)___0(_______(__________0__)_______0______________+_o____(_)____!___(0___0)_0____0___0__0_3____________)___(p)0__o_____p_____0__0____D_t_t___cc)

una fracci6nropia quedebemostransformaflaen laadicinonesparciales.

deDescomponer en laadición defracciones

quelafracción esimpropia,

pueselegrado del

_x_ _x- _

x + l -

propia

_'_!'_'a_B_'_'_'_'^"'0_'"_B___7_..____i__.' x__1 __. (x+ 1)(x _)(,-2+ _) '',

ible:

x-l (x-I)(x2_l) X-l x_+l__ _______-____-_______0__ __ _____ __d_D_____Dd_______________________-____ ______________D__ ______________________,..... _2 A(x 2!

+-_4_ - _''_.' _2 -- '! ' X_! 1B_ K

'-l)(Bx+C)

alOreS COnVe_lenteS a''__'':

2A- 2( - _+c) _ B= l

lÓn J_ x _ 2

MM'M_'^m'^'?, LaF,_cción im fopia

,,,,,,,,,,,,,,o ,,_,,,,,,_,_,,,____ ' x __ y2 +! .__ _ l x2



_ ___________|_ __ _________|___

C.D.delos polinomios4_+ _ + b_

B(xJ=_+_+d es(x- I )(x+3)m.

sOS

(xJ_ M.C.D.y B(x) _ M.C.D.

)(x+3)(x+2) _

x+2)(x--2)b

b Sean lOS ßOlinOmiOS4 + _ - 9_+n y otro Q(x) cuyo5x + 6/;

esReSOlUCiÓn:COmÚnaP(X) YQ(X)



_ _ _ _ _ __ __ _ __ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ __ __ _ _ _ _ _ __ _ _ __ _ _ __ _ _ _ _ __ _ _

M.C_D. = (m+n)(m_n)(m2+mn+n2)(_--mn+n'')

eS Luego; m.c,D.(Tn,_) _ m_ + m2Jn_ + r)_m_C_m_ m.c.m.(m,N) __(m_ _n_)(m_+m__n__ + ,,'iJ

N) ,_ ,

(P,Q) Reempl,z,, do m _, n set;ene .

C.D.(x,yJ

mos.

uel po1inomio _uecon9)'(x+2) tenga como M.C_._demás; _ = x' - 13x?+36 ?

Q(x) el polinomjo, sabemos_ue.C.D.(P,Q). m.c.m.(P ,Q)

). m,c.m. (P,Q)

c.m.

= _



_ _ _ _ _ _ _ _ __ ___ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ ___

Facto_zando el numerador -

) x_+ 2

ne

+b _ab_b2 _a+ab_b _bJ_ -' _(_ _bj2

_e(j bj b(_ bj -' j bj

2

_' __

. I + b



_ __ __ __ __ ___ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ __ _ _ __ _ _ __ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __

"

m_ 13

-c) + (x _ b)(x ' a)

C+ C-a_ _ (a+C)X+aC_



__ _ __ _ _ ______ _ _ _ _ _ _ _

lor deT losvalaresdeA y Brespectivamente.

lirá7x _ l _ A+ B

.___ (D)



_ __ _ . __ __ _ _ _ _ _ _ _ .| __ _ _ __ _ _ _ _ __ __ __ __ __ __ _ _ _ __ __ __ __ __ _ __

+ X - X_

es impropia, descomponiendo

25x2-lox lox2+ 14x+46_2+25x_lo---..-...

2 = _5 2 +

2)(_+C)B)_ + (5C-2B)x + _A-2C

A+_B= lO_) 5C- 2B= l4

A= IO, _= -2 , C_2

_+46 _o _2x +2

(X) --X'_+



_ __ ________ _ __ _ _ _ __ _ _ ___ _ ___ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ ___ _ ___ _ _ __ _ _ _ _ __ _ _

a __ ( x)

_

ución:ectuando

y2 +y4)

+y4)x2y2 x2_y2

2



_ _ _ _ __ _ __ _____ _ __ _ __ _ _

__ I -l 7;. 12

ndrá4)+(x-5) = 2x-9

esta' ' + _2 + ( 2 _j j x + _ 2_

a

dentQ _ + _+ _ +



_ _ _ _ _ __ _

2

. es20

_(ß)

--

__828inomios

nO

)(X+3)(X+FJ. deB(X) '' (X_ l)(X+3)(X+5)

nA: -l+3+r= _2_f= -4C.D.) _ A(x) _ (x_ _)(x+3)(x-q)

UneS SOn

_-6X+8



_ __ __ __ _ _ _ _ __ ___ __ _ _ _ _ _ __

omios6. Si lospolinomios5_+Tnx+ n+ px - qcomo M.C.D.a2_ + 2x + l

M.C.D. delospolinomios+ _y + y4

y M.C.D.dedos+ I )2 _ 4x2, además2 - 4x'.D. es:

M .C.DD) (x+ l )(_- l J



_ _ _ _ ____ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ ___ _

uelafracción

+ b 2 _ p 2 - m

transforma

nteaA+ B+ C

dondeA, B_ Cson constantesreales.

l E) 5

n+_

ax)+a'1x_



___ _ _ _ _ __ _ __ _ _ _ _ _ _ _ __ _ __ __ __ _ _ _ __ _ _ _ _ _ __ __ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

Fracciones:

onesen la:

+ l)



__ _ _ _ ___ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _____ _ _ _ _ _

plo delos

2 b2c2 c2 a2_j ' -j ' _j _

_.

n



_ __ __ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ __ __ _ _ _ _ _ __ __ _ , _ _

+ac) + (I _ab)(I _bc) + (I +ac)(I _bc)

E __a2b2 _ n-

madedoble

o.

CldOdeh,

_?y2____? _?2-_?y



ra

__

__ i

D

ro

_ _

3

6

¡

·

-· D

r

__

~ ¡

8

i

E

10 iE

Sub preguntas

__4 _ ~

.--

__5 _ ¡

__1_6_fA

17 ro

18 rs

19 r

r

22 ¡

25 ¡

26 rs

27 r s

32

rs

_ 3 L f A

38

re

40

Jl



C PÍTULO

IX

Jean Le Rond D Alambert

1717-1783)

Fue junto a Diderot, uno de los

impulsores

de la

Encyclopedie

Discours preliminare), pero también

distinguióse

como

matemático

especialmente por sus trabajos para

demostrar el teorema fundamental del

álgebra en 1746 este teorema sería

demostrado

completamente

por

primera vez, algunos años más tarde

porGauss).

Recibió una sólida educación en

derecho, medicina, ciencias naturales

y matemática.

Halló la solución de l ecuación de la

onda unidimensional.

Tuvo una participación activa

en

la

Revolución Francesa.

* º·ª*

adicación



t

E

e·

T

u

R

A·

La

historia. del núníéro

irracional

JI

7r = 3 141592653589793 .•

Los antiguos le daba111t11 valor de

J

con lo que errabau e11

u11

So/o. Arquí111edes le dio

el valor

22

los

cliiuos en el siglo

le

asignaron

el

·1.:alor

de ,fl0co11en-orde1150.

E11

la

7

India

de J

1416

cou

error de l

1400. 000.

En

el siglo

A.VII

Adria110

Mecio le asig11a

la

fóm111la

355/J

JJ

co11 u11

error de

1/10 000 000

Lege11dre en l i94, demostró que 7r 110 podía ser 1111a fracción, y en 1882 Linde111a1111

probó que era

11IÍ111ero

trasceudente. y por

lo

tanto

110

podía ser solución

de 11i11g1111a

ecuación

c11yos

coeficiellles

fuera11

e11teros.

Act11al111e11te las 111áq11i11as

electró11icas

lo calc11laro11 co11

más de diez mil decimales.

Semejaute precisión 1w tiene aplicación práctica.

El

valor asignado

por los

chinos, o sea

.flO,

es

s1111w111e11te

práctico; basta constmir

1111

triángulo rectángulo de

la

siguirnte fonna: uno de

los

catetos

se

lo constncye igual al diámetro

de la

circu11fere11cia y

el

otro

cateto igual a tres veces diclto diámetro.

La

hipotenusa del

mismo es ig11al a la

lo11git11d

de la circ111ifere11cia.

Si

consideramos

el

diámetro de una circunferencia

ig11al

a

la

unidad,

su

1011git11d será:

:r.d; si d /

la

longitud de

la

circw{ferencia es igual a

:r.

l

7r

Aplicando el teorema de Pitágoras al tiiángulo antes 111e11cio11ado cuyo cateto menor es

/ y

el mayor

J

su

hipotenusa será f

= J3

2

1

2

=

fIO

Fu te:

/ ~ n c i c l o p n / w emáltca

.1rgo.\

Vn'}. ma.



owmvos

Extraer la raíz cu dr d

de

polfnomios. ·

Manejar l simplificación de radicales

• Transformar los radicales dobles a simples.

Racionalizar'y simplificar ecu ciones e inecuaciones ifr'adonales.

INTRODU IÓN

El

desarrollo

de est

operación estuvo a la

p r

con

la evolución

de

la aritmética y la geometría, y

su

descubrimiento en Grecia lo debemos a la Escuela Pitagórica ( escuela cultural - religiosa fundada por

Pitágoras, cuyos adeptos, rigurosamente seleccionados,

se

seguían

por

severísimos principios).

Los pitagóricos solamente conocían los números enteros y fraccionarios, pero al calcular la longitud

de

la diagonal

de

un

cu dr do de

lado igual a la unidad por medio

de

su teorema;

se

encontraron con

la sorpresa

de que

dicha longitud

de

la diagonal no pertenecía a ninguno

de

los números conocidos por

ellos.

Este descubrimiento puso a los pitagóricos

en

notable aprieto, hasta que uno de ellos, Hiparo reveló

el secreto, siendo arrojado al m r por dicha osadía.

Dicha revelación trajo

como

consecuencia, el estudio

de

lo

que más

tarde recibirían el nombre

de

nfuneros irracionales, expresado esto por medio de radicales, símbolo que caracteriza a una nueva

operación a desarrollar llamada radicación

Siglos

más

tarde

con

el desarrollo

de

la simbología

m temátic

(es decir

cu ndo

los símbolos

tomaron un rol protagónico en la matemática), los radicales tuvieron utilidad importante,

como

por

ejemplo,

en

la resolución de ecuaciones de segundo, tercero y cuarto grado; sus raíces se expres b n

por medio de radicales o una combinación

de

ellos.

En

aritmética tiene aplicación al averiguar si un número es primo o no; en geometría, expres r el

iado

de

un polígono

en

términos

de

radicales, etc.

/ ~

\

\

,a h=a fJ

/ \

,, )60 . ....6 º

•

Teorema

de itágoras

a

a

I = { ,12, .fJ,{5,. .. }

223



Lumbreras Editores

DEftNIOÓN · ·

Es

aquella operación matemática a través

de

la cual,

dados

dos números llamados radicando

e índice, se busca encontrar un tercer elemento

llamado raíz n-ésimo del radicando,

de modo

que se

cumpla

la siguiente identidad:

E : : : : ~ : : = ~ :J

Donde

n es el índice (n E N 11 n 2)

a

es

el radicando o cantidad subradical

b

es

la raíz n-ésima

de

a

DEFINICIÓN DE

RAÍZ ARITMtnCA

Sea a un número real positivo y n un número

natural

m2.

Se llama raíz

n-ésima

aritmética

de

a al número positivo b , tal que b =a; la cual

se

denota

por b=

.¡a, es

decir:

n.¡a

= b - a=b"

TEOREMAS

DE

llDlCACIÓN EN R

Álgebra

Ejemplos:

5

l.

'./32

= 2 - 32 = 2

5

=

2 es raíz aritmética de

32 de orden 5.

4

11.

'.j81

=

3 -

81

=

3

4

=

3

es

la raíz aritmética

de 81 de

orden

4.

En R existe

Ja y

es igual a b , donde b es único.

l. Si

n

es

par:

a ~ ,, b ~

11. Si

n

es

impar: a

E

IR

/\

b

IR,

además b

tiene el mismo signo de a

Ejemplo:

'Vf6

2

Ejemplo: .[7i i

=

3

Como vemos -27

r. -3

tienen el mismo signo.

Sean {a,b}

e /\

{n,p}

e

N -

{ },entonces

se

tiene:

l.

4.

E;¡emplo: ../8 = ,/4:2 = i

.

fi. = 2(1,41) = 2,82

2.

5.

.

181 V8I 9

Ejemplo: ~

25

= fi5 = S

3.

mr ¡

m.n¡::-

V ya = ya

6.

Ejemplo:

Jf§ =

4

·

5

y19

=

LOyT§

224

3 Ri2

Ejemplo: Y -

(

nr.:-)P nrp

ya =..¡a

3. V25 = 15../32

3 ,

85

=

3

8

)5

Ejemplo: vo· yo = 2

5

= 32

n ~

p

Jb

= ya

nP.

b

· 4 ¡;::;¡ ;:: 4 4

Ejemplo: 2 ./3 = v

4

• 3 = =

'/48



__ __ _ _ _ _ __ _ _ __ __ _ _ _ __ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ __

RJ' n cN,n > 2; ac_daunadelas n raícesdiFerenles

2_ -2, 2i. -2i ; i =

r suEJemplo;_esiduo 2

esel ,ora_o2 d Ee_ q(Xd! e _ m 1 'nO' _^P el _'adO

Cl_NcuAD_DADE uNpoL_Nom_o__\__v___ I. El polinomlo radicando _eneralmente_c_ef_enado en __na vafia_l_N___ 9 ' -3 forma_escendente__ si Falta._eaIgún término

panalos' términos_el po_inomio _eosi, su dOS en dOS a _art_r _el ÚlllmUt_rmîIiO_; 3 _ Se eXtfaelaral'2 CUadI'ada_l mn' _ner le/ fln'lnO

_' í_,a_ay elmio.jguientes_ term;nos_e1

ajzvideel rid?S ?ntfe_St?YRIaí2,

__;u si du_____ceday todoe_loquedamu_t__p_N__teel segundo téfm_no _e_araí_ p_ra_

tasdos t_rmi__ossiguientesy seor tantasveceshastaq_e

adeg Fado menor quelafc_í__ oe



__ ___________________________________ ___ ________________________________ ______________________________ ___ __________________________ _________ ______________ ____________________________ ____ ____________________________ __ ____________________ _____________ _______ _________________________________________________________________________________ _ ______________ ____ ___ __ ____________ _______ ____ ___________ ___________ ______

p x __ x4_2,_1 _ __ _+_x 3 +4 4enteResoluc_ón;

K_J- ( -_) (-_)-

_+_+4Y4

__'___'_'_'___'__'''0_g__'_,__'0'O'_'__'_''___''__'^'0___'___'_'__''_''''___'i'__'_.___i_i0___,a_,_0....___,_,_ __''_ '_._.^:_ '_'

n,;nosdele,a__z

2y2.

dadp_ polinon,;

tro deun radical, seer__uentra_trosradic_,r=

no sustracción n t m_B

DOBLE ENtal que(_', y} c _' _ x> yxpfesio___e_

_leYandOal CUmdr_dOB+2 _B_ qx



______________________________________________________________________ ________________ _____ _______ _________ _ __________________________________________________________ ____________________________

mplo 2:_ca_ess__

o

+ _ x x x x

__.__, _.___,._...i__'___,,.______.__'___-__'____',___i'__i__,ii__.__,,'__,.____i.._______, a.__.___D_00_,___'0_,,__0___',__,__,_____0,_______'__,d,__,,_0___o_0,oo, ,',,,i'____'_,,i,,__,''__'_::,,,.;',,,,,,,,,__ _.,'__,.._,.m_,____,_,,__,.__'_,_:'__,._:'_,,_''__,.__,__'__,.::'___,.::''_,::'._'_,; __,,,_i_'_o_'_,,e es'a'rans_ormación es_'_i''.

cto en ?___,_

,__.

a, si b--_?A = x+ y _''',i''__.,'_,..

x>__ _i'_ ' _ _,'.''=_

icalessimples



___ _________ _ _ __ _ __ __ _ __ _ __ _ _ _ _ _ ______ __ __ __ _ __ _ _ _ __ _ ___ __ _ _ _ _ __ __ ____ _ __ _ _ _____ ___ _ _ __ __ ____ __ __ _ ___ __ _ _ _ _ _ _ _

__________ 00 m_\______________m__________,_ __-__ ._ _________,,0,_,.._

_m,__h,_,,.,,,,,m,_m_,,,,,_M__ _' '

+_ __- _+ _+__ 2 __ 2__xy +, __ _6 .......... (T)

_y__2g _ _.J....... (lfl)

ando en un trinon_;,.__



___ _____ __ ____________________________________ _ _ _______ _____________________________________________ _______________ __________ _________

A_ __B

__o Al r _esolver seobtienelosvatoresdex; y ; _.

-_

ob_eese_uiva_ent

_

_______,'__,____.',__________.___0_,_.,___. '_'"____-_'___ae____,___,'0_0__'___, _,,'___,_;__',,__': _,,_,,__0_'.__,oo__%___,_____ii____' 0_.__,i''_..___._@___.. _,_',i?__.__'_''''_'' ''__'__:_''' __.:_'_'_''_'' ___g=i=;_0._,0,

tetipa____,,'__,,,ooooo8, la'___r,^'_,oacá sujelaa l p_incipio deductivo de8___i_,e-__,'''' ____

_e_'_,__,,_

eprovenlr deun trinomio al Cuadradodela ___o_,_, 0,

ado _ ____,'__o',

_,'__'_0,______'' '__'_____'_'_'__'"'_' "'""'d___'''_-_-'_- '-_-"'-_--'_''_' _'_o'''' _'''''''_"_''_'__'''_"_' '_'_'9__'9__''___'_' '''_'_'_'"_' _'_"___""_"_''-m''_'_-' _D''D''"'"'d' n0'''''''' '__'a'___'''-_"' '''i'-'' ''''--'--' '-_''___'_____"'' "_



_ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _

miembro amiembro se

ndOA+ B A- B_ x2 -ÇJ'

cilmentepodremosobtenef ''_"e_

e_uidaveamoS al_unoseJemplosde

adicalessimples.

os

_c__J,__ _ ,ox _c._7) __ o

toncesx= - I

deestadex el COmOX'' _I ' Y ^n ( - l )2 + l t Y'' 2



_ _ _ __ ___ ____ __ _ _ _ ___ _ _ ___ _ _ __ _ _ __ _ __ _ _ _ _ _

lo __ o

x___2 __n ico raciona_ que_esue_ve_a

. 2)a_ 2_ y __ 2,

_ _12 __ _ (2-_- _

ea

in:r

_2b:_, ; a_vjendo este sistemasetien_. que



_ __ _______ _________________________ ________________ ______________________________________________________________________________ __________________ _______ _ __ _ _ _ __ ___________________ _____ _____ _ _

ominaracionalización aaquel proceso _ue permiteional.

n_lidad en losdenominadoresdelas expresiones,salvosediga

racional, al cuaI sele llamar_ Factor racion__li2ante.

) EJemplo lquella1oe_ sde_ RaClOnal2ar el denOmlnadOr de

._

2antees_ _d__ _ _2_5_3

__,,'__,____,'_,__,_,__'_,__'______e..o_'._,oD.,.,_,._,..____._._,a.,.__a_,,_.g.__o__,._...,.i._,i_..,._ao.i...ii_... ,,, _'D__ IndICaf el denOminadOr raCiOnali2adOde_'^'_'__-__,_0S____0_'"i_'_'''_ . _- a__D__..__,,,.. 24

_00'__'0''_'''''''''' _'''''''''''__'i'''''_'_0'__0___00'-''_'_'_'__'_0__0_0_'0_'__'0_'0_'_'__'_'_'___ __'''_'''''_'-'_ _''_"' _ '' '__''''00'-'''_''''''_"-''''''_'"''00'''_'-__00'_'''_'''''-'''__'' '''''''''''_''_' ' ' ' ''' ''0__'-"_'0-''"0ii'''"' . 3

,c_ly. _ _aclor racionatizantees. .



__ __ _ _ __ _ __ _ _ _ _ _ _ _ __ __ __ __ __ _ __ _ _ __ _ _ _ _ _ __ __ __ __ __ __ __ _ _ _ _ __ __ __ __ __ __ _ __ _ __ _ _ _ _ _ __ _ __ __ _ __ _ _ _ _ _ _ __ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ __ _ _ _ __ _ __ __ _ __ _ __

e

2(_ _ 3) = (3 _ _m2) (2 _ _)

, _(3-_2)(2___3)

_..__

,N_, __x_,_q&_,,,,,,.,__.v\. ,_ x_. _ ' ' 'acjon_lj2ado esJ

de

_' _m''''''"'' "' '"M"'"''M'' '"' _'""' '""'_ __._

,_mN_ __,__mJ_m__M______,___ ___ ,_v,4__ _,___J__ m__n '_____ '' '

_m__,.._.....,,,mmmm.,n,yv.v..; ,,'



_ _ _ _ _ _ _ __ _ __ _ __ _ __ _ __ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ __ _ __ _ _ __ _ __ _ __ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ __ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ __ _ __ _ __ _ _ _ | _

,_, , ,,,,,o_'

ali2antedepend

ntes

' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' N' ' ' ' ' ' ' ' - - - - - - ' ' - ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' _

,' _

en_rácomo factor racionalizantea

g f(__) - _(x) ;,

-_(x) ;_

2a_O_e



____________________ ______ _ _ ________ ___________ __ _ _

minador racionalizado de

r eI F_R_ (índiCeimPar)

plicar IndiCar:ctor racionalizante(F.RJ

ución:

ado deesun cocientenota ble

_ ,,_a%______a,,__, ,___ _ _l s_ 5 _3 i _ ____'__ _ ' __'_^ ___''___,_', o_ '_,- -_ + _5+ _ _ l R_,___.

7 .'. El denominador racionalizado es4



_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ __ __ ___ ____ _ _ _ ___ __

,,;,, g_,,_,,__,.,,_o,,,,_,,,_.,,,,,_,.,,,,,,,,n,d ,,,,,,0,,,,,_,_,_,,,0d_,,,,,o ,_,,,,,,,,,o,,,,,,,,_,d,,,,,,o,0,0,,,,o8,,,.. E1 polinomio p(x) es o,denad0en D, _,,o___'___ _V'_ formacrecientepues to quetiene___,__,__oo,:_i.. _ '' '_' raizcuadradaexacta. l'_,^_^^^,;

ada

a + b con (a_,b) ,_-z+,

polinomio ,a;, de2do. gfado. es

!_ _ ,t 3 __ !_

+ l

m

x1.5 + .xG+ _3+g__ lor de"mlucióndo un polinomio raízdegrado i -_

4_o Qx_8+ _2,,__+x 6+_+g - (2x_J___+3)_

te, tendremosm = - 6

es:



____ _ _ _ __ _ !_ _ _ _ __ _ __ _ _ _ _ ____ _ _____ __ ____ _ _ __ _ _ _ _ _ __ _ __ __ _ ___ _ _ __ ________ __ _ __ _ ___ _ _ _ _ _ _ _ _ _

'_ =; _ _ _, 8

or

ales. . / ci ón,

_-_6_

_ _,nndaLo

y t ______5 J_ J(7ab - 2c_ )x ' '_ '_?J

i ón:



_ _ _ __ _ _ _ _ __ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ __ _ _

ser _or lo tanlo, lara_zcuadradaesy + _

HallarelvalordeAyBen_ _ B

CtiCa.

+3j(2x+3J2

r Para-- < x < O

__



___ __ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ ___ ___ _ _ _ __ _

poIinomio

x,ct, ,,,,,, p _ _ + p _cos

n

dradade)(c_+ab+ bc+ac)c} c_

g_pación se tj_ne

endo

si la_ajzcuad_adade



__ __ _ _ _ _ _ __ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ __ __ __ _ _ _ _ __ __ __ __ __ __ __ __ __ _ _

ero en __7 -

_ .set iene

3_ _ M3 i - l

_jj_

_ _7 g x _ _

+ n)' __ _ n - ;-,se para- 1 , I _2 '^'' lu?

_, F,R, 8_I

es ?,

al c_obleequjvale__tee

+ 2)__

_-

nac!_oi' /__'t J___/ ____ - _3= 2 - J3

_ 3 - _. 2_/__ = \ _ _J3



______ ______ ___ ________________ ____ ______ ___

On -- ,_ _ m -- n -t_uego

V_

onll___d_r e_,

_ ____,_

do

J 2) t_--_2)(_- __3)(_'5 - _____)-

_. F., _. _q. _

ali___1-

a_ue

3 7 - ' g ' b



_ _ _ _ __ _ _ _ _ __ __ __ _ _ __ _ _ __ __ _ _ _ _ __ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ __ __ _ _ _ __ _ _ _ _ _ __ _ _ _ __

'h'''''') en E



__ _

a

n

ble

l+x__



_ _ _ _ _ _ _ _

Q

ncill

ax 'y 2 _x '_,,

delaexpresión

tenga3 _



_

23. laigua ldad

de:

o



_ _____ _ _ _ _ ___ _ _ ___

nominadordelaexpresión( x)

) a'-+b2

e

I) -- 1 ,

cando un ,ad__ca_ s__



_t_________nrn__ ______________________________yy_________________________________x,______t_______c_y___y_____t______t_______________x_____x_____________n___________________s_______________________r_____________________________?__f___________________y___rr ___________________________________________________________t___________________,___n___________r_______________________r_r_____________________________________________________J____________________________r__________t__________________ ____________r___________c__ _____r____________________________________t_____________________________________/___ ______________________,__________t ________________________________________________________________________________n___x_______________________r______________________m__,_______________________________________m____________________________________________o____________________

.,__'_'___ '__ ______'__..X- !-, _i _; ,i p,,.__ _ __ _',,_:'_ :_u' "'h'_' ' ' -'-m'_ ''--- _-' -_-.__= __ ,,_n'''''''__m _'' '' '' ''' _ _-v_ '_.__._,'_:,' __''_.:;:__,:' ';'__ _1___ A_1 1!!_ E _21 __'_.D_3_1_ ''___,.:__'_.'':_';._,.._:: .n,_:;.;. _2____ A_1 2__ _ ___2_2__x... E __3 2r_g_ ;,'____;.;.'':

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. C PÍTULO

r · 1

1

X

nálisis combinatorio

ottfried Wilhelm Leibnitz

(1646-1716)

Fue político, historiador, jurista,

filósofo, pedagogo, viajero

de

origen

alemán, a mente más universal de su

época. Se pasaba días enteros en

la

biblioteca su padre, leía indiscrimi

nadamente a Platón, Aristóteles,

Cicerón, Descartes,

y

a los 15 años

era estudiante de la Universidad de

Leipzig donde asombraba a sus

profesores, a los 19 años quiso recibir

el grado de Bachiller pero es impedido

por su juventud, a los 20 años escribe

Disertación del Arte Combinatorio

a

los

21

años recibe el título de Doctor

en Derecho, a los 26 años se

encuentra en París, allí es donde

comienza

el

periodo más fructífero

y

relativamente constante de sus

trabajos de matemática, paralelamen

te a Newton descubre el Cálculo

Diferencial, desarrolló notablemente

El Análisis Combinatorio .

Murió cuando escribía la historia de la

familia Brunswick en la Biblioteca de

Hanover.

l

p

=p p-1) p-2). p-q+1) q

N;

R

q

1 2 3

q



_-o, elyó In soIJIc-ióJ7 deesJeseJJ__iIIo_J-obl__1J7r_: '',S i se nJ_-ojnnJ_n o L_J__?, IIrí l esIn po_ i _ i I i dn _ ___ o _JeJ1e/' cJ1i_ poJ- JoR

_ín r1-Rscnso._posib Ies'.' c-J1l_, e11cl pln iJ77eJ- t i/-o, cJ''II.n_dec'i_' dosc'nso._ Jn__ol_nl_Iess-ol7l__ rl__sposi_Ies.

esso11 c-J_r)tJ_o.'

_7JeeJ1 eIpJiJJlei' InJ7_' ,n1JIie9Jlo In 1JJiInddeJoseel JO_/c, esJpciJ- Jn J/ 1 pnl1e_el totn I seJ_ trllll _ i éJ7 _-J_l,_._J/J

c'ns, pJ-o_oJ7_ eJs iglJiclJtelJegoc- io r_ 1rJ7 nlJl igo slr.1'o

J7o co1Jlo p7_J7ro deprll_ idn. 5'o rednl_ c-adn_ ínJes. _ cnJ_rbio, rlj JJJedn1_s elpJ-iJIJeJ'dín JsoI, el seglIJl do

_'naJre11te. r_c'eptnseI tt_nto?igo e_ J csrl( dinJ' rn17_n._ 1Jlnt__J1l át icnsJeIln _ ía1/JeJ7te, J' rJJlp i__?n n IlnceJ- pJ_o_?'ectos- pnJ_n e1JI_ lenJ' el, JJ_nJ7 /rncp cIcJJlos pnJ_n sn _el- cll Jlto leJ___97tal- 1J sllsil2teJ- ésc'o9llp7lesfo. 'sJJJo ?

_._plrestn.'OOO= J OOOO OOOso /es, .... .. ,- es_ecir, In slr1J7n delllln Jtl-ogJ-csi _Jl

cSJr,-- l. -=2''U- l = J OjJ/1J8_ so/cs

J17ilIo1les_eso IeGI _

'(J-. Il__rJ._ l /_Jq_r_lil.



___ ___ _______________ ____ ____________ ____ ______________________________________________ ________________________ ______________________________________________________________________________________________________________________________________ _ ____ __________ ___________y_________|________y_______s________(_o___t_______________________________|___________________A___B____________\_m_s0_____9_____0__________0x_________m_______________m______tn__n__Bc______v_______tv0____t0___om__0_t___t_______________tt______n_/__r__m___t______________c__B______t_____ta_____t_______________________t______0______ __op_cAn___0__t_0_yD0n__0_D_2____0__Do_n___m__/0r_t______0_p____00___0____o____0o0_n0_0_0 __ ______ _ t___ n_t__ \__v_ _m___6t_____8_4tt__ot_t_t

_:.._.__..;__:_.!_,_''',n;_,:..''_ ',i.',...'',. . , ,; ,.,,,,n,,,,_,, ,, ,,,_ _,_ __,,'__

_______=--'-----------------_-----:-----:------:_--__=-_=--___'----:----:---:----------:--=--=;_-------._'_ ._. '__.:;;:.._'''___;.,__;_:_"_'''_____^''"'^'^'_''_^"'^"''''''' ''' ,__''.'''''',_';':''.;'''''','.''''_'''_'_,:,'''' _ _

_ '''n'\ ,, t'_' '_'''' ,i;e' cc'_ones- ques_',giib-leFonn_ conl0s.elem_enlosde_

0sde'' _' uicï ' a;ßn de'_' ue_n-Io postejor ap_quen lare5oluciónde__\ ,,i_,,':,c,,,,omb1n_to_o,yp, _,,,,,b,__ bi_esque_,sw_genenel_anscwsod_elav_ida__,.

nac?_n, _ermutai_n o c0m_in8ci_n' q' _e.est_n relacio' na' dos ___' _ ,_ ; '' -_' __ _,_,

nación (permutaciones, ordenaciones, combinaciones).inguir ladiferenciay laaf_nidad entrecadaunadeellas.gaal "tiercés'' (apuesta........ lostresprimeroscaballosdeuna

inicialesA, B,C.y cuántasson?ar aestostreselementosA,B, C; veamoslas posiblesv .... .... ..._._

ellegar.premio! Alapartidatenemos20 caballosque designaremosNuestro jugador deshace, dando muestrasdeprudencia,ercés'' tienequejugar en Eotat paraestar seguro deganarrente(2,l,3). EI problemaconsisteen detenninar deetosdelresen _res, considerando quedosordenamientosrden diFerenteson diStintaS. AJ= 20 xl9 x l8

céses demasiado oneroso parasu bolsillo puederenunciaron Formarsecon unaganancia(en el desorden).Por5} esidéntico a(4, 5, 3) ; (5, 4, 3); (4,3,5). etc., enluga_-uno.ntonces6 vecesmenoselevado queen el delas



c___pt___u_0_____________r__p__p__0a_0o_p___e______x____________p____________r___0__t__e_t__p_t___s__0t___p_0__o_0____n__________o_____0__f_00____o0_0__f_0_p_______p_______o__________0_________________p____0_____________0__p__p_0______00_om4__________0________LL_0__p_______0______0____0____*_________________________o0_f__0__0A______o_____p___0e__0_________r______a__r0_______t20_e_0_____00n_________r__e_____m0_____o____s__0__0t___p_000_______ ) ______ __2_7 t_27_

.. ''' como aquel producto queresultademultiplicar todos

ael número n.

lorial.

_l__' :^D_D__;. _,;_,, _ _ _'' :: : ' ' ' ; xn _ ' ; ' ' ' '. ; ; _: ;,_ ' '; ' ' ' '.,,' ' _n___ _ _ ' ___0,,,,,.. _: '.. ' ' ' _' _ _. '... '''' ' ' ' ' ' ' ', ', n.,.2, ' ' : '__ _ _ _ _ _

:.. _

U_'C' . ''?' _ ''' '_ . ,.: ',.:'. .; ... __. ''_ 'T ' :_._

_ ; n _ _m_'' .....'_ Resolución:

,,, ,,,,,_R_,___m 0 ' '

_0_ i 0 _ ' ' _ ' ' _ '- ' _ _ _ ' i _ '_YO,' ',_ _ ' __ _ _%__ _v, (n !)! _ n! ! ' _ _,_,D. _n ,



__ __ __ _ __ _ _ _ _ __ __ __ __ __ __ _ _ __ __ _ __ _ _ __ _ _ _ __ __ _ __ __ _ __ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _

an Se, , , ,alCl6_gn Si un evento designado como AsepuederealizarBpuede

mentOS, ;, rea___2a, de__b_, manerasd__yaSea_Or la' simultáneamente) en total puedenrealizarseden de"a+ b"maneresdit'erentes.seg u i m i en t o,_,0_,0,_v,,.?s_,._,_._,,,_,,_,_v,,_o,_,, ,,,,,.,v,,,,_,,,,,0_,,,0_,_0o,,_,0_,0o,,,,,0,_,,,_?o,,0

b' ca. II, Pm_pio demul_pli_ciónE.

vaala_niversidad lleva

: n> k > O(acorde_ pero el cuentaen el ciclo con treslibrosden) y en el caso ;_' análisismatemático (A,B, C) y 2 libros den _?_i_, álgebralineal (D,E)De cuántasmanerasdistinta.spodráIlevar

nto al ____ suslibros?c. Re_olución:

NTEOMale_tico L_ae_D Puedellevar de6

B0 m an ef aS

ocurrede''ddaunade ellasotron O_ evento des__ nado como Bocurre,Eb_,reas. '__ d;re,entesentoncese_ evento Asegu__do de_o__.car su^_,_'',,'', evento Bo amhosAy Bocurrensimultáneamente

_e__,_T_e_qTT__T__0_c___,___o__ ncc,c____?_______,______,o_,___c?0_____0__,_0__,0__,_a_0____ _?_?

.._ _ _ __. _ 4 l_neasaereas_

. E_ nu/mero de ordena,n__onesde',n_'^^^_^^^^^^^_^^^_^^^^^^^^^^^^^^^^_^^ ^^'^^^^^ __''_' - ' - ' '~ -_''_'^__^'^'C__'_yo (diStintOSJdiSpUeSlOS de''k'' en "k'' eS i_Ual al

laS. -__!



umamosqueprimero seeligieraal delegado.uesto quecadaalumno deI g_potieneIaosdeposibilidad deser elegido como delegado,esdentequeexistan 20 manerasdeser elegido.Luegocadaunadelasl 9 personasq_equedanodetendfán lafacultad deser tomadas comoo deleg_do suplente. Demodo que cadauno del'' los20 modosdeelegir al delegado tendráquesderelacionarsecon cadaunadelas l 9 posibilidadesn de oblener al subdelegado. _ decir existjrán

do 20. l9 = 380 manerasdeelegir al detegado ysubdelegadodeestesal6n.ir unmplo 4

ecuántasmanerasdiferentespodrán sentarser al cuatro personasal entrar en un vagón deestasre_ocaml queposeeseisasientos?deResolu_ón:

osLaprimerapersonapodráescoger su asientodealosseismaneras, lasegundadecinco,latercefade

) cuatroylacua_ade_es,ademáscomocadaunasdeeslasmanefaspuedeasociarsecon cadaunao dek delas otras, pues, resultaquepodrán sentarsede5. 4.3= 360manerasd'jstjntas.

mo, ObseNación: Si multipljcamosy di_djmosporos, !__o.

mo - An- n(_ - 1!(n - 2!__-[n - _ - l!JN- IJJ_ _I)

uidodaos

aordenación enlacual los''n'' elementossedispon_o_- _

entespermutassólo varían en Función al orden c__

btener con loselementos: 8, b, cserían seisasab___



___________ _____ _ _ _ ___ _ | _ _ _ _ _

a_6n;

iferentesentresí yoselementosfe5tantes,entoncesdos(_. CadaUnadefaS Pn pefmUtaCiOneS 0btenidaSero depodemos tener _ per_nutacionesdiferentes

mentosL d_UtaClOneSmosP,,. !_ pe_ut_ciones_

amente

aC_Ones,Conteniendo cadauna yUaleS entfeSí_ etC_asen Al Se_ir eStRProCeSOnnalmenteßodremos_ _!_ _ _..N...... = __cualesestaríanformadascon ''n''' objetos distintos.

ras. EJem_lO8Determinaf el número dePefmuEacionesenlesqueserían posibleformarsecon lasrasdela palabraacacias.

ftO_eS 3 SOnequecca,, 2 son __c,, y el festo d__onamiento anter_erdeP7 = _2 = ___'_ '_1 ' = 420elas' - ' 'esel Ahoraconsideremose_ número dearreglosde nelementosdi Ferentesalrededor deun círculo.e_lossedenOminauna

tosdistintosnearectaydesignemosaunodeepuedesser al inicio o (inal realjcemoslosdiversos

n a_eglospermisiblesperosoloaniveldelos__n- l,'ose_ementosrestantes. sideUn ug esto no se darjaen unae_utacjón cj,culardeun d o n d e_ ao s_. c. _o, n d e_ e_ em e nt o A_ eb e-'

S reS lar_tesintas



_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

n obtenerse

_ número impar y a lasmujeresen loslugareso par.es

entemosprimero a lasmujeresalrede_or de_ forma_ (según el teorema3).

, Ue_Oqlleaflan 3 lU_areS attemadOS PaF_

nto, elesse_u, mero total defo,m_sd,.fe,entesse,a/ ._os2 _ !_ -- l2

delosdi(erentesgruposq_e puedan formarsetomando anto, sin considerar el orden des__selemer_tos.

bOlO_laC(n.k) i i

diferentesmentosnt_, deor C_) _t o _ as _ _ sc o mb_.nac_.nquees_os!' (_r)! ._ d _. e, n d o se_. __ a ln f _ _ n u,?iónde._' ' '

másn_oa- lo order_acio__e,_ de__n_. efementosdi,tin€usanl seren.

_ ,.__, ,,_\n _j(,_2j ...,. _n _(_ _ j_J



_ __ _ _ _ __ _ _ _ __ _ __ _ _ __ __ _ __ _ __ _ _ _ _ __ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ __ __ __ __ __ _ _ _ __ __ __ _ __ __ _ __ __ __ __ __ __ __ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ __ _ _ _ _ _ _ _

cias, Un eStUdIanEedISPOnedeUnabIbllOteC_ COnl2unalibros, idecu_nt_smaneraspodráreali2ar una

_Deluido

Nb) cuando u, determ__na_o 11Nbfo se_ s__

_,, con C8SO8_remus_ueun libro es_ciflco estésiempree_+ ello el

lOn.' ' -

_ _In determinado libro no_____i__i__i__.__i_;._'0. __._.___, _0___ _,o_0_0_,___'O,_0___''__._0_ - ____D0,' ' ' / t. ' ' '__'''_'_'__''0_'' _roblema___scit ar un sen(imienEo de__,D'_0,_ ,-antjdad ___,,,0''_,,,, d_ SeleCCiOnaf 5 llbrOS_ de1_S l 1 reS tanteS_____,,._'_.,_ Es decir, el n'_mero dem_ner_sserá

dade__'_'_0D'_,,_o con i___0,,,'__n este'P'__.'_'0,?,'__. c_l_ _ _ 1 l . IO.9_8_7_'e_,_ S i_6l5_.l.2._.4.5gelc_ ___'_Lie__'__,__o.'__,

Ropig_ADEsGENE__esDE cn'. d,,a.,,,,,,,,, ,,,,,,,,,,., ,,,,,,,.,,,, ,,,,,,,.,,,,, ,.,,.,,,,,,. ,,..,.,..... .,_.,..Rd0,..., ....0_.0.,...,., .,,...,..,.. ..,..,.,.... ..,..,,,..0,.. ..........0. .....,...,., -...0._..,, _ , _ ', ' ' k

2

tosn _obtene,ft__ n ' _ _ 1

C,omblnat_floS COmßlement arloS

_'^i_M"'_-^'''_mM' '__'__nn'''''_' ''"'' '''_''d''0"'i--'''- '''"_'_-'_'__'"""_'_''

4__*m_,,,,, _,, ,,,. ..n._._wf.v, .,,..,..,m...... ,..__.,,.,,_,,.. _,,,-_,__D

_'__O'ia_' 0i f_ n .__'k = p _ p= n - k _D,,,,,_



_______ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _

ecto, cuando: n = l /\ k = O,

'l -'-

_"'_ __' ' ' '_'''''_ '_ O' Cuando: n =2 "(k=O'__ k= l ) tendremos

O, l, 2)

_rmade

s

tenom1'

O 10 5 1



_ __ __ __ __ _ _ _ _ _ __

de

-''

oS

+ I)

OrCl

or _o tan_o 7/ _ '"35



,

aDel prOblemaanleriOr, pUedeUd. indiCaCráel inVesti_ador si

t, d

eSi como mínimo 2 caracteresson diferentes;cal entOnCeS ßOdemOS t0_farlOde2 rOfmaS _

c__p__o l. _os c8racteresd1ferentesmas

ccionadonadeentre35opcionestal como lo h_bíamo_gresa, visto en el problemaantejor. Ahoraunaave_ escogido e_l p_mer carácter, yano

eecafactefesden s f d__fefentes._ntOS intentOS pafael segundo car_cter sólo tendiemos34ar opciones, cun esto __ase satisfacel_

gundo carácterpuedetambién ser escogido

Oyar deposición tambjén tenemos3_ opciones, pord''. serseleccionesindependientesaplicaremos

25 T T t5 x 34 x 33carácterhOfa_afalap_mefaCaSilfatenemOS 35sseOpCiOneS,unavezesCO_ldOel CafáCtef,nasuedan 34 opcionesy unave2 escogido este

CCefapOSiCi6n.



_ _ _ __ _ _ __ __ _ _ _ _

ón:steproblemapodemosresolverlo apoyándonossen el gráFico

cionaF losdígitosen cadaunadelas 4 casillasúltimas, así, enlata.casill a,elmenordígitoas eleccionardebese r6n es 6por condición (número mayor a6 OOO) pero noodemosseleccionar a7 ni a9. Así nosquedanlade2 opciones: 6 y 8. Parala5ta. casilla,6tay 7maualquier cifradi IerenteopCiOnes.

s_ así Or On 0_ eXl _CaraCteStiCaS.

gistrar

On

er_jacomponede3letrasseguidasde2 dígitos, yelllaalFabeto tiene25 letras.

ResoIución:illa, Nospodemosapoy,, en e_ g,a_f,

de

eas

trasay para

ántosd_/gito, tenemoslOopciones. En total 25'-. IO7 y Fo_as.ifraspor lo tanto, se pueden ,eg;stra, 6 25o placa,con_stlN



_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _

e losEn unareunión Familiar seencuentranel padresde Familia, su esposay sus3 hijos. Si esta,n

mar Unaalrededor deunamesa circulaF enlreteniéndoseO._Decon un juego de salón. iDecuántasFo_asse

SidenteS , pueden ubicar aIrededor delamesasi los 3 niñosben estar siemprejuntos7.Re,o_u__o,n.

t_jarles'',alesEstamosfrentea un caso depe_utación circWarosya auedeseamossaber cuántasFormas

masdiferentesdeubicaci6n pueden tener losPero si los3 chicoss

bíanenaa

pe_utar susp;t,_ posicionesde3! fo_as. Luego en totalostendremos2t . 3! Formasposiblesde

ordenamiento.pital?Por lo tanto_ laFarniliapuededisponerseen la

s2 sonasde__oDl_mg 1ß

uántasordenacjonesdj(erentessepueden

nOi acamisetasdeUniversitano deDeportesy2misetasdeAlian2aLima, dispuestasenForma

Rego_uci6n.



_ __ _ _ _ _ _ _

defactoresesdependiente, por el pnncipio demultiplicacióno lendremos:

snl) _~_eCeSsRrOeSte"ÛmeFo defaCtOcesincluyeel factoral, _iVial l

eses

steResolver alaecuación expresadacomogea_ _( n 3 )_ n 4_ ' l20

arln

nOde_ -_ l20

e'

eUnal

esde4 ' 5

_car

1



_ _ _ _ _

Dlgmg 12ace_aduradela_óvedadeun banco constade_mOS 3 disCos, cadaunade ellas con 30 _siciones.es_ Unave2cerradal abóveda,paraab_rladenue vo,stassecadauno delos3 discosdebeestar en la___sposi ción co_ecta. Si un a_go delo ajenodese ao, ello abnr labóveda, icuánlosintentosinf_ctuosostendráquerealizar?

d Nlsco e,teen _aos._cl.o,

2do.asy 3er. d_sco tamb_en hab,ían 3o opc;ones., en

2aLimatotal habrían querealizar 30Jcombjnacionesascomo máximo paraabrir lab6ve_a, pero comoos_iden, cuántosintentosinf_ctuososcomomáximo tendráquereali2ar nues_o personaje,

mero deen remOS

miSetaS deM jguel deseafes tejar susl 8 anosy deseainvitaf 9 compajeros.

o más

r en una._: O__o_ l_nv__to o no _o l_n_,to t-lenej o c.ltepa,ael segundo com__ne,o._esivamenteconcad_ uno desus9 com_eros.

onesdelnaen re eren eS'itea_aClOneSión yaeS' ueur lo menosdebeinv;tar_ 1.lrar 5! por _o tanto ml_gue_ tend,a/ 29 __ Formasd_le_idaS en el deinvitar asu f,esta.

mas4!ales

nsresEantesdiferentes.e+ l)2' - l



__ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ __ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

_

__0__'___"'_O_'0_ _L_^___' _'___0'_:___'^___a__y^_,_.cu_ndo n _ _. ! _ u _'-___

._..,,,..........,..,.,,0,0,..0.,po.,,,o,_,,,,..,.,.,...,,.o._.,...,...,..,0...,,,.,,,,,0,,,,,,,.,,,,,.,...,...._ ,,,..0.,p,,,,0,,0,,,,,,,,0d.,...0.,,,,,..,.,0,0,,,o,,.,,,,0,0_,0 ,,0 ,,,0,0,_0_,,,. ,. ,...,.,,,00,... ,,,, .,0. _,. .,, q, ,..0.,0,,0 , ,, , o.. ,, ,,0 ,0 ,, _,0 ,0,0 _ ,0 _0 o , ,, , ,._,. ,0. .. 0. ... ,.. .. ,. , ., ,., ,. .. , , , .0. , ,. ,. v ,. __?__ ,'__0g

entOSetlene



_ _ __ _ _ _ __ __ _ _ _ _ _ _ _ _ ______ __ _ __ _ _ ____

elam g _ _ _

= 29 _ m = 2_

adiciór,, Dedondem + n + _+ n + es66 _ 5_,



_ _ _ _ _ _ _ _ _ __ . _ _ _ _ _ _ _

I6 C) 3332E) 25

_. Un agentevendedor deproductosacéuticosdeprimeracalidad visitaafjamenteJfarmaciasen el Centro den Lima. parano tratar dedar prefefenciasaec;dj

o7

n con ,eso deEstudl.

asaladeexposiciones, dondeparticipal_7. I Oestudiantes, loscualesdeben ag_parsedeeden agrupar

rsA) lOB) 8 C) 36I6 E) 4 200

En unareunión entre5 comp_nerosdeel colegio quesereencuentradespuésdel O

ÓlOañosdehaber egresado; ello.svanmp-añadosdesusrespectivasesposas.cuántasmaneraspueden d;sponersedlnaS SOn en unamesacircular sj siem re_eben es(ares en (orm_ alte,r_eda7

o

scom an_e,as_e _, unl.ve,s.l

n un evenEo Eecnológin_o.erm inar, _cu ántossalu dossembian como mínimo, 5i 2deell_sestán reunidas?

OA) 6 B) 3o c) 1;



__ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ __ __ __ __ __ __ ___ __ ___ __

unareunión lOamigosdeseanesordenarseparatomarseuna(oto. Si entreelloshayunapareJadeenamoradosque no

separarse. iDecuántasmaneras

) 2. 9!! E) 3. 9!

snmentep objetoseraspuedelld.

senPB) (m+ l )(n+ I )P ' ln C) (m + l )(n + I )2P -- l

úmerosprimos,

Stalaf en n ,)+ 1 , t

allarlasumade

s, l7. Avejguar el valor de"n'' _uejusti Flque alagualdad

nar SU!_ = n_ + 6n3 + l I n'- + 6n,u e_ al v a_ o r au m en t ad oe n su t, _.



_



_t____________y__n_y__y__yy________f______________n________sy__y____yy________4f__nsm________n______x___________________r_t r_s _____y__________________x_t_____________________ _________y______rnr_______________________ys____________________________y____rn_________________________r_________________x_n________________________n______________________nx___________J_)__t ___ ________________n__________y_______________________________________________________________________x__rx__________________________rr__________________________________\________c____?_______________________________________________?___________________________________________7____r______x_______n______________r_____________________________s_____x______________rr__r__nm_____n_____________________________________y______r___________________________________xn____________n__________________________________________________________x______________________________________________________x________?7__?___________________r_________x_____________________________________________________________r_____________________________________?nr__n____________n____________________rc__h________________________t____,_?_________________________n_______________rr__r__________________________________________________n____________________________________________x_________n___________________x__________________J__________________l_____y____________________xr_____________________________________________r_______y____y____________________________c_____s___________x_______________r_r_______c_________________rr___________?___________________________t____r______4?_______________________x__________,_,,_________________________________vr__v___________v_______y_æ_x_______________y____________________________________A_______________________0___________________tn____________7_________E______t_?_r__r_________7______________________r__________________________________m__________________________M________p__t0_________p________________________________y______t_3_____4__________ç___________________________,____t____J___7_________________________________________________________________________________0_________0__o0__po________________________________________________________n________\___________________0_E_______________________________________________n__________________________________________________________r_________t__________________r___________________________________________________________________________________________________________________________________s_____________?______________tt_t1

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C PÍTULO

inomio de Newton

saac Newton 1642-1727)

De origen inglés. fue alumno de

Barrow, comienza investigando los

trabajos de Galileo, Fermat, Huygens

y Descartes y en 1664 inicia los

trabajos con el binomio

de

Newton

y

el

cálculo de Fluxiones. En 1672 fue

elegido miembro de

la

Royal Society

Londinense y en 1703 llegó a ser

presidente. Las áreas principales de

la

actividad científica de Newton

fueron la física,

la

mecánica,

a

astronomía y la matemát:ca.

A

Newton

le corresponden la

deducción y formulación de las leyes

fundamentales

de la mecánica

clásica, la ley de

la

gravitación

universal,

la

descomposición

espectral de la luz, cálculo diferencial

e integral en la forma del método de

fluxiones, entre otros.

Fue probablemente el mayor genio

conocido y a su vez poseía una gran

sensibilidad humana que lo llevó a ser

miembro del parlamento inglés.

a+ bt ' ¿ c ~ . a n - k . b k

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cl__icrt_ _' r/__'_/7__l)n__ poJ- I,rrrJJri)ryJ( _,JJ_ _1_J.

_'uJls/J__1_osn _nJtJJ- d__l _,.Tpr_rio ì'_c'_oJ-inJ r I__ r/u_-ieJldo n _' __JJ1(í1JleI-DsJ-_n Ics. CoJJsi__J-eJ/7osnI7oJ'rl __/!

JIJe__ J__n Ics__7osì'ec'/or_7s (_, _, c,r(J.

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illteJJln (_1-__l_c-tuJ, __liJirJJlysrIJJn l7ns_9 cu1r _'JIrrIJ-o-_nc'io. ._iLJ77rfrJé cJ_'IeJ11caIru JJcJl1J-u,_r_J_n cl_J-_rJJIc-ru. .\-o7JfJ_rus_J-_JJ/(o//__J((o J(7r}.cc-J/_J rJ,.J,?J_(_9sr Ic,s(o.c z,t,(,rr) ),e,s-. _,r, (nlj Jr_lirlrl r uIJIrJ._i__JI_J.' l

_lIeet1i C__II7e 1l1o Il_Iltl-CJDllIi_ __'fll ___I7-ll_'l(Jll.'

' rJep_9Ja_crJ_/ uJ'_leJJ,JJ cl rJJri ser_/7rrlJJ_'Jsf_nc-tu!-__-. __1._j

2Itt__l'Sl n_ r___tl'L't.T_l, _i)t rl_'_ 7 lI.'DtiltlCI-

_'_nr'lrI _'e_ 'rrJI -irli r-olsirIcJilclr_ s_' r_._c'J'I__' n(_-_'bJ___c-rIJJ_eJJ_e'

_c__Jc'71r_re9/_/7lo.

__.i_,,JJJ). l.. lJ_tJJ _J_1)_._. !



__ ______ _____ ________ __ __________ ____________________ ________________________ ______ ____________|__ __ _______ ____________ ___ ___ ___ _ ___ __ _____________ ______|__ _________ _ __ ___ _____ _ ______________ ____________________________ _____________________________ _ _______________________________ _________ _ _____________ ___________ ________________________________________________________ _______ __ ____________ ________

............. ' _ _

_0__c.annnte(x'+a)"_ .. ,., __ ' ' ''__''''' _''_e_xpresi_n de- (x+a.i,_...'__..'_''confando dederechaaiz_uier_dao ''_,__'_'/ ' ; __

einec?ac_onesiiTacionalesarac_e_osin_e_alosen05'' _ _,. '' :: ' ' '''' '' , ,,, ' .: , ,' ' 'i

ordaremosen estecapítulo desempeñaun papeliguientesde álgebray, en especial, en el análisisciclosen todaslascarrerasdeingeniejay cie_ncias.ciones, por ejemplo, en ladesigualdad deBemoulli

l .... esmuy importanteen el an_Iisismatemático.eoríade ecuaci0nes, desigualdades, funcionesy

es v seriesqueson temascentratesen el análisismatemáticoo deuna serie:

chasaplicacionesen losdiferentescapítulos.

Al _:. _____ ,__ ' '' _)^ paran _ N, mediantelossiguientes ejemplos:

ollo de(x+a)^ ; n?_



__ _ _ _ _ _ _ __ __ ____

_Xa+ 2Xa+ 3X a

e4S_-2 X' a -

+a)^ esun polinomioeneOy COm_letOde(n+ I) téfminOSariables"x'' ; "a'' de

a,io,_ en _a_

Losexponentesde"x'' disminuyen deuno

C__-ta+ C2_'2a2

O_ I i2 ;... :n



_ __ _ _ _ _ __ _ _ __ _ _ _ __ _ __ __ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ __ __ _ , __ _ _ _ __ _ __ _ _ _ __ _

e\_t_

efeChàat_'_' i2 uierdasó_o secembia et ?,se s_ así en _

t_ , _ _ c_an k x k _

_n _ _C____aXdN_' ''a_c3__ :,..:'m__c,n_.,

_,s _,_ _'x'_;,_' , ' ' ,,, ' .?_!'M ,_\ ' ___,v v ,,_, .

_cn



___ _ __ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _

byP)n se_iene;

3 + ... b. Lasumade gradosabsolurosdetodos

n_- ' + ... Demo8!_8ción_

ueelcoerlciente

o es

o

(n) +ODl + l a(n- l) + DJ + l a(n- 2) +2PJl

2

sdempar, eS i_Ual alaSUmadR

C,a_. x_ _ . a_



_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ __ _ _ __ _ _ _ _ _ ___ _ _ __ __ _ _ _ _ _ _ _ _

evvton

nterOt l amemOS le

. detu_af par

uelostérminosdelugares

os dem_imo valor en el

elugar

edeSarfOO_

_té_inosdelugaresr y r+ l_r'I

3



_ _ _ _ _ __ _ _ __ __ _ _ _ __ __ ____ _ _ _ __ _

g 2 3

forma

al coeF_ciente

eno ante_'i(_rco _e' rmino cu_quiera''+l

_ X5 + _' X9at _' X 'a

On lOS de'

+ _ 3 + _ 4 + l

3a2+I x_a3+5xa_+aJ



_ __ _ __ _ _ __ _ __ _ __ _ _ _ _ _ __ _ __ _ _ _ _ _ _ __ _ . _ . . _ _ _ _ _ _ _ _ _ , _ _ _ _ _ _ _

deNevvt

jempIo:

''' ' ' ' '

ollo Resoluci6n;uieraEl desarrollo esel producto de__n"fa ctores

+d+.....+ cado una

_ol_o de _eE,adecadauno dee,t os__,_,

r..... apa,eceráen el

2 producto rlnal, esigual al número demanerasdeel o,dena, n _et,ascuando ade e_losson a., p dllossonb.ydee__ossoncas__sucesN_et ra_sdec_.r e i coer ,c_.ent e d eaa bpcn,d6 es .

os ''x''de_ _ _! _..,.._'' de

delosdOndea+D+_+6+ NN_'_= n

uego, untérmino cualquieraes:elosci r es_ aab _ cy d 6

lo de: (a+bx+_+_'+.....)"es_

al '''_''_' , ' '''''' '

ldOeS: a_,'._ aab CYd..... x _Y

_ ' ' "

e-_ en el desarrollo de



__ _ _ _ _ __ _ __ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ __ _ __ _ __ _ _ _ _ _ _ __ _ __ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ __ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ __ _ __ _ __ _ __ _ __ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ __ _ __ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ __ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _

mos

' S 24 3_ + _ 22 3_ + !_ 2o 3 3

E_ desa_o__o de(a+ b + c + + p )n _._

_, _0S ai..

e

,,, _ ,,.,..o.,......... ,,,._o_' _ i_ Qx3 x _ _

ode

_, -- 20 términos.



__ _ _ __ __ __ _ _ _ _ _ _ __ __ __ __ __ _ _ _ __ __ _ __ _ _ __ __ _ _ __ _ _ _ _ __ _ _ _ _ __ __ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ __ __ __ __ _ _ __ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ __ __ _ _ _ _ _ _ __ __ _ _ __ __ _ _ _ __ __ __ __ __ _ _ _ __ __ __ __ _ _ __ __ _ _ __ _ _ __ __ __ __ _ _ _ _ _ _ __ __ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ __ _ __ _ _ __ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

Newton

_no aat_ral! ,.jemplo llaexpansión de(I _x) "

3

_rmulaser_v_lidasi xc_ <_1,l>

asi xe- <_ l,l>

...

l- '-4"'__ '-16"'-g '-_' "''nO_ _5 _35 g45

______0_0___,___________'4__ ,__ _vm_\___. , ___,,,,32 4 16 64

_nn__m,_m.._.. .,..D,.,,..., ,.,...,,,,,. ............ .......,_ _ 32128 X' 512X2o48



__ _ _ __ _ _ _ __ __ _ _ __ ___ _ _ __ _ _ ___ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ __

_5) (-6) (-7) (_gJ7 .,

l desarrollo de

2 3 4 _

-_ _3 625 -- -_jg75

decuando x tiend

o_,_,,__o'0,ao__0__,__.0''_,,8o_,__,_'_____'''_''_''_'__''__0______,__,,'_,,'_'__'__._''_'_._'_'..''_i..'_..._'i.._.._ii.l_ii'_._i..__i._..__ii...___t.__.i._._._..'_i_,.'_ii'__,'i_i._..___'_..,_'_'__''_.,d_.,,._,.__d._,'__,._..,_g___,_..__'_,._...'_ SlelValOf de XeS tan_qUenO_ SUS_a__''''_'''_'0_'_'''____''__,i''d_!!' potenciasapartir de lasegunda,________,______'__''.___;_''':''_:''_:''.:'''_'''''_:'.''_:._ pueden ser despreciad



__ _ __ _ _ _ __ _ ___ _ _ _ _ _ __ _ _ __ _ _ _

Nevvton

nte773 275 277

es-7, _ OtOOO059 ' '. ' '

_

o; eno centra l.

NDEualq Llier n

n los

mentando

vamenteen

On e. .eeleeestepunto sevuelvenecemenorsetermino m_ximo.

,______,8'_____,______,__'00,_'____,__,__', ._-___,._ n '_',,_a''"_ _' ' __ _;;_="''''' ':' _=__'_,_________._.._.,_,( a+x)n=T ar_-kxk.,n___,, _,__,_ ___,0,_,

,,,,,,,,,,,o, ,,,,,,,o,,,,_,, o,,.,,..,.,., ..,.....,,., ,,.,.,,,,,o,,. ,,.,,o,,,,,,, 00,,,,,0,.,0,p0,.o,, ..,.,,.,..., .,,.,,.,,... .,,.,...,,.. .....,,,,,.0,. ,0,0,,,,.,.,,. .,.,,.,,,,,, 0,,,,,,,o,,,.o.. ........,o,., ,o,....,,,,,.. ,,,,,.,,,,,, ,0,,0,0,0,,0,,0,,, ,,,0,,,,,0,,,., ,,,0,,0,,0,0,... ,0..,...,....0. ......,..... ,.,.,.,0_.,... ,,,...0,0,.,,0,, ,0,00_..0,0,.,,,,. ,o.,.,.,,,,,,, ....,__..._,ii ,



_ _ __ _ _ _ _ __ .__ _ _ _ __

dex debeser deno del grado nulo.

_________-_-_____-_-_-----N_-_---__. LUe_O, el lefmlnOlnde_endlente Serael téfmlnO

_7_ tG+_ _ C_9 .'. t_,,,_,_ _ 84

Halleelos.

s

+2 esdec_., t , _son te,m_.'''-'de_ 4n_3(n_ _ )__o _ n__ _

:

lr,ac__teen



___ _____ _____ __ ____ __ _ __ _ _ ___ ,_ _ _ _ _ _ __ __ _ _ __ _

té1mino independientede"x'',

en t e, o Luego, no existete_ino independiente

_

t c2nx2 2n_k 2n _n 2___

u vaIor, Luego su coef_c._enteesc2n

4a_cu__f e_ coer_cl.

C_Ón:

fUefaUn

_ _ _ _ _ ' _ ' ' _ _' - ' - _ ' '.,

, a

d8to lo -2K-2p+p=7 _ 2K+p _ 3 / h ,_ p

s; K-_ _ _, p___ en(a)

Ual lI K_ O/__. i - 3 N

-- o ' 3 ' ' --



_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ __ _ __ _ _ _ __ ___________ __ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ __ _ _ ___ ___ __________________ _ __

-- 2' '

ncnn_ . E _ 2n- I

llo de3c_ _cx (2x _Jcx 2( t) g23

slos___i,,__,_,_',,,__,___' _'_,i'_i'_,'__' _0''0__d'd_'__,__w______d;.a__. ..__.__,__,_,____'_,,____i_,. ,___'_,_i__,_a__,.i,__' a.a__..._...ii i____,x x,- .._,_i_'_.

__,_,,.:,,,,,,, ,,,,,,__,,,,... ' k - k ' k __,''_,,_'',,.__i____i0i__,_,_ ,______0_,__,__,_,_,_i0,_i____•____0___0_0__,_,_, ______i,0i___0_,____,_,_,_i_00,__,_, ,,___,_i__,0___0_,__,____,oi___i_i _,__,_,_,0_,0,0,0,_0__,_,_,_,_, _____,_o_,_,,,_____,__i_,__,__,_,_, D__a_____,__,,__,_____,0,_, _,,_,_____'_

2C; + C_,') + (4 CÇ- - + C;') + .,... + (2xC; + C_,} + 1

_ +2C_ +3C3+



_ _ _ . . __ __ _______ _ _ ___ _ _ _ _ _ _ ___

e___ton

rrollo de

4 _ a=6

8 o __

5g 52o

_ coenc__entedex_7

lo desu te_,m._no gen'e,a_ es



_ _ ___ _ ___ _ __ _ _ _ _ ___ _ ___ _ __ _ ___ _ _ __ _ __ _ _ _ _ _ _ __ _ ____ _ __ _ __ ____ ___ _ _ _ _ ___ _ ___ __ _ _ _ _ _ __ _ __ _ _____ ___ _ __ _ ____ _, ___ _ _ _____ _ ___ __ ____ __ _ _ __ _,___ ___ ___ _ ___ __ _____ __ __ _ ___ _ _ __ ___ _ _ __ __ _ __

n_l ,

alesa

m _n OS C On S eCUt _ VO S _ _1 _ h + _ i t h+ 2

_

7---3n .....



_ _ __ ___ _ __ __ _ __ _ _ __ _ __ _ __ __ __ __ _ __ ___

evvton

mino del Sealar el coeFlcientede__ en el desarrollo dees. P(x) -- (I+x-_)6

eral

_ ( _ _ )y_x p_3y

o deHallar el té_ino independientedexen el

ollodex+_+ _

_ 2a+y =4

y__



_ _ ,_ _ _ _ _ _ _ _ ____ _ _____ ________ ___ ____ _______ _ _ __ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _

sión Hallar el tercer te_ino delaexpansión de

Se

x3 I03 x2"4 2 4 3203x2

te,ce,te/_._noes297x2

_9'_'''_'''____'_:;__-_,C__:;._-___;._;,_____,0,__,0_0,o00,_,'_0;_o_^_ (I _a) =l+3a+6a+ IOa3+l5a_+ ... '

''''''''''''^'''''_'''''''''''''''' ''''i'''i'-i'''''''''''i''i''' ''''i'''i''^'''i''''''''''''''''i''''''''''''''- _ _^ ''_'''-9''''''' _'''i''''^'''i'^'''_''''''_'''''''''_'''''''''i'''''^'__''^''^__''_-''''' _

lo(2x_3_J)3

4 es- 66



__ _ __ __ _ __ __ _ _ _ __ __ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ __ _ __ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ __ _ _ _

Nevvton

+r=2

_ _n l ; ,-_ _

y' es:

I_ónde+ _3 .

S tf+l y tr eSta/n en

:k ino

o

n = I Ok ____NNN__

n= IO/1 k= 3dato

ef(x;y) cn _r cn _ r

eN, n= lO

x_)



_ _ __ _ , ____ _ ___ _ ___ __ _ __ _ _ _ _ _ _ __ _

6. Hallar el lugar queocupael términondependientedex en el desarrollo de

flc,_entedel te/ fm_Nno quellevax6

8. Hallar el término independientede"x'' enelladese,o__o dex __

') ( 1 ! 2 ! 3!. .. .. n! )2 = (4o 32o)9

b / r cuadradadelasumadecoeF1cienteses2 I6_a parteliteral (variable) del 5to. término es4to. término si



_ _ ___ _ _ _____ _ _ __ _ _ _ ____ _ _____ ___ _ _ _

Newton

+ ..... .,, _ N

b A2n sen 2n_B_ ,+, 2n sen 2n_da

,__af e_ l 6. Hallar el término independientedexen el

independientede x en el

n

_



_ __ _ _ __ _! _ ___ _ ___ __ _ _ ____ _

elaexpansión

+ l )^i 25. Hallar el valor delasumatoria

2+_+__ +__ ' +.....

ABI

lo ao+a_x+a_+_,_,_+a,_+_,_+a2,_nallarelValOrdea_+a4+a-,+.....

llo de



_ _ __ _ _ _ _ _ _ _ __

evvton

eHallar el grado del término delugar (n - l ),remo inicial.

ro E) 30

stérminosdelu_ares: n ; (n+ IJY (n+2)"X)m Sehallan en

ión geométrica; se_ún esto halle el

odos

cular el valor de

te

D) 7 E) l4

de.. 39_ CalCUlar el ValOr aßrOXimadOde

7A) 80 B) 8 l C) 82

; hallar el

ero par no nulo.

A) 420 B) 420i 560 C_)-420; 5656 E) 560



___________________r__t___________________________m_____m____________________ ________________________________________________________________________00o_________r__________?______________________________________________________________ __0_,_______________________________________________________________x____________________ r____________________________r_______________________t___________________________________________?J?___?___________y__________________________________________________________________________y______________________________________n__x___________________________,___J__rr_______________________________________________________________________________________________________e__?x__________________s____________________________________________________________________________________________________________________v______m_______________n______t___r________ _ _________t_____m_____________c_________________0___+_________t ____y___________7____________l______v________________J___________

_".___,?,. _ '._ '.:_ ,.;'^/::':'-__-;., ,_';_., _._?__;._:-__'-x,._i_., _,,.,__'^ '. .;;;__ ,; ;-.' _._'''.__i''_ '' _'' __ '_,_,,__'_'._.._..,_.._._..,-.;. _1 _;.,E _1 1 __' g _2 1 _, _3 E _3 _ _ :_;;''::':.:.'';,..;,':;,._;.:_____,.,.::;;:._..''_''_...,;,__:.._.',.._ __2v_wm;_'_,..' À"_1 2____' m _22 i. - ___3m_J__!.__-_.....'5'!!5:..:...';'_'::__..:!!!_.!.(..'!!)!.(.(...''__,_..,; __3 __;,_B_1 3_C, B_ _23 _A_3_3 ._c:.:_'_;._.;:._'_.;..._'.:.;,;.'_.,.;.;_;;.__;..'_.._;; __y._n.4nmm____ _ __1._4 m'r. c_2_4. ...,p. c m___3__ Mr,N6'

;''_......'_.;..._._''_,:._...._;;;;__._;,;;,_;'__.:..:;,;' ___ _D_15 _g_25 J_B__35_,__ A_V_.,_;__i_:...;'è...'_...;_..:''_..:_',.;.. 6 ;,_-,B "1 6___ c26 _r_c~' 36 JCc_.,::;,:'_....V;,_.__._.':_;..'_'__,_;..''_,._._5_;,__,__,_.__._,::5__;,'_,._''5,:,,.; _7 ;-. c_1 7 __.-_ D_2_7iB____7 _____' _.V';_..;;..V;._._,.,..____,__,.),.''_...,'_N,,.',._..,, ___8 __, A _,,,, 1,,8,,,,,,,,,_- A m,w2_8 D .._3_____ g;,'.;,__;.:'_,.Vvv_...:?_,.,_''_..'''_,__ _9 __ D_19 C..E _g _39 ?i_E___ E nn_30 j_g _4O__

._._, :;_.______- y4__W---



_ _ __ _ __ _ , __ _ _ __ _ _ _ _ _ __ _ _ __ _ _ _ __ _ _ __ __ _ _ __ _ __ __ __ _ __ __ __ __ __ __ _ _ _ _ _ _ __ _ _ __ __ _ _ _ __ __ _ _ _ _ __ __ _ _ _ _ __ ,_ __ _ _ _ _ __ _ ,_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ , _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ __ _ __ __ _ _ __ __ _ _ _ _ _ _ __ __ _ _ _ _ _ _ _ __ __ _ _ __ __ __ _ _ _ _ _ _ __ _ __ _ _ _ _ _ __ _ _ _ __ __ _ _ _ _

8 1 1 - 1832)

ms precoz. fuereto ala

30, y expuIsado de1 por

uchalibradapor losquia. Murin duelosinr asuChevalier quecientí_co,sideassobre1araicas, i deasbra __,__ni,

gni f_cat ivo al _,__ _ _,'?_? ' ', __x_ n_ , _;_,degr upos. ,: _._____._,_____,_ ____ ' _?_ _, __?_ ' _, ____ ' _c,

obrelaresolucin _ _,; __ , __ _'_ __', _,_

emticas m s ì _' '_, t "_q ___Desgraciadamente, "._ _,_ _,., _ __,

hy, el principal _,, _,,__'_ c___ ,_ __ _,a, _ahaya_'_' x0 _ _v__ _'_ ' ,__ _____,_: ;', _?,,aJOa 1aACademla_ _._'j____;x_.___ _\ 'J- _n, _/__'_,a_??__

maxem tico de , '' '- _'__s_ , ,_ ' _- _?_ ; _; ;_ _n_", _,,._-1 trabajo ' _'_ __n _ _ _



_ _ _ _ _ _ _ _

J_Jr_riz'o _n1__ de._jJ7ji' eI J7aíJJ7eJ-o J__nl n pnJtiI' de_U__J,__JJ.

IdlIJ_rl e1l _ si_?' sóIo ._-i sez'eJ_i_ic'n.+ t

C'oJfnd7IJ-n cJJ_ esJl Jln _nJ1,7pJ_opio .?' JJoz_nc'ín dc_nJ_cc'e de1Jl,_niJJJo.

c-n/-n_'rcJ-j.__n JiJInpn71icióJ7 e7JJ_ _l_edeJJorn1JJos_o/'

__- C,

__sll 1I CoJ1nrlor.- _ = ( x' __ _/ vin < J/J)

,sd,c,_,_ ,,I J.1_,JJ,J_ ,/çJJ,,,J,fo d_J,.oJ7 _,

Jrc-_7sro_o cJe JJJe97ro de_l es1JIcJJoJ' _lIetorIo cIeJJleJ1Jro

_' F_,_, eJIroJ7c'espoJ- ln c_o1Idic-ióJJ(IJJ dc/n rIeJi,Jic'ió_Jio nIn /J7pótr7sis.

_J7 i97n Il JIn _;o/1nrIJIJ-n eJF _ _c/ïJJidn poJ'

/-n J-nc_ioJJr_/ de Ir_ _;o1_ndJ_1_n .?' ._eirIcJJ(!_Jic'n _-o/I eI JJJí'1JiJJJo

I l i_lt__JI(rJr/i12



_____________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________ ________ __ ____________________ ___ __________________________________________________________________________ _______________ ___ ________ __________ ______________________________________________________________________________ _________________ ____________ _________________________________ ________ ___ ___________________ ___ _______________________________________________________________________

__''''''_''x'n_',','__, '_''' '''''

..':.';';'m"'' '''..__' ,,,_':' ' '' _

c_asesden_mero5-, ^' '' ' __uido estec0njunto .nwn__c0. ,__egoría' d, ecamponumé_ca. ' '__llo_ cam' po), , __,_0_ l0saxi0ma,,s_delosnijmerosreal_es. _ ___

reglas, podíamos mover un peón 4 espacioso unade lasmos trabajar con losnúmerossin conocer lasreglasque

acionesteóricasy pr_cticas. Por citar el casodonde lahamenteyaquesehadescubierto queexisteunarelaciónunaliray lasrazonesentrelaslongitudesde lascuerdas

amosal decir queel mundo estágobernado _or los

mportante_ incluso marcahitosen lahistoria, así:erizaalasociedad pn_iivay esacondicionadopara

prác_casdel hombre.iospositivosfueacondicionado alanecesidaddeefectuar

osFueprovocado por el desarrollo del álgebraen laVll).rrollado unateoja_gurosadelosnúmeros realesen lostrabajoss.

sido creadospor extensión debido alasnecesidadesoncretosde lavidacotidiana.



__ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ __ _ _ _ _

a_ _ __nabC-- ma

Y) ' - _9_' _9go

allela Fracción equivalentea

S

428sj _ l42857 - O!g - 7

a

ner parteas

SUo_inomiosde coeF_c__entesenteros.

oef_cient

itosnoperiódicosperiódicosdicos



_ __ _

a_

ansitiva : si un número na_ral esmosquei_ual aun Se_undo y estesegundo esiguaI a,Un tefCefO, entOnCeS el _fimeFOeS i_Ual aleCCeFO.

mbóli carnente:v ab c, N. a__ b,_ b __ c_ a __

eración binaria. -- Llamadatambién leydedaen un conjunto noenciatosde

ncaqueanico

a_ao ley deto Ano

deAxA

umna

a(g, b) c

elosLacorrespondenciabiunívocaladenotaremosepor _, entonces_ esunaoperación binariaenAa_: Ax A _ A, esdecir a_A._ b_.'A_ a__b? A

:es l. Laadición usual en Z esunaoperaciónodo par de

osenteroses atroentero:

Lasust racc_No_n e, _n, esunao perac__o_sto que_ ' d__ferencl_o

7= -.3 __ N



_ _ _ _ _ . _

ón Resoluct6n:mosen lasiguientetabladedobleesen_rada;

A._

n.n,_o/

eraClOn lnarlaO

OideS lOS COn_UntOS _.Ón Ordinana, eS deCir,_ (R,+)elaUnaleYdeCOmPOSlClOn

El Par (Y, _)_ dOnde_ SedeFlneCOmO_m_ (a,b) _enelaeSt_CtUfade

daetabla:

sse

_ddd._,__.,_d__'___d_dd_''''_'''_______ddd''_B'^___'_'_'__''__'____d__'0___e___i_'___''__'___'__''''_____'''__'_'___'_____-__'_''____'''_'__._',,_'__._,.__,'_'_______d'_,,.Todao_ración binariacumplela ___,.n p m n__,__,,_,_,__,_,'^____,_'_ ley declausurao cerradura.'i'

..,,,..,......._.....,....,.............................,......,.....,_..,,....,.,...,..,.,,.,...,,,,..,,,,__'_,'_.P m n P

DefiniCiÓn (ley aSOCiatiVa) '--naria___ esasociativaen A. s.i (a_b)x_c-- a__(b_c) Ya, b, ce A



_ _ __ _ _ _

eales

Veamosa_b = a+ b = b + a_ b_an ___'0'

_atativaen_

sego diremosque_ es

no vacjo Ay unaoperacióntidado laoperación _ si y sólo si

es._dent._dad auea+o__2 En (NJel nu,s' _.de,t_.d_d puesto quea___ _a__

grupooerac_,o/n__eF_n__

_ ab c

+b+ I

a. CCa b

naFiaa_C= C = C_ao si dedondeseconcluyequeaesel elemer_to

On_Unto AConlaoperación _.



__ _ _ _ ._ _ _. _ _ ,

ónl. la adicjón y lamul_iplicación en _sonpe,ac_onesb_na_asy _a segundaes

_butl.vacon,especEo a_apF.l

ivaa

qUeque(a.b)n=a''.bn

/ On

o ematema,t._cass._mblte/, en ot,ascl_enc_,ascomo en _ar_/s_l

radoaimpon;endo cond_cionesa_,sest_ctu,,sde

juntolOy X_ Una

G_ XcJsellamagrupo s;1 sólo si _ esunaoperación binat'i,aa?ociati_'_.emento de_

mbólicamente:A(G, X_) eS Un__ßOSi ySÓlOSi SeVenrlCanlO_

si aXlOmaS 'GJ__:GxG_GG__ x_ esasaciativo, esdecir, (a_b)__c= aX_(b_,c,. __ a,b1 c_ !_



_______ _____________________________ _ _ _ _ ____ ___ ____ _

dad 6. Sea(a, __) un grupo _ a,b eGprobar laciay unicidad dexeGtal quexxcab

StfaClÓn:

etal x

ex esúni

mosquex, y .x,, ve__jcan lacio/n.x,_a= b = x,_a_ x,_a _ x,4a

_e= X2X_e' X_ = X_.

trar que(a_b)'--b'_a' Yab _ Gi

(P_rael lector)

e con Der_nición (grupo abeliana)Si en el grupo (G, _Jsecumplequea_.,b = bx_aivo Ya,b?_ G, sedjcequeel g_po es abelianoo

co. ___^''_,,^'oo,__0__,___,__0_i__,_~_,_,_______0_,___~_D_,______,,___,_%__,_,,,_,___'_,_,_,'_,___,_'_0,,D, El tefmlnOde_rUßOabellanOSe__^^'_,^^oo_'_'__i_^'^__'_^''___,',___0,__,^__o_,0__,__,__,,,_,,debeen honor al ce_lebre'__,,^'_,^^o,o ''_,'__;'_''_i:'_,___'''_,'__,_'_,_.,,. . __ '_' '__,''''_,_''_,: matemático no_ego NielsHenrik _-__adosacerca____._

or la_.,0_bilidad de resotvef tas__m____o'_cinco por __'___,_o__'_,

entes. ___.,_,,0

e:a, a'' = a4a__a_... 4_a"n'' veCes.

uesi a_b 2 _ a2 2ano.



_ _ __ _ _ _ _ _ _ _ ,_ _ _ _ _ _ _ _ _ __ __ _ __ _ _ _

deA = {a, b, c, d } y la

ab cd

4) esun g_po abel iano.sun

a, b, c)oessu bg_po de( A, x_) y a

__H/', beH

n g_po

a) Asociatividad garant izadapues H__ _ento neutro:a4a' f H_ ec_H

Cl C l O,e, e,_H,,, a,_Ht e_a_ ,_ Ht a_ ,__ H

de aeH_ b' _H_ a4 (b' J' eH _ a_ b eHsólo si (Demuestreque( b J' = b)

_ , 4) y (H_, 4) son subg_posde( G,_)_POdemostrar que(H_ _ H,,x_) esun subgrupo de



_

re4les

n _ y iRlosconjuntosy +,. lasleyes dena, lenemosque: f(x) = a"

H2 con a>O n af l).

mOmOnlsmOdeZ y TR

mOmO_lSm0de _ y _'

F es

_l. f esepimor F_smo si y sólo si f essuyectivo.yectivoun automor Flsmo si y sólo si A= A'

eyes

tal queh(x) = - 7xh(a+b) = -7(a+b) = -7a+ - 7b h(a}+h(b)h(x) esun automorf_smo eisomof Fjsmo.

momo,F_smo dmef el neutro del segundo grupo.

el)

x

4, e,ncelación f(e) = e'

omor Flsmo degrupos,

esdec;, F(x_) -_ (F(xJ)_, dondex_ ese_



_ __ _

n_lo:exisleun elemento l _Atal que

ces(A, +, .)anillo con elemento identidad. Si a.b = b.a_ a, b f A, entonces (a_+_.)

es:

_b,A

6n

Y t _ ,.o +a.o __ _ ,.o +a.o + a.o

ano

O

ntesO

ién_= (a+ (_a) ). b Oa).b=O__(ab)+ab+(-a)(b)=-' (ab )+O

)b _- (ab)

o _(a+ (_a))(b+ (_b)) _ oibutividad

xiste



__ _ _ _ _ _ _ _ _

rea_

lo Lascondicionesl, ll y Ill setraducen en losquesiguientes_iomas:leyessy a. b , s

sa.b = b.a

nillo deC3: Lasoperaciones+ y. son asociatjvas,espo,_diiA_ ,+) decir:a+(b+c) (a+b)+cy a(bc) = (ab)clOde(A,+t.) c4 .. _ec_ st a+ o __ a__o+a,es decir oeselAy e_emento __de/ nt__co baJNo laoperac__o_

mento itiplosdeadenotado por:lo (-a) / a+ (-a) O = (-a)+aepto el ceroxisteun inverso bajo laoperación. , es

ulivarespecto ala

nulosl. Lastemas(_ , +, .) y (_, + , .) son cuemos.Todo

CU'mO. 2. Latema(z, + t .Jno esun cuemo, pueslososqueadmjlenun inverso rnultiplicativo son - l y l.

3. El anillo _ detodoslos númerosfealesesunasg propiedadadede campo.

;.) esun campo _rquealas8propiedadesdecampo, _ eselalaconjunto delosnúmeros complejosO=(O;OJ



_ . __ __ _ , . _. _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ __ _ . _ _ _ _ ., _, _ __ _ _ , _ ._ ' _ __ .__ _ . _ _ _ _ ___ _________

R_oRD_.OY''_.,,_OmRlm 'v ...' '.S_aCeh_3 : Ley 8SOCi8tt_&'. PafatOd0a, b1C _ _:ultiplicaci6n detresmásnúmerosrealespfoduceel mismoS pOr resultado, sean ag_padosde cualqujef iÓn demanera.

S dOS __.. _;,tenc;gyun;,;d8ddele_ementoneut,oCl n mul_pI_ca_vo: _jsteun elemento en_ y

mentesolo uno, denotado por cc l tl djstinto de cero.det,l uear, todo af _. al __ l ., __ aa. ' . . ' .e' ' . . .v. aae ex. te' U^ m O

+b)

RParatOdo a. b, cen i _:a. (b+c) = ab + ac). c_ ac+ bcién esu_.

, a,, uel,te,n, _.+. ,eaunt_cue,ado com _eto,, t.lene_es,tl.sface, ___

OS _ . .o

de lassiguientesproposiciones:M, ll.-xeM, ITI. O_ M, escie_aajo ._,-

' . _. . -:



_ _ __ _ _ _ _

,ea_e,

ostr8ctón:osO+ O = Oneutro aditivox

M, x.O+ x.O= x.Opropiedad distributivanosx.O+ x.O= x.O+ Oneutro aditivopor Io . x o _ o _edecancelac.l

ado.

ntOdelosuna

e_Uraf . , . , . .cia_ass__gu__entes_rop__edades.

puntos

_asII. Si aRbt a t bIII. Si a, b, c,eA, aRb r\ bRc_ aRc

ráunes < (menor que) setendr_:

oncesaysolamenteuna delas

f bR, se

on-

lementosentoncesAtieneunximo y uno mínimo. Perotambiénsnnl,

mplos:unto el elementol Oy el mínimo es - 3.

otiene_nimo que

enl_ max/ l_mon_l



__ , _ _ __ _ _ _ _ _ __ _ . _ __ _ _ _ _ _ _ __._ _ _ _

tadoscRSean _el conjunto delosnúmerosrealesy LcR.onjunto L está acotado si existeun nu/meroiR,talqueparatodox__; -c__x__ c,esdecirmayOf Oel conjunto L esacotado si esacotado su_eFior e

o_ente.

'___ ,_ _ '_'___' . / ___oS_,___, "_ ._,_'__ e_OUC_0lI_____?__,_____,__'_',___' ,, ,!__v!n' ;_,C

fmentees. El

<__ 5) y_5)junto es

IRacotado5ecc_or decot e.

_ acotada__ esodas

E_em_lO_

net end r a/

c _, _ _ _l , _-_ _-_ ... ,. - _ inF.A= - I

xisje__.ual _ l



_ _ _ ___ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ __ __ _ _ __ _ __ _ ___ _ _

Sea: b = e donde"e'' esel elemento neutro

problemaN^ 2 demostrar _uee l elemento

' + e' = O(del prob. anterior)

quepro__gmg _n A__ ( _, 2, 3, 4) sedeF,neun, ope,,c_,o/n x,.

uyosvaloresestán dadospor latabladedo_le

ar quea

va_ _ Lao e,ac._o/ n x, esconmutat_.

e_Ún: 444__ _



_ __ __ _ _ _ _ _ __ _ _ _ __ __ _ _ __ __ _ _ __ _ _ __ _ __ __ _ __ __ _ _ __ __ __ _ __ _ ,_ _ _ _ _ __ __ __ _ _ _ __ _ __ _ __ _ _ __ _ __ __ _ _ _ _ _ __ _ __ __ __ __ _ _ _ __ _ _ __ _ __ __ __ _ __ __ _ _ __ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _

reales

nelaoperación 4 por: Va, b _- R_

de PrOal_m8 9aturalesampliados) sederlne

lassiguientespreguntas:álaOPeraClÓn'_tO_lmentederlnidaenNoaoperación !_'_ asociativa

nidaenNo1 Si:

OSl'me/ trl'COS ._.lao eración ;,; no est_ totalmentederlnida.

n ;__ esasociativasj_.No, (a!__b)í:_,c= a__(_! ;'c)

o,n n



_ __ _ _ _ __ _ _ __ _ _ ,

ciatividad sep_ebadelV)

O) para+ y

Si en losnúmerosnaturalesden_nimoslaac_.o,n _ med._antem_n _

Nm _ n

:__ (faISO)P) > (m_P)las_ _+ _ >_ _

m ' _ ' P '-

On j 2

= _m2 _ n_ -2mn _ mn

)_+ _m _+p J_



_ _ _ _ __ _ _ _ _ _ __ _ ___ _ __ _ ________ _ _ ___ _ __ _ _ _ __ __ _

ma*.

ß Jelemento inversomultiplicativo

s e_emento neutroa

Oadit.) .N. (_) l = x l y l ley decan_e_ación

straF -X, -Y_ si __ o

ón:

sistamb._e_n al a__ _ dedondesetend,a/ a

Oen (l):ón



_ _ __ _ _ _ _ _

ea_

_) es un g_poemas(C, .) no es un g_po, porquenoexisteel

operaciones

po?t ab u _ a, e s.

despara

ßeCtOaeStaS OperaClOne5

_cerT.andrán que_'enF1cerseio_-

__ xy i TT_ T _ _: T XT _ T

mutat__v_.dad po, s__metr1_

especto aladjagonal princjpal dondeelasoperacioneseS deCir Si XYF T_ y+x _ x.y = y_l c. . .d d . _.

Oel COn}UntOT liene2 elementOS,número decasos_uetieneba



_ __ ___ _ _ __ ____ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

"_b_ X' RYSi a'O, entOnCeS

ción:

cual prODl_m_ 21bparacada número real x, demostraf

do?



_ _ _ _ _ __ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _

= O

efso ad;t;,, deo__1._ __ _l _ _ __ __

3XleT/x,___xlx__ ___ _ _x 1 __ _

ademostrado quelaterna(T, +_ .) es

bf]_:a(-b) = _.(ab) = (-a)b

:delprob. lI)deZ dela" (a(- l)b) (MJ)

OneS de_ (_ _)(ab) (m m J

_a)b = (- I )(ab).............. (prob. l I)................ (II)

b) = -(ab) = ( a)b

(-a)(-b)=a.b

)aJ(- b)...... (prob. I l.. _ _ _ _ _ __ (M_J_ M3)

= ab



_ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ____ _ __ ___

eA, si _roDl8mg 25en lasgujentes, respecto aun número

Ano es

de exponented y ,, e, el di FerentedeceroJ esracional-ajO__

ónen t On ' ' ' U

os__ Todaote c.,adex _.,ac_. na_ no s._uee. .rlrlCan lOS EjeInplo: ( _) ' = 8 ca

d) lII. Algunaspotenciasdex irracional esracionalpecto Ejemplo: ( _) 2 = 3 _iera,f_rmación carrecta.

trar Dadaslasar_rmaciones, indicar el valor deerdad.( _

,ac__ .,_re_ .,ex,_stea_xistef"

existe_eroO''noexiste



_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

reai

ean ay b dos númerosrealestalesqueelego analizar lasional. Sl_UlenteS ßrOßOSIClOneS:queel l, Si aeS i_aCiOnal, entOnCeS b debeSer

I. Si aesracional, entoncesb debeser

no Reso_ucl,o/ n,

'J_'.

ent

ab e_' _a_;- g_ , entoncesb r__ _ v b c__

F

: Sea' Z__ -- (Otlt2'3,4} der'n!mO' l"'d'C'6n Y l"

istema:' ' ' ' ' ' ' ' (!!,

x -_ 2 t _, -_ _

o_s,_J_c,'ó,J._ 2. q = 3en _,c



__ _ _ _ _ _ _ _ __

e4. Sede rlneunaope ración _ en el conjuntoralesde modo mue

Tndicar el valor devefdad en lassiguienteses:

o araestao er,cl.o/n ';;.,_

S obre_ - ( _ l ) sedeF inel aoperación

+b+ab.

siguientespFoposicjones:

ble1 T. El ,, _g. _ e, un _o conmut,t;,o

eal r es_

B) V_ C) FVVVFF E) FFV

_J, _) y laley de) ,ección) están dados_or lastablas

E _ _ _



_ _ __ _ _ . _ _ . _ _ _ _ _ _ ,_ _ _ _ _ _ __ __ _ ___ __ _ __ __ __ _ __ _ __ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ ____ _ _ __ _ _ _ _ _ __ ____ _ _rea_esEstablecer el valor deverdad:_ un carnpo ordenado.

B _ cvFF

Establecer el valor dever dad de lasones:

conjunto_.



_ __ _ _ _ __ _

m _ n= residuo dedi_dir (m+n) entreg

# (5_7)

acionesdef_nid,spo,;

cda aaa

_J(1+_+b2_a)+a_Jb+l+b'N)

n _ definimoslassiguienteS opefaciones

_ _x _9; y#y=2 I_+20

) 25 C) 26



__ _ __ __ _ _ _ __ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ ____ ___ __

e4les

_, B) a_ C) a3l D) a_ E) ao

aX'b = min {a;_b = maX(a;b} _ R

ay b

o,e:

2

_ IR; sp deFlnefaoperación _ como:+ b_ 1

CJl -2; 6J



_ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _

son 29. Si deFlnimosen & laoperación xcdeF_nidaor:a;b}

sas?= b X_ a

4cll. (x _ 4) _ 2 _ x= lx,N___ 2___x___ ,/ x___,

y;

es

l, (a. bJ-. - = l ab _O

steoremas.= b+c

=b _ a= c

Il_ Si a_- R_ (- l )a _a)=b

b númerosnaturales, si sedefine

- b_a

a+2b)''



eales

. ConsideremoslasratacionesdeunáteFo ABCalfededor desu

n

nDemostrar si esteproceso con laoperacjón

neoperac_lo/n b__na,__

_+_' . . /

. iAdmiteelemenlo neutro?, jcuál es?

_v _.Todoelemento deA t_.enes._me/t,._

pUeStaativas.



_________________r___r __________r______________________________?__x______________x________________________________r_______________________________nnv______ct__r______________ ___r_r_______t________v____y____________________r___________r_______________________________________________________nn__y_________________________mxm___________________________________________c____________m____________________n__s____________s_____________________________________________________________________________________________r________,_______________________________c______________________________r_____________s_________________________________________)_______ ____________________________y_____________________________s_________________________________________n_________________________________________________________________________________m__ ____________--i__

m _ :. _ ' v_ _ __.__ _. ; _ i_ ,. '_ '_!, _ _ ,.,_ ', , .;. _ _ ; _,,,' _ '_ - :s': ' ' ,.; _- ...,.. , ; ' ' ' ': _-- _ _,-c;, An,____1 mn.M__;', _ _21.__! D_W2 .w::; 'Bm,M2__v2___3--;_''__ .,_Mv__3..__,.mv,_' ' "_; c_m_1 3 _';--.__c NM_23 ;__ D__33_r--- :; A.M__19 ____. h n__24_._''_ Bm__34_.._ __.. A_1_ _;-_-_ c__2_5__E __35__p ,,1, 6,, _,_.___+ E ___2_6 m__D_.3,n_6 _v__ __;_ __m _1 7 _c_2__/ , '' 'g _3 i m_', 8,,, ,,__. A_1_8 _,,,__ A___28.,,d.p ..c__3.8._..._J _

r.__ _29_B___B' _3Mo_,m__ ' _ __4o_

' -6 _..;,_,'5: -_---x . .;_ - ____ ;''.;'__._''_''_'''n' '_-"-_'' '''''- ''



C PÍTULO

l

¡ x ~

úmeros complejos

arl Friedrich Gauss (

1777-1855)

Fue el más grande matemático del

Siglo XIX y probablemente, junto con

Arquímedes y Newton, uno de los tres

grandes matemáticos de todos los

tiempos.

Gauss nació

en

Brunswick, Alemania,

en el

seno de una familia obrera. Fue

un niño prodigio y desde su niñez

mostró una asombrosa habilidad para

el cálculo. Cuando aún no tenia 3 años,

observó a

su

padre que era capataz,

quien hacia las nóminas de los

albañiles. El padre cometió un error y el

hijo

se

lo

hizo notar y cuando revisó los

_

números halló que el pequeño -precoz

muchacho- estaba

en lo

cierto.

La

sagacidad con que Gauss guardaba

sus teorías se explica

en

parte a

su

pasión por

la

perfección "poco, pero selecto" era

su lema.

Contribuyó a allanar el camino del álgebra abstracta superior con su pensamiento

sobre los números complejos, demostró por primera vez con tanta rigurosidad el

teorema fundamental del álgebra.

Procedió hacia 1819 a inventar otro tipo de números

al

cual

su

compatriota

Hermann Grassmann

en

1840

la

llamaría el álgebra de los hiper complejos

a+bí+cj+dk), contradiciendo a las leyes de la aritmética básica XY* yx; siendo

x

y

hipercomplejos

.

Ha dejado innumerables aportes a

la

ciencia principalmente a

la

matemática.

a

+b

-3abc= a+b+c) a

+b

-ab-ac-bc)

m

b

o

a

Z= a,b)

Z=IZICiS

a

a

lR.e



__ se_- el _elos_'o_1lp I_7iu_', poI' cjeIJ_pIu, pel-o J__e.TUoJJ{a, _, ... ),_ dotndn _e?II11 c_I__JJJe7Jto (_J(idn_, e,__ sen_

eJ7.Tio_I_9_', Si Iosc_/c91Jc1Jfos_e l''sy11 iIF_ic_nJos_rJ/_(_X,ecf ol_ir_l.'

eJ1Jn, i1J_icndn "+ 'J, c_ol(11IJrtntiz'n, n._nc'inti__r_,__renl _J{ecndn z'ec'ro/"_Xt_1Jen _n/_n __._rn Ie_.)_ I_9Jop_resro

_teJ1Jn c_1l o__9l_rlc1oJ___s__JJI_ rlsrJc_inli_'r_ .)' _ist/i I_lrli__n r'oJIili_JJi91fos' __ lí,'

UJ. _U_n, ..,., _U,, tn Jes_JreJr17 z'_7c'to1"c'Jrnl_Jri_/_nrl__ r's-eeestus _'_Jctu/__Js.)' rJecoc,_ic'i_7/Ite_s/eJ, __,, ..., _,

,

rl-n _er_JJillo, cspJ-Rciso de_iJ_iJ- eJJeI JJJisJJJrJ( JJJr_ln, Irl o_r_J-nc-ióJJ''xn '' _IJces nsor'ir_liz_n, JisrJibJJti__rI _'/J/Ic'uIJIn Ie.?' c,__Ie?J_Jn, esdec-iJ-, _ rnl r In.Te_Jrc rc_JJ_nJJJos,__JJ

rJu _lIerIefiJJeeIpJDdJrcfo deI r_1Jillo coJJsirJr?J_n_o.e/ _'JrrI/ e_J__'oIJJp Iejo o, JJJcioJ' (IJJríJ__bJ_n. ,_Jrse Je_JJcJJ/os' s__us.__rrl 1J_o Iosele-JJJe_Jtos debnse_oJ1J_nJJJJJJ __J_rpo prI/_n/Jn._oJ1JJn_/o eI _7_____rn deI_J__po-

7rIJJr I':.. IJt__JJ'li_J._.



x_00___0_0__0_0_________00__00___________0___0_0______________00__t___00_0__00________________________/______________________________________________________________________________t___________________0___t_____________________________o0o______________0__________o_______________________c________________________________________o____________0o_______________________________________________o__________D_________mp0p___________o_____o0________________________0_____________p_0______________________________________________,________e__________________J_0_____0__0_o,_______0____0__o_______0_______0_____0__0_____0______o____0___s_0____0p_______p_s________p____0____0__________________0___0____o_________o________0_________0_____00_____________________________________________________________________p_________0___________

'_'_,'_'_'_'_''_'_'''''____,''_,__'''' \ _'____'_'__''___'___'____;.,:_,;,__.,.__,:_,:.,_,._'_,.::.__, '_:'_,.___''__,.'__,'_,_,__,__,_'_,:',.::''_'_:':''_'''':_::'_:__'''''''' :__,:';_'_:''::'',,,___,:_,__,___,____,___,_,____,_.__:_,_,__,,__.:_:__,_, .:;..;..;,.'_,_:,',:'_,_'_,_''__,_;'__'___:,,,''',;__'''''''' ,.;__',,,,,,__'__:_:,'_;:____:''_,''__,'_,_,__,,,,_;,_;___',_:'_,:'_,,'__, ''_''_'__,,_,_'__,,,'_,,__

-- =-- _= = = -- - - _-- ; =_ _ =,--- ___--__ - - - -- __-_ - = =_ ' :. _ ___,_ ' ':_ :'.._,.. ____.: '_,:':: ' ' ' ' '_' ' _ ' _ _ Y' / ' _ _'_._:. _ _ __' _': ;_. _:__.;.,;,..:. _ _. _: ;. ; ;;,: __..;;.._.._: _,_;.__,;,:. _,., _. _..._ ;, _..,.. _. :_.. _. ._;,._.:,__.: _..,;._ :.:.. .::, '... :. __. '..._ ' :..' ' ' ' ' ' _' ' _

'''''' -- . , ' _'.m_,,mu_encollama'' d'o~Elca-_:__lejo_q_d__ _a_. papel ,?_?'_,_=,ne's' '':''',p0 o_omal_s. . ' ___'_amas, '_'' ,e,, I8, ___- - - íá y __lacienc_'._ _ '''':: ' ..' ?'

oselect_,c,, _'s, ,_ geo_t_a_racta_, etc. \ , ,_ / . ...._.."_ "_ .i_

el muyimportanteen el desarrollo del Algebraen especial lasecuacionespolinomialesobe deceal Teoremaón escomplicadapor medios algebraicos; en cam_io por et

eLioville; lademostraci6n esbastantesencillay rigurosa(ver

mico necesiEamoshacer uso delase cuacionesesolverdichasecuaciones seutilizan alosnúmeros complejosn problemadeonda sseutiliza el méEodo devariableser.

slasra masdela Ingeniería. Por ejemplo en lacos.

asseha desarrollado laGeometr{a Fractal ; dondeentreoscomplejoslos cualesson un componenteimportante

aplicac ionespropiasde laGeometría Fractal (Física,Química,ía, Arte, etc.). LaGeometríaFractal nacepor lamismaquela geometríatradicional o Euclideatiene limitaciones

como montañas, Iranjascosteras. sistemahidrográf_cos.objetosque no son Fácilmentedescritospor lageometría

descripción y unaFoimademodelo matemático paranaturale2a; todo esto esposiblepor queladimensión

uclidea.

actal esel deautosimilitud, esto quieredecir_ quecadaecon unalupaposeela mismaFo__ay caracteíslicas queel



____ ____ ________ _____________________________________________________________________________________________ypxw________________4___0________0_________________o___________________________________0______0____________0___0__0__0__0_0_00_______0__0_______0__D____00___0D_00_D0______D0___0______0___00po____0__o____0__0__0__0_po__p__0_____p___0_______0______________0w_0__0p_0__D__0_0___0_D0_0___00___0____0_D00_0__0___o_D0____0__________0_0___0__p___0___p____________po___________________________________________0___0_o_________0_0_____0______________________\_____\_______n\__m__t__ __5__0___

sal8ebr_icash_ l'leuad0 at h0mbr_ de_deI_ n_mel_osnatura/_s0 los___,_

DS IrraCl On eS y 4 SIStemaConp etOeDsnUmeroS __a' es.l __mefc_rl_CodeJoslVnd_mentos' deJ_na__J-_r_smodgmodgsc__,b(._esra_,,,

mprensr_n del si_em_ d_ númeraspor el hombre. _abem0spor eiemplo, que'___i__x"'' con laproped_d deue___car.. _+ l _O; eI problem0 es_n4/ogo; _u0ndo ei '?__,L__re_sne.ia. rjuos;' s_lo contempl4b0 Iaec_aci_nxt___9,_eF n_mero -5 0u'n no _'___,_,

númeIoscomplej_ s' î_' uje' n'' do est4sm sm.. _sIjneas, l_sde_inicionesy __las____,,?___' '' ' '' _'_ '' ''' '_''L?sistem_ de' númerasesu_ n_ ext_nsF_n de/sjxe.made.J_ números r_oles.__''_,me_sco_pleiosy l_ pnmerap_b_ s0l_- _aclm del teorem0 .___71 -J8S5_ensud(irt_ri6n_to_tenl __ Mterm'nonúmero

n_'c_'_n denu'me_s'' co_reJ_Dsiomopa_so_d_n__e_nu_me_s_e4Jesruei____temdtjco ,ifIand_S _llIW' m R_n Hamilto_ lJd05 - l 865Jy Iue_o _,_di_ est_ den___, d_ los_tim_ comp_iosal_ n _d._sordenadas__XJ,' eStOS nÚm_iO_ hipercOm_l_iOS __J1er_l_an 0 l_n__ COm._leJOS y a_

aI jmport'anci0 en Á_eb_. En l4 teo__ d_ t_ funcjmes_n_/íticasde_rDscomp IeJosiueg_n _n p0pel j___teen lasecuaci0ne__erencjaIes; en _., iones, uib__c(ones, fenbneno_. md_loronos, n --7os_cr_les9ueesuno ___omo Iosd1rerencio Ies. ;__\-,

enumerosreales(x ; y) ; esdecir x ; y _ 7R ; donde''x''componente.

amosel conjunto delosnúmeros

Comple_os

_r4.

, __ (2+4 _, 3+5) __ (6 ., g)

(-7 i 22)



_____ ___ __ ________ _____________ _______________._ ________________ _________________________________ _________________ __ ______________________________________________________ _________ _ ______________________________ __________________|____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ _________________ _ __ ____ ____ ___ _____ _ __

complejos; estamismaoperación deadición en V_aciÓn demultiplicación sedistingueen _ yV2; en losnumefos

mero complejo; en cam_io lamultiplicación dedos vectoresue un vector tienedirección; en cambio un número

_.;'',, '''' ':_ ' ' '':'''"' ' ' _'- ''_''' /

UC16n_

.2..,__'''''''_i__ ___Y2 ___,.___,__,, __=_2 4=X-3 _ Y+I_5-Y

X+ _'--9

d__ Ga. _s_ ,, ,,., ' _' _' ,,,

cual PROPlEDADES: _ _,; _, ; z3 e _el e)e"X'' A_: __+_2 f _ (Ley de ClaUSUfaOCeffadUraal deParalaadición)naAJ_; __+?J_ -- ?7_+Z_ (Ley Conmutativaparala

ma

ditiv_).

__(o.o) _, _,_!o)

CerradUfa_ara

v_ _arala__ _- ____- - - ______'__,,___,_,_,_____ multiplicación).

fm__--(I; O) tal_ue5. _'= _ __?__.C(e__istenciatiVO)_

?.- _. ' Nd ' _ V' Y?_ F '

erlnidasmu_t__p___cat__r D( + _) +

(le), d;stribut;_,a) -



mero real 8_ obtenemosevidenternenteunascorrespondenciabiunívocaentreel conjunto

nsiderado depuntosy el conjunto detodoslosemásnúmerosreales. Como aplicación delasor. operacionesdeFlnidasen _ tenemos:

)S ean _

ealOS pUntOS (a;0) SemUltißliCan en_ Sí (X3 ;y3) l_Ual qUelOS nÚmefOS fealeS CO_eSßOndienteS_

ChOS nÚmerOS nOSediferenCian eny_+y3Jnada_Or SUS prO_iedadesal_ebraiCasdeloseS fepfeSentadOS OCdinaflamente

Of pUnt05 deUnafeCta; _Of lOtantOCOnClUimOS:

y2) C_

,+y,x,) Al Paf l2 i O) leCOrreSPOndeel nÚmerOreal l2OJ= l2; an_logamentecitamosos:

) ' 4 i O=

plejosi,n _ T E o g E M A__s'' ' -on , _F'_i Z = (XiY)ede_,_____, (x _ y} '_ _ _ secum_ler5 = (rXi fY)

O) el

n

dos e/stosel ma_s__m portantees_. ,a_ cua_eal d . .d d . . .



__________________________ ______ ____, _______________________ _______ ________________________ _ ____________________________________ ___ ______________________________ ____________________________ ___ ______ ____ __ . _ ____

,maginaria; tienelaparticular notación i = (0 ; l)

Ao i"; 4_

P0f lOtantOi _ l

,,, ,m,,,,,;:,, ,o,,,,,,,,,,, ;';,,,,_';' ':'' ,,,,,,,,,, :,.__..,..,.b' :,:;,.,..o. .,_.....,,,., .,,,a..,.,.,a ,,..,...... _____i0''"'' Luegodeduc_mos que

Luego sededucedeece_N- ,j - k _ l_ _

do a_t __ .._. ( _ _ )_ ,_ k . _J_ ___-_



_ _ _ _ _ __ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ __ _ _ _ __ _ __ _ _ _ _ _ __ _ _ _ __ _ __ _ __ _ __ _ _ _ _ _ __ _ __ _ _ _ _ _ _ __ _ __ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ __ _ __ _ __ _ __ _ _ _ __ _ _ _ _ _ __ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ __ _ __ _ __ _ __ _ __ _ _ _ _ _ __ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ __ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ __ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ __

Ii FICar

V_- i 2! + i J! + i J'' _ ..... + i l20''

o de_"'_'_'a___0_____00___9__,___'P80O____'__,a__'___'_____''0__0__i'____'_,''0 '___'__,''_ CUatFO_ n > 4__',__,_"_,_'''__''__ (Por _ropiedadesarilmé_cas) ____.,_d__,o,,,. _ _q

UNC0MPLUO'

m__cao cartes__ar_.' ' _'__ ; _'_) escadauno delossiguientesnúme_osco_np_e,ic__dospoF suscomponentes.



_________________________________________________________________________________ ________________ __________________________________________________ ____________ _ _ ____________ ____________________ ________________________________________________|_

Ejemplo 2o+ 12i

enEación Geométricade?= (x,_y), de su

_l'

;';!"! ;'__ _'' ' ''' '_'' 't ;' '''''4'tt'. '''''''''>

s_= _; __ ; ?__ _?_

e70fea1

mp_e__ imagin_ri

al 4, + -_

eF_ne_z_ _



_ _ _ _ _ _ _ _ __ _ __ _ _ _ __ _ __ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ __ _

Ao cnRTES_m' ''..._._._..._ ,x __ . . ' , ',.,,xo.,,.,,,.,,,.,,,,,v,,,,,,, _'___^^'_

___^_o0 '''_______o_ '_ _____ _____?o' _ '__' __''' "'_ ''_'''' ''''_''' ''_'''''''_''''_' _'''_ ''''_'''' _'__''_ ''''_ _' __'0'__''d''0''' __'_'0'0_''_''dd'__' _''.'__'___'___0_dd_'_'_d.''___'__ 'd'D_DD__ ddDdD_,____._''_.._''__'''_'''_,0''._,^''_,'''__,._''_',._'',._^:,. _ '''_'___damosladennición rigurosade la__D__,,,0'_,,

pticación dedos complejoscomo par _D'''D__',''_,_ado, tenemos: _,,_0:'_D,__'_'-~_''"_i'''__'_^^"_'_'_'_''_''_'''''_'^_^i_'"^^"^^'_'_'_____ii_'_______'___,.?.,.y Io expresamosen formabinómica__D__o'_.

c_bd) + (ad+bc)i __''_,_"__'__d_'___ ' _' ___ __''D_______'__''____'v_ __' Llegamosal mismo resultado, esdecir ladeF_nici n __0_.__._.

____-______ '__-'-'_-_''____'a- _'0____'_'__'_'_ _'__''__'_'__'_'_'_'_'_'______0_0__00'_0___o__'-_ __-' ____'___0__'_d_0''__-__'__'_'_''_'_-'_'___'0_0__o______'_'___-____0'-__i__' _'_____-__'_00o00_0_0_'_'_0''_'_''__0___'_ _-_'_'__ _'''

acionesindicadasy halla_:

amultiplicación denúmeroscomp_ejossaet orden

OreS._ _ -' _ : ' ' = _ ' ' _ i ' __ 0 ' ' _ 0.; ' _ ' 0' ' P ' ' ' ' ' ' ' __ ' ' ' ' ' ' _ _ ' ' _' ' ' _ _ i __ __ __ i _ O,._. ' ' _ ' _ ' ' ' ' ' ' _ ' ' ' _ ' _ ' _' ' ' ' _ ' '- i ' i ' ' ' ' '''__ _ i ''_.. Lue,o_,e t.,a''''_"_'' _''''''"''"^'''^'"^'^''""_'P _ = ( l + i)( I +3i)(3- i))(6+g__

+8j+ 6j+8j2 = -2+l4j

S sean los númeroscomplejos___ , __2 pafaerectuar___n _ habrá4UemUltipIiCar a__ y___

l SeObtiene

.,.,,,,,,.,,...,,..,....,.......,.,.,p.,..p ,..,......,,,.,a,,,.,0_,...,,......0.,..,,.,...,, .._.., ?_ = a+bi ,_2= c+di_,..D?_ a+bi (a+bi)(C_dj)'_'"'^^"^'^''"'"i'''i''''''i '''i_i'i""'^00^"''' '''''' ' _2 C+ di (Ct di) (C - di)

_?."i'___"_''''''' ''m_'''D^^_^^_^^^_^^^^_''^_'__'_''''''_'''_''___"_^_^_'"'^_'_"^'^'0^^_^'^' -'____D__0''

__



_ __ __ _ _ _ _ __ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __

esolución:ndo EFectuando por separado2 2 __



_ _ __ __ _ _ __ _ _ _ __ __ _ ] _ __ _ _ __ __ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ __ __ __ _ _ _

_' _' ;_ ' _ __n.aEn FonnaanáIogaseobtieneemos

Nos_N

2+ y_ _ x+ x2_ v2aa ' t ; b _ t '

nCeS_ SetendralOS__U_ente

osignosdiferentes

or lo tanto

ro: cyx x22 sn , x xa 2 i

iene_ , , , j_

_i) = +-_(2"i)



__0_______op_0__po_40p_p_n0___0_0____0_0_0__0___0__0__0_0__0_00_o_0___00_____0_____0_0__0___p____00__0__0p0o__0_0_po0_y_____D___0_06___0_p0_00_00_0pap_0p_00__0_00____0000__o0_00_p_0_p0_0_____0____0_0_p____0___o_____p_p___fttt0___0_o__0__________o____0_____0_o__________________________________t__0________p_0____0_0____pp_o__0_0J___00_00____0__D_0_D0pp0____D_0__0____0________________0_______0_____________o_______________o_____o_____________p_00_o_0oo0___o0_o0__p_p_________0_o_oo____000op___p___________________________________________________________________pa__________2______t___________1________2__n__ff_____E____v___et_____l____c___e_f__x_s________f_____(______E_______z_____f)___)________E____f_(___ ______ )t_t 1_______0________________o0_______0_______

NMER_ CaMP. L_.O' '' 'Oi IEDADE5ado DeladeF_nicjo/n demódulo sedesprendetaseS; Se an _?; Z_ ; __ _ _

_'__-__' '__'_'_____0___d_____ __'0_'__'__'_ '__'____ '_'______'_________d___________ __._____._______. 0___0 0_'___0______."__0__0_B____0.____0'____0_o_______0__8_a_______' ____0_8__8__'_____ i____________.____ 0_____0_8_0__0______________00__0____0__8_______0_____________8_______8____0_______o_______T___0_0__0_-___0__ ,,0,..,ot 2.0; _.. t._f__Q.__ __(o;oJ. _,.:__.''''_.':''''':''::__''':........ ...''''''''''.. __ î___. _.,_ .. _ _.,,,___,_ __ __ _._,__....':..... ''' :;'. ; .. ': :...g. ;. ,. __ec2. )f __f2l:_'_, f' :: '_ ':_m(5. _) 5_, _ __,,'...l__2, tt.2l ._. l.__.1.1 l.Z_i.. .., ..... ... _o.

__. ('0;_J___::' '' ____oo,0,_ __ m.e'''_'__:'_,_......... ............. ..... _,'_,:

,_'' ''__,,, o_oo' ___a____.o,_,',_v__.. ,8, _ _ n_.:i'2, _E_...,,,_';",: ;''_.., m_ eN_ n22 ''''_^ ' __'_______'0___.______'o________'__a____o__a____._________0_'_,_0. cePcesenta lamaenil ud det cadio_______ '0'_',DD_a_e ,_'?_0___._'' 9_ _.2J''_'_2l _'...'fz' ,_'l:4l.z_2l ___rdelcomPl eio _deori_en(O;O) _____' _,' _______'__ _o ' _ .., _ _''z, &_. _8,_.'0_,,,,oo __g__,0,0_0o,,_''''' ''''''_'' ..'''... . ''^I:'' "2 ' - l _ _?__,_,,09.,_, ,..._.,_..,..,9__,,., ,.,_,.,_,_,_,,__,. 0_,.,,0,_,,, 09,,,,,,0,0,,,_,_, ,,,, ,,,,_,__,__,.,,9,,,09,9,0,,0 ,,9,,_,_,,0,,0,,,,,, ,,,_,,,,_,,,,_, ,v,,,,,, _,_. ,_,0,,a.iW___a... .,o,o0.,_,oo.o, o.,o,..,.,, , ___s.__ _s:

pleJos_. l 'l'2 f ' _- ('l'2) ('l '2

al)

________ l?t ;nveces

_?_+_,)(___+ ?, )_z_ +_,)__ +?? ,)

_' __ '___'______^ v_'____^ '_________'_'______________________',____,,' _0___,.._,_,.,,__i,g____o, z a% 1 z1 = 1 al ___''?_o_'' _ _ _ _ _::,'':_ z__b; _ lz1___b1 ___,_,,D_,,, Z_Z2+ZJ?2=2Re'1_2 __Re'_?2_?_?2



_ ______________________._| _______________________ _____________________________________________________________________________________________________________________________ _____ ___________________________________________________ ____ ___ _____________________ _____ _____________|____________________________________________________________________________________________

2 + 2 I_, l l _, l + _?2 l2_ ( l?, l+l_?, l )2

_mE_ocom_. L_. o

_,_''ii_'P''' ''''''' g''''i'___i,N... ,,..d.d,.,..,...,,...,,,.,,,,,_...,.d._'__

prjncjpal de_os

d?_,,__0,,_,B8,_.__8,_,_.,_,,8,.,_D,,,_.,,,,_,,_,__,_,.,_.,_,_.,.,_.,_.,_,_.,_.,_.,,,,.__,_,_,_,.___,____d__d'"''d'

_ ' _ ' "_ ' ' ' ' ' ' ' ' ' _ t t > ''__^_^'_,'_,_D^'_,,_,____,__'____'____' __'i0'_a^____i._'_,_' ''"i____'_'_____._,_.___o_,_o__o______0__',,.____,_g_.i__,,__.?__,,_._..._a.__,_,.?._.._.__'0____",o'___=____=_,__,___'_.__.a_,__a_____,___,._i,?_.

_ a, gum e, t o d e, AF g( ,) t em b., e/, se_ e__,___o,,,

elángulogenerado_relradio ''00el _.,.........,...................,,....,,........d.,,,.....,,..,,.,,,,,,,,,,,.,,,.,..,.,.........._... ejereal posilivo haciaun pun(ocualquieradel

,iiii,0,,0,,0,,,0_,.,,0_.,,,,0,,,,,,,,,0_,,0,.,..,...,,,..,,...........,.....,...,.,........,.......,,...,.,....,...,........,.....,,.,...,..,,.,.,..,0o.0..0.,.,....0,0.0,...,.._d,,.,,,,,.0.,..0,..,,..,,,,,,,.,,.,0,,0,,,,,...,,,,..,,,,.,,,,.0,o,,,,,,,,,0,,.,....,......,,..,.o....,.,......,,...,,..,,,,,.o.,,.,,,,,.,o.......,,,,,,,,,,,,.,.,,.,,....,.,.,....,.......,,..,,.,,..._..,,.

Y__

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__________________________________ ____________ _______________ _ ___ _________________________________________________ ________________________________t_________________,______________________0__0_____________________________________________________________________________________,______________________________________o0_________________________________0_____0_____p_0____p0__000_p00____0_0t_00__0______0_00____0_0_0_0000_Q_0__Q0__0__Q0___n0_______0__00_0_______0o0__)___q___sp_________________________o_____0___p_______,000p_00_30__2p_)_3p_0__s00___D___0__0x_____

reSenlaF en (O_aPOlaF ?t = 4- 3i

_,_,_,___,,__,_,_,,__,,__,_,____________,,__0__,____,,^'____,,0,,_,,_,,_,_,,_o_,'_, argumento prjncipal en et inte1valo'_.<-_;_I,esdecir_ __<0__;_rettono ___'.consideramosen _,.

l

1z l 1wl (Cos(0+a)+Sen(0+a))

,^^_,,,,_0_'_^'^^,,^^_^a0__^_'_a^'_^^_^'^_^__,^'__,^^'_,,'___'__,__,_^_,,'_^^__,,^^'__,''_,,^^'__,^',,,^^',,^,_,^^__,_,_,'__'_,,___,_,__^'_,,^__,^^'_,, '__,_^_,_,^__,__,^'_'_,,_____,,__,^'0,,,,^^_,, '_,,,_^''_,,,0^'_,,,,^^'__,,^^'_,,,.cued,en_e seencuentre eleF_)ode __r,_,,DemOStraCiÓn_^:.____^_'____':_,^____^_' y luego catculamosapactir de_D,_^_^' l. _w = l_t ._wt (cosg+isen8) (cosa+isena)

na)__ _____, ___0_____D_,_0!,,,____,0,,_00n, 0n_ ,,0_,__,_ 0_,_,_,__. _0_0,___n_0,0,_0,_0,0,_0,_,0,_0,0,0,_0,0,_0,0,_0,,,,,_,0__0,0,_0_,,,___,_,_, _0_,_ ,,,,,,_,0n__,0n0_8,,___0_,__,_,_ ,___0_0,,_0 _0,__8,,_,_n0_0,_,0,,_,_,_,,,0,__,__ 0,0,_,0,_0_0,_0,_0,_,,_,_,,0,_0_0_8,,__0o_0_,__ _,___,____ __ __ +i ( Co s 0 Se n a+S en 0 Co s a) I

)JY_

a)



__ __________ __ ___ __ _ __ _ ____ _____________________________ __________________________________ _______________ ________________________ __________________________________ _____________________________ _____________________________________________________________ ___ __ _ ____ _

= 2_(Cos5_/6+ iSen5_/6)

Ar_(w) = _/4

enelproductoyelcociente;de__

_''_:'_ _:_____-_--i _''_. Ar_ _ = - _- _ -____,_;''_.._i.. w 6 4 l2

ar seii_..iii'__. lue._o

SR___i'_,,_..,s. _,_,,'__,'_

P'''P'''P'i'P'''''''_i ' ^ ''_''"i'P'''P'POP''P''''_'P"'''''''"'' '''''''''''''''''''''''''''''P'"''''P c7_ . sen7Tc

gumentosde_.wy =

>



__ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ __ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ __ __ _ __ __ __ __ __ __ _ __ _ _ _ _ _

__

UCiÓn:nte

- - - - - - - -!_ ,. ,dD,d.,,.D,0,.,.,.,,,,,..,,.,,..,,..,.D,,. .,... .,.,....,.. ,,..,.,.,..,,,,.,.,....,,...,..,.,.0......,.,.. , ...,,,. ..,..,,,.,,,,...,,.. ,,,,,...,,........,,,,,.....,.0.,,,,.....,,.... t ! ;

_'0 _ Ar_(_)--2_-0erar ( 0)

_

- l _ en -



____o___p__e____n____0____s___o_p______a______c___0___o___r____0_____e___________n________________o________ ___(_____e____c________o__c ____________(_o__s_______c__m_______________p____+_____p________________(______e_____________p0/__ _o_0___3____)_____________z__0____0____0_____________________)_______s_____________o________________,______0__0___e___0___po____p______/po________3____p0__0_p__p_0__)0____p_________p0o_00_p0__________e_p__p________m____8________________o______(_____________________)____0______________DD_0D___0____________________________________________p_______________0________D____0____ _LA __N_(t_)sc_e(_n(_()(_)N___2_)c_______ss____)t_0__mn_________pp__pto02___p_o___to_po_2_o00o_0____________(_)_2____0_0000________DD_0_0________0__D_______________________

O.'COm' Pl_O-- '' ' _._

presando en formapoler el compleJ_

= O+i = ( l) COS- + i Sen-

nte+ _ /2 _, -2 i -- ;

n ' ' l -

'___ _'___g__'__9^'_ ,' _______ ,q___., ___ 0 ____, ,0_,_'_ ___ ,_ _ ___,_ D__DDv_/__ :__ _ ' _ 0 0: 0 : '_ _, =_, = _B, = _ P_ _'_,_ '__ _ ''_, '__ _ _ 0 __, _,' '__ _,_''_ _ ''_,, ' '_ _ _'_d__ _ ___;___:.

0__'0'_,

ejo e _'''''''''''''''' '___'"'

ee'0 + e'0 = 2Cos0 e_

.. (4) _.'

_. 0,80,0,. .,_,,_,_ ,, __,,,_,__ , ,9,,_,,,_0, ,,,, ,e,,___,,_,,_,, ,_,_,,_,,,, ,_,,,,,_,,e,__,,oi,_,,,,, ,_,_.o _..,,,,,_,,,D,, _ _, 2i _ _0'__.__'_ _',,___ Si en dichasrórmulasreemplazamos0 _r _; _,_,'pmosalgo más general '''__':

sólo _'0' e'= _ e'N' 8_'

.......,..,... ,...,...0,...,,,,.,,,.........,,,,,,.,......,..,d.....0....,,,....,,..............0...,,...,,....,....,,.,.....,...,...0.0.,0..,a...,..,,..0,.,.,......,..,..,.,,..,,.,.,,..,..,..............,...........,...,..............,,,_,.....,,..,,0..,.,,,,..,0.,,00o0..,..,,..,,..,,o,......n..._,. , ,...,,_._D_._'_D

dap,,, represent,, en Fple_oensurormapolar. Así

0e' > O; _ x f _ __,9,i,_

_''_'i''_''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''' '' '^^' ' ''''i''^''''''''''''_'_P"^''''''''''''''''""'' '''''''''''''''''''''''''' EJemplos:sI2^



'' )1.



_ _ _ _ _ _ _ . _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

Aa^ o:. _n;: ' - '--_ , 'Es decir W,+ J= W,..... y, _ o; t _ ; +_2 _vesLuego lasraícesn -ésimasdis_j'n_asson

problemaderaízésimaenéSlmaeS SUFlCientetOmaf lOS ValOreS de

O_ l_ 2_ 3_ N__'_ (n' I)

__0______0 _ _ ____0__________ Ejemplo lcúbicasde8iten n _a_cesRe'OlUCiÓn'_/2)

__ t4k_6

M = ?

en0}

0_ Si K=2 ; ?2 = 2Cis3_/2 _ 2(-j) = -2i

_e___i _ -2i

I +i = _(Cos_/4 + i Sen_/4)



_ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ __ _ __ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ __ _ __ _ __ _ __ _ __ _ __ _ _ _ __ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _

_ '___ _ '''

nces_,_. _ ,Cl..U..S., ?vON.;,, _____D_,v_''''''''_''v'0'''_''''''''' ' ''_ __,,''_^d''_,_

_ - i __

on: l , w, ni esdecir ____;_

0

- ' - ' ' ' ' ' ' ' - ' ' ' ' ' ' ' - ' - ' ' '' '' -- ' '' ' ' '- - ' - _. 0'__,_00,'

_0____,___,__,D_, ,,__._,,___,,,;,,, _;.,,,;'',_-_____- _-___-.___, 1 _.l _3. N; ____' 2'-2 l 2 21 __ ';



_ __ _ . _ _ __ _ _ _ _ _ _ . _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ , _ . __ __ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ __ __ __ _ _ _ _ __ __ __ __ __ __ _ _ __ __ __ _ _ __ __ _ _ __ __ __ __ __ _ _ _ _ _ __ __ __ __ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ __ _ _ _ __ _ _ _ _ __ _ __ __ _ _ _ _ __ _ _ _ _ __ _ __ __ __ __ __ __

__ _ ___^^^/, :osusencl_a__ Losar_josdelas raícesn - ésimasdeun númerowo __ complejo son los verticesdeun polígono regu- larde

_,a/,,e,

WDe_ re_r_coseobseNa. g _. _2_noses:

Donde__esunadelasraíces(n-esimal)de_

esra_cesn-ésim_ dela unided _ienen '_'cen especial 6_,

maS delaUnldad_ ,__,i_'elaunidad __-,,_''_.... __i._

ua dei_e_.''_.,,

vas; lescualesson __t;___8_'_'

0 con n_'__t_,



__ __ _ _ _ __ __ __ __ _ _ _ __ __ __ __ __ __ _ _ _ _ __ _ _ __ _ _ __ __ __ __ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

- l _

_ -

ben se, cons.,

tivas_ gcl_

k_



_ __ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ __ __ _ __ __ __ _ __ __ _ __ __ _ _ __ _ __ _ _ __ __ _ _ _ __ __ _ __ __ __ __ __ _ _ _ _ __ _ _ _ __ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ __ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ __ __ __ _ _ _ _ _ __ || __ __ ; __ __ __ __ __ _ __ __ __ __ _ __ __ __ _ __ _ __ _ __ _ _ _| _| _ __ _ _

'__''_oo (l+i)__2i ?, ;! ; ;l-; _ . _;!;_; _._ _ _

_ - ' ! _; + i,. _ '; _!,;!,; ;; '!;_______________;_-;_-;-_;-_;=;-_;--;__;_-_--___''

valor

a



_ __ __ __ __ _ _ _ _ _ _ _ __ _ __ __ __ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _

ex; _ realesqueveri Flcan

do tapr opjedad dist_butiva

Jse

cen _ 2 a2

ad Seobse_alaunidad jmagjnariaen elsIaequivalencia

(._

acen son A= __ ,



_ _ _ _ _ _ _ __ __ _ __ _ _ _ _ __ ____ _ _ ___ _ __ _ _____ ___ _ _ _! _ _ __ ____ _ _ _ _ _ __ _ _ _

l problema

o, n seven.aunidad.

g __

_ _

nálisis:

_J),) = b+d = _m(__)+_m(N_,)

+w, ' w_+w,

= l;z



__ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ __ _ _ _ _ __ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

von_ F_c, _a._2

_ 64 64N_

_ 64t ._;

' ' ' ' - '3i9+4i'+-.. + nin'' ..... (lI)

î4 ..... + jn _ _n+l

l m =

p___doelvalo,de men _aco,d-,c,_

a_rgDl_mg 16ti_an deOa 2_ radianesy

nes

w)



__ __ __ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ __ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ __ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

.se,_ _ _+ _+ ( _- _ ),.

e,e,;

e

3

6 3

,fe_feSentan Un nÚmeFOnajo puro respectivamente_



__ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ __ _ __ __ __ _ __ _ _ __ __ __ _ _ __ _ __ __ _ _ _ _ _

__. _ , ____ .. _._

_an un

rO, , _ .

_;



__ _ __ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __

dosrorman ! _,

o, , , _ .n........ .,__ .-_-- -- .. ... ... .>i

OeS C=

m_le_OS) ira0l8mg _1

onces

7_ __mplejo _(__ _ )(_6+_5+_4+_3+_a+_+ _J-_o

+_'

cuentran

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