Algebra(3) 5° 1 b

39 40COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 5to. Año Secundaria ÁLGEBRA1er. Año Secundaria

I. Objetivos Específicos:

1. Evita operaciones innecesarias sobre todo multiplicaciones, ubicando directamente el resultado en este caso el producto.

2. Consigue rapidez en la reducción de expresiones cuyas formas aparentemente son operativas.

3. Conoce artificios diversos para minimizar el tiempo de resolución de los ejercicios.

4. Interpreta geométricamente los productos notables.

5. Identifica los productos notables a partir de los factores. Así como el reconocimiento de los factores a partir del producto.

II. Procedimientos:

A.Iniciales

El razonamiento deductivo y las demostraciones matemáticasSi las matemáticas tienen tanto prestigio entre las demás ciencias, se debe al papel especial que desempeña en las matemáticas el razonamiento deductivo, base de las demostraciones matemáticas. Demostrar una propiedad es deducirla de otras anteriormente demostradas. Este tipo de razonamiento garantiza la verdad de la conclusión si la información

de la que se parte (las premisas) es verdadera (o se supone verdadera).

La “demostración matemática” tiene las siguientes características :- Se sabe ya la conclusión a la

que se quiere llegar.- Inducción y deducción son

inseparables en matemáticas- Es un concepto relativo que

varía con el tiempo.

Afirma Raymond Wilder (E.U.A. 1898): “Lo que constituye una “demostración” varía de una cultura a otra y de una época a otra”.

Morris Kline, profesor de matemáticas de la Universidad de New York, escribe: “La típica actitud en el siglo XVIII era: ¿Para qué preocuparse tanto por demostrar lo evidente mediante abstrusos razonamiento, cosas que nunca se pusieron en duda? ¿Para qué demostrar lo evidente mediante lo menos evidente? Incluso la geometría euclidiana fue criticada por presentar demostraciones que no se consideraban necesarias”

La primera “demostración” tal como se entiende hoy en matemáticas parece haber sido hecha por Tales de Mileto unos 600 años antes de nuestra era; él demostró que “todo diámetro biseca a la circunferencia”. ¿Por qué esa necesidad de demostrar lo que es evidente e incontrovertible?

Una razón es que ninguna ciencia exacta puede basarse sistemáticamente en lo que es “obvio” o “evidente”. Lo “obvio” es siempre subjetivo, inestable y sospechoso, casi nunca permite llegar a resultados importantes y menos cuando la ciencia se vuelve más y más abstracta.La demostración pretende convencer a todos los interlocutores, incluso a uno mismo: también pretende, y eso es importante en la docencia, aclarar y hacer comprender mejor lo que se quiere enseñar. Si la demostración no va a facilitar la comprensión, es mejor descartarla. Es lo que hicieron los matemáticos chinos en el siglo XVII cuando, a través de los misioneros jesuitas descubrieron la geometría euclidiana: adoptaron todo el contenido de la obra de Euclides excepto las demostraciones, que les parecieron demasiado verbosas y no explicaban nunca cómo se habían descubierto.Otra particularidad de la demostración matemática es que establece propiedades que son verdaderas y válidas en todos los casos, si se dan las mismas condiciones iniciales. Una vez demostrado el teorema de Pitágoras, por ejemplo, sabemos que es verdadero para cualquier triángulo rectángulo, con lados que tengan milímetros o kilómetros de largo. La generalización que produce la demostración permite la aplicación de un teorema dado a cualquier caso particular.Hay otra razón que hace necesarias las demostraciones

matemáticas: La geometría, por ejemplo, no es una colección fortuita de verdades sobre propiedades especiales de las figuras, es también un “sistema axiomático” o “deductivo” en el que cada teorema se deduce de otro, demostrado previamente, hasta llegar a un pequeño número de “axiomas” o “postulados” que no pueden ser demostrados y que hay que aceptar como verdaderos.

Pruebas GeométricasEn cuanto se descubrió el conjunto de los números irracionales, se observó que la colección de las magnitudes geométricas (por ejemplo los segmentos) era más completa que el conjunto de los números racionales, entonces se construyó una herramienta matemática más amplia denominada álgebra geométrica.Los principales elementos del álgebra geométrica fueron los segmentos de recta, donde a partir de ellos se definieron las operaciones de cálculo, por ejemplo, la adición se interpretaba como la unión de los segmentos. (En forma colineal uno a continuación de otro), la sustracción como la eliminación de una parte del segmento minuendo igual al segmento sustraendo, la multiplicación de segmentos originó la aparición del sistema bidimensional (la representación en el plano cartersiano), la división resultaba posible sólo bajo la condición de que la dimensión (tamaño del segmento) dividendo era mayor que la dimensión del divisor.

S5AL31B “El nuevo símbolo de una buena educación....” S5AL31B “El nuevo símbolo de una buena educación...."

MULTIPLIACIO


Pruebas geométricas de algunas identidades algebraicas:El álgebra geométrica también interpretaba las identidades algebraicas. Los ejemplos siguientes, conocidos desde tiempos inmemoriales, muestran claramente el uso de áreas de figuras geométricas para “demostrar” identidades algebraicas.

Trinomio Cuadrado Perfecto

Area de ABCD= (a+b)(a+b)=a2+ab+ab+b2

(a - b)2= a2 - b(a - b) - b(a - b) - b2

Diferencia de cuadrados

Desarrollo de un Trinomio al cuadrado:

B.Desarrollo

En la multiplicación algebraica encontramos los factores que la constituyen con una característica especial que hará posible el conocimiento inmediato del producto.

Dicha multiplicación notable generará como resultado un producto notable, generándose de esa manera las identidades algebraicas a mencionarse en la presente sesión:

Es importante que el alumno los estudie y los reconozca de inmediato para su posterior aplicación no sólo en el nivel secundario, sino también cuando esté cursando estudios superiores.

Se denomina Producto al resultado de una multiplicación y llamamos Notable a todo aquello que merece una nota o atención,

es decir a aquello importante que se da a notar.

Sin lugar a dudas los Productos Notables son importantes, cuyos resultados se deben conocer sin necesidad de efectuar operaciones.

Las multiplicaciones notables generan productos notables y la relación de ambos recibe el nombre de identidades algebraicas o equivalencias algebraicas ya que se cumplen para cualquier valor que se dé a la variables.

Los principales productos notables son:

I. Trinomio cuadrado perfecto:El desarrollo de un binomio al cuadrado nos da el cuadrado del primer término, más el doble del primer término por el segundo término, más este elevado al cuadrado.

Consecuencias:

a2 + 2a + 1 (a + 1)2

a2 – 2a + 1 (a - 1)2

a2 + b2 = (a+b)2 – 2ab

a2 + b2 = (a-b)2 + 2ab

Identidades de Legendre

(a+b)2 + (a - b)2 2(a2 + b2)

(a+b)2 – (a-b)2 4ab

Consecuencias:

(a+b)4 - (a - b)4= 8 ab(a2+b2)

2. Diferencia de cuadradosEl producto de dos binomios uno que presenta la suma de 2 expresiones y el otro la diferencia de las mismas expresiones es el cuadrado de la primera, menos la segunda al cuadrado.

(a+b)(a-b) = a2 – b2

(am + bn) (am – bn) a2m – b2n

Consecuencias :

x – y =


PRODUCTO


3. Desarrollo de un trinomio al cuadradoAl desarrollar un trinomio al cuadrado se obtiene la suma de cuadrados de los tres términos, más el doble de la suma de los productos tomados de dos en dos. (Productos binarios).

Consecuencias:

4. Multiplicación de binomios con un término en común:Al multiplicar dos binomios con un término en común se obtiene: el común al cuadrado, más el producto de la suma de no comunes, más el producto de no comunes, es decir:

(x+a)(x+b)

Consecuencias:

5. Desarrollo de un binomio al cuboAl desarrollar un binomio al cubo se obtiene: el cubo del primer término, más el producto del triple del primero al cuadrado por el segundo, más el producto del primero por el segundo al cuadrado, más el cubo del segundo término.

Consecuencias:

(a+b)3 a3 + b3 + 3ab (a+b)

(a-b)3 a3 – b3 – 3ab (a-b)

(a+b)3 + (a-b)3 2a (a2+3b2)

6. Suma y diferencia de cubos

(a+b)(a2 – ab + b2) a3 + b3

(a-b) (a2 + ab + b2) a3 – b3

PRINCIPALES PRODUCTOS NOTABLES

A continuación mencionaremos un resumen de las principales identidades algebraicas donde identificaremos los más importantes productos notables:

01. Binomio al cuadrado:

* (a+b)2 = a2+2ab+b2

02. Suma por diferencia:* (a+b)(a - b)=

03. Binomio al cubo:

04. Binomio por trinomio:

*

05. Binomio con un término común:

* (x+a)(x+b)= x2+(a+b)x+ab

06. Producto de binomios:

* (ax+b)(cx+d)=acx2+(ad+bc)x+bd

07. Trinomio al cuadrado:

*

*

08. Trinomio al cubo:

*(a+b+c)3=a3+b3+c3+3a2b+3a2c+3b2a+3b2c+3c2a+3c2b+6abc

Forma desarrollada

* (a+b+c)3= a3+b3+c3+3(a+b)(a+c)(b+c)

Forma semidesarrollada

09. Polinomios de una variable

*(x+a)(x+b)(x+c)..............(n factores ) =

xn+(a) xn - 1+(ab) xn - 2+...+(abc...)

10. Identidades de Legendre:



* (a+b)2+(a - b)2= 2(a2+b2)* (a+b)2 - (a - b)2= 4(ab)

Corolario:

* (a+b)4 - (a - b)4= 8 ab(a2+b2)

11. Identidades de Lagrande:

* (a2+b2)(x2+y2)= (ax+by)2+(ay - bx)2

* (a2+b2+c2)(x2+y2+z2)= (ax+by+cz)2+(ay - bx)2+(az - cx)2 + (bz - cy)2

12. Identidad de Argan:

* (x2+x+1) (x2 - x+1)= x4+x2+1

Identidades auxiliares:

* a3+b3+c3 - 3 abc= (a+b+c)(a2+b2+c2 - ab - ac - bc)* a3+b3+c3 - 3 abc=

(a+b+c)[(a - b)2+(c - a)2 +(b - c)2

* (a+b+c)3 = a3+b3+c3+3(a+b+c)(ab+ac+bc) - 3

abc

* (a+b+c)3+2(a3+b3+c3)= 3(a+b+c)(a2+b2+c2)+6 abc

Identidades condicionales:

I. Si a+b+c= 0; se demuestra que:* a2+b2+c2= - 2(ab+bc+ac)* a3+b3+c3= 3 abc* a4+b4+c4= 2(a2b2+a2c2+b2c2)* a5+b5+c4= - 5 abc (ab+ac+bc)* (a2+b2+c2)2= 2 (a4+b4+c4)* (ab+aac+bc)2= a2b2+a2c2+b2c2

*

*

II. Si a2+b2+c2= ab+bc+ac Donde a, b, c R Se demuestra que: a= b= cIII. Si: a2n+b2n+c2n+...+m2n=0

Donde n N, es posible sólo si:

a= b= c= .........= m= 0

PROBLEMAS EXPLICATIVOS 1

01. Sabiendo que: a - b= b - c= .

Determine el valor numérico de:

a) 10 b) 13 c) 2d) 16 e) 12

Resolución:Del dato:

Reemplazando:

Efectuando obtenemos:

13

CLAVE “B”02. Dadas las condiciones:

a2+b2+c2= 2

(a+b+c)(1+ab+ac+bc)= 32

Calcule: a+b+c

a) 4 b) c) 16

d) 64 e) 2

Solución:

Del dato: a2 + b2 + c2= 2 ...............................()

(a+b+c)(2+2ab+2ac+2bc)= 64 .........()

()en():

Luego: (a+b+c)3= 64

Se concluye = a+b+c= 4

CLAVE “A”

03. Siendo:

ab=

Determine el valor de (a - b)4 - (a+b)4

a) 44 b) 22 c) - 88d) 45 e) 88

Solución:

Se solicita: (a - b)4 - (a+b)4= - 8ab(a2+b2)

Reemplazando datos:

CLAVE “C”

04. Siendo a b c.

a+b+c=

Determine el valor numérico de:

E=(a+b)3+(b+c)3+(c+a)3+3 abc

a) 1 b) 3 c) 0

d) e) - 1

Solución:

Dato: a+b+c= 0

Luego: E=(a+b)3+(b+c)3+(c+a)3+3 abc

E= - c3 - a3 - b3 + 3abcE= - (a3+b3+c3)+ 3abcE= - 3 abc + 3 abc= 0



CLAVE “C”

05. Siendo a3+b3+c3= 4 abc

Además: a2+b2+c2= ab+ac+bc+1 abc 0

Reducir:

a) - 1 b) - 3 c) 0d) - 2 e) 3

Solución:

Del dato:

.................

()

Luego: a3+b3+c3 - 3 abc= a+b+c ......()

Reemplazando () en () tenemos: a+b+c= abc, luego:

CLAVE “B”

06. Si se cumple que: a3 + b3 + c3= 0, simplificar:

; abc 0

a) a+b+c b) abcc) ab+bc+ac d) 0e) a2+b2+c2

Solución:

Se solicita:

a+b+c

CLAVE “A”07. Siendo: a + 4b + 9c= 0

Según ello reducir:

a) abc b) 14 c) - 14d) - 36 e) a+b+c

Solución:

La expresión a reducir es:

= - 22

(- 1) + (- 9) + (- 4) - 22

- 36

CLAVE “D”

EJERCICIOS PROPUESTOS

01. Si x + . Halle

1.1 Si . Hallar E =

02. Si .

Hallar :

E = (x + 1) (x + 3) (x + 5) (x + 7)

2.1 Si x = +

. Hallar :

E =

03. Si : a + b = 3 y ab = 2

Halle : N =

3.1 Si x , y

0

Calcular :

E =

04. Si a > 0. Hallar

E =

4.1 Si (a + b) = 1 . Halle :

6 - 4

05. Si . Hallar :

M =

5.1 Si

Hallar : E = a > b

06. Simplificar :

E =

6.1 Simplificar :

E =

07. Si . Halle

7.1 Si : x + y =

xy =

Calcular e = si x,y R+

08.Efectuar : (x+2)2 – 2(x+1)2 + x2

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) –1

09. Reducir :

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5



10. Calcular :

a) 2 b) 2 c) 2 d) e)

11. Reducir:

a) a b) b2 c) a2 d) b e) ab

12. Hallar :

a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6

13. Efectuar : (x2+5x+5)2 – (x+1)(x+2)(x+3)(x+4)

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

14. Reducir : (a+b+c)3 – (a+b)3 – 3(a+b+c)(a+b)c

a) a3 b) b3 c) c3 d) 2a3 e) 2b3

15. Efectuar : (a+b+c)(a+b+d)+(b+c+d)(a+c+d) –

(a+b+c+d)2

a) ab+cd b) ac+bd c) ad+bcd) a2+b2+c2+d2 e) (a+b) (c+d)

16. Hallar la raíz cuadrada de :

(a+b+c)4 – 4(ab+bc+ac)(a2+b2+c2+ab+ac+bc)

a) a2+b2+c2 b) ab+bc+ca c) a2+bcd) b2+ac e) c2+ab

17.Sabiendo que : a+b+c = 4a2+b2+c2 = 6

Hallar : ab+ac+bc

a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7

18.Conociendo que : ax+by = 8 ay – bx = 6 a2+b2 = 5

Calcule : x2+y2

a) 16 b) 18 c) 20 d) 24 e) 25

19.Si a+b+c = 3 a3+b3+c3 = 9obtener : N = (a+b)(b+c)(c+a)

a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7

20.Dados : x+y = 3 x3+y3 = 9Luego x.y resulta :

a) 1 b) –1 c) 2 d) –2 e) 3

PRACTICA DE FIJACION DE APRENDIZAJE

01. Si las variables “x” e “y” verifican la igualdad de x + y = 1 podemos afirmar que:E = (x2 + y) – (x – y2) es equivalente a:

a) 1 b) –2 c) 0d) 2 e) – 2

02. Si: x + x-1 = 3

Calcule: P =

a) b) 2 c) 3

d) 4 e) N.a

03. Si : a + b = 5 a2 + b2 = 17Hallar: a – b , si a > b

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

04. Simplificar:

M = (x – 1) (x + 3) (x + 1)+(x – 1) (x – 2) (x+ 4)

– 2(x + 3) (x +1) (x – 2)

a) 0 b) x + 7 c) x – 7d) 7 – x e) – (x + 7)

05. Si:a + b + c = 3 ............................ ()a2 + b2 + c2 = 9 ........................ ()

Calcular:E = (a + b)2 + (a + c)2 + (b + c)2

a) 9 b) 12 c) 15d) 18 e) 21

06. Empleando equivalencia algebraica, encuentre el equivalente de:

S =

a) 256 b) 128 c) 64d) 32 e) 16

07. Si: x + x-1 = 1. Calcular:

F =

a) –2-1 b) 2 c) – 2d) 20 e) 2-1

08. Simplificar la expresión:E =

a) (x + 1)17 b) (x – 1)17 c) x17

d) x e) 1

09. Calcule M y N, si se sabe que son enteros, a partir de: 10022 + 1022 = 2(M2+N2)

a) 502 y 405 b) 552 y 450 c) 550 y 402d) 562 y 452 e) N.a

10. Si se cumple que:

Calcule:

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) N.a

11. Efectuar :

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

12. Si: .

Calcular:

R =

a) 8 b) 6 c) 4d) 12 e) 16

13. Sabiendo que:(3b+a)2 3[(a+b)2 – (b – a)2]

Calcule:

a) 2 b) 4 c) 6d) 8 e) N.a

14. Reducir:N = (a + b + c)2 + (a + b – c)2 – 4(a – b)2

+ 2(a + b + c) (a + b - c)

a) 0 b) 4ab c) 8abd) – 1 e) 1bab

15. Si se cumple que:a + b = 3 y ab = -2

Determinar el valor de a5+b5

a) 243 b) 191 c) 573d) 373 e) 753



16. A partir de: x4 + x-4 = 47Calcular: P = x + x-1

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

17. Si se cumple que:

(x+y+z+w)2 = 4(x+y) (z+w)

Calcule el valor de:

a) 2 b) 20 c) 22

d) 23 e) N.a

18. Encontrar el valor numérico de:

M = x3 + 3x - 4

Si: x =

a) 1 b) 2 c) 0d) – 1 e) – 2

19. Si:

. Calcular:

G =

a) 1 b) 1/3 c) 9

d) 27 e)

20. Si se cumple:

(x+a) (x+b) )(x+c) x3 + 3x2 + 3x + 2

Obtener el valor de:

K =

a) 3/4 b) 3/2 c) 2/3d) 4/3 e) 1


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