Algebra.rene.Jimenez

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denritsTexto tecleadou-libros.com

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L G E B R A

Ren JimnezColegio de Bachilleres

Revisin tcnica:

Silvia Rascn CorralInstituto Tecnolgico de Chihuahua

Instituto Tecnolgico de Chihuahua plantel II Colegio de Bachilleres plantel 1

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Editor: Enrique Quintanar Duarte e-mail: [email protected]

Editor de desarrollo: Felipe Hernndez CarrascoSupervisor de produccin: Rodrigo Romero Villalobos

PRIMERA EDICIN, 2008

D.R. 2008 por Pearson Educacin de Mxico, S.A. de C.V. Atlacomulco 500-5 PisoCol. Industrial Atoto53519, Naucalpan de Jurez, Edo. de Mxico

Cmara Nacional de la Industria Editorial Mexicana. Reg. Nm. 1031.

Prentice-Hall es una marca registrada de Pearson Educacin de Mxico, S.A. de C.V.

Reservados todos los derechos. Ni la totalidad ni parte de esta publicacin pueden reproducirse, registrarse o transmitirse, por un sistema de recuperacin de informacin, en ninguna forma ni por ningn medio, sea electrnico, mecnico, fotoqumico, magntico o electroptico, por fotocopia, grabacin o cualquier otro, sin permiso previo por escrito del editor.

El prstamo, alquiler o cualquier otra forma de cesin de uso de este ejemplar requerir tambin la autorizacin del editor o de sus representantes.

ISBN 10: 970-26-0708-6ISBN 13: 978-970-26-0708-3

Impreso en Mxico. Printed in Mexico.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 - 10 09 08 07

Jimnez, Ren

lgebra

PEARSON EDUCACIN, Mxico, 2008

ISBN: 978-970-26-0708-3

rea: Matemticas

Formato: 19 23.5 cm Pginas: 264

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A la memoria del Ing. Jorge Leo q.e.p.d.,profesor del Colegio de Bachilleres plantel 1 y

Cecytech plantel 6

D e d i c a t o r i a

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INTRODUCCIN VI

UNIDAD 1 INTRODUCCIN AL LGEBRA 1Introduccin al lgebra 2Problemas aritmticos 2Nmeros reales 5Operaciones fundamentales con los nmeros reales.

Propiedades 7Recta numrica 11Ley de la tricotoma e intervalos 12Mximo comn divisor y mnimo comn mltiplo 15Valor absoluto y notacin cientfica 16Razones y proporciones 19Porcentajes 26Lenguaje algebraico 31Sucesiones y series 37Notacin sumatoria 46Sucesiones aritmticas 48Sucesiones geomtricas 59

UNIDAD 2 POLINOMIOS DE UNA VARIABLE 69Igualdades 70Propiedades de las igualdades 71Exponentes 75Leyes o reglas de los exponentes 79Radicales 82Exponentes racionales 87Operaciones con polinomios 91Suma y resta de polinomios 93

C o n t e n i d o

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Contenido v

Multiplicacin de monomios y polinomios 99Divisin de polinomios 104Productos notables 112Tringulo de Pascal y binomio de Newton 126Factorizacin 136Expresiones fraccionarias 162

UNIDAD 3 ECUACIONES DE PRIMER GRADO 177Ecuaciones de primer grado 178Ecuaciones equivalentes 179Aplicaciones 188Ecuaciones con soluciones literales 199Relacin de la ecuacin de primer grado con la

ecuacin lineal 201Sistemas de ecuaciones lineales con dos incgnitas 208Ecuaciones consistentes, inconsistentes y dependientes 213Mtodo de sustitucin para resolver ecuaciones

simultneas 215Mtodo de eliminacin para resolver ecuaciones

simultneas 224Aplicaciones 229Sistema de ecuaciones simultneas con tres incgnitas 230

UNIDAD 4 ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO 235Ecuaciones cuadrticas o de segundo grado 236Resolucin de una ecuacin cuadrtica

por factorizacin 237Resolucin de una ecuacin cuadrtica completando

el trinomio cuadrado perfecto 239Frmula general para resolver una ecuacin

cuadrtica 242Graficacin de la ecuacin cuadrtica 248Races reales de una ecuacin cuadrtica 251Aplicaciones 254

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El contenido de este libro se dise de manera que cumpla con los requisitos de un curso de lgebra elemental, cuidando sobre todo que satisfaga las expectativas del programa de matemticas I del plan de estudios del bachillerato general.

Los contenidos y actividades estn organizados en orden creciente de complejidad,de tal forma que desde el punto de vista didctico-pedaggico no slo enriquezcan el conocimiento de los estudiantes, sino tambin contribuyan a su formacin.

Este trabajo es el producto de varios aos de trabajo y de experiencia en el campo do-cente, especialmente en el rea de matemticas. La obra consta de cuatro unidades, cadauna de las cuales comienza con un listado de temas para facilitar la consulta; enseguida sepresenta una introduccin al tema.A lo largo del libro se recurre continuamente al uso dela induccin y la deduccin en el marco de un enfoque constructivista, en donde el alum-no es el eje central del proceso educativo. Esto se logra a travs de definiciones, situacionesdidcticas, procedimientos, notas, reglas y observaciones que se destacan en recuadros.

La primera unidad constituye una introduccin al lgebra; en ella destacan los nmeros reales, sus propiedades y operaciones bsicas, el lenguaje algebraico, las su-cesiones y series.

En la unidad II se estudian situaciones en donde es necesario conocer las operacio-nes con polinomios, la clasificacin de los mismos, los productos notables, la factoriza-cin y la simplificacin de fracciones algebraicas.

En la unidad III se resuelven problemas en los que se utilizan las propiedades delas igualdades, se aprende a resolver ecuaciones de primer grado y ecuaciones simult-neas con dos y tres incgnitas usando diferentes mtodos de solucin analticos; tambinse presenta una interpretacin grfica.

Por ltimo, en la cuarta unidad se resuelven e interpretan, tambin de manera gr-fica y analtica, ecuaciones de segundo grado.

De acuerdo con la reforma curricular en la enseanza de las matemticas, el presen-te texto tiene la finalidad esencial del bachillerato de brindar al estudiante una forma-cin integral y una cultura general en la que desarrolle su sentido y amor por lasmatemticas. Para ello, no slo se busca que el estudiante llegue a dominar los conte-nidos, sino que, con la propuesta de las actividades, se pretende que el estudiante desa-rrolle valores, actitudes, mtodos y habilidades que le permitan sistematizar y formalizarlo aprendido en este curso.

Finalmente, deseo expresar mi agradecimiento a todos los que dediquen un poco detiempo a la lectura y anlisis de este material, especialmente a todos mis compaeros,maestros y alumnos, ya que fue escrito pensando en todos ellos.

Ren Jimnez

I n t r o d u c c i n

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Introduccin al lgebra 2

Problemas aritmticos 2

Nmeros reales 5

Operaciones fundamentales con los nmeros reales. Propiedades 7

Recta numrica 11

Ley de la tricotoma e intervalos 12

Mximo comn divisor y mnimo comn mltiplo 15

Valor absoluto y notacin cientfica 16

Razones y proporciones 19

Porcentajes 26

Lenguaje algebraico 31

Sucesiones y series 37

Notacin sumatoria 46

Sucesiones aritmticas 48

Sucesiones geomtricas 59

U N I D A D

1I N T R O D U C C I N A L L G E B R A

1

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2 UNIDAD 1 Introduccin al lgebra

La palabra lgebra proviene de la expresin rabe ilm al jabr w al muqabala, que sig-nifica trasponer y combinar trminos semejantes de una ecuacin. El lgebra consi-dera las cantidades numricas de un modo ms general que la aritmtica; es decir, estudialas reglas aritmticas de una forma ms universal.

Propsito de la unidad

I N T R O D U C C I N A L L G E B R A

En esta primera parte del curso construiremos un lenguaje algebrai-co generalizando modelos aritmticos, de razones, proporciones,series y sucesiones mediante la resolucin de problemas cotidianosen un ambiente cooperativo, de respeto y de tolerancia.

Para que avances en el estudio del lgebra, resuelve de manera natural cada uno de lossiguientes ejercicios.

P R O B L E M A S A R I T M T I C O S

1. Dos hombres realizan un trabajo en 5 das. Cobran por l $600 y uno de ellosgana $40 diarios. Cul es salario del otro trabajador?

Respuesta

2. Luis tena $50 cuando cobr su sueldo semanal de $1,500. Pag deudas por$1,650. Cunto dinero le qued?

Respuesta

a b a b a b

r r a bm

n mn

2 2

1 3 7 2

= + + =

=

( )( )

/, , , ,

nn1

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Problemas aritmticos 3

3. El punto de una recta numrica correspondiente a se puede hallar utilizan-do el teorema de Pitgoras y dibujando un tringulo rectngulo cuyos ladosmiden 1, como se muestra en la figura. Halla los puntos que correspondan a y .53

2

4. El cociente intelectual (CI) de una persona se determina al multiplicar por 100 el cociente entre su edad mental y su edad cronolgica. Encuentra la edadmental de una persona de 15 aos cuyo CI es de 140.

5. Una persona camina 50 m hacia la derecha desde el punto A; enseguida retro-cede 30 m en la misma direccin y luego otros 42. A qu distancia y direccindel punto A se encuentra al final de su recorrido?

Respuesta

Respuesta

0 1

1

2 32

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7. En la siguiente figura escribe en el espacio destinado para ello qu tipos de n-meros contiene cada bloque.

3, 3, 0, 0.25, 345.23, ,25

3

23, 25, 7, 12354

1.25, 25

0.4,17755

3.2181818

54

1.25, 25

0.4,17755

3.2181818 , 4, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, 4,

2 3 5, , ,

, 4, 3, 2, 1 0 1, 2, 3, 4,

6. Las aguas cubren el 70.8% (cerca de 361 3 106 km2) de la superficie de la Tie-rra. Calcula el rea total del planeta.

Respuesta

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Nmeros reales 5

Nmeros reales. Son todos los nmeros que conocemos en la recta numrica, como

25, 1, 23, , 0, , 0.33333, 25.43, etctera.

Nmeros naturales. Son los nmeros enteros positivos que utilizamos desde que apren-dimos a contar de forma intuitiva o natural.

1, 2, 3

Nmeros enteros. Son los nmeros enteros negativos, el cero y los enteros positivos.

24, 23, 22, 21, 0, 1, 2, 3, 4

Nmeros racionales. Un nmero real de la forma , donde a y b son enteros y

b ? 0 es un nmero racional. Las representaciones decimales de los nmeros raciona-les pueden ser finitas o no finitas y repetitivas; por ejemplo, realizando la divisin de lossiguientes nmeros tenemos que

5 0.8, 5 12, y 5 3.2181818,

en donde los dgitos 1 y 8 en la representacin se repiten en forma indefinida;a veces se le representa as: 3.218.

Nmeros irracionales. Son nmeros como < 1.4142 o p < 3.1416, que no son ra-cionales, es decir, no se pueden expresar como el cociente de dos enteros. No existenmero racional alguno tal que a2 5 2, en donde a2 5 a a; pero s existe un irracional

como , tal que ( )2 5 2.

Nmeros primos. Un entero positivo p diferente de 1 es primo si sus nicos factorespositivos son 1 y p. Por ejemplo, los nmeros 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 son nmeros primos.

22

2

17755

17755

121

45

a

b

34953

N M E R O S R E A L E S

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Teorema fundamental de la aritmtica. Excepto por el orden de los factores, todo en-tero positivo diferente de 1 se puede expresar como el producto de nmeros primos segn una y slo una forma. Por ejemplo:

12 5 2 2 3, 100 5 2 2 5 5

Lo que distingue al lgebra de la aritmtica es que, en la primera, las cantidades se pue-den representar de manera ms general, esto es, los nmeros reales se representan ar-bitrariamente con letras minsculas, como, a, b, c, x, y,

Si a y b denotan el mismo nmero real, escribimos a 5 b, que se lee a es igual a b, esto se llama igualdad. Cuando no son iguales se escribe a ? b y se lee a no es igual a b.

El sistema de nmeros reales est formado por todos los nmeros racionales e irra-cionales.Cuando se trabaja con cantidades con significados opuestos, como es el caso de los in-gresos y las deudas, se acostumbra utilizar el signo negativo (2) para indicar deudas,compromisos de pagos o recorridos a la izquierda de un punto especfico y positivo (1)para los ingresos, ganancias o los recorridos a la derecha desde un punto llamado origen.

Usamos el cero para referirnos a la ausencia de cantidad, es decir, el punto dondelos ingresos y los compromisos de pago son iguales.

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Operacin Propiedad Generalidad Significado


Adicin y multiplicacin

O P E R A C I O N E S F U N D A M E N T A L E S C O N L O SN M E R O S R E A L E S . P R O P I E D A D E S

Adicin

Conmutativa a 1 b 5 b 1 a El orden es intrascendente cuando dos nmeros se suman.

Multiplicacin

Conmutativa ab 5 ba Al multiplicar dos nmeros, el ordencarece de importancia.

Asociativa a 1 (b 1 c) 5 (a 1 b) 1 c Los nmeros se pueden agrupar indistintamente.

Identidad a 1 0 5 a Sumar cero a cualquier cantidad produce la misma cantidad.

Inversa o negativa a 1 (2a) 5 0 Sumar a una cifra su inverso aditivo da por resultado 0.

Asociativa a(bc) 5 (ab)c La agrupacin de los trminos en lamultiplicacin carece de importancia.

Identidad a ? 1 5 a Multiplicar cualquier nmero por 1 da por resultado el mismo nmero.

Inversa o Recproca

a 5 11a

Multiplicar un nmero diferente de 0por su recproco multiplicativo dacomo resultado 1.

Distributiva a(b 1 c) 5 ab 1 ac(a 1 b)c 5 ac 1 ac

Multiplicar un nmero y la suma dedos cifras equivale a multiplicar cadacifra por el nmero y luego sumar los resultados.

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PropiedadIgualdad

PropiedadIgualdad


E J E R C I C I O S

1. Escribe a la derecha de cada igualdad la propiedad correspondiente.

7 1 y 5 y 1 7

7 1 0 5 7

125 1 (2125) 5 0

x 1 (y 1 3) 5 (x 1 y) 1 3

x(7) 5 7x

1y 5 y

x(yz) 5 (xy)z

y(1yy) 5 1

(x 1 y)(w 1 z) 5 x(w 1 z) 1 y(w 1 z)

2. Escribe a la izquierda un ejemplo para cada propiedad indicada.

Adicin conmutativa

Multiplicacin conmutativa

Adicin asociativa

Adicin-identidad

Multiplicacin-inversa

Adicin-inversa

Multiplicacin-asociativa

Multiplicacin-distributiva

Multiplicacin-identidad

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EjemplosPropiedad

EjemplosSignificadoDefinicin


Sustraccin y divisin

Las operaciones de sustraccin (2) y divisin (4) se definen como sigue.

Propiedades de los cocientes

a 2 b 5 a 1 (2b)a se llama minuendob se llama sustraendoEl resultado de a 2 b es la resta.

Para restar un nmero de otro sesuma el negativo.

5 2 12 5 5 1 (212)

a 4 b 5 a ?

5 a ? b21; b ? 0a se llama numeradorb se llama denominadorLa divisin de a y b tambin suele escribirse ayb, o bien,y el resultado se llama cociente.

a

b

1b

Para dividir un nmero entre otro diferente de cero se multiplica por el recproco.Como 0 no tiene inverso multiplicativo, ayb no est definida para b 5 0, as que la divisin por cero no est definida.Es por esta razn por la que losnmeros reales en la divisin notienen propiedad de cerradura.

7 4 5 5 7 ?

5 7 ? 521

15

a

bc

dad bc= = si

adbd

a

b=

a

ba

ba

b=

=

a

bc

ba c

b+ = +

a

bc

dad bc

bd+ = +

15

315

3 5= = porque 1 15

3 42 4

32

=

57

57

57

=

=

39

59

3 59

89

+ = + =

25

34

2 4 5 35 4

8 1520

2320

+ = +

=+

=

a

bc

dac

bd =

45

37

1235

=

a

bc

da

bdc

adbc

= =34

27

34

72

218

= =

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Notacin para recprocos Ejemplos

EjemplosPropiedades de los nmeros negativos

En la siguiente tabla definimos las posibles relaciones que se pueden dar entre dos n-meros reales a y b. En ella consideramos los smbolos mayor que (.) y menor que (,).Estas relaciones se llaman desigualdades.


Propiedades de la igualdad

Si a 5 b y c es cualquier nmero real, entonces:

1. a 1 c 5 b 1 c El mismo nmero se puede sumar en ambos lados de una igualdad.

2. ac 5 bc El mismo nmero se puede multiplicar en ambos lados de una igualdad.

1. 2(2a) 5 a

2. (2a)b 5 2(ab) 5 a(2b)

3. (2a)(2b) 5 ab

4. (21)a 5 2a

1. 2(25) 5 5

2. (27)3 5 2(7 ? 3) 5 7(23)

3. (27)(23) 5 7 ? 3

4. (21)5 5 25

Si a ? 0, entonces su recproco se escribe

5 a21

Es evidente que si a ? 0, entonces

a ? a21 5 a 5 11a

1a

5 321

5 532

123

23

1

13

Productos donde interviene el cero

1. a ? 0 5 0 para todo nmero real a2. Si ab 5 0, entonces a 5 0, o bien, b 5 0

Relaciones entre a y 2a

1. Si a es positivo, entonces 2a es negativo2. Si a es negativo, entonces 2a es positivo.

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TerminologaDefinicinNotacin

TerminologaDefinicinNotacin

7 es mayor que 5

10 es menor que 13

7 . 5

3 , 5

25 , 22

Recta numrica 11

E J E R C I C I O

Completa la siguiente tabla.

a . b

a , b

a 2 b es positivo

a 2 b es negativo

a es mayor que b

a es menor que b

porque 7 2 5 es positivo

porque 5 2 8 es negativo

Los nmeros reales pueden representarse con puntos en una recta, como la que se mues-tra abajo, de manera que a cada nmero real le corresponda un punto (y slo uno) dela recta y, viceversa, que a cada punto le corresponda un solo nmero real; esta relacinse llama correspondencia biunvoca. La convencin es la siguiente: se escoge un puntoarbitrario O como origen y se le asigna el nmero cero, enseguida los reales positivosenteros se marcan a la derecha del origen con longitudes iguales y los negativos de lamisma manera a la izquierda del cero. Los nmeros racionales se pueden encontrar ha-

ciendo subdivisiones entre estas marcas y los irracionales, como , se encuentran porconstruccin geomtrica.

2

R E C T A N U M R I C A

24

215/4 2.5 p 16/3

23 22 21 0 1 2 3 4 5 6

1

Nmeros reales negativos Nmeros reales positivos

2

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E J E R C I C I O S

1. Localiza y seala con un punto y una flecha los nmeros 23.1, , 21/4, 24, 3.5 y 1.5 en la siguiente recta numrica.

5

2. Un crculo con un radio de 1 gira a lo largo de una recta numrica en direccin po-sitiva, como se ve en la figura. Con el punto P en el origen, encuentra su posicin des-pus de una vuelta. Sugerencia: Recuerda cmo se obtiene el permetro de unacircunferencia.

3. Para establecer geomtricamente la propiedad distributiva a(b 1 c) 5 ab 1 ac losgriegos dibujaban figuras como la que aparece a continuacin. Encuentra el readel rectngulo de dos formas diferentes para probar tal propiedad.

L E Y D E L A T R I C O T O M A E I N T E R V A L O S

24 23 22 21 0 1 2 3 4 5 6

P

0 1 2 3 4 5 6

P

b

a

c

Ley de la tricotoma

Esta ley nos permite comparar u ordenar dos nmeros reales cualesquiera y dice quesi a y b son nmeros reales, entonces puede ocurrir exactamente una de las expre-siones siguientes

a 5 b, a . b, a , b

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GrficaDesigualdadNotacinIntervalo

Ley de la tricotoma e intervalos 13

Intervalos

Ya que conocemos los signos de desigualdad mayor que (.) y menor que (,), vamos aintroducir los smbolos mayor o igual que ($) y menor o igual que (#) para compren-der mejor el concepto de intervalo y la ordenacin entre dos nmeros reales a y b.

Llamaremos intervalo al conjunto de nmeros reales que satisfacen una desigual-dad, stos se indican encerrando entre parntesis dos nmeros reales a y b, es decir (a, b) y/o corchetes [a, b], donde el inferior, a, y el superior, b, nos sealan el conjuntoformado por todos los nmeros de la recta numrica entre estos valores. Tambin puede darse una combinacin de parntesis y corchetes.

E J E M P L O S

Leyes de los signos

Los siguientes resultados se pueden demostrar a partir de las propiedades de pro-ductos y cocientes.

1. Si a y b tienen el mismo signo, entonces el producto ab y el cociente son positivos.

2. Si a y b tienen signos opuestos, entonces el producto ab y el cociente son negativos.

a

b

a

b

3 , x , 7 ( )3 7

Nmeros reales entre 3 y 7

(3, 7)

24 # x # 1 [ ]24 1

Nmeros reales mayoreso iguales que 24 ymenores o iguales a 1

[24, 1]

24 # x , 1 [ )24 1

Nmeros reales mayoreso iguales que 24 ymenores que 1

[24, 1)

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Intervalo Notacin Grfica

Intervalo Notacin Desigualdad Grfica


En la tabla se muestran la representacin y los usos de los diferentes signos de desigualdad.

a , x , b ( )a b

Abierto (a, b)

a # x # b [ ]a b

Cerrado [a, b]

a # x , b [ )a b

Semiabierto por laderecha

[a, b)

a , x # b ( ]a b

Semiabierto por laizquierda

(a, b]

E J E R C I C I O S

Representa en la recta real cada uno de los siguientes intervalos e indica la notacin.

0 1 2 3 4 5 626 25 24 23 22 211. 2 # x # 4

0 1 2 3 4 5 626 25 24 23 22 212. 2 # y # 5

0 1 2 3 4 5 626 25 24 23 22 213. x , 21

0 1 2 3 4 5 626 25 24 23 22 214. x . 7/2

0 1 2 3 4 5 626 25 24 23 22 215. 23 # x # 3

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Mximo comn divisor (mcd) y mnimo comn mltiplo (mcm) 15

Resuelve los siguientes problemas.

1. Una seora tiene un retazo de tela de 36 m y otro de 48 m que quiere dividir en retazos iguales y de la mayor longitud posible. Cul ser la longitud de cada uno?

2. Un almacenista quiere empacar tres pedidos de frijol de 161, 253 y 207 kg,respectivamente, en cajas que contengan costales del mismo peso y que ste sea el mayor posible. Cul ser el peso de cada costal y cuntos costales deber haber en cada caja?

Solucin: 9 costales de 23 kg.

M X I M O C O M N D I V I S O R ( M C D ) Y M N I M O C O M N M L T I P L O ( M C M )

Una forma prctica de encontrar la solucin a las situaciones anteriores es descompo-ner primero los nmeros compuestos de cada problema en sus factores primos.

Los factores primos de un nmero se encuentran al dividir el nmero compuesto en-tre el menor de sus factores primos y as sucesivamente hasta llegar a la unidad. Porejemplo, descompongamos 36 y 48 en sus factores primos.

36 218 29 33 31

48 224 212 26 23 31

Los factores primos de 36 son2 ? 2 ? 3 ? 3 5 22 ? 32 5 36

Los factores primos de 48 son 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 3 5 24 ? 3 5 48

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Mnimo comn mltiplo. Es el menor de los mltiplos enteros comunes a un grupo denmeros compuestos, es decir, es el nmero menor que puede ser dividido exactamen-te por todos esos nmeros. Por ejemplo, el mcm de 36 y 48 se obtiene multiplicando to-dos los factores primos de ambos.

36 48 218 24 29 12 29 6 29 3 33 1 31 1 El mcd de 36 y 48 es 2

2 ? 3 5 12 y sta es la solucin del primerproblema.

Mximo comn divisor. Es el nmero mayor de los divisores enteros comunes a esos n-meros. Por ejemplo, el de 36 y 48 se obtiene de la siguiente manera.

Se descomponen los nmeros simultneamente en sus factores primos y enseguidase buscan los factores que tengan en comn los nmeros descompuestos. El productode stos es el mcd.

36 48 218 24 29 12 29 6 29 3 33 1 31 1

El mcm de 36 y 48 es 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 3 ? 3 5 24 ? 32 5 144

V A L O R A B S O L U T O Y N O T A C I N C I E N T F I C A

Valor absoluto

El valor absoluto de un nmero a se indica con el smbolo uau y denota el nmerode unidades entre el origen y la magnitud de a, sin tomar en cuenta la direccin, yse define como sigue:

si a $ 0, entonces uau 5 a

si a , 0, entonces uau 5 2a

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Valor absoluto y notacin cientfica 17

Notacin cientfica

a 5 c 3 10n, donde 1 # c , 10 y n es un entero.

E J E M P L O S

1. 613 5 6.13 ? 102

2. 25 000 000 5 2.5 3 107

3. 0.000 000 000 623 5 6.23 3 10210

4. 5.71 3 102 5 571

5. 3.15 3 105 5 315 000

6. 2.27 3 1028 5 0.000 000 022 7

doce lugares6447448

veintiocho lugares6444444447444444448

E J E M P L O S

1. u5u 5 5, porque 5 . 0

2. u25u 5 2(25) 5 5, porque 25 , 0

3. u 2 5u 5 5 2 , porque 5 2 . 0

4. u 2 5u 5 2( 2 5), porque 2 5 , 0

En general, se puede decir que uau 5 u2au para todo nmero real a.

Notacin cientfica

Con frecuencia, en ciencias es necesario tratar con cantidades muy grandes o muy pe-queas y comparar magnitudes relativas de nmeros muy grandes y muy pequeos.Para salvar esta situacin se utiliza la notacin cientfica, que consiste en usar el sm-bolo 3 para denotar multiplicacin.

La distancia que recorre un rayo de luz en un ao es de 5 900 000 000 000 millas.Este nmero se puede escribir en notacin cientfica como 5.9 3 1012, donde el expo-nente 12 indica que el punto decimal debe recorrerse 12 lugares a la derecha.

5 900 000 000 000 5 5.9 3 1012

La masa de un electrn es 0.000 000 000 000 000 000 000 000 000 924 gr. Esta cantidadse puede representar por el nmero 9.24 3 10228, donde el nmero 228 indica que elpunto decimal debe recorrerse 28 lugares a la izquierda.

0.000 000 000 000 000 000 000 000 000 924 5 9.24 3 10228

555

555

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Sin notacin cientfica Con notacin cientfica

Con notacin cientfica Sin notacin cientfica


E J E R C I C I O S

1. Completa la columna que est en blanco en cada una de las siguientes tablas.

2. Calcula las siguientes operaciones y expresa el resultado con notacin cientfica.

53 2 10

1 2 10 1 52 10

3

2 3.

. .

+


1.23 3 1024 1 54 5 103.

3.13578 3 106

3.45 3 104

2.324 3 103

3.45 3 1024

4.3 3 10210

57241

3 200 000 000

0.000 000 12

0.023

1 245 000 000 000 000

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Razn geomtricaRazn aritmtica


Las pantallas de las calculadoras tienen diferentes formas de presentar la notacin ex-ponencial, ya que suprimen el 10. Aqu te presentamos algunas.

Por ejemplo, el nmero 3 045 000 000 000 5 3.045 3 1012 puede aparecer, segn lacalculadora, como:

3.045 12 3.045 E 12 3.045 12


(5.2 3 102) 3 (9.85 3 103) 5

Razones

Una cantidad a es igual a 5 y otra b es igual a 7. Si comparas estas doscantidades, qu podras decir?

La palabra racional se toma del concepto matemtico de razn, que significa comparardos cantidades o dos nmeros. Esta comparacin se puede realizar de dos maneras, unapor diferencia y otra por divisin.

De manera que para la pregunta anterior puede responderse diciendo que a es

menor en dos unidades que b, o bien, si 5 < 0.7143 < 71.43%, decimos que a

es aproximadamente el 71.43% del valor de b. Esto se resume en el cuadro siguiente:

57

a

b

R A Z O N E S Y P R O P O R C I O N E S

a 2 b

sta se da cuando la comparacin se realiza por medio de una diferencia.

5 a 4 b 5 a : b

Cuando la comparacin es por medio de una divisin.

a

b

a ba

ba b a b

= = :

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En una razn, sus trminos reciben el nombre de antecedente a, el primero y consecuente, b, el segundo.

En la vida cotidiana las razones como modelos matemticos son de uso muy fre-cuente e importante. Vemoslo con los siguientes ejemplos.

E J E M P L O S

1. Qu parte de 50 es 23.5?

S o l u c i n

Dividiendo 23.5 entre 50

5 0.47 5 47%

2. Entre qu nmero debemos dividir 30 para que nos d 60?

S o l u c i n

Llamemos x al nmero que deseamos conocer, de manera que

5 60

Luego, si consideramos los recprocos

5 , por lo tanto, x 5 5 5 0.5

3. En qu precio debe venderse un artculo que cuesta de su valor original de 140 pesos?

S o l u c i n

Esto significa que debemos multiplicar por 140,

(140) 5 3 5 5 100 pesos

4. Cul es la razn de $0.60 a $2?

S o l u c i n

$2 es igual que 200 centavos, por lo tanto, la razn es

53

1060200

( )( )( )( )5 140

7 1140

157

57

57

57

12

3060

160

x

30

30x

23 550

.

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E J E R C I C I O S

2. Cunto pierde de su valor un automvil que se vende a de su valor original,que fue de $100,000?

45

3. Un vendedor tiene que recorrer el primer da las partes de 105 km y el segundo

da de lo que le resta. Cunto le falta por recorrer?23

47

4. Cul es el valor de cada ngulo interior de un tringulo cuya razn es de 5:4:3?

1. Qu parte de 69 es ?23

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5. Tres socios se van a repartir $900,000; el primero y el segundo recibirn ydel total, respectivamente. Cunto recibir el tercero?

13

59

8. Las ventas de un combustible A respecto a un combustible B estn en la ra-

zn . Si mensualmente se venden 9,000 litros, cuntos se venden de A y

cuntos de B?

53

6. Luego de cortar y de una tabla de madera, la longitud de sta ha dis-

minuido en 78 centmetros. Cul era su longitud original?

27

311

7. En una escuela preparatoria el nmero de alumnos respecto del nmero de

alumnas es de . Si el total de estudiantes es de 2,000, cuntos estudiantes

mujeres y hombres hay?

34

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9. El largo y el ancho de un rectngulo estn en la razn 5:4. Si su permetro es de100 cm, determina las longitudes del largo y del ancho.

10. Un estudiante contest correctamente 25 de 30 preguntas en un examen. Cules la razn de respuestas incorrectas al nmero de respuestas correctas?

Proporciones

A la igualdad de dos razones en matemticas se le llama proporcin; por ejemplo,

5 o, escrito de otra forma, 3:4 5 12:16, y se lee 3 es a 4 como 12 es a 16.

En general, si tenemos la proporcin 5 , que puede escribirse tambin

a : b 5 c : d, los trminos a y d se llaman extremos, mientras que b y c son los medios.

a : b 5 c : d

Una propiedad de las proporciones dice que el producto de sus extremos es igual alproducto de sus medios, es decir:

ad 5 bc

E J E M P L O S

1. Encuentra el valor de x en la proporcin 5 16x

43

c

da

b

1216

34

extremos64748

medios

678

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S o l u c i n

Utilizando la propiedad fundamental de las proporciones, tenemos que

4x 5 (16)(3); por lo tanto,

x 5 5 12

2. Encuentra el valor de x en la proporcin 5

S o l u c i n

Utilizando la propiedad fundamental de las proporciones, tenemos que

(4)(14) 5 7x; por lo tanto,

x 5 5 8

E J E R C I C I O S

( )( )4 147

x

1447

( )( )16 34

1. Resuelve la proporcin

558x

714

2. Resuelve la proporcin

558

100x

14

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3. Un automvil recorre 100 km con 8 litros de gasolina. Cuntos litros necesitapara recorrer 270 km, que es la distancia de la ciudad de Chihuahua a CiudadJurez?

6. Si 20 libras de manzanas cuestan 1.80 dlares, cunto cuestan 28 libras de manzanas?

4. Un reloj se atrasa 3 minutos por semana, cunto se atrasar en un ao?

5. Una superficie rectangular tiene 2.5 m de ancho por 5 m de largo. Cunto debevariar el largo para que el ancho sea de 2 m sin que la superficie cambie?

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Una de las comparaciones de cantidades ms usada en la vida cotidiana es la de los por-centajes. La razn de un nmero respecto al cien se llama porcentaje, es decir que siem-pre dividimos por cien. El porcentaje se representa mediante el smbolo %. Ejemplos:

a) 5 0.40 5 40% se lee cuarenta por ciento.

b) 5 0.70 5 70% se lee setenta por ciento.

c) 5 1 5 100% se dice cien por ciento.

d) 5 1.20 5 120% significa ciento veinte por ciento.

A veces es conveniente expresar los porcentajes como un modelo de proporciones.

E J E M P L O S

1. Determina el 20% de 32.

S o l u c i n

Planteamos la situacin as:

5 entonces x 5 5 5 6.4

Entonces el 20% de 32 es 6.4.

640100

( )( )32 20100

x

2032

100

120100

100100

70100

40100

7. Encuentra el valor de x en la figura.

24

4 x

P O R C E N T A J E S

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Porcentajes 27

2. De qu nmero es 45 el 5%?

S o l u c i n

La proporcin ser entonces

5

x 5 5 5 900

El 5% de 900 es 45.

3. Determina qu porcentaje de 500 es 75.

S o l u c i n

Si x es el porcentaje buscado, entonces

5

x 5 5 5 15%

75 representa el 15% de 500.

4. Si 168 es el 120% de una cantidad, de que nmero estamos hablando?

S o l u c i n

Planteamos la situacin como

5

x 5 5 5 140

140 es la cantidad buscada.

5. En cunto se vender un artculo que normalmente cuesta $160 y se ofrece en ofer-ta con un 25% de descuento?

S o l u c i n

Si x es el precio de la oferta, entonces es el 75% de $160. Es decir,

5

x 5 5 5 120 dlares12000100

( )( )160 75100

x

75160100

16800120

( )( )168 100120

168120

x

100

7500500

( )( )75 100500

75x

500100

45005

( )( )45 1005

455

x

100

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E J E R C I C I O S

1. Qu porcentaje de 235 es 47?

4. 352 es el 25% menos de qu nmero?

2. Escribe 12/5 como porcentaje.

3. 378 es el 70% de qu nmero?

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Porcentajes 29

5. Escribe 25.5% como decimal.

8. Escribe el 70% de 25.

6. Qu porcentaje es 135 de 450?

7. Qu porcentaje de 235 es 470?

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9. Una persona gana $12,000 mensuales. Si logra un aumento del 4.5%, a cuntoascender su salario?

12. El agua tiene una propiedad anormal, cuando se congela aumenta de volumenen un 9%. Un cubo de hielo contiene 16 cm3, cul ser el volumen de aguacuando se derrita?

10. Un jugador de beisbol bate 320 veces de 500 que estuvo en su turno al bat.Qu porcentaje de bateo logr?

11. Un automvil nuevo cuesta 13,000 dlares. Si se devala 11% anualmente,cunto vale despus de 3 aos?

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Extraer racesElevar a potenciasDividir

MultiplicarRestarSumar


13. Un estudiante de bachillerato contest correctamente 42 preguntas en un exa-men de 50. Qu porcentaje de preguntas no contest o lo hizo incorrectamente?

14. Un terreno tiene un valor inicial de $300,000 y por la plusvala de su ubicacinsu precio se incrementa en un 7% anual. Cunto vale al trmino del segundoao de su venta?

Antes de presentar el lenguaje algebraico, es necesario que revisemos cada uno de lossiguientes conceptos.

Signos del lgebra. En el lgebra existen tres tipos de signos: signos de operacin, sig-nos de relacin y signos de agrupacin.

Signos de operacin. Son los signos utilizados en las operaciones de suma, resta, multi-plicacin, divisin, elevacin a potencias y extraccin de races.

L E N G U A J E A L G E B R A I C O

a 1 b

se lee a ms b

a 2 b

se lee a menos b

a 3 b 5 a ? b 5 (a)(b)

se lee a por b

5 a 4 b

se lee a dividido entre b

a

bam

m se llama exponente y se lee a elevado a la m

el signo se llama radical y se lee la raz ensima de a

an

an

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Signos de relacin. Estos signos indican la relacin que hay entre dos cantidades.

5 se lee igual a. As, por ejemplo, a 5 b significa que a y b son iguales.

. se lee mayor que. Si a es mayor que b se escribe a . b.

, se lee menor que. Si a es menor que b se escribe a , b.

Signos de agrupacin. Son smbolos que nos ayudan a indicar de una manera ms claray eficiente la combinacin entre las operaciones algebraicas.

( ) Parntesis ordinario (a 1 b)c. Indica que el resultado de sumar a y b debe multi-plicarse por c.

[ ] Parntesis angular o corchete [a 2 b]c. Indica que el resultado de la diferenciaentre a y b debe multiplicarse por c.

{ } Llaves.

u u Barras.

Notacin algebraica

Aunque es probable que ya estemos familiarizados con la notacin algebraica, vamos asealar de nuevo que para representar las cantidades en lgebra se utilizan nmeros yletras, a diferencia de la aritmtica, que slo utiliza nmeros.

Los nmeros se utilizan para representar cantidades conocidas y determinadas.Las letras se emplean para representar toda clase de cantidades.Generalmente las primeras letras del alfabeto, (a, b, c, d) se usan para represen-

tar cantidades conocidas y las ltimas letras como u, v, x, y, z, se utilizan para repre-sentar cantidades desconocidas.

Expresin algebraica

Es la consecuencia de la generalizacin que hace el lgebra al utilizar letras y nmeros,al tiempo que representa las cantidades y las operaciones entre stas; tambin suelen lla-marse frmulas algebraicas.

E J E M P L O S

2x2, b 3 h, l 3, (a 1 b)2, , (x 1 y)(x 2 y), , etctera.

2x2 representa una regla que eleva al cuadrado una cantidad y la multiplica por 2. b 3 h es el producto de dos cantidades. l 3 es el cubo de una cantidad. (a 1 b)2 representa la suma de dos cantidades elevada al cuadrado. (x 1 y)(x 2 y) representa el producto de la suma por la resta de dos cantidades.

significa restar cuatro veces una cantidad a 2 y luego dividir todo entre la

suma de la cantidad ms cuatro.

2 44

+x

x

2 44

+x

x5x

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GradoParte literalCoeficienteSignoTrmino


Con frecuencia las expresiones algebraicas nos sirven para representar reas ovolmenes, procesos econmicos, comportamientos de la naturaleza, etctera, como yaestudiaremos ms adelante.

Trmino

Es una expresin algebraica que consta de un solo smbolo o de varios no separados porel signo 1 o por el signo 2. Por ejemplo,

x, 2b, 3xy, son trminos.

Elementos de un trmino. Los elementos de un trmino son cuatro: el signo, el coefi-ciente, la parte literal y el grado respecto de una literal.

Signo. Precede y define el sentido del trmino y puede ser positivo o negativo. Coeficiente. Es un factor ms del trmino que generalmente va primero en la ex-

presin y con mucha frecuencia es un nmero. Parte literal. Es la parte formada por las letras que hay en el trmino. Grado respecto a una letra. Es el grado en relacin con una letra elegida de antemano.

E J E M P L O S

52

a

b

x

x

rea 5 x 2l

Volumen 5 l 3

l

la

(a 1 b)2b

b

a

ab b2

a2 ab

Intereses devengadospor un capital.

C 5 P(1 1 i )n

a positivo 1 a 1

25ax negativo 5 ax Uno en relacin a x y tambin a la a

9a5b positivo 9 a5b Cinco en relacin a a

232

x

ynegativo 3

2x

yUno respecto a x

ax357

positivo 57 ax

3 Tres respecto a x

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10 irracionales10 racionales10 fraccionarios10 enteros

GradoParte literalCoeficienteSignoTrmino


Clases de trminos

Trmino entero. Es el que no tiene denominador literal como 5x, .

Trmino fraccionario. Es el que tiene un denominador literal como .

Trmino racional. Son trminos que no tienen radicales como 5x, .

Trmino irracional. Son trminos que tienen radicales, como , .

E J E R C I C I O S

1. Escribe el signo, el coeficiente, la parte literal y el grado respecto a la letra que hayaselegido.

53 2

a

bxy

353 5a b

3xy

353 5a b

2. Escribe 10 trminos enteros, 10 fraccionarios, 10 racionales y 10 irracionales.

7a2

24a3x

24a2b3

23

2

4x

x357

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Enunciado verbalRepresentacin simblica

Representacin simblicaEnunciado verbal


Con todo lo antes dicho ya debemos estar en condiciones de enunciar expresiones al-gebraicas de manera verbal o con una representacin simblica; esto es el lenguaje algebraico.

E J E R C I C I O S

Completa los espacios en blanco de las tablas mostradas a continuacin

La suma de tres cantidades diferentes.

El triple de un nmero.

Cuatro nmeros consecutivos.

El volumen de un cubo.

Una persona tiene $x, recibe $500, pero paga $y.Cunto le queda?

La persona que compra x libros a $120 y y lpices a $4.20, cunto se gasta?

El cociente de dos nmeros.

xy

x3 1 y3

2(a 1 b)

x214

a 2 b

2x

2n

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Enunciado verbalRepresentacin simblica

Enunciado verbal Representacin simblica


S o l u c i n

Los ejercicios anteriores debieron haberte quedado de la siguiente manera.

La suma de tres cantidades diferentes. a 1 b 1 c, x 1 y 1 z, etc.

El triple de un nmero. 3a, 3x, etc.

Cuatro nmeros consecutivos. n, n 1 1, n 1 2, n 1 3

El volumen de un cubo. V 5 l 3

Una persona tiene $x, recibe $500, pero paga $y.Cunto le queda? (x 1 500) 2 y

La persona que compra x libros a $120 y y lpices a $4.20, cunto se gasta? 120x 1 4.20y

El cociente de dos nmeros. etc.a

bm

n

x

y, , ,

xy La raz cuadrada del producto de dos nmeros.

x3 1 y3 La suma de los cubos de dos nmeros.

2(a 1 b) El doble de la suma de dos nmeros.

x214

La cuarta parte del cuadrado de un nmero.

a 2 b La diferencia de dos nmeros.

2x El doble de un nmero.

2nUn nmero par, siendo n un entero o el doble deun nmero.

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En matemticas la palabra sucesin tiene prcticamente el mismo significado que en ellenguaje cotidiano.

Cuando disponemos de una lista de nmeros escritos en un orden especfico lo queestamos obteniendo es una sucesin o progresin numrica.

De tal suerte que si llamamos a1 al primer trmino, a2 al segundo trmino, a3 al tercer trmino y en general an al n-simo trmino de la lista, entonces la sucesin la podemos escribir de la siguiente manera

a1, a2, a3, , an.

Y como a cada trmino an le corresponde un nmero natural n, una sucesin o progre-sin se define como una regla de dependencia entre los trminos de la sucesin y losnmeros naturales.

S U C E S I O N E S Y S E R I E S

Sucesin. Es una lista de trminos dispuestos en un orden especfico de forma quequedan determinados por una regla de dependencia definida por el conjunto de losnmeros naturales.

F F Fn n n= + 1 2

a an n= 58 1

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Un ejemplo sencillo de una sucesin son los nmeros impares:

1, 3, 5, 7, 9, 11,

los puntos significan que la sucesin es indefinida y se llama precisamente sucesin in-finita.

El ejemplo nos muestra que efectivamente se trata de los nmeros impares, peropara mayor exactitud es conveniente especificar un procedimiento para calcular todosy cada uno de los trminos de la sucesin. En este caso,

an 5 2n 2 1

porque cualquier nmero natural n multiplicado por 2 al que se resta 1 nos produce unnmero impar. La sucesin se escribe como sigue:

Observa cmo la frmula an 5 2n 2 1 nos permite obtener todos los trminos de lasucesin.

Por ejemplo, los primeros cuatro trminos de la sucesin se obtienen as:

Si n 5 1, entonces a1 5 2(1) 2 1 5 1

Si n 5 2, entonces a2 5 2(2) 2 1 5 3

Si n 5 3, entonces a3 5 2(3) 2 1 5 5

Si n 5 4, entonces a4 5 2(4) 2 1 5 7

Para calcular el centsimo trmino de esta sucesin se sustituye n por 100 en la ex-presin an 5 2n 2 1

a100 5 2(100) 2 1 5 199

1,

a1

3,

a2

5,

a3

7,

a4

, 2n 2 1,

an

Otra forma de escribir las sucesiones escon la notacin funcional:

a(n) 5 2n 2 1

De manera que

a(1) 5 2(1) 2 1 5 1, a(2) 5 2(2) 2 1 5 3,

etctera.

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a100a4a3a2a1n-simo trmino


Clculo de los trminos de una sucesin

E J E M P L O S

Calcula los 4 primeros trminos y el centsimo trmino de cada una de las sucesionessiguientes.

1. an 5 2n2. an 5 n

2 2 1

3. an 5

4. an 5 (21)n

S o l u c i n

n

n

+1

En el ejemplo 4 observa cmo se alternan los signos producto de las potencias pares e impares.

5. Calcula y grafica los primeros seis trminos de la sucesin an 5

S o l u c i n

Como los trminos de una sucesin dependen de los nmeros naturales, su grfica sepuede trazar a partir de un plano cartesiano.

an 5 1, , , , , , , ,

Observa que los puntos de la sucesin no estn conectados.

1n

16

15

14

13

12

1n

1. an 5 2n 2 4 6 8

2. an 5 n2 2 1 0 3 8 15

3. an 5n

n

+1 2 32

43

54

4. an 5 (21)n 21 1 21 1

200

9999

101100

1

an

1

1 2 3 4 5 6 n

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n-simo trmino a1 a2 a3 a4 a1000


E J E R C I C I O S

Calcula los primeros 4 trminos y el milsimo trmino de cada sucesin.

1. an 5 n 1 1

4. an 5 1 1 (21)n

5. an 5 2n 1 3

6. an 5 n2 1 1

2. an 51

1n +

3. an 5( )1

2

n

n

7. an 512n

8. an 5 (21)n11 n

n +1

Ahora calcula y grafica los primeros seis trminos de la sucesin an 5( ) +1 1n

n

an

1

21

1 2 3 4 5 6 n

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Clculo de los trminos de una sucesin recursiva

Una sucesin recursiva ocurre cuando tenemos definido un primer trmino de sta yqueremos conocer el siguiente trmino de la sucesin como consecuencia del trminoanterior.

E J E M P L O S

1. Calculemos los 5 primeros trminos de la sucesin recursiva

an 5 an21 1 2

y a1 5 1.

S o l u c i n

Observa que calcularemos el segundo trmino a partir del primero, el tercero a partirdel segundo, el cuarto a partir del tercero, y as sucesivamente.

Como a1 5 1 podemos calcular los dems trminos a partir de ste como sigue:

a2 5 a1 1 2 5 1 1 2 5 3

a3 5 a2 1 2 5 3 1 2 5 5

a4 5 a3 1 2 5 5 1 2 5 7

a5 5 a4 1 2 5 7 1 2 5 9

a6 5 a5 1 2 5 9 1 2 5 11

Los primeros cinco trminos de la sucesin son 1, 3, 5, 7, 9, Observa que si quisira-mos calcular el vigsimo trmino tendramos que conocer el dcimonoveno.

2. Sucesin de Fibonacci. Esta sucesin toma su nombre de su descubridor, un mate-mtico italiano del siglo XIII, Fibonacci (1175-1250), que la utiliz para resolver unproblema acerca de la cra de conejos. Es importante mencionar que este compor-tamiento tambin se presenta en muchas otras aplicaciones de la naturaleza.

La sucesin en mencin se comporta recursivamente de la siguiente manera:

Fn 5 Fn21 1 Fn22

siendo F1 5 1 y F2 5 1, de forma que

F3 5 F2 1 F1 5 1 1 1 5 2

F4 5 F3 1 F2 5 2 1 1 5 3

F5 5 F4 1 F3 5 3 1 2 5 5

Es claro que cada trmino es tan slo la suma de los dos que le preceden.Por lo tanto, los primeros trminos de la sucesin de Fibonacci son:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55,

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n-simo trmino a1 a2 a3 a4 a5


A continuacin te mostramos dos ejemplos de la naturaleza donde se manifiesta la su-cesin de Fibonacci.

E J E R C I C I O S

Calcula los primeros 5 trminos de cada sucesin definida en forma recursiva.

5

8

23

13

21

34

1 1

Espiral de Fibonacci

8

5

3

2

1

1

Sucesin de Fibonacci en lasramas de un rbol

1. an 5 7 2 an21 si a1 5 5

4. an 5 2an21 1 1 si a1 5 1

5. an 5 (an21)n21 si a1 5 2

2. an 5 si a1 5 28an1

2

3. an 5 an21 si a1 5 12814

6. an 5 si a1 5 11

1 1+ an

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7. Sucesin de Bode. La sucesin de Bode, definida por

a1 5 0.4, ak 5 0.1(3 ? 2k22 1 4) para valores de k $ 2

es til en el clculo de las distancias entre los planetas y el Sol. Estas distanciasse miden en unidades astronmicas (UA), con 1 UA 5 93 000 000 millas. Por cierto, el tercer trmino corresponde a la Tierra. Calcula los primeros cinco trminos de la sucesin.

8. Inters compuesto. Se depositan $1,000 en una cuenta que gana 8% de intere-ses compuestos trimestralmente. El saldo en la cuenta, despus de n trimestres,est dado por

An 5 1000, donde n 5 1, 2, 3,

Calcula los cinco primeros trminos de la sucesin y encuentra el saldo despusde cinco aos.

1 0 084

+

.

n

9. Costo de hospitalizacin. El costo promedio de un da en un hospital, de 1980 a1987, est dado por el modelo

an 5 242.67 1 42.67n donde n 5 0, 1, 2, ,7

en donde an es el costo promedio en dlares y n es el ao, n 5 0 correspondien-te a 1980. Encuentra los siete trminos de esta sucesin finita.

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Determinacin del n-simo trmino de una sucesin

Determinar patrones de comportamiento es muy importante en matemticas y a vecesno resulta fcil.Vamos ahora a tratar la situacin inversa, dada una sucesin de nmeros,intentaremos encontrar una expresin que represente el n-simo trmino de sta.

E J E M P L O 1

Calcula el n-simo trmino de una sucesin cuyos primeros trminos son los siguientes:

a) 2, 4, 8, 16, 32, 64, b) 22, 4, 28, 16, 232, 64,

S o l u c i n

a) Se observa que los nmeros de esta sucesin son potencias de 2, por lo tanto, la ex-presin que coincide con este patrn es

an 5 2n 5 21, 22, 23, 24,

b) Se observa que los nmeros de esta sucesin son potencias de 2, pero tienen los sig-nos alternados, por lo tanto, la expresin que coincide con este patrn es

an 5 (21)n2n

Recordemos que para alternar signos es necesario utilizar como factor el trmino(21)n.

E J E M P L O 2

Crecimiento de bacterias. La cantidad de bacterias en cierto cultivo es inicialmente de500 y el cultivo se duplica todos los das. Encuentra una frmula para calcular lapoblacin bacteriana despus de n das y la cantidad de bacterias luego de 1, 2 y 3 das.

S o l u c i n

Llamemos a0 la cantidad de bacterias al iniciar el cultivo, es decir a0 5 500. Por con-siguiente, la poblacin de bacterias despus de n das es

an 5 2an21,

luego, el nmero de bacterias despus del primer da ser de

a1 5 2a0 5 2(500) 5 1000

el segundo da

a2 5 2a1 5 2(1000) 5 2000

y el tercero

a3 5 2a2 5 2(2000) 5 4000

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E J E R C I C I O S

Calcula una frmula que nos d el n-simo trmino de la sucesin cuyos primeros tr-minos son los siguientes.

1. 2, 4, 8, 16,

4. 34

45

56

67

, , , ,

5. 0, 2, 0, 2, 0, 2,

2. 1, 4, 7, 10,

3. 1, 34

59

716

925

, , , ,

an 5

an 5

an 5

an 5

an 5

6. Niveles de cloro. Cuando se agrega cloro al agua de las piscinas, el nivel de steno debe ser mayor a 3 ppm (partes por milln). Si esto ocurre, los nadadoressentirn que les arden los ojos e incomodidad en la piel; si el nivel baja a menosde 1 ppm, hay posibilidades de que el agua tome un tono verdoso por la gran can-tidad de algas. El cloro debe agregarse al agua a intervalos regulares. Si no se apli-ca a una piscina en un periodo de 24 horas, alrededor del 20% del cloro sedisipar en la atmsfera y el 80% permanecer en el agua.a) Demuestra que la sucesin recursiva an 5 (0.20)

na0 expresa la cantidad decloro presente despus de n das si la alberca tiene a0 ppm de cloro al prin-cipio y no vuelve a agregarse ms.

b) Si al principio la piscina tiene 7 ppm de cloro, elabora una tabla para hallarel primer da en que el nivel del cloro bajar de las 3 ppm.

Da

ppm

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Notacin sumatoriaSuma


En esta seccin veremos que dada una sucesin a1, a2, a3, , an, la suma de sus trminosse puede representar con una notacin muy til y cotidiana en matemticas que seconoce como notacin sigma o sumatoria. El nombre tiene su origen en la letra ma-yscula sigma del alfabeto griego y que corresponde a nuestra letra s.

N O T A C I N S U M A T O R I A

E J E M P L O 1

Observa las sumas en la parte izquierda de la tabla y analiza cmo es su representacinsimblica con sumatoria en la parte de la derecha.

Definicin de la notacin sigma

La suma de n trminos a1, a2, a3, , an se denota por

5 a1 1 a2 1 a3 1 1 an

donde k se llama ndice de la suma, ak es el k-simo trmino y los lmites inferior y superior de la suma son 1 y n, respectivamente, es decir, el primero y ltimo tr-mino de la sumatoria.

akk

n

=

1

1. 1 1 2 1 3 1 1 10 kk=

1

10

2. 12 1 22 1 32 1 1 102 kk

2

1

10

=

3. 5 1 6 1 7 1 8 1 9 1 10 ii=

5

10

4. A1 1 A2 1 A3 1 1 An Akk

n

=

1

5. 1 1 1 2 1 3 12 2 2 2n

an

an

an

n a( ) ( ) ( ) ( )+ + + + + ++ + 1 21 n

j aj

n

( )+=

6. 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 21

6

i=

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SumaNotacin sumatoria

Notacin sumatoria 47

E J E M P L O 2

Calcula las siguientes sumas:

a) b) c)

S o l u c i n

a) b)

c)

Propiedades de las sumatorias

1. donde c es una constante. 2.

E J E R C I C I O S

1. Determina la suma indicada.

( )a b a bk k k kk

n

k

n

k

n

= ===

111

ca c ak kk

n

k

n

=

==

11

ii

= + + + + + ==

5 6 7 8 9 10 455

10

1 13

14

15

47603

5

kk= + + =

=

kk

2 2 2 2 2

1

41 2 3 4 30= + + + =

=

ii

=

=

5

1013

5

kk=k

k

2

1

4

=

( )2 11

3k

k

=

kk

2

1

4

=

1

1

3

kk=

1 11

8+

=

( ) jj

2 11

5k

k

=

( )=

11

100k

k

a)

b)

c)

d)

e)

f)

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Notacin sumatoriaSuma


2. Usa la notacin sigma para indicar la suma dada en la siguiente tabla:

a) 1 1 2 1 3 1 1 n

b) 2 1 4 1 6 1 1 20

c) a a a a1 1 1 2 1 3 1 10+

++

++

+++

d) A1 1 A2 1 A3 1 1 An

e) 12 1 22 1 32 1 1 102

S U C E S I O N E S A R I T M T I C A S

Probablemente la forma ms sencilla de generar una sucesin es comenzar con un n-mero a y sumarle una constante d a cada trmino consecutivo.

Sucesin aritmtica. Es una sucesin de la forma

a, a 1 d, a 1 2d, a 1 3d, a 1 4d,

donde a es el primer trmino y d es la diferencia comn de la sucesin entre dos tr-minos consecutivos.

Por lo tanto, el n-simo trmino de una sucesin aritmtica se calcula con la expresin

an 5 a 1 (n 2 1)d

E J E M P L O 1

Si a 5 2 y d 5 3 calcula los 4 primeros trminos y el n-simo trmino de la sucesin aritmtica.

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S o l u c i n

a1 5 a 1 (n 2 1)d 5 2 1 (1 2 1)(3) 5 2

a2 5 a 1 (n 2 1)d 5 2 1 (2 2 1)(3) 5 5

a3 5 a 1 (n 2 1)d 5 2 1 (3 2 1)(3) 5 8

an 5 a 1 (n 2 1)d 5 2 1 3(n 2 1)

E J E M P L O 2

Encuentra el n-simo trmino de la sucesin aritmtica.

5, 2, 21, 24, 27,

S o l u c i n

La diferencia comn se obtiene restando dos trminos consecutivos, por lo tanto,d 5 23 y el n-simo trmino de la sucesin es

an 5 5 2 3(n 2 1)

E J E M P L O 3

Encuentra los cinco primeros trminos y el 100-simo trmino de la sucesin.

17, 12,

S o l u c i n

El primer trmino es 17, por lo tanto, a 5 17 y la diferencia entre dos trminos conse-cutivos es d 5 12 2 17 5 25, luego

an 5 17 2 5(n 2 1)

a1 5 17 2 5(1 2 1) 5 17

a2 5 17 2 5(2 2 1) 5 12

a3 5 17 2 5(3 2 1) 5 7

a4 5 17 2 5(4 2 1) 5 2

a5 5 17 2 5(5 2 1) 5 23

a100 5 17 2 5(100 2 1) 5 2478

Los primeros seis trminos de la sucesin son 17, 12, 7, 2, 23, 28 y el 100-simo es 2478.

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ana100a4dSucesin aritmtica


E J E M P L O 4

El undcimo trmino de una sucesin aritmtica es 52 y el decimonoveno es 92. Calcu-la el 300-simo trmino.

S o l u c i n

Para calcular el n-simo trmino de la sucesin necesitamos conocer a y d de la ex-presin

an 5 a 1 (n 2 1)d.

Al sustituir, obtenemos que

a11 5 a 1 (11 2 1)d 5 52 entonces a 1 10d 5 52

a19 5 a 1 (19 2 1)d 5 92 entonces a 1 18d 5 92

Resolviendo el sistema de ecuaciones que aparecen en gris tendremos los valores de a y d.

despejando tenemos que d 5 5 5 y a 5 52 2 10d 5 2.

El 300-simo trmino es a300 5 2 1 5(300 2 1) 5 1497.Es pertinente mencionar que es muy probable que el estudiante an no est fami-

liarizado con la resolucin de ecuaciones como las del ejemplo anterior, por eso la im-portancia de la mediacin que el docente debe asumir.

E J E R C I C I O S

Determina la diferencia comn, el cuarto trmino, el 100-simo y el n-simo de cadasucesin aritmtica.

408

=

+ ==

a da d

d

10 52 118 928 40

multiplicando por

suumando las dos ecuaciones

1. 2, 5, 8, 11,

2. 1, 5, 9, 13,

3. 212, 28, 24, 0,

4. 25, 26.5, 28, 29.5,

5. 2, 2 1 s, 2 1 2s, 2 1 3s,

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6. El duodcimo trmino de una sucesin aritmtica es 32 y el quinto trmino es 18. Calcula el 20-simo trmino.

8. El vigsimo trmino de una sucesin aritmtica es 101, y la diferencia comn es 3. Calcula los dos primeros trminos.

7. El 100-simo trmino de una sucesin aritmtica es 98 y la diferencia comn es 2. Calcula los tres primeros trminos.

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Suma de una sucesin aritmtica

Reflexiona esta pregunta: cul es la suma de los nmeros 1, 2, 3,, 100?

Ancdota de Gauss. Cuenta la historia que cuando el clebre matemtico C. F. Gaussestaba en la escuela, su profesor plante esta suma a la clase para mantenerlos ocupa-dos. Gauss dio la respuesta correcta casi de inmediato. Se fij que los nmeros guardanun patrn de comportamiento y supuso que la suma tambin, as que hizo el procedi-miento siguiente: Dispuso la suma de los nmeros en orden ascendente y despus en or-den descendente y sum de la siguiente manera:

Es evidente que

2S 5 (1 1 100)100 5 (101)100 5 10, 100, por lo tanto, S 5 5 5050.

Naturalmente que este procedimiento puede generalizarse para hallar la suma de los n primeros trminos de cualquier sucesin aritmtica; as

Sn 5 a 1 (a 1 d) 1 (a 1 2d) 1 (a 1 3d) 1 1 an y

Sn 5 an 1 (an 2 d) 1 (an 2 2d) 1 (an 2 3d) 1 1 a

Sumando ambas expresiones tenemos que

2Sn 5 (a 1 an) 1 (a 1 an) 1 (a 1 an) 1 1 (a 1 an)

Hay n trminos idnticos en el lado derecho de esta ecuacin, por eso

2Sn 5 n(a 1 an)

Sn 5 (a 1 an)

Pero recuerda que an 5 a 1 (n 2 1)d es el n-simo trmino de la sucesin, as que la suma la podemos escribir como

Sn 5 [a 1 a 1 (n 2 1)d] 5 [2a 1 (n 2 1)d]n

2n

2

n

2

101002

SSS

= + + ++ + += + + ++ + +=

1 2 3 98 99 100100 99 98 3 2 1

2 1011 101 101 101 101 101+ + ++ + +

Suma de los n trminos de una sucesin aritmticaLa suma

Sn 5 a 1 (a 1 d) 1 (a 1 2d) 1 (a 1 3d) 1 1 ande los n primeros trminos de una sucesin aritmtica los podemos calcular concualquiera de las siguientes frmulas.

1. Sn 5 (a 1 an) 2. Sn 5 [2a 1 (n 2 1)d]n

2n

2

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E J E M P L O 1

Calcula la suma de los primeros 50 nmeros pares.

S o l u c i n

En este caso a 5 2 y d 5 2. El n-simo trmino de esta sucesin es an 5 2n, por lo quea50 5 2(50) 5 100. Por tanto la suma buscada es

S50 5 (a 1 a50) 5 (2 1 100) 5 2550

E J E M P L O 2

Calcula la suma de los 40 primeros trminos de la sucesin aritmtica

3, 7, 11, 15,

S o l u c i n

Para esta sucesin a 5 3 y d 5 4, entonces a40 5 3 1 4(40 2 1) 5 159, luego la suma delos 40 trminos de la sucesin es

S40 5 (a 1 a40) 5 (3 1 159) 5 3240

E J E M P L O 3

Un teatro tiene 50 filas de asientos, y en la primera fila hay 20 butacas, 22 en la segun-da, 24 en la tercera y as sucesivamente. Calcula la cantidad total de butacas.

S o l u c i n

La cantidad de asientos forman una sucesin aritmtica con a 5 20 y d 5 2. Entonces,utilizando la segunda frmula, la suma de butacas es

S50 5 [2a 1 (n 2 1)d] 5 [2 ? 20 1 2(50 2 1)] 5 3450 asientos502

n

2

402

n

2

502

n

2

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Suma parcial


E J E M P L O 4

El valor inicial de un auto es de 12,500 dlares. Su depreciacin anual es de 1,875 dlares.Calcula el valor del auto despus de 5 aos.

S o l u c i n

El valor de d 5 21875 y el de a 5 12500 2 1875 5 10625, por lo tanto, estamos buscandoa5 y ste es

a5 5 10625 1 (5 2 1)(21875) 5 3125 dlares.

Observa la siguiente tabla para una mejor comprensin.

E J E R C I C I O S

Determina las sumas indicadas en la siguiente tabla.

Tiempo Tercer ao Cuarto aoPrimer ao Segundo ao Quinto ao

Valor $6,875 $5,000$10,625 $8,750 $3,125

1. 1 1 5 1 9 1 1 401

S n a an n= +2 1( )

2. 1 1 3 1 5 1 7 1 9 1 11

3. + + + + ++3 32 032

2 30

4. 2 1 4 1 6 1 8 1 1 150

5. 0.7 1 2.7 1 4.7 1 1 56.7

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6. Se almacenan postes de telfonos en una pila con 25 postes en la primera fila,24 en la segunda, y as sucesivamente. Si hay 12 capas, cuntos postes hay en la pila?

9. Un concursante obtendr 5 premios en efectivo por un total de $5,000 y habruna diferencia de $100 entre premios sucesivos. Encuentra el primer premio.

7. Una persona recibe una oferta de trabajo con un salario de $30,000 anuales,y le prometen aumentos anuales de $2,300. Calcula sus ingresos totales en 10 aos de trabajo.

8. En un cine al aire libre hay lugares para estacionar 20 automviles en la primerafila, 22 en la segunda, 24 en la tercera, y as sucesivamente. Si hay 21 filas en ese cine, calcula la cantidad de autos que se pueden estacionar.

$800

$403,500

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nario

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Media aritmtica

La media aritmtica (promedio) entre dos cantidades a y b es

m 5

y es evidente que est a la misma distancia de a que de b, por lo que a, m y b forman unasucesin aritmtica. En general, si m1, m2, , mk estn espaciadas a intervalos iguales entre a y b de tal manera que

a, m1, m2, , mk, b

forman una sucesin aritmtica, se dice entonces que m1, m2, , mk son las medias aritmticas entre a y b.

a b+2

10. Un arquitecto disea un teatro con 15 butacas en la primera fila, 18 en la se-gunda, 21 en la tercera, etctera. Si el teatro debe tener 870 lugares, cuntas filas debe haber en el diseo?

11. Cuando un objeto se deja caer libremente desde un globo de aire caliente, cae16 pies en el primer segundo, 48 pies en el siguiente segundo, 80 en el siguientey as sucesivamente. Calcula la distancia total que cae el objeto en 6 segundos.

a bm

576 pies

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E J E M P L O

Intercala 3 medias aritmticas entre 10 y 18.

S o l u c i n

Podemos considerar una sucesin aritmtica con los trminos a 5 10 y a5 5 18. Por lotanto, la diferencia comn se calcula de la siguiente manera

18 5 10 1 (5 2 1)d despejando tenemos que d 5 5 2

De esta forma, las medias aritmticas son

m1 5 a 1 d 5 10 1 2 5 12

m2 5 m1 1 d 5 12 1 2 5 14

m3 5 m2 1 d 5 14 1 2 5 16

E J E R C I C I O S

18 104

1. Intercala 2 medias aritmticas entre 10 y 18.

2. Un doctor desea aumentar la dosis de medicina de 100 mg a 300 mg por da a un paciente en 5 etapas iguales. Cuntas medias aritmticas debe insertarentre 100 y 300 para administrar la sucesin de dosis diarias y cunto valen esasmedias?

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3. Las ganancias de 3 aos de un negocio estn en progresin aritmtica. El pri-mer ao gan 12,500 dlares y el tercero 20,500. Cul fue la ganancia en el segundo ao?

4. Se desea construir una escalera con nueve peldaos espaciados igualmente deforma que la distancia entre ellos disminuya de manera uniforme, de 24 pulga-das en la base a 18 pulgadas en la parte superior. Determina las distancias delos siete peldaos intermedios.

a9 5 24

a1 5 18

16,500 dlares

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Otra tcnica muy sencilla para generar una sucesin es iniciar con un nmero a y mul-tiplicarlo en forma repetida por una constante r que no sea cero. Observa cmo se com-portara la sucesin y cmo se obtiene el n-simo trmino de tal sucesin.

a1 5 aa2 5 ara3 5 (ar)r 5 ar

2

a4 5 (ar2)r 5 ar3

O

an 5 arn21

Por consiguiente, la sucesin es de la forma

a, ar, ar2, ar3, ar4, , arn21

y se llama sucesin geomtrica.

S U C E S I O N E S G E O M T R I C A S

E J E M P L O 1

Si a 5 2 y r 5 3, se forma la sucesin geomtrica

2, 2 ? 3, 2 ? 32, 2 ? 33, 2 ? 34, , an 5 2(3)n21

o bien, 2, 6, 18, 54, 162, , an 5 2(3)n21

E J E M P L O 2

La sucesin

2, 210, 50, 2250, 1,250, , an 5 2(25)n21

es geomtrica con a 5 2 y r 5 25. Fjate que el factor comn r se obtiene dividiendo un

trmino consecuente entre el antecedente, r 5 5 5 25.5010

102

Sucesin geomtrica. Es una sucesin de la forma

a, ar, ar2, ar3, ar4, , arn21

donde a es el primer trmino y r es el factor comn de la sucesin entre dos tr-minos consecutivos.

Por tanto el n-simo trmino de una sucesin aritmtica se calcula con la ex-presin

an 5 arn21

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E J E M P L O 3

La sucesin

1, , 1

es geomtrica con a 5 1 y r 5 .

E J E M P L O 4

Las sucesiones geomtricas tambin se encuentran en la naturaleza. Si una pelota se

deja caer desde 2 metros de altura, rebota slo 2 5 de su posicin inicial. El

segundo rebote llega a una altura de , y as sucesivamente. Por consiguiente,

la altura hn es la n-sima altura en el n-simo rebote y viene dada por

hnn

n n

n

= = = =

23

13

23

13

2 13

2 13

1

1

23

13

29

=

23

13

12

12

1 n1

214

18

, , ,

2

1

1 2 3 t

h

23

29

E J E M P L O 5

Calcula el octavo trmino de la sucesin 5, 15, 45.

S o l u c i n

Es claro que a 5 5 y que r 5 5 3, de manera que el octavo trmino de la suce-

sin es

a8 5 arn21 5 5(3)7 5 10,935.

155

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ana5RaznSucesin

RaznSucesin


E J E R C I C I O S

Determina si la sucesin es geomtrica. Si lo es, calcula la razn.

1. 2, 4, 8, 16,

2. 2, 6, 8, 36,

3. 3 32

34

38

, , , ,

4. 27, 29, 3, 21,

Determina la razn, el quinto y el n-simo trmino de las sucesiones dadas.

5. 4, 12, 36,

6. 16, 8, 4,

7. 4, 28, 16, 232,

8. 49, 7, 1,

9. 1, 2 2 2 2, , ,

10. El primer trmino de una sucesin geomtrica es 3 y el tercero es 4. Calcula elquinto trmino.

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11. El primer trmino de una sucesin geomtrica es 8 y el segundo trmino es 4.Calcula el quinto trmino.

14. En cierto cultivo, el nmero de bacterias se duplica cada da. Si hay 1,000 bacte-rias al final del primer da, cuntas habr despus de 6 das? Calcula el valor uti-lizando la frmula y comprueba tu resultado completando la siguiente tabla.

12. La razn de una sucesin geomtrica es y el cuarto trmino es .

Calcula el tercer trmino.

52

25

13. Si el valor de un automvil es de $120,000 y se deprecia un 10% anualmen-te, cul ser el valor del auto despus de 5 aos? Calcula el valor utilizando lafrmula y comprueba tu resultado completando la siguiente tabla.

Ao 1 2 3 4 5

Valor delautomvil

Da 1 2 3 4 5 6

Nm. debacterias

R. 12

R. 70,858.8

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Suma de una sucesin geomtrica

Supongamos que te propones ahorrar guardando 1 centavo el primer da, 2 centavos elsegundo, 4 el tercero y as sucesivamente. Si continas duplicando la cantidad guar-dada durante 30 das, cunto tendrs al final del mes?

Cuando trates de encontrar la respuesta, te dars cuenta que sera til tener unafrmula que nos permita obtener la suma de todas esas cantidades de una manera ms fcil.

Para deducir una frmula que nos permita calcular la suma Sn de los n trminos de una sucesin geomtrica

Sn 5 a 1 ar 1 ar2 1 ar3 1 1 arn21

multiplicamos a Sn por r y luego lo restamos de Sn, obteniendo as

Sn 5 a 1 ar 1 ar2 1 ar3 1 1 arn21

2rSn 5 2ar 2 ar2 2 ar3 2 2 arn21 2 arn

Sn 2 rSn 5 a 1 2 arn

As,

Sn(1 2 r) 5 a(1 2 rn)

Sn 5 ; r ? 1

Este resultado se resume como sigue:

La suma

Sn 5 a 1 ar 1 ar2 1 ar3 1 1 arn21

de los n primeros trminos de una sucesin geomtrica es igual a

Sn 5 ; r ? 1a r

r

n( )11

a r

r

n( )11

15. Una poblacin tiene 200,000 habitantes y crece a razn del 1.2% cada ao.Estima la poblacin en 30 aos.

R. 282,660

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E J E M P L O 1

Ahora ya podemos calcular de manera muy rpida la cantidad de dinero total guarda-da al cabo de 30 das si guardas 1 centavo el primer da, 2 el segundo, 4 el tercero y assucesivamente, usando la frmula anterior con a 5 1 y n 5 30 se obtiene

S30 5 5 1 073 741 823 centavos

por tanto la cantidad total ahorrada es 10,737,418.23 pesos.

E J E M P L O 2

Determina la suma de los 10 primeros trminos de la sucesin geomtrica

1, 0.5, 0.25, 0.125,

S o l u c i n

La suma requerida de esta sucesin con a 5 1 y r 5 5 0.5 es

Sn 5 1 5 1.998047

E J E M P L O 3

Calcula la suma

S o l u c i n

Si desarrollamos los primeros trminos de la sumatoria tenemos que

(22)k 5 7(22)1 1 7(22)2 1 1 7(22)5

por lo tanto, a 5 7(22)1 5 214 y r 5 5 22, luego la suma pedida es

Sn 5 214 5 214 5 214 ? 5 2154333

1 321 2

+1 21 2

5

( )( )

7 27 2

2

1( )( )

71

5

k=

7 21

5( )

=

kk

1 0 51 0 5

10

( . ).

0 51.

1 1 21 2

30( )

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E J E M P L O 4

Un pndulo recorre una distancia de 20 cm ensu primera oscilacin. Despus recorre el 80%de cada una de las oscilaciones anteriores.Cul es la distancia total recorrida despus de 4 oscilaciones?

S o l u c i n

Tenemos que encontrar S4 con a 5 20 y r 5 0.8.

S4 5 20 5 59.04 cm

E J E R C I C I O S

Calcula la suma de la sucesin geomtrica con las condiciones dadas.

1 0 81 0 8

4

( . ).

1. a 5 5, r 5 2, n 5 6

2. a 5 , r 5 , n 5 413

23

S6 5 315

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3. a3 5 28, a6 5 224, n 5 6

6. 7 320

5 =

i

i

4. a2 5 0.12, a5 5 0.00096, n 5 4

5. 3 121

10 =

k

k

S6 5 441

Sn 5 2.997070

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7. Un pndulo recorre una distancia de 20 cm en su primera oscilacin. Despusrecorre el 80% de cada una de las oscilaciones anteriores, cul es la distanciatotal recorrida despus de 7 oscilaciones?

8. Una pelota se deja caer desde una altura de 9 pies. Su elasticidad es tal quesiempre rebota y alcanza la tercera parte de la altura desde la que se le dej caer.Cul es la distancia total recorrida por la pelota en el instante en que llega alsuelo la quinta vez?

9. La figura mostrada representa un rbol genealgico con la generacin actual(t) y tres generaciones anteriores, con un total de 12 abuelos. Si buscaras tu his-toria familiar hasta 10 generaciones, cuntos antepasados encontraras sin contar a tus padres y a ti?

T

Madre

Padre

d 5 79.02 cm

1020

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Media geomtrica

Si a y b son dos nmeros reales positivos, un nmero positivo m se llama media geo-mtrica de a y b si a, m, b forman una sucesin geomtrica. Si la razn comn es r,entonces

r 5 5 , o sea m2 5 ab y m 5

vemos que la media geomtrica de los nmeros positivos a y b es .

E J E M P L O

Determina la media geomtrica de los nmeros 20 y 45.

S o l u c i n

m 5 5 5 30

E J E R C I C I O

Determina la media geomtrica de los nmeros 3 y 5.

90020 45

ab

abbm

m

a

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P O L I N O M I O S D E U N A V A R I A B L E

U N I D A D

2

Igualdades 70

Propiedades de las igualdades 71

Exponentes 75

Leyes o reglas de los exponentes 79

Radicales 82

Exponentes racionales 87

Operaciones con polinomios 91

Suma y resta de polinomios 93

Multiplicacin de monomios y polinomios 99

Divisin de polinomios 104

Productos notables 112

Tringulo de Pascal y binomio de Newton 126

Factorizacin 136

Expresiones fraccionarias 162

69

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70 UNIDAD 2 Polinomios de una variable

Fjate en la siguiente expresin y completa la tabla asignando el valor numrico que resulta al sustituir los valores en cada lado de la relacin.

a b c a b a c+( ) = +

I G U A L D A D E S

Expresiones como la anterior reciben el nombre de igualdad.

Esta relacin se expresa vinculando las cantidades o expresiones algebraicas en cuestin mediante el signo 5, que se lee igual a. Son ejemplos de igualdades:

x x+ = 2 3 5 ; a b a b a b+( ) ( ) = 2 2 ; 5 3 1 02k k =Clasifi cacin de las igualdades. Las igualdades se clasifi can como lo muestra el siguiente diagrama.

Igualdad

Es la relacin que se establece entre dos cantidades o expresiones algebraicas cuya diferencia es cero.

a b c a(b 1 c) a ? b 1 b ? c

3 5 4 3(5 1 4) 5 27 3 ? 5 1 3 ? 4 5 27

2 6 3

210 22 23

5 8 10

Una identidad es una igualdad que se verifi ca para cualquier valor que tomen las variables que entran en ella; para indicar esta relacin se utiliza el signo , que se lee como es idntico a. Un ejemplo de este tipo de vinculacin es la relacin con la que iniciamos el tema de este apartado. Otros ejemplos de identidades son

x y y x+ = + ; a b a ab b+( ) = + +2 2 22

Igualdades

Identidades

Ecuaciones

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Una ecuacin es una igualdad en la que tambin hay una o varias cantidades des-conocidas, slo que en este caso la relacin se verifi ca nicamente para determinados valores de las variables implicadas. Son ejemplos de ecuaciones:

5 3 2x x = ; k 3 8 0 = ; 3 34 5

2xx

y

=

Las partes o expresiones separadas por el signo 5 en una igualdad reciben el nombre de miembros, mientras que a los nmeros o cantidades relacionadas con los signos 1 o 2 en cada miembro se les llama trminos.

2 5 17x xtrmino

1er. miembro

trmino

2

R

R = +

ddo. miembro

Propiedad Igualdad Signifi cado

Aditiva a b a c b c= + = + Si a una igualdad se le suma la misma cantidad en ambos miembros, permanece la relacin de igualdad.

Sustractiva a b a c b c= = Si a una igualdad se le resta la misma cantidad en ambos miembros, permanece la relacin de igualdad.

Multiplicativa a b a c b c= = Cuando en una igualdad el miembro de la izquierda y el miembro de la derecha se multiplican por la misma cantidad, sta no se altera.

Divisora a b ac

bc

c= = ; 0Cuando en una igualdad el miembro de la izquierda y el miembro de la derecha se dividen entre la misma cantidad, sta no se altera.

Sustitucin a b b a= = Si a 5 b, entonces a puede sustituir a b en cualquier expresin algebraica dando una expresin equivalente.

P R O P I E D A D E S D E L A S I G U A L D A D E S

En las propiedades siguientes a, b y c son nmeros reales.


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E J E M P L O S

En cada una de las siguientes igualdades determina el valor de la literal destacando el uso de las propiedades de la igualdad.

1. x + =3 7 x + = 3 3 7 3 Propiedad sustractiva x = 4

2. x =3 7 x + = +3 3 7 3 Propiedad aditiva x = 10

3. 7 12 =x 7 7 12 7 = x Propiedad sustractiva =x 5

( ) = ( )1 1 5x x = 5 Propiedad multiplicativa

4. 2 5 15y =

2 5 5 15 5y + = + Propiedad aditiva 2 20y =

22

202

y=

Propiedad divisora

y = 10

E J E R C I C I O S

Tomando como referencia los ejemplos anteriores calcula el valor de la parte literal de cada una de las siguientes igualdades haciendo uso de las propiedades de las igualdades.

1. x =5 28

x 5 33

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2. x + =5 2

5. 3 5 28 =x

3. 7 3= x

4. 4 5 25x + =


x 5 24

x 5 25

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6.

y2

5 2+ =

9. = 7 63x

7. = 7 3 y

8.

45

5 25u + =

y 5 10

x 5 9

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10.

7 32

20 = z

11. = 7 3 4y

12. =7 21 0a

Escribe el resultado de cada una de las siguientes multiplicaciones

a) 5 5 5 = b) ( ) ( ) ( ) ( ) =3 3 3 3

c)

( ) =3 3 3 3

d)

12

12

12

12

12

=

E X P O N E N T E S

Exponentes 75

y 5 1

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Cuando en un producto se repite varias veces un factor, por lo general se escribe en notacin exponencial. Por ejemplo, las multi

Algebra.rene.Jimenez

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