Revista EIA, ISSN 1794-1237 Número 3 p. 35-50. Junio 2005Escuela de Ingeniería de Antioquia, Medellín (Colombia)

* Ingeniero Civil, Universidad de Medellín. PhD Candidate, Mecánica computacional. MSc Structural Engineering.University at Buffalo, The State University of New York. Asistente de Investigación. Laboratorio de EmpaquetamientoElectrónico, Universidad de Buffalo. juandgomez@yahoo.com jdg8@buffalo.edu

Artículo recibido 3-XII-2004. Aprobado con revisión 23-V-2005Discusión abierta hasta enero 2006

ALGORITMO DE INTEGRACIÓN PARA MATERIALESNO LINEALES CONSIDERANDO LOS EFECTOS DE

VISCOPLASTICIDAD, ENDURECIMIENTOCINEMÁTICO NO LINEAL Y DAÑO

JUAN DAVID GÓMEZ*

RESUMEN

En el Método de Elementos Finitos (MEF) la respuesta de materiales no lineales se considera por mediode formulaciones incrementales introduciendo una variable de tiempo. En el caso de materiales cuya respues-ta es independiente de la velocidad de deformación, dicha variable se considera como un seudotiempo; encaso contrario, dicha variable tiene significado físico. Debido a su formulación incremental, el modelo consti-tutivo debe ser integrado en el tiempo a nivel local. En este artículo se discute un algoritmo de uso común enla literatura, pero incorporando adicionalmente los efectos acoplados de leyes de endurecimiento cinemáticono lineal, viscoplasticidad y daño. El algoritmo se implementa en una plataforma de elementos finitos. Comoprocedimiento de validación del algoritmo, el modelo se particulariza para una ley de flujo viscoplásticodisponible en la literatura para soldaduras eléctricas. Los resultados de las simulaciones se comparan conrespuestas experimentales existentes.

PALABRAS CLAVE: elementos finitos; modelos constitutivos; algoritmos de integración; plasticidad.

ABSTRACT

In the Finite Element Method (FEM) material non-linearities are considered through incrementalformulations in terms of a pseudo-time variable for the case of rate independent models and a real time variablein the case of rate-dependent models. The incremental statement of the problem implies that the constitutivemodels need to be time-integrated at the local level. In this article we discuss a standard algorithm available inthe literature where additionally we have incorporated the effects of non-linear kinematic hardening, visco-plasticity, and damage. The algorithm is incorporated into a FEM code. In order to verify the correctness of ourimplementation we have particularized the model to the case of a creep law available from literature for solderalloys. Numerical simulation results are compared with experiments taken from the literature.

KEYWORDS: finite element analysis; constitutive modeling; integration algortihms; plasticity.

36 Revista EIA

ALGORITMO DE INTEGRACIÓN PARA MATERIALES NO LINEALES ...

1. INTRODUCCIÓN

La mecánica computacional ha sido amplia-mente utilizada durante los últimos 40 años comoherramienta de solución de diversos problemas enciencia e ingeniería. Dichos problemas, ya sea por lacomplejidad de sus modelos matemáticos, condicio-nes de frontera o geometría misma son prácticamen-te insolubles por otros medios. Más aún, diferentesmétodos computacionales se han implementado ydistribuido en forma de códigos de uso comercial depropósito general.

Entre los métodos computacionales se desta-ca el método de los elementos finitos (MEF), que hapasado por intensas etapas de desarrollo tecnológi-co y puede considerarse como la herramientacomputacional por excelencia entre la comunidadcientífica e ingenieril. Algunos de los códigos demultiuso más conocidos son ANSYS, ABAQUS y COS-MOS, los cuales tienen la capacidad de resolver pro-blemas de distribución de esfuerzos, transferencia decalor, propagación de ondas, electromagnetismo yotros, utilizando diversos modelos de respuesta paralos materiales considerados.

En particular, en el caso del análisis de esfuer-zos en un medio continuo con materiales elásticoslineales, el problema puede considerarse agotado ylas contribuciones actuales se reducen más bien amodelaciones con complejidades desde el punto devista geométrico (métodos de mallado) y de las con-diciones de frontera (por ejemplo, el problema decontacto).

En el caso del MEF en aplicaciones elásticas, elproblema se reduce a la solución de un sistema linealde ecuaciones algebraicas. Sin embargo, esto no ocu-rre si se consideran respuestas no lineales represen-tadas por medio de diversos modelos constitutivos.En ese caso, aún se emprenden grandes esfuerzos dela comunidad científica, tanto en planteamientos delos modelos mismos como de los algoritmos para sutratamiento computacional. En este artículo se tratael segundo problema y, en particular, se hace referen-

cia al caso del algoritmo de integración de modelosconstitutivos incorporando los efectos combinadosde viscoplasticidad, endurecimiento cinemático nolineal y variables de daño para el caso de pequeñasdeformaciones y pequeños desplazamientos. Dichacombinación no se encuentra disponible o incorpo-rada de manera directa en los programas de softwarecomercial, lo cual limita la consideración de mode-los constitutivos más realistas.

El modelo presentado es general en el sentidode que no hay restricción sobre la ley de flujo visco-plástico que se considera, ni en la variable de estadoque describe el daño en el sistema. Tratándose del MEFy considerando el punto de vista netamente computa-cional, las soluciones globales para el modelo discreti-zado por elementos finitos generalmente se obtienenpor medio de un proceso incremental-iterativo (porejemplo, un esquema de Newton-Raphson). En esteproceso un punto clave lo representa la integracióntemporal del modelo constitutivo.

En el caso de las formulaciones clásicas dedesplazamientos controlados mediante una secuen-cia de intervalos discretos de tiempo, las ecuacio-nes de evolución para los modelos constitutivos sonsistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias deprimer orden, las cuales son altamente no lineales,acopladas y pueden ser matemáticamente rígidas.Las ecuaciones globales se plantean en términos deuna variable de tiempo y la totalidad T del análisis sedivide en una serie de incrementos de tamaño ∆ t.Durante cada intervalo la respuesta se determinamediante un proceso iterativo hasta encontrar unestado de equilibrio. Una vez se encuentra una so-lución de equilibrio, la respuesta se actualiza al ins-tante t+∆ t.

En el planteamiento estándar basado en defor-maciones, el campo de desplazamientos se impone demanera proporcional al tamaño del intervalo y com-patible con las condiciones de frontera del modelo enconsideración. Posteriormente, el estado de esfuerzosresultante de las deformaciones impuestas se determi-na mediante un proceso de integración temporal de

37Escuela de Ingeniería de Antioquia

las funciones de evolución del modelo constitutivo.Este proceso o algoritmo de integración es de impor-tancia capital, ya que puede afectar tanto la precisiónde la solución como su rata de convergencia. Por ejem-plo, considerando la precisión es importante señalarque los vectores de fuerzas residuales (fuerzas residua-les excedentes que no satisfacen la condición de equi-librio) se obtienen directamente del estado de esfuer-zos actualizado. Por otro lado, la linealización de esteestado de esfuerzos actualizado da lugar a la matriz derigidez tangencial (o matriz jacobiana de la iteración),que es necesaria para el subsecuente ensamblaje delas matrices de rigidez de los elementos controlandoasí la rata de convergencia de la solución. Este proce-so de integración temporal o actualización del estadode esfuerzos y variables de estado, así como del jaco-biano del material se realiza a nivel local. Es decir, anivel de los puntos de integración numérica.

En las primeras etapas de desarrollo de algorit-mos para tratamiento de problemas elastoplásticosera común la utilización de métodos de integraciónexplícitos o semiexplícitos. Más adelante, se populari-zaron métodos implícitos debidos principalmente asu mayor estabilidad y más amplio rango de aplica-ción en comparación con las formulaciones explíci-tas. Algunas de las contribuciones importantes a esterespecto pueden encontrarse en el trabajo de Oweny Hinton (1980), que propuso un esquema iterativoglobal para la consideración de materiales elastoplás-ticos y viscoplásticos. Más tarde, Szabo (1985, 1988)propuso un algoritmo alterno que evita costosas ope-raciones de inversión matricial típicas de las formula-ciones del tipo de Owen y Hinton (1980). Aunqueeste tipo de formulaciones fueron importantes con-tribuciones en su momento, tienen la limitación deque son altamente dependientes del esquema iterati-vo global adoptado, lo que dificulta su implementa-ción en diferentes arquitecturas de elementos finitos.

Por otro lado, se encuentra el grupo de algo-ritmos de retorno radial de Wilkins (1964) y Krieg yKey (1976) que realizan el proceso de integración denivel local haciéndolos muy versátiles para su aplica-

ción en diferentes plataformas. Actualmente este tipode estrategias son las utilizadas por las arquitecturasmás modernas de solución de problemas no linealespor elementos finitos. Utilizan como algoritmo de so-lución global el método de Newton-Raphson o mo-dificaciones de este. Sin embargo, Simo y Taylor(1985), basados en las contribuciones de Hughes yTaylor (1978) y Nagtegaal (1982), notaron que parapoder preservar las excelentes características de con-vergencia cuadrática del método de Newton era ne-cesario utilizar en el proceso de integración un jaco-biano correspondiente con el algoritmo de integra-ción y no el obtenido de la formulación continua delproblema. Por lo general este jacobiano se denominaen la literatura módulo tangencial consistente. Des-pués Simo y Hughes (1998) presentaron el problemade integración del modelo constitutivo como unode optimización convexa y dieron lugar a los algorit-mos de retorno por transformación. Este punto devista tiene la gran ventaja de tener un significado to-talmente físico (ver, por ejemplo, el principio de máxi-ma disipación plástica) y no en artificios matemáticosque usualmente oscurecen la naturaleza del proble-ma. En la actualidad este tipo de algoritmos es consi-derado como la herramienta óptima para integrarlos modelos constitutivos.

En este artículo se trata el algoritmo de retor-no por transformación, pero a diferencia del modeloconsiderado en Simo y Hughes (1998), se tiene encuenta también la introducción de una variable dedaño y el caso de endurecimiento cinemático no li-neal. Adicionalmente y siguiendo la estrategia deAlfano et al. (2001), se incorporan también efectosviscoplásticos en el esquema. El algoritmo que se pre-senta es general en el sentido de que se puedenimplementar diferentes formas de la ley de flujo quedescribe la evolución de la deformación viscoplástica.

Con el fin de validar el esquema de integra-ción, se particulariza la ley de flujo implantando unmodelo viscoplástico disponible en la literatura y de-sarrollado originalmente para soldaduras eléctricasde aleaciones estaño-cobre.

38 Revista EIA

ALGORITMO DE INTEGRACIÓN PARA MATERIALES NO LINEALES ...

En la sección 2 se describe el modelo constitu-tivo y su respectivo algoritmo de integración. La sec-ción 3 presenta algunas simulaciones numéricas ycomparaciones con resultados experimentales reco-lectados en la literatura. La sección 4 presenta lasconclusiones y propuestas para mejoramiento delmodelo.

2. MODELO CONSTITUTIVOY ALGORITMO DEINTEGRACIÓN

En lo que sigue se describe un modelo consti-tutivo de plasticidad clásica de Hill (1950) para el casode pequeñas deformaciones y pequeños desplaza-mientos. Las ecuaciones evolutivas del modelo estándescritas de manera análoga a como se plantean enSimo y Hughes (1998), pero con la característica adi-cional de que consideran endurecimiento cinemáti-co no lineal, efectos viscoplásticos y daño. El algorit-mo de integración es el conocido algoritmo de retor-no por transformación (return mapping). Los efectosviscoplásticos se incorporan siguiendo la estrategiade Alfano et al. (2001). El modelo de viscoplasticidadque se plantea es general y hace uso del concepto deesfuerzo adicional viscoso. Se incorporan los efectosde endurecimiento cinemático siguiendo la estrate-gia de Lubarda y Benson (2002). La variable de dañose introduce en el modelo utilizando el concepto deesfuerzo efectivo de Kachanov (1986), Rabotnov(1968) y el denominado principio de deformaciónequivalente. A continuación se presentan las ecua-ciones en términos de su formulación por teoría deflujo mediante una función de cedencia que separael dominio elástico del dominio viscoplástico, una leyde flujo que especifica la evolución de la deforma-ción viscoplástica, un conjunto de leyes de endure-cimiento que especifican la evolución de los paráme-tros de endurecimiento y la evolución del parámetrode daño que se introduce como una variable de es-tado adicional.

Con el fin de introducir el modelo de maneramás general, es conveniente presentar primero lasecuaciones para un material cuya respuesta es inde-pendiente del tiempo y sin considerar los efectos dedaño, es decir, para un material con respuesta plásti-ca. En este caso la variable temporal se introduce porconveniencia matemática y no tiene ningún signifi-cado físico.

Consideremos el siguiente modelo de plastici-dad clásico de von Mises para un material isotrópicosuponiendo una teoría de pequeñas deformacionesy pequeños desplazamientos.

Ley de Hooke

Para un material clásico de von Mises con res-puesta independiente del tiempo y con comporta-miento isotrópico la ley de Hooke, que relaciona losesfuerzos con las deformaciones, se escribe como

( ): pC θσ ε ε ε= − −& & && (1)

donde , pε ε& & y θε& son rata de deformación total,deformación plástica y deformación térmica respec-tivamente, C es el tensor constitutivo elástico y : re-presenta la contracción entre dos tensores.

Superficie de cedencia

El dominio elastoplástico se define por mediode la siguiente función de cedencia

F

(2)

donde ( ), 0F σ α = representa una superficie de

cedencia que separa los dominios elásticos e

inelásticos, X es el componente desviador del tensor

de esfuerzos calculado como S13

pIσ= − ), p̂ es la

presión hidrostática, I es un tensor unitario de segun-

do orden, A A A= ⋅ representa la norma del tensor

A y ( )2( )3

R Kα α= es el radio de la superficie de

cedencia en el espacio de esfuerzos.

39Escuela de Ingeniería de Antioquia

Regla de flujo

La evolución de la deformación plástica se re-presenta por medio de una ley de flujo general,

ˆP nε γ=& (3)

donde ˆ Fnσ

∂=∂

representa el vector normal a la su-

perficie de cedencia.

Endurecimiento isotrópico

El endurecimiento isotrópico o tamaño de lasuperficie de cedencia se describe especificando laevolución de su radio. Un modelo común en la lite-ratura es el debido a Chaboche (1989) en el cual

( ) ( )02 13

cK Y R e αα −∞= + − y donde el parámetro

de endurecimiento α evoluciona de acuerdo conla ecuación (4),

0Y

representa el esfuerzo de ceden-cia inicial, R∞ representa un valor de saturación deendurecimiento isotrópico y c representa la veloci-dad de endurecimiento isotrópico.

(4)

Endurecimiento cinemático no lineal

La ley de endurecimiento cinemático no linealse toma de Chaboche (1989). Fue originalmente pro-puesta por Armstrong y Frederick(1996) y se describeen la Ec. (5)

(5)

donde X es un tensor de esfuerzos de retorno querepresenta el centro de la superficie de cedencia enel espacio de esfuerzos y c

1, c

2 son constantes de en-

durecimiento cinemático no lineal. En la expresión(5) el primer término en el lado derecho representael modelo clásico de endurecimiento cinemático li-neal de Prager (1956), mientras el segundo represen-

ta el término no lineal introducido por Armstrong yFrederick (1996).

En las ecuaciones (3) y (4)

γ

es un parámetrode consistencia no negativo que representa el carác-ter irreversible del flujo plástico y cumple las siguien-tes propiedades:

1. Para un material independiente del tiempo

γ

atiende las denominadas condiciones de carga/descarga y de consistencia.

y (6)

(7)

2. Para un material dependiente del tiempo(viscoplástico) las condiciones (6) y (7) se reem-plazan por una ecuación constitutiva de la forma

(8)

donde η

representa un parámetro del material quedescribe los efectos viscoplásticos. En el límite 0η →el modelo constitutivo es análogo al de un materialindependiente, Simo y Hughes (1998).

En el caso de un material independiente deltiempo, F satisface las condiciones (6) y (7) y,adicionalmente, los estados de esfuerzo

( , ) 0F σ α >

son inadmisibles. Por otro lado, en el caso de un ma-terial dependiente del tiempo, la magnitud del flujoviscoplástico es proporcional a la distancia del esta-do de esfuerzos a la superficie definida por

( , ) 0F σ α =

. Basados en este argumento se tiene quepara un intervalo de tiempo

t∆

y usando la ecua-ción (8) puede establecerse la siguiente relación

(9)

donde

1

t tγη γηφ −∆ ∆ Θ = ∆ ∆

y 1n tγ γ +∆ = ∆ (10)

que a su vez se basa en un esquema de diferencias deEuler.

40 Revista EIA

ALGORITMO DE INTEGRACIÓN PARA MATERIALES NO LINEALES ...

Acoplamiento de la variable de daño

La variable de daño se puede acoplar al modelo por medio del principio de deformación equivalente.(Tang, 2002),

( )1 : ( )vpD C θσ ε ε ε= − − −& & && (11)

( ) ( ) ( )21 1 ( )3

D DF S X D K S X D Rα α= − − − ≡ − − − (12)

donde D es una medida del daño y

( )( )1 21D vpX D c c Xε α= − −& & & (13)

representa la evolución del esfuerzo de retorno incluyendo los efectos de daño.

Algoritmo de retorno por transformación

Considere el siguiente estado de esfuerzos denominado usualmente estado de prueba, el cual se obtie-ne tras suponer que durante el incremento de tiempo el flujo plástico es nulo.

1 1(1 )2trn n nS S D eµ+ += + − ∆ (14)

donde 1ne +∆ es el incremento en la componente desviadora de la deformación total.

El incremento del esfuerzo de retorno puede obtenerse a partir de la ecuación (13)

( ) ( )'1 1 1 2 11 1D vp D D

n n n ndX D c d c X Xε γ θ θ+ + + = − − ∆ + − para 0 1θ≤ ≤ (15)

donde

'2c

y se ha utilizado una regla generalizada de punto medio para el término no lineal con los

valores extremos 0θ = y

θ

correspondientes a un esquema de diferencias de Euler. De las ecuaciones (3)y (12) se puede obtener el equivalente algorítmico del incremento viscoplástico,

d

(16)

La sustitución de la ecuación (16) en la ecuación (15) implica

'1 1 2

1 111 1

DD Dn nn n nD

n n

S X cdX a XcS X

γ + ++ +

+ +

− = ∆ − −

(17)

donde ( )( )( )

11 '

2

11 1 1n

c Da

c D θ γ+

−=

+ − − ∆

La regla de flujo (3) permite expresar la ecuación (14) como

41Escuela de Ingeniería de Antioquia

1 11 1

1 1

(1 )2D

tr n nn n D

n n

S XS S DS X

γ µ + ++ +

+ +

−= − ∆ −− (18)

Tras definir el esfuerzo relativo 1 1 1D Dn n nS Xξ + + += − se tiene de la ecuación (18)

1 11 1 1 1 1

1 1

(1 )2D

D D tr D Dn nn n n n n nD

n n

S XS X S D X dXS X

ξ γ µ + ++ + + + +

+ +

−= − ≡ − ∆ − − −− (19)

(17) en (19) implica

( ) 1 11 1 1

1 1

1 2D

D n nn n n nD

n n

S XS X D a BS X

γ µ + ++ + +

+ +

− − + ∆ − + = − (20)

donde 1 1tr D D

n n n n nB S X b Xγ+ += − + ∆ y '2

1 11

n ncb ac+ +=

De la ecuación (20) es claro que el vector normal a la superficie de cedencia puede ser expresado entérminos de la información al comienzo del incremento, por lo tanto, se tiene

1 11

1 1

Dn n n

n Dnn n

S X BnBS X

+ ++

+ +

−≡ =− (21)

Calculando el producto escalar de la expresión (19) por ella misma se obtiene

( )

( ) ( ) ( ){ }1 1 1

1/ 22 2

1 1 1 1

1 2

1 2 2 : 1 2

Dn n n

D D D Dn n n n n n n n n n

S X D a

S X D e b X S X D e b X

γ µ

µ γ µ γ

+ + +

+ + + +

− + ∆ − + =

− + − ∆ + ∆ + − − ∆ + ∆ (22)

Utilizando la ecuación (12) para el caso independiente del tiempo o la ecuación (9) para el casodependiente del tiempo se puede obtener la siguiente ecuación escalar no lineal para el parámetro de consis-tencia, que puede resolverse por un método de Newton local u otro método numérico,

( ) ( ) ( ){ }( ) ( )

1/ 22 2

1 1 1 1

1

( ) 1 2 2 : 1 2

2 21 1 23 3

D D D Dn n n n n n n n n n

n n

g S X D e b X S X D e b X

D K D at

γ µ γ µ γ

γηα γ γ µ

+ + + +

+

∆ = − + − ∆ + ∆ + − − ∆ + ∆

∆ − − + ∆ − ∆ − + − Θ ∆

(23)

El esquema de actualización de las variables dependientes resulta una vez la ecuación (23) se resuelvey el valor de γ∆ se encuentra:

12

3n nα α γ+ = + ∆

(24)

42 Revista EIA

ALGORITMO DE INTEGRACIÓN PARA MATERIALES NO LINEALES ...

1vp vp nn n

n

BB

ε ε γ+ = + ∆ (25)

'1 1 2

1 111 1

DD D Dn nn n n nD

n n

S X cX X a XcS X

γ + ++ +

+ +

− = + ∆ − −

(26)

1 1(1 ) ( )D nn n

n

BD KB

ξ α+ += − (27)

1 1 1D D

n n nS Xξ+ + += + (28)

( ) ( ) ( )1 1 1 1 11 2 1 vp nn n n n n n

n

BD tr D e eB

θσ κ ε µ ε γ+ + + + +

= − Ι + − − − −

(29)

Linealizacion (jacobiano consistente)

Tras diferenciar la ecuación (29) con respecto a la deformación total al final del incremento, se obtiene

11 1 1

1 1

ˆˆ(1 ) 2 2 :nn n n

n n

nd D C n dγσ µ µ γ εε ε

++ + +

+ +

∂∂∆= − − ⊗ − ∆ ⊗ ∂ ∂ (30)

en la que 1n

γε +

∂∆∂ resulta de (22) como:

1

1 3

n

n

nK

γε

+

+

∂∆ =∂ (31)

En lo anterior se ha hecho uso de

3 1 2K K K= +'

11 1

3 2 (1 )naKK

Dµ µ+= + +−

( )'

1 1 12 1

11 1 :2 (1 ) 2 (1 ) 2 (1 )

Dn n nn n

a n bK b XD D Dγ θ γ

µ µ µ γ+ + +

+∆ ∂Θ

= + − ∆ − + − − − ∂∆

y 1

1

ˆn

n

nε

+

+

∂∂ resulta de (21)

( )1 11 1

1 1 1 1

ˆ ˆ 1 ˆ ˆ :n n n nn n

n n n n n

n n B Bn nB Bε ε ε

+ ++ +

+ + + +

∂ ∂ ∂ ∂= ≡ Ι − ⊗∂ ∂ ∂ ∂ (32a)

43Escuela de Ingeniería de Antioquia

donde

( ) ( )'1 1

1 1

12 13

nn n n

n n

B D b b X γµ γε ε+ +

+ +

∂ ∂∆ = − Π − Ι ⊗ Ι + ∆ + ⊗ ∂ ∂

Haciendo '4 1 1n nK b bγ+ += ∆ + y sustituyendo

1

n

n

Bε +

∂∂ en (32a) resulta:

( )

1 11 1

1 1

41 1 1

3

ˆ ˆ 2 (1 ) 1 ˆ ˆˆ ˆ 1 13

1 ˆ ˆ ˆ ˆ1 :

n n nn n

n n n n

Dn n n n

n

n n B D n nB B

Kn n n XB K

µε ε

+ ++ +

+ +

+ + +

∂ ∂ ∂ − = ≡ Π − ⊗ − ⊗ + ∂ ∂ ∂

− ⊗ ⊗

(32b)

Usando las ecuaciones (31) y (32b) en (30) resulta:

( ) ( ) ( )

( ) ( )

1 1 1 1 1

41 1 1

3

1ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ1 1 1 2 1 1 1 2 13

2 1ˆ ˆ ˆ:

EVPDn n n n n

Dn n n n

n

C D D D n n

D Kn n n XB K

κ µ δ µ θ

µγ

+ + + + +

+ + +

= − ⊗ + − Π − ⊗ − − ⊗ −

−∆ Π − ⊗ ⊗

(33)

donde

12 (1 )1n

n

DB

γ µδ +∆ −= −

13

1 2 (1 )n

n

DK B

γ µθ +∆ −= −

3. SIMULACIONES NUMÉRICAS

Para validar el modelo numérico presentado es conveniente particularizar la ecuación (8). Para este finse selecciona la ley de flujo de Kashyap y Murty (1981) propuesta en su origen para describir la respuesta dealeaciones de plomo-estaño utilizadas comúnmente en soldaduras eléctricas para empaquetamiento electró-nico. Kashyap y Murty (1988) describen el comportamiento viscoplástico de este material por medio de lasiguiente relación fenomenológica y con las propiedades presentadas en la tabla 1.

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ALGORITMO DE INTEGRACIÓN PARA MATERIALES NO LINEALES ...

/1

0

pQ R

n

k d eAD E b b

θθη − =

(34)

Adicionalmente, se utiliza la siguiente funciónde tipo Perzyna que permite definir de manera com-pleta el modelo constitutivo indicado en la Ec. (8)

( ) nF Fφ = (35)

Utilizando este modelo se simula numéricamen-te la respuesta de una capa delgada de soldadura eléc-trica y sometida a ensayos de cortante monotónicos,cíclicos y de fatiga reportados en Tang (2002). Tam-bién se modela el ensayo de tensión uniaxial realizadopor Adams (1986). Pueden encontrarse detalles deambos estudios experimentales en dichas referencias.La tabla 2 presenta las simulaciones elaboradas. La fi-gura 1 muestra los resultados de las simulaciones com-parados con los ensayos en tensión uniaxial de Adams(1986) a diferentes temperaturas. La figura 2 muestracomparaciones con ensayos de cortante monotónicoa diferentes temperaturas y para una rata de deforma-ción constante. Se observa que el modelo efectiva-mente muestra la variación de las respuestas a dife-rentes temperaturas. Las diferencias con los resulta-dos experimentales son esperables, pues en la realidady como consecuencia de su proceso de fabricación,las soldaduras tienen imperfecciones y vacíos que nose consideran en el modelo computacional. La figura3 muestra el mismo ensayo anterior, pero a temperatu-ra ambiente y para distintas ratas de deformación. Seobserva que el modelo efectivamente refleja la varia-ción de la respuesta de la velocidad de aplicación delos desplazamientos. En la figura 4 se comparan lassimulaciones con los resultados de ensayos en condi-ciones de cortante cíclico a rata de deformación cons-tante, temperatura ambiente y diferentes rangos dedeformación inelástica. Las figuras 5-8 ilustran simula-ciones durante varios ciclos de fatiga y diferentes ran-gos de deformación inelástica así como también laevolución de la variable de daño correspondiente adichas simulaciones. El marco computacional efecti-vamente describe la degradación por ciclos de fatiga.

4. CONCLUSIONES YSUGERENCIAS PARATRABAJOS FUTUROS

En este artículo se presenta la implementaciónde un modelo constitutivo que satisface requisitostermodinámicos así como su algoritmo de integra-ción. El algoritmo utilizado es el clásico esquema pro-puesto por Simo y Hughes (1998), pero extendidopara considerar leyes de endurecimiento cinemáticono lineales, efectos dependientes del tiempo y daño.El algoritmo puede adaptarse con facilidad para tra-tar problemas axisimétricos y en 3D. El carácter localdel esquema permite su implementación en diferen-tes plataformas con elementos finitos. Las ecuacionesse presentan de manera general de forma que se pue-den adaptar a diferentes modelos constitutivos comoel introducido.

Para problemas idealizados como de esfuerzosplanos se debe desarrollar un algoritmo alterno. Di-cho esquema que incorpora simultáneamente efec-tos de daño, endurecimiento cinemático no lineal yefectos viscoplásticos no está disponible en la litera-tura actual.

Es deseable también utilizar este modelo paraestudiar la respuesta de materiales en nuestro medioparticularizando las ecuaciones presentadas e incor-porando diferentes medidas de daño que se podríanadaptar fácilmente al algoritmo.

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46 Revista EIA

ALGORITMO DE INTEGRACIÓN PARA MATERIALES NO LINEALES ...

Tabla 2. Simulaciones elaboradas.Tabla 1. Parámetros del material.

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Tablas y Figuras

Módulo de Young (GPa) 52,10-0,1059 Módulo cortante (GPa) 19,44-0,0395

R00 (MPa) 37,47-0,0748 c 383,3

y 60,069-0,140

c1 2040

c2 180

A 7,60E+09

D0 (mm/s2) 48,8

b (mm) 3,18E-07d (mm) 1,06E-02

n 1,67

p 3,34Q (mJ/mol) 4,47E+07

ELÁSTICOS

ENDURECIMIENTO ISOTRÓPICO

ENDURECIMIENTO CINEMÄTICO

LEY DE FLUJO

Rata de deformación Temperatura ISR

/s 0C1 -152 -55

3 125

4 22

5 75

Rata de deformación Temperatura ISR

/s 0C

1 -402 22

3 60

4 100

Rata de deformación Temperatura ISR/s 0C

1 1,67E-012 1,67E-023 1,67E-034 1,67E-04

Rata de deformación Temperatura ISR/s 0C

1 0,0052 0,0123 0,02

Rata de deformación Temperatura ISR/s 0C

1 0,0222 0,004

ISR Rango Inelástico de Deformacion

CASO I

ENSAYO DE ADAMS

1,67E-02

CASO II

CORTANTE MONOTÓNICO

1,67E-03

CASO III

CORTANTE MONOTÓNICO

22

CASO IV

CORTANTE CÍCLICO

1,67E-03 22

CASO V

FATIGA POR CORTANTE

1,67E-04 22

ISR: Rango Inelástico de Deformación

0,020

47Escuela de Ingeniería de Antioquia

Figura 1. Simulaciones del ensayo de Adams (1986) bajo una rata de deformación de 1,67x10-2 /sy a diferentes temperaturas.

Figura 2. Ensayo a cortante monotónico a una rata de deformación de 1,67x10-3 /sy diferentes temperaturas.

48 Revista EIA

ALGORITMO DE INTEGRACIÓN PARA MATERIALES NO LINEALES ...

Figura 3. Ensayo a cortante monotónico a diferentes ratas de deformación y a temperatura ambiente.

Figura 4. Ensayos a cortante cíclico a una rata de deformación de 1,67x10-3 /s y a temperatura ambientecon diferentes rangos de deformación inelástica.

49Escuela de Ingeniería de Antioquia

Figuras 5. Ensayo de fatiga isotérmica a cortante a una rata de deformación de 1,67x10-4 /s y atemperatura ambiente para ISR=0,022

Figuras 6. Evolución del parámetro de daño en fatiga para un ISR=0,022

Simulación

Modelo

50 Revista EIA

ALGORITMO DE INTEGRACIÓN PARA MATERIALES NO LINEALES ...

Figuras 7. Ensayo de fatiga isotérmica a cortante a una rata de deformación de 1,67x10-4 /sy a temperatura ambiente para ISR=0,004

Figuras 8. Evolución del parámetro de daño en fatiga para un ISR=0,004

Simulación

Modelo