1. Probar que para toda matriz A m× n son equivalentes las siguientes afirmaciones:

(a) El sistema lineal cuya matriz aumentada es [A : b] es consistene para todo b ∈ Rm

(b) A tiene m posiciones pivote.

2. Defina el producto Ax y ejemplifique.

3. Sea A una matriz m× n, x e y vectores n y c ∈ R. Probar:

(a) A(x + y) = Ax + Ay

(b) A(cx) = cAx

(c) Inx = x

4. Definir Espacio Nulo de una Matriz A m× n y probar que es un subespacio vectorial de Rn

5. Enunciar y demostrar el teorema que relaciona el conjunto solucion del sistema lineal Ax = b y el sistemalineal homogeneo Ax = 0.

6. Explique Ax en terminos del producto punto.

7. Pruebe que para A y B matrices m× n y c ∈ R vale que c(A + B) = cA + cB.

8. Pruebe que para C matriz m× n y a y b en R vale que (a + b)C = aC + bC.

9. Defina la multiplicacion matricial. Explique que forma tienen la j−esima columna, el i−esimo renglon y el(i, j)−esimo elemento del producto matricial AB.

10. Pruebe la siguiente propiedad de la multiplicacion matricial: (AB)C = A(BC).

11. Pruebe la siguiente propiedad de la multiplicacion matricial: A(B + C) = AB + AC.

12. Defina matriz invertible. Demuestre que la inversa de una matriz invertible es unica.

13. Enuncie y demuetre el teorema que relaciona la inversa de una matriz con la soluciones del sistema Ax = b.

14. Pruebe que si A y B son matrices invertibles de igual tamano, entonces AB es invertible. En ese caso: ¿Cuales la inversa de AB?

15. Pruebe que si A es invertible, entonces A−1 es invertible.

16. Pruebe que si A es invertible y c 6= 0, entonces cA es invertible. En es caso: ¿Cual es la inversa de cA?

17. Explique como calcular la inversa de una matriz resolviendo sistemas de ecuaciones lineales. Dar un ejemplopara una matriz de 2× 2.

18. Escriba cuatro propiedades de los determinantes.

19. Escriba todas las propiedades estudidadas de los determinantes.

20. Sea A una matriz n× n que puede reducirse sin escalamientos a B matriz triangular superior. Pruebe que:

Si A es invertible y p1, p2 . . . , pn son los n pivotes de B en la diagonal principal

det(A) = (−1)kp1p2 . . . pn

donde k es la cantidad de intercambio en la reduccion de A a B.

Si A no es invertible, det(A) = 0.

21. Demuestre que si A es una matriz n× n y k ∈ R, entonces det(kA) = knA.

22. Una matriz A n× n es idempotente si A2 = A. Pruebe que la unica matriz idempotente no singular es In.

23. ¿Como se relacionan los determinantes de una matriz invertible y el de su inversa? Demuestre.

24. Sea B una matriz n× n. Pruebe que B Adj(B) = det(B)In.

25. Demuestre la formula de calculo de una inversa de una matriz no singular a traves de la adjunta.

26. Enuncie y demuestre la Regla de Cramer.

27. Defina Subespacio de un espacio vectorial. Enuncie y demuestre el Teorema Criterio para un Subespacio.

28. Defina Espacio Generado. Sea V un espacio vectorial y S ⊂ V . Demuestre que Gen(S) es el subespacio maspequeno de V que contiene a S.

29. Enuncie y demuestre el teorema sobr la matriz de una transformacion lineal.

30. Defina matrices semejantes.

31. Defina autovalores y autovectores de una matriz. Indique una propiedad geometica de los autovectores enR2. Explique la relacion entre la multiplicidad geometrica y algebraica de un autovalor.

32. Demuestra que si A = {v1, · · · , vk} es un subconjunto de un espacio vectorial V y vk es combinacion linealde v1, · · · , vk−1 entonces gen(A) = gen({v1, · · · , vk−1})

33. Defina conjunto linelamente independiente y ejemplifique. Indique que condicienos deben satisface vecoresen R2 y R3 para ser linealmente dependientes e interprete geometricamente.

34. Describa geometricamente todos los subespacios de R2.

35. Describa geometricamente todos los subespacios de R3.

36. Sea S un conjunto con al menos dos vectores. Demuestre que S es linealmente dependiente si y solo si almenos un vector de S es combinacion lineal de otros vectores de S.

37. Enuncie el Teorema de Intercambio.

38. Enuncie y demuestre el Teorema de Unicidad de Coordenadas.

39. Enuncie el Teorema de Cambio de Base. Ejemplifique.

40. Explique como determinar una base para el de columnas de una matriz. Dar un ejemplo para una matriz3× 3.

41. Explique como determinar una base para el espacio nulo de una matriz. Dar un ejemplo para una matriz3× 3.

42. Explique dos algoritmos para calcular una base para Gen(S) y que ventajas y desventajas tiene cada unode ellos.

43. Enuncie el Teorema del Rango.

44. Si A es una matriz m × n y el conjunto de soluciones del sistema Ax = b forma un subespacio vecorial deRn. ¿Que se puede asegurar respecto a b ?

45. Defina Transformacion Lineal

46. Enucie y demuestre el teorema que afirma que la imagen por una transformacion lineal de los elementos deun conjunto generador del dominio forman un conjunto generador del contradominio de la transformacion.

47. Demuestre que el Nucleo de una transformacion lineal es un subespacio de su dominio.

48. Demuestre que el Recorrido de una transformacion lineal es un subespacio de su codominio.

49. Enuncie el Teorema de la Dimension.

50. Demuestre que una transformacıon lineal T es biunıvoca si y solo si Ker(T ) = {0}.

51. Defina isomorfismo entre espacios vectoriales. Ejemplifique y enuncie un teorema sobre espacios vectorialesisomorfos.

52. Enuncie el Teorema: Criterio paa la Diagonalizacion.

53. Enuncie y demuestre un teorema que caracteriza las matrices diagonalizables. (Teor 6 pag 458)

54. Enuncie dos teoremas que teorema que caracterizan las matrices diagonalizables. (Teor 6 pag 458 y 9 pag461)

55. Determine cuales de las siguientes afirmaciones son verdaderas y cuales falsas, justificando adecuadamente.

(a) Si A y B matrices n× n, entonces (AB)2 = A2B2

(b) Si A es n× n y no es la matriz nula, entonces A2 no es matriz nula.

(c) Si A es n× n y A 6= In entonces A2 6= In

(d) Si A es n× n y A4 = 0, entonces (In −A)−1 = In + A + A2 + A3.

(e) Una matriz A n× n es idempotente si A2 = A. Las unicas matrices n× n idempotentes son la matrizidentidad y la matriz nula.

(f) Una matriz A n × n es idempotente si A2 = A. Si A y B son matrices idempotentes n × n entoncesAB = BA.

(g) Sea b una matriz n×1 tal que btb = 1. Si H = In−2bbt entonces H−1 = Ht (La matriz H = In−2bbt

es una matriz de Householder.

(h) Si p, q y r son polinomios y los conjuntos {p, q}, y {q, r} son linelamnete independientes, entonces {p, r}es linealmente independiente.

(i) Si Ax = b es un sistema con 800 ecuaciones y 900 incognitas y el espacio nulo de A esta generado por100 vecores linealmente independientes, entonces el sistema Ax = b es consistente para todo b ∈ R800.

(j) El conjunto X = {1 + ax + ax4, 1 + bx + bx4, 1} ⊂ P4 es linealmente independiente.

(k) El conjunto W de vectores de R2 localizados en el primer cuadrante es un subespacio de R2.

(l) El conjunto Z = {p(x) = ax3 + b : a ∈ R, b ∈ R} es subespacio de P3.(m) La transformacion T : P2 → P1 tal que T (a + bx + cx2) = (a− b) + (b + c)x es lineal.

(n) La transformacion T : M2×2 → R3 tal que

T

[a bc d

]=

[ac

]es lineal.

(o) Si C es una matriz invertible n × n y y T : Mn×n → Mn×n tal que T (X) = C−1XC, entonces T eslineal.

(p) La transformacion lineal T : P1 → P1 tal que T (a + bx) = (2a + b) + (−3a + 4b)x es biunıvoca.

(q) Dos matrices semejantes tienen el mismo polinomio caracterıstico.

(r) Si A es invertible y 10 es autovalor de A entonces 0.1 es autovalor de A−1