Algunos conceptosAlgunos conceptos de de probabilidadprobabilidad

Variables Aleatorias

Al realizar un experimento aleatorio muchas veces,esperamos que los resultados obtenidos seangobernados por sus probabilidades. Así lasprobabilidades forman un modelo de la realidad.

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¿Aguila osol?

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Regla de BayesRegla de Bayes

Si los eventos B1 y B2 son eventosmutuamente excluyentes, de tal maneraque la unión de ellos conforman todo elespacio muestral S, y si A es unsubconjunto de S, tal queentonces

( ) 0>AP

!

P B1| A( ) =

P B1( )P A | B

1( )P B

1( )P A | B1( ) + P B

2( )P A | B2( )

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A un evento expresado numéricamente,se le conoce como Variable AleatoriaVariable Aleatoria.

Las variables aleatorias se clasifican deacuerdo al tipo de valores que toman:

DiscretasDiscretas si puede tomar un númerofinito de valores, o infinito numerable, esdecir si los valores que toma se puedencontar.

ContinuasContinuas si puede tomar sus valores enun intervalo, es decir son valores que semiden.

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Cada variable está asociada con un eventodel espacio muestral y cada evento tieneasociada una probabilidad de ocurrencia.Al conjunto de estas probabilidades se lellama Distribución de ProbabilidadDistribución de Probabilidad.

La Distribución de Probabilidad de unavariable aleatoria discreta se puederepresentar por medio de una gráfica, unatabla o una fórmula.

La variable aleatoria se escriben con MAYÚSCULAS (X, Y, Z) y elvalor que toma con minúsculas (x,y,z)

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Para cualquier distribución de probabilidaddiscreta, se deben cumplir las siguientespropiedadespropiedades:

- Ninguna probabilidad puede ser negativa ni mayor a 1:

- La suma de las probabilidades de todos los valores de la variable aleatoria X debe ser igual a 1:

!

0 " PXxi( ) "1 para toda i

!

PXxi

( )i=1

n

" =1

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Notemos que para cualquier función dedensidad continua, se deben cumplir lassiguientes propiedadespropiedades:

-

-!

0 " fX x( ) "1

!

fX x( )"#

#

$ dx =1

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MediaMedia de una Variable Aleatoria de una Variable Aleatoria

La Media o Valor Esperado de una variablealeatoria es el promedio ponderado detodos los posibles valores de X, donde lasponderaciones son las probabilidadesasociadas a cada valor de la variable:

!

µ = E X[ ] = x P X = x( )"

!

µ = E X[ ] = x fX (x)" dx

para v.a. discretas

para v.a. continuas

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Algunas propiedades del Valor Esperado sonlas siguientes:

- Si k es una constante,

-

- Si g1(X ), g2 ( X ), ..., gk (X ), son k funciones de lavariable aleatoria X,

!

E gi X( )i=1

k

"# $ % & ' (

= E g1X( )[ ]

i=1

k

"!

E kX[ ] = kE X[ ]

!

E k[ ] = k

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VarianzaVarianza de una Variable Aleatoria Discreta de una Variable Aleatoria Discreta

La Varianza de una Variable Aleatoria es elcuadrado de la dispersión promedio de losvalores que toma la variable respecto a sumedia:

!

" 2 =Var X( ) = xi#µ( )

2

P X = xi( )

i=1

n

$

!

" 2 = xi

2P X = x

i( )i=1

n

# $µ2

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Algunas propiedades de la Varianza son lassiguientes:

-

- Si k es una constante,

-

- Si k y c son constantes,!

Var k( ) = 0

!

Var kX( ) = k 2Var X( )

!

Var kX + c( ) = k 2Var X( )

!

Var X( ) " 0

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!

" = de X( ) = Var X( )

La Desviación EstándarDesviación Estándar es la raízpositiva de la varianza y nos proporcionauna medida de la dispersión promediorespecto a la media

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Uno de dos posibles resultados:

éxitoéxito fracasofracasoDistribución Binomial

n eventos independienes

Probabilidad de éxito (p) es constante

!

n

x

"

# $ $

%

& ' ' px1( p( )

n(x

x = 0,1,...,n

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Distribución Poisson

Eventos discretos en espacios continuos

La ocurrencia de dos eventos en unmismo momento no es posible

La ocurrencia de un evento en un momentoes independiente de la ocurrencia de otroevento en cualquier otro momento

El promedio de eventos que ocurren enuna unidad de tiempo es λ

!

e"##x

x!

x = 0,1, ...

Distribución Normal

!<<!" x

!

1

2"#exp $

1

2

x $ µ

#

%

& '

(

) *

2+

, -

. -

/

0 -

1 -

!<<!" µ

02>!

N(µ ,σ 2)

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Simétrica respecto a su media

Muchos experimentos secomportan normal

La estadística paramétricaestá basada en la normalidad

Muchas propiedades …

σ 2 = 0.8 µµ = -2= -2µµ = 0= 0µµ = 2= 2

Algunos ejemplos de la distribución normal

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Más ejemplos de la distribución normal

σ σ 2 2 = = 11σ σ 22 = = 0.50.5σ σ 22 = = 22

µ = -0.5

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AproximaciAproximación de la distribuciónón de la distribuciónNormal a la BinomialNormal a la Binomial

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Factor de correcciFactor de corrección de la continuidadón de la continuidad

!

P X " xo( )# P X " x

o$ 0.5( )

P X > xo( )# P X " x

o+ 0.5( )

P X % xo( )# P X % x

o+ 0.5( )

P X < xo( )# P X % x

o$ 0.5( )

P X = xo( )# P x

o$ 0.5 % X % x

o+ 0.5( )

Una vez corregido se procede a estandarizar,sustituyendo la media por y la desviaciónestándar por

!

np

!

np(1" p)

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Referencias

http://www.hrc.es/bioest/M_docente.html

Woolf, P., C. Burge, A. Keating & M. Yaffe. Statistics and ProbabilityPrimer for Computational Biologists. Notas del curso BE 490/Bio7.91, MIT, 2004. Disponible enhttp://ocw.mit.edu/NR/rdonlyres/Biology/7-91JSpring2004/7A958664-C748-4383-88F9-5547ED40637B/0/prob_stat_primer.pdf

Zar, Jerrold H.- Biostatistical Analysis.- 4rd ed.- Prentice Hall, Inc

Rosner, B.- Fundamentals of Biostatistics. 6th Ed. Brooks/ColePublishing Co., 2006

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