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Historias de Matemticas
Algunos problemas de optimizacin geomtrica
On some geometric optimization problems
Federico Ruiz LpezRevista de Investigacin
Volumen V, Nmero 2, pp. 027054, ISSN 2174-0410Recepcin: 24 Feb15; Aceptacin: 10 Jul15
1 de Octubre de 2015
Resumen
Los problemas de optimizacin han sido estudiados de forma recurrente desde la poca delos griegos. En sus inicios estos problemas nacen de cuestiones puramente geomtricas, comoel problema de la Reina Dido. Las tcnicas de demostracin eran muy ingeniosas, pero particu-lares a cada caso. Con el nacimiento del clculo diferencial e integral las herramientas paraabordar este tipo de problemas adoptaron una carcter ms general y analtico. No obstante,el pensamiento geomtrico encierra resultados de indudable belleza y simplicidad. En esteartculo vamos a abordar algunos problemas desde un punto de vista puramente geomtrico,mostrando interesantes herramientas de demostracin, hasta llegar a un curioso resultado re-lacionado con el tringulo rtico.
Palabras Clave: Geometria Eucldea, optimizacin, polgonos, simetras, tringulo rtico.
Abstract
Optimization problems have been studied recurrently since the time of the Greeks. In thebeginning these problems arise from purely geometric issues such as the problem of Queen Dido.The demonstration techniques were very ingenious, but specific to each case. With the birth ofdifferential and integral calculus tools to address such problems adopted a more general andanalytical nature. However, geometrical thinking encloses results of unquestionable beautyand simplicity. In this article we will address some problems from a purely geometrical pointof view, showing interesting demonstration tools, until a curious result related to the orthictriangle.
Keywords: Euclidean geometry, optimization, polygons, simetry, orthic triangle.
1. Algunos problemas de mximos
Desde muy antiguo, los cientficos han pensado (y en muchos casos probado) que las leyesque gobiernan la Naturaleza operan de forma ptima para realizar sus propsitos. Un buenejemplo lo tenemos en el comportamiento de la luz, que siempre sigue una trayectoria de tiempo
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mnimo (Principio de Fermat), la forma que adopta una cadena colgante, minimizando tensiones,o la que adopta una gota de lluvia, en su descenso en cada libre. Un anlisis detallado de estosproblemas nos revela en muchos casos la existencia de simetras. Y es que la Naturaleza obra,generalmente, buscando las configuraciones ms simtricas posibles. En este trabajo vamos atratar de mostrar que ambos conceptos optimizacin-simetra estn ntimamente relacionados.
1.1. Rectngulos isoperimtricos
Comencemos con un problema sencillo. Dibujemos en un plano diferentes rectngulos, to-dos ellos con el mismo permetro y comparemos sus reas.
A1
A2
A3
Figura 1. Rectngulos con el mismo permetro.
Observamos que cuanto menor sea la altura mayor deber ser la base, y el rea disminuirhasta hacerse despreciable. De igual modo, cuanto mayor sea la altura menor sera la longitud dela base, y de igual modo el rea del rectngulo ira disminuyendo. Los rectngulos intermediostiene un rea mayor que estos casos extremos, y cabe preguntarse cul de ellos posee el reams extensa. El problema consiste en trazar, mediante un procedimiento geomtrico, los ladosde ese rectngulo de rea mxima.
Este es un problema de mximos que ya aparece en el Libro VI de Euclides, teorema 27.Nuestra demostracin emplear los mismos principios que la de Euclides pero diferir de ellaen el planteamiento exclusivamente y en la notacin empleada.
El rectngulo ABCD de la figura 2 representa supuestamente cualquier rectngulo con un
permetro dado P. Los lados del cuadrado BEFG tiene cada uno 14 P, luego su permetro estambin P. Afirmamos que el cuadrado es la solucin de nuestro problema y que su rea esmayor que la de cualquier rectngulo (no cuadrado) ABCD con el mismo permetro.
X
Y Z
bc
A
bc
G
bc
B
bc Cbc D
bc Ebc F
Figura 2. ABCD es un rectngulo de rea inferior a GBEF.
En efecto, en la figura se observa que el rectngulo rayado Z forma parte del rectngulo
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original y del cuadrado. El rea de cada figura ser por tanto,
Area(ABCD) = Y + Z
Area(GBEF) = X + Z
Ahora bien, AB + BC = GB + BE, valor que coincide con el semipermetro de las figuras. Paraexpresarlo de otro modo
AG + GB + BC = BG + BC + CE
de lo cual se deduce que AG = CE. Esto es, la altura del rectngulo X es igual a la longitud dela base de Y. Sin embargo la longitud de la base de X constituye uno de los lados del cuadrado,mientras que la altura de Y es una parte del lado, y por tanto menor. Resulta claro entonces queX es mayor que Y. En consecuencia,
X + Z > Y + Z
y el cuadrado encierra mayor rea que el rectngulo. La altura de Y dejara de ser solamenteuna parte del cuadrado, slo si ABCD fuera un cuadrado, y entonces BEFG sera el mismorectngulo inicial ABCD. Por consiguiente queda probado que el cuadrado es la figura que encierramayor rea con el mismo permetro.
Este resultado ha sido expresado de la forma que lo hubieran hecho los griegos. Pero tam-bin podramos hacer uso de notacin algebraica, como se hara en la actualidad. Si denotamospor x e y las dimensiones del rectngulo, su permetro ser
P = 2(x + y)
El lado del cuadrado sera l = x+y2 , y su rea
A =
(
x + y
2
)2
Los razonamientos anteriores demuestran que
x y (
x + y
2
)2
o bien
xy x + y2
Esto es, la media geomtrica de dos nmeros reales siempre es menor que su media aritmtica, dndosela igualdad si y slo si x e y son iguales.
De lo anterior se deduce que la solucin ptima al problema se obtiene en el caso de la figuracon mayor nmero de simetras, x = y, es decir, el polgono regular de cuatro lados.
1.2. Un resultado sobre paralelogramos
En la obra de Euclides tambin encontramos el siguiente problema:
Problema: Dado un tringulo ABC, cul es el paralelogramo ADEF inscrito en el tringulo queencierra rea mxima?
La respuesta la ofrece el propio Euclides. Los puntos D, E y F deben ser los puntos mediosde los respectivos lados.
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bc bc
bc
bc bc
bc
bcbc
bc
bc
bc bc
A FF H B
D
GE
D E G
C
Figura 3. ADEF es el paralelogramo de rea mxima en ABC.
bc bc
bc
bc bc
bc
bcbc
bc
bc
bc bc
A FF H B
D
GE
D E G
C
X Y
Z T
Figura 4. Los paralelogramos DDGE y EGFF son iguales.
Es interesante analizar la demostracin de este hecho. Consideremos ADEF un paralelo-gramo inscrito en el tringulo ABC, distinto del paralelogramo ADEF (sobre los puntos me-dios). Sea G el punto de interseccin de las rectas DE y FE, y G el punto de interseccin de lasrectas DE y FE (figura 3).
Probaremos que el rea del paralelogramo ADEF es mayor que la de ADEF.
De la figura 4 se observa que
Area(ADEF) = X + Y
Area(ADEF) = X + Z
Afirmamos que DDGE y EGFF son iguales, esto es, Z + T = Y. En tal caso,
Area(ADEF) = X +Y = X + Z + T = Area(ADEF) + T > Area(ADEF)
obtendramos nuestro resultado. Todo se centra en probar que los paralelogramos DDGE yEGFF son iguales. Para ello recordemos que el rea de un paralelogramo es base por altura.Denotemos por H el punto pie de la perpendicular a |AB| = c trazada desde C, de suerte que|CH| = h, y por h1 la altura del tringulo GEE trazada desde E. Puesto que los tringulo ABC,GEE son semejantes, se tiene:
h
h1=
|AB||GE| =
c
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En consecuencia
|GE| h2=
c
2 h1
esto es, el rea del paralelogramo de base |GE| = |FF| y altura h2 , coincide con la del paralelo-gramo de base |DE| = c2 y altura h1, por lo que EGFF y DDGE son iguales.
1.3. Tringulos en la circunferencia
En la seccin anterior hemos visto cual era el modo de proceder de en la geometra griega.Para un problema de mximos se propona una figura y luego se demostraba que sta era lasolucin ptima. En esta seccin vamos a considerar tringulos inscritos en una circunferencia.Nos preguntamos cul de ellos es el que encierra mayor rea. Siguiendo la filosofa de trabajogriega e intuyendo algn tipo de simetra como en el caso del cuadrado, trataremos de probar,que de todos los tringulos inscritos en una circunferencia, el tringulo equiltero es el queencierra mayor rea.
bc bc
bcC
bc
A
bc B
bcC0
bcA0
bcB0
Figura 5. Tringulos inscritos en una circunferencia.
Es muy probable que este problema fuera estudiado, si no resuelto, en tiempos de Platn,un siglo antes de Euclides. No obstante, ni Euclides, ni libros ms modernos dan la siguientesolucin, que pudo muy bien ser entendida y descubierta por los griegos.
Lo primero que observamos es que al inscribir cualquier tringulo en nuestro crculo, la cir-cunferencia queda dividida en tres arcos iguales en el caso del tringulo equiltero y desiguales
