Ali Cárdenas Microeconomía I La Función de Producción.
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Ali Cárdenas Microeconomía I La Función de Producción
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Ali Cárdenas
Microeconomía I
La Función de Producción
Ali Cárdenas
Microeconomía I
La Función de Producción
La función de producción de una
empresa para un bien en particular (q)
nos muestra cantidad máxima de ese
bien que puede producirse usando
distintas combinaciones de factores de
producción, usualmente capital (k) y
trabajo(l)
Ali Cárdenas
Microeconomía I
El Producto Marginal
Para estudiar la variación causada por un solo factor,
definimos al Producto Marginal (o Producto Físico
Marginal) como el producto adicional que puede ser
generado mediante el empleo de una unidad adicional
de ese factor, manteniendo la cantidad de los otros
factores constante
Ali Cárdenas
Microeconomía I
Productividad Marginal Decreciente El Producto Marginal de un factor dependerá de que tanto de ese factor es empleadoEn general, asumimos que existe una productividad marginal decreciente de ese factor ( al menos en algún punto)Esto no es mas que una “Regularidad Empírica”
Ali Cárdenas
Microeconomía I
Productividad Marginal Decreciente Dada la productividad marginal decreciente, el economista del Siglo XIX, Thomas Malthus genero preocupación acerca del efecto del crecimiento poblacional en la productividad del trabajoPero los cambios en la productividad laboral del trabajo en el tiempo también depende de los cambios en otros factores, como el capitalDebemos por tanto tener en consideración que muchas veces
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Microeconomía I
Producto Medio(Producto Físico Medio)
La productividad del Trabajo es a menudo medida a través de la productividad media (o promedio)
Nótese que el , también depende de la cantidad de capital utilizado
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Microeconomía I
Función de Producción de dos factores
Supongamos que la producción de matamoscas puede representarse por:
Para encontrar y , debemos asumir un valor de k, asumamos
La función de producción se convierte en:
Ali Cárdenas
Microeconomía I
Función de Producción de dos factores
La función de productividad marginal del trabajo es
La cual disminuye a medida que aumenta
Esto implica que tiene un valor máximo en:
Si se emplea trabajo mas allá de , el producto decrece
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Microeconomía I
Función de Producción de dos factores
Para encontrar la función de Producto Medio, mantenemos k= 10 y resolvemos
El alcanza un máximo en:
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Microeconomía I
Función de Producción de dos factores
De hecho, cuando , tanto el como el son iguales a
Por tanto, cuando el esta en su punto máximo, el y el son iguales
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Microeconomía I
Mapa de Isocuantas
Para ilustrar la posible sustitución de un factor por otro sin alterar la producción, usamos un Mapa de Isocuantas
Una Isocuanta muestra aquellas combinaciones de y que pueden generar un nivel dado de producción
Ali Cárdenas
Microeconomía I
Mapa de Isocuantas
Cada Isocuanta representa un nivel diferente de producto
El producto crece a medida que nos movemosa una Isocuanta superior (al noreste)
Ali Cárdenas
Microeconomía I
La Tasa Marginal de Sustitución Técnica (TMST)
La pendiente de la Isocuanta muestra la tasa a la cual puede ser sustituido por sin afectar el producto
- Pendiente = Tasa marginal de Sustitución Técnica (TMST)
TMST > 0 y es decreciente para mayores cantidadesde trabajo
Ali Cárdenas
Microeconomía I
La Tasa Marginal de Sustitución Técnica (TMST)
La Tasa Marginal de Sustitución Técnica muestra la tasa a la cual el trabajo puede ser sustituido por capital mientras que el nivel de producto se mantiene constante (nos mantenemos en la misma Isocuanta)
Ali Cárdenas
Microeconomía I
La TMST y las Productividades Marginales
El diferencial total de la función de producción es:
A lo largo de la Isocuanta, , por tanto
𝑇𝑀𝑆𝑇 ( 𝑙𝑝𝑜𝑟𝑘 )=𝑇𝑀𝑆𝑇 𝑙𝑘=−𝑑𝑘𝑑𝑙 |𝑞=𝑞0=
𝑃𝑚𝑙
𝑃𝑚𝑘
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Microeconomía I
La TMST y las Productividades Marginales
Dado que tanto como ambas son no-negativas, la TMST será positiva (o cero)
Sin embargo, por lo general no es posible derivar una TMST decreciente a partir únicamente del supuesto de productividades marginales decrecientes
Ali Cárdenas
Microeconomía I
La TMST y las Productividades Marginales
Para demostrar qua las Isocuantas son convexas, quisiéramos demostrar que
Dado que
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La TMST y las Productividades Marginales
Usando el que a lo largo de la Isocuanta y el Teorema de Young ()
Dado que asumimos que . el denominador es positivo
Dado que se asume que y son negativos, la razón será negativa si es positiva
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Microeconomía I
La TMST y las Productividades Marginales
Intuitivamente parece razonable el que deba ser positiva
Si los trabajadores cuentan con mayor capital serán mas productivos
Pero algunas funciones de producción tienen <0 en algunos rangos de usos de factores
Cuando asumimos una TMST decreciente, estamos asumiendo que tanto como disminuyen lo suficientemente rápido como para compensar cualquier efecto posible de productividades cruzadas negativas
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Microeconomía I
Una TMST Decreciente
Supongamos la siguiente función de producción
Para esta función de producción:
Estas productividades marginales serán positivas para valores de y para los que
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Microeconomía I
Una TMST Decreciente
Dado que:
Esta función de producción exhibe productividades marginales decrecientes para valores suficientemente grandes de y
y si
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Microeconomía I
Una TMST Decreciente
La diferenciación cruzada de cualquiera de los productos marginales rinde:
La cual es positiva solo para valores de
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Microeconomía I
Una TMST Decreciente
Por tanto, para esta función de producción, la TMST es decreciente a través del rango en el cual las productividades marginales son positivas
Para valores mayores de y , las productividades marginales decrecientes son suficientes para compensar la influencia de valores negativos de para asegurar la convexidad de las isocuantas
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Microeconomía I
Retornos de Escala
¿Cómo responde el producto a aumentos simultáneos de los factores?
Supongamos que se duplica la cantidad de todos los factores ¿Se duplicará el producto?
Los retornos de escala han sido del interés de los economistas desde los días de Adam Smith
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Microeconomía I
Retornos de Escala
Smith identificó dos fuerzas que operan cuando los factores se duplican?
Una mayor división del trabajo y especialización de funciones
Perdida en la eficiencia ya que la gerencia se hace mas difícil dada la mayor escala de la empresa
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Microeconomía I
Retornos de Escala
Si la función de producción viene dada por y todos los factores son multiplicados por la misma constante (), entonces
Efecto en el Producto Retornos de EscalaConstantesDecrecientes
Crecientes
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Retornos de Escala
Es posible que una función de producción presente rendimientos contantes de escala para algunos niveles de usos de factores, y retornos crecientes o decrecientes para otros niveles.
Los economistas se refieren al grado de retornos de escala en con la noción implícita de que solo un relativamente estrecho margen de variación en el uso de factores y su nivel de producción relacionado esta siendo considerado
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Microeconomía I
Retornos Constantes de Escala
Las funciones de producción con retornos constantes de escala son homogéneas de grado uno en los factores
Esto implica que las funciones de productividad marginal son homogéneas de grado cero
Nota Si una función es homogénea de grado n, sus derivadas son homogéneas de grado n-1
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Microeconomía I
Retornos Constantes de Escala
La productividad marginal de cualquiera de los factores depende de la razón de capital/trabajo, no de los valores absolutos de los factores
La TMST entre y depende solo de la razón de a , no de la escala de la operación
La Función de producción será una homotecia es decir una transformación monótona de una función homogénea de grado 1
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Retornos Constantes de EscalaGeométricamente todas las Isocuantas son expansiones radiales una de otra
Las Isocuantas se espacian de forma igual a medida que el producto seexpande
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Retornos de Escala
Los retornos de escala pueden ser generalizados a un función de producción con n factores
Si todos los factores son multiplicados por una constante positiva , tenemos
Si k=1, tenemos rendimientos a escala constantes
Si k<1, tenemos rendimientos a escala decrecientes
Si k>1, tenemos rendimientos a escala crecientes
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Elasticidad de Sustitución
La elasticidad de sustitución (σ) mide el cambio proporcional en en relación al cambio proporcional el la a lo largo de la Isocuanta
El valor de σ será siempre positivo ya que k/l y la TMST se mueven en la misma dirección
Ali Cárdenas
Microeconomía I
Elasticidad de Sustitución
Tanto la TMST como k/l cambiarán al movernos de A hacia B
σ es la razón entre estos cambios proporcionales
σ mide la curvatura de la isocuanta
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Microeconomía I
Elasticidad de Sustitución
Si σ es alta, la TMST no cambiara mucho en relación a k/l
La Isocuanta será relativamente plana
Si σ es baja, la TMST cambiará sustancialmente a medida que k/l cambia
La curvatura de la Isocuanta será pronunciada
Es posible que σ cambie a lo largo de la Isocuanta a medida que la escala de producción cambia
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Microeconomía I
Elasticidad de Sustitución El generalizar la elasticidad de sustituciones al caso de múltiples factores genera diversas complicaciones:
Si definimos a la elasticidad de sustitución entre dos factores como el cambio proporcional en la razón entre dichos factores entre el cambio proporcional de la TMST, necesitamos mantener tanto el nivel de producto como el de los otros factores constante
Ali Cárdenas
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La Función de Producción Lineal
Supongamos que la función de producción es:
Esta función de producción presenta rendimientos de escala constantes
Todas las Isocuantas son líneas rectasLa TMST es constanteσ = ∞
Ali Cárdenas
Microeconomía I
La Función de Producción Lineal El capital y el trabajo son perfectos sustitutos
Ali Cárdenas
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Proporciones Fijas
Supongamos que la función de producción es:
El capital y el trabajo deben siempre ser empleados un una proporción fija
La empresa operara siempre a lo largo del vector donde k/l es constante
Dado que k/l es constante, σ = 0
Ali Cárdenas
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Proporciones Fijas la sustitución entre capital y trabajo no es posible
Ali Cárdenas
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Función de Producción Cobb-Douglas
Supongamos que la función de producción es:
Esta función de producción puede presentar cualquier rendimiento de escala
Si a + b = 1 Retornos de escala constantes Si a + b > 1 Retornos de escala crecientes Si a + b < 1 Retornos de escala decrecientes
Ali Cárdenas
Microeconomía I
Función de Producción Cobb-Douglas
La función de producción Cobb-Douglas es lineal en forma logarítmica:
a es la elasticidad del producto con respecto a k
b es la elasticidad del producto con respecto a l
