UNIVERSIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA DE MEXICO

• Nombre:

Guillermo Hernández Rodríguez.

• Materia:

Algebra Lineal.

• Grado:

Segundo Cuatrimestre.

• Título:

Unidad 3 Actividad 2.

Regla de Cramer.

Instrucciones:

1. Indica cuáles fueron las operaciones que realizaste sobre la matriz asociada al sistema en cada uno de los pasos para resolver el problema de la evidencia de la unidad 2 por el método de Gauss-Jordán.

2. En un nuevo documento de Word, realiza los determinantes D1, D2, D3 y D, asociados a las incógnitas x1, x2, x3 y a la matriz del sistema.

3. Contesta la siguiente pregunta: ¿Qué relación existe entre los determinantes que obtuviste en esta ocasión y las operaciones que realizaste en la evidencia de la unidad 2 para resolver el problema por el método de Gauss-Jordán?

4. Guarda tu documento y envíalo con la siguiente nomenclatura ALI_U3_RC_ XXYZ.

Problema: Sustancias que funcionan como súper proteínas a través de matrices

Instrucciones: Lee el problema y al final, realiza lo que se te pide.

Un grupo de ingenieros en biotecnología realizaron una investigación para crear una sustancia que funcionara como una súper proteína en un tipo especial de microrganismos que habita cerca de una zona petrolera. El objetivo era crear microrganismos más resistentes y en el caso de que existiera algún derrame petrolero cerca de la zona, utilizarlos para la limpieza. Durante la investigación se presentaron muchas dificultades, pues se tenían previstos tres proyectos diferentes, mismos que resultaron en un rotundo fracaso. En cada uno

De éstos se desarrolló una sustancia diferente y cuando se realizaron las pruebas con las sustancias, éstas no mejoraron a los microrganismos como se esperaba, por esto los frascos que contenían las sustancias respectivas de cada proyecto fueron vaciados a un mismo contenedor con capacidad de m litros, el cual se encontraba completamente limpio. Los ingenieros tomaron una muestra de la sustancia que resultó de la combinación de las tres que se vaciaron al contenedor y luego de ponerla en el microscopio observaron los resultados. La muestra era producto de un accidente científico.

Después cada grupo hizo colocó una marca al recipiente que contenía su respectiva sustancia, esto con el fin de tener en cuenta la medida que utilizaron y relacionarlo con el resultado que se obtuvo. Así, volvieron a utilizar la misma medida que vaciaron al contenedor para formar una nueva sustancia, la probaron y el resultado fue exactamente el mismo que el que se encontraba en el contenedor.

Por consiguiente, se dieron cuenta que nadie sabía exactamente la cantidad que depositaron de la sustancia, sin embargo tenían el recipiente en el que señalaron la

medida. Para saber las cantidades exactas, sugirieron formar un sistema de tres ecuaciones y así encontrarían los valores exactos de los recipientes de cada uno de los grupos, entonces realizaron las siguientes pruebas:

1. Utilizaron 2 vasos de la

Primera sustancia, 2 vasos de la segunda y un vaso más de la tercera y obtuvieron 4.5 litros de la sustancia final.

2. Utilizaron 4 vasos de la primera sustancia, 6 vasos de la segunda y 3 vasos más de la tercera, y obtuvieron 12 litros.

Nota: Para encontrar lo que se te pide supón que en las primeras dos pruebas (la del accidente y la repetición del mismo) se colocaron 6 vasos de la primer sustancia, 9 vasos de la segunda y 7 vasos de la tercera.

Indica cuáles fueron las operaciones que realizaste sobre la matriz asociada al sistema en cada uno de los pasos para resolver el problema de la evidencia de la unidad 2 por el método de Gauss-Jordán.

• Utiliza el método de Gauss Jordán para encontrar la cantidad en litros que se colocó en cada vaso de la primera, segunda y tercera sustancia.

Desarrollo:

Sistema de ecuaciones lineales:

Accidente y su repetición: 1) 6x + 9y + 7z = mPrueba 1: 2) 2x + 2y + z = 4.5 Prueba 2: 3) 4x + 6y + 3z = 12

Al ser estas ecuaciones un sistema que representan a un solo vector tiene infinitas soluciones, por ello a “m” se le asignará un valor arbitrario de 20, quedando:

Accidente y su repetición: 1) 6x + 9y + 7z = 20Prueba 1: 2) 2x + 2y + z = 4.5 Prueba 2: 3) 4x + 6y + 3z = 12

Sustitución:

A= 221463697 B=4.51220 → AB=2214636974.51220

Desarrollo:

2214636974.51220-3R1+ R3→R3 2214630344.5126.5 -2R1+ R2→R2 2210210344.536.5

-R2+ R3→R3 2210210134.533.5 12R2→R2 22101120134.5323.5 -R2+ R3→R3 221011200524.53221

25R3→R3 22101120014.53245 12R1→R1 11120112001943245 = 110.5010.50012.251.50.8 -R2+ R1→R1

100010.50010.751.50.8 -0.5R3+ R2→R2 1000100010.751.10.8

Resultados:

x= 0.75 litros de la primera sustancia.

y= 1.1 litros de la segunda sustancia

z= 0.80 litros de la tercera sustancia

Comprobación: por medio de la sustitución en alguna ecuación, en este caso ecuaciones; 1, 2 y 3.

1) 6x + 9y + 7z = 20 →60.75+91.1+70.8=20 4.5+9.9+5.6=20 20=20.

2) 2x + 2y + z = 4.5 → 20.75+21.1+0.8=4.5 3+6.6+2.4=4.5 4.5=4.5

3) 4x + 6y + 3z = 12 → 40.75+61.1+30.8=12 3+6.6+2.4=12 12=12

En un nuevo documento de Word, realiza los determinantes D1, D2, D3 y D, asociados a las incógnitas x1, x2, x3 y a la matriz del sistema.

Sistema de ecuaciones lineales:

Accidente y su repetición: 1) 6x + 9y + 7z = mPrueba 1: 2) 2x + 2y + z = 4.5 Prueba 2: 3) 4x + 6y + 3z = 12

Sustitución:

A= 221463697 B=4.51220 → AB=2214636974.51220

Para el determinante D.

A=221463697→ A=D→D= 221463697 =26397-2 4367+ 1 4669

D=2 67- 93- 247-63+ 1 49-66

D=2 42-27- 228-18+ 1 36-36 → D=2 15- 210+ 1 0 → D=30- 20+0 →D=10 Para el determinante D1.

A1=4.52112632097→ A1= D1→D1= 4.52112632097 =4.56397-2 123207+ 1 126209

D1=4.5 67- 93- 2127-203+ 1 129-206

D1=4.542- 27- 284-60+ 1 108-120 → D1=4.515- 224+ 1 -12 → D1=67.5- 48-12D1=7.5

Para el determinante D2.

A2= 24.5141236207→ A2= D2→D2= 24.5141236207 =2123207-4.5 4367+ 1 412620

D2= 2 127- 203- 4.547-63+1 (4)20-612

D2= 284- 60- 4.528-18+ 1 80-72 → D2=224- 4.510+ 1 8 → D2=48-45+8 →D2= 11

Para el determinante D3.

A3=224.546126920→ A3= D3→D3= 224.546126920 =2612920-2 412620+ 4.5 4669

D3=2 620- 912- 2420-612+ 4.5 49-66

D3=2120- 108- 280-72+ 4.5 36-36 → D3=212- 28+ 4.5 0 → D3=24-16+0 →D3=8

Se dividen los resultados entre el determinante total.

x1= D1D → x1= 7.510 → x1= 0.75

x2= D2D→ x2= 1110 → x2= 1.1

x3= D3D→ x3= 810→ x3=0.8

¿Qué relación existe entre los determinantes que obtuviste en esta ocasión y las operaciones que realizaste en la evidencia de la unidad 2 para resolver el problema por el método de Gauss-Jordan?

Si, ya que ambos problemas se resolvieron a partir de la siguiente matriz

2 2 1 4.54 6 3 126 9 7