ALTERNATIVAS PARA UNA FUNDAMENT ACIÚN … · siempre la relación de una hipótesis H y unos datos...

ALTERNATIVAS PARA UNAFUNDAMENT ACIÚN LÚGICA DE LA

LÚGICA INDUCTIVA EN R. CARNAP

Diego Aísa Moreu

LA LÓGICAINDUCTIVA surge como una precisión del razo-namiento Inductivo en el marco de la teoría. de la proba-bilidad. Para Carnap hay dos conceptos de Probabilidadfundamen talmen te :

Probabilidadl: La probabilidad como Grado de Confir-mación de una hipótesis H por una información observacio-nal o proporción de Evidencia E.2

Probabilidad2: La probabilidad como límite de frecuen-cias relativas.

En el primer concepto se trata de un concepto lógicode Probabilidad. En el segundo, por el contrario, se tratade un concepto empírico de probabilidad. Un enunciadosobre Probabilidadl es siempre analítico, esto es, es siempreanalíticamente verdadero o falso, mientras que un enuncia-do sobre Probabilidad2 es empírcio, ya que habla de la fre-cuencia relativa de una determinada propiedad (o clase)dentro de otra clase de individuos llamada "clase de refe-rencia" .

Ambas concepciones o Interpretaciones de la probabi-lidad son necesarias y útiles en las diversas investigaciones

1 No debe confundirse el cálculo abstracto de probabilidadesmatemático, ajeno a las interpretaciones, con las interpretacionesdel mismo.

2 La relación de confirmación es entre sentencias o proposi-CIOnes.

523

11'1

524 Alternativas para una fundamentación lógica...

científicas, y en todo caso se puede establecer un puenteentre ella. La lógica Inductiva Carnapiana se basa en elconcepto de Probabilidad}, o de grado de confirmación" entresentencias o conjuntos de sentencias (o proposiciones, segúnse trate de los sistema de 19503 ó 1971 4).

Intuitivamente hablando, un razonamiento Inductivo eslo contrario de uno deductivo. El silogismo deductivo vade lo general o más conocido a lo menos general o menosconocido. Lo contrario ocurre en el silogismo Inductivo:se pasa de una sentencia o conjunto de sentencias singula-res a una sentencia general o al menos a una sentencia oproposición que no se deduce lógicamente de la sentenciao sentencias de partida (premisas). Esta es la idea clásicade la Inducción. (27t:aI0)'í~)desde Aristóteles, para quien elrazonamiento deductivo constituye casi exclusivamente elsilogismo. 5 Esta es la misma Idea de la Inducción que Humecritica (la generalización injustificada de sentencias; en sulenguaje exacto lo que critica es la validez de enunciadosdel tipo "A es la causa de B") al atacar el principio decausalidad.6 Esta misma Idea de la Inducción es la defen-dida por J. S. Mill apoyado en ideas de F. Bacon.7 Paraéstos la tarea de la Inducción es la generalización de Leyesy el descubrimiento de causas. En esto éonsisten los famo-sos mecanismos de la Inducción por Confirmación y elimina-ción de MilI. Esta pretensión sin embargo de encontrar unaespecie de máquina para descubrir automáticamente leyesgenerales parece una mera fantasía, ya que incluso en lalógica de predicados de primer Orden no hay un mecanismoautomático de decisión para establecer si una fórmula es ono una consecuencia lógica del cálculo, como A. Churchmostró en 1936. 8

3 Vid. Carnap [4] (Bibliografía).4 Ibíd. Carnap [6] (Bibliografía).5 Aristóteles [1] 68b 34.6 En D. Hume [1] vol. 1 parte III.7 En J. S. Mill [16] libro III, cap. VIII. Un estudio muy intere-

sante está en von Wright [21].8 Vid. Hermes. "Aufzahlbarkeit, Entscheidbarkeit, Berechen-

barkeit", págs. 165-172.

Alternativas para una fundamentación lógica... 525

Para Carnap la lógica Inductiva (es cuestionable si estenombre no induce a error) tiene un carácter diverso y sutarea no es la generalización de Leyes. Su aspiración es sólomedir el grado (a ser posible cuantitativamente) de implica-ción parcial (enteilment) de una proposición-hipótesis H enuna proposición -evidencia E. La idea de poder normalizarla probabilidad de sentencias (proposiciones) 9 entre los valo-res uno (tautología) y cero (contradicción) se debe a L. Witt-genstein.10 El primero que trabajó sin embargo de unamanera sistemática con proposiciones como argumentos delas funciones de Probabilidad fue J. M. Keynes, para quienla probabilidad se concibe como una relación lógica y obje-tiva entre dos conjuntos de proposiciones.11 Con ello lalógica Inductiva resulta una teoría sostenible, ya que desdeun punto de vista lógico resulta analítica. Entre los dos valo-res extremos cero y uno (prácticamente irrelevantes paralógica Inductiva) se sitúa toda la escala de las proposicionesempíricas a quienes les corresponde como valores probabili-tarios números distintos de cero y uno.

Es importante la distinción entre lógica Inductiva puray Lógica Inductiva aplicada. La inferencia inductiva suponesiempre la relación de una hipótesis H y unos datos deobservación E. Desde un punto de vista teórico la lógicaInductiva sólo mide el grado de probabilidad lógica de lahipótesis con respecto a la evidencia. Desde un puntode vista práctico, la hipótesis H puede ser relevante paratomar una decisión, por lo que sería deseable saber el gradoabsoluto (no relativo con respecto a E) de la hipótesis H.Esto, sin embargo, que sería aproximadamente la preten-sión clásica de la Inducción, no es posible sin más. Técnica-mente hablando, esta cuestión se reduce a la de encontraruna regla de Inferencia inductiva paralela al Modus ponensen la lógica deductiva. La situación descrita puede aclararsepor comparación de la lógica inductiva con la lógica de-ductiva:

9 La distinción entre proposición y sentencia viene más tarde.10 Vid. 1. Wittgenstein. Tractatus [20] punto y ssq.11 J. M. Keynes. [15].

I

I

526 Alternativas para una fundamentacíón lógica...

(1) Silogismo de tipo inductivo-estadístico.

Evidencia E (Premisas).

(a) El 70 por 100 de los suecos son católicos.(b) Petersen es sueco.

Hipótesis (Conclusión)

(e) Petersen es sueco con una probabilidad del 70por 100.

¿Qué significa la conclusión de que "Petersen es sueco"con una probabilidad 0.70? Lo interesante en una conclusiónde este tipo es la afirmación de que Peterson es católico ono es católico; de lo contrario el enunciado resulta indefi-nido en cuanto a su valor de verdad. Por muy importanteque pueda ser concluir absolutamente en este. tipo de silo-gismos, lo cierto es que ello es i1egítimo~ como veremos.La hipótesis (e), correctamente enunciada, por ejemplo, den-tro de la lógica inductiva carnapiana diría:

(e') "El grado de probabilidad de que Petersen sea cató-lico, dado el informe de evidencia E, es 0.70". En símbolos:

(1) "C(H/E) = 0.70"

que se puede leer: "el grado de confirmación (probabilidadl)de H dada E es 0.70". "C" es el functor de probabilidad ogrado de confirmación carnapiano.

La lógica Inductiva sólo establece que el grado de con-firmación (o la relación de confirmación dado métricamente).entre dos enunciados o proposiciones.

Establecer una conclusión como (1) (e), de carácter abso-luto (sin referencia a las premisas), está abierto al menosa dos objeciones: la primera es que, como ya se ha men-cionado, es un enunciado veritativamente indefinido, y porello ni verificable ni falsable. La segunda es que no se de-duce de las premisas lógicamente. Si se reduce a "Petersenes católico", el problema primero se resuelve, pero el segundoaumenta. Ante la alternativa de respetar el carácter rela-


cional de los enunciados probabilitarios como en (c')~ oseparar la conclusión sin más de las premisas, no cabe dudade que la primera es una solución más plausible. Sin em-bargo un enunciado de probabilidad como el expresadoen (c') está abierto a la siguiente objección pragmática: enorden a tomar una decisión para un determinado acto, ¿cómose han de aplicar los enunciados probabilitarios tipo (c'), siéstos son según Carnap, analíticos? Sea dado otro ejemplotipo (c'), sea o no de tipo estadístico:

(2) Enunciado de probabilidad! carnapiano.

"El grado de probabilidad de que mañana llueva conrespecto a la situación atmosférica actual y las leyes mete-reológicas conocidas es 0'82". (En símbolos; "C(H/E =0.82").

¿Cómo se ha de aplicar un enunciado tal si para unapersona X es importante el hecho de que mañana llueva -ono? (Supongamos, por ejemplo, que X trabaja sólo los díasque no llueve).

Ante esta legítima pregunta-objección hagamos- algunasconsideraciones:

Primero. Una inferencia Inductiva contiene como hipó-tesis H una afirmación que excede lo afirmado en las pre-misas o evidencia E. Por ello no es nunca una consecuencialógica en el sentido de la lógica deductiva, y por ello mismonunca será legítimo separarla sin más de las premisas.

Segundo. La objeción práctica vale contra tales enun-ciados probabilitarios~ ya que si bien teóricamente son per-fectos, desde el punto de vista pragmático resultan in-aplicables.

Tercero. Ante este callejón sin salida Carnap encontróuna solución al introducir en su lógica Inductiva las fun-ciones de Creencia. 12 Estas funciones son el núcleo dentro

12 Vid. Carnap [6] pág. 7-31. íd. StegmüIler. [19] págs. 389-417.No nos detenemos en esta cuestión por caer fuera del propósito deeste trabajo. Carnap define el valor de un Acto A para una personam

7

-- - ---- - - -- -

II


de la teoría de la decisión racional normativa que Carnapconstruye. 12 Lo importante para una decisión no es directa-mente una función de Confirmación C(H/E), sino las funcio-nes de creencia en una hipótesis H ("Cr(H)").- Por un métodoracionalmente construido en cuyo contexto Carnap demues-tra qué funciones de creencia es racional aceptar, las fun-ciones de confirmación son reducibles a las funciones decreencia. De este modo ya es posible hacer decisiones basa-dos en enunciados probabilitarios, basados en las funcionesde confirmación. El valor de un acto determinado Am queun individuo X fuera a realizar dependería por una parte dela Utilidad U que este acto Am tuviese en combinación delos posibles estados relevantes de la naturaleza H1 Hnpara X en el tiempo T (esto es, de la utilidad de los posibles

resultados RX.T(Am,Hl) Rx,T(Am,Hn)) y por otra partede la creencia de X en las diversas hipótesis o estados dela naturaleza H1 Hn, relevante para X en el tiempo T.

Frente a la lógica lnductiva un silogismo deductivo pre-senta la siguiente situación:

(3) Silogismo deducitvo:

Premisas (Evidencia) E:

(a) Todos los hombres son mortales.(b) Sócrates es un hombre.(c) Conclusión (hipótesis) H:Sócrates es mortal.

Aquí la conclusión (c) se deduce lógicamente de las pre-misas. Este tipo de argumentos no presenta ninguna dificul-tad, pues hay una implicación total de las premisas E enla conclusión H. Utilizando el concepto semántica de "ran-go" de una sentencia, podemos decir que en el caso deduc-tivo el rango de las premisas está incluido en el de laconclusión, mientras que en el caso inductivo el rango

X en el tiempo T. ("D" es la función de utilidad; "R" es el "resul-tado de" y "Cr( )" la función de creencia.


de las premisas sólo está parcialmente incluido en el da laconclusión. 13 Utilizando el concepto de "Interpretación" sepuede afirmar lo mismo; en el caso deductivo toda inter-pretación que hace verdadera a las premisas hace verdaderaa la conclusión, mientras que en el caso Inductivo hay inter-pretaciones que hacen verdaderas a las premisas y no a laconclusión. Finalmente si se utiliza el concepto de "Modelo"decimos que en el caso deductivo, todo el conjunto de Mo-delos de las premisas está incluido en el de la. conclusiónmientras que en el caso Inductivo sólo hay una inclusiónparcial entre ambos conjuntos de Modelos.

En la siguiente figura la situación se muestra gráfica-mente :

Caso deductivo Caso lnductivo

H LI E r

H

Una de las condiciones necesarias en la lógica IndicativaCarnapiana es que ésta satisfaga las leyes generales de lateoría abstracta de la probabilidad, en cuanto aquélla seasienta sobre ésta. Una vez fundamentada se extiende lateoría inductiva en diversas etapas, cosa que no hacemosen el presente trabajo por estar fuera de su interés.

El lenguaje de la lógica lnductiva Carnapiana

Dos propuestas fueron hechas por Carnap en lo referentea la elección del lenguaje para su lógica Inductiva.14 En elsistema de 1950 los argumentos de la función de probabili-dad (confirmación) C eran sentencias y el lenguaje quesubyacía ahí era un lenguaje sentencial especificado porvariables individuales, constantes individuales, predicados

13 Las definiciones de "rango", "Interpretación" y "Modelo" seintroducen más tarde.

14 Vid. Carnap [4] y [6] donde se exponen respectivamente losdos sistemas fundamentales de su lógica Inductiva.

-- --

Il.


n-ádicos así como los signos lógicos de costumbre incluidoslos cuantificadores universal y particular y el signo extraló-gico de la identidad. El número de individuos se suponíafinito o a lo sumo numerable, y el de predicados se suponíafinito. El concepto básico de aquel sistema era el conceptosemántica de rango definido sobre la base del concepto dedescripción de Estado. El sistema presentado no era axiomá-tico, sino introducido mediante definiciones. .

En el sistema de 1971 en lugar del lenguaje sentencial .

se introduce uno de conjuntos. Los argumentos de la fun-ción C, de grado de confirmación, no son ya sentencias sinoproposiciones (por proposición no hay que entender más elconjunto de modelos que satisfacen una determinada funciónproposicional (P. e. "Fa" y "Fb", etc., satisfacen "Fx"). Elconjunto de individuos no precisa ahora ser numerable, asícomo se introduce también la posibilidad de predicados queexpresan un continuo de valores. El concepto básico de laLógica Inductiva resulta ser ahora el de Modelo. Medianteel nuevo lenguaje se introducen ahora importantes ventajastécnicas: en primer lugar, al referirse el lenguaje a las enti-dades mismas como proposiciones, modelos, individuos,atributos, etc., y no a las correspondientes entidades lingüís-ticas, se puede atribuir la probabilidad a muchas másentidades que a sentencias expresables en un sistema lin-güístico usual, pues el número de proposiciones es muchomayor que el de sentencias. En segundo lugar, mediante laidentificación de los modelos con los puntos de un espacioprobabilitario hace posible a Carnap introducir en su nuevosistema las modernas teorías de la medida y de la proba-bilidad. 15

Nuestro propsóito en este trabajo es la presentaciónsimultánea de las dos fundamentacinones lógicas de la pro-babilidad expresada en los dos lenguajes explicitados arribay demostrar que lo que era válido en el sistema de 1950,vale también en el de 1971 con supuestos más débiles.

15 StegmüIler. [19] pág. 418.

----


LENGUAJE SENTENCIAL: L¡

Introducimos aquí el aparato mínimo necesano parapoder formular nuestro propósito. Primero Reglas. de For-mación de sentencias.

Una fórmula atómica es una que consta de un predicadon-ádico seguido de un n-tuplo de individuos.

Una fórmula atómica constituye una sentencia atómica.Una sentencia atómica o su negación se llama Sentencia

básica.

Un par básico consta de una sentencia atómica y de su

negación {A, lA}Sentencia molecular es la que contiene solamente senten-

cias atómicas como componentes.Sentencia general es la que contiene al menos un cuan-

tificador.

Sentencia de identidad es la que contiene el signo "="con dos constantes individuales a ambos lados.

Una Descripción de Estado E es una conjunción de sen-tencias que contiene exactamente como componentes unasentencia de cada par básico, estando ordenadas las senten-cias componentes por orde.n de índices.

Rango de una sentencia ("r( )") es la clase de todasaquellas descripciones de Estado en que esta s~ntencia valecomo componente o subconjunción. Lo mismo se puededefinir como la clase de todas aquellas interpretaciones (oModelos) en que esta sentencia está satisfecha.

Segundo: Reglas de Rangos.El rango de una sentencia atómica (r(A)) es la clase de

todas las descripciones de Estado E en que esta sentenciavale.

El rango de un tautología (r(t)) es la totalidad de lasdescripciones de estado. (r(t)) = (U(E)) donde U(E) esaquí el universo de todas las descripciones de Estado. (Paraun lenguaje especificado L de L¡.)

r( lA) es igual U(E) - r(A).r(i t) es igual a la clase vacía.


r(A V B) es igual a r(A) u r(B).r(Vx Px) es igual a u i r(Px¡).

Median te el concepto" de rango definido se puede exten-der fácilmente al caso de la conjunción, implicación, etc. LosL-conceptos se pueden definir asimismo con la ayuda delconcepto de rango. En el caso de que tengamos como baseun lenguaje Ll puede precisarse el concepto de rango me-diante el de Interpretación de la siguiente manera. 16

El rango de una sentencia es el conjunto de interpreta-ciones en que esta sentencia está satisfecha. Para que el con-cepto de Interpretación y el de descripción de Estado coin-cidan en este contexto es necesario fijar para cada individuode nuestro universo del lenguaje L, la misma interpretaciónen todos los casos.

Introduzcamos un ejemplo que aclare las dos situaciones:Sea nuestro lenguaje L, que conste de dos individuos al Yaz y de un sólo predicado P. El número de descripcionesde Estado es siempre 2n donde n representa aquí el númerode sentencias atómicas de que consta nuestro lenguaje.Como hay sólo dos posibles sentencias atómicas para L(Pal Y Paz) en este caso concreto tenemos 2z = 4.

1. Pal 1\ Paz2. Pal 1\. I Paz3. I Pal 1\ Paz4. ! Pal /\ I Paz

Dada una sentencia del lenguaje L, p. e., "Pa¡", resultaque r(Pal) es igual a {Pal 1\ Paz, Pall\ I Paz} , es decir a laclase de aquellas descripciones de Estado en que Pal valecomo componente. Pal es equivalente a la disyunción de lasdescripciones de Estado 1 y 2. Fijando para al Y az la mismainterpretación se obtiene el mismo resultado.

16Para el concepto de Interpretación, vid. p. e. J. Mosterín,Lógica de primer orden, ed. Ariel. Barcelona, 1970.

- - - -


LENGUAJE DE MODELOS: Lz

El último sistema desarrollado por Carnap está expresadoen un lenguaje de Modelos. Los argumentos de las funcionesC y M (medida) son proposiciones. Una proposición es equi-valente al conjunto de modelos en que esta proposición valecomo componente. La idea sigue siendo la misma que antes:cuando se trataba de sentencias, el rango de una sentenciaequivalía a una serie de descripciones de Estado;. ahora, enlugar de las descripciones de Estado, tenemos Modelos.. Eneste sistema los elementos básicos son los individuos, atri-butos, proposiciones y Modelos.

Un Modelo es una función biargumental Z tal que paracada familia Fm y para cada individuo aj, se le asigna exac-tamente un atributo de P, donde Fm es una familia deatributos.

Un Modelo dice únicamente que tales individuos deter-minados tienen tales atributos determinados de suerte queningún individuo puede tener dos atributos distintos a lavez, ya que los atributos de que consta cada familia sesuponen disjuntos entre sí. El concepto de Modelo es total-mente extensional, ya que sólo es una asignación de indi-viduos a atributos, mientras que el de interpretación esintensional, pues es dar un significado a unos predicados.Los Modelos se pueden caracterizar como funciones de laforma Z (m, i) = j, donde m es una variable de índice defamilia; i, es una variable de índice de individuo, y j, es unavariable de atributo. Supongamos que un lenguaje L' de Lzconste de dos individuos al Y az Y dos predicados PI y Pz.Entonces el conjunto de Modelos que podemos formar es2z = 4, Y en general kn, donde k es el número de atributosy n el número de individuos ahora.

1. Plal /\ P1az2. Plal /\ Pzaz3. PZal /\ Plaz4. Pzaz /\ Pzaz.


Se trata aquí de cuatro Modelos posibles (Posibles situa-ciones). Los atributos P1 y P2 son incompatibles. Signifiquenp.e. "Blanco" y "Negro" respectivamente.

La importancia que tiene esta definición de Modelo con-siste en que al ser definido como una función Z puramentematemática, ya que sus argumentos son números, cabe laposibilidad de introducir en lugar del segundo argumentoi, k-tuplos de números (i¡ ik)cuando en lugar de predicadosmonádicos se trata de relaciones k-ádicas. En lugar de jasimismo existe la posibilidad de introducir el conjunto delos números reales de un cierto intervalo. En suma, el nuevosistema ofrece la posibilidad de que el nuevo sistema in-corpore las modernas teorías de la probabilidad. Un lenguajecuyos individuos fuesen puntos espacio-temporales podríaser expresado en un lneguaje como el indicado.

Una vez que se dispone del concepto de rango en algu-no de los sentidos indicados,. se puede iniciar la construcciónde la lógica Inductiva. Partiendo del hecho de que en todolenguaje tenemos dos sentencias límite, la tautología (pro-posición necesaria) y la contradicción (proposición imposible)y que toda sentencia (proposición) está dentro de estas daslímite, se pueden obtener medidas de probabilidad paraellas atribuyendo distintas medidas para las descripcionesde Estado (Modelos), que representan los puntos elementa-les del espacio de probabilidad. La relación de confirmaciónes entre sentencias o proposiciones, y mediante los modeloso descripciones de Estado se pueden establecer proporcionesentre aquéllas.

La función de probabilidad "p" de los cálculos abstractosde la probabilidad representa una función de probabilidadabsoluta, no condicionada a datos de evidencia. En la lógicaInductiva carnapiana toma su lugar la función de medida"M", que es una función de medida absoluta de proposicio-nes o sentencias. La función de confirmación e representauna función relativa siempre a una evidencia. Existe la posi-bilidad de definir M sobre la base de e cuando la informa-ción o evidencia es nula o tautológica. ("M(H) = C(Hjt)")La medida de H es igual al grado de confirmación de Hcuando la evidencia es tautológica.


DISCUSIÓN SOBRE LA FORMULACIÓN DE LAS FUNCIONES

M y C REGULARES

Las funciones regulares son aquellas funciones de con-firmación que satisfacen determinados requisitos llamados deregularidad. Estos requisitos fueron postulados por Carnapde manera intuitiva en Logical Foundations of Probability(1950). En Studies in inductive Logic and Probability (1971)se da una fundamentación dentro de la teoría de la decisión.Estos requisitos que debe satisfacer toda función de confir-mación que además sea regular son:

C(H 1\ H' lE) = C(H/E) X C(H' IH !\ E).

K4: Principio especial de adición.

Si E 1\ H 1\ H' es L-falsa, entoncesC(H V H' lE) = C(H/E) + C(H'lE).

Ks: Postulado del valor máximo.

C(t/E) = 1, donde "t" es una tautología, y E sesupone no L-falsa.

K6: Postulado del valor positivo.

Para cada descripción de Estado E en L C(E/t) > O.

Estas convenciones son los mínimos requisitos para quequien haga una decisión basado en la función C sea racional.Estas seis convenciones constituyen las condiciones de regu-laridad. 17 lntuitivamente dicen que sentencias equivalentes nocambian el valor C de probabilidad (K1 y K2); que la con-

17 Carnap. [6] pág. 105 ssq. íd. StegmüIler. [19] pág.436.

K1 : Si 1- E +- E', entonces C(H/E) = C(H/E')

K2: Si 1- H +--> H', entonces C(H/E) = C(H' lE)

K3: Principio general de multiplicación.


junción de dos sentencias dada otra es igual a la multipli-cación indicada arriba (K3); que la disyunción de dossentencias cuya conjunción es incompatible dada otra, sumansus probabilidades respectivas (K4); que el valor máximode la probabilidad es para la tautología (Ks), y que la pro-babilidad de una situación posible es positiva (K6).

Estas condiciones las formuló Carnap axiomáticamentesimplificándolas. Aquí nos referimos sólo al sistema de 1971.

Una C-función que satisface las convenciones K1-K6o losaxiomas A-1 a A-6 es una función regular de confirmación.La diferencia entre los sistemas de 1950 (convenciones) y1971 (axiomas) es que en el primero :estas convencionesestán propiamente fuera de la teoría, ya que son estipula-ciones intuitivas que debe satisfacer la lógica inductiva, queluego se introducen por definición. En el segundo Carnapda una justificación dentro de la teoría de la decisión. Ade-más las condiciones del segundo sistema están más débil-mente enunciadas. Tanto las convenciones como los axiomas

son sólo condiciones necesarias, pero no suficientes para quelas funciones de confirmación sean plausibles en cada caso.

---

A-l Axioma del límite inferior

C(HjE) o.

A-2 Axioma de autoconfirmación

C(EjE) = 1.

A-3 Axioma del complemento

C(HjE) + (C(iHjE) = 1.

A-4 Axioma general de multiplicación

C(HnH'jE) = C(HjE) X C(H'jHnE).

A-5 Axioma de regularidad

Si H Y E son moleculares y HnE *- 0, entonces:C(HjE) > O.


Las definiciones que fundaban el sistema de 1950 eran tres,de las cuales mostraremos que sastifacen las convencionesK1 a K6.

D-l M es una función regular de Medida syss:

(a) para cada descripción de Estado E m(E) > O.

(b) La suma de todas las descripciones de estado esigual a 1. En símbolos: ~ m (EJ = 1.

i=l

D-2 Sea m una función regular de medida. Entonces: 18

(a) Si 1- \ A, entonces meA) = O.

(b) Para cada sentencia A no lógicamente falsa:

meA) = ~ m(E ( r(A)).

(b) La suma de una sentencia es igual a la suma detodas aquellas medidas de las descripciones de Es-tado que abarca el rango de A.

D-3 C es una función regular de confirmación syss parauna función m de medida y dos sentencias cualesquieraH y E vale:

Si m(E)"* O, entonces C(HjE)m (H /\ E)

m (E)

Esta definición se ha obtenido recursivamente mediante m.Se podría prescindir de m con la convención de que m(H)= C(Hjt), donde t es una tautología cualquiera. Entoncesla definición D-3 resulta:

D-3' C(HjE) =C(H /\ Ejt)

C(Ejt)

Nótese que la lógica inductiva parte de la definición de pro-babilidad condicionada de H con respecto a E. De estas tres

18Es indiferente si escribimos "m" o "M". En mabos casos setrata de la misma función de medida de la probabilidad.

---


definiciones D-l y D-2 YD-3 se puede deducir todo el sistemade 1950, con ayuda de algunos teoremas matemáticos sub-sidiarios. Mostraremos ahora que tanto las definiciones D-la D-3 como los axiomas A-l a A-5 satisfacen las primerasconvenciones de Carnap.

Pruebas:

D-l a D-3 satisfacen las convenciones Kt-K6.

D-l a D-3 satisfacen trivialmente las convenciones Kt y K2.

D-l a D-3 satisfacen K3: C(H /\ H'jE) = C(Hj3) X C(H'jH/\ E).

Prueba: Baste para ello deducir de D-3 la convencióri K3.

(1) C(H /\ H'jE) = m(H /\ H' /\ E)jm(E) por D-3.

(2) C(HjE) = m(H /\ E)jm(E) por D-3.

m(H /\ H' /\ E) X C(HjE)(3) C(H /\ H' jE) = pues

m (H /\ E)m(E) = m(H /\ E)jC(HjE) a causa de (2). (3) resulta desustituir m(E) en (1).

(4)m(E /\ H 1\ H') X C(HjE)

m(EI\H)(HjE) por D-3.

C(H'jE 1\ H) X C

(5) El teorema tras sustituir el segundo miembro de laigualdad de (4) en (3).

D-l a D-3 satisfacen la convención K4: C(H V H'jE) = C(HjE) + C(H'jE) para el caso en que E j\ H /\ H' sea L-falsa.Prueba: Se deduce de D-3 con ayuda de la lógica Sentencia!.

(1) C(H y H'jE) =m«H 1\ E) V (H' 1\ E))

m (E)por D-3.


(2) m«H 1\ E) V (H' 1\ E» = ~ m(E € r«H 1\ E) Y (H' /\E») = ~ m(E € r(H 1\ E) U r(H' 1\ E) - ~ m(E € r(E1\ H 1\ H'» por D-2 (b) Y reglas de rangos.

(3) Puesto que por suposición 1- E 1\ H 1\ H' es L-falso, sumedida m es cero por D-2 (a). Por tanto:

(4) m«H 1\ E) V (H' 1\ E» = ~ m(E€ r(H 1\ E) + ~ m(E €r(H' 1\ E» = m(E 1\ H) + m(E 1\ H') por D-2 (b).

(5) Aplicando (4) en (1) resulta: C (H V H'¡~) = m(H /\E)jm(E) + m(H' 1\ E)jm(E) = C(HjE) + C(H' jE) porD-3.

D-I a D-3 satisfacen la convención Ks: C(tjE) = 1~ para Eno L-falsa.

Prueba:

(1) Sea "t" p. e. la tautología: HV I H.

(2) C(H V ') HjE) = m(E)jm(E) = 1 por lógica sen ten-cial y D-3.

D-I a D-3 satisface la convención K6: C(Ejt) > O.

Prueba:

(1) C(Ejt) = m(E) por D-3'.

(2) m(E) > O por D-l (a).

Con ello ha quedado demostrado que las definiciones D-la D-3 son al menos suficientes para deducir Kj(j = 1, 2.. ..6).

Semejantemente puede hacerse para los axiomas A-l aA-5. Las convenciones K¡ y Kz se deducen fácilmente deellos. La condición K3 es equivalente al axioma A-4. (Aquíen un lenguaje de conjuntos). La condición K4 se deduce deA-3, A-4 Y algunas transformaciones elementales de con-juntos. En efecto:


De A-3, A-4 Y álgebra de clases se deduce K4: C(H UH' lE) = C(H/E) + C(H' lE) para el caso de que H rH' n E = $25.

Prueba:

(1) C(H n H'/E) = O por suposición de K4. (Y A-3.)

(2) C(H U H' lE) = C«H U H') n H/E) + C«H U H') n .

"1 H/E) = C(H/E) + C(H' n I H/E) ; C(H'lE - C(H nH' lE) = C(H' lE) = C(H' n "1HJE) pues C(H' lE) =

C(H' n H/E) + C(H' n J H/E) por A-3, A-4 Y lógicade conjuntos.

Con ello tenemos el teorema tras sustituir (3) en (2).

De A-3 se deduce directamente la convención Ks.

De A-5 se deduce directamente la convención K6.

Finalmen te deseo agradecer a la FUNDACIÓNJUANMARCHque ha accedido al permiso para la publicación de este tra-bajo, bajo cuya financiación hemos podido realizar estudiosespeciales sobre el tema "Inducción y teoría de la probabi-lidad". Deseo expresar también mi agradecimiento al pro-fesor J. Acero de la Universidad de Barcelona por haberleído el trabajo y propuesto algunas enmiendas importantes.Por último agradezco al profesor W. K. Essler, en uno decuyos seminarios me surgió la idea de este pequeño trabajo.

NOTA BIBLIOGRÁFICA

[1] ARISTÓTELES.Analytica priora. (= Organon IlI, o teoría del silo-gismo). Recomendamos la traducción de Tricot. (1966.)

[2] ARISTÓTELES.Analytica posteriora (= Organon IV, o teoría de laprueba). Recomendamos asimismo la trad. de Tricot.

[3] ARISTÓTELES. Tópica (= Organon V). Véase e. o.la traducción deEd. Aguilar. En alemán la de E. Rolfes. 1922.

[4] R. CARNAP.Logical Foundation of Probability. Chicago. 1950.


[5] R. CARNAP-W.STEGMÜLLER.lnduktive Logik und Wahrschein-lichkeit. Viena. 1959.

[6] R. CARNAP-JEFFREY.Studies in inductive logic and Probability.Berkeley-Los Angeles-Londres. 1971.

[7] W. K. ESSLER. lnduktive Logik. München. 1970.[8] J. HINTIKKA."Distributive Normal Form in First arder Logic"

en Formal Systems and recursive Functions. Amsterdam. 1965.págs. 47-90.

[9] J. HINTIKKA."Towards a Theory of Inductive Generalization"en Proceedings 01 the 1964 lnternational Congress lor Logic,Methodology and Philosophy 01 Science. Amsterdam. 1965.págs. 274-288.

[10] J. HINTIKKA.Aspects 01 lnductive Logic. Amsterdam. 1966.Obra en colaboración de SUPPES.

[ll] D. HUME. A treatise 01 Human Nature. Londres. 1738.[12] H. JEFFREYS.Scientilic lnlerence. Nueva York. 1957.[13] J. KEMENY."A Logical Measure Function", en Journal of

Symbolic Logic. 18, 1953. págs. 289-308.[14] J. KEMENY."Fair Bets and inductive Probabilities" en Journal

01 Symbolic Logic. 20, 1955.[15] J. KEYNES.A treatise on Probability. Londres. 1921.[16] J. S. MILL. A system 01 Logic. Londres. 1843.[17] A. SHIMONY."Coherence and the Axioms of Confirmation" en

Journal 01 Symbolic Logic, 20, 1955.[18] A. SCHILPP. The Philosophy 01 R. Carnap. La SaBe. Illinois.

1963.[19] W. Stegmüller. Personelle Wahrscheinlichkeit und Rationalle

Entscheidung. Berlin-Heildelberg-Nueva York. 1973.[20] L. WITTGENSTEIN. Tractatus logico-philosophicus. Londres.

1921.[21] G. VON WRIGHT. The logical Problem 01 lnduction. Oxford.

1957.

ALTERNATIVAS PARA UNA FUNDAMENT ACIÚN … · siempre la relación de una hipótesis H y unos datos...

Documents

Transcript of ALTERNATIVAS PARA UNA FUNDAMENT ACIÚN … · siempre la relación de una hipótesis H y unos datos...