Universidad Nacional Experimental de Guayana.Vicerrectorado Académico.

Coordinación General De Pregrado.Proyecto de carrera: Educación Mención Matemáticas.

UC: Estadística y Probabilidad

AlumnoÁlvaro Gutiérrez

.Euclides Brito

Profesora

Cliany García

Ciudad Guayana, Septiembre de 2015

1- Que es una distribución de probabilidad

Una distribución de probabilidad indica toda la gama de valores que pueden representarse como resultado de un experimento si éste se llevase a cabo.

Es decir, describe la probabilidad de que un evento se realice en el futuro, constituye una herramienta fundamental para la prospectiva, puesto que se puede diseñar un escenario de acontecimientos futuros considerando las tendencias actuales de diversos fenómenos naturales.

Toda distribución de probabilidad es generada por una variable (porque puede tomar diferentes valores) aleatoria x (porque el valor tomado es totalmente al azar)

2- Que es una variable aleatoria

Se denomina variable aleatoria a la función que adjudica eventos posibles a números reales (cifras), cuyos valores se miden en experimentos de tipo aleatorio. Estos valores posibles representan los resultados de experimentos que todavía no se llevaron a cabo o cantidades inciertas.

Cabe destacar que los experimentos aleatorios son aquellos que, desarrollados bajo las mismas condiciones, pueden ofrecer resultados diferentes. Arrojar una moneda al aire para ver si sale cara o ceca es un experimento de este tipo

La variable aleatoria, en definitiva, permite ofrecer una descripción de la probabilidad de que se adoptan ciertos valores. No se sabe de manera precisa qué valor adoptará la variable cuando sea determinada o medida, pero sí se puede conocer cómo se distribuyen las probabilidades vinculadas a los valores posibles. En dicha distribución incide el azar.

 Variables aleatorias discretas son aquellas cuyo rango está formado por una cantidad finita de elementos o que sus elementos pueden enumerarse de manera secuencial. Supongamos que una persona arroja un dado tres veces: los resultados son variables aleatorias discretas, ya que pueden obtenerse valores del 1 al 6

Ejemplo para variable aleatoria discreta

Se tiene una moneda que al lanzarla puede dar sólo dos resultados: o cara (50%), o cruz (50%).La siguiente tabla muestra los posibles resultados de lanzar dos veces una moneda:

PRIMER LANZAMIENTO

SEGUNDO LANZAMIENTO

NUMERO DE CARAS EN 2

LANZAMIENTOS

PROBABILIDAD DE LOS 4

RESULTADOS POSIBLES

CARA CARA 2 0.5 X 0.5 = 0.25

CARA CRUZ 1 0.5 X 0.5 = 0.25

CRUZ CARA 1 0.5 X 0.5 = 0.25

CRUZ CRUZ 0 0.5 X 0.5 = 0.25

Al realizar la tabla de distribución del número posible de caras que resulta de lanzar una moneda dos veces, se obtiene:

NÚMERO DE CARAS

LANZAMIENTOSPROBABILIDAD DE ESTE

RESULTADOP(CARA)

0 (CRUZ, CRUZ) 0.25

1(CARA, CRUZ)

+(CRUZ, CARA)

0.50

2 (CARA, CARA) 0.25

PROPIEDADES DE UNA VARIABLE ALEATORIA DISCRETA (X)

p(xi)<1 Las probabilidades asociadas a cada uno de los valores que toma x deben ser mayores o iguales a cero y menores o iguales a 1.

E p(xi) = 1 La sumatoria de las probabilidades asociadas a cada uno de los valores que toma x debe ser igual a 1

Variable aleatoria continua (x). Porque puede tomar tanto valores enteros como fraccionarios y un número infinito de ellos dentro de un mismo intervalo.

Por ejemplo:x ® Variable que define la concentración en gramos de plata de algunas muestras de mineral (14.8 gr., 12.1, 42.3, 15.0, 18.4, 19.0, 21.0, 20.8, …, ¥)

La variable aleatoria continua se vincula a un recorrido o rango que abarca, en teoría, la totalidad de los números reales, aunque solo sea accesible una cierta cantidad de valores (como la altura de un grupo de personas).

3- media y varianza de una distribución de probabilidad

MEDIA: La media o valor medio de una distribución de probabilidad se representa por  , y se define por:

 [4.1]

En estas dos fórmulas f(x) es la función de probabilidad y la función densidad de probabilidad respectivamente de la variable aleatoria X en consideración.

Conviene mencionar que la media  se conoce como esperanza matemática de X o, brevemente, esperanza de X, y se representa por E(X).

Ejemplo 10: Supóngase que la variable aleatoria X es el número que queda hacia arriba al lanzar un dado legal. La función de probabilidad

correspondiente es  para X = 1, 2, 3, 4, 5, 6

Por consiguiente 

Que quiere decir que 3.5 es el valor esperado, lo que significa que 3.5 es el valor central de la distribución. Obsérvese que no es necesario que el valor esperado sea un valor posible de la variable aleatoria. También se interpreta en el sentido de que en 10 ejecuciones del experimento, por ejemplo, se espera que la suma de los números obtenidos sea de (10)(3.5) = 35.

 

Ejemplo 11: Determinar la media o valor esperado de la distribución cuya función densidad de probabilidad está por la regla de correspondencia:

Solución:

 

 

VARIANZA: La varianza de una distribución se representa mediante y se define por

 [4.2]

Donde f(X) representa a la función de probabilidad y a la función densidad de probabilidad, respectivamente, de la variable aleatoria.

Claramente  porque , para todo X, y , para todo X. A la raíz cuadrada positiva de la varianza la llamamos desviación estándar y se denota 

En palabras, la varianza es una medida de dispersión o variabilidad que no tiene interpretación física ya que está en unidades cuadradas.

Si en las fórmulas anteriores desarrollamos el cuadrado del binomio y aplicamos propiedades de las sumatorias (integrales) se llega a una expresión más conveniente para realizar los cálculos

Ejemplo 4.12: Calcular la varianza para la función densidad del ejemplo 4.11

Solución:   , 2

Ejemplo 14: Encontrar la media y la varianza de la distribución que tiene densidad 

Solución: 

La media de una distribución de probabilidad es

La varianza de una distribución de probabilidad es

o

 

4-Distribución de probabilidad binomial

La distribución Binomial es un caso particular de probabilidad de variable aleatoria discreta, y por sus aplicaciones, es posiblemente la más importante.Esta distribución corresponde a la realización de un experimento aleatorio que cumple con las siguientes condiciones:

* Al realizar el experimento sólo son posible dos resultados: el suceso A, llamado éxito, y el suceso B , llamado fracaso.* Al repetir el experimento, el resultado obtenido es independiente de los resultados obtenidos anteriormente.* La probabilidad del suceso A es constante, es decir, no varía de una prueba del experimento a otra.* En cada experimento se realizan n pruebas idénticas.Todo experimento que tenga estas características se dice que sigue el modelo de la distribución Binomial o distribución de Bernoulli. En general, si se tienen n ensayos Bernoulli con probabilidad de éxito p y de fracaso q, entonces la distribución de probabilidad que la modela es la distribución de probabilidad binomial y su regla de correspondencia es:

Donde:P(X)= es la probabilidad de ocurrencia del eventop = es la probabilidad de éxito del evento (en un intento) q = es la probabilidad de fracaso del evento (en un intento) (se define como q = 1 – p ) X = ocurrencia del evento o éxitos deseados n = número de intentos

EJEMPLO

¿Cuál es la probabilidad de obtener exactamente 2 caras al lanzar una misma moneda 6 veces?Dónde:P(X)= Probabilidad de que ocurra el eventop = (0.5)q = (se define como q = 1 – p ) (0.5)X = 2n = 6Al sustituir los valores en la fórmula obtenemos:

La posibilidad de obtener dos caras al lanzar una moneda 6 veces es de 0.234375

Distribución de probabilidad de poisson

La distribución de POISSON es también un caso particular de probabilidad de variable aleatoria discreta, el cual debe su nombre a Simeón Denis Poisson (1781-1840), un francés que la desarrolló a partir de los estudios que realizó durante la última etapa de su vidaEs útil cuando tratamos con cantidades de ocurrencia de un evento a lo largo de un intervalo de tiempo o espacio especificado.Esta distribución se utiliza para describir ciertos procesos.

Características:En este tipo de experimentos los éxitos buscados son expresados por unidad de área, tiempo, pieza, etc.:- # de defectos de una tela por m2

- # de aviones que aterrizan en un aeropuerto por día, hora, minuto, etc.- # de bacterias por cm2 de cultivo- # de llamadas telefónicas a un conmutador por hora, minuto, etc, etc.- # de llegadas de embarcaciones a un puerto por día, mes, etc, etc

Para determinar la probabilidad de que ocurran x éxitos por unidad de tiempo, área, o producto, la fórmula a utilizar sería

Dónde:

p(X) = probabilidad de que ocurran x éxitos, cuando el número promedio de ocurrencia de ellos es //= media o promedio de éxitos por unidad de tiempo, área o productoe = 2.718 (base de logaritmo neperiano o natural)X = variable que nos denota el número de éxitos que se desea que ocurra

EJEMPLO

Si un banco recibe en promedio 6 cheques sin fondo por día, ¿cuáles son las probabilidades de que reciba, a) cuatro cheques sin fondo en un día dado, b) 10 cheques sin fondos en cualquiera de dos días consecutivos? (e= 2.718281828)

Resolviendo para:a) x = 4; / = 6 cheques sin fondo por día

Comprobando (sustituyendo en la fórmula):

Por lo tanto la probabilidad de que el banco reciba cuatro cheques sin fondo en un día dado es de 0.133853 (13.39%)

5-Media de una distribución de Poisson

La distribución de Poisson

Se dice que la variable aleatoria discreta X, cuyos valores posibles son: 0, 1,2,…etc., tienen distribución de Poisson con parámetro y se escribe X P ( ), si Su función de probabilidad es:

e ( ) x P( X x) , 0, x 0,1, 2,3....

DondeP (X=x) : es la probabilidad de ocurrencia cuando la variable discreta X toma un valor finito x.λ : promedio de ocurrencias en un intervalo (tiempo, volumen, área, etc.). e : tiene un valor aproximado de 2.71828183..x : es el número de ocurrencias.

Esta distribución es una de las más importantes distribuciones de variable discreta. Sus principales aplicaciones hacen referencia a la modelización de situaciones en las que nos interesa determinar el número de hechos de cierto tipo que se pueden producir en un intervalo de tiempo o de espacio, bajo presupuestos de aleatoriedad y ciertas circunstancias restrictivas. Otro de sus usos frecuentes es la consideración límite de procesos dicotómicos reiterados un gran número de veces si la probabilidad de obtener un éxito es muy pequeña.