Amor Montaño Jose Alfredo - Teoria de Conjuntos Para Estudiantes de Ciencias

7/24/2019 Amor Montaño Jose Alfredo - Teoria de Conjuntos Para Estudiantes de Ciencias

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T e m a s d e m a t e m á t i c a s

Teoría de

conjuntospara estudiantesde ciencias

José Alfredo A m or Montano



José Alfredo Amor Montano

T e o r í a d e c o n j u n t o s

PARA ESTUDIANTES DE CIENCIAS

F a c u l t a d d e C i e n c i a s , U N A M



Amor Montano, José Alfredo.

Teoría de conjuntos para estudiantes de ciencias / JoséAlfredo Amor Montano. — 2a ed., reimp. -- México : UNAM, Facultadde Ciencias, 2011.

v i i i , 117 p. ; 22 cm. — (Las prensas de ciencias) (Temas dematemáticas)

Bibliografía: p. 117ISBN 378-970-32-2454-3

1. Teoría de los conjuntos. 2. Lógica simbólica y matemática.

I. Universidad Nacional Autónoma de México. Facultad de Ciencias.II. t. III. Ser. IV. Ser.

51i.322-scdd20 Biblioteca Nacional de México

Teoría de conjuntos para estudiantes de ciencias T edición, 2005l4 reimpresión, 20082- reimpresión, 2 de agosto de 2011

© D.R. 2011. Universidad Nacional Autónoma de México.Facultad de Ciencias.Ciudad Universitaria. Delegación Coyoacán,C. P. 04510, México, Distrito [email protected]

ISBN: 978-970-32-2454-8

Diseño de portada: Laura Uribe.

Prohibida la reproducción parcial o total de la obra, por cualquier medio,sin la autorización por escrito del titular de los derechos patrimoniales.

Impreso y hecho en México.

mailto:[email protected]

mailto:[email protected]



A Jitdith Márquez Guzmán



P r e f a c i o

Este libro fue escrito pensando en ser usado como un texto introductorio a la teoría de conjuntos, para estudiantes de ciencias. Sin embargoel hecho de que sea introductorio no significa que sea fácil ya que los con

ceptos se presentan con todo el rigor moderno, en un lenguaje preciso yhaciendo la distinción entre colección (determinada por una propiedad)y conjunto.

Este texto nació de las notas de clase de un curso de Teoría deConjuntos I impartido por el autor en la Facultad de Ciencias de laUNAM a un grupo de 18 excelentes estudiantes de matemáticas y físicaen 1993. Este material ya organizado y revisado por el autor, fue escrito

en Scientific Word para lo cual se contó con la valiosa colaboración deFavio Miranda. El texto fue usado y nuevamente revisado y ampliado,en otro curso de Teoría de Conjuntos impartido en 1995. El resultado esel presente texto.

La introducción es un desarrollo muy intuitivo pero muy riguroso delconcepto de conjunto, diferenciándolo del concepto de colección o clasedeterminada por una propiedad, ya que todo conjunto es una coleccióno clase pero no a la inversa. También se aclaran algunos prejuicios sobre

el concepto de conjunto; se precisa el concepto constructivo de conjuntoy se dan algunos teoremas básicos por ejemplo, que la colección de todoslos conjuntos no es un conjunto.

En el capítulo uno se desarrolla el álgebra de conjuntos: par ordenado, relaciones, particiones y funciones. Ordenes parciales, totales y buenos; conjuntos bien fundados y conjuntos con inducción fuerte. Sedan relaciones entre estos conceptos generales, por ejemplo un conjuntocon una relación, es bien fundado si y sólo si cumple inducción fuerte.Esto generaliza la relación entre el Principio de Inducción Matemáticay el principio del Buen Orden.

El capítulo dos contiene la construcción de los números naturales, de



dos maneras, con el objeto de definirlos de un modo natural y probarsu existencia de un modo general. Se prueban los axiomas de Peano:el Teorema de Recursión para números naturales es la parte central deeste capítulo, que incluye otras caracterizaciones de los naturales y suaritmética.

En el capítulo tres se presenta la aritmética cardinal transfinita a partir de los conceptos de equipotencia y de dominancia; el Teorema deCantor, la relación entre finitos, infinitos, Dedekind-iníinitos y el Teore

ma de Cantor-Schróder-Bernstein. Quedan abiertas tres preguntas querequieren del Axioma de Elección.

El capítulo cuatro está dedicado al Axioma de Elección, se presentandiez equivalentes y se resuelven las tres preguntas pendientes del capítulotres: la dominancia es relación total, todo conjunto infinito es Dedekind-infinito y tiene un subconjunto numerable y para todo cardinal infinitok, k k = k. Se ve más aritmética cardinal, se prueban el Lema deZorn y el Teorema del Buen Orden y termina con una aplicación y otrasversiones del Axioma de Elección muy usadas en muy diferentes ramasde las matemáticas.

Todos los capítulos tienen variados ejercicios, algunos con sugerencias.

Agradezco a. mis alumnos de los dos cursos mencionados pues me permitieron tener esa extraordinaria, sensación de enseñarles teoría deconjuntos y compartirla con ellos. Agradezco el apoyo de Fundación

UNAM para la mitad del proyecto y quiero agradecer especialmente aFavio Miranda Perea. su valiosa colaboración, ya que él fue alumno en1993 y profesor junto conmigo en 199-5 y sin él este texto no se hubiera

podido realizar como se pensó. Para la segunda impresión de este librose agregaron algunos comentarios y detalles de definiciones, ejemplos ydemostraciones, que complementan el original, para lo cual conté conla valiosa colaboración de Mariana Martínez González quien corrigió laserratas encontradas y elaboró el complemento en LaTex.



C o n t e n i d o

INTRODUCCIÓN 1o.i Ac l a r a c io n e s s o b r e e l c o n c e p t o

DE CONJUNTO....................................................................... 70.2 C o n s tr u c c ió n d e c o n j u n t o s .................................... 9

0.3 E l c o n j u n to u n iv e r s o l o c a l .................................... 13

1 ÁLG EBRA DE CO NJU NT OS 181.1 PAR ORDENADO................................................................... 191.2 R e l a c i o n e s ......................................................................... 201.3 Ó rd e n e s p a r c ia l e s , t o t a l e s y b uen os;

CONJUNTOS BIEN FUNDADOS E INDUCCIÓN FUERTE.

PARTICIONES....................................................................... 211.4 FUNCIONES ......................................................................... 24

2 LOS NÚ ME RO S NATU RA LES, IND UC CIÓ NY RECUR SIÓN 282.1 LOS NÚMEROS NATURALES............................................. 292.2 EL TEOREMA DE RECURSIÓN PARA NÚMEROS

NATURALES.......................................................................... 432.3 S is te m a s d e p e a n o ......................................................... 50

2.3.1. UNICIDAD DE SISTEMAS DE PEA NO ...................532.4 A r it m é ti c a e n lo s n a t u r a l e s ................................. 55

2.5 V a r ia n t e s d e l t e o r e m a d e r e c u r s ió n .............. 56



3 EQUIPOTENCIA, FINITUD, DOM INANCIAY ARITM ÉTICA CARD INAL 613.1 EQUIPOTENCIA................................................................... 613.2 FINITUD ................................................................................68

3.2.1 OTRAS PROPIEDADESDE FINITOS.......................713.2.2. D e f in i c io n e s a l t e r n a t i v a s d e f i n i t u d . . 74

3.3 D o m i n a n c i a ...................................................................... 783.4 A r i tm é t i c a c a r d i n a l ....................................................82

4 EL AX IOM A DE ELECCIÓN 92

4.1 A lg u n o s e q u i v a l e n t e s d e l a x io m ad e e l e c c ió n ( A E ) .............................................................. 95

4.2 MÁS ARITMÉTICA CARDINAL...........................................1064.3 UNA APLICACIÓN DEL LEMADE ZORN ......................... 114

BIBLIOGRAFÍA 117

I n t r o d u c c i ó n

Un conjunto es una colección de objetos considerada como un todo;es decir, considerada como una unidad. Brevemente, podemos decir queun conjunto es una multiplicidad considerada como una unidad.

Los objetos que pertenecen a un conjunto se llaman sus elementosy estos pueden ser cualquier tipo de objetos que no sean colecciones o

bien pueden ser conjuntos.Con la palabra “objeto”. nos referimos a los objetos de estudio de la

Teoría de Conjuntos (T.C.).Los objetos de estudio de la T.C. quedan intuitivamente descritos

con las siguientes ideas:

1 . Si x no tiene elementos, entonces x es un objeto de la T.C.

2. Si x es un conjunto, entonces x es un objeto de la T.C.

3. Los únicos objetos de la T.C. son los descritos en 1 y 2.

Una parte fundamental en el estudio de una teoría cualquiera, es ellenguaje de esa teoría y en la teoría de conjuntos en particular, estoes muy importante, por lo que daremos una descripción intuitiva de sulenguaje como usualmente se presenta en la actualidad:

El lenguaje de la T.C. es un lenguaje de predicados que tiene comosímbolos lógicos a los siguientes: no (->); y (a ); o (v ); si... entonces...(=»); si y sólo si (<£>); para todo (V); existe (3); símbolo de identidad (=);variables individuales (x i ,x 2 ,xs,.. .). El lenguaje tiene como símbolo de predicado de dos argumentos'a! símbolo de pertenencia (e).



En el lenguaje de la T.C., las variables x\ , X 2 , x-¿,...., que comúnmentedenotamos x,y,z,...., varían sobre los objetos de la T.C.. La relación

binaria que interpreta al símbolo de pertenencia es una relación que seaplica entre objetos de la T.C.. Así pues, las únicas afirmaciones simplesdel lenguaje son de dos tipos, la igualdad x — y y la pertenencia x £ y.

Una propiedad es una afirmación en el lenguaje de la T.C. que serefiere obviamente a objetos de la T.C.; por ejemplo “3 y (y 6 x)”es una propiedad que se refiere al objeto x, y que significa que x tiene al menos

un elemento.Todo conjunto está determinado por una propiedad; es decir, para

todo conjunto A. hay una propiedad, digamos P, tal que:

x e A x cumple P.

Con esta idea, denotamos o abreviamos A, como:

{x | x cumple P }

lo cual se lee: la colección de objetos x tales que x cumple la propiedad P.Para tener algunos ejemplos, denotemos con 0 a un conjunto que no

tiene elementos y denotemos con {a, b) a un conjunto cuyos elementosson exactamente los objetos a y b. Ejemplos de conjuntos caracterizados por una propiedad son:

1. 0 = {x | x x}, es una abreviatura para la caracterización:

x 6 0 x ^ x.

La propiedad es x ^ x.

2. {a, b} — {x [ x = a V x = 6}, es una abreviatura para la caracteri

zación:

x € {a, b} ^ (x —a V x = b).



La propiedad en este caso es (x = aV x — b).

Así. en general, si B es un conjunto (es decir, suponiendo ya,que B es conjunto), la propiedad acerca objetos de la T.C. quedetermina a B es la propiedad “x £ B y‘, es decir:

B = {x i x € B} .

Ahora bien, si P es una propiedad cualquiera (acerca de objetos

de la T.C.), la notación:

{a: | x cumple P }

es usualmente conocida como la colección o clase de todos los ob jetos que cumplen la propiedad P; es decir, es la colección o clasedeterminada por la propiedad P.

Veamos otros ejemplos:

3. Si P es la propiedad “x = x”, entonces {x | x = x} representa, lacolección o clase de todos los objetos x de la T.C. que cumplenx = x; es decir, representa a la colección o clase de todos losobjetos de la T.C..

4. Si P es la propiedad “x € y" donde y es un objeto fijo de la T.C.entonces {x | x € y} representa la colección o clase de todos los

objetos que pertenecen al objeto fijo y.

En este caso, si y

tieneelementos, la colección anterior representa al mismo objeto fijo y. Si y no tiene elementos, la colección anterior representa al objeto0 dado antes, ya que en este caso particular, para cualquier x secumple:

x € y (x x)

pues y no tiene elementos. Nótese en este último caso que si y es el conjunto vacío entonces

no tiene elementos y



{x |

x e y} =

y = 0,

pero si y no tiene elementos, no necesariamente es el conjunto vacío pues es posible que sea un objeto que no sea conjunto y

{x | x G y} = 0 # y.

Así pues, ser vacío y no tener elementos no son conceptosequivalentes si se permite la posibilidad de que existan objetos queno sean conjuntos.

5. Si P es la propiedad -‘x ^ x" . ésta determina a la colección{x | x x} que representa a una colección que no tiene objetos lacual es el conjunto 0.

6. Si P es la propiedad “i = a V i = í)”l entonces {x \ x — a V x = b} representa a la colección que tiene a los objetos a y 6 y nada más.

Tal es el conjunto denotado {a, b}.

Una colección o clase es pues, un modo de referirnos a todos losobjetos que cumplen una propiedad. Así pues, si

C — { x \ x cumple la propiedad P }

entonces, el decir “¡r 6 C” únicamente es un modo de decir "x cumple

la propiedad P." Si C es un conjunto, entonces í:x G C” es una afirmación del lengua

je de la T.C. Si C no es un conjunto, entonces ;‘x e C”no es una afirmación del lenguaje, sino un abuso de él, para abreviar: "x cumple la propiedad P.”

Con este modo de hablar para referirnos a { x \ x cumple P }. podemos decir entonces de acuerdo a lo aclarado al principio, que todoconjunto es una colección o clase de objetos de la T.C. determinada poruna propiedad. De aquí no se sigue necesariamente la afirmación inversa,de que toda colección o clase de objetos determinada por una propiedad,sea un conjunto.

El concepto ingenuo de conjunto, consiste en considerar que toda

colección o clase determinada por una propiedad, sea un conjunto; esdecir: “para cualquier propiedad P, {x | x cumple P} es un conjunto”, o bien, dicho en el lenguaje de T.C. y llamando A a la colección de los x quecumplen P, considerar que: “para cualquier propiedad P, 3 AWx(x G A <=>x cumple P ).”

Tal concepto es muy “intuitivo”, claro y útil, por ejemplo:

0 = {x | x x}{a, 6} = {x | x = o V x = b} aU b — {x \ x e a V x €: b}

ac = {x | x ^ a}afll) = {x | x € a A x G b}

P(o) = {x \ Wy (y € x =>y € a)}{a} = {x | x = a}

Ahora bien, si consideramos a la colección B = {x | x £ x}, queabrevia i £ 5 » x ^ x , B está determinada por la propiedad “x ^ x” (no pertenecer a sí mismo), ¿es B un conjunto?

La noción ingenua dice que sí. Sin embargo, si B fuera un conjuntoentonces tiene sentido preguntarse si 5 € B o si B ^ B.

Si B G B entonces B £ B. Pero, si B £ B entonces B G B dedondenecesariamente B G B y B ^ B. Lo cual es absurdo.De aquí que B noes un conjunto. ¿Pero por qué sucede esto? ¿por qué razón este conceptode conjunto tan “intuitivo”, tan claro y tan útil, es inconsistente?

Obsérvese que si B — {x | x ^ x} entonces V x ( x G B <=$ x £ x) .Sucede que hay una verdad lógica que niega la existencia de tal

conjunto B y que de hecho niega el principio del concepto ingenuo deconjunto.

Una verdad lógica, es una afirmación que es verdad en todos loscasos posibles; es decir, es verdad independientemente del universo de

variación de las variables e independientemente de las relaciones involucradas en ella. La verdad lógica a la que nos referimos anteriormente, esla siguiente:

“En cualquier universo de individuos y para cualquier relación binaria entre individuos de ese universo, no hay ahí. en ese universo, unindividuo que tenga esa relación con todos los individuos de eseuniverso, que no tengan esa relación consigo mismos y sólo con esos.”

Simbólicamente, la verdad lógica anterior, se puede representar como sigue, si R denota la relación binaria cualquiera sobre el universocualquiera, entonces:

~‘3yVx(xRy <í=>->(xi?x))

Es fácil probar, por reducción al absurdo, que tal afirmación debeser necesariamente verdadera en cualquier interpretación, para cualquieruniverso y para cualquier relación R. En particular, si el universo es el delos conjuntos y la relación que interpreta a i? es la relación de pertenencia, tenemos entonces que:

-i3yVx(x € y x ^ x)Pero recuérdese que Vx(x € B -t» x ^ x), de donde la verdad lógica

mencionada nos garantiza que: no existe B en el universo de los conjuntos. Es decir, B no es un conjunto.

Compárese nuevamente el principio de la teoría ingenua de los con juntos para la propiedad x f x con la verdad lógica en el caso de losconjuntos y la relación de pertenencia.

3yVx(x € y <=>x ^ x) Principio de la teoría ingenua, para P = x £ x.

->3yVx(x 6 y $>x g x) Verdad lógica.

Queda entonces claro por qué la teoría ingenua de conjuntos, tanintuitiva, clara y útil, es inconsistente ¡porque contradice a una verdadlógica!. No es un problema teórico conjuntista.

Es sólo un problema de la intuición que contradice una verdad de la

lógica clásica elemental.Por todo lo anterior, podemos concluir que todo conjunto es una

clase, pero no toda clase es un conjunto.



o . l A c l a r a c i o n e s s o b r e e l c o n c e p t o d e c o n j u n t o

En lo que sigue, haremos la aclaración de algunos prejuicios sobre elconcepto de conjunto.

1) El concepto aislado de “elemento” no tiene sentido pues no significa nada realmente, por lo que no debe existir la confusa división deobjetos de la teoría de conjuntos, en conjuntos y elementos. La clasifi

cación que podríamos hacer de los objetos de la teoría de conjuntos es:conjuntos y no conjuntos. El primer concepto intuitivo básico es el deconjunto y el segundo es la relación de pertenencia o de “ser elemento de”. A los objetos que forman un conjunto, los llamamos elementosde ese conjunto. “Ser elemento de” es una relación de dos argumentos,también llamada “pertenencia”de un objeto a otro, donde el segundoobjeto es un conjunto y el primero puede o no ser conjunto. Así pues,ser elemento de. es una relación y no una propiedad.

2) Un conjunto puede tener como elementos suyos a conjuntos; dehecho un conjunto puede tener solamente a conjuntos como sus elementos. ya que los objetos que pertenecen a un conjunto pueden ser cualquiertipo de objeto de la T.C., en particular conjuntos. Debe observarse quecualquier conjunto es elemento de otro conjunto, por ejemplo, del con

junto unitario que lo tiene a él como su único elemento.

Si A es un conjunto, entonces {^4} denota al conjunto cuyo únicoelemento es A y A 6 {^4}. El conjunto {,4} se llama el unitario de A.

3) Si A es un conjunto, A E A no es un concepto contradictorio.Análogamente A 0 A no es contradictorio. La afirmación A € A significaque A es un elemento de A, lo cual puede suceder, si A = {A}. Laafirmación A A significa que A no es elemento de A, es decir, que noes elemento de sí mismo; esto sucede por ejemplo con 0 ya que 0 0 0.

¿Hay conjuntos A tales que A E A ? No se puede dar una respuestadefinitiva, pues ello depende de la teoría de conjuntos de que se trate,

pero sí podemos dar una respuesta parcial muy precisa e importante; una



respuesta parcial es que: es consistente suponer que los haya: es decir,con la suposición de que existan no se llega a contradicción alguna. Lasiguiente es una representación informal e intuitiva de un conjunto conesta propiedad:

^ = ..... }}}}

Este es un conjunto, cuyo único elemento es un conjunto, cuyo únicoelemento es un conjunto, cuyo único...

Así A € A. Desde luego, también es consistente suponer que no loshaya; es decir, suponiendo que no los hay no se llega a contradicciónalguna.

4) Si x ,w son objetos de la T.C., entonces el hecho de afirmar que x € w es cierto, presupone necesariamente que w es un conjunto, pero x puede ser o puede no ser un conjunto. Es posible que se esté abusando del lenguaje y que w sea una clase que no es conjunto; entonces, si

w = {z \ z cumple P}, es decir, si P es una propiedad que determina aw, entonces “x € tu” es simplemente un abuso de lenguaje que abreviala afirmación “x cumple P.”

5) Formalizar aclarando el lenguaje y precisar los enunciados básicoso axiomas de la teoría de conjuntos, no necesariamente la vuelve antiintuitiva; al contrario, pues al precisar el lenguaje y las suposicionesiniciales acerca de los conjuntos, se tiene más claro el concepto de con

junto y se precisa con todo rigor lo qus se afirma y lo que se pruebaevitándose ambigüedades y confusiones acerca de una teoría tan básicay tan poderosa como lo es la teoría de conjuntos.

6) La idea ingenua de conjunto es una idea equivocada por sercontradictoria con la lógica elemental, pues confunde el concepto deconjunto con el de clase o colección determinada por una propiedad.El concepto correcto de conjunto se adquiere al dejar establecido cómo

construimos conjuntos.

Las respuestas naturales a la pregunta ¿cómo construimos conjuntos?

serán una serie de procedimientos constructivos mentales con los cualesformamos conjuntos; estos procedimientos serán tomados como losaxiomas constructivos de la teoría. Otros axiomas no constructivos seránlos que nos especifiquen propiedades fundamentales acerca del conceptode conjunto; así, la definición rigurosa de conjunto queda dada por losaxiomas de la teoría y por el concepto constructivo de conjunto.

0.2 C o n s t r u c c i ó n d e c o n j u n t o s

Un conjunto que podemos construir sin usar objetos en lo absoluto esel conjunto que no tiene elementos o conjunto vacío, al cual denotamoscon 0. (Axioma del Conjunto Vacío).

Ahora bien, dados dos objetos (conjuntos o no) A y B, podemosconstruir el conjunto cuyos elementos son exactamente esos, al cual denotarnos como {*4, B} y lo llamamos el par de A y B. (Axioma del Par).

También podemos construir el conjunto cuyo único elemento es A al cualdenotamos como {,4} y lo llamamos el unitario de A (caso particular delAxioma del Par con A = B) . En general para cualquier número finitode objetos A\,A<i,...,An construimos el conjunto

{A\,A2, -4n}

cuyos elementos son exactamente esos.

Si x, y son conjuntos, decimos que x es un subconjunto de y si todoelemento de x es elemento de y y esto lo denotamos x C y, en el lenguajede la T.C. esto lo decimos así:

\/z{z £ x =» z £ y)

en tal caso decimos también que x está incluido en y, o que x está con

tenido en y. Por ejemplo:

{ A} C { A , B} , < DC { A}0 C X , cualquiera que sea el conjunto X.



Los objetos x y y son iguales si son el mismo objeto y esto lo denotamos con x = y. Con x ^ y denotamos que no son el mismo. Como se havisto, lo único que interesa de los conjuntos son sus elementos, así que sidos conjuntos tienen los mismos elementos, entonces serán iguales comoconjuntos. Así, si x y y son conjuntos, x = y significa que x y y sonel mismo conjunto, es decir, que tienen los mismos elementos: todo elemento de x es elemento de y y todo elemento de y es elemento de x: porlo tanto si x y y son conjuntos, entonces x —y significa x C y y y C x.

(Axioma de Extensionalidad). Por ejemplo:

{A, B} = {B, A }, {A} = {A, .4}, {3,4} = {3 + 1,5 —2}0 {4}, 0 yí {0}, Si A B entonces {A} ^ {4, B}

Por esta razón, el conjunto vacío denotado 0 es único.

Six G A

decimos quex

es elemento de A

o quex

pertenece a A

o que A tiene como elemento a x o simplemente que A tiene a x. Si A C B decimos que A esta contenido en B o que B contiene a A o que A está incluido enB,o que A es subconjunto de B.

Por lo anterior la expresión “tiene” . es diferente de la expresión “contiene”. Veamos algunos ejemplos:

Sea A — {6, {0}} con 6 ^ 0 . Entonces A tiene a {0} porque{0} G {b, {0}}, pero A no contiene a {0} pues {0} no esta contenido en

A ya que 0 ^ 4 . Por otro lado A contiene a 0, pues 0 C A , pero A notiene a 0 , es decir 0 ^ A . Así pues, A tiene a {0} pero no lo contieney A contiene a 0 pero no lo tiene.

Hemos usado la notación:

{x | x tiene tal propiedad}

para referirnos a la colección de todos los objetos x tales que cumplen

esa propiedad. Si un conjunto está descrito de esta manera diremos queestá descrito por comprehensión. Por ejemplo, dados los conjuntos A y B , podemos construir los nuevos conjuntos:

AU B = {x \ x € A o x E B ) llamado unión de A y B.



AC\B = { x \ x E A y x £ B } llamado intersección de A y B.

Un conjunto de conjuntos es un conjunto cuyos elementos son todosconjuntos. Es común llamar “familia de conjuntos” a un conjunto deconjuntos.

En general dado un conjunto de conjuntos C, podemos construir losnuevos conjuntos:

(J C — {x | hay un A 6 C tal que x G A} llamado unión de C

(Axioma de Unión).Si C 0. Pl C = {x ¡ para todo A € C ,x € A} llamado intesección

de C (posteriormente probaremos que podemos construir este conjuntousando los axiomas) debe ser claro con estos conceptos y esta notación,que:

A u B = \ J { A ,B } y A n B = f ) { A ,B } .

Otra manera de denotar conjuntos es con un conjunto I de índices o

indicadores, por ejemplo

C = {Ai | i € 1}

denota al conjunto de los objetos A t donde i es el índice, elemento delconjunto I, que indica a qué objeto Ai se hace referencia. Si C = {Ai \ i £ 1} donde cada Az es un conjunto, entonces (J C se puede denotartambién como:

} J C = \ j A i = {x | hay i G I tal que x G Ai}íei

t

Análogamente, srf r- 0 :

C — P |Ai = {x | para todo i G / . i S -4t}.i€l

Una manera muy importante y útil de construir conjuntos es la

siguiente: dado un conjunto A y una propiedad P, expresada en forma precisa con el lenguaje, construimos el conjunto:

{ x G A \ x cumple P}.

(Axioma de Separación o de Comprchcnsión).Aquí es necesario hacer una observación muy importante, debe serclara la diferencia entre este proceso constructivo que llamamos Axiomade Separación, y el concepto ingenuo de conjunto como colección determinada por una propiedad; pues aquí está ya dado un objeto A que es unconjunto y consideramos la colección de elementos de A. determinados

por la propiedad dada P.Simplemente estamos separando de A, a los elementos suyos que

cumplen la propiedad P. Al aplicar lo anterior, A puede ser un conjuntosuficientemente grande para que se considere como universo local o universo del discurso, pero A debe ser un conjunto ya sea por suposición o porque se haya probado antes.

En todos los ejemplos descritos por comprehensión debe haber unconjunto previo del cual se hace la separación de los elementos suyosque cumplen la propiedad que describe al conjunto. Este es el modo

más común de describir conjuntos en matemáticas; sólo debe quedarclaro que la colección de la cual se separa el conjunto, sea un conjunto (posiblemente muy grande como para considerarlo nuestro conjuntouniverso), para tener la seguridad de que la colección separada sea unconjunto por el axioma de separación.

Otro conjunto que podemos construir, dado un conjunto A. es elconjunto

P{A) = {x \ x C A }

llamado potencia de A o partes de A. (Axioma del Conjunto Potencia). Nótese que los elementos de este conjunto P(A) son únicamente conjuntos ya que son los subconjuntos de A. Nótese también que el símboloC no es un símbolo original del lenguaje, sino que se definió como unsímbolo de relación binaria tal que:

x Q y <=*>Vz{z G x =>• 2 € y)

E j e m p l o s

P(0) = {0}, P({0}) = {0,{0}}, P({ü,6}) = {0,{a},{6},{a,6}}

Como para todo conjunto A se cumple que 0 C A y que A C A entonces 0 6 P(A) y A € P(A).

Si A y B son conjuntos podemos construir el conjunto ‘'diferencia de.4 menos B ”denotado con A —B:

A —B = {x \ x E A y x tfí B}

Nótese que {A — B) C A, es decir, (A —B) e P(A). Nótese también

que-*4 — B = {x € A I x £ B j queda construido a partir del axioma deseparación, al separarlo de A con la propiedad x f B.

0.3 EL CONJUNTO UNIVERSO LOCAL

Cuando se usa la teoría de conjuntos, se tiene como referencia, ex plícita ó implícitamente, un universo del discurso; es decir, un marcode referencia dentro del cual se trabaja. Este universo del discurso de losconjuntos es lo que se conoce como conjunto universal o universo local ydebe ser un conjunto. Este concepto es relativo al área de interés en quese trabaja; por ejemplo en el análisis real, este universo es el conjunto:

R U P(R) U P (1 U P (1 ))U P (P (S )) U ... U l 2 U P(R 2) U P(P{ M2))U ... U Rn U P(Rn) UP{P(Rn)) U ...

Ahora podemos definir la operación "complemento relativo”, relativaal universo del discurso. Si X es el universo local o conjunto universal y A es un conjunto de ese universo, es decir A € X definimos el complementorelativo X —A de A respecto al universo X como A c :

Ac = X - A = { z € X \ z <¿A}

Aquí, si suponemos que A £ A. tenemos que A € X — A — Ac.Obsérvese que X —A C X. Si X es nuestro universo local, debemos

suponer que A C X, pues todos los elementos de A deben ser de nuestrouniverso, si no, no estarían en nuestro discurso.



Algunas veces, X está implícito o sobreentendido; en este caso seescribe Ac = {z | z A] pero debe entenderse que cada z tal que 2 G Ac está en X, es decir, que Ac está incluido en el conjunto universal X.

E j e r c i c i o i

a) A U (f) B) — 'J C) \ C e B} suponiendo B # 0.

b ) ' A n (U-B) = U Í ( ^ n C ) \ C e B ) .

c) Si 6 € A entonces b C | J A y f"| A C b.

d) Si A C B entonces U A C U B e n - ^ C p l A

e) \ jP (A ) = A y A C P ( \ J A ) .

Obsérvese que P((J .4) A pues si A — { {a, 6}, {c, d } } ya 7 b, a ^ c,.b d,b c entonces {b, c} € P ([J A) pero {6, c} ^ A.

f) A C B si y sólo si P(A) C P(B).

g) (A - B) U (B - 4 ) = ( i 4 U B ) - ( i n B ) .

h) X - U A = C\{X - C | C e A}. X es el conjuntouniverso local.

i) X - C \ A = U { X - C \ C & A } .

j) A C B c si y sólo si A Pi B = 0.

k) A n ( B u C ) = { A n B ) u ( A n C n B c).

1) A = {AC\B) \ j {AC\Bc).

m) Si a 6 B entonces P(a) € -P(-P(U &))•

Sugerencia: Usar (c) y (f).

n) P ( A ) n P ( B ) = P ( A HB ) .

o) P ( A ) u P ( B ) C P ( A u B ) .

Obsérvese que P(A U B) £ P(A) U P(B).Sean A = {a, b} B —{b,c} (a 7 b, b ^ c, a ^ c) entoncesse tiene

{a, c} € P{A U B) , pero {a,c} $ P{A) y {a, c} P{B)

p) X - ( X - A) = A.

q) X - Ü) = X y X - X = <t).

. r) A u ( X - A ) = X y A n ( X - A ) = 0.

s) A C j5 si y sólo si X - S C X - A.

t) U ^ - U 5 C U ( . A - B ) p e r o U ( A - B ) ^ U > l - U S .

u) n ( ¿ u B ) = ( ( V ) n ( n ¿ ? ) y U ( ^ n 5 ) c ( U A ) n ( U S ) .

v) n U C = f ] { C ] D \ D e C } yUC\C C C ) { { J D \ D e C } V t D y D ^ Q .

E J E R C I C I O I I . Probar la equivalencia de las siguientes afirmaciones acerca de un conjunto 2 cualquiera. Tales afirmaciones puedenser ciertas o no, dependiendo del conjunto z; si z las cumple, decimosque 2 es transitivo.

a) 'ix'iy(si x € y y y £ z entonces x G z)

b) Vy (si y € 2 entonces y C z)

c) [ j z C zd) zC P(z)

e) U P ( z ) C P ( z )

f) VxVj/(si x E y y y Q z entonces x C z)

g) Z£P(P( Z) )

Algunos ejemplos de conjuntos 2 que cumplen lo anterior son:

i- ( M 0 M W } }II. {0,{0}1{0, {0}}}

Algunos ejemplos de conjuntos z que no cumplen lo anterior son:

i- (M W U M ® } } }II. {0,{0},{0.{0},{{0}}}}



III. {0,{0, {0}},{{0, {0}}}}-

Se deja como ejercicio al lector verificar que los ejemplos anteriorescumplen con lo que se afirma de ellos.

Consideramos de fundamental importancia que haya quedado claroque el universo local o universo del discurso es un conjunto, ya que nohay que confundirlo con la colección o clase de todos los conjuntos, puesdicha colección no es un conjunto, es una colección o clase que no es

conjunto, a las que se llama también clases propias. Para enfatizar laimportancia de este hecho, lo demostraremos en seguida.

TEOREMA 1. Para todo conjunto, hay un conjunto que no le pertenece.

Prueba: Sea A un conjunto cualquiera. Sea

B = {x | x E Ayx £ x}

Entonces B es un conjunto por el Axioma de Separación, ya queestá separado de A con la propiedad de no pertenecer a sí mismo.Obsérvese que:

x E B x E A y x S: x. (*)

Entonces B 0 A, pues si B GA entonces se tiene que:

B é B B E B. pero además B€A (*)

B 6 B =► B i B.

Como B E B o B f. B. entonces tenemos que:

B E B y B g B o

Por lo tanto B ^ A.o

COROLARIO. Ningún conjunto puede tener como elementos suyosa todos los conjuntos. Es decir, el universo de todos los conjuntos no es

un conjunto. Es una clase que no es conjunto, o sea una clase propia.

TEOREM A 2. Pa ra tod a clase no vacía C de conjuntos,

p| C = {:r | V y G C (x € y) }

es un conjunto único.Prueba: Como C # 0, sea w G C. Entonces w es un conjunto y

P|C = {x | Vy € C{x G y)} = {x G w ¡ Vy G C(x G y)} es un

conjunto por el Axioma de Separación. Q C es único por el Axioma deExt ensionalidad. □

Obsérvese que no se pidió que la clase o colección de conjuntos C, fuera un conjunto; sino únicamente que sea no vacía. De hecho C puedeser una clase propia y sin embargo p |C es un conjunto, si C 7 0.

TEOREMA 3. No hay un conjunto x ta l que P(x) G P(x).P ru eba : Supongamos lo contrario y sea x tal que P(x) € P{x)g<>o P(x) C x. Sea R = {y € x \ y £ y}. Si x es conjunto. R lo es por

el Axioma de Separación.Obsérvese que:

R C x. o R G P(x) C x, o R E x. — ' O O X ' O O

Pero:

R £ R => R £ R y además

R ^ R ^ R é x o R ^ R o R g Rf ~ r - O O

Así pues R £ R ^ R £ R. T¿ Por lo tanto no hay tal conjunto £.□

C o r o l a r i o . No hay un conjunto al que le pertenezcan todos

sus subconjuntos. Es decir, no existe un conjunto x tal que cumpleV y{ y C x —> y G x). Así pues, si una clase x cumple esto,sería una clase propia.

1 A l g e b r a d e c o n j u n t o s

l . l P a r o r d e n a d o

El par ordenado de x y y denotado < x, y > debe construirse de talmodo que cumpla:

< x, y > = < z, w > si y sólo si x = 2 y y = w

es decir, si x 7¿ y entonces < x, y > ^ < y, x > lo cual significa que el orden es esencial. Hay varias definiciones que cumplen loanterior, cualquiera de ellas sirve; la usual es la siguiente, debida aKuratovuski, 1921 :

< x,y > = {{x}, {x,y}}

Se puede verificar que si x, y € A, < x, y > € P(P(A))

En general, la n-ada ordenada se define para n > 2 como:

< X i , . . . , X „ > = < < X i j . . . , X n —i > , X n >

y para el caso n = 1, se define < x > = x. Otras posibles definicionesdel par ordenado de x, y son:

< x, y > = { {x, 0}, {y, {0}}} (Hrbacek Jech, 1978)< x ,y > = { { {x}.0 }, { {y} }} (Wiener 1914)

Si se intenta generalizar la definición de Kuratowski para una ternaordenada (x, y , z ) como:

( x , y , z ) = {{x} , {x ,y} , {x ,y , z} }

no se tendrá éxito, pues fracasa la idea de ordenado; por ejemplo:

( 0,{ 0},0 ) = {{0}, {0, {0}}, {0, {0}}} = {{0},{0,{0}}}.( 0, 0, {0}) = {{0},{0},{0,{ 0}}} = {{0},{0, {0}}}.

por lo tanto. ( 0, {0}, 0 ) - ( 0, 0, {0} ) pero los segundos y los terceroselementos de las ternas son diferentes: {0} 0 y 0 {0}. Además, paracualquier a, (a, a, a) — < a, a >; un par sería igual que una terna!.

En lo que sigue, usaremos la definición de par ordenado de Kuratowski. Obsérvese que < a, a >= {{a}}.

1.2 R e l a c i o n e s

A partir de los conjuntos A y B podemos construir el conjunto A x B de todos los pares ordenados < x, y > tales que x 6 A y y € B. Se puedeverificar que A x B C P(P(A U B)).

An es el conjunto de todas las n-adas ordenadas de elementos de .4:

A n = (...((.4 x A) x A)... x A) x .4 (n veces A)

Una relación binaria es un conjunto de pares ordenados. Si r es unarelación, el dominio de r es el conjunto:

Dom(r) = {x \ hay y tal que £ r }

y la imagen de r es el conjunto:

Im(r) — { y \ hay x tal que < x .y > £ r).

Obsérvese que el dominio de una relación es el conjunto formado por el primer elemento de cada par ordenado de la relación y la imagen es elconjunto formado por el segundo elemento de cada par ordenado de larelación.

El campo de r es el conjunto Carn(r) — Dom(r) U Im(r).Dada una relación r con Dom(r ) C A y Im(r) C 5, se tiene asociadauna relación inversa r -1 tal que resulta de invertir los pares ordenadosque pertenecen a r:

r~l = {< b,a > € B x A \< a,b > e r}

y se tiene que Dom(r~l ) — Im[r ) C B y /m (r _1) — Dom(r) C A

D E F I N I C I Ó N . Sean r C A x B, s C B x C relaciones binariasentonces definimos la relación composición s o r como s o r — {< x, z > |< x,y > € r y < y, z > E $ para alguna y £ B} C A x B.

Una relación de n-argumentos, n-aria o de aridad n sobre A es unsubconjunto de A n. Sea r una relación binaria o de aridad 2 sobre unconjunto A. es decir r C A2. Obsérvese que:

r C i 2 « Cam(r) C A A C Cam(r) <=>Vx € 4 3y € j4(< x,y >€ r o < y , x > 6 r)

Si < z.y > e r, decimos que 2 está r-relacionado con y y también loescribimos como z r y.

1.3 ÓR DE NE S PARCIALES, TOTALES Y BUENOS;CONJUNTOS BIEN FUNDADOS E INDUCCIÓN FUERTE.P a r t i c i o n e s

Con “sii”abreviamos “si y sólo si". En lo que sigue, r C A x A.Definimos:i) < A, r > es un Conjunto Parcialmente Ordenado (COPO) sii para

todo x € A, < x, x ><£ r (r antirreflexiva en A) y para todo x , y , z € A,

si < x, y > E r y < y , z > E r entonces < x, z > G r, (r es transitiva en A).

ii) < A. r > es un Conjunto con Tricotomía (C O T R I ) sii para todo x .y € A, x = y o < x, y > e r o < y, x > £ r , y sólo una.

iii) < A, r > es un Conjunto Totalmente (o linealmente) Ordenado{COTO) sii < A, r > es COPO y es COTRI.

iv) < A ,r > es un Conjunto Bien Ordenado (COBO) sii < A, r > es COPO y para todo x C A, si x ^ 0 entonces ha}' y G x tal que paratodo z £ x: < y, z > Gr o y — z\ tal y se llama el r-mínimo de x.

v) < A ,r > es un Conjunto Bien Fundado (C O B F ) sii para todo x C A, si x 0 entonces hay y <Ex tal que para todo z E x ,< z , y >£ r;tal y se llama un r-minimal de x. Obsérvese que puede no sor único.

vi) < A , r > es un Conjunto con Inducción Fuerte (C O I F ) sii paratodo x C A, si para todo y € A, el hecho de que todos los elementos de A r-relacionados con y estén en x, implica que y G x entonces A C x.

Las seis anteriores propiedades de conjuntos con una relación binariaquedan relacionadas entre sí en la forma que indica el siguiente diagramadonde las flechas representan implicación:

COIF ------- COBO ------- * COBF

COPO COTRI

Relación entre órdenes parciales, totales y buenoscon relaciones bien fundadas e inducción fuerte.

Como ejemplo probaremos dos de las implicaciones anteriores:COIF =» COBF.Sea < A, r > COIF. Sea X C A y X ± 0.Veamos por reducción al absurdo que X tiene un elemento

r-minimal. Supongamos que X

no tiene un r-minimal. Probaremos que(*) Vy G A(yw G A[wry =$ w G (A —X)) => y G (A —X) ) :Sea pues y G A tal que Vio G A(wry => w G (A —X)). Si y G X

entonces como \/w G A{wry => w £ X), tendremos que y será un

r-minimal en X , contra la suposición; de aquí que y <£. X , es decir, y € A —X con lo que queda probado (*).Ahora, como < A ,r > COIF y (A - X ) C A, se tiene por (*) que

A = A —X de donde, como X C A, X — 0 o" .Así pues, X sí tiene un r-minimal y < A , r > es un COBF.a

C OB F =>C OIF.Sea < A, r > COBF. Sea X C A. Queremos probar que:

( V y € A(Vw € A(w r y ^ w E X ) ^ y E X)) =>A C X.

Supongamos que no se cumple A C. X. Entonces A —X ^ 0 yademás ( A - X ) C A . Sea pues y un r-minimal en ( A - X ) : entoncesiw G A(w r y =>w f (A - A)); entonces Vw G A(w r y =>w G X ), pero y $ X, entonces tenemos que 3 y G A(Vw G A(w r y =» w G X ) A y ^ X ) de donde se tiene por contrapositiva que < A . r > es COIF.a

Sea r C A x A :

i) r es la relación diagonal o identidad sii para todo x ,y G A, < x ,y >G r sii x = y.

Si I c I a denota la relación identidad en A, Id a — {< x , x > \ x G 4}.

ii) r es reflexiva sii para toda x

G A, < x . x

>G

r. En este caso A C Cam(r) y por lo tanto Cam(r ) = A. Obsérvese que r es reflexiva¿ii Ida Q r.

iii) r es simétrica sii para todo x. y G A, si < x, y > G r entonces< y.x > E r.

Obsérvese que r es simétrica sii r = r _1.

iv) r es transitiva sii paratodo x , y , z € A , si < x , y > G r y

< y, z > € r entonces < x, z > G r. Obsérvese que r estransitiva siir o r C r.

v) r es antisimétrica sii para toda x , y €. A , si < x.y > E r y< y, x > E r entonces x —y.

vi) r es una relación de equivalencia sobre A sii r es reflexiva, simétrica y transitiva. En este caso Cam{r) - A. Si r es una relación deequivalencia sobre A, definimos para cada x E A, el conjunto[x] = {y |< x, y > € r} llamado la clase de equivalencia de x módulor. Es inmediato que [x] = [y] sii < x , y > E r, pues y E ¡y] y r essimétrica y transitiva. El conjunto cociente de A módulo la relación deequivalencia r, es

A / r — {[x] | x € A} .

vii) r es “sin puntos aislados” sii para toda x E A hay y E A tal qucf < x . y > € r o < y .x > E r. Es decir, para todos, o están r-relacionadoscon alguien o alguien con ellos.

viii) r es euclidiana sii para todo x, y, z E A. si < x, y >E r y< x, 2 >€ r entonces < y,z >E r.

Una partición de A es un conjunto P,PC P(A) que cumple:

1) Para todo x, y E P, si x ^ y entonces x D y = 0.

2) U P = A

3) Para todo x € P, x 0.

Si r es una relación de equivalencia sobre A, entonces A / r — {[x] | x E A} es una partición de A. donde [x] = {y j< x, y >E r}.

Si P es una partición de A, entonces

r = {< x.y > E A x A \ hay a E P tal que x, y E a} C A x A

es una relación de equivalencia sobre A.

1.4 F u n c i o n e s

Una función es una relación F con la propiedad de que para todo x € Dom(F) hay una única y tal que < x.y > E F. Es usualllamar a tal única y, el valor de F en x y denotarla y = F(x);

I m ( F ) — {F(x) | x E Dom(F)}, también se denota como F[Dom(F)\.

Decimos que F es función de A en B y lo escribimos F : A —> B, si Dom(F) = A. Irri(F) = F[ 4] C B y F es una función. Si F es unafunción de A en B, decimos que B es el codominio o contradominio deF. Obsérvese que Im(F) C B: así pues, el contradominio de una funciónes cualquier conjunto que contenga a la imagen.

F es uno a uno o invectiva sii para cada y € Im(F) hay una única x tal que < x . y > € F (es decir F(x) = y).

Es decir, si x . z € Dom(F) y x ^ z entonces F(x) F(z)\ o bien,

si x, z 6 Dom(F) y F(x) = F(z) entonces x — z.F es sobre B o suprayectiva sii Im(F) = B. Claramente toda función

F es sobre Im(F).F : A —* B es bivección sii F es uno a uno y es sobre B.Si F : A —’ B es una función invectiva, la relación inversa de F

denotada F -1' es una función cuyo dominio es Dom(F~1) = Ivi(F) y cuya imagen es Im (F ~ 1) = Dom(F), es decir:

F - 1 : Im(F) -» Dom{F).

Además, F _1 es función invectiva. Si F no es inyectiva, entonces larelación inversa de F es una relación que no es función.

Si F : A —* B y G : D —* C, tales que Im ( F ) C Dom(G), entonces podemos definir la composición de las funciones F y G, que es unafunción de A en C denotada G o F : A —*•C y tal que para toda x <EA :

G o F(x) = G(F(x)). Es decir,

G o F = {< x. y > e Dom(F) x Im(G) | < F(x),y > e G }

Es fácil verificar que, si F y G son invectivas, entonces (G o F) esinyectiva, y también que si F y G son suprayectivas, entonces (Go F) essuprayectiva. Por lo tanto, si F y G son bivectivas. (G o F) es biyectiva.

Es fácil ver que la composición es asociativa sobre las funciones, pero noes conmutativa.Una operación n-aria o de n argumentos en A es una función de An

en A.

Si A es un conjunto de funciones, entonces |J A es una función siiV F, G € A: V x € (Dom(F) n Dom,(G)), F(x) = G(x). Esto últimosignifica que las funciones de A son compatibles dos a dos.

Es inmediato que Dorn({J A) = y Dorn(F) y que Im(\J A) =F £ A

U Im(F) en el caso de que U A sea función. Un caso particular esF € A

el siguiente: si A es un conjunto de funciones y < A. C> es COTO.

entonces (JA es una función./

E j e r c i c i o i i i

1) Pruebe que con las definiciones dadas de producto cartesianoy de par ordenado:

a) < x, y > = < z, w > sii x — z y y — w. b) < x. y > = < y, x > sii x = y.

c) A x B = U {A x { b } \ b e B}.d) ^ x U JB = U { - 4 x c | c e S } .e) Pruebe que :

[(W - A) x y] U [W x ( Y - B)] — W x Y - A x B .f) Sean ^ 4 ^ 0 y C j ¿ 0 entonces: A C B y C C D sii

A x C C B x D.

2) Verifique que si x .y € A entonces < x . y > G P(P(A)).

3) Verifique que A x B C P(P(A U B )).4) Pruebe que toda relación de equivalencia sobre un conjunto A

determina una partición de A. c inversamente. De hecho, dé usteduna biyección entre el conjunto de todas las relaciones de equivalencia sobre A y el conjunto de todas las particiones de A.

5) Toda relación r sobre A cumple lo siguiente:a) r es relación de equivalencia sii r es simétrica, transitiva y

sin puntos aislados. b) r es simétrica y antisimétrica sii r está incluida en la

relación diagonal o identidad.

c.) r es relación de equivalencia sii r -1 es relación deequivalencia.d) Vx e Dom(r) < x, x >€ r _1 o r y Vy € Im(r)

< y , y > £ r o r ' 1.e) r es relación de equivalencia sii r es reflexiva y euclidiana.

6) Sea r una relación binaria sobre A , pruebe que:a) r reflexiva, antisimétrica y transitiva (r orden reflexivo) =>

r — {< a, a > \ a € A} es antirreflexiva y transitiva (orden

estricto). b) r es antirreflexiva y transitiva (r orden estricto) =>

r U {< a, a >\ a € .4} es reflexiva, antisimétrica ytransitiva (orden reflexivo).

7) Pruebe las relaciones de implicación entre órdenes parciales, totales y buenos con relaciones bien fundadas e inducción fuerte,dadas en el diagrama correspondiente y que no fueron probadas.

8) Sean F : A -> B y G : B -> C:a) Si Go F : A —* C es biyectiva. entonces F es invectiva, y

G es suprayectiva..

b) Dar un ejemplo en el cual G o F : A —>C sea biyectivapero F sea no suprayectiva y G sea no invectiva.

c) Dar un ejemplo en el cual F sea invectiva y G seasuprayectiva. pero G o F sea no inyectiva y no

suprayectiva.9) Si < A. r > es COBO, B C A y r' = rDB x B, entonces < B,r ' >

es COBO.

2 LO S NÚMEROS NATURALES,

INDUCCIÓN Y RECURSIÓN

2.1 LOS NÚMEROS NATURALES

Idea intuitiva: que cada natural sea el conjunto de los naturalesanteriores a él y en ese caso el orden sea la pertenencia.

0 = 01 = {0} = {0}2 = {0,1} = {0, {0}}

n = {0,1,2,.... n —1}n + 1 = {0,1,2 ,...,n}

O b s e r v a c i o n e s . De los ejemplos anteriores, basados en laidea intuitiva, las siguientes propiedades deben de cumplirse si n ,m sonnúmeros naturales:

i) < n, €> es un orden total (COTO), (E es una relaciónantirreflexiva, transitiva y total dentro de n).

ii) n € m=> n Qm (rn transitivo).

iii) n < m = > n E m y n C m .7í iv) n + 1 = n U {n}.

v) n tiene “n” elementos.

Las siguientes definiciones son para cualquier conjunto de con juntos x:

D e f i n i c i ó n . El sucesor de x es x u {x}.

D E F I N I C I Ó N , x es transitivo si y sólo si Vy(y G x => y C x).

E J E R C I C I O . Probar las siguientes equivalencias de la definición de

conjunto transitivo para un conjunto z:

a) VxVy(si x G y y y € z entonces x G z).

b) Vy (si y G 2 entonces y C z).

c) 1J z C. z.

d) z C P ( z ) .

e) U P(z)<ZP(z).

f) Va:Vy( s i x G y y y C z entonces x C z).

P R O P I E D A D E S D E L O S C O N J U N T O S T R A N S I T I V O S

P R O P O S I C I Ó N 1 . A es transitivo si y sólo si P{A) es transitivoP r u e b a :

=í>) Sea A transitivo. Sea x G P{ A), entonces x C A.

Sea y € x => y €A ^ y C A o y € PÍA). Así, x C P(A).■4=) Sea P( A) transitivo. Sea y €A, entonces {y} C A de donde

{y}€ P(A ) =4> {y} C P(A) ^ y € P{ A), así que y C A .n

P R O P O S I C I Ó N 2 . Si A es transitivo entonces U A es transitivo.

P r u e b a : Supongamos que A es transitivo. Sea x € U A o 3 y € .4tal que x G y. Por hipótesis y C A de donde x G A. De aquí es inmediatoque x

C (J A.

Así pues |J A

es transitivo.

Se observa que el inverso no es cierto, como contraejemplo se tieneel siguiente:

Sea A = {0. {{0}}. {0. {0}}}- Entonces (JA = {{0}, 0} es transitivopero A no.

P R O P O S I C I Ó N 3. x es transitivo si y sólo si (J(x U {x}) = x.P r u e b a :

=>) Supongamos que x es transitivo.C) Sea z G U í21u 3 y G x U {x} ta l que z e y

i) y e x z € x (Transitividad de x)

ii) y = x => z € x (Pues z &y) Así pues, z G x.2 ) Sea z G x. Como x G x U {x} entonces 2 € [J(x U {x}).

<=) Sea y G x. Entonces y G x U {x}.Sea z € y z e (J( U {x}) y por hipótesis z 6 x. Así y C x y x es transitivo. □

E j e m p l o s d e c o n j u n t o s t r a n s i t i v o s

(TI) { 0 . {0} , {{0}} } Donde G no es total ni transitiva.(T2) { 0 , {0} , { 0 , {0} } } Donde G es total y transitiva.

(T3) { 0 , {0} . { 0 . {0} } . O } Donde fí = {ft}, € es no totaltransitiva.

(T4) {g. b, c, b', 0} donde a — {0, b, b'}. b — {0. c. b'}, b' = {0, c}.

c = {0, a}, con c ^ b , c ^ b ' , G es to ta l y no transitiva.

E j e m p l o s d e c o n j u n t o s n o t r a n s i t i v o s

(NT1) { 0 , {{0}} , {0 , {0}} } Donde € es no total transitiva.(NT2) { 0 , {0} , { 0 . {0} . {{0}} } } Donde G es total y transitiva.

(NT3) { 0 , { 0 , {0} } . { { 0 . {0} } } } Donde G no es total ni

transitiva.(NT4) {d , {{d. 0}}, {d: 0}} Donde d = {{{d, 0}}} y G es total notransitiva. Aquí d es un conjunto raro, pues pertenece a unelemento de un elemento suyo, es decir d € (J U d-



Los ejemplos anteriores muestran que:

i) A transitivo no implica que 6 sea transitiva en A (TI). Y E transitiva en A no implica que A es transitivo (NTl), (NT2).

ii) A transitivo no implica que E sea total en A (TI). Y E total en A no implica que A sea transitivo (NT2)

iii) € transitiva en A 110 implica que E sea total en A (NTl). Y £total en A 110 implica que € sea transitiva en A (NT4).

P R O P O S I C I Ó N 4 . Si A es transitivo y € es transitiva en A entonces para cualquier x £ A, x es transitivo.Prueba: Sea- A transitivo tal que E es transitiva en A. Sea x E A. Sean

z E y y y Ex-, z E y E x => y E A, z E A

o z € x pues £ es transitiva en A o x es transitivo.nOO A OO

¿Cómo caracterizar a los números naturales? Los números naturalesdeben ser conjuntos transitivos y bien ordenados por £. Si pedimos sóloque sean transitivos no basta. (TI). Si pedimos sólo que 6 sea transitivao total no basta por (NT2).

Para que un conjunto sea un natural pediremos entonces que seatransitivo y que la relación £ sea un COBO.

Pero aún con esto no basta pues

{1,2,..., n, n U {n},...}de ser un conjunto, sería transitivo y € sería un buen orden en él. pero

es infinito y los naturales no lo son. oPediremos entonces que todo subconjunto no vacío tenga máximo

respecto a la relación €, es decir:

Ww[w C a i A t u ^ 0 4 - 3 y E uNz E w(z 6 y V z = y)}

con lo que se tendrá la finitud.

D E F I N I C I Ó N , x es un número natural si y sólo si:

i) x es conjunto transitivo (Vy € x(y C x))ii) < x, G> es un Conjunto Bien Ordenado (COBO).iii) Todo subconjunto no vacío de x tiene un G máximo, esdecir:

Vtu[u) C x A w 0 =>■ 3y G w V2 6 ui(z G y V z = y)]

T e o r e m a 4

a) Los números naturales no se pertenecen a sí mismos, es decir:

Si x es un número natural entonces x £ x.

b) Los números naturales son conjuntos de números naturales; esdecir:

Si x -es un número natural,entonces para cualquier y G x, y es un número natural.

Prueba:a) Sea x un natural. Si x G x =>■ 3 y G x tal que y G y pero esto

contradice el hecho de que < x . G> COPO. Así pues x x. b) Sea x un natural. Sea y G x.

i) y es transitivo: Sea u € v G y. Como x es transitivo setiene v G x, y u G x, por ser G transitiva en x se tiene u G y.

ii) < y , G> es COBO , pues y G x =i> y C x (por ser x transitivo)

y como < x, G> es COBO y ser COBO se hereda, parasubconjuntos entonces < y, G> es COBO.Ver ejercicio III, 9).

iii) Dado un subconjunto no vacío de y, es un subconjunto novacío de x por lo que ahí tiene un G-máximo (es decir, quetodo subconjunto tenga un máximo, se hereda).'

Así pues y es un número natural.□

Consideremos la propiedad "ser número natural” y consideremos laclase:

N = {x ¡ x es un número natural}



¿N es un conjunto? No lo sabemos, lo veremos más adelante. Obsérveseque si N fuera conjunto, sería transitivo pues: x € N =>■ x C N (Teorema4.b).

Recordemos los Axiomas de Peano. para caracterizar a los númerosnaturales:

1) 0 es número natural.2) Si n es número natural, el sucesor de n es número natural.3) 0 no es sucesor de ningún número natural.

4) Si el sucesor de n es igual al sucesor de m entonces n —rn.5) Si A es un conjunto de naturales tal que 0 £ i y paratodo

número natural n. si n G A entonces (sucesor de n) € A, entoncestodos los naturales están en A, es decir, N = A.

Este último axioma se puede ver también como:5’) Si P es una propiedad acerca de números naturales tal que 0

cumple P y para todo número natural n, si n cumple P entonces (suce

sor de n) cumple P, entonces todos los naturales cumplen P.

O bservac ión. La equivalencia de las dos versiones se tiene así:5’) => 5) Dado A, P es “x 6 A' ' .5) => 5’) Dada P, A es {x | x 6 N y x cumple P}, y A es conjunto,

si N lo es.

T e o r e m a 5

a) 0 es número natural. b) Si x es número natural entonces S'(x) = x U {x} es número

natural.P r u e b a :

a) Es trivial pues 0 = 0 cumple la propiedad ser número natural, por vacuidad.

b) Sea x un número natural. Veamos que x U {x} es númeronatural.i) x U {x} es transitivo. Sea y € x U {x}, hay dos casos:

y 6 x; por ser x transitivo se tiene i / C i C x u {x} y —x; con lo que y —x C x U {x}



ii) € es antirreflexiva en x U {x}. Si y E x U {x}, se tienen loscasos: y € x\ con lo que y 0 y por ser 6 antirreflexiva en x. y = x; por el Teorema 4 x £ x, es decir y £ y.

iii) € es transitiva en iu { x } . Si u, v, w E xU {x} y suponemosque u E v E w, entonces hay cuatro casos:

u, v,w E x =$ u E w por ser E transitiva en x.u, v E x y w = x =>• u E x por ser x transitivo con lo

que u E w.Los otros dos casos no son posibles:

v = x =£■ x € tü, x transitivo y w 6 x => x € x.u — x =>x € v. x transitivo y v € x => x € x.

Pero x E x es una contradicción por ser E antirreflexiva enx U {x} por ii).

iv) Todo subconjunto no vacío de x U {x} tiene máximo y

mínimo.Sea y C x U {x}, y ^ 0. entonces:y n x = 0=>y = {x} donde x es máximo y mínimode {x}. y fl x 0, se tiene j / f l i C x ^ j / f l x tiene máximoy mínimo y y n x — y —{x} de donde el mínimo de y fl x es el E-mínimo de y, aún si x € y. Ahora bien, si x E y, entonces el E-máximo de y es x y si

x £ y. entonces el E-máximo de yDx es el €-máximode y, ya que en este caso y C x y y fl x = y.a

Ya sabemos que 0 E N y que: x S N ^ i U {x} E N. pero

N = {x | x es número natural }

es una. clase que no sabemos si es un conjunto. Esto motiva la siguiente

D E F I N I C I Ó N . Un conjunto A se llama inductivo si y sólo si:

i) 0 E A.ii) Vy (y E A =>y U {y} E A).



¿Hay conjuntos inductivos? Obsérvese que si N fuera un conjunto,sería conjunto inductivo por el Teorema 5.

O bse rvación. No se puede probar, con los axiomas que tenernos,que haya conjuntos inductivos. Obsérvese que intuitivamente un conjunto inductivo es infinito, pues debe tener los siguientes elementos:

0 ;{0};{0,{0}} ;{0,{0},{0,{0}}}

AXIOMA DE INFINITO. “Hay un conjunto inductivo.” Es decir:

3x [0 € £ A y y (y € x =>y Li {y} 6 x)] o bien:

3 x V z [z = 0 V 3 iu (w € x A z = w U {w}) => z e x]

Obsérvese que por el Teorema 2, la intersección de todos los conjuntosinductivos, es un conjunto, es decir:

D i x | x es inductivo }

es un conjunto, suponiendo que hay un conjunto inductivo. Por el Teorema 2, únicamente requerimos que haya conjuntos inductivos, no quela colección de los conjuntos inductivos fuera un conjunto, pues no lo esrealmente.

D e f i n i c i ó n . Sea u = p){ x \ x es conjunto inductivo}.u>es un conjunto por dos razones: el Axioma de Infinito y el Teorema

2; es inmediato que es un conjunto inductivo, es el menor conjunto inductivo (con el orden de C) y está contenido en todo conjunto inductivo.

TEOREMA 6. Todo número natural pertenece a u>. O bien: Todonúmero natural pertenece a todo conjunto inductivo. 0 bien:

Vx[x número natural => VA(A inductivo x € A)].

O abreviado:

y x £ N V A inductivo (x € A).

O más breve:

N C u) — P) {x | x es inductivo}.

P ru eb a : Por reducción al absurdo. Supongamos que existe x númeronatural y existe A conjunto inductivo, tales que x A. Entonces S(x) —

x U {x} € N, x G (S(x ) — A) ^ 0 y S(x) - A C S(x).

x e Nx $ Az = max{ y ]y = m¡n( S(x) - Aj

S{ x ) - A

Sea pues y el G-mínimo de S(x) —A ; se tiene y C S(x) pues y € S(x) y 5(x) es transitivo, además y C A ( pues Vio 6 y(w € A ), pues w ¿ S(X) —A ya que y es el G-mínimo de S(x) —A).

Como y G S(x) , por el Teorema 4 b) tenemos que y G N. Si y — 0

entonces, por ser A inductivo, y G A "o. o y ^ 0. Sea z el G-máximo de y; como y C A, z G A =? S(z) G A por ser A inductivo.

Veamos que y — S(z), con lo que tendríamos y = S(z) G A o.

C) Sea u G y- u £ ¿>(z) = > u £ z y u ^ z .Como u, z G y y G es orden total en y. por tricotomía se tiene2 G u. lo cual contradice el hecho de que z es G-máximo de. y.

Así pues:u

G y u

G S'(z).2 ) z £ y y y transitivo => z C y, <>o S(z ) = z U {z} C y.D

COROLARIO. N es un conjunto, N = u>, N es transitivo e inductivo.



P rueb a : Debe ser claro que N = {x G ui \ x es número natural }es un conjunto por el axioma de separación, ya que u>es conjunto. N estransitivo por el Teorema 4 (b).

La otra contención, u>C N, se da automáticamente pues N es inductivo por el Teorema 5, y í ¿ está contenido en todos los conjuntos inductivos(ya que l j es la intersección de todos los conjuntos inductivos). Así pues

N C u por el teorema 6 y lo C N, por lo ya dicho, por lo tanto N = u>.

COROLARIO (Principio de Inducción Matemática)Si A C N tal que 0 € A y Vn G N(n € A => S(n) G A) entonces A = N.

Debe ser claro que las hipótesis significan que A es un conjuntoinductivo por lo que u = N C A y entonces A = N.

TEOREMA 7 (Axiomas de Peano)1) 0 € N.

2) Si x € N entonces S(x ) = x U {x} G N.3) Vx G N (0 ¿ S(x)).4) Vx, y G N (S(x ) = S(y) =>x = y). Es decir, 5 es invectiva.5) Si A C N, 0 G A y Yn(n G A S(n ) G ^4) entonces N Cj A y por

lo tanto A = N.P r u e b a :

1) y 2) son una reformulación del Teorema 5.3) Sea x g N. S(x) — x U { x } 0, pues x G S(x) y x £ 0 .4) Supongamos S(x) —x U {x} — y U {y} —S(y). Si x ^ y entonces

vl e j / y j / G x ^ x e x o Por ser x transitivo.

De otro modo, si suponemos S(x) = xU{x} = yL) {y} = S(y). Comosabemos que si x es transitivo, x = U(x u {x}) Ycomo x .y transitivostenemos:

x = y (x U {x}) = |J (y U {y}) = y

de donde x —y.5) Sea A C N tal que 0 G A y Vn G A(S(n) G A). Entonces A es un

conjunto inductivo, de donde N C A y por tanto N = A.

LEMA. Sean m .n elementos de N. Entonces m G n si y sólo siS(m) G S(n). Es decir, la operación sucesor es compatible con G en N.

P r u e b a : La prueba es por inducción (inciso 5 del teorema 7):=£•) Sea A = {n E N [ Vm E N(m En => S(m) G S(n))}.

0 G A. por vacuidad Vm G N (m. £ 0). Sea n 6 A. Sea m E N tal quem G S(n) = n U {n}

m E n =$ S (m ) € S'(n) C S(S(n )) ^ S{m) E S(S(n)).

m = n => S(m ) — S(n) E S(S{n)) ^ S(m) G S(S(n)).

o S(n) E A.OO V '

<=) Sea B = {n G N | Vm € N (S(m) E S(n) => rn E n)}.

O g B. pues Vm G N(5(m) ^ 5,(0)) yaque S(m) G 0u{0} =>S{m ) = 0 'o.Sea n G B. Sea. m E N tal que S (m ) G S(S(n)) = S(n) U {5(n)}.

S(rn) E S{n) => m E n C S{n). neB

S(m) = S(n ) =>m —n E 5(n) (inciso 4 del teorema 7).

o S(n) E B .□OO x

LEMA. Para todo n elemento de N. n = 0 o existe un elemento p

de N tal que n = S(p).Prueba: Sea T = {n € N | n = 0 V 3p E N (n = 5(p))}. Es claro

que 0 G r .Supongamos k ET.Entonces k E N y obviamente 5(fc) G T. Por inducción se llega a

que T = N.

T e o r e m a 8 . N con la relación G es un Conjunto Bien Ordenado(COBO).P r u e b a :

i) V« G N (n ^ n). Es el teorema 4.

ii) Vn, m,p 6 N(n E m A m E p => n E p). Si n E m y rn € p como p es transitivo porque p E N, entonces n E p.

iii) m , n E N => m E n V n E rn V m = n; y sólo uno de los tres.

Aunque ser relación total o sea < N, G> C O T R I , se sigue de quetodo subconjunto no vacío tenga primer elemento, es necesario probarlo;lo probaremos usando inducción:

- Sólo uno de los tres:

m € n y n E m = $ - m E m ( por ser m transitivo) 'o .vm £ n y m = n = > m € r n o .

- Al menos uno: Sea A = {n E N | Vm 6 N ( m £ n V n € r a V n = rn)}. Veamos que A es inductivo.

• 0 E A. Sea Q = {rn € N | ü E m V m = 0}. Veamos que Q es

inductivo:0 6 Q. púas 0 = 0.

Supongamos que m E Q.

0 E m => 0 E m C rn U {rr¿} — S(m) o 0 E S(m). m = 0=¿>0e0U {0} = 5(0) = S(m) ^ 0 G S(m).

Así pues S(rn) E Q. Entonces N = Q, es decir,

V m 6 N ( 0 € m V m = 0). o Og Av y oo

• Supongamos que n E A. Sea m E N

m E n => rn E n U {n} —S(n).nCS(n)

m = n = ¥ m — n E n U {n} = S(n).nErr i S(n) E S(m) = m U {m}

( L E M A )

o 5(n) G m V S(n) —m.



Entonces comom

€n

V n €rn

Vn — m,

tenemos que:m £ S{n) Vm = S(n) V S(n) £ m.

o 5(n) 6 A.oo V '

Por lo tanto N = A (pues N = u>está contenido en todo inductivo)es decir:

Vn £ N Vm £ N (m £ n V m — n V n £ m).

iv) V M C N , M 0 3 A: £ M Vn £ M (A; £ n V k = n).

Podemos abreviar (k € n V k = n ) como k £ n.

Sea Ai C N y Ai ^ 0. Sea m £ Ai, si consideramos S(m) flAf CS(m),claramente m £ S'(m) n Aí ^ 0 y 5(m) £ N ya que m £ N. Sea /c elmínimo de S(m) C\M, con el orden £ en S(m). Entonces k es el £-míni-mo de Ai, pues sea n £ M, entonces por la tricotomía ya demostrada

(iii), n £ 5(m) o n = S(m) o S(m) e n :n € S(rn) => n € ¿>(m) H Ai = k € n V fc = n.

v ' O O

S(m) £ n => A: £ m. £ S(m) £ n (pues m £ S(m) Pl M)

de donde se tiene A: £ n.

5(rn) = n => k € m € 5(rn) —n o A: € n.

En todos los casos A: £ n. por lo que A: es el 6-mínimo de M .o

COROLARIO. N con £ es un Conjunto con Inducción Fuerte.P rueb a: Se demostró anteriormente que COBO => COIF.a Así pues, se cumple Inducción Fuerte para los números naturales, la

cual podemos expresar como:

VA C N [Vy £ N[Vz(z £ y => z 6 X ) => y £ A] =► N C A ]

donde el segundo símbolo £ expresa la relación “menor” y los demás €representan pertenencia, aún cuando significan exactamente lo mismo.

O bien como:

WX C N [Vy G N[y

COROLARIO. Sean m. n elementos de N. Entonces m 6 n si y sólosi m C n y m ^ n.

Prueba: Sean m, n € N.=>) m € n => m C n (por ser n transitivo) pero m # n pues m G n

o m C n y m n.OO '

<=) mCnym=^n=>-m€nVnGm (Teorema 8 , i i i ) ) .Pero n € m C n = > n € n o 0 m G n.o

OO

Usaremos indistintamente N y w ya que N = u; se probó en el Corolario del Teorema 6. Todo lo dicho para N se puede reescribir con u.

E j e r c i c i o . Usando que es un COBO o que es un COIF. pruebe el siguiente Principio Especial de Inducción para w.

'iX C o>[Vn € uiBm 6 X(n € m) A Vn 6 u>(s(n) G X =>n G X) =>u; C Xj.

E j e r c i c i o s

1) Probar que para todo conjunto A:a) P{A) transitivo => A transitivo.

b) A transitivo e inductivo [JA — A.2) Sean:

^ = { {W ,0},{{«}}}

a) Calcular |J fl A fl U A Y U f ) f l U •'4'- b) Para cualquier conjunto B, en general no se tiene ninguna

de las dos contenciones entre U fl P e D U P-

3) Sea T un conjunto no vacío de relaciones transitivas, es obvioque fl T, |J T son relaciones.a) ¿Es p| T relación transitiva?

b) ¿Es U T relación transitiva?4) Sea < A, r > COTO, / : A — » A tal que:

\fx,y G A[x r y f (x) r f(y)}

a) Probar que / es inyectiva. b) Probar el inverso: Vx. y G A[ f(x) r f (y) => x r y).

5) Sea S(x) = x U {x}. Pruebe que:

a) Vm, n G u>(S(rri) = S(n ) rri — n). b) Vm,n G oj(S(rn) € S(n ) 4» m E n ).

2.2 E l TEOREMA DE RECURSIÓN PARA NÚMEROS NATURALES

TEOREMA DE RECURSIÓN PARA NATURALES

Sea A un conjunto, a € A y sea / : A — > A. Entonces hay una únicafunción h : u> — > A, tal que:

h( 0) = a h(s(n)) = f{h(n ))

Consideremos lo que queremos probar:

0) h existe, es decir, que h es un conjunto.1) Para todo elemento n d e u existe un x € A tal que< n, x > G h\ es decir

Dorriih) —w, Im(h) C A.

2) Si < n, x > G h y < n, y > 6 h entonces x = y, es decir que h es función.

3) < 0, a > G h: es decir que /i(0) = a4) Si < n, x > G h entonces < s(n),/(x) > £ h\ es decir, que

5) Que tal función sea única.Dicho algebraicamente: Para cualquier aplicación 0 — »a, y cualquier/ : A — » A hay una única extensión que es un homomorfismo

h , s, 0 > — ’< A, f , a >,

es decir

h(s(n)) —f{h(n )) para toda n 6 u y h( 0) = a

DEFINICIÓN. Diremos que v es una función adecuada conrespecto a / si :

i) v es función, dorn(v) C u>,im(v) C ,4.

ii) Si 0 6 dom(v) entonces t/(0) = a.

iii) Si s(n) G dom(v) entonces n € dorn(v) y v{s(nj) = f (v(n) ).

En lo que resta de la demostración diremos que v es función adecuadasi lo es con respecto a /.

Sea A = { v G P(u x A) \ v es función adecuada }

Observación 1. {< 0, a >} € Á con lo que A 0.Observación 2. A es un conjunto por Axioma de Separación.Observación 3. h — [JÁ es un conjunto por la Observación 2) y

por el Axioma de 1a. Unión.Observación 4. Aunque (JA es único por Axioma de Ex-

tensionalidad, este no prueba la unicidad de una función h que cumplael enunciado del teorema, ya que podría haber sido construida de otromodo.

Probaremos ahora que tal conjunto h es una función con dominio u; ycuya imagen está contenida en A y que cumple lo pedido en el enunciadodel teorema.

LEMA 1. Cualesquiera dos funciones adecuadas son compatibles,es decir, para todas v, w € A y para toda n £ u) se tiene que:

n 6 dom[y) fl dorn(w) =► v(n) = w(n).



Prueba: Sean v, w G Á. Es suficiente mostrar que D = { n € u > \ n £ dom(v) fl dom(w) => v(n) = w(n)}

es un conjunto inductivo, pues entonces N = u; — D y v ,w serán com patibles.

- 0 € D. pues supongamos que 0 € dom(v)C\dom(w) como v y w sonfunciones adecuadas se tiene que v(0) —a — t¿>(0).

- Supongamos n G D y que s(n) € dom(v) Pl dom(w), entoncesn G dom(y) H dom(w) y por hipótesis inductiva v(n) = w(n). Comov, w son funciones adecuadas v(s(n)) — = f (w(n)) — w(s(n)).Así s(n) G D.a

LEMA 2. La unión arbitraria de funciones adecuadas es una funciónadecuada.

Prueba: Sea B C A. Veamos que (J B es función adecuada:

i) Por el Lema 1, B es un sistema compatible de funciones por loque 1J B es una función.

Además 1J B es una función que cumple:

d o m ( \ j B )= (J dom{v) C u>v €.B

im(\JB) = [J im(v) C Av(zB

ii) Supongamos que 0 G dom(lJB) = 1J dom(v), esto implicav£.B

que 0 G dom(v) para alguna v G B, de ahí que v(0) = a, por lo tantocomo v C U B, tenemos que (U^)(0) —y(0) — a-

iii) Supongamos que s(n) G dom([JB) — 1J dom(v), esto im-v£B

plica que s(n) G d o m ( vo) para alguna vo 6 B C A, de ahí quen G dom(vo) y vq(s(n)) —f{vo(n)). Como vo G B se tiene tío C (J-B yademás d o m ( vo) C (J d o m ( v ) = d o m ( \ J B ) , por lo cual n G d o m ( { J B )

y U # 0 0 ) ) = «o(s(n)) = f(vo(n)) = f({JB(n)) .a

LEMA 3. Todo número natural está en el dominio de alguna funciónadecuada. Es decir: para cualquier n € u> existe v G A tal que n 6dom(v).

P ru eb a: Basta ver que E — {n G u> | G A(n G dom(v))} es unconjunto inductivo.

- ü G E pues {< 0, a >} G A y 0 € dom({< 0, a >}) = {0}.- Supongamos n G E: sea v € A tal que n G dom(v). Sea

v' - v U {< s(«). >}

es obvio que s(n) e dom(v'). Veamos que v’ G A y en conclusión ques(n) G E.

i) v' es función:- Si s(n) dom(v) entonces v y {< s(n). f(v(n)) >} son funciones

compatibles y su unión, que es v' es función.- Si s (n) G dorn(v) entonces n G dorn(v) y ií(s(n)) = f (v(n)) por lo

que v1—v G A, es función, además de la definición de v' , dom(v') C u; yim(v') C A.

ii) Supongamos 0 € dom(v') — dom(v) U {s(n)}. Entonces como0 s(n) tenemos que 0 G dom(v), de donde -¡/(O) — v(0) —a.

iii) Sea s(m) € dom(v') = dom(v) U {s(n)}. Hay dos casos:- Si s(m) G dom(v) entonces m G dom(v) C dorn(v') y además

v'(s(m) = v(.s(m)) = f{v{m)) = f(v'{m)).

- Si s(m) —s(n) entonces m = n, por lo tanto por hipótesis inductiva,tenemos que m = n € dom(v) C dom(v') y de ahí.

v ' (s (m ) ) = i / ( s ( n ) ) = f ( v (n )) = f{ v ( m ) ) = f ( v ' ( m ) ) . a

Prueba del Teorema de Recursión (primera versión). Seah = U ^- Ya se vió que como A es conjunto, h = (JA es conjunto porAxioma de Unión. Así pues, < n, m > G h si y sólo si existe v



€ Á tal que (n = 0 y m = a) o existe p € u que cumple p € dom{v),n = s{p) y 7Ti = f(v(p))

Por Lema 2, h es función adecuada y por Lema 3, dom(h) = u j .

Así h : uj — *■ A cumple:

h(0) = a h(s(n)) = f(h(n))

Unicidad Sean h, h! : u¡ — » A que cumplen

h{0) = h'{0) - ah{s(n)) = f(h{n)), h'(s(n)) = f( t i(n))

Entonces como dom{h) = dom(h') — u j , para cualquier n £ ¡j. setiene n € dom(h) n dom(h!) de donde por Lema 1, h(n) = h!(n) para

toda n 6 u j . Así pues h — h'a

E J E R C I C I O . Sea f : A — * A y a e A. Entonces por el Teorema, deRecursión existe una única función h : u — > A tal que

h( 0) = a h(s(n)) = f{h(n))

Pruebe que si / es inyectiva y a f. im(f), entonces h es inyectiva.

E j e r c i c i o

a) Probar que hay una única función g : w — ►u tal que,

5(0) = 2g{s{n)) = 3 + (g(n))

para toda n € w. b) Dar un definición explícita de la función g anterior (es decir,

una definición no recursiva) que debe ser de la forma

g(m) = n 4^ ....

o bien9 = { < rn, n > |

donde “...."indica una expresión rigurosa y precisa, donde noocurre “<?”.

Prueba del Teorema de Recursión (segunda versión). Sea

B — {G € P(w x A) |< 0, a > G G y Vn G ¿jVt g A

(< n.x >G G =í>< s(n) , f (x) > 6 G)}

Observación 1. B ^ 0 pues (ui x ,4) € i3. por lo tanto p| B es un

conjunto.Observación 2. B es un conjunto. Aunque esto no es necesario para que p| B sea un conjunto, por Teorema 2.

Observación 3. Si definimos g : u x A — > u x A tal que paratoda n € u> y x £ A, g(< n , x >) = < s (n ) , f ( x ) >, es claro quees función pues s, f son funciones respectivamente. Podemos pensar acada G e B, como un conjunto generado o que contiene a lo generadoa partir de {< 0, a >} por la operación g, es decir como el mínimo conjunto

generado por g a partir de < 0, a > . Sea h = p|i?. Es fácil ver que h satisface < 0, a > G h y que < n ,x > G h implica < s(n), f ( x ) > G h.

Obsérvese que: h(x) = y <s>< x .y > 6 G para todo G G B. Es obvioque im(h) C A.

Sólo resta mostrar que 1) dom(h) = w y 2) h es función.

1) Es obvio que dom(h) C u. Veamos que dom(h) es inductivo:i) 0 G dom(h) pues < 0, a > 6 h.

ii) Supongamos n G dom(h) entonces podemos encontrar x G A tal que < n, x > 6 h pero entonces por la propiedadsatisfecha por h, < s (n ) , f ( x ) > G h de donde s(n) G dom(h).

Así pues u = dom(h).

2) Es suficiente ver queF = {n G u j | V s c , y < n, x > € h y < n ,y > € h x — y} es un conjunto inductivo:

i) 0 € F pues si hubiese x y tales que < 0, x > € h y también< 0,y > G h entonces a ^ x o a ^ y.

Supongamos sin pérdida de generalidad que a ^ x y seah! = h —{< 0, x >}. Se observa que h! C h. h' cumple < 0, a > G h' pues < 0, a > G h —{< 0. x >} ya que x a.h' satisface < n,w > G h => < s( n) ,f (w) > € h! puessupongamos < n,w > € bl entonces < n,w > € h por lo tanto

< s (n ) , f (w ) > 6 h, pero como < s(n), f (w) > ^ < 0,x > pues 0 s(n) para toda n € u>, se tiene < s(n) , f (w) > G b!.

Así pues hl G B y /i' C h y h' t- h. o (Contradice la definición

de /i = H B ). Por lo tanto 0 G F.ii) Supongamos n G F. Entonces n G w y por 1) n G dom(h)

por lo tanto hay un único x G A tal que < n, x > E h. Sabemos que < s(n).f{x) > G h. Supongamos ahora< s(n),w > G h y w ^ f (x) .Sea h! = h —{< s(n), >}. Veamos que h' G 5:h' satisface < 0. a > Gh' pues < s(n),w > ^ < 0, a >.

h' satisface < m ,v > G =£• < s(m), f ( v ) > £ b! puessupongamos < m ,v > G h', entonces < m ,v > G h por lo cual< s(rri). f(v) > G b!.

- Si s(m) # s(n) entonces < s (m) , f (v ) > ^ < s(n),w > porlo tanto < .s(m). f ( v ) >G /i'.

- Si s(m) = s(n) entonces m — n. por lo tanto< m, v > = < n. v > pero n G F, entonces v = x,< s{m), f(v) > —< $(m), f (x ) > por ser / función. Como

f ( x ) w entonces < s(m), /(u) > G h'. Así pues h! G B y

/ í 'C / i = f)B pero h! ^ h o Por lo tanto w = f(x) y s(n) G F.

De lo anterior, F es inductivo, u — F y h es función.Unicidad: Sean h, tí funciones que cumplen:

0) h existe; es decir, que h es un conjunto.1) Para todo elemento n £ ui existe < n ,y > € tí, es decir,

dom(h) = u, im(h ) C A

2) Si < n, x > E h y < n, y > € h entonces x = y; es decir que /i esfunción.3) < 0, a > € /i; es decir que h(0) = a.4) Si < > e h entonces < s(ri),f(x) > € h; es decir, que

/i(s(n)) = f(h(n))

Sea D = {n € lo \ h(n) = h'(n)} C Veamos que D es inductivo:- 0 € D ; por 3, h(0) = a = h'(0).

- Si k e D entonces h(k) = h'(k)\ por 4, h{s(k)) = h'(s(k)) pues f(h(k)) = f(h'(k)) por lo tanto s(k) £ D.

Así D es inductivo, w = D y para toda n £ D, h(n) = h!{n) por loque

h = tí □

EJERCICIO. Sea h —f]B. como en la prueba anterior; demuestreque:

i) < 0, a > £ hii) < n ,x > E h => < s(n), f (x ) > E h

E j e rc i c i o . Sean < A,r >,< B,s > COTRI y COPO respectivamente, y sea / : A — » B tal que V x, y £ A(x r y => f(x ) s f(y))-

Entonces probar que:i) / es inyectiva.ii) Vx,y £ A ( x r y o f (x) s f (y))

2.3 S i s t e m a s d e p e a n o

Un sistema de Peano es una terna < N,7 , e > constituida por unconjunto N de objetos, una función 7 de un argumento y un elemento e£ N que se comportan como los números naturales: cualquier elementoes; o "el cero”o es “un sucesor”. Pero podría pensarse así, si e es "elcero”y 7 es la “función sucesor”:

e — ♦ 7(e)Z 1 \

7 n+1(e) 7Í7(e))\ /7n(c) .... «- 73(e)

o a s i

e — ♦7(e) — ►72(e)— * ..... — ♦7n(e)/ \

™ + 1 ( e ) 7 ” + 1 ( e )

T I7 m ( e ) . . . . <— 7 n + 2 ( e )

o a s í

e— ■>7(e)— ♦72( e )— * 7 3 (e )— - ......— >7 n (e)

o a s í

e— +7(e)— ♦ 72(e)— >73(e)— ♦ 74(e)--- —♦ 7n(e)— +7n+1(e)— .........

¿Qué queremos?

1) Que e GN

2) Que 7 esté definida en todo N y que sea función con valores enN, es decir:

Vx € N 3!j/ £ N tal que < x. y > € 7.

Además:

3) Vx eN e 7(x), es decir e ^ ¿771(7).

4) 7 n(e) 7 m(e) si n 7 m ó 7(1) 7(2/) si x ^ </. Es decir, 7inyectiva.

5) VA C N [e € A y 7 [.A] C A => A = N] (Inducción).

Para que sea único salvo isomorfismo, i.e. sea como los naturales.

Observación. Si se cumple 1), 2), 3) y 4), N será infinito.

Consideremos u>, s : u — >u, 0 e u; entonces podemos considerar laterna < í¿,s ,0 >. Ya sabemos que esta terna cumple 1), 2), 3), 4) y 5).Cabe recordar que s — {< n, n U {n} >| n £ u>} y 0 = 0.

DEFINICIÓN. Un sistema de Peano es una terna <N,7,e> tal que:N es un conjunto, 7:N — >N ( es decir 7 C NxN y 7 es función condom(7) = N y im (7) C N ), y e GN tales que:

i) e ^ im (7).

ii) 7 es inyectiva.

iii) YA C N[e G A y 7 [A] C A =$>N = A}.

Si se cumple e £ A y 7 [A] C A, decimos que A es e-7-inductivo.

TEOREMA 9. < w ,s,0 > es un sistema de Peano. Ya se probó: Teorema 7. Además se probó que < w,€> es COBO, y

que s es compatible con £: n £ m o s(n) £ s(m).

2.3 .1. UN ICIDAD DE SISTEMAS DE PEA NO

TEOREMA 10. Sea < N ,7 , e > un sistema de Peano, entonces< u, s. 0 > es isomorfo a <N ,7 , e >. Es decir, hay una funciónh : ui — • N tal que es inyectiva y suprayectiva y “preserva la estructura” ,es decir:

1) h(s(n)) — 7 (h(n))2) h{ 0) - e

Prueba: Como 7 :N— >N y e G N, por el Teorema de Recursión para naturales, hay una única h : u — * N tal que:

i) h(0) = eii) Vn G ui(h(s(n)) ~ 7 (/i(n)))

Como 7 es inyectiva y e ^ im(7 ), por un ejercicio anterior (despuésde la prueba del Teorema de Recursión), la h es inyectiva. Sólo falta verque h es suprayectiva, es decir. im(h) = N. Sabemos que im(h) C N,veamos que im{h) es e-7 -inductivo:

i) e G im(h). pues e = h(0).ii) Sea x G im{h), de aquí x — h(n) para algún n 6 l o . Entonces

como 7 es función 7 (x) = 7 {h(n)) = h(s(n)) G im(h).Así pues, por el inciso iii) de la deñnición de Sistema de Peano, se

tiene im(h) — N

E J E R C I C I O .Si

< N . 7, e > es un Sistema de Peano, entonces:7m(7) —N —{e}

Veamos ahora una caracterización del orden de los números naturales, utilizando el Teorema de Recursión.

T e o r e m a 1 1 . Sea A ^ 0, T C A x ,4. Si < A . t > cumple:i) A no tiene r-máximo, es decir Vx G A 3 y G A(x r y).

ii) < A . t > es COBO.iii) Todo subconjunto no vacío acotado de A. tiene r-máximo. Es

decir, VB C A si B ^ 0 tal que 3 y G AVx G B ( x t y o x - y), entonces

3x e B Vz € B(z t x o z = x).

Entonces < A , t > = < l ü ,E>

Prueba:Sea a el r-mínimo de A. Sea / : A — > A tal que

Vx 6 A, f (x ) es el r-mínimo de {y € A I x t y} C A.

Obsérvese que a existe y / está bien definida por las hipótesis i) yii). Por el Teorema de Recursión, existe una única h :u> — > A tal que:

i) h(ü) = a.ii) h(s(n)) = f(h(n)).

Obsérvese que: Vx e A, x r f (x ) por definición de f (x) , por lo tanto

Vn € u)[h(ri) r f(h(n)) —h(s(n))}

dado que Vn € u>(h(n) € A) y por la propiedad recursiva de h. Así puestenemos [h(n) r /i(s(n))] para toda n € u.

Veamos que h es isomorfismo:1) Vm ,n€ oj [m € n =>h(m) r h(n)]. Basta ver que el conjunto

D = {n € u) | Vm (m € n => /i(m) r /2-(n))}

es inductivo:i) 0 € D pues Vm € u>(m ^ 0).ii) Supongamos n € £>. Sea m g w tal que m S s(n) = n U {n}.

- S im g n entonces como n £ D se tiene /i(m) r h(n) r h(s(n))- Si m = n entonces por ser /i función h(m) = /i(n) r /i(s(n))en cualquier caso se tiene s(n) € D.

2) /i es inyectiva y Vm. n G a;(m G n h(m)Th(n)) por 1) y por ser,€> y < A, r > COTOS. Véase ejercicio anterior ala sección 2.3.

3) Veamos finalmente que h es suprayectiva; es decir, irn(h) = A.Si no fuese así, A —im(h) ^ 0. Sea pues p el r-mínimo de

A — im(h). Entonces B = {q € A \ q t p} está acotado

superiormente por p y B C im(h). Además B ^ 0 (si no. p seríamín imo de A y entonces p = a = h ( 0) G im(h) o ).

Sea pues q el r-máximo de B (existe por hipótesis iii)). Comoq t p. ya sabemos que q € irri(h), es decir, q — h(m) para algúnm G l o . Pero obsérvese que p es el mínimo elemento de A mayorque q.Es decir p — mínimo d e {x £ A \ q t x} (pues si hubiese

p' r p con p' el m ín im o se ten d r ía q r p' r p y q no ser ía máx im oVde B o ). Por lo anterior,

P ~ /(<?) — f{h{m)) - h(s(m)) € im(h ) o

así que im(h) —A.Tenemos pues que h es un isomorfismo y < u, €> = < A. r > .□

2.4 ARITM ÉTICA EN LOS NATURALEST E O R E M A 1 2 . Ha y u n a ú n ica o p er ac ió n + : w x u> — » l o ta l que:

Vm € ui(m + 0 = m)Vm, n G u(m + s(n) — s(m + n)).

Prueba: Sea m € l o . Inmediato del Teorema de Recursióncon A — l o , a = m> f = s

3! m + ( ) : l o — ► l o

tal que lo cumple.Ahora definimos + : l o x l o — * l o tal que

Vn, m G Lo(m + n = m + (n))

Queda claro que esta función es única también por el Teorema de Recursión. □

C o r o l a r i o . Vm e w(m + 1 = s{m)).Prueba: Considérese m + ( ) : u> — * l o. Se tiene entonces:

m -)-1 = m + (1) = s(m -I- 0) = s(m).

T E O R E M A 1 3 . Hay una única operación • : u X ÜJ --- ►(ju tal que:

Vm € u)(m -0 = 0)Vm, n e u)(m s(n) = m + (m n ))

Prueba: Sea m € w.

Inmediato del Teorema de Recursión con A = u, a = 0, f —m + ( ),

3! m • ( ) : uj — >u

tal que lo cumple.Ahora definimos • : u x ui — >u>tal que Vn. m £ ¡¿{m n = m (n)).

C O R O L A R I O . V m 6 w (m ■1 = rn).

Prueba :

m ■1 = m ■(1) = m ■(s(0)) = m + ( m ■0) = m + 0 = m.

E j e r c i c i o s

1) La operación + : u x lo — >u>es conmutativa, asociativa y

0 es neutro.2) La operación • : u¡ x ui — ■> es conmutativa, asociativa y 1

es neutro.

3) Distributividad: Vm, n,p 6 u(rri (n + p) = m n + m p).

4) Compatibilidad de + con el orden:Vm,n ,p e m < n =í> m + p < n + p).

5) Justificar la definición Exp: w xo ) — »w tal queExp[m, 0) = 1 yExp (m , s(n)) = m Exp(m, n).



2.5 V a r i a n t e s d e l t e o r e m a d e r e c u r s i ó n

V aria n te 1. (Cuando depende de s (n ) ). Sean A un conjunto, a £ A, y g : A x u — > A. Entonces hay una única función h : u — ► A talque:

h( 0) = a h(s(n)) = g(h(n),s(n))

P ru eb a : Como la de la versión anterior, adaptando la definición defunción adecuada, □Compárese esta variante con la versión .primera y obsérvese que es

más general en el hecho de que permite que la función para .s(n) puedadepender del mismo s(n), además de depender del valor de la función

para n.

Aplicación: con A = u>,a = 1 y g(m,n) = rri-n, 3 Ih llamada función

factorial tal que:

h{ 0) = 1h(s(n)) = h(n) s(n)

V arian te 2 (Cuando depende de dos anteriores). Sea A un conjunto,ao,a\ G A y g : A x A — » A. Entonces hay una única función h : u> — >

A tal que: /i(0) = a0^(1) = a\

h(s(s(n))) = g(h(s(n)),h(n))

P ru eb a : Como la original, adaptando la definición de función adecuada.^

Aplicación: la Sucesión deFibonacci. con A — cu, cío —“i = 1> g{m >n ) =

m -f n, 3! h tal que:

h(0) = 1 H 1) = 1

h(s(s(n))) = h(n) + h(s(n))

La sucesiónh es: 1,1,2, 3, 5,8,13, 21,34,...O bservac ión. La variante 1 implica la versión primera, con g definida

como g(x,n) —f{x). La variante 2 también implica la versión primera,con g definida como g(x, y) = f(x ),ao = a y a* = /(ao).

Vers ión gen eral . Sean .4 un conjunto, S = 1J nA (todas las suce-n£ ui

siones finitas de elementos de A). Sea g : 5 — » A función. Entonces

existe una única h : w — » A tal que:Vn G u){h(n) = g(h |„)).

En particular:h(0) = g(h |o) = 5(0) € Ah{s{ 0)) = g[h |s(0)) = í({ < 0,p(0) >}) € Ah(s(s(0))) = g(h U(s(o))) =

p({< 0,^(0) > ,< s(0),p ({< 0,5(0) >}) >})P rueb a : Considérese 0 € 5 y definamos G : 5 x u — ♦ S tal que:Dado < x, m > 6 S x u>,

{{ < m . g ( x ) > } Si rn — 0

x U {< n,g(x) >} Si m — s(n) y x € nA

0 Si m = s(n) y x £ nA

Por Teorema de Recursión (Variante 1) hay una única funciónF : u) — * 5 tal que:

F(0) = 0F(s(n)) = G(F(n),s{n)) = F(n) U {< n,g(F{n)) >}

Sea h — (J F (n ),s e puede verificar por inducción que:n € uj

Vn € uj(F(n) : n — > A)

así que dom(h) = dom( (J F(n)) — (J dom(F(n)) = IJ n = u yn £ n £ uj ti £ uj

im(h ) = im( |J F{n)) = (J im(F(n)) C A.n 6 u nEiA»



AsíF(n)

=h

| „yh(n)

= [( U F (™))](™) =F(s(n))(n)

=g(F(n)) =

n £ w!«)•□

Observación . La variante 2. del Teorema de Recursión se puededemostrar a partir de esta versión General.

Algunas veces definimos funciones de dos variables usando recursión. por ejemplo funciones de N x N en un conjunto A, una de las variablesse considera un parámetro.

TEOREMA DE RECURSIÓN (Versión p a ra m é tric a ). Sean A y P conjuntos cualesquiera y a : P — > A y g : P x A x u — » A funciones.Entonces hay una única funciónh : P x u — > A tal que:

Yp G P(h(p,0) = a(p))Yp e P(h(p, s(n)) = g(p ,h(p ,n),s(n )))

P ru eb a 1: Versión paramétrica de la prueba original con una definición paramétrica de función adecuada. □

P r u e b a 2: Consideremos

a g PA = { / | / : P — *A}, G : FA x u> — ♦ PA

tal que

G ( x , n ) { p ) = g ( p , x ( p ) , n )

Entonces por el Teorema de Recursión (Variante 1) hay una únicafunción

F : u> — » p A tal que:

F ( 0 ) = oF ( s ( n ) ) = G( F ( n ) , . s ( n ) )

Ahora sí. definimos:

Vp G P Vm G a >(h{p, m ) = F( m )( p) )

Así Vp € P(/l(P>0) = F(0)(p) = o(p)).Vp e PVn G u> (/i(p, s(n)) = F(s(n))(p) =G(F(n),s(n))(p) = g(p, F(n)(p), s{n)) = ff(p,/i(p,n),s(n))).D

Unicidad Sean /i, que cumplen lo anterior. Entoncesdom(h) = u>= dom(h'). Veamos que Vn € w, /i(n) = h'(n)\

( n = 0) ft(0) = .9(/i |o) = <?(0) = <?( ' lo) - h'{ 0)

H.I. Suponemos Vm < n, /i(m) = h'(m). En particular como Vm < n h(m) = h'(m) tenemos que h |„ = h! \n y para n tenemos h(n) —h'(n).

(Para n + 1)h(n + 1) = g{h |„+i) = g(h |n U{< n,g{h |„) >})

= g(tí |„ U{< n,g(h' |n) >}) = g(tí |„+i)= h'(n + !)■□



3 E q u i p o t e n c i a , f i n i t u d ,

DOMINANCIA Y ARITMÉTICA

CARDINAL

3.1 EQUIPOTENCIA

¿El conjunto de todos los espectadores de una función de teatro, tiene

el mismo número de elementos que el conjunto de todos los asientos delteatro?

Para saber la respuesta, el acomodador no necesita contar a los es pectadores ni a los asientos !

Podemos definir la relación ;'los conjuntos A y B tienen el mismonúmero de elementos”sin saber nada, acerca de números.

Lo único que necesitamos hacer es establecer una correspondencia

uno a uno entre todos los elementos de A y todos los elementos de B.

DEFINICIÓN. Un conjunto A es equipotente a un conjunto B siihay una biyección de A sobre B.

NOTACIÓN. Si A es equipotente a B, lo denotamos A ~ B.En símbolos:

A ~ B 3 / ( / es función inyectiva A dorn(f) = A A im ( f) = B) .

E j e m p l o s

• R+ ~ R~ con f ( x ) = —x Vx € K+

r-n r, \ Si n es impar • u>~ Z con f in ) — { „¿’ \ § Si n es par

• uj ~ {2n | n € w} (Pares) con f(n) —2n

• w ~ {n2 | n G w} con /(n) = n 2 (Galileo, 1638)

i \ ira */• \ f 1 “ ¿ Si 0 < X < i• (0, 1) ~ R con /(x) = | _ L Í ' ! S i i < 1 < 21. o »

g(x) = tan ) = tan (níx - i) )

Observación g( |) = £ Irracionales

• uj x uj ~ uj con: J (< m, n >) — *((m + 7z)24- 3m 4- n) ó con:í?(< m,n>) —2m(2n + 1)—1

PROPOSICIÓN 1. Para cualesquiera conjuntos A. B. C :a) A ~ A

b) Si A B entonces B A.c) Si A ~ B y B ~ C entonces A ~ C.Prueba :

a) /(¿4 es biyección de A sobre A b) Si A ~ B entonces f ~ l es biyección de B sobre A

c) Si A ~ B v 5 ~ C entonces 5 0 / es biyección de/ 9

A sobre C.D

Así 1a. relación ~ es una relación de equivalencia sobre el universo V de todos los conjuntos.

Debe ser claro que:

{< A ,B > | A ~ B )

no es un conjunto, pues si lo fuera, su campo, su dominio y su imagen

que esV

sería conjunto oAsí pues, es una clase propia y podemos llamarle relacional paradiferenciarla de las relaciones, que son conjuntos.

Otros e jemplos

• (0,1) ~ R

Otras formulaciones de la misma

/O )1 - 4 = = , S i o c r < i1 1 = 2e=I = ^ 4 : Si ¿ < x < 12—2x 2—2x 1 — x 2 —

tr ^ 2a: ~ 1/( l) = 1—I2x —1

Observación . / lleva racionales en racionales e irracionales enirracionales.

oE —iX G Q =► f (x ) = 2 i = ^ _ = f a € Q . ¡pg € z q # o

<7 1

f (x ) G Q =► /(x ) = ^ = f f 2xp = 2xq -q=> H P-. <i # 02x(p - q) = - q ^ x = G Q

• (0,1) ~ ( - 1 , 1) ~ R g(x) = 2x - 1 , /¿(x) =

f = h o g : (0,1) --- * R / , <?, h son bivecciones y llevan racionales en racionales.

• [ o , i] ~ (0, 1) , donde h esta definida como sigue:h

S ix = 0Si x — n > 0

Si x 0, x n > 0h(x) = S H+2n + 2

X

• LJ ~ Q Biyección: 0,1,§, - y s - 1 , - 2 , - | , - 3 , 3 , 5 ,

-41

i2

I-43

I-44

I-4

5

6

- 3 - 2 -1 0 1 2 3 4 51 1 1 T i T 1 T 1

T I T 1 T 1 T I- 3 - 2 —i 0 1 2 3 4 52 2 2 2 * 2 2 2 2 2

T i T 1 T i- 3 - 2 - i n 1 2 3 4 53 3 3 3 3 3 3 3 3

T i T 1- 3 - 2 —i 0 1 2 3 4 54 4 4 4 4 4 4 4

T4

1- 3 - 2 - i o 1 2 3 4 55 5 5 5 Ó 5 5 ú 51

- 3 , - 2 - i 0 1 2 3 4 56 6 6 6 6 6 6 6 6

• (0 ,1) x (0 ,1) ~ (0,1)

Donde la idea para / es que para cada (a, b) E (0,1) x (0,1) ennotación decimal (a. b) = (O.aoa-i^asaiag.... , O.bobibobsb.ib5...),

/ ( < a.b>) — 0.ao&o ií>ia2 2....

EJERCICIO. Justificar con detalle esta idea; por ejemplo, que larepresentación decimal sea única.

EJERCICIO. Verificar que u x l j ~ u. dondeg

g(< m, n >) = 2m(2n + 1)—1

PROPOSICIÓN 2. Para todo conjunto A , P(A) ~ a2 P r u e b a : Denotamos A2 = { f \ f : A — » 2}Definimos una función h : P{Á) — * A2 que sea biyección:Para cada B C A, sea h(B) la función característica de B , \ B es

decir la función x s A — * 2 tal que:

. , í 1 Si x G B X b { x ) I o Si x ^ B

Sea pues h(B) = x b -

-S i B' , 3 x e B —B' ó 3 x E B' —B, por lo tanto.

HB) — X b í X b >= h(B')

-S i g e a 2 entonces g = h({ x G A \ g(x) = l}).o

PROPOSICIÓN 3. Para todo conjunto A y todo z, se cumple:

A ~ A x {z}

Prueba: con f(y) —< y, z >, Vy € A.

P r o p o s i c i ó n 4

a) Si A ~ B y C ^ D entonces A x C ~ B x D.

Sean Entonces definimos:/ “ 9

h : A x C — * B x £>, como h(< x.y >)= < f (x),g(y) > .Claramente es biyección.

b) Si A ~ B y C ~ D entonces AC ~ BD

Si A ~ J5 y C ~ Z?, definimos G : — * BD. como G(/i) :/ 9

B — * D, G(h) = g o h o f ~ \ así AC ~ B£.

G Invectiva: h ^ V =» 3x G A, h(x) tí(x), por lo tanto:

G{h)(f{x)) = g o h o f ~ \ f ( x ) ) —g(h(x)) ±g(t í{x)) = g o tí o f ~ 1(f( x)) = G(h')(f(x))

por lo tanto G(tí) ^ G(h').

G Suprayectiva: Si j G BD entonces g~l o j o f g aC, yG(g~l o j o /) = g o c/-] o j o f o f ~ l = j

c) Si A ~ B y C ~ D entonces A x {0} U C x { l } ~ 5 x {0} U

D x {1}. Sean A ~ B y C ~ D . f " 9

Definimos h : A x {0} U C x {1} — > B x {0} U D x {l},talque.

V < X , b >e A x {0} UC x {1},

h ( < r r h ^ \ - ¡ < / ( 2:)>ü > Si < x.b >e A x {0}{ ' } - \ < g(x), 1 > Si < x, b >e C x {1}

Es fácil ver que h es biyección.o

d) Si A ~ B entonces P(A) ~ P(B).

Si A ~ B, sea g : F(A) — »P(B), tal que Ve C A. g(c) = f[c\.

Entonces, si c c! => 3.x G (c — c! U c! — c), por lo tanto,/(x) 6 f[c] - f[d] 6 /(x) € f[c'} - f[c], así que g(c) = f[c] #

fW) = g{d).Y si c e P{B) => c C B. Así c — f[{x \ f (x ) 6 c}] = g({x ¡/(x) G c}).a

O bse rvación. La afirmación inversa de d) es un indecidible; es

decir, si suponemos que P(A) ~ P{B) no se puede probar ni refutar que A ~ B. La prueba de esto queda fuera del alcance de este libro.

Ejemplos de no-equipotencia:

« 2 3, Es decir {0, {0}} + {0, {0}, {0, {0}}}

• uj R (Cantor 1873)

Veamos que para toda / : w — >R, hay r e M tal que r 0 vm{f).expresemos /(n ) para toda n, como una lista de valoresen R ennotacióndecimal; sea / : u> — »R

/ ( O ) = a o . a oo « o í <i02 a o 3 «04 ••••

/ ( 1 ) = a 1. a x o a i 1a i 2a i 3a i 4 . . . .

/ (2) = ai. ®20®21 ®22 23<2'24 —

Sea r — b.bobibib^b^.....

, donde b = 0 yi f 7 Si ann 7 n ~ \ 5 Si ann - 7

Entonces Vn, r f ( n ) en el lugar decimal n-ésimo (contando desde0). por tanto r 0 Así pues no hay biyección posible entre u>y R.a

T e o r e m a d e C a n t o r . Para todo conjunto A. A / P(A) .Prueba: Sea g : A — * P(A) cualquiera.Sea B = {y G A ¡ y £ g(y)}, B G P(A).

Pero B £ i m ( g ) pues si B = g(z) para algún z G A. tendríamos que:

z € B z £ g(z) «=> 2 ^ B o

Así pues g no es suprayectiva y como fue arbitraria, no hay biyección posible entre A y P(Á) .q

Observación. Hay / : A — >P(A) inyectiva; por ejemplo tal que

Vx G A , f (x) — {x} G P{A).

Obviamente, x^ y => f(x) = {x} ^ {y} = f(y).

Observación. ->3 zVw[w R g(z) ->(w R g{w))} Es UniversalmenteVerdadera (U.V.) para toda g función y para toda R relación binaria.

Obsérvese que con la interpretación de conjuntos. R como G y g cualquier función, el enunciado U.V. afirma que no hay un conjunto talque su imagen bajo g sea el conjunto de todos los conjuntos que no pertenecen a su propia imagen bajo g.

TEOREMA 14. R no es biyectable con u.Esta prueba es diferente a la anterior, y está basada en las siguientes

propiedades de R:

(R, <) es denso:

Vx, y G R[x < y =» 3 2 G R(x < 2 A 2 < y) ].

(R, <) es sin extremos:Vx G R[3 y G R(x < y) A 3 2 G R (2 < x)]

(R. <) es completo: \¡B C R[j? 7 0 A 3 y € R Vx G B (x < y) =>•

3 w 6 R[Vx G B (x < w)A V j € R( Vi g B(x < z) =£>w < z)]].

(■i.e. w — Mínima Cota Superior de B).Prueba: Supongamos que M fuera contable, digamos M = {cn ¡

n G w}. Encontraremos un real a tal que a 7=cn Vn G u j .

Definimos por recursión para u>:

i) Sean üq = cq , bo —c.k donde k es el mínimo índice natural tal queao < Cfc (R sin extremo derecho).

ii) a„+i = c/~, donde k es el mínimo índice natural tal quean < Ck < bn (R denso).

bn+i — Ck >donde k es el mínimo índice natural tal queon+i < Cfc < bn (R denso).

Observación. Vn G u( an < an+j A bn+\ < bn).

Observación. {an | n G w} está acotado superiormente por todoslos bn'' s y no tiene último, por lo tanto Vn, m G u; (an # ¿>m), {bn j n G '}acotan a todos los an's y no tiene mínimo.

Sea a = Sup{an | n G w}, entonces a ^ c* V/c G w o"o^Cf cVi Gw pues Vn G u>( an < a < bn) y Vfc3n(c*; < an V bn < c¿),

es imposible que Vn(an < ck < bn) pues tal c* se seleccionará comoan+j ó bn+1 a lo más en k pasos.o

Meditación. Como Q es denso y sin extremos, la completud de Res la que determina su no numerabilidad.

E j e r c i c i o . Verificar que u>x u>~ u>dondeF

F ( < m, n >) = \[{m + n )2 + 3m + n]

3.2 FINITUDDEFINICIÓN. Un conjunto A es finito A es equipotente a algún

número natural.

D E F I N I C I Ó N . Un conjunto A es infinito no es finito.

Así pues, A es infinito <=>• no es biyectable con ningún número natural.

Observación. Todo número natural es finito.

Si A ~ n, decimos que A tiene n elementos y lo denotamos con| A |= n, y decimos que el cardinal de A es n.

Observación. Vn € w (| n | = n) y A finito A A ~ B =$>B finito.

LEMA d e FINITUD. Para todo n € o; y para todo x Cn, n x.

(Es decir, ningún número natural es equipotente a un subconjunto propio suyo.)

Prueba: inducción sobre n

n — 0 se cumple por vacuidad ya que 0 no tiene subconj untos propios.

H.I. Supongamos para n: Vu» C n (n tu)- LT

P.D. para s(n) = n + 1 : Vz C n + 1 (n + 1 ^ z)

Supongamos que hay z C n + 1 tal que n + 1 ~ z5/ /

Hay dos casos:

- Si n ^ z entonces z C n y / |nbiyecta n conz —{/(n)} C z C n así n ~ z —{/(n)} C n o

# /l« #contra la H.I.

- Si n € z entonces n = f (k) para algún k 6 n + 1. Definimos.9 : n — >z como:

Vi € n, p(i) =/(?:) Vz /c, i < 71

/ ( n ) S \ i = k y k < nObservación. Si k = n, entonces g = f \n •

Entonces g es 1 a 1 de n sobre z - {n} C n o Contra la H.I.



Por lo tanto se cumple para toda n. □

C O R O L A R I O . Ningún número natural es equipotente a un subcon junto propio suyo.

C O R O L A R I O (Principio del Palomar). Si n objetos son colocadosen menos de n lugares, algún lugar tendrá más de un objeto.

C o r o l a r i o

a) Si n m entonces n ■*>m. b) Si | A | = n y | A | = m entonces n = m.

O bservación. Esto justifica la definición formal de cardinal de A para todo A finito, que cumple A ~ \ A \ y \ A \ = \ B \ ^ A r'w' B.

C o r o l a r i o . u>es infinito.P ru eb a : Supongamos que 3 k € ui 3 / tal que u ~ k. Entonces / ¡¿t

biyecta k con un subconjunto propio.?

C O R O L A R I O . Ningún conjunto finito es equipotente a un subcon junto propio. Es decir, si A es finito y Z C A entonces Z r>oA.

P ru eb a : Supongamos que A es finito y sea n tal que A ~ n.9Supongamos que hay una biyección / de A sobre un subconjunto

propio, consideremos la composición g o f o g~ l ; n — >n ; es invectiva y

es sobre un subconjunto propio de n o ( Pues si a 6 A — im(f)(i m ( f ) C l ) , entonces g(a) 6 n —im(g o f o g~l ). por lo tanto

*

im(g o / o y-1) C n). n ~ im-{g ° / c g~1) Q n 'o (Lema).o

9°f°9~1 #

DEFINICIÓN. Se dice que un conjunto A es Dedekínd Infinito, sies biyectable con un subconjunto propio.

C O R O L A R I O .

Si un conjunto es Dedekind Infinito, entonces es Infinito. Veremos más adelante que el inverso es cierto con el Axioma deElección.

C o r o l a r i o , u es inf in i to.

2a P ru eb a : Sea s : u — »w —{0} C u>, la función sucesor, así s es

biyección por lo tanto cu es infinito.

3.2.1 O t r a s p r o p i e d a d e s d e f i n i t o s

Usaremos f in(x) para abreviar “x es finito”.

1) S i x ~ n + l y & € x = > x —{6} ~ n.Sea x ~ n + 1. Definimos g' : x —{6} — »n tal que:

g'(y) =

Entonces x —{6} ~ n.

g(y) Si g(y) ± n g(b) Si g(y) = n

2) Para cualquier y , f in(x) => f in (x U {y})

-Si y £ x,entonces iU{t/} = x,por lo tanto f in (x U {y}).- Si y x y dado n ~ x, definimos g n + 1 — >x U {y} tal que:

... f f( i) S i i < n = { y Si i = n

Así, n + 1 ~ x U {y}, y f in (x U {y}).9

3) n e lo A z C n ^ f in(z)

Sea T = {r a€ u>| VzC n, f in(z)} , veamos que T es inductivo:

- 0 € T por vacuidad.



- Supongamos que n G T, sea z C n + 1. Hay 2 casos:

- z C n fin(z).

- Si n G 2. Sea w — z — { n } C n => fin(v:), y

2 = tí; U {n}, entonces por (2). fin(z).Así pues. T es inductivo.

4) f in[x) A z C x => fin(z). i.e. Subconjuntos de finitos son finitos.

Sea x ~ n y z C x. Entonces f[z) C n y por (3). fin(f[z}) .pero

z ~ f[z], as í fin(z). f U

5) f in(x) A fin(y)=> f in (x U y).

Supongamos f in (x ) . Sea. T = {n G u>|Vy(y ~ n —> f i n ( x Uy)}Veamos que T es inductivo:

- 0 G T, pues y ~ 0 => y = 0. por lo tanto xUy = xU0 = x quees finito.

- Supongamos que n G T. Sean, y ~ n -f 1. 2 = / _1(n) G y así:

V ~ {z } ~ n (Por l)? Y Por H..I. x U (y —{2}) es finito.Entonces x ü y = xU( y —{2}) U {2} es finito por (2).

6) f in(x) yV j /Gx , f in ( y ) => /-m(Ux) i.e. Union finita de finitoses finito.Sea T — {n. G w i [n ~ x A Vy G x, /'in(y)] =*> /m (U x)} , veamosque T es inductivo:

- 0 G T. pues O~x =r *x = 0 y U 0 = 0 y /m (0).- Supongamos que n G T. Sea x ~ n + 1.

2 = / -1 (n) G x => x —{2} ~ n, por H.I. U(x —{2}) es finito(3)y como 2 G x, f in(z) => (U(x —{2})) U 2 = Ux es finito.

(5)

7) f in(A) A f in (B) f in (A x 5).Sea h : A x {z} — > A tal que h(< x, z >) = x. Claramente.-4 x {z} ~ A.

hAsí, f in(A) => f in (A x {2}) Vz.Ahora A x B = U{A x {2} I z 6 P} = U A x {z} => A x B es

z€B J (6)

finito.

8) f in(x) A n € lo => f i n ( nx )Supongamos f in(x) , Sea T — {n 6 w | f in (nx)}.

- 0 G T, pues °x = {0}, que es finito.- Supongamos que n G T , veamos que f i n ( n+1x).

V g G nx. V z G x, sea gz = gU {< n,z >}. así gz G n+1x.Vy € nx. sea 5 = { gz j 2: € x}. Como g ~ x, 5 es finito.Ahora n+1x = U{ g ¡ g G nx }. Pero nx es finito por H.I.,y Vg G nx (5 es finito )=> 71+1 x es finito.(6)

9) f in(A) f in(P(A)). i.e. Potencia de finitos es finito.Ya se mostro que P(A) ~ A2.Como f in(A), sea A ~ n. Sea P : A2 — + n2 tal que

#0?) = 9 0 / -1

. o + g' =*>P (s) = y o / - 1 ± g' o / - 1 = #(<?')•- / i G n2 => h O f G A2 y H{h O f ) = h o / o / " x = fc, asía 2 ~ n2 => f i n ( TL2), por lo tanto f i n ( A2), por lo tanto

/tn(P(A)).

10) f in (A) A f in (B) => f i n ( ÁB).a B C P(A x P); pero f in ( A x B) por (7), f in (P (A x B)) por (9)

y f i n ( AB ) por (4).

11) f i n ( x ) y f función => fin(f[x}). i.e. Imagen bajo función de

finitos, es finito.

/[*] = i f ( y ) Iy e x} = U{ i f ( y ) } ! y <5 x} => fin(f[x}).(6 )

Meditación. Toda construcción posible, sin axioma de infinito,aplicada a conjuntos finitos genera conjuntos finitos. El Axioma de Infinito es necesario.

D E F I N I C I Ó N . A es numerable <=> A ~ u>. A es contable <?=> f in(A) V A ~ u>.

3.2.2. D e f i n i c i o n e s a l t e r n a t i v a s d e f i n i t u d

1) A es finito <=>3 n e u (A ~ n). Esta es nuestra definición.

Tenemos como alternativas las siguientes definiciones:

2) A es r-finito <=*• 3 r C A x A, relación tal que:i) < A, r > COTOii) V5 C A. £?7^ 0 =>3 a 3 b(a = mín B A b = máxB).

r r

3) A es Tarski-finito ó simplemente T-finito <=>

V X C P(A), X # 0 3 y & X (Vw e X{w ¿ y =>y <£ w))

(i.e. y es C-maximal en X)i.e. “Toda colección no vacía de subconjuntos de A tiene un elementotal que no está contenido propiamente en ningún otro elemento de lacolección.”

4) A es Dedekind-finito ó simplemente D-finito <=>\/ B C A(B '*>A), i.e A no es bivectable con ninguno de sus subconj untos propios.



5) A es D'-finito V B C A (B lo), i.e. A no tiene un subconjuntonumerable.

Ejemplos de conjuntos infinitos: uj , Z,Q,R. P(u>), P(R).

Observación. Un conjunto A es Dedekind-Infinito sii A es biyectable

con algún subconjunto propio. Un conjunto A

es D-finito sii no es D-Infinito.

Ejemplos de Conjuntos D-Infinitos: u ,Z ,Q ,R .

TEOREMA 15. A es Dedekind-Infinito => A es Infinito.

Prueba: Ya se probó la contrapuesta: A es finito =r- A es D-finito,en los corolarios del Lema de Finitud.o

La implicación inversa, se prueba con Axioma de Elección (AE) y laveremos después. Sin Axioma de Elección, no se puede demostrar.

D E F I N I C I Ó N . Para cualesquiera A. B conjuntos:

i) ¡A| — \B\ o A ^ B

ii) f in(A) =$> |Aj = n, donde n € u>es el único n tal que A ~ n.

Observaciones

• Vr¿ € o; y VA finito \A j~ A y |n| — n. |u;| = \Z\ — \ Q \ .

N o t a c i ó n . | w ¡ = N0

• |P(w)| = |R| = |R x R| = \Rn\.

N O T A C I Ó N . | R | = c

• |A| 7= |P(A )|, en particular |u¡ ^ |R| por el Teorema deCantor.

T e o r e m a 16. A es Dedekind-infinito A tiene un subconjuntonumerable.

Prueba: =£•) Supongo A ~ B C A. Sea z € A — B j=- 0, así

z y [A] = B, y g es invectiva. Por recursión para u>, defino/ : w — ♦ A tal que:

/(O) = 2/ ( *( n)) - g(f(n))

Claramente f[u>] C .4 y como g es inyectiva y z £ g[Á\, porun resultado general anterior, / es inyectiva. Así pues u ~ f[u>] C Ay/[w] es

un subconjunto numerable de A.

<=) Sea C C A, tal que w ~ C C ,4.Definimos y : .4 — * A tal que :

( \ - j f( n + X) Si x = 6 ^- \ x x e A - C

y es inyectiva pues si x 7¿ y € A entonces:

i) x € A - C , y e A - C ^ g(x) = x ± y = g(y).

ii) x — f (n) e C, y e A - C g(x) = f ( n + 1) € C y g(y) = y i C, así g{x) ¿ g{y)

iii) x = f in) , y —f (m) =>n ± rn, pues / es función. Entonces

A A

f(0)

n + 1 m + 1 (sucesor es inyectiva) y asíg(x) = f ( n 4- 1) / (m + 1) = g(y) pues / es inyectiva.

Entonces A ~ g\A] C A pues /(O) € A y /(O) ^ 5 [A]. □

E j e r c i c i o s

1) Si r es un orden total en un conjunto finito A, entonces r esun buen orden en A; es decir, si < A, r > COTO y A finitoentonces < A, r > COBO.

2) Si r C A x A, r antirreflexiva. transitiva y que cumple la propiedad Vx G A 3y e A y y < x, y > € r), entonces A esinfinito.

3) Si r C A x A, r es reflexiva, transitiva y cumple tricotomía

entonces:a) Si A es finito, hay un b G A tal que Vx € A,< b, x > € r. (Pongamos como ejemplo de r, la relación“conocer a”sobre un conjunto (finito) de personas; entonces,

si se cumplen las hipótesis, ahí hay alguien que conoce a todos). Se sugiere inducción matemática sobre el número deelementos de A.

b) Dar un ejemplo infinito de A donde se cumpla loanterior y otro ejemplo infinito de A donde no se cumpla que hay unb € A tal que Vx € A. < b, x > e r.

4) Probar las siguientes equivalencias entre las definiciones alter

nativas de finitud:a) Def 1) Def 2) Def 3) b) Def 4) <£>Def -5)c) Def 1) =>Def 4), Def 1) =4>Def 5). (Los inversos requieren

del Axioma de Elección).

3.3 DOMINANCIA

D E F I N I C I Ó N . Un conjunto A está dominado por un conjunto B <=•hay una función inyectiva de A en B.

N O T A C I Ó N . Si A está dominado por B se denota: A < B, y si f es l a

función inyectiva de A en B. se denota: A < B. f

Observacionesa) Las siguientes condiciones son equivalentes:

i) A < Bii) ] C C £ tal que A ~ C.

i) => ii) Si A A - A ^ < B y

B < A). f ' 1

c) A < A ; con Id¿.d) A A < C. (Si A A < C).

9 gof

e) A r< P(A) ; con f(x) — {x} € P{A), V x € .4.

f) A C B =$>A < B : con Id¿

g) A ^ B =* P(A) ^ P(P)Si A ^ -B. Sea y : P(.A) — * P (P ) tal que Ve C A«?(c) = f[c],

f

así P(A) ^ P(B)9

h) A ± B , A ~ C y B ~ D ^ C < D .Si C ~ A < B ~ D ^ C < D

f 9 h hogof

D e f i n i c i ó n . Para cualesquiera A, B conjuntos:i) | A | < | B i «• A <B.ii) ¡ A I < ¡ B | A < B y A * B.

N o t a c i ó n . Si A < B v A B lo denotamos A < B y decimosque A está estrictamente dominado por B.

P r o p o s i c i ó n . VA, A -< P(A), es decir | A \ < \ P(A) |.P rueba : Por observación e) y Teorema de Cantor.

CO RO LAR IO. P ara todo conjunto exis te o tro conjunto de cardinal

es t r ic tam en te mayor.

T E O R E M A ( C a n t o r - S c h r ó d e r - B e r n s t e i n )

A A ~ B.

P ru eb a: Sean / : A — » B. g : B — > A J 1 -1 ^ i - i

Si g[B] = A , g es la biyección; si no y[B] C A.

Definimos por recursión para u>:

Co = A - g[B]

Cn+ 1 = 9 0 f[cn]

A

B

g

Observación. A —y¡5] € P{A). Sea J : P{A) — »P{A) tal que

entonces h es la función buscada.

i) h es función pues / es función y x £ (J Cn =>x Co = A —g[B\ =>

t por lo tanto x 6 dom(g l ) y g 1 es función.

ii) h es inyectiva: Sean x ^ x' £ ASi x. x ‘ £ U C'n o x,x' $ U Cn entonces h(x) ± h(x') pues

/ y g~l son invectivasSi x E Cn para algún n £ u> y x' £ IJ Cn entonces

h(x) - f{ x) E f[Cn\ y h(x') = g~\x ' ) f f [Cn\ pues si g~1(x/) £ f[Cn]

entonces x' = gg~1(x') E g[f[Cn\] — C n+1 por lo tanto h(x) ^ h(x').

iii) h es suprayectiva: Sea y £ B. y £ [j f [Cn] =$>y = f(xo) paraalgún xo £ C n, por lo tanto h(xo) = f { x o) — y. y € B - U f[Cn] => g(y) <£{JCn ( pues g{y) <£ C0 y g(y) ± g(x)

V D C A , J ( D )= g [ f[ D } } =g o f [D ]

Definimos h : A — * B como h(x) —

V x € (J f[Cn], pues y £ (J f[Cn] y g es inyectiva, por lo tan-n€ui n 6 u>to 9(y) £ 9[f[Cn\] = Cn+i) así. por la definición de h, h(g(y)) = 9 ~ l (9{y)) = Z/-d

C o r o l a r i o

a ) A ^ 5 i C y A ~ C ^ A ~ B - C .

b ) A C 5 C C y 4 - C ^ y l ~ 5 - ac ) A ^ £ ^ C ^ A => A ~ B ~ C.

d) [0,1] ~ R y (0,1) ~ [0,1].

Prueba: a) Sup. A A < B

c) Ejercicio.d) Como (0,1) C [0,1] C 1 y (0,1) ~ R, por lo tanto

[0; 1] ~ R y además (0,1) ~ [0,1].

C o r o l a r i o

VA, 5 (| A | < | £ | y | B | < | A | = H A\ = \B\ ) .

COROLARIO. La relación < entre cardinales de conjuntos es unorden. Es decir, es reflexiva, antisimétrica y transitiva.

P R E G U N T A : ¿VA, B, \ A | < | B | o | B \ < | A | ?, es decir

¿VA, B. A zí B o B ^ A ?, es decir

¿La relación de dominancia entre conjuntos es total?R E S P U E S T A : Se verá mas adelante con Axioma de Elección.

A p l i c a c i o n e s d e l t e o r e m a d e

C a n t o r -S c h r ó d e r -B e r n s t e i n

1) No existe A tal que P(A) € P{A).Supongamos que sí, sea A tal que P{A) € P(A ), por lo tanto

P(A) C A, por lo tanto P(A) < A y claramente A -< P(A ), entonces por

el Teorema de Cantor-Bernstein, tenemos que A P(A) o (Contradiceel Teorema de Cantor).

2) Probar que u>x u ~ u;Damos g : u x u — >u ,g(n,m) = 5" • Tm, por Teorema Funda

mental de la Aritmética g es 1 —1. por lo tanto u x uj <ui, y además9

u <oj x u>donde f(n) = < n ,n >, claramente invectiva. Por lo tanto/

por Teorema de Cantor-Schróder-Bernstein tenemos que u>x u>~ u;.

3.4 A r i t m é t i c a c a r d i n a l

D E F I N I C I Ó N . Para cualesquiera A , B conjuntos definimos las operaciones:

| A | + | B \ = | A x {0} U B x {1} |

\ A \ - \ B \ = \ A x B \ | A P H | , donde BA = { / | / : £ — >A}

NOTACIÓN. Denotamos con /t, A, ^ a los cardinales; donde, « escardinal significa que hay un conjunto A tal que k, — j A \ .

Con esta notación, si k , A, ¡x son cardinales tales que k — | K | A =| L ¡, ¡j, = | M | entonces definimos:

k + A = | K x {0}uLx {1} |k X = \ K x L \

Kx = I l K I

PROPOSICIÓN. Las operaciones están bien definidas, es decir:Si A ~ A' y B ~ B' entonces

i) A x {0} ü B x {1} ~ A! x {0} U B' x {1}ii) A x B ~ A! x B' iii) b A ~b ' A'

P rueba : ya se hizo: Proposición 4.

Sean k , X, ¡i cardinales y K , L, M conjuntos tales que k = \ K \,

X — ¡ L |. ¡i= \ M \. Podemos suponer K , L, M ajenos o ajenizarlos conel producto cartesiano con {0} y con {1}.

TEOREMA 17. Propiedades de la Suma:i) k + A = A + K ii) k + (X + fj.) = (k + X) + fJ,iii) k + 0 — K

iv) k < X => k + ¡i < X + H v) K<X= >K + I 1 <X + H vi) K < K + X vii) K0 = + Koviii) c = c + c.

Prueba :i) K x {0} ü L x { l } ~ L x {0} U K x {1} tal que

9

. .f < x. 1 > Si b = 0s i x ’b) = \ < x,0 > Si 4 = 1

ii) K x {0} U [{L x {0} U M x {1}) x {1}] ~

[{K x {0} U L x {1}) x {0}] U M x {1}con g definida, dados, k € K , l € L. m € M, así:

< k, 0 k, 0 > ,0 >< < 1,0 >, 1 >^-*<< 1,1 >,0>

« m, 1 >, 1 m, 1 >

iii) K x {0} U 0 = K x {0} ~ K iv) Sea K <L, de aquí tenemos que/

K x {0} U M x {1} -<L x {0} U M x {1} y

donde g esta definida de la siguiente manera:

v) Análogo a iv). Ejemplo: No < c y No + c = c 4- c. Justificado así:cu — M.R ~ R x {1} C u x {0} UR x {1} C

s---------- ------------ -

viii) K j l x {0} UK x { l } = R x { 0 ,1} C R x R ~ RR ~ ( K x { 0 } U l x {1}).

PROPOSICIÓN. Dados A, B cualesquiera, si A'. B ’ son tales que A ~ A ' , B ~ B' y A' fl B' —0 entonces:

A x {0} U B x {1} ~ A! U B' y | A \ + | B \ = \ A' U B' |Prueba: Sean A ~ A ' . B ~ B ' .

f 9

Sea h : A x {0} U B x {1} — + A' U B' tal que

No + cR x {0} U R x {1} = R x {0.1} C R x R ~ IR >---- J

Por lo tanto todos son biyectables.vi) K < K x {0} U L x {!}, donde h(x) =< x, 0 >

hvii)u ~ w x {0} Uw x {!}, donde

9

j < | . 0 > Si n es par[ < , 1 > Si n es impar

Afirmación: h es biyección- h e s inyectiva:

< x, b > 7 < x ' , b' >=>

í f (x) = h(x,b) € A' b tí < g(x) = h(x', tí) £ B'

< ^ (o al revés)

, , í Si b — tí h(x,b) ^ h(x ' ,tí)x ^ rr | s í b ¿ t í h(x, b) € A ' ,h {x ' , t í ) £ B'

(*) Como Al fl B' = 0, entonces f (x) 7 g(x).(**) h(x, b) h(x' , tí), porque / es 1 — 1 , g es 1 — 1 o porque

A 'n f l ' = 0.- h es suprayectiva:

y € A' L¡ B' =$

{ y = f (x) para algún x € A así que h(x, 0) —/(x ) = y

0

y = g{x) para algún x £ B así que h(x, 1) — g{x) = y

COROLARIO. Dados k , A, y A, B tales que « = | A \ , A =

| B |, podemos suponer sin perdida de generalidad que A n B — 0.

TEOREMA 18. Propiedades del Producto. Sean k, X, ¡1 cardinales.i) k • A = A • K

ii) k (A • fi) = (k • A) ■ fi

iii) k 1 = k , k 0 = 0, A + A = 2A, A + A + A = 3A

iv) k -(X + ¡i ) — n- X + K-f i (en particular, « •(A + 1) = « ■A + /c)

v) /í > 2 , A > 2 = > k + A < k -AVÍ) K < \= $ > K - fL < \ - f l

VÜ) K,<X=>K, fí<X-fJ,

viii) 0 • Hq = Ko, c • c = c

ix) A O=>• K < K APrueba :i) K x L ~ L x K con /( < x .y >) — < y ,x >

ii) K x (L x M) ~ (K x L) x M con

/( < x, < y., z » ) = < < x . y > .z >iii) .fif x {0} ~ K con /( x , 0) = x ; K x 0 = 0

iv) ÜT x (¿ x {0} U M x {1}) ~ (K x L) x {0} U(K x M) x {1} con

/( < x, < y, 6 >> ) = < < x, y >, b >

Observación. K x (L U M ) = (i í x L) U (K x M).v) Suponemos s.p.g K fl L = 0, sean ao.a-¡ G /C 6o, G entonces

tenemos que K U L < K x L conh

< x.bo > Si x £ K h(x) = ^ < oo, x > Si x G L —{6o}< ai, í>i > Si x = 6o

vi) Sea K < L. entonces K x M < L x M con/ 9

s(< X , y >) = < f ( x ) . y >

vii) Análogo a vi).

Ejemplo: No < c y No •c = c •c con w ^ S i / w x R ^ S x S pues

¡R ~ {0} x E C w x R C R x K ~ l

y por el teorema de Cantor-Bernstein todos son biyectables.

viii) uj x lo ~ lo , R x R ~ 1 ya se probó.

ix) Sea L 0 y ZG L. Entonces K <K x L donde

h/i(x) =< x, Z>□

TEOREMA 19. Propiedades de la Exponenciación.

i) V«, k ° = 1, k 1 = k , 1K= 1; Vk ^ O, O'1 —0.

ii) K K — K2, C = 2^°

iii) (k ■A)** = K? • A

iv) ka • = «A+ (En particular /cA+1 = k x n)

v) = k x »

vi) fl < A=>• < KX (si no ambos k y ¡i son cero, pues 0o = 1, O1 = 0)

vii) /x < A =>fj,K< Xk viii) k < 2K (Reformulación del Teorema de Cantor)

Prueba:

i) — { / | / : 0 —->K } = {0} = {0} —1. En particular 0o = 1.1K = { f \ f : 1 — * K } ~ K con g(f) = /(0) G K\

9

Kl = { f \ f \ K — » 1} = {{ < x, 0 > | x G K}} ~ 1 (es elunitario de la función constante 0)Sea k + 0, *0 = { / | / : K —* 0} = 0 = 0.

ii) K x K ~ 2K con g(< x.y >) : 2 — ♦ K tal que

g(< x, y >)(0) = x y g(< x,y >)(1) = y. E - “2 pues E ~ (0.1) ~ “29

donde g(r) = < ai >¿gw, € {0,1} y r = 0.aoaia2a3.... expansión binaria.

iii) M( K x L) ~ Mi(r x mL con

G(/) = < n K o f , i r L o f > , \ / f GM (AT x L)

donde 7T/ , son las proyecciones izquierda y derecha respectivamentede K x L, es decir tt k : K x L — * K, tt/<(< z , y >) = x, wL : K X L — ♦ L, ttl (< X, y >) = y.

iv) Supongamos s.p.g. L n M — 0, (LK x MK) ~ ¿uAÍK con H

tal que

H ( < f , g > ) = f U g

obsérvese que / y g son compatibles pues dorri(f) — L y dom(g) — M, por lo tanto dom(f) fl dom(g) = 0 y así / U g : L U M — » K.

v) m (l K ) ~ < ■ donde

V/ € m (l K ), H{f) : L x M — >K

VZ € L, Vm € M, # ( / ) ( < Z,m >) = (/(ro))(Z)• Si f ¿ f ' € M(LK), 3 m € M, tal que

/(™) í / ' ( m) = ^3 ¡ E L tal que (/(m))(Z) # (/'(m))(Z), por lo tanto 3 < !,m > £ ¿ x M ta l que 1,'rn >)tí H ( f ' ) ( < l , m > ) ) por lo tanto H( f ) ^ H(f ' ) .

• Si <?G LxM K, sea / : M — > LK tal que, si m G M,

f (m ) : L — * K , con —g(< l .m >), VZ € L.Entonces H ( f ) = g.

vi) Veamos que M < L => MK < LK (M ¿ % o K + 0)

Observación. Si K — 0, entonces M ^ 0, por lo tanto

= l K trivialmente. Supongamos pues K ^ 0.

Sea M -<L. ao € K ^ 0. entonces MK < LK donde9 ' H

v / e

íf(/) : L — >K tal que

W ) ( 0 =

/(m ) Si Z= y(rn) para algún m 6 M

ao en otro casoObsérvese que si Z= </(m) para m € M tal m es único por la inyec-

tividad de g, de donde H ( f ) está bien definida.

• Si / f , drn € Ai,tal que f{m) ^ f ' ( m ) por lo tantog{m) EL y

H{f)(g(m)) = f (m ) 7é /'(m) = H{f')(g{m))

por lo tanto i í ( / ) H(f ' ) .

vii) Supongamos M < L, entonces ^ M ^ donde<7 h

y f e k M, H( f ) : K — > L tal que V k 6 ÜT, i/(/)(fc ) = s (/(*0).

por lo tanto i í ( / ) = g ° f-

viii) Como ^2 ~ P(K) y K < P(K), tenemos K -< K2, por lotanto

K < 2* = | K2 |.Ejemplos en vi) y en vii):

vi) N0 < 2 ° y (2Hc)Hu = 2h°'n° = 2K» < 22*0 = 2K°'2t<ü = (2Í'*°)2'<0 N0 < c pero (2c)Kü = 2c Hu = 2C= 2CC= (2C)C

vii) c < 2C ycí<ü —. (2ku) H° = 2k°'n° == 2^() = c < 2C= 2c K° = (2C)^°

N0 < 2Kü y Nq ° = 2N° = 2K o K o = (2H°)^°.

Otros ejemplos:a) 2 < N0 2Ko < Nq °

N0 < c Ng° < cN° = (2Hü)Wu = 2*° *° = 2h° Nq ° = 2 °

b) 2 < c 2C< ccc < 2° cc < (2°)° = 2CC = 2C

cc = 2C

E j e r c i c i o s

1) «1 < K2 y Al < A2 => 1 < K 2 2

2) Probar que Nq ° = 2Kü

3) Probar que cc = 2C recuérdese que c abrevia 2N° = | M ¡ .

4) ¿Cuántas funciones continuas de 1 en I hay?

5) Probar lo siguiente:a) k < k H o

b) « < A =► 2K < 2ac) A < 2a

d) (A1")2 - A2''e) A •No •2 = A •No (usandoque No •No = No)

6) Para cada cardinal k existeuncardinal Atal que k < A vA2 = ASugerencia.: Sea A = 2k Ko y usar el ejercicio 5.

7) Probar que si A tiene un subconjunto numerable, entonces A es infinito.

PENDIENTES CON AXIOMA DE ELECCION:

Las siguientes afirmaciones han quedado pendientes en este capítuloy se probarán con Axioma de Elección.

1) La dominancia es relación total, es decir V A, B, A < B o B < A.

C O R O L A R I O . V7í, A cardinales, k < A o A < k.2) VA infinito. A x A A.

C o r o l a r i o 1. V«, cardinal infinito, «• k — k.



COROLARIO 2. V/í , A cardinales, al menos uno infinito y elotro no cero,

k + A = k A = máx{K. A}

3) VA A infinito => A tiene un subconjunto numerable. A E

COROLARIO. A infinito => A Dedekind-infinito. A E

Recordar que: A Dedekind-infinito^ A tiene un subconjuntonumerable.



4 E l a x i o m a d e e l e c c i ó n

¿Dada una colección infinita de conjuntos no vacíos, se puede elegirun elemento de cada uno de los conjuntos?

Desde luego supondremos que la colección infinita de conjuntos novacíos, es un conjunto (de conjuntos no vacíos). Veamos dos ejemplos:

1) Dado un conjunto infinito de conjuntos no vacíos donde cadaconjunto no vacío consta de un par de zapatos, el izquierdo y el derecho.

¿Se puede elegir un elemento de cada uno de los conjuntos? La respuestaes clara, sí se puede porque incluso se puede dar una regla: de cadaconjunto (que es un par de zapatos); elíjase el zapato izquierdo.

2) Dado ahora un conjunto infinito de conjuntos no vacíos dondecada conjunto consta de un par de calcetines, ¿Se puede elegir unelemento de cada uno de los conjuntos? Aquí la respuesta es diferente;si respondemos que sí, lo haremos sin decir una regla de cómo hacer laelección. Estaremos respondiendo simplemente que existe una elección

sin definirla.Esto último es lo que afirma el llamado Axioma de Elección.El Axioma de Elección (AE) es una afirmación muy especial en

Teoría de Conjuntos, ya que afirma la existencia de algo para lo cualno se da una definición.

DEFINICIÓN. Sea A un conjunto. Una función de elección para A

es una función / : A — » (J A tal queVx € A x 0 (f(x) G x)

Daremos primero las dos versiones más usuales y sencillas del axioma y luego daremos otras versiones equivalentes.

1. A x io m a d e e l e c c i ó n (AE).Para todo conjunto de conjuntos no vacíos existe una función de

elección; es decir:

VA[0 A =>• 3 / ( / es función A dom(f) —A A V.x G A( f (x ) £ x))]

2. A x io m a d e e l e c c i ó n c o n j u n t i s t a ( A E C ).Para todo conjunto A de conjuntos no vacíos y disjuntos . hay un

conjunto que tiene uno y sólo un elemento de cada elemento de A, esdecir:

V4(0 G A A Vz, w G A(z w =>• z fl w — 0) 3 B Vx G ^4(x n i? esunitario ))

Probaremos la equivalencia entre 1 ( A E ) y 2 (AE'C).¿JS =► A E C

Sea A conjunto de conjuntos no vacíos y disjuntos 2 a 2. Sea / unafunción de elección para .4, entonces B — f[A] es el conjunto buscado, pues Vx G A, /(x ) G x fl f[A) y si y G x fl /[.4j entonces y — f ( z ) paraalgún z G A y f ( z ) G 2, por lo tanto y = f ( z ) G z f1 x ^ 0 , por lo tanto2 = x d e donde y = f ( z ) = /(x ). Así pues Vx G .4. x fl /[.4] = {/(x )}.q

A E C => A E Sea A conjunto de conjuntos no vacíos. Los ajenizamos de la sigu

iente manera: sea A' tal que A' — {w x {w} | w G ^4}: sea B dado por A E C para A', entonces definimos / : A — >(J A tal que

Vio G A , f(w) — z o < z ,w > G (w x {u;}) fl B

f ( w ) es el elemento izquierdo del único par ordenado de (w x {tt’})r iB.c

4.1 ALGU NOS EQUIVALENTES DEL AXIOMADE ELECCIÓN ( A E )

3. A x io m a d e e l e c c i ó n m u l t i p l i c a t i v o (AEM)El Producto Cartesiano de un conjunto de conjuntos no vacíos es

no vacío.

4. A x io m a d e e l e c c i ó n i n f i n i t o (AEI)Para todo conjunto infinito de conjuntos no vacíos, existe unafunción de elección.

5. A x i o m a d e e l e c c i ó n p a r a e l c o n j u n t o

POTENCIA (AEP)Para todo conjunto A , hay una función F tal que

dom{F ) = P(A) - 0 A V B C A, F(B) € B

es decir, hay una función de elección para P(A) —{0}.

6. A x io m a d e e l e c c i ó n r e l a c i o n a l (AER)Para toda relación R, hay una función F C R con dom(F) =

dom(R).

DEFINICIÓN. Si < A ,r > es COPO, una cadena, en A es unsubconjunto C C A tal que < C, r ¡e> es COTO.

7. L e m a d e Z o r n (. Z O R N )Para todo < A. r > COPO no vacío tal que toda cadena C C A

está, acotada, superiormente en A (i.e. 3b € AVx € C, x r b V x = b),hay un elemento m € A r-maximal en < .4,r > (i.e. Vy e A, m / y ) .

8. L a d o m i n a n c i a e s t o t a l ( D T )Para cualesquiera A, B conjuntos A < B V B -<A.

9. T e o r e m a d e l b u e n o r d e n (T B O )Para todo conjunto hay un buen orden, es decir,

V.4 3 r C A x A tal que < A, r > COBO.

10. TEOREMA DE TYCHONOFF ('T T )El producto topológico de espacios compactos es compacto.

EJERCICIO. Probar las equivalencias de 1 (AE) con 3 (AEM). 4(AEI), 5 (AEP) y 6 (AER).

El esquema de equivalencias que consideramos, está representado enla siguiente figura:

A E M AEC 3 2 9TB O

Z t ^ ít A E M <s> 1AB & 7Z ORN =>VA infinito, A x A ~ A

í í !5 6 8DT

A E P A E R

PROPOSICIÓN 1 (Sin AE). Para todo conjunto finito de conjuntosno vacíos hay una función de elección.

Prueba: Sea A conjunto finito de conjuntos no-vacíos. Entonces .4tiene n elementos, para algún n € u. Es decir ¡4¡= n. Procedemos porinducción sobre n £ u.n = 0) A = 0 y entonces 0 es una función de elección para 0.

H.I.) Suponemos que para todo conjunto con n conjuntos no vacíoshay una función de elección y sea A tal que |A|= n + 1 y 0 ^ A. Fijemosc € A y consideremos el conjunto A - {c} que tiene n elementos y porlo tanto hay para él una función de elección, digamos g. Como c J- 0 sea

b G c, b cualquiera y entonces definimos f = g L) {< c.b >}. Debe serclaro que / es una función de elección para A n

P r o p o s i c i ó n 2 (AE). Si / : A —► B es supraj'ectiva. (es decir, f[A] — B ) entonces existe una función inyectiva de B en A.

Prueba: Sea h una función de elección para P(A) —{0}. Definimosg : B —>A tal que Vf> 6 B.

g(b) = h({a G A \ f(a) = b}).

Es claro que V6 g B. {a G A \ f ( a ) = 6} 0 ya que / es suprayectiva, por lo que g está bien definida, usando la función de elección h. Es fácilver que g es inyectiva pues si b ^ b' entonces

{q G A \ f(a) — b} H {a G A ¡ / (a ) = b'} = 0ya que / es una función, de donde g(b) 9 ÍP').q

PROPOSICIÓN 3 (AE). La. unión numerable de conjuntos numerables es numerable.

Prueba: Sea S = {Ai \ i G N} donde Vi G N, \Ai\— Ho; es decir, Ai = {ütj | j 6 N} donde G A¿ y es el j-ésimo elemento de A r en unaenumeración de A¿ y esto para cada i. Así pues,

U S = {an \ i . j 6 N}.

Definimos / : N x N — » 1J5 tal que /() = a%j € 1J5. Es claroque / es suprayectiva sobre (J S de donde, por la proposición anterior,hay una función inyectiva de |J S en N x N y de aquí que (J S ^ N x N.Ahora, usando que N x N ~ N tenemos. S < N.Por otro lado, como para todo i, N ~ Ai C (J S, tenemos que N ^ U 5.De estas dos dominancias, por el teorema de Cantor-Schróder-Bernstein,tenemos que (J S ~

PROPOSICIÓN 4. Z O R N => DT.Prueba: Sean A, B conjuntos cualesquiera.

Sea. E — { f | / es inyectiva A dom(f) C A A I m ( f ) C B }.

Entonces < E, C> es COPO no vacío pues 0 6 £ y toda cadenaC en < E, C> tiene una cota superior en E. que es la unión de lacadena (obsérvese que la unión de una cadena de funciones invectivases una función inyectiva y dom(\JC) C A, Im(\JC) C S ) , así que por ZO R N hay un elemento maximal digamos F G E.

Se afirma que dom(F) = A o Im(F') = B\ pues si dom(F) C

A y Im{F) C B, habría un a G A —dom(F) y un b G B —Irri(F) v*

entonces

G = F L!{< a, b >}

es una función inyectiva. dorn(G) C A, Im{G) C B, por lo tanto

G G E y F C G 'o (F es C-maximal); así pues, dom{F ) — A o

Im(F) = B.

- Si dom(F) —A , como F es inyectiva. A < BF

- Si Im(F) — B, como F es inyectiva, F -1 es inyectiva ydom(F~1) = B , por lo tanto B ^ A

F - 1Así pues A ^ B ó B < A y l & relación dominancia es total, o

P r o p o s i c i ó n 5. Z O R N o AE.P ru eb a : =>) Sea A conjunto de conjuntos no vacíos. Sea

E = { / I / es función A dom(f) C A A f (x) € x ,V x G dom(f ')}.< E,C> es COPO, £ / 0 pues si x € A y y G x 0 entonces{< x. y >} G E, si A = 0, 0 G E (0 lo cumple por vacuidad).

Sea C una. cadena en < E, C>; entonces (JC es cota-superior de C y es una función ya que C es un conjunto compatible de funciones,

por ser una cadena.Claramente dom(\JC) — (J dom(f) C A y \/x e dom(\JC),

fec 3 / G C tal que f ( x) G x y f (x) = (1J C)(x) G x. Así, (J C G E.Por Z O R N , sea g € E un elemento C-maximal de E:

entonces dom(g) C A y si 3x G A — dom(g), sea y G x ^ 0 y

g' = g U {< x-, y >} e E y g C g’(contra la maximalidad de g). Así pues

dom(g) = A y Vx € A, g(x) € x, por lo que g es una función de elección para A.a

<=) Sea A 0, < A ,r > COPO tal que toda r-cadena en A tieneuna r-cota superior cn A.

P.D. A tiene un elemento maximal.Sea R — {D C A j D es r-cadena en A}, < R, C > es COPO.

Obsérvese que:

1) R. ^ 0 pues si x € A ^ 0, {x} e R. Además 0 € i?.

2) Si D £ R y x es la r —cota superior de D , entonces x € A y

D C x r — {y € A | yr x } .

3) Si C es una cadena en R (meta-cadena o cadena de cadenas)entonces U O € R obviamente y es cota superior con el orden C .

4)MD € R..\fB C D (B 6 R) (Todo subconjunto de una r —cadenaen A es una r —cadena en .4).

Veremos que en< R, C>, cuyas cadenas están acotadas superiormente por su unión, hay un elemento C-maximal, usando AE.

Si D es un C-maximal en R, entonces x la r-cota superior de D (queexiste por hipótesis)es un elemento r-maximal en A. pues si

3 y e A(x r y con x y) entonces D C D U {y} € R o(contra la

C-ínaximalidad de D).Así pues, si R tiene un C-maximal D , entonces x = r-cota superior

de D es un r-maximal en A. Veamos pues, usando A E que R tiene unacadena C-maximal:

Sea / una función de elección para P(A) —{0} (AE).Es decir, / : P(A) — {0} — > A = (JP(A ) y V£ ^ 0, B C .4,

f (B ) 6 B.Para cada D e R, sea D = {x 6 A \ D U {x} 6 R} C A

(D es el conjunto de elementos de A cuya adjunción a D proporciona



una r-cadena en R).

Obsérvese que D C D y D - D C A .

Observación. D —D = 0 «=>D es C-maximal en R.Sea g : R — > R tal que WD G R

f D u { f ( D - D ) } S i D - D ^ V { J [ D S i D -

Obsérvese que: V D G R D C g(D), y g(D) —D es unitario o vacío.

Veamos que hay un D € R tal que g{D) — D\ esdecir, tal que D —D = 0, es decir tal que D es C-maximal en R.

D e f i n i c i ó n . Sea J c R. J es una torre siii) 0 6 J ii) D G J =$>g(D) G J

iii) C es C -cadena en (J C € J (meta-cadena)

O bser vaciones

a) Ser torre es ser un conjunto {0} —{g , (J }—inductivo.cad

b) R es una torre; cumple i) por observación 1) o 4), ii) por definiciónde D y de g , y iii) por la observación 3).

c) La intersección de cualquier colección no vacía de torres es torre

(obviamente).d) Jo — D U I J es torre} es torre por c) y b) y es la mínima torre,

Jo C R.

(*)'Veamos que: J q es una cadena (metacadena), esto bastará puessi J q es una cadena, por definición de torre tendremos que por iii): D = U Jo G Jo pero entonces por ii) g{D) G Jo, por lo tanto

g(D) C (JJ0 = D. Así g(D) C D y como siempre D C g(D), se tieneg(D) = D y D = [J Jo es un C-maximal en R. y así terminamos, sóloresta ver que(*) la torre mínima Jo C R es una cadena:

D e f in i c ió n . Sea C e Jq:C es comparable sii V D e J q ,

D C. C ó C C D; es decir. C € Jo es comparable sii C es C-comparablecon todas las cadenas de Jq.

Obsérvese que: 0 es comparable de Jo y

Jo es cadena <=> Todas las cadenas de J q son comparables.(metacadena)

Sea CompJo = {C € Jo | C es comparable } C J0.Veamos que CompJo es una torre y entonces J q C CompJo, de

donde todas las cadenas de Jo son comparables y Jo es cadena.

i) Ya sabemos que 0 6 Jo y que 0 es comparable, por lo tanto0 £ CompJo.

ii) Supongamos que D € CompJo ; P-D- g(D) £ CompJoSea U = { B e Jo \ B C D o g{D) C B } C J0 (Recordar que siempre

D C g(D))U es torre pues:

a) 0 € U, ya que 0 € Jo y 0 Q D. b) Sea B £ U, entonces B C D o B = D o g(D) C B.

/• Si B C D , entonces como D £ CompJo y g{B) € J q .

-J-

g{B) C D o D C g(B). pero D C <?(i3) => B C .D C §(5) y <?(£?) — B* ¿ ¿ *

es unitario o vacío o

Así pues g{B) C D y g(B) e U.• B — D ^ g(B) = g(D), por lo tanto g{D) C p(J5)y g(7?)£ U.. 5(JD) C B =» <?(£) C 5(5) y g(B) £ Í7

BCg(B)

Así pues B e U =$ g{B) £ ¡7.c) Sea C una cadena en U, entonces C es una cadena en Jo y

(J C e Jo. Ahora, como VB € C ,B £ U entonces: VB £ C, (B C D) o -WB e C, (B C D)

• Si VB £ C, (B C D) entonces (JC C D y U C £ 17.• Si -.VB 6 C , ( B C D ) , sea 5 0 £ C tal que g(D) C B0 C [J C,

por lo tanto (J C £ U.

Así pues , C cadena en U (J C € U.De a), b), c) tenemos que U es una torre, contenida en Jo ia mínima

torre, por lo tanto U = Jo- Así pues, H e J q <=$ H e U y entonces: H C D C g(D) o bien g(D) C H , por lo tanto g(D) € Comp J q .

iii) Es fácil ver que la unión de una C-cadena (metacadena) deconjuntos comparables de J q es comparable de J q : Sea C una cadena.En particular, C es una cadena en J q y U C € Jo- Sea

H € Jo => VD e C (D C H) o ~VD e C { D C H)

• Si VJ D € C (D C H) entonces 1J C C H

• Si ->VD € C (D C H), sea Do € C tal que H C D0 C\JC . Así

VH e J 0, \ J C C H o H C \ J C ,

por lo tanto, IJC G Comp Jo.

Esto termina la prueba de que Comp J q es una torre y por lo tantoJo Comp J 0, de donde Jo es una cadena (*).

De aquí, como ya vimos antes, D = (J Jo es C-maximal en R y deallí como se vió al principio x = r-cota sup D (que existe por hipótesis)es un r-maximal en A.a

P r o p o s i c i ó n 6 . TBO =» AE.Prueba: Sea A un conjunto de conjuntos no-vacíos. Considero

[JA. Por T B O , sea r C [J .4 x 1J.4 un buen orden para 1J.4, es decir COBO.

Definimos una función de elección para A , f : A — *|J A tal que

Vx € A, f (x) — el mín imo de x C (J A (x ^ 0).c

P r o p o s i c i ó n 7. ZO R N => TBO.

P rueb a : Sea A un conjunto, mostraremos que existe rC A x A talque < A, r >es COBOSea A = {\ B C A, r C B x B, COBO}.

A C P(A) x P(P(P(B)))

A 0 pues < 0,0 > € A.Definimos 1a. relación < sobre A como:

 < sii B C B \ r C r' y Vx G £? Vy G B' — B < x ,y > 6 r'

es decir, todo elemento de B es r'-an teriora todo elemento de B' —B.i) < es reflexiva: Sea G A, como B C B, r C r y B —B = 0,

se cumple que < .

ii) < es antisirnétrica: Si < y < => B = B ' , r = r' . Por lo tanto

De f << B. r > = < B'. r' > .

iii) < es transitiva: Si < y< B'. r ' > < entonces B C B' y B ' Q B " , por lotanto B C S"; r C r' y r ; C r" por lo tanto r C r";Vx G B Vy G B' —B < x . y > E r1y Vx € B' Vy € B" —B' < x,y > G r". Sea x E B, por lo tanto x E B ' . Seay E B" —B ^ y E B ' o y ^ B ' por lotanto y £ B' —B o

y E B" - B por lo tanto < x. y> E r' Cr" o < x, y > G r". polo tanto < x, y > E r ". Entonces < .

Así pues. < A, < > es COPO (en sentido reflexivo).Zornifiquemos a < A, < >:Sea F = {< Bi,ri >}iei una cadena en A.

Sean B = I J B t, r — 1Jr¿. Veamos que < B,r > £ A.¿e/ ieiComo Vz G I , Bi C A, es claro que B = (J B{ C A

ie l Como Vz G I . C x B¡, es cZaro que

r = U ri ^ U ( 5 í x 5 í ) C U Bi x [j Bi C B x B iei iel iei iel

i) r es reflexiva: Sea x £ B => x G p.a i £ I => < x ,x > £ ri C r.ii) r es antisimétrica: Sean < x,y >, < y,x > E r => < x .y > £ ri

y < y .x > £ r3 para algunas i.j E I, pero Fes cadena en A porlo tanto r» C r¿ ó rj C digamos que C rj < x, y > 6 rj

y < y, x > £ rj pero < Bj. rj >es COTO por lo tanto x = y.

iii) r es transitiva: Sean < x, y >, < y, z > £ r => < x , y > fe r¿

y < y, z > £ Tj p.a. i , j £ J =>■ S.P.G. r.LC r-j, por lo tantoF Cadena

< x ,y > £ rj y < y . z > E Tj =>< x , z > E Tj C. r por lo tanto< x,z > £ r.

iv) Todo subconjunto no vacío de B tiene mínimo.Sea D C B , D j ¿ 0 = > í ) n B ¡ ^ 0 para algún i £ T y

D H B i C B i , sea pues b el r¿-mínimo de D n Bi en elCOBO < Bi,ri >; entonces,

Vy E D n B i , < b,y >£ r<.

Afirmamos que 6 es el r-mínimo de D en . pues seax € D, entonces x 6 5, ó x ^ B¿.

i) x € J5¿ =>• < b, x > € r¿ C r.ii) x Bi => x £ B j para algún j € I tal que B j <t B 1

(x € B j , x £ Bi) por lo tanto

<c B j , Tj ^ <C Bi, ri > =7 <c Bj, r¿ > ^ B j . v i> .r CadenaAhora bien, tenemos que

b £ B t y x £ B j — Bi y

 < => < 6.x > fe.r, C r£>e/ < ' J

por lo tanto 6 es el r-mínimo de D, en .Así concluimos que £ A. Veamos que es cota

superior de T :Sea < Bi. t i > £ F. Claramente 5¡ C (J Bt = 5 y rt C (J r t = r.

Sean x £ Bi, y £ B — Bi. Ciertamente y £ B j , para algún j € I talque Bj Bi (pues y £ Bj y y £ Bi) así pues, < Bj. rj > ^ > por lo tanto < Bi,rt > < < Bj, t j > y además tenemos x fe Bi y y £ B; — Bi => < x, y >£ r,- C r por lo tanto < £ ,, r¿> <3 es cota superior de la cadena F. en A.

Así que cualquier cadena en A tiene una cota superior en A => AZ O R N

tiene un elemento maxirnal < Bq . t q > . Veamos que B q — A C) Trivial , € A ==> Bq C A.

2) Supongamos que 3xo G(A — B q )

y podemos definirr* = r0 U {< y . x 0 >| y G S 0}

donde claramenteS 0 C S 0 U {x0}, 7-0 C r* y

Vy G S 0,Vx G S 0 U {x0} - Bq = {x0}, < y , x >G r* y< So U {xo}, r* > G A y

< So,ro > << So U {xo}.r* > oContradiciendo la maximalidad de . Así pues So = A y< A, ro > COBO y hay un buen orden para A.a

E j e r c i c i o s

1) Sea A infinito. Sin usar AE. dar un subconjunto numerable de

P{P{A)).Observación. Para probar que A infinito A Dedekind-infinito, se necesita A E , sin embargo, se puede probar sin A E que: A infinito P(P (A )) Dedekind-infinito, dando un subconjunto numerable de P(P(A)), sin usar AE.

2) Probar que la unión numerable de conjuntos numerables esnumerable es decir, si Vx G A ( | x \ = Kq) y \ A \ — No entonces

| U A |= No- Aclarar en donde se usó AE.

TEOREMA 20 (AE). Para todo conjunto A, A infinito ^ A tieneun subconjunto numerable

Prueba :<;=) E j e r c i c i o

=») {AE) Sea A infinito. Definiremos una función g inyectiva,

g : u> — > A, de donde u ~ g[wj C A y p[tj] es el subconjunto numerablede A .La idea es la siguiente: Sea a G A ^ 0 pues es infinito y

g : l o — > A tal que

g( 0) = a

g(s(n)) — un elemento de A —{ < ? ( 0 ) ,g{n)}

Sea F una función de elección para P{A) (tal F existe por AE). así VB C A, F(B) € B.

Sea J : {x C. A \ f in ( x )} — * {x C A | f in(x)} tal que

J(x) = x U {F(A —x)}.

Antes de la g definimos h : u — > {x C A \ f in{x)} por recursión

para l o :

h{ 0) - 0h(s(n)) — J{h(n)) = h(n) U {F(.4 —/i(n.))}.

Obsérvese que: A —h(n) ^ 0 pues h(n) es finito para toda n G u(por inducción y Propiedad 2 de finitos, sección 3.2) ( A - h(n) — 0

=> A C h(n) y fin(h(n)), por lo tanto f in (A) ^)Obsérvese también que: m < n => h(m) C h(n) (*)

Ahora sí definimos g : u — » A como :

g(n) = F(A - h{n)) = F(A - { g ( 0 ) , g ( n - 1)}) , Vn G w.

Observación. g(n) es el elemento agregado a. h{n) para formarh(n+ 1), por lo tanto g(n) G h(n+l), además h(n) C h(n+ 1). Obsérveseque g(0) = F(A) donde F(A) puede ser o no el a elegido en la idea dela prueba pero es un elemento de A.

Veamos que g es inyectiva:- Sean m ^ n. Podemos suponer sin pérdida de generalidad quem < n y s(m) < n, entonces g(m) G h(s(m)) Ch(n), por

e ( D e f g,h) (*)

lo tanto g(m) G h(n), pero g(n) h(n) puesg(n) —F(A —h(n)) G A —h(n) por ser F función de elección.

Por lo tanto gim) g(n) y así u>~ g[u] C A.a9

COROLARIO. A Dedekind-infinito -é» A infinito.Prueba: A Dedekind-infinito 4^- A tiene un subconjunto numerable A infinito.

4 .2 M ÁS ARITMÉTICA CARDINALT E O R E M A 21. Si k es cardinal infinito entonces «•« = «. Es decir,

si A es conjunto infinito entonces A x i ~ APrueba: Sea A tal que \ A \ — k P.D. A x A ~ A Sea H = { f \ B x B ~ B , B C A y \ B \ > i < o o / = 0},

H ± 0 pues 0 € H < H,C> es COPO. Aplicaremos Lema de Zorn a < H,Q> para

obtener una / maximal en H. es decir Zornificaremos a< H,Q> .

Observación. V/ e H ,dom( f ) = Im ( f ) x Im( f ) .

Sea C una cadena en H, entonces (J C es cota superior de C.- Si C = 0, U C = U 0 = 0 € H.- s í c = {0}, u c —U(®} = 0 € ií.

- Si C 7 0 y C {0}, (JC es una unión de funciones compatibles por ser C COTO e inyectivas, por lo tanto |J C es inyección.Sea B — Im([J C) — |J Irn(f) C A. B es infinito pues

f e c

3 / o 6 C # { 0 } , C C F ,

de donde /0 0 y | Im(fo) \ > K0.- Veamos que dom([J C) = B x BC) dom({JC) = U dom(f) = |J \Im(f ) x Im( f ) \

f eC feC £ U I m( f ) X U I m{ f ) = B x B

f e c f e c3 ) Sea < 6i , b2 > € B x B => bi 6 Im{f\ ) .b2 € Im { f 2) con

/i? f l € C, y como C es COTO podemos suponer s.p.g. /i C /j, por lotanto

<bi ,b2 ><E I m ( f 2) x I m ( f 2) = dom{f2) C (J dom{f) = dom(U C).

f e cAsí pues dom(lJC) = B x B y i>n((JC) = fí, por lo tanto

B x f i - B y N C É Í Í .UC

Por lo tanto en cualquier caso, (J C £ H es cota superior de C.Por ZORN, sea /o maximal en H.- /o 7 0 pues como A es infinito, tiene un subconjunto numerable

Si C A(AE) y como No ■No — No, hay una biyección g tal queSi x B\ ~ S i de donde g 6 H y 0 C <?, por lo tanto /o 0. pues /o es

9 *maximal.

- Así , hay un So infinito, So C A tal que So x B q ~ S 0/o

Sea A = | So |, Aes infinito y A • A = A , por lo tanto

A =i S 0 | < \ A \ = k ( B o c A )

es posible Bq C. A pero veremos que X — k , es decir que Sq ~ A.r

Para ver que | S o | = A = « = | A| , veamos que | A —Sq | < A, puescon eso tendríamos :

k = \ A |=| So U (A - S0) |=| S 0 | + | A —So |<A + A = 2-A < A • A= A < k

(2< A)

de donde A= k y como A • A = A, tendríamos k k — k .

Veamos pues que | A —So | < A.(Usaremos reducción al absurdo y DT.)

Supongamos que A < | A — So |, por lo tanto So < A - So yh

D = h[Bo] C A - S 0 con | D | = | So j = A, es decir, A - B0 tiene unsubconjunto D tal que | D | = A.

Daremos una extensión propia de /o, contradiciendo así su maxima-lidad.

Obsérvese que So íi D = 0 pues D C (A —So).

Sabemos que So x B q /■Ny Bo (1)(S0US>)x(S0US>) = (Bq x Bq) u [(Bo x D )U (D x B q)u ( D x D)} (2)

Ahora bien:| (Bq x D) U (D x Bq) U (D x D) \ > A y

| ( B q x J 5 ) D ( D x B o ) u ( í ) x J } ) | =

A-A + A- A + A- A = A-bA + A = 3- A < A • A —A(3<A)

por lo tanto es iguala A y 3 <7 biyección tal que:

(S0 x D) U (D x B0) u (D x I?) ~ £ (3)

Así. por (1), (2), (3) tenemos que:

(Bq U D) x (B0 U D) ~ (B0U £>) C A

(Como BQñD — d. fo y 3 son compatibles) por lo tanto foUg € ií,

entonces /o C /o U 5 ^ (Contra la maximalidad de /o).

Así pues \ \ A — Bq \, por lo tanto | A — B q \ < A pues ladominancia es total (AE).o

COROLARIO 1. Sean «. A cardinales; uno infinito y el otro no cero.Entonces,

k + A = k A = ináx{/c, A}

Prueba : supongamos s.p.g. que A < «, por lo tanto k infinito yA 0, entonces

K < K + X < K-t-K < K-K — K < K • A < K •K — K ( A < k ) Prop.V Prod. «in fini to A;¿0 (A < k )

por lo tanto k + A = k A = máx{«, A}. □

COROLARIO 2. Si A C B, B infinito y I A | < I B | entonces \ B - A \ = \ B \ .

Prueba :

| B |=| ( B - A ) UA |=| B - A | + | A \ = {| B - A |, | A\ }*

(*)Observación. Si | A ¡ infinito, ya. Si no, | A | finito =*| B - A \ infinito (pues B — A U (B — A)) Entonces como máx{ | B —A \. \ A ¡ }= ¡ B |, y como | A \ < \ B | se tiene | B — A \ = | B \ .□

E j e m p l o s Q c r y | Q | = | u \ = K 0 < 2K° = | R | = c, por lotanto | M —Q | = | R | . El cardinal de los irracionales es c.

j {x € M | x es algebraico} | = | w | = N o < c = | ] R | por lo tanto| {x € R | x es trascendente} ¡= | R | . El cardinal de los trascendenteses c.

Observac ión. Sabemos que los cardinales forman un orden total por AE.

SUPOSICIÓN. Supondremos (se puede probar) que los cardinalesademás forman un buen orden.

Con esa suposición, damos la siguiente

DEFINICIÓN. Si K es cardinal infinito, /Í+ es el menor de los cardinales mayores que k . Obsérvese que V«3 A(k < A).

Así k + = mín{A | A > «} 0. Por lo tanto, k < A => k + < A.En particular, como A< 2A(Teo. Cantor) entonces A+ < 2a.

C o r o l a r i o 3. Si A > N0 y 2 < k < A entonces 2A= k x = \ x = (A+)\

Prueba : 2 < k < A < A + < 2a, por lo tanto

2a < k x < AA< (A+)A< (2a)a = 2a a = 2a“ (T EO )

Así pues, 2X — k x —Xx = (A+)A, para todo A infinito y2 < k < A.

e j e m p l o s

= 2K o = 8k° = n H°, Vn G w.

H*u = 2 0

cc = 2C= = Kf =

C o r o l a r i o 4. Si A es infinito, hay una partición A = Ai U A 2 donde | A\ |=| A 2 |=| A |.

P r u e b a : Ejercicio.

COROLARIO 5. Si A es un conjunto infinito, hay una partición de A en | A | subconjuntos de A ajenos dos a dos, y cada uno de cardinal| A |.

P r u e b a : Sea k — | A |, como k k — k , 3 / (A x A ~Obsérvese que A x A = U ( ^ x {^})

z EA

Vb G A , sea = f [A x {6}] = {/(< y, b >) | y € A}, y seaP — {Ai¡ \ b £ A} entoncesV6 € A. Ak C A y

i) Ví> G A, A}, 0 (Si a G A, / ( < a, 6 >) G -4¡>)

ii) Vb, b' € A, si 6 Ab fl 4b' = 0 , x € AbP\ Ay => x = / ( < a, 6 >) para alguna a, x = / (< a ' , b' >) para algunaa', pero

< a, b > < a', 6' >pues b b' o contra 1a. inyectividad de /.

iii) U 4 = U /[-4 x {6}] - U { / (< V,b >) | y G A} = Aí>e.4 6eA /*»?•

Por lo tanto P es una partición de A. además

iv) como b b' =>■ Af, Ay tenemos que | P \ — \ A \

v) V¿>G A, | Ab | = | A |, pues A b ~ A donde g( f (< y, b >)) = y9- / ( < V,b>) + f (<y ' ,b>) => < y , b > ¿ < y', b >, por lo

/ f u n c ió n

tanto g( f (< y ,b>)) = y ^ y ' = g( f (< y 6 >))

- Si y € A entonces < y, b > e A x A y / ( < y.b >) e y

<?(/(< 2/>&>)) = y-n

M E D I T A C I Ó N . Todo proceso de elección para el cual se cumplandos hechos: que el número de elecciones a realizar es infinito y que nose pueda definir de modo general cómo se efectúan esa infinidad de elecciones. carece de justificación teórica, aunque se crea posible. El Axiomade Elección es necesario.

E j e r c i c i o s

1) Pruebe el Corolario 4.2) Dar explícitamente una partición de N en No subconjuntos

ajenos de N, cada uno de cardinal N0.

3) Dar ejemplos fj,, A. « cardinales infinitos tales que:a) ¡ j , < X y k m <

b) fx < A yc) ¿i < A y / j ,k < XK

d) n < X y ¡jlk = XK 4) Si k < | A | y A es infinito. ¿Cuántos subconjuntos de A,

de cardinal k , hay?Sugerencia Definimos [A]fc = {B C A 11 B \ = «}. la pregunta

es | [A]fc | =? Si k = | K | y / : K —*A entonces | / |= k y f C K x A.

5) Probar la equivalencia de las siguientes dos afirmaciones: ¿Senecesita AE?a) VS C M[S - < N o 5 ~ N o 5 ~ M ] i.e. S es finito o S es

numerable o 5 es del cardinal de R b) f iY[N < Y y Y -<R].

6) Sea A un conjunto infinito. Probar la equivalencia de lassiguientes dos afirmaciones:a) VS C P(A)[S ~<A o S ~ A o S ~ P(A)j. b) £ Y [ A -< Y y Y -<P(A)}.

¿Se necesita AE?

7) Para todo cardinal infinito k, probar la equivalencia de lassiguientes dos afirmaciones:a) VA <2* [ A < k o A= 2k].

b) /3 A [ / t < A y A < 2k}.

U n e x a m e n s o b r e e l a x i o m a d e e l e c c i ó n

El Axioma de Elección es una afirmación muy especial porque asegura la existencia de algo (un conjunto de elección o una función de eleccióno un buen orden) para lo cual no se da una definición. La disyuntivasobre si se necesita o no el Axioma de Elección debe ser clara: si se puede definir de algún modo la elección, ésta existe y el axioma no esnecesario. Si no se puede definir de ningún modo la elección, el axiomaes necesario para justificar que la elección existe. Pruébese el lector a

sí mismo: ¿cuándo el Axioma de Elección es realmente necesario? Lasrespuestas serán “si” o “no” en cada caso.

Si usted está trabajando en la teoría de conjuntos Zermelo-Fraenkelsin el Axioma de Elección, ¿puede usted elegir un elemento de ...

1. un conjunto finito?2. un conjunto infinito?

3. cada miembro de un conjunto infinito de conjuntos unitarios?4. cada miembro de un conjunto infinito de pares de zapatos?5. cada miembro de un conjunto infinito de pares de calcetines?6. cada miembro de un conjunto finito de conjuntos si cada uno de losmiembros es infinito?7. cada miembro de un conjunto infinito de conjuntos si cada uno de losmiembros es finito?

8. cada miembro de un conjunto infinito de conjuntos de racionales?9. cada miembro de un conjunto numerable de conjuntos si cada uno delos miembros es numerable?10. cada miembro de un conjunto infinito de conjuntos finitos de reales?

11 . cada miembro de un conjunto infinito de conjuntos si cada uno delos miembros es infinito?12. cada miembro de un conjunto numerable de conjuntos si cada unode los miembros es infinito?13. cada miembro de un conjunto infinito de conjunto de reales?14. cada miembro de un conjunto infinito de conjuntos de dos elementoscuyos miembros son conjuntos de reales?

4.3 U n a a p l i c a c i ó n d e l l e m a d e Zo r n

Todo Espacio Vectorial V tiene una base.Sea p la familia de conjuntos de vectores de V linealmente indepen

dientes, es decir

P = C V | x es conjunto de vectores linealmente independientes}

Sea C una cadena en < 3, C> COPO. IJC es una cota superior yclaramente es un conjunto de vectores linealmente independientes puesa i ,02, •••• otn € IJC => 3x £ C(ai.a 2, .... ocn € x), por ser C cadena.Así pues (J C € 8 .

Por ZORN, hay un maximal 3q 6 ¡3 y entonces Po es un conjuntolinealmente independiente que genera a V , pues:

Si a £ Po, hay &i,..., bn ± 0, a y a i ,« 2, •••, an £ Po tales que cti6i +0:262 + ••• + Oínbn + aa — 0, por lo tanto a ^ 0 (a = 0 =*> aií>i + a 2 2 +

... + anbn — 0 o). Así pues, como a i=- 0 tenemos:+ ••• + = a, por lo tanto a es generado por

a i ,02, ...,an £ po-Así pues, Po es una base para V.a

Unicamente a manera de ejemplificar la gran importancia delAxioma de Elección en diversas áreas de la matemática, mencionaremosvarios teoremas importantes de diversas ramas matemáticas en cuya prueba es necesario usar el Axioma de Elección en alguna de sus



formas equivalentes:

1) Cualquier unión numerable de conjuntos numerables, es numerable.

2) Todo conjunto infinito tiene un subconjunto numerable.3) Para todo cardinal infinito re, re re — re; en Aritmética Cardinal

Transfinita.4) Todo espacio vectorial tiene una base; en Algebra Lineal.

5) Teorema de Tychonoff, el producto topológico de espacios com pactos es compacto; en Topología.6) Teorema de Compacidad; de Lógica Matemática.7) Teorema de Lowenheim-Skolem-Tarski; de Lógica Matemática.8) El Teorema del Ideal Maximal; en Algebra.9) El Teorema del Ultrafiltro; en Algebras de Boole.10) El Teorema de Hahn-Banach. en Análisis Funcional.

Algunos de los teoremas anteriores son en realidad, equivalentes alAxioma de Elección: es sorprendente la cantidad de versionesequivalentes muy distintas, que existen del AE. Algunos otros, son “másdébiles", es decir el AE los implica, pero ellos no implican al AE; estosse conocen como Formas Débiles del Axioma de Elección.



B i b l i o g r a f í a

[Bolzano B.] Las Paradojas del Infinito, Mathema, 1985.

[Cantor Georg] Contributions to the Founding of the Theory of Trans-finite Numbers, Dover, 1955.

[Crossley J. et al] What is Mathematical Logic?, Dufdod University,

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[Devlin K.] The Joy of Sets: fundamentáis of contemporary settheory, Springer Verlag, 1993.

[Enderton H. B.j Elements of Set Theory, Academic Press, 1977.

[Hernández F.] Teoría de Conjuntos, Aportaciones Matemáticas

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[Hrbacek K. Jech T.] Introduction to Set Theory, Marcel Dekker Inc.,1984.

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[Malitz J.] Introduction to Mathematical Logic Part I: an introduction to Set Theory, Springer Verlag, 1984.



Teoría de conjuntos para estudiantes de ciencias, editado por la Facultad de Ciencias de la

Universidad Nacional Autónoma de México,se terminó de imprimir el 30 de julio de 2011

. en ios talleres de Tipos Futura, S. A. de C. V.Francisco González Bocanegra No. 47-B, Colonia Peralvillo,

Delegación Cuauhtémoc. C. P. 06220, México, D. F.

El tiraje fue de 500 ejemplares.

Está impreso en papel cultural de 90 grs.En su composición se utilizó tipografía Computer modern

de 12:14 y 16:18 puntos de pica.Tipo de impresión: offset.

El cuidado de la edición estuvo a cargo de

Mercedes Perelló Valls

Amor Montaño Jose Alfredo - Teoria de Conjuntos Para Estudiantes de Ciencias

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