Amortiguamiento de Coloumb

7/24/2019 Amortiguamiento de Coloumb

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AmortiguamientoGeneralidadesTodo cuerpo en movimiento tiende a disminuir con el tiempo y esta disminucinest asociada con una prdida de la energa presente en el sistema. Estaprdida de energa es producida por fuerzas de amortiguamiento o de friccin

sobre el sistema. La energa cintica o potencial se transforma en otrasformas de energa tales como calor o ruido.!n sistema sometido a cargas dinmicas sufre desplazamientos. "uando lae#citacin e#terna desaparece por medio de las fuerzas de friccin laestructura llega al reposo$ as se define al amortiguamiento como la capacidadde un cuerpo para frenar con sus fuerzas de friccin la energa transmitida poruna accin e#terna.

%ig &. Amortiguamiento de un cuerpo

'ependiendo los fenmenos fsicos (ue e#perimenta un sistema estructural sedistinguen varios tipos de amortiguamiento) el amortiguamiento de "oulomb elamortiguamiento viscoso y el amortiguamiento *istertico.El amortiguamiento de "oulomb se presenta cuando la friccin entre las

partculas de un cuerpo frena o absorbe las acciones e#ternas.El amortiguamiento viscoso se presenta cuando se utilizan mecanismos deinteraccin con el cuerpo (ue permiten disipar la energa.El amortiguamiento estructural o *istertico se presenta como una respuestadel comportamiento de los materiales constitutivos$ es la capacidad deabsorber las acciones e#ternas debido a una correcta configuracin de sussecciones transversales.

+e pueden relacionar los tres modelos de amortiguamiento con el modelo deamortiguamiento viscoso por medio de una cantidad llamada amortiguamiento

viscoso e(uivalente ceq (ue es el valor del coeficiente de amortiguamiento c

(ue se re(uiere para disipar la misma cantidad de energa por periodo deoscilacin armnica forzada ,-alac*andran -. et al //01.2ara otros modelos de amortiguamiento tambin es posible cuantificar la

energa disipada a travs del amortiguamiento viscoso e(uivalente ceq,-alac*andran -. et al //01.

Amortiguamiento de "oulombEste tipo de amortiguamiento se presenta debido a la friccin en las cone#iones

o puntos de apoyo. Es constante independiente de la velocidad o cantidad deldesplazamiento y usualmente se trata como amortiguamiento viscoso interno


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cuando el nivel de desplazamiento es pe(ue3o o como amortiguamiento*istertico cuando es alto. El amortiguamiento de "oulomb corresponde a unamortiguamiento de friccin con direccin del desplazamiento y de signoopuesto al de la velocidad.Es el rozamiento seco. "uando un ob4eto est apoyado sobre una superficie

se produce una fuerza (ue se opone al movimiento y (ue cancela cual(uierfuerza aplicada (ue sea menor (ue N . +i la fuerza aplicada es mayor (ueN la fuerza de rozamiento toma un valor constante e igual a N .

Escribimos entonces)Fr=N siV>0Fr=F siV=0

Los valores del coeficiente de friccin (ue depende de las propiedades de losmateriales en contacto pueden ser encontrados e#perimentalmente. La Tabla &muestra los valores apro#imados de este coeficiente en varios casos desuperficies secas pero *ay (ue tener en cuenta (ue el efecto de la friccin se

reduce de manera significativa en el caso de las superficies lubricadas.

Tabla &. 5alores apro#imados de coeficientes de friccin

Material Coeficiente de Friccin

Caucho en concreto /.60 7 /.89

Metal en piedra /.0 7 /.00

Metal en madera /.&0 7 /.60

Metal en metal /.& 7 /.60

Madera en madera /.&: 7 /.;9

Piedra en piedra /.;/ 7 /.0;


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%ig . +istema de un solo grado de libertad con amortiguamiento de "oulomb

2ara un sistema de un solo grado de libertad con amortiguamiento de "oulomb

o de friccin seca sometido a una fuerza armnica F( t)=Fo sen(t) como enla figura la ecuacin de movimiento es

m x+kxN=F( t)=Fo sen (t)(1)

donde el signo de la fuerza de friccin , N=mg 1 es positivo ,negativo1cuando la masa se mueve de iz(uierda a derec*a ,derec*a a iz(uierda1. Lasolucin e#acta de la ecuacin ,&1 es complicada$ sin embargo si la fuerza deamortiguamiento de friccin seca es grande el movimiento de la masa serdiscontinuo. 2or otra parte si la fuerza de friccin seca es pe(ue3a comparada

con la amplitud de la fuerza aplicada Fo la solucin de estado estable ser

casi armnica. En este caso se puede determinar una solucin apro#imada dela ecuacin ,&1 por medio de una relacin de amortiguamiento viscosoe(uivalente revisada anteriormente.2ara determinar esta relacin se iguala la energa disipada por la friccin secaa la energa disipada por un amortiguador viscoso e(uivalente durante un ciclode movimiento completo. +i X denota la amplitud de movimiento la energadisipada por la fuerza de friccin N en un cuarto de ciclo es N X .

Entonces en un ciclo completo la energa disipada por el amortiguamiento defriccin seca est dada por) W=4N X(2 )

+i la constante de amortiguamiento viscoso e(uivalente se indica como ceq

la energa disipada durante un ciclo completo ser)

W= ceq X2(3)


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En este caso de amortiguamiento de "oulomb o de friccin en seco la energadisipada , W 1 es proporcional al coeficiente cintico de friccin = a la carganormal N=mg y a la amplitud del desplazamiento X ,1 mientras (ue elcoeficiente de amortiguamiento viscoso e(uivalente es inversamente

proporcional a la frecuencia de e#citacin y a la amplitud de la respuesta dedesplazamiento X ,61.2or lo tanto la respuesta de estado estable est dada por)

Xp( t)=Xsen (t )(5)

donde la amplitud X se puede *allar a partir de la ecuacin)

X= Fo

(km 2)2+(ceq )

2=

F0/k

(1

2

n2)2

+(2 eq

n)2

(6)

con

eq=ceq

cc=

ceq

2mn=

4N

2mn X=

2N

mnX(7)

al sustituir ,>1 en ,81

X= F

0/k

(1

2

n

2)2

+(4N

k X)2

(8)

La solucin de esta ecuacin da la amplitud ? como)

X=F

0

k 1(

4N

F0

)2

(1

2

n2)2 (9)

+e sabe (ue se puede utilizar la ecuacin ,:1 slo si la fuerza de friccin es

pe(ue3a comparada con F0 . 'e *ec*o el valor lmite de la fuerza defriccin N se determina con la ecuacin ,:1. 2ara evitar valores imaginariosde X se necesita tener)

1( 4N F0)2

>0oF

0

N>4

El ngulo de fase (ue aparece en la ecuacin ,01 se calcula utilizando laecuacin)


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condicin no resonante ,

n


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%ig 6. Efecto del amortiguamiento de "oulomb

El modelo de amortiguamiento de "oulomb es utilizado por dispositivosbasados en aisladores friccionales. !na de las principales desventa4as de losaisladores friccionales radica en la incertidumbre de evaluar el coeficientecintico de friccin debido al enve4ecimiento abrasin y uso de losdispositivos ,'e la Llera @. et al. &::9$ AlBussaini T. et al. &::61. Estasituacin puede fallar a travs del tiempo la magnitud de la energa disipada ydel amortiguamiento viscoso e(uivalente ,ecuacin y 61.

E4emplos)

&. +istema de masaresorte con amortiguamiento de "oulomb

!n sistema de resorte de 6/// CDm rigidez y masa de &/ g vibra sobre unasuperficie *orizontal. El coeficiente de friccin es de /.&. "uando se somete auna fuerza armnica de Bz de frecuencia la masa vibra con una amplitud de6/ mm. 'etermine la amplitud de la fuerza armnica aplicada a la masa.

La fuerza vertical ,peso1 de la masa es N=mg=10 (9.81 )=98.1N . Lafrecuencia natural es)

n=

k

m

=

4000

10

=20rd /s

y la relacin de frecuencia es)

n=

2(2)20

=0.6283

La ecuacin ,:1 da la amplitud de vibracin X )

X=F

0

k

1(4N

F0

)2

(1 2

n2)2


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0.04= F

0

4000

1(4 (0.12)(98.1)

F0

)2

(10.62832)2

La solucin es)F

0=97.99N

. !n pe(ue3o edificio consiste en cuatro marcos de acero cada uno conun dispositivo friccional soportando una losa de *ormign armado comose muestra en la figura 0. La fuerza normal a travs de cada uno de lospad friccionales *a sido a4ustada para ser igual al .0F del peso de lalosa ,figuras 0 y 81. !n registro del movimiento del edificio en vibracinlibre a travs del e4e # se muestra en la figura 8. 'etermine el coeficiente

de roce efectivo.

%ig 0. Losa de e4emplo

%ig 8. ovimiento del cuerpo en e4emplo

+e supone (ue el peso de los marcos es despreciable al comprarlo con el peso

de la losa y (ue los mecanismos de disipacin de energa distintos a los


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friccionales tambin son despreciables. Esto Hltimo es razonable debido a (uela amplitud del movimiento decae en forma lineal como se veen la figura d1.

2rimero determinamos !n y F )

!n=!iempo en decer loscilci"nndeciclostrnsc#rridos =4.5

9=0.5 s

n=2

0.5=4

F=$i%erenci entrel mplit#d del primer & ltimo ciclo

nde ciclos trnsc#rridos =

5.50.19

=0.6p#lg

F=0.15p#lg

La friccin a los largo de cada barra es (0.025W) siendo W el peso dela losa y su componente en la direccin lateral ,*orizontal1 como se muestraen la figura a1 y b1 es (0.025W)cos( . La fuerza total de friccin en ladireccin lateral debida a las cuatro barras es)

F=4 ( 0.025W)=(0.1W)16

20=0.08W

F=F

k=

0.08W

k =

0.08mg

k =

0.08g

n2

=Fn

2

0.08 g=

0.15 (162 )0.08 (9.81 )

=0.767

;. El sistema masaresorte de un grado de libertad (ue se muestra en la%ig. > tiene masa m I 0 g coeficiente de rigidez del resorte I 0///C D m coeficiente de friccin seca I /& desplazamiento inicial

Xo=0.03m y la velocidad inicial Xo=0 . 'eterminar el nHmero de

ciclos de oscilacin de la masa antes de la *ora de descansar.

%ig >. +istema masaresorte para e4emplo ;

La fuerza de friccin se define por)


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F%=N=mg=0.1 (5 ) (9.81 )=4.905N

El movimiento se detendr si la amplitud del ciclo es tal (ue la fuerza de resortees menor (ue o igual a la fuerza de friccin es decir)

k X%)4.905

X%)4.905

5000=0.981E-3m

La amplitud pierde por cada mitad de ciclo)

2F%

k =

2(4.905)5000

=1.96E-3m

El nHmero de medios ciclos n completados antes (ue la masa llegue alreposo puede ser obtenido de la siguiente ecuacin)

xon2F%

k )0.981E-3

0.03n2F%

k )0.981E-3

El valor ms pe(ue3o de n (ue satisface la desigualdad es n=15 mediosciclos y el nHmero de ciclos completados antes (ue la masa llegue al reposoes >.0.

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