An alisis de ajuste de diferentes modelos de evaluaci on de stock a los datos de … ·...

Analisis de ajuste de diferentes modelos de

evaluacion de stock a los datos de gallo del norte

(Lepidorhombus whiffiagonis)

Javier Escartın FerrerUniversidad de Zaragoza

Basque Center for Applied Mathematics

Dirigido por:

Virginia Muto ForesiUniversidad del Paıs Vasco / Euskal Herriko Unibersitatea

y

Dorleta Garcıa RodrıguezAZTI-Tecnalia

Agradecimientos

Me gustarıa dedicar este Trabajo de Fin de Master a toda la gente que ha estado conmigoy que me ha apoyado en el ultimo ano:

A mis padres y mi hermano Marcos. Vuestro orgullo al verme llegar lejos es la mejorrecompensa.

A mi familia en general, y especialmente a mi abuela Pilar, que no pudo vermeterminar este master ni conseguir el trabajo que tengo ahora.

A mis amigos de Huesca y Zaragoza, especialmente a los que han estado cerca elultimo ano. Miguel, Pablo, Sheila, Ricardo, Mar, Noelia... gracias por estar ahı.

A mis companeros del master y de mi nueva etapa en BCAM, por hacer mas llevaderaesta locura de ano.

Dla Moniki. Dzi ↪ekuj ↪e bardzo.

Indice

1. Introduccion 1

2. Modelos de produccion dinamicos en la gestion pesquera 22.1. El modelo ASPIC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

3. Modelos estructurados por edad basados en un modelo de supervivenciaexponencial 83.1. El modelo XSA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113.2. El modelo ADAPT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

4. Evaluacion de los datos 164.1. Calidad de ajuste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

4.1.1. Criterios para determinar la calidad del ajuste con el modelo ASPIC 174.1.2. Criterios para determinar la calidad del ajuste con el modelo XSA . 174.1.3. Criterios para determinar la calidad del ajuste con el modelo ADAPT 18

4.2. Evaluacion con el modelo XSA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184.3. Evaluacion con el modelo ASPIC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384.4. Evaluacion con el modelo ADAPT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

5. Conclusiones 60

6. Glosario 61

1. Introduccion

The principal function of a stock-assessment scientist is to provide scientific advice onfish stocks to fisheries management organisations.

”Workshop Course on Fish Stock Assessment Techniques”, Coby L. Needle

La evaluacion de stocks en la industria pesquera tiene por objetivo ofrecer informaciontan cercana a la realidad como sea posible sobre la situacion demografica de los stocks quese tratan, entendiendose stock como una determinada poblacion de determinada especielocalizada en determinada ubicacion geografica.

La investigacion sera llevada a cabo utilizando la informacion aportada tanto por lasflotas pesqueras comerciales como por las campanas de investigacion cientıfica, en adecuadacombinacion.

Con las diferentes tecnicas que se introduciran es posible estudiar, con menor o mayorprecision las diferentes cuestiones relativas a la demografıa de los peces: el tamano de lapoblacion actual, ası como la evolucion que ha llevado en el pasado.

El objetivo de este trabajo en concreto es utilizar los datos relativos a las capturasdel gallo del norte (Lepidorhombus whiffiagonis) desde 1984 hasta 2009 aportados pordistintas flotas comerciales y campanas cientıficas para, a partir ahı, calcular la evoluciondel tamano de la poblacion a lo largo de dichos anos, ası como estimar una prediccion dedicho tamano al inicio del ano inmediatamente posterior (2010).

Para ello se utilizaran tres modelos distintos: uno basado en los modelos de produccion(ASPIC) y dos basados en un modelo de supervivencia exponencial (XSA y ADAPT).

Dichos modelos tienen en comun que son modelos heurısticos, cuya validez esta masbasada en la experiencia y los buenos resultados ofrecidos a lo largo de los anos que en elrigor matematico. Por eso mismo, ciertos aspectos que desde el punto de vista matematicoserıan imprescindibles de cara a aceptar el metodo como valido (como por ejemplo, laconvergencia de ciertos parametros) no han sido probados, y posiblemente nunca lleguena serlo. Esto es debido a la no observabilidad directa de los datos a estimar y a lo ex-tremadamente ruidoso de las mediciones que se efectuan para tratar de calcular dichosdatos.

Es por eso que conviene ser especialmente cuidadoso, saber interpretar los resultadosy saber si las condiciones que han guiado al modelo a ofrecer segun que resultados sonbuenas representaciones de la realidad.

1

2. Modelos de produccion dinamicos en la gestion pesquera

Los modelos de produccion son los primeros y mas basicos modelos surgidos a la horade hablar de dinamica de poblaciones. En ellos la poblacion se trata como un total, sintener en cuenta la edad o sexo de los individuos que la forman. La poblacion puede medirsetanto en numero total de individuos vivos, como en biomasa total (la masa total que sumandichos individuos).

Ejemplo: el primer modelo fue formulado por Thomas Maltus en 1798 [5], y se derivade la siguiente ecuacion diferencial ordinaria:

dB

dt= (β − δ)B , (1)

donde β y δ son dos constantes que representan las tasas de natalidad y mortalidad respec-tivamente. Este modelo, extremadamente simple, darıa a entender que tanto la natalidadcomo la mortalidad dependen proporcionalmente del tamano de la poblacion.

Se resuelve de la siguiente manera:

B(t) = B0e(β−δ)t , (2)

donde B0 es la poblacion en el instante inicial del periodo de tiempo estudiado.Este modelo tiene visibles deficiencias: modelizar ambas tasas como constantes no solo

supone que no van a variar a lo largo del tiempo debido a la accion de agentes externos,sino que no tiene en cuenta las limitaciones del entorno, permitiendo que la poblacioncrezca indefinidamente si β > δ.

En 1957 Milner B. Schaefer [6] introdujo el siguiente modelo para la industria pesquera:

dB

dt= r(1− B

B∞)B − FB , (3)

donde B∞ es un punto de equilibrio no nulo (normalmente poblacion maxima). Elcoeficiente r representa la tasa de crecimiento cuando la biomasa tiende a 0, mientras que(1 − B

B∞) hace que el crecimiento tienda a 0 cuando la biomasa tiene hacia su punto de

equilibrio no nulo, evitando ası que la poblacion crezca indefinidamente cuado el tiempot tiende a infinito. F es la tasa instantanea de mortalidad pesquera, y se puedesuponer igual a qE, donde q representa la capturabilidad (biomasa capturada por laflota por unidad de esfuerzo por unidad de biomasa en el stock) y E el esfuerzo, el cualpuede medirse en diversas unidades, como por ejemplo, numero de horas invertidas en lapesca.

Utilizando el metodo de separacion de variables para la resolucion de ecuaciones dife-renciales ordinarias se puede resolver la ecuacion:

B(t) =1

1 + rB∞−B0−qEB0

e( qEB∞−r)t

. (4)

Al explotar una poblacion, interesan dos cosas: poder extraer la mayor cantidad debiomasa de la misma y al mismo tiempo no mermar la poblacion en demasıa para poderseguir explotandola en el futuro. En otras palabras, dejar que la poblacion se regenere para

no mermarla. Tengase en cuenta que, en la ecuacion diferencial (3) el termino r(1− B

B∞)

2

representa el crecimiento vegetativo y el termino FB = qEB la biomasa capturada, a laque se llamara captura. Se introduce la funcion Y (E), que representara la captura enfuncion del esfuerzo como

Y (E) = qEB = B∞(1− F

r)F = B∞(1− qE

r)qE . (5)

Derivando e igualando a 0, se puede hallar para que esfuerzo se obtiene el MaximumSostenible Yield (rendimiento maximo sostenible en el tiempo), o MSY:

MSY =rB∞

4; Eopt =

r

2q, (6)

donde Eopt corresponde al esfuerzo necesario para obtener dicho MSY.Si la poblacion ha sido correctamente modelada, esta cantidad es la que dice cuanto

es el maximo que se puede pescar sin mermar la poblacon.Para poder estimar los parametros del modelo, se convierte la ecuacion diferencial en

la ecuacion en diferencias finitas

By+1 = By + r(1− ByB∞

)By − Cy (7)

considerando q y r como constantes, y siendo By la biomasa al inicio del ano y y Cy lacaptura durante dicho ano.

El modelo ademas introduce una serie Iy de ındices de abundancia anuales que satis-facen

Iy = qBy . (8)

La razon de esto es que la discretizacion de la ecuacion de Schaefer no es suficiente pararesolver el modelo.

Los valores Iy suelen tomarse como

Iy =CyEy

. (9)

Esta expresion introduce la unidad de medida para los ındices de abundancia: C.P.U.E.,(Catch Per Unit of Effort), y sera la unidad utilizada para hablar de ındices de abundanciautilizada en los distintos modelos, con las adecuadas modificaciones (estructuracion poredad o indicar la abundancia en terminos de biomasa o numero de individuos).

Entonces, se tiene el siguiente problema:

By+1 = By + r(1− ByB∞

)By − Cy (10)

Iy = qBy . (11)

Es lo que se conoce como un problema de evolucion y observacion [8]. La primera ecua-cion se conoce como ecuacion de estado y la segunda ecuacion de observacion. Enel, lo que se hace es tratar de determinar la evolucion de una sucesion de datos no direc-tamente observable (en este caso By) a traves de una sucesion de observaciones (en estecaso Iy).

3

Para caracterizar completamente el sistema se necesita saber los parametros B∞, r y q,ası como el valor inicial B0. El problema surge cuando el modelo no encaja perfectamente(tener en cuenta que Cy y Ey son medidas sujetas al error humano, y que Iy dependede ambas). Los modelos se dividen en aquellos que tratan la ecuacion de estado comoexacta, y atribuyen todo el error del sistema a la ecuacion de observacion, y los que porel contrario dicen que la ecuacion de observacion es exacta y atribuyen todo el error a laecuacion de estado.

2.1. El modelo ASPIC

El modelo ASPIC [3] o A Surplus-Production model Incorporating Covariates es delprimer tipo mencionado en el punto anterior: asume que la ecuacion de estado es deter-minista, y que los errores del modelo recaen totalmente sobre la ecuacion de observacion.Por tanto, el objetivo sera calcular los parametros del modelo, a partir de ellos calcular laevolucion de la biomasa a lo largo del tiempo, y calcular unos ındices de abundancia quese compararan con los observados.

Este asume que el comportamiento de B(t) se ajusta a lo descrito por la ecuacion deSchaefer, la cual puede reformularse como

dB(t)

dt= rB(t)− r

B∞B(t)2 − qE(t)B(t) (12)

.La solucion de esta ecuacion serıa, si se asume E(t) como una constante a la que se

llama E:

B(t) =−B0B∞(qE − r)ert−qEt

B0rert−qEt + r(B∞ −B0)− qEB∞(13)

.En su lugar se considerara E(τ) constante a lo largo de un determinado periodo de

tiempo, i.e. constante para todo cierto ano, cuatrimestre o mes, pero no a traves deltiempo. La razon para hacer esto es que no se dispone de los valores de E como unafuncion continua, sino de forma discreta, estructurada por periodos de tiempo (comose menciono antes, anos, cuatrimestres... en el caso de este trabajo, anos). Eso lleva lasiguiente expresion:

By+1 =−ByB∞(qEy − r)er−qEy

Byrer−qEy + r(B∞ −By)− qEyB∞(14)

donde Ey es el valor del esfuerzo pesquero realizado durante el ano y. Hecho esto se puedecalcular la captura esperada (que se denotara Y y) durante dicho ano:

Yy =

∫ y+1

yqE(t)B(t)dt = (15)

∫ y+1

yqEy

−ByB∞(qEy − r)ert−qEyt

Byrert−qEyt + r(B∞ −By)− qEyB∞dt = (16)

=qEyB∞

rlnByre

r−qEy − qEyB∞ +B∞r −ByrB∞r − qEyB∞

. (17)

4

Ahora ya se puede hacer funcionar el modelo. Tan solo se necesitan ciertos datosobjetivos: la captura Yy y el esfuerzo Ey reportado por la flota pesquera, para cada anopara el cual se efectua el analisis. La informacion faltante es B0, r, B∞ y q. El objetivodel modelo ASPIC es estimar dichos valores, de la siguiente manera:

1. Proponer un valor inicial para cada uno de esos parametros. El algoritmo no esdemasiado sensible a esta eleccion, por lo que no importa mucho cuales se escojan.

2. Dado que hay un valor para B0, calcular By periodo por periodo. Calcular ademasla serie de capturas Y y.

3. Se necesita algun tipo de funcion objetivo a minimizar. Hay varias opciones pero lamas comun es la suma de mınimos cuadrados

∑y(Yy−Y y)

2.

4. Utilizar el algoritmo simplex [7] (el metodo que viene implementado en el softwareusado para ajustar el modelo) para minimizar la funcion objetivo en funcion delos parametros. Volver al punto 2, utilizando como B0, r, B∞ y q aquellos queminimizaban la funcion objetivo.

5. Habiendo fijado algun criterio de convergencia para B0, r, B∞ y q (por ejemplo,que llegada una iteracion los cuatro valores varıen menos de 0,01 con respecto a laiteracion), repetir el bucle hasta alcanzarlo.

Algunas modificaciones en el modelo permiten combinar los datos pertenecientes adistintas flotas pero relativos a la misma poblacion. Suponiendo que se tiene un numeroN de flotas, y se define Fjy para cada j = 1..N como la tasa de mortalidad pesquera dela flota j durante el ano y. En tal caso

N∑j=1

Fjy = Fy =N∑j=1

qjEjy (18)

y

Yy =FyB∞r

lnByre

r−Fy − FyB∞ +B∞r −ByrB∞r − FyB∞

. (19)

Entonces se define

Yjy =FjyFy

Yy =qjEjyFy

Yy . (20)

Como conclusion de esto se puede ejecutar el modelo usando como datos varias series,de las cuales puede conocerse su captura y su ındice de abundancia, o tan solo su ındicede abundancia. Se puede definir la funcion objetivo como

∑Nj=0

∑y(Yjy − Yjy)2 (o una

modificacion de la funcion de perdidas que se haya elegido incluyendo todas las flotas).Ası los parametros a estimar, por medio de minimizar la perdida, seran r, K, B0 y qj paratoda serie j de la que se dispongan las series de captura e ındice de abundancia.

A la hora de realizar el ajuste, se introduciran ciertas modificaciones en el modelo. Lafuncion objetivo a minimizar sera de la siguiente forma:

N∑j=0

∑t

(lnYjy − lnYjy)2 = (lnYjy

lnYjy)2 . (21)

5

Este tipo de funcion objetivo tiene la particularidad de que amplifica los residuos enescalas muy pequenas. Si una captura, digamos, de 0,0001 y se estima como 0,0002, elresiduo que produce es (ln0,0001

0,0002)2 = 0,048. Por tanto, estos datos seran mas delicados ymas difıciles de estimar, y los mas pequenos errores seran sumamente influyentes en elajuste del modelo. Por tanto, se introduciran ciertos pesos [4], pasando a ser la funcionobjetivo

N∑j=0

∑y

wj(lnYjy − lnYjy)2 (22)

donde wj representa el peso que se da a cada flota dentro del modelo (los cuales ademasse normalizan para que sumen 1. Si para un ano no se tienen datos de todas las flotas, serenormalizan para que los que sumen 1 sean los de las flotas presentes dicho ano), y sereformula

Fy =N∑j=1

wjFjy =

N∑j=1

wjqjEjy . (23)

Entonces, tras cada iteracion del modelo se anadirıa un nuevo paso: se ajustaran lospesos para que la varianza de la serie de residuos de la captura para cada una de las flotassea la misma. Ası, puesto que las capturas que se mueven en magnitudes muy pequenastienden a dar varianzas mayores, tendran un peso menor, y por tanto, una menor influenciaen los resultados finales del ajuste.

Otra modificacion de interes a anadir a la funcion objetivo es la penalizacion si B0 >B∞. Resulta logico pensar que la poblacion en ningun momento va a ser mayor que B∞,pero lo cierto es que en ocasiones se da el caso. Una manera de evitar esto es anadir dichapenalizacion de manera que la funcion objetivo pase a ser

N∑j=0

∑t

wj(lnYjy − lnYjy)2 + dwB(2B0 −B∞B0 +B∞

)2 . (24)

donde d = 1 si B0 > B∞ y d = 0 si B0 ≤ B∞, siendo wB el parametro de penalizacion.En los posteriores ajustes se tomara como igual a 1.

El software que se utilizara permite ejecutar el ajuste del modelo para distintas flotas(un maximo de 10 a la vez). Los datos deben ser introducidos de la siguiente manera: almenos una de las series sera doble, conteniendo los ındices de abundancia para una flotaC.P.U.E. o el esfuerzo para cada ano y la captura total anual reportada. El resto de seriescontendran el ındice de abundancia o el esfuerzo (dependiendo de lo elegido en la primeraserie), para las distintas flotas incluıdas.

Se realizaran los ajustes introduciendo el ındice C.P.U.E., y se procedera de la siguientemanera: para calcular la evolucion de la poblacion a traves del tiempo, el programa necesitacalcular Fy =

∑Nj=1wjqjEjy. Si se estan utilizando los datos de una sola flota, es facil

calcular el esfuerzo como

Ey =YyIy

, (25)

6

siendo Iy el ındice C.P.U.E. para el ano t. Pero si se esta trabajando con mas de una flota,el calculo es mas complicado. El programa calcula [10]

Ejy =YyIjy

(26)

y luego calcula

Fy =

N∑j=1

wjqjEjy (27)

donde wj son los pesos anteriormente introducidos.Finalmente, una vez terminado el ajuste, el programa calculara los siguientes residuos:

rjy = Ijy − Ijy (28)

, donde Ijy representa las series de ındices de abundancia observados y Ijy los calculadosmediante la ecuacion de observacion (ver apartado anterior).

Estos residuos se utilizaran mas adelante a la hora de determinar la calidad del ajuste(ver 4.1.1).

Nota: dado que el ajuste del modelo ASPIC a la poblacion de gallo del norte se reali-zara introduciendo la captura total y los ındices de abundancia de cada flota, la funcionobjetivo que se utilizara sera la introducida en primer lugar, con la penalizacion en casode que B0 > B∞: ∑

y

(lnYy − lnYy)2 + dwB(2B0 −B∞B0 +B∞

)2 . (29)

Se evitara la necesidad de utilizar pesos por medio de la estandarizacion de las series deındices de abundancia (ver 4.3).

7

3. Modelos estructurados por edad basados en un modelode supervivencia exponencial

Sharpe y Lotka [14] en 1911 y McKendrick [15] la edad como un factor a tener encuenta en el estudio de la dinamica de poblaciones. El modelo, llamado de Sharpe-Lotka-McKendrick se deriva de la siguiente manera:

Se denota n(a, t) a la densidad de individuos de edad a en el instante t. Sea N(t) elnumero de individuos de edad entre a0 y a1. En tal caso se tiene

N(t) =

∫ a1

a0

n(a, t)da . (30)

Se tiene que la cantidad de individuos en el instante t+ ∆t de edad entre a0 y a1 sonlos que tenıan una edad entre a0 −∆t y a1 −∆t en el instante t y sobrevivieron hasta elinstante t+ ∆t. Por tanto:

N(t+ ∆t) =

∫ a1

a0

n(a, t+ ∆t)da = (31)

=

∫ a1−∆t

a0−∆tn(a, t)da−

∫ t+∆

t

∫ a1−∆t

a0−∆tµ(a)n(a, τ)dadτ (32)

donde µ(a) es la tasa de mortalidad intantanea para un individuo de edad a.

Aplicando dichas igualdades a la definicion de dN(t)dt se tiene

dN(t)

dt= lım

∆t→0

1

∆t

(∫ a0

a0−∆tn(a, t)da

−∫ a1−∆t

a1

n(a, t)da−∫ t+∆t

t

∫ a1−∆t

a0−∆tµ(a)n(a, τ)dadτ

) (33)

y de aquı puede deducirse, aplicando la definicion de derivada al primer y segundo sumandoy denotando la integral interior del segundo miembro como f(t,∆t),

dN(t)

dt= n(a0, t)− n(a1, t)− lım

∆t→0

1

∆t

∫ t+∆t

tf(t,∆t)dt . (34)

Si n y µ son continuas, f lo es y se puede volver a aplicar la definicion de derivada,obteniendo

dN(t)

dt= n(a0, t)− n(a1, t)−

∫ a1

a0

µ(a)n(a, τ)da . (35)

Recordandose la definicion de N(t), puede reescribirse la ecuacion como∫ a1

a0

∂n

∂tda = −

∫ a1

a0

∂n

∂ada−

∫ a1

a0

µnda (36)

o, lo que es lo mismo, ∫ a1

a0

[∂n

∂t+∂n

∂a+ µn

]da (37)

8

y dado que esto se cumple para cualquier eleccion de a0 y a1, se tiene

∂n

∂t(a, t) +

∂n

∂a(a, t) = −µ(a)n(a, t) t > 0 a > 0. (38)

Esta ecuacion en derivadas parciales es el llamado modelo de Sharpe-Lotka-McKendrick.Faltarıa incorporar las condiciones iniciales y de contorno. Las condiciones iniciales

estaran determinadas por una funcion dada:

n(a, 0) = n0(a). (39)

La condicion de contorno, por otra parte, describe la entrada de nuevos individuosde edad 0. Para ello debe considerarse una funcion β(a) que representa la productividadinmediata de un individuo de edad a. Dichas condiciones, representadas por la funcion denatalidad, seran:

n(0, t) =

∫ +∞

0β(a)n(a, t). (40)

Se tratara ahora de resolver la ecuacion en derivadas parciales encontrando curvasφ(s) = (a(s), t(s)) en el plano en las cuales esta se convierte en una ecuacion diferencialordinaria. Se define N(s) = n(a(s), t(s)), y se tiene

dN(s)

ds=dn(a(s), t(s))

ds=∂n

∂a

∂a

∂s+∂n

∂t

∂t

∂s. (41)

Si se toman curvas en las que se cumple

da

ds=dt

ds= 1 (42)

la ecuacion en derivadas parciales queda reducida a la ecuacion diferencial ordinaria

dN

ds(s) = −µ(a(s))N(s) (43)

.Ahora bien, si se toma un punto del primer cuadrante (a0, t0), se define N0 = n(a0, t0)

y se toma la curva φ(s) = (a0 +s, t0 +s) donde s ≥ −a0 puede resolverse la ecuacion como∫ N(s)

N(a0)=N0

dN

N= −

∫ s

0µ(a0 + r)dr = −

∫ a0+s

a0

µ(r)dr (44)

y de ahi se obtiene

N(s) = N0e−

∫ a0+sa0

µ(r)dr(45)

por lo que conociendo el valor de N(s) a traves de una curva que interseque a todas lasrectas caracterısticas, se obtiene la solucion unica a la ecuacion que define el modelo.

Ahora se introducen la siguiente notacion basica [1]: Na,y es el tamano de la poblacion(en numero de indivıduos) de edad a al comienzo del ano y.

Entonces, discretizando la edad y el tiempo por anos en la solucion de la ecuaciondiferencial ordinaria anterior, se tiene, para a0 = a y s = 1,

9

Na+1,y+1 = Na,ye−Za,y , (46)

en la que Za,y se conoce como la Za,y tasa de mortalidad para la edad a en el ano y. Estaexpresion es conocida como la ecuacion de supervivencia exponencial.

Sa,y es la tasa de supervivencia de la edad a en el ano y. Esto es:

Na+1,y+1 = Sa,yNa,y . (47)

Es claro que se relaciona con Za,y de la siguiente manera:

Sa,y = e−Za,y . (48)

Ma,y y Fa,y son respectivamente la tasa de mortalidad natural y la tasa de morta-lidad pesquera para la edad a en el ano y, y se relacionan de la siguiente manera:

Fa,y +Ma,y = Za,y . (49)

SiendoMa,y

Za,yla fraccion de peces muertos por causas naturales y

Fa,y

Za,yla fraccion de

peces muertos por causas pesqueras sobre el total de peces de edad a muertos en el anoy. Normalmente, se suele considerar Ma,y constante respecto a y.

Ca,y, la captura, es la cantidad de peces de edad a capturados durante el ano y.Dada la definicion de Sa,y, y por tanto, la de Za,y, se puede derivar lo siguiente:

Ca,y = Na,y(1− e−Za,y)Fa,y

Fa,y +Ma,y, (50)

o mejor:

Ca,y =Fa,yNa,y(1− e−(Fa,y+Ma,y))

Fa,y +Ma,y. (51)

Esta igualdad se conoce como ecuacion de captura. Por tanto, teniendo los datos decapturas, y habiendo asumido Ma,y constante con respecto a y y conocida de antemano,solo se necesitarıa Fa,y para calcular Na,y.

En algunos de estos conceptos se puede introducir una tercera variable, f de fleet(flota). Por tanto Ca,y,f seran los peces de edad a capturados en el ano y por la flota f.

Es necesario introducir algunos conceptos mas: se llamara cohorte al conjunto depeces nacidos el mismo ano. Es obvio pues, que dadas las ecuaciones que se tienen, elanalisis de los datos debera hacerse por cohortes. Se llama grupo de mayor edad ver-dadero a la edad mas alta que realmente tiene relevancia demografica. Por ejemplo, si seesta estudiando la demografıa espanola por edad, organizada por intervalos de cinco anos,el numero de personas con edad entre 106 y 110 anos quiza no sera cero, pero carecera derelevancia. Este conjunto de datos escasos y sobresalientes se denomina grupo plus.

El modelo poblacional mas utilizado en la evaluacion de recursos pesqueros es el lla-mado VPA [1] (Virtual Population Analysis), basado en este modelo estructurado poredad.

Existen dos tipos de modelos VPA: si se conoce el tamano de la poblacion para cadaedad en el primer ano y para la edad mas baja en todos los anos, puede calcularse,utilizando las ecuaciones conocidas, la poblacion para todos los anos y todas las edades.El algoritmo utilizado en tal caso sera del tipo forward VPA. Si por el contrario se conoce

10

el tamano de la poblacion para todas las edades en el ano posterior al ultimo del cual setienen datos de captura y para el grupo plus en todos los anos, el algoritmo utilizado seconsiderara del tipo backward VPA.

Los dos siguientes modelos introducidos son del segundo tipo.

3.1. El modelo XSA

El modelo XSA [2] (eXtended Survivors Analysis) es un modelo introducido porel John G. Shepherd y publicado en 1999 [2]. Para explicarlo se introduce el siguienteconcepto: ua,y,f es el ındice de abundancia, que se medira en C.P.U.E. La idea esla misma que la descrita para los modelos de produccion, pero con la diferencia de queaquı los ındices estan divididos por edad, y expresados en numero de individuos, y noen terminos de biomasa. qa,f es la capturabilidad (analoga a la definida para el modeloASPIC) de los peces de edad a por la flota f (notese que permanece constante con respectoal ano). Estas dos cantidades se asume que se relacionan entre sı de la siguiente manera:

ua,y,f = qa,fAa,y,fNa,y, (52)

siendo Aa,y,f un factor de ponderacion cuyos parametros dependen de la epoca del anodurante la cual se efectua la operacion pesquera:

Aa,y,f =e−αZa,y − e−βZa,y

(β − α)Za,y(53)

donde α es la fraccion de ano en la que la flota comienza a operar, y β aquella en la quetermina.

Definiendo el concepto de capturabilidad recıproca como

ra,f =1

qa,f(54)

se puede dar una estimacion de la poblacion de edad a en el ano y segun cada flota f :

Nesta,y,f = ra,fua,y,f . (55)

Ademas se introducen notaciones amax es el mınimo entre la edad del grupo de mayoredad verdadero para una cohorte y la edad que tienen los individuos de dicha cohorte enel ano actual, e ymax es el ano en el cual la alcanza.

Se denomina

Ntk = Namax+1,ymax+1 (56)

la poblacion terminal de dicha cohorte, siendo k = ymax − amax. Esto quiere decir:supervivientes de los que en el ano y tienen edad a. En resumen, la serie Ntk indica eltamano del grupo plus en todos los anos y y el tamano de todos los grupos de edad en elano terminal mas uno.

Se introducen ademas:

cum ≡amax∑i=a

(57)

11

ECZa,y = ecum[Za,y ] (58)

ECMa,y = ecum[Ma,y ] , (59)

y la siguiente ecuacion:

Na,y = (Na+1,y+1eMa,y/2 + Ca,y)e

Ma,y/2 . (60)

Esta ecuacion se llama aproximacion de cohorte de Pope (J.G. Pope, 1972) [1] y seexplica de la siguiente manera: se asume la poblacion Na,y evolucionando en el tiempo,menguando segun su mortalidad natural Ma,y. Entonces, exactamente en la mitad del anoy, se capturan de golpe Ca,y, tras lo cual la poblacion sigue menguando segun Ma,y.

Puede reescribirse para los ultimos grupos de edad real de cada cohorte de la siguientemanera:

Namax,ymax = (NtkeMamax,ymax/2 + Camax,ymax)eMamax,ymax/2 , (61)

y aplicando la aproximacion de Pope se obtiene

Nvpaa,y = ECMa,yNtk +Nca,y (62)

donde

Nca,y =

amax∑i=a

[ECMk+i,iCk+i,ie−Mk+i,i/2] . (63)

Ahora se tienen dos valores de Na,y: la estimacion Nesta,y,f y la resultante del VPA,Nvpaa,y, que se tratara como exacta (aunque no lo sea). Se considera que la diferenciaentre el logaritmo neperiano de ambas es el error de la estimacion, y se considerara dichoerror como normal. Por tanto,

Nesta,y,f = Nvpaa,yeX , (64)

donde X es una distribucion normal de media 0 y varianza σ2a,y,f . Se considera σ2

a,y,f comoconstante con respecto a y.

Se define ahora una funcion objetivo a minimizar:

S =∑a

∑y

∑f

(ln(Nesta,y,f )− ln(Nvpaa,y))2

σ2a,f

= (65)

=∑a

∑y

∑f

(ln(ra,f )− ln(ua,y,f )− ln(Nvpaa,y))2

σ2a,f

. (66)

Si se deriva esto con respecto a cada lnra,f y se iguala a 0, puede escribirse cada lnra,fcomo una media ponderada

ln(ra,f ) =

∑y wa,y,f ln(

Nvpaa,yu′a,y,f

)∑y wa,y,f

(67)

que en el caso de la primera iteracion inicializara los diferentes pesos en 1.

12

Ahora se deriva con respecto a cada Ntk (recordar que Nvpaa,y depende de Nty−a),se iguala a 0 y se obtiene

lnNtk =

∑f

∑amaxi=1 w′i,i+k,f (lnNesti,k+i,f − cumZi,k+i)∑

f

∑amaxi=1 w′i,i+k,f

(68)

dondew′a,y,f =

wa,y,fECFa,y,f

. (69)

Volviendo a los pesos, si σ2a,f es constante para todo a y para todo f , se puede eliminar

de la funcion objetivo. La funcion de los pesos (reescalados para que sumen uno) sera lade igualar dichas varianzas.

Una vez explicado todo esto, los pasos a llevar por el modelo seran los siguientes:

1. Inicializar Ntk, ∀k de alguna manera (por ejemplo Ntk = Camax,k+amax)

2. Inicializar alguna estimacion de qa,f y Nesta,y,f para cada edad a, ano y y flota f.El modelo iterativo no es sensible a la eleccion de los valores iniciales, ası que noimporta la eleccion de los valores.

3. Empezar bucle

a) Ejecutar analisis de cohorte, y calcular los coeficientes Z, ECZ... correspondien-tes.

b) Para cada edad a y cada flota f, calcular ra,f y σ2a,f .

c) Ajustar los pesos wa,y,f usando σ2a,f .

d) Calcular Nesta,y,f para cada edad a, ano y y flota f.

e) Calcular Ntk para cada k dentro del rango de anos estudiado.

4. Repetir hasta lograr la convergencia deseada.

Normalmente se estudiara la convergencia en base al mayor cambio que, durante laiteracion, ocurra para algun Za,y, con un umbral que suele ser 0,0001. Esto suele ocurrir enmenos de 100 iteraciones, y dado que el algoritmo es rapido, no se ha intentado optimizarlo.

3.2. El modelo ADAPT

El modelo ADAPT (an ADAPTive framework for the estimation of population size)[9] fue introducido por S. Gavaris en 1988 [13]. La principal diferencia de este modelo conel XSA es que mientras que el primero utiliza la aproximacion de cohorte de Pope, aquı elmodelo utiliza la ecuacion de captura como eje central de sus calculos.

Otra diferencia notable es que en este modelo las estimas del grupo plus no interfierencon los resultados del modelo. De hecho, a la hora de ejectuar el algoritmo backward VPAno se parte del grupo plus, sino de la poblacion en el grupo de mayor edad verdadero amax,y la poblacion del grupo plus se estima a partir de ella.

Se define ano terminal, como el ultimo ano completo del que se tiene informacion, yse denotara ymax.

13

El primer paso es, calcular el tamano del stock en numero para ciertas edades en elano terminal (ymax + 1). Esto se hara con cierta informacion a priori con la que se puedacontar. Despues, teniendo en cuenta las ecuaciones de supervivencia exponencial y captura,y la definicion de Za,y como la suma de las tasas de mortalidad natural y pesquera, sepuede deducir la siguiente ecuacion:

Na+1,y+1

Ca,y=

Za,te−Za,t

Fa,t(1− e−Za,t), (70)

con la que, a partir de una estimacion de Na,ymax+1 se puede calcular Za−1,ymax . Una vezhecho esto, a partir de la ecuacion de captura se puede calcular Na−1,ymax de la siguientemanera:

Na,y =Ca,yZa,y

Fa,y(1− e−Za,y)(71)

.Despues se calculara Fa,ymax para el resto de edades. En primer lugar se calcula,

FFULL =1

nR

∑a∈R

Fa,ymax (72)

donde R es el conjunto de edades para las cuales se habıa estimado la poblacion en el anoterminal y nR es el cardinal de dicho grupo.

Se define reclutamiento parcial PRa como la proporcion de los peces de edad a quese consideran capturables de acuerdo a las tecnicas de pesca que se utilizan (por ejemplo,ciertos peces de 1 ano de edad pueden ser demasiado pequenos como para ser atrapados porlas redes). Estos coeficientes se dan como un dato de entrada, basados en conocimientosa priori sobre la especie estudiada.

Luego es necesario estimar, para las edades faltantes, Fa,ymax como

Fa,ymax = PRaFFULL . (73)

Una vez calculadas dichas tasas de mortalidad pesquera, se puede calcular Na,ymax para lasedades faltantes. Despues hace falta calcular la poblacion para los grupos de edad faltantesen el ano actual ymax + 1, con las ecuaciones anteriormente mostradas.

Ahora, con las ecuaciones de supervivencia exponencial y captura, se puede calcularFa,ymax−1 y Na,ymax−1 para las edades desde 1 hasta amax − 1. Para amax hay que utilizaralgun metodo, siendo el mas simple aquel que dice

Famax,y =1

nR

∑a∈R

Fa,y , (74)

con el R y nR descritos anteriormente.Una vez hecho esto, se puede retroceder en el tiempo para calcular la Na,y y Fa,y para

todos los anos y edades.Para cada ano, el tamano del grupo plus puede estimarse de la siguiente manera:

Namax+1,y = αyNamax,y (75)

donde αy se llama ratio de grupo plus y es un dato de entrada.

14

Tras esto, y para cada flota f con la que se cuente, se define

Ny,f∗ =∑a∈Gf

Na,y (76)

como la estimacion de la poblacion dada por dicha flota, donde Gf es el conjunto degrupos de edad para los cuales se tienen datos de dicha flota. A partir de ahı se calcula lacapturabilidad Qf como

Qf = exp

∑y∈If (ln(Iy,f )− ln(Ny,f∗))

nf, (77)

donde nf es el cardinal de Gf .El siguiente paso es calcular las estimaciones de los ındices de abundancia, por flota:

Iy,f∗ = QfNy,f ∗ . (78)

Se establece ahora una funcion objetivo a minimizar:

∑f

∑y∈If wt,J(ln(Iy,f )− ln(Iy,f∗))∑

y∈If wt,J, (79)

donde Iy,f sera el ındice de abundancia C.P.U.E. observado para cada ano y cada flota, ylos wt,J unos pesos para estandarizar las varianzas de los residuos dentro de cada flota.

Una vez explicado todo esto, los pasos a llevar por el modelo seran los siguientes:

1. Inicializar Na,ymax+1, ∀a ∈ R con R cierto grupo de edades dado.

2. Iniciar bucle

a) Ejecutar el modelo para obtener Fa,y y Na,y para todos los anos y edades.

b) Calcular Ny,f∗ para cada flota y cada ano, y con ello, Qf .

c) Calcular Iy,f∗ para cada flota y cada ano.

d) Minimizar el valor de la funcion objetivo en funcion de las estimaciones Na,ymax

iniciales.

3. Repetir hasta lograr la convergencia deseada en las estimaciones de Na,ymax+1.

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4. Evaluacion de los datos

En lo que sigue se va a realizar una evaluacion utilizando los datos de diferentes flotas,tomados en diferentes intervalos de tiempo y para diferentes rangos de edad.

Las flotas consideradas son las siguientes:

Nombre de la flota Intervalo de tiempo Rango de edad Tipo de flota

SP-VIGOTR7 1984-2008 2-9 Pesquera

FR-FU04 1988-2001 2-9 Pesquera

UK-WCGFS-D 1987-2004 2-10 Cientıfica

FR-EVHOES 1997-2009 1-9 Cientıfica

IR-7-GFS 2003-2009 1-9 Cientıfica

SP-GFS 2001-2009 1-8 Cientıfica

La diferencia entre campanas cientıficas y flotas pesqueras comerciales es crucial a lahora de considerar los ındices de abundancia reportados por estas. Las flotas cientıficastienen por objetivo estudiar estos ındices (entre otros), mientras que las flotas comercialesse dedican a obtener el mayor rendimiento economico, y sus reportes suelen ser menosprecisos. Pongase el ejemplo de los descartes: a veces una flota pesquera se ve obligadaa desechar lo ya capturado, por ejemplo, si encuentra la oportunidad de capturar cier-ta especie que pueda traerles mas beneficios pero no tienen suficiente espacio disponiblepara almacenar ambas capturas. En ocasiones dichos descartes no son estudiados con-venientemente y reportados, lo que en la practica significa que ciertas capturas no soncontabilizadas.

El objetivo aquı es claro: en el caso de cada modelo se probaran distintas configuracio-nes del modelo, i.e., se ejecutara el modelo utilizando diversos subconjuntos del conjuntode flotas. Para ello se usaran como referencia ciertos ajustes que realmente sean o hayansido utilizados en la industria pesquera, y tambien se utilizara la intuicion, si, por ejemplo,se cree que ciertos datos pueden ser demasiado influyentes, atıpicos y/o erroneos.

Los datos de los que se dispone y de los que se hara uso son los siguientes:

1. Numero de peces en total capturados por edad y por ano (en miles).

2. Peso medio de los peces capturados por edad y por ano (en kg).

3. Proporcion, por edad, de peces que han alcanzado la madurez sexual y por tantopueden reproducirse. Esto se mantiene constante con los anos y es 0,04, 0,21, 0,6,0,9, 0,98, 1, 1, 1, 1 y 1 para las edades desde 1 hasta el grupo plus 10+ (esto significaque las escasas capturas de edad 10 o mas se consideran como parte del mismo grupode edad sin distincion) respectivamente.

4. Tasa de mortalidad natural (segun la definimos en los modelos de supervivenciaexponencial). Es constante con respecto a la edad y el ano, y vale 0,2.

5. Cantidad de peces capturados por flota, edad y ano, ası como el esfuerzo invertidopor cada flota en cada ano en el que haya operado, medido en dıas invertidos en lapesca.

6. Reclutamiento parcial por edad: 0,9 para la edad 1, y 1 para todas las demas.

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7. Ratio de grupo plus: 1 para todos los anos.

Notese que combinando estos datos podemos obtener los distintos ındices de abundan-cia del tipo C.P.U.E., tanto para la biomasa como para el numero de individuos.

4.1. Calidad de ajuste

Se describen a continuacion los criterios utilizados para determinar si el ajuste realizadocon los diferentes modelos es satisfactorio.

4.1.1. Criterios para determinar la calidad del ajuste con el modelo ASPIC

Se obtendra para cada flota y campana cientıfica una serie temporal temporal de resi-duos, la cual se debera comprobar que cumple las condiciones de media nula, indepen-dencia y homocedasticidad. Esto quiere decir que, si la serie de residuos se entiendecomo un conjunto de variables aleatorias {Xi}i=1..n, se cumple que

E(Xi) = 0 ∀i ∈ {1..n} , (80)

E(XiXj) = E(Xi)E(Xj) ∀i, j ∈ {1..n}i 6= j (81)

y∃σ > 0 tal que E(X2

i ) = σ ∀ ∈ {1..n} . (82)

Igualmente, sera necesario analizar los patrones retrospectivos del tamano de lapoblacion. Esto significa lo siguiente: calcular la evolucion de la poblacion para los anossobre los que se tiene informacion. Despues calcular la evolucion de la poblacion paradichos anos salvo el ultimo. Repetir varias veces mas comparando los resultados. Un buenpatron retrospectivo debera mostrar dos propiedades: en cada ano, que las distintas seriesdifieran lo menos posible, y que a medida que el ano y tienda hacia el ano inicial, todaslas series converjan hacia el mismo punto.

4.1.2. Criterios para determinar la calidad del ajuste con el modelo XSA

Se calculara, para cada flota y campana cientıfica y estructurados por ano y edad, losresiduos logarıtmicos entre los ındices de abundancia calculados y observados. Estos semostraran en un grafico de burbujas, para cada flota y campana.

Deberan obtenerse, residuos independientes, homocedasticos y con media nula. En estecaso, y con este sistema de representacion en cada uno de los recuadros pertenecientes acada flota deberıa verse una nube de burbujas en el que las burbujas (valores negativos)y las negras (valores positivos) se alternen lo mas posible (sin tendencias a acumularse enuna zona del grafico varios del mismo color), y donde la distribucion de tamanos sea maso menos uniforme, i.e., que si se toman dos areas conexas del grafico, la media del tamanode las burbujas en ambas areas no sea muy distinta.

Tambien se estudiaran los patrones retrospectivos de las siguientes dos magnitudes:Spawning Stock Biomass, que representa la biomasa total que suman los peces perte-necientes a los grupos edad en los cuales al menos un 50 % de los individuos ha alcanzadosu madurez sexual, y la tasa de mortalidad pesquera promedia Zy.

17

4.1.3. Criterios para determinar la calidad del ajuste con el modelo ADAPT

Los criterios son los mismos que los utilizados para el modelo XSA, aunque el softwareusado ofrece peores opciones a la hora de mostrar los residuos, y en lugar de graficos deburbujas, se mostrara mediante graficos de barra acumulativos, lo que hace mas difıcilvalorar la bondad de ajuste de los ındices de abundancia.

Esto se debe a que el modelo originalmente no estructura los residuos por edad. En elajuste aquı realizado, se realiza una modificacion en la forma de introducir los datos (ver4.4) que permitira llevar a cabo dicha estructuracion.

4.2. Evaluacion con el modelo XSA

Software utilizado: R version 2.12.0

The R foundation for statistical computing (2010)

Librerıas: FLCore, FLAssess, FLEDA, FLXSA

En primer lugar se va a intentar ajustarlo a lo que se llamara el caso base. Estenombre responde al hecho de que hasta 2005 fue la configuacion aprobada por el ICES(International Council for Exploration of the Sea). En anos posteriores a 2005 [11] losresultados obtenidos empezaron a considerarse no satisfactorios. Dicha configuracion es lasiguiente:






Tras ejecutarlo se obtienen los siguientes resultados:

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Estos graficos dan mas informacion sobre el stock. El grafico recruits da el numero denuevas adiciones al stock estimadas por ano (en miles). ssb representa Spawning-StockBiomass. El grafico catch da el tamano de la captura (en toneladas) por ano, y es undato del que se disponıa de antemano. La etiqueta landings hace alusion a la cantidad decapturas que llegan a tierra y son efectivamente utilizadas (o sea, no descartadas). Comoen este ajuste no se hace diferencia entre capturas y desembarcos (peces capturados quellega a tierra, sin ser descartados), dicha lınea no aporta informacion adicional. Finalmente,harvest es la tasa de mortalidad pesquera Fy hacia la cual ha convergido el modelo.

El patron retrospectivo del modelo es el siguiente:

La interpretacion de estos graficos es la siguiente: la lınea purpura representa los re-sultados tomando los datos desde el inicio (1984 en este caso) hasta 2009, i.e., da losresultados del ajuste propiamente dichos. La lınea azul representa los resultados que da elajuste cuando se toman los datos de la captura desde el inicio hasta 2008. Las lıneas verde,amarilla y roja representan los resultados del ajuste tomando los datos de la captura hasta2007, 2006 y 2005 respectivamente.

El patron presenta algunas buenas propiedades, en terminos de convergencia y forma,pero en los ultimos anos varıa demasiado. Recuerdese que se estudian los patrones despawning-stock biomass y Zy. El patron de reclutamientos casi siempre suele dar malosresultados y no suele tomarse en cuenta.

El problema es mayor cuando se observa el residuo logarıtmico de los ındices de abun-dancia, comparando los estimados por el modelo con los observados:

19

Los resıduos claramente no se ajustan a lo que se busca.Ahora bien, si UK-WCGFS-D da unos residuos tan claramente inadecuados, no es

descabellado pensar que pueda estar ejerciendo una influencia negativa sobre el ajuste,ası que se prueba el mismo ajuste, eliminando UK-WCGFS-D.

Los resultados son los siguientes:

Y sus residuos y patron retrospectivo:

20

Observese ahora que a partir de 1999 los residuos de SP-VIGOTR7 parecen cambiarradicalmente de comportamiento, lo que puede significar que ha habido algun cambiosignificativo en la capturabilidad a partir de tal ano, algo que haga inadecuado modelar elantes y el despues del mismo modo. Por eso se prueba a estudiar el caso anterior a partir

21

de 1999, ignorando todos los datos anteriores, obteniendose los siguientes resultados:

Ası como los siguientes residuos y patron retrospectivo:

22

Los residuos en general no son malos, pero se encuentra el problema de que el patronretrospectivo no converge, i.e., segun el ano decrece, las cinco series no convergen hacia elmismo valor. Esto podrıa deberse a que la serie temporal es demasiado corta como paraque esto suceda. Por tanto, no se volvera a ejecutar el analisis cortando todas las seriestemporales desde 1999. En su lugar, vease que pasa si se mantienen el resto de series comoestan pero de SP-VIGOTR7 solo se considera desde 1999:

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El patron retrospectivo muestra una convergencia muy rapida, pero los residuos tienenalgunos comportamientos no deseables, especialmente debido a FR-FU04, cuyos residuosno parecen ser homocedasticos. Se tiene un conflicto tambien en SP-VIGOTR7, debido alos residuos en la edad 9. Al ser una edad en los extremos del intervalo de edades para el

24

cual se considera dicha flota comercial, pueden eliminarse esos datos y se obtienen unosresultados muy similares:

25

Siguen encontrandose problemas en FU-FR04.

Por ahora, se descarta la idea de encontrar buenos ajustes partiendo del caso base.

Se prueba ahora el siguiente ajuste, basado unicamente en campanas cientıficas:






La razon para probar este ajuste es que las campanas cientıficas son, en principio,la fuente mas fiable de informacion, puesto que su objetivo es el de obtener ındices deabundancia que se ajusten a la realidad, y no el de obtener el mayor rendimiento economicoposible.

26

Se obtienen los siguientes resultados:

27

Se encuentran, de nuevo problemas con UK-WCGFS-D. La verdad es que UK-WCGFS-D dejo de considerarse una fuente fiable de informacion hace varios anos, y que de proble-mas a la hora de ajustar el modelo concuerda con ello. La razon de su poca fiabilidad esel hecho de que recolectar informacion sobre el gallo del norte no es su funcion principal.Elimınese entonces (y en lo sucesivo) UK-WCGFS-D del ajuste:

28

Claramente se obtienen unos residuos mejores para SP-GFS y FR-EVHOES, pero enIR-7-GFS se encuentra un residuo demasiado grande, que pertenece a la edad 1. Eli-minandose esa edad se obtiene:

29

Ası pueden observarse mejor los residuos. En general son buenos en SP-GFS y FR-EVHOES, pero no en IR-7-GFS. El patron retrospectivo no es el deseado pero al menosconverge.

Finalmente se probara a combinar ambos casos (el caso base y el de las campanascientıficas) pero de entrada considerando SP-VIGOTR7 unicamente desde 1999 y descar-tando UK-WCGFS-D, o sea:







31

Lo que se obtiene es:

32

Los residuos son los de FR-FU04 no son buenos. Esto es lo que se observa al descar-tarlos:

33

Los de IR-7-GFS tambien pueden descartarse por no cumplir lo que se espera de unosbuenos residuos (son muy poco independientes). Se obtiene:

34

Para apreciar mejor los residuos, se retira la edad de SP-VIGOTR7 que da peoresresiduos:

36

Los residuos en este caso son buenos, y el patron retrospectivo tambien (las seriestardan un poco en estabilizarse completamente, pero las formas de las cinco series nodifieren en exceso). Ası que se considerara este ajuste como adecuado, y los datos obtenidoscomo una buena estimacion del estado actual del stock.

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Nota: en todos los ajustes realizados se tienen unos resultados parecidos, o al menos noincreıblemente contradictorios entre sı. Por otra parte, la unica serie de datos que hemosutilizado en todas las configuraciones es FR-EVHOES, por lo que podrıa pensarse que lacausa de esto es que FR-EVHOES es demasiado influyente. Sin embargo, dado que FR-EVHOES esta considerada como la fuente mas fiable de informacion, se considera que suuso es necesario para cualquier ajuste que pueda considerarse bueno, por lo que esto nosupone ningun problema.

4.3. Evaluacion con el modelo ASPIC

Software utilizado: ASPIC Version 5.34.9

NOAA’s National Marine Fisheries Toolbox (2011)

Recordar se supone que los ındices de abundancia son proporcionales a la biomasa de lapoblacion, y los coeficientes de capturabilidad qj son las constantes de proporcionalidad.Hay que tener en cuenta que si se intenta ajustar este modelo al stock, utilizando unafuncion objetivo con pesos como la descrita anteriormente, las flotas que han aportadomayores ındices de abundancia acabaran teniendo pesos mayores, por lo que acabaranteniendo mayor importancia en el ajuste, y esto puede dar problemas, puesto que dichosdatos pueden no ser representativos del estado actual del stock. Por ejemplo: una cam-pana cientıfica tiene como objetivo obtener datos lo mas veraces y representativos de larealidad posibles, mientras que una flota comercial tiene como objetivo obtener el mayorrendimiento economico posible. Esto hace que, mientras la campana cientıfica lleve unosprocedimientos determinados y anote los datos resultantes, sean cuales sean, mientras queuna flota comercial se esforzara mas en capturar peces por lo que los ındices obtenidos apartir de la misma pueden dar la impresion de una abundancia mayor.

Al final, de cara a estimar el tamano del stock, lo importante no es la magnitud dedichos ındices sino la forma de su evolucion temporal, por lo que se puede reescalar losındices de abundancia observados (en este caso, dividiendo cada componente de cadaserie por el promedio de la misma), aunque ello modificara los qj resultantes. Una vezestandarizados, los ındices de abundancia seran los siguientes:

La documentacion consultada sobre el modelo ASPIC [10] recomienda no utilizar va-rias series de ındices temporales si estas muestran incorrelacion o correlacion negativa.Esta claro que si distintas flotas comerciales y campanas cientıficas presentaran una evo-lucion similar pese a haber utilizado tecnicas muy distintas, serıa algo bueno, pues facil-mente podrıa significar que la evolucion de la poblacion ha seguido una forma similar ydichas series son representativas de la misma. Por el contrario, distintas razones (errores de

38

observacion, caracterısticas inherentes a las distintas flotas, etc) hacen que esto no se de.Para facilitar encontrar un buen ajuste, lo ideal serıa seleccionar series lo mas parecidasposibles, pero eso provocarıa que los resultados estuvieran sesgados hacia las particulari-dades de dichas series. Para evitar esto, lo ideal serıa utilizar todas las series, consiguiendoası un ajuste que tenga en cuenta todas la informacion disponible.

El problema viene cuando se incluyen todas las flotas comerciales y campanas cientıficasa la vez, puesto que se obtiene el siguiente resultado:

El grafico muestra el tamano de la biomasa de la poblacion a comienzos de cadaano en toneladas. Como se puede apreciar, es una tendencia demasiado constante y pocorealista, ademas de contradecir los ajustes realizados con el modelo XSA. Se puede empezartratando de ajustar el modelo a los datos del caso base:






Los resultados son los siguientes:

Con los siguiente valores para los parametros:

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Parametro Valor

B0 (1984) 164614, 4

Biomasa al inicio de 2010 189682, 4

B∞ 353864, 8

r 0, 102641

FMSY 0, 1051321

BMSY 1, 769324

y los siguientes residuos:

Tambien se tiene el siguiente patron retrospectivo del tamano de la poblacion al iniciode cada ano:

Malos residuos salvo para el caso FR-FU04, y tambien muy deficiente patron retros-pectivo.

De nuevo, al igual que se vio al ajustar los datos al modelo XSA, se ve que SP-VIGOTR7 experimento cambios que hicieron que antes y despues de 1999 funcionara comodos campanas distintas. Por tanto, existe la opcion de considerar dos series distintas, antesy depues de 1999, o de tomar simplemente los datos a partir de 1999. Tambien se debetener en cuenta que FR-EVHOES esta considerada como la mejor campana cientıfica, porlo que se tratara de encontrar un ajuste que la contenga (esto ya se vio en el caso del XSAtambien).

Si ahora se elimina UK-WCGFS-D del ajuste y se divide SP-VIGOTR7 en dos series.Lo que se obtiene es lo siguiente:

40

Parametro Valor

B0 (1984) 42020, 93


B∞ 178706, 9

r 2, 185635

FMSY 0, 2969482

BMSY 89353, 45

La poblacion ahora es decreciente, lo que en terminos generales concuerda con lo cal-culado en el XSA, pero ahı acaban las similitudes. Ademas el patron retrospectivo es muymalo:

41

Y si lo que se hace es tomar solamente SP-VIGOTR7 desde 1999 lo que se obtiene es:

Parametro Valor

B0 (1984) 42020, 93


B∞ 178706, 9

r 0, 5938964e

FMSY 0, 2969482

BMSY 89353, 45

Y si bien los residuos son buenos, el patron retrospectivo es malo en el sentido de queno converge:

42

Vease que sucede si se intenta el caso de campanas cientıficas, pero ya de antemanodescartando UK-WCGFS-D:





Y lo que se obtiene es:

Parametro Valor

B0 (1984) 200051, 30


B∞ 197798, 4

r 0, 2852495

FMSY 0, 1426247

BMSY 98899, 20

43

El patron retrospectivo del tamano de la poblacion es inaceptable.Se prueba ahora a combinar los casos base y el de campanas cientıficas, empezando

por:






Se obtiene:

Parametro Valor

B0 (1984) 122319, 12


B∞ 170798, 3

r 0, 3681350

FMSY 0, 1840675

BMSY 85399, 14

44

Aunque los residuos no estan mal, el patron retrospectivo es tan altamente inestableque lleva a deshechar este ajuste por completo. Finalmente, se intenta el ajuste que mejorresulto en el modelo XSA:





45

Parametro Valor

B0 (1984) 98522, 13


B∞ 97885, 59

r 0, 6777581

FMSY 0, 3388791

BMSY 48942, 79

Los residuos son similares, y ademas el patron retrospectivo es muy deficiente.La conclusion a sacar de todo esto es que el modelo ASPIC no es adecuado para los

datos de los que se dispone. Parece ser que esta pensado para entradas de datos lo masconcordantes posibles, y cuando se tienen varias series que parezcan indicar cosas distintas,es altamente impredecible. Los resultados varıan demasiado de unas configuraciones aotras, tanto en tendencia como en magnitudes, mientras que en el caso del XSA parecıahaber mas o menos una coherencia en los resultados. Es por eso que se descarta el modeloASPIC y se considera una herramienta in adecuada para determinar el estado de estestock.

4.4. Evaluacion con el modelo ADAPT

Software utilizado: VPA/ADAPT Version 3.1

NOAA’s National Marine Fisheries Toolbox (2010)

46

En la descripcion del modelo ADAPT se introducıan unos ındices de abundancia Iy,J ,es decir, no estructurados por edad, pese a que el modelo sı lo es. Para llegar a una mejorevaluacion se dividira cada flota en diversas flotas que solo abarcan un ano de edad. Esdecir, si la flota X trata desde la edad 2 hasta la 9, se introduciran datos de la flota X.2,que contiene datos de la edad 2 unicamente, la flota X.3, con datos de la edad 3, etc.

Con este modelo se evaluaran algunos de los mejores resultados obtenidos con losanteriores modelos, con el fin de comprobar que los resultados son coherentes los unos conlos otros. Dado que se ha descartado el modelo ASPIC, todos los ajustes realizados seranaquellos considerados mejores para el modelo XSA.

Empezando con el siguiente:





Esto es el caso base descartando UK-WCGFS-D y limitando SP-VIGOTR7 a los anosdesde 1999 en adelante y descartando tambien los datos de SP-VIGOTR7 la edad 9. Losresultados son los siguientes:

El tamano de la poblacion en biomasa, al inicio de cada ano:

47

El tamano de la SSB:

La tasa de mortalidad pesquera, en las edades de 3 a 7 anos:

Y por otro lado, los siguientes residuos y patrones retrospectivos:

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Los resultados, son muy similares en calidad a lo obtenido con el modelo XSA, ylos patrones retrospectivos convergen muy bien. Los residuos no parecen, a simple vista,mejores ni peores que los obtenidos con el modelo XSA.

Se prueba ahora el siguiente ajuste:





Es decir, el caso de campanas cientıficas, habiendo descartado UK-WCGFS y habiendodescartado tambien la edad 1 para la flota IR-7-GFS. Los resultados:

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Se obtienen los residuos y patrones retrospectivos:

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De nuevo, los resultados son muy similares a los obtenidos con del modelo XSA, perolos residuos son diferentes. Comparese, por ejemplo, los residuos de la flota SP-GFS parala edad 8. En el modelo XSA la serie se ajusta de manera casi perfecta a lo que se esperade unos buenos residuos, mientras que con el ADAPT presentan un patron radicalmentedistinto entre los anos anteriores y posteriores a 2005 En general, esta flota presenta unpatron distinto en los residuos antes y despues de dicho ano. Los patrones retrospectivos,por otra parte, son peores, en concreto el de F , que presenta bastantes variaciones en losultimos anos.

Finalmente se estudiaran los casos casos que resultaron mas satisfactorios con el mo-delo XSA: las distintas variaciones de SP-VIGOTR7 a partir de 1999 combinado con lascampanas cientıficas excluyendo la UK-WCGFS-D.






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Con los residuos y patrones retrospectivos:

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Y por ultimo, el que se habıa considerado mejor ajuste en el caso XSA:





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Con los siguientes resultados:

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Y los residuos y patrones retrospectivos:

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Los patrones retrospectivos son buenos. Los residuos, pese a que aquı son mas difıcilesde observar que en los ajustes con XSA, presentan una calidad mas o menos similar.

Este ajuste por tanto se considerara tambien valido, aunque con los datos de los quese dispone, no puede considerarse mejor ni peor que el obtenido para las mismas flotas ycampanas cientıficas para el XSA.

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5. Conclusiones

ASPIC, el modelo que a priori parecıa menos sofisticado, ha demostrado ser inadecua-do para casos en los que se tienen distintas series temporales con tendencias distintas. Enprimer lugar, a nivel de patrones retrospectivos, parece ser bastante cambiante y no con-verge bien. Tambien, cambios en la configuracion del modelo dan resultados radicalmentedistintos, por lo que se hace muy difıcil determinar cual es, sin tener una muy concretainformacion a priori sobre los datos de los que se disponen. Tambien se ha visto que parasegun que ajustes, es posible obtener resultados muy poco realistas, como una evolucionde la poblacion casi constante, o de tendencia marcadamente lineal.

Los modelos estructurados por edad XSA y ADAPT son mas estables: los resultadospueden variar sensiblemente de un ajuste a otro, segun la configuracion, pero los resultadospresentan una variacion leve. Por otro lado, al tener un esquema de residuos mucho mascomplejo, resulta bastante mas difıcil hallar un buen ajuste, por lo que es necesario sermas laxo a la hora de decidir si los residuos son aceptables o no.

Por eso, a nivel orientativo, y basandose en los datos de los que se disponen para estetrabajo, podrıa considerarse que los resultados con XSA o ASPIC utilizando los datosde FR-EVHOES, SP-GFS y SP-VIGOTR7, contando esta ultima unicamente a partir de1999 y descartando el grupo de edad 9, como el mejor ajuste que se ha podido encontrar,pero teniendo en cuenta, en todo momento, las deficiencias encontradas en los residuos,por lo que no puede aceptarse el ajuste como definitivo.

La mayor conclusion que puede extraerse de este trabajo es la suma importancia de unabuena eleccion en los datos, y del conocimiento a priori sobre la calidad y caracterısticas delos mismos a la hora de ajustar un modelo, y por tanto, la necesidad de seguir mejorandolos metodos para la obtencion de los mismos, para poder converger hacia un panorama enel que no se dependa tanto de la eleccion de los datos a la hora de evaluar el estado deuna poblacion.

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6. Glosario

Ano terminal: Ultimo ano del que se disponen de datos sobre la captura.

Biomasa de una captura: Masa total capturada.

Biomasa de una poblacion: Masa total de una poblacion.

Campana cientıfica: Flota que tiene por objetivo, entre otros, la obtencion de infor-macion sobre el estado de la poblacion del stock.

Captura: Numero o biomasa de peces atrapados en un determinado periodo de tiempo.Puede estar estructurada por edad.

Capturabilidad: Cantidad que representa la captura obtenida por cada unidad detamano del stock (en biomasa o numero) y cada unidad de esfuerzo realido. Puede estarestructurado por edad.

Esfuerzo: Medida del trabajo invertido en la actividad pesquera.

Flota pesquera / comercial: Conjunto de embarcaciones que tiene por objetivo lle-var a cabo la actividad pesquera para fines comerciales, persiguiendo el mayor rendimientoeconomico.

Grupo de mayor edad verdadero: Grupo de edad que representa a los ındividuosque de la mayor edad con peso demografico real.

Grupo plus: Grupo de edad que representa a los ındividiuos que sobrepasan la espe-ranza de vida de la especie.

Homocedasticidad: Cualidad de un conjunto de variables aleatorias que tienen lamisma varianza.

Independencia: Cualidad de un conjunto de variables aleatorias en las que, para cadapar de elementos diferentes del conjunto, la esperanza de su producto es igual al productode sus esperanzas.

Indice de abundancia: Cociente entre la captura y el esfuerzo.

Patron retrospectivo: Comparacion entre los resultados obtenidos por el modelocuando progresivamente se van descartando datos relativos a los ultimos anos.

Poblacion maxima: Punto de equilibrio no nulo del modelo de produccion en au-sencia de factores de mortalidad externos, que representa el tamano maximo que puedealcanzar la poblacion.

Ratio de grupo plus: Razon aritmetica entre el tamano del grupo de mayor edadverdadero y el tamano del grupo plus en un determinado ano.

Reclutamiento parcial: Proporcion de los individuos de cierta edad que, con losmedios de los que se dispone, se consideran capturables.

Rendimiento maximo sostenible: Rendimiento maximo que mantiene la poblacionen equilibrio.

Residuo: Diferencia entre una estimacion y el valor real que es trata de estimar.

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Spawning-Stock biomass: Biomasa total de los individuos de una poblacion quehan alcanzado una edad en la cual al menos la el 50 % de los individuos ha alcanzado sumadurez sexual.

Stock: Poblacion de una determinada especie ubicada en un determinado contextogeografico.

Tasa de mortalidad: En tiempo discreto, es el inverso de logaritmo neperiano de laproporcion de individuos de un conjunto concreto que fallece desde un instante dado hastael siguiente.

Tasa de mortalidad natural: En tiempo discreto, es el inverso de logaritmo nepe-riano de la proporcion de individuos de un conjunto concreto que fallece desde un instantedado hasta el siguiente por causas ajenas al hombre.

Tasa de mortalidad pesquera: En tiempo discreto, es el inverso de logaritmo nepe-riano de la proporcion de individuos de un conjunto concreto que fallece desde un instantedado hasta el siguiente debido a la accion pesquera.

Tasa instananea de mortalidad pesquera: Factor que multiplica a la biomasa enel modelo de Schaefer y que representa el efecto de la accion pesquera en la evolucion deltamano de la poblacion.

Tasa de supervivencia: En tiempo discreto, es la proporcion de individuos de unconjunto concreto que sobrevive desde un instante dado hasta el siguiente.

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Referencias

[1] Needle, C.L., Workshop Course on Fish Stock Assessment Techniques, InternationalCouncil for the Exploration fo the Sea, 2003

[2] Shepherd, J.C., Extended survivor analysis: An improved method for the analysis ofcatch-at-age data and abundance indice, ICES Journal of Marine Science, 56 (1999),pp. 584-591

[3] Prager, M.H., ASPIC - A surplus-production model incorporating covariates, ColectiveVolumen of Scientific Papers, ICCAT, 38 (1992), pp. 218-229

[4] Prager, M.H., Recent developments in extending the ASPIC production model., Colec-tive Volumen of Scientific Papers, ICCAT, 40 (1993), pp. 498-502

[5] Malthus, T.R., An essay on the principle of population, impreso por J. Johnson en laCatedral de San Pablo, Londres (1798),

[6] Schaefer, M.B., A study of the dynamics of the fishery for yellowfin tuna in the EasternTropical Pacific Ocean, Bull. Inter-Amer. Trop. Tuna Comm, 2 (1957), pp. 247-285

[7] Nelder, J.A. and L.M. Dickie, A simplex method for function minimization, Comp. J.,7 (1965), pp. 308-313

[8] Kaipio, J. and Somersalo, E., Statistical and Computational Inverse Problems SpringerScience, (2005), pp. 118-120

[9] VPA/ADAPT Version 3.0 Reference manual, NOAA’s National Marine Fisheries Ser-vice, (2011)

[10] Prager, M.H., User’s Manual for ASPIC (ver. 5) and Auxiliary Programs, NOAA’sNational Marine Fisheries Service, (2005)

[11] ICES Advisory Committee, Report of the Working Group on the Assessment of Sout-hern Shelf Stocks of Hake, Monk and Megrim (WGHMMM), ICES, (2010)

[12] Pope, J. and Sheperd, J., A comparison of the performance of various methods fortuning VPAs using effort data, Journal du Conseil International pour l’Exploration dela Mer, 42 (1985), pp. 129-151

[13] Gavaris, S., An adaptive framework for the estimation of population size, CAFSACResearch Document, 88129, (1988)

[14] Sharpe, F.R. and Lotka, J., A problem in age distribution, Philosophical Magazine,(1911), pp. 435-438

[15] McKendrick, A.G., Applications of mathematics to medical problems, Proc. Edin.Math. Soc., (1926), pp. 98-130

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