An alisis Matem atico I Clase 9: derivadas de funciones trigonom...

Analisis Matematico IClase 9: derivadas de funciones trigonometricas,

derivadas laterales, tasas relacionadas y diferenciales.

Pablo D. Ochoa

Facultad de IngenierıaUniversidad Nacional de Cuyo.

Abril, 2017

Pablo D. Ochoa (Facultad de Ingenierıa) Analisis Matematico I Abril, 2017 1 / 18

Algunas derivadas

Si f (x) =√x , entonces f es derivable en (0,∞) y su derivada en

cualquier x ∈ (0,∞) es:

f ′(x) =1

2√x.

Si g(x) = sen(x), entonces g es derivable en R y su derivada es:

g ′(x) = cos(x), para todo x ∈ R.

Si h(x) = cos(x), entonces h es derivable en R y:

h′(x) = −sen(x), para todo x ∈ R.

Usando la regla del cociente para derivadas, se puede determinar quelas funciones tan, cotan, sec y csc son derivables en todo su dominio.


Derivadas laterales

Derivadas laterales

Sea c un numero real. La derivada por derecha de f en c se define como:

limh→0+

f (c + h)− f (c)

h

siempre y cuando el lımite exista. La derivada por izquierda de f en c sedefine como:

limh→0−

f (c + h)− f (c)

h

siempre y cuando el lımite exista.

Observacion: f es derivable en c si y solo si f es derivable por izquierda ypor derecha en c y los lımites coinciden.


Derivadas laterales

Ejemplo 1: sea f (x) = |x |. Entonces:

limh→0+

f (0 + h)− f (0)

h= 1

y:

limh→0−

f (0 + h)− f (0)

h= −1.

Ası la funcion valor absoluto es derivable por izquierda y por derecha enx = 0, pero no es derivable en ese punto.Ejemplo 1: sea g(x) =

√x . Entonces:

limh→0+

g(0 + h)− g(0)

h= +∞.

Luego, g no es derivable por derecha en x = 0.


Interpretacion de la derivada

Definicion de tasa instantanea de cambio

La tasa de cambio instantanea de una funcion f con respecto a x en x0 sedefine por:

limh→0

f (x0 + h)− f (x0)

h= f ′(x0),

siempre que el lımite exista.

Ası, las tasas de cambio instantaneas son lımites de tasas de cambiopromedio.


Tasas relacionadas

Problema: Suponga que se esta drenando un tanque conico:

Determine la relacion entre la tasa de cambio instantanea del volumen V ,la tasa de cambio instantanea de la altura h y la tasa de cambioinstantanea del radio r con respecto al tiempo.


Tasas relacionadas

Solucion: supongamos que:

El volumen es una funcion del tiempo: V = V (t).

La altura es funcion del tiempo: h = h(t).

El radio es una funcion del tiempo: r = r(t).

Buscamos una relacion entre: V ′(t), r ′(t) y h′(t).Para establecer la relacion entre las tasas instantaneas, primeroestablecemos la relacion entre las variables V , h y r :

V =π

3r2h.

Derivamos ambos miembros de esta ecuacion con respecto a t:

dV

dt(t) =

π

3

d

dt(r2h)(t) =

π

3

(2r(t)r ′(t)h(t) + r2(t)h′(t)

)Ası, la relacion entre las tasas instantaneas es:

V ′(t) =π

3

(2r(t)r ′(t)h(t) + r2(t)h′(t)

).


Tasas relacionadas





Buscamos una relacion entre: V ′(t), r ′(t) y h′(t).

Para establecer la relacion entre las tasas instantaneas, primeroestablecemos la relacion entre las variables V , h y r :

V =π

3r2h.


dV

dt(t) =

π

3

d

dt(r2h)(t) =

π

3

(2r(t)r ′(t)h(t) + r2(t)h′(t)


V ′(t) =π

3

(2r(t)r ′(t)h(t) + r2(t)h′(t)

).


Tasas relacionadas





Buscamos una relacion entre: V ′(t), r ′(t) y h′(t).Para establecer la relacion entre las tasas instantaneas, primeroestablecemos la relacion entre las variables V , h y r :

V =π

3r2h.


dV

dt(t) =

π

3

d

dt(r2h)(t) =

π

3

(2r(t)r ′(t)h(t) + r2(t)h′(t)


V ′(t) =π

3

(2r(t)r ′(t)h(t) + r2(t)h′(t)

).


Tasas relacionadas

Problema: Supongamos que el nivel del lıquido en el tanque conico delproblema anterior disminuye a una tasa de −0.2cm/min y que el radioesta cambiando a una tasa de −0.1cm/min. Determine la tasa instantaneade cambio del volumen del lıquido cuando h = 0.5cm y r = 0.1cm.


Tasas relacionadas

Problema: Supongamos que se vierte agua en un deposito conico a unatasa de 9cm3/min. Supongamos que la altura del deposito es 90cm y queel radio es de 40cm. Determine que tan rapido aumenta el nivel del lıquidocuando el nivel es de 10cm.


Tasas relacionadas

Problema: dos aviones viajan a la misma altitud y se dirigen al mismoaeropuerto. Cuando una de ellas se encuentra a 300 millas, viaja a unavelocidad de 600 millas por hora, mientras que la otra, cuando seencuentra a 225 millas, viaja a una velocidad de 450 millas por hora.Determine cual es la tasa instantanea de cambio de la distancia entre lasaviones.


Linealizacion


Linealizacion

Defincion de Linealizacion

Sea f una funcion derivable en x = a. Definimos la linealizacion de f en acomo la funcion:

L(x) = f ′(a)(x − a) + f (a).

En general, cerca del punto a, la linealizacion es una buena aproximacionde la funcion f .


Linealizacion

Ejemplo: determine la linealizacion de:

f (x) =√

1 + x

en el punto x = 0.Solucion:

f ′(x) =1

2(1 + x)−1/2.

Ademas, f (0) = 1 y f ′(0) = 1/2. Luego la linealizacion de f en x = 0 es:

L(x) = f ′(0)(x − 0) + f (0) =1

2x + 1.


Linealizacion


Linealizacion

La linealizacion de una funcion en un punto x = a se puede utilizar paraaproximar los valores de la funcion cerca del punto a:

En las proximas diapositivas vamos a estudiar mas profundamente laaproximacion que brinda la linealizacion a la funcion.


Diferenciales

Sea y = f (x) una funcion derivable en x = a, Cuando nos movemos dex = a al punto x = a + dx , la funcion experimenta un cambio dado por:

∆y = f (a + dx)− f (a).

Por otro lado, el cambio en la recta tangente L esta dado por:

∆L = f ′(a)dx


Diferenciales

De acuerdo a lo expuesto anterioremente:

∆y ≈ ∆L.

Es decir:

f (a + dx)− f (a) ≈ f ′(a)dx o: f (a + dx) ≈ f (a) + f ′(a)dx

La cantidad:∆L = f ′(a)dx .

recibe el nombre de Diferencial de f en a y se simboliza por df o dy :

dy = f ′(a)dx .

Ası,∆y − dy = f (a + dx)− f (a)− f ′(a)dx

representa el error de aproximar a la funcion utilizando la linealizacion.Pablo D. Ochoa (Facultad de Ingenierıa) Analisis Matematico I Abril, 2017 17 / 18

Diferenciales


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