UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOSUNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS(Universidad deL Perú, DECANA DE AMÉRICA)(Universidad deL Perú, DECANA DE AMÉRICA)

  FACULTAD DE QUÍMICA INGENIERÍA QUÍMICAFACULTAD DE QUÍMICA INGENIERÍA QUÍMICA

ESCUELA ACADÉMICO PROFESIONAL DE INGENIERÍAQUÍMICAESCUELA ACADÉMICO PROFESIONAL DE INGENIERÍAQUÍMICA  

DEPARTAMENTO ACADÉMICO DE ANÁLISIS Y DISEÑO DE PROCESOS DEPARTAMENTO ACADÉMICO DE ANÁLISIS Y DISEÑO DE PROCESOS 

ANÁLISIS NUMÉRICOANÁLISIS NUMÉRICO

Derivación numéricaDerivación numérica

Ing. CIP Jorge Luis Cárdenas RuizIng. CIP Jorge Luis Cárdenas Ruiz

Derivación numérica* Partiendo de los datos sobre el contenido del tanque de combustible, en relación con el tiempo, para un coehete espacial. determínese el índice de consumo de combustibles, en galones por segundo. Hágase el trazado del consumo de combustible en relación al tiempo: 

t (s) 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55C (gal) 940 900 810 660 430 290 195 130 75 40 20 5

 t = tiempo; C = Contenido del tanque de combustible * Se lleva a cabo una prueba sencilla de sedimentación intermitente con una suspensión de cal. La interfase entre el líquido y los sólidos suspendidos se observa como una función del tiempo y los resultados se tabulan a continuación (horas) 0.5 1.0 1.5 2.0 3.0 4.0z(cm) 36 36 23,8 20 16,2 14,2Determinar la velocidad de sedimentación en cada instante*Una suspensión de carbonato de calcio en agua, de composición 7% en peso de carbonato de calcio, se somete a un proceso de filtración a la diferencia de presiones constantes de 2,5 atm en un filtro cuya área de filtración es de 200 cm2. Los resultados obtenidos a 20°C son los indicados en la tabla.V 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6

1,8 2,0 2,2 0 2,3 5,5 9,8 14,6 20,0 26,7 34,7 43,2

53,3 63,4 75,0 

2,4 2,6 ; V = volumen de filtrado (l)87,4 100,5 = tiempo (s)

la siguiente ecuación permite calcular la velocidad de filtración (volumen/tiempo) en el instante en que se ha recogido V: d/dV = k1.V + k2. Determinar d/dV para cada punto.

Ilustración de cómo pequeños errores en los datos son amplificados por la derivación numérica: a) datos sin error, b) datos modificados ligeramente, c) la derivación numérica de la curva a) y d) la derivación resultante de la curva b) manifiestan un aumento en la variabilidad. En contraste, la operación inversa de integración tiende a atenuar o suavizar los errores de los datos.

Fórmulas para diferencias finitas progresivas Fórmulas para diferencias finitas progresivas divididas: se presentan dos versiones por cada divididas: se presentan dos versiones por cada derivada. La última versión incorpora más derivada. La última versión incorpora más términos de la expansión en serie de Taylor y es, términos de la expansión en serie de Taylor y es, consecuentemente, más aproximado.consecuentemente, más aproximado.

Fórmulas para diferencias finitas regresivas Fórmulas para diferencias finitas regresivas divididas: se presentan dos versiones por cada divididas: se presentan dos versiones por cada derivada. La última versión incorpora más términos derivada. La última versión incorpora más términos de la expansión en serie de Taylor y es, de la expansión en serie de Taylor y es, consecuentemente, más aproximado.consecuentemente, más aproximado.

Fórmulas para diferencias finitas centrales Fórmulas para diferencias finitas centrales divididas: se presentan dos versiones por cada divididas: se presentan dos versiones por cada derivada. La última versión incorpora más derivada. La última versión incorpora más términos de la expansión en serie de Taylor y es, términos de la expansión en serie de Taylor y es, consecuentemente, más aproximado.consecuentemente, más aproximado.

Fórmulas de derivación

Estime la derivada de:

En x = 0.5 usando diferencias finitas divididas y un incremento de h = 0,25 en donde los errores

en donde los errores fueron calculados sobre la base del valor real de -0,912 5.

Progresiva Regresiva Central

Estimado

Derivando polinomios de Lagrange idóneos pueden obtenerse mejores aproximaciones. Si se deriva p2(x) y se tiene en cuenta que para h = x1 - x0 = x2 - x1, y (x0-x1)(x0-x2) = 2h2, (x1-x0)(x1-x2) = -h2 y (x2-x0)(x2-x1) = 2h2.

Al evaluar lo anterior en x0, x1, x2, se obtienen las “fórmulas de los tres puntos”

Fórmula de tres puntos

Sean x0, x1, x2 los tres valores de la variable independiente de espaciamientos iguales y i =(xi); i = 0, 1, 2.

)('''3

]43[21

)´(2

2100 fh

fffh

xf

)('''6

][21

)´(2

201 fh

ffh

xf

)('''3

]34[21

)´(2

2102 fh

fffh

xf

Fórmula de cinco puntosSean x0, x1, x2, x3 y x4 los cinco valores de la variable independiente de espaciamientos iguales y i =(xi); i = 0, 1, .., 4.

)(5

]316364825[12

1)´( )(

4

432100 Vfh

fffffh

xf

)(20

]618103[12

1)´( )(

4

432101 Vfh

fffffh

xf

)(30

]88[121

)´( )(4

43102 Vfh

ffffh

xf

)(20

]310186[12

1)´( )(

4

432103 Vfh

fffffh

xf

)(5

]254836163[12

1)´( )(

4

432104 Vfh

fffffh

xf

Fórmula de siete puntos

)(]1072225400450360147[60

1)´( 6

65432100 hOfffffffh

xf

)(]215501001507710[60

1)´( 6

65432101 hOfffffffh

xf

)(]8308035242[60

1)´( 6

65432102 hOfffffffh

xf

)(]945459[60

1)´( 6

6542103 hOffffffh

xf

)(]2243580308[60

1)´( 6

65432104 hOfffffffh

xf

)(]107715010050152[60

1)´( 6

65432105 hOfffffffh

xf

)(]1473604504002257210[60

1)´( 6

65432106 hOfffffffh

xf

Sean x0, x1, x2, x3, x4, x5 y x6 los siete valores de la variable independiente de espaciamientos iguales y i = (xi) ; i = 0, 1, .., 6.

Derivadas de datos Derivadas de datos desigualmente espaciadosdesigualmente espaciados