7/23/2019 An Exo 11 Regla Se Qui Valencia

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3.1 Reglas de equivalencia

En esta sección estudiarás y aplicarás algunas reglas de equivalencia de proposiciones lógicas. Es

decir, vamos a empezar a aplicar algunas reglas que nos permitirán transformar proposiciones

compuestas, pero conservando su semántica, o sea, todas sus interpretaciones, o en otras palabras,sin alterar su tabla de verdad. Posteriormente, en la sección siguiente, estudiaremos leyes de

inferencia que nos permitan definir implicaciones lógicas.

Para darnos una idea de la utilidad de las reglas de equivalencia, veamos la tabla de verdad de las

siguientes proposiciones compuestas:

p1 = !"∧!y∧z# ∨ !"∧y∧z# ∨ "∧!y#

p$ = "∧!y# ∨ !"∧z#

%mbas son proposiciones compuestas por & proposiciones simples, por tanto, 'ay ( posiblescombinaciones. )u tabla de verdad es la siguiente:

" y z !"∧!y∧z !"∧y∧z "∧!y p1 "∧!y !"∧z p2

* * * + + + F + + F

* * + + + + F + + F

* + * + + * V * + V

* + + + + * V * + V

+ * * + * + V + * V

+ * + + + + F + + F

+ + * * + + V + * V

+ + + + + + F + + F

*emos que las dos proposiciones tienen la misma tabla de verdad, es decir, son dos proposiciones

equivalentes, pero una es más simple que la otra. e este sencillo e-ercicio podemos concluir que es

factible encontrar una proposición compuesta equivalente a otra, pero más simple. Para este procesode simplificación son necesarias las eglas de equivalencia.

3.1 Reglas de equivalencia

/a siguiente tabla contiene varias reglas de equivalencia. %lgunos autores las llaman tautolog0asnotables. omo podrás observar, estas reglas tienen su nombre .Es importante tenerlas presentes,

porque, como ya vimos, pueden ayudarnos a simplificar el mane-o de proposiciones compuestas.

Regla Nombre

1 !!p ⇔ p se lee no no p equivale a p# oble negación o involución

$a p ∨ q# ⇔ p ∨ q# se lee p o q equivale a

q o p#

$b p ∧ q# ⇔ p ∧ q#

$c p ↔ q# ⇔ p ↔ q#

/eyes conmutativas

&a p ∨ q# ∨ r ⇔ p ∨  q ∨ r# /eyes asociativas

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&b p ∧ q# ∧ r ⇔ p ∧  q ∧ r#

2a p ∨  q ∧ r# ⇔ p ∨ q# ∧ p ∨ r#

2b p ∧  q ∨ r# ⇔ p ∧ q# ∨ p ∧ r#

/eyes distributivas

3a p ∨ p# ⇔ p

3b p ∧ p# ⇔ p

/eyes de idempotencia

4a p ∨ +# ⇔ p

4b p ∨ *# ⇔ *

4c p ∧ +# ⇔ +

4d p ∧ *# ⇔ pdonde + = +also y * = *erdadero

/eyes de identidad

5a p ∨ !p# ⇔ *

5b p ∧ !p# ⇔ +

Postulados

(a !p ∨ q# ⇔ !p ∧ !q

(b !p ∧ q# ⇔ !p ∨ !q

(c p ∨ q# ⇔ !!p ∧ !q#

(d p ∧ q# ⇔ !!p ∨ !q#

/eyes de e6organ

7 p 8 q# ⇔ !q 8 !p ontrapositiva

19a p 8 q# ⇔ !p ∨ q#

19b p 8 q# ⇔ !p ∧ !q#

mplicación

11a p ∨ q# ⇔ !p 8 q#

11b p ∧ q# ⇔ ~p 8 !q#

mplicación

1$a p 8 r# ∧ q 8 r## ⇔ p ∨ q# 8 r

1$b p 8 q# ∧ p 8 r## ⇔ p 8 p ∧ r#

mplicación

1& p ↔ q ⇔ p 8 q# ∧ q 8 p# Equivalencia

12 p ∧ q#8 r ⇔ p 8 q 8 r## /ey de e"portación

13 p 8 q ⇔ p ∧ !q# 8 +#donde + = +also

educción al absurdo

 

Comprobación de algunas reglas de equivalencia por medio de tablas de verdad

*amos a construir las tablas de verdad de las reglas 1& Equivalencia# y 13 educción al absurdo#

para demostrar que son reglas válidas.

Regla de la equivalencia

/a regla de equivalencia establece que una doble implicación es igual a la con-unción de lasimplicaciones de sus componentes:

p ↔ q ⇔ p 8 q# ∧ q 8 p#

/a tabla de verdad, donde puede verse que esta regla se cumple, o sea, que ambas proposiciones son

equivalentes, es la siguiente:

p q p↔ q p → q q → p (p → q (q → p

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* * V * * V

* + F + * F

+ * F * + F

+ + V * * V

Regla de Reducción al absurdo

/a regla de reducción al absurdo establece que una implicación es equivalente a la con-unción de

su antecedente con la negación del consecuente implica +also:

p 8 q ⇔ p ∧ !q# 8 +#

/a tabla de verdad, donde puede verse que esta regla se cumple, es decir, que ambas proposicionesson equivalentes, es la siguiente:

p q p → q p !q (p !q → F

* * V + V

* + F * F

+ * V + V

+ + V + V

"#emplo de trans$ormación de proposiciones por medio de las reglas de equivalencia

omo ya di-imos antes, una de las me-ores maneras de mostrar el uso de las reglas de la lógica es

por medio de e-emplos. *amos, pues, a e"plicar algunos que ilustran el uso de las reglas deequivalencia en proposiciones compuestas.

"#emplo 1

)ea la proposición:

"∧y# ∨ "∧!y#

omparándola con la regla distributiva 2b, vemos que tenemos la parte derec'a de ella siconsideramos " = p, y = q, y !y = r.

Por tanto, la proposición es equivalente a:

" ∧ y∨!y#

e la regla de identidad 5a tenemos que y∨!y = *, por tanto, la e"presión es equivalente a:

" ∧*

e la regla de identidad 4d, resulta que " ∧* = ", por tanto:

"∧y# ∨ "∧!y# ⇔ "

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"#emplo 2

)e quiere simplificar la siguiente proposición compuesta:

z∧x ∨ z∧~x∧y

%plicando la regla distributiva 2b a los dos t;rminos, tenemos:

z∧x ∨ ~x∧y)

%plicando la regla de identidad 2a al t;rmino del par;ntesis, se obtiene:

z∧x ∨ ~"#∧x ∨ y##

%plicando la regla de identidad 5a al t;rmino x∨~" ⇔ *# , tenemos:

z∧

*∧

x∨y##

%plicando la regla de identidad 4d al t;rmino *∧x∨y# ⇔ x∨y#, resulta:

z∧x∨y##

e la que podemos eliminar los par;ntesis e"ternos,resultando:

z∧x ∨ z∧~x∧y ⇔ z∧x∨y#

"#emplo 3

)implifica la siguiente proposición compuesta:

p1 = !"∧!y∧z# ∨ !"∧y∧z# ∨ "∧!y#

%plicando la regla de conmutativa $b a los primeros dos t;rminos, tenemos:

p1< = !"∧z∧!y# ∨ !"∧z∧y# ∨ "∧!y#

onde 'emos intercambiado la posición de ~y  con z en el primer t;rmino y de y  con z en el

segundo.

)i en p1< 'acemos los siguiente cambios en los primeros dos t;rminos: !"∧z = a, !y = b, y y = c,

resulta:

p1<< = a ∧ b# ∨ a ∧ c# ∨ "∧!y#

Para 'acer un poco más clara su aplicación, parafraseando> la regla distributiva 2b, tenemos:

egla 2b: a ∧  b ∨ c# ⇔ a ∧ b# ∨ a ∧ c#

*emos que los primeros dos t;rminos de p1<< equivalen al lado derec'o de la paráfrasis de la regla2b, por lo que podemos transformar p1<< de la siguiente manera:

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p1<<< = a ∧  b ∨ c# ∨ "∧!y#

estableciendo algunos cambios que 'icimos antes: b = !y, y c=y, tenemos:

p1<<< = a∧  !y ∨ y# ∨ "∧!y#

%plicando la ley conmutativa $a al termino !y ∨ y#, se obtiene y ∨ !y#. %plicando el postulado5a a este ?ltimo t;rmino, tenemos y ∨ !y# ⇔ *, por tanto, a'ora p1<<< equivale a:

p1<<< = a ∧ * ∨ "∧!y#

%plicando la ley de identidad 4d al primer t;rmino, resulta:

p1<<< = a ∨ "∧!y#

Por ?ltimo, des'aciendo el cambio a = !"∧z, obtenemos:

p1<<< = !"∧z ∨ "∧!y#

Es decir,

!"∧!y∧z# ∨ !"∧y∧z# ∨ "∧!y# ⇔ !"∧z ∨ "∧!y#

@ue resulta ser la proposición p$ = !"∧z# ∨ "∧!y# comentada al inicio de esta sección, salvo porlos par;ntesis del primer t;rmino.

/os par;ntesis en el cálculo proposicional, al igual que en el caso del álgebra, se utilizan para

indicar qu; operaciones se 'acen primero. En este caso, los par;ntesis del primer t;rmino sonsuperfluos porque la con-unción tiene precedencia sobre la disyunción.

"#emplo %

)implifica la siguiente proposición:

!%∧!A# ∨ %∧!A# ∨ %∧A#

%plicando la ley conmutativa $a a los tres t;rminos, tenemos:

!A∧!%# ∨ !A∧%# ∨ A∧%#

%plicando la ley distributiva 2b a los primeros dos t;rminos, resulta:

!A∧!%∨%## ∨ A∧%#

Por el postulado 5a !%∨%# ⇔ *# y la ley de identidad 4d !A∧* ⇔ !A#, se obtiene:

!A ∨ A∧%#

%plicando la ley distributiva 2a a la proposición anterior, resulta:

!A∨A# ∧ !A∨%#

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%plicando el postulado 5a a la primera e"presión tenemos que !A∨A# ⇔ *, por tanto, se tiene:

* ∧ !A∨%#

@ue, seg?n la ley de identidad 4d, equivale a:

!A∨%

Por tanto, resulta que:

!%∧!A# ∨ %∧!A# ∨ %∧A# ⇔ !A∨%

"#emplo &

)implifica la siguiente proposición:

"∧!z# ∨ !"∧z# ∨ z

%plicando la ley conmutativa, tenemos:

z ∨ z∧!"# ∨ !z∧"#

ado que z ∧ *# ⇔ z, por la ley de identidad 4a, se obtiene:

z ∧ *# ∨ z∧!"# ∨ !z∧"#

%plicando la ley distributiva 2b, resulta:

z ∧ *∨!"#∨ !z∧"#

)eg?n la ley de identidad 4b, * ∨ !"# ⇔ *, por tanto, la e"presión resultante 'asta este punto es:

z ∧ * ∨ !z∧"#

ado que z ∧ * ⇔ z, de acuerdo con la ley de identidad 4d, la e"presión resultante 'asta este puntoes:

z ∨ !z∧"#

%plicando la ley distributiva 2a, resulta:

z ∨ !z# ∧ z∨"#

ado que z ∨ !z# ⇔ *, por el postulado 5a, se tiene:

* ∧ z∨"#

/a ley de identidad 4d establece que * ∧ z∨"# ⇔ z∨"#, por tanto, resulta:

"∧!z# ∨ !"∧z# ∨ z ⇔ z∨"#

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on este e-emplo, terminamos nuestro estudio de las reglas de equivalencia, que son ?tiles parasimplificar proposiciones compuestas. )igue a'ora el estudio de las reglas de implicaciones y de

inferencia, con las cuales podremos determinar si un razonamiento es válido o no.