Ej 1. (2 puntos) Sea 8e2)x(f5x4

+=+

, entonces:

a) La función inversa de f es: 4

5)

2

8x

ln(4

1)x(f

1

+=

Para hallar f -1(x), planteamos

8e2y

5x4

+=+

despejamos x

Entonces 5x4

e2

8y +

= aplicamos logaritmo natural a ambos miembros y nos

queda

5x4)2

8y

(ln += despejando x obtenemos

x

4

5)2

8y

ln(

= , como x = f -1(y), cambiamos y por x , entonces

4

5)

2

8x

ln(4

1)x(f

1

+=

b) El dominio de f -1 es: ),8( ∞+

ANÁLIS. MAT. ING. - EXACTAS

2C 2017

TEMA 1 - 25-10-17

APELLIDO:

SOBRE Nº:

NOMBRES:

Duración del examen: 2 hs

DNI/CI/LC/LE/PAS. Nº:

CALIFICACIÓN: Apellido del evaluador:

E-MAIL:

TELÉFONOS part: cel:

Como se trata de una función logarítmica, para hallar el dominio pedimos que

02

8x

> entonces

08x >

8x >

Domf = ),8( ∞+

c) La imagen de f -1 es: R

El conjunto Imagen de f -1 es el Domf. Como f es una función exponencial compuesta con

una lineal, entonces el Domf: R, por lo tanto el conjunto Im f -1 : R

d) La ecuación de la recta tangente al gráfico de f en x = 5/4 es: 20x8y +=

Para hallar la ecuación de la recta tangente a f(x) en x = 5/4 , calculamos

f(5/4) reemplazando las x en f por 5/4, así obtenemos

108e2)4/5(f5

4

5.4

=+=+

Para hallar la pendiente de la recta tangente calculamos f ´(x)

5x45x4

e)8()4(e2)x´(f++

==

Evaluamos la derivada en x = 5/4 y obtenemos que

8e)8()4/5´(fm5

4

54

===+

Como la recta tiene ecuación )4

5x(810y = , entonces

20x8y +=

Ejercicios a desarrollar

Ej 2. (2 puntos) Sea

0 3/2

0 3x

1-cos(2x)

)( 2

xsi

xsixf

Estudiar continuidad y derivabilidad en x = 0.

Para analizar continuidad en x = 0, debemos estudiar las tres condiciones de continuidad

a) ¿Existe f(0)?

f(0) = -2/3 por definición de f(x)

b) ¿Existe límite cuando x->0?

Para esta función los límites laterales cuando x tiende a cero son iguales, porque la

función tiene la misma fórmula a izquierda y a derecha de x = 0, y su comportamiento no

cambia si x tiende a 0 por derecha o por izquierda. Calculamos entonces

20x3x

1-cos(2x)lim → queda una indeterminación del tipo 0/0, podemos, o bien usar

propiedades de funciones trigonométricas, o aplicar Regla de L´Hopital

Aplicando Regla de L´Hopital queda:

x6

)x2(sen2

lim3x

1-cos(2x)lim 0x20x = →→ , como vuelve a quedar una indeterminación

del tipo 0/0 ,si aplicamos nuevamente Regla de L´Hopital (también podríamos aplicar

propiedades para límites indeterminados con funciones trigonométricas) y obtenemos

3

2

6

)x2cos(4

limx6

)x2(sen2

lim3x

1-cos(2x)lim 0x0x20x === →→→

Por lo tanto el límite buscado existe y vale -2/3.

c) ¿f(0)= )x(flim 0x→ ?

Como f(0) = -2/3 y )x(flim 0x→ =- 2/3, se cumple esta condición

Por lo tanto f es continua en x = 0

Analicemos derivabilidad de f en x = 0. Para ello calculamos la derivada de f (x) en x = 0

por definición

3

2

0h

2

2

0h

2

0h3h

2h1-cos(2h)lim

h

3h

2h1-cos(2h)

limh

3

2

3h

1-cos(2h)

lim+

=

+

=

+

→→→

Este límite es una indeterminación del tipo 0/0, si aplicamos regla de L´Hopital nos queda

20h3

2

0hh9

h4)h2(sen2

lim3h

2h1-cos(2h)lim

+

=+

→→

Este límite es una indeterminación del tipo 0/0. Aplicando Regla de L´Hopital queda:

h18

4)h2cos(4

limh9

h4)h2(sen2

lim 0x20h

+

=

+

→→

Como vuelve a dar indeterminación del tipo 0/0, por L´Hopital da:

018

)h2(sen8lim

h18

4)h2cos(4

lim 0x0x ==

+

→→

Como el límite para h tendiendo a cero por derecha y por izquierda da el mismo resultado,

y el límite existe y es finito, entonces f es derivable en x=0 y f´(0)=0

Ej 3. Sea xx

xf6

52)(

2 . Analizar:

a) (1 punto) Dominio y raíces.

b) (2 puntos) Analizar asíntotas horizontales, verticales y oblicuas.

c) (2 puntos) Indicar intervalos de crecimiento y decrecimiento, y extremos relativos.

d) (1 punto) Con la información obtenida en los puntos anteriores, realizar un gráfico

aproximado de la función.

a) Para el Dominio de f(x) pedimos que 0x6x2 ≠

Buscamos x / 0x6x2 = y da 0x = y 6x = , por lo tanto

{ }6,0RDomf =

Para hallar las raíces o ceros planteamos f(x)=0

)x6x(252

x6x

50

x6x

52 2

22=⇒=⇒=+

05x12x2 2 =+ , las raíces de esta cuadrática son : 4

10412x 2,1

±=

es decir 45,04

19,1012

x1 ≈= 55,54

19,1012x2 ≈

+=

{ }2

1+3;26

2

1-3= 26C0

b) Para hallar asíntota vertical calculamos los límites laterales para los puntos que

sacamos del Dominio de f

Para x = 0

+∞=+→x6x

52lim

20x

∞=++→

x6x

52lim

20x por lo tanto x = 0 es asíntota vertical

Para x = 6

∞=+→x6x

52lim

26x

∞+=++→

x6x

52lim

26x por lo tanto x = 6 es asíntota vertical.

Para asíntota horizontal calculamos

2=+∞→ x6x

52lim

2x

2=+∞+→x6x

52lim

2x por lo tanto y = 2 es asíntota horizontal

Como hay asíntota horizontal si +∞→x y si ∞→x , entonces no hay asíntota oblicua

c) Para hallar intervalos de crecimiento y decrecimiento de f calculamos f´(x) e igualamos

a cero

3=x⇒0==22 )x6x(

)6x2(5

)x´(f , por lo tanto x = 3 es un Punto Crítico

aplicando el Teorema de Bolzano para f´(x) , teniendo en cuenta los puntos que sacamos

del Dominio de f y de f´ , obtenemos:

Si x<0 f´(x)>0 f crece

Si 0<x<3 f´(x)>0 f crece

Si 3<x<6 f´(x)<0 f decrece

Si x>6 f´(x)<0 f decrece

Por lo tanto :

Intervalo de decrecimiento de f: ),6(U)6,3( +∞

Intervalo de crecimiento de f: )3,0(U)0,( ∞

0 3 6

En x = 3 hay un máximo relativo y vale f(3) = 13/9

d)

Ej 1. (2 puntos) Sea 53)( 12 xexf , entonces:

a) La función inversa de f es: 2

1)

3

5x

ln(2

1)x(f

1

+=

Para hallar f -1(x), planteamos

5e3y1x2

+=+

y despejamos x

Entonces 1x2

e3

5y +

= aplicamos logaritmo natural a ambos miembros

1x2)3

5y

(ln += despejando x obtenemos

x

2

1)3

5y

ln(

= , como x = f -1(y), cambiamos y por x , entonces

ANÁLIS. MAT. ING. - EXACTAS

2C 2017

TEMA 2 - 25-10-17

APELLIDO:

SOBRE Nº:

NOMBRES:

Duración del examen: 2 hs

DNI/CI/LC/LE/PAS. Nº:

CALIFICACIÓN: Apellido del evaluador:

E-MAIL:

TELÉFONOS part: cel:

2

1)

3

5x

ln(2

1)x(f

1

+=

b) El dominio de f -1 es: ),5( ∞+

Como se trata de una función logarítmica, para hallar el dominio pedimos que

03

5x

> entonces

05x >

5x >

Domf = ),5( ∞+

c) La imagen de f -1 es: R

El conjunto Imagen de f -1 es el Domf. Como f es una función exponencial compuesta con

una lineal, entonces el Domf: R, por lo tanto el conjunto Im f -1 : R

d) La ecuación de la recta tangente al gráfico de f en x = 1/2 es: 11x6y +=

Para hallar la ecuación de la recta tangente a f(x) en x = 1/2 , calculamos

f(1/2) reemplazando x en f por 1/2, así obtenemos

85e3)2/1(f1

2

1.2

=+=+

Para hallar la pendiente de la recta tangente calculamos f ´(x)

1x21x2

e)6()2(e3)x´(f++

==

Evaluamos la derivada en x = 1/2 y obtenemos que

6e)6()2/1´(fm1

2

12

===+

Como la recta tiene ecuación )2

1x(68y = , entonces

11x6y +=

Ejercicios a desarrollar

Ej 2. (2 puntos) Sea

0 4/9

0 2x

1-cos(3x)

)( 2

xsi

xsixf Estudiar continuidad y

derivabilidad en x = 0.

Para analizar continuidad en x = 0, debemos estudiar las tres condiciones de continuidad

a) ¿Existe f(0)?

f(0) = -9/4 por definición de f(x)

b) ¿Existe límite cuando x->0?

Para esta función los límites laterales cuando x tiende a cero son iguales, porque la

función tiene la misma fórmula a izquierda y a derecha de x = 0 y su comportamiento no

cambia si x tiende a 0 por derecha o por izquierda. Calculamos entonces

20x2x

1-cos(3x)lim → queda una indeterminación del tipo 0/0, podemos, o bien usar

propiedades de funciones trigonométricas, o aplicar Regla de L´Hopital

Aplicando Regla de L´Hopital queda:

x4

)x3(sen3

lim2x

1-cos(3x)lim 0x20x = →→ , como vuelve a quedar una

indeterminación del tipo 0/0, si aplicamos nuevamente Regla de L´Hopital (podríamos

usar propiedades dle límite para indeterminaciones con funciones trigonométricas)

,obtenemos

4

9

4

)x3cos(9

limx4

)x3(sen3

lim 0x0x == →→

Por lo tanto el límite buscado existe y vale -9/4.

c) ¿f(0)= )x(flim 0x→ ?

Como f(0) = -9/4 y )x(flim 0x→ =- 9/4, se cumple esta condición

Por lo tanto f es continua en x = 0

Analicemos derivabilidad de f en x = 0. Para ello calculamos la derivada de f (x) en x = 0

por definición

3

2

0h

2

2

0h

2

0h4h

9h2-2cos(3h)lim

h

4h

9h2-2cos(3h)

limh

4

9

2h

1-cos(3h)

lim+

=

+

=

+

→→→

Este límite es una indeterminación del tipo 0/0, si aplicamos regla de L´Hopital nos queda

20h3

2

0hh12

h18)h3(sen6

lim4h

9h2-2cos(3h)lim

+

=+

→→

Este límite es una indeterminación del tipo 0/0. Aplicando Regla de L´Hopital queda:

h24

18)h3cos(18

limh12

h18)h3(sen6

lim 0x20h

+

=

+

→→

Como vuelve a dar indeterminación del tipo 0/0, por Regla de L´Hopital da:

024

)h3(sen54lim

h24

18)h3cos(18

lim 0x0x ==

+

→→

Como el límite para h tendiendo a cero por derecha y por izquierda da el mismo resultado,

y el límite existe y es finito, entonces f es derivable en x=0 y f´(0)=0

Ej 3. Sea xx

xf4

23)(

2 . Analizar:

a) (1 punto) Dominio y raíces.

b) (2 puntos) Analizar asíntotas horizontales, verticales y oblicuas.

c) (2 puntos) Indicar intervalos de crecimiento y decrecimiento, y extremos relativos.

d) (1 punto) Con la información obtenida en los puntos anteriores, realizar un gráfico

aproximado de la función.

a) Para el Dominio de f(x) pedimos que 0x4x2 ≠

Buscamos x / 0x4x2 = y da 0x = y 4x = , por lo tanto

{ }4,0RDomf =

Para hallar las raíces o ceros igualamos f(x)=0

)x4x(323

x4x

20

x4x

23 2

22=⇒=⇒=+

02x12x3 2 =+ , las raíces de esta cuadrática son : 6

12012x 2,1

±=

es decir 17,06

95,1012

x1 ≈= 83,36

95,1012x2 ≈

+=

{ }303

12,30

3

1C0 +-2=

b) Para hallar asíntota vertical calculamos los límites laterales para los puntos que

sacamos del Dominio de f

Para x = 0

∞+=+→x4x

23lim

20x

∞=++→

x4x

23lim

20x por lo tanto x = 0 es asíntota vertical

Para x = 4

∞=+→x4x

23lim

24x

∞+=++→

x4x

23lim

24x por lo tanto x = 4 es asíntota vertical.

Para asíntota horizontal calculamos

3=+∞→ x4x

23lim

2x

3=+∞+→x4x

23lim

2x por lo tanto y = 3 es asíntota horizontal

Como hay asíntota horizontal si +∞→x y si ∞→x , entonces no hay asíntota oblicua

c) Para hallar intervalos de crecimiento y decrecimiento de f calculamos f´(x) e igualamos

a cero

2=x⇒0==22 )x4x(

)4x2(2

)x´(f , por lo tanto x = 2 es un Punto Crítico

aplicando el Teorema de Bolzano para f´(x) , teniendo en cuenta los puntos que sacamos

del Dominio de f , obtenemos

Si x<0 f´(x)>0 f crece

Si 0<x<2 f´(x)>0 f crece

Si 2<x<4 f´(x)<0 f decrece

Si x>4 f´(x)<0 f decrece

Por lo tanto :

Intervalo de decrecimiento de f: ),4(U)4,2( ∞+

Intervalo de crecimiento de f: )2,0(U)0,( ∞

0 2 4

En x = 2 hay un máximo relativo y vale f(2)= 5/2

d)