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Análisis Combinatorio

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Análisis Combinatorio

• El análisis combinatorio es un sistema que permite agrupar y ordenar, en diversas formas, los elementos de un conjunto. Los tres principales tipos de análisis combinatorio son:

– Permutaciones

– Variaciones

– Combinaciones

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Permutaciones

• Se denominan permutaciones de h elementos, los diferentes grupos que se pueden hacer, tomándolos todos cada vez.

• Las permutaciones implican orden.

• Cada conjunto ordenado de h elementos se denominará una permutación de los n elementos diferentes.

• La formula es Pn = n!, donde Pn corresponde al número de permutaciones posibles.

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Ejemplo-1:Permutaciones

• Determine el número de permutaciones posibles de las letras A, B, C, D.

• P4 = 4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24

Representémoslas:

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Permutaciones con Repetición

• Las permutaciones con repetición r, son un caso particular de las variaciones y no existe una ley sencilla para su formación. Dado lo complicado del sistema, sólo, se presenta la fórmula que logra el número de esta clase de permutaciones.

• La formula será:

!!!

,:21

21

rrn

rrrPn

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Ejemplo-2: Permutaciones con Repetición

• Sean los elementos aa - bbb - cc - d, para permutar con repetición, tendremos 8 elementos repartidos así: dos del primero, tres del segundo, dos del tercero y uno del cuarto, entonces las permutaciones se presentarán así:

y la fórmula respectiva será: 1,2,3,2:8rP

1212312

12345678!2!3!2!8

1,2,3,2:8 xxxx

xxxxxxxrP

16801,2,3,2:8

rP

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Ejemplo-3: Permutaciones con Repetición

• ¿De cuántas maneras distribuiríamos 3 monedas de 5 ¢ y 4 monedas de 10 ¢ en una misma línea?

La fórmula respectiva será:

1234123

1234567!4!3!7

4,3:7 xxxxx

xxxxxxrP

354,3:7

rP

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Variaciones

• Las variaciones corresponden a aquellas permutaciones donde los elementos no se toman en su totalidad.Dado un conjunto de n elementos diferentes, se denominará permutación parcial o variaciones, de subconjunto de r elementos (r<n) pertenecientes al conjunto dado.

!!rnn

V n

r

La formula será:

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Ejemplo-3: Variaciones

• Determine el número de variaciones posibles de las letras A, B, C, D; donde las cuatro letras o elementos (n) vamos a permutar de cada 2 (r).

La fórmula respectiva será:

12

121234

!24!4

4

2

xxxx

V

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Ejemplo-4: Variaciones

• ¿Cuántas cifras diferentes de 4 dígitos se pueden formar con los dígitos del 0 al 9, usándolos una vez?

La fórmula respectiva será:

!410!10

10

4 V

040,5

12345612345678910

!410!10

10

4

xxxxxxxxxxxxxx

V

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Combinaciones

• Son aquellas en las que no interesa el orden de la aparición de elementos del conjunto. Será lo mismo AB que BA. Cuando se toma la totalidad de elementos, solamente se puede hacer una combinación.

La fórmula será:

Se lee de la siguiente manera, la combinación de n elementos tomados de r en r.

!!!rnr

nC

rn

n

r

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Ejemplo 5: Combinaciones

• En la combinación de estas 4 letras tomadas de 2 en 2 será:

!!!rnr

nC

rn

n

r

6

!24!2!4

24

4

2

C