Maratón de Aritmética 1 UNI 2002 - II

MARATÓN DE ARITMÉTICA CICLO U N I

ANÁLISIS COMBINATORIO

Dados ciertos conjuntos finitos, el análisis combinatorio se ocupa de determinar el cardinal de ciertos conjuntos de aplicaciones definidas entre ellos

I ) Principios fundamentales de conteo:

a) Principios de Multiplicación: Si un evento (actividad) “A” puede realizarse de “m” maneras y después de efectuado dicho evento un segundo evento “B” puede realizarse de “n” maneras diferentes, entonces el evento “A” seguido del evento “B” puede efectuarse de (m.n) maneras.

b) Principios de Adición:

Si un evento “A” puede realizarse de “m” maneras y otro evento “B” puede hacerse de “n” maneras, además no es posible de que ambos eventos se hagan juntos, entonces el evento A o el evento B se harán de ( m + n) maneras.

II ) Permutación:

Son los arreglos que se hacen con los elementos de un conjunto, considerando el orden en que se disponen.a) El número de ordenamiento lineales que se puede realizar con n elementos distintos está dado por:

b)El número de ordenamientos de “n” elementos de un conjunto, todos distintos, tomados de r en r está dado por:

c) El número de permutaciones lineales de “n” elementos no todos distintos, donde hay r 1 elementos iguales entre sí y r2 elementos iguales entre sí y así sucesivamente hasta rk elementos iguales entre sí, está dado por:

Siendo: r1+r2+...+rk n

d) El número de permutaciones de n elementos de un conjunto, todos distintos, dispuestos en formar “circunferencial”(alrededor de un punto de referencia). Está dado por:

III) Combinación:

Humanizando al hombre con la educación

!rn

!nP )r;n(

!r!......r!..r

!nr,,r,r;n(P

k21k21

P( n)= n

Pc (n) = (n-1 )

Maratón de Aritmética 2 UNI 2002 - II

Llamaremos combinación de “n” elementos distintos tomados de r en r a todo subconjunto de r elementos incluido en el conjunto inicial de n elementos.Para formar una combinación realizaremos una selección sin considerar el orden de los elementos.El número de combinaciones de “n” elementos de un conjunto, tomándolos de r en r, siendo

, está dado por:

o también:

Además:

APLICACIONES

1. Un producto se arma en 3 etapas. En la primera

etapa hay 5 líneas de armado; en segunda etapa

hay 4 líneas de armado y en la tercera etapa hay

6 líneas de armado. ¿De cuántas formas

diferentes puede moverse el producto en el

proceso de armado?

Rpta:.....................................................................

2. Cuando una serie de productos se introducen en

el mercado uno después de otro, los introducidos

al mercado posteriormente a menudo tienen

menos demanda que los presentados

anteriormente. Supongamos que han de

introducir 5 productos en sucesión: ¿de cuántas

maneras un producto determinado puede ser el

primero?

Rpta:.....................................................................

3. Para ir del local de Tacna al de San Felipe se

tienen 4 línea de combi, 6 líneas de coaster y 5

línea de microbús. ¿De cuántas formas distintas

se puede realizar dicho recorrido en alguna de

estás líneas?

Rpta:.....................................................................

4. Si Milagros tiene 5 faldas que combina con 3

blusas y también 9 pantalones que hacen juego

con 6 polos diferentes. ¿De cuántas maneras

distintas podrá vestirse?

Rpta:.....................................................................

5. De cuántas maneras diferentes podrán viajar 7

personas en un automóvil de 5 asientos, y una

moto; sabiendo que todos saben manejar moto,

pero sólo 3 de ellos saben manejar automóvil.

Rpta:.....................................................................

Humanizando al hombre con la educación

!rn!r

!nCn

r

factoresr

nr !r

1rn()2n()1n(nC

Maratón de Aritmética 3 UNI 2002 - II

6. Los asientos de 4 delegaciones formadas por 3

venezolanos, 2 argentinos, 3 colombianos y 4

peruanos deben ubicarse en una misma fila de

asientos. ¿De cuántas maneras lo pueden hacer,

si los delegados de una misma nacionalidad

deben sentarse juntos?

Rpta:.....................................................................

7. Determinar de cuántas formas diferentes se

puede acomodar en una fila de 8 asientos a 2

niños, 3 niñas y 3 adultos de tal manera que las

niñas nunca estén juntas.

Rpta:.....................................................................

8. Cuántas palabras de 10 letras con o sin

significado se pueden formar con las letras de la

palabra PACHACHACA?

Rpta:.....................................................................

9. En un bolillero hay 3 bolillas blancas, 2 bolillas

negras y 2 bolillas rojas. ¿De cuántas formas se

pueden extraer todas las bolillas del bolillero de

a una por vez?

Rpta:.....................................................................

10. Se tiene a 7 personas que desean colocarse

alrededor de una fogata.

a) ¿Cuántas disposiciones diferentes pueden

obtenerse?

b) Si Nicerata desea estar frente a Yuger, ¿ De

cuántas formas se les puede ubicar?

Rpta:.....................................................................

11. Cinco compañeros de trabajo ingresan a un

restaurante y desea elegir una mesa circular de 5

disponibles, con capacidad para ellos. ¿De

cuántas maneras podrían sentarse si 2 de ellos

(Arturo y Hugo) no deben estar juntos?

Rpta:.....................................................................

12. En un estante hay 15 libros: 9 de Aritmética y 6

de Álgebra. Se desea tomar 7 libros de tal

manera que 4 sean de Aritmética y 3 de Álgebra.

¿De cuántas formas se pueden escoger los 7

libros?

Rpta:.....................................................................

13. La academia Círculo decide formar su equipo

titular de fútbol compuestos por 11 jugadores:; y

tiene para escoger de 8;6;5; 7;4 y 3 jugadores de

las planas de A; X; G; T ;F y Q respectivamente.

Se decide tomar 5 de A;2 de X;2 de G;1 de T y

1 de F o Q. ¿De cuántas maneras diferentes se

podrá escoger el equipo titular?

Rpta......................................................................

14. Una señora tiene 11 amigos de confianza. ¿De

cuántas formas distintas puede invitar a 5 de

ellos a comer, si dos de ellos no se llevan bien y

no asisten juntos?

Rpta:.....................................................................

15. Con 7 ingenieros y 9 arquitectos se debe formar

delegación de 5 miembros. ¿De cuántas formas

diferentes puede constituirse dicha delegación; si

la condición es que al menos se incluya a 2

ingenieros?

Rpta:.....................................................................

Humanizando al hombre con la educación

Maratón de Aritmética 4 UNI 2002 - II

PROBLEMAS

16. Un estudiante debe inscribirse en 2 cursos

electivos de un conjunto de 6 posibles. Si dos de

dichos cursos se imparten a la misma hora y los

demás tiene horarios que no se cruzan.

Determinar de cuántas formas puede realizarse

su elección.

A) 10 B) 14 C)18

D) 20 E) 24

17. Se tiene 6 parejas de casados los cuales

asistieron a una reunión social. ¿De cuántas

maneras puede formarse una pareja de baile tal

que no sean esposos?

A) 45 B) 50 C) 55

D) 58 E) 60

18. Se tiene 4 cajas en las cuales se deben colocar 9

bolas diferentes. ¿De cuántas maneras se pueden

colocar, si en la primera caja se deben colocar 2

bolas; en la última 3 bolas y las restantes en las

demás?

A) 12860 B) 18340 C) 19060

D) 19600 E) 20160

19. En una caja hay 7 lapiceros azules, 5 rojos y 4

verdes. Se extraen 5 lapiceros a ciegas; ¿De

cuántas formas se pueden extraer tal que haya

lapiceros de exactamente 2 colores?

A) 1234 B) 1256 C) 1284

D) 1316 E) 1452

20. Determinar cuántos números de 4 cifras existen

tales que la suma de sus cifras sea menor a 33.

A) 8042 B) 8251 C) 8354

D) 8543 E) 8965

21. Ronald ha extraviado el número telefónico de su

abuelo, pero recuerda que era par y no terminaba

en 6,y las 2 cifras de mayor orden sumaban 17 y

las restantes tienen como producto 180.

¿Cuántas llamadas infructuosas realizaría como

máximo?

A) 119 B) 131 C) 145

D) 167 E) 173

22. Determinar cuántos numerales de la forma

pueden formarse con todas las otras

significativas admisibles, tal que a<b<c.

A) 18 B) 20 C) 28

D) 35 E) 42

23. En un circo se desea formar una columna

compuesta por 5 bailarinas y 4 malabaristas. Un

malabarista no puede ir detrás de otro. ¿De

cuántas maneras puede formarse dicha columna?

A) 39600 B) 40800 C) 41400

D) 43200 E) 45600

24. Un barman tiene 4 licores: whisky, vodka, pisco

y cañazo. ¿De cuántas maneras se pueden servir

7 tragos? (Pueden ser puros o mezclados)

A) 120 B) 150 C) 174

D) 180 E) 210

25. Un ropero contiene “n”pares de zapatos. Si se

escoge al azar “2r” zapatos (2r < n), ¿De cuántas

maneras puede realizarse de tal forma que no

haya ningún par completo?

A) B) C)

Humanizando al hombre con la educación

Maratón de Aritmética 5 UNI 2002 - II

D) E)

Lima, Junio del 2002

Humanizando al hombre con la educación