ANÁLISIS DE ARTÍCULOS DE APLICACIONES DEL CÁLCULO INTEGRAL

EMMANUEL MENDIETA ROJAS

JAVIER DUVAN HOSPITAL MELO

DANIEL GARCIA PEREA

SANTIAGO RACHE LÓPEZ

BRAYAN LEONARDO ESPITIA CADENA

UNIVERSIDAD DISTRITAL FRANCISCO JOSÉ DE CALDAS

FACULTAD DE INGENIERÍA

CÁLCULO II

BOGOTÁ

2015

ANÁLISIS DE ARTÍCULOS DE APLICACIONES DEL CÁLCULO INTEGRAL

JOSÉ GONZALO LUGO ESCOBAR

Director

Emmanuel Mendieta Rojas– 20141020043

Javier Duvan Hospital Melo-20141020096

Daniel García Perea-20141020212

Santiago Rache López- 20151005103

Brayan Leonardo Espitia Cadena- 20132020603

UNIVERSIDAD DISTRITAL FRANCISCO JOSÉ DE CALDAS

FACULTAD DE INGENIERÍA

CÁLCULO II

BOGOTÁ

2015

¿Qué aplicaciones podría tener el cálculo Integral en un ambiente profesional o un ambiente en donde se apliquen las Ciencias Exactas?

Por medio del siguiente trabajo, presentaremos un análisis de varios artículos en el que nuestro tema principal será el de algunas aplicaciones del Cálculo Integral en las Ciencias aplicadas. Como bien sabemos la matemática es la base fundamental de todo el funcionamiento de las cosas, algunos casos en los que se puede aplicar el cálculo integral es en las ingenierías, la economía, la física e incluso la Química y la genética. A continuación presentaremos varios artículos en los que se detallan algunas aplicaciones.

Uso de integrales en la Ingeniería Ambiental1

Resumen

Las aplicaciones del cálculo en la ingeniería son muy amplias, ya que las nuevas tecnologías y la optimización de ellas, abren paso a un modelo más generalizado para aplicar en distintas ocasiones. El autor del artículo refleja una aplicación muy importante del cálculo integral en asegurar una mejor producción que genera menos costos y su tiempo de implementación y ejecución sea mucho menor.

Propósito: Aplicar la Ley de Torricelli en ambientes donde se necesite hallar la velocidad de cambio con respecto a una cantidad determinada.

En este caso aplica la ley de Torricelli en la que nos plantea la razón de cambio entre un volumen V que sería el del agua en un tanque que se vacía proporcionalmente a la raíz cuadrada de la profundidad h del agua.

Metodología: La metodología que utiliza es la de hacer la razón de cambio para hallar la velocidad de un modelo de vaciado, crecimiento o de cambio.

Según el autor la formula anterior da paso para resolver la integral de la fórmula de un tanque de regadío, para saber su tiempo exacto de vaciado y con esos datos optimizar los procesos que necesitan de dicha agua o sustancia y por supuesto reducir energía y disminuir el tiempo de implementación en el riego de un campo.

Además de la anterior aplicación, el autor deja muy en claro que de esta aplicación salen muchas más aplicaciones. Algunas de ellas es la velocidad con la que se emiten gases contaminantes a la capa de ozono, además calcular la velocidad de crecimiento de las especies de un ecosistema y con esto determinar la cantidad total de especies que pueden caber. Por último, también sirve para prevenir grandes emisiones de CO2 causadas por la deforestación de algunos bosques; ya que se puede calcular la velocidad de

1 Valle,René.Uso de Integrales en la Ingeniería Ambiental.RioBamba:Universidad Nacional de Chimborazo,2014. Disponible en: http://www.academia.edu/6835846/Ensayo_mate( 31 de agosto de 2015)

regeneración y con esto saber cuál es el daño proporcional que se le hace al medio ambiente.

CONCLUSIONES

Gracias al Cálculo Integral, en la Ingeniería Ambiental se pueden aplicar modelos relacionados con la Velocidad de Crecimiento o decrecimiento de un modelo aplicado como la velocidad de vaciado de un Tanque, la velocidad de regeneración de un bosque Deforestado e incluso la Velocidad de crecimiento de una Población para saber hasta cuanto puede soportar un ecosistema.

Gracias a este modelo de aplicación, se pueden prevenir algunos problemas ambientales e incluso optimizar procesos como el riego de campo.

Aplicación de un Algoritmo Genético al Cálculo de la función de distribución del gas de Electrones2

2 Carlevaro,Manuel.Aplicación de un algoritmo Genético al cálculo de la función de distribución del gas de electrones,La Plata:Universidad Nacional de

Rosario, Facultad de Ingeniería, Grupo de Aplicaciones Matemáticas y Estadísticas.Disponible en:http://www.ing.unlp.edu.ar/investigacion/archivos/jornadas2011/cb07.pdf ( 31 de agosto de 2015)

Resumen

Los autores de este artículo plantean desde el comienzo la aplicación de un algoritmo genético para el cálculo de la distribución de pares del gas de electrones, en la que se propone una “Generalización de la aproximación Hipercadena Cuántica”.

Propósito: Aplicar el Algoritmo Genético o Evolucionario en el cálculo de la función de distribución del gas de Electrones.

Para dar una idea de un Algoritmo Evolucionario los autores definen tres características principales.

El algoritmo se desarrolla en un nivel “Cromosómico” en donde cada individuo codifica un número diferente de cromosomas según la relación con sus parientes.

Los autores dejan claro que el algoritmo se adopta al modelo de Darwin de Nacimiento, Reproducción y Muerte.

Como se había dicho antes, la reproducción es un modelo en el que se adapta dicho algoritmo. Ya que este da paso a las mutaciones y entre cruzamientos a los que se debe exponer.

Esto significa que este Algoritmo construye una sucesión de individuos iniciales en donde están expuestos a reproducirse y generar más vida para luego morir y continuar un ciclo evolutivo.

Para hacer un entre cruzamiento es necesario elegir parejas aleatorias para que se dé el fenómeno de mutación.

Metodología: Los autores aplican dos métodos muy utilizados en estos casos

Algoritmo de la Ruleta que consiste en fabricar una ruleta en la que se asigna un sector proporcional y la capacidad de adaptarse.

Método de Torneo que consiste en seleccionar un grupo determinado de una población, para luego ponerlos a competir. Los ganadores serán los cromosomas que mejor capacidad tienen para adaptarse a los cambios.

Además de los anteriores métodos, se aplican dos modelos reproductivos conocidos como el modelo con un punto de entre cruzamiento y con dos puntos de entre cruzamiento.

Ya con los anteriores pasos ya implementados, para asignarlos en el algoritmo se necesita un porcentaje de ocurrencia. Que viene a deducir que no todos los cromosomas intercambian información.

Además se necesita de un porcentaje de ocurrencia de la mutación que según los autores es menor que el 5%.

Con este modelo se plantea implementarlos en la función de pares conocida como PDF para el gas de electrones homogéneos.

Para poder implementarlo primero es necesario definir cómo funciona el modelo de gas de electrones de Sommerfeld el cual plantea la siguiente formula con las siguientes variables.

N:ferminiones de Masa

M:masa

e: electrones con carga

También se define la función de distribución de pares (PDF), que establece un nexo entre el comportamiento Microscópico y la termodinámica del sistema.

Con esto podemos relacionar una función de Onda como la siguiente, y que se aplica dentro del modelo PDF con relación con el modelo PCF.

Con todo esto, los autores parametrizan dicha función PDF, quedando de la siguiente manera y perfecta para implementarla dentro del Algoritmo Genético o Evolucionario.

Por supuesto para poder implementar dicha ecuación, es necesario optimizar los parámetros de manera que todos tengan una relación directa con el modelo.

Para finalizar los autores hacen un modelo de prueba comparándolo con los resultados hechos por otros Científicos, siendo semejanzas bastante amplias y lo cual nos da respuesta al planteamiento original.

CONCLUSIONES

Gracias a este modelo es posible saber de manera mucho más rápida y sencilla, la distribución de un gas de electrones. Por supuesto aplicándola de manera adecuada y con ambientes muy poco variables.

Aunque el modelo a solucionar ha dejado ciertas incógnitas con las variaciones de la gráfica de la función con respecto a la original, el modelo se acerca mucho al original y es muy poco probable que las variaciones hayan sido causadas por un mal manejo de la formula, sino más bien por algunos cambios en el entorno o una incorrecta toma de datos que se ven reflejados en algunos puntos de la función.

Para aplicar este modelo es necesario tener muy en cuenta cómo se comporta la función PDF y PCF, para hacer una relación mucho más acertada con la formula final.

En la vida real es posible utilizar este método, para determinar el comportamiento de compuestos y como optimizarlo en ambientes más cercanos cono la combustión o incluso la creación de diferentes compuestos.

Metodología para la asignación concertada de agua (MACA)3

3 Julio César Jesús-Salazar*, Jesús Abel Mejía-Marcacuzco .Metodología para la asignación concertada de agua (MACA) Universidad Nacional

Agrariaen: http://www.scielo.org.mx/scielo.php?script=sci_arttext&pid=S2007-24222014000100011&lang=pt

Resumen

"En las últimas décadas se han desarrollado muchos métodos de simulación y optimización matemática para resolver la complejidad del cruce de variables de los dominios natural y social que permita gestionar de manera integral el agua; desafortunadamente, la mayoría de estas aplicaciones no incorporaron en sus cálculos el concepto de equidad. Tal situación representa un factor limitante en el balance de resolución de conflictos. Este artículo presenta la metodología aplicada a un proyecto piloto en una cuenca hidrográfica tutorial como herramienta de gestión integrada de recursos hídricos, e incorpora en una sola arquitectura tres componentes fundamentales: equidad, sostenibilidad y eficiencia. La Metodología para la Asignación Concertada de Agua (MACA) se desarrolla en dos etapas:

1) asigna los derechos iniciales sobre el uso de agua, utilizando una red de trabajo nodo-enlace de la cuenca hidrográfica y tres procedimientos de asignación: Programación Multiperiodo Priorizado del Caudal Máximo de la Red, Ribereño Modificado de Asignación de Agua y Lexicográfico MiniMáx de Ratios de Sequía.

2) En la segunda etapa se reasignan los derechos hasta lograr el uso eficiente del agua a través de transferencias de valor; mediante la Teoría de Juegos Cooperativos se logra el beneficio neto asociado con el valor del agua. Este método, aplicado en una cuenca hidrográfica tutorial CHVS, comprendió cuatro subcuencas de un Gobierno Regional Piloto, obteniéndose altos beneficios netos en el marco de la participación, en alianza simulada de actores y escenarios”.

Palabras clave: asignación concertada, reasignación, derechos de agua, valor del agua.

Objetivos: El propósito principal del artículo es plantear una nueva metodología que permita manejar de manera adecuada la distribución del agua en países en vía de desarrollo teniendo en cuenta los distintos factores que afectan la correcta distribución del agua.

Metodología: Se dividió la metodología en dos etapas en las cuales se describe el proceso a realizar en una cuenca hidrográfica, se plantean las restricciones para el desarrollo del proceso y se aplican.

Etapa 1: En la primera etapa se plantea la asignación de derechos iniciales de uso del agua de manera competitiva. El primero se aplica a la primera parte en el proceso de distribución de los recursos, el segundo es un poco más especializada con relación al primero y en el tercero ya se inicializa un proceso por el cual se comienza a trabajar con el manejo de los recursos públicos.

Etapa 2: En la segunda etapa se manejan los datos recibidos acerca del manejo y derechos de uso de los recursos hídricos, esta etapa resulta ser crucial para el análisis de la manera en la cual se relacionan las personas dentro del contexto y se crea un modelo en cual se optimice el uso de este recurso, evitando los conflictos de intereses entre usuarios.

Restricciones de domino natural: Se utiliza una ecuación para analizar la relación de pérdida por factores distintos a la influencia humana:

En esta ecuación se tienen en cuenta las distintas pérdidas durante el primer proceso de distribución del agua.

Restricciones Políticas: Esta restricción analiza los problemas de tipo biológico, social y económico que pueden influir en la distribución y que la pueden cambiar drásticamente.

Restricciones de Control: Aquí se analiza la manera por la cual se pueden solucionar cuando las restricciones de tipo política y de dominio natural no solucionan el problema, se realizan distintos métodos que permitan suplir de manera adecuada de este recurso a todos.

Aplicación: Se realiza un experimento aplicando las distintas etapas en el análisis de una cuenca y se mostraron los distintos resultados obtenidos por el experimento. En la siguiente imagen se muestra el modelo planteado para el desarrollo y solución del problema también como funciono el proceso no solo en la cuenca si no en varios ríos en los cuales también se realizó el proceso y los actores involucrados durante el proceso.

CONCLUSIONES

El método planteado es un claro ejemplo de cómo se puede implementar la distribución del agua en un país, además relaciona todos los posibles problemas que se puede llevar a cabo.

El proceso realizado permite ver como los distintos actores y componentes dentro de un contexto antes de poder realizar cualquier proceso dentro de este.

La aplicación del cálculo para generar soluciones a problemas de tipo social y económico y también como pueden permitir desarrollar de manera adecuada el análisis de un método dentro de la sociedad

Resolución de problemas matemáticos aplicados a la medicina y su impacto en la formación del médico general

RESUMEN

"Se identificaron objetivos de las disciplinas de los ciclos básico, básico-clínico y clínico, que requieren de la comprensión, explicación e interpretación de curvas de funciones elementales y la resolución de problemas de optimización en el plan de estudio de la carrera de Medicina. Los métodos y procedimientos propuestos constituyen ejes interdisciplinarios para coordinar el trabajo de diferentes disciplinas y ciclos con vistas a solucionar problemas de salud, en correspondencia con las funciones de prevención, predicción, diagnóstico y terapéutica4".

Palabras clave: problemas, optimización, diagnósticos, terapéuticas.

Objetivos: El artículo piensa suministrar un método por el cual se pueda afianzar el uso del cálculo en el área de la medicina, utilizándolo para solucionar problemas generales en la medicina.

1. Se pretende mostrar cómo implementar los modelos matemáticos para el análisis del cuerpo humano.

2. Implementar los modelos matemáticos en el estudio de los mejores medicamentos frente a las distintas enfermedades.

3. Se utilizaría como medio para analizar las condiciones de salud en un lugar, si hay algún inconveniente plantear cómo manejar los problemas en ese entorno.

4. El estudio y análisis de la composición de los huesos humanos con el fin de poder detectar distintas enfermedades en los huesos.

Metodología: Se realizó un análisis dentro de una universidad donde se realizaban preguntas acerca de cómo podría utilizarse los modelos matemáticos en el área de salud, se establecen las deficiencias encontradas durante el proceso de análisis y se establecen los objetivos principales de la investigación.

Deficiencias:

1. Falta de problemas biomédicos donde se pueda aplicar algoritmos matemáticos para su solución.

2. Escasa comprensión de la utilidad de las matemáticas y su importancia en la elaboración de distintos procesos biomédicos.

3. Insuficiente conocimiento matemático tanto de los estudiantes como profesores, conduce esto a una minina motivación para su estudio.

4. Se subestima la utilidad de los modelos matemáticos para el análisis del paciente.

4 Luis Alberto Escalona Fernández1, Yalily Yazmina González Serra2, Greysi María Tamayo Aguilar3, José Ramón Velázquez Codina4 .Resolución de

problemas matemáticos aplicados a la medicina y su impacto en la formación del médico general En:http://scielo.sld.cu/scielo.php?script=sci_arttext&pid=S1560-43812013000200008

5. Ausencia de una visión sobre las posibilidades de aplicación de estas herramientas en la solución de los problemas de salud y la toma de decisiones por parte del médico general, a partir de la interpretación de los modelos matemáticos en relación con las funciones de prevención, predicción, diagnóstico, tratamiento y la formación matemática permanente.

CONCLUSIONES

Aunque en la medicina es necesario el uso de las matemáticas se puede ver que muchos especialistas desconocen la verdad sobre la gran cantidad de aplicaciones que tiene en esta área, ya que se limitan a estudiar de manera biológica un suceso y no plantean un modelo matemático que podría ayudar a resolver algunos problemas en situaciones de riesgo.

Es importante plantear modelos matemáticos para determinar el tiempo que lleva una acción determinada o la velocidad con la que se puede expandir una enfermedad, aunque aplicado a la realidad puede no resultar tan acertado; lo cierto es que le puede dar una idea al médico de cómo se comporta dicho modelo.

El proceso demostró lo útil que resulta el uso de la matemática en general en esta área, ya que plantea un nuevo modelo de estudio en donde intervienen metodologías que se pueden aplicar en algunos casos de la medicina.

Maximización de captura de energía en turbinas eólicas de velocidad variable usando control proporcional integral generalizado5

5 Horacio Coral Enríquez – John Cortés Romero – Germán A. Ramos – Maximización de captura de energía eólicas de velocidad variable usando control

proporcional integral generalizado – Universidad Nacional de Colombia – disponible en: go.galegroup.com.bdigital.udistrital.edu.co

Resumen:

En este artículo los escritores proponen una técnica alternativa de control lineal para maximizar la energía eólica capturada en una turbina de eje horizontal. La estrategia que ellos proponen se basa en técnicas de controlo proporcional integral generalizado o (GPI) que son soportadas bajo el enfoque del rechazo activo de perturbaciones, que permite seguir de forma asintótica una trayectoria de referencia optima de la velocidad del rotor sin el conocimiento exacto del modelo de la turbina eólica.

Propósito: la maximización de captura de energía se centra en mantener la velocidad específica de la turbina en su valor óptimo, por medio del control de la velocidad del rotor sobre una trayectoria óptima en el cual el coeficiente de potencia es máximo.

Metodología: mediante la simulación validar la propuesta, basándose en un modelo de turbina eólica de 4,8 MW y comparada con una estrategia de control de par estándar. Los resultados muestran que las estrategias GPI propuestas por los autores son efectivas en términos de robustez y captura de energía.

Para probar el desempeño de los controladores GPI respecto a un parámetro de ganancia K, los escritores consideraron un factor de incertidumbre g, que atenúa o amplifica e valor real de K, y el cual se agrega a cada ley de control como un nuevo parámetro tal que K=gk.

Modelo numérico para representar la incertidumbre del sistema de control.

Palabras clave: Controlo proporcional integral generalizado, maximización de captura de energía, rechazo activo de perturbaciones, turbinas eólicas.

CONCLUSIONES

Gracias al cálculo integral la estrategia de control lineal planteada por los autores para el rechazo activo de perturbaciones con base en controladores GPI lograron realizar el seguimiento de trayectorias optimas de la velocidad del rotor para maximizar la captura de energía aerodinámica en el sistema (turbina eólica).

Se mostró la robustez de los sistemas de control ante incertidumbre manejadas con integrales en el sistema eólico, comprobando la estabilidad de las estrategias de control.

Los procesos de conocimiento de velocidad y aceleración son permitidos a nivel matemático complejo gracias a las integrales, pues, los autores

utilizaron estas como herramienta para complementar y perfeccionar el modelo planteado.

Ajuste e integración numérica de funciones muy oscilantes usando redes neuronales artificiales supervisadas6

6 Iván Chaman García – Lourdes Sandoval Solís – Ajuste e integración numérica de funciones muy oscilantes usando redes neuronales artificiales supervisadas – Benemérita Universidad Autónoma de Puebla, México – Disponible en: go.galegroup.com.bdigital.udistrital.edu.co

Resumen:

En este artículo el escritor presenta una metodología para ajustar e integrar numéricamente funciones muy oscilantes, incluso las que tengan discontinuidad usando una red neuronal artificial supervisada vectorial (RNASV), que consta de tres capas una de entrada, una de salida y la ultima es una capa escondida que es de aprendizaje, en la cual la función de activación es una matriz.

Metodología: se propone ajustar las funciones muy oscilantes como una combinación lineal de funciones coseno, se presentan las propiedades importantes de la matriz Hessiana derivada de la función de activación matricial resultante, en el caso de que los nodos sean equivalentes.

Ahora, para ajustar las funciones muy oscilantes el escritor presenta varias técnicas de entrenamiento de la RNASV, dos con factor de aprendizaje constante y dos con factor de aprendizaje variable.

RNASV con Factor de aprendizaje constante:

Back-propagation: es un algoritmo de redes neuronales que utiliza la técnica de gradiente descendente basada en el criterio de mínimos cuadrados.

Factor momentum: para reducir la oscilación se utiliza este algoritmo el cual modifica la función error de modo que una porción de vector es modificado completamente por el vector propuesto actual.

RNASV con Factor de aprendizaje variable:

Gradientes conjugados: resuelve adecuadamente problemas de optimización con Hessiano definido positivo, por lo que este método se usa para entrenar la red neuronal.

Método Newton: es el método clásico que dada una estimación inicial obtiene una secundaria de direcciones de búsqueda tal que la iteración resuelve el sistema.

Integración numérica de funciones muy oscilantes:

Palabras clave: Integración numérica, red neuronal supervisada, funciones muy oscilantes.

CONCLUSION

Gracias al cálculo integral, la RNASV que consta de tres capas donde los vectores son entrenados de manera sincronizada y la función de activación está en función de una matriz simétrica.

Respecto a la aproximación numérica de integrales definidas de funciones muy oscilantes, se observa que al comparar los resultados para varias funciones muy oscilantes continuas, la aproximación de la integral es equivalente al método Simpson Adaptivo para aproximar numéricamente la integral definida.

Se realizaron cuatro técnicas para ajustar funciones muy oscilantes usando un enfoque de redes neuronales artificiales supervisadas; para entrenar la RNASV se utilizó algoritmos clásicos con un factor de aprendizaje constante y con un factor variable de aprendizaje, donde estos aprovechan la potencialidad de los métodos de optimización e integración, como son los gradientes conjugados y el método de Newton.

Aplicación de ecuaciones integrales al campo magnético de máquinas eléctricas rotativas

Resumen:

Los autores de este artículo, H.C. Karmaker y G.H. Ardley, plantean un método de ecuaciones integrales aplicado al análisis de máquinas de polos salientes sincrónicos. La solución de este método es dada con una breve descripción y verificación mediante una analítica conocida. Para una solución de 2 dimensiones la sección de cruce en las maquinas es discretizado en un pequeño triangulo de elementos en los cuales la magnetización puede efectivamente ser constante.

Propósito:

El objetivo principal del artículo es, mediante el uso del método de ecuaciones integrales, analizar y dar solución a los problemas de 2 dimensiones en campos magnéticos en máquinas eléctricas.

Metodología7:

· Descripción del modelo matemático: en la formulación de la ecuación

integral la densidad del flujo magnético está representado como

el vector suma de 2 componentes y

Donde es el flujo de densidad debido a los conductores corriente-conducción que usualmente puede ser evaluada analíticamente por simple configuración geométrica

El segundo componente, es el campo debido de la magnetización del elemento y este no se conoce a priori, y también es una función del total de

campo magnético de . Pero la propiedad magnética del elemento es una

función no lineal, por lo cual tenemos que la variación es , entonces tenemos:

Esta ecuación integral para la solución del flujo de densidad está dada por:

7 IEEE TRANSACTIONS ON MAGNETICS, VOL. MAG-18, NO. 6, NOVEMBER 1982, APPLICATION OF INTEGRAL EQUATIONS TO THE MAGNETIC

FIELD ANALYSIS OF ROTATING ELECTRICAL MACHINES, , H.C. Karmaker y G.H. Ardley, disponible en: ieeexplore.ieee.org.bdigital.udistrital.edu.co:8080/stamp/stamp.jsp?tp=&arnumber=1062150

Verificación del método: Para verificar el método, este es aplicado a un tubo de acero inmerso en un campo uniforme como se muestra en la figura 1, para el cual una solución analítica ya es conocida. Estos 2 resultados se comparan como en la figura 2.

CONCLUSIONES

El método de las ecuaciones integrales ha sido aplicado al análisis de máquinas eléctricas en campos magnéticos de 2 dimensiones para llegar de manera eficiente a la solución numérica, abordando la discretización del aire y del campo entero.

La desventaja de tener que resolver largas y densas matrices se daría cuando se enganchan el método de ecuaciones integrales y diferenciales, que constituye un trabajo más extenso.

Al hacer la comparación de la solución analítica y numérica se evidencia que la diferencia no es mucha, pero cuando se tienes maquinas más complejas, la solución numérica es la mejor opción.

Una nueva representación para la integral de radiación con aplicación en antenas8

8 IEEE TRANSACTIONS ON ANTENNAS AND PROPAGATION, VOL. AP-25, NO. 5, SEPTEMBER 1977 - A New Series Representation for the Radiation

Integral with Application to Reflector Antennas – Victor Galindo-Israel, Fellow, IEEE y Raj Mittra, Fellow, IEE – Disponible en: http://ieeexplore.ieee.org.bdigital.udistrital.edu.co:8080/stamp/stamp.jsp?tp=&arnumber=1141657

Resumen:

Los autores de este artículo, Victor Galindo-Israel y Raj Mittra, plantean el problema clásico para calcular la radiación de un campo lejano desde gigantes distribuciones de corriente, particularmente para grandes sistemas de antenas de reflector. El tiempo computacional crece proporcionalmente al aumento de la distribución de corriente. Por aplicaciones tales como haces múltiples y antenas de haz de contorno, el problema es particularmente agudo puesto que muchas de tales haces requieren un cálculo.

Metodología:

Representación integral de los campos lejanos

El patrón de campo lejano de un reflector rotacionalmente simétrico y el sistema de alimentación se puede expresar como proporcional a (e+jwt convención del tiempo)

Donde J es la actual superficie del reflector inducida. La fase “óptica” de J ha sido explícitamente relativa a una fase ideal localizada en el centro de E. De la figura 1 entonces podemos deducir que:

Donde p es un punto del reflector y E. es el desplazamiento de la alimentación de referencia (normalmente la fase central) desde el centro coordinado (normalmente el punto focal).

CONCLUSIONES

Dada la verdad o cualquier corriente aproximada de un reflector, el campo lejano la radiación se puede determinar a partir de un convergente rápidamente representada en serie de la radiación integral.

Con las extensiones analíticas de la pequeña aproximación ángulo, la serie se puede utilizar para el cálculo eficiente de patrones de antenas de reflector con diámetros tan pequeños como 10 a 25 longitudes de onda.

La aplicación principal de la serie de este documento era para circular reflectores simétricos. La serie es fácilmente aplicable también para compensar los reflectores de tipo movibles.

Ecuaciones diferenciales aplicadas al área de la salud9

9 Hetcote HW. Mathematical problems in biology, Aymptotic Behavior and Stability in epidemic models, Victoria conference. Berlin, New York: Springer-Verlag,

1974; 83-92.

Resumen:

El área de la salud se puede denominar como una ciencia alterna por lo que todo lo que se denomina ciencia tiene que estar sustentado por algún modelo matemático para que sus teorías o explicaciones de algún tema sean válidas por lo cual el área de la salud intenta emplear modelos matemáticos que sustentan dichos procesos que se emplean en esta área.

El objeto básico de las ecuaciones diferenciales empleadas en esta área será el de emplear modelos como el del crecimiento poblacional sacado de las ecuaciones diferenciales las cuales pueden ser diversas como: la de separación de variable, las ecuaciones exactas, las homogéneas o las de factor integrante

Propósito:

Aplicar las diferentes fórmulas y ecuaciones diferenciales para el uso del área de medicina o salud y tener un modelo matemático para demostrar diversos sucesos que se presentan en este.

Metodología10:

I. MODELO DE CRECIMIENTO BIOLÓGICO.

Un problema fundamental en biología es el crecimiento, sea éste el crecimiento de una célula, un órgano, un ser humano, una planta o una población. La ecuación diferencial (1) nos dice que el crecimiento ocurre si > 0, y por otro lado el decaimiento (o encogimiento) ocurre si < 0. Un defecto obvio de la ecuación (1) y de su solución es que si > 0 y el tiempo transcurre, el crecimiento es ilimitado. Esto es una contradicción con la realidad, puesto que, después de transcurrir un cierto tiempo, sabemos que la célula o individuo deja de crecer, y obtiene un tamaño máximo. La pregunta que surge es ¿podemos modificar (1) para que los resultados concuerden con la realidad?, la respuesta es sí, y está dada por la ecuación diferencial:

, (2)

Cuya solución es:

(3)

La cual se obtiene fácilmente aplicando el método de separación de variables.

Además de (3), observemos que , lo cual muestra que el crecimiento dado por (3) tiene un límite, tal como lo requieren la realidad, y 10

Miller Levy E. Mathematical problems in biology, a model of morphogenesis, Victoria conference. Berlin, New York: Springer-Verlag, 1974; 141-142.

validando el modelo de crecimiento (2) y (3). Algunos ejemplos de aplicaciones para este modelo son: calcular la altura media de un grupo de mujeres en pleno crecimiento o predecir la población de México para el 2010, etcétera.

II. MODELO DE PROBLEMA EPIDEMIOLÓGICO.

Un problema importante de biología y medicina trata de la ocurrencia, propagación y control de una enfermedad contagiosa; esto es, una enfermedad que puede transmitirse de un individuo a otros. La ciencia que estudia este problema se llama epidemiología, y si un porcentaje grande no común de una población adquiere la enfermedad, decimos que hay una epidemia. Un modelo matemático sencillo para la propagación de una enfermedad es:

, (4)

Donde Pi es el número de individuos infectados en el tiempo t, P0 el número de individuos infectados en el tiempo t0 y P es el número total de la población. La solución a la ecuación (4) se obtiene por separación de variables, dando como solución:

(5)

Así, el modelo formado por (4) y (5) describe la propagación de una enfermedad en una población grande pero finita. El problema de epidemias donde se toma en cuenta la cuarentena es más complicado, ya que se considera un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias, lo cual implica aplicar teoría de álgebra lineal.

III. MODELO DE ABSORCIÓN DE DROGAS EN ÓRGANOS O CÉLULAS.

Un problema importante en el campo de la medicina consiste en determinar la absorción de químicos (tales como drogas) por células u órganos. Supongamos que un líquido transporta una droga dentro de un órgano de volumen V cm3 a una tasa de a cm3/seg y sale a una tasa de bcm3/seg. La concentración de la droga en el líquido que entra es c cm3/seg. La ecuación diferencial que modela tal problema es:

(6)

Cuya solución es:

(7)

Donde se presentan los siguientes casos:

Caso 1: a = b. En este caso, la tasa a la cual entra la droga es igual a la tasa a la cual sale, y (7) se convierte en:

Caso 2: a = b y x0 = 0. En este caso, las tasas de entrada y de salida son iguales, y la concentración inicial de la droga en el órgano es 0; entonces (7) resulta:

CONCLUSIONES

La revisión de modelos matemáticos anteriores que dictan con exactitud los valores adecuados para demostrar diversos fenómenos empleados en los diferentes campos del área de la salud, beneficia a cada sector de este ya que puede dictar predicciones o tratamientos con componentes de medida adecuados o tratamientos en el justo y preciso tiempo en el que son empleados.

Aplicación de las integrales en la Física

Resumen:

Las matemáticas en la física han forzado un gran cambio en estas desde que la física empezó a emplear matemática para dar una explicación a todos estos fenómenos físicos que iban apareciendo a través del tiempo esta tuvo que encontrar una manera de cómo explicar dichos efectos por lo cual las matemáticas brindaron a esta el cómo explicar estos de una manera lógica.

En la física un ejemplo básico de lo que el cálculo integral hizo es que cuando se tiene la aceleración de un objeto la integral no ayuda a encontrar la velocidad de este aplicando la integración en la ecuación de la aceleración que se tiene, dicho proceso lo podemos repetir para hallar la distancia en que este se encuentra ubicado o va estar ubicado.

Propósito:

Demostrar que el método de integración sirve para demostrar dichos efectos de la física de una manera exacta en diversos casos.

Metodología11:

Voy a presentar un modo de calcular el trabajo de fuerzas variables (como la fuerza elástica). Empecemos por presentar un tipo de gráfico bastante útil: nos muestra el valor de una fuerza, Fx, cualquiera en función de la posición -cambiante-, x, que ocupa un cuerpo.

Se trata de un gráfico, como se ve, de fuerza en función de la posición. En este caso en particular se trata de una fuerza constante, tiene siempre el mismo valor, y el subíndice x indica que la fuerza tiene la misma dirección que la posición (y del desplazamiento).

Tomemos dos posiciones cualesquiera y llamémoslas x1 y x2. Y calculemos el "área encerrada baja la curva" entre ese par de posiciones.

Acá tienes el área que vamos a calcular. Como se trata de un rectángulo es sencillo: lado por lado, base por altura. La base es igual a x2 — x1, y la altura es F.

Ese producto no es otra cosa que el trabajo de la fuerza en el desplazamiento (x2 — x1).

WF = Fx . (x2 — x1) = Fx . Δx

De modo que el área encerrada bajo la curva de este gráfico es igual al trabajo de la fuerza. No se trata,

claro, de un área geométrica. Es un área que representa una magnitud física, en este caso un trabajo.11

Kochen S. Mathematical problems in biology, Flagellar growth, Victoria conference. Berlin, New York: Springer-Verlag, 1974; 143-145.

No se mide en unidades de superficie (m², cm², o cualquier otra). Se mide en unidades de trabajo, por ejemplo el joule, J.

Aceptado esto, podemos preguntarnos si con las fuerzas variables (o sea, que cambia de valor en cada posición) pasa algo equivalente. La manera de obrar es la siguiente: fraccionemos el desplazamiento en pequeños segmentos.

El trabajo de la fuerza variable en el desplazamiento (x2 — x1) se aproxima mucho a la suma de los trabajos parciales representado por cada uno de los rectangulitos.

Pero esa aproximación se puede aumentar tanto como uno quiera haciendo cada vez más pequeños los segmentos de desplazamiento que después tendremos que sumar.

El análisis matemático permite hacer esas sumas de segmentos tan finitos que son invisibles. La notación es ésta:

W = ∫ Fx dx

Que se lee así: el trabajo es igual a la suma integral de todos los productos entre el valor de la fuerza y el pequeño

segmento de desplazamiento durante el que actúa la fuerza.

O un poco más crípticamente: el trabajo es igual a la integral de la fuerza por el diferencial del desplazamiento.

CONCLUSIONES

La aplicación de las integrales puede ser empleada exactamente para determinar la fuerza de diferentes variables como lo son el trabajo y la energía, los cuales pueden ayudar a un ingeniero o un físico a determinar el trabajo exacto o la energía requerida para una acción por

lo que la integral hace que la física sea de cierto modo más comprensible en aspectos numéricos y variables.

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