Análisis de circuitos con componentes No Lineales · Análisis de Circuitos con componentes NO...

Universidad Nacional

de Mar del Plata

Departamento de Ingeniería Eléctrica

Area Electrotecnia

Autor: Ingeniero Gustavo L. Ferro – Prof. Adjunto Electrotecnia

EDICION 2016

Análisis de circuitos con

componentes No Lineales

Facultad de Ingeniería ( U.N.M.D.P.) - Dpto. de Ingeniería Eléctrica - Area Electrotecnia Análisis de Circuitos con componentes NO LINEALES

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1.- ELEMENTOS NO-LINEALES. CURVAS CARACTERISTICAS Los métodos desarrollados en los capítulos anteriores para el análisis de los circuitos eléctricos, así como las conclusiones acerca de las propiedades más importantes de éstos, tienen una validez restringida: en efecto, se ha supuesto que todas las redes y circuitos bajo estudio constituían sistemas “lineales y simétricos” Recordemos que los elementos de circuito se denominan:

a) Lineales, cuando sus impedancias no dependen de los módulos de la ten-

sión aplicada o del sentido de circulación de la intensidad de corriente que

los atraviesa, y

b) Simétricos, (o bilaterales) cuando sus impedancias no dependen de la pola-

ridad de la tensión aplicada o del sentido de circulación de la corriente que

los atraviesa.

El término “lineal” se origina en la naturaleza de las curvas que representan a las ecuaciones fundamentales de los parámetros de circuito. Estas ecuaciones vinculan:

* En un resistor: a la caída de tensión con la intensidad de la corriente, en la forma:

u i R

* En un inductor: a la caída de tensión con la derivada de la intensidad de la corriente con respecto al tiempo, en la forma:

u Ldi

dt

* En un capacitor: a la diferencia de potencial entre placas con la cantidad de electri-cidad almacenada en cualquiera de ellas, en la forma:

uq

C

Si en cualquiera de las tres ecuaciones anteriores el factor de proporcionalidad (R, L, C) es una constante, la curva representativa de la ecuación será una recta. De ahí que se denomina lineal al elemento de circuito caracterizado por un parámetro constante. Existe una gran cantidad de componentes de circuito que no satisfacen la condición de linealidad, pudiendo ser o no simétricos. A pesar de su diversidad, esos componen-tes pueden ser agrupados en tres clases:

I. Los semiconductores (diodos, transistores, tiristores, etc.)

II. Las bobinas con núcleo ferromagnético. Ahora bien, tratándose de un elemento lineal y simétrico, la relación entre caída de tensión e intensidad de corriente (o su primera derivada, o su integral) será de una de las tres formas expresadas más arriba, y por lo tanto, el elemento quedará suficiente-mente definido por el valor numérico de R, L, o C.


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Pero en un componente no lineal ello no es posible pues estos factores de proporcio-nalidad serán, a su vez, funciones de la tensión o la intensidad de corriente.

Por este motivo, los componentes no-lineales deben ser definidos mediante una curva

característica, que representa gráficamente la relación entre caída de tensión e in-

tensidad de corriente por ejemplo. Este tipo de curvas recibe la denominación de

característica volt-ampere.

La expresión analítica de la característica volt-ampere de un elemento no-lineal puede obtenerse; en pocos casos, en forma aproximada mediante una fórmula empírica. Veamos algunos ejemplos de componentes no-lineales y sus curvas características volt-ampere típicas. Los tubos de alto vacío, utilizados antes de la aparición de los semiconductores, estaban constituidos por una ampo-lla de vidrio donde se hacia un alto vacío, dentro del tubo había un elemento calefactor, un electrodo denominado cátodo , unos electrodos denominados rejillas y otro elec-trodo denominado ánodo o placa. Figura 1 Figura 2 Actualmente están fuera de uso, salvo para aplicaciones muy especiales, donde se requie-re extremada independencia de las ondas electromagnéticas. Una curva característica volt-ampere de un diodo de vacío está representada en la figura 1, con la intensidad de corriente en ordenadas y la tensión en abscisas. En la figura 2 se muestra la curva característi-ca V-A típica de un diodo de germanio de con-tacto puntual (primeros diodos semiconducto-res). Además, en cualquiera de los sentidos de conduc-ción, la resistencia varía (más ampliamente en la conducción inversa que en la directa), con la inten-sidad de corriente. En la representación gráfica de la característica V-A se hace preciso adoptar escalas diferentes para cada sentido de conducción, como puede verse en la figura 2. Figura 3

Finalmente, veamos la característica V-A de un “termistor”. Recibe esta denominación un resistor, elaborado con óxidos semiconductores, que posee un coeficiente de temperatura negativo y de valor muy elevado. Por tal motivo, la resistencia disminuye marcadamente con el aumento de la temperatura. Cuando el termistor es recorrido por corrientes débiles, el calor desarrollado por efecto Joule es prácticamente despreciable y, por lo tanto, la resistencia del termistor se mantiene sensiblemente constante, ver porción inferior de la curva característica. Pero a mayores intensidades de corriente, comienza a influir el efecto Joule y a dismi-nuir la resistencia. El producto I x R aumentará ahora con mayor rapidez que para las corrientes débiles y la relación u = f (i) dejará de ser lineal.


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No influye en las características del termistor ni la polaridad de la tensión ni el sentido de la corriente; por lo tanto es un componente no-lineal y simétrico. La asimetría de los diodos de alto vacío y de germanio le confiere una propiedad recti-ficadora que constituye su cualidad principal, y para tal fin se los emplea en la técnica. En cambio, la no linealidad de los termistores es aprovechada para su uso con fines de regulación, termometría, estabilización de tensión, etc.

2.- ANALISIS DE LOS CIRCUITOS CON COMPONENTES NO-LINEALES Cuando las curvas características V-A de los componentes no-lineales de una red son expresables mediante una ecuación, el análisis de la red puede llevarse a cabo analí-ticamente, con resultados satisfactorios. Otro recurso consiste en aproximar la curva V-A a una línea quebrada. Estos proce-dimientos analíticos no serán tratados aquí y pueden encontrarse en bibliografía del tema.

En lo que sigue, desarrollaremos exclusivamente los métodos gráficos de análisis, debido a su enorme importancia gráfica y por constituir un excelente fundamentos de los métodos gráficos de resolución de los circuitos magnéticos. Estos métodos gráficos, si bien adolecen de los errores propios de toda construcción gráfica, permiten una visión más completa del problema en estudio y, con gran fre-cuencia, son insustituibles.

3.- RESOLUCION DE CIRCUITOS NO-LINEALES SERIE CON CORRIENTE CON-

TINUA La figura 4 muestra un circuito serie constituido por una fuente de fuerza electromotriz constante de valor “E” y dos resistores no-lineales que designaremos con Ra y Rb. Se suponen conocidas las curvas características V-A de los resisto-res que se representan en la figura 5. La resolución completa del circuito puede presentar dos casos, que analizaremos a continuación: Figura 4 A. Se conoce la intensidad de la corriente

“I” que recorre al circuito, y es preciso determinar el valor de la fuerza elec-tromotriz “E” de la fuente y las dos caí-das parciales de tensión Ua y Ub.

La solución es inmediata. En efecto, en-trando con el dato “I” en el sistema de ejes cartesianos ortogonales en el cual se han representado las características V-A de Ra y Rb, se obtienen de inmediato las caídas parciales Ua y Ub (ver figura 5). Figura 5

Ra

Rb


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Por último se calcula E con la expresión: E = Ua + Ub NL.1 B. Se conoce el valor de la fuerza electromotriz “E” de la fuente, y es preciso deter-

minar la intensidad de la corriente I y las dos caídas parciales de tensión Ua y Ub.

Además de la igualdad NL.1 en el circuito dado se deben cumplir los siguientes:

Ub = I . Rb NL.2 y Ua = I . Ra NL.3 Si sustituimos en la NL.1 el valor de la NL.3 obtenemos :

E = I . Ra + Ub y despejando Ub, tenemos: Ub = E - I . Ra NL.4

La ecuación NL.4 posee un significativo muy importante y que se explica a continua-ción. El circuito de la figura NL.4 puede ser considerado como la asociación en serie de:

a) Un dipolo activo constituido por la fuente de tensión E y el resistor no-lineal

Ra , y

b) Un dipolo pasivo, constituido por el resistor no-lineal Rb. En la figura 6 se ha redibujado el circuito conforme al punto de vista anterior: Ahora bien, es evidente que la ecuación NL.4 representa la relación que se debe satisfacer entre la tensión en bornes y la corriente para el dipolo activo. En dicha ecuación no figura Rb y por lo tanto, si representamos gráficamente la NL.4 ob-

tendremos una curva característica de “ten-

sión en bornes - corriente”, que es propia del dipolo activo e independiente de lo que se conecte a los bornes del mismo. Figura 6

En adelante denominaremos a este tipo de curva: “Curva característica externa del

dipolo activo” En la figura 7 hemos efectuados la presentación gráfica de la NL.4 con el siguiente procedimiento:

En un sistema de ejes cartesianos ortogonales, representando las tensiones orde-nadas, reproducimos la curva característica V-A de Ra de la figura 5.

Luego ubicamos el punto M sobre el eje de ordenadas, cuya ordenada es el valor de E (dato del problema)

Desde el punto M trazamos una paralela al eje de abscisas.

Finalmente , para diferentes valores de I, se determinan los correspondientes de Ua

sobre la característica V-A de Ra y se los resta de E.


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En la figura 7 se muestra el pro-cedimiento a seguir para un valor I’ de la corriente: Ua’ estará dado por el segmento AB. Restando de la ordenada E el segmento CD = AB se obtiene el segmento AD, que representa, en la escala de tensiones, a:

Ub’ = E - I . Ra.

Figura 7

Análogamente se obtienen otros puntos de la característica externa del dipolo activo. En estas curvas reconocemos dos puntos que definen condiciones par-ticulares de funcionamiento:

El punto M, para el cual I = 0 y Ub = E, corresponde al funciona-miento sin carga o “en vacío”, del dipolo activo.

El punto N, para el cual Ub = 0, corresponde al funcionamiento en “cortocircuito”. En este caso, Ua = E y la corriente adquiere su má-ximo valor posible Icc (corriente de cortocircuito). Figura 8

En la curva característica externa del dipolo activo [ E - Ra ] representa gráficamente una de las relaciones que se deben satisfacer entre Ub e I. La otra relación entre las mismas variables estará representada evidentemente por la curva característica V-A de Rb. Por lo tanto, si representamos conjuntamente ambas curvas, las coordenadas del pun-to de intersección serán soluciones del problema. En la figura 8 se muestra el procedimiento de solución final. La tercera incógnita, Ua, se obtiene también sobre el diagrama, dado que debe cum-plirse la NL.1 : E = Ua + Ub. En la teoría de los circuitos amplificadores se encontrará un tipo de circuito que consti-tuye un caso particular del que venimos considerando. Esta formado por una fuente de fem de corriente continua (E), un componente no-lineal y asimétrico y un componente lineal y simétrico (resistor), de resistencia R de valor conocido.


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El componente no lineal tiene una característica V-A hemos representado en la figura 1. En la figura 9 se muestra el circuito que tomamos como ejemplo. Como en el caso general que hemos analizado ante-riormente, se trata de determinar la in-tensidad de corriente y las caídas de tensión en el tubo y en el resistor. Es evidente que la ecuación NL.4 sigue siendo valida en este caso: U = E - I.R Figura 9 Pero ahora que el resistor es lineal y simétrico, R es una constante y la expresión an-terior es la ecuación de una recta. Es decir que si consideramos al circuito de la figura 9 como la asociación de un dipolo activo (formado por la fuente y el resistor) y un dipo-lo pasivo (el diodo), la curva característica externa del dipolo activo se reduce a una recta. Entonces la solución del problema consiste en representar a dicha recta conjuntamen-te con la curva característica V-A del diodo: las coordenadas de la intersección será la solución. Ahora debe notarse que la característica V-A del diodo, dato del problema, está repre-sentada en un sistema de ejes en el cual, en el eje de ordenadas se representan valo-res de intensidad de corriente y no de tensión, como hemos supuesto en las figuras 5 y 8 . Esto no modifica el procedimiento básico de resolución. Figura 10 En la figura 10 se han representado la característica V-A del diodo y la caracterís-tica externa de dipolo fuente - resistor. Como esta última es una recta se la obtie-ne determinando dos puntos: aquel para el cual U = 0 , tendrá la ordenada Icc = E / R ; aquel para el cual I = 0 , tendrá la abscisa U = E. Como en los circuitos del tipo ilustrado en la figura 9 el resistor R representa la carga por ejemplo (en un circuito amplificador la señal amplificada se tendrá entre las terminales del resistor R), la recta que, en gene-

ral estamos designando como “característica externa” recibe la denominación de recta

de carga, puesto que su pendiente, de valor -1 / R depende del valor óhmico de la carga R. Hasta aquí hemos desarrollado un método gráfico de resolución que se basa en con-siderar al circuito de la figura 4 como la asociación de dos dipolos, uno activo y uno pasivo (ver figura 6).

Carga No lineal


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Pero existe otro método gráfico de resolución, basado en un enfoque diferente y que pasamos a desarrollar: Si sustituimos la NL.2 y la NL.3 en la NL.1, ob-tenemos: E = I . Ra + I . Rb o sea:

E = I . ( Ra + Rb ) NL.5 Y ahora hacemos el siguiente razonamiento. Si la NL.2 y la NL.3 representan, respectivamen-te las características V-A de los resistores Ra y Rb nada nos impide suponer que la figura 5 re-presenta la característica V-A de la asociación en serie de Ra y Rb. Figura 11 Entonces si se pudiera construir la representación gráfica de la figura 5 entrando en el dato E se obtendría de inmediato la solución I. Esto es lo que se ha hecho en la figura 11.

Se comienza por representar conjuntamente a las dos características V-A de Ra y Rb ( figura 5 )

Luego, para determinar la característica V-A de la suma Ra y Rb se eligen diferen-tes valores de I, se determina las correspondientes coordenadas de Ua y Ub y se las suma.

Así se ha hecho como ejemplo para un valor genérico I’: Ua’ = AB ; Ub’ = AC luego E’ = AB + AC = AD . El punto D pertenecerá a las características V-A buscada; análo-gamente se obtienen otros puntos. Obtenida la característica V-A de [ Ra + Rb ] , se ubica el dato E sobre el eje de ten-siones, desde esta ordenada se traza una paralela al eje de corriente hasta cortar a la curva en el punto F. La abscisa de F será solución del problema (la intensidad de la corriente I ). Los seg-mentos GK = Ub y HK = Ua permiten conocer finalmente la caídas parciales de tensión en los dos resistores.

Denominaremos a este segundo procedimiento como método de la característi-

ca V-A del circuito en este caso, al conjunto de los elementos pasivos que lo

constituyen.

Resumiendo diremos finalmente que la resolución gráfica de un circuito serie de co-rriente continua, compuesto por dos resistores no-lineales, en el que se suponen co-nocidos la fem “E” de la fuente y las curvas características V-A de los resistores, pue-de llevarse a cabo de dos maneras diferentes.

I.- Por el método de la características externa de dipolo activo, que implica su-

poner al circuito constituido por un dipolo activo ( la fuente y uno de los resisto-

res) y un dipolo pasivo (el otro resistor )


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II.- Por el método de la característica V-A del circuito que implica obtener la re-

lación entre tensión y corriente para la resistencia equivalente o total existente

en el circuito.

Estos métodos son aplicables cualquiera sea el número de resistores que posee el circuito. Además no es imprescindible que las curvas V-A de los componentes están dadas como en la figura 5, con las tensiones en ordenadas y las corrientes en absci-sas; como se ha visto en los ejemplos de las figuras 9 y 10, si las curvas están repre-sentadas con corrientes en ordenadas y tensiones en abscisas, los métodos descrip-tos se aplican sin alteración alguna.

4.- RESOLUCION DE CIRCUITOS DE CORRIENTE CON COMPONENTES NO –

LINEALES EN PARALELO La figura 12 muestra un circuito constituido por una fuente de fuerza electromotriz constante, de valor E (fuente de corriente con-tinua) a cuyas terminales se encuentran conec-tados, en paralelo, dos resistores no-lineales que designaremos con Ra y Rb. Se suponen conocidas las curvas característi-cas V-A de los resistores que se representan en la figura 13 (se ha elegido para este ejem-plo la representación con valores de intensidad de corriente en ordenadas, simplemente, para familiarizar al lector con esta alternativa.

Figura 12

Como en el caso de los circuitos serie, pueden presentarse dos tipos de problemas: A. Se conoce el valor de la fuerza electromo-

triz (E) de la fuente, y es preciso determi-nar las intensidades de las corrientes en las dos ramas y la de la corriente total.

La resolución de este caso es sencilla: entran-do con el dato E en el sistema de ejes carte-sianos ortogonales en el cual se han represen-tado las características V-A de Ra y Rb , se obtienen de inmediato los valores de Ia o Ib ( ver figura 13). Figura 13 Por último, se calcula la intensidad de la corriente total I con la expresión:

I = Ia +Ib NL.6 B. Se conoce el valor de la intensidad de la corriente total (I) suministrada por la fuen-

te, y es preciso determinar las intensidades de las corrientes parciales Ia e Ib, y el valor de la fuerza electromotriz (E) de la fuente. Además de la igualdad NL.6 en el circuito dado se deben cumplir las siguientes

IE

Ra

a

NL.7 IE

Rb

b

NL.8


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Si sustituimos, en la NL.6, a Ia por su valor dado por la NL.7, se obtiene:

IE

RI

a

b y despejando I b I IE

Rb

a

NL.9

La NL.9 nos permite considerar al circuito original de la figura 12 como formado por: a) Un dipolo activo constituido por una fuente de corriente constante I en paralelo con

el resistor no-lineal Ra, a cuyos bornes se conecta. b) Un dipolo pasivo, constituido por el resistor no-lineal Rb. Los nudos menores marcados con a y b en la figura 12 representarían a los bornes terminales del dipolo activo ya descripto. La ecuación NL.9 representa la relación que se debe satisfacer entre la corriente su-ministrada por el dipolo activo ( Ib ) y su tensión en bornes ( E ). Figura 14 En dicha ecuación no figura Rb y, por lo tanto, si repre-sentamos gráficamente la NL.9 obtendremos una curva característica de “corriente en bornes - tensión” que es propia del dipolo activo e independiente de lo que se conecte a los bornes del mismo. Por analogía con lo expuesto para los circuitos serie denominaremos a este tipo de curva como “característi-ca externa del dipolo activo”. En la figura 14 se ha representado el circuito conforme a este enfoque del problema en el que ahora se consi-

dera una fuente de corriente constante. La representación gráfica de la NL.9 se lleva a cabo de un modo similar al que hemos expuesto para los circuitos serie:

Se produce en un sistema de ejes or-togonales, figura 15, la característica V-A de Ra de la figura 13.

Sobre el eje de ordenadas se ubica el punto M cuya ordenada es I ( corriente de constante de la fuente), desde M se traza una paralela al eje de abscisas.

Figura 15

Luego para diferentes valores de E se determinan los correspondientes de E/R = Ia sobre la característica V-A de Ra y se las resta de I.

En la figura 15 se muestra el procedimiento a seguir para un valor E’ de la tensión en bornes: Ia estará representada por el segmento AB. Restando de la ordenada I el segmento CD = AB se obtiene el segmento AD, repre-sentativo de: Ib’ = I - E’ / Ra. Análogamente se obtienen otros puntos de la característica externa del dipolo activo. Como en el caso ilustrado por la figura 7, en éste también reconocemos dos puntos particulares de funcionamiento:


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El punto M, para el cual E = 0 e Ib = I, corresponde el funcionamiento en cortocircui-to. En este punto de trabajo, la corriente exterior al dipolo es la máxima posible, la corriente Ia es nula al igual que la tensión en los bornes del dipolo.

El punto N, para el cual Ib=0 e Ia = I, corresponde al funcionamiento del dipolo “en vacío” ( no hay carga conectada a sus bornes). La tensión E alcanza su máximo va-lor posible, Emáx = I x Ra.

La característica externa del dipolo activo I, Ra representa gráficamente una de las relaciones que se deben satisfacer entre Ib y E. La otra rela-ción entre las mismas variables está representada por la curva característi-ca V-A de Rb. Entonces representando conjuntamente ambas curvas, las coordenadas del punto de intersección serán soluciones del problema. En la figura 16 se muestra el procedi-miento de solución final. Figura 16 La tercera incógnita, Ia, se obtiene también sobre el diagrama, dado que debe cum-plirse la NL.6 : I = Ia+ Ib. Como en el caso de los circuitos serie, en los circuitos con ramas en paralelo también es posible desarrollar un segundo método gráfico basado en la característica volt-ampere de la asociación en paralelo de Ra y Rb. En efecto sustituyendo, la NL.7 y la NL.8 en la NL.6 se tiene:

IE

R

E

Ra b

; luego I ER Ra b

1 1 NL.10

y así como las NL.7 y NL.8 expresan las característica V-A entre las variables E o I, siendo I la intensidad de la corriente total absorbida por la asociación en paralelo de Ra y Rb, la NL.10 expresa la característica V-A entre las variables E e I, siendo I la intensidad de la corriente total absorbida por la asociación en paralelo de Ra y Rb. Será entonces la característica V-A del circuito, entendiéndose, como antes, por cir-cuito en este caso al conjunto de los elementos pasivos que lo componen. Para obtener a ésta curva, debe procederse de un modo análogo al que hemos ex-puesto para los circuitos serie:

Se comienza por representar conjuntamente, ver figura 17, a las curvas caracterís-ticas V-A de Ra y Rb.

Luego como en el circuito de la figura 12 debe cumplirse que I = Ia + Ib cualquiera sea el valor de E.

Se eligen diferentes valores de E sobre el eje de tensiones.

Se determinan las correspondientes ordenadas de Ia o Ib y se las suma. Por ejemplo, para la tensión E’ : Ia’ = AB, Ib’ = AC ; luego: I’ = AB + AC = AD.


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Obtenida la característica V-A del circuito, se entra con el dato I sobre el eje de co-rrientes, desde esta ordenada se traza una paralela al eje de tensiones hasta cortar a la curva suma en F. La abscisa de F será solución del problema f.e.m. de la fuente de tensión, E. Los segmentos GK = Ib y EK = Ia representan finalmente a las intensidades de corrien-te parciales en las dos ramas: Queda así demostrado que para la resolución de circuitos no-lineales con ramas en paralelo, se dispone de los dos métodos gráficos que anteriormente habíamos desa-rrollado para los circuitos serie, aunque con las diferencias de carácter conceptual originadas, lógicamente, en la distinta configuración de los circuitos.

Figura 17

5.- RESOLUCION DE CIRCUITOS NO-LINEALES SERIE PARALELO CON CO-

RRIENTE CONTINUA. Como aplicación de los procedimientos desarrollados en los párrafos 3 y 4, veremos a continuación como podría llevarse a cabo la resolución gráfica de un cir-cuito serie-paralelo como el que se muestra en la figu-ra 18: Se suponen conocidas la fuerza electromotriz de la fuente ( E ) y las curvas características V-A de los tres resistores no-lineales Ra, Rb y Rc; se desea determinar los valores de las intensidades de corriente Ia, Ib e Ic, así como las caídas de tensión Ua y Ub = Uc. Figura 18

Las características V-A de los resistores se indi-can en la figura 20.

1.- Por el método de la característica externa

del dipolo activo: Podemos considerar que el circuito de la figura 18 está constituido por:

a) Un dipolo activo, formado por la fuente de tensión y el resistor no-lineal Ra, y Figura 19


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b)Un dipolo pasivo, formado por la asociación en paralelo de los resistores no-lineales Rb y Rc. Por lo tanto habrá que determinar la curva característica externa del dipolo activo E, Ra de manera similar a la descripta en la figura 7. Luego es necesario obtener la curva característica volt-amper de la combinación Rb, Rc en paralelo. Esto se lleva a cabo como se ha indicado anteriormente en la figura 17. En las figuras siguientes, 19 y 20 se muestran el circuito bajo estudio y las construcciones gráficas necesarias para la total resolución del problema. Las explicaciones de las mismas se omiten, por tratarse de proce-dimientos ya descriptos en los párrafos anteriores.

Figura 20

2.- Por el método de la característica V-A del circuito. Para determinar la curva que representa la relación entre E e Ia (intensidad de la co-rriente total) y que se refiere a la resistencia equivalente o total del circuito, debe pro-cederse de la siguiente manera: a) Se representan las características V-A de los dos resistores en paralelo, Rb y Rc y,

con el procedimiento explicado en el párrafo 4, figura 17, se obtiene la característi-ca V-A de la asociación en paralelo de Rb y Rc ,ver figura 21.

b) Se dibuja sobre el sistema anterior de ejes coordenados la característica V-A del

resistor Ra. c) Empleando el procedimiento explicado en el párrafo 2, figura 11, se suman, para

diferentes valores de intensidad de corriente, las caídas de tensión correspondien-tes tomadas sobre las características V-A del conjunto serie-paralelo Ra, Rb, Rc.

d) Entrando con el valor de E sobre la característica V-A del conjunto serie-paralelo,

se obtiene el valor de Ia , punto A. Trazando desde A una paralela al eje de tensio-nes, se obtienen los puntos B y C en las intersecciones con las características V-A del paralelo Rb, Rc y con la característica V-A de Ra, respectivamente. La ordena-da de B representará a Ub = Uc y la ordenada de C representará a Ua.

Finalmente, trazando desde B una paralela al eje de corrientes, en la intersección de ésta con la característica de Rb se define el punto D, cuya abscisa representará a Ib, y en la intersección con la característica de Rc se obtendrá el punto E, cuya abscisa representará el valor de Ic, con lo cual quedan determinadas todas las incógnitas.


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Figura 21 Glf/2016

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