Análisis de extremos -...
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Análisis de extremos
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Análisis de extremos
Referencias
• Wilks (sección 4.4.5): “dice mucho, explica poco”
• Coles (2001) “An Introduction to StatisticalModeling of Extreme Values”
Repaso conceptos útiles
• Período de retorno (Tr)
• Simulación de números aleatorios con una distribución dada
Máximos anuales
• Nuestra variable aleatoria va a ser Mn:
con X1,…,Xn una secuencia de variables aleatorias independientes con la misma distribución F(x).
• Distribución GEV
Máximos anuales
• Ajuste de los parámetros de la distribución GEV
(1) Máxima verosimilitud
(2) Probability Weighted Moments (PWM; combinación lineal de momentos de la distribución)
Máximos anuales
• Cálculo de intervalos de confianza
(1) Método Delta
(2) Perfil de verosimilitud (profile likelihood)
(3) Métodos basados en Bootstrapping no-paramétrico y paramétrico (muestreo aleatorio y simulación)
Máximos anuales
• Intervalos de confianza: Bootstrapping no-paramétrico
(1) Se muestrean N nuevas muestras con repetición a partir de la muestra original
(2) A cada nueva muestra se le ajusta la GEV y se calcula el cuantil de interés
(3) Se estiman intervalos de confianza a partir de datos generados
(4) Se corrige el sesgo de los intervalos de confianza usando los resultados obtenidos con la serie original
MATLAB: bootci ; hay que programar función auxiliar
Máximos anuales
• Intervalos de confianza: Bootstrapping paramétrico
• Aproximación tradicional; dada GEV ajustada con muestra original:
(1) Se simulan N series de igual duración que la muestra original
(2) A cada serie se le ajusta una GEV y se calcula el cuantil de interés
(3) Se estiman intervalos de confianza a partir de datos generados
MATLAB: hay que programarlo (gevrnd)
Máximos anuales
• Intervalos de confianza: Bootstrapping paramétrico
• Aproximación alternativa; dada GEV ajustada con muestra original:
(1) Se estima matriz de covarianza de los parámetros(2) Se simulan N conjuntos de parámetros usando la
matriz de covarianza(3) Se estima el cuantil objetivo con cada conjunto de
parámetros(4) Se estiman intervalos de confianza a partir de datos
generadosMATLAB: hay que programarlo (mvnrnd)
Máximos anuales
• Matriz de covarianza:
Matriz de covarianza de los parámetros para ajuste ML: función gevlike
Matriz de covarianza de los parámetros para ajuste PWM hay que programarla usando
Ejemplo máximos anuales
• Análisis de extremos de la altura de ola significante en la costa de Rocha
X (UTM zona 22H)
Y (
UT
M z
on
a 2
2H
)
ADCP
B11
Profundidad (mWh)
Condición de borde
15
10
20
22.5
20
15
2025
25
22.5
201510
5
25
1510
1.9 2 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6
x 105
6.15
6.16
6.17
6.18
6.19
6.2
6.21
x 106
0
5
10
15
20
25
Ejemplo máximos anuales
1980 1985 1990 1995 2000 2005 20100
2
4
6
Año
Máxim
o H
m0 A
nual [m
]
Ejemplo máximos anuales
100
101
102
103
3
4
5
6
7
8
9
Período de retorno [años]
Altura
de o
la s
ignific
ante
espectr
al H
m0 [
m]
Distribución de extremos GEV de Hm0 (Omnidireccional)
Ejemplo máximos anuales
100
102
2
4
6
8
10
Período de retorno [años]
Altura
de o
la s
ignific
ante
espectr
al H
m0 [
m]
ENE
100
102
2
4
6
8
10
Período de retorno [años]
Altura
de o
la s
ignific
ante
espectr
al H
m0 [
m]
E
100
102
2
4
6
8
10
Período de retorno [años]
Altura
de o
la s
ignific
ante
espectr
al H
m0 [
m]
ESE
100
102
2
4
6
8
10
Período de retorno [años]
Altura
de o
la s
ignific
ante
espectr
al H
m0 [
m]
SE
100
102
2
4
6
8
10
Período de retorno [años]
Altura
de o
la s
ignific
ante
espectr
al H
m0 [
m]
SSE
100
102
2
4
6
8
10
Período de retorno [años]
Altura
de o
la s
ignific
ante
espectr
al H
m0 [
m]
S
100
102
2
4
6
8
10
Período de retorno [años]
Altura
de o
la s
ignific
ante
espectr
al H
m0 [
m]
SSW
Ejemplo máximos anuales
Ejemplo máximos anuales
100
101
102
103
3
4
5
6
7
8
9
10
11
Período de retorno [años]A
ltura
de o
la s
ignific
ante
espectr
al H
m0 [
m]
Distribución de extremos GEV de Hm0 (Direccional)
100
101
102
103
3
4
5
6
7
8
9
Período de retorno [años]
Altura
de o
la s
ignific
ante
espectr
al H
m0 [
m]
Distribución de extremos GEV de Hm0 (Omnidireccional)
Picos sobre el umbral
Picos sobre el umbral
• Distribución de Pareto Generalizada
• sigma parámetro de escala
• xi parámetro de forma
• u umbral / parámetro de posición
Picos sobre el umbral
• Estimación de los parámetros
(1°) Determinar umbral adecuado (criterios físicos más evaluación de ajuste)
(2°) Estimación de parámetros de escala y forma
Picos sobre el umbral
• Determinación del umbral
• Mean Residual Life Plot (MRLP)
• Gráficos de xi y sigma*
Picos sobre el umbral
• MRLP
• Si los datos Xi tal que Xi>uo provienen de una distribución generalizada de Pareto (GPD) entonces
Picos sobre el umbral
• MRLP
• No requiere estimar los parámetros de la distribución
• Los I.C. se calculan como los de la media
Picos sobre el umbral
• Gráfico de parámetros• Requiere estimar los parámetros de la distribución
• Los I.C. se calculan con método delta
Picos sobre el umbral
• Gráfico de parámetros• Requiere estimar los parámetros de la
distribución
• Los I.C. se calculan con método delta (también pueden calcularse con bootstrapping)
1 2 3 4 50.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
MR
LP
GP
D
1 2 3 4 5-1.5
-1
-0.5
0
0.5
Form
a
1 2 3 4 5-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
Auto
Corr
1 2 3 4 50
10
20
30
Pic
os p
or
año
Umbral
1 2 3 4 5-2
0
2
4
6
Escala
*
Umbral
1 2 3 4 50
0.5
1
1.5
Pois
sonH
yp
Umbral
Picos sobre el umbral
• ¿Cómo trabajar si la serie no es independiente?
• Generando serie de picos sobre el umbral (serie POT):
• Opción 1: definir un umbral uPOT y un tiempo mínimo entre picos T1
• Opción 2: usar una ventana móvil de tiempo T2 y retener los picos que coinciden con el centro de la ventana
• Luego, para cada umbral u ( u>min(Xi) ) se obtiene, para cada una serie de valores POT independientes y un número medio de picos por año
Picos sobre el umbral
• Uso del número medio de picos por año
)(1
1
SZZPTr
10-1
100
101
102
3
3.5
4
4.5
5
5.5
6
Período de retorno [años]
Altura
de o
la s
ignific
ante
espectr
al H
m0 [
m] Distribución de extremos POT de Hm0 (Humb=3,5 m)
Picos sobre el umbral
• Ejemplo: oleaje Rocha
1 2 3 4 50.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
MR
LP G
PD
1 2 3 4 5-1.5
-1
-0.5
0
0.5
For
ma
1 2 3 4 5-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
Aut
oCor
r
1 2 3 4 50
10
20
30
Pic
os p
or a
ño
Umbral
1 2 3 4 5-2
0
2
4
6
Esc
ala*
Umbral
1 2 3 4 50
0.5
1
1.5
Poi
sson
Hyp
Umbral
Picos sobre el umbral
• Ejemplo: oleaje Rocha
100
101
102
103
3
4
5
6
7
8
9
Período de retorno [años]
Altura
de o
la s
ignific
ante
espectr
al H
m0 [
m]
Distribución de extremos POT de Hm0 (Humb=2,8 m)
100
101
102
103
3
4
5
6
7
8
9
Período de retorno [años]
Altura
de o
la s
ignific
ante
espectr
al H
m0 [
m]
Distribución de extremos POT de Hm0 (Humb=3,5 m)
Picos sobre el umbral
• Estimación de parámetros:
• Máxima verosimilitud (ML): gpfit
• Probability Weighted Moments (PWM)
Picos sobre el umbral
• Cálculo de cuantiles de alto período de retorno:
• Se requiere: umbral, parámetros de forma y escala estimados y número medio de eventos por año
𝑋𝑇𝑟 = 𝑢 +𝜎
𝜉( 𝑇𝑟 𝜈 𝜉 − 1)
Picos sobre el umbral
• Cálculo de intervalos de confianza
(1) Método Delta
(2) Perfil de verosimilitud (profile likelihood)
(3) Métodos basados en Bootstrapping no-paramétrico y paramétrico (muestreo aleatorio y simulación)
Picos sobre el umbral
• Ejemplo: oleaje Rocha
100
101
102
103
3
4
5
6
7
8
9
Período de retorno [años]
Altura
de o
la s
ignific
ante
espectr
al H
m0 [
m]
Distribución de extremos POT de Hm0 (Humb=3,5 m)
1 2 3 4 50.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
MR
LP
GP
D
1 2 3 4 5-1.5
-1
-0.5
0
0.5
Form
a
1 2 3 4 5-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
Auto
Corr
1 2 3 4 50
10
20
30
Pic
os p
or
año
Umbral
1 2 3 4 5-2
0
2
4
6
Escala
*
Umbral
1 2 3 4 50
0.5
1
1.5
Pois
sonH
yp
Umbral
Picos sobre el umbral
E SE S0
100
200
300
400
500
600
Dirección
# E
vento
s
Picos sobre el umbral
100
101
102
103
2
4
6
8
10
Período de retorno [años]
Altura
de o
la s
ignific
ante
espectr
al H
m0 [
m]
E
100
101
102
103
2
4
6
8
10
Período de retorno [años]
Altura
de o
la s
ignific
ante
espectr
al H
m0 [
m]
SE
100
101
102
103
2
4
6
8
10
Período de retorno [años]
Altura
de o
la s
ignific
ante
espectr
al H
m0 [
m]
S
Picos sobre el umbral
100
101
102
103
3
4
5
6
7
8
9
10
11
Período de retorno [años]
Altura
de o
la s
ignific
ante
espectr
al H
m0 [
m]
Distribución de extremos POT de Hm0 (Direccional)
MA y POT omnidireccional
100
101
102
103
3
4
5
6
7
8
9
Período de retorno [años]
Altura
de o
la s
ignific
ante
espectr
al H
m0 [
m]
Distribución de extremos GEV de Hm0 (Omnidireccional)
100
101
102
103
3
4
5
6
7
8
9
Período de retorno [años]
Altura
de o
la s
ignific
ante
espectr
al H
m0 [
m]
Distribución de extremos POT de Hm0 (Humb=3,5 m)
MA y POT direccional
100
101
102
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Período de retorno [años]
Altura
de o
la s
ignific
ante
espectr
al H
m0 [
m]
Distribución de extremos GEV de Hm0 (Direccional)
Máximos anuales
Picos sobre el umbral
GEV (con 7 direcciones)
GPD (con 3 direcciones)
