Análisis de Fourier - Hwei P. Hsu

ANÁLISIS DE FOURIER

ANALISIS DE FOURIER

Versión en español de Ramón G. Flórez Torres

Ingeniero Eléctrico Universidad de los Andes

Bogotá, Colombia

Con la colaboración de M. en C. Federico Velasco Coba

Facultad de Ciencias Universidad Nacional Autónoma de México

. ' "" y

José D. Arias PáezUniversidad Nacional de Colombia

ANALISIS DE FOURIER

Hwei P. HsuAssociate Professor Department of Eléctrica! Engineering Wayne State University, Michigan

O J 3 < ? 3 0

Raj Mehra, Editor

^ ADDISON-WESLEY IBEROAMERICA^Argentina • Brasil • Chile • Colombia • Ecuador • España. Estados Unidos • México • Perú • Puerto Rico • Venezuela

A

001945

Versión en español de la obra titulada Four.ier Analysis, de Hwei P. Hsu, publicada originalmente en inglés por Simón & Schusfer, Inc. Nueva York, E.U.A. © 1970.

Esta edición en español es la única autorizada.

©1973 por Fondo Educativo Interamericano

©1987 por A D D ISO N -W ESLEY IB ER O A M ER IC A N A , S.A. Wilmington, Delaware, E.U.A.

Impreso en Estados Unidos. Printed in U.S.A.

ISBN 0-201-02942-111 12 13 14 15 16 17 18-A L—96 95 94 93 92 91

PROLOGO

La Théorie analytique de la chaleur, de Jean-Baptiste-Joseph Fourier, introdujo los métodos sencillos para la solución de los problemas de valor en la frontera, que se presentan en el tratamiento analítico de la conducción del calor. Sin embargo, este “ gran poema matemático” , como Lord Kelvin denomino al análisis de Fourier, se ha extendido a muchas otras aplicaciones físicas diferentes a las del calor. En efecto, el análisis de Fourier se ha convertido en un instrumento indispensable en el tratamientó de casi toda recóndita cuestión de física moderna, teoría de comunicaciones, sistemas lineales, etc.

El objetivo del autor al escribir este libro, es desarrollar completamente el análisis clásico de Fourier y mostrar su relación con las aplicaciones modernas.

El libro está destinado a estudiantes de matemáticas, física y las diversas ramas de ingeniería; se puede utilizar para un curso formal de análisis de Fourier, así como en los numerosos cursos relacionados que presentan y emplean las técnicas de Fourier; tiene la ventaja de ser un libro de texto y de repaso; como texto es suficientemente completo y detallado como para no requerir referencias adicionales; y en la forma directa que caracteriza al libro de repaso, suministra cientos de problemas solucionados completamente, en los cuales se utilizan la teoría y técnicas esenciales.

Los conceptos nuevos, las definiciones y los teoremas fundamentales importantes (o resultados) aparecen en el texto sobre fondo sombreado; los conjuntos de problemas graduados, resueltos completamente, que constituyen la parte integral del libro, ilustran y amplían los conceptos y desarrollan las técnicas de Fourier; los problemas suplementarios están ideados no sólo para servir como ejercicios, sino también como medio de fortalecer la habilidad y perspicacia necesarias en la utilización práctica de las técnicas de Fourier.

Los tres primeros capítulos tratan las series de Fourier y el concepto de espectros de frecuencia; a continuación se incluye un capítulo relacionado con la integral y la transformada de Fourier, y luego uno sóbre las transformadas de Fourier de funciones especiales. En la segunda parte del libro se estudian las aplicaciones del análisis de Fourier a sistemas lineales, teoría de comunicaciones, y problemas de valor en la frontera; el capítulo final se relaciona con aplicaciones misceláneas de la transformada de Fourier.

El único requisito fomial para comprender el análisis de Fourier, es el conocimiento del cálculo elemental; sin embargo, en la segunda parte del libro se supone que el estudiante está familiarizado con el cálculo avanzado y las matemáticas aplicadas.

El autor desea agradecer a Raj Mehra y Rhea Nichols, de Simón & Schuster, Inc., por sus esfuerzos editoriales en la revisión de la primera edición; así mismo, el autor reconoce el estímulo recibido del profesor Forest E. Brammer, y Edward F. Weller, Jr., así como la colaboración de Dennis F. Wilkie y Eugene A. Hanysz.

Hwei P. Hsu

Southfield, Michigan

CONTENIDO

U S a l e a 0 ormc

1•ene ¡a

S E R IE S D E F O U R IE R1.1 FUNCIONES P E R IO D IC A S ........................................................................................ ]1.2 SERIES DE FO U R IE R ............................................................... ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ' 41.3 PROPIEDADES DEL SENO Y DEL COSENO:

FUNCIONES ORTOGONALES ........................... 5.-[1.4 EVALUACION DE LOS COEFICIENTES DE F O U R IE R ............................................................. 7

1.5 APROXIMACION MEDIANTE UNA SERIE FINITA DE FOURIER . . . . 131.6 LAS CONDICIONES DE DI R IC H LE T ....................................................................! ! ! ! . " ! 161.7 DIFERENCIACION E INTEGRACION DE LAS SERIES DE F O U R IE R ................ ’ 171.8 PROBLEMAS SU PLE M ENTAR IO S .................... ' ...................................................................... 21‘

A N A L IS IS D E F O R M A S D E O N D A S P E R IO D IC A S2.1 SIMETRIA DE LA FORMA DE O N D A .............................................................................. 24

2.1a FUNCIONES PARESE IM P A R E S ....................................................................................242.1b SIMETRIA DE MEDIA O N D A ..........................................................................................272.1c SIMETRIA DE CUARTO DE O N D A ............................................................ 272.1d SIMETRIA ESCONDIDA ’ ’ 27

2.2 COEFICIENTES DE FOURIER DE ONDAS S IM E TR IC A S ....................... ! ! ! ! ! ! ! ! ' 282.3 EXPANSION ENSERIE DE FOURIER DE UNA FUNCION EN UN

. INTERVALO F IN IT O ...................................................................................................... 332.3a EXPANSIONES DE MEDIO IN TE R V ALO ........................... ... ] ’ ...................... 34

2.4 LA FUNCION IMPULSO ........................................................................................................... 372.4a DERIVADAS DE LA FUNCION 8 ...........................................! ! ! ! " . . ' . ! ! 40

2.5 SERIES DE FOURIER DE LAS DERIVADAS DE FUNCIONES PERIODICASDISCONTINUAS........................................................................................................ 43

2.6 EVALUACION DE LOS COEFICIENTES DE FOURIER POR DIFERENCIACION. ! . ! ! 452.7 PROBLEMAS SU PLEM ENTARIO S...................................................................................... 48

E S P E C T R O S D E F R E C U E N C IA D IS C R E T A3.1 IN T R O D U C C IO N ... '..................................................................................................... 52

3.2 FORMA COMPLEJA DE LAS SERIES DE FO URIER ’ ' ’ ’ ' 523.3 ORTOGONALIDAD DE FUNCIONES COMPLEJAS..................................................................... 573.4 ESPECTROS DE FRECUENCIA C O M PLE JA ...................................................................... ! 583.5 EVALUACION DE LOS COEFICIENTES COMPLEJOS DE FO U R IE R ...............................

POR MEDIO DE LA FUNCION 8 ........................................................................................ 62

3.6 CONTENIDO DE POTENCIA DE UNA FUNCION PERIODICA:TEOREMA DE P A R S E V A L * ................................................................ 65

3.7 PROBLEMAS SU PLE M ENTAR IO S......................................... ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! . ' . ' / ! 68

IN T E G R A L D E F O U R IE R Y E S P E C T R O S C O N T IN U O S4.1 INTRODUCCION .................................................... 71

4.2 DE LA SERIE DE FOURIER A LA INTEGRAL DE FOURIER ........................................ 714.3 TRANSFORMADAS DE F O U R IE R ......................................................................... 744.4 TRANSFORMADAS SENO Y COSENO DE F O U R IE R ......................................... ! ! . * ! ! 794.5 INTERPRETACION DE LAS TRANSFORMADAS DE F O U R IE R ..................................... 814.6 PROPIEDADES DE LAS TRANSFORMADAS DE FOURIER........................ * ................... 824.7 CONVOLUCION................................................................ 00

929499

102102104106110114118

121121

123125127129131

133134137

138142144147

151156160164166169171175178

183189199205212

4.8 TEOREMA DE PARSEVAL Y ESPECTRO DE ENERGIA ..................................4.9 FUNCIONES DE CORRELACION.........................................................................4.10 PROBLEMAS SU PLE M ENTAR IO S ......................................................................

T R A N S F O R M A D A D E F O U R IE R D E F U N C IO N E S E S P E C IA L E S5.1 INTRODUCCION .................................................................................................5.2 LA TRANSFORMADA DE FOURIER DE UNA FUNCION IM P U LS O ...............5.3 LA TRANSFORMADA DE FOURIER DE UNA C O N STA N TE ...........................5.4 LA TRANSFORMADA DE FOURIER DEL ESCALON UNITARIO ..................5.5 LA TRANSFORMADA DE FOURIER DE UNA FUNCION PERIO D ICA............5.6 LA TRANSFORMADA DE FOURIER DE FUNCIONES GENERALIZADAS . .5.7 PROBLEMAS SU PLEM ENTARIO S......................................................................

A P L IC A C IO N E S A S IS T E M A S L IN E A L E S6.1 SISTEMAS LIN EALES...........................................................................................6.2 FUNCIONES OPERACIONALES DEL S IS T E M A .................................................6.3 RESPUESTA A FUNCIONES EXPONENCIALES DE ENTRADA -

FUNCIONES PROPIAS Y FUNCIONES DEL SISTEMA .....................................6.4 RESPUESTAS SENUSOIDALES EN ESTADO ESTACIO NARIO .........................6.5 APLICACIONES A CIRCUITOS ELECTRICOS....................................................

6.5a CALCULO DE POTENCIA EN ESTADO ESTAC IO N ARIO ......................6.6 APLICACIONES A SISTEMAS M ECAN ICO S.......................................................6.7 RESPUESTA DE UN SISTEMA LINEAL A UN IMPULSO UNITARIO -

FUNCION DEL S IS T E M A .....................................................................................6.7a FUNCION DEL S IS T E M A .........................................................................6.7b SISTEMA CAUSAL ..................................................................................

6.8 RESPUESTA DE UN SISTEMA LINEAL A UN ESCALON UNITARIO - INTEGRAL DE SUPERPOSICION ......................................................................

6.9 TftANSMISION SIN DISTORSION ......................................................................6.10 FILTROS ID E A L E S ..............................................................................................6.11 PROBLEMAS SU PLEM ENTARIO S......................................................................

A P L IC A C IO N E S E N T E O R IA D E C O M U N IC A C IO N E S7.1 TEORIA DE M U E S TR E O .....................................................................................7.2 MODULACION DE A M P L IT U D ............................................................................7.3 MODULACION A N G U L A R ..................................................................................7.4 MODULACION DE PULSOS ...............................................................................7.5 FUNCIONES DE CORRELACION PROM EDIO ....................................................7.6 IDENTIFICACION DE SEÑALES MEDIANTE C O RR ELAC IO N ........................7.7 ESPECTROS DE POTENCIA PROMEDIO: SEÑALES AL AZAR .....................7.8 RELACIONES ENTRE LA ENTRADA Y LA SALI DA: CALCULO DEL RUIDO7.9 PROBLEMAS SU PLEM ENTARIO S......................................................................

A P L IC A C IO N E S A P R O B L E M A S D E V A L O R EN L A F R O N T E R A8.1 SEPARACION DE VARIABLES Y SERIES DE F O U R IE R ...............................8.2 VIBRACION . . . . •8.3 CONDUCCION DE C A L O R ...............................................................................8.4 TEORIA DE POTENCIALES ............................................................................8.5 PROBLEMAS SU PLEM ENTARIO S...................................................................

V o VI \y¿-o —e t v\ b ^ o y y \

ví s S a f e a Domici l i Li br o d e

R e f e r e n c i a

9 A P L IC A C IO N E S M IS C E LA N E A S DE L A T R A N S F O R M A D A DE F O U R IE Rcapitulo g i LA TRANSFORMADA DE FOURIER EN DIFRACCION Y FORMACION

DE IMAGENES....................................................................................................................... 2159.1a TRANSFORMADA BIDIMENSIONAL DE FO URIER................................. 2199.1b TRANSFORMADA TRIDIMENSIONAL DE FO U R IE R ........................................... 221

9.2 LA TRANSFORMADA DE FOURIER EN TEORIA DE PROBABILIDADES ................... 2219.2a FUNCION DE DISTRIBUCION DE PROBABILIDAD Y FUNCION DEDENSIDAD DE PR O B AB IL ID AD ........................................................................................ 2219.2b ESPERANZA Y M O M E N TO S ............................................................................... ’ ’ 2239,2c FUNCION CARACTERISTICA ........................................................................ ’ ' ’ 224

9.3 EL PRINCIPIO DE INCERTIDUMBRE EN EL ANALISIS DE FOURIER............................. 2289.4 FORMULA DE LA SUMATORIA DE POISSON..................................................................... 2369.5 CAUSALIDAD Y TRANSFORMADA DE H IL B E R T ......................................................... ’ 2399.6 EVALUACION DE ALGUNAS INTEGRALES.............................................................................2439.7 PROBLEMAS SUPLEM ENTARIOS................................................................................. ’ ’ ’ 244

A C O N V E R G E N C IA DE L A S E R IE DE F O U R IE R Y E L FE N O M E N O DE G IBBSapéndice A.1 CONVERGENCIA DE LA SERIE DE FOURIER.................................................................... 247

A.2 EL FENOMENO DE G IB B S .................................................................. . . . . ! ! ! ! 253

B R E L A C IO N E N T R E L A S T R A N S F O R M A D A S DE F O U R IE R Y L A P L A C Eapéndice B.1 DEFINICIONES Y PROPIEDADES BASICAS DE LA TRANSFORMADA

DE LAPLACE ....................................................................................................................... 256B.2 RELACION ENTRE LAS TRANSFORMADAS DE FOURIER Y L A P L A C E ....................... 259

C T R E S F O R M A S DE L A S S E R IE S D E F O U R IE R ........................................................ 263A P E N D IC E

O RE SU M EN DE L A S C O N D IC IO N E S DE S IM E T R IA ......................................................... 264A P EN D IC E

E PR O P IE D A D E S DE L A T R A N S F O R M A D A DE F O U R I E R ............................................... 265A P E N D ICE

F L IS T A DE S IM B O L O S .................................................................................................................. 268A P E N D IC E

IN D IC E DE M A T E R I A S ........................ 271

tr Y o vr i ^ - o —e t v i o

1CAPITULO

SERIES DE FOURIER

1.1 FUN CION ES PERIO DICA S

Ü l \Sa& función periódica se puede definir como una función para la cual

m = f ( t * t ) ( i . j )

de f. La consiente mínima T que satisface la relación (1.1) se llama el Tíodo Mediante repetición de ( i .1) , se « M I p Í J Í l l | l l l l l l l | i l i

i i l S l l i l S i l i l l

IOBLEM A 1.1 Encontrar el periodo de la función/(?) = eos - + eos —.3 4

lución: si la función f { t ) es periódica con un período T, entonces, de (1.1) se tiene

eos — ( t + r ) + eos — ( i + T ) = eos - + eos —. 3 4 3 4

esto que eos (6 + 2nm) = eos 0 para cualquier entero m se tiene que

— T = 2.7171, — T = 2nr¡, 4

ide m y n son enteros. Por consiguiente T = 6irm = 8itn; cuando m = 4 y n = 3,se Sene el mínimo valor de T. (Esto se puede ver mediante el procedimiento de ayo y error). De donde, T = 24rr.

«¿em e de (1.3) y (1.4, es

= eos tu,t + eos ta,f

es posible encontrar dos ent<:ros m y « tales que

, , T = 2nm, (f-3 )

« fT = 2nn- (1.4)

: ÍÜ i- — 1 'IT: : « I

0 .5 )

OBLEMA 12 Decir si la función f ( t ) ~ eos 1 Oí + eos (10 + ir) t es una función ¡ódka.

f (r )

Figura 1.1 Una función periódica.

S o lu c ió n : aquí coi = 10 y = 10 + v. Puesto que

<u, 10CU2 1 0 + 7 7

no es un número racional, es imposible encontrar un valor T que satisfaga ( 1.1); por consiguiente f ( t ) no es una función periódica.

PROBLEMA 1.3 Encontrar el período de la función f { t ) = (10 eos í )1

Solución: si aplicamos la identidad trigonométrica cos20 = —(1 + eos 20) se tiene

f ( t ) = (10 eos tY = 100 eos2t = 100 — (1 + eos 2í ) = 50 + 50 eos 21.2

Puesto que una constante es una función periódica de período T para cualquier valor de T, y el período de eos 21 es n, se concluye que el período de f ( t ) es ir.

PROBLEMA 1.4 Demostrar que si/(r + T ) = f ( t ) , entonces

a+T/2 r T / 2f ( í ) dt = 1 i ( t ) dt,

d a - T / 2 J - T ' 2

( 1. 6)- T / 2

•T+fr ' / (o dt = í ’ f c o d t . ( i .7 )

J r J o

So lu ción : si f ( t + 2")= f ( t ) , entonces, al hacer t -% — T, se tiene

/ ( T - T + r ) = / ( T ) = / ( T - r ) . (1-8)

Considerar ahora

r m dt.J a

i usa la igualdt

r/3 r h + r r P + TI / (0 dt = I / (T - T ) d r = | f (T )

d a+T Ja + T

Si se hace la sustitución t — x — T y se usa la igualdad (1-8), se obtiene

*/3+r<fr.

Puesto que cualquier símbolo puede representar la variable comodín

-/3+rr p r ií ( t ) d t =

Ja Ja-iU ) di. (1.9)

a + r

Ahora, el primer miembro de la ecuación (1 .6) puede escribirse como

- T / 2 - a + T / 2t~a+T/2 - «* • */ . *f f ( í ) efí = | , / (<) dt + f f ( t ) dt.

Ja-T/2 a —T/2 J - T / 2

Aplicando el resultado de (1.9) a la primera integral del segundo miembro de la anterior

ecuación, se tiene

Í a + T / 2 - T / 2 - a + T / 2 - a + T / 2 - T / 2f ( í ) d í = f ( t ) d t + f ( t ) dt = i . f ( t ) d t + j f ( t )d t

- T / 2 J a + T / 2 J - T / 2 J - T / 2 -/a+T/2

£• T/2/(<) dt.

■ (1 .9 ). i f a = O y 0 - 1, entonces (1.9) se convierte en

£ ' * • f ,

T + í

f ( t ) dt.

■ 0 -6), si a - T/2, entonces (1.6) se convierte en

T / 2

(1. 10)T/2

ROBLEMA 1.5 Sea/(f + T ) = f ( t ) y

íá ( f )= f ( x ) d x .

emostrar que g (t + T ) = g ( t ) si y sólo si

r /2L i { t ) dt = 0. r /2

ilu c ió n : puesto queg (t ) = í f ( j )d x ,Jo

r !+J r T r r+ (g ( í + T ) = / f (T )d T = / / (T )< ÍT + i / (T ) d i.

J O yo J t

w (1.10) y (1.7), se tiene

Í T r T / 2 r T / 2 r T + i r <

i (T ) dX = / / (T ) dX = f ( t ) dt, í f ( t ) d t= f í ( t ) dt.

J -T / 2 •'-T/2 J t J o

•r consiguiente,

r /2g ( t + T ) = r / (o dt + r f ( t )d t

J - T / 2 ' J o

Í T / 2f ( t ) dt = Q . *

r /2

SOBLEMA 1.6 Sea f ( t + T ) = f ( t ) , y

F (¿ )= f f ( X ) d X - í a 0t,Jo 2

• r / 22 f

I f ( t )d t . Demostrar que F ( t + T ) = F (t ). T j - t /2

ikición: puesto que F (r ) = f / ( r )d 'r - - a 0t, se tiene“ 0 2

F ( í + T ) = í ' / ( ( t ) dX - £ a 0 - ( t + D Jo 2

= r f(T> d x + í J o J r

T + í i

/ ( T ) d T - Í aof - Í a or . 2 2

Por (1.10) y (1.7), se tiene

/*T ¡ ' T / 2 i/ / (T )d T = I / (T ) tíT = - a aT ,

Jo J - T / 2 ^

f T * ' / ( t ) dT = í ' / (T ) c/T.• 'r -'o

Por consiguiente,

F ( í + 7") = - a e7 + /(T) dT - i a ef - ^-aor = J /(x) c/T - i a0í = F (f ) .

1.2 S E R IE S D E FO U R IER

PRO BLEM A 1.7 Deducir la forma (1.12) de (1.11) y expresar C„ y 0„ en términos d ea „y b „.

Solución: se puede expresar

a„cos nco0t + bn sen a" . eos nw0< + 6" . ■ sen no»0 A—1 V'/an + ó„ x/a¿ + 6 * /

Si se utiliza la identidad trigonométrica

ancos nw0f + ó „ sen ntu0í = Cn (eos 8„ eos noj0r + sen 9„ sen nw01 )

= C „ eos (nw0t - $ „), (1.13)

donde

Cn = Va¿ + , (1.14)

eos dn = n — . sen (?n — — ;\Za„ + b¿ \J a * + b „

por consiguiente,

tan Qn = j - < ' ó 6n = tan-' (1.15)

V f l VI VI 9- S j=>0

También, si se hace

se obtiene

C = — a „, (1.16)2

I (0 - — an + (a„cos muót bnsen ntu0í ) = C0 + C n eos (noja( - 6n).. (1.17)

1.3 PRO PIEDA DES DE LA S FUN CION ES SEN O Y COSENO: FUN CION ES O RTO G O N A LES

í lllllllf 'Íiíjllíliílifl üti conjunto' ífe : fctítíóii es es ortogonal - eótíh; iníérvaióí¡ < £ <¿> si;para dos fuheiones cualesquiera $m{ f ) y $„(? ) pertenecientes al conjuntó : . ..

ÍE :É ÍÍ7 :Í1 E IÍe ÍS 1 S f rn P313 OT = n

“ GqásMérese, por ejemplo^, úñ conjunto de funciones senusoidisles; medíante el cálcóíó elemental se púeite;(fe tn g ílÉ l^^a: - ÍSHÍHÍ7- ' | |p £ j s W§x■ ? f ü p i i§ |: |f

PRO BLEM A 1.8 Verificar la integral (1.19c).

So lu c ió n : con la identidad trigonométrica

eos A eos B = [eos (A + B) + eos ( A - B )],

se obtiene

• r / 2í eos (mw0f) eos (nco0t) dt/ 2

1 r T/2

2 - L

Icos [(m + n) <u0f] + eos [(m - n) <u0f)i dt

1 1 I 772sen [(m + n)&>0í ]2 (m + n) o o | _7"/2

* sen [(m - n )w „ t ]I T / 2

2 (m — n)cü0 I - t /2

1 12 (w + n)tu,

1 1

ísen [(m + n)ff] + sen [ ( m + n) n] i

f —2 (m — n) 6j ,

= 0 ú m ^ n .

¡sen [(m - ñ )7r]+ sen[(m-n)n-]!

Utilizando la identidad trigonométrica cos20 = — (1 + eos 20) y haciendo m - n =£ 0

se obtieneT /2 f*T/ 2

eos* Gnu o0 <ff/r /2 /■!/eos (m<¡>0 t ) eos (nco0t ) dt = I

r /2 • '-r/

r /2[1 + eos 2múj0n cít

1 |r/2 1 = - 1 sen 2m&)0í

2*1 „ 4mco0' - r /2 °

r /2

- T / 2

PRO BLEM A 1.9 Verificar la integral (1 .19e).

Solución: con la identidad trigonométrica

1sen A eos B = — [sen (A + B ) + sen (A - B)l,

se obtiene

V b VI ¿ - ¿ - o — VI -^ -S lo ü -s ^ o b ^ o y y \

T/2sen (mui0t) eos (nco0t) dt

T/2|sen [(m + n )w 0íl + sen ((m - n)o>0íll dt

T/2

1 - 1 | r/ í 1 _ 1 I T/2 r— eos Km + n )w 0tl +• — — eos í(m - n)a>Qt ]

¿ ( m +• n ) ( ü0 I - t / 2 2 ( m —n) cú0 l_r/2

= 0 si m n.

Si se hace m = n 0, y se utiliza la identidad trigonométrica sen 26 = 2 sen 0 eos 9 se obtiene

•T/2 ,-T/2i* r/2j sen (mw5i) eos (nto0t) dt = I sen (mw0r) eos (miü0t) dt

J - T / 2 J - T / 2

sen (2mw0í) c/t

eos (2mio0t)

= 0.

Evidentemente, para m = n = 0, la integral es cero.

1.4 EV A LU A CIO N DE LO S C O EFIC IEN T ES D E FO U R IER

S se aplican las relaciones de ortogonalidad|3.19), se tiene

f T/3 K t ) cas (m u0t ) dt = | - a w.

De donde.2 r T/ -

cos| p § <> rfí- iSSr-'áurVí ..... •..Si se integra (1.11) entre [-T/2 y T/2) y *e usa (1.19), se■/ « ) di *

Ü

Se debe n o t| Í¡¡| ¡§| g es el valor promedio d e/(/) durante un periodo.La ecuación (1.24) indica que (1.21), la cual evalúa,los coeficientes de la *e

coseno, también da el coeficiente a0 cornetamente puesto quecos m u ,/ |m.-o - ^ jg o ^ u q e n '^ S |^ ^ g |^ - ;( l . l l ) s e multiplica por sen m w j y se integn

■'0$ a S p i [ - r /2 y r/2} ^ j ¡ |

(1.19) conduce a

K t ) sen

: ' 1 §gg l l p S I p I S 8 *»jjj

- 6„ - | f * ' * « * ) • # & » . # * . *; : y . • '- r /2 •- y„ . y y .

* por n se puede expresar (1.21 > y (1.26) como

fln | f r j K t ) eos <mu„£) dt, n 0.1,2,- ■y : . d -T /2 ■:

V o VI — d * t VI jf jlo á -S T ^ o t -s¿-o v n

• **-9rva

| del origen. Si : sobre un período completa

íma0t ) dt, n - i , 2 , • • • .

de integración de ( i ,27) y (1 .28 )sea

( 1.6), el único requisito es que la inte

(1.28)!

PRO BLEM A 1.10 Encontrar la serie de Fourier para la función f ( t ) definida por:

/ ( f ) =- i .

i. o < ¿ < L

y f ( t + T ) = f ( t ) . (Ver figura 1.2)

S o lu c ió n : por (1.27) y co0fí= t r / 2 T

L T i ,± — I = ■' n , se tiene

C2 / -1

/(t) eos (no)nt) dt

-e o s (na>0t )d t f■Jo eos (na>0t )d t

T \no)Q |_ t/2 ncüo lo

2 r i i— J [sen 0 - sen (-n n )] + [sen (nn ) - sen 0]T \n<,)ó t no>0

-■ 0 para n 0

puesto que sen 0 = sen (nn) = 0. Para n = 0, se tiene

1 i r 1

2 a° ' r l/ (0 df - o

puesto que el valor promedio de f ( t ) durante un período es cero. De (1.28) y 0T - (2n/T) T = 2n se tiene

T

p T / 2

J -T / ’íf ( i ) sen (noj0t) dt

(1.29)

(1.30)

(1.31)

f (0

- t - i

I T I 2

Figura 1.2 Forma de onda del problema 1.10.

- sen (n a 0t) dt ■

eos (nw0í)

í sen (ntoQí) ¿fr'

-1eos (nc,iat)

ncoaT

2

- r /2 °

[1 —cos-(-nn )]- [eos (nn) - 1]

(1 - eos nn).(1.32)

F ig u ra 1 .3 . Forma de onda del problema 1.11.

Puesto que eos m = (— 1)",

b„ =•

0 , n par

4(1.33)

— > n impar.

De donde

f ( t ) = — T — sen n(oat ir L - i n

4 /= — (sen o>at + — sen 3o>0t +■ — sen 5<u„f +•

71 V • ) '(1.34)

PRO BLEM A 1.11 Encontrar la serie de Fourier para la función cuya forma de onda se muestra en la figura 1.3.

Solu ción : la función/(?) se puede expresar analíticamente así:

f« ) =

1 + — , - - < f < 0

(1-35)

1 - , 0 < t < - ■< T ~ 2

Puesto que el valor promedio d e/ (f) durante un período es cero,

— aG = — r2 T i

/(f) dt = 0. (1.36)

Por (1.27) y (1 3 5 ) se obtiene

• r /2-I í41:

/(f) eos (neo t) dtT / 2

r /2eos (ntu0f) dt +

2_ r ° 4_

T I T■J-T/2t eos (n<yDf) dt

r /2 4— t eos (ncoat ) d t .2 f T / i 4_

t J0 ~ t

La primera integral del segundo miembro es igual a cero. Haciendo f - - 1¡ en la segunda

integral se obtiene

a „ = A f ° ( - T) eos [n<Uo,(-X)](-c/T) - A í \ t eos (n<uat) dtT1 J t / 2 T Jo \

x eos (n<D0 x ) d i - t eos (no)\t) dt

x eos (ncü0x ) d x -T 2 i: t eos (nto, t) dt

- F fJ t / 2

y fJo

16 r r/2= - — I t eos (neo f) <fí.7* Jo

Y o VI ¿-¿-o — vi 9 -S j=>o b -^ - o v w

Ahora, integrando por partes, se obtiene

r t eos (nú>at) dt = — t sen (nw0í) - rioj„ io O0sen (ncúat) dt

eos (nio0t)(no>oy

1(eos nn - 1).

(n2n/ T f

De donde,

16 1 --------------------(eos nn - 1)T 2 (n2rr/TY

■ (1 - eos nn).

Puesto que eos nir = ( - ! ) ” ,

0 , n par 8

—— < n impar.

(1.37)

(1.38)

Análogamente, por (1.28) y (1.35) se tiene

* T/2f ( t ) sen (nco0t) dt

J -T / 2

2 r T/2r 2I sen (nw0í ) dt +■ — j

“' - T / 2 T J - T

— f sen (níu0í) di T

+ — T2 r T/2 4

- — r sen (nto0<) dtI( r ° o í*r/2- (— t ) sen [ña>„(-T )] ( - d x ) ----- - I i sen (nu0í)

• 'r/a ^ J0

_ i f T/2“ ja I-'o

T

8 r T/2

dt

* F j [‘ 'Oí sén (n o . t ) dt • t sen {no>0t) dt

= 0.

De donde,(1.39)

f ( í ) = — (eos ú/0t + ^ j cos 3&>0í + ^xcos Stüoi1 + ••■). (1.40)

PRO BLEM A 1.12 Encontrar la serie de Fourier para la función f ( t ) definida por

' 0 , < í < 02

/(<) =A sen <u„f 0 < t < — .

2

(1.41)

y / (í + T ) =/(?), w 0 = 2ir/r. (Ver figura 1.4.)

f(» )

Figura 1.4- Forma de onda del problema 1.12,

S o lu c ió n : puesto que f ( t ) = 0 cuando - T/2 < t < 0, de (1.27) y (1.28) se tiene

I T/22 r T/2 • 2AaD = — I A sen (coat) dt = —— (- e o s cüo0| j

^ u0 Tco,

A= — (1 - eos n)77

2 A(1.42)

- IX*'04 sen (fi)0t ) eos (mo0f) c/f

Cuando n = 1,

— f isen [(1 + n) cü0í] + sen C(1 - n) <y0í]i dt.^ Jo

a r T / 2 4 / 1 \ I T / 2 4— I sen (2co0t )d t = — ( ~ ~ — eos 2co0í | = — [1 - eos (2w)]T X T \ ^ J lo 4"

(1-43)

= f a - d477

= 0. (1.44)

Cuando n - 2 , 3 , . . . ,

4 [ eos [(1 + n) eos [(1 - n) &>cf] ^|T/2(1 + n) oí (1 — n) o».

A_2n

1 - [eos (1 + n) tt] 1 - eos [(1 - n) w] 1 1 + n 1 — n I

0,A ! 2 2 A

2rr \1 + n 1 - n / (n - 1) (n + 1) n

n par

, n impar (1-45)

Análogamente

A sen (clí0í ) sen (ncoat) dt- I X— f ico s [(1 - n) a)0t] - eos [(1 + n) <u0í]! dt.T J0

Y o v i uc>o S b v i 9 -S j=>o t - ^ - o v n

(1.46)

Cuando n = 1

-4 r T/2 , a r T/24 r T/2 a r T/2 „& = - d t - - n os í2M - ¿ sen2(ü0t

r Jo T Jo 2 r 2&>0

Cuando n = 2 , 3 , . . . ,

¿ _ ■‘4 J sen [(1 - n) ce0rf sen [(1 + n) oj0f]

= 1 . (1.47)2

T I (1 - n) <oc (1 + n) cú0

_ _4_ í sen [(1 - n) tt] - sen 0 sen [(1 + n )^ l - sen 02n

= 0.

1 - n 1 + n

(1.48)

De donde,

h a A A 2A / 1 „ 1f w = - + — sen co0t — eos 2<o0t + —— eos 4cj„í

n ¿ jt \1 • 3 3-5 (1.49)

PRO BLEM A 1.13 Desarrollar/(í) = sen5 t en serie de Fourier.

Solución: en vez de proceder como se hizo en el problema (1.12), se hará uso delas identidades

e ± jn8 _ cog nQ + j jgH nQ'

eos nd =.

sen nd =.J n e _ e -> n 6

2 i

(1.50)

(1.51)

(1.52)

Se expresa

sen’ f = i - ----------- 1 = (e/5r _ 5e/3í + 10e;( _ io e~j< + Se” ''3' - e~ 'S!)2; / 32;

5 5 , 1 ~= — sen t sen 3í + —r sen 5í.8 16 16

En este caso la serie de Fourier tiene tres términos solamente.

(1.53)

1.5 APROXIM ACION M EDIA N TE UNA S E R IE F IN IT A D E FO U R IER

S» (t ) ~ + Y ' (a„ eos n<o0t ♦ b„ sen awo0 \

rt-l(1.54) :

la suma de los primeros <2* + 1) términos de una serie de Fourier que representa/(f) en el intervalo - T/2 < t < 772.

Si/í/)se

<I.S5)

tporSfe(r), es decir,

/ « ) - & • + £ (a„ coa m )0t + b„ sen mo0i ) + 8* ( f ) ,H« t

E * ( 0 - / ( r t - S * « X ( 1.S6)

Y o VI ts£-o —d ’t vt ^ -S j= > o

PRO BLEM A 1.14 Demostrar que si se aproxima una función /(/) por una serie finita de Fourier 5fc( í ) , entonces esta aproximación tiene la propiedad de ser el mínimo error cuadrático medio.

So lu c ió n : si se sustituye (1.54) en (1.57), se tiene

i r T/2

-T/2

E , =/ i r T/2 L \ &o x”"1 //(í) - f - £ ( a n•J-T / 1

eos no>0t + ón sen nu>at) dt. (1.58)

Considerar Ek como una función de aot an,y bn. Entonces para que el error cuadrático medio Ek sea un mínimo, sus derivadas parciales con respecto a y deben ser iguales a cero, es decir,

^ * = 0, = ^ = 0 (0 = 1. 2, ■ • daQ dan dbn

Intercambiando el orden de la diferenciación y de la integración:

= - -L f ["/(<) - — - y -1 (a eos nu>„t + bn sen n«jGí)

* * • 7'J - t / 2 L 2 ¿ í

dE„ 2 r T / 2 ¡ t íA a0 A /— — = -------[ /(O — — - > (a „ eos mo0t bn sen n<:>0t)

T I „ 2n • '- T / 2 L n=] J

9 V*T/2 *— — = I / (í) - — - (a_ eos no>0f + bn sen nto0t)

7 J -r/ 2 2 ¿ í

c/í, (1.59)

eos (na(0f ) d f,(1.60)

sen (n o 0t ) dt.

(1.61)

Si se usan las propiedades de ortogonalidad (1.19), (1.27), y (1.28) del seno y del coseno, las integrales (1.59), (1.60) y 1.61) se reducen a

(1.62)d E k a 0 i r *<9aD T . _ r .L /2

2 /•T/2

II

F - - T / 2

d £ * = 2 /-T/2

dbn r „T/2

(1.63)

(1.64)

1 Í»T/1 m* t *

/ r í -

(1.65)

=

So lu c ió n : por (1.57) se tiene

i rT/2- T / 2

i r T/2

- T / 2

i r T/2 J -T / 2

l r T n- / \ [f ( t ) ]2 - 2 f ( t ) S k Q) + [S k (t)V\ dt

J-T/O

4 /i r T /2 r 2 r r/2 i rr /2

[ f ( í ) ] Cíf - — I / ( f )S /t(í)c fc + - / [Sfc( í ) ]2dt. (1.66)' J - T / 2 T J - T / 7

Ahora bien;

2 r r/2f ( t ) COS (tKü0t ) dt

2 + — r l>íT/2

/(O sen (ncoat) dt.n= 1 • ' - T / 2

Teniendo en cuenta (1.27) y (1.28), se obtiene

' T / 22 r T/2/(O + £ ( * ; + « > .

Utilizando las relaciones de ortogonalidad (1.19),

■f l k

- y + ^ (an cos nw 0í + bn sen nco0t)i r T /2 r , i r r ''2

[s k ( t ) Y d t = lY £~ íT L T / 2

a i 1

(1.67)

di

1 / • T / 2

* = ? \ — T / 2

_ 1 / • T / 2

~ T . — T / 2

4 + 2 Z > " Í + 6")-

i m V d t - f + ^ + (a 2 + ó„2)

( 1.68)

Sustituyendo (1-67) y (1.68) en (1.66), se obtiene

,2 fe

[ f ( t ) ] * d t - ? l - l £ (an* + ónJ).

So lu c ió n : por (1.57), se tiene

i r T/2E k = y U ( . t ) - S k ( t ) ]3 d t> 0. (1.70)

J -T / 2

Y también por (1.65) se deduce que

9 f T / 2 2 k— / [/ (í)]* di > + V (a* + 6 *). (1.71)

— T / 2

V o v i ¿-¿-o — vi - ^ - S lo ^ - S F ^ o h ^ o y y \

de Parsevai afirma que si aa, a„ , y bn para n = 1 ,2 , . . . son ios tísipansión de Fourier de una función periódica f i t ) con periodo T,

PRO BLEM A 1.17 Demostrar el teorema de Parsevai.

So lu ció n: por (1.65), se tiene

•íc+ i = — 2 (■£»!+1 + ¿>k+1)- (1-73)

Mediante las relaciones (1.70) y (1.73) se observa que la sucesión \Ek ! contiene solamente términos no negativos y no es creciente; por consiguiente la sucesión converge. De (1.56),

lim Sfc(f) = /(t) — lim Sfc(/) = 0. (1-74)k-»oo k -e*J

De donde,

lim E k = 0. (1.75)k-*°c

En consecuencia, por (1.65) se concluye que

H l/ (í)l di = + » / ( an * bn)4 2 i— i

T / 2 n= 1

1.6 LA S CON DICION ES D E D IR IC H LET

se dedicó atención a la determinación de la ipuso que la función dada se podía represen febe In vestip r-fe^S ^^pc ia de la serie de

ciría de Fourier es la que rata de U >s ones, conocidas como condii m ne s <: i serie de Fourier de una función dad

Figura 1.5 Función continua por tramos y I imites a la izquierda y a la derecha.

Y o VI i ^ - o — y\ O - S ^ o t - ^ c v n

I

So luc ió n : por (1.69), se tiene

1 o r T / 2i a¿ + £ (a¿ + fen’ ) < £ f [ m Y d t .

n=I J-T/2

Puesto que la serie del miembro izquierdo es convergente entonces es necesario que

lim (a„ + b ‘) = 0,

k) cual implica que lim a„ = lim bn = 0.

So lución : los coeficientes de Fourier a„ y b„ existen, puesto que la integral del valorabsoluto de/(r) es finita en el intervalo [ - 772, T/2 ]. Aplicando (1.78) y la definición de los coeficientes de Fourier se concluye que (1.79) es correcta, es decir,

o r T /2 feos (nio0t)= Um M / (i) I dt = 0.

T J - t / 2 [sen (nco0t)

De donde,

eos (nu¡0t)dt = 0.

sen (ntu0t)

f r ,

T ,

1.7 D IFEREN CIA CIO N E IN TEGRACION DE LA S S E R IE S DE FO U R IER

| ;;'Jr1 ;^ ^ fe p A ^ 'ó o n s5 ae ra la d ife ré n c iac ió n e integración d éla s | í a r le s de Fourier debe, g p líy tg :^ )É ;llfd ^ líñ Í}^ Í& ít^ 'rá tM 6 ip lf:É lstérmino de una serie

- j i i i i i É i i i i i É l l ' 4 Z] (* * cos

, y óH por ± d o n d | | Í |® p ^ p ^ ^ H 8 Í f é 8 |Í H l | I s Í =

V o v ió ^ - o — vn t v A J w

disminuir h convergencia y puede resultar en divergencia. término por término 1 s coe ficíentes u„ y bn se divid ;n por mtik i r>a convergencia jumenta

PROBLEMA 1.20 Demostrar ei siguiente teorema de diferenciación de¡Sps|pglgg Si/ÍO Ü5 continua cuando - 7/7 1 < T/2 eon/{“ T/2) = /(T/2), y si la derivada

f ' { t ) es continua por tramos, y diferenciable, entonces la serie de Fout*gf|á§'; i :

í'Cí) ^T* ( * „ ccs ij6j0í f 6„ sen ««• „* )

se puede diferenciar término por término para obtener

í (Ú = 2 ^ n&»0 { - « „ sen t « jQí v ó„ eos nw^f).

(1.S

(1.81

Solución: puesto que / '(? ) es continua por tramos y diferenciable, su serie de Fourierconverge a ella; por lo tanto su representación en serie de Fourier es

eos mo0t +■ /3n. sen nío„t), (1.82)

donde

f T / 2 rT J -r/a

(0 eos (ntu0í ) d t ,

2 r T/23n = — I /'(O sen (nw0t) dt.

J-T/2

Integrando (1.83) y (1.84) por partes,

2 " T / 2 o T / 2

an~ T

(eos nu>nt ) i ( t ) + nw0 /(O sen (n<uc í) dt

- - r /2 - r /2

- n<oe bn.

ftn2 r /2 <>r /2

T(sen nio0t) i ( t ) — ncu0 j /(t) eos (nw „í) dt

- T / 2 r / 2

= — noj a r

(1.83)

(1.84)

(1.85)

( 1.86)

puesto que / (- T/2) = f(T/2 ).Debe notarse que a0 = 0. Por consiguiente,

f ' ( t ) = ntua (—ansen no>0í + bn eos ncoQt),n= i

lo cual se puede obtener de la serie de Fourier de /(?) diferenciando término por término. (La diferenciación de una función con discontinuidades súbitas será tratada en la sec. 2.5).

V o v i \y^-o —e t v i - ^ - J l o Q - S ^ o b ^ o y r \

egrar término por término para obtener ;

j f dt » | s B (L - 0 - ’ T j t - fc» <cos nw0f, - eos nwaí,)

‘ * (*pn « ü 6l , - ien r tu .0 1 - f I

Solu ció n: puesto que f ( t ) es una función continua por tramos y por el resultadodel problema 1.6, la función F ( t ) definida por

/ 'JoF ( t ) = I f ( x ) r f T - i aof

es continua y periódica con período 7\ Puesto que

F '( í ) = /(0 - i - a o,

(1.89)

(1.90)

se sigue que F ’ ( í ) también es continua. Sea la expansión de F ( t ) en serie de Fourier

F ( 0 = j a 0 + ^ ( a n eos neoQt + /Sn sen nw0í). (1.91)n- 1

Entonces, para n ¿L1,

nconT

F ( t ) eos (ncü0() di

F ( í ) sen nw0íT/2

- T / 2

2no .

2

- L *nw„

> r ^/2I F '( f ) sen (ncu0<) df

J - T / 2

X T/2 jsen (noj0t ) dt

T/2

(1.92)

^ rT L ,

F { t ) sen (nco0t) dt

neo TF (f ) eos ncoat

r / 2 2+ —

_ , . neo Xr /2

' 'r / 2

( f ) eos (n<í>0í ) dt

2

n w .r

¡ • T / 2 jI [/ (i) - — aD] eos (ncu0í) dt

J -T / 2

(1.93)

De donde

F ( ( ) = £ a + Y —— ( - bn eos ncü0< + a„ sen na>0t). (1.94)2 ° Z-j . ncon

n= i

Ahora bien;

De donde,

F ( í2) - F ( O = j ' 2 /(T) d T - j a 0 (t2 - 11).

£ 2 f ( t ) dt = F ( í j ) - F ( í j ) + aD (r2 - t¡)

= i a0 ( t¡ - f, ) i- y — [~ 6n (eos ncjat3 - eos nu>0t,)2 L - j nt,j„

+ a„ (sen nw0í2 - sen ncü0f,)l

lo cual se puede obtener de la serie de Fourier de / (f) mediante integración término por término.

■riíÉica cuyo valor

(1-95)

Solución: por el resultado del problema 1.21, se tiene

í /(x) c?T = — aat r (an sen ncuQf - ó „ eos nojat + bn) • (1.96)

El término -§■ ací no es periódico y por consiguiente la integral no es periódica. Nótese que la integración de la serie de Fourier de / (f) término por término, conduce a la serie de Fourier de la integral de f ( t ) solamente si aa = 0, es decir, sólo si el valor promedio de f ( t ) es cero; esto se demostró en el problema 1.5.

Solución: aplicando (1-27) y (1.28), se obtiene

[/M í*1 /•r/2

" 2■ J - T / 2

f T / 21 Ón

• J - T / 2

4 ° T + l |

f ( t ) dt + ¿h : /(í) eos (niu0t ) dtn= 1 L • ' - T / 2

/(O sen (ntudr) dt |

Deesta manera,

(1.99)

1 r T ' 2 i i 00i / l/ (f)P * = i a¿ + i 2 2 « + ¿n2).

-T/2 n= l

1.8 PRO BLEM AS SU PLEM EN TA RIO S

PROBLEMA 1.24 Encontrar el período de las siguientes funciones:

(a ) eos nt, (b ) eos 2nt, (c ) sen (2irt/k), (d ) sen t + sen (r/3) 4- sen (r/5),(e) | sen coQt |.

Pospuesta: (a) 2ir/n, (b ) 1, ( c ) ' k, (d ) 30 v, (e ) n/ua.

PRO BLEM A 1.25 Demostrar que la función f { t ) - constante, es una función periódica de período T para cualquier valor positivo de T.

PRO BLEM A 1.26 S i/ (f) es una función periódica de t con período T, demostrar ose f (a t ) para a ¥= 0 es una función periódica de t con período' T/a.

PRO BLEM A 1.27 Si / ( í ) es una función periódica de t con T e integrable, demostrar

1 f <+sílue f a (O = r — I / ( t ) dx también es periódica con período T.

2a

K t )

t — I’

.......... , . <r .- 2 n - 0 - 1 >77

Figura 1.6 La fu nció n/íf) del problema 1.29.

PRO BLEM A 1.28 Demostrar que si f ( t ) y g (t ) son continuas por tramos en el intervalo (— r/2, T/2) y periódicas de período T, entonces la función

7 L ,h ( t ) =

es continua y periódica con período T.

/ ( < - T ) g ( X ) d x

PRO BLEM A 1.29 Encontrar la serie de Fourier para la función f ( t ) definida por/(r) = 1 para - ir < r < 0, / (i) = 0, para 0 < t < n y f ( t + 2 rr) = f ( t ) . (Ver figura 1.6).

Respuesta:i _ ¿ y sen (2n - l ) r 2 ” 2n - 1

Figura 1.7 La función f [ t ) del problema 1.30. -

f(0

Figura 1 3 La fu nció n/tí) del problema 1.31.

PRO BLEM A 1.30 Encontrar la serie de Fourier de la función f ( t ) definida por f ( i ) = t para el intervalo ( -V , n) y f ( t + 2?r)= f { t ) . (Ver figura 1.7).

Respuesta: 2 S P n. _ ‘ sen nt.

PRO BLEM A 1,31 Encontrar la serie de Fourier para la función/(f) definida por /(/) = t en el intervalo ( - 7r, ir) y f ( t + 2n) = f ( t ) . (Ver figura 1.8).

( - l ) nRespuesta: i n2 + 4 y -— — eos nt. 3 J—*. n2

PRO BLEM A 1.32 Encontrar la serie de Fourier para la función f ( t ) definida por f ( t ) = e1 en el intervalo (— it , ji) y f ( t + 2ir) =/(?). (Ver figura 1.9).

Respuesta: 2 senh u -i + y ~ — - (eos nt - n sen n t ) 2 1 + n2

Figura 1.9 La función f [ t ) delproblema 1.32.

f « )

P R O B L E M A 1.33 Encontrar la serie de Fourier para la función / (í ) = \A sen co0t \. (Ver figura 1.10).

- T ~ ¿ T o j T T

Figura 1.10 La función /(») del problema 1.33.

2/4 4/4 \—1 1Respuesta:— + — > eos (2n&>0í ).

n rr 1 - 4n2

i ¡PROBLEMA 1.34 Desarrollar/(i) = sen2? eos3? en serie de Fourier.

Respuesta:— (2 eos t — eos 3 í — eos 5<)- / 16

PROBLEMA 1.35 Desarrollar /(/) = eT cos! eos (r sen í ) en serie de Fourier.

[Sugerencia: usar la serie de potencias para ez cuandoz = reí1.]

Respuesta: 1 + ^ -L_ eos nt.

yPROBLEMA 1.36 Aproximar la función /(O = t en el intervalo ( - ir, ir) mediante una serie finita de Fourier de 5 términos que sean diferentes de cero. Calcular también

el error cuadrático medio en la aproximación.

Respuesta: 2 ( - 1) sen nt , Es = 0.363.

/PROBLEMA 1.37 Utilizando el desarrollo en serie de Fourier del problema 1.10,

demostrar que1 . 1 1

4 3 5 71

[Sugerencia: hacer t = — T en (1.34).] i 4

^ROBLEMA 1.38 Demostrar que

t K -/r*, n 4 9 16

[Sugerencia: hacer t — ir en el resultado del problema 131.]

'PROBLEMA 1.39 Encontrar la suma de V ' ___ 1¿ - i (2n -¿r* (2n — l )2

íugerencia: hacer t = 0 en (1.40) del problema 1.11.]

espuesta: tt2/8

PROBLEMA 1.40 Si una función periódica/(f) tiene derivadas continuas hasta el orden fe y derivadas continuas por tramos de orden k + 1, demostrar que existe una cota B, dependiente sólo de f ( t ) y fe tal que

i , B .. \u \y |bn <3 „ fc + i

donde a„ y bn son los coeficientes de Fourier de/(í).

PROBLEMA 1.41 Sean/(/) y g ( t ) funciones continuas por tramos con período T, y sean an, b „ y a n, Pn los respectivos coeficientes de Fourier de f ( t ) y g (t ).

Demostrar que. T / 2

— Í / ( f ) é (O d*= \ a0«0 + <'a " an +T ' - T / 2 n = l

1.42 Si f ( t ) es una función periódica integrable, con período T, demostrar que

¿m as bK es un coeficiente de Fourier de /(/) y = 2n/T.

(Sugerencia: desarrollar - j T - t , para 0 < t < T en serie de Fourier.]

PRO BLEM A 1.43 Integrar la serie de Fourier para t 2 en el problema 1.31 para obtener

Y ( - 1) " = _ L y f 1 - i ln = i 12 ¡fr\ n6 945

PRO BLEM A 1.44 Utilizar el teorema de Parseval (1.72) para probar que ^ ^ = -

[Sugerencia: utilizar el resultado del problema 1.10.]

PRO BLEM A 1.45 De un conjunto infinito de funciones reales j 4>n( t ) | , donde n = 1 , 2 , . . . , se dice que es un conjunto ortonormál en el intervalo (a, b) si

J <j>n (í)<£m ( t )d t = Smn ,

donde 8mn es la función delta de Kronecker. Sea/(t) una función definida en el intervalo (a, b ) y si se supone que f ( t ) se puede representar como

f (O = C ,0 , ( í ) + C a <j>2 (t ) + ■ ■ ■ + Cn (j) „ ( f ) + - • ■ = ^ cn <fan ( f )n = i

a i el intervalo (a, b), donde las cn son constantes. Demostrar que

c„ = f / (f )<Í>„U) dt, n = 1, 2, • • • .

U>s coeficientes cr se denominan coeficientes de Fourier de f ( t ) con respecto al conjunto ortonormál I0 n ( í ) j .

k

PRO BLEM A 1.46 Si f ( t ) en e! problema 1.45, se aproxima por/* (O = ^ cn^,„ ( í ) ,- b n = 1

demostrar que el error cuadrático medio — . [f ( t ) - l k ( t ) ] 2 dt es un mínimob ~ a Ja

PRO BLEM A 1.47 Demostrar que si cn son los coeficientes de Fourier de / (f) con respecto al conjunto ortonormál |0„(/)| > entonces

J [/ (f ) ] 2 cff = J c*.

Este resultado se conoce como la identidad de Parseval.

°° K

2CAPITULO

ANALISIS DE FORMAS DE ONDAS PERIODICAS

2.1 SIM ETR IA DE L A FORM A DE ONDA

En el capítulo primero se vio que cualquier función periódicaf ( t ) con período T que satisface las condiciones de Dirichiet, es dedr, que la función /(/)

/(O

(a)

f « )

Figura 21. (a ) Una fundón par.Ib) Una función impar.

Solución: sea/ (í)—/ ,(r ) /2(f). S i/ , ( t ) y f i ( t ) son funciones pares, entonces

Í ( - 1) = 4 (- í) 4 (- í) = /, (0 4 (í) = /(O,y si /i ( í ) y /2(/) son funciones impares, entonces

f ( - 1) = /, ( - r) /2 ( - () = - /, ( o [_ 4 (,)] = 4 (r) 4 (r ) = / (r).

Esto prueba que f ( t ) es una función par.Análogamente, s i/ ,(? ) es par y f 2( t ) es impar, entonces

/ ( - ( ) = 4 ( - 1) 4 ( - f) = 4 ( f ) [ - 4 (r)] = - 4 ( í ) 4 ( f ) = _ /(O.

Esto prueba que/ (f) es una función impar.

2.1 a Funciones pares e impares

k (2.3]

En la figura 2.1 se muestran ilustraciones de funciones pares e ím p á ^ . WSÍWFSM

2.1 DeíHQStr&r tpie t í producto de dos funciones pares, o de dos furscioitt íibpan^-es^una-íuncicai pa í,y qKé' Sl producto de úna función par y una función impar és

cualquier función /(?) se puede expresar como

= j [ / 0 ) + /(-01 + i [/ (0 - / ( - * ) ] . (2.4)

Estonces,

-[/ (r)+ /(-í)] = M í),

— [/ (í) - /(— í)] = f0 ( f ) .

/e ( - t ) = i ( / ( - í ) + m = /8(í ) ,

(2.5)

(2 . 6)

*o ( - o = \ [/ (- í) - /(OI = - i [/ (í ) - / (- 01 = -/ „ ( 0 .

De donde,

f ( 0 = M 0 + M O ,

donde /e( í ) es la componente par y f a( t ) es la componente impar de la función dada,/(f).

Otra forma de solución: si se supone que / (í ) se puede expresar como

f (0 = M 0 + M 0 , (2.7)

donde f e( t ) y f a( t ) denotan las componentes par e impar de f ( t ) , respectivamente.De acuerdo con la definición de componentes par e impar dadas por (2.2) y (2.3), se sigue que

/ (- 0 = M 0 - M O . (2.8)

La suma y la diferencia de (2.7>y (2.8) dan como resultado, respectivamente

f . ( 0 = i [ f ( 0 + / (-* )].

/o (0 = i [ / ( 0 - / ( - 01.

PRO BLEM A 2.3 Encontrar las componentes par e impar de la función definida por [figura 2.2(a ) ] :

' í > 0/ (í) =

S o lu c ió n : de acuerdo con (2.9), se tiene

K - f ) =

Por medio de (2.5) y (2.6), se concluye que

0, í < 0 .

0, t > 0

t < 0 .

(2.9)

(2 . 10)

Figura 2 .2 (a) La funció n/tí) del problerr2 3 . (b) La componente par dt la figura 2 .2 (a), (c) La compo nente impar de la figura2 .2 (a).

e \

t Y o vt ú c -o — vt ^ -S f= > o

HO

fA O = - \ f ( t ) + / (-O I -

- e - f, í > 0

(2.11)2 e *' r < 0 .

— e _ f , f > 0 2

(2.12)

~ 2 e* . <<<>

Las componentes par e impar de f ( t ) se muestran en las figuras 2.2(b-c).

:M A 2.4 par demostrar que • • ‘ ••• p ü

m

Solución: si se escribe nuevamente el primer miembro de (2.13), se tiene

J f ( t ) dt = J f ( t ) dt + J ' f ( t ) dt.

Haciendo í = —x en la primera integral del segundo miembro

J ° f ( t ) dt = J*° f (~ x ) (~dx ) = £ f (~ x )d x .

Puesto que f [ t ) es par, es decir,/ ( - x ) = / (* ), se tiene

f f ( - x ) dx = í f (x ) d x= f /(<) dt. Jo Jo Jo

Lo.cual es cierto pues cualquier símbolo se puede usar para representar la variable “ comodín” ; por consiguiente.

j í ( t ) dt = j H / (f) dt + f ( t ) dt = 2 J e f ( t ) dt.

Solución: si se escribe nuevamente el primer miembro de (2.14), se tiene

j “ ¡ (0 dt = y f ( t ) dt + y í ( t ) dt

í l ( - 0 dt + í í ( t ) dt. J o J o

F ¡gura 2 .3 Simetr ía de media onda.Puesto que f ( t ) es impar, es decir,/ ( - 1) = -/ (/ ), se tiene

t Y o VIÚC-O —d ’t V I ^ J ? o £ -S T = > o t -s ¿ -O Y r )

J i ( t ) dt = - £ f ( t ) dt 4 J * f ( t ) ^ = 0.

E i ¡¡asrkalar,

á áeode.

/(-O ) = -/(O );

/(O) = 0.

2.1 b Simetría de media onda ( o )

f i l i l í CQil P61 io^ ° entonces seí c t cpe b ñ a v á ó n j ^ M á ^ ^ ^ ^ ^ ^ m M a de media onda si satisfacé is '

- , ( r { r ) . (2 16)

(b)

Figura 2 .4 (a) Sim etría de cuarto deonda par. (b) Sim etría de cuarto de onda impar.

PROBLEMA 2.6 Si una función periódica f ( t ) tiene rimé t í t de inedia onds, d a s n u s tm f e

/(*) = - / i r - i A l l l l l

So lu ció n : Si f ( t ) tiene simetría de media onda, entonces, de acuerdo con (2 .16), se tiene

/(O — / ! í+ 2 r '-

Puesto que f ( t ) es periódica con período T,

Por consiguiente.

/«.=-/(,+H = - í K 7').2.1 c Simetría de cuarto de onda

y dice qu e/ (ó tiene una simetría de cuartode ohda paro impar La figura 2.4

2.1 d Simetría escondida

as de ondas con simetría de cuartc

e debido a la presenc a ilustrar e

SgÉá de un¡iíf»aliÓfet>eriódica no es tante. El siguiente ejemplo servirá

PROBLEM A 2.7 En la figura 2.5(a), demostrar que si se construye una nueva funciónsustrayendo de/(r) el término constante A/2, la nueva función es una función impar.

So lu ció n : la sustracción del término constante ,4/2 de f ( t ) , solamente desplaza el ejehorizontal hacia arriba en A/2. Como se muestra en la figura 2.5(b), es obvio que la nueva función g ( t ) = f ( t ) -A / 2 es una función impar.

Figura 2 .S (a) Simetría escondidaib) Sim etría impar.

2.2 C O EFIC IEN T ES DE F O U R IER DE ONDAS SIM ETRICAS

El uso de las propiedades de simetría simplifica el cálculo

PR O B L E M A Z S S¡i A * ) « -5-r>'! fu n c ió n p e ñ ó E c a p ac c o n p e r ío d o % á e m a s tn w q u e se

serie de Fourier consta de una constante y de términos del coseno solamente, es decir,

m

y a „ e s tá d a d o p o r

; í

2»T '

T'2 U t i co* -á-lf'. j (2.19)

Solución: el desarrollo en serie de Fourier d e/ (í) es

E (an eos n<o0t + 6n sen ntu0().2

Por (1.27) y (1.28), se tiene

2 C T/2

- l í

b"4 I

f ( í ) eos (ncu0f) dt, n = 0, 1, 2,T/2

T / 2

b„ = — | /(t) sen (ncoBt ) dt, n = 1, 2, .• T / 2

Puesto que sen nco0t es impar y f ( t ) es par, el producto f ( t ) sen n u 0t es una función impar. Por consiguiente, de acuerdo con (2.14),

bn = 0.

Así mismo, puesto que eos nui0t es una función par, el producto/(f) eos nco0t es una

función par; por consiguiente, según (2.13), se tiene

* „ = 4- fT J o

T / 2í ( t ) eos (nojat) dt.

puesto que/ (í)es una función impar, el producto /(/) cos nu¡at es una r, y el producto/(r) sen nu>Qt es una función par. Por consiguiente, de

coo (2.13) y (2.14), se tiene

a n = 0 , bn =- T Í

/(O sen (no>0t) dt.

2.10Jir^qgK tiene

ación: el coeficiente an en la expansión de Fourier de una función periódica

2 /•r/2/ ( f) e o s (n o j0t ) dt

/(f) cos (nw0t) dt t J f ( t ) cos (nw0í) dt

Cambiando la variable f por ( t - 7") en la primera integral, se obtiene

- - T I c o s | / - - T

+ I /(<) cos (naj„r) dt

Puesto que/(f) tiene simetría de media onda, si se tiene en cuenta la propiedad ñ f ) = - f { t 7") de (2.17) y el hecho de que sen wr = 0,

2 r T/2 a n = — I [~ f ( 0 cas (nio0t) cos n¡ 7 + f ( t ) cos (naj0/)] dt

0

' — H - ( - l ) n1i f /(O COS (nwc() dtJo

para n par

f ( t ) cos (naj0í ) dt para n impar

Un desarrollo similar muestra que

fob.. =

j i :

para n par

/ (f ) sen (noj0í) dt para n impar

( 2.22)

(2.23)

(2.24)

M A 2 .fi Demostrar qúe la serie de Fourier de cualquier Función periódica pif¿;^^|aís##ncnte de armóriKos impares de

del coseno, es decir.

donde

•n M '.v-": • • : . - I i " . . p 2»?

IBIiSSISliílSBISlSBlBÉillIlMISSIISISl l l l l i la r T / *

a 2n-1 f /Ce) COS t(2r» - 1) dt.

f l B I

So lu c ió n : puesto que f ( t ) tiene simetría de cuarto de onda par,

^ i ( t ) = / ( - O -

/(í + |r)= ./w .

Por los resultados de los problemas 2.8 y 2.10 se tiene, por consiguiente, que

6n = 01 para todos los valores

a - 0 í n (incluyendo a0),

a 2 n - l = i r T/:t X

Mfr - T / 5

+ J¿ T / 4

/(f) eos [ ( 2n - 1) <w0<] dt

f ( t ) eos [ ( 2n - l )V i0í] dt

f ( í ) eos [ (2n - 1) td0f] dt

Cambiando la variable t por ( í + - j T ) en la segunda integral, se tiene

4

(2.27)

(2.28)

/(O eos [ ( 2n - 1) <y0f] dt

+ J f + j T j eos j (2n ~ l)<u0 j

Si se usa la propiedad / ( í ) = ~ f ( t + T ) , se tiene

a2n_ ! = — | f /(f) c o s [(2n - l )c d 0í] dt + f f ( t ) eos [ ( 2n - 1) w0íj dt^ [J0 •'-r/4

(2.29)

£ f ( í ) eos [ ( 2n - 1) w0¿] di. (2.30)

Dado q u e / (- í )= / (0 y/ (O cos K2w “ O ^ o * ]es una fundón par, según (2.13)

se obtiene

a 2n -i = f /(í) cos [(2n — l)e>0í]c/f■

PROBLEMA 2.12 i' ;Démostrar qpe la-^rie.dé'Pótiíief defcyalqpiepJúnaón periódica/ ( í ) que tiene simetría de cuarto de onda impar; consta de armónicos impares de

V b v i ¿-¿-o —£ * £ Vi 9 -S j=>o t v^ -o v n

- ^ sen I(3n - 1)

'« » = ^ r 5 y

SCIl ísJjjfj di•

i: puesto que f ( t ) tiene simetría de cuarto de onda impar

1

l i l i l íIIIIII§§1I1

lü = 8811 1 =.•

Par cccEáguiente, de los resultados de los problemas 2.9 y 2.10, se tiene

a„ = O'

b 2n-l =

~ fr Jo

n el pr<

8_ r 1

r Jo

para todos los valores de n (incluyendo a0),

( ( t ) sen [ (2n - 1) o 0f] dt.

(2.33)

(2.34)

esta integral como en el problema 2.11

T / 4i ( t ) sen [ ( 2n - 1) cu0í] dt.

f (0

s í la figura 2.6.

So lu c ió n : por la figura 2.6, se tiene

/ ( - f ) - / ( í ) y / (í + - r ) = - f « ) ,

1i11i f

! T T 0 T T

4 2

i decir, la función f ( t ) tiene simetría de cuarto de onda par.Por consiguiente, según el .resultado del problema 2.11, se tiene

Figura 2.6 La onda cuadrada del problema 2 .13

f 2 „ - 1 e o s [ (2 n - 1 ) w 0f l ,277

(2.35)

8 f r/4• 4 JJo

4 /-'o(2n - 1 ) ü)or

4

/(f) eos [ (2 n - 1 ) c j0í ] dt

eos [ (2 n - 1 ) 6>0í] dt

sen f(2 n - 1 ) w 0í]

sen

(2n - 1) n

(2n - 1) \

para (2 n ~ 1 )= 1;5 . . .

para (2n - 1) = 3,7 . . .

(2.36)

(2.37)

Y o v i UC.O — vt t -s¿.o v n

de donde,

i ( i ) = (eos ti)Qt - i eos 3ai0í + ^ eos 5w0í •). (2.38)

f(0

1

i i .

PRO BLEM A 2.14 Encontrar la serie de Fourier de la onda cuadrada que se muestra en la figura 2.7.

Solu ción : por la figura 2.7, se tiene

/ (-r ) = - / ( f ) ,

Figura 2 .7 La onda cuadrada del problema 2 .14 .

f(t)

(o)

é (0

f [ t + - T ) = - / ( f ) ,

es decir, la función/(f) tiene simetría de cuarto de onda impar.Por consigueinte, según el resultado del problema 2.12, se tiene

f (0 = J ' ' b2n~i * n [ ( 2n - 1) <u0f], co0 = — n= 1

8 r T/4

(2.39)

b 2 n - l = H /(f) sen [ (2r» - 1) <u0f] dt

8 CT/4— I sen [ (2n - 1) o 0t] dt

•'o

. Qe o s [ (2 n - 1 ) <y0r](2n - 1) <aor

“ í1 ~coa [C2n - 15 ?]}(2n - 1) n ' (2.40)

de donde

t / 1 1í ( 0 = - (sen (ovt + - sen 3tu0f + - sen 5co„t + •

á J (2.41)

Se debe notar que este resultado es el mismo del problema 1.10.

Por los problemas 2.13 y 2.14, seobsem quemedisaiétfn* adecuada selección del origen (es decir, desplazamiento en el tiempo), se puede desarrollar la función ya sea como

upa serie d f lérininos del coseno o como mu serie de táim iÉlidei seno Por supuesto, e l ! rigen se puede seleccionar en cualquier parte, por lo cual» en general se obtiene una serie

que contiene términos tanto del seno C (

Figura 2 3 ' (a) La fu n c ió n /(í) del problema 2 .15 . ib) La componente impar de /(() de la figura 2 £ (a ).

PRO BLEM A 2.15 Encontrar la serie de Fourier de la función f ( t ) que se muestra en , la figura 2.8(a).

S o lu c ió n : como se muestra en la figura 2.8(b), la función g (í) = \f(t) - -L] es unafunción impar; por consiguiente

É (t í = ^ bn sen ncúat, <u0 = — f (2.42)

4 rJ - T ,g ( t ) sen (na)0í) dt. (2.43)

« t e s a a s r : » noj0t es una función par, de (2.13), se tiene

í,3?

39

4 r T n bn = Y I É (0 sen (nco0t) dt. (2.44)

K O - y - ^ í para O < t < T

4 r T/2 ( l i \bn = r J \ 2 ~ r V ^ ^ o O dt .

¡■i H m io por partes, se obtiene

bn = —T

1 1 j eos no)0í sen mo0t

2 ~ T ) T (n<y0)sJ rw(2.45)

fm ecnaaguiente,

/ (f) = - + é (0

1 1 / 1 o 1 »= — + — sen gj0í + — sen ¿cú0t + — sen oa>0t + • • .2 n \ 2 3

(2.46)

KK36LEMA 2.16 Teniendo en cuenta el resultado del problema 2.15, encontrarla s de Fourier de la función/(f) que se muestra en la figura 2.9(a).

So lu c ió n : por la figura 2.9(b) y el resultado del problema 2.15, se tiene

1 l f - ' l

Pbr tanto,

f. ( í ) = l - /(O = X-+ - y 1 - sen no)Bt.» 2 v í—i nn= 1

f (0 = l - / , ( 0

1 V -1 i= 1 - ------ > -sen na¡0t2 v *—* n

1 1 / 1 0 1 ,= — sen cü„t + — sen 2o>0f + — sen $a>0t

2 n \ 2 3

2.3 EXPANSION EN S E R IE D E FO U R IER D E UNA FUNCION EN UN IN T ER V A LO FIN ITO

Una función/(í) no periódica, definida en cierto intervalo

(2.47)

f, (0 = l - / ( í )

(b)

Figura 2 3 (a) La función f i t ) delproblema 2 .16 . (b) La función f i (f) del problema 2.16.

t Y o V i ¡s¿-o — V I t - z ^ - o v n

lamental deseada; además/(/) se puede representar por una serie de no o coseno solamente, lo cual se puede hacer construyendo una función SI nada que sea idéntica -¿ f ít ) en e l m t e r ^ <Q,i^ir«#é^átisfagá las M s ~simetría que Condúzcan a la forma deseada de ¡as series de Fourier.

y vA z i

(b)

/ // / T / T = 2 T

/( c )

v / \ / V .(f)

/ T = 4 T

N /

F ig u ra 2 .1 0 (a) L a fu n c ió n / ( f ) dada. (b) S im e tr ía p ar: térm inos del coseno , c j0 = tr/t. (c) S im e tr ía im par: térm inos del seno, u ¡0 = ir/r .(d) T érm in o s del sen o y del coseno , u 0 = 2 ir/ r '{T : arb itrario ).(e) S im e tr ía d e m edia onda: térm inos del seno y del coseno , y arm ónicos im pares, o>0 = jt/t . (f I S im e tr ía d e cu arto de onda par: térm inos del coseno y arm ónicos im pares, u>0 = rr/ (2 i) . (gl S im e tr ía d e cu a rto de onda im par: térm inos del seno y arm ónicos im pares, iu 0 = V ( 2 i ) .

2.3a Expansiones de medio recorrido

tr V o v i ¡/¿-o —e t v i O - S ^ o t -yCrOw i

U W y í2 5 1) , representan ambas ta m iá ih a :tó@ E | | ^ í .d tS B E ife este intervalo, la

i T = 2r [figurade/(r), con período T-~:2r .[figura Í| i| ^ | p iE É :

í están dados por (2.-50) y (2.52) se denominan áe i i fundón f ( t ) daéjs;::

IffUfOELaiA 2.17 Dada la función (figura 2.11)f (n

K t ) =

0 para 0 < t < —

1 para - n < t < n ,

(2.53)

«aarcilaT /fr) en una serie de Fourier de términos del coseno y trazar la correspondiente periódica de /(?).

Figura 2.11 La función/ { ( ) del problema 2.17.

Sttiieidón: en la figura 2.12 se muestra la gráfica de la extensión periódica par de /(?).feasto que f ( t ) se extiende a una función par, se tiene

b „ = 0, n = 1 , 2 , ■ - ■ .

r 2_50), se tiene

2a„ = — I 1(0 cos (n0 dt = i f e o s

* J rr/2

2sen nf

n n

(n i) dt Í , ( 0

■n/2

,---------------, !1 1 1 ■■ 1 1 1

11! t

-77 ^ 77 0 77 77

2 nn— sen — nn ¿

(2.54)

sed es.

Figura 2 .12 La extensión periódica par de fU ) de la figura 2.11.

0, n par (n T 0)

n = 3, 7, • •

f e s n — 0,

De esta manera, se tiene

> . = 2- C77 J-rr/2

dt = 1.

4 ( O = ;r - — ( eos t - i cos 3f + — cos 5í - • 2 tt \ 3 5

(2.55)

(2.56)

WO

para 0 < t < it.

x11 1 1

¡ ¡ t— Tt

! 2

0 V W ¡ j

2 ; <

PRO BLEM A 2.18 Desarrollar f ( t ) definida por (2.53), en una serie de Fourier expresada a i términos del seno y trazar la correspondiente extensión periódica de f ( t ) .

Solución: el gráfico de la extensión periódica impar de f ( t ) se muestra en la figura 2.13.

Figura 2 .13 La extensión periódica impar d e / ( í) , de la figura 2 .11.

Y o v i i ^ - o — vi -^ -J ¿ o ^ -S f= > o

'(O

Figura 2.14 La fu n c ió n /(í) del problema 2.19.

fo(0

k

Puesto que f ( t ) se extiende a una función impar,

a„ = 0, n = 0,1,2,-

Por (2.52), se tiene

* . , * r" Jo

n

/(i) sen (n i) c/i

sen (n i) dt

Wr/2

_2_

nacos na- — eos — n a- 2

esto es,

í>„ =

— , n = 1,3,5, nn

- — , n = 2,6,10, ■ nn

0, n = 4 ,8 ,1 2 ,-

Por consiguiente,

2 / 1 1 f „ ( t ) = — (sen i + - sen 3 í + — sen 5í + ■

— 1 sen 2í + i sen 6í + — sen 10i + • • •

para < 0 < t < jt

PRO BLEM A 2.19 Dada la función (figura 2.14)

f ( t ) = <

2* 1 , — i para 0 < t < - l

2 k 1— (/ — 0 para — l < t < ! ,

desarrollar / ( i ) en una serie de Fourier en términos del seno.

S o lu c ió n : la extensión periódica impar de f ( i ) se muestra en la figura 2.15.Puesto que/ (i) se extiende a una función impar,

/\/ t an = 0, n = 0,1,2, — .


Figura 2 .15 La extensión periódica impar de la figura 2.14.

bn = j j sen dt

Y o v i i ^ - o — V I

(2.57)

(2.58)

(2.59)

(2.60)

delta, se puedb. definir de varias maneras. 'Generalmente

) indica que S(í) es ¿eró excepto en t =4‘Ó, donde * nPl e { 2 .6 6 ) | |. :jp ¡ .=::::áelti tariibiénise puede definirep.íérrninós delüspr

ílatmáa función generalizada (o suúbQlicáy: p j | | qbe la función f ( t ) (llamada función de prueba) és

siáíl3ÓÍÍcaj¿TÍá;rélaíáón, vía . \ L’ i

l a expresión i 2.67)no tiene el significado común ■negral, así como la función.S(f),están definidas ¡

pn c íón <>(/). . . . . . . ¡

Con la Interpretac^í S l É ^ ^ i i g f e ln e Si fiinción ordinaria, exceptoque nunca se hablará d'

LA FUNCION IMPULSO

x k panes, se obtiene

Í r ( a = \ . I t nn— r dt eos — i

V / / nn /

(2.61)

(/ - r) sen „ l ¡ 1 ! 2 1dt = eos -n n * —— sen - n n .¿nn ¿ nn- 2 ( 2 .62 )

(2.63)

/(O = (2.64)

en (2.60),

(a t )0 (t ) di = i - p * ( 0 0 ^ dt • i j 0 (0).

Solución: con un cambio formal de la variable independiente, es decir, t - 10 - t ,

de donde t = ta + t , y dt = d%,

£ 8 (t - ío) 0 ( f ) dt = J* 8 (T )0 (T + t0) dT = I S (t)d > (í i t0) di;

entonces, mediante (2.67), se tiene

I

£ 8 ( í ) 0 ( t + í0) d i = 0 ( f + í0) = 0 ( 0 -<=o

Análogamente, con a i = t , t = t/a, d i = - d t, si a > O, se obtiene

J ° ° 5 (a t) 0 (O d¿ = ¡ ; p 8 <T> ¿ ( 7 ) dT

- r r 0 (0);

si a < 0,

£ 8 (a () 0 (0 dt = ¿ I 8 (T >0 - dT

é £ 8 (0 0 - dt

1= 1-7 0 (0).

ión # (/) continua en / = ta. S¡ a

¿ ('o ) para a < t „ < ta < a.

So lu c ión : aquí la expresión

r 8 (t - t„) é ( f ) dt

(2.70)

se puede interpretar como sigue: si se selecciona la función de prueba 4>(t) tal que

¡ g ( t ) para a < t < b

, 0 para b < f0 < a,0(0 =

entonces, por ( 2.68), se tiene

(2.71)

J" 8 ( í -•'(„) ¿ (0 di =j~ 8 (t - fo) 0 (O dt = 0 (íe) =£ ( í0) para a < í0 < 6

0 para b < f0 < a.

acaí de nuevo la interpretación de la expresión

8 (t - t„ ) dtfá se selecciona la función de prueba <p(t) tal que

1 para o < t < b0 (0 --

0 para b < f0 < a ;

par ( 2.68), se tiene

J* 5 ( í - t0) dt = J 5 ( f - f o) 0 ( O *

= 0 ( 0

1 para a < t0 < b

O para b < t0 < a.

W F M A 223 Demostrar que

« / (/ ) es continua en r = 0. PóManto, demí irqú?,

■ xH B E ;E E E ;:»:ÍiS S E Í^ «*:E E H la

I l l l l l l l l l l l i l l l i i i l l l i ...................i ció n: si f ( t ) es una función continua, entonces

J ° ° [/(O 8 (01 0 (O dt = J ° ° 8 (O [/ (O 0(01 *

= f (0) 0 (0)

= /(O) J ° ° 5 ( 0 0 ( 0 *

= J * ~ [/ (O )S (O l0 ( O * .

(2.72)

(2.7a)

(2.74)

(2.75)

(2.76)

(2.78)

Puesto que ó (0 es una función de prueba arbitraria, se concluye que /(/) 5 ( f ) =/ (0 ) 6 (/).

£egún este resultado es obvio que

t 5 (0 = 0.


f 5 (aO0(O * = -i- 0 (0 ) = f 5 (0 0 (0 * = f 7 7 <5(00(0 * •M la| J-co Ia!

V o v t v t o - S f = > o

Por tanto,

5 (S í) - r“ "7 S (t).Ial

Haciendo a = — 1 en el anterior resultado,

g ( " f) = P | <5(0 ' 8 (0 ,

lo cual muestra que 6(/) es una función par.

2.4a Derivadas de la función 6

K;perivadar^^|ÍBÍ6( í ) está definida por

ijiifiieffiígBfeíS ffjjMáí h {ty d t es uní la función de pnieba 0{ í ) . enésima de te función $

K im itA - * *

legamente mediante te aplicación de (2.79); es

d " 0 (í>

Solución: considerar la integral dada por

J 0 (0 0 ( 0 dt.

Integrando por partes, se obtiene

J ° ° 0 ( 0 0 ( 0 dt = /(O 0 (0 - f (O 0 ' (0 dt. (2.83)

Si se recuerda que la función de prueba 0 ( í ) es tal que se anula fuera de algún intervalo, es decir, es cero en t = ±°°,

Y o v i u c .o — v i ^ J l o Q - S ^ o t v A J v n

J~ {'(i)tfi(t) dt = - J " f(t) 4>’ (f) dt.

Se notar que la derivada f ( f ) de una función generalizada arbitraria está por (2.82).

2-25 Si f ( t ) es una función continua y diferenciable, demostrar que la fnducto

1/(0 s c o r - r tó S 'íD * r u i d o )

:ndo.

(2.84) i

■: utilizando la expresión (2.82), se tiene

| íf(O 5 (O l'< M 0 dt = - J ° ° f / ( f )S ( r ) l * ' ( í ) dt

m- 8 (t) [f(t) 6' (01 dt

- J “ á ( O l [ / ( 0 < ¿ ( 0 ] / t O 0 ( í ) l *

= - J 5(OI/(O0(Ol'<ft + 5(0 t/'(O0(Ol dt

= J 5'(0(/(0 0(01 dt 4 J ’*’ 18(0/'0)1 ¿(Odt

= J°° IS'U) f(t) f 5 (0 /'(O l 4>(t)dt. (2.85)

?sr tanto.

1/(05(01 '= /(t)5'(0 + /'(/) 5(0.

Solución: por (2.84), se tiene

/(O5'(0 -1/(05(01'- /'(O 5(0.Presto que según (2.74) se tiene,/ ( í ) S ( í ) = / ( O ) S ( r ) ,

/'(05(0 - ir(0)5(0. '

i/(o)g(or= /(o)ó'(o.i Sustituyendo en (2.87), se obtiene

/(05'(0= /(0)5'(0- /'(O)5(0.

(2.87)

rar que b función Ó es la derivada de la fundón u(¿), la cual

i ’u(0«

Y o vt vt ■ ^ J t o f f - S T ’o f c ^ o y r x

Figura 2.16

f(t)

O t,|

Figura 2-28

u ( í )

O

La función unitaria de Heaviside o función escalonada unitaria.


J* dt = - J (0 dt.

Pero, según (2.88), se tiene

J ° ° tí ' ( t ) <f>(t) dt = - J* # (0 dt = - [<f> ( » ) - (0)] = <f> (0),

porque 0 (°°) = 0. Entonces,

J u'(t)<f>(.t) dt = J * S{t)<f>(.t) dt. (2.89)

En consecuencia,

U' ( 0 = ^ = 5 ( f).<*

(2.90)

PROBLEMA 2.28 Si /(/) es una función continua por tramos con discontinuidades súbitas a i , « 2, — - en r ¡ , t2, ■ ■ ■ (figura 2.17), y la función/ ’(? ) está definida en todas partes excepto en estas discontinuidades de número finito, encontrar la derivada

generalizada de f ( t ) .

S o lución: considerar la función

g (t ) = f (<) - y - ' ak u (t - tk) ,

/f

donde

1 para í > tfc

(2.92)

u ( í - #„) =

Una función continua por tramos con discontinuidades súbitas.

0 para t < tki

La función g (t ), obviamente, es continua en todas partes y su derivada es igual a / '(O

excepto en un número finito de puntos.Por tanto, la diferenciación de (2.92) da

(2.93)g ' ( t ) = f ' ( t ) - ^ ak 5 (í - tk)k

Teniendo en cuenta (2.90), por (2.93), se tiene

n t ) = g ' « ) < J ] a k S ( t - t k) . (2 .9 4 )k

Y o vt Ú c -o S i z v i -^ -S lo ü -S F ^ o ÍZ s ¿ -O Y Y \

2J5 S E R IES D E F O U R IER D E LA S D ER IV A D A S DE FUN CION ES PER IO D ICA S DISCONTINUAS

2.29 Encontrar la serie de Fourier para la derivada de la forma de onda 2.18.

de acuerdo con el resultado del problema 2.15, la serie de Fourier de f ( t ) por „

1 1 « A 1— sen nü>„t

1 1 v -1 1 n2 w ._= - + - > - s e n — - í . (2.99)

2 n í—d n T

Figura 2.18 La forma da onda del problema 2.29.

Diferenciando término por término, se tiene

Í 'U ) = - Y c o s ü ^ L t. (2. 100)T l—> T

n = 1

Por otra parte, según (2.94), se tiene

í ' ( t ) - - 1- * ¿ S(f-nT). (2.101)

Se observa que la serie de Fourier (2.100) no es una serie convergente en el sentido ordinario, pero se puede decir que la serie ( 2.100) converge a la función generalizada

( 2.101) en el sentido de una función generalizada.

S f t + T ) 5 ( 0 8 ( f - T ) S « - 2 T >

R p n 2 -1 9 U n tren periód ico de im pulsos un itarios.

PRO BLEM A 2.30 Deducir la serie de Fourier para un tren periódico de impulsos

unitarios ST ( t ) mediante la aplicación formal de (1-27) y (1.28).

So lu c ió n : suponer que

S r (0 = \ + £ (a „ eos nu0t + bn sen n«u0í). (2.105)!

n= 1

Aplicando (1.27) y (1.28), mediante (2.70) y (2.72), se tiene

I a = L f T * M 0 d í = L f T 2 S ( í ) dt = —, (2.106

2 °~T L /2 T¿r/2 T/•T/2 2 fI 8t (t) eos (n «0í) dt = — I

v ' -T / Z

a„ = - f T/2 (t ) eos (nw0í) di = - f S (í) eos (no>0í) d i = - eos nw0í-T/2

2r . (2.107)

/ ( 2.101) se obtiene un resultado interesante, a saber, la expi tren periódico de impulsos unitarios (figura 2 19), e » decir

i) muestra que el tren periódico de impulsos unitarios consis cao la .misma amplitud de

e impulsos unitarios es una función muy útil y por consigan: sta función mediante un símbolo especial 8r ( í ) . De este mt

- Y o vt ts £ -o — V I w t

r2 p T / 2

~ T J 8J- T /2

2T

= 0 .

sen noi0t

De donde,(2,108)

(2.109)

2.6 EV A LU A CIO N DE LO S C O E FIC IE N T E S D E F O U R IER POR D IFER EN CIA CIO N

PRO BLEM A 2.31 Encontrar la serie de Fourier para la forma de onda de la ñsnra 2.20(a), hallando la primera derivada de f ( t ) .

So lu c ió n : sea

f (0 = j a0 + ^ (an cos ncó0t + bn sen no>0í),

n= 1

= 2 a o + ^ c o s sen na>0t ) ,

n= 1

ácnde

(2.110)

(2.111) /(O

í if . i! I

Diferenciando (2.110) término por término e igualando con (2.111), se obtiene

De donde,

<X„ = na , bn, fin = ~ nco0 an.

- . a*.

(2. 112)

(2.113)

testo que/ '(0 es una función generalizada impar [figura 2.20(b)], se tiene

4 r v•'O

— T T id o d r T

2 2 2 2 (a )

¿ S [ í + ^ | ' W

' ( f ) sen (ncu0f) cft =

07)

n = 1,2,

, T „- A 8

4 A 1 — sen ncd0t

T |

4 A—— sen T

'nüj0d\ ~ r

(2.113)

sen (noj0t) dt

T d

2 2

~A5f t ----2

(b)

Figura 2 .20 (a) La forma de onda del problema 2 3 1 . (b) La primera derivada de la forma

(O 1 1 r> de onda mostrada en lafigura 2 .20(a).

\C i f e a S . t Y o VI ¡/ ¿ -O — e - t VI

De acuerdo con esto, por (2.113), se tiene

fí„ 4 A (no)0d\ 2 Ad— = sen — 5 - = ——- , ,m>0 n u j \ 2 ) T ína>nd

rt(oad\ I nnd^ l " Y " ) 2 -4d l T

T ¡nnd

~T

(2.116)

(2.117)

Puesto que el término constante 4 «o se anula en el proceso de diferenciación, teniendo

en cuenta (1.23),

^ r2 ° T J_rT / 2 m d < = A- ± .

Por consiguiente.

nrrcf2rr

cosjn — í) -

(2.118)

(2.119|

PRO BLEM A 2.32 Utilizando la serie de Fourier del tren periódico de impulsos

unitarios (2.103), resolver nuevamente el problema 2.31.

So lu c ió n : la derivada/'(í) de la figura 2.20(b) se puede expresar así

L8 [ t + — d - nT - A


¿ s (, 4 <,- nr) 4 4 ¿ cos['“ -(,+í rf

¿ ¿ cos[“"(,"4)

(2 . 120)

(2 .1 2 U *

(2 .122)1

donde w0 = y - Sustituyendo (2.121) y ( 2.122) en ( 2.120), y utilizando la identidad

trigonométrica eos ( A + B ) - eos (A - B ) = - 2 sen A sen B, se tiene

/'(O = y - ¿ [eos {iu »0t + ^ j - eos |nw0( - ^ j ]

sen 8611 (n6V ) . (2.123'

De donde,

/3n = - H s e n ^ , an = 0. (2.124»

Y o v i i ^ - o —e t VI ■ ^ - J lo ü -S T ’o b o y y \

De esia manera, se obtiene

/3„ 4 A ín n d= - J- n- = sen I —

nco0 ncó0T \ T

2A ínrrd= — sen -----

n r I T

ín n d \ sen -----= 2Ad \ r )

T /nnd '

\ Tbn = 0.

(2.125)

(2.126)

PRO BLEM A 2.33 Encontrar la serie de Fourier para la forma de onda de la figura 2.2l(a ) por diferenciación.

f (0

f\ n

t " ( o .- A - 8 ( t - d 2,dj — dí

-d j

- S ( í - d , )

(c)Figura 2.21 (a) La forma de onda del problema 2.33. (b) La primera

derivada de la forma de onda de la figura 2.21 (a), (c) Una función par generalizada/"(f¡ de f { t ) , de la figura 2.21 (a).

So lu ció n : si f ( t ) se desarrolla en una serie de Fourier

= 2 + ^ (an eos ncü0t + bn sen nru0f), (2.127)

r V o v i v i ^ -S f= > o

donde ojQ = 2n/T, entonces

/'(O = ^ (-noj0 a„ sen n<o0t + nw0 bn cos ncú0t), (2.128)

í " ( t ) - ^ [-(n<y0)2 an cos n&>0í - (n&j0) 2 bn sen ntu0í]. (2.129)

[Ver la figura 2.21(b)]. Ahora bien, según la figura 2.21(c),/” ( f ) es una función par

generalizada y

f " ( 0 = A l - S ( t - d t) f d ( t - dt)\, 0 < t < \ t . (2.130)d2 - d , 2

Por tanto,

— (noj0Y bn = 0, bn = 0, (2.131)

4 r T/2-(n w 0) 2 an = — I f " ( t ) cos (nco0t) dt

^ Jo

4 A

T (d 2

4 A

— Í- dt) J0

T (d2 - d,)

4A

n (nw0)2 T (d2 - d,)

[ - § ( í - c?,) + § (t - d2)] cos (n(o0t ) dt

(cos n0dt — cos nojad2), (2.132)

(cos nco0d, - cos m j0d¡)

' ' '1 (cos no>0d, - cos ncú0d¡). (2.133)n2 n2 (d2 - d¡)

El término constante ^ aQ se puede obtener así:

1 1 Í T/2 A- a „ = /(í) dt = — (d, + d2). (2.134)2 T I Tr /2

Por consiguiente,

f (0 = — (d, + d ,) + -----— — - V 4- (cos n<ú0d. - cos na)0d,) cos ncu0í. (2.135)T n2(d2 - d , ) 4—< n

2.7 PRO BLEM AS SU PLEM EN TARIO S

PRO BLEM A 2.34 Probar que la función cero es la única función que es simultáneamente

par e impar.

PRO BLEM A 2.35 Si la función / (f) es impar, probar que | f ( t ) | es par.

PRO BLEM A 2.36 Sea la función f ( t ) díferenciable en el intervalo (— a, a). Demostrar que su derivada/'(f) es impar cuando / ( í ) es par, y par cuando/(f) es impar.

PROBLEMA 2 7 Encontrar las componentes par e impar de las siguientes funciones:

fe. e ;. (b) --t . ’ (c ) t sen t - sen 2f.f - 1

fapas&z: (a ) f e (f)=--cosh t, /0(í )^ s e n h í, (b ) /e ( í ) = i - h l fn( t ) = 2 íf 2 - 1 ’ f2- 1

(c ) /„( í ) = f sen f, 4 ( 0 = - sen 2 f.

23LE M A 2.38 Encontrar la serie de Fourier de la función f { t ) definida porf ‘ = 0 1 para ( - rr, rr) y f ( t + 2 n )= f ( t ) . (Ver figura 2.22.)

B rassta: I L _ ± Y i eos (2n — 1) í .2 n f e (2n - 1 )2

r JBLEMA 2.39 Sea f ( t ) una función periódica con período T definida en i f l , T/2), cuya serie de Fourier es

/ (O = ^ (an eos nw01 + b„ sen nw00 , cn0 = ■n = l T

S/e (0 y f o (0 son las componentes par e impar de/(r), demostrar que las series de Fmner de f e( t ) y f 0( i ) son, respectivamente:

0 ( 0 = y + an eos na>0 1 y 4 ( 0 = ¿>n sen no>0 1.n= 1 n =]

PROBLEMA 2.40 Utilizar el resultado del problema 2.39 para encontrar la expansión serie de Fourier de cada una de las siguientes funciones, definidas en ( - m, v ) con

le iodo 2ir. (a ) cosh t, (b ) senh t. - ■

cia: utilizar el resultado del problema 1.32.]

Respuesta: (a ) 2 senh yl + Y ± ± L c o s n t

2 h i 1 f n ?

. . 2 senh „ ^ 4 ( - l ) n + 1(b j ------------- > « n sen nt.

PRO BLEM A 2.41 Demostrar que el valor de la media cuadrática de f ( t ) es igual a la fitoa de los valores de las medias cuadráticas de sus componentes pares e impares o sea,

T / 2f i / ¿ r * / ¿ rs r .

T/2 T J -T / 2 — T/[ 4 ( 0 ] * * .

Figura 2 .22 La fu nción/(f) del problema 2.38.

PROBLEM A 2.42 Sea la función/(t) periódica con período T. Si f ( ~ T ~ t ) =/(/), determinar el comportamiento de los coeficientes de Fourier an y bn d e f (t ). Ilustrar j f r ) gráficamente.

Respuesta: a2n+1 = 0, b2n = 0.

PRO BLEM A 2.43 Si la función periódica f { t ) con período T satisface/ ( - T - t ) = ~ f { t ) , determinar el comportamiento de los coeficientes de Fourier an y bn de f ( t ) . Ilustrar f l í ) gráficamente.

Respuesta: a 2n = 0, b 2n+1 =0 .

PRO BLEM A 2.44 Sí la expansión en serie de Fourier de f ( t ) en el intervalo (— T/2, 7/2]

— a0 + Y ] cos ncü° f sen n^o 0, <u0 = 2n/T,

demostrar que la serie de Fourier de cosenos y la de senos de f ( t ) en el intervalo (0, T/2) son, respectivamente:

a0 + ^ 2 a „ cos no)0t y ^ 2ón*> = 1 n=i

Suponer que f ( t ) = 0 para - | K r < 0.

PRO BLEM A 2.4S Representar las siguientes funciones por una serie de Fourier de cosenos y trazar una gráfica de la correspondiente extensión periódica de /(r):

(a ) / (f) = t, 0 < t < rr, (b ) f ( t ) = sen 2L t, Q < t < l .

Respuesta: (a ) F- _ -1 Y ’ ----- eos (2n - 1) t ,2 n ir-,i (2n - l ) 2

(b ) 2 _ 177 77 1 . 3 c o s lr ) t + T 5 cos 7 ‘ + t t c o s (- ' ' +

PRO BLEM A 2.46 Representar las siguientes funciones por una serie de Fourier de senos y trazar una gráfica de la correspondiente extensión periódica de f ( t ) :

(a ) / ( í ) = cos í, 0 < í < n, (b ) n - t, 0 < t < n.

Respuesta: (a ) -- Y "1 ——— sen 2r¡t, (b ) 2 V i - sen nf.„ 4n - 1 • n

PRO BLEM A 2.47 Encontrar la serie de Fourier de cosenos y la de senos de

/ (í ) = i nt para 0 < t < 1- rr4 2

= n t (n - t ) para ~ n < t < n .

Respuesta: — - Y "1 ¿ eos nt, Y"" -i— ------ sen (2n - l ) f .16 *—• n t—‘ (2n — l ) 2

PRO BLEM A 2.48 Sea t>„(t) = \/(2/i) sen (m / t ) t , donde « = 1 ,2 , •• • . Demostrar que las funciones > forman un conjunto ortonormal en el intervalo (0, t ).

PRO BLEM A 2.49 Suponer a f ( t ) definida en el intervalo (0, f ) . Demostrar que la serie

de Fourier de f ( t ) con respecto al conjunto ortonormal | í„ ( t ) | del problema 2.48, es la serie de Fourier en senos de f ( t ) , en el intervalo (0, %).(Sugerencia: utilizar el resultado del problema 1.45.]

PRO BLEM A 2.50 Demostrar que

(a ) f ( t ) 8 U - t 0) = l ( t 0) 8 { t - t 0), (b ) t8'(t) = ~ 8(t ) ,

( c ) 8 ’(-t) = - S ' ( í ) , (d ) 5 " ( - f ) = ( - l ) n 8n ( f ).

: Y o vr l ^ o — vn 9-S j=>o

\ la

PROBLEMA 2.51 Demostrar que 8 [/ (í) ] = V — i ------ 8 {t - tn), donde t son

jes Tilores para los cuales f ( t ) se hace cero.

]5¿raerenda: suponer/(f) = % y formar i// (r ) = <P(t)/\f'(t)\.]

PROBLEMA 2.52 Demostrar que

a 3 ( r * - a2) = —i — ¡5 (r - a) + 8 (t + a )¡, (b ) 8 (sent) = S ^ it ) = Y ^ S i t - n n ) . 2 |a| n ~ L

utilizar el resultado del problema 2.51.]

/sROBLEMA 2.53 Utilizar la diferenciación para encontrar los coeficientes de Fourier í e h. función f ( t ) definida por / (f) = t , para { ~ tí, t í ) y f ( t + 2rr) =/{()■

Respuesta: ver el problema 1,30.

PROBLEMA 2.54 Utilizando la serie de Fourier del tren periódico de impulsos nrrarios (2.103) y la diferenciación, encontrar los coeficientes de Fourier de la función j f r ) definida por f ( t ) = e ! para ( - t í , tí) y f ( t + 2tt) = f { t ) .

ver el problema 1.32.

PROBLEMA 2.55 Utilizar la diferenciación para encontrar los coeficientes de Fourier áe h onda sinusoide rectificada, f { t ) = \A sen co0f |.

Respuesta: ver el problema 1.33.

PROBLEMA 2.56 Utilizar la diferenciación para encontrar los coeficientes de Fourier ás h función cuya forma de oftda se muestra en la figura 1.3.

\esta: la ecuación (1.40).

PROBLEMA 2.57 Utüizar la diferenciación para encontrar los coeficientes de Fourier s e fa semionda sinusoide rectificada, de la figura 1.4.

•esta: la ecuación (1.49).

PROBLEMA 2.58 Utilizar el resultado del problema 2.55 para deducir la serie de Fourier de la semionda sinusoide rectificada, de la figura 1.4.

p r e n d a : observar que f { t ) se puede expresar como f ( t ) = ± A sen w 0r + | M sen w „f| .]

PROBLEMA 2.59 Sea/(í) - f e( t ) + f a{t ), donde f e{ t ) y fQ( t ) son las componentes r e impar de f ( t ) , respectivamente. Demostrar que

1 r T / 2 i r T / 2 T / 2

- f ( t ) f U - l ) d t = - fe ( t ) f e ( t - - T ) d t + ~ f 0 ( t ) f 0 ( t - T ) d t .J- T /2 1 J _T/2 T J_T/;¿

PROBLEMA 2.60 Demostrar que si f ( t ) es una función continua y diferenciable,,j| «monees

- ta) = f ( t a) 8 \ t - ta) - í\ t 0)8 ( t ~ ta).

3CAPITULO

ESPECTROS DE FRECUENCIA DISCRETA

3.1 INTRODUCCION

sMSSS S í representación de- una funeiór periódica como una serie - de Fourier, im plíc i^K& e^ecificación de sus coeficientes determina unívocamente la función. En este capítulo se explorará más aún el uso de los coeficientes de Fourier en el estudio tie funciones periódicas, y se introducirá el concepto de espectros de frecuencij

de señales perióc

3.2 FORM A COM PLEJA D E LA S S E R IE S D E FO U R IER

las series de Fourier, es convenientlos exponenciales complejos

Í(Q - - a 0 t £ (a„ coa n(Jof T hn sen n^C ),

oj„ — 2n/T, el seno y el *

H .V J I y & & «á ( 3 .1 ) ,

m i - • • ! : [ * - 5 "

M i ® c "-

l a «nación (3.7) se detmmíaa fórrna compleja de la serte de; Fourier de/u), o serie

Los coeficientes cu se pueden evaluar fácilmente en términos de a„ y h„, ¡os osries ya conocemos; en efecto,

f ( 0 sen (r¡a>0t)d l

el cór|ugado complejo: ”:-" :j|j iij • • :.-.Y " i

nones (3.8), (3.9) y (3.10) se pueden combinar en una sola fórmula

P i ü i l l pfEtodica con período T, y considerando a jp lO ). se tiene: *i&t se puede hallar a partir de la jfóntw fo:. : : ::

¡ste-'S;

4>» I tan-

para todos los valores de n, excepto n = 0. En este caso ca

PROBLEMA 3.1 Encontrar la serie compleja de Fourier, para la función diente de

sierra que se muestra en la figura 3.1, definida por

A

~ T 0 T

Fig u ra 3 .1 L a fu n c ió n d ien te d e sierra.

/ ( í ) = - f , 0 < í < T , í ( t + T ) = f ( t ) .T

Solución: la representación de / (í) en serie compleja de Fourier está dada por

/(O = ' j r cn e‘nU° ', « <> =— ■

Los coeficientes c„ se pueden encontrar a partir de (3.13); de esta manera,

í ( t ) e ~ ’nc',,>' dt

t e - 'na° 'd t

(3.:

(3.19J

1f T

r . í

>1 rr 2 Jo

i - itte

r 2U

A T + _ 1 _ f 3

T2\~jm>0 0 jnaj0 J0e-ln<e0cdt

Te~'n:- jn (o 0 (;ncu0)

i )

Puesto que e~’ n2r' = 1,

- A ■ A _ A J j

" nco0T 2nn 2nn

Ciertamente este resultado no tiene significado para n = 0; por consiguiente, para n = 0

tiene, a partir de (3.8),

= - A .

De donde,

' 1f ( í ) = - + j — y . -w 2 2 V L + n

(3.22

(3.23

A ¿ V 1 í (n "o '+ f ) = - + — > - e

2 2ir ¿ u n(3.24

donde ^ significa que la sumatoria sólo incluye enteros diferentes de cero.

PROBLEMA 32 Reducir el resultado del problema 3.1 a la forma trigonométrica

de la serie de Fourier.

V o v i v i 9 -S j=>o t - ^ - o v u

S a feció n : puesto que según (3.6),

c° = J a° ' C" = \ ( * « - > bJ < C-n = C * = ~ (a n + jb n) ,

ao = 2 c0, (3.24)

an = cn + c_n = cn + c * = 2 R e [cn] , (3.25)

bn = i ( C n - c _n) = j (c n - c * ) = - 2 Im [c n] , (3.26)

mmdfi Re y Im denotan “ la parte real de” y “ la parte imaginaria de” , respectivamente. Entonces, por (3.21) y (3.22), se tiene

a„ = A , an = 0, (3.27)

De donde,

H {) - ^ ao + ^ ( an eos nw0f + bn sen no>0f)n = i

_ A A y—i 1

" 2 ” ñ L - i ñ— sen na)„¿

A A l 1 1= — sen « t + — sen 2 cuJ + - sen 3 +

2 rr \ 2 3(3.28)

PROBLEMA 3.3 Encontrar la serie de Fourier en forma compleja de la función periódica sinusoide rectificada/(r) que se muestra en la figura 3.2, definida por:

/ (í) = <4 sen n t, 0 < f < l , f ( t + T ) = f ( t ) , 7 = 1 .

S o lu ción : puesto que el período T = 1, w 0 está dado por

(3.29)

<u0 = — = 2n; T (3.30)

por consiguiente, la serie compleja de Fourier está dada por

/ ( f )= ^ cn e '2Trn'. (3.31)

A partir de (3.13), los coeficientes cn son:

f ( t )e ~ ’ 2nn,dt

- i :A sen n té~ l2rrnldt

= A J 77*') e “ /2 T Tnt dt

A r*— I [e~ ‘7T<2n~''>t - e~iTr 2n + ''" ]d t^ dn

4 r e -;7r(2n-l)[ e-;TT(2n + l)('

/(O

WVW.Figura 3.2 La función periódica sinusoide

rectificada.

2i l - j r r ( 2 n - 1) - }T r (2 r ¡ + 1)J

Dado que e± ' 2Tln = 1 y é * i7T = e ín ,

-2 A

7r(4n2- l )

Se puede utilizar (3.8) para verificar este resultado cuando n = 0; de este modo,

, p l f

2A (3.33)

De donde,

l A + y — I e>‘i L 4n¡ - l

(3.34)

PROBLEMA 3.4 Reducir el resultado del problema 3.3 a la' forma trigonométrica de

la serie de Fourier.

So lu ció n: la ecuación (3.34) se puede expresar también como

1 A (\ . e - ‘ 2” ‘ + - i e ~ '4,T' + — é ~ '6lU + •15 35

2 A 4 A

77 77

I l ( e i 27Tt+ e ~ i27" ) + — —(e ,477f + 3 2 15 2

J_ i ( e ' 67TÍ + e-»'6w') + .35 2

2A A A ( l „ 1 , , 1 ¿ , — —cos 2¡7í + — eos 4nt + — cos 6 vtn rr \3 15 35

O utilizando (3.25) y (3.26), se tiene

a„ = 2 Re [c n]

4 Av (4n2 - 1)

hu = —2 Im [cn] = 0.

De donde,

{(t) = ] r ao + s (an cos rt(o0t + bn sen nui0t)n = l

2 A 4 A f > 1 t -------- / cos n ¿ 7 7 1n ti * (4n 2 - 1)

= L é _ i d ( i c o s 2nt + - i eos Ant + — cos 6jrf v n \3 15 35

(3.35)

(3.36)

(3.37)

(3.38)

3.3 O RTO G O N A LID A D D E FUN CION ES COM PLEJAS D E LA S S E R IES D E FO U R IER

PROBLEMA de funciones complejas de la serie d e :

Fourier I * i , tt - 0, t i , '£ 2, - • •, obedece la condición de urtogonalidad para

' I - . . 'M - , , 2 «

S o luc ió n : puesto que |m = 0 = 1 ,

í —- e in*>0‘T /2 Í n o >o

T/2

l-T/2

( e ' n7T - e ~ ' n 7 r )jn i i j

= 0 para n 4 0 , (3.40)

T T / 2 - T / 2I e jn“ o ' ( e ;m£ü )* ( f í = i e i " "o í e~ 'maotdt— T /2 ‘ ' - T / 2

/*T/2= / e í(n~m)^0, dt

J—T/'}

1j (n - m) co0

1j (n - m) co0

1

e ; ( n - m ) m 0 fT/2

- T / 2

; (n - m) co0

= 0 para n ¡¿ m.

[ (-1

(3.41)

PROBLEM A 3.6 Utilizando la propiedad de ortogonalidad del conjunto de funciones complejas j « ( " “ o11 de la serie de Fourier, determinar los coeficientes de la serie compleja de Fourier.

- T

Solución: sea f ( t ) una función periódica con período T, y sea la serie de Fourier enforma compleja, correspondiente a esta función la dada por

Multiplicando ambos miembros por e~ima<‘tt e integrando en el intervalo

se obtiene

£ /2 f ( 0 e— _ JTT/2 ^ ¿ cn e ^ e~ i " 'Cl>0' dt

(3.42)

- T , - T2 2

’ r T / 2c n eK "-»0 ^ ‘ d t

J - T/2

(3.43)

En razón de (3.41), la cantidad en paréntesis angulares es cero excepto cuando n - m ;

por consiguiente,r T / 2 r T / 2 . .

' dtr T / 2 C - . a

f ( t ) dt = c m I e 1J - T / 2 J - T / 2

1-T/2

'T/2= c„, i dt

T/2

= c m T .

De donde, cambiando’m por n,

i r T/2=„ = - / f(t)e~>n^ 'd t .

T/2

(3.44)

(3.45)

3.4 ESPECTROS DE FRECUENCIA COMPLEJA

f ( O

T t i 0 d T T

2 2 2 2

Un tren de pulsos rectangulares idénticos.

licientes complejos c„ en ;ina espectro de =

fase ón de <r„ [ver 3.14 j íce n toma solamente |

continuas sino que apareeei espectros dé

los coeficientes complejos }\ t) en ei dominio de

8H 3BI53

PROBLEMA 3.7 Encontrar los espectros de frecuencia para la función periódica/(f),

que se muestra en la figura 3.3, la cual consta de un tren de pulsos rectangulares idéntica

de magnitud A y duración d.

So lu ció n: la función f ( t ) se puede expresar en un período como sigue:

f ( t ) =

A para - — d < t < - d V 2 2

]o para - — T < í < - — d , —d < t < —T ^ * 2 . 2 2 2 '

(3.46)

Entonces, por (3.12), con cú0 = 2it/T, se tiene

T/2f ( t ) e~inco° ‘ dt

- T/2

a r d/2

T L e~in“ a'dtd/2

1 e - ¡ n ü l 0 td/2

-d/2T -jnw .

^ £e ¡ n « 0cf/2 _ e- in a 0d/2T jncú0

A d 1 i _ re ind>ad/2 _ e - ;n w 0d/2\

T (n<ü0d \ 2 j

2

(na>,dsen .

Ad \ 2

n(o0d

2

(3.47)

Pero nio0d/2 = rnrd/T; de donde,. nnd

sen ,Ad \ Tc „ =T nnd

V T

Es obvio, según (3.47) o (3.48), que cn es real y por consiguiente el espectro de fase es cero. El espectro de amplitud se obtiene dibujando (3.47) o (3.48) versus la variable discreta nco0. La ecuación (3.47) tiene valores solamente para la frecuencia discreta ncoa; es decir, el espectro de frecuencia es una función discreta y existe solamente cuando

* ±2 rr ± 4 ncü = o , --------, • • . etc.

T T

Se'debe considerar el espectro para algunos valores específicos de d t T; para d = 1/20 y T = 1/4 de segundo,

2 rr<o„ = ----= 8 n .

T

Por consiguiente, el espectro de amplitud existe cuando

o = 0, ± 8 7r, ±16 n, ■ ■ ■, etc.,

y se muestra en la figura 3.4(a).

Puesto que d/T= 1/5, el espectro de amplitud se hace cero en el valor de nco0, para el cual

"cu0 ^- = nj!T ó n n — = n n ( —) = i m ( m = ± l , ±2 .2 T \ 5 j ’

es decir, cuando co = ± 5 co0 = ± 40 n, ± 10 a>0 = ± 80 n , ± 15 <y0 = ± 120 n , ■ ■ ■ ■ En el caso siguiente se considerará d = 1/20 y T = 1/2 de segundo, y

2n d i0)n = = 4 7T, — = ---- .T T 10

(3.48)

— I O ojo — 5 6j0 lOoio- 8 0 7-2'0ú

— 4 0 17— I O o j o

2 0 ' 2 ' T 10

2w i) &>0 = - 4 ttT

_nlT Ti'.w-ii rnrr.407710wo

80 7T 20ü)o

(o) (b )

Figura 3 .4 Espectros de amplitud.

Por consiguiente, el espectro de amplitud existe cuando

o = 0 , ± 4 n , ±Sn, • •

y se hace cero en el valor de nu>0 para el cual

ncúf. — = ni77 2 '

n n — = n n ( = m n (m = ± l , ± 2 , ■T VIO,

• • ),

es decir, cuando cu = ±10&>0 = ±40tr, ±20cu0 = +80?r, ±30cu0 = ±120w, El espectro de amplitud para este caso se muestra en la figura 3.4(b).

í (0

A

d X 2

Figura 3 5 La fu nció n/(í) del problema 3.8.

& áste? observar que t í espectro ¿ i fose cu el problema 3 1 es cero debido a la ametría de Ira pulsos rectangulares en la figura .; ,.1 alrededor de la vertical y debido a i; i alte ción f rti scog da para el origen. I uguient . t i . strará * :aso n

que no hay esa simetría, lo cual se consigue desplanando el origen en \

PROBLEMA 3.8 Encontrar los espectros de frecuencia de la función periódica que

se muestra en la figura 3.5.

Solución : por (3.13), con « 0 = 2n/T, se tiene

: n = l- ( 7 T Jo

Í W e - ’^ o 'd t =

-'odt

T -jn cü a

A 1

T jn o j0

A 1

T j n<í>0

Ad_

T

sen

(1 - e“ Jn“ »d)

e - ; o w 0 d/2^e , n « 0d/2 _ e ~ in co 0d/2)

noj.d

noj0d

2

= c . e ' (3.49)

De donde,

Ad Xn t f )

T ( nco0d\

\ 2 1

rta>0d (d- U77 —

(3.50)

(3.51)

El espectro de amplitud es exactamente el mismo que el del problema 3.7 y no se ve afectado por el cambio de origen, pero el espectro de fase es, ahora, igual a - neoad/2 = - nnd/T radianes.

PROBLEMA 3.9 Demostrar que el desplazamiento en el tiempo de una función periódica no tiene efecto sobre el espectro de magnitud, pero modifica el espectro de fase en una cantidad de - neo0x radianes para la componente de frecuencia «to0 si el desplazamiento en el tiempo es t.

Solución: sea/fí) una función periódica con período T, y sea su serie de Fourierla dada por

f (0 = £ c n e ' " " 0'. ( 3.52)


f ( f - T ) = cn e '

= c n é~inü,°T e ’r

donde

Por consiguiente, si

entonces

L <ei

c„ = c„ e

_ n w 0 i-)

(3.53)

(3.54)

(3.55)

(3.56)

Por (3.55) y (3.56), es obvio que el espectro de magnitud de/(?) y f ( t - x) es el mismo; sin embargo, las fases son diferentes. El desplazamiento en un tiempo r produce un atraso de ncoat radianes en la componente de frecuencia neo..

j i f l i i l l l g g j j lde es una función continua Ja cuai s<í .

S a i * ) , £ !L Í

la un papel importante y se conoce como la función de muestreo, cuya j debe notar que la fundón .tiene ceros cú.andíUt » . ^

S a ( x ) $ r ( O

3.5 EV A LU A CIO N DE LO S C O EFIC IEN T ES COM PLEJOS D E FO U R IER POR M EDIO D E L A FUNCION 8

S lg-SSE -siM xT M zW il^ ímiSii sección 2.6 se vio que la éyÉüajción de ios coeficientes;::: de Fourier de ciertas funciones, se facilitaba notablemente utilizando la función 6; aquí se aplicará la misma técnica para evaluar los coeficientes complejos de Fourier

PROBLEM A 3.10 Deducir la serie compleja de Fourier, del tren periódico de impulsos

unitarios de la figura 3.7.

Solución: un tren periódico 5 j ( t ) de impulsos unitarios se puede expresar como

M 0 = Y 5 ( t - n T ) , - 1 < t < - i— > 0 7

= 8(0 .

2rr

(3.59)

Por consiguiente, con <o0 = - j r , se tiene

i r T/2 • l CTn

— T / 2 v- r / 2

= i e-/n&)0<T

Portanto,

PROBLEMA 3.11 Probar que (2.103) es igual a (3.61).

Solución: por(3.61), se tiene

(3.60)

(3.61)

£ S ( t - n T ) = ^ ¿ e ' " " » '

1 + ¿ ( e ' nú,oí ¡_

T T t—i 2

1 2 v * 1 1— + - r 7

1 2

’ r 7"eos rtc

1 2 y-< 2 c= — + — > cos n 1 ,T T t—, T (3.62)

: es exactamente la expresión (2.103).

PROBLEMA 3.12 Hallar los coeficientes complejos de Fourier de la función f ( t ) que se muestra en la figura 3.8(a).

Solución: suponer que

f ( í ) = £ c„ e inC0°‘ ,2 n

Diferenciando término por término, como se muestra en la figura 3.8(b-c), se obtiene:

/ '(< )= £ On co0) c n e ' " " 0',

(3.63)

(3.64)

í ’ \ t ) = £ {jne,oy c n e 'nC0 = - £ (na>0) 2cn (3.65)

V b V I ¿ - ¿ - o — VI

f'(r)

( o ) -A/l,

(b)'" (O

1

f Se

1 '

f+ r ,) ,

1 1_ 2> S(r>

Figura 3 .8 (a) La fu nción/(f) del problema 3.12.(b) La primera derivada de f ( t ) de la figura 3 .8 (a), (c) La segunda derivada de f l t ) de la figura 3.81a).

(c)

Por la figura 3.8(c), la segunda derivada de f ( t ) en el Intervalo - T / 2 < t < 772 es

/ " ( f ) = 4 S (t + t j - ~ 8 { t ) + j 8 ( t - <t) ; (3.66)

por consiguiente,

1 CTn' ( n « 0) c „ = - f " ( t ) e ~ inú,° 'd t T J -t/2

A r T/2= — ( tS (í + í , ) - 2 S (í) + 8 ( f - f,)j e“ ’nú>o'dt

= ---- ( e ;n<u0t, _ 2 + e- ' n"o «.)T í,

2i4 ,= — (eos n<a t. - 1).

T t , 0 1 ' (3 .6 7 )

Utilizando la identidad trigonométrica 1 - cos 6 = 2 sen2

^(nco0) c n = ----- sen*T í. \ 2 (3.68)

De donde,

4 .4

T t ,

naV.

2

= A íi r

n&)0

2

(3 .6 9 )

PROBLEM A 3.13 Resolver nuevamente el problema 3.12, mediante la serie compleja de Fourier (3.61) de un tren periódico de impulsos unitarios.

So lución: según la figura 3.8(c), f ” ( t ) se puede expresar así:

f " ( 0 - j ¿ 8 ( t + t / - n T ) - ~ 8 ( t - n T ) + j Y ] S { t ~ t t - n T ) . (3.70)


2 77

L / c ' - " 7' ) ' ) T , o W -

or t + t i , y por t — t i , en la anterior

¿ 5 ( 1 + . , - n r > = i ¿ * ► »

Reemplazando í por t + í i , y por t — í j , en la anterior expresión, se obtiene respectivamente

Sustituyendo (3.71), (3.72) y (3.73) en (3.7-0), se tiene

in w 0 t l - ;n ú . ¡ 0t

f " ( t ) = A Y ( e 'nr'’°1' + e~ínc°oh _ 2) e ¡ " s o'

2A

Por consiguiente,

de donde

-— V (eos n (ú t - 1 )í T t. i—*

2 A- ( nci>o)2cn = (eos nco0f, - 1);

C = A — T

sennco0f,\

2 J(nc^oí,)

2

(3.71)

(3.72)

(3.73)

(3.74)

(3.75)

(3.76)

3.6 CON TEN IDO DE PO TEN CIA DE UNA FUNCION P ER IO D IC A : TEO R EM A DE P A R S EV A L

PROBLEMA 3.14 S i/ i( í ) y f 2( t ) son dos funciones periódicas que tienen el mismo

período T, demostrar que

»r/2 “1 r T/2i / ¿ I (c >) " (c ’ ) -^ '■'—T/2 n=-oo

(3.78)

donde (c , )n y (c2)„ son los coeficientes complejos de Fourier de/ ,(r ) y /2(f)>

respectivamente.

Solución: sea

donde

Sea

donde

Entonces,

/ ,(/ )= J ] elnaa' .

i r r / 2

(c , )n = M M O e - '" ” " ' * .- ' - T / 2

**(0 = ¿ (c 2) n e ^ » ' ,

1 / '7 V 2(c 2)n = - I /2(0 e - jn“ »'ri<.

J - T / 9 .

2rr

r /2f l ( o f 2( o * = | fJ-T/2

= ¿ (c , )„ j * T/2/2( 0 e ' n ' d í

En razón de (3.82), se tiene

1 rW2 ii | f ^ e ^ ^ ' d t = i I / ,(í) é~l(r~n 0>0' dtT J_T/, T ' - t/2

i r r/2

- T / 2

= (Ca)-n-De donde,

I r /2 , l ( 0 f2( 0 * = ¿ (<=,)n (c2) _ n.7 • '-r/2 -------

(3.79)

(3-80)

(3.81)

(3.82)

(3.83)

(3.84)

PROBLEMA 3.15 Probar el teorema de Parseval.

t V o v i ¿-¿-o — vn ^ J ? o £ -S T = > o t -s ¿ -o \ -n

Solución : haciendo/ , ( t ) = f r { t ) = / (f) en el resultado del problema 3.14, se tiene

i r T / 2

f [ ( (D V d t * £ c- c -1 J - T / l ______________________ ____

(3.86)

• T / 2

s I V ) es real, entonces, según (3.11), se tiene

c_n = c * .

Ce donde,

PROBLEMA 3.16 F

identidad iib

bodeit-


c0 = i a0, c „ = i (a n - jb n) , c_n = ~ (a „ + jó n) ;

jor consiguiente

c . = — a . 4

cn |2 = - (a n2 + b ,2) = | c_n 4

(3.87)

Sustituyendo (3.87) en (3.85), se obtiene

i r T / 2 o°

|o-

- i ' ' 2 ! | c -

— í>02 + - ( a 2 + V ) •4 2

(3.88)

PROBLEMA 3.47 Demostrar que él isjJiSS eoadrático medio de una función

Solución: por(1.12), se tiene

f (0 = c, + 2 ] cn eos ♦n = 1

Para el armónico enésimo de/ (í),

fn (0 = c „ cos (ncu0t - en) .

El valor rcm (raíz cuadrática media) es CnA/2; por consiguiente, el valor cuadrático medio del armónico enésimo es (C n / \ J 2)2 .

Debido a (1.14), se tiene

C n = y/a2„ + b2n = 2 | c„ |, C0 = - a = I c I •2 o o

de donde,

n 4" C " ’ l co l2 = Co-

Entonces, por (3.88), se obtiene

1 f T/21 r I/¿ , . ™- [ f ( t ) ] 2d t= |c# |J + 2 V [c n

rr / >

(3.89)

La ecuación (3 Ji9) índica que el valor cuadrática medio de una función periódica f ( t ) , es igual a la suína de los valores cuadráticos medios de sus armónicos. Nótese que

de una función periódica depende solamente de la amplitud de sus armónicos y no de sus fases*

3.7 PROBLEM AS SU PLEM EN TARIO S

PRO BLEM A 3.18 Demostrar que los coeficientes complejos de Fourier de una función periódica par son reales, y los de una función periódica impar son imaginarios puros.

PRO BLEM A 3.19 Si f ( i ) y g ( t ) son funciones periódicas con período T y sus expansioi de Fourier son

f ( 0 = ^ c ne 'n" 0', é ( t ) = ^ dn e “ o ‘ para o>0 = ~

demostrar que la función

1 r T/2 h ( t ) = 1 / ( í - T)é(T)</T

— T/2

es una función periódica de igual período T, que se puede expresar como

M O = ^ cndn e intu° ' .

PRO BLEM A 3.20 S i/ (f) y g ( t ) son funciones periódicas de período T y sus expansiones de Fourier son

= cn e,núi° ‘ > á ( 0 = ^ dn e ,nW*‘ ‘ para <a0 = ,

demostrar que la función h ( t ) - f ( t ) g ( t ) es una función periódica de igual período T, que se puede expresar como

h ( t ) = ^ ,

donde a n = ^ cn,k dk . k=-=e

[Sugerencia: demostrar que ^ cn.k dk son los coeficientes de Fourier de /¡(O-]k = - a o

PROBLEMA 3.21 S i/ (í) es una función periódica con período T, y los coeficientes complejos de Fourier son cn, demostrar que los coeficientes complejos de Fourier de la función portadora, de amplitud modulada periódicamente f ( t ) eos m u 0t, están dados

P ° T T ( c n.m + c n + m ) .

PROBLEMA 3.22 Si f ( t ) es integrable en el intervalo finito (— -5- T, \ T ) y cu es real, demostrar que

¡•T/2lim I f ( t )e -> a‘ dt = 0.

J _T/2

[Sugerencia: utilizar el problema 1.19.]

PROBLEMA 3.23 Encontrar la serie compleja de Fourier para la función / ( i ) definida por/ (í) = sen4 1 en el intervalo ( 0, jt) y f ( t + tt) =/(?).

Respuesta: ( e 4' f - 4 e2' ' + 6 - 4 e '2' ' +16

PROBLEMA 3.24 Encontrar la serie compleja de Fourier para la función f ( t ) definida por/(i) = e* en el intervalo ( 0, 2n) y f ( t + 2ir) = f ( t ) , mediante integración directa.

Respuesta: ——— Y — -— e<n l .2 n 0“ ^ , 1 — jn

PROBLEMA 3.25 Mediante diferenciación, encontrar la serie compleja de Fourier para la función del problema 3.4. Nótese que f \ t ) =/ (? ) — (e2lt — 1) S2n (t), donde

S2W( Í ) = 5 ( í - 2rrn)

PROBLEMA 3.26 Reducir el resultado del problema 3.24 a la forma trigonométrica de la serie de Fourier.

Respuesta: —-------- 1 + Y —-— (eos n t — n sen n t)2 f r j 1 + n2

PROBLEMA 3.27 Demostrar que si to0 = 2tt/T,

^ r ( f ) = ^ 8 ' ( t - n T ) = ^ n e in“ ti' = - — ^ n sen noi0t-

PROBLEMA 3.28 Encontrar los coeficientes complejos de Fourier y dibujar los espectros de frecuencia para la semionda sinusoide rectificada f ( t ) definida por

/ (O =-4 sen cü0t para 0 < t < 7/2

0 para T/2 < t < 7

y f ( t + T ) = / (í), donde w 0 = 2v/7.

Respuesta: cn = — ~ — — (1 -t e _ ,n " ) nótese que c, = c_, = - í y cJm. , = 0, 2 rrC1 -n ) 4

donde rw = 1,2, ■ ■ •,

PRO BLEM A 3.29 Encontrar los. coeficientes complejos de Fourier y dibujar los

espectros de frecuencia para la función diente de sierra definida por/ (í) = — ~ ¿ ^ para

0 < t < 7 y / ( f + 7 )= / ( í ) .

Respuesta: c r - — - - , c0 = 0. jzn n

PRO BLEM A 3.30 Aplicar el teorema de Parseval (3.85) al resultado del problema 3.29 para probar que

y -l ,n2 6

PRO BLEM A 3.31 Mediante la diferenciación, encontrar la serie compleja de Fourier para la función diente de sierra de la figura 3.1.

Respuesta: las ecuaciones (3 .23a-b).

PRO BLEM A 3.32 Mediante la diferenciación, encontrar la serie compleja de Fourier para la onda sinusoide rectificada de la figura 3.2.

Respuesta: la ecuación (3.34).

PRO BLEM A 3.33 Demostrar que si /(?) es una función periódica y real con período T, entonces

. T / 21 r . .- j [/ (< ) ] * * = c0 + 2 y |C„|\

donde las cn son los coeficientes complejos de Fourier de la función f ( t ) . [Sugerencia: utilizar el resultado del problema 3.15.]

PRO BLEM A 3.34 Si f i ( t ) y /2 ( f ) son dos funciones periódicas que tienen el mismo período 7, demostrar que

i r 772 ^± (1(t + T ) f2( t ) d t ± y (c , )n(c 3) _ n e

rr / •> n —

jn O)0T

donde ( c j ) „ y (c2) „ son los coeficientes complejos de Fourier de f\ ( í ) y f 2( t )

respectivamente, y w 0 = 2n/T.

PRO BLEM A 3.35 Demostrar que s i/ (í) es una función periódica y real con período 7, entonces

. 7 7 2I n O J . T

- t u + ^ K t ) d t = y iT J - T / 2 x i - ~ o o

donde las cn son los coeficientes complejos de Fourier d e/ (f) y co0 = 2jt/7'.

Y o vt ú c -o — vi -^ - J lo 9 S r > o b ^ o y y \

INTEGRAL DE FOURIER Y ESPECTROS CONTINUOS

4CAPITULO

4.1 INTRODUCCION

4.2 DE LA S E R IE DE FO U R IER A LA IN T EG R A L D E FO U R IER

PROBLEMA 4.1. f§ Si se comienza con uha función perió<S®a./7 {r ) de p isodo y sehace que T tienda áihfiiíiío, entonces la función /7 C^deja de ser

periódica. Ilustrar este proceso, dé límite mediante un tren de tuteos rectangulares

Solución: considerar el tren de pulsos rectangulares de la figura 4.1(a), donde

/ r ( í ) = 4

0 para - ~ T < t < - ~ d

1 para ~ ~ d < t < ^ d

0 para - d < t < - T ,2 2

(4.1)

( t ( í + T ) = Í T (0 . T > d.

f T ( 0 T4 = 2 (or T = 2 d ) c/

( r U ) — = 4 (or T = 4d) f ( 0 =

• I ■ 1 t 1 ■ i { i i i

i ■ i »

! i

i1111^-Í-J

i ! i ■ ! í ' !1 . 1 ■ 1 1 1 j 1----- ¡----- 1____1__►

! !__1__i_1______ . i . n

r~ii»i

- T 21 I 2 r _ d d

2 2

(o)

- T T d 0 d T T t

2 2 2 2

(b)

— = « <or T d

d 0 d

2 2

(c)

Figura 4.1 E l proceso de lím ite a medida que T aumenta hacia infinito.

Para T ► «o, se obtiene la función

í ( t ) = lim l T ( t ) r-7'-»oo

1 cuando - ^ d < t < - d 2 2

(4.2). 0 de otro modo

Es evidente que/(f) no es una función periódica. La figura 4.1 Uustra el proceso de límite a medida que T aumenta y finalmente se hace infinito.

PROBLEMA 4.2 Utilizando el tren de pulsos rectangulares de la figura 4.1 como ejemplo, discutir los efectos de incrementar el período en el espectro de la función periódica.

So lu ció n: el espectro de frecuencia del pulso rectangular periódico ya ha sidohallado en el problema 3.7. En la figura 3.4 se observa que cuando el espectro discreto de una función periódica con período T, se dibuja en función de la frecuencia, la distancia entre armónicos adyacentes es la frecuencia fundamental w 0 = 2rr/T. De este modo, a medida que el período T aumenta, w0 disminuye y las líneas en el espectro se acercan unas a otras. En consecuencia, el número de líneas (armónicos) en una banda de frecuencia aumenta.

Por otra parte, según (3.48), se tieneInnd sen I -----

C UT fnnd

T ~

Por tanto, si el período T aumenta, las amplitudes de todos los armónicos disminuyen.De lo anterior se concluye que en el límite, a medida que T se acerca al infinito

[figura4.1(c)]t los armónicos se encuentran infinitamente cercanos y son de amplitud infinitesimal, es decir, el espectro discreto se vuelve continuo.

periódica conaproxíms al infinito f ( t ) se convierte en una función no I p l l l ifefeión d é íS a tó r de esta función no periódica.

^ l i í Í l á f c M ^ & £POHeac',a5 te serie de Fourier

¡Si#

; r t\t)

„ -T/2

. Íh ü ' P ' i ü P j P I I H

■^tituyendo (4.4) en (4.3), se tiene •

T 1 r T ' 2ü ü jT

~ 1 f T ' 2

L [ r ¿ r

se utiliza para evitar confusión coa f, tuesto: que 1/7'=<Oo /2jt, la ecuación (4.6) se puede ext

Ahora se hace que T frecuencia de de frecuencia que que o jj = 0-,

« M íliy es análoga a (4.4). La relación

fa citerior derivación heurística de (4;10) riprosamentematerhática. Sin embargo, desde e li: • ]

interés primordial está en la interpretación y utilización

£/ teorema de ta integral de Fou rier afirma que si/(r) es real,

l ( t ) - - j f í ( x ) C O S lü (í - x) dx d<0

PROBLEMA 4.4 Probar el teorema de la integral de Fourier.

So lución: la relación (4.9) también se puede expresar como

í ( t ) =

f ( t ) =

t £ £las partes

< £ £

f ( x ) e 'ÚJ(,- x) dxdco. (4 .1 3 )

S i/ (í) es real, se puede igualar las partes reales en la identidad de Fourier (4.13), la cual se convierte en

/ ( x ) e o s cu (t - x) dx d(u. (4 .1 4 )

Puesto que eos u> ( í —x ) es par con respecto a co, por (2.13), se tiene

f ( x ) C o s ai (t ~ x) dx du>.

Y o V I l ^ o — vn

4.3 TRANSFORMADAS DE FOURIER

S ’-F ( « ) definida por (4.10) se conoce como W ^ m ada de Fourier á e f (t ) , y la operación de integración se

• 5■{'/(!)] = f f ( l ) e“ ^ " dt. (4.15)

o qU« se utiliza para indicar la operación inversa okák, i

(4.16)

(4 .Í7V

PROBLEMA 4.5 Demostrar que (4.17) es condición suficiente para que exista la transformada de Fourier de f ( t ) .

Solución: puesto que

e~,CÜ 1 = eos <ot - j sen o>t

de donde

se sigue que si

es finita, entonces

|e i<ot\ - Veos2cot + sen2tai = 1,

|/(0e-/“ '| . |i (í)|, ^

J 1/(01 cíf = J " ° |/ (0e-^ ‘|<ft

£ /(O e~JÚ>' dt

es finita, es decir, ‘f [/ (r )] existe.

e (4.17) es ana condición suficiente pero no-necesaria para la funciones que no satisfacen (4.17) pueden ten se estudiarán en el capítulo quinto.

t [/(/)| es, en general, compleja y, se tiene

(w ) = R(o>) - j X(<u) - I ( 4. 18)

íí|i^ i t t t d de / (í), y 4(m}, espectro de fase -

a i i la g p artes real e imaginaria de F (w )

< : | E | | | 0 Í ¡ ' (4.19^1:

/ ({) sea a t dt. ' (4.20) :

i son ámei6aé& par e impar de co, respectivamente;

‘ ' V <4-21)

<*3 5 >

el conji

Solución: s i/ (f) es real, entonces, mediante la identidad

e - ¡ c o i _ c o s w í _ j s e n

es posible expresar la relación (4.15) como sigue:

F(co) = £I

/(O e~‘(ot dt

f { t ) cos cor cfr /(O sen (ot dt

= R (co) + j X (co).

Igualando las partes real e imaginaria, se tiene

(4.24)

R(co) =

X(co) =

Puesto que / ( í ) es real, se tiene

* £

co) = ~ j "

í ( t ) cos wr cfr,

/(r) sen cor dt.

R (-

X(-co) =

-eo) = J /(r) eos (-cor) cfr

/(r) sen (-cor) dt =

- £

- £

/(r) eos cor dt = R(co),

/(r) sen cor dt = - X (co).

Por tanto, /? (co) es una función par de co y X (co) es una función impar de co.Por (4.21) y (4.22), se tiene

F ( - co) = R(-co) + j X (-< o ) = R ( o j ) ~ j X ((o ) = F * (co),

PROBLEMA 4.7 Demostrar que (4.23) es una condición necesaria y suficiente para que f ( t ) sea real.

Solución: el hecho de que (4.23), es decir, F {— co) = F *(co), es una condiciónnecesaria para que f ( t ) sea real, ya se demostró en el problema 4.6. Ahora se debe demostrar que (4.23) es también una condición suficiente para que f ( t ) sea real.

Sea/(O = /,(<) + /' 4 ( 0 ,

d o n d e/ i(í)y/ j(()s on funciones reales. Entonces de (4.16), se tiene

f ( 0 - 4 (0 + i 4 ( i )

" ¿ / eJ<tJídw

= ^ J ÍR fa ) + j X (tu)] (cos col + j sen cot) dio

í [R ( m ) c o s &>í - X (&>) sen m í ] deJ-^vn

+ i — J~ [i? ( m ) sen m í + X ( m ) eos m í ] da¡. (4.26)

Por tanto,

[ / ? ( ) c o s m í ] do>.2n J- »

(4.28):

Ahora, sí F (~ co) = F * ( co), entonces

R ( - m ) = R ( m ) y A - ( - m ) = - X ( m ) .

En consecuencia (de los resultados del problema 2.1), R (co) sen coi y X ( oj) cos coi son funciones impares de co, y el integrando en (4.28) es una función impar de co.Por consiguiente, de (2.21), se tiene

4 ( 0 = 0,

es decir,/(í) es real.

S o lu c ió n : si / (í) es real, entonces, por (4.23), se tiene

F ( - m) = F * (ai).

Ahora bien, por (4.18), se tiene

F * ( m ) - |F(w)|e-^<®>,

(4.29)

Por consiguiente,

y por tanto,

(4.30)

(4.31)

(4.32)

| F (- m)| = |F(m )|,

9!> (- m ) = - d > ( ( o ) .

t V b V I ¿ -¿ -o — VI ^ J lo O -S F 3 0 t v ^ - o v n

(4.33)

(4.34)

Solución: sea

5 [ f ( t ) ] = F(cü) = / ? ( « )+ ; * ( « ) .

Entonces por (4.19) y (4.20), se tiene

R(o>) =

X(o>) =

í ( t ) eos o t di,

/(/) sen o t dt.

(4.35)

(4.36)

(4.37)

S F (w ) = R (co) y X (co ) = 0, entonces el integrando de (4.37) debe ser impar con aspecto'a t. Puesto que sen coi es una función impar de t , f ( t ) debe ser una función par de t.

Otra form a de solución: por(4.27), con AT(co) = 0, se tiene

í ( t ) - ¿ £ R(co) cos cot dio

R(c>) cos cot d o ,

conde, por (4.19), se tiene

íR (o ) = 2 I f ( í ) cos cot dt.

(4.38)

(4.39)

Según (4.38), es obvio que/ (-Análogamente si F ( co) = ;' X (co), es decir, R (co) = 0, entonces el integrando de

i436) debe ser impar con respecto a t. Como cos cot es una función par de t, f ( t ) debe

ser una función impar de f.O, utilizando nuevamente (4.27) y si i? (co) = 0, entonces

f ( 0f=- ¿ i

4 f

X (ni) sen o t da>

X (&>) sen coi dco,

conde, por (4.20), se tiene

X(o>) =- 2 fJo

/(0 sen coi di.

(4.40)

(4.41)

Según (4.40), también es obvio que / (- f ) = -/(?)•De los resultados anteriores se concluye que si / ( i ) es una función real y

5 [ f (í)l = F(<u) = R(<u) + i X (&>),

aitonces ,i [ / 0(í ) ] = R (co ),

[fo (01 = i X {u ),

(4.42

(4.43)

donde/(i) =/e( í ) + / o(0 » siendo/e( f ) y/o(0 las componentes par e impar de f ( t ) ,

respectivamente.

PROBLEMA 4.10 Encontrar la transformada de Fourier del pulso rectangular pd(t )

[figura 4.2(a)] definido por

P d (')

i

P<?(0 =

1, \ 4 < ¿ d

> i , .

(4.4

d 0 d

2 2 ( o )

So lu ció n: de (4.15), se tiene

F(co) * 5 i p M = J " Pd it) e " ^ ' dt

ri

V 2 rr o 2 " ' ' ---- •'

- )< o

1

d d(b>

= _ [ e *ít><,/J - e~i0)d/2]}CÜ

Figura 4.2 (a) E l pulso rectangular delproblema 4 .10 . (b) La transformada de Fourier del pulso rectangular de la figura 4 .2ía).

2 ¡a>d = - s e n í -

= d -

oi d

(4.4-

En la figura 4.2(b) la línea continua es el espectro de magnitud |F(cu) I, y la línea

punteada es i 7(cu).

f ( t ) =

t (0

PROBLEMA 4.11 Encontrar la transformada de Fourier de f ( t ) definida por

sTa t, t > 0

0, t < 0 ,

donde a > 0 (figura 4.3).

Solución: de acuerdo con (4.15), se tiene

(4.

íF(cu) = / (í) e~¡a i dt

= f e ~ a i e - ^ ' dtJo

Figura 4 .3 La función/(t) delproblema 4.11 . -T e - («+ / o » )í di

- « x + /o>)r~ (a + ;'&>)

1

a + jco

4.4 TRAN SFORM ADAS SEN O Y COSENO D E FO U R IER

si /(/) está definida sólo para 0 < t < °° se puede definir / (f ) para valores de t por la ecuación / ( - 1) por lo que la función resultante es par.

este caso se supone un comportamiento conveniente de f { t ) para valores negativos del al interpretar los resultados, por supuesto, se debe tener presente que f ( t ) está sólo para t mayor de cero.

ahora se define

F c ((i>)= I / (í) eos cot dt,

(4.38) y (4.39), se tiene

f (0 = — f F c (co) cos cot dio.77 i

So luc ió n : si f { t ) está definida sólo para 0 < t < ° ° , se puede también definir/(?) paravalores negativos de t por la ecuación/ ( - 1 ) = por lo que la función resultantees impar. Si ahora se define

F s M =

entonces, por (4.40) y (4.41), se tiene

2 '/(<) = — F s (<w) sen cot dio.

n Jo

r /(O sen cot dt,

FA io iséác lisa transformada seno de Fourier, la cual se denotará por

5 * í HÚ) = F . ( ¿ ) « J '* /(O sen coi dt,

í ( t ) IP » (<*)] = | . j p P , (w) sen u>t d o .

PROBLEMA4.14 Encontrar 3 c (e~a '] y ? s [e~Kíl para f > 0, a > 0.

So lución: las transformadas coseno y seno de Fourier de e ~ son

ÍFcle- ” ' ! - f e~a ' cos coi dt.Jo

[ e - a ' ] = f e " a 'Jo

Sea

por partes, se obtiene

h =

sen cot dt.

I e a< cos cor dt =■■ /, y e a f sen cot dt = I 2; entonces, integrandoI j Jo Jo

(” ° e -a ‘Jo

cos cot dt

- e -at eos coir e - « '

o « Josen coi tfí

(4.56)

Análogamente, integrando /2 por partes, se obtiene

* h -■ f e_ a ' sen o>t dtJo

- e * 0” sen cot ~ + co f “ g_ a (

o a Jocos coi dt

a(4.57)

Resolviendo (4.56) y (4.57) para e /2 resulta

a

por tanto.

y c (e - a í l = —(X + Cti

(4.58)

(4.59)

4.5 IN TERPRETACIO N DE LA S TRAN SFORM AD AS DE FO U R IER

:¡medea¿£tésar cóp jQ -'S f .. _ « _

ÉÜiSIlij ÍliIfÍIIl I IflPMy|P-• -| ; (4.60)

acode;

i r -

É ¿ i !7 '/(<> rfr, 14.61)

ahora se considera que añedida que T~^r* co0; áoj '=■ A f = : Í ’f-T, entonces

#¿j60) gj(4.'6í)tse fioasfert§8j,

¡Slllliiil

SguiendaifÉiSígitrnento sinúlar lljla ffiá d o en la áerivacióade (4í9)a se observa que sí ¿ ú j + 0ífñ'~~-*/<*> ta,l que « A c ó — | c j . En otros términos, en el límite, en vez de tener Emónicos discretos correspondientes a rUaa> todo valor de ¿o es permitido. De esta i ■aneraÂ vpz;de Q sé: fiei»;C .(¿))¡ y por (4 63), se tiene que

iegún (4.64).s© observa qué;

- F (<-,). ••'== (4.64)

; M í»1-)

piaÉg;dÜÍÍMÉáiÉísé4íéné;

H t a M t t H g g s .="";í:í:iiiPíw ) (4.66)

-üükísís : i::: .

58'

sta ecuación müestia.que representa la magnitud infinitésima de un ¡ l i l iunónico a lá frecuencia angular w. Estos armónicos tienen frecuencia fundamental cero §

Xw)es fM to ;po r e^ta razón a la gráfica \F'(oj) i vs w se le dénómina espectro continuo -1

i\M ^^'.^-h^ü(^^j^î^m m pi'éêk6êim tîtudlá0ÍT^. :¡|E E E E ;¡!|Ín ¡¡j¡¡|La representación anterior de una función no periódica como suma de exponenciales

« S|É8|RS|fejSíndamentá ^®ádó a,<»ro TO.es úíí é0nceptó:XSód-&acéiitéÉ«: li li lí veces la interpretación que sigue del par de transformadas de Fourier (4.15) y (4.16) rá más directa y de mayor significado:

t\~ov\ ís¿-o - e t Vi ■^■Slo^-S 'po t V> 1

«1 1 - Es decir, se supone que cualquier función dada tiene dos modos equivalente» di

reprasentacióiri'üko en el dom ii# deMíempo, en el dominio de lafrecuencia, F ( « ) . La ecuación (4.15) transforma la función/(f), en el dominio del tiempo, a su función equivalente FfcoJ.en el dominio de la frecuencia, y la ecuación (4.16) invierte eí proceso. La ecuación (4.15) analiza la fundón del tiempo en un esj de frecuencia y la ecuación (4.16) sintetiza el espectro de frecuencia para obtener -

PROBLEMA 4.18 S iF , (w )= ‘J [/,(r>] y F , (w ) = ? [/ , (/ ) ] , y a , y a , son dos

4.6 PRO PIEDA DES D E LA S TRAN SFORM ADAS DE FO U R IER

S o lu c ió n : la transformada de Fourier requerida es:

? [a,/, (/) + a j 2 (r)l = j [a,/, (f) + a j 2 (t)l e~¡CÚ' dt

= a, J ° ° f, ( f ) e~i0J' dt + a¡ J ' f2 ( t) e “ <®* dt

= a, F , (o>) + a3Fj(cu).

So lu c ió n : para a > 0 ,

5 (/ (a í)l = /(ai) e~iCút dt.

Sea a t = x ; entonces,

5 [/(ai)] = I J °° /(x) «¿x.

Puesto que la variable comodín se puede representar por cualquier símbolo, se tiene que

y [/ (a i)] = - J ° ° ( ( 0 e - i (0J/B)‘ dt

Para a < 0,

? [/(a f)l = J ° ° /(aO e~i°J ’ dt.

Y o V I UC.O — vt o 9 -S j=>o t

ü de nuevo se tiene, a t= x ; entonces,

5F [/(ai)] = ~ J " " /(*) e - l (cú/a>* dx

= - I J °° /(|)e-/(o/«)i dt

En consecuencia,

h f í •(4.71)

- sti&S ecuación (4.68) es la

La ecuación (4.b9) Is propiedad d e escalonamiento de la transformada de Fourier.la función/(8í). representa lafunciós f ( t ) contraídaenla escala áel tiempo por un l l j : . | factor a. Anáfogattiónte ja función F(iú/a\ té'presenta.la función F (u ] iexpandida c o M Ic escala de frecuencia por el inferno factor a. l a ¡propiedad de. consiguiente, afirma qué la. contracción en e l expansión en e ! dominio ;de la frecuencia'y vi<

PROBLEMA 4,17. .

f i Í ¡B | S | j| ¡ ¡ l ! ! ¡ ! ^ f c ¡ I % # | t í i lSolución: por (4.69), se tiene

1

(4-72)

Haciendo a = - 1,

_ ? [/ (~ í)l =

Otra form a de solución: la transformada de Fourier de/ ( - 1) es

? [ / ( - 0 l = J ”° / (-O e~>CÜ,dt.

Haciendo - t = x dentro de la integral, se obtiene

ÍF l/ (- í ) l = - J ~ ~ /(x) e’0>' dx

= J /(x) e - '<-co)x dx

- j ™ f ( t ) e - i (- aJU dt

= F(-o>).

So lu ció n: la transformada de Fourier requerida es

i [/ (í - t0)] = j ° ° i ( f - (0) e~i<ú' dt.

Haciendo t - 10 = x , dt = tfx; por consiguiente,

? [ f ( í - f0)] = J ° ° f (x ) x) <fx

= e - í « 'o J ”0 f (x ) e- iw * dx

= F(ú>).

ite real y F (m ) = cf

j § ) ^ * 1 _r « w - :; £ « !

Solución: la transformada de Fourier requerida es

(4.74

? [/(O eJ&Jo!] = J ° ° [/(O e 'w° '] dt = j ° ° /(<) « - ! » > “ «•> » cff

= F (cü - « „ ) .

e desplazamiento en el tientpó de la ?:•'

d ^ la z m & m m d a frecuencia de la

PROBLEMA 4.20 Si F(<o) = ? [/ (/ )], hallar la transformada de Fourier de f ( t ) cos wQ

Solución: con la identidad eos cu0f = - {e,CÚ° ' + e~IOJ° '), y la propiedad (4.74),

se tiene

? [ f ( t ) C O S £U0í ] = J

= [/(O e>Woí] + e * ^ 0,l

= i F( + i F (w + o>0). (4.75)

PROBLEMA 4.21 Hallar la transformada de Fourier de la función coseno de duración

finita igual a d.

Solución: la función coseno de duración d [figura 4.4(a)] se puede expresar comouna función modulada por un pulso; es decir,

f ( í ) = pd( t ) cos &í0r, (4.7

donde

Pd (0 =

1 para | * | < - d

0 para |f| > - d.

f ( t ) = PdO ) c o S C ü 0 í

Figura 4 .4 (a) La función coseno de duración finita, (b) La transformada de Fourier de la función coseno en la figura 4 .4(a).

Según e l resu ltado (4.45) d e l p ro b le m a 4.10, se tie n e

? [Prf(0 ] = | sen (4.77)


F (o j) = $ [ p d ( f ) C O S C Jo f]

sen j d (a - cú0) sen d (o> + <u0)

<o - <Ja 0) + co0

La transformada de Fourier, F ice ), se representa.en la figura 4.4(b).

(4.78)


277 f ( í ) = J ° ° F(a>) eIC0‘ d a .

Cambiando t por — í en la expresión anterior,

2 r r / (- f )= J ° ° F { o ) dco.

Ahora, intercambiando t y c j en (4.81), se obtiene

2n f i - u ) = J°° F ( t ) e~>w dt = J [F ( í ) ] .

(4.81)

(4.82)

PROBLEMA 4.32 Hallar la transformada de Fourier de la función

sen at

Solución: por el resultado (4.45) del problema 4.10, se tiene

^ [Pd (01 = - sen

(4.83)

Según la propiedad de simetría de la transformada de Fourier, dada por (4.79), se tiene

2 dt t ^ \2

= 2/r pd(-a ¡ ) (4.85

sen 1 — dt

= Pd (-*>)• (4.86coCE

Puesto que Pj (oj) está definida por (ver problema 4.10),

Pd(<y) =

1 para |cu| < — d

máe

0 para |<u| > - r f(4.87

es una función par de to; por consiguiente,

P d ( - c o ) = p <*(«).

Sef *

1(4.88)1

Haciendo — d = a en (4.86), se tienent

= P2a (<u), (4.89)1

donde,

P 2a (<u) =

1 para || < a(4.90)1

0 para |&>| > a.

Las gráficas de f ( t ) = sen at/nt y su transformada, F (co), se muestran en la figura 4.5.So

n t ) = •

F (cú)

1

a 0 a

(b)

Figura 4 .5 (a) La fu n c ió n /(í) del problema 4 .23 . (b) L a transformada de Fourier de fU ) mostrada en la figura 4 .5(a). Fot

Ahora se busca la relación entre la transformada de Fourier de una función / (í), y | la transformada de Fourier de su derivada/'(f).

So lu ció n: integrando por partes, se obtiene

? [/ 'muL r( t ) e - ¡ " ' dt = / (í) e -/ « ‘ j a J f ( t ) e - 'ÚM dt. (4.92)

Solución: considerar la función

9Í>(í)= I /(x) dx;L (4.96)

entonces, 4>'(t) =/(/). De donde, si ff [0 (0 ] - (w ) , entonces, de (4.91), se tiene

? [<A'(01 = 5 [/(Ol = (<o) (4.97)

con tal que

lim 0 (0 = j ' f (x ) dx = J í{ t ) dt - F (0) = 0.

Por consiguiente.

esto es.

<t>(co)--1 [/(O) = i - F (c o ) ;jíl) j(ú

(4.98)

(4.99)

£ i (x ) dx = — F (w) = — 3: [/(0]./ó)

t r V o v i t/£-o — vi

PROBLEMA 4.26 Si J (/ (/)] = F (w ), demostrar que

? [ - j t í ( t ) ] =da>

(4.102)

Solución: puesto que

F (w )= J f ( t ) e~ja" dt, (4.103)

se tiene

dF (<u) ddcj = - pd<o

f ( t ) e->‘° ' dt. (4.104)

Cambiando el orden de la diferenciación y de la integración se

dF(<o)dco f f(<) ¿ (e~/CO,) dt = J" [~’t /(°] e~Í<Á)‘ dt

= J [- ; í /(f)].

4.7 CONVOLUCION

i / i W y A ( í ) dos funciones dadas. La canvoluaón dem

f i t ) ‘ j 4 00 4 U - x) dx, (4.105)

m m

n o = / .(< )*/ ,(£ ).

ate es aquel en ei cual

{4 106)

4 ( 0 = & p ara t < 0 , y f ,O ) ■ 0 para / < 0 .

<4.105) «s

((< ) - M*> * /,<<)- l " / t M 4 0 - * ) dx. (4.107)

PROBLEMA A3ÜÍ Demostrar que ía convolucjón cumple 1* % .

' ■ ¡ ^


(4.108)

4 (<> * 4 (0 = J /, (x ) 4 ( í - x) dx. (4. 109)

Y o v i \yO-o —e t vt 9 -S j=>o t - ^ - o v n

Cf -biando la variable por t —x = y ,

4 (0 * 4 (0 = J 4 (í - y) 4 (y) dy

- f 4 (y) A (í - y) dyoo

= 4(0 * 4 (í). (4.110)

n O B L E K I. Si* 2£ |H Demostrar qüe la cónvolución cumple lá ley asociativa', esto es

¡xasssár

gfefj!

So lución : si se hace/i(r) * /2( í ) = g ( f ) , y /2(/) */3( í ) = A (í), entonces (4.111) seruede expresar como

g (t ) * 4(0 = 4(0 *h(0.Puesto que

é (0 = J ’ f, (y ) /2 (? - y ) dy,

se tiene

¿ ( 0 * 4 ( 0 “ | é ( x ) 4 « - x ) d x

(4.112)

(4.113)

í■ £

4 (y ) 4 (x - y ) dy 4 ( f - x ) d x . (4.114)

Sustituyendoz = x - y e intercambiando el orden de integración, se obtiene

é (0 * 4 (t ) = j ' 4 (y ) J 4 (z ) 4 ( í - y - z ) dz

Y dado que

se tiene

4 (z ) 4 0 - z) dz.

dy. (4.115)

(4.116)

íA ( í - y ) = I 4 ( z ) 4 ( f - y - z ) dz. (4.117)

Por consiguiente, la integral se identifica dentro del paréntesis angular en el segundo miembro de (4.115) como h ( t - y ) .

De donde.

esto es,

g (t ) * 4 (0 = J 4 (y ) f i ( t - y ) dy = 4 (0 * M 0 ;

14 (0 * 4 (01 * 4 ( 0 = 4 ( 0 * 1 4 ( 0 * 4 ( 0 4

(4.118)

So lución: por la definición de convolución (4.105), se tiene

/(O * 5 (0 = /(x ) 8 (t - x) dx.

Utilizando la propiedad commutativa (4.108), se tiene

/(O * 5 (0 = 3 (0 * /(O - J ° ° 5 (x ) /(t - x) dx = /(/)

de acuerdo con (2.68). De donde,

/(O * 5(0= /O).

BSSBlSilBBHBiáttiiliiilfil«s*s! niiBiB H;

Solución: procediendo como en el problema 4.29, se tiene

/(O * 5 ( í - D = 5 (f - T ) * /(O = J ° ° S (x - T ) í ( t - x) dx = /(f - T )

de acuerdo con (2.68). Análogamente, se obtiene

/ ( í - í , ) * S (< - 4 ) = 5 ( f - i, ) * f ( t - í. ) = J~ 8 (x - t,) f ( t - x - t,) dx

= / ( í - í , - t j )

= /(< - f, - í2y.

PROBLEMA 4.31 Probar el teorema de convolución en el tiempo.

Solución: la transformada de Fourier de f ¡ ( t ) * /2(r ) es

*5! /, (0 * 4 (01 = i [/_: /, (x ) /2 ( t - x) dx

Cambiando el orden de integración, se tiene

y u w */ ,(* ) ] « J “ / ,(* ) | J ~ /, (í - x) e - ' " » df dx. (4.123]

Por la propiedad de desplazamiento en el tiempo de la transformada de Fourier (4.73), se tiene ^

J /j ( í - x) e - ;W; dt = F 2 (cu) e~’01*.

Sustituyendo el resultado anterior en (4.123), se obtiene

J [ / , ( 0 * /2 ( 0 1 = J°° /, ( * ) F 2 (c u ) e “ #W x d x = J J “ /, ( x ) e - ' w * d x j F s (c u )

= J J ° ° / . (O e - ^ 'd t l F ,(w )

= F, (cu) F, (c u ).

,)] =

PROBLEMA 4.32 Probar el teorema de convolución en la frecuencia.


? -1 [F , (&>) * F , (&>)] = íf _1 | j F , (y ) F j (co - y ) dy

e '" 'd c o . (4.126)= ^ f [ / ” F' ^ ~ ^ dy

Sustituyendo co - y por x e intercambiando el orden de la integración, se obtiene

Cj [F , (co) * F 2 (co)] = - L J ° ° F, (y ) J * F2 (* ) e'<* + *>' dx J dy

^ J F ,(y ) e ^ ! J F2 (x ) e ,’ xt dx ] dy

[ i J ° ° Fl(w) e/ÍU' d<1J- 2 77

='2jt [/, (0 /, (í)l

F2 ( c o ) e * 6 ” de

(4.127)

en donde las variables comodines de la integración se han cambiado. La ecuación (4.127) se pliede expresar también como

í [/, (0 l2 (01 = i - 'F , (co) * F2 (c o ) = i . r F, (y ) F2 (co - y ) dy. 2^ 2jt

PROBLEMA 4.33 Utilizando la propiedad de simetría de (4.79) la transformada de Fourier y el resultado (4.122) del problema 4.31, resolver nuevamente el problema 4.32.


? [/ , (0 * /, (01= F,(co) F2(<o);

esto es

(x) i, ( t - x) dx = F, (co) F2(cj). (4.128)

Según la propiedad de simetría de la transformada de Fourier, se sabe que si ’S [/ (O I = F (co), entonces J [F ( í ) ] = 2rr / (- co); aplicando este resultado a (4.128), se obtiene

? [F , (0 F2 (01 = 2rr J ° ° /, (x ) f2( - c o - x) dx. (4.129)

Sustituyendo x po r - y , se obtiene

? [ F , ( í ) F j ( í ) ] = 2n £ h ( - y ) f2 ( - « + y) dy

= 2n J fl ^ dy~ 2~ j ' & 1* í¡, ( - y ) ] |2ir f2[~ (co - y ) ] ! dy. (4. 130)

Ahora, recordando que 2tt A ( - w ) = 3r [F , (0 ] y 2tt /2(- c o ) = 5 [F 2(0 ] , y cambiando •Fi(0 y F 2( t ) por f ¡ ( t ) y f 2( t ) , respectivamente, y consecuentemente cambiando 2tt f ¡ ( - y 2?r /2( - co) por F t(co) y F 2(co), respectivamente, la ecuación (4.130) se puede escribir también como

J [f, ( í ) f3 (í) ) = ■£ J ' F , (y ) F 2(co - y) dy = F , (co) * F2 (co).

PRO BLEM A 4.34 Utilizar la convolución para encontrar l ( t ) = 5 '

S o lu c ió n : la transformada de Fourier de f ( t ) es

1

F (< o )= J [/ (í)] =1 1

(1 + jco)2 (1 + jco) (1 + jco)

Por (4.47), se tiene que

1 + jcoPor consiguiente, según 4.122, se obtiene

u(t).

f ( t ) e~x u (x ) e~u x ) u ( t - x ) d x . (4.131)

En la integral anterior, el integrando incluye el factor u ( x ) u ( t - x ) . Como u (x ) = 0 para x < 0,.y u ( t - x ) = 0 para x > t, entonces

u (x )u ( í - x) =0 paraO > x y x > t

1 paraO < x < t .

De donde,

f ( í ) = f e~x e ( í ~ x) dx - e~ ‘ í d x = t e ~ 'u ( t ) . Jo Jo

(4.132)

4.8 TEO R EM A D E P A R S EV A L Y ESPECTRO DE EN ER G IA

PROBLEMA 4.35 Si ? (/ i(/ )] - F t (co) y J [ h ( t ) ] = F 2( co) demostrar que

£ [ í M i M U “ é £ F¡ (<o) Fs ( - a>) dco.

Y o v i \yO-o —e t vt o O - S ^ o

(4.133)

Solución: por(4.125), se tiene que

esto es,

£

? [/, (0 4 (01 = - j- f ° ° F, (y ) F2 ( c o - y) dy;

[4 (0 4 (01 e~iúJt dt = ~ J F, (y ) F2 (<o - y ) dy. (4.134)

Ahora, haciendo co = 0, se obtiene

£ [/, (0 4 (01 di = -£ f F, (y ) Fa ( - y ) dy 2* -U ,

é £ F , (ai) F2(-co) de

mediante el cambio de la variable comodín de integración.

PROBLEMA 4.36 Si las funciones/ ,(r ) y h ( t ) son reales, ? [ f i ( t ) ] = F í (co), y ? t/2 (0 1 = (c o ) ; demostrar que

4 (0 4 (0 df = £ - J " F j (co) F * (co) d o , (4.135)

donde F * (co) denota el conjugado complejo de F 2(co).

Solución: si f í t ) es real, entonces de (4.23), se tiene

F (-co ) = F*(co).

En consecuencia, según (4.133), se puede expresar

J°° 4 (0 4 (0 d í = i J°° F,

' 4 £ >

(co) F , ( - co) d co

(co) F f (cu) dco.

teorema de Parseyal &ftímz que si 5 [/ ( í ) { - / ‘'(co), entqnces

PROBLEMA 4.37 Probar el teorema de Parseval.

Solución: s i? [/ (? )] = F (co), entonces

? [/ * (0 l = J '00 f * ( t ) e~ia>t dt ~ [ f ( 0 e,0Jí] * dt

/ ( 0 e - r i - u x d t

= F *(-co ). (4.137)

Por consiguiente, si se hace f , (r ) =/ (r ) y f 2(r ) = f * ( t ) en (4.133), se obtiene

J°° f ( t ) i * { t ) rff = J _ F (o ) F * [ - ( - o , ) l

J F ( uj) F* (cu ) da,. (4.138)

Como / ( i ) /*(/ ) = | f { i ) |2 y F (co ) F *(<o) = |F(co)|2, se tiene

J ~ | / (0 | J d í = - L ^ |F(w)|J rfa>.

S i/ (f) es real, la relación (4.136) se puede obtener de (4.135), en forma sencilla

En la sección 3.6 se vio que la potencia de una señal para una función periódica, se

pó't¿nc»á cotsleníáa e«;cada aho'áé;3ó:s^n )¡^}nestes.dC ' p p i p Cdiscreta. £! mismo concepto ss puede extender a funciones no periódicas, parí; las cuales 86 usará un concepto útil: el contenido de energía el cual está definido pl j j Ü S S p

= | /(f)|’ di. : (4.139)

Bn verdad, sí se supone que f U ) es el voltaje <St* una fuen te conectada a través de una

resistencia de ! -Ll, entonces la cantidad j ^ I/(01" es igual a la energía total entregada

por la fuente.

Ahora bien, según #tá^^^Í3S'1?arseval, dado por (4 .136), se tiene

- I j/ (t )í3 dt * ~ J " |F(ü,)|* de, ■ J * ¡F W O di. 14.140)

:Esta.ecuació¿:a®^||^eLCd&nido de energía de f ( t ) está dado por y- n multiplicado por tfl área bajo la curva\F (co)i2. Foresta razón la cantidad |F(co)|2 se denomina espectro de energía o función densidad de energía espectral d ■ t ( r).

4.9 FUN CIO N ES D E C O R R ELA CIO N

se denomina junción deautomrreiación dc j\ (t )

pR O B fceM ft-4^ Demostiafqiio * •= •-j..;:;. • j

i ¡ | ^ g f f l p ! Í ! í p | | Í ^ S i 4"»)

lllll 1 i'É1 fefíS! I já:| BlBlÍll|pil 888BES|;lElSllllÍll

So lución):;||cambiándo la variable ¿ p l f 3 i ¡ l | | J I Í | | 4 Í 4 ^ | ! p í p S Í | ^ p ^

R , A ^ ) = j ' /, ( í + t ) f¡ ( t ) dt,

R21 ( t ) = J (2{t + t ) /, ( í ) di,

R „ (T ) = j * f , (t + T ) /, (0 c/í.

Según las resultados anteriores, se observa que es función / i(? )e ji una cantidad r en la dirección negativa, b si se en la misma cantidad, en. la dirección positiva, l i i l l i s í i i g i l


ilSillilllllllllilHIííiiSolución: por (4.145), se tiene

R2i ( t ) = f h ( t + T ) / , « ) * .

y por consiguiente

^21 (~ T ) = j ' ° ° f2( t - t ) /, (0 di = J /, (0 f2 ( í — T ) eft *= f?l2 ( t ) .

Análogamente, por (4.146), se tiene

í /,(* + t k í o * , '

y por consiguiente,

Rn ( - T ) = II /, ( í - T ) /, (0 dt = J {1 M {y Ü - T ) dt = R „ (T ),

en razón de (4.143).

La < Jíaí :

. (4.148)- íquela! . b& una función

PROBLEMA 4.40 Demostrar que la correlación de f ¡ ( t ) y f 2(r ) está relacionada con la convolución de / , ( f ) y /2 ( - í).

Solución: Sea Gi2( í ) = f ¡ ( t ) */2( - f ) de la definición (4.105) de convolución,esto es.

/ .(O */ , f ° ° f, (x ) L (í - x ) dx.

se obtiene

G ,j( í ) = J ' /,(x) /j [—<í * x)l dx

, (x ) /, (x - 0 dx.

Cambiando la variable í por r, se tiene

Gl2( T ) = J / ,(x ) f2 (x - x ) d x .

(4.149)

(4.150)

Cambiando nuevamente la variable comodín x por t, se obtiene

g „ ( t ) = O (0 /, ( f - T ) dt

= K l a ( T ) . (4.151)

De donde,

R u W - G , , (t ) = /,(<) * /2(-0 | f=T. (4.152)

^ 0BLEMA 4,41 Si ? 1/1 = i? i (w ) y í i a í o j -

: : ' SFílí,, (T )l = F,(<„) F ,(-o d . .

í f [jeal(T )I = f , (-<<,) f , (cj),

J l R n <X)l = F ¡ ( « , ) F , (- iw ).

Así mismo si / t ( f ) es real, demostrar que

(4.153

(4.154

14.155

Solución: la ecuación (4.72) del problema 4.17 muestra que si ? [/ (/)] = F ( io ) ,entonces 5 [/ ( - í ) ] = F ( - w ). De tal manera que si

? {/, (01 = F , ( « ) y fF [/2 (r)l = F2 (cu),

entonces

y t/, (- oí = f,(-<u) y y i/a (- oí = f2 (-w).Aplicando ahora el teorema de convolución en el tiempo

fy t A ( 0 * 0 (01 = F ,(w ) F2(w)

a la relación (4.152), se obtiene

y [ü ,2 ( t )1 = y [/, (o * /2 (- oí = f , (<o) f 2 (- w),

[4.1221

£ R í2 (T ) e~ia>x d t = F, (co) F 2 (-<,>). (4.157)

PbSogamente, se obtiene

J [R ti ( t ) ] = ? [ / , ( * ) * ( - i ) ] = Fj (co) F t (-co) = F, (-co ) F , (co),

J > (X ) e - ^ d t = F ,(-<u ) F2(co), (4.158)

y [R u (T )] = 5 [/, (o * ft ( - f)l = F l (<u) F, ( - « ) .

Según (4.23), si /i ( i ) es una función real de t , entonces F t ( - co) = F * (co). De donde,

5 [R „ (T )1 = F¡ (co) F * (tu) = | F, (co)|2

J '° ° R „ ( T ) e " ^ d T = | F » | *

s / i ( í ) es una función real de í.

PROBLEMA 4.42 Deducir el resultado (4.159) sin utilizar (4.155).


(4.159)

" ■ ■ « I ' .( f ) /, (í - X ) di.

Entonces,

? [F u (x ) l = J ° ° ( t ) e-,tyí d x

- J J 00 /, (0 /, ( t - T ) dt

( i - X ) e~í<yT dX di (4.160)

por intercambio en el orden de integración.Cambiando la variable ( f — r ) por x en la integral que está dentro de los paréntesis

angulares de (4.160), se obtiene

í [ü „ (T )] = /, (0 J ° ° /, 00 e - ^ " - *> dx di

= J ° ° (l ( i ) e--'W! di J ° ° /, (x ) e*®* dx

= F, (co) F, (-co)

= |Fj (co)|2. (4-161)

V o v i vn ff-SF=>o

K ,.(T > = j * /, (f) /, (f — t ) dt.

Haciendo r = 0, se obtiene

/, (<) /, (t ) cft

[ í t ( t ) ] } dt.

So lu c ió n : por (4.163), se tiene que

R , , (T K ¿ J ° ° lF ,M | 2 e ^ </w .

Haciendo t = 0,

(0) - ¿ I M * (4.166)

Por (4.164), se tiene que

Por consiguiente,

j '00 [1,(01* d i * ± J°° IF,(o>)¡2 d u .

/ (0 =

4.10 PROBLEMAS SUPLEMENTARIOS

*=OBLEMA 4.45 Hallar la integral de Fourier que representa la función

1 para 11 1 < 1

0 para |t| > 1.

: í ( t ) = l \ eos ta sen cu ^ rrj0 co

PROBLEMA 4,46 Utilizar el resultado del problema 4.45 para deducir

r j e n j o do, = nJ0 v 2

^Sugerencia: hacer t = 0 en el resultado del problema 4.45.]

PROBLEMA 4.47 Si f ( t ) es una función imaginaria pura, esto es, f ( t ) = j g (t ) , donde 2i r) es real, demostrar que las partes real e imaginaria de F (co ) son

R (co) =J* g ( t ) sen cot dt, X (tu)■£

g ( t ) eos cuf dt.

Así mismo, demostrar que R (co) y X (cu) son funciones impar y par de cu, respectivamente;

sto es, , , ,R(~co) = -R (c o ) , X (-c o ) = X (cu), F (- tu ) = ~ F * (c o ) .

PROBLEMA 4.48 Si J [/ (? )] = F (co ), demostrar que J [/ * (? )] = F * (~ « ) , donde f * ( t ) s el conjugado de f ( t ) , y F * ( - cu) es el conjugado de F ( - cu).

PROBLEMA 4.49 Si F(cu) = ? [/ (í), demostrar que

. 5 [ / ( a f ) e i “ o í ] = _ L F

PROBLEMA 4.50 Si F (co ) = % [/(/)], hallar la transformada de Fourier de f ( t ) sen cu0f.

Respuesta: i [F (cu - cu0) - F (cu

PROBLEMA 4.51 Hallar la transformada de Fourier de f ( t ) = e “ M .

Respuesta: 2a/(a2 + cu2).

PROBLEMA 4.52 Hallar la transformada de Fourier de / (f ) = _ L

[Sugerencia: aplicar la propiedad de simetría de la transformada de Fourier (4.79) al

resultado del problema 4.51.]

Respuesta: (n/a )e~a/

' PROBLEMA 4.53 (a ) Hallar la transformada de Fourier del pulso /) (?) que se muestra en la figura 4.6(a). (b ) El pulso ( í ) que se muestra en la figura 4.6(b), es la integral de /i(?); utilizar el resultado de la parte (a ) para obtener la transformada de Fourier de f i(t )\ comprobar el resultado mediante integración directa.[Sugerencia: para la parte (b ), utilizar el resultado del problema 4.25.]

i coT

Respuesta: (a ) F,{<u) = - — sen2 f ^ ? V (b ) Fs(cu)= AT i jcoT \ 2

(a)

Figura 4 .6 (a) E l pulso del problema 4 .53 .ib) La integral del pulso en la figura 4 .6(a).

PROBLEMA 4.54 El momento enésimo m„ de una función f ( t ) está definido por

mn =J~ tn í ( t ) d t paran = 0, 1,2 • • •

Utilizando el resultado del problema 4,26, demostrar que

mn = ( j ) n d paran = 0, 1,2,da>n

dondednF ( 0) dn F(co)

dco" dojnF ( c o ) = 5 [ f ( t ) ]

PROBLEMA 4.55 Utilizar el resultado del problema 4.54 para demostrar que F (c o ) = ‘J [/ (t ) ] se puede expresar como

F (co) — ( - } ) ” m„ ^ .

[Sugerencia: desarrollar e ~ lú,t = 2 ] e integrar (4.15) término por término.]

PROBLEMA 4.56 Demostrar que si 5 [/ (? )]= F (co ), entonces

k/ (t>dt

dt, IFd2f ( t )

d t2

Estas desigualdades determinan las cotas superiores de |F(w)|.

PROBLEMA 4.57 Utilizar la convolución para encontrar f ( t ) = $ ~ ¡ [ ________ 1______.[ (1 + jc o )(2 + j

Respuesta: (e~' - e ~2' ) u ( t ) .

PROBLEMA 4.58 Hallar f ( t ) del problema 4.57 desarrollando F (u } ) en fracciones

[Sugerencia: -1(;tu + l ) ( jw + 2) jo }+ 1 jco+2

y utilizar el resultado del problema 4.

PROBLEMA 4.59 Demostrar que si f ( t ) es de banda limitada, esto es, F ( io ) = *5[/ (f ) ]señar

para |co | > coc, entonces/(r) * = / (r ) para a > coc.

[Sugerencia: utilizar el resultado del problema 4.23 y el teorema de convolución en el tiempo (4.122).]

PROBLEMA 4.60 Sea F (w ) = 5 [/ ( f ) ] y G ( u ) = 5 U (7 )]. Probar que .

(a)

(b)

E f ( x ) g ( t - x) dx =

E f ( t ) g ( ~ t ) d t • ¿ I

F(cú)G(ai ) e >co' d<o,

F (íií) G (co) dco,

(c) J i ( t ) é * ( t ) d t = ± - F ( c o ) G * ( c o ) d o ,

donde el asterisco denota el conjugado complejo.

[Sugerencia: (a ) Utilizar (4.122) y (4.16); (b ) deducir el resultado de la parte (a ) haden t = 0; (c ) deducir el resultado de la parte (b ) con la ayuda de (4.72) y del problema 4.48.]

*ROBLEMA 4.61 Sean /i (?) y /2 (?) dos funciones gaussianas; esto es,

/ , ( , ) = _ 1 _ _ e - '2/2t;í, /2( 0 = _ J _ e~’2/2(7* .o í \¡2n o2\¡2n

lemostrar que si/3(?) = / i(? ) * f i ( t ) , entonces/3(?) también es una función gaussiana y

2 2f j ( 0 = — ---- e"' /2a3, dónde o ] = + o\ .

o^Splrt

WOBLEMA 4.62 Demostrar que la función de correlación de dos funciones gaussianas cualesquiera, es una función gaussiana.

PROBLEMA 4.63 SiR n (x ) es la función de autocorrelación de f ¡ (t), demostrar que

* u ( Q ) ^ | * u (r)|.

[Sugerencia: desarrollar la expresión x > 0 para r ¥= 0.]

PROBLEMA 4.64 S ¡R u (x ) y R 22( i ) son las funciones de autocorrelación de f r (?) y

-6 (0 » y Rn(x) es la función de correlación de/s(? ) y/a(?), demostrar que i?n (0 ) + 5 h (0 )> 2 1R 12(r ) I , para todo valor de t.

[Sugerencia: desarrollar la expresión x > 0, para todo valor de t .]

PROBLEMA 4.65 (a ) Hallar la función de autocorrelación R n ( r ) del pulso rectangular f ( t ) , definido por

A para [?| < d/2

0 para |í| > d/2.

fo ) Hallar la densidad espectral de energía S (cu) de /(?), a partir de R n (r ), obtenido en la parte (a ) y también comprobar que S n (o j ) = |F(co) |2 , mediante F (w ) dado en (4.45).

Respuesta: (a ) f i „ ( T ) = <y42(c/— l'fl) para|T|<d

(b ) S ^ co ) = A1 d0 * para |/| > d,

sen (cod/2)>d/2

PROBLEMA 4.66 Sea R u (r ) la función de autocorrelación y -Su (cu) = IF , (cu) |2, la

densidad espectral de energía de la función/! (?)• Demostrar que el teorema de Wiener-

Khintchine (4.162-3) se puede expresar también como

S ii (T)= *| R u (w ) cos c o i d<ú y F u (o>) = i S „ (T ) cos cut d i.n Jn

5

5 ( 0

o(a)

F(w )

O(b)

CAPITULO

TRANSFORMADA DE FOURIE DE FUNCIONES ESPECIALES

5.1 INTRODUCCION

para Ja sastenois áe la tfKtsfoBtftái! de una función f ( t ) está dada por la ecuación (4 .17). es decir,

n ü

:ras palabras, la integral del valor absoluto de ia función f ( t ) es finita.1 a, funcionas tales como san w í, cos wf„ d escalón unitario u ( f ) etc. no satisface

Íácondk|||^^ekir. El objeíó de esté capítulo es encontrar las transformadas de Foun c i i i f e l i í t a o l ie s y así mismo, definir las transformadas de Fourier de las fundones

5.2 LA TRAN SFORM ADA DE FO U R IER D E UNA FUNCION IMPULSO

1

'

i ^ i M É E I É M Í É r ó ^ m a d a de 1*mátx «fe'&.feaeión k p a s «attario Ique se muestra en la figura 5. Í& ) , .

So lu cjójiSHifHpiiaíísfonnada de Fourier de está dada por

(5.a

SegSn el análisis de laléccíón 2,4, se llega a la definición

(5 ,

De donde la transformada de Fourier de iu función impulso uniti Es evidente que la función impulso tiene una densidad espectral •

frecuencia. [Ver la figJ § ¡§ .l(b ).l

teslaiutidad.fonneentodoel

PROBLEMA 5.2 Deducir la siguiente identidad:

5 ( 0 - p P e ,w ,d « .

Figura S.1 (a) La función impulso unitario. . . , . , .(bl La transformada da Fourier 3 I 5 '3 ' x Obtiene de la función impulso unitario.

S o lu c ió n : aplicando la fórmula (4.16), que es la transformada inversa de Fourier,te i iS ( 0 = y _ , [ U = — 1 e 'u ' doj = —— I e’a l doj.

2 rr J-oo 2 n

i debe observar que la integración ordinaria de j e l<JI doj no tiene significado en

s caso; en vez de ello, se debe interpretar la identidad (5.4) como una función «neralizada (o función simbólica), es decir la integración de (5.4) converge hacia 6 (f ) en i sentido de una función generalizada.

Breo

rS o lulución: por (5.4), y utilizando la identidad e '“" = eos új t + j sen a>t, se tiene

S ( í ) = — f e^ ‘ dü>2 77

= — f (eos <j>t + j sen a>t)d<o2rT J-00

— í eos o í do> + i — f2 n L x 2 * L a

i— | eos ai71 Jo

sen (o t d co

30*

t doj

donde se han utilizado las propiedades (2.13) y (2.14) de las funciones par e impar.Se observa de nuevo que la integración (5.5) converge a 5 ( í ) en el sentido de una

ión generalizada.

es (5 .4) y (5 .S)se puede expr.

i i l f l i i l t ! !S ( y ) - - i | ' : eos (xy }dx .S I S

(5 6 )

¡ m

BLEMA 5.4 Hallar la transformada de Fourier de la función impulso desplazada • ta) que se muestra en la figura 5.lia),

c ió n: utilizando (2.68), se obtiene

? [ § ( < - f0)l = 8 ( t - t <¡) e - i u ,d t = e~l” ‘ l (=(o

form a de solución: dado que f [ 6 (0 ]= 1> y según (4.73), o sea,

^ [/ ( f - í0)l * F (<u )e - '“ 'o,

(o)

(b)

Fourier.Figura 5 .2 (a) La función impulso

desplazada, (b) La (5.9) transformada de Fourier de la.

función impulso desplazada.í [ S ( í - í 0)J= 1 e-,6ü'° =

lo se muestra en la figura 5.2(b).

Solución: sustituyendo (5.1 l j en el segundo miembro de (5.10), se tiene

j - J F(a>)e‘ w ,do>= ~ j |J / (y )e “ ^ r f y j e ^ 'r fc o . (5.12

Aquí, para evitar confusión, se utiliza y, una variable comodín diferente. Intercarnbiand el orden de integración y usando (5.6), se obtiene

j ~ j ° ° F (c o )e l“ 'd o = J ° ° /(y) J " e ^ ^ d c o

f (y )8 ( t - y ) dy = f ( í ) .

La última integral se obtiene mediante el uso de (2.68). Por consiguiente, la fórmula (5.10) ha sido probada.

5.3 LA TRAN SFORM ADA D E F O U R IER DE UNA CONSTANTE

Un seguida se hallará la transformada de Fourier de una X*) - A . Se observa que esta función no satisface Ja condición (5.1) de ser absolut

PRO BLEM A 5.6 Hallar la transformada de Fourier de una función constante

/(O = A,

tal como se muestra en la figura 53(a).

Solución: la transformada de Fourier de f { t ) = A es

? [/ (I)l = 5”(A ] = J ° ° A e~ '“ ' dt

= 2rrA — eí (~w)ldt.2" J_M

Ahora, por (5.6), se tiene

S (y ) = — f ° e>2n J-oc

Haciendo x = t e y = - co, se tiene

8 ( - co) =

*y dx.

~M> dt.


= 2 n A S (-co ). (5118)1

A 2 n d (ü j)

■ (b)

Figura 5 3 (a) La función / ( f ) = A .(b) La transformada de Fourier de / t í) = A .

Puesto que por (2.77), 6 (— cu) = 5 (w ),

3r[ i4 ]- i4 2 ffS (w ). (5.19)

Haciendo A = 1, se obtiene

? [ l ] = 2 *S (o> ). (5.20)

Otra form a de solución: por (5 3 ) , se tiene

SF[Í(01 = I -

.Ahora, utilizando la propiedad de simetría (4.79) de la transformada de Fourier, es decir, s :f [/ (/ )] = F (w ) , entonces SF[jF (f)l= 2rr / ( - cu), se tiene

5 (1 ] = 2 nd{~ o ) = 2 n S ((ú ).

Por consiguiente, í f [/í ] = A 2 it8 (o jf tal como se muestra en la figura 5.3(b).

q « j f todoí-v^ifidl ¡ti consiguiente, se con esta función e

en que / f f) ~ A significa que la función/(í) es constante para 5,3(á)],y no es la.'füriéáón escalón discontinua Au (t j .P o r | | | | | i f ( t ) ~ constante, ia única freeuehciaque se puede.relacionar• iaiÚét&(corriente directa piim).:

PROBLEMA 5.7 Hallar la transformada de Fourier de


íf [1] = 2 itS (cú)

y por (4.74), se tiene

3 [ f ( t ) e ^ ‘] = F (c o -< o 0) .

De donde la transformada de Fourier de e ' es

5 [ e ^ » ' } = 2n-S(&> - w0) . (5.21)

PROBLEMA 5.8 Hallar las transformadas de Fourier de cos co0t y de sen u 0t.

Solución: utilizando la identidad

^-(e '“ oí + e "1' " 01)

cos co,t= — + e- ' " 0' )2

y el resultado (5.21), la transformada de Fourier de cos co0t, es

3" [cos w01] = CJ *

= n 8 (új - w0) + v 5 (cu + cú0) .

Análogamente, puesto que sen a>at = ~ - e - ' " » * ) , se tiene

J [sen <u0í] = ?.2 i

(e

= ^ 7 [^ Jró fcu - o>0) - 2 77§ ( iu + cu0)]

= - / 7T S(&) - cu0) + j 77 8 (ú> + Cü0) .

(5.22)

(5.23)

F (ú > )PROBLEMA 5.9 Hallar la transformada de Fourier del escalón unitario u ( í ) , el cual está definido por (2.88) o sea

u (0 =1 para t > 0 0 para t < 0. (5.24)

(b)

■ S * (a) L a fu n c ió n / ( f ) = co s u iat

(b) L a tran sform ada de Fourier d e/(t) = cos w at

Solución: supóngase que

Entonces, por (4.72), se tiene

Puesto que

3r[u (0 l = F (o>).

í F [ u ( - 0 ] = F ( - t o ) .

í 0 para t > 0

(5.25)

u ( - í ) =J 1 para ( < 0 ,

se tiene

u ( t ) + u ( - r) = 1 (excepto cuando t = 0).

Por la linealidad de la transformada de Fourier y por (5.20), se tiene

^ « ( O l + J K - O l - í m :

esto es, •

F ( oj) + F (-co ) = 2 7?§(w).

Ahora, se supone que

F(co) = *S (c o )+ B(<y),donde B (cu) es una función ordinaria y A: es una constante. Entonces, como 6 ( - co) = 6 (co), se tiene

F(co ) + F ( - w ) = kS(co) + B (o i) + k 8 (-c o ) + B (-o>)

= 2 * S ( « > )+ S (w ) + B ( - « )

= 2n8 (<o ).

De donde se concluye que k = ir, y B (co) es una función impar.Para encontrar B (co), se procede así: por (2.90), se tiene

(5.26)

(5.27)

(5.28)

(5.29)

(5.30)

. ' « . ü g o . s c o .Q t

(5.31)

Entonces, de acuerdo con (4.91), se obtiene

? [u '(0 ] = j W F ( < o ) = i co [n 8 ( c o ) + B ( « ) ]

= 3: [8 ( t ) ]

= 1.

Yo V I i^ -o — V I 9-Sj=>o

Ahora, puesto que según (2.75), lü 8 (oj) = 0, se tiene

j oj B (cu) = 1 .le donde,

B(cu) = — .1 oj

nnalmente, se obtiene

? [ u ( f ) l = n'S(cü) + -J—.i cu

(5.33)

(5.34)

(5.35)

SCOdt i

habría dado corrió wsufcado ' i-. . \ '

donde F(co) es la transformada de Eoutier deü (r).Por tanta, cc® ]íid6 fi^ »K í(3 v3 ), setiene=!:.:

i

an resulfadtí que no es táS acuerdo cBaí(& M ^ íhí;!|||Íh:

\ ;í;:íBIIsíIhííhsíhí;hk

(5.37).

no se sigue que

En vez de esto, la conchisiAn correrla es i i l l ! § 5 !É ^ ^j;gl= s ^ ^ | jg S § g § g ^ ^ ^ íS § l;;

donde k és una constante, porque cu é.(£b) = 0, como se obsem de la propiedad (2/?5)ide

Pqr consiguiente, la conclusión correcta del resultado.(5.38)) no es (5.39) sino

™ -:+ kS (a ,)H&Í6IHSS

(5 4 3 )

PROBLEM A 5.10 Probar que la transformada de Fourier de la función escalón unitario, dada por (5.39), es decir, J [u ( í ) ] = l//cu, es incorrecta.

Solución: se observa que l//cu = -//cu es una función imaginaria pura de cu;de acuerdo con el resultado del problema 4.9, se ha probado que si la transformada de Fourier de una función real f ( t ) es imaginaria pura, entonces /(?) es una función impar de t. Pero u (t ) no es un^ función impar de t y, por consiguiente, l//cu no puede ser su transformada de Fourier.

U O

tos resultados, anteriores muestran quéelespectro de la función escalón axútarióTií: contiene un impulso en cu = b ; de éste modo la función u ( f j contiene una componente cÁ. como se esperaba. La figura 5:5 muestra la función unitaria, su transformada y su

fSe debe hacer hincapié en quela abdicación superficial dél teorema de difereftciación(4 .9 i) a i l i i l l i P i i i i s i i l •:hh! í é ;é í !

o( a )

F (ai) = R (c o )-t- jX (ai)

Figura 5.5 (a) La función escalón unitario.(bl La transformada de Fourier de la función escalón unitario,(c) E l espectro de la función escalón unitario.

sgn tPROBLEMA 5.11 Probar que

1

0 13

- 1

•’ í 1 1 1:— = - s g n t, 2

donde sgn t (léase signum t ) está definido como

sgn í = 1 1 Pa ra *> 0 - 1 para ' ' " (5.

(o)

Solución: sean f { t ) = sgn t y. 5 [sgn t ] = F (co). Como sgn / es una función impar de[figura 5.6(a)],F (co) será imaginaria pura, de acuerdo con el resultado del problema 4.9 en consecuencia, es una función impar de co.

Ahora, por (2.94), se tiene

/ ' ( O - 2 8 (0 . (5.


^ [f'C O ] = ;<aF(o>) = y [2 8 (0 ] = 2 . ( 5.

Por consiguiente,

F'(co) = — + k 8(co),J co (5.

? = a De dondeCOnStante ^ ^ ^ * * pUf a6

F(co) = 3" [sgn f] = — .jc o (5.

5.6 (ai La función signum sgn t. d e lo c u a l se c o n c lu y e q ue (b) E l espectro de sgn t.

sgn t.

La figura 5.6 muestra la función signum sgn t y su espectro.

Otra form a de solución: por la ecuación (5.35), se tiene

^■ [«(f)] = r r8 (c o ) + - í — .jco

“ (O ‘ e ( t )

1

0 \ ho j

‘ o

I

c o

2

01

t

2

Figura 5 .7 La función escalón unitario y sus componentes par e impar.

Se observa que u ( t) se puede expresar como (figura 5.7)

° ( 0 = 4 ( 0 + / . ( 0 #

se « ¿ e ° ^ C° mp° nenteS par e ™ Par de respectivamente. Por (2.1

t5 .f

/e ( f ) = i [ o ( 0 + u ( - 0 ] =2. 2

E J lC s C -t Y o v i l¿ -o S h vn

fa(0 = y [ “ (O - « ( - O í = ^ sgn f =

Por consiguiente, según (4.42) y (4.43), se concluye que

r

- f > o 2

- - t < 0

= nS(<ú),

l Sgn tj o

(5.52)

(5.53)

(5.54)

Por tanto,

= — sgn t.

PROBLEMA 5.12 En el problema 4.25 se demostró que si % [/ ( f ) ] = f (w ), entonces

= — JCÚ

supuesto que

Demostrar que si

entonces

Solución: sea

^ [ / í(x)cfx

J í ( t )d t = F (0 ) = 0.

£/(í)cfr = F (0 ) je 0,

I f (x )d x | = — F ( « ) + j (o

(5.55)

é (t ) = J f (x )d x .

La integral anterior se puede expresar como la convolución de f ( t ) con la función escalón

unitario u (t ); es decir,

/ « ) * u ( f ) = J * / (x )u ( í - x )d x = j f (x )d x = g ( t ) (5.56)

puesto queu ( t - x ) = 0 parax > t .Por consiguiente, según el teorema de convolución en el tiempo (4.122) y el

resultado (5.35), se tiene

i. 50)

.15)

3r[¿ (0 ] = 3: L f (x ) dx = 5 [ f (01 ? [ « (< ) ]

= F(a>) ttS(co) + --Í (O

= — F (a>) + 77 F (&>) 8 (<u). jco

(5.57)

Según (2.74), se tiene

Por consiguiente,

F (w )5 (w ) = F (0 )S (w ).

rí(x)dx = — F (w ) + jtF (0 )8 (cü ).

) (o

5.5 L A TR A N S FORM ADA D E FO U R IER DE UNA FUNCION PERIO D ICA

En el capítulo cuarto se desarrolló la integral de Fourier como un caso de límit serie de Fourier, haciendo que el periodo de la función periódica fuera infinito,

demostrará que le sen-: de Fourier se puede deducir formalmente coi: de la integre! de

Se debe o b » que para cualquier función periódica /(/),

rdecir, no cumple la condición (4.17) de que la integral del valor absoluto de la : finita; pero su transformada de Fourier existe en el sentido de una función genera

i cual ya ha sido demostrado al encontrar la transformada de Fourier de cos (o 0l y :

PRO BLEM A 5.13 Encontrar la transformada de Fourier de una función periódica /(f)

S o lu c ió n : una función periódica f { t ) con período T, se puede expresar como

2 TT/ ( f ) = £ C „ .

tomando la transformada de Fourier de ambos lados, se obtiene

j P c „ e’nU° ' = ^ c nÍF [e 'n<‘'° ' ] . (5.58

Puesto que según (5.21), se tiene

ÍF [e 'n£J° '] = 2^8(cu -«& > „),

la transformada de Fourier d e/ (í) es

(5.59

F (< y )= 2 r r £ ] cn §(o j - nco0) . (5.60]

|l||IÜ|á ecuación (5.60) establece que la transformada de Fourier de una función leriódica, consta de una sucesión de impulsos equidistantes localizados en las frecuenc

PROBLEMA 5.14 Probar que la sucesión de pulsos equidistantes

F(fcj) A n 8(b¡ - acó»)> w0 = ,

es la transformada de Fourier de ana ft

t Yo Vi ¡s¿-o — VI -^ -S lo ü -s ^ o

So lución: la función periódica es

f ( í ) = An 8 (w - n coa)

^ ^ - [ ¿ ( c o - no>0) ] . (5.62)


De donde.

f ' ‘ [ á (a i - n w 0) ] = — e ivco0t _ 2 77

(5.63)

(5.64)

Puesto que e " ' “ o(l+ 277/“ o) = e’nc° at, se tiene

' 2n- j = f ( f + D = f ( 0 ;

es decir, / (í ) es una función periódica con período T = 2n/co0.

PROBLEMA 5.15 Encontrar la transformada de Fourier del tren de impulsos unitarios ST ( t), donde 8T ( f ) está definido por

Sr (<) = ' . . . + 8 (t + 2 T ) + 8 (t + T ) + 5 (f ) + 8 (t - T ) + 8 (t - 2 T ) + ■ ■ ■

= £ 8 ( t - n T ) .

Solución: puesto que 8T ( t ) es una función periódica con período T, y según elresultado (3.61) del problema (3-10), la serie de Fourier de la función 8T ( f ) está dada por

8T (0 = - ¿ e’nCÓÜ‘ , (5.65)

donde co0 = 2tt/T, entonces


3r[Sr ( í ) ] = i ¿

? [ 5 t ( 0 ] = y ^ « ( « - « O) o)

= co„ 8(a> - n <n0)

= co08 m (cü) , (5.66)

8 {t - n T ) = o)0 ^ S (a-no)0).

l ¡ la transformada de Fourier de un tren de imj> es también an tren similar de nr¡ pulsos. Por i

r H

(o)

* impulsos es su propia transformada (figura 5.8)

F { oí)

PROBLEMA 5.16 Demostrar que los coeficientes complejos cn de la expansión en i de Fourier de una función periódica/(r) con período T igualan a los valores de la transformada de Fourier F0(co) de la función/0( f ) e n u = nu>0 = n2it/T multiplicada i 1/T, donde f 0( t ) está definido por

4 (0 =

f(0- 14 < ¿ r(5 .t

o, t > - T. 2

(b)

Solución: la función periódica/(í) con período T se puede expresar como

2 7Tf ( t ) = Y ' c „ e ’ncos‘ 5.8 (a) E l tren de impulsos.

{bl La transformada de Fourierdel tren de impulsos. i r T / 2

donde c „ = — I / (t )e ‘~,nM° , d t. Ahora,

dt

m

i

F oM = ? [ 4 ( 0 l

= J°° 4 ( 0 e “ '

C T / 2= I /(í)e~'"' dt. (5.69)

Puesto que-T / 2r 2

F0(nw 0) = I f ( . f )e - ,n0J° 'd t ,— T/2

(5.70)

o(a ) se concluye que

fG« )

i

cn = -FoCnaro). (5.71)

PROBLEMA 5.17 Utilizando el resultado del problema 5.16, encontrar los coeficientes complejos de la serie de Fourier de un tren de pulsos rectangulares cuyo ancho es d y cuyo período es T, tal como se muestra en la figura 5.9(a).

cu

■nei

o(b) Solución: sea

Figura 5 .9 (a¡ Un tren de pulsosrectangulares, (b) Un sólo pulso rectangular.

/(O = cn e lnü}0‘ ,2 tt

(5.72)

Entonces, según la figura 5.9(b), se tiene

4 (0 = pd(0. (5.73)

Per consiguiente, según (4.45), se tiene

F0(co) = 3r[/0(t)] = ? [P c f(0 ]=^ -- sen

= d- (5 .74)

Por tanto, según (5.71), los coeficientes c„ de la serie de Fourier de f ( t ) están dados por

/n o)„ c? ’

(5.75)Cn = | i r0(nw 0) = |

que es exactamente el mismo resultado de (3.47), excepto por el factor A , la altura del pulso.

PROBLEMA 5.18 Hallar la transformada de Fourier de un tren de pulsos rectangulares ife ancho d y período T, el cual se muestra en la figura 5.9(a).

Solución: según el resultado del problema 5.17, la serie de Fourier de esta función

está dada por

f ( t ) = ^ cne jnCt>0',

ronde

dc„ = —

T

no)„<7 n n d

n nd

T

= — S a i iJLfí T \ T

De (5.60) se sigue que la transformada de Fourier de esta función está dada por

J t í f f l - F W - 2 ’ d * " , n ’ d '

(5.76)

(5.77)

La ecuación (5.77) indica que la transformada de Fourier de un tren de pulsos rectangulares consta de impulsos localizados en = 0, ± co0, + 2co0, • • * , etc. La intensidad del impulso localizado en co = nco0 está dada por (2nd/T) Sa (rnd/T).

El espectro se muestra en la figura 5.10 (caso en que d/T = 1/5).

Figura 5 .10 E l espectro de un tren de pulsos rectangulares.

V b V I ¡/ ¿ -O — e t V I ^ - S f = > o

5.6 L A TRAN SFORM AD A DE FO U R IER DEU n c io n e s g e n e r a l iz a d a s

j " f ( * ) C ( x ) c f e t j F ( , x ) 5 ( * ) d x .

Solución: según la definición de transformada de Fourier, se tiene

F (y ) = J f (x )e ~ ! *y dx,

G (x ) = J g (y )e ~ ixydy.

Entonces

J~ f ( x )G (x )d x = j f ( x ) J”J é (y )e -\*ydy

Intercambiando el orden de la integración, se tiene

J f ( x ) C ( x ) d x = J g (y ) j j ° ° f { x ) e - i * y dx

= j é (y ) F (y )d y ,

y como se puede cambiar el símbolo de la variable comodín, se tiene

C mG (x ) dx = L F ( x ) g ( x ) d x .

dx.

d y

I F (x ) <b(x)d x = f ( * )* (x > r f*

PROBLEMA 5.20 Utilizando la definición (5,§5), demostrar qdé .

So lu ción: según la definición (5.85), se tiene

J 5 (0 * (Q * = J ?[5(O]0(w)<*<u.

y según la definición (2.67) de la función 6, se tiene

J 8 (t)S > (t)d t = <&(<) |( = 0 = <>(*,) U 0 = $ (0 ).

Pero

0 (0 )= J e~>u 'd t

y como en la ecuación anterior la integración es con respecto a t, se obtiene

<t>(0) = J <¿>(t)dt= j * 50 0 (a )r f«u .

Comparando los resultados (5.87) y (5.86), se concluye que

? [5 (0 ] = 1.

PROBLEMA 5.21 Utilizando la relación (5.85) hallar la transformada de Fourier de 5 ( f - r ) .

Solución: se puede expresar

(5.86)

(5.87)

J 8 (t - x)<t>(t)dt = j 7 [ 8 ( í -fllóMc/w.

Según (2.68), se tiene

J 8 (t - T )0 ( f )d í = Í* (T ) = 0 ( 0 \,=r = 0 ( o » )U . r

r ó ( t ) e ~ ’ rü'd t

(5.88)

= J* 4>{x) e ' Txdx.

Ü Dado que el símbolo de la variable comodín se puede cambiar a voluntad, entonces

J 8 ( t - T ) ® ( t ) d t = J 4>(a>)e~iT“ d u . (5.89)

¡¡¡Comparando los resultados (5.88) y (5.89), se obtiene

J [ S ( f - T ) ]= é~’ UT.

|§§Este es el mismo resultado (5.8) obtenido en el problema 5.4.

¡ Í 2 5 T . Utilizando k relación (5.85), demostrar que

í f t r w i * ;< *F (W).


PR

J* ÍF[/'(Q]0(<»)</®=iJj|* f'(co )1>(a>)do. (5.90)

Ahora bien, según la definición (2.82), derivada de una función generalizada, se tiene

J /'(&>)$(*>)</«» = - J /(ce)4>'(o))dco. (5.91)

■ don

Puesto que

<?<&(«) ci<j>' = - f

se tiene

d(ú

= J -jt<t>(t)e~i“ l dt

= - J

= - ? [ ; í ^ ( 0 l .

£ f ( « ) <t>' (<ü) cftü

= +J /(ú»)y[;f (0]d«.De nuevo, mediante (5.85), se tiene

/(o>)ff [;í0 (<)]cf (cú )F(cú )da> .

Comparando (5.93) y (5.90), se concluye que

? [/ '( f ) ] = ;w F (n > ).

Repitiendo el resultado (5.94), se obtiene

3r[/Ck)( í)] = ( ;w ) fcF (Cü).

I& 23 Hallar las transformadas &e Fourier da 5 '( f ) y 5 ^ \t\.

I que í f [S(/>] = 1. entonces, por (5-94) y (5,95), ae

(5.92)

(5.93)

Solse t

Y s í

Aho

dadc

De es

Por lt

91)

J WOBLEMA 5.24 Utilizando la relación (5.85), demostrar que

3r[ ( - ; 0 / ( 0 l = F /(<ü)=acó

? [ ( - ; * ) ' ' /(OI = F ^ (o > ) =dojk

| fc « le /•(<*>) = í 1/(01

So hición: según la definición (2.82), de la derivada de una función generalizada,: tiene

J F ' ( oj) 4>(a>)d(ú = ~ J " F(a¡)<t>'(cú)da>. (5.98)

' según (5.85), se tiene

- j ' F(ü))^>'(á>)dcú = - j f (c ú )$ [f3 '(f ) ]d (ú . (5.99)

Ahora, integrando por partes, se obtiene

3r[0 '(f)] = J°° <k’{t)e ->^dt

.92

>.93

5.94

5.95

= j új di (a )

dado que la función de prueba^íO se anula fuera de algún intervalo — » 0 cuando

Por consiguiente, .

- J f(o>)3; [(¿'(f)]d&! = - J~ f(a>)ja)<t>(cú)da>

= ( - j ú })f((o)^ (cú )dcú

= J (- ]t )f (t )< S > (t)d t . (5.100)

De este modo,

J F'(<u)^(w)dft> = J ( - j í ) f (t )< b (t )d t.

¡¡f¡|Por lo cual, según (5.85), se concluye que

? [ ( - ¡ t ) / (0 l = F '( f o ) = . (5.101)doj

Mediante repetición de (5.101), se obtiene

? [ ( - i t)k /(*)] = F (co) = . ( 5. 102)dco

PROBLEMA 5.25 Hallar las transformadas de Fourier de t y f* •

Solución: según la ecuación (5.20), 5 [1 ] = 2tt5(6j) ; y según (5.101), se tiene

? [ ( - ; '0 ] = 2 jr8 '(«i»). (5.103)

Por tanto,

= j 2 n 8 '( ( o ) , (5.104)

donde S '(co) = , Análogamente, según (5.102), se tienea cú

donde

« « ( a . ) = .dcok


PROBLEMA 5.26 Evaluar las transformadas de Fourier de las siguientes funciones:

(a ) 1 - 3 á ( í ) + ^ S ' ( f - 2), (h ) sen 3t, ( c ) u ( í - l ) .

Respuesta: (a) 2irS(co) - 3 + 3jcoe->2a, (b ) j(«r/4) [S(t> - 3) - 35 («u - 1) + 38 (cú + 1) - S(cü + 3 )], (c ) ttSÍúj) - e’! w/}(ú.

PROBLEMA 5.27 Demostrar que la función escalón unitario u ( t ) se puede expresar,

u ( f ) = 1 + 1 f d(ú.2 ” J0 co

[Sugerencia: utilizar las fórmulas (5.35) y (4.27).]

PROBLEMA 5.28 Probar que

(a ) 3 [eos oi0í u (í)3 = F [8(co - <o0) + 8(co + <o0) ] + j

(b ) 5 [«en «u 0t u ( f ) ] = “ - j Z [ § ( « _ a ) _ 8(co + « , ) ] .co„ - co 2

[Sugerencia :cos co0t u ( í ) = ¿ { e ' " 0' u { t ) + y utilizar el resultado delproblema 4.19.] '

PROBLEMA 5.29 Hallar la transformada de Fourier de un tren finito de impulsos unitarios \ /

/ (t )= J ^ S ( t - n T ) . n=0

0)1/2) oT/2 )

Respuestas-; < * - »> " r /2 sen (kco T/2) sen (tuT/2)

PROBLEMA 5.30 Si í ( t ) = e ’ a> u (í ) , demostrar que 3 [/ '(r) ] - ;o> 3 ( í ( f ) ] .

'Sugerencia: í ' ( l ) = 8 ( l ) - H e '® ü ( l ) . ]

PROBLEMA 5.31 Sea f ( t ) una función periódica con período T. Si la función f 0( t )

está definida como

f ( í ) = j / ( í ) Para l'l < 7 /20 para |í| > T/2 ,

Amostrar que/ (í) se puede expresar como

PROBLEMA 5.32 Utilizando el resultado del problema 5.31 y el teorema de convolución,

demostrar que la transformada de Fourier de una función periódica/(f) con período T, y coeficientes complejos cn, se puede expresar como

f í ( f ) para |í| < t/2 donde F0 (a>) = 3 [ f0( í ) ] y f0( 0 - i

[ 0 para |f[ > t/2.

[Sugerencia: utilizar los resultados de los problemas 5.15 y 2.50.]

PROBLEMA 5.33 Probar que 3 [ l/ í] = ~ n j sgn ce = nj — 2 n ju ica ).[Sugerencia: aplicar la propiedad de simetría (4.79) al resultado (5.44) del problema 5.11.]

PROBLEMA 5.34 Del resultado del problema 5.33 deducir que para n = 1,2, • • •, se tiene

[Sugerencia: utilizar el resultado del problema 4.24; esto es, 3 [ f ' ( t ) ] = joj F (co). ]

PROBLEMA 5.35 Demostrar que 3 ( fu ( í ) ] = jrrS '(ai) - 1/co2 .[Sugerencia: utilizar el resultado del problema 5.24.]

PROBLEMA 5.36 Demostrar que 3 [ 11 | ] = - 2/a>2.

[Sugerencia: utilizar |?| = 2 t u ( t ) - 1, la ecuación (5.104), y el resultado del problema 5.35.]

PROBLEMA 5.37 Hallar la solución particular de la ecuación x " ( f ) + 3x’(0 + 2 x (f) = u (f), utilizando la transformada de Fourier.

[Sugerencia: tomar la transformada de Fourier de ambos miembros de la ecuación. Hallar X (cu) = 3 [ x ( í ) ] y tomar la transformada inversa de Fourier.]

K 0 = £ í0(t - rtT ) = í0( 0 * M O ,

F (co) = ^ ^ F0 (nco0) 8(&> - nco0) =r 2n ^ cn 8(<o - nca0) ,

i [ - l / í2] = - ja in j sgn co = con sgn co,

3 [2/í !J = - {ja i)2 n j sgn a> = jai2 v sgn co,

( - jü ) f~ ' (n - 1)!

nj sgn ai.

Respuesta: i (1 - 2 e ’ f + e~2' ) u ( f ) -

PRO BLEM A 5.38 Hallar la solución particular a la ecuación x " ( f ) + 3x \ t) + 2x ( t ) =

38 (t ), utilizando la transformada de Fourier.

Respuesta: 3(e~‘ - e '2' ) u ( t ) .

PRO BLEM A 5.39 Sea F (co ) la transformada de Fourier de f ( t ) y fk( t ) la función

definida por

1 r *f fc (í) = — F (<ú)e><J“ do>.

Demostrar que

/ . ( O - i f77 J-cc *

PRO BLEM A 5.40 En el resultado del problema 5.39, demostrar que

s; / a \ i - sen kto \ t) = lim --------- •k-.sc í

[Sugerencia: observar que lim ík ( f ) = /(£).]k-*oo

PRO BLEM A 5.41 Hallar la transformada de Fourier del escalón unitario desplazado

u { t - t 0) .- ;"< ó

Respuesta: nS(<o) + ---------ja

PRO BLEM A 5.42 Utilizar la relación (5.85) para deducir el teorema de convolución

en el tiempo

PRO BLEM A 5.43 Utilizar la relación (5.85) para demostrar que

? [e ^ ° f ) = 2n8(co - <u0).

PRO BLEM A 5.44 La transformada de Fourier F (w ), de la función generalizada f ( t )

se puede definir mediante

£ ' < o * ( 0 d , - h £ F (&>)$(— cu) d(o,

donde <¡>(t) es una función de prueba, y ? [<¡>(t)] = 4>(w). Utilizando la ecuación de Parseval

f ( t ) g ( t ) d t = ^ J F (c o )G (-c o ) dco, [4.133]

demostrar que la transformada de Fourier de la función impulso unitario es

y [a u n = i .

[Sugerencia: J 8{t)< f> (t) dt = 0 (0 ) = d>(w) d a = — J* $(-.]

6CAPITULO

APLICACIONES A SISTEMAS LINEALES

6.1 SISTEM AS LIN EA L ES

excitación) y mús, función de salida (o función de respuesta). Un sistema está íompiétamente caracterizado si;sé cóftoce la; naturaleza de ta dependencia de la.saiida sobre ta entrada;

:‘Si se supone que la respuesta dé-un sistema a la ex'dtóciófíifj^-esla función f¿.(t), j; jji y sí ia respuesta de ese sistema a laexeitación/iíí) = «j/Vj ( i ) + a -j .; ( r) es f j j ) -

iS S Í;® ® S fiilitifP * 8 8 ^ ■ (Ver la figura 6.1.) j : | j - i j : :

Por tanto, un sisteffia ííneal se puede defiftíf como un sistema.aíeualise.le puede aplicar

l i l l ig Ü respuesta.‘íí'e ün sistema a’la excitación la Tuneión £,(?), y si 1a respuestade;||i|isteinaa"ia excitación f ¡ ( t - f ¿ > « ta función fQ(t - t^ jim íS ic z q a e «aun 'interna

invarianteenWtwhipQ&’iiti deí ptametifoi- Únstmte^,.’W ^ ¡ ¡ j jOtra definición de sistema lineal es la de que la función'de la excitatíón y ia función

de la respuesta del sistema están relacionadas por una ecuación diferencial 2meá7;ésdecir,.

Figura 6.1 Entrada y salida de un sistema lineal

i d t " t 9 n ~ l . d r - - * :4- a , — =-— +' S b/o U /

::::::

• . j f j j i f i"/; (*)•=••= § lü ig:#?;04á ürigi;

6.2 FUN CION ES OPERACION A L E S D E L SISTEM A

, "’~ggg¡|j

H lentonces,' lá;éec iB|ÍÍ^6.1) •s5.^effiíéx{Ké"^¿^Mio l-j ¿ííüüíe

"u mi“® ;i

M :

R L C

circuitoi (O

(b)

gura 6 .2 (a) E l circuito del problema 6 .1 . (b) Sistema del circuito de la figura 6.2 (al.

donde

A ifti - a np " + 1 t • . • +<3,p +

5 (p) * % p * + &m_ jp” - 1 + . . . +. ó[P 4. V

En un sistema lineal los coeficientes y bm son mdependientes de la función de |tspuesta. En e^| Í|| feva rian te (o de parámetros constantes) los coeficientes a"¡ion constantes. " '

Í!Í% > WDf | l |§ |§ pnede expresar simbólicamente en la forma

donde f í ( p ) ~ 3 íp ) / ¿ (p ) . Se entiende que la ecuación (6.4) es una expresión

W á o n a l déla ecuación diferencial (6 .1). El operador //(p)que opera sobre la fuitci

de « * * . » d e n o m i n a ^ ™ o p e ra c ton n l d e i sistt Utilizando el símbolo ¿ par» ff fp ), la ecuación (6.4 ) se puede expresar como

M í , ( O U U O . ( 6 s

¡ A l M l i aaCi6a (6-5) indica la ley que determina la funci* de salida,/^(í), dada la función de entrada,yjW . A veces se menciona la ecuación (6.5)

411a 1833

UR '* * * * “ ' ^ está definido,' L !a ,,<‘ '•'> + a:f.^O l • a tL i f „ UU * *.£, | g|

PROBLEMA 6.1 Obtener la expresión operacional para la respuesta de la comente HO» al voltaje v (f), del circuito que se muestra en la figura 6.2(a).

So lu c ión : la fuente es el voltaje aplicado v (t), y la respuesta es la comente i ( t ) , comose muestra en la figura 6.2(b). La ecuación diferencial que relaciona i ( t ) y v ( f ) se puede obtener utilizando la ley de Kirchhoff, así:

R i ( t ) + L * £ l + L j ' l ( t ) d t = v U ),

Diferenciando ambos miembros, se obtiene

(6.8)

L £ i W + R d iO )+ l _ . {0 = dv(r)dt‘ “ dt C dt

donde el símbolo L representa la induetancia y no al operador L .

Utilizando el operador p = d/dt, la ecuación (6.9) se puede expresar como

1

(6.9)

L p 2

Por tanto,Rp+ Cl = pv ' (6.10)

i (0 =

donde

Lp2 + Rp + iC

(6. 11)

tf(p) =L p 2 + Rp + _ R + Lp + —

CpZ ( p )

= P ( p ) .

PROBLEM A 6.2 Considerar el sistema mecánico simple que se muestra en la figura 63(a). Obtener la expresión operacional de x (t ) , que representa el desplazamiento de una masa m desde su posición de equilibrio.

Posición da equilibrio de la masa

(O

Solución : la fuente es la fuerza aplicada/(í), y la respuesta es el desplazamiento x { t )de la masa m desde su posición de equilibrio [figura 6.3(b)].

Las fuerzas que actúan sobre la masa son las siguientes:(1 ) la fuerza aplicada f ( t ) ;(2 ) la reacción por inercia ( -m d 2 x/d2t);(3 ) la fuerza de amortiguamiento (resistencia por fricción) ( - kd dx/dt), y(4 ) la fuerza restauradora elástica ( - ksx ).

En los numerales (3 ) y (4 ), k¿ y ks son el coeficiente dinámico de fricción y la constante del resorte, respectivamente.

Aplicando el principio de d’Alembert, se tiene

f(r)

//y////////////////// ,( a )

( ( t ) Sistema * (Omecánico

d2x (t ) , d x (t)-+ k ksx (t ) = /(O-

dt2 dt

Utilizando operadores, la ecuación (6.12) se convierte en

(mp2 + kdP + ks) x ( t ) = /(í).

Por tanto,

x ( f ) = _ I / ( f) = H (p ) / « ) ,

(6 .12) (b)

Figura 6.3

(6.13)

(a) E l sistema mecánico del problema 6.2.(b) Representación del sistema mecánico de la figura 6 .3(a).

m p 2 + kdp + ks

donde H {p ) = l/ (m p2 + kdp + ks).

(6.14)

6.3 R ESPU ESTA A FUN CIO N ES EX PO N EN CIA LES DE EN TRA D A - FUN CIO N ES PROPIAS Y FUN CION ES D E L SISTEM A

• Lá rés£¡£«ésíiÉ de sistemas lineales a fúndenos de entrada que seáí funciones exponeneialesdél tiempo, .son dé especial importane a enéí anaíisis de •! sistemas lineales lililí

PROBLEMA 6.3 Demostrar que la respuesta de un sistema lineal e invariable a una función exponencial i| | ll también es una función exponencial y proporcional a la

S o I uci ó n : sea f a( t ) la respuesta a e>(° ' . Entonces,

L ¡e í&>íl - (0 (t).

Puesto que el sistema es invariante, entonces por (6.7), se tiene

L \ e '(ú(1 + ,0,¡ = f ( t + t0).Pero según (6.6), se tiene

L |e í6J(,+ fo)¡ = L = e '^ 'o -L \0l(otDe donde,

f0 ( í + í0) = e;Wfo fa (t).Haciendo t = 0, se obtiene

¡o (O = fo (0 ) e,CÜ'°.

(6.35)

(6.16)

(6.17)

(6.18)

(6.19)

(6 . 20)

f ¡ ( t )H (ico)

ío(0

La entrada í¡ ( t ) = « V

la salida í„ (/) = H ( ico) e '

Figura 6 ,4 Función del sistema.

Como fo es arbitrario, se cambia t0 por t y se expresa la ecuación (6.20) como

i o (tf.= i a (0) ei<ot - k e^Wf.

Es decir, la salida es proporcional a la entrada, siendo k = /o(0 ) la constante de proporcionalidad. En general, k es compleja y depende de co.

Otra form a da sol ución: supóngase que la excitación en la ecuación (6 3 ), es la función /¡(O = eí<ü' ; entonces

^ (p) /0 ( f ) = 5 ( p ) e 'w i,

donde /0(r ) es la respuesta del sistema. Ahora bien;

(6.21)

B (p) = bmpm + + ■ • • + b,p + ó0

B (p ) e 'Wf = B(/W) e ,a"

dado que

s,Wt = — (e í&" ) = (jco)'” e>bJí. dtm

Por tanto, la respuesta f a( t ) está definida por la ecuación diferencial lineal

A (p ) f0( t ) = B ( jc o )e ¡ (0‘ . (6.22)

La función excitadora de la ecuación (6.22) es B ( ju ) e ‘<ot, una función exponencial,y según la teoría de las ecuaciones diferenciales, se puede suponer que la respuesta f 0( t ) también es exponencial. De donde, si /„ ( t ) = entonces

A ( p ) í 0 ( t ) - A (p ) [ * ,e 'w,l ^ . é í p í t e ' 6" ] = k¡ A (jco) e ^ ' = A(ja> ) ( a ( i ) . (6.23)

Sustituyendo (6.23) en la ecuación (6.22), se obtiene;

A(jco) l0 ( t ) = B (J o j)e '01'. (6.24)

Por tanto, si A ( f u ) =£ 0, entonces

/o ( í ) = e ' " ' = H ijeo ) e ,a>'.A (jco )

(6.25)

La figura 6.4 muestra un diagrama que ilustra la relación entre la entrada y la salida, dada por (6.25).

. . . . ' . . . L le»wM _ U(j<o) :: . :

En lenguaje matemático, una función/(í) que satisface la ecuación

l í ( t ) l « * nr>.

(6 .2 6 >

(6.2?)función propia (o función||í®i^Spk:a) y el valor correspondiente de

’-m h r propÁ^o valor C Íl¡ÍjÍfis tico). Según la ecuación (6.26), se puede decir que la función característica de un sistema lineal.e imwéaxfo'es una fundón exponencial.

■ m ■ PROBLEMA 6.4 Hallar la respuesta del sistema especificado por H ( ju ) , a una constante K.

SoI u c ión : según la ecuadón (6.26) y por la linealidad del sistema, se tiene

L\K\ = K H (0 ), (6.28)

donde H ( 0 ) - , H ( j u , ) \ .

PROBLEMA 6.5 Si la función de entrada de un sistejna lineal especificado por //(/co) es unaiunción periódica, con período T, hallar la respuesta del sistema.

Solución : puesto que la función de entrada /•(/) es periódica, entonces

/ , : « = ' j r cn e 'nW«»‘ . « , = y , (6.29)

donde

1 f T/2

/- T ,/,(() e~inUa' dt. (6.30)

Etela ecuación (6.26) se sigue que

Ion (0 = H Unco,) c n (6.31)

es la salida en respuesta a la componente de entrada

(r) = c„ e 'n“ 0'. (6.32)

Como el sistema es lineal, su respuesta total a f ¡ ( t ) es la suma de las componentes f on(t). De este modo

f „ ( 0 = £ c „ H(jnw0) e ínfcV . (6.33)

La ecuación (6 3 3 ) índica que si la entrada a un sistema lineal es periódica, entonces la S salida, también es periódica» Sé debe observar que la expresión (63fy$$iMxcspm$ta en estado

6.4 RESPUESTAS SENUSOIDALES EN ESTADO ESTACIONARIO

SoI uci ón : supóngase que la respuesta en estado estacionario del sistema a la entradacos coi es rc( t ) , y que la respuesta en estado estacionario a sen coi es rs( t ) ; es decir

L Icos w íi = rc (0 , (6.34)

L | sen turf = rs (í). (6.35)

De la propiedad de linealidad (6.6) se sigue que

L Icos wt + ¡ sen « f ( = rc (f ) + j r s (t). (6.36)

Pero como cos ojt + j sen co? = eiCút,

L I ei<0‘ ! = rc (0 + ; rs (í). (6.37)

Según (6.26) se sigue que

r c (t ) + j T5 (0 = HQcü)eiOj'. (6.38)

Puesto que rc( t ) y rs( t ) son funciones reales de t, se tiene

rc ( í ) = Re [ H Q oj) e ,a>,í,

rs (f ) = lm [H ( j o )

Por consiguiente,

L Icos coi! = l?e [f f 0<y)e'w '],

L I sen cotí = ¡tn [H ( j c j ) e ieo' ] .

Solu ción : se procede como se hizo en el problema 6.6. Sea

L | v ro c o s (coi + /3)S = r c ( i ) , (6 .4 3 )

M v m sen (caí + /3)j = r s ( í ) . (6 .4 4 )

Entonces,

L \ vm [ c o s (coi + /3) + sen (coi + f3 ) ] ¡ = L |vm e<(c',, + £ ) i

= L | v „ ,e ¡P ' 1 . (6.45)

Sea vm e ' = Vm ; entonces, de la ecuación (6.26), se tiene

L |V m e l<ot\ = \ m L \eiCúti - Vm H Q oj) e iU n - (6 .4 6 )

Por tanto,

í-c ( 0 + ; r s ( í ) = V m H Q oj) '■ (6 .4 7 )

P u e sto q ue \ m H Q oj) e ¿Wf = vm \H Q o)\

rc(t) = R e [V m H Q < ú )e i<01] = |/f (/c<j)| c o s (coi + ¡8 + 6), (6 .4 8 )

r ( í ) = lm [ Vm H Qo>)e t<ú'] = vm\H (ju )\ sen (<uí + /3 + 6 ). (6 .4 9 )

De este modo,

L i v m c o s (coi + (3)! = vm|/f(/co)| c o s (coi + ¡3 + 0 ) , (6 .5 0 )

L | vm sen (coi + ¡3)\ = vm|H (?co)| sen (coi + /3 + 0 ). (6 .5 1 )

ígHiHK:De los resultados anteriores se condsffi^í^ie la salida f 0( t ) se puede representar por el fasor V^/if/w ), si la entrada/jfr) está representada por el fasor V m. Por consiguiente, tí la entrada y la salida son funciones senusoidales estacionarias, entonces la función del

*ns val° res complejos de la salida y la entrada. ■ j

(6.39)

(6.40)

(6.41)

(6.42)

H (jco)» |tf0-). * ;6(c,>>= |H0-)| ¿1M . demostrar que i respuestas en estado estacionario del sis te.* tías eat

Rc-.\HQu,) Vri - vm\H O t ic o s ( o í - 0 ♦ 6),

*SOBLEMA 6.8 Hallar la respuesta/0( í ) de un sistema lineal cuando la entrada f ¡ ( t )

a periódica con período T, y está expresada en serie de Fourier por

M O = C0 + cos (n&V + ®n)'2n (6.52)

So I u c i ó n : del principio de superposición y de los resultados de los problemas 6.4 y6.7, se sigue que

í 0 {t) = L ¡/,.(í)¡

- L C„ + ^ Cn cos (na>0t + á n)

n= 1

L ¡C„! + L |Cn cos {riúi0t + <£„)í

n= i

C0H (0) + ^ C n\H (jnco0)| cos[ncu0í + ó n + 0(nojo)l. (6.53)

6.5 APLICA CIO N ES A C IRCU ITO S ELEC T R IC O S

PROBLEMA 6.9 Una fuente de voltaje v ( i ) = vm cos (coi + (?) se aplica al circuito en serie RLC, que se muestra en la figura 6.5. Hallar la comente de respuesta is( t ) en estado

estacionario.

Solución : según el resultado del problema 6.1, la respuesta de la corriente i ( í ) está

relacionada con la fuente de voltaje por

i ( f ) =: « (p ) v ( í ) = - 1 - [v ( í )L (6.54)Z (p )

donde H {p ) = 1 /Z (p ) y Z (p )> = R + Lp + ~ r . Utilizando ahora la notación fasorial,.. Lp

se tiene

V « )

Figura 6 5 E l circuito en serie R L C del problema 6.9.

v ( f ) = vw eos (<ot + /3) - Re [V m e ,<Uí], (6.55)

donde Vm = vm e 'P -

Entonces según (6.50), la respuesta senusoidal en estado estacionario is( t ) , está dada por

i s (0 = Re1

Z (jü })■ v m e '

Ahora bien,

Z (jeo) - R + j o L + — = R + j ( cúL — - ¡ ojC \ wC

= \Z (jco )\ e > 9^ = \ Z Q c o )\ Z Í M ,

donde

Z(j(o )\ = 1/ R2 + [c o L -cuC

0 (cu) = tan-1

ü> L -------o C

(6.56)

(6.57)

y (0

v

(o )

R = 1Í2

(b)

uia 6 .6 (a) Forma de onda de la fuentede voltaje, (b) E l circuito en serie R L del problema 6.10 .

Entonces,

<A 0= -,|Z(/a»)|

eos [ojt + £ - 0(«ü)].

PROBLEMA 6.10 Una fuente de voltaje v (t ) , cuya forma es una onda cuadrada, como se muestra en la figura 6.6(a), se aplica al circuito en serie R L que se muestra en la figura 6.6(b). Hallar la corriente de respuesta en estado estacionario.

S o lu c ión : la expansión en serie de Fourier de la onda cuadrada está dadaCon « o — 2 n /T - 1, se tiene

eos t - I c o s 3í + I eos 5 í ------

La impedancia del circuito R L (figura 6.6(b)) a cualquier frecuencia angular está dada por

Z (jo :) = R t ju L .

Por consiguiente, para el armónico enésimo la impedancia es:

, Z(jm<j0) = R 4 jncú0L.

Para este problema,/? = 1Í2 y L = 1 h; por consiguiente,

Z<jnüj0) = Z ( jn )^ 1 + j n = \Z( in)\/donde

\Z (jn )¡ = Vi. +■ ns, 0 (n) = tan-1 n.

Según el principio de superposición, se sigue que la respuesta en estado estacionario i (r ) esta dada por

cos (f - tan-11) -3^10

cos (3f - tan-1 3)

cos (51 - tan-1 5) +. (6.63)

PROBLEMA 6.11 El voltaje de entrada al circuito RC, de dos fuentes, que se muestra en la figura 6.7, es la serie finita de Fourier

v ¡ ( f ) = 100 eos t + 10 cos 3r ^ eos' 5r.

Hallar la respuesta resultante vOÍ( í ) en estado estacionario.

So I u ci ó n: puesto que la fuente es

v¡ ( í ) = R i (0 + i J i ( t ) dt = (1? + — ] i (t), (6.64)

la respuesta es

v ° ® 4 f i W d , = ¿ c(0. (6.65)

Dividiendo el resultado (6.65) por (6.64), se obtiene

ve (Q pC 1

v,- (0 R +1 1 + pRC

pC

Por consiguiente, la respuesta vG( f ) y la entrada v;(r ) están relacionados por

1

'o ( í ) = v, ( f ) = H (p) v,-(í),R + —

pC

(6.66)

donde

H (p ) =

1

pC

1 1 + pRC

pC

Ahora la razón de fasores V0/V1- a cualquier frecuencia angular « es

1 / -ta n ~ ‘ ojRCV' 1= - r

v , i + /cRC x/TT ltiR cj7(6.67)

Puesto que oj0 = 1 > la razón de fasores del armónico enésimo es

V | = = H (jn ) = 1 / - ta n "1 nRC _V,- n/1 + (nRC)2

Por tanto, según el principio de superposición se sigue que la respuesta en estado estacionario, vos(t ) , está dada por

100 , , 10vos ( 0 -

\/T7W ci

i

eos ( f - tan-1 RC) +

sjl + 25 R2C 2

s/l + 9 R2C:

cos (5f - tan-1 5RC).

cos (31 - tan 1 3RC)

(6.68)

En este problema, //(/w) de (6.67), se denomina función de transferencia de voita

6.5a Cálculo da potencia en estado estacionario

é a Jó* terminales a-b del circuito de la figura 6.8,es periódio y 1IÜdefinido por la serie de Fourier :i * r i;'

v «b ( f ) v n eos {nvvt - 0 „ ) ,

V o (0

Figura 6 .7 E l circuito R C da dos fuentes del problema 6 .1 1 .

y la nao estactonano que entra por el

i , U ) x . U • ¿ c.

que la potencia promedio de entrada

............. ~ ...... T f l ti r= y j v* t . (0 » « (O dt

Hgura 6 3 E l circuito del problema 6.12.

Solu c ión : sustituyendo (6.69) y (6.70) en (6.71), se tiene

. T / 2

di

J / . t / 2 r 00 i r oo

= — I Po + Y ] pn c o s (ncü0 f + /3n ) / „ + Y ] / * COS ( * « 0í + ctk )J - T / 2 L „ = , k ^ í

- T / 2 r oo c

= y I v o l o + va Y ] h COS {küjat + <xk) + / „ V COS (n<y0 í + f t ,d _ r /2 L * = i “ r ?

• I E COS (nco0 í + f i n ) c o s (¿610 f + Ctfc)n = l A = 1

1 r T/2 1 c T/2o — l d l + V » — j COS ( k o 0t + a k )

J - T / 2 * = 1 X • i - T / 2

V2! 1 f T/2l ° Z_. f I cos ^ 6J» Í + P " ') dt

n= t d- T / 2

“ “ 1 - T / 2

/ , F « c o s ( n<úo ‘ + f i n ) C O S (* t» 0 f + a * ) d i .n=l k= 1 2 J-T/2

dt

v j d t

(6.73)

Utilizando las relaciones de ortogonalidad de la sección 13 , se obtiene

. T / 2Í * / Acos (n<y0f + j8n) dt = O,

T / 2

Í— T /

'0 .

cos (nw,,/ + $ „ ) eos (k<o0t + a k)d t = .

eos (/3n - a „ ) ( A = n .

Por tanto, (6.73) se puede expresar como

^ab = VqI q + \ ^ V Jn eos Q3n - a „).

Denotando la raíz cuadrática media del armónico enésimo del voltaje por V y la del armónico enésimo de la comente por se tiene 6

2 V¿ n = Paíí.n ¡e (6.74)

Y o v i u c .o — vi * & - J lo 9 s y > o t y ^ o w

9n = p n - o .„. (6.75)

Entonces $„ denota la diferencia de fase entre los armónicos enésimos del voltaje y de la rcrriente. Introduciendo (6.74) y (6.75) en (6.72), se obtiene

P°b -■ VJ o + ^ K l í .n le lf.n C0S

= P 0 + P , + P 2 + . . . = £ Pn¡

n= 0

ronde Pn es la potencia promedio del armónico enésimo.

(6.76)

La ecuación (6.76) muestra que la potencia promedio entregada por una excitación periódica a un circuito es la suma de la potencia promedio entregada por los armónicos individuales. No hay contribuciones a la potencia promedio, por parte de la corriente a ana frecuencia y del voltaje a otra frecuencia.

PROBLEM A 6.13 Determinar la potencia promedio entregada al circuito de un puerto, de la figura 6.8, si se sabe que

va6 (0 =10 + 2 cos (í + 45 °) + cos (2t + 4 5 °) + cos (3r - 60 °),

i ( í ) = 5 + cos f + 2 cos (3í + 75 °).

Solución : para V ¡, 1¡, 0¡ y p ¡ , siendo i = 0, 1 ,2 ,3 , se tiene

V a = 10, ¡ o = 5, Po = 50,

V , - 2, /, = 1, (9, = 45°, P, = - 2 cos 45 ° = 0.707, 2

= 1, h = o , P 2 - 0,

v 3 = 1. /3 = 2, 6 i = - 135°, P 3= i 2 cos (-1 3 5 ° ) = -0.707.

Por tanto, la potencia promedio entregada al circuito es

Pab = P0 + P, + P 2 + P 3 = 50 + 0.707 + 0 - 0.707 = 50 w.

6.6 A PLICA CIO N ES A SISTEM AS M ECANICOS

éri:l• El ffiStambién a sistemas mecánicos,

PROBLEM A 6.14 Considerar el sistema mecánico ilustrado en la figura 6.9 que consiste de un resorte, una masa y un amortiguador. Si el sistema se perturba por una fuerza f ( t ) = f 0 cos (cor + (5), hallar el desplazamiento x s(r), de la respuesta en estado estacionario.

Solución : la respuesta x s( t ) y la función excitadora/(r) están relacionadas por la

siguiente ecuación diferencial:

d zx (t ) d x (t ) , , . . . i— + B + k x (t ) - l ( t ) ,

dt dt(6.77) Figura 6 ,9 E l sistema mecánico

problema 6.14.

y z ¿ 2 z ¿ z / / ¿ z

]|i d >

( o )

I V )

donde m ,B y k representan la masa, el coeficiente de amortiguamiento y la constante dei resorte, respectivamente. La ecuación (6.77) se puede expresar en forma operacional c

1 -/ (0 = f f (p ) f ( t \ (6.78)* « > -

donde

mp2 + Bp + k

H (p )= -(mp2 + Bp + k) '

Dado que se pide la respuesta en estado estacionario, mediante notación fasorial, se tiene

/ (í) = t0 eos (o)f + /3) = Re [ f o e 'ca‘]»

donde F0 = f0 e¡P-Entonces, según (6.50), se tiene que la respuesta en estado estacionario, xs{t ), está

dada por . , , ,Xs ( f ) = Re ÍF 0H (jco) e ^ ' ] . (6.79)

Ahora bien;

1Hijeo) =

donde

m (feo)2 + 1? (/cu) + /c /r - m<o2 + j(oB

(jd>)i= ———=— — -■ , 9 (< y )= _ tan-V(£ - m<o2) 2 + co2B2 \k - meo )

Entonces,

\f{k - meo2) 2 + tü2f?2cos [coi + ¡3 - tan"

(o B

k - meo'(6.80)

PROBLEMA 6.15 Analizar el movimiento en estado estacionario del sistema que se muestra en la figura 6.10(a), si la fuerza perturbadora f ( t ) es la que se muestra en la figura 6.10(b).

Solución-: la respuestax (t ) , el desplazamiento de la masam desde su posición deequilibrio, y la fuerza perturbadora están relacionadas por

_ d 2x it )dt2

- + * x ( f ) = /(*>, (6.81)

ecuación que se puede expresar también como:

x ( t ) = — ■ - í ( t ) = H (p) /(O,m p + k

(6.82)

donde

f f (p ) =1

(mp2 +■ k)

b .io (a) EI sistema mecánico del La expansión en serie de Fourier d e / ( f ) , se obtiene del resultado del problema 2 .1 5 ,problema 6.15. <b) La fuerza . p r ’perturbadora del problema S>

= - ~ (sen cü0f + Z sen 2<o0f + i sen 3tu0< + • • ,

donde co0 = 2v/T.

Puesto que interesa sólo el movimiento forzado o movimiento en estado estacionario iel sistema, se procede a utilizar la notación fasotial. Entonces, se tiene

1H (jaj) =

j ( jc j)2 + k k - moj

H (jn<ú0) =[/c - m (nty0) 2]

Dado que el ángulo de fase en retraso 0(co) es cero, entonces, por (6.51), se obtiene

sen aiet 1 sen 2o>0í 1 sen 3a>0tk - m&d 2 k — 4ntú>n 3 k -

(6.83)

6.7 R ESPU ESTA DE UN SISTEM A L IN E A L A UN IMPULSO U N ITA R IO -FU N C IO N D E L SISTEM A

SkSHHí-SSíHkIHíi;: Ahora se considerará unk situación másgeneraten la cuál.da :¡i:Bexcitación de un sistema es cualquier función dada del tiempo, g|;||||g|g||||| • j

•La respuesta de un sistema finesa! ál impulso unitario 8(/), se denota por . iSmbólicameñté esto se «¿presa como

■ ■ i l I l i l l l i f l I l l ü l S i ! f l r i i& el sistema es invariante (o de parámetros constantes), entonces, según la•ecuación;(SÍ?)?::

se observa |s §|||Ih1 IehÍ “ I § •

l s (6.85)

PROBLEMA 6.16 Demostrar que la respuesta f 0{ i ) de tin sistema lineal e invariante, ;;;; aiOTisBBaialárbitraria/jír), se puede expresar como la convoluaón de la entrada f£ f ) y dé la respue¿¿¡¿del sistema::ai.impulso-üñiHpojh( ( ) , «sídeeir, : • ' :

j j j p - 1 i p i i i i l l l l i S l I r a i S í i l ü ü l

S o lu c ió n : según la propiedad (2.68) de la función 6 , f ¡ ( t ) se puede expresar como

/, (0 = J " (T ) 5 (r - T ) </T. (6.88)

Entonces, según la linealidad del operador L , dada por (6.6) y en razón de la ecuación (6.85), se tiene

í a (r) = L tf, ( í ) l = J ° " 1¡ (x ) L tS(r - t ) ¡ d i = J 00 f¡ ( T ) h ( t - T )d x . (6.89)

Según la definición (4.105.) y la propiedad (4.108) de la convolución, la ecuación (6.89) se puede expresar como

4 (0 = i ¡ (0 * 6 (0 = h{t) * f, (0

I t ¡ ( t - T ) h ( T ) tfX .

lx ‘xm xiO í (6 ¥('•) o fftMÉtt* d.-, ipwri^itfó -XI.'y es ira p fica!

que ía respuesta d e p ;g ^ | :tíneai está determittado imirocaraente por el conocir de la respuesta ?! impulso unitario ft(r ) atí sistema.

6.7 a Función del sistema

La transformada de Fourier de la ,de un sistema lineal, _________

h it ) = í t f f e » = _L H ito ) e>*>

L¿s ecuaciones (6.90) y (6.91) indican que la respuesta «1 impulso unitario, y Ja fu ieí s i s t e m a f g M p ^ ip par de transformadas de Fourier .. -

,!.w y ...rnuBLEMA e.17 Si r í (üj) y F a{ a ) denotan las transformadas de Fourier, de la

a83^|P, £ ’r>| ’5 rj- £ § | 1 | ¡ ¡ | | p j j í ¡ ¡ § p

f e ) » fe ), í 6

/* (/ )* ¿ J " ~ ^ f e ) f f f e ) e * 1' rfw>

donde tf(c*>) es la función del sistema definido por (6.90).

So lu ción : por (6.86), se tiene

U O = / ,(< )* M í).Por consiguiente, aplicando el teorema de convolución en el tiempo, dado por (4 1221 se obtiene

F 0 (oj) = F , ( e ) H (e ) .

Aplicando la fórmula (4:16), de la transformada inversa de Fourier, se obtiene

( 0 ( t) = 5 “ ‘ [ F c fe ) ] = J_ J F , (co) H fe ) e ^ ' d w.

PROBLEMA 6.18 Verificar que la función del sistema t f f e ) definida por (6.90), es exactamente la misma fundón del sistema H ( j u ) definida por (6.26).

So lu c ión : si í, ( t ) = eycu° ', entonces de (5.21), se tiene

F , f e ) = J [// (í)] = 3" [e ’ *0'] = 2 n 5 f e - e 0). [5.21]

De donde,

F ¡ f e ) H f e ) _ 2 5 f e - <ü0) //f e ) = 2n H f e 0) § f e - cü0), (6.94)

en razón de la propiedad (2.74), de la función 6. Entonces, por (6.93), se tiene

f0 ( t ) = L j e '" * » ; = J_ J*“ 2n f f f e 0) S fe - cü0) e>6}! d e

= t f f e 0) J ° ° Ó fe - o>0) e<a t d e

= Hio>0) e ' Oj o(. (6.95)

Y o v i ¿-¿-o —e t vn 9 -S j=>o fc v^ -o w t

ue (6.95) se cumple para cualquier valor de to0, se puede cambiar w 0 por co y se «-tiene

í a (t ) = L !e '6),i = «(cu ) e>Mt. (6.96)

cr (6.26), se tiene

í 0 ( t ) = L 1 e '6J'l = H (jen) [6.26]

amparando (6.96) y (6.26), se concluye que

H (co) = H (jo ) .

De hecho, en b de Fourier de/(f),se tiene

F ( íü) - 5 [# ( t )| - p f ( / ) dt, i 4 . m

variable co siempre aparece con/, y por consiguiente, la integral se puede expresar como nación de /co. De este modo, se puede expresar la definición (4,15) como

£ 10) e - i" * ' dt,

r, en consecuencia, i

/(O - Í3F-* (F 0 « )1 = ¿ F (/o ) t.»wr dwj

, F (w ) y F (jb s ) representan b misma función 5 [/ (r )]. La distinción es « l o cuestión de notación. En el resto de este libro F(co) y F (/w ) se utilizarán «distintamente. De este modo, la relación (6.92) se puede expresar también como

F0(j<n) r F, <J<¡>) H (jai).Pbr (6.92) ó (6.97), se tiene

F , O’w ) í ) ! L ( f ) l

La ecuación (6.98) índica que la fundón del sistema H (jw ) a transformada de la respuesta y lá transformada de la fuente.

(fi •97);

«Ies el cuociente entre ' <(7'

PROBLEMA 6.19 Hallar la respuesta al impulso unitario, del circuito R C que se muestra en la figura 6.1 l(a).

Solución : la función del sistema H (jca ), obtenida en el resultado (6.67) del problema6.11, está dada por

1

ju>C 1 1H ( j o ) =

R +1 1 + jcoRC

jo>CRC ( jen +

RC

?or consiguiente, según el resultado del problema 4.11, se tiene

h « ) = 5 - 1 [hqco) ] « _ L y -RC

1

RC

= J_e-r/RCo(f)> RC

RÓ M r

vo O )

(o )

h U )

Figura 6.11 (a) E l circuito R C del problema 6 .19 . (b) La respuesta al impulso unitario.

La respuesta h (t ) al impulso unitario está trazada en la figura 6.1 l(b ).

PROBLEMA 6.20 Una fuente de voltaje v¿( f ) = e~* u ( t ) se aplica al circuito R C de la figura 6.1 l(a ); hallar la respuesta, el voltaje v ( f ) , si R = 1/2S2 y C = 1 f.

Solu c ión : sustituyendo!? = 1/2 y C = 1 f en (6.100) se obtiene

h ( t )= 2 e~2t u(t).

Por tanto, según (6.86), se tiene

v„ (0 = v, ( í ) * h (f )

(6.10

= J v, ( T ) h ( t - T ) d i

- J ' e~ T u ( T ) 2e- 2 ( , - T ) u (t - T ) d i

= 2 e~2í j e l u ( l ) u (t - f ) d i.

Dado que

u (T ) u ( t - 1 ) =0 para t < 0, T > f

1 para 0 < t < t,

se tiene

‘ iVa ( t ) = 12 e~2‘ 1 eT d i | u ( í )

= 2 e - 2 l ( e í - l ) u ( f )

= 2 (e - í - e - 2í) a (t ). (6.103

La expresión u ( f ) en el resultado (6.102) indica que no hay respuesta debida a la fuente, antes de que ésta se aplique.

PROBLEMA 6.21 Hallar la respuesta del circuito R C de la figura 6,11 (a), al escalón unitario_n(t), por convolución.

So lu c ión : por (6.100), se tiene

1M í) = — e - ,/RC u (t).

RC

Por tanto, según (6.86), se obtiene

vo (0 = v ¡ ( t ) * h ( t )

J v , . ( i ) h ( t - T ) d i

J u ( T ) ¿ e~( ' " l: )/ R C “ ( ' - T ) d T

[ ¿ I * - * -a—( i — T ) / R C d i u(t)

?C e" ' /Í?C f o ’ eT/RC d l ju ( t )

= (1 — e~,/RC) u (t ).

Yo v i UC>o — vn - 2-Jío &-ST=>o t -s¿.o v u

(6.103)

6.7 b Sistema causal

para ?<?o,entonces iarespuesta también es.cerü para ÜMmM 69 decir,sá, ||||IIíe

I ^ ^ P S I Ü | l Í Í r M : ° . Í Í Í I Í g Í P 8 Ü ü S ® :

í6 -iq5>¡ que. satisface (6.104) y (fU (35)se llama sistema cmsat. Usa fuftctón/(/)se f| f

rsa/si su valor es cero para f <£ Ó; es decir, / { ( } ~ 0 para í < Q. Se puede iifcnm y i^ q t f t o s s c r f e m á i físicamente realizables sda causales. : '

PROBLEMA 6.22 Demostrar que la respuesta f a( t ) de un sistema lineal causal, a

aialquier fuente f ¡ ( t ) , está dada por

í 0 (0 = I /¡( t ) h ( í - t ) cfT (6.106)£f f ( f - T ) f c (T ) d t . (6.107)

Solución : de (6.104) y (6.105) se sigue que h {t), la respuesta al impulso unitario,es causal; es decir,

h ( t ) = 0 para t < 0. (6.108)

Esto significa que

?i ( t ) = 0 para x < 0 (6.109)

yh ( f - x ) " 0 para t - T < 0 ó - t > í. (6.110)

Si se aplica (6.110), se tiene que el integrando en la ecuación (6.86) es cero en el intervalo

l = t a i= ° ° . De (6.86) se tiene, entonces,

f0 (0 = f /, (x ) h (t - x ) d i'f - .D í > ( t ) h ( t — T ) dT.

Análogamente, si se aplica (6.109) se tiene que el integrando en (6.87) es cero en el intervalo t = —°° a i = fl. Por (6.87) se tiene, entonces,

- r

f, ( t - X )h (T ) dX

/¡(r - t ) h (x ) dx.

PROBLEMA 6.23 Si la función de la fuente f ¡ ( t ) es causal, es decir, sí la fuente f ¡ ( t ) se aplica en t = 0, demostrar que la respuesta /o(0 del sistema lineal causal es

fa (0 = f / , ( T )A ( í - x ) dx. (6.111)Jo

Sol uci ón: & /¿(t) — 0 para % < 0, entonces el límite inferior de la integral que apareceen la ecuación (6.106), se puede cambiar a cero, pues en el intervalo í = - ° ° a r = 0, el integrando es cero. De este modo,

*o (0 = J f , (T ) ó ( í — T ) dX = J i i ( x ) 6 (í — t ) dX.

6.8 RESPU ESTA DE UN SISTEM A LIN EA L A UN ESCALO N U N IT A R IO -IN T E G R A L DE SUPERPOSICION

•ROBL

»luc¡<

Las ecuaciones (6.86) y (6.8?) expresan la respuesta de ua sistema lineal en términos de la respuesta al impulso unitario. En algunos cas

es # 8 j ¡ § § » t e expresar la respuesta en términos de la respues::< del sistenuwf¡ escalón

fcstituy

la respuesta; á é m -sistema al escalón unitario u (/) se denota por a (t ), es decir.. y m t ¡ { i i <

PROBLÍ I ÍA ;# J ^ jH l i Í^ <i^rar;que a (í}, k respuesta de tul • unitario, se puede expresar como

a (t ) - j h í z ) dx. (6.1 U

dt j',5 H o>) a func ón del sis ema y h ( i ) es la respi esta * impuls o t tita io Si el sistema es causal, demostrar que

(6.1 k

testo c

cuale

a (O = f M T>rfT.

¡ | ¿

(6.11'

So lu c ión : puesto que f ¡ ( t ) = u ( t ) y f a( t ) = a (t ), se sigue de (6.87) que

a (0 = x )A ( x ) dx. (6.116)

Dado qué

tr(í - x) =0 para x > t

1 para x < t ,

se tiene

3 (0 = I A (x )d x .

Haciendo t = °°, se obtiene

a(°o) = a (0| (=oo = J A (X ) dX.

En realidad, esta integral se puede expresar como

a(~> = f i (x ) e“ ítUT dx|w=0 = « M U =0 = H (0).

Y o v i V I ■ *£ -J lo 9 S F 3o t ’/ A J v n

>1 uci (

S ahora

di razón

Otra ft

del resu

l apareyKEo que h(%) - 0 para % < 0, la ecuación (6.113), para un sistema causal, se convierte en

0. _

a (0 = f / i(t ) di.J o

ISOBLEMA 6.25 Utilizando (6.115), resolver de nuevo el problema 6.21.

i jc ió n : por (6.100), se tiene

h(.t) = ~ e ~ ' /RC u (t ). RC

cituyendo (6.100) en (6.115), se obtiene

vo ( í ) = a (0 = f h ( l ) d 1 = Jo

f — e~x/RCJo RC '

= 1 ^ '

d i

d i u(í)

= (1 - e~,/RC) u (t ) ,

fcual es exactamente el mismo resultado de (6.103).

H ¡ ¡ á i i f ¡ § ¡ ¡ | 8

lución: por(5.35), se tiene

I ? [/, (01 = ? [ « (0 1 = nd{(o ) + — .j co

«hora ‘J [ f 0(t )\ =<5 [a (r)]=^4(co), entonces, por (6.92), se tiene

(6.111¿(<u) = rrS(áj) + —

jo>H(co)

= n 8 (co) H (w ) + — H (w ) ja

= n H (0 )S (co ) + — H(_a),ja

razón de (2.74), una propiedad de la función 8.

ra form a de so lu c ió n : puesto que según (6.113), se tiene

a(0= J h(l)d1,resultado (5.55), del problema 5.12, se sigue que

A ( a ) = — H (a ) + nH (0 ) 8 (a ) . j a

DBLEMA 6J2ÍII1 Sí a ( í ) es la respuesta al escalón, tajón es demostrar que la respuestaf j t )

[6.100]

[5.35]

m

S olu c ión : cualquier función de e n t r a d a s e puede expresaren la forma

f , ,U ) =/ , ( - « ) + // (T ) cfT/>f ” /; ( t ) u (t — X) dX (6.11

puesto que

u ( í - T) =0 para í < x

1 para í > x .

Entonces, por (6.28) y (6.112), se tiene

L ¡ K ¡ r - .K H (0) y L S<i(í)l = a ( f ) — > L !u (f - T ) U a ( í - x ).De este modo,

/o ( í ) = L ¡/ i ( 0 ! = L l / ( - » ) l

= / (- - )

(X ) L Iu (f - x )¡ dX

(X ) a (t - X) dX.

t e tó fineal y causal , ia función de entrada, f ¡ ( t ) = 0 para

i de valor/f{0 + ) en í = 0, y es continua para í > 0, cc 2|;ifeií®ÍSSpqWe la respuesta f0 (/) de! sistema, está dada

T ) ■/T, í6.í:

Solu ción : como/ ) ( - » ) = 0, por (6.119), se tiene

£ (X ) a ( í - X ) dx . (6 . 121)

Figura 6.12 La función de entrada/,•(/}, Como f ¡ ( t ) tiene una discontinuidad de valor /¡(O + ) en t = 0, se tiene, entonces, según eldel problema 6.27 . resultado (2.94) del problema 2.28, que

/ ; ( 0 - / , ( 0 + )S ( f W iV ( f ) , (6.122)

donde f¡'+ ( t ) = f ¡ ' ( t )u ( t ) , es decir, la derivada d e f¡(t ), para t > 0. Sustituyendo (6.122)en (6.121), se obtiene

(u 0) = J [/ ¡ (0 + ) Ó (x ) 4- / ¡ '(T )u (X ) ] a ( f - x ) d x

= //(o * ) j ' ó ( x ) a ( f - X ) dx + j /; ( T ) a ( f - X ) dX^0 +

= f , (0 + ) a ( t ) + f / ; ( X ) a ( f - T ) d T Jo+

puesto que, a ( í - i ) = 0, para t > / en el sistema causal.

^O B LEM A 6.29 Explicar de qué manera la integral de superposición (6.120), expresa talmente la respuesta de un sistema, como una suma continua de las respuestas a las componentes en escalón, de la función

SoI uci ón : una función de entrada f ¡ { t ) se puede aproximar por la suma de un granminero de escalones infinitesimales, como se muestra en la figura 6.13. Un escalón arñnitesimal localizado en z se puede expresar como

d l¡ ( t )d i

A T u ( f - T ) = t'¡ ( T ) A T u ( í - T ) . (6.123)

=n la figura 6.13 se observa que f ¡ ( t ) se puede expresar como

tí , ( t ) = f , ( 0 + ) u ( f ) + üm V f ¡ ( t ) A t u (f - t ) .

A t . i i UJ(6.124)

Puesto que la respuesta del sistema al escalón unitario u ( f ) es a (t ) , la respuesta debida a m escalón infinitesimal (6.123) está dada por

// ( T ) á T a ( l - T ) .

De donde /„(?), la respuesta del sistema a la fuente f ¡ ( t ) , estará expresada como la suma continua de las respuestas a los componentes escalonados de/¡(t), es decir

L ( t ) = f | ( 0 + ) a ( f ) + lim V í , ' ( T ) á T a ( i - T ) Ax->o >

(6.125)

= /,• ( 0 + ) a (t ) + f 1¡ ( t ) a ( f - t ) d i.^04

PROBLEMA 6.30 Resolver el problema 6.20 utilizando la integral de superposición, dada en (6.120).

Solución : respecto a la figura 6.14, hacer: v(.(r) = <?-* u (t ). De este modo, se tiene

(0^ ) = 1, v¡ ( f ) = - e“ ' para t > 0.

a(t), la respuesta al escalón unitario, se obtiene del resultado (6.103) como

a ( í ) = ( l - e - 2 í) u ( 0 .

De donde, utilizando (6.120), se obtiene

v o ( 0 = v , ( 0 + ) a ( í ) + í v ¡ ( x ) a ( f - T ) d T J 0 +

2 í) u ( 0 + f - e_ T [1 - e~ 2 ( t~ T ) u ( f - t ) ] d iJ o+

2D u (í) - J j f ' e - T c / T - e -2í £

= (1 - e -

= (1 - e" e d i »(f)

0 (0 A t = í/ (T )A '

t t + A t

Figura 6.13 La función de entrada f¡ifaproximada por la suma d funciones escalones.

v ¡ ( t )

Figura 6 .14 La fuente de voltaje del problema 6.30.

= (1 - e~2í) u (t ) + (e ~ ' - 1) u ( f ) + e - 2' (e ' - 1) u (f)

= 2 (e~ f - e " 2 D u (0 .

lo cual es el resultado (6.102).

Figura 6 .15 La función de entrada del . problema 6.31 y su réplica

retardada.

6.9 TRANSM ISION SIN DISTORSION

PROBLEMA 6.31 Supóngase que la función H (/w ) de un sistema lineal, está dada

H (j<o) = K

donde K y f 0 son constantes positivas. Hallar la respuesta del sistema, a la excitación,

S o lu c ió n : sea

? [/ ,(« )] = F t (jco), ÍF (/„(<)) = F 0 (Joj).

Según (6.92), se tiene que F t(/oj) y F0( jo j ) están relacionadas por

F 0 (jco) = F , (jco) H (jai)

F , (jo j) e~íW'°

De donde,

¡O (0 = í -1 [F 0 (j(o )]

= í /°° e~ÍC°'°] eía>t du>

^ f 00 d*>-

En razón de que

/ ¡(í) = i - * [F , 0o>)) = ~ F , ( j q ) eiCO' d a ,

fD (?) se puede expresar como

i o ( t ) = K f l ( t - t 0) . ’ (6.128)|

La ecuación (6.128) muestra que la respuesta es una réplica retardada de la función de entrada, con la magnitud de la respuesta alterada por el factor constante K , lo cual se ilustra en la figura 6.15.

PROBLEMA 6.32 Hallar h (t ), la respuesta al impulso unitario de un sistema de transmisión sin distorsión.

Kf¡ ( l

So I u c i ó n : según la definición de la función de un sistema, dada por (6.91) , se tiene

h ( t ) = ? - * L íf(/*>)] - i - HQ oj) e '0J' d<o.

Sustituyendo ahora //(/co), del sistema de transmisión sin distorsión, dada por (6.126), en la anterior expresión, se obtiene

h ( t ) = — | K e - 'w 'o e '011 dco 2n1 Í K277 J-oc

K ± r2 » L

QCJU-’0 ) doj

= K 8 (t - t0) (6.130)

resultado que se obtiene mediante la identidad (5.6).

50 I u c i 6 n : si v (x , t ) es el voltaje en un punto distante x de la entrada, y en un tiempot, entonces para una entrada senusoidal de frecuencia co, el voltaje se puede expresar como

v(x, f) = Re [V m e ^ ' -*< «> * ], (6.132)

donde V m es la amplitud compleja del voltaje a la entrada y 7(co) es la constante de propagación.

Entonces, el voltaje de entrada está dado por v ¡(t) = v(0, t), y el voltaje de salida por v0( í ) = v (l, t ) donde l es la longitud de la línea de transmisión. De este modo, mediante

notación fasorial, se tiene

v , (t ) = R e [V m e iC0‘]

y

v0 ( í ) = « e [ V me ' i " - ’ ' ' “ >,] = R e [V m e- ’ ' ' " > í e ' w' ] .

De donde, la función del sistema //(/co) para la línea de transmisión está dada por

= V m j : y(ft>)f = e -y (c o )i (6.133)

51 y(co) = ^ R + jco L ) (G + jo jC ) = (X (w ) + j 13 (co), entonces

Hijeo) = e~y(0})l = e-[a(&i) +y p(cu)]z

_ e-a<6j>/ e-jP (cú )¡

= \H{j<o)\e >8^ , (6.134)

entrada Salidaf ¡ ( t ) >o ( 0

t« ( ; « )

1ectro de entrada Espectro de salida

Fl (w) Fa (<y)

rigura 6 .16 Ilustración de la relación (6.97).

donde

[# 0’" ) ] = e' 9(<a) ■- - f i ( « )/ .

Según las condiciones para transmisión sin distorsión, dadas por (6.129), se concluye que a(o>) debe ser constante e independiente de w , y j3(o>) debe ser una función lineal de o>; es decir

Ct(co) = K „ ¡3( io) = K2co.

Entonces, y(o>) se puede expresar como

y (tu) = \f(R t- jco L ) (G + jco C )

= a(<o) + j f3 (o;)

= K, + jK 2 o j .

Es obvio que la ecuación (6.135) se cumple si

L C

(6.135)1

Entonces, la constante de propagación está dada por

y - -y RG ^ ---- - j = \JRG t- j c j L = a (w) + i P (w)-

De donde,

a (to ) = 'Jr G = K „ /3(w) = to L | / | ~.ojL j / ? " = ^ s¡LC = coK2.

De este modo, cuando la condición (6.131) se cumple, se tiene la lútea sin distorsión.

6.10 FILTROS IDEALES

PROBLEMA 6.34 Hallar h (t ), le respuesta al impulso unitario, de un filtro ideal para frecuencias bajas y comentar el resultado.

I u c ¡ ó n: la figura 6.17(a) muestra las características de un filtro ideal paracuencias bajas. Según (6.91), la respuesta al impulso unitario, h (t ), se obtiene por

/)(<) = y - 1 [H (jco)}

= ±- J°° H (jco) eia“ de

= - f2 rr Jej c j ( t - t0) dc

í0)77 (t - í 0) 2j

o)c sen <oc {t - tA(6.137)

17 " c ( í - f o )B resultado (6.137) está dibujado en la figura 6.17(b), de la cual se sacan las siguientes inclusiones:

(1 ) La entrada aplicada es distorsionada por el sistema, debido al hecho de que el Ltro transmite sólo una limitada banda de frecuencias.

(2 ) El valor pico de la respuesta üjc/tt es proporcional a la frecuencia de corte coc . H ancho del pulso principal es 2ir/coc; se puede hacer referencia a esta cantidad, como¿ duración efectiva del pulso de salida, T¿. Se observa que cuando toc — > 00 (es decir, ruando el filtro permite el paso de todas las frecuencias), Td — > 0, y el pico de la respuesta — *■ ■»; en otros términos, la respuesta se aproxima a un impulso, tal como rebe ser.

(3 ) También se observa que la respuesta no es cero antes de / = 0, es decir, antes re que se aplique la entrada. Esta es la característica de un sistema físicamente no realizable. Los filtros ideales no son físicamente realizables, y por consiguiente, no son recesariamente sistemas causales.

1

o

( a )

(b)

Figura 6 .17 (al Características de frecuencia de un filtro ideal para frecuencias bajas.(b) La respuesta al impulso unitario de un filtro ideal para frecuencias bajas.

La función seno-integral (del límite superior y ) es

PROBLEMA 6.35 (a ) Evaluar la función seno-integral, (b ) Hallar a(t) , la respuesta al escalón unitario de un filtro ideal para frecuencias bajas y comentar el resultado.

Solución : (a ) dado que Sa(x ) = es una función par, entonces

Si ( - y ) = - S i (y ) .

Según la definición, cuando y = 0, entonces

S i (0 ) = 0.

Dado que

se tiene

s¿ (y )

1.18(ff/2>r r/2

En la figura 6.18 se muestra una gráfica de S i(y ).

a ( o

Figura 6 .18 La función seno-integral.Figura 6 .19 La respuesta al escalón

unitario de un filtro ideal para frecuencias bajas.

, (b ) A Partir de (6.113), a (r ) la respuesta al escalón unitario, se puede obtener de h (t ), la respuesta al impulso unitario; es decir,

i r(i>c ( I - l0)a ( f ) = i 1

i r

h ( T ) rfT

a i sen <yc ( T - tc d i .

n J ~oo ~ O

w c(T - í o ) por x , en la integral (6. 138), se obtiene

’ sen x , 1-------dx = — C ° sen x 1

I -------dx + —x n -Loo x n Jo x

_ 1 C°° sen x , 1 -------dx + —

o) sen x ,1 -------° x-n J0 x n J o X

[6.1133

(6.138

PROBfigurafigura

Respu

PROB1

valores

Mediante la función seno-integral, la ecuación (6.139) se puede expresar como

(6.141a ( f ) = I + I s i [ < y c ( í - to)].¿ 77

En la figura 6.19 se muestra una gráfica de a (t ), la respuesta al escalón unitario,

tr V b v i ú c .o — vi 9-S j=>o

Respue

PROBLla form; voltaje i de salid; 300 hz.

Respue!

En el resultado anterior se observa lo siguiente:(1 ) se observa nuevamente la distorsión debida a la banda limitada del fdtro;(2 ) se observa nuevamente que la respuesta no es cero antes de t = 0;(3 ) utilizando S i(± °° ) = ±u/2, se observa que cuando coc — *• °°,

a « ) = 1 - 1 = 0 2 2

4 4 -

para t < t0

para t > t0,

y la respuesta se convierte en u (t - í 0)> un escalón unitario retardado, tal como debe ser, y(4 ) la entrada, un escalón unitario, tiene un súbito ascenso mientras la respuesta

muestra un ascenso gradual.

Si jfefirw el tiempo, de ascenso de la respuesta s ( f ) , como al; intervalo tT entre las k tange^lfen t = t 0, con las líneas a (t ) = 0 y « («> ) - 1, entonces, contó:/

l la figura 6 .l| , ?e «ene

fa(t) 1

>(0

Por t a n t o ,

fggu ' » » * ■ —-i • (6.141)

illl|!|il|i|||ffi|llfii||pl!l!! pils|lllMI!!Í!l!li!!i jilllllf llfliil: í .de ascenso (o tiempo de sübida) tr está dádó ptfr la ecuación (6 ,l;4 l)y es ;

proporcional al ancho de banda del filtro. La ecuación (6.142) indica que ■■ j

:|í|!''r.:;^8fc/M0í!Bí&|;^|tíethpo. ••• i ; i I: j

6.11 PROBLEM AS SUPLEM EN TARIO S

PROBLEM A 6.36 Hallar el voltaje de salida en estado estacionario, del circuito de la figura 6.20(a), cuando la corriente de entrada tiene la forma de onda que se muestra en la figura 6.20(b). Hacer i? = 1Í2 y C = 1 f.

- 2 - 1 0 1 2 3 4

(b)

Figura 6 .20 (a) E l circuito del problema 6.36. (b) La forma de onda de la corriente de entrada en el problema 6.36.

vo (0

Respuesta: vos ( t ) = I + — 2 n

1

se n ( r r í - t a n " 1 rr)

3 V i + 9rr2

Vi + v '

sen (3rrí - tan"13n ) + ■ • •iU )

PROBLEM A 6.37 Calcular la potencia entregada al circuito del problema 6.36 y los valores de las raíces cuadráticas medias de i (?) y v0(f).

Respuesta: P = 0,2689 vatios, / = 0,707, y V =0,519.

Figura 6.21

PROBLEM A 6.38 La corriente de entrada del circuito R L C de la figura 6.21(a), tiene la forma de onda que se muestra en la figura 6.2 l(b ). La inductancia es£ = 10 mh y el voltaje de salida es una onda senusoidal de 300 hertz. Si el valor pico en el voltaje de salida de las otras frecuencias, es menor que 1 /20 del valor pico de la componente de 300 hz, hallar los valores de C y de R.

Respuesta: C = 28.2 p í, R = 590 Q ,

(a) E l circuito R LC del problema 6.38 . La forma de onda de la corriente de entrada, circuito de la figura 6.21 (a).

6.41.

PROBLEMA 6.39 Analizar el movimiento en estado estacionario, del sistema mecánico! que se muestra en la figura 6.10, si la fuerza perturbadora f ( t ) es una onda sinusoide rectificada,f ( t ) = IA sen w 0f|.

1 cos 2có0í i cos 4cü„í

P F

í &!

Respuesta: xs ( t ) = I A - id kn rr 3

PROBLEMA 6.40 Cuando el pulso rectangular//) = u ( t ) ~ u ( t ~ 1) se aplica a cierto sistema lineal, la respuesta es f 0( t ) = i |u ( t - 2) - u ( t - 4 )]. Hallar: (a ) la función del sistema y (b ) la respuesta al impulso unitario, h (t).

Respuesta: (a ) = i ( e ' l 2“ + e ~>3“ ), (b ) h ( í ) = i [ 8 ( t - 2) + 8 { t - 3)].

Respuesta: h ( t ) = i e~(R / L )tu ( t ) ,

PROBLEMA 6.42 Una fuente de voltaje v ¡(t ) = 2e~ ‘ u { t ) ¡ se aplica al circuito R L de I figura 6.22. Hallarla respuesta i ( í ) , dondeR = 2Í2 y L = 1 h.

Respuesta: 2 (e _< - e ‘ 2 í) u (t ).

PROBLEMA 6.43 La respuesta al impulso unitario de un sistema lineal es e~* cos t u (í] Hallar la respuesta debida al escalón unitario u ( í ) , por convolución. '

Respuesta: I [ e ' ' (sen t - eos í ) + 1 ]u ( í ).

PROBLEMA 6.44 Si la respuesta al impulso unitario de un sistema lineal es h ( t ) = t e 1 u (0 , y la entrada es f ¡ ( t ) - e~ l u (t), hallar el espectro de frecuencia de la salida.

Respuesta: 1/(1 t- ja )*-

PROBLEMA 6.45 Demostrar que si la función de entrada a un sistema lineal es diferenciada, entonces la respuesta también es diferenciada.[Sugerencia: demostrar que /•'/ ) * h (t ) = [/ ./ ) * / ¡(r)]’ =

PROBLEMA 6.46 Demostrar que si J \h ( t )| d i < „ , donde h (t ) es la respuesta

al impulso unitario de un sistema lineal, entonces la respuesta del sistema a cualquier entrada acotada también es acotada.

[Sugerencia: utilizar l/0(O I= 1 / (0 * ¿ ( 0 1-1

PROBLEMA 6.47 Si H (u )= R (o > ) +• f X (o j ) es la función del sistema, de un sistema lineal, demostrar que la respuesta del sistema a la entrada /.(*) = cos u>0t u ( t) , se puede expresar como

fa{ t ) - R ((ú ) cos ^ cos coi do)

= - X (cd0) sen ojn t -i- 2. f . j0 sencotdcü.do - U 2a

[Sugerencia: utilizar el resultado del problema S .28J »t Y o vt —e t VI - j f - J l o &-ST=>o t -s¿.o v n

Re.

PROBLEMA 6.41 Hallar la corriente del circuito R L , figura 6.22, debida a un impulso unitario

PFla

PRfur

es u

real [Su¡

PR(

( 1/dad

Resp

PRCidén es -

PRO

cuyaDem

PROIfrecu

PROBLEMA 6.48 Hallar h ( í ) , la respuesta al impulso unitario de un sistema lineal cuya

[Sugerencia: observar que H (u ) = cos 0O " / sen 0O sgn cu, y utilizar el resultado del

problema 5.33.]

PROBLEMA 6.49 El sistema del problema 6.48 se denomina defasador. Demostrar que

la respuesta del sistema del problema 6.48 a cos c o j , es cos (coct - B0).

PROBLEMA 6.50 Demostrar que si la señal de entrada a un sistema lineal, cuya

función H (jta ) está definida por

es una función real del tiempo, entonces la salida de este sistema también es una función

real del tiempo.[Sugerencia: utilizar el problema 4.7.]

PROBLEMA 6.51 Hallar la salida m (t ) si la entrada m {t) es (a ) cos tocf, y (b )

(i/1 + f 2), para el sistema del problema 6.50, que es un defasador de -ir/2 (ó -9 0 ° )

dado que la función del sistema se puede expresar como

Respuesta: ( a ) s e n coc t , ’ ( b ) t / ( 1 + t 2).

PROBLEMA 6.52 Sea tfn sistema formado por la conexión en cascada de dos defasadores

idénticos, como el defasador del problema 6.51. Demostrar que la salida de este sistema

es- m ( t ) cuando la entrada es m (t).

PROBLEMA 6.53 La entrada de un filtro ideal para frecuencias bajas, cuya función es

cuya envolvente/(f) tiene un espectro de banda limitada, |F(w)| - 0 para Ico I > coc. Demostrar que si T < ir / w c, entonces la respuesta del filtro es f0( t ) - f { t - f0>.

PROBLEMA 6.54 Hallar h (t ), la respuesta al impulso unitario del filtro ideal para

función es

Respuesta: h i t ) = cos 0o 5 ( í ) + 5611 077 í

- j para &. > 0

+ j para cu < 0,

es un tren de impulsos

/ , « ) = T f i t ) 8 r ( t ) = T f ( t ) L 8 i t - n T )

frecuencias altas, cuya función 7/(/co) esV b V i U - ú —e t vt

H(jcü) =O para |co| < <oc

e >o“ 0 para M > coc

[Sugerencia: utilizar el resultado del problema 6.34, y observar que H ( ja ) = e 1 <0 donde H ¡ ( ;w )es la función del sistema de un filtro ideal para frecuencias bajas.

Respuesta: M í ) = M ím í0) - 56,1 “ c ( * - 0* ( í - *0)

PROBLEMA 6.55 Hallar a (t ), la respuesta al escalón unitario de un filtro ideal para

frecuencias altas.[Sugerencia: utilizar el resultado del problema 6.35.]

Respuesta: a ( t ) - u (í - í0) - j-^- + ~ sen [coc ( í - t0)}

PROBLEMA 6.56 Un filtro gaussiano es un sistema lineal cuya función es

H(co) = e _ a “ V /C“ '° .

Hallar la respuesta de este filtro a un impulso unitario.

1 — (( —10)2/4 aRespuesta: h ( t ) -

2\Jn&

PROBLEMA 6.57 Si H(oS) = R (co) + j X (co) es la función de un sistema lineal y caus demostrar que h (t ), la respuesta al impulso unitario del sistema, se puede expresar, ya sea

como una función de i?(co) o de X (co); es decir,

/ ; ( ! )= — f R (co) cos cot dcú = í X (co) sen coi dea -71K

[Sugerencia: h (t ) = 0 para t < 0; de donde h (t ) se puede expresar como h (t ) = 2he(t ) - 2h'a( t ) para r > 0 , donde he( t ) y h0( t ) son las componentes par e impar de h (t ),

respectivamente.]

PROBLEMA 6.58 Demostrar que si í f (c o )= R (co) + / X (w ) es la función de un sisten lineal y causal, entonces, (a ) la transformada de Fourier de a (t ), la respuesta del sistema

al escalón unitario, está dada por

5 [ a ( f ) l = nR (0 )8 (co ) + - i ,co co

(b ) la respuesta al escalón unitario, a (t), se puede expresar como

a ( í ) =Rico)

sen cot dco = r ( o>+ - r X(co)cos cot dco.

7CAPITULO

APLICACIONES EN TEORIA ' DE COMUNICACIONES

7.1 TEORIA DE MUESTREO

El teorema del muestren uniforme en el dominio del tiempo !

afirma que á una función del tiempo,/(O, no contiene componentes de frecuencias superiores a f M ciclos por segundo, entonces f { t ) se puede determinar por completo mediante sus valores separados por intervalos uniformes menores de 1 segundos.:

PROBLEMA 7.1 Probar el teorema del muestreo uniforme en el dominio del tiempo.

SoIuci ón : el teorema del muestreo se puede probar con la ayuda de (4.125),

el teorema de convolución en la frecuencia; es decir.

? [/ .(í) 4(01 = ~ [F,( * F 2( co) ] ,¿77

[4.125]

donde F y (co )= 5 [/ ) ( i ) ] y F i (w ) - 3 [U (01 •Com o/(í) no tiene componentes frecuenciales superiores a fM ciclos por segundo,

entonces/(O es una función de banda limitada, como se muestra en la figura 7.1(a),

lo cual significa queF (o>) = S [/ ( f ) l = 0 | o | > coM = 2 v Ím (7-1)

[Ver figura 7.1(b)].Considerar ahora a f s(t ) , una función muestreada definida por el producto de la

función f ( t ) y 5r (r), que es una función periódica de impulsos unitarios [ver la figura

7’ 1 : - / .(0 = f ( 0 M 0 . (7-2)

m(b)

o («■>)

U _T= 2 n/T

s is(0 = í (0 S r « )

8tU)

M(c)

i í 1 í(d> (e)

-<ü«(f)

Figura 7.1 (a) La función de banda lim itada/(i), (b) E l espectro d e /(f ) . (c) E l tren de impulsos unitarios, (d) E l espectro del tren de impulsos unitarios, (e) La función muestreada f (t|. ( f ) E l espectro de f s it ).

Recordando la definición de 6T ( í ) dada por (2.104), y sus propiedades, se tiene

4 ( 0 = /(O ^ 8 { t ~ n T )

¿ f ( f ) S (f - n T )

í (n T ) 8 (t - nT ). (7.3)

[Ver figura 7.1(e).] La ecuación (7.3) muestra que la función f s( t ) es una sucesión de

impulsos localizados a intervalos regulares de T segundos y cuyos valores son iguales a los de /(/) en los instantes del muestreo [figura 7.1(c)].

Del resultado del problema 5.15, se tiene

■f [<5r(0l = ¿>0 8Mo(cu) = co0 2 ] 5 (tu -ntu0). [5.66]

Dé acuerdo con el teorema de convolución en la frecuencia, dado por (4.125), se tiene

(7.4)¿ t i

Sustituyendo co0 ~ 2-n/T, se obtiene

F s (o>) =- ¿ [F (cu) * 8m (tu)]

? [4 (01 = F s( « ) = — [F (tu) * tu0 (tu)].2 TT 0

F(tu) * 5(cu—n<u0)

(7.5)

En el capítulo cuarto se demostró que

f ( f ) * 8 (0 - / (* ) ,

f ( t ) * 8 ( t - T ) = f ( t ~ T ) .

Por consiguiente, el resultado (7.5) se puede expresar como

[4.119]

[4.120]

(7.6)

La ecuación (7.6) muestra que la transformada de Fourier de f s( t ) , se repite cada gj0 rad/seg., como se muestra en la figura 7.1(f). Se debe observar que F(co) se repetirá periódicamente sin solaparse en tanto que w 0 > 2íúm, ó 2tc/ T > 2(2,1t/m); es decir,

T <2 4

(7.7)

Por consiguiente, mientras que se tomen muestras d e/ (f) a intervalos regulares menores de 1 / (2 4 ,) segundos, el espectro de Fourier de f s( í ) será una réplica periódica de F(co), y contendrá toda la información acerca de f ( t ) .

Se puede investigar el resultado anterior, utilizando una técnica diferente, la cual, naturalmente, ha de conducir a las mismas conclusiones. El espectro de Fourier F(o>), de una función de banda limitada/(f), es el que se muestra en la figura 7.1(b).

Supóngase ahora, que el espectro F(co) es esa porción del espectro periódico F s(co)

'Szura 7.1(f)] que se encuentra en tre -l/2 w o y l/2co0, donde co0 = 2v/Ty w 0 > Como F s(co) es una función periódica de co, cuyo período es co0, se puede expandir en

ma serie de Fourier, esto es, ~F s(co) = £ e ’n2TT'ii/íJ°, (7.8)

ronde, por definición,

F s(co) e~ 'n2" 0J/,'1° düJ. (7.9)

<>0/2Como F ^ c j) = F (co) para - coM < co < coM, y (l/2)co0 > coM , entonces la expresión

(7.9) se puede expresar como

F (c o )e - ln2™ /ÚJ°da>. (7.10)

C n= - i r

coM < co <

10

«o

Ahora bien,

f ( t ) = T , [F (<o )] = j ~ F ( cj) e ^ ‘ do,. (7.11)

Puesto que f ( t ) es de banda limitada, es decir,F(co) = 0 para Icol > coM , entonces la

expresión (7.11) se convierte en

/(O = — C F(a>) e ’^ dco. (7.12)

Seleccionando como puntos de muestreo los localizados en r = — n T = — n2rt/oj0, por

(7.12) se tiene que

f (~ n T ) = 1 ( - = — r M F (ai) dea. (7.13)\ cj0 I n

Comparando (7.13) y (7.10), se obtiene

l í f L = T i ( - n T ) . (7.14)

La ecuación (7.14) indica que c„ puede encontrarse unívocamente a partir de los valores de la función, en los puntos de muestreo. Pero conociendo cn< se puede hallar Fs(to ) si se utiliza (7.8), y en consecuencia, también se halla F(co). Si se conoce F(co), se puede hallar

f ( t ) para todos los valores del tiempo mediante la relación (7.11).

Ahora, de la suposición coq > 2 wM , se tiene

' a t > 4 TT Ir,T

T < ■■2/m

(7.15)

Lo cual completa la prueba.

riña a veces intervalo de

Cif'qómpíétamehté;.-':i:i

losfiíniformes. A continuación

la /(O maestreada a la mínima 2<a-b).

t\~ov1 is¿~o - c t Vi 'é rS lo fl-S 'p o t y<t-o W »

Í|| Matemáticamente, la expresión (7 16) i

lu l t íp l ic a d a p o r ima función-“ m u e s t r e a d o r a '

te muestreo en e i dominio de la jrecue

a sa extensión excepto cn e] intervalo

donde <aM & &

Solu ción : como T - 1/(2f M),entonces co0 = 2 v / T = A n fM = 2 u M . Por tanto, (7.8)se convierte en

...................... (7-18)


c n = T f ( - n T ) = — i ( - r ¡T ) .^A!


F s( o ) = Y — i ( - n T ) e inT<-

Puesto que Fs(to ) = F (cu) para - lúm < w < wM, entonces (7.20) se puede reemplazar en (7.12), de lo cual se obtiene

i ( ‘ ) = ^ P [ V — í ( —riT ) e ' " Tou7.2 (a) La función de banda

lim itada/(t). (b) La función muestreada. (c) Reconstrucción Intercambiando los signos de la integración y de la sumatoria, se tienede una forma de onda.

V /(_ n r ) sen +J} T )

„_lt> «"mO + nT )

= V /(„ r ) nt ^ “ iC ' ~ n7-)

En la última ecuación, ( - n ) se reemplazó por n porque todos los valores positivos y negativos de n están incluidos en la sumatoria. Puesto que T = i i/uM, la expresión (7.16) se puede expresar también como

transformada de Fourier F(cój, se puede determinar unívocamente a partir de sus valores F(m /T)., localizados en puntos equidistantes, separados en ír/7V De hecho, F (c¿) está :i.ij

M i i i l i B i S S iPROBLEMA 7.3 Verificar la expresión (7.22).

Solución : supóngase quei ( í ) = 0 para 11 1 > T. , (7- 23)

Entonces, en el intervalo, - T < t < T, la función f ( t ) se puede expandir en una serie

de Fourier

f ( t ) = £ c n e '2TTn'/2T = c » (7.24)

donde

c - i f f ( f ) e -í2Wní/2T rfí = J _ f T / ( í ) e -;nW (/T d [ ( y _ 25 )

2 T J_T 2 T J _r

Puesto que/(f) = 0 para t > T , y t < ~ T , entonces la ecuación (7.25) se puede expresar

v=X f2T J_om <7-26>

donde

nrr0} = — •

T

(7.27)

Sustituyendo la expresión (7-26) en la expresión (7.24), se obtiene

Ahora bien,

F(a>) - /(O e- ' “ ' dt - J / (i) e - '" * d i, (7.28)

en razón del supuesto (7.23).Sustituyendo (7.27) en (7.28), e intercambiando los signos de sumatoria y de

integración, se obtiene

F ( « ) = i ;[j j

¿ i (y) s í

_L F /2£j e/nw/r j e-i«r dt

d(nn\ (coT - nrr)

- H c u - n v / T ) , ¿ i

uT — nrr

De este modo, se completa la prueba del teorema de muestreo en la frecuencia.

t V o V I Í A s — V I ^ - S j = > o

ÍFtcoscueíl

t 8 ( ú i + coc ) nS(oj-<t)c)

?[/(í)cos< í>c r)

(f)(a) La señal de banda limitada / t í) del problema 7 .5. (b) La función cos coc f. (c) La función

/ ( f ) c o s w cf. (d) E l espectro de / ( í ) . te) E l espectro de cos <oc t. (f) E l espectro de / (t) cos ioc t.

7.2 MODULACION DE AMPLITUD

Se denomina modulación al método áe procesar una señal obtener una transmisión más eficiente. Un tipo de modulación comúnmente utilizado se basa en el siguieme teorema de translación de la frecuencia (algunas veces denomin ¡córeme de bs modulación) de Ja transformada de Lourier. Ll teorema establece que la

IBStgp B á a lii de una señal f ( t ) por uaa.tóSpl|i|j|oidal de frecuencia ojc translada

PROBLEMA 7.4 '-Verificar el teorema de translación de la frecuencia.

So lu c ión : supóngase que J 1/(0] = F (o j) . Por (5 .22 )y (5.23), se tiene

J' [cos <oc t ] = !rS(ot — ojc) + rr5 (cu + wc),

J [sen 0) ct ] = —j rr8(co — « c) i j n 8 (co + cüc).

Por consiguiente, de acuerdo con el teorema de convolución en la frecuencia, dado por

1(4.125), se tiene

ÍF [/(<) cos <ycí]2 rr

F (co) * [ff 5(co — <oc) + rr8 (co + coc)]

~ 2 ^ * 8 (co — coc) -t — F(u>) * 8 (co + <oc)

= ~ F (co - coc ) + i F (lo + ü) c ) (7.29)

resultado que se obtiene mediante (4.120). Análogamente, se tiene

? [/ (< ) sen coct ] = F (co) * [ - j n8(co - aoc) + j rr8(co + coc)}

2 í F ( " ) * 5 ( o ~ cúc) + i ; F (co) *§(&> + wc)

= - ^ f (w ~ <uc) + i i F (o, + coe). (7.30)

Las ecuaciones (7.29) y (7 3 0 ) indican que la multiplicación de una señal f ( t ) , por una señal senusoidal de frecuencia coc, translada su espectro en ±toc radianes. El proceso de translación de la frecuencia se ilustra en la figura 73.

PROBLEMA 7.5 Demostrar que si f ( t ) es una señal de banda limitada, sin componentes espectrales por encima de la frecuencia coM , entonces el espectro de la señal f ( t ) cos w ct, es también de banda limitada.

S o lu c i ón : como la señal f ( t ) es una señal de banda limitada, se tiene que

para | cu | > o>M.

De los resultados (7.29) del problema 7.4, y de la figura 7.3, se sigue que la señal f ( t ) cos u)ct también es de banda limitada, y su espectro es igual a cero fuera de la banda

(w c - coM ) a (w c + m m) para w > 0. Se debe observar que este resultado está basado en la suposición de que coc > coM .

Unai

• - • •••• ” (?

donde íw (t) es la señal de banda limitada, tal que

En la expresión (7:3 i ) , a la semisoídeebs se le á la frecuencia '•' = oj€/2n se le denomina frecuencia portadora, Un ejemplo de la forma de onda dé úm « ¡ a l modulada en amplitud, se muestra en la figura 7.4, Como |m (r)j< i , seobserva p

aoe K | f 'para, ;'K § | | ; |¡;p S E E l |PROBLEMA 7i6 Hallar el espectro de frecuencia, de una señal modulada en amplitud "'i

S o lu c ió n : medíanté la propiedad de superposición y el teorema de translación de lafrecuencia, dado en (7.29); se tiene que la-transformada de Fourieí d é $ f ) está dada por rj

m m 1 p i * ;Ü I P ¡ I ■ ■ " ■ ■.

iip P : r ü S

<3- 2 • ||L : p™ :: .* "H.™donde *****:;_••• lllííjjj:|:KÍ%;

En la figura 7.5-se observa que elespectrode la frecuencia de una señal modulada.-jp en amplitud; consta de impulsos localizados en la frecuencia portadora o )c y del espectro; ¡ de m (t% centrado alrededor de « c . La porción del espectro superior a cü. se denomina s S banda lateral superior delespéctro, y la porción simétrica inferior a'¿¿¿ se denomina :{r ‘“ » | banda lateral iaféríór. Flétese que lás bandas laterales son las que contienen la información

de ía- séñal modulada. . |

PROBLEMA 7.7 Hallar el espectro de la señal modulada en amplitud, la cual está dada

por (7.31), si la señal moduladora es una señal senusoidal, esto es

m (í) = m0 eos cumí, u>m < ioc , 0 < m0 < 1.Figura 7 A (a) La señal mensaje de banda

lim itada,/(í). (b) La forma de onda de una señal modulad, en amplitud.

Solución : la señal de AM, en este caso, está dada por

f ( í ) = K (1 4 m0 eos Cúmt) eos rucf. (7-34)

Utilizando identidades trigonométricas, la relación (7.34) se puede expresar también como

(7.35)

M(oS)

f ( t ) = K eos <u c í + i K m0 eos (tum - cuc) f 4- i K m0 eos (cum 4 coc)f .

De lo cual, mediante (5.22), se tiene

F (cu) = 7 [/ ( 0 3 ~ F ^ [ 5 (cu — CUc ) 4 8 (cu 4- CUc )]

4- — K m0 n [ó (cu — <um 4- tuc) 4- 8 (cu + o¡m — cuc)

—CüM 0 &)JK

(a )

4- 5 (tu - CUm - CUc ) 4 3 (CU 4- CUro 4- Cüc )l. (7.36)

El espectro de este ejemplo se muestra en la figura 7.6. En este caso, las bandas laterales

constan de los impulsos localizados en co = o)c ± u>m.

Kn8 (tu+cuc) K n 8 (a )-a c )

PROBLEMA 7.8 Para la señal de AM del problema 7.7, hallar el contenido relativo de potencia, en la portadora y en las bandas laterales que llevan la información.

So lu ción : la señal AM del problema 7.7, está dada por

/ (í) = K [1 4- m0 eos cumíl eos cucf -CUc —CUM _tuc +CUM cJc- o>m <oc +(oM

= K eos cucí 4 - K m0 eos (cum — <uc) í 4- - K m0 eos (cum 4- a>c) t . Figura 15(b)

portadora bandas laterales

Y o v i ú c -o — vn -£ -J ¿ o -S j= > o t s ¿ - o m

(a) E l espectro de m (f).(b) E l espectro de una señal ordinaria modulada en amplitud.

F(co)

LLt

En la expresión anterior apar?cen los términos correspondientes a la portadora y a las bandas laterales. Es obvio que el promedio total de potencia, P t, entregada por/(í) (referida a una resistencia de 1 £2) está dada por

} K ^ S ( W- c c_a>m) P ‘ = 2 + 8 K' ml + 8 K2 ^ = \ R2 (* + \ m» ) ' <7-37>

Kff8 (o -co cj Luego la potencia en la portadora, Pc, y la potencia transportada por las bandas laterales, / Ps, están dadas por

1 ! P c = L 2 = 7 K*m * 4

COc -bJn (úc+Cún

Figura 7.6 E l espectro de la señal AM del problema 7.7.

0bsérvese {lue Ps = K 2m o/8, en cada una de las bandas laterales. El porcentaje de potencia contenida en las bandas laterales es

P.x 100%.x 1 0 0 = —— —

i 2 + m i (7.38)

Por ejemplo, si m0 = 1/2, entonces

1

Ps 4 P

»C02 + - 9

4

o sea, cerca del 11%,

cuando m0 = l , [P J P , ] max = 1/3,o sea, cerca del 33%.

Se debe recordar que la señal m (t ) que contiene la información, da lugar a las bandas laterales y sólo una fracción de la potencia de/ (f), dada por la expresión (7.38), está contenida en esas bandas laterales. La potencia contenida en la portadora representa un desperdicio

i l á * señai de AM con dobie ton to tolera! y portadora suprimida (DBLPS) sus

F { t ) = m ( t ) e o s Coc t

dada por lai 7.9 Hallar el espectro de una señal de AM i ecuación (739 ).

Solución : si 5 [m (f)] =M (co), entonces, se tiene

F(u>) = 3"[/(í)| = 5 lm (0 cos o ct ] = ^ (J M (to -w c)+ ¡l/ (w + cüc)l, (7.40)

í l ura 7.7 (a) La señal senusoidedebanda limitada m (0 . (b) La fu nció n/(í) = m (0 cos <oc r.

resultado que se obtiene apücando (7.29), el teorema de translación en la frecuencia. El espectro de una señal DBLPS se muestra en la figura 7.8.

|«(o>)|

AA AA0

(b)<oc <oc + com

Figura 7.8 (a) E l espectro de m « ) . (b) E l espectro de la señal D B LPS .

Kptooeso de separar la scSfaí moduladorade la señal modulada « denomina

tr Y o v i i ^ - o —e t vt -£ -J ¿ o O - S ^ o h -^ -o v w

PROBLEMA 7.10 Demostrar que el espectro de la señal modulada puede ser transladado i su posición origina], si se multiplica la señal modulada por cos toct, en el extremo receptor.

5o I u ci ó n: sea la señal modulada la expresada por

/ (f) = m (0 cos <ucf. (7.41)entonces, como se muestra en la figura 7.9(a), en el receptor se multiplica la señal recibida, f t t ) , por cos c: ct para obtener, mediante el uso de una identidad trigonométrica, el ¿guíente resultado:

/ (í) cos cúcí = m {t) eos2 e,jct

= n t(f) i (1 + cos 2ojct)

=■• i m (í) + ^ m (í) cos 2 a>ct.

Ahora bien, si SF \m {t)] = M (u ) y M {co) = 0 para Ico 1 > coM , entonces, se tiene

3" [/ (f) eos o cí] - J [m ( f ) eos2 coct]

(7.42)

y i m (0 - m (t ) cos 2(<jcf2 2

= — M (c u ) f - M (&> - 2<uc) + — M (w + 2coc) . (7.43)2 4 4

El espectro def { t ) cos coct = m (t ) cos2<ocí, se muestra en la figura 7.9(c). Del espectroque se muestra en la figura 7.9(b), se concluye que la señal original m (t ) se puede recuperarmediante un filtro para bajas frecuencias, que permita el paso del espectro hasta lafrecuencia wM . El proceso de demodulación se muestra en el diagrama de bloques de lafigura 7.9(a).

c o s í ü c t

V If (0= m ( t ) c o a Cúc t

F(Cü)

filtro para bajas

m ( í ) e o s2 tue ffrecuencias

m « )

(o)

mo

(b>

« So

(c)

Figura 7 .9 (a) E l sistema de demodulación, (b) E l espectro de la señal m odulada/(í).(c) E l espectro d s la señal / (f ) eos o>c t.

PROBLEMA 7.11 Demostrar que la demodulación también se puede lograr multiplicando la señal modulada /(?) = m (t ) cos coct, por cualquier señal periódica de frecuencia coc.

So I u ci ó n: si p ( t ) es una señal periódica de frecuencia coc y de la forma

p (0 = 2 ] Cn e n03ct, (7 .44)

entonces, según el resultado (5.57), su transformada de Fourier se puede expresar como

3r[p ( í ) ]= 2 > r ^ c „ S ( ü) -n tüc). (7-45)

Ahora bien, según (7.40), se tiene

ÍF [/ (f)] = ^ M(0J ~<Oc) + ~M (<0 + (Oc).

De donde, de acuerdo con (4.125), la transformada de Fourier de / (r ),p (f), está dada por

*5[/(0P (0 l = n [M { lu - a¡c ) + M{<jj + tt>c)l * c „ <5(w - naic )

= n ^ ' c n [M (ai — cüc) + M(o> + &>c)] * 8 {o j — na>c)

~ n (n + 1> cjcJ + — (rr — 1) &jc]1 (7.46)

mediante la relación (4.121).

Es obvio que este espectro contiene el término A f(w ), el espectro de m (t), el cual se puede recuperar mediante un filtro para bajas frecuencias, que permita el paso de frecuencias hasta la frecuencia u)M .

7.3 MODULACION ANGULAR

' ' . . , En la modulación de amplitud, la amplifait dé la poríadora|S:modulada por h información

información transportada está contenida cn la variación de amplitud de la portadora.La modulación de amplitud, sin embargo, no es el único medio de modul&una portador senusoidal. También es posible modular, ya sea la fiec ipM íÍÍÍ§f§|se de la portadora, de acuerdo con te segal que contiene la información. ’

m t M m m m m m m í m j s & a & t f i a Bt * - . (7 4 7 j

Ss so :

i kp e» una i

% » < o .

fpMÍO - A c o s ita * » + k p m (f>]

m m m f r n e i PM ) cuya señal,

I M f

C t)d T ,

(7.50)

Solución : en el caso de una señal PM, se tiene

>,(t) = — Q(t) = — [ojcí + kp m (í)] = cü0 + kp dt dt

En el caso de una señal FM, se tiene

m ( T ) d T = üjc f kt m (t).

Solu ción : si m (t ) = tn0 cos comí, entonces por (7.48), se tiene

/PM( í ) = A cos (ojct + kp mo cos comt).

Por la relación (7.49), se tiene que <¡>m = k pm0, porque la magnitud máxima de m {t) es m0 ;

de esta manera, se tiene

f PM( f ) = A cos (o>ct + <f>m cos a>mt), <£m = kp m0.

Dado que para la señal FM, = k¡ Jm ( t ) dt = ^122 ^ Wmí)

/fm(0 = A cos I üjct +k,m a

- A cos (coct + cf>m sen « mO< <£m = - i—2 •

PROBLEMA 7.14 Demostrar que en una señal FM de modulación senusoidal, el índice de modulación se puede definir como

, A i

*m = Z ’ (7.60)

donde f m es la frecuencia de la señal moduladora, y A/es la desviación frecuencial definida como

_\/ =2 n

(<ú¡ — <úc )

Solución:, según la fórmula (7.56), pararma señal FM se tiene

o>, = « e + !c, m ( í ) = iúc + k¡m0 cos cümf .De donde.

ai/ - « c = £fnj0 cos u>mt.

En la relación (7.61) se observa que

(co, - ajc) = k ,m 0 = 2 n A í ,

(7.61)

es decir, la máxima diferencia entre u)¡ y ojc se denomina desviación de frecuencia angular de la señal FM. Por consiguiente,

k¡m 0 2n A i A l

2 ir í„

a teorema ge ■ m . y e í ar

o, que relacione el espectro de cos f<*>cr + 0 (r ral de una señal general modulada en ángulo es

por consiguiente, bastante complicado. En consecuencia, a continuación se considerará únfcameíiíe, Acaso especial de modulación por una señal senusoidal.

PROBLEMA 7.15 Hallar el espectro de una señal FM, en la cual la modulación se hace por una señal senusoidal

So lu c ión : por (7.59), se tiene

i ( t ) = A cos ( Q)ct + <f>m sen <ümí)

= A cos <úct cos (<jfim sen <amt ) - A sen <act sen {<f>m sen túmí). (7.62)

En la expresión (7.62), los términos

cos (0 m sen wm0 y sen (<j>m sen <omt)

son funciones periódicas, cuyo período es T = 2jr/wm. Por consiguiente, estos términos se pueden expandir en serie de Fourier. Se debe observar que

i<t>m sen i mí , , ,, . , , ,e = cos {<pm sen <umí) + ; sen (<prn sen <omt).

Considérese, por tanto, la expansión en serie de Fourier de (7.63), es decir,

(7.63)

ifrn sen^n i' V 1 *e = 2 ^ c„ e

imde* T / 2

C „ - — ít L

^ s e r . , . , , 0 e (~ l^ mn dt ( 7_65)

•'-T/2j T = 2v/u>m. De esta manera, se tiene

c „ = ^ e>(* m ssn^ ‘ - n ^ n dt. (7.66)2l7 J-T/2t í:

A¡ hacer, com r = x , se obtiene

í(0n? sen x-nx)dx. (7.67)

los coeficientes de Fourier dados por la ecuación (7.67), son las funciones de Bessel de crimera clase. De la función generadora de las funciones de Bessel, se tiene

e z ( x 2- l ) / 2x = £ J „ ( z ) x n , ( 7 .6 8 )

¿onde J „ (z ) es la función de Bessel de primera clase, orden n y argumento z.Al hacer,x = elí0t en la ecuación (7.68), se obtiene

2(x* “ X) = z i ix - = j z i- ( e lo>t - e~ l0- ‘ ) = jz sen o t. (7.69)2x 2 \ x ) 2j

De donde,

e/2 sen coi _ £ 7n(z ) eyn£,,f. (7.70)

Comparando las ecuaciones (7.70) y (7.64) resulta

. g Co £ ■ . * » » , » . . (7 n )

De esta manera, por (7.67), se obtiene

« . - « s u - ¿ f * • * w

Las propiedades de las funcipnes de Bessel y las curvas que ilustran su comportamiento, se encuentran en muchos libros de matemáticas. Por (7.72), se obtiene

/ - „ ( * » ) - ( - 1 ) " / „ ( * „ ) . (7.73)Ahora bien, por (7.71), se obtiene

= (cos Omí + i sen «n io

+ /_,(<£„,) (eos - j sen « m0

+ (cos 2cu„,í + j sen 2 <umí)

+ /_2(<¿m) (eos 2tümí - j sen 2<umt)

+ • • • .

Si se igualan las partes real e imaginaria y se utiliza la relación (7.73), se obtiene

cos ( é m sen o mt ) = J 0(á m) + 2J¡((f>w) cos 2a>mt + 2 J4( ó m) cos Ao¡mt + • •

(7.74)

J0( ó m) + 2 /2n( © J eos 2n (7.75)n = l

Figura 7.10 E l espectro de la señal FM dada por la ecuación 7.78.

sen (<f>m sen comt ) = 2/,(<£„,) sen o mt + 2J3(<f>m) sen 3cumt +

= 2 ^ /2n+i(^>m) sen (2n + 1) comt.

Las ecuaciones (7.75) y (7.76) son las expansiones en serie de Fourier de los términos eos ( <t>m sen u mt), y sen (<¡>m sen come).

La distribución espectral de la señal FM se puede obtener ahora, por sustitución de(7.75) y (7.76) en la ecuación (7.62), de esta manera,

i (<) = A eos (cuc í + <f>m sen o>mt)

- A cos ojct í/ „(0m) + 2[/2(<¿m) cos 2 o>mt + /4(<£m) cos 4cumf +

- 2 A sen (oct [Ji(<í>m)sen cümi + J 3(</¡>m) sen 3 .«mí + • • • ].

Mediante las fórmulas trigonométricas de suma y diferencia

]i

(7.77)

cos A cos B = i [eos (A - B ) + cos (A + B )},

sen A sen B = - [eos (A - B ) - eos (A + 5 )],

se obtiene

f ( 0 = A \ j0(rf>m) cos ú)ct - [cos (w e - com)t - cos (cüc

+ [ cos (<yc - 2 cü„ , ) í + C O S {<DC + 2 Cúw ) í ]

[eos (Cüc - 3túw ) t - cos (Cúc + 3<Um) í ]

n)d

(7.78)

La ecuación (7.78) muestra que la señal FM, representada por f ( t ) , consta de una portadora y un número infinito de bandas laterales, separadas en las frecuencias (coc + o>m), (toc + 2com), (coc + 3wm), etc., como se muestra en la figura 7.10. Las amplitudes de los términos de la portadora y de las bandas laterales, dependen de

índice de modulación; esta dependencia está expresada por las funciones apropiadas de Bessel.

7.4 MODULACION DE PULSOS

' Eb'*® sistema de modulación de pulsos, la portadora consta de una sucesión pe^ihea de nplitud, como la duración o la posición d e l"pulso, se pueden modular de acuerdo con la señal de entrada. La base teórica de la técni

;|f¡foduladón de g||os es ía presentada en la sección 7.1. En unsistema de modulación de pulsos, se tiene un tren d i iü íS ^ Ü o d u ia d o s que consta de pulsos idénticos,

apropiada paria la señal moduladora (es decir, a UííÜáta superior al doble de la 'i.'^.icnrM d e p ^ ^ ^ p i t e de más alta frecuencia de la señal ...... s s * » - —

pulsos (MAP). Una señal MAP se define como sigue:

^ ^ M » Í Í r t j ^ í r t ¡ W Í f t S j Í tanda limitada, con M (u ) 5F [ « 0 )1 = 0 para id) l > 03M (= lu /*r| :jqu e g g j j es an 4«m de pulsosperiódicos con período T; en ton o !

K O - » ( O í ( t )

PROBLEMA 7.16 Hallar el espectro de la señal-MAP (7.79) si g ( t ) es un tren de pulsos rectangulares periódicos, el ancho del pulso es d segundos, y se repiten cada T = 1/(2 fM)segundos.

Er

JÍO

Sai ac ión : sea

3 [m (t ) ]= M (c o ) ,

M (a>) = O para | co \ > coM.

l e acuerdo con el teorema de convolución en la frecuencia, dado por (4.125), la

mnsíormada de Fourier de f ( t ) = m (t ) g (t ) es

F(<o) = 3" [f(í>] = (01(01

(7.80)

= — M (c o ) * G (< o ), 2 v

(7.81)

¿ 'd e G (co) = 5 [ g ( t ) } .La función G(co) se puede obtener de (5.77), si se hace

1r =

(2 Oí) (o/if= — y

2 v „<u0 = — = 2<om.

arronces,

G(co) = 2coMd ^ Sa(n<oMd ) S(co - 2n coM).


F (co) = 2 <oMd M (co) * ^ Sa(n<oMd ) 8(<o - 2n <oM)

= 2 ioMd ^ Sa (n cornd) U (co) * 8 (co - 2n com)

= 2conjd 2 2 Sa(nú>Md)M(co — 2n com),

(7.82)

(7.83)

mediante la relación (4.120).Si m (t ) es una señal de banda limitada, como se muestra en la figura 7.1 l(a ),

entonces el espectro de amplitud de la señal MAP es el que ilustra la figura 7.1 l ( f ) .

(b)

F (t )= m (t )É (l )

irá 0 1(c)

|M(cu)|

A■%

( d )

4 (0

PROBLEMA 7.17 Hallar el espectro de la señal MAP, dado'por la ecuación (7.79), si g (t ) es un tren de pulsos periódicos de forma de onda arbitraria, que se repiten cada

T < 1/(2 fM ) segundos.

So lu c ión : puesto que g ( t ) es una función periódica, se puede expandir en una serie

de Fourier; de esta manera,2 rr

. T

Entonces, según (7.79), la señal MAP f ( t ) - m (f ) g ( t ) se puede expresar como

J n c o 0t/ (0 = m (0 ^ 2 2 Cn e>

- 22c" m(^e> (7.84)

Figura 7.11 (a) La señal de banda lim it m If) del problema 7 .16 . (t Un tren periódico de pulsa rectangulares¿(f). (c) L a s MAP F ( t ) = m ( t ) g ( t ) . (di espectro de m (f). (e) E l e d e ¿ (t ) , (f) E l espectro de I M A P F (f) .

íE_<ÜM WjW

(o)

Figura 7.12

De esta manera

F ( cü) = ? [/ ( « ) ) = ? ^ c „ m ( t ) e lncJ° ‘ j

¿ cn 3:[m (t)e'"Wo']. (7.85)

Ahora bien, de acuerdo con la propiedad de desplazamiento en la frecuencia de la transformada de Fourier, dada por 4.74, si 5 [m (í)]= .M (cj), entonces, se tiene

? [n¡ (0 = M (w - n o>0).

De donde,

F (tu) = ^ c n M ( ío - n oj0). (7.86)

La figura 7.12(b) ilustra el espectro de amplitud de la señal MAP, el cual consta de pulsos espaciados periódicamente, cuya amplitud es modificada por los coeficientes de Fourier de g (t ). En la figura 7.12, w 0 se selecciona de tal manera que T < 1/(2 fM ).

A A—2 üj.

m

F(cu)

mt n * . m -

_ _ L _ _

A A í ' 72coa~Cü0 -< 0 M 0>M (Oq

(b)

a) E l espectro de la señal de banda limitada m (í) . (b) E l espectro de la señal MAP del problema 7.17.

7 5 FUNCIONES DE CORRELACION PROMEDIO

seccióñ 4.9. Para señales] tiempo ( - sai«>). el contenido de energí

Lúego es obvio que las en. En tai

p i

Para funciones periódicas (con período T ¿)

n e M M n i

I P í í I S í í E S í íI Í I éíI Í í S I í E í E I ^

So I u c i ó n: sean f\ (/) y / j (r ) dos funciones periódicas con período T ¡ , entonces, se tiene

/ ,« ) = f,(t + r , ) , (7.91)

Í,(í - T ) = /,(í - X + r , ) , (7.92)

Í3{t - T ) = /2( í - X + 7\). (7.93)

Por consiguiente, los integrandos en (7.87) y (7.88) son funciones periódicas en la variable t y con período T ¡ . La integral de tal función en cada período es la misma, por tanto, no es importante si las funciones de correlación son promediadas en un intervalo muy grande,

T — *■ °°, o en un intervalo de un período T !.Luego para funciones periódicas, se tiene que

/ ,« ) /,(( — T ) dt = i - J

/,(0 í2{t - x ) dt = j r j

i r T / 2l im

T -*do' - T / 2

i r T / 2l im

- T / 2

r ¡ / 2

T,/2

T¡/2

T./2

f.co /,(Í - X ) dt,

/,(í) í2(r - x ) dt.

PROBLEMA 7.19 Demostrar que las funciones de autocorrelación y correlación promedios, de señales periódicas cuyo período es T ¡ , son también funciones periódicas y

de igual período.

Solución : por el resultado (7.89), se tiene

KuCt - = j r f T¡ 2 W Ü * ~ (T - r >)í

i r T t/2

' I m w - T + T j d t . 1 2

Pero según (7.93), se tiene que

R M(x - T . ) = — f T’/2 /,(*) /,(( - X ) <fr = R „ ( x ) . ^ -'-r, / 2

(7.94)

Análogamente, por (7.90) y (7.93), se tiene

R „ ( x - :1 r V »

T , - '- 2 \ / 2

1 p / 2

T ,d -7 - ,/2

_1_ p / 2

r ,• ' - T 1/2

Rii (x).

f,(t) f2[t - (x - T ,)] dt

/,(<) /2(f - X + 7 .) *

/,(<) /2( í - X ) di = R U(X).

(7.95)

Las ecuaciones (7.94) y (7.95) muestran que R ¡ i ( t ) y R ¡2(r ) son funciones periódicas

cuyo período es T ¡.

PROBLEMA 7.20 Hallar la función de autoconelación promedio de la onda sinusoi dada por

2 71f ( t ) = A sen (g j , í + <f>), =A

SoI u ción : puesto que f { t ) es periódica, entonces de (7.89), se tiene

* «C O = lim Ír /2

/ ( O f ( t — T ) dtT/2

1 r T,/2f I' J~r./2

dt- r l/2

CT' /2A2 f 2 -= Y I sen W + 4>) sen [&>„(f - t ) + 0 ] dt

' J -Tx/2

A 2 f T' /2= — I sen (c j.t + sen ( o , t + <j> - W,T ) dt.

1 ‘ J-T,/2(7.96)

Utilizando la identidad trigonométrica sen A sen B = [ eos ( A - B ) - cos (A + 5)1 se tiene 2 ’

‘ ¿ t í2 r ,

■T-,/2

[eos cüjT - cos (2&j,í + 2<j> - <y,T)] dt

A 2 f r j/2— cos tüj-t I c?í

-r,/2

cos (cu,T). (7.97)

La ecuación (7.97) muestra que R f f i r ) es independiente de la fase <¡> d e f(t ).

PROBLEMA 7.21 Demostrar que si/, (?) y /2(?) SOn funciones reales y periódicas, que tienen el mismo período T , , entonces

jOO = ^ [c*n c 2n] e~ (7.98)

donde co, - 27r/7’, y c , „ , c2„ son los coeficientes complejos de Fourier de/ ,(r ) y f 2(t] respectivamente, y c*„ denota el conjugado complejo de c ln .

So I u c ión : en el caso de funciones periódicas, según (7.90) se tiene

1 CT i/2 * u (T ) « — ¡ M U t - T ) ,

1 •,~T./2

R . ) dt.

Sean las expansiones en series de Fourier d e / ,(f ) y /2(r ) las dadas por

/ (0 = ¿ c ln e lna>l‘ ,

donde

4 (0 ^ ^ c 2n e>nwd t

1 r v ac - = ~ /,(?) e

1 J-T ,/2

(7.99)

(7.100)

dt, (7.101)

i r r,/2c 2n = ^ « O e

1 ■J- r l / 2dt. (7.102)

expresando /2 ( t — i ) de la ecuación (7.90), en la forma dada en (7.100), se obtiene

1 f r »/2Í f i ( O í i ( í - T ) d f1 ■J-Tyf 2

¿ •1 J- r ,/2dt. (7.103)

Intercambiando el orden de la sumatoria y de la integral, se tiene

,(0 e1™ '1 dt (7.104)

la integral dentro del paréntesis angular se reconoce, comparando con la expresión

(7.101), como el conjugado complejo de c Por tanto,

Ru(T) = ¿ C*” C2n e

Obsérvese que R 12 ( t ) también es una función periódica de r cuyo período es T ¡ .

PROBLEMA 7.22 Demostrar que si f ( t ) es una función real y periódica con período T,

entonces

(( T ) = £ | c „ í 2¡nw¿Z

(7.105)

donde u)0 = 2it/T y cn son los coeficientes complejos de Fourier de f { t ) .

Soluci ón : si se hace/ , (? )= /a(0 = / (0 . Y T l = T , entonces, de (7.98) en el problema

7.21, se obtiene

R „ (T ) = j r c*n cn* e "W = £ ] 1 |2 ¿ | c „ |2

dado que lc_ „l2 = |cB|*. *

|| Obsérvese que la ectiaCióa (7 ;Í05 ) es ana expansión eñseriede y por consiguiente, R f f ( ) esuns función de % periódica y de igual función / (f). La ecuación (7.10S) cambien muestra que los coeficien

Por consiguiente, se sigue k p á id lk ftú tó w e s^ fí| ^ b á ¿e ite í ' ’ las mismas magnitudes de los coeficientes ue l ourier y la misma la misma función de aptocorrelación, aun cuando las fases délos

7.6 IDENTIFICACION DE SEÑALES MEDIANTE CORRELACION

^continuación se cob^ ^ ^ M i

contaminadas por ruido. Normalmente se denons^f «lid o ¡

espuria o Indeseada que tiende a oscurecer o encubrirla:

ruido que se encuentra: en lasigue, se supone que el ruido tiene un valor promedió 8§¡i

se tiene que

lim - f T/2 s (t )n ( t - T ) dt =fT/2 i r T n

lim — 1 n ( í ) dt1 s ( t ) dt = 0 i• ' - T / 2

t - > ° ° T J_T/2

en razón de la suposición dada por la relación (7.106).

Si se denota como Rsn(z ) a la función de correlación promedio de s (t ) y n ( í), entonces la relación (7.108) se puede expresar como

R sn(T ) = 0 para todo valor de T. (7.109)

Para señales de ruido al azar, cuyo valor promedio es cero, se tiene

lim i?nn(T ) = 0. (7.110)

Análisis de Fourier

(7.111)

R ¡¡( T ) = lim — /(< )/ (< - T)<ft

[s (/ ) + n(<)] [ s ( í - T ) + n (t - T )] dt

= R ss(x ) 4- Rnn( T ) + R sn(T ) + R „ , (T ) .

Puesto que la señal s (t ) y el ruido n (r ) no están correlacionadas, se tiene

R sn(TC) = R ns(1 ) = 0.

De esta manera,

R n (T ) = R . , (T ) + R n„ (T ) . (7.112)

PROBLEMA 7.25 Utilizando el resultado (7.112) del problema 7.24, demostrar que la función de autoporrelación se puede usar para detectar señales.

So lu c ión : sea/(í) la señal recibida, que es la suma de la señal útil s (t ) y el ruido n (/).Ahora bien, si se conoce la naturaleza del ruido, tal como el espectro de potencia que se estudiará en la sección siguiente, entonces se puede calcular R nn( i ) , la función de

rtelación promedio del ruido. Si R ss(z ) difiere de R f f (z ) , se puede concluir que señal útil s (f ), existe en la señal recibida f ( t ) , puesto que R ss( i ) es diferente de cero.

La ecuación (7.112) también ofrece un medio de detectar una señal periódica oculta d ruido. Puesto que en este caso s (t ) es una señal periódica y n ( t ) es una señal no

' üca, del resultado deljiroblema 7.19 y de la relación (7.110), se sigue que Rss(x ) periódica, mientras quei?nn(r ) se hace muy pequeña para valores grandes de r. Por

_ fguiente, para valores suficientemente grandes de z, R f f (z ) será casi igual a Rss(z ), mostrará una naturaleza periódica.

*O B LE M A 7.26 Demostrar que la función de autocorrelación entre las señales •=rr_smitida y recibida, es la misma función de autocorrelación entre la señal transmitida ? a señal útil recibida.

Solución: seanjr(f) y / ( f ) la señal transmitida y la señal recibida, respectivamente,anonces, se tiene que

/ (< ) = s ( í ) + n ( f ) ,

rende s (t ) es la señal útil recibida y n (t ) es el ruido. Si ahora se correlaciona la señal ráb ida/ (r) con la señal transmitida, se obtiene

— i r T/2 — —K / f i ( T ) = H m - [ s ( 0 + n ( 0 l é ( í - T ) dt = R sg(T )+ R ng(T ). (7 .1 1 3 )

T ~*°° • '- T / 2

Puesto que n ( t ) y g ( t ) no están correlacionadas, es decir, R ng(z ) = 0, se tiene que

* t t ( T ) = R , 4( T ) . (7 .1 1 4 )

^O BLEM A 7.27 Partiendo del resultado (7.114) del problema (7.25), demostrar que a correlación promedio se puede utilizar para la detección de señales.

So I ución: si la señal recibida/(r) es únicamente ruido, es decir, si s (?) = 0, entoncesa función de correlación promedio R sg( r ) = 0, y por tanto R fg(z ) = 0. Por consiguiente, se concluye que si la función de correlación promedio entre la señal transmitida y la señal recibida no es cero, entonces existe una señal útil en la señal recibida. La ecuación (7.114) también puede ser utilizada en la detección de una señal periódica contaminada por el mido. Puesto que la señal útil s ( f ) y la señal transmitida g j t ) son señales de la misma frecuencia, se sigue del resultado del problema 7.19, que R sg(z ) también es una función periódica de igual período. Por consiguiente, del resultado (7.114) se concluye que si la función de correlación promedio, de la señal recibida f ( t ) y la señal transmitida g ( t ) , es periódica, entonces/(r) debe contener una señal periódica.

Se debe observar que en el método de correlación, R fs( l ) - Rsg(z ), sin ningún término adicional del ruido, tal com oR nn(x ), encontrado en la técnica de detección mediante autocorrelación; por tanto, es posible detectar una señal periódica en la señal recibida/(r) a cualquier valor de %.

7.7 ESPECTROS DE POTENCIA PROMEDIO:SEÑALES AL AZAR

energía o. densidad de energía dé f n ésa sección se supuso que el contenido dé W íM M eáergíáde:/(V) es finito, es decir, I^E IlÍÍIlE lP r lE F É lE S IiW iiS Í|M || ||| l||á|p jÍ^ :i

Para tales funciones, ía .potencia promedio en ei inteivaló T se aproxima a cero,a medida ¡|¡|¡|f|ÍÍ|$góíánta.a'iíWíuíitOÍ.de jjm i madera,' ü eñg

i :>T >%■ • •• • liS iI l / ( f ) P < * 0.

^ J r r t : : J

de ruido, es W & m to considemlsefiáíés potencia promedio de J\t) es la cantidad

U(OP<fr.

I l l i l iespectral de potencia diñ¡¿M W a^W é$l

espeS fiige poépña de la función/(r >, no se pued ffie:^ipnpceeíiespectro promediado en el tiempo.

se denominan señales ai azar. Lss sedales ai 3£ ffié|;|Í3Íis:propiedaáa«jtkdísticas, sin embargo, aquÉ

a; ecuación (7.11.8) se conoce como is densidad i^ iadensidad «sgjgetnt sie püeer^ta ( o «rapSemem*

( 0 se deñne generalmente como la transformada de

promedio de / (í). De esta manera, se define:

“ “ * 1 1 (7.1)91„ ( T » - J £ „ ( ! ) -

I ü - | s ; | ! p («> ' 1 '"T& / .i (7.120)

Solu c ión : de la relación (7.120), se sigue que

m

S o l

K " ( ° ) = ^ J P (a > )d « ;= J P ( 2 n í ) d l . (7.122)

Ahora bien, por (7.87), se tiene que

' T / 2

Por consiguiente,

P „ ( T ) = lim i f /(t)/(t - T ) d í . 17.871

- i r T/2-Rf/(0)= lim — I |/(f)]J dt. (7.123)

Comparando (7.123) con (7.122), se obtiene

- T / 2

- T / 2

lim i f U ( Í ) ] J< * = — f P ( o j ) d ( o = f P ( 2 r ru ) d u .T -'°c T J - T /2 2rT J-CC J.oo

don

S sí

func

jeric

m m m mtodo el

P {co) se denomina espectro de

’ ROBLEMA 7.29 Hallar la densidad espectral de potencia de una función periódica/(í) = y o período es T.

Solución : supóngase que la serie de Fourier de la función /(?), está dada por

2rr. . . V - i j n ú J . t ¿ T i¡(o = 2_, Cn 6 ’ “»= y (7 .124 )

En el problema 7.22 se demostró que la función de autocorrelacíón promedio de f ( t ) está dada por

R „ (T )= £ | c „| *eJn" °T .

5¡ se toma la transformada de Fourier de i?yy(r), se obtiene

P{a>) = 5 [ X M = £ |c„ |J ? [ e ,n“ °T l

[7.105]

^ 2n | cn ¡J 8(<o - rtCi)a) (7.125)

mediante la relación (5.21).Por tanto,P(w ) consta de una serie de impulsos localizados en las frecuencias

armónicas de /(?). Cada impulso tiene un valor igual a la potencia contenida en esa

componente frecuencial y es una clara medida de la distribución de potencia en /(/).

PROBLEMA 7.30 Demostrar que la potencia promedio por periodo ea una fundón ip e r í ó | Í § S p ^ l ^ á p o Í H Í I Í ■ --d-Ü

(7.126)

Soluci ón : dado que f ( t ) es periódica, entonces de la ecuación (7.89), se tiene que

(7.127)i r r/2 i r T i/2

lim - i [ f ( t ) la<ft = — I [/(r )l2 dt,^ J - T / 2 3 — 1

donde 7 ) es el período de f ( t ) .Sustituyendo (7.125) en (7.121) y utilizando la relación (7.127), se obtiene

i r T i/2 i r *± r [ / ( o p ^ iT ' J - T , / 2 2 ,7 - U

P (cu) dio- £ 1 2 .

¡c„|J 8 (a> - n(o0) da>.

Si se intercambia el orden de la sumatoria y de la integral, y se utiliza la propiedad de la función 6, se obtiene

i ("Tl /2 ^ r*'

Z w j [ 5 (cu - noj„) dco =

y

PROBLEMA 7.31 Hallar la función de autocorrelación promedio del ruido blanco.

So lu ción : según la definición de ruido blanco, se tiene que

P (<y) = K.

De la relación (7.120), se sigue que

R (T ) = T ' [P(<o)l = -j- J P (c o )e ’ WTda> = K ~ e ,aTdo>.

Según la identidad (5.4) de la función 5, es decir,

se tiene.

R (T ) = K 8 (T ). (7.12?)

Por consiguiente, la función de autocorrelación promedio del ruido blanco resulta ser un impulso.

PROBLEMA 7.32 La función de autocorrelación promedio de la'corriente del ruido térmico está dada por

R „ (T ) = *rG <xe-a lx l, (7.13QI

donde

k = constante de Boltzmann, k = 138 X 10 _23 julios/°K,T = temperatura ambiente en grados Kelvin,

G = conductancia de la resistencia en mhos, a = número promedio de colisiones de un electrón, en un segundo.

Hallar la densidad espectral de potencia promedio, para la corriente del ruido térmico.

Sol u c i ó n: si se toma la transformada de Fourier de (7.130), se tiene

Pfc> ) = 5 [R „ (T )]

- i T G a j * * e~a lTl e “ ' “ T d i

= k T G a J '0 e a r e - iu )TdT + j e - a T e~ ^ T dT

2kTGo.2 2kTG

1 + Oten*

(7.131)

Puesto que a, el número de colisiones por segundo, es del orden de 10t2, el factor 1 + u>2/a* está cercano a la unidad para frecuencias inferiores a 1010 hz. Por consiguiera para frecuencias inferiores a 1010 hz,la densidad espectral de potencia promedio, para la corriente del ruido térmico, se puede aproximar por medio de

P (c o )= 2 k T G . (7.132)

7.8 RELACIONES ENTRE LA ENTRADA Y LA SALIDA: CALCULO DEL RUIDO

las relaciones entre la entrada y la salida estudiadas en el capitulo sexto, determinan la salida de un sistema lineal de parámetros constantes, cuando b entrada es una función del tiempo conocida. Dado que las señales al azar, tal como la M ruido, no se pueden expresar como funciones deterministas del tiempo, entonces las amicas desarrolladas en el capítulo sexto no se pueden aplicar directamente cuando la entrada es una señal 3) azar.

En esta sección se estudiará la aplicación de funciones de correlación y densidades spect rales de potencia, a problemas de análisis de sistemas que involucran señales al azar.

PROBLEMA 7.33 Sean x ( t ) y y ( i ) las señales al azar de entrada y salida, respectivamente, de un sistema linea!, estable, y de parámetros constantes, caracterizado por la función tf(co). Demostrar que las autocorrelaciones promedios de la entrada y de la salida están relacionadas por

Ryy (T ) =

í > ’£h (o )R x>í (T + o - A) dod\, (7.133)

donde h ( t ) = ÍF-1 [//(co)] = respuesta del sistema al impulso unitario

Solución : en la ecuación (6.87) se demostró que la salida y (/) está relacionada con laentrada x ( f ) , por la integral de convolueión, es decir,

íy (0 = ó (t ) x (í — t ) dx.

Ahora bien, según la relación (7.87), se tiene que

Ryy (T) = lim — T^oo T

y ( t ) y (t - T ) dt.

Por la relación (7.134), se puede expresar y ( í ) y y ( f - x) como

s*».r h (A) x (f - A) d\,

y ( t - T ) = J h (o ) x (t - T - o ) du.

Sustituyendo (7.136)y (7.137) en (7.135), se obtiene

h (A) x (t - A)c/A J h (o ) x {t - T - o )d o

(7 .1 3 4 )

(7.135)

(7.136)

(7.137)

R y y i T ) = lim ^T-.CXJ TC \L dt.

(7.138)

Intercambiando el orden de la integración se puede expresar la relación (7.138) como

- r /2R y y ( T) = h (a ) lim —

r->»o Tf lx (t - A) x ( l - T - o )d t dodX.

- T / 2

Dado que,

Rxx (T + o - A) = lim x (t - A) x ( f - T - o )d t ,

(7.139)

(7.140)

la ecuación (7.139) se convierte en

F yy( x ) = J h ( \ ) J h ( o ) R xx(T + o - \ ) d o d K .

PROBLEMA 7.34 Demostrar qu ' (co), la densidad espectral de potenci • y #».(w ), la densidad espectral de potencia de la entrada, de un sistema lineal, están

rc ona os por Pq (w ) k ¡f f (w ))» P¡{(¡¡)

donde t f (w ) es la función.

Soluci ón : por la ecuación 7.119, se tiene que P0(u>) está dado por

P 0 (cu) = ? [R yy (T )] = J* R yy (T ) e -íü)T rfT. (7.142)


P .C * > M f i (A) h (o ) R xx (X + o - K)dodK£ [ £ > 1 c/X. (7.143)j

Con el cambio de la variable ¿i — i + o — X, seguido por una separación de variables,

se obtiene <*> <» «,Po(«)=J~ f>(Á)d\J' h(o)do j Rxx(n) e- /£ü(A-<r+X) ^

= J h(\)e~iuiXd\ j h (o )e i«>a d o j° 0 Rxx(p )e -Iu>tí d,i. (7.144)

Puesto que

P ; (a>) = J ' R xx ( x ) e " ,ü)T dx ,

// (cü )=£°°/t (X ) e - ^ T dx,

y /i (0 es siempre real,

A (T ) e 'w T rfx.

Entonces, la ecuación (7.144) se puede expresar como

P 0 (co) = H (co) H *(co ) P , (co). (7.14S)

Dado que H (cu) H * (o j) = |/f (co) l2, se tiene

P 0(co)= |« (c)|a P,(co).

^ 8281 fl0 86 puede obtener, una expresión explícita delruido de entrada o de la respue* a de ur sistema a fuente. 5b consecuencia, no ae dispone de uiia reíarión tal como la (5 92) para séllales ú azar. Sin embargo pw medio de densidades espectrales de potencia, se puede establecer y utilizar la relación (7,14 >) en problemas que involucran sedales ai azar, aplicadas a un sistema lineal.

“ fOBLEMA 7.35 Hallar la función de autocorrelación promedio, de la salida del acuito R C para bajas frecuencias, que se muestra en la figura 7.13, cuando la entrada es audo blanco. Así mismo, hallar la media cuadrática del voltaje del ruido en la salida.

.3a I ü c ¡ ó n: según el resultado (6.100) del problema (6.19), la respuesta impulsiva h ( t )as. árcuito está dada por,

- Entrada x ( i )ft (0 = — e ~ '/ RC u (t),

— v w

RC

nsentras que, según (7.129), la función de autocorrelación promedio de la entrada (que es

Salida y 01

iS ruido blanco) está dada por Figura 7 .13 E l circuito RC para bajasfrecuencias del problema

R x x (T) - KS ( x ) . 7.35.

entonces, mediante la relación (7.133), se obtiene

(T ) = f ~ e ~K/RC u (A ) f e~a/RC u (o )S (T + o - \)dod\J •'-o*

- — r e -CT/fic u ( a ) f 8 (T + a - A ) e~ X/RC u (X )d\do. (7.146)*C)J J_x j _ x( R e y

Recordando la propiedad (2.68) de la función 6, se tiene

(R C )

(R C ) í do

fado que u (a ) = 0, para o < 0, y u (o ) = l,para cr> 0.

De donde,

K

(R C ? 1 ’ " 2RCR v v ( X ) = - A _ - e - T/RC í e - W R C d o = ^ e ~ T / R C . (7.147)

d0

La ecuación (7.147) es válida sólo para valores positivos de t ; sin embargo, como la función de autocorrelación es una función par de i [ver 4.148], se tiene

R „ V(T )= — e“ !Tl/RC, - ~ < T < » o . (7.148)2 RC

La media cuadrática del voltaje del ruido en la salida está dada por

lim ± ¡ T/2 (y (t )Y dt = K yy (0 ) = * (7.149)T J_T/2 ¿RC

PROBLEMA 7.36 Hallar la densidad espectral de potencia, para la salida del circuito RC, que se muestra en la figura 7.13, cuando la entrada es ruido blanco. Así mismo, comparar la media cuadrática del voltaje del ruido en la salida, con el valor obtenido mediante la

relación (7.121).

Solución : según (6.99), la función del sistema,H(u>), del circuitoRC, está dada por1

ROH (oj) = — ■ [6.99]

RC

La densidad espectral de potencia de la entrada (ruido blanco), está dada por

P i {oj) = K . [7.128

De esta manera, según (7.141), la densidad espectral de potencia de la salida, está dadap

1

P „ ( « ) = \H M ' P|(ü») = kRC/— K . (7.150

(ú2 + ( —\RC

Por (7.121), se tiene que la media cuadrática del voltaje de salida, se puede evaluar a parí

de Po íw ); de esta manera, se obtiene- T / 2

lim —1 f /z 1 f- [y (032 dt = — I P 0(fii)cfc»^ J -T / 2 £-00

f(P C )2 J_.

t/u>

2 ^ (R C )2J _ 2 / 1U> +

RC

K

2 RC

lo cual está de acuerdo con el resultado (7.149).

(7.151)


PROBLEMA 7.37 Demostrar que una función periódica de banda limitada, sin armóni de orden superior a JV, se puede especificar unívocamente por su valor en 2 N + 1 instanfi

de un período.[Sugerencia: con 2N + 1 incógnitas, una función periódica de banda limitada tiene la fo

/ ({) = C„ r- ^ Cn eos { a 0t + oj0 = ~ •]

PROBLEMA 7.38 Considerar las funciones muestradoras

6n( t ) = — n— , n = 0, ±1, ±2, • • • , ( t - nT)

donde + 2n fM , y 7’ = 1/(2/w ). Demostrar que (a ) 0 „ ( f ) son ortogonales en el intervalo - 00 < t < °°, y (b )

£ í>n ( ( ) <£m (t) di = 7Snm ,

donde 8nm es la delta de Kronecker.[Sugerencia: utilizar el resultado del problema 4.23, y el teorema de Parseval.]

PROBLEMA 7.39 Si / ( í ) es una señal de banda limitada, esto e s ,F (c j )~ 5 [/ (O ]- 0>

para (c o | > « c, demostrar que

J dt = T f (n T ),

donde <pn( t ) es la función muestreadora del problema 7.38, para todo <¡>n( t ) del mismo problema, con coM > coc.

[Sugerencia: multiplicar (7.16) por <pn(t ) , integrar entre - °° e y utilizar el resultadodel problema 7.38.]

PROBLEMA 7.40 Utilizando el teorema de convolución en el tiempo, dado por (4.122), verificar el resultado del problema 7.39.[Sugerencia: ver el problema 4.95.]

PROBLEMA 7.41 Sea f ( t ) una señal de banda limitada, cuyo espectro es cero fuera del intervalo de - f M a fM Hertz. S i/ (í) se muestre a a una rata de 2 f M muestras por segundo, probar que

(O d t.

PROBLEMA 7.42 Demostrar que el producto de una señal de AM,con una onda periódica cuya frecuencia fundamental es la frecuencia de la portadora de la señal AM, incluye un término proporcional a la señal m ( t).

PROBLEMA 7.43 Demostrar que la señal DBLPS se puede demodular, multiplicando la señal por cualquier señal periódica, cuya frecuencia fundamental es la frecuencia portadora de la señal DBLPS.

PROBLEMA 7.44 La eliminación de una banda lateral en una señal DBLPS, produce una señal denominada señal de AM de banda lateral única (BLU). La figura 7.14 muestra un diagrama de bloques del método de defasamiento para producir una señal BLU. Obtener: (a ) la señal DBLPS,/¡ ( t ) , multiplicando el mensaje dado, m ( t ) , por una portadora cos coct, y (b ) la señal DBLPS, f 2(t ) , multiplicando la portadora defasada en

ir, por el mensaje también defasado en - -y n. Demostrar también qu e/ ,(í) - / 2(t), produce una señal BLU.

D efasador

Figura 7 .14 Diagrama de bloques del método de defasamiento para producir una señal B L U .

PROBLEMA 7.45 (a ) Demostrar que la señal / ( f ) = m (t ) costeoc t, donde m ( t ) es una onda periódica cuadrada, se puede expresar como la señal modulada en fase cos [cdcí + 0 (0 ]- (b ) Hallar <¡>(t).

Respuesta: si se tiene

m (í ) =1 para 0 < í < T/2

para T/2 < t < Ty m (t f T ) = m (f) ,

entonces <p(t) también es una onda periódica cuadrada, es decir,

0 para 0 < t < T/29í>(<) =

n para T/2 < t < T

m ( t ) d i « I n para todo

valor de t, se denominan señales de FM de banda angosta. Hallar la ecuación y el espectro] de frecuencia de una señal de FM de banda angosta.

Respuesta: A cos coc t - A 0 ( 0 sen <uc t ,

-4- [S(cü - g>c ) + 8 { cú + Cüc ) ] ~ [ M ( cd ~ coc) - M(co + COc) ] , 2 2ú i

donde M(<o') = ‘3r [m ( f ) ] .

PROBLEMA 7.47 Comparar y hallar las diferencias entre una señal de FM de banda angosta y una señal ordinaria de AM. (Cf., problema 7.46.)

PROBLEMA 7.48 Hallar el espectro de la señal MAP (7.79), si g ( t ) es el pulso rectangular periódico y simétrico, que se muestra en la figura 7.15. Esta señal especial MAP también se denomina señal recortada.

Respuesta: L \ a2n-i - (2n - 1)&>0) + íWIcü + (2n - l)<y0 J], con

para (2n - 1) = 1, 5, • • •

Figura 7.15 E l pulso rectangular periódico y simétrico del problema 7.48.

( 2 n - l ) r rpara (2n - 1) = 3, 7, • • • .

(Cf., problema 2.13.)

PROBLEMA 7.49 Demostrar que la función de autocorrelación promedio R (j)> es una función par de i .

PROBLEMA 7.50 . Demostrar que la derivada de la función de autocorrelación promedio de f ( t ) , es el negativo de la función de correlación promedio de f ( t ) y df/dp, esto es,

d R í í / d i = - R , d¡/ar

PROBLEMA 7.51 De dos señales periódicas f ¡ ( t ) y /2( í ) con período T, se dice que no están correlacionadas o son incoherentes, si para todo valor de z, se cumple que

* T / 2 t / 2 T / 2

= U U ) (2 { t - 1 ) d t = 1 f / j ( í ) dt x — f / , ( < ) * ;T J - T/2 T J - T / 2 T J - T / 2

es decir, la función de correlación promedio de f i ( t ) y f 2( t ) , es igual al producto del promedio de/t ( í ) y f %( t ) en un período.

Demostrar que el valor cuadrático medio de la suma de dos señales periódicas

incoherentes, es la suma de los valores cuadráticos medios de las dos señales, cuando el valor promedio de cada señal es cero

t r V o v i U - o —e t vt g - S j i o

PROBLEMA 7.52 Demostrar que el espectro de la densidad de pot'encia de una onda

senusoidaM sen c^>if ( ó 4 co seos ),e sF (co ) = -g-,42 [8 (c o~ co i) + 6(co + « i ) ] . [Sugerencia: utilizar el resultado del problema 7.20.]

PROBLEMA 7.53 Dos señales f a( t ) y f b( t ) se aplican a dos sistemas, como se muestra en la figura 7.16, siendo las salidas resultantes/,(/) y /2(r), respectivamente. Expresar la función de correlación promedioR n , d e / i(í) y/2(/)> en términos dei?ai), h ¡ (t ) y h2(t ) ,

donde f t i ( í ) y ^a (0 son as respectivas respuestas de los dos sistemas al impulso unitario.

Sistema Lineal» ! ( « ) , flj(t)

(o)

Respuesta: Rn (x ) =f M ’ Rs(j ( t + o - X )h2(o ) d o d \ .

PROBLEMA 7.54 Si la densidad espectral S 12(co), de dos funciones f ¡ ( t ) y /2 (f)> está definida por 5 i2(co) = 5 [F j2( í ) ] , demostrar que para los dos sistemas del problema

7.53, se cumple

S,2(co) = Hx(«u)írí(a>) Sa6 (tu),

donde Sab(u ¡) es la densidad espectral de fa( t ) y /fe(r ); H x(co) y H 2(co) son las funciones

respectivas de los sistemas.

í b ( t ) Sistema Lineal í 2(f>H 2( co), h2(r)

(b)

PROBLEMA 7.55 Hallar la función de autocorrelación promedio, de la salida del

circuito para bajas frecuencias que se muestra en la figura 7.13, cuando la entrada tiene una función de autocorrelación promedio de la forma Rxx ( t ) = ^ ® K e -Q' " -

Respuesta: R (x ) =b*aK

2 (ó2 - a 2)donde b =

RC

PROBLEMA 7.56 El coeficiente \ a K , de R xx(z ) del problema 7.55, ha sido seleccionado de tal manera que la entrada tenga una densidad espectral K cuando co = 0. Luego, a bajas frecuencias la densidad espectral es la misma del ruido blanco. Demostrar que cuando a > l/ R C -b , el resultado del problema 7.55 se aproxima al resultado (7.148) del ruido blanco.

[Sugerencia: expresar R vv( i ) como

R ,, . bK■ -b( T ) = _ e

L (l - b2/a2)• ]

PROBLEMA 7.57 Sea F (co ) = R (co) + j X ( co), la transformada de Fourier de una función real /(/), y F { co) la transformada de Fourier de f ( t ) , donde /(/) está definida

por

[* (*> ) cos cot + R{co) sen coi] dco .

Demostrar que (a ) la relación entre f ( t ) y f ( t ) es

1f ( f ) = — J J /(x) sen co{t - x ) dxdco;

(b ) la relación entre F (co) y F (co ) es

F (co) = - j sgn coF(co).

[Sugerencia: (a ) utilizar 4.19-20; (b ) sustituir

Figura 7 ,16 Los dos sistemas del problema 7 5 3 .

R (o j) = - [F (co) + F (-co )l y X (co) = i [F (co) - F (-co)]2 2;

en la definición de/ (r), y observar que f ( t ) = — f F ico) e ' a< da¡. [V erlos probl

6.50 y 9.55.]

PROBLEMA 7.58 La señal analítica f +( t ) relacionada con la señal real / ( í ) está defi

por

/ + (* )= f ( í ) + i h o .

donde / ( f ) es la señal definida en el problema 7.57. Demostrar que si J [/+( í ) = FJcd),

entonces

2 F ((o ), ú> > 0F + ( o ) = 2 F {co) u (cú) =

0, co < 0,

donde u (co) es el escalón unitario.

PROBLEMA 7.59 Hallar la señal analítica relacionada con la señal / (O = cos cot. [Sugerencia: ver el problema 6.51.]

Respuesta: /+( f ) = cos tot + ; sen cot = e

PROBLEMA 7.60 Con frecuencia es conveniente representar una señal real arbitraria

f ( t ) , como una senusoide de la forma f ( t ) = A ( í ) cos 6 ( f ) , que es una onda modulada en amplitud y en ángulo; en esta expresión,/! ( t ) se denomina la función envolvente,

9 ( t ) la junción de fase, y to¡ - dd{t)/dt la frecuencia instantánea de la señal /(?)• Sea f { t ) la señal definida en el problema 7.57; entonces la función envolvente A ( t) se puede

definir mediante

A M . « 4 —

eos ítan 1 [/ (í )/ / (0 ]l

y la función de fase se puede definir mediante

0 ( í ) = tan"1 [f ( t )//(!)]•

Utilizando las anteriores definiciones, expresar f ( t ) = A sen cot, donde A y co son constantes, en la forma de una senusoide modulada en amplitud y en ángulo.

Respuesta: /( f ) = A cos <uí - .

PROBLEMA 7.61 Hallar la frecuencia instantánea de la señal f ( t ) = 1/(1 + t2).

[Sugerencia: ver el problema 6.5 l(b ).]

Respuesta: co¡ = 1/(1 + t 2) .

8APLICACIONES A CAPITUL0 PROBLEMAS DE VALOR

EN LA FRONTERA

8.1 SEPARACION DE V A R IA B LE S Y S E R IES DE FO U R IER

Muchos problemas de valor en la frontera que se encuentran en las matemáticas de ingeniería, se pueden resolvet adecuadamente por el método denominado "separación de variables” . Se üustrará la esencia del método pot medio de ejemplos particulares.

PROBLEM A 8.1 Considérese la siguiente ecuación que regula las vibraciones transversales pequeñas de un cordel elástico que se estira a una longitud l y luego se

fijan sus extremos: ||

0 _ J , o (g . ! )

donde u (t, rr) es la deflexión de la cuerda, y c 2 - T/p, donde p es la masa de la cuerda

por unidad de longitud, y T la tensión de la cuerda. La ecuación (8.1) se conoce como la ecuación de onda cn una dimensión, las condiciones de frontera son

u (0, Ó = 0 y u ( l , t ) = 0 para todo valor de t. (8.2)

ufx.O } - / < * ) , y *<*>- (8-3)ó t u

Hallar la solución u (x , t ) de la ecuación (8.1), que satisfaga las condiciones (8.2 ) y {8.3).

Solución : primero supóngase que la solución u (x , ! ) de la ecuación (8.1) será de

!af0nna u (x , t ) ■ X { x )T ( t ) , (8.4)

que es el producto de dos fundones, una de las cuales depende sólo de la variable x y la

otra sólo de la variable t. Mediante diferenciación de {8.4), se obtiene

X " (x )T ( r ) y (8.5)

donde las primas denotan diferenciadón con respecto al argumento de cada factor. Sustituyendo (8.5) en la ecuación (8.1), se obtiene

X " (x ) T ( f ) = ~ X (x > r'(< ). (8.6)

Dividiendo p o r * (x ) T U ). y luego separando las variables una a cada lado de la ecuación,

se obtiene

• W M ■ r W - ' / T - m ' " \ - ^ / )) ' X (x ) . C 1 T (f) 1 ; . (8-7>

¡fp ó ra bien, eí primer miembro de la ecuación (8.7) es independiente de 4'Jf;jpor oonsiguien el segundo miembro también lo es; el segundo miembro es independiente de x , y así misma debe ser el primero. Por tanto, las expresiones del primero y del segundo miembro de la ecuación (8.7), deben ssr iguales a una constante, independiente tanto dé x como de t.

O l> _ O I . . * * (8-8>• ' x .íx f/ v t » . ' v - |; • . . . * f

( 8.8) o snduce a los e. aciones difen nc alí linc ales a dir ar asX " (x ) + k2X ( x) , . 0, (8.9)

T " ( ! ) + c 2í * r ( r ) - 0.

l ! ¡ j j § ¡ | se determinan las s o to c k ) í& & ) * T ( t ) de las ecuac tal manera que « (x , í ) = X (x ) T { t ) , satisfaga las condiciones (8.2) generales de (8.9) y (8.10)

■ X (x ) <= Á eos kx 4 B sen kx, ' (8.1.1)

: ' . " T ( i ) C eos kct 4 D sen kct. (8.12)

Según las condiciones de frontera, dadas por (8.2), se tiene

/; . . ' W(o , o - x ( o j r í o * o- . ;Aquí se tiene el producto de dos términos, el cual es igual a cero. Puesto que T (t )M p l t

ro, entonces X (0 ¡| eb e ser igual a cero. Análogamente, la segunda

V ' lH s . . « (/ . O = X (1 )T (! ) 0 ” " :5; “ 1 . . : ” ,:f

gal <810>iones (8 9 )y (8.10). de > í * 3 ) Las soluciones

ca que X ( l ) = ü.Por X (0 ) * 0, se concluye que

X (0) - A cos 0 + ¿f sen 0 - A - 0: (8,13)

X fx ) B sen *x.

Por la ¡ ion

. V " '•=“ *««:*-, ,.j A (0 “ * sen « = 0. i

Pero s íj 5 = 0, X { x ) = 0, y por tanto, a (jc, í ) = 0 . Ésto . dadas por i 8.3), de que a (x , 0 }= / (x ) * 0, Por.

- sen */= 0,1

l l B i n - 1, 2, (8.14)

r X ( * )= X M(x),<

(8.15)

íÉfisolución ( 8.12) ¡

r«w) - c „ e o s . - - t + e . sen ™ £;: (8.16)

*sr tanto, las funciones l; f ~ - i . .•=

“ ,>(x, 0 = X „ (x ) Tn( t ) = sen /e* eos í ■* F„ sen c'” ” ¿j (8.17)

a n las soluciones de la ecuación (8.1 % que satisfacen las conáícionés.de frontera dadas por dt?) En la expresión (8,17), los coeficientes En y (? „ todavíano hanrido determinados, f

p i rpr r q u e ^ C„ y .V)- T 7 ^ - . ^ : — ^Evidentemente, la sola solución 1% dada en (8.17), rio satisfáeeeá, erí general, ;■

fecondic; nes iniciales dada por (8 ) ( >molaect tejón (8 l ) es lineal, s¿ > ns derala

Kñe infmitá■mr n::-' .

S i l É l

S ¿o ra se requiere que (8 .18).satisfaga las condiciones iniciales dadas en (8:3), se «■cuentra que los coeficientes En y F n deben satisfacerlas ecuaciones' !

: frp c ,S );% ;^ ;S%."sen (8.19)

1 W M w m sen s m M ( 8 .20 )

La ecuación (8.19) muestra que los coeficientes E„ deben ser escogidos de tal manera que m(x, 0 ) sea la expansión de f ( x )m - una serie de Fourier en términos de senos (ver la ijPÍÍj-k

mcáóú 2-3)í.-és decir,: M iBís0§f;zW Í£§ § § i | H S M-.. = -i"

'^Íp:Í®S:I*|^5sS ‘ 1 í®-2lb :

Análogamente, la ecuación (8.2Ó) indica que los coeficientes Fs se deben escoger de tal manera que 3 u ft ,x )/ b t f t-Q seala expansión de g (x ) en una serie de Fouriér en términos

de sétiq^b|;8éBfr,:; ____^ _____________________—- _ ..... .......

’ M USp'ni-MM:¡ÍÍ^

I S m l m

• : FaaaSE -SS-:g (x ) sen —í¡- dx

2 íCn* Á :(8.23)

Por .tanto, la. solución deseada es-la (8.18), donde Los coeficientes En % F.„ son los dados

por (S.2 I ) y ' :1 - • ^ ’ ••

PROBLEM A 8.2 Hallar la solución de la ecuación (8.1), con las condiciones de frontera dadas por (8.2), pero con deflexión inicial triangular (figura 8.1) y velocidad

inicial cero;

r2 k

u(x, 0) = t (x ) =

para 0 < x < - l l v 2

2 k 1— (/ - x) para - l < x < l ,

(8.24)

f(x )

Figura 8.1 Deflexión inicial triangular.

d u (x , t )

dt= é 00 = o. (8.25)

Sol ución: puesto que g (x ) = 0, entonces, por (8.23), se concluye que, F n = 0. Por elresultado del problema 2.19, se observa que los coeficientes En de (8.21), están dados por

(2.63); es decir,81c rtn sen —

Por tanto, la serie de Fourier de f ( x ) en términos de senos, está dada por (2.64); es decir.

. .. 8k i nx 1 3 77 x 1 5,tx \

ü (x '0 ) = V {senT ~ y * n - r + y * n ~ ’)•

Luego, por (8.18), se tiene

8k ( nx c n l 1 3ttx u (x , f )= — sen — cos — -s e n -----

tí \ l l 3J l3c n t

I(8.26)

8.3 En el problema 8.1. si « ( * , 0 ) - / { * ) , pero 3 u (x , f ) / a / | , ,0 ueniostrar que la solución de (8.1) se puede expresar como

u (x , t ) - * í , ( x ~ c t ) 7 i í,(x ■ Cf) .

donde /, ( * ) es la extensión periódica impar de /<*), siendo el período 2 /. Dar, así la interpretación tísica de Í8.27).

So lu ción : la solución general de la ecuación (8.1) está dada por (8.18); es decir.

r (x , f ) = £ s e n ^ ( E n c o s ^ i - r F„ Cfl77f/

[8.18]

Puesto que la velocidad inicial g (x ), es cero, por (8.22) se deduce que los coeficientes Fn son cero, y la expresión (8.18) se reduce a

nn x ennt cos ------- . (8.28)

Utilizando la identidad trigonométrica

sen A cos B = - [sen (A - B ) + sen {A + £ )],

! sigue que

n 77 x cn 771 1sen ----- cos = -

l 1 2sen y (x - c f ) + sen y (x + c f)

f(x )

Por tanto, se puede expresar (8.28) en la forma

“ (x. 0 - - ¿ E n sen y (x - c f ) + I £ En sen ~ (x <■ Cf). (8.29)

n=1 n=iComparando con (8.19), se concluye que las dos series anteriores son las obtenidas sustituyendo ( x - c t) y (x + ct), respectivamente, por la variable x en la expansión de f ( x ) , dada por (8.19). Por consiguiente,

u (x , í )= ~ fl( x - c t ) + i f ,(x + cf),

donde/,(x) es la extensión periódica impar de/(x), siendo el período 21, el cual se muestra en la figura 8.2.

La gráfica de f x (x c t) se obtiene de la gráfica de f i (x ), desplazándola c t unidades a la derecha (figura 8.3). Se reconoce, así mismo, que es posible permanecer en un valor particular de la función conservando el argumento, x - c t , constante; es decir, con movimiento en la dirección x positiva y velocidad c mientras t aumenta. Esto significa que /i (x - c t), (c > 0 ) representa una onda que se propaga hada la derecha. Análogamente / i( x + c t ) representa una onda que se propaga hacia la izquierda con velocidad c. Por consiguiente, la solución u (x , t ) es la superposición de estas dos ondas.

Sol lición: supóngase que la solución de la ecuación (8.30) es de la forma

u (x ,y ) = X (x )F (y ) , (8.33)

donde X (x ) es fundón de x solamente, y y (y ) es función de y solamente. Si se sustituye (8.33) en (8.30), se obtiene

X 'X x )Y (y ) + X (x )Y " ( y )^ 0 . (8.34)

Dividiendo por X (x ) y ( y ) y separando las variables, se tiene

X " (x ) Y " (y ) n

* 0 0 + ñ y ) (8 ’35)

X " ( x ) _ Y " ( y )

X (x ) Y (y ) ' (8,36)

El primer miembro de la ecuación (8 3 6 ) es independiente de y , y por consiguiente, el segundo miembro también lo es. El segundo miembro es independiente de x , y el primer miembro también debe serlo. Esto significa que las expresiones en ambos miembros de la ecuación (8.36), deben ser independientes de las dos variables x y y , e iguales a una constante. Si la constante de separadón se denota por k2, entonces,

X " (x ) Y " (y )

X (x ) y (y )= k2. (8.37)

El signo de la constante de separación se escogió de tal manera que las condiciones de frontera pudieran ser satisfechas. La ecuación (8 3 7 ) conduce a las dos ecuaciones diferenciales lineales

X " ( x ) - k 2X (x ) = 0, (8.38)

y " ( y ) + k2Y (y ) = 0. (8.39)

Las soluciones generales de (8 3 8 ) y (8.39) son

X ( x ) = A e kx + B e~kx,

y (y ) = C cos ky + D sen ky.

(8.40)

(8.41)

X (0 ) = A + B = 0,

Y (0 ) = C = 0, Y (b )= D sen kb = 0.

De donde,

A = ~ B , (8.42)

sen kb = 0,

de lo cual se deduce que

kb = nn ó k = — , n = 1, 2, • • • . (8.43)b

De esta manera se obtiene un conjunto infinito de soluciones Y ( y) = Yn(y ), donde

Yn(y ) = Dn sen n = 1, 2, • • • . (8.44)b

Las soluciones generales correspondientes a (8.40) se convierten en

X n(x ) = A n(e kx - e~kx) = 2A n senh kx

= 2A „senh — , n = 1, 2, • • • . (8.45)b

Por tanto, las funciones

u „(x ,y ) = Xn(x ) Yn(y ) = E n senh ^ y ^ sen , n = 1, 2, • • • , (8.46)b b

son las soluciones de (8.30) que satisfacen las condiciones de frontera (8.31). Obsérvese que 2AnD n se reemplazó por la nueva constante arbitraria En .

Evidentemente una sola solución, u „ (x ,y ), de (8.46), no satísfacerá la otra condición de frontera dada por (8.32). Dado que la ecuación (8.30) es lineal, se considera la serie

infinita

u (x ,y ) = ¿ un(x ,y ) = ¿ E n senh ~ sen (8.47)

n -l n=1

Si se aplica la condición de frontera (8.32), se obtiene

v c

b bn = l

^ cn sen n , 0 < y < b, (8.48)

, , s r, V -1 c- i n ijd n rjyu (d. y ) = "o = 2_, n sen — sen

bn = 1

donder . i Cl 77 d

c n = E n senh .b

La ecuación (8.48) es una serie de Fourier en términos del seno, y los coeficientes cn se pueden determinar como [ver (2.51)]

c „ = i r b X

sin embargo,

f 4 Ua . ,nrry . 2U0 , , . ' n = 1, 3,

UQ sen ------ dy = ----- (1 — eos n n ) = < nnb nn

|0, n = 2, 4,

nn d

y por consiguiente,4£/_

En = -------------------T, 0 = 1 ,3 , 5, , (8.49)

nn senh í~~~~ j

lo cual se puede sustituir en (8.47) para obtener la solución deseada:

senh/ \ V 1 1 \ ó / nr,yu (x ,y )= - ) --------------------------sen —- ( 8 . 5 0 )

n < n , nnd\ bn =odd senh ,

h

En esta sección se han obtenido soluciones formales >

(fiferenciales parciales, lineales y de segundo orden, que satisfacen tas condiciones iniciales y de frontera dadas, pero no se ha demostrado que las soluciones obtenidas sean únicas. Dado que la prueba de unicidad es complicada, e infortunadamente no existe un teorema general al respecto, no se probará la unicidad de las soluciones obtenidas en esta sección, ; ni en

8.2 VIBRACIO N

8.1. En las páginas gruientes se aplicará la técnica del análisis de Fourier a varios problemas de vibración.

PROBLEMA 8,5 La ecuación que regula las vibraciones transversales pequeñas de una membrana, está dada por '

/ s isf i Ü É í m t t i

(8.51)

tkm d eu (x ry , f ) es la deflexión de la membrana, y c 2 ~T/p , siendo p la masa de la membrana porünidád-de área, y T ía tensión de tamembrana. La ecuación (8.51) se denomina ecuación dé ondeen dos dimensiones. Considerar la membrana rectangular de la~ figura 8.4 y hallar la solución dé (8.51) que satisface la siguiente condición de H

:enla frontera de toda la membrana y para todo valor de i\ lf :

M É m l M M :

estoes, l ™ : . - •• •• • ■ i s = |

FSjSSiigii p "

w & w ¡ y m í í - í

:d t t { X , y , t )

IIhI Ipil = á (x ,y ),

(8.53)

(8.54)

donde f ( x , y ) y g ( x , y ) son;el desplazamiento y la velocidad inicial de lá membrana; fj|jj respectivamente. § § | p s ílll| | !!p s i!= í§ !

: Stí |Éei: 6'éí.s» ' supón^e que la solución dé'(8*,S3'j.-es;de :1a ttítma ' :... -Ü i ;i i : - i i i

: !ji w(* » y» O - T (í ) . ‘i- (8.55)

Figura 8 .4 Una membrana rectangular.

O í ) - - A » . O l ) ,

flü iilililílSlieinfaro de (8.59) depende sólo-de x , mientras qúeei > de>>, las exprestortes de ambos miembros deben ser debe ser negativa (de. otra manera las condiciones de

:bas¡í % dntonces'^se tiró* L i

a las siguientes ectiadones diferenciales; ;l||p í

i i i lS i i l i i l llliB iP IIilá

ililllllplil. llliit ■■Las soluciones generales de (8.58), (8.60) y (8.61) tienen lás formas

¡lllliilliÍ§llllÍÍÉ¡tÍ COS-8ÍÍÍÍ IÜ sen * ,*< ÍÍI!lÉí

Análogamente Y (0 ) C = 0 y Y ( b ) - D sen kyb = 0; de donde.

kyb - - n * o ky = t J ' « 1 . Í •••

De esta manera se obtienen lus soluciones

=8 §£ v , , d m ny- , ~# « ( * ) ' Bm sen — m 1 , 2 , - - - ,

Kn(.v) D „ s c n ' ^ , n - 1, 2,

Puesto q u e *2 - fc 2 i - * 2,

k ‘ -

* ? » £ * * .......! ,7* fl' V :

y la solución general correspondiente de (8.58) es

T , „ ( r ) Em„ e o s * , „ „ c f * H sen * mnc r .

Se sigue que las funciones

umn(x,y,l) X ^ Y ^ y i T ^ t )

cos * m„ct * Hmn sen kmnc t ) sen m n- sen — ,O

donde m = 1. 2, • • • , « “ 1, 2, • • •, y con * m„ dada por (8.68), son soluciones de la ecuación de onda (8.51), las cuales son cero en la frontera de la membrana octangular de

la figura 8.4. Ahora se deben evaluar las constantes arbitrarias Gmr¡ y H m„Para obtener la solución que también satisfaga las condiciones iniciales (8.53) y

(8.54), se procede en forma análoga a la utilizada en el problema 8-1.

Considérese la siguiente serie doble

u (x ,y ,f ) | . y, 0

;::C " • ] T (G '"" c'os * » » tfr • scn * n sen n ” y.. ' . i i : : : ’ : i : :. : l ; ;; _ j f i i . ¡ B : . /§

Por (8.70) y (8.53). se tiene

u (x ,y ,0 ) - / (x .y ) “ ¿ ¿ «en * n 8‘75*(p »i n »j

La serie (8.71) se denomina serie doble de Founer, y representa a f ( x , y ) en la región 0 < x < a . y ( ) < y ')en (8 .71),se

pueden determinar como sigue:Si se hace

/„.<>} 2 2 Gmn x n " ’ íg -7?)

fomia -

/ (a ,y ) ¿ /.,(>) sen m^ . (8.73)

'4) en (8.75). se;

PROBLEMA 8.6 Hallar la solución de (8.51), con las siguientes condiciones de frontera y condiciones iniciales:

u(x, y, í ) = 0 para x = 0, x = a, y = 0, y y - b,

u (x ,y , 0) = xy (x — a ) (y — b),

du

dt= 0.


u (x , y, t )= ^ ^ (Gmn cos *mnc í + Hmn sen * mnc í) sen — — sen .

m =1 n = 1

si se hace í = 0, se tiene

u (x ,y ,0 ) = ^ Y ] G'”/>/n rr x n ff-y

sen ------ sen .a b

De acuerdo con (8.76), se tiene

4r , H f C “ , n m n x n n y , ,~ I u (x ,y , 0) sen ------- sen — - dx dyab J 0 Jo a b

- — f x (x - a ) sen m-—* dx í y (y - 6) sen ^ dy J0 a J0 6

= “ - ¥ i [ ( - i r 11ab m ti n ir

Í64a2 b2 . si n y m son impares

J ff6m3n3

0 de otra manera.

Puesto que bu/bt|f=0 = 0, y de acuerdo con (8.78) ,H mn = 0, la solución final es

64a2 ó2 i v—i 1 , . m n x nn y

- E l ; ................m=impar m=irapar

donde k2mn = (jnn/a)2 + (nn/b)2.

, ... 64a2 ó2 v—i v~i 1 , , m n x n n y« ( x < y . 0 = ------------- > / ~ T T c o s * ® " c í ^ ------- s e n -----------■ ( 8 - 7 9 )

w6 Z—< Z—i m n a b

PROBLEM A 8.7 Las pequeñas vibraciones transversales libres, de una viga uniforme

sujeta por un extremo, que se extiende a lo largo del eje x , está regulada por la ecuación

de cuarto orden<7*u(x,í) 1 d2u (x , t )

dx4 c 2 d t2= 0, (8.80)

donde c 2 = E I/ (p A ), E = módulo de elasticidad de Young, I = momento de inercia de la

sección transversal de la viga, p = densidad, .4 = área seccional. Hallar la solución de(8.80) que satisface las siguientes condiciones;

u (0 ,0 = 0, u (/, f ) = 0, (8.81)

d2u <Eu

3 x2= 0, (8.82)

K = l

u (x, 0) = x(/ — x ), (8.83)

da

d t= 0 .

t=o

Solu ción : supóngase que la solución de (8.80) será de la forma

u (x , t ) = X ( x )T ( t ) . (8.85)

Sustituyendo (8.85) en (8.80), se tiene

X<4> (x ) r ( í ) + X (x ) T " ( t ) .= 0.

Dividiendo por X ( x ) T ( i ) y separando las variables, se obtiene

X<4>(x) 1 T " ( t ) (8.86)X (x ) c2 T ( t )

Puesto que el primer miembro de (8.86) depende sólo de x , y el segundo miembro depende sólo de t, las dos expresiones en ambos miembros, deben ser iguales a una constante. La constante, por ejemplo k * , debe ser positiva, por consideraciones físicas; en particular, para hacer a T ( f ) oscilatorio. De esta manera, se obtienen las dos ecuaciones diferenciales ordinarias

X (4>(x ) - kAX (x ) = O, (8.87)

T " ( t ) + c2k, T ( t ) = 0. (8.88)

Las soluciones generales de (8.87) y (8.88) son

X (x ) = A eos h f B sen kx i- C cosh kx i D senh kx, (8.89)

T ( t ) = E eos k2c t -r F sen k2ct. (8.90)

Ahora bien, por las condiciones de frontera (8.81), se obtiene

X (0 ) = 4 + C = 0, (8.91)

X (/ ) - A eos k l t- B sen k l + C cosh kl + D senh k l = 0. (8.92)

Puesto que

X " (x ) = ~k2 (A eos kx t B sen kx - C cosh kx - D senh kx),

utilizando las condiciones de frontera (8.82), se tiene

" (0 ) ~k2 (A ~ C ) = 0, (8.93)

X " ( l ) - - k 2 ( A eos k! + B sen kl - C cosh k l - D senh k l) = 0. (8.94)

Por (8.91) y (8.93), A + C = 0 , A - C = 0, y por tanto, A = C = 0. Entonces, por (8.92) y (8.94), se tiene

B sen k l ■ D senh k l = 0,

B sen kl ~ D senh kl =■ 0,

y por tanto,

B sen k l = 0, D senh k l = 0.

La segunda condición da D = 0, dado que si senh kl = 0, entonces k = 0, y por tanto,X (x ) = 0, lo cual daría una solución trivial. Entonces, por la primera condición,

sen k l = 0,

esto es,

k l= n rr - o k = ~ , n = 1, 2, • • • . (8.95)

De esta manera se obtiene el conjunto infinito de soluciones X (x ) = X n(x ) ; es decir,

„ , . „ n ir x _Xn(x ) = B n sen - y - , n = 1, 2, • • • . (8.96)

Puesto que

r '(< ) - k‘ c (- E sen k2ct + F eos k2ct),

por la condición inicial (8.84), se obtiene

T ‘ (0) = k2c F = 0.

Por consiguiente, F = 0, y las soluciones correspondientes Tn( t ) se convierten en

T I ' ° 2 ^ C Íi n(0 = E a eos — -— . (8,97)

Por consiguiente, las funciones

un(x, t) = X n(x ) r n(t ) = hn sen — - eos — ( 8.98)/ l 2

donde bn = BnEn, son las soluciones de (8.80) que satisfacen las condiciones de frontera(8.81), (8.82), y la condición de velocidad inicial cero, dada por (8.84).

Para satisfacer la condición inicial dada por (8.83), se considera

u (x , t ) = ^ un(x, f)

n-1

V * l n n x n 2 7T2 C t n n \= ) bn sen eos — -— • (8.99)A -< l rn = l


u (x ,0) = x ( l - x ) = ¿ bn sen (8.100)

n= 1De esta manera los coeficientes bn son los coeficientes de Fourier en términos del seno,

de la función x ( l - x ) , y están dados por

H íón = 7 | x ( l - x ) sen —y — dx

f 8 /2——- para n impar

lo para «par.

(8. 101)

La solución final es, por consiguiente,

. A 8 12 v - i 1 n n x n2 n2 c t .0 A*.u (x, 0 = — ) — sen eos — - — . (8.102)

n3 i—i n l lpi=impar

i se considerará la vibración de una cuerda infinita; en este i de frontera, pero sí se tienen condiciones iniciales.

PROBLEM A 8.8 Determinar el desplazamiento u (x , t), de una cuerda infinita con velocidad inicial cero. El desplazamiento inicial está dado por f ( x ) , para - 00 < x < °°.

Solución : la función u (x , t ) satisface la ecuación de onda de una dimensión

(* . 0 _ 1 d2u (x , t) = Q [g* dx2 c 2 d t2

y las condiciones iniciales

u (x, 0) = f (x ) , (8.103)

d u (x , t)

d t= 0. (8.104)

f-0

Procediendo como en el problema 8.1, se sustituye

u (x , t ) = X (x )T { t )

en la ecuación (8.1), lo cual conduce a dos ecuaciones diferenciales lineales

X " (x ) + k2X (x )^ Q , (8.105)

T " (.t ) + c 2k2T ( t ) = 0. (8.106)

Las funciones

X (x ) = A cos kx + B sen kx,

T ( t ) = C cos kct + D sen kct

son las soluciones de (8.105) y (8.106), respectivamente.

Utilizando la condición inicial (8.104), se obtiene

r ( 0 ) = k cD = 0.

De donde, D = 0, y

u (x , f; k) = (F eos kx + G sen kx) eos kct (8.107)

es una solución de (8.1) que satisface la condición (8.104).Cualquier serie de las funciones (8.107), hallada de la manera usual, tomando k con»

múltiplos de un número fijo, conduciría a una función que es periódica en x cuando t = Q Sin embargo, como f ( x ) en (8.103) no se supone periódica, es natural usar la integral de Fourier en el presente caso en vez de las series de Fourier.

Puesto que F y G en (8.107) son arbitrarias, se pueden considerar como funciones de k, y expresar, F = F (k ) , y G = G (k ). Como la ecuación de onda (8.1) es lineal y homogénea, la función

u (x , í ) = f u (x , t ;k )d k = f [F (k ) eos kx + G (k ) sen kx] eos kct dk •'o Jo

también es solución de (8.1). Por (8.103), se tiene

u (x , 0) = f (x ) = f [F(/r) eos kx t G (k ) sen kx] dk. Jo

Ahora bien, por el teorema de la integral de Fourier

l ( t ) = ilS lLse puede expresar

/(x) = -

{ (x ) eos (o ( í — x) dx

dk

deo,

í (y ) eos k (x - y ) c?yj

í (y ) (eos kx eos ky + sen kx sen ky) dy | dko :*í t“sfa£f (y ) eos ky dy + sen kx I f ( y ) sen ky dy

I

(8.108)

( 8 .1 0 9 )

1 4 .1 2 ]

(8 . 110)

dk. (8.111)

Si se hace

F (k ) = i J~ f (y ) eos ky dy, G (k ) - - ( /(y) sen ky dy,ILentonces la expresión (8.111) se puede expresar en esta forma;

f ( x) = f [F (íc ) eos kx + G (k ) sen kx] dk.Jo

Comparando (8.112) y (8.109), se puede expresar (8.109) como

u (x ,0 ) = /(x) =


U {x , t )= i

s n c /(y) eos k (x —y ) dy

i (y ) eos k (x - y ) eos kct dy

dk.

dk.

(8 . 112)

(8.113)

3.114)

Mediante la identidad trigonométrica

cos k (x - y ) cos kct = i [cos k (x + c t - y ) + cos k (x - ct - y )],

la ecuación (8.114) se convierte en

dk/(y) cos k (x + c í - y ) dy

+ ^ ^ J f |^J / (y) cos * ( x - c í - y ) dy

Si se reemplaza x por x ± c t en (8.110), se tiene

— ü i j ; / (y) cos k (x ± c í - y ) dy

dk. (8.115)

dk.

y comparando esto con (8.115), se obtiene

u (x, 0 = - /(x + c í ) + ~ /(x - c í ) (8.116)

que es la ecuación ya conocida, de las ondas viajeras (ver el problema 8.3).

¡ anteriores se ha tratado el par de transformadas de Fourier,/(í) y i cuales denota una función del tiempo, y la segunda una función í

de la frecuencia. El uso de la transformada de Foúiíer no está limitado, bajo ninguna razón, a los dominios de tiempo y frecuencia. Si las funciones/ (jc) y F (s ) forman un

'párde'toaábnaadas^ - i

¡ 1 < W 1 7 )!

f ( x ) » T ' lF (s )l = — f F (s ) e ' “ ds. (8.118) i2 " L .

En el siguiente ejemplo se aplicará la técnica de la transformada de FourieT, para resolver

(8.119)

PROBLEM A 8.9 Utilizando la transformada de Fourier resolver nuevamente el problema 8.8.

So I uci ón : sea la transformada de Fourier de la solución u (x , t) con respecto a x, la dada por

U (s , f ) = J [u (x , í ) l = I u (x, í ) e~’sx dx;

entonces,

u (x, í ) = T ' [U (s , f)j = j - J V (s , t) e ’sx ds. (8.120)

Se supondrá que las soluciones u (x , í ) y bu (x , t)/dx, son pequeñas cuando |x | se hace grande, y tienden a cero si x — * ± °°.

Mediante integraciones parciales sucesivas se encuentra que la transformada de Fourier es

? [uXJC(x, t)l = u*x(x, 0 e~’BX dx

Mx-eo)e~JSX dux(x , t)

= e~>sx ux(x , t) + is J* ux(x , t ) e ~ 's dx

= jsfJ< *=-<«)

e-ís* du (x, i)

= ;'s e~ 'Sít u (x, 0

= - s 2 U (s , í)

~/s (~ js ) J ' u (x , i ) e“ ' sx dx

( 8. 121)

dado que nx(± t ) = u (± « , í ) = 0.

La transformada de Fourier de u tt(x , t) es (puesto que se está tomando la transformada con respecto a x )

? lu «(x , í)] = J* “ í/(x , i ) e-/sx dx

¡92 f ° °— I u ( x , t ) e ~ ’ sx dx

d t2

= ¡/„(s, 0- (8.122)

Aplicando ahora la transformada de Fourier a la ecuación de onda (8.1) y por (8.121) y (8.122), se obtiene

- s 2 V ( s , t ) - -± í/t((s , 0 = 0,

d2U (s , í ) , , ,,— + s 2c 2 ¡7 (s , í ) = 0 (8.123)

que es la ecuación de la transformada U (s, t).La solución general de (8.123) es

U (s , f ) = A (s ) e isct + B (s ) e - 'scí, (8.124)

donde A (s ) y B (s ) son constantes con respecto a t. Aplicando la transformada de Fourier a las condiciones iniciales (8.103) y (8.104) se obtiene

U (s , 0) = J [u (x ,0 )] *= j u (x, 0) e~lsx dx

Li (x ) e~lsx dx

= F (s ) , (8.125)

U,(s, 0) = ? [u ,(x , t) | (=Q ] = 0. (8,126)

Por las relaciones (8.125) y (8.126), A (s ) y B (s ) de (8.124), se pueden evaluar ahora, de la siguiente manera:

F (s ) = ¡7 (s ,0 ) = A (s ) + B (s ), 0 = ¡7t(s ,0 ) = js c U ( s ) - B (s )].

Resolviendo A (s ) y B (s ) en estas dos ecuaciones algebraicas, se obtiene

4 ( . ) - * ( * ) - l- F ( « ) .


V (s , t ) = ^ F (s ) e 'scl + | F (s ) e~lsc'. (8.127)

La solución deseada u (x , t ), es la transformada inversa de Fourier de U (s , t), en particular,

t » (x , í ) = ? "* [£ / (* ,/ )] = \ 3r - , l F ( s ) e 'se,l + l 5 - ‘ [F (s ) e - ' SCIl. (8.128)

Por medio de la propiedad de desplazamiento en el tiempo, dada por (4.73), se tiene

íF“ ‘ [ F ( s ) e 'sc' ] = / ( x + cO, (8.129)

[F (s ) e” '5C'l = í (x - c t). (8.130)

De esta manera,

u (x, t ) = i /(x + c t ) + i f (x - ct)

que es el mismo resultado obtenido en (8.116).

8.3 CONDUCCION DE CALO R

El flujo de calor en un cuerpo de materialpor la ecuación del calor

de h (x , v, z , í ) es la temperatura del cuerpo, y c 2 ~ K / (pa ), siendo K- la conductividad líca, o el calor específico, y p la densidad del material del cuerpo. El laplaciuno de u 2 « , y en coordenadas rectangulares se puede expresar como

*• '(*> 7X0

J a í ^ u d ó n J e n e r a L s d á I ; ; ; - ; ; ; ! ; ; ! ; : ; * j ; 1 1 1 1 1

jiiii¡liiPi!iiiIr i;: *<*>* * s *-*•pilcando la "condición de froníerá(&.134), se obtiene

Resolviendo pára.sd y B, se tiene que A = > -B ~ 0. Dejes&riiaiiera jT ( * )= 0 , jrjll» consécueiicia, w (x, 0 = 0, lo cual da una solución trivial. Por tantopÍ§f|í§ldo K =

L * * I i?X ( * ) c* T ( 0 ’

y de aquí se obtienen dos ecuaciones diferenciales ordinarias

X " ( x ) - * * £ ( * ) = 0 , 1 0

Las soluciones generales de (8.140) y (8,141>són

X (x ) = A eos kx B sen kx, (<

m

k i * an ó ir-- T , « - 1 , 2 , (8.144)

asilas soluciones de (8.140), que vastaron la condic

SS Bnsen~, n=l,2;... .(8.134).

(8 .1 45 ).

= C „ e “ X" ‘ , «--- 1, 2, (8.146)

donde bn = son las

«„ (x , oIg§|T„(t) = 6„ e~iji sen ¡gg §j¡¡¡gf |§ § de calor (8.133) que sati. de la i

(8.14?)

mía

u ( x , 0 -.^ 7 un(x , í )

u (x ,Q ) (<x) = ¿ sen

(8.148)

(8.149)

Por tanto, para que (8.148>satisfaga la condición (8.135), los s escogidos de tal manera que (8.149) sea la expansión «n series i del seno d e / (x );.

. hn deben ser

¡ 6 . . : j f

l l : ¡ l Í | l l Í I | l l ¡ - I Í ¡ l l |

¿ p illa n es de la «ftíációll-de calor ! upa bárra-que se e*3eqde tetra d de la vibración de una cuerda íínfiSÍfá

| PROBLEMA 8711 Hallar la distribución de temperatura « ( * , í m el caso de infinita. La distribución inicial de temperatura está dada por f ( x ) para - * < ;

_:la íuacíóD;«|k,.t}/saíisfacela:e¿uacióii ;• H¿.

éx * ’ ' c* d t • ••

, .yiéífíbtiákáMh ímciiS jes., -

I I - ! * ; * ' iC 'L * .*tó£ai 1 ¡ ¡ <::

moen el problema >-,.10. se reemplaza

P w ¡8 j

De está npterávpor ||*i56)i se jc jie ! f|

| | Í Í Í j j j g | § ¡ cos k (x ~ y ) e - cífc' f rfyj dk. (8 .159

Suponiendo que se puede intercambiar el orden de integración, se obtiene p ip n jB p iil i

u (x , t ) - - J /(y ) j y e - ' 1** ' cos t ( * - y ) d * l dy. (8.160)

Para evaluar la integral interiorsépfocede como sigue: S p s s l í| j| - l ;l§ s jp i s ^ i s

üijilStli: tabla de fórmulas de integialesse obtiene

IRIntroduciendo una nueva variable de integración sise hace s =cky/7,yse selecciona

la )óim úia|8íl6í )?

i r cSfcí' eos k(í~yydk l i p i l i 2c V i

Reemplazando (8.162) en (8.160), se obtiene

u (x , 0 = — f " f ( y ) e - ' ’t- ^ 2/<4cít> dy. (8.163)2c v » í

Introduciendo la nueva variable de integración, <? = ( x -y )/ (2 c \ / í ), la ecuación (8.163)

se puede expresar como

u (x , í ) « 4 = r f (x ~ 2 cqs/T) e - ,> iv » J L ,

(8.164)

(8.165)

PRO BLEM A 8.12 Utilizando la técnica de la transformada de Fourier, resolver nuevamente el problema 8.11..

Sol uci ó n: sea la transformada de Fourier, de la solución u (x , r), con respecto a x , ladada por

U (s , f ) = 5 [u (x, í ) l = | u ( x . 0 e“ isx cíx;

entonces,

u (x, í ) = 5r_‘ [U (s , 01 = — f V ( « . 0 e>sx ds. (8.166)2n Loo

Se supondrá que las soluciones u (x , t ) y 9u (x , t)/dx son pequeñas para valores grandes de | x | y se acercan a cero a medida que x — * ± °°,

Según (8.121), la transformada de Fourier de uxx(x , t ) es

íf !uxx(x ,0 l = j uxx(x , t ) e~lsx dx = - s 2 U (s , t ) . (8.167)

La transformada de Fourier de Ut(x , i ) es

5 [u,(x, í)] = J" uí(x, 0 e ~ 's* dx = u (s - 0

= Ut(s , t ) . (8.168)

Aplicando ahora la transformada de Fourier a la ecuación del calor (8.133), se obtiene

- s 2 U (s , f ) Ut(s , í ) = 0c

d U (s , t )d t

+ c s U (s , f ) = 0. (8.169)

La solución de la ecuación (8.169) es

U (s , t ) = t f (s ,0 ) e - c2s2(. (8.170)

Pero aplicando la transformada de Fourier a la condición inicial (8.152), se obtiene

U (s , 0) = J u (x , 0) e~lsx dx

= J" f (x )e ~ ¡BXdx

= J t (y ) e~ ‘ dy. (8.171)

Reemplazando (8.171) en (8.170), se tiene

U (s, i) = e - c2s2' J /(y) e~lsy dy. (8.172)

Ahora se puede obtener la solución u (x , t ) tomando la transformada de Fourier de

(8.172); esto es,

u (x , t )= — I U ( s , t ) e ls x dsé l

J_ e (í.x-c*.*() J { ( y ) e- j s y dy ds. (8.173)

Suponiendo que se puede intercambiar el orden de integración, se obtiene

a (x , t) = ds

Para evaluar la integral interior se procede como sigue: Por la tabla de integrales, se tiene

i: e~w dw = \fn.

dy. (8.174)

(8.175)

Ahora bien;

£ í/s(*-y>-c2s2' ]

Ids = 1 exp

x - y+ jcsy/ t ) -

\2 / x - y V

\2 c \ít

= e - ( jí- y ) 2/ (<*c2o j ' <

Introduciendo una nueva variable de integración w, mediante

/ \2 c \ f t ¡ _ds

expx - y

2 c y 7+ ; ' c s \/7 | d s -

+ jes y7\= ;w,

se tiene

J p ° d s = - L t e - í x ~ y )2 / (4 c2 ,> e - ! d w

_ I (8.176)c r t

en razón de (8.175).Sustituyendo (8.176) en (8.174), se obtiene finalmente

j f

que es exactamente el resultado (8.163).

u (x, i ) = — i—= I / (y) e “ (x_y) /(4c (> dy (8.177)2 c '

Ahora (8.174) u (8.177) ^ e d e n expresar como

función de Green, d is ip a c ió n del calor (8.133) pirra «L

PRO BLEM A 8.13 Hallar la temperatura u (x , t) de una barra semi-infinita, que se extiende de 0 a °°. El extremo en x = 0 se mantiene a una temperatura de cero, y la distribución inicial de la temperatura es f ( x j para 0 < x < °°. Se supone que la condición en el extremo infinito es tal que n (x , t ) — * 0, a medida que x — * °°.

S o lu c ió n : hay varias maneras de resolver este problema, pero en este caso se utilizará

el método de las imágenes.Como la temperatura en x - 0 se mantiene en cero, se extiende la función inicial

dada, f ( x ) , x > 0, a una función impar, para — 00 < x < de esta manera, el problema pasa a ser de una barra infinita. (V er el problema 8.11.)


u (x , í ) = — ~ f l ( y ) e - {x- y)2/<-4c2,) dy. [8.177]2c y tt í

Teniendo en cuenta el hecho de que, f ( ~ y ) = - f ( y ) , se obtiene

u (x , í ) = — i — C i (y ) e - (x- y)V<4c2í) dy + — 1— f f ( - y ) e~<x+y)2/(-Ac2,) dy 2 C\/ttíJ0 2cy/ntJ0

■= — P ( (y ) [ e - (x- y )2/<4c2') - e - lx+y)2/(4c2,)] dy (8.180)2 c \ f n t J 0

que es la solución deseada.

8.4 T E O R IA D E PO TEN CIA LES

8 3 Coordenadas cilindricas.

(r, 6.

J •i::;:

> , í SS£

N :f:;S

> 8-6 Coordenadas esféricas.

La caja rectangular del problema 8.14.

i m a m

ü tw m - —

|potenciales de flujo de fluidos incompresibles, etc.

35ÜÜ En coordenadas rectangulares, eí laplaciano de uña función u ¿n tres <

■se

W M U ld v1 + dz3'

Como sé muestra en la.figura-S-.-S,el laplaciano en coordenadas cilindricas (r,$ ,.z ), es

%¿\éu W l& ^ jfp pB 0a» ¿g¡£

Como se muestra en la figura 8.6, el laplaciano en coordenadas esféricas ( r , 6, <f>), e$

v * u = i i U + _ I _ ± L a e i " - L - i - H (8,i<ilsílfill i iip o i j m a o $e \ a e j señ*e W m i m

llg ii |La técnica de separación de variables, aplicada a la ecuación dé Laplace en dos dimensiones, « KX + = 0 , sé comentó en el problema 8,2;en el ejemplo siguiente

sé considerara eiéaso tridimensional. 1r'

PROBLEM A 8.14 Hallar la distribución de potencial, de la caja rectangular que se

muestra en la figura 8.7, si el potencial es cero en los lados y en la base, y / (x , y )

en la parte superior.

So lu ción : sea w (x ,y , z ) la distribución de potencial en la caja rectangular que semuestra en la figura 8.7. Entonces, u (x ,y , z ) satisface la ecuación

V2u = uxx + uyy + uzz = 0, (8.185)

y las condiciones de frontera

u (0 ,y ,z ) = u (a ,y ,z ) = u (x , 0, z ) = u (x, b, z ) = u (x, y, 0) = 0, (8.186)

u (x ,y ,c ) = í (x ,y ) . (8.187)

El método de separación de variables, sugiere el suponer una solución a (8.185) de la

forma

u (x ,y ,z ) = X ( x )Y { y )Z { z ) . (8.188)

Reemplazando esta solución en la ecuación (8.185), ésta se reduce a

X '\ x ) Y (y ) Z (z ) + X (x ) Y " (y ) Z ( z ) + X (x ) Y (y ) Z " ( z ) = 0. (8.189)

Dividiendo por X (x ) Y (y )Z { z ) y separando las variables, se obtiene

_ o ü . r a + ^ . * i ( (8. 190)x (x ) Y (y ) Z (z )

donde k 2 es la constante de separación. En este caso, la separación depende del hecho

de que el primer miembro es independiente de y y z , y el segundo miembro es

independiente de x.Por consiguiente,

r ( x ) + l U ( x ) = 0 . (8.191)

Luego de una segunda separación, se tiene

1 3 y) _ r \ z ) _ ki = .

Y (y ) Z (z )

Lo cual conduce a las siguientes ecuaciones:

y " ( y ) + K y (y ) = o,

(8.192)

(8.193)

" V " / z “ I ( .o . ¡ .y ‘i )

dondefc* = = ky- Las soluciones generales de (8.191), (8.193) y (8.194) son

X (x ) = A cos kKx + B sen kKx, (8.195)

Y (y ) = C cos kyy + D sen k yy, (8.196)

Z (z ) = E cosh kzz + F senh k^z. (8.197)


X (0 ) = X (a ) 0,

Y (0) - Y (b) 0,

Z ( 0) •• 0.

X (0 ) = A 0,

X (a ) = B sen kxa = 0;

kxa = mrr o kx = —— , m = 1, 2, • • • . (8.198a

y (0) - c = o,

Y (b ) = D sen kyb = 0;

kyb ^ n r r o ky = Y ’ n <8' 19

Por consiguiente,

de donde,

Análogamente,

de donde,

Así mismoZ (0 ) = E = 0.

Expresando kz en términos de m y n,

' | ) - C ,

O

= k mn = 77 y (8.200)K a b

se obtienen las soluciones

X (x ) = Xm (x) - Bm sen t m = 1, 2, • • • , a

L (y ) = Ln(y ) - Dn sen — , n = 1, 2, ■ • • ,b

Z ( z ) = Z mn(z ) - Fmn senh kmnz.

Luego, expresando bmn = B mD nF mn, se sigue que las funciones

umn(x , y , z ) = X m(x )Y n(y )Z mn(z )

tt\ 7t x n 77y , , ,q «a . .= bmn sen sen senh kwnz , (8.201)

a b

donde m = 1,2, • • •, « = 1,2, • • •, con kmn definido por (8.200), son soluciones de la ecuación (8.185), que satisfacen las condiciones de frontera dadas por (8.186).

Para satisfacer la condición de frontera dada por (8.187), se supone la solución

deseada en la forma

u ( x , y , z ) = ^ ^ u mn( x , y , z )

m = l n = 1

= ¿ ¿ bmn “ n ^ sen senh* '" " z ' (8.202)

Si se hace

b1=1 n= 1

c mn = ómn senh kmnc, (8.203)

la condición de frontera (8.187) toma la forma

f (x ,y ) = ^ ^ c mn sen m “ x sen 0 < x < a, 0 < y < b. (8.204)

De esta manera, los coeficientes cmn son los coeficientes de la doble serie de Fourier en términos del seno, que representa la función f ( x , y ) sobre el rectángulo indicado. Por(8.76), estos coeficientes se determinan fácilmente como

4 r b c a \ m nx n - yc „ „ = f (x ,y ) sen sen dx dy. (8.205)

. j y — . ,Jo

Con estos valores de cmn, la notación de (8.203), solución (8.202), se convierte en

V-1 V~> W 7rx n r r y sen^ tou (x ,y , z ) = ; ) cmn sen sen —-------- — ------ , (8.206)'l—i Z_i a b serih kmr,c

donde kmn está definido por (8.200).

PRO BLEM A 8.15 Resolver el problema 8.14, si f ( x , y ) = U0, siendo UQ una constante.


C „ „ =4 C r 3 ti m nx nny

U0 sen sen —— dx dybnJo J o

4 Un Ca m nx , f— - I sen ------ dx Iaó Jo a Jo

, i n * y j dx | sen —— dy

R s

D i'

f 16 U0 . do- para m y n impares

= mnn2 quiEl

e s tPor tanto, según (8.206), se obtiene

( 0 para m y n pares

m nx n n y senh kmnzu( X, y , z ) = ^ y y — sen — sen ^ “- “ ‘ "•.aar, (8.207)

77 * L—1 mn a b senh kmncim p a r n - im p a r

donde kmn = n [(m 2/a2) + (n2/ó2) l /¡. ^

E » el siguiente ejemplo se considerará la ecuación <fe Laplace eaj

polares..; ó.:." ‘ S ! . . : ' ñ ' ' r ísv *. ]

Par

PROBLEM A 8.16 Hallar la distribución de temperatura en estado estacionario, en una placa semicircular de radio a, en la que las dos caras están aisladas, la parte circular se mantiene a una temperatura constante U¿ y su diámetro se conserva a una temperatura de cero grados (figura 8.8).

Solución: en la sección 8.3, la ecuación de flujo de calor se expresó como

V 2u - - ^ ^ = 0 . [8.131]c2 dt

En estado estacionario, la temperatura u es independiente del tiempo, por tanto, bu /dt = 0, y u satisface la ecuación de Laplace; es decir,

V 2u = 0.

Como en este problema el flujo de calor es en dos dimensiones y las fronteras son cilindricas, se utilizará el laplaciano de u en dos dimensiones y en coordenadas cilindricas.

En consecuencia, por (8.183), se tiene

A . V \y = u 0

1 1 \ A ^ v,u = 0

V2 u (r, <d2u(r, <0) 1 d u (r ,0>) 1_ d2u ( r ,ó )

d r2 4 r d r + r2 d é 20. (8.208)

La temperatura u (r , 0 ), considerada como función de r y 0, satisface (8.208) y las

condiciones de frontera (figura 8.8)

u(a,<0) = £/o, (8.209)

u (r,0 ) = 0, (8.210)

u (r, n) = 0. (8.211)

El método de separación de variables, sugiere el suponer una solución a (8.208) de la forma

u(r,<á>) - R (r) <t> (<0).


i? " (r )< K ¿ ) + - K '(r )< í(0 ) t - R { r)d>"(<¿) = 0, r t

(8 . 212)

Figura 8.8 La placa semicircular del problema 8.16 .

r2¿T»<l>(c¿>) + rR /(r)$W >) + R(r)$>"(4>) = 0.

Dividiendo (8.213) por R ( r ) $ (0 ), y separando las variables, se obtiene

4>"(¿)R " ( r ) | f R '(r)

R (r ) ' R (r) (Ó)= k2 ,

(8.213)

(8.214)

donde k2 es la constante de separación. En este caso la separación resulta del hecho de que el primer miembro es independiente de 0 y el segundo es independiente de r.

El signo de la constante de separación, se escogió de tal manera que la función $ (0) estuviera expresada en términos del seno y del coseno en vez de funciones exponenciales. La ecuación (8.124) conduce entonces a las dos ecuaciones siguientes:

r2/?"(r) + rR '(0 - k2R (r ) - 0, (8.215)

$ "0 0 ) t-*2<D(<0) = 0. (8.216)

La solución general de (8.216) es

d> (<0) = A cos k cf) + B sen k ©. (8.217)

Para resolver la ecuación (8.215) se hace la transformación

Entonces,

R '(r ) = = =d r d s d r r d s

r2 d s 2 r ds

y (8.215) se reduce a

^ * - * 2/ ^ o .cfs2La solución general de esta ecuación es

i? = C e *s -t D e~ ks.

Como e s = r , entonces

R (r ) = C rk + D r~k . (8.218)

Según las condiciones de frontera (8.210) y (8.211), se tiene

$ (0) = <E> ( ff) = 0.

Por tanto,

<J> (0) = A = 0 y $ (“ ) = B sen 1c n = 0.

Puesto que resulta una solución trivial, si B = 0, se debe tener sen kv = 0, por lo cual

kn = nn o k = n, n = 1, 2, • • • .

De donde se hallan las soluciones

<J) (<¿) = $ n(d>) = Bn sen n d>, n = 1, 2, • • • . (8.219)

En (8.218) se observa que cuando r — *• 0, el término r~ k — * °°, dado que k = n > 0.Puesto que en r = 0, R (0 ) = 0, D debe ser igual a cero. De esta manera, se tiene

R (r) = R „(r ) = C n rn, n = 1, 2, ■ ■ ■ . (8.220)

Entonces, se sigue que las funciones

un(r, <¡>) = R n(r)4>n( é ) = bn rn sen n<¿, n = 1, 2, • • - , (8.221)

donde bn = B'nCn, satisfacen la ecuación (8.208), así como las condiciones de frontera

(8.210) y (8.211).Para satisfacer la condición de frontera (8.209), se supone la solución deseada en

la forma

u (r ,- (8.222)

n=l n =i


u (a, d>) = U0 = ^ bn a " sen n (8.223)

De esta manera, los términos bnan son los coeficientes de Fourier en senos, de la

función UQ, y- 2 r

De donde,

= n = 1, 3, • • • .77 na

Con estos valores de bn, la solución (8.222) se convierte en

« v z i / *

n =impar

. . . 4í/0 'e-i 1

tt a - i t(8.224)

(8.227)

(8.228)

(8.229)

(8.230)

(8.231)

(8.232)

.;í|Én el siguiente ejemplo se considerará la aplicación de la a la solución de la ecuación de Laplace en el semiplano. ||j

PRO BLEM A 8.17 Hallar la solución U (x , y ) de la ecuación de Laplace en el semiplano y > 0, si u (x , 0) = f { x ) para - °° < x < <*• (figura 8.9).

Solución: a la ecuación de Laplace

“ *x (x ,y ) + uyy(x ,y ) = 0,

se aplica la transformada de Fourier con respecto a la variable x , en particular,

^ ( s . y ) = 5 [u (x , y ) ] = u ( x , y ) e~>sx d x .

Suponiendo que u (x , y ) y ux(x , y ) se anulen cuando x — * ± , se obtiene la ecuación Figura 8,9 para U (s ,y ) como [ver (8.121)]

d2U (s, y)— — s2 £/(s,y) = 0. (8.225)

La solución general de (8.225) es

U (s ,y ) = A (s ) e sy + B (s ) e~sy. (8.226)

Así mismo, se supondrá que u (x ,y ) está acotada cuando y — * + Por tanto, paras > 0, se hace A (s ) = 0, y

U ( s ,y ) = B (s ) e~sy para s > 0.

Puesto que U (s , 0) = B (s), se puede expresar (8.227) como

^ (s. y ) - U (s , 0) e~sy para s > 0.

Análogamente, para s < 0, se hace B (s ) = 0, en (8.226), y se expresa

U (s ,y ) = A (s ) e sy para s < 0.

Nuevamente, como U (s , 0) = A (s), se puede expresar (8.229) como

U ( s ,y ) = U (s , 0) e sy para s < 0.

Las dos ecuaciones (8.228) y (8.230) se pueden combinar en

t/ (s ,y ) = C / (s ,0 )e~|s|y.

Puesto que, u (x , 0 ) = f ( x ) , se tiene

U (s , 0) = f [u (x , 0)] = J* í (x ') e~/sx' dx '.


r " 0° ' - M rP ( s , y ) = | ^ J f ( x ' ) e ~ lsx d x 'j (8.233)

♦

/ ‘u(x, 0) = / (x)

El semiplano del probias 8.17.

La solución deseada u (x ,y ) es la transformada inversa de Fourier de (8.233); es decir,

a(.x ,y ) =3: - ‘ tt/ (s ,y )] = — f U (8 ,y ) e>sx ds 2 71 lo»

Intercambiando el orden de la integración, se obtiene

e-1 1 ds, (8.234)

» ( x , y ) = j - J f ( x ) . J* e ^ s(x_* >“ ls ly ] ¿ s i dx'. (8.235)

Ahora,

£ y]cfs = I e ds

j ( x - x ' ) + y ¡ ( x - x ' ) - y

= 1_______________ 1j (x - x ' ) + y ¡ (x - x ) - y

= 2y(x - x ' f + y2'

Sustituyendo (8.236) en (8.235), se obtiene finalmente

u (x ,y ) = £í j C

f ( x ' ) dx'

(x - x ')2 + y2y > 0.

(8.236)

(8.237)

L IO La condición inicial de la cuerda elástica del problema 8.18.

8.5 PRO BLEM AS SU PLEM EN TA R IO S

PRO BLEM A 8.18 Resolver la ecuación (8.1), utilizando las condiciones de frontera dadas por (8.2) y con las condiciones iniciales

u(x, 0) = f ( x ) =

Ver la figura 8.10.

para 0 < x < a

( l - x) para a < x < l ,

d u (x , t )

dt= 0.

Respuesta-, u { x , t ) = -1 M .------ Y"1 JL sen (H E é \ sen ( 2-2* \ Co s .n2 a ( l - a ) n2 \ 1 j \ 1 ) \ 1 )

PRO BLEM A 8.19 Si la energía instantánea de una cuerda vibrante es

- M 'd u (x , t)

dtdx,

hallar la energía cinética de la cuerda vibrante del problema 8.18.

Respuesta: - p F A2n sen2 ( n77C. A , donde An = — — ------ -i- sen ( - n?\ .2 21 V 1 ) n2a(l-á) n2 \ / )

PROBLEMA 8.20 Probar que la función

u(x, t ) = /(x - c í ) + g (x + c t )

es una solución de la ecuación de onda en una dimensión, dada por (8.1), siempre que f y g sean dos funciones diferenciabas de una sola variable.

PROBLEMA 8.21 La temperatura de una barra aislada de longitud l, satisface las condiciones de frontera « (0 , t ) = 0, u (/, í ) = 1, y la condición inicial u (x , 0) = sen (rrx/t). Hallar (a ) la distribución de temperatura después de un tiempo t, y (b ) la

temperatura en estado estacionario, es decir, la temperatura en la barra a medida que t —

(- 1 ) " ~\n>Respuesta: (a ) u(x, í ) = 2L + 2 i_LL e ' sen , \n = cnn l ’

(b ) u(x , f )| _ -

PRO BLEM A 8.22 Resolver

= o para 0 < x < n, t > 0,d x 2 c2dt

con p (o, f ) = 0, ÍÜ (n, 0 = 0, y u (x , 0) = sen x. dx dx

Respuesta: u(x, f ) = - - - ' V ' ---------- e ~ 4n ° ' cos 2 nx.v n íb í (4n2 - 1)


d2u dzu n .—— + — — = 0 para 0 < x < a, 0 < y <d x2 dy2

con las siguientes condiciones de frontera e inicial: « ( 0 , y ) = u (a ,y ) = u (x , b ) = 0, y u (x ,0 ) = / (x ).

Respuesta: u (x, y ) = Y hn .jenh [mr(ó - y )/aj ^ donde~ ¡ senh (nnb/a) \ a /

¿n = — J /(x)sen ( l i m ' j dx.


= 0 para 0 < x < a, 0 < y < ooc?x2 dy2

con e/(x,y)->-0, cuando y - * 00, w (0 ,y ) = 0 « ( a , y ) = 0 y w (x, 0 )= x (a ~ x ).

Respuesta: u(x, y ) = i * ! V -(l .H cos e_nTry/asen fü

PROBLEMA 8.25 Resolver

á ! “ + i <?£ + _1 Í J L = o para r < 1, 0 < * < ff,(?r2 r c?r r2 «9<¿>2con u (r ,0 )= «(r ,7 r) = 0 y a ( l , 0 ) = 0 (7 r-$ ).

Respuesta: u(r, <¿) = — Y "1 r 2" 1 sen (2n - 1) ¿>.* t í (2n - l ) 3


Í J i + l ¿ E + l ¿ J Í = 0 para r < 1, 0 < ó < * ,dr1 r dr rJ d<p2 2

con u(r, 0 )= 0, ^ L ¡ r , I ^ = 0 , y t i(l,

Respuesta: u ( r , ó ) = — ')~ ' ( - l ) n 1 r2n 1 sen (2n ~ 1)q!>,» t í (2n - l ) 2

PRO BLEM A 8.27 Hallar la distribución de temperatura u {x , t ) de una barra infinita,

si la distribución de temperatura inicial es

0 para x < 0

T para x > 0,

donde T es una constante. (Cf., problema 8.11.)

n x ) =

L 1 + e r f f 1 J , donde erf y = —4:2 \ 2c Ví / v v J 0

PRO BLEM A 8.28 Utilizando la transformada de Fourier, resolver

_ iLH. = / (x , í) para - « < x < » , f > 0, dx2 dt

con la condición inicial u ( x , 0) = 0 para t > 0.

Respuesta1 C f <X - S ) / 4 ( f — T )

: u ( x , f ) = - Y = = -2 Vff *L«, Vi - t

t ) /(£, T )d^dT, donde

# (A ) =1 para X > 0

0 para A < 0.

PROBLEM A 8.29 Utilizando la transformada de Fourier, en términos del seno, resolver

iLH _ ñu = 0, para x > 0, t > 0, dx2 dt

con u (x , 0) = 0, para x > 0 , y u (0 , t ) = g ( t ) , para T > 0.

(T ) - , V [ 4( í - t )]Respuesta: u (x, t ) = —

2 vV J , ( í - t ) 3/2d i.

APLICACIONES Q MISCELANEAS DE LA c¿ £

TRANSFORMADA DE FOURIER'

9.1 L A TRAN SFORM AD A D E FO U R IER EN D IFRA CCIO N Y FORMACION DE IM AGENES

l a aplicación de la transformada de Fourier en óptica, hace posible el establecimiento de relaciones genenjÉspgp clarifiquen y simplifiquen el cálculo de la formadión de imágenes por un sistema óptico, bn esta sección se considerará la difracción y formación de imágenes Se supone que el lector está familiarizado con la física de estos fenómenQS-:-

^ i l l p i i t l M i ó n se supondrá que X||s^ési»|a!fiii^fe:ré'á4es decir, la pantalla no mfcraduce.c^Mo'^ fase. i ¡ i - i

PROBLEMA 9.1 En el fenómeno de difracción de Fraunhofer. deducir la relación

entrad patrón dé difracción y la característica de transmisión M la pantalla absorbente.

So lu ción : considérese una pantalla absorbente /lB, como semuestra en la figura 9.1,cuyo coeficiente de transmisión en el punto jc está dado por f ( x ) , supóngase que la

pantalla está iluminada por una onda monocromática plana de I0tq 3tud.de onda X. iExamínese la amplitud compleja de la onda resultante eri la dliréccáón 8. Lk contr^üeión ! del elementodx éaá^pm p>x tiene una amplitud proporcional a f ( x } , y una fasé dada jjj por {2?r seri {6/X)J x. Si la onda incidente está representada por la cantidad compleja

: . j V •" é * * , ' . } ■ " I . .

entonces la omtiibuCión debida a tix en el está dadamor " :Í=" '

Sildonde

¡¡IllSill Mmmmmmmrnm iiSpPor tanto, Iá^aKrttPb '^n lóM déíSda tápaníafia está ® i¡g | | :f||:|f Í||!Ü;

Entonces el patrón de difracción de la pantalla, que está definido Cómo íádelación dé la « id a resultante en la dirección^ a la onda incidente, se puede expresar como ÍM M M M

J ~ f { * ) e^ * e f c = F < n ( 9A )

Figura 9.1 La pantalla absorbente aa problema 9 .1.

*Las secciones de este capitulo no pretenden ser una exposición completa y suficiente de los temas respectivos.

ote

Wjfti

[

M ln'

f M

0 £2

(b)

(a) La rendija del problema 9-2. (b) La característica de transmisión de una sola rendija.

PRO BLEM A 9.2 Considérese la difracción de una rendija que se extiende desde

x = - y a, hasta x = ^ a , como se muestra en la figura 9.2(a). Supóngase que la amplitud

de la luz transmitida por la rendija es A veces la magnitud de la onda incidente, y que la pantalla es completamente opaca en las otras regiones. Hallar la distribución de la intensidad de la luz, difractada en la dirección B.

So l u c ió n : según las suposiciones del problema, la característica de transmisión f ( x )es la que se muestra en la figura 9.2(b) y está dada por

f ( x ) = A p a(x ), (9 .6)

donde pa( x ) se define como

pfl00 =

1< — a

21

> — a. 2

Entonces, por el resultado (4.45) del problema 4.10, se tiene

( kax n I

F (k ) = f / (* ) e~lkx dx = Aa

na sen 6

A

na sen 6= Aa

Como la distribución de intensidad de la luz difractada I , es proporcional al cuadrado de la amplitud del patrón de difracción, se tiene

(9.7)

2 1 na sen

I = {A a fna sen dy

T

(9 .8 )

donde a es el ancho de la rendija y X la longitud de onda.

PRO BLEM A 9.3 Hallar la distribución de intensidad producida por una rejilla de difracción, que consta de N rendijas de ancho a y separadas por una longitud d [figura 9.3(a)].

Solución: en el caso de una sola rendija, como se muestra en la figura 9.2(b), lacaracterística de transmisión f ( x ) corresponde a un pulso de ancho a. En el caso de una rejilla que consta de N rendijas de ancho a y espaciadas en una longitud d, la característica de transmisión f ( x ) corresponde a un tren finito de pulsos como se muestra en la figura 9.3(b).

í(x) (o)

- 2 d - e l 0

(b)

Figura 9 .3 (a) La rejilla de difracción del problema 9 .3. (b) La característica de transmisiónde N rendijas, (c) Un pulso individual que ocurre en x = d.

Para hallar la transformada de Fourier de f ( x ) se procede como sigue:Por la ecuación (9.7) se tiene la transformada de Fourier, F 0(k ), de un pulso de

magnitud A y ancho a, localizado en el origen; es decir,

/ ka\

F a(k ) = Aa , 2 77k = — sen 6.

A(9.9)

Entonces la transformada de Fourier de un pulso que ocurre en x = d, como se muestra en la figura 9.3(c), se encuentra por medio del teorema del desplazamiento, dado por 4.73, como e-/ w (910 )

Considérese ahora, un tren de N pulsos que ocurren en

x = -nt/, - ( p - l )d , • • • , - d , 0, d, ■ • • , (n - l )d , nd,

donde N = 2 « + 1. Por superposición, se tiene

F (k ) = F0(k ) (1 + e ikd + e~lkd + ■■■+ e>nkd + e~¡nkd)

= Fc (k) 1_1 + 2 (cos kd + cos 2 kd + • • • + cos n&d)]

= F 0(k ) [ - 1 + 2 ( 1 + cos kd + cos 2kd + ■ ■ ■ + cos n íd )]. (9.11)

Las series entre paréntesis angulares se pueden sumar, tomando la parte real de laserie exponencial correspondiente, y operando de la siguiente manera:

- 1 + 2 (1 + cos kd + cos 2 kd + • • • + cos nkd)

= -1 + 2 R e ( l + eIkd + e<2kd + . . . + e lnkd)

l _ e/Cn+ !)*€/'= - 1 + 2 Re

= - 1 + 2 Re

. 1 - elkd

(1 - e l C + D M x i - e ~ lkd)

. (1 - elkd) (1 - e - ' kd)

1 _ e - i k d + e i n k d _ e /< n + l) íc < í

2 ( 1 - cos kd)

De donde, considerando las partes reales, se obtiene

- 1 + 2 (1 + cos kd + eos kd + - • • + cos rtkd)

1 - cos kd + cos nkd — cos (n + 1) kd= -1 + ----------------------------------------------------

1 - cos kd

cos nkd — cos (n + 1) kd

1 - cos kd

2 sen — (2 n + 1) kd sen — kd _ 2 2

2 sen2 — kd2

sen — Nkd _ 2

1 I Asen — kd2

(9.12)

De donde

sen í — Ira] sen f — Nkd |\2 / \2 /

( i fca'j sen ( — kd )\2 } \2 )

sen í — Nkd j

F (k ) ■- F a(k ) T = Aa / / “ x '--------- T i----- T - (9-13)sen ( — kd

La distribución de la intensidad I , producida por una rejilla de difracción que consta

de N rendijas de ancho a, espaciadas por una longitud d, está dada por

sen2 ka\ sen2 í — Nkdj

l = \ F (k ) |2 = (An)2 ¡ i J ’ <9- l4)

( - * a ) sen ‘ ( - t í )

donde k = — sen 8.

PRO BLEM A 9 ^ Demostrar que la distribución de la intensidad de la luz no se afecta

si la rejilla de difracción es desplazada.

So I u c¡ ó n : supóngase que la rejilla sea desplazada en la dirección x en una cantidad xa :entonces f ( x ~ x 0) representa el cambio de la característica de transmisión. Entonces, de

acuerdo con el teorema del desplazamiento, dado en (4.73), el patrón de difracción se

convierte enF (k ) e~’kx° (9.15)

La distribución de la intensidad está dada por

I F (k ) e~’kx° l2 = | F (k ) |2 (9.16)

puesto que | e~,kx° | = 1.La ecuación (9.16) demuestra que la distribución de la intensidad no se afecta si la

rejilla de difracción es desplazada.

En seguida se considera la formación de imágenes y la transformada de Fourier en

Cuando una función de dos variables independientes, tal como la intensidad de la luz en un punto, se reproduce en otra parte como otra función-de dos variables, se habla de

formación de imágenes.

poriéí distribución de ia intensidad deS a íÍlKa¿ling:^lÉ:|>untual. v que

efecto, como el objeto es i

del objeto.

f i t j se obtiene de la de un punto ¿ í j gglassgaeclrJdel objetoQOc, j ) , por convolución con la ir

■ ¡ ¡ ¡ illSlllillllllllllSSEIlill

|§¡§ÍI§ define la integral de convolución, de dos funciones en dosLa

i l j l l i l l l l i ____9.1a Transformada bidimensional de Fourier

ápUÍSHf:la téCniGHiÜé ¿-tW¡n|^^7?ra ittaBBPa8'Beii

jü iá j jBBi fe o tó nJI#PJÉ: se puede d e f^ ^ ^ a iS n a integral d e ^ r “ '“™ ™ ’'“ ' ..................

¡ j s i i s i i i i j i i i i i p

Entonces/(x, y ) se puede hallar por la fórmula d

PRO BLEM A 9.5 Utilizando la técnica de la transformada de Fourier en una dimensión, deducir la fórmula de inversión (9.20).

S o lu c i ón : se denota como G (u ,y ) , la transformada de Fourier de la funciónf ( x ,y ) , donde la transformada se toma con respecto a x ; es decir,

G ( u , y ) = J f ( x , y ) e~lux dx.

Entonces, por la fórmula de inversión unidimensional (4.16), se tiene

i í G (u ,y ) e,ux du.

(9.21)

(9.22)

Ahora se toma la transformada de Fourier F (u , v), de G ( a , j ) con respecto a y, considerando a x como un parámetro; es decir,

F(u,v)=J G (a ,y )e ~ ivy dy.

La fórmula de inversión (4.16) da

G(u, y ) =l í


f ( x . y ) =m f í

F (u , v) e lvy dv.

F (u ,v ) e^ux* vyi du dv.

(9.23)

(9.24)

Combinando (9.23) y (9.21), se obtiene

F (u ,v ) = J " J f (x ,y ) e~1(ux+vy) dx dy.

PROBLEMA 9.6 Demostrar que la transformada de Fourier, de la imagen de un objeto incoherente, es igual al producto de la transformada de Fourier del objeto, y la transformada

de Fourier de la imagen de una fuente puntual.

So lu c ión : supóngase que las transformadas de Fourier de 0 (x ,y ), I ( x , y ) , y E (x , y ),

son las funciones S2 («, v), 'í 'fw , v ) y P (u , v), respectivamente; es decir,

fi(u, v) = J*°° 0 (x ,y ) e -/('JX+vy> dx dy, (9.25)

’í'fu.v) = j* J / (x ,y ) e~i<ux+yy> dx dy, (9.26)

r (u ,v )= J °° j E (x ,y )e -Hux + vy) dxdy. (9.27)

Entonces, mediante la fórmula de inversión de Fourier (9.20), se tiene

0 (x, y ) = — -— r ° H n (a ,v ) eHux + vy) du dv, (9.28)( 2 jr>2 - lo o -Loo

l ( x , y ) = — -— f f ¥ ( « , v) e í<“ ‘ + ,y ) du dv, (9.29)Q .n )2 J _TO

E (x ,y ) = — -— f f r(u,v) el(-ux + vy) du dV. (9.30)


E ( x - x ' , y - y ' ) = — L _ f r r ( u , v ) e l [u (x - x' ^ Hy~ y,)] dudy. (9.31)( 2n ' ) - lo o J-oo


l ( x ,y ) = — -— f f 0 (x ', y ' ) ‘ E (x - x ' , y - y ' ) dx'dy ' (9.32)(2tf) J_„ J _ x

en donde E (x - x ' , y - y ' ) , está dado por (9.31). Intercambiando el orden de integración

en (9.32), resulta

x |j~ J 0 (x ',y ') e~l<-ux' + vy"> dx'dy . du dv. (9.33)

Mediante (9.25), el resultado (9.33) se convierte en

¡ ( x , y ) = — 1— f f í í (u ,v ) r (u , v ) e í(ux + V},> du dv. (9.34)(2 ny j_ oo j _ oo

Comparando (934) con (9.29), se concluye que

W(u, v ) = fi(u , v )T (u , v ). (9.35)

íbjetoformada

> ,y ) ,

3 .2 5 )

3 .2 6 )

3 .2 7 )

1 .2 8 )

1 .2 9 )

3 .3 0 )

9.2 LA TRAN SFORM AD A D E FO U R IER EN T EO R IA DE PRO BABILID A D ES

|| l i ü l i i ! - La transformada de en la teoría ide probabilidades y en Jos procesos áe azar. En esta sección se estudiarán brevemente

fas transformadas de FouíÍ®|utílizadas en la teoría de IhH-L i probabilidades. Se supone que el lector tiene alguna fanüíiaridad co » la teoría de

3 .3 1 )9.2 a Función de distribución de probabilidad y

función de densidad de probabilidad

9.1b Transformada tridimensional de Fourier

De esta manera. (9.40) indica que P (x ) es positiva y tiene valores entre 0 y 1.Para probar (9.41). se observa que si x , y x 7 son números reales tales que x , < x 2,

P r (X < x ,) - P t (X < x .) + P r (x , < X < x ,) de tal manera que

P r (x , < X < x ,) = P<xa) - P ( x , ) . (9.43)

Por esta relación y por el hecho de que la probabilidad de un evento es siempre positiva, se tiene

P (x t) 0, (9.44)

P (x ) = j* p (x ) dx, (9.45)

p (x )d x = l , (9.46)L

i :Pr(X j < X < x2) - I p (x )d x . (9.47)

So l uci ó n : por la definición (9.39) y por el hecho de que P ( x ) es una función

monótona creciente para todo valor de x, se tieneP (x ) > 0.

Integrando (9 3 9 ) entre - y x , se obtiene

d P (x )J p (x ) dx = J " dx - P (x ) — P ( «o).

dx

Por (9.40a), se tiene que P ( - °°) = 0; de esta manera,

J X p (x )d x = P (x ) .

Entonces, por (9.40b), se tiene

J ° °p (x )d x = P (~ ) - P (- «,) = 1.

Por (9.45), se obtiene

P (x 3) - P (x , ) = J 2 p (x ) dx - j p (x ) dx = j ' 2 p (x ) dx. (9.48)

Por (9.48) y (9.43), se obtiene

P r(x , < X < Xj) = | p (x ) dx.fPROBLEM A 9.8 Supóngase que la variable al azar x asume el valor xa ; entonces.

P (x ) = 0 paraX < xa, P (x ) = 1 para X > x 0,

Hallar la densidad de probabilidad p (x ).

lliíJíí

»*¿*

MÍt |

So l u c ió n : de acuerdo con la suposición,^ (x ) se puede expresar como

P (x ) = u (x — xc ), (9.49)

un escalón unitario. En este caso, la densidad de probabilidad p (x ) no existe en el sentido ordinario. Sin embargo, en el sentido de una función generalizada (ver sección 2.4), se puede obtener

. d P (x ) d u (x ~ x 0) . .p (x ) = — :— = ; = o (x - xQ)

dx dx(9.50)

mediante (2.90).

9.2b Esperanza y momentos

Sea X una variable al azar con denudad de probabilidad p (x ) . \I-a esperanza matemática o valor medio de X, se define como

E IX ) = f " xp (x ) dx.J-OB

(9.51):

Para cualquier función g (x ) de valores reales, g { X ) es una variable al azar y la

E l g ( X ) ) « C g (x )p (x )d x .a©

• dertaun parámetro estadístico. A continuación

(9.52)

.como

= E W ] » ^ , J ° ° x p ( x ) d x ;

Valor cuadrático medio de X =

Momento enésimo de X = E ÍX n] = mn J xnp (x )d x ;

Variama de X = valor cuádrátiéo de ^ alrededor del

K ¿T ' ■3§?H Desviación estándar a - 'Je (X - X)*.


Varianza de X = (X *) - (X )J.

Solu ción : por (9 .56 )y (9.52),se tiene

Varianza de X = E [(X - X )*]

(x - X )2p (x ) dx

(9.58)

1j (x2 - 2 xX + X 2) p (x ) dx

J ' x2p (x ) dx - 2X J" xp (x ) dx + (X y J ' p (x )d x .

Por tanto,

var (X ) = (X 1) - 2 XX + (X )2 = (X 2) - (X )2. (9.59)

Las ecuaciones (9.53), (9.54) y (9.46) se utilizan en la deducción de (9.59).

PROBLEMA 9.10 Demostrar que si la densidad de probabilidad p (x ) es una función par, es decir, p (—x )= p (x ) , entonces el valor medio y todos los momentos impares son cero.

S o lu c ió n : por (9.55), se tiene

m„ = momento enésimo de x - E [X n] = J x "p (x ) dx.

Si n es impar, entonces el integrando x np (x ) es una función impar de x. Por tanto, según (2.14), se tiene

mn -= i xnp (x ) dx = 0 para n = 1, 3, 5, • • • . (9.60)

9.2 c Función característica

La función característica 4»(o>) de una ..variable al azar x, cuya

p§- 1&® - E V' .; .. (?¿ndonde « e s ü p parámetro real arbitrario.

S o lu c ió n : según la fórmula (9.62), $(o>) es la transformada de Fourier de p (x ) conun cambio en el signo del exponente; entonces p {x ) se puede hallar a partir de la transformada inversa de Fourier de nuevamente con un cambio en el signo del exponente; es decir,

p (x ) = T

O tra form a de so lu c ió n : reemplazando (9.62) en el segundo miembro de (9.63), se obtiene

Ip (A) dX d e . (9,64)

[<¡> (&>)] = ---- f (cu) e~lwx dcu.2n -Lo

Cambiando el orden de integración, se tiene

~ J d>(.oj)e~IWx d d = J p (A ) — J* e lu (X - x) dco d\. (9.65)

Mediante la identidad (5.6) de la función 6, se tiene

e' a a ~X) = x>- (9.66)

Por tanto, en razón de (2.68), se obtiene

y - J* <¿> (<y) e-ítWÍ cfcü = J* p (A )S (Á - x ) d \ = p (x ).

^ -lín o de los usos importantes de las funciones características, se sigue de la existes del par de transformadas de Fourier, (9.62) y (9.63). En muchos problemas, cuando se necesita hallar la densidad de probabilidad de una variable al azar, es más fácil calcular I función característica primero y luego hallar la densidad de probabilidad. Otra apiicacic importante de la función característica se ilustra en el siguiente ejemplo. ;

S o lu c ió n : puesto que

e¡(úx = { + / M + . . . + 0'&>x )"1 n!

reemplazando (9.68) en (9.62), se obtiene

4> (co) = E [e ¡ “ x ] = p ( * ) e ' " X dx ■

I p (x ) 1 + + • • • 1

U<úX)n

n!

(9.67)

(9.68)

dx.

Suponiendo que la integración término por término es válida, se obtiene

<¿(co)=J ' p (x ) dx + j oí J* xp (x ) dx + • • • + — J" x np (x )d x

( / « ) " _= 1 + j ü>m¡ + — + (9.69)

Por tanto,

do.)n= 1 mn-

ólo con una: variable al azar; a

azar., T X zzy J fjfí- I I b I í

La función de distribución conjunta de las variables al azar X y Y, está definida

P0F P (x , y )~ P r \ X < x , Y < y\, (9.70)

Suponiendo que P (x . v ) tiene derivadas parciales de segundo orden, la cantidad

dx dy

se conoce como la función de densidad conjunta de las variables al azar X y Y. azar X y Y son independientes si

P ( .x .y )= P (x )P ( .y ) . (9.72)

PROBLEMA 9.14 Demostrar que si dos variables al azar X y Y son independientes, entonces

P (x ,y ) = p (x )p (y ). (9.73)

So lu ción : como las variables X y Y son independientes, según (9.72), se tiene

P (x ,y ) = P (x )P (y ) .


dxdy dxdy dx dy

é (x ,y )p (x ,y ) dx dy.

Efe: dos variables al azar X y Y, se dice que no son correlacionadas si

_ ' E [X K ] = £ 1 *1 E IY I. (9.75

• Dos variables -al azar X y Y son ortogonales|i- : : ; ■ j l '% :/ñí

E IX F l = 0. (9.76

La función característica conjunta de dos variables al azar X y Y, está definida por:

PROBLEMA 9.15 Demostrar que si dos variables al azar X y Y son independientes, entonces no son correlacionadas.

Solución : por (9.73) y (9.74), se tiene

E [XY ] - J" J' xyp(x, y ) dx dy

x y p (x )p (y ) dx dyI I

: J xp (x ) dx jxp (x ) dx J y p (y ) dy

- = £ U ]E [y ] . (9.78)

De esta manera, según (9.75) se concluye que las dos variables al azar X y Y no están correlacionadas.

ndependíenies, entonces f ( X ) y g ( Y ) tan

y ¿ (JO .se abíjeos !ss!rfpp|;É<1jípi

¡ l i l i

PRO BLEM A 9.16 Demostrar que la función característica conjunta, de dos variables al azar X y Y, es la doble transformada de Fourier de p (x ,y ) definida por (9.19), con el s ip o del exponente cambiado.

S o lu c ió n : por (9.74), se puede expresar (9.77) como

que es la transformada bidimensional de Fourier de p (x ,y ) , definida por (9.19), con el s ip o del exponente cambiado.

PRO BLEM A 9.17 Demostrar que la densidad de probabilidad conjunta p (x ,y ) se puede expresar en términos de 0 (co i, co j), mediante

So lu ción : por (9.80), se sabe que <t> (w i , co2 ) es la transformada bidimensional deFourier de p (x ,y ) ', entonces, aplicando la transformada inversa de Fourier (9.20), con un s ip o cambiado, se obtiene (9.81).

PRO BLEM A 9.18 Demostrar que si las variables al azar X y Y son independientes, entonces

PRO BLEM A 9.19 Demostrar que si (¡>(col , co2) = $(co,)<í>(w2), entonces las variables X y Y son independientes.

S o lu c ió n : por (9.81), se tiene

= p (* )p (y ) ,

en razón de (9.63). Por tanto, según (9.73), se concluye que X y Y son independientes.

d>(cü¡t cjj) = E [e ‘

(9.80)

p (x ,y ) = ¿ (w , , wj) e'

<¡6 (co,, <j2) = <£ (&>,) é (w j).

S o lu c ió n : si JT y Y son independientes, entonces por (9.79), se tiene

(9.82)

(9.83)

p (x ,y ) = ‘( ¿ ) 7 d>(w1,6jJ) e

<¿> ( oj, ) 5 (co2) e

1

2 TT

PRO BLEM A 9.20 Demostrar que la densidad de probabilidad, de la suma de dos

variables al azar e independientes, es igual a la eonvolución de sus respectivas densidades.

S o lu c ió n : supóngase que

Z = X + Y, (9.84)

donde X y Y son variables al azar e independientes.Sea

4>x{.cS) = E [e ,coX],

4>y(u.) = £ [e 'w ],

4>Z(<X) = E [e 'w z }.

Entonces

¿ , (u ) = £ [ e ' " z ] = E [e ,<"x+&,y’>].

Dado que X y Y son independientes, por (9.83), se tiene

<¿,(<u) = E [ e lMX] E [e '“ y ] = 0 y(co). (9.85)

Aplicando el teorema de eonvolución (4.122), se obtiene

p z(z ) =

= 5 -1 [$*(&>)<£ y(&>)]

= Px(x) * Py(y)

£P x (x )P y í z - x ) dx. (9.86)

9.3 E L PRIN CIPIO D E IN CERTID U M BR E EN E L A N A LISIS D E FO U R IER

íhsI s s • ÍE ÍH ÍI i iÍ5 ÍI ! l l l Í ; H P^PPÍP!0 te i| Í§ lÍestablecer asi: el producto del ancho de banda espectral y el tiempo de duración de una señal no puede ser inferior a cierto válór m úlimo. Este es anaíogo al bónocido principio

detft& rtídum bre^ílffii^n^r^ én'meclnica c ib ic a ;g líg En esta sección se analizará la; relación entre el tiempo de difusión de una función W W m M lm m de su transformada de Fourier f^(cp)»i Se:considera una seM rfeál / (? ) y su transformada de Fourier | s l l í Í = I É I ^ Í M I

SIII8SÍSlSiÍilÉ!llÍ!ÍlP'Pp ®8 ÍS£SlSf!l!!l{S!lfffII!!Í!!Íllllepáridetañ también -las siguientes

(A O * - ~ p |* ( t ~ r ) a /aC 0 t/r < » , ( 9 .8 9 )

donde Í/(r>ÍÍs es et contékido de energía, B , pe la sefiai /(/), definida en (4.139), T es el i

de la señal difialrededor de F, y que se denomina dispersión de la señal en el

f u n g a m e n t e , se define

¡|Fj|2= J “ |F(<o)|2dW, (9.90)

H [ B H |(9.91)

(&&y = - _ L _ J “ <w _ 5T)* ¡ F ( « ) | * <fq,. (9.92)

PRO BLEM A 9.21 Demostrar que co de (9.91), es igual a cero

So lu ción : puesto que | F (co) |2 es par con respecto a co, el integrando de (9.91) es una función impar de co. Por tanto, según (2.14), se obtiene

J* ai 1 F ( új) |2 dco = 0,

es decir, co = 0. Con co = 0, la definición (9.92) se puede expresar como

(A“ )1 = j F r j waiF <w)|2rfw- (9.93)

Í § 1 1 ® 4 Ü *0 banda la settú Acó, es una medida dd ancho de banda del'M la señal. • v : : : .

i d )

PRO BLEM A 9.22 Hallar el tiempo de dispersión A i, de la señal que se muestra en la figura 9.4, la cual decae exponencialmente.

So lu ción : según (9.88), el centro de gravedad de esta onda, t , se encuentra como

M 2 e "2"'7-di A2T2’t Jo 4 t

Figura 9.4 Señal que decae en forma exponencial.

rA 7 e~2l/T dt — 2

2

(9.94)

Entonces, por (9.89), dado que ||/||2 = A 2 T/2, se tiene

(A í )J =m í

t - L . j A 2 e~2,/T dt = - f _ m ] e- W T dtd t - i rT i

5= 2 _ / r ^ _ r r

7 ^ 4 4 + T

(9.95)

Por tanto

A t = - T . 2

(9.96)

: Se observa que el tiempo de dispersión A r de una señal que decae exponencialmenl

¡Ü ' proporcioné;» §a constante de tiempo T .. p ¡¡ ?; j ¡¡jjutjjfj'J ; '¿ñjfl -Ij.í jí ”M ; - i %.

PRO BLEM A 9.23 Demostrar que el ancho de banda espectral Acó, de una señal f ( t )

definida por (9.93), será finito sólo si la siguiente integral es finita; esto es,

( í ) ] s dt = finita (9.97)

donde /'(O = d í(t)/dt.

Solu ción : puesto que

cu2|F (oj)¡ * = a 2 F (at) F * ( cú) = /cu F(cu)[-/a;F*(cu)]

“ j(i>F (o j)[jc ü F (cú) ] *

= | > co F (oj ) |2,

se tiene

cu2 j F (cu) | 2 da> = ( \}<o F (o j) I* d(o. (9.98)J ° ° ai2 j F (cu ) |2 da> = J*

Se recuerda que si

5F (/(OI = F (w ),

y s i/ ( í )— *■ 0 cuando t — ► ± entonces por (4.91), se tiene

5 [/'(OI = i (o F (cu).

Por consiguiente, según el teorema de Parseval (4.136), se tiene

I F (cu) 12 dco = j \j(i)F (cü )\2 d (ú = 2 n J* [/'(O I2 dt. (9.99)

Por tanto, siJ" [/ '(í ) ]2 dt = finita, entonces

J°° cu2 | F(o>) l2 dw = finita (9.100)

y en consecuencia, según (9.93), Acó será finita.

e s p e c t r a l ( 9 . 9 3 ) , p u e d e c o n d u c ir a u n a n c h o d e b a n d a in f in i t o , a m e n o s q u e la s e ñ a l f { f )

satisfaga Ta condición (9.97 )o Í9 101). t i siguiente ejenp.o ilustra esté caso. ' j& s M M

PRO BLEM A 9.24 Hallar el ancho de banda espectral del pulso rectangular de la figura

9.5 (a).F (Cu)

i

Figura 9 .5 • la) E l pulso rectangular del problema 9 .24 , Ib) E l ancho de banda espectral del pulso rectangular de la figura 9.5 (a).

2rr 0 2jtd d

S o lu c ió n : según (4.45) y (4.73), la transformada de Fourier de f ( t )está dada por

'<odsen i

F(co) = Ad

adPuesto que \é~l0>'° | = 1, entonces

| F (co) | =Ad

Según el teorema de Parseval, dado por 4.136, se tiene

J \F(a)\2 da = 2n jF(a)\2da = 2n\ f\t) dt = 2n A2d.

Por (9.93), se obtiene

(A cü)j =" w í

- V í2rr A*d J

I £ se"2(

* £

a 2\ F (a )\ 2dco

A2d2a2 da

adT J)d a

[1 - cos (cod)] dco

(9.102)

(9.103)

(9.104)

(9.105)

el cual es infinito, puesto que lim co2 [ F ( oj) | ¥= 0.

j j í f l Bn la práctica, el ancho de banda espectral de un ptfel&adrado, se defaj a j j f orma: a g f^ p jp o m o 2rr/<f;es d ^ J k 9.5(b i]. l a mayorpart^ife.fe-energíR despulso, está copesñtada dentro de este aiu liu

El principio de incertidumbre en el análisis espectral, establece gas si fe señal / (? ) ■ Ü ^ | ^ l t e s ^ ^ g ^ ^ ^ 9 .8 7 ) a (9.93) mismo, que hm >/t

PRO BLEM A 9.25 (a ) Probar la desigualdad de Schwartz. (b ) Probar el principio de incertidumbre en el análisis espectral.

S o lu c ió n : (a) sea x una variable real cualquiera y

Sea

J~ é \ t) dt = a , 2 f ( t ) g ( t ) d t = b, /2(t ) dt = c. (9.1081

Puesto que m(x) es la integral de un valor al cuadrado, entonces la integral es siempre

positiva y real; de donde,m (x ) = ax2 - bx + c > 0 para valores reales de x . (9.109)

De (9.109) se sigue que su descriminante b2 - 4 ac debe ser negativo; es decir,

62 - 4 a c < 0 o ac > — b1.4

La desigualdad de Schwartz, (9.107), se prueba reemplazando a ,b y c dados por (9.108).

(b ) Según el teorema de Parseval, dado por (4.136), se tiene

J°° | F(cu) |J dco = 2v J°° /*(0 dt, (9.110)

esto es,

|| F ||2 = 2 jt || f ||J. (9.111)


J°° Cü21 F (<ü) j2 dco = 2 n J" [f'(í)P dt. [9.99]

Multiplicando (9.89) y (9.93), y utilizando (9.110) y (9.99) se obtiene

(A t A cu)2 = - f (t - t y í\ t ) dt f w21 F (cu) |2 do)!i f !l2 ¡i f ||2 j_x

= p ^ p ^ £ °° (í - Ó 2/2(f ) dt I " W dt. (9.112)

Escogiendo una referencia de tiempo adecuada, se puede hacer 7 = 0, sin pérdida de

generalidad; por tanto, con esta escogencia, se tiene

(A i A « ) 2 = — F i\ t ) dt [/'(*)]* dt. (9.113)

Utilizando la desigualdad de Schwartz (9.107), se obtiene

J t2/2(í) dt j [/'(O? dí>|j t ( ( t ) f V ) d t

Integrando por partes, se obtiene

J t f ( t ) f ' ( t ) d t = t f ( t )d f ( t )

(9.114)

Por tanto, si lim í f 2( t ) = 0, entonces

Reemplazando este resultado en (9.114) y utilizando la desigualdad resultante en (9.113), se obtiene

(A i A cü) j > (9.116)

Por tanto,

i\ tA c o > ~ .2

PRO BLEM A 9.26 Considerando la función f ( t ) que se muestra en la figura 9.6(a), ilustrar el principio de incertidumbre del problema 9.25.

So I uci ó n: la función y su derivada son

/ ( i ) = at e~ Bl u ( í ) , a > 0,

f'(t) = a (1 - ai) e~al u (i).Por (9.88), el centro de gravedad T de esta forma de onda es

f ( t )

(9.117)

(9.118)

f a2 i3 e~2at dt P•'o J0

t e~ dt

ra i2 e~¿a dt

Li2 e a dt

M

A _J_2a 4a3 3‘ 2.a1

(4 a3)Entonces por (9.89), se tiene

(A 0 2 = j _ r f í - j .J_ Jo \ 2a dt4a1

(b)

1 16 =4a

(9.120)F¡gura9.6 (a) La función f { t ) del

problema 9 .26 . (b) El espectro de la fundón / (f ) de la figura 9-6 (a).

3

4a;De donde,

A i = .2a (9.121)

H ancho de banda espectral Aw de f ( t ) se puede encontrar así: por (9.93), se tiene

(A = j j j r / 6,21F (eo) 112 dco-

Por (9.108) y (9.99), la ecuación (9.93) se puede expresar como

'(O]2 dt

(9.122)

r í(A í,))2 = ------ | a2( l - at)2 e~2al dt = ----------- = a '1 4

4a

1 a

1

4a

Ao) = a.

Y por consiguiente,

A f Acu = — a = ^ .2a 2 2

PRO BLEM A 9.27 Considerando la función gaussiana [figura 9.7(a)]

í ( t ) = e~a'\ a > 0,

ilustrar el principio de incertidumbre del problema 9.25.

F(cu)

(9.123)

(9.124)

(9.125)

(9.126)

(b)

Fig u ra 9 .7 (a) L a fu n c ió n gaussiana. (b) E l espectro d e la fu n c ió n d e la figura 9 .7 (a).

Solu ción : sea F (co) = ? [/(<)]• Entonces,

F.(co) - e - a,í e - lat dt = J°° dt.

Esta clase de integral se evalúa “ completando el cuadrado” . Para hacer esto, multiplicar el integrando por e - c-'2/f a . e +c,j2/4a. Entonces,

F (gi) = J*° dt=—a>2/ ( 4 a ) e - a [ ( 4 / w / ( 2 a ) ] 2

-c a 2/ (4 a ) - { / 5 [(+ f< w / ( 2 a ) ] } 2• r dtn

Introduciendo una nueva variable de integración y, mediante

(9.127)

Va

entonces \fa d i = dy, y se tiene

2- {y S [¡ +ía,/(2a)]}2cff

(2 a )= y>

í

en razón de (8.175); es decir

J e~y* dy = \Ár-

(9.128)

Por consiguiente,

F (o j) = 5 [e - a' 2] = y/2 e - " 2/<4a), (9.129)

Por (9.126) y (9.129) se observa que la transformada de Fourier de una función gaussiana, es también gaussiana.

Con a = 1/2, la transformada (9.129) da

3r[e -,i/ '2l = y/277 e ~ 0)1/2. (9.130)

De esta manera, excepto por el factor \/2ñ, la función e~,2/2 es su propia transformada de Fourier.

Puesto que la función e~at es par, por (9.88) se deduce que el centro de gravedad t de esta onda es cero.


Ldt

<A í>2 = - ^ --------------- • (9.131)1,2 dt

iAhora bien, de acuerdo con (9.128), se tiene

ñ -

Diferenciando la ecuación (9.132) con respecto a b, se obtiene

ñ -

Utilizando (9.132) y (9.133), se puede evaluar (9..131) como

1

2a

Análogamente, por (9.93) y (9.129), se obtiene

(A cof =

5?e - w 2/ ( 2 a )

3— V(2a) j

l

3— V(2B)

i (2a) \ 2an-

\ 2a¡7

mediante (9.132) y (9.133).

(9.132)

(9.133)

/A,.a 2 (2a) V 2a 1

Por consiguiente,

A l Acó = i . (9.137)

La ecuación (9.137) muestra que el signo de igualdad en la ecuación (9.106), es

válido para la función gaussiana.

|(®Ia||fe ptR» que f ( t ) tenga an ancho .93). Con una definición apropiada de ancho

S S S P m i e establecef la ielaciót^ S ' ébanda espectral, lo cual se ilustra en é í .

PROBLEM A 9.28 Considerar el pulso rectangular dado en el problema 9.24. Demostrar

que el producto del ancho de banda espectral y la duración del pulso, es una constante con “ apropiada” selección de alguna medida del ancho de banda.

S o lu c ió n : en la figura 9.5 se observa intuitivamente que si se selecciona

A t = d,

y el ancho de banda espectral Acó como la banda que se extiende al primer cero de |F(co) I

(la mayor parte de la energía está concentrada en este ancho).

A oj = — . (9.138)d

Se observa entonces que

A i Aa> = d — = 2 tt, (9.139)d

o sea que el producto del ancho de banda y la duración del pulso es una constante.

9.4 FO RM ULA DE LA SUM ATORIA D E POISSON

I M f i l l i l i i l i i i p i i Los teoremas dé la transformada de Fourier también ayudan a evaluar sumas. Eá esta sección se deducirá la fórmula de la sumatoria de Poisson y seM i

explicarán algunas dé sos aplicaciones. jíín;‘í l l l l s o . ;

PROBLEMA 9.29 S I/ (lí) bs iíb» ftírttáfin arbitraria y FiuJi es su transformada de ''

: Fourier, probar la siguiente identidad: ;: ’

Y í { t nT ) = ^ ¿ e lnUúl P {n a>a), (9.140)

dónde (á'ü j§3¡'Üfty ¡i


S r (0 = y Ó(í - n T ) (9.141)

la cual está definida en (2.104).Entonces, por (4.120), se tiene

f ( t ) * M 0 = í ( 0 * ¿ 8 ( t - n T )

= £ í ( t ) * 8 ( t - n T )

= ¿ / ( í - n T )

= £ H t + n T ) (9.142)

dado que todos los valores positivos y negativos de n están incluidos en la sumatoria. Por tanto,

^ i ( t + n i ) = /(O * §T (t).

Ahora bien, por (5.66), se tiene

3 " [§ r ( í ) ] = 8 ( a j - n o „ ) , cü0 = — .T £—• T

Aplicando el teorema de convolución en el tiempo (4.122), a (9.143), se obtiene

(9.143)

£ H f + n T ) = F (w) J [ g r (i)]

F ( < o ) y £ 8 (u - n e o » )

~ 2 2 F(<a)8(a> - nco0)

y Zw F (ncúo )8 (o - n o 0) (9.144)

mediante la propiedad de la función ó, dada por (2.74).Por (5.21), se tiene

5"‘[5(a>-iiWo)|--í- e'""'*.2 /r

Por consiguiente, según (9.144), se obtiene

2 ít ~2 ] f ( t + n T ) = y P (n o j„ )3 r'‘1 [ 5 ( a . - n c u 0) ] = 1 £ F (n Wo) e ' " " 0'.

y . ::::i:ta fórmula de ¡a suma de Foisson establece que si f í f ) es i F(u>) es su transformada de

función arbitraria

PRO BLEM A 9.30 Probar la fórmula de la sumatoria de Poisson.

S o lu c ió n : haciendo t = 0 en (9.140), se obtiene

¿ f (n T ) = ± ¿ F (n <j0).

PROBLEM A 9.31 Probar que

2a

L e' aW= £ a>0- (9J46)(2n ir)1rt = - “ > i » - -o o


f (0 = e_s|<l.

Entonces,

F ( c ) = 3: [e - a|t|] = j r 0<’ e -a1,1 e ^ ' d t

= J ° e a ' e " '“ ' d i + £ e " a< e " '" ' d i

1 1

a — )cu a -t ;co

2a (9.147)a + cü

Si se1 hace F = 1 (de donde, co0 = 2jt) en la fórmula de Poisson dada por (9.145), se obtiene

£ í (n )= £ F (2 n n ). (9.148)

Por tanto, según (§.147), se tiene

PRO BLEM A 9.32 Deducir la siguiente identidad de la función dieta:

~ £ e " at' +^), " 1 + 2 ¿ 2 »n í. (9.149)ttm~M « - »


/ (0 = e -aíí


F(cu) = ? [ e - aí2] = e- ^ < 4a>. [9.129]

Si se hace F = 1 (de donde, co0 = 2ír) en (9.140), se tiene

¿ f ( í + n ) = ¿ F (2 r rn ) el27,nl-

£ e -772nVa V ÍWnf, (9.150)

£ e - “ <M" )2=. e - - 2» 2/a ey2-n (

= 1 + 2 ] e -w^"4/- e '2™ + £ e ' A ! / f i e í2™ '

= 1 + ¿ e-n2n2/a ( e '277n< + e - 227rn' )n = l

= 1 + 2 2 ] e _ 'l:2',2/a c o s 2 ffnf.

9.5 C A U SA LID A D Y TR AN SFO RM AD A DE H IL B E R T

7 . En esta sección se analizará la relación ■■ parte imaginaria de la transformada de Fourier, de una función la determinación de la transformada de Hilbert.

PRO BLEM A 9.33 Sea F ( t o )= R (co) + jX (co), la transformada de Fourier de una fundón causal f ( t ) . Demostrar que / (? ) se puede expresar en términos de R (co) o JT(co) solamente.

S o lu c ió n : puesto que f ( t ) es causal, por definición, se tiene

/ ( f ) = 0 para f < 0. (9.151)

De acuerdo con esto, se tiene

/ ( - í ) = 0 para í > 0. (9.152)

Por consiguiente, según (2:5) y (2.6), se tiene

/(O = 2 /e ( f ) = 2 /o(0 para t > 0, (9.153)donde

f ( 0 = / .(f ) + f o(0 ,

y /e(0 y /o(0 son las componentes par e impar de / (í ) , respectivamente. Entonces, por (4.38) y (4.40) se obtiene

f ( t ) = ~ f R (új) cos/wí d o (9.154)n X

= - - f * (to) sen CJÍ c?oj (9.155)77 Jo

para t > 0.

PROBLEMA 9j34j: unafunción causal /(/). Demostrar que las fundones F (co) y X (co) no sori^eperíd íi" ’" " ’" ’ ' ana de otra, sino que cada una de ellas se puede determinar unívocamente en térnú.

Solu c ión : si / ( í ) es real y causal, entonces por los resultados del problema 4.6,

R (cu) =s r i ( t ) cos o t dt = J* i ( t ) cos wt d t,

X (tu) - - J* f ( t ) sen u>t dt - - j f ( t ) sen cot dt.

Reemplazando la expresión (9.155) en (9.156) se obtiene

R (u/) = - — f f X (y ) sen y t cos o>t dy dt." J o Jo

Análogamente, reemplazando (9.154) en (9.157), se obtiene

X (cu) = - - f f R (y ) cos yf sen o>t dy dt." Jo Jo

Solu c ión : con la descomposición de f ( t ) en sus componentes par e impar, es decir,

i ( t ) = fe ( t ) + i0(t),

por (4.42) y (4.43) se tiene que,

ÍF[/o(0 ! =}X (<o).

Por consiguiente, según el teorema de Parseval, dado por (4.136), se tiene

f U c ( 0 r dt -— — í* R 2(o>) dcu,J —OC 77 oc

J [/0( í ) lJ dt =. J X\<u) dcu.

En razón de la causalidad de f ( t ) y de (9.153), se sigue que

/(O = 2/e( f ) = 2 í a( t ) para t > 0.Por tanto,

U e ( 0 l = U o (0 | -

En consecuencia, según (9.162) y (9.163), se tiene

r R 2(cu)dc>= f X 2(oj)dü>.J—OQ * —00

Puesto que\E(<u)V = R \ ü) ) + X \ iu),

y según el teorema de Parseval, dado por (4.136), se tiene

„ J " f2( t ) dt = |F(o/)|2<íu

= ~ r [r 2 ) + x \ w )] d 2 * . L o

-J.

27 Jo

i?2(cJ) c/oj

R V )c/ a , (9.165)

en razón de (9.160) y R 2( - co) = i?2(co).

Para una función causal f ( t ) , dado que f ( t ) = 0, para ? < 0, se tiene

J l \ t ) dt =- í\ t ) dt.

Por consiguiente,

f f\ t ) dt = - f R \ o>) de.77

PRO BLEM A 9.36 Demostrar la igualdad de estas dos integrales:

Cx a 2d e io2dw

(9 -166)

S o lu c ió n : sea í { t ) = e ~ et u ( t ) . Entonces,por (4.47), se tiene

F (a> ) = 5 [f (ty \ = - i — =- - ja f jeo a + cu a + co

Por consiguiente, de acuerdo con (9.160), se tiene

co2 d e. r _ j L 2i k _ = ri » (a2 + " 2) J i . (a2 + co2) 2

PROBLEMA 9,37 Si la función causal / (/) no contiene impulsos en el origen, demostrar que si F ( oj) - 5 {/ (/ ))= / ? (co) + jX (o j ) , entonces R (co) y X (co) satisfacen las siguientes ecuaciones:


(9.167)

& * > ( Z ^ y dy' (9.168)

/ (0 = / .(t ) + /o(0.

donde f e{ t ) y f 0( t ) son las componentes par e impar de / (r ), respectivamente. Puesto que f ( t ) es causal, se tiene

/<í) = 0 para f < 0 .

Ciertamente, para cualquier función causal se puede suponer que

i e (0 = - 1o(0 Para '< 0 .

242 Análisis de Fourier

Así mismo, por (9.153), se tiene

4 ( 0 = f „ ( f ) para t > 0.

Por consiguiente, se puede expresar que

4 ( 0 = 4 ( 0 sgn t, (9.169)

4 ( 0 = 4 ( 0 sgn t, (9.170)

donde sgn t se define como [ver ecuación (5.45)]

í 1 para t > 0 sgn t = ]

[ - 1 para t < 0.

Ahora bien, por (4.42), (4.43) y (5.49), se obtiene

3 1 4 (0 ] = R ( " ) .

3 1 4 (0 ] = / X (< 0 ,

31sgn í ] = . ( ;w )

Por tanto, según el teorema de convoludón en la frecuencia, dado por la ecuación (4.125),

se obtiene _i? (co) = 5 [ 4 ( 0 ) = y [ 4 ( 0 sgn í]

¿ n /co

= — X (cu) * — n <0

= A r x ^ dy .ir J ^ új — y

Análogamente, se obtiene

/¿ (co ) = 3 1 4 (0 ] = 5 [ 4 ( 0 sgn f]

= — K (c o )* — 2n /‘co

77 ÚJ

Por tanto,

J f ( 0 = - - R ( 0 * - = - - Ín cú n ) co — y

PROBLEMA 9.38 La parte real de la función del sistema # (co ), de un sistema causales, ?rS (co); hallar la función del sistema H (co).

So lu c ión : sea

t i (co) = R (co) + j X (a > ) .

Dado que R (co ) = 7r8(co), por (9.168), se tiene

X(o>) = - - (* 77g(y-) dy = — f S (y ) - dy = - — (9.171)77 oo 0J ~ y o (o - y ÚJ

mediante la relación (2.67). Por tanto,

H (o ) = n 8 (o ) ~ j — = 7t8 ( co) + -7- . (9.172)o j o

9.6 EV A LU A CIO N D E A LG U N A S IN T EG R A LES

PRO BLEM A 9.39 Evaluar las integrales

L A r £ idx


f ( í ) = e~aí u ( t) .

Entonces, por el resultado del problema 4.11, se tiene

F(<u) = ? [/ (* )] = — — ,a + j o

a + o

Ahora bien, de acuerdo con el teorema de Parsevai (4.136), se tiene

J f2(í) dt = J* | F (o )\ 2 d o ,

f \ F (o )\ 2 d o = 2 n [ i\ t )d t .’d mmOQ CO


J a’W = 2” / /2(0 dt = 2V jH e~2aí dt= 2n

- 2 a

De esta manera,

Haciendo a = 1, resulta

PRO BLEM A 9.40 Evaluar las integrales

f dx = p __ de

-L> a“ + x2 JL , a 2 +

f ° ° rfxi c o 1 + x2

^rales

p a2dx r

(a1 + x2)2 ’ J_

dey 77

6j2 a

(9.173)

(9.174)

(9.175)

(9.176)

í ( t ) = 1 - a


F (c o ) = 3 [ f ( t ) ] .a + cu2

Ahora bien, utilizando el teorema de Parseval (4.136), se tiene

J * I F {a>) \* d(,) ~ 2 tt J ' í\ t)d t.

Por tanto,

r f i . - N - L » c* + ® > J L , L 2

n r - 2 a | (| ,

' i - L *

i [ £ — r — j

£ 1 . 2 2

2a

-2 a

De esta manera,

Haciendo a - 1, se obtiene

L & + =L(aí + <¿2)2 d“ = 2 a•

£ (1 + x2f 2

(9.177)

(9.178)

(9.179)


PROBLEMA 9.41 Si ! f [ f ( x , j» )] —F (u , v), demostrar que

( a ) ? [ f ( a x ,Ó y ) ] = J _ pin , z \¡af>| \a b )

(b ) J [ / ( x - a , y - 6 ) ] = F (u ,v )e -Hai' +bv\

PROBLEMA 9.42 Demostrar el teorema de Parseval para dos dimensiones, es decir,

j j | / ( x ,y ) | 2dx(íy = - i _ J J | F ( u , v)|2d ad v .

PROBLEMA 9.43 Demostrar el teorema de la transformada de Fourier

S [ V 2/(x, y ) ] = - ( « ’ + vJ) ? [ / ( x, y ) ] ,

donde V 2 es el operador laplaciano V 2 = d 2/dx2 + d 2/dy2.

PROBLEMA 9.44 Supóngase que la función de prueba 0( * , y ) es una función continua que se anula fuera de alguna región finita, y que la función bidimensional 6 es la función simbólica definida por la relación

f>I 5 (x, y ) <f> (x, y ) dxdy = ( 0, 0).

Demostrar las siguientes propiedades de la función bidimensional 6 ;

(a )

(b ) 8{ax, by) = —i — 8 (x ,y ); laól

(c ) ? [S (x , y ) ] = 1.

PROBLEMA 9.45 En el capítulo sexto se definió un sistema, como la transformación de una función de entrada en una función de salida. [Cf., (6.5).] Las funciones de entrada

y de salida, son funciones de una variable independiente unidimensional (el tiempo); pero en el caso de sistemas de formación de imágenes, la entrada y la salida pueden ser funciones de una variable independiente bidimensional (el espacio). De esta manera, un sistema lineal de formación de imágenes se puede representar por

£ i¿ i (x , y )! = f0 (x, y ),

L |a, fn (x, y ) + a2 f l2 (x, y ) ! = a, H f n (x, y ) } + a3 L j/ Ía (x, y )| .

Se dice que el sistema es invariante en el espacio si

L i f , ( x + xOI y + y 0) j = ( 0 ( x + x0, y + ya).

Sea h (x ,y ) la respuesta del sistema al impulso unitario; es decir,

LS§ (x , y ) ¡ = h (x, y).

Deducir la relación de convolución bidimensional

<*, y ) = ¡ i (x, y ) * M x , y ) = J J i , ( € , n) h (x - y - n )d fd r ,.

PROBLEMA 9.46 Si m * , y ) ] = H ( u , v ) , ? [ í ( x , y ) ] = F ;(„ , y ) y ? [ /o (x , y ) ] = o (x , y ), demostrar que

F 0 (u, v ) = F¡ (u, v ) H (u, v ) ,

donde H(u, v) es la función bidimensional del sistema. [Cf., (9.35).]

PROBLEMA 9.47 Hallar la función característica de la variable gaussiana al azar, X,

cuya densidad de probabilidad es p (x ) = — í e ~ (x-m ),'/2cr*2 2 o 'j2 n

Respuesta: a n .

PRO BLEM A 9.48 Si X es la variable gaussiana al azar del problema 9.47, demostrar que E [ X ] = m y V a r (X ) = a 2.

PROBLEM A 9.49 Si <t>x( u ) es la función característica de la variable al azar X , hallar la fundón característica <f>y(o>), de la variable al azar Y = a X + b, donde a y ó son dos números reales cualesquiera, en términos de <px(cu).

Respuesta: ó ( c o ) = e lb“ <¡> (acu).

PROBLEMA 9.50 La variable al azar X se distribuye normalmente con densidad.

probabilística p (x ) = — 4 = e ~ x /2cr . Hallar la densidad probabilística de la variable * o ' l l n

al azar Y — aX 2.

[Sugerencia: si Y = g (X ) , entonces 4>y (cu) = f e ,0’ e<x) px (x ) dx. con un cambio de

variable y = g (x ) , _0°

i^y (ú j )= j ' e /Myh (y )d y = j e lWypy (y )d y y / i(y ) = py (y ) . ]

. -y / 2ao-2 , . f i para y > 0Respuesta: p ( y ) = e ■ u (y ), donde u (y ) = 1 . .

y cr v 2 77 ay [ 0 p a r a y < 0

PROBLEMA 9.51 La densidad probabilística de una variable al azar X , es P (x) = n .a2 + x2

Demostrar que su función característica es </<(&>) = e _ a l .

PROBLEMA 9.52 Demostrar que si la densidad probabilística de una variable al azar X,es i<xe- a ¡ * ' , entonces su función característica ó (a>) , es a2/ (a2 + w2).

2

PROBLEMA 9.53 Verificar el principio de incertidumbre en el análisis espectral, para

la señal / (O = e ~ |a|' .

PROBLEMA 9.54 Probar que Y 1 — ------ = — coth \. S i U a V a \a /

[Sugerencia: aplicar la fórmula de la sumatoria de Poisson, con / ( í ) = 1/(1 + r2).]

PROBLEMA 9.55 Demostrar que m (t ) y m (t ) del problema 6.51, están relacionados por

y « ( 0 ~ T -i-.» f “ T

De esta manera, m (í) también se denomina transformada de Hilbert de m (í).

PROBLEMA 9.56 Si una función real m(f)> tiene como transformada de Hilbertu m {t), demostrar que la transformada de Hilbert de m (t ) es — m (t ) ; esto es, m (t ) = - m ( t ) .

PROBLEMA 957 Demostrar que

J* [ m ( í )]acfí = J [ m ( t ) ] 2 d t y m ( t ) m (t ) dt = 0.

[Sugerencia; utilizar el teorema de Parseval.]

CONVERGENCIA DE LA A SERIE DE FOURIER Y

EL FENOMENO DE GIBBS

A.1 CO N V ER G EN CIA OE L A S E R IE DE FO U R IER

En la sección 1.6 se mencionaron brevemente las i de Dirichiet, bajo las cuales es posible la representación en serie de Fourier de una. periódica f U ) . Ahora se demostrará que la serie infinita

| ...

2 ° a + Z j C° S ntUoí * b" 8611 nuto(* ’ (A . í )rtml , >donde w 0 = 2v/T, y a„ y bn son los coeficientes de Fourier de f ( t ) , converge al valor

m

PRO BLEM A A.1 Si 5 ¿ (f ) denota la suma de los primeros (2k + 1 ) términos de la serie de Fourier de f ( t ) , es decir

1 kS)c (0 - «o + (an eos nw0t + bn sen no)0í), (A .2 )

n= 1

donde ío0 — y an y bn están dados por

2 r T/2an - — I 1 (0 eos (nco„í) dt, (A .3)

‘ J-T/2

demostrar entonces que

r /2/(O sen (ncü0r) dt, (A .4)

r /2

2 f T / 2$k (0 = y I * ( * ) - 0 ] <&> (A .5)

-'-r/2

donde D ^ í- ) es el llamado “núcleo Dirichiet” ; es decir,

0 fc (O = (A . 6)

So 1 uci ón : en las expresiones (A 3 ) y (A .4 ) , ! es la variable comodín. Por tanto,

an cos nco0t + bn sen nco„í

rT/2f (x ) cos (no>0x) dx

T/2

T/2

cos nco0t

/(x) sen (ncü0x) dx sen ncü„í

- [ U

• U

2 r T/2= — (eos (n&>0x) cos (noj0t ) + sen (n&>0x) sen (n&>0 f)] dx

T J_T/ 2

o r T / 2

= — I f (x ) cos [nw0(x - f )] dx. (A . 7)^ • '-r /2

De esta manera,

eos n&>0f + sen n<¿j0í )

1 (-r/2 * o r T/2= — /(x) dx + — | f (x ) cos [íitó0 (x - t)] dx

T J-T/2 n = l ^ ^-r/2

2 /-r/2 r j= — I /(x) -j — + C O S [cü0(x - i ) ] + cos [2fc)0 (x - f)]

T d -T/2

+ • •• + cos [&w0 (x - f)l| dx.

Hacer co0(x — t ) = £ y considerar la suma

(£ ) = y + eos f + cos 2£ + • • • + cos k¿;.

Utilizando la identidad trigonométrica, 2 cos A sen B = sen (A + B ) - sen (A - B ) , seobtiene

£ £ £ £2 sen — Dk(£ ) = sen — + 2 sen — cos £ + 2 sen — cos 2£

(A . 8)

+ •• • + 2 sen2

eos

sen — — sen 2

í 3 — + sen — 2 2

£ - sen3 e— £ + sen

’(*+ sen K K

sen H )<:De esta manera,

1 ^

O k ( £ ) = 2 + E C° S n ^ =

sen I k + i ) f ] (A . 9)

Por tanto,

donde Dk(g ) ~

S * (0 = |( •T / 2

T O - T / 2

_ 2 r T / 2

T •A-772

sen |jírl ' l

f (x )

k v - jw 0(x - i)

2 sen - o j 0 (x - 0

dx

r ‘ /2I í { x ) Dk[oj0{x - t)\ dx,J -T /o

(A . 10)

2 sen - f

PRO BLEM A A .2 Demostrar que la relación (A . 10) se puede expresar como

f— T /

2 rT/2Sk(0 = ^ I f ( í 4 A)

l , 1 \sen A + — cj0AA 2/ .

2 sen ( — c»„A 1\ 2 ¡

dA. (A . 11)

resultado es

S * ( 0 = f J J ~‘ f ( t v X )

y '

Ahora bien, por la relación (A .9), se tiene

7, 1 \ /sen | k + — 1 (oqa

A 2 ) 0

2 sen ( — cu„A 1\ 2 )

d A. (A. 12)

y , i \ ‘sen \k + — ) cüqÁ

A 2/ .

2 sen í — &>„A 1\2 /

eos n<y0A. (A . 13)

Por tanto,

sen (A' + — j <u0AA 2 ) .

2 sen í — cuaA i\ 2 ¡

es una función periódica en la variable A, con período T. Puesto que la función /(/ + A) también es periódica en la variable A, con período T, el integrando de (A . 12) es periódico en la variable A, con período T. Entonces, por (1.6), se puede expresar (A .12) como

2 CT n

li ( t + A)

7 , 1 \sen A + — ) w0A

A 2)

2 sen ( — &>oA

d A

que es la solución deseada.

PRO BLEM A A.3 Sea / ( f ) una función periódica con período T, integrable absolutamente en un período. Demostrar que en todo punto de continuidad donde existe la derivada, la serie de Fourier de f ( f ) converge al valor f ( t ) , es decir,

lim Sk( í ) = f ( t ) .

J

So I u ci ó n: sea t un punto de continuidad de / ( í ) . De acuerdo con ( A. 11), se tiene

lim Sk(t ) - lim — | í ( t + A)fc-«*I fc->oo T /

T/2

-T / 2

k + — J áínÁ 2 '

2 sen ( - oj0\d A. (A .15)

Por (A .13), se tiene

J

7 1 \sen l i - &»0A

IA 2 )/ l \

2 sen - ta„A\2 /

¿A =Jt/2 n j l , 1— + ) eos n <y0A dA

r /2 L2 “ í J

t / ' T / 2 k f T / 2— I dA + I cos (ncünA) dA ^ J-T/l . 7.T/2

en razón de (1.19 a). Portanto,

J

A: + | I co„A

- t / 2 2 sen I — íu0A

dA = 1

(A .16)

(A . 17)

para cualquier valor de k. Por (A . 17), se tiene

T/2

m = ~ i n o- T / 2l í

Por (A .18) y (A.15), se obtiene

sen (k + ^ | oj0A

! 1 \

S6n y 2 W° )

d A.

lim s * (r ) - / (í) =• limt i r [ f ( í + A ) - f ( í ) ]

sen

' "<i+

l\ 2/

2 sen ( — &>„A

(A.18)

dA. (A . 19)

Considerar ahora la función

í { t i A) - i (Q f ( t + A ) - f ( Qá(A) =

2 sen [ i oj0AA

2 sen ~ íu„A \2

(A .20)

Dado que f ( t ) tiene una derivada en el punto í,

í ( t + A )- / (OA

permanece limitado a medida que A — * 0. Por otra parte, la función

2 sen - <ü0A

es continua para X *£ 0, y se aproxima a l/co0 a medida que X — *■ 0, puesto que

Según estos resultados y dado que f ( t ) es integrable absolutamente, se sigue que la función g ( t ) definida en (A .20), es integrable absolutamente. Entonces, por el resultado (1.79) del problema 1.19, se tiene,

! '2 r T/2lim Sk( t ) - f ( t ) = lim — I á (Á ) sen*-.oo Jt->oo T I

J — 7* /?

fe + ~ | COqX dA = 0. (A . 21)

Por tanto, lim Sk( t ) = / (í).

PRO BLEM A A.4 Sea f ( t ) una función continua por tramos, periódica con período T,e integrable absolutamente en un período. Demostrar que en todo punto de discontinuidad donde f { t ) tiene una derivada de derecha y una de izquierda, la serie de Fourier de f ( t ) converge al valor

i [/ (*+ ) + / (* - )!,

donde f ( t + ) es el valor de /(?) justamente en el lado derecho de la discontinuidad, y f ( t —) es el valor de / (r ) justamente en el lado izquierdo de la discontinuidad; es decir,

lim Sk( t ) = i [/ (*+ )+ f ( í - ) ] .k-*oo 2

(A . 22)

S o lu c ió n : por (A . 15), se tiene

lim Sk(t ) = lim — Jc-»oo T

= lim — * - . » T

ff ( t + A)

nt + a)

sen (fe + i ) WoA

/I \2 sen - co„A

\2 /

/ 1\ /sen (fe + —) cü0A

A 2/

dX

2 sen - <o0X \2

d A

+ lim ir n t + a)

/ 1 \ 1sen fe + i ]«u0A

V 2 / J

2 sen ( - &i„A i\2 /

d A. (A. 23)

Puesto que el integrando en (A .17) es par, entonces de acuerdo con (2.13), se obtiene

1 1

senB )

<U0A sen2 f ° x 1 __ B ) &>0A

2/ i

sen - cjoA ] T ¿ r / a 2 sen ( — <v¿ j A\2 / \2

d A = (A . 24)

Por tanto, según (A.24), se tiene

1 2 C1 - / (< + )= -2 T Í

f ( t + )

sen (fe + | j <y0A

/I \2 sen ü)0XJ

dX. (A .25)

De esta manera,

2lim Í

T / 2n t + a )

sen (* + 2 ) Cü°A

/ I \2 sen m0A j

d X ~ 2 f í+ )

= limo r T/2

U m+ A ) - / < * + ) ]

1 \ . Isen

\ 2 j

2 sen ( - cu0A

Considérese ahora la función

t ( t + A) - / (< + ) f ( í + A ) — i ( t + )é (A ) =

2 sen ( ^ <y0A 2 sen ( - o j 0 \

d A. (A.26)

(A .27)

Puesto que /(/) tiene una derivada en el lado derecho en í ,

'-fe-t a . - *<«+>, x>0>

permanece limitado a medida que X — *• 0, y la fundón

A

2 sen ( - 6j„A

también es limitada. Como en el caso donde f ( t ) es continuo, se concluye que la fundón g (X ) es integrable absolutamente en el intervalo [0, T/2]. De esta manera, por (1.79), se tiene

lim - T f

f ( t + A)

senH ) w0a|

2 sen 1— CU4

*/A - i / ( f + )

2 CT/2 = lim — I g (A ) sen

= 0.

k + — 1 <ynA 2

cfA

Por tanto,

limi r

/ (í + A )

l\sen

(k + 2 }O)0X

Análogamente,

l im -f

n t + a)

2 sen I - cü„A

k + — I £unA

2 sen { - oj0 A

t/A = ¿ / « + ) .

d A = i f ( í - ) .

(A .28)

(A . 29)

(A .30)

Por tanto, según (A .29), (A 3 0 ) y (A.23), se obtiene

lim Sk( í ) ~ [/ (í 0 i / (f—)l.k-*oo 2

A.2 E L FENOM ENO D E GIBBS

r-iCíMnclo una función dada se aproxima mediante una suma parcial de la seriedeífóurier, habrá un error considerable en la vecindad de una dfeofitinuidad, no importa cuántos términos se quieran utilizr. Este efecto sé conocÜ corno fenómeno de Cibia\;¡::iS':.:¿y "

ilustrará este fenómeno considerando la onda cuadrada estudiada en el eapít

PRO BLEM A A.5 Considérese la onda cuadrada de amplitud uno y período 2 ír (figura A .l), es decir,

f ( 0 =- 1 -r r < t < 0

1 0 < f < rr

Analizar la suma de un número finito de términos de la serie de Fourier.

SoIuci ón : según el resultado del problema 1.10, la serie de Fourier de la onda

Figura A .1 La onda cuadrada dej problema A S .

cuadrada es: (haciendo co0 = 2ir/T= 1)

f (0 = - ( sen t + j sen 3 1 + sen 5 1 (A .31)

Esta serie no muestra uniformidad en la convergencia de la serie de Fourier, cerca de la discontinuidad. En la figura A.2 se ilustran aproximaciones sucesivas.

f ( O

( a ) (b )

fe)

Figura A .2 Las tres primeras sumas finitas de la serie de Fourier, an la onda cuadrada de la figura A .1 .

Considérese ahora la suma de un número finito de términos, de la serie Sk(f ) . Según (A.10), esta suma está dada por ( T = 2ir, <o0 = 2 it/T= 1)

S M = Í L

-± jC

4 f

t / 2 * * I r + 2 ' " o ( * " 0/(x) -

2 sen <y0(x - í )

dx

f (x )sen N ) ( x - 0

sen - 1)

cfx

sen H ) ( x - 0

sen - 0

sen + V( * ' - 0

sen - 0

Sustituyendo x — t por y , y t - x ' por y ', se obtiene

iy + —2 " L

sen [ M VA 2/ .L l \ .1

A + i ) ' .sen { - y T,*< sen I - v '

c&'.

(A . 32)

dy '. (A . 33)

Esto es así, porque

dy ' = - dx',

(* + | ] ( - y ' ) J = -sen ~(k + i j y '

sen ^ ( - y ' ) = - seni ;r y

.2 J 2

Puesto que

,

77+ f J -t •'f 77 + f ^77-í J—t JjJ +í

se puede expresar (A.33) como

s*(0 == á i :sen

.(*+ i )y

sen - y

dy + S ísen H H

/ I \sen - y

\2 /

dy. (A .34)

En la vecindad de la discontinuidad, es decir, t = 0, se evalúa la primera integral en la región donde y = 0. Aplicando la regla de L ’Hospital, se obtiene el valor del integrando en y - 0, como

= 2k + 1.

/. l\fc + — cos [ ( * + - ) v lV 2/ A 2/ .

1 l- cos - y2 \2

La segunda integral se evalúa en la región donde y = n. El integrando de la segunda integral en y = 7r es ( - 1 ) * . Se puede despreciar la contribución de la segunda integral en comparación con la contribución de la primera. Por consiguiente.

s*(0 =- f2

* + - ) y

sen - y.2

dy • -i r

1 \ 1sen U + - y

A 2 ] J

/ 1 \sen — y

\ 2 /

dy (A .35)

puesto que el integrando es par en y.Como lo que interesa es la vecindad de la discontinuidad, es decir, t = 0, y

lim8 ■» 0

= 1,

se puede reemplazar sen l/2y por 1/2y, y obtener

s*( O = ¿i f77 Jo

7, i \ / l\ 1* + - ) y . sen ¿ + x yA 2 ) d y = - í -----

A 2/ .dy. (A .36)

Sustituyendo (fe + l/2 )y por¿, se tiene

'<fc + i/2)' sen CS * (0 = d < = - Si (A .37)

donde S ¡(y ) es la función seno-integral comentada en el problema 6.34. Puesto que S ¡(0) = 0, y 5)(° ° ) = 7r/2 (ver el problema 6.34),

S*(0 ) = 0,

lim Sk(t ) = 1.k - > oo

Según la gráfica de S ¡(y ) (figura 6.18) y figura A.2, se observa que en t = 0 el valor de Sk( t ) es cero;luego asciende rápidamente a medida que t aumenta, sobrepasa el valor 1 y oscila alrededor de la línea f { t ) = 1, con amplitud decreciente. A medida que el número de los términos aumenta, la curva resultante oscila con frecuencia creciente y

amplitud decreciente; a ambos lados de las discontinuidades hay sobrepaso de curvas. Aunque la magnitud del pico no disminuye a medida que k aumenta, hay un límite

inferior de 9% de sobrepaso aun si k — * co.

BAPENDICE RELACION ENTRE LAS

TRANSFORMADAS DE FOURIER Y LAPLACE

B-1 D EFIN ICIO N ES Y PRO PIEDA DES BASICA S D E L A TRAN SFO RM AD A D E LA PLA C E

La transformada tic Laplace de una función f ( t ) se define como

£ l/ (O l = F (s ) -JT í £f) e~sl (B .J)

donde s es una variable compleja, s - a + f w . L a |“ transformada deLaplace de

Para que la función F (s ) de la definición ÍB .l)

?. racional £ [/ (? ) }«

f i(B .2) <

/(OI

i por la mayoría de;

(B.2)

t/(0<

por la

ÍIS F (s ) . (B J )

donde o , > ac, siendo oc la abscisa de convergencia. : - : : : :

Debe seftaiarse que en muchos casos k transformada inversa de Laplace, se puede obtene* sin integración formal; esto « basa en la propiedad de unicidad ds la transformadade Laplace, es decir, correspondiente a la fundón / (O hay una función F (s ) que es

y viceversa; esto es verdad sólo para t > 0. Un análisis más profundo de la existencia, convergencia y propiedades de unicidad de ia transformada de Laplace, y ia evaluación formal de (B 3 ), sstás más allá de io s f rópósitos de este texto.

PRO BLEM A B.1 Hallar la transformada de Laplace del escalón unitario

1, t > 0

S o lu c ió n :

f ( 0 * 0 ( 0 -lO, t < 0-

utilizando la definición B .l, se tiene

F ( » ) - f [ u ( 0 l = r e sí dt = - — e~‘

PRO BLEM A BJZ Hallar la transformada de Laplace de

t > 0

t < 0 ,donde a es una constante.

/ (0 ♦ r

(B.4)

(B .5 )

(B .6)

So I uci ón: utilizando la definición (B .l), se obtiene

F (s ) = £ [ e at] = f e a í e~“‘ dt = f e-<*-a>( dt = , J?e[s] > C t. (B.7)J o J q s — Ct

PRO BLEM A B.3 Si f i ( t ) y f 2( f ) son dos funciones del tiempo, y a¡ y a2 son constantes, demostrar que

£ [a, f , ( í ) + a2 4 (f )l = « ,£ [/ ,(0 1 + ^ £ [/,(<)] = a, F ,(s ) + a2 F2(s ).

S o lu c ió n : utilizando la definición (B .l), se obtiene

£ [a, 4 (0 + a2 4(01 = f [a, 4 (0 + a2 4 (0 ] e “ sí dt Jo

= a, f 4 (0 e -st di + a2 f 4 (0 e~s' cfí

= a ,£ [4 (0 J + a 2£ [4 (0 ]

= ai F i (s ) + a2 F 2(s).

(B .8)

PRO BLEM A B.4 Hallar la transformada de Laplace de

fC O -cos cot, t > 0

0, t < 0.(B.9)

S o lu c ió n : por la identidad e ±,eút = eos cot ± j sen cot, se tiene

eos cot = J ( eJÚ>t + e~Ja" ) .

Utilizando el resultado (B.7) del problema B.2, se tiene

£ [e ÍCÜt] = — , £ [ e- ^ ] = — í— , /?e[s] > 0. s - jeo s + jeo

(B.10)

Y utilizando (B.8), se obtiene

£ [c o s cotí =2 l_s - jeo s y ]co

■, J?e[s] > 0. (B . l l )

A continuación se considerará la relación entre la transformada de Laplace de una

PRO BLEM A B.5 Si £ [/ (/ ) ]= F (s ) , hallar la transformada de Laplace de

m .dt

S o lu c ió n : por definición,

e sí dt,

integrando por partes, se obtiene

e i- r

1 [f ] = [í(0 e-s'3" + s J~/(í) e-s' du

Puesto que para R e ís ] > 0, lim [/(<) e " sí] = 0,

= s F (s ) - /(O).

a, o si f ( 0 - ) difiere de /(O +). Si se escoge 0 - como el lirrute inferior en la

F(S) = £ [/ (# )] - Ir (B.13

í<0-X ÍB.

Esta es una íonna muy apropiada para utilizar, dado que en la mayor paite de los problemas se conocen las condiciones iniciales en / = 0 mientras que las condici

:0 + ,

F ( * ) = f [1(1)3 * f /(<) » - • ' <ft,

( / ; ' * * < • > - /(O*).

en la integral que define

( f t l i

(B .K

PRO BLEM A B.6 Hallar la transformada de Laplace del impulso unitario 6 (f).

S o lu c ió n : en el problema 2.27 se demostró que

<Ai(í)5 (0 =

dt (B. 17)

Utilizando esto en conjunto con (B.12) y (B.5), se obtiene

£ [ 5 ( t ) l - £ t o ü ‘L d t .

= s £ [« (< ) ] - u ( 0 )

= s A _ u (0)S

= 1 - u (0). (B.18)

Obsérvese que en la definición de u (t ), dada en (B.4), u (0 ) no está definida. Si se utiliza (B.16), entonces

£ [8 (0 1 = 1 -u (0 + ) .= 1 - 1 = 0, (B. 19)

mientras que si se utiliza (B.14), entonces

£ [5 (0 1 = l - u ( 0 ~ ) = 1 - 0 = 1 . (B.20)

Como en el caso de la transformada de Fourier, es conveniente tener

£ [5 (0 1 = 1- (B.21)

De esta manera, se observa nuevamente una ventaja en seleccionar 0 - como el límite inferior, de la integral que define la transformada de Laplace.

PRO BLEM A B.7 Si J?[/(f)]= F (s ), hallar la transformada de Laplace de

j ‘ ((T) dX.


é(t)= J ‘ f(x)dr.

entonces

¡(0dt

= /(O,

de tal manera que mediante (B.14), se obtiene

sG ( s ) - g ( 0 - ) = F (s ),

donde G (s ) = £ [# ( * ) ] • Por el resultado (B.23), se tiene

G (s ) = - F (s ) + - é (0 —).

(B.22)

(B.23)

(B.24)

Dado que é ( 0 - ) = J~ / ( T ) d x , entonces

U' /(T)rfT = i F(s) + Í .J°"/(T)dT. (B.2S)

setrata con funcionesfuentes \

que se suponen ser cero antes de que t ~ 0. Si / ( f ) es i i, se puede expresar

L O * HB.2 R ELA C IO N EN T R E LA S TRAN SFORM ADAS

DE FO U R IER Y LA PLA CE

Fourier y Laplace revela una considerable similitud:

Para algunas funciones f { i ) , las fórmulas pueden ser las mismas. Esto se ilustra en los dos.

(B.29)

(B.30)

PR08LEMA B.8 Si f ( t ) es causal, es decir,

f ( f ) = 0 para t < 0,

í /(OI dt < °o,

entonces, demostrar que

? [ / « ) ] = £ [ / ( 0 U , , (B.31)

S o lu c ió n : por la definición (B.28), se tiene

3: f / ( í ) ] = J /( í ) e~’ m dt

J e~Ía>‘ dt +' J e~ÍÍ0' dt

í i (0 dt (B.32)

dado que f { t ) = 0, para t < 0.

La transformada CJ [/ (? )] existe si se cumple la condición (B 30 ). Comparando (B.32) y (B.27), se obtiene

(01

PRO BLEM A B.9 Utilizar (B.31) para encontrar la transformada de Fourier de

' e~a ‘ , t > 0/ (í ) =0, t < 0,

donde a > 0.

So lu c ión : puesto que f ( t ) = 0, para t < 0 y a > 0 ,

Jo J0 a

y se puede aplicar (B 31 ). Por el resultado (B.7) del problema B.2, se tiene

a

£ [ f ( 0 ] =1

s + a

Por tanto,¿egún (B.31), se tiene

? [/ (í)l 1 s + a

1(B.33)

s=¡(0 ¡co + a J

que es exactamente el resultado obtenido en (4.47).

PROBLEMA B.10 Demostrar que la transformada de Fourier del escalón unitario u (t ) no se puede encontrar a partir de (B 3 1). ’

So lu c ión : puesto que

J |u(0|<# = (* 1 dt = 0

la condición (B.30) no se cumple; por tanto, (B.31) no se puede aplicar. En efecto, según los resultados del problema B .l y problema 5.9, se tiene

£ [ u ( í ) ] = - y ? [ u « ) j = 7 t 8 ( co ) + - 1 .

s Í cú

demostrar que

5 [ / ( í ) l [/ (0 1 .- /W + ^ 1 / ( 0 1 — i« si / ( í ) es par (B.34)

Í f ( / ( 0 I = ■ £[ í ( 0 1 s -/<ü - ^ U ( 0 1 « = - jcj s i / ( í ) esim p ar (B.35)

S o lu c ió n : mediante (B.28), se tiene

5F[/(01 = J * l ( t ) e " ' " ' dt

= f ~ /(O e " '" * dt + f ° /(O e - ^ ' dt. (B.36)J q J-OC

Si J" |/(0 ! dt < entonces existe J f ( t ) e i i '-1>'d t y es igual a

ÍU C O ls ^ ^ -Si /(/) es par, es decir, f ( ~ t ) = f ( t ) , entonces, cambiando las variables de integración,

se tiene

J ° dt = / ( - T ) e ' " T c?T

= P f ( T ) e - <- /" )T c/TOq

= Í U ( í ) l . - ^ - (R 3 7 )

Si f ( t ) es im par, es decir, / (— t ) = —f { t ) , entonces

J ° / (() e - íwt d i = / ( - T ) e ÍÍJ< dx

= - p / (T )e -< -Ja,>T <ÍTd0

= (B.38)

Sustituyendo (B 37 ) y (B 38 ) en (B 36 ), se obtiene

y [/ (o í = £ [/ (o i . - * , + í i / ( 0 ) . _ _ si / ( - o = /(O.

y [/(oí = fr/(oi.->«-£ [/(o].—/« si /(-o = -/(o-

PRO BLEM A Bi 12 Demostrar que una función f ( t ) , que ti se puede representar unívocamente como una transformada

S o lu c ió n : puesto que ja transformada de Laplace está dse denomina con frecuencia transformáda unilateral de Lapl

Con la misma forma de onda para t > Q y diferente^en la regi inversa de Laplace no puede representar unívocamente una 1

la transformada bilateral de Laplaee, se defe® encontrar un fardo; da convea Re [s j = o = O j, para la primera integral, y R e [ í ] - a - c2, para 5s segunda. Entonces, transformada bilateial de Laplace existe para o ¡ < R e [s j < o , .

P o r o t r a p a r t e , a l a t r a n s fo r m a d a d e F o u r ie r e x i s t e , e n t o n c e s e s v á l i d a p a r a t o d a

variable reai tu. ;;;

P o r t a n t o , d e e s t a s o fcs s tV ac íc tté s s e c o n c lu y e q u e l a s t r a n s fo r m a d a s d e L a p la c e y

Fourier son distintas y que ninguna es generalización d e la otra.

TRES FORMAS DE LAS SERIES DE FOURIER

cAPENDICE

Forma 1: trigonométrica

/ ( 0 = Í 2 + V ( a n cosn<y0í+ bn senncü0f ) .2 t i

Forma 2: trigonométrica

/ (0 = c 0+ £ C„ eos (n<u0 í - 6 „ ) .n= i

Forma 3: exponencial compleja

f ( í ) = ¿ cn e 'n ' .

Para todas las formas anteriores

/ (t + T ) = t ( t ) , (ú0 = 2n-

Fórmulas de conversión:Paran =£ 0,

c„ = (an - i 6n)> c _ n = i (an + ;6 „ ) = c* ,

c„ = c„ e l<t>n cn\ = —■ Va* + b2n , 4>n = tan"1

an = 2 Re [c n] , bn = — 2 /m [cn] ,

C „ = 2 |c„i = Va„ + •

Para n = 0,

°0 - 2 ao =

DAPENDICE resu m en de las

CONDICIONES DE SIMETRIA

Resuman de las condiciones de simetría para ondas periódicas y coeficientes de Fourier.

T ipo de simetría Condiciones Form as de las series de Fourier Fórmulas de ios coeficientes de Fourier'

Par /(<) = /(-< ) 1 (0 = —■ + ^ a„ co s n (o„t á r T/1a„ = y 1 1 (0 co s (nw0 f) di

Impar f ( f ) = - f ( - f ) H l ) = £ b„ sen nto„fn=t

a r r/2 ón - — 1 1 ( t ) sen (n<o„t)dt

Media onda «'»—'(■ *1)f(<) = ^ l«2n-l COS (2n - l)<d0í

n=l

+ *2n-l S®n (2n - l)<U(,t]

« 2n - n . <-r ' s reosL i J f ( í ) J [< 2 n -l)« „t]d í

b in -i J T Jt Isen

Cuarto de onda parf ( t ) - / ( - » ) y

'<* < 1) 0 3* 1 $

a r T/4« 2n-i = J K O cos [(2n - l)ft)0t]d f

Cuarto de onda impar

*- +

1 1

II II

f ( 0 = ¿ i 2„ _ , sen (2ri -l)«> 0fn -l

a r T/*6* -> = 7 j « O s e n [ ( 2 n - l ) « M ] * '

EPROPIEDADES DE LA APENDICE TRANSFORMADA DE

FOURIER

Las funciones son periódicas con período T, a > 0; b, ta y co0 = lir/T , son constantes reales, con n = 1 ,2 ,- - - .

f ( t ) F (cu)

a , / , ( f ) + a 2 f2 ( t ) a , F t (cu ) + a 2 F 2 (cu)

H a t )| a | \ a )

f ( - t ) F (-< d )

f ( í - t o ) F (cu) e ~ ic‘>‘°

f ( t ) e ‘ “ ° l F (cu - cu0)

f ( t ) COS ÜJ0t — F (cu — <u0) + — F (co + cu0) 2 2

f ( t ) sen cu„f — F (&) - cu0) - — F (<w + 2 ; 2 j

f e ( 0 = | [ / ( » ) + / ( - * ) ] Rico)

/0 ( í ) = i [ f ( t ) - / ( - t ) ] j X (üj)

f ( 0 = f . ( 0 + / * ( 0 F(co) = R(co) + jX (co)

F ( f ) 2 7 T t ( - C 0 )

/ ' ( O jco F (cu)

( jcú)n F (cu)

J H x ) d x — F (cu) + n F (0 ) 5 (cu) jco

- j t f i t ) F'(cu)

i - j t ) n f ( t ) F <n>(cu)

* 4 ( í ) = f / , ( x ) / 2 ( í - x ) d x* —oo

Fj (cu) F2 (cu)

/(O F(a>)

/ .(O / , (O

e - a'u ( f )

P„ (0 =1 para ]f| < a/2

O para |(| > a/2

sen at nt

te~a’ u ( t )

" u ( 0( " - l ) í

e _a ' sen b tu (t )

e_a í cos b tu (t )

F ^ io j) * F 2 ( c o ) = j F , (y )F ;,(cü -;K )< íy

/ « + a

2a a2 + cü2

/]T e-'¿ '(Aé)

sen f?)( ? )

P2B (<o)

1(/&> + a)2

1( ; cü + a )n

b( jco + a )2 + b2

jco + a (/ai + a)2 + b2

a2 + f2

cos bt % 77

a2 + t2 2a

sen ¿>r 77

a2 + £2 2 a j

S (r )

5 ( í - í 0)

S ' ( í )

5<">(í)

« ( 0

n ( í - í o )

1

e - ^ ’o

jco

(j<o )n

7rS(w) + — jco

nS(co) + - i - e~ ’ ut° jai

2 n8 (co)

2 n j S '(co)

2 77/” §< ” > ( t u )

/ ( O F (ce)

e ' ü’a‘ 2n8 (ce—ce0)

C O S d>0 f 77 [ 8 (ce - d l0 ) + 8 ( d i + (U0) l

sen ce0f -/n-[S(ce - ce0) - S(ce + ce0)]sencu0fu(í) ———+[8 (cu - ce0) - 8 (ce + ce0)]

d>0 — cu3 2 j

C O S C U 0 í u ( f ) V.' — [ S ( d l — CU0) + 8 (d ) + d l0 ) ]col - oí 2t u ( t ) jr rd 'ic o )— i -ce

-L i r j — 2 rr j u(cu)t

— ~t -2 n j u (<u)]í n ( n - 1 ) !

sgn í

Otras propiedades:

j(ú

5T(t)= ^ 8(t-nT) cUoS (cu) = cu0 ^ 8(ce-nce0)

J {¡ ( t ) f 2( t ) d t = ~J F, (ce) F 2* (ce) dce,

J |/(f)|*dí = ¿ - J |F (cu)|2 dco,

j í (x)G(x) dx =J F (x )¿ (x )d x .

FAPENDICE

LISTA DE SIMBOLOS

a" )m Masa

Coeficientes de Fourier mn Momento enésimo de X

cn ) m it) Mensajea (t ) Respuesta al esealón unitario n(t) Ruido

B Coeficiente de amortiguación P El operador d/dtC Capacitancia p (x ) , p ( x , y ) Densidad probabflística od Duración de un pulso función de frecuencia

Núcleo de Dirichlet Pd i{) Pulso rectangular de

E Contenido de energía; esperanza amplitud unitariamatemática y duración d

Ek Error cuadrático medio P Potencia

f Frecuencia P (x ) , P ( x , y ) Función de distribución

m Función del tiempo probabilística

ii/ ii2 Contenido de energía de f i t ) P ico ) Densidad espectral de potencia;

F (o j ) , F ( jo j ) Transformada de Fourier de / (?) espectro de potencia

Fc(w ) Transformada coseno de Fourier R Resistencia

de / (r ) . Parte real de F (co )

Fs( co) Transformada seno de Fourier F h .F m j ••• Funciones de autocorrelación

de f i t ) * F l2 ,F 2j , ... Funciones de correlación

11 F||2 Contenido de energía de F ji jF jj, ... Funciones de autocorrelación

F ( « ) promedias

G Conductancia F l2 ,F 2i, ... Funciones de correlación

h{t) Respuesta al impulso unitario promedias

H (p ) Función operacional del sistema Si Función seno integral

H (G ú ),H (ju ) Transformada de Fourier de h (l ) ; sai t ) Función muestreadora

función del sistema S ki 0 Suma de los primeros (2 fe + 1)

i , I Corriente términos de la serie de

I * Amplitud del fasor que representa Fourier de f i t )

la corriente i ( í ) t Tiempo

k Constante de Boltzman; constante T Período de una función

del resorte periódica; temperatura;

K Conductividad térmica tensión

k7,k x , . . . , k mn Constante de separación T Centro de gravedad del área

L Inductaneia; operador lineal bajo la curva / 2( í )

tr Tiempo de ascensoek Error entre /(/) y Sk( t )

Td Duración efectiva del pulso 6 Angulo de faseu Deflexión del cordel o de la

membrana; potencialA Longitud de onda

electrostático; distribuciónP Densidad

de temperatura0 Desviación estándar

u (t ) Función escalón unitario4> Función característica;

v, V Voltaje ángulo de fase;

Vm Amplitud del fasor que representa función de prueba

al voltaje v (t ) <t>m Indice de modulación

X Desplazamiento; variableco Frecuencia angular

X Variable al azarco Centro de gravedad del

X (co ) Parte imaginaria de F(co)área bajo la curva

Y (p ), Y ( f u ) Admitancias . o * , ? . )

l-F(co)|2

Z (p ) , Z ( j o j ) Impedaneia Transformada de Fourier

a Constante de Atenuacióny ;1)

(coseno, seno)

P Constante de fase Transformada inversa de

a r,>Pn Coeficientes de Fourier Fourier (coseno, seno)

7 Constante de propagación£tí — \

Transformada de Laplace

5 (0 Función delta o impulso

unitario

£ 1 Transformada inversa de

Laplace

sr (0 . §wc (w ) Tren periódico de impulsos £u Transformada bilateral de

unitariosR e

Laplace

A f Dispersión en el tiempoLa parte real de

Acó Ancho de bandaIm La parte imaginaria de

INDICE

123 128náe amplitud), 156-160

* a a , E KSLÜ lateral única), 179 I8 C ?S -dacíe banda lateral y

anrañzra suprimida), 158 - íia ju ■ 156

« o b as xm m espectral, 229, 236 sotadrado, 231

147, 229, 236 147

a a m a . 229229, 236i mediante una serie finita de

13-16

■L 221 ÉL I iS . 169 *,171-172,175

a i, 221característica de la, 224

245enésimo de la, 223

ca e ¡Endonada, 226 nvr'rr -J 226

cr -cenirático medio de, 223 ar m e o de, 223 a m a s e . 223

,157.25 "l BT

229431en estado estacionario,

Cálculo de ruido, 175 Característica de transmisión, 215

de una pantalla absorbente, 215-216 de una rendija, 215-216 de una rejilla de difracción, 216-217

Causalidad, 239 Centro de gravedad, 228 Circuitos eléctricos, 127 Coeficientes de Fourier

con respecto al conjunto ortonormal, 23 de ondas simétricas, 28-33

simetría de cuarto de onda, 29 simetría de media onda, 29 simetría impar, 28 simetría par, 28

evaluación de los, 7-13 por diferenciación, 45-48 por medio de la función 5, 62-65

Coeficiente de transmisión, 215 Condiciones de Dirichiet, 16, 24 , 247 Condiciones de frontera, 183 Condiciones iniciales, 183 Conducción de calor, 199-205 Conjunta

función característica, 226 función de densidad, 226 función de distribución, 226

Conjunto ortonormal, 50 Constante de propagación de una linca

de transmisión, 143-144 Constante de separación, 184 Contenido de potencia, 65, 172

de una función periódica, 65 de una señal, 172

Convergenciade una sucesión de una función

generalizada, 43 de la serie de Fourier, 16, 247

en un punto de discontinuidad,17, 251

Convolución, 88-92, 133de las funciones causales, 88, 137 ley asociativa de la, 89 ley conmutativa de la, 89

Convolución en dos dimensiones, 221, 245 teorema de la, 221

Cuerda vibrante, 212energía instantánea de la, 212 energía cinética de la, 212

Defasador, 149 Delta de Kronecker, 23 De las series de Fourier a b

Fourier, 71-73 Demodulación, 158-159 Densidad espectral de pote

de una función perió«Si del ruido blanco, 174 del ruido térmico, 174

Derivadas generalizadas, 4 de una función con cas

42-43Descomposición de una f *

funciones pares = Desigualdad de Schwaitz, Desviación de frecuencia *

señal de FM, 16 Desviación estándar, 223 Detección, 158 Diferenciación de las señes Difracción, 215

de Fraunhofer, 215 de rayos X por cristates patrón de, 215 por una rejilla, 216 por una rendija, 216

Discontinuidades, 16,42 súbitas, 42

Dispersión, 228 Distribución de temperatm

estacionario de una barra infinita, 2 de una barra senu-inñni de una placa semicircofe

Distribución del objeto, 21 Distribución de potencial d

rectangular, 206 Doble banda lateral y porta

(DBLPS) señal de AM con, 158

Ecuación del calorfunción de Green de la.

Ecuación de Laplace, 187, Ecuación de Parseval, 114

Bbp lac iano , 199, 205en coordenadas cilindricas, 206 en coordenadas esféricas, 206 en coordenadas rectangulares, 206

B principio de incertidumbre, 228 de Heisenberg, 228 en e l análisis de Fourier, 228-236 en e l análisis espectral, 228

Energía cinética de una cuerda vibrante, 212 Energía

contenido, 94, 166, 228de una señal (o función), 94, 166,

228densidad de, 171 densidad espectral de, 94, 98 espectro de, 92, 94, 98, 171

Energía instantánea de una cuerda vibrante, 21 2

Enésimo armónico de una función periódica, 5

Enésimo momento, 100, 223 de una función, 100 de una variable al azar, 223

Error¡t cuadrático m ed io , 14

( en la aproximación por una serie finita de Fourier, 13, 16

Error cuadrático medio, 14 con serie finita de Fourier, 14 mínimo, 14

Espectro de magnitud, 74, 81,Espectro de potencia, 171 (ver densidad

espectral de potencia)Espectro de potencia media, 171 Espectro frecuencia]

complejo, 58 continuo, 71, 81 de una señal DBLPS, 158 de una señal ordinaria de AM, 157 de una señal MAP, 164-166 de una señal periódica, 52 de una señal senusoidal modulada en

FMj 162-164 discreto, 52, 58, 72

Esperanza matemática, 223 Evaluación de los coeficientes de Fourier,

7-13por diferenciación, 45-48 usando la función 6, 62-65

Expansión de Fourier de medio intervalo,34-35

Expansiones de medio intervalo, 34-35 series de Fourier en cosenos, 34 series de Fourier en senos, 34

Expansión en serie de Fourier de unafunción en un intervalo finito, 33-37

F

Faseángulo de, 5 espectro de; 58, 74 función de, 182 modulación de, (PM ), 160 respuesta de, 142 retraso, 132

Fasores, 126representación fasorial de funciones

senusoidales, 126 Fenómeno de Gibbs, 253 Filtro ideal, 144-147

para altas frecuencias, 149 para bajas frecuencias, 144

ancho de banda del, 147 frecuencia de corte del, 144

respuesta al escalón unitario del,145-147

respuesta al impulso unitario del, 144-145

tiempo de ascenso, 147 Flujo de calor en estado estacionario, 187 FM (modulación de frecuencia), 161

banda angosta, 180 desviación de la frecuencia angular de,

162espectro de una senusoidal modulada,

162-164 índice de modualdón de, 161 señal de, 161

Frecuencia de corte, 144 función de, 221 fundamental angular, 5, 72 instantánea, 161, 182 portadora, 157

Fórmula de la sumatoria de Poisson,236-239

Fórmula de inversión, 224 Función de autocorrelación, 95

promedio, 166transformada de Fourier de la, 98

Función de autocorrelación promedio, 166 de ondas senusoidales, 168 de señales periódicas, 167, 169

del ruido blanco, 174 del ruido térmico, 174 transformada de Fourier de la, 168

Función de entrada, 121 punción de Green, 205

de la ecuación del calor, 205 Función de prueba, 37, 114 Función de salida, 121

Función delta, 37-43 -(ver impulso unitario) bidimensional, 245 definición de la, 37 derivada de la, 40 representación integra] de la, 103 transformada de Fourier de la, 102, 115 transformada de Laplace de la, 258

Función envolvente, 182 Función gaussiana, 101, 234

transformada de Fourier de la, 235 Función generalizada, 37, 103

sucesión de la, 43convergencia de la, 43

transformada de Fourier de la, 102, 114-118, 268

Función impar, 24coeficientes de Fourier de la, 28-29 integración de la, 26 transformada de Fourier de la, 77

Función maestreada, 151 Función muestreadora, 62, 154

Función propia (o característica), 124 de un sistema lineal, 124

Función seno-integral, 146,- 255 Función simbólica, 37-103 Función unitaria de Heaviside, 42 (ver

escalón unitario)Función theta, 238 Funciones de Bessel, 163

función generadora de las, 163 Funciones características, 224

conjuntas, 226 •derivadas de las, 225

Funciones causales, 137, 239 convolución de las, 88, 137 transformada de Fourier de las, 239

Funciones de correlación, 94-98 autocorrelación, 95 correlación, 94 promedio, 166-171

Funciones de correlación promedio, 166 de señales reales periódicas, 168-169 transformada de Fourier de las, 180

Funciones pares, 24coeficientes de Fourier de las, 28 integración de las, 26 transformada de Fourier de las, 77

Funciones periódicas, 1 armónico enésimo de las, 5 autocorrelación de, 167 componente fundamental de, 5 contenido de potencia de, 65 correlación de, 167 densidad espectral de potencia de, 173 espectro frecuencia! complejo de, 58 período de, 1 series de Fourier de, 4 transformada de Fourier de, 110-113

Fundamentalcomponente fundamental de una

función periódica, 5 frecuencia angular fundamental, 5 , 72

Identidad de Fourier, 73 Identidad de Parseval, 23, 67 Identificación de señales usando

correlación, 169-171Imagen

de una fuente puntual, 219 distribución, 219 formación, 215-221

Impedanciaoperacional, 123 senusoidal, 128

Impulso unitario, 37-43 (ver función ddta) Integración de las series de Fourier, 17 Integral de Duhamel, 141 Integral de Fourier, 71, 74 Integral de superposición, 138-141 Integral del valor absoluto de una funcios,

16, 74, 102Intensidad

de iluminación, 219 distribución, 216

producida por una rendija, 216 producida por una rejilla, 216-218

(ver

, 239

io, 166 68-169 s, 180

, 28

is, 77

;ia de, 17 3 ¡o de, 58

, 110-113

e una

¡ntal, 5, 72

r función delta)

ourier, 17

38-141 e una función.

i de onda sa dos dimensiones, 189 ea ana dimensión, 183

L z tranformada de Fourier en dosdimensiones, 218-220, 227

le y asociativa de la convolución, 89 Ley conmutativa de la convolución, 89 Línea de transmisión, 143

constante de propagación de la, 143-144 función del sistema para la, 143

M

Modulaciónangular, 160-164de amplitud (A M ), 156-160de amplitud de pulsos (M AP), 164de fase (PM ), 160de frecuencia (FM ), 161de pulsos, 164-166índice, 160-161

de una señal de FM, 161 de una señal PM, 160

Momento, 100, 223 enésimo, 100, 223

de una función, 100 de una variable al azar, 223

N

Núcleo de Dirichlet, 247

Onda incidente, 215 Onda plana móhocromática, 215 Ondas periódicas, 24

análisis de, 24 Ondas viajeras, 197 Operacional

admitancia, 123

función del sistema en forma, 121 impedan cia, 123

Operador lineal, 122 Ortogonales

conjunto de funciones, 5 funciones, 5, 57

definición de, 5, 57 variables al azar, 226

Ortogonaüdadde las funciones exponenciales

complejas, 57-58 de las funciones seno y coseno, 5

■ndija, 216 ijilla, 216-218

Pantalla absorbente, 215

3 5 - 2 3 *pizizc. 5r -irr—i.-m r nr- ~:i ~3 -

Periododefinición, de, 1

PM (modulación de m e| , 160 Portadora, 157

frecuencia de la, 157 Potencial electrostático, 187 Principio de superposición, 121 Probabilidad

función de distribución de, 221 conjunta, 226

función de densidad de, 221 conjunta, 226

teoría de, 221-228 Problemas de valor en la frontera, 183-214 Problema de valor inicial, 197 Propiedad de desplazamiento en el tiempo

de la transformada de Fourier, 84 Propiedad de desplazamiento en la frecuencia

de la transformada de Fourier, 84 Propiedad de escalonamiento de la

transformada de Fourier, 83 Propiedad de linealidad de la transformada

de Fourier, 83 Propiedad de simetría de la transformada

de Fourier, 85 Pulsos rectangulares

espectro de frecuencia de, 58 Punto de discontinuidad, 17

Relaciones entre la entrada y la salida, 175 Relación entre las transformadas de Fourier

y Laplace, 259 Representación en serie de Fourier de una

función no periódica, 72-73 Representación integral de la función delta,

103Respuesta

amplitud de la respuesta, 142 a un escalón unitario, 138 a un impulso unitario, 138 de un sistema lineal, 133

a una función exponencial, 123 en estado estacionario, 125 fase de la, 142 función de la, 121

Respuesta en estado estacionario de un sistema lineal, 125-127

senusoidal, 125 Ruido, 166, 175

al azar, 166 blanco, 174 térmico, 174

Senusoidaladmitancia, 128

función, 5 impedancia, 128

Senusoide modulada en am ángulo, 182

Señalesalazar, 171-17.2, 175 AM (modulación de am

BLU (banda lateral i DBLPS (doble bandi

portadora suprira analíticas, 182 ancho de banda de las, contenido de energía de

228de banda limitada, 151, de tiempo limitado, 15 duración de las, 228 FM (modulación de frec

de banda angosta, II incoherente, 180 MAP (modulación de an

pulsos), 164 moduladas en ángulo, 1 no correlacionadas, 180 PM (modulación de fase; recortados, 180

Señal FM de banda angosta, Serie(s) de Fourier, 1, 4

compleja, 53 convergencia de las, 16, de derivadas de funrioae

discontinuas, 43- de una función diente & de una función senusoidi de un tren periódico de i

unitarios, 44, 62 diferenciación e integrac divergencia de las, 17 doble, 191expansión de una fundó;

intervalo finito, : finitas, 13forma compleja de las, 5 teorema de diferendadó trigonométricas, 4

Series de Fourier en término Series de Fourier en ténmoo Series dobles de Fourier en i

seno, 208 Serie finita de Fourier, 13

aproximadón por una, 1 Separación de variables, 18; Sgn f (Signum í ) , 108 Simetría

propiedad de la transfon 85

de onda, 24 Simetría de cuarto de onda,

impar, 27 par, 27

coeficientes de Fouñ¡ con, 29-31

Simetría de media onda, 27 coeficientes de Fourier d

con, 29

Simetría escondida, 27 Sstema

causal, 137de formación de imágenes, 245 de parámetros constantes, 121 físicamente

no realizable, 145 realizable, 145

invariante en el espacio, 245 invariante en el tiempo, 121, 122 mecánico, 131 óptico, 215que no introduce distorsión, 142

Sstema lineal, 121característica de filtro del, 144 función propia dei, 124 respuesta a una función exponencial, 123 respuesta al impulso unitario de un,

133-134respuesta al escalón unitario de un,

138-139 respuesta de amplitud del, 142 respuesta de fase del, 142 respuesta senusoidal en estado

estacionario del, 125 valor propio de, 124

Teorema de eonvolución en el tiempo, 90 en dos dimensiones. 221 en la frecuencia, 91

Teorema de eonvolución en la frecuencia,

151, 156Teorema de la integral de Fourier, 73

Teorema de modulación, 156 Teorema del muestreo, 151, 155

en el dominio de la frecuencia, 154 en el dominio del tiempo, 151 uniforme, 151

Teorema de Parseval, 16, 65, 67, 92,94, 98, 173

en dos dimensiones, 244 Teorema de translación en la frecuencia,

156Teorema de Wiener-Khinchine, 98, 101 Teoría de comunicaciones, 151-182 Teoría de potenciales, 205-212 Tiempo de dispersión, 228 Tiempo de subida, 147 Transformada coseno de Fourier, 79 Transformada de Fourier, 74

aplicaciones misceláneas de la, 215-246 bidimensional, 218-220, 227 con + j , 224 de derivadas, 86 definición de la, 74 de funciones especiales, 102, 120 de funciones generalizadas, 102,

114-118, 265 delafurición 5, 102, 115 de la función gaussiana, 235 del coseno, 105 del escalón unitario, 102, 115 del impulso unitario, 102, 115 del seno, 105 de una constante, 104 de una función exponencial, 78, 105 de una función impar, 77 de una función par, 77 de una función periódica, 110-113 de un pulso rectangular, 78

de un tren de impulsos unitarios, 111-112

de un tren de pulsos rectangulares, 113 doble, 227en difracción y en formación de

imágenes, 215-221 en teoría de probabilidades, 221-228 interpretación de la, 81-82

Transformada de Hilbert, 239, 242, 246 Transformada de Laplace, 256

bilateral, 261 definición de la, 256 de un escalón unitario, 256 de un impulso unitario, 258 inversa, 256relación con la transformada de Fourier,

259 unilateral, 261

Transformadas seno de Fourier, 79-80 Transformada tridimensional de Fourier,

221Transmisión sin distorsión, 142-144

V

Valor cuadrático medio, 223 Valor medio, 223 Valor propio (o característico), 124

de un sistema lineal, 124 Varianza, 223 Vibración, 189-199

de una cuerda, 183 de una cuerda infinita, 195-197 de una membrana, 189 de una viga uniforme sujeta por un

extremo, 193

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Análisis de Fourier - Hwei P. Hsu

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