Análisis de Sensibilidad.

El propósito del análisis de sensibilidad es identificar los parámetros sensibles (aquellos que no pueden cambiar sin cambiar la sol. óptima).

Si se descubre que el valor verdadero de un parámetro sensitivo difiere de su valor estimado en el modelo, esto dará señal inmediata de que la solución debe cambiar.

Cómo se identifican estos parámetros sensibles?

En el caso de bi, esta información está dada por los precios sombra que proporciona el método Simplex. En particular si Yi* > 0, entonces la solución óptima cambia si cambia bi, por lo que bi, en un parámetro sensible.

Si Yi* = 0 la solución óptima no es sensible, al menos a cambios pequeños.

Cuando el problema tiene sólo dos variables, la sensibilidad de los distintos parámetros se puede analizar con una gráfica. Por ejemplo:

En la figura se observa que C1 = 0.25 se puede cambiar a cualquier valor dentro del intervalo (9/40, 27/40) sin que la solución óptima (90,105) cambie. La razón es que cualquier valor de C1 dentro de este intervalo mantiene la pendiente de Z = C1x1 + 0.45x2, entre las pendientes de las líneas:

L1: 4x1 + 8x2 ≤ 1200 y L2: 12x1 + 8x2 ≤ 1920

m1 = -12 y m2 = -

32

⇒ m z=

C1

0 .45 →

12≤

C1

0 .45≤3

29

20≤

C1

0. 45≤27

40

Además si C2 = 0.45 es el único parámetro que se cambia, este puede tomar los valores de:

12≤

C1

C2≤ 3

223≤

C2

C1≤2

23≤

C2

0.25≤2

16≤C2≤

12

Así ni C1, ni C2 son parámetros sensibles.

Para analizar la sensibilidad de los parámetros aij se debe verificar si su restricción correspondiente es independiente (independiente) en la solución óptima.

Asi: 4x1 + 8x2 ≤ 1200 y 12x1 + 8x2 ≤ 1920

Son restricciones de atadura, por lo que cambiar cualquiera de sus coeficientes a11 = 4, a12 = 8, a21 = 12, a22 = 8), tendrá que cambiar la solución óptima y por lo tanto estos son parámetros sensibles.

Por otro lado como 10x1 + 30x2 ≤ 4200 no es atadura, cualquier cambio suficientemente pequeño en sus coeficientes (a31=10, a32 = 30) no cambiará la solución óptima. Así que éstos no son parámetros sensibles.

En los problemas reales es de más importancia el análisis de sensibilidad sobre los parámetros bi y cj que sobre las aij, ya que estos son despreciables, porque además los aij quedan determinados por la tecnología que se está usando.

Rango de variación de los coeficientes de la función objetivo

Considerando el problema:

Min Z = 500 x1 + 2000x2 s.a: 3x1 + 2x2 ≥ 36

6x1 + 3x2 ≥ 60 ∀ xi ≥ 0 ; i = 1,2

Cuya solución gráfica es:

Para C1:

Min Z = C1X1 + 2000X2 mz = -C1/2000Límite mínimo: m1 = -3/2Límite máximo: m2 = 0 luego: -3/2 ≤ -C1/27 ≤ 0

0 ≤ C1 ≤ 3/2Para C2:

Min Z = 500X1 + C2X2 mz = - 500 / C2

-3/2 ≤ - 500/C2 ≤ 0

-2/3 ≤ C2 / 500 ≤ ∞ → -1000/3 ≤ C2 ≤ ∞

Rango de variación de los bi

Para b1: Límite Superior

De la gráfica el límite máximo es infinito (∞)

Límite inferior

El límite mínimo es en el punto de intersección de la recta L2 con el eje XEs decir el punto (10, 0)Entonces reemplazando en la restricción correspondiente a b1 se tiene:3(10) + 2(0) = 30

Por lo tanto: 30 ≤ b1 ≤ ∞

Análogamente se tiene para b2 - ∞ ≤ b2 ≤ 72

ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD GRÁFICO PARA 3 RESTRICCIONESLa metodología y conceptos presentados para el caso de 2 restricciones no difiere, sin embargo, hay que tener especial cuidado cómo la inclusión de una tercera restricción afecta el análisis. Veamos el siguiente ejemplo:

MaxZ = 4X1 + 3X2

S.a:

6X1 + 2X2 <= 120

.. .1X1 + 4X2 <= 100

..5X1 + 5X2 <= 150

.. ..X1 >= 0, X2 >= 0

La solución gráfica de este ejemplo permite obtener la solución óptima X1

=15, X2=15 con valor óptimo Zopt=105, tal como se observa en el gráfico a continuación:

Antes de proceder con el análisis de sensibilidad es conveniente verificar si las actuales restricciones del problema están activas en el óptimo, es decir, si se cumplen en igualdad:R1: 6*(15) + 2*(15) = 120 => R1 es una restricción activaR2: 1*(15) + 4*(15) < 100 => R2 no es una restricción activaR3: 5*(15) + 5*(15) = 150 => R3 es una restricción activaEn el caso que el lado derecho de la restricción sea un recurso, resulta lógico

tener una disposición a pagar por unidad adicional en la medida que dicho

recurso se esté ocupando a máxima capacidad. En consecuencia, una

restricción no activa tiene por definición un precio sombra igual a cero (caso

de R2) ya que un aumento del lado derecho no aumentará el valor óptimo

actual V(P)=150. Sin embargo, sólo en casos muy particulares podemos

encontrar restricciones activas con precio sombra (o costo reducido) igual a

cero, lo que es más la excepción que la regla.

Luego de esta introducción veamos el cálculo del precio sombra o costo

reducido para la restricción 1 (R1). Primero, debemos desplazar en forma

paralela la restricción 1 hasta el punto máximo donde la solución óptima se

siga encontrando con las actuales restricciones activas R1 y R3. Dicho

punto es (X1,X2 )=(30,0). Posteriormente, desplazamos en forma paralela la

restricción 1 (R1) hasta el punto mínimo donde la solución óptima se siga

encontrando con las actuales restricciones activas R1 y R3. Nótese que este

desplazamiento queda acotado hasta el punto donde la restricción 2 (R2) se

vuelve activa, que corresponde al punto (X1,X2 )=(6,666, 23,333) como se

muestra en la siguiente gráfica:

Zopt.

Zo

Zopt.

Por consiguiente, el precio sombra asociado a la restricción 1 queda dado por:

Casos Particulares

a. Solución óptima finita única.- Si la solución óptima es finita y única quiere decir que la solución óptima ocurre en el vértice extremo de la región de solución factible pudiendo ser acotada o no acotada.

Región acotada Región no acotada

Zopt.

Zopt.

b. Solución óptima alternativos.- Ocurre cuando le Z óptimo es coincidente con uno de los lados de la región de solución factible, pudiendo ser acotada o no acotada.

c. Soluciones no acotadas.- Ocurre la función objetivo y la región de solución factible son no acotadas de tal manera que al trazar la paralela siempre va a interceptar las soluciones factibles en más de un punto (ver fig. 1)

d. Región vacía.- ocurre cuando el sistema de inecuaciones y ecuaciones describen una región inconsistente, lo que quiere decir que no existen punto alguno que satisfaga todas las restricciones dadas. Por ejemplo:

Min Z = -2 x1 + 3x2

s. a: L1: -x1 + 2x2 ≤ 2 x1 = 0 ; x2 = 1 x2 = 0 ; x1 = -2

L2: 2x1 - x2 ≤ 3 x1= 0 ; x2 = -3 x2 = 0 ; x1 = 3/2

L3: x2 ≥ 4 x1= 0 ; x2 = 4

2. MÉTODO ALGEBRAICO

Ejemplo:

maxZ = 100x1 + 200x2 + 50x3

s.a: 5x1 + 5x2 + 10x3 ¿ 1000

10x1 + 8x2 + 5x3 ¿ 2000 10x1 + 5x2 ¿ 500

∀ xi ¿ 0

Procedimiento

1) Expresar las desigualdades como ecuaciones introduciendo variables de holgura.

Así:5x1 + 5x2 + 10x3 + S1 = 1000

10x1 + 8x2 + 5x3 + S2 = 2000 10x1 + 5x2 + S3 = 500

Donde: S1: Tn de mineral b1 no empleado S2: Tn de mineral b2 no empleado S3: Tn de mineral b3 no empleado

2) Expresar las ecuaciones de las variables de holgura.

S1 = 1000 - 5x1 - 5x2 - 10x3 .................... (1)S2 = 2000 - 10x1 - 8x2 - 5x3 .................... (2)S3 = 500 - 10x1 - 5x2 .................... (3)

3) Cálculo de la 1ra. Solución básica factible (en el origen)

x1=0x2=0x3=0 }V . N . B .

¿¿¿ ¿

4) Evaluación de la función objetivo

Considerar el producto que ofrece la mayor contribución por unidad de producto. Solución mejorada.

.

5) Cálculo de la 2da. Solución básica factible V. ingresante: x2

x1 = x3 = S1 = S2 = S3 = 0

de (1): x2 = 1000/5 = 200

de(2): x2 = 250

de(3): x2 = 100

Se elige el menor valor en este caso: x2 = 100, eso quiere decir que la V. saliente debe ser S3, luego despejamos x2 de la ecuación correspondiente (3)

⇒ x2=100−2x1−S3

5. .. .. . .. ..( 4 )

(4) en (1):

S1=1000−5 x1−5(100−2x1−

S3

5 )−10 x3

S1=500+5 x1+S3−x3 .. . .. ..(5 )

(4) en (2):

S2=2000−10 x1−8(100−2 x1−

S3

5 )−5 x3

S2=1200+6 x1+

85

S3−5 x3 . .. .. . .(6)

(4) En la función objetivo:

max Z=100 x1+200(100−2 x1−

S3

5)+50 x3

max Z=20000−300 x1−40 S3+50 x3

6) Cálculo de la 3ra. solución básica factible.

V. ingresante: x3

de (4) : x3 = -

de (5): x3 = 50 ⇒ V.saliente = S1

de (6): x3 = 240 ⇒ de (5) despejemos x3

x3=50+ 5

10x1+

S3

10−

S1

10.. .. . ..(7 )

(7) en (6): S2=1200+6 x1+

85

S3−5 (50+ 510

x1+S3

10−

S1

10)

S2=950+ 7

2x1+

1110

S3−12

S1 . . .. .. .. . ..(8 )

7) En función objetivo:

max Z=20000−300 x1−40 S3+50(50− 510

x1+S3

10−

S1

10)

max Z=22500−275 x1−35 S3−5 S1

Solución óptima

S2=950x2=100x3=50 }V . B .

x1=0S1=0S3=0 }V . N . B .

Zópt. = 22,500

Nota :

- Cuando el problema es de max. La variable ingresante es aquella que produce el mayor beneficio por unidad de producto.

- El óptimo se alcanza cuando los términos de la función objetivo son ceros o valores negativos.

- En los problemas de minimización, la variable ingresante es la de menor costo y el óptimo se alcanza cuando en la función objetivo se tiene valores ceros o positivos.

- Este método solo trabaja con restricciones de tipo ¿ ya sea de max o minimización.