10 análisis de sensibilidad
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Análisis de Sensibilidad
O análisis post optimal
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IO1 RDA 2
Análisis de Sensibilidad
Tópicos
Definición
Análisis de sensibilidad de los coeficientes de la F.O. cj
Análisis de sensibilidad vector b
Análisis de sensibilidad de los aij
Adición/Eliminación de una variable
Adición/eliminación de una restricción
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IO1 RDA 3
Análisis de Sensibilidad
Se denomina análisis de sensibilidad a las investigaciones que tratan los cambios en la solución óptima debido a los cambios en los datos
El análisis de sensibilidad en cierto sentido convierte la solución estática de P.L. En un instrumento dinámico que evalúa las condiciones cambiantes
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IO1 RDA 4
Análisis de Sensibilidad
Objetivo:
Como se ve afectada la solución, si se modifica las condiciones iniciales; esto es hay cambios en los costos, recursos, coeficientes tecnológicos.
Cual es el rango de valores en que se puede trabajar sin afectar la solución.
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IO1 RDA 5
Sensibilidad de los coeficientes de la F.O. (Cj)
Sí C C’ ¿cuál será la nueva solución
óptima?
Recordemos que:
(P) max Z=CX (D) min w=Yb
s.a. AX=b s.a. YA C
x>0 Y libre
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IO1 RDA 6
Sensibilidad de los coeficientes de la F.O. (Cj)
Que ocurre con las condiciones? Se mantienen?
La condición de factibilidad
si se mantiene, i.e. B es base primal
La condición de optimalidad
no! se
sabe
Pues solamente se cumple para las VB.
01 bBXB
,...,1 ? 0 njzc jj
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IO1 RDA 7
Sensibilidad de los coeficientes de la F.O. (Cj)
Entonces sí:
=> sol. óptima
se mantiene
en caso contrário la sol óptima es
afectada => utilizar Simplex para
encontrar la nueva solución
0 Njj Ijzc
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IO1 RDA 8
Sensibilidad de los coeficientes de la F.O. (Cj)
Ejemplo:
Sea el tablero óptimo
2
1
82
62 .
23
2
21
21
21
21
x
xx
xx
xxas
xxzmax
38/3- 0 0 4/3- 1/3- 0 0
2/3 1 0 1/3 2/3- 0 0
3 0 1 1 1- 0 0
10/3 0 0 2/3 1/3- 0 1
4/3 0 0 1/3- 2/3 1 0
6
5
1
2
654321
z
x
x
x
x
xxxxxx
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IO1 RDA 9
Sensibilidad de los coeficientes de la F.O. (Cj)
Sí se cambia por
la solución permanece óptima?
Solución: Nos interesa calcular solamente
21 45' xxz 21 23 xxz
básicas
básicas no
donde
0 pues 0
B
N
BjjNjj
I
I
IjzcIjzc
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IO1 RDA 10
Sensibilidad de los coeficientes de la F.O. (Cj)
Como:
Veamos la Base
1 0 0 1
0 1 1- 1
0 0 2 1
0 0 1 2
B
1 0 1/3 2/3-
0 1 1 1-
0 0 2/3 1/3-
0 0 1/3- 3/2
1B
11 e BCYNBCz BBN
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IO1 RDA 11
Sensibilidad de los coeficientes de la F.O. (Cj)
Ahora, con el cambio de coeficientes:
Necesitamos conocer N
0 0
0 0
1 0
0 1
donde de
4,3 6,5,1,2 que dado
N
II NB
)0,0,2,1()0,0,5,4(
)0,0,5,4( )0,0,3,2(
11''
'
BBCY
CC
B
BB
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IO1 RDA 12
Sensibilidad de los coeficientes de la F.O. (Cj)
Luego
Cumple con la condición de optimalidad
0)2,1(
)2,1(
0 0
0 0
1 0
0 1
)0,0,2,1()0,0(),( 4433
zczc
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IO1 RDA 13
Sensibilidad de los coeficientes de la F.O. (Cj)
Esto es el punto óptimo es el mismo pero el valor de Z varia
En la tabla ahora se tiene:
22)3/4(4)3/10(5
)3/4,3/10( 21
z
xx
22- 0 0 2- 1- 0 0
654321
z
xxxxxx
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IO1 RDA 14
Sensibilidad de los coeficientes de la F.O. (Cj)
¿Cuál es el rango de variación de cj
para que la base se mantenga óptima?
ahora:
esto es:
y),.....,....,(' 21 nk ccccC
keCC '
kk cc'
I matriz la dek filaek
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IO1 RDA 15
Sensibilidad de los coeficientes de la F.O. (Cj)
1. Sí corresponde a una VNB
Se cumple que:
entonces basta verificar que:
de donde: costo reducido
BC , 0 -1B YKjzc jj
kc
kkk zcc '
kk cz
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IO1 RDA 16
Sensibilidad de los coeficientes de la F.O. (Cj)
Ejemplo: Hallar el rango de variación de c3 para que la base siga siendo óptima
Basta mirar el tablero óptimo a nivel de -z y
tomar el valor contrario de c3-z3=-1/3=>
De donde , esto es,
VNBesxc 0 33
3/1
3/13'3 CC 3/1,'
3 C
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IO1 RDA 17
Sensibilidad de los coeficientes de la F.O. (Cj)
1. Sí corresponde a una VB, se tiene:
se debe verificar que:
de donde:
0'' NIjjaYjcjzjc
kc
pj
0ypj
0y ymin
ymax
pjpj
jjjj aYcaYc
pfYBpeBCBBCY 1)(1''
deAjcolumnaja
Bfilapf
enkdepos
defilape
1 de P
BI VB . P
I p
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IO1 RDA 18
Sensibilidad de los coeficientes de la F.O. (Cj)
Ejemplo: Hallar el rango de variación de c1 para que la base siga siendo óptima
Observe que , , la posición de en la base es 2
=> Según la formula esto corresponde a los valores de y de
=>
y como
VBxC es 3 11
3/1
3/1min
3/2
3/4max
00 pjpj yy
4,3NI 6,5,1,2BI
2423 y , y4433 , zczc
1x
12 41 '11
'1 ccc
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IO1 RDA 19
Sensibilidad del vector b
Sí b b’ ¿Cuál es la nueva solución Óptima?
¿Qué ocurre con las condiciones?
Factibilidad: no se sabe
Optimalidad: se mantiene, pues b’ no interviene
=> B es Base dual posible
=> Y es solución dual posible
?0'1 bBXB
0YAC
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IO1 RDA 20
Sensibilidad del vector b
Entonces, Sí
=>Sol. Óptima del
problema primal (e Y óptima del dual)
En otro caso solución es afectada
=>aplicar simplex dual para la hallar la solución
0'1 bBXB
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IO1 RDA 21
Sensibilidad del vector bEjemplo: que pasa si
Debemos verificar
la base permanece
y ahora
1x
2
1
8
6
b
2
3
8
7
'b
0'1 bBXB
0
0
4
3
2
2
3
8
7
1 0 1/3 2/3-
0 1 1 1-
0 0 2/3 1/3-
0 0 1/3- 3/2
1
bB
13
0,4
3,2
65
12
z
xx
xx
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IO1 RDA 22
Sensibilidad del vector b
¿Cuál es el rango de variación de b para que B siga siendo óptima?
En particular para la fila s, tenemos:
0
0''
111'
iBB
iB
XX
eBbBbBX
iebb '
si
B
si
B S
si
S
si
XX
00minmax
1 i
I i
Bcolumna
decolumnae
i
i
![Page 23: 10 análisis de sensibilidad](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022052123/5562379cd8b42ae9018b4fbe/html5/thumbnails/23.jpg)
IO1 RDA 23
Sensibilidad del vector bEjemplo: rango de variación de b1
b1=6 => vemos en la columna 1 de y para cada fila S = 1, 2,3,4 según fórmula se tiene
=>
1B
2
1
8
6
b
3/2
3
3/10
3/4
BX
1 0 1/3 2/3-
0 1 1 1-
0 0 2/3 1/3-
0 0 1/3- 3/2
1B
3/2
3/4min
3/2
3/2,
1
3,
3/1
3/10max
21
1626 1 b
7'4 1b
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IO1 RDA 24
Sensibilidad de los coeficientes aij
Caso en que cambie, que ocurre con la solución solución óptima?
C. de Factibilidad:
se mantiene
C. de optimalidad:
No se sabe
Naij
01 bBXB
?0YNCN
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IO1 RDA 25
Sensibilidad de los coeficientes aij
Entonces, dado
Sí,
entonces la solución permanece
caso contrário solución cambia
=> aplicar simplex
Naij
0YNCN
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IO1 RDA 26
Sensibilidad de los coeficientes aij Ejemplo:
Sea el tablero óptimo
2
1
82
62 .
23
2
21
21
21
21
x
xx
xx
xxas
xxzmax
38/3- 0 0 4/3- 1/3- 0 0
2/3 1 0 1/3 2/3- 0 0
3 0 1 1 1- 0 0
10/3 0 0 2/3 1/3- 0 1
4/3 0 0 1/3- 2/3 1 0
6
5
1
2
654321
z
x
x
x
x
xxxxxx
![Page 27: 10 análisis de sensibilidad](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022052123/5562379cd8b42ae9018b4fbe/html5/thumbnails/27.jpg)
IO1 RDA 27
Sensibilidad de los coeficientes aij
Ejemplo: Que pasa si ,
ahora es
=>debemos verificar , como
y , obtenemos
de donde
113 a
033 zc
)0,0,3/4,3/1(1 BCY B
VNBxa 313
03 c
413 a
3/4
0
0
0
4
)0,0,3/4,3/1(33
aYz
03/43/4033 zc
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IO1 RDA 28
Sensibilidad de los coeficientes aij
Rango de variación de
la base permanece óptima sí,
esto es:
Pero como
para un j
Naij
0YNCN
Njj IjaYc 0
ijj eaa '
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IO1 RDA 29
Sensibilidad de los coeficientes aij
=> el rango de variación de
0
0
i
i
Yi
jj
Yi
jj
Y
aYc
Y
aYc
![Page 30: 10 análisis de sensibilidad](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022052123/5562379cd8b42ae9018b4fbe/html5/thumbnails/30.jpg)
IO1 RDA 30
Sensibilidad de los coeficientes aij
Ejemplo: rango de variación de
=>nos interesa y la variable dual,
obtenido a partir de
ahora reemplazando, en la formula se tiene:
113 a
33 zc
)0,0,3/4,3/1(1 BCY B
13/1
3/1
VNBxa 313
3/11 Y
0'' 131313 aaa
![Page 31: 10 análisis de sensibilidad](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022052123/5562379cd8b42ae9018b4fbe/html5/thumbnails/31.jpg)
IO1 RDA 31
Sensibilidad de los coeficientes aij
Caso en que cambie, que ocurre con la solución solución óptima?
La modificación de un elemento de la base afecta las condiciones:
de factibilidad:
de optimalidad (factibilidad dual):
de complementaridad:
Baij
bBXB1
0YNCN
1 BCY B
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IO1 RDA 32
Sensibilidad de los coeficientes aij
Rango de variación de
En este caso se calculará el rango de variación respecto a las condiciones de factibilidad y de optimalidad para cada caso particular
Nota: A veces es mejor resolver el nuevo problema generado con el cambio.
Baij
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IO1 RDA 33
Adición de una variable
¿Qué posibilidad hay de lanzar un nuevo producto al mercado?
El problema ahora es:
El número de restricciones ha variado?
0,
Zmax
1
11
11
n
nn
nn
xX
bxaAX
xcCX
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IO1 RDA 34
Adición de una variable
Como el número de restricciones no varia B tiene el mismo número de VB
esto es: es una base posible
Ahora Sí, B sigue siendo óptimo, debemos de verificar que:
en caso contrário aplicar el Simplex
bBXB1
11 nn aYc
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IO1 RDA 35
Adición de una variable
La variable que entra es
Para la tabla simplex es necesario calcular
11
1ny
naB
1nx
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IO1 RDA 36
Adición de una variable
Ejemplo: Suponga que se desea añadir una
variable x7,
debemos de verificar que:
Como
11 nn aYc
2
1
8)4/3(2
6)4/3(2 .
)2/3(23 max
2
721
721
721
721
x
xxx
xxx
xxxas
xxxz
)0,0,3/4,3/1(Y )0,1,4/3,4/3(1 na
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IO1 RDA 37
Adición de una variable
tenemos
=> Aplicar simplex
Calcular y el nuevo tablero es:
2/34/3
2/3)0(0)1(0)4/3(3/4)4/3(3/1
11
1
nn aBy
4/1
1
4/1
4/1
0
1
4/3
4/3
1 0 1/3 2/3-
0 1 1 1-
0 0 2/3 1/3-
0 0 1/3- 3/2
38/3- 3/4 0 0 4/3- 1/3- 0 0
2/3 1/4- 1 0 1/3 2/3- 0 0
3 1- 0 1 1 1- 0 0
10/3 1/4 0 0 2/3 1/3- 0 1
4/3 1/4 0 0 1/3- 2/3 1 0
6
5
1
2
7654321
z
x
x
x
x
xxxxxxx
![Page 38: 10 análisis de sensibilidad](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022052123/5562379cd8b42ae9018b4fbe/html5/thumbnails/38.jpg)
IO1 RDA 38
Eliminación de una variable
La eliminación de una variable implica que este tome un valor fijo:
Caso de una VNB
En el óptimo:
como :
kx j
y
)(
BjsjaBB
Njjja
IsxXX
IjxzcZZ
ss
kx
![Page 39: 10 análisis de sensibilidad](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022052123/5562379cd8b42ae9018b4fbe/html5/thumbnails/39.jpg)
IO1 RDA 39
Eliminación de una variable
se tiene:
entonces, sí:
la base sigue siendo óptima
en otro caso aplicar dual simplex
y)y(
)())((
Bkj
jsjskaBB
Nkj
jjjkka
IsxXX
IjxzczcZZ
ss
0y skBsX
![Page 40: 10 análisis de sensibilidad](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022052123/5562379cd8b42ae9018b4fbe/html5/thumbnails/40.jpg)
IO1 RDA 40
Eliminación de una variable
Ejemplo: Suprimir es VNB
verificar
4/3 – (2/3) 2 = 0
10/3 –(-1/3) 2 = 12/3 Z= 38/3 +(-1/3)2 =36/3 = 12
3 – (-1) 2 = 5
2/3- (-2/3) 2 =2
0y skBsX
,23 x 3x
38/3- 0 0 4/3- 1/3- 0 0
2/3 1 0 1/3 2/3- 0 0
3 0 1 1 1- 0 0
10/3 0 0 2/3 1/3- 0 1
4/3 0 0 1/3- 2/3 1 0
6
5
1
2
654321
z
x
x
x
x
xxxxxx
![Page 41: 10 análisis de sensibilidad](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022052123/5562379cd8b42ae9018b4fbe/html5/thumbnails/41.jpg)
IO1 RDA 41
Eliminación de una variable
ahora la tabla óptima queda así:
12- 0 0 4/3- --- 0 0
2 1 0 1/3 --- 0 0
5 0 1 1 --- 0 0
12/3 0 0 2/3 --- 0 1
0 0 0 1/3- --- 1 0
6
5
1
2
654321
z
x
x
x
x
xxxxxx
![Page 42: 10 análisis de sensibilidad](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022052123/5562379cd8b42ae9018b4fbe/html5/thumbnails/42.jpg)
IO1 RDA 42
Eliminación de una variable Caso de una VB
La eliminación de una variable de la Base, modifica de forma compleja el problema; esto es la base ya no es más base óptima.
Una forma de abordar el problema es hacer que la VB a ser eliminada pase a ser una VNB
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IO1 RDA 43
Eliminación de una variable
ejemplo: Suprimir es VB
Forcemos a salir de la base y luego eliminémosla.
,22 x 2x
38/3- 0 0 4/3- 1/3- 0 0
2/3 1 0 1/3 2/3- 0 0
3 0 1 1 1- 0 0
10/3 0 0 2/3 1/3- 0 1
4/3 0 0 1/3- 2/3 1 0
6
5
1
2
654321
z
x
x
x
x
xxxxxx
2x
![Page 44: 10 análisis de sensibilidad](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022052123/5562379cd8b42ae9018b4fbe/html5/thumbnails/44.jpg)
IO1 RDA 44
Eliminación de una variable
38/3- 0 0 4/3- 1/3- 0 0
2/3 1 0 1/3 2/3- 0 0
3 0 1 1 1- 0 0
10/3 0 0 2/3 1/3- 0 1
4/3 0 0 1/3- 2/3 1 0
6
5
1
2
654321
z
x
x
x
x
xxxxxx
18- 0 0 0 3- 4- 0
2 1 0 0 0 1 0
7 0 1 0 1 3 0
6 0 0 0 1 2 1
4- 0 0 1 2- 3- 0
6
5
1
4
z
x
x
x
x
10- 0 0 0 3- -- 0
0 1 0 0 0 -- 0
1 0 1 0 1 -- 0
2 0 0 0 1 -- 1
2 0 0 1 2- -- 0
6
5
1
4
21
z
x
x
x
x
xx
Haciendo: x2= 2,-4-(-3)2 =26-(2)2=27-(3)2=12-(1)2=0Z= 18+(-4)2= 10Se tiene :
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IO1 RDA 45
Adición o eliminación de una restricción Al eliminar una restricción la región factible
queda inalterada o aumenta
La Adición de restriciones hace que la región factible quede inalterada o se reduzca
Efectos sobre la FO.
La adición de una restricción al modelo empeora o no altera el valor de la FO.
La eliminación de una restricción al modelo mejora o no altera el valor de la FO.