Análisis de Sensibilidad1

8/16/2019 Análisis de Sensibilidad1

1/12

6. ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD

6.1 ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD GRÁFICO PARA 2 RESTRICCIONES

Una vez resuelto un modelo de Programación Lineal resulta útil hacer unanálisis de sensibilidad que permita identifcar cómo a ecta en losresultados del problema variaciones en los parámetros de éste, sin queesto pase por resolver el problema nuevamente

!in "#$%&'(s a)% & ( *#+)% & )( *#+'%,(-

1. Variación en lo Coe!cien"e #e la F$nción O%&e"i'o . Lapregunta que buscamos responder es cuál es el intervalo de variaciónpara los coefcientes de la unción ob/etivo 0cada coefciente se analizapor separado1 que mantiene la actual 2olución 3ptima 0"#4)1

Un primer acercamiento es considerar las pendientes de las restricciones

activas en el óptimo, es decir, aquellas restricciones que se cumplen enigualdad 0en nuestro caso restricción + 5 )1 La restricción + 0)% & (*#+ 1 tiene pendiente (2 La restricción ) 0)% & )( *#+'1 tienependiente (1 Por otra parte la pendiente de la unción ob/etivo dado6+#$ 5 6)#' es ()*+

7n consecuencia, se mantiene la actual 2olución 3ptima si la pendientede la unción ob/etivo 0curvas de nivel1 var8an en el intervalo de laspendientes de las actuales restricciones activas 7sto es.

(2 ,- (C1*C2 ,- (1 0!ultiplicamos por 9+1

2 - C1*C2 - 1

2i f/amos C2-6

2 - C1*6 - 1

12 - C1 - 6 0:arantiza la actual 2olución 3ptima con 6) f/o1


2/12

2i f/amos C1-/

2 - /*C2 - 1

/ - C2 - ) 0:arantiza la actual 2olución 3ptima con 6+ f/o1

;ótese que en los e


3/12

7n consecuencia, el Precio 2ombra asociado a la =estricción + quedadado por.

Un Precio 2ombra igual a ) indica por e/emplo que si el lado derechoaumenta en + unidad, el benefcio adicional 0incremento en el "alor3ptimo1 es de ) unidades >dicionalmente, una pregunta recuenteresulta en identifcar el in"er'alo #e 'ariación #on#e el recio

o %ra calc$la#o e '5li#o 7l má


4/12

• S.A. 6; > 2= ,- 127

• ...... .1; > )= ,- 177

• ........ 8; > 8= ,- 187

• ..... .. ; - 7< = - 7

La resolución gráfca de este e/emplo permite obtener la soluciónóptima ;-18 , =-18 con valor óptimo V4P0-178 , tal como se observaen el gráfco a continuación.

>ntes de proceder con el análisis de sensibilidad es conveniente verifcarsi las actuales restricciones del problema están activas en el óptimo, esdecir, si se cumplen en igualdad.

• R1: 694180 > 294180 - 127 - R1 e $na re "ricción ac"i'a

• R2: 194180 > )94180 , 177 - R2 no e $na re "ricciónac"i'a

• R+: 894180 > 894180 - 187 - R+ e $na re "ricción ac"i'a

7n el caso que el lado derecho de la restricción sea un recurso, resultalógico tener una disposición a pagar por unidad adicional en la medidaque dicho recurso se este ocupando a má


5/12

precio sombra (o costo reducido) igual a cero, lo que es más laexcepción a la regla

Luego de esta introducción veamos el cálculo del precio sombra o costoreducido para la restricción + 0 R11 Primero, debemos desplazar en

orma paralela la restricción + hasta el punto má


6/12


7/12

2i el recurso + se aumenta de B a B+, entonces la nueva soluciónóptima es


8/12

• C%. 6oefcientes en la unción ob/etivo asociados a las variablesbásicas

• C# . 6oefcientes en la unción ob/etivo asociados a las variables nobásicas

1. Ca %io en el la#o #erec3o #e la re "riccione : Lo que sebusca identifcar si las actuales variables básicas se mantienen luego dela modifcación de uno o más parámetros asociados al Klado derechoKdel modelo 2i calculamos.

5 se cumple , Las mismas variables básicas lo sontambién de la nueva solución óptima, calculada con el nuevo 2i loanterior no se cumple, se puede aplicar el !étodo 2imple< @ual

E E?PLO: 2in resolver nuevamente el problema, se desea saber si lasactuales variables básicas óptimas del problema también lo son delmismo problema, donde los lados derechos corresponde alvector %-427 J 2 ( + +a: 1 > + 2 > ) + ,- +7

1 > ) 2 ( + ,- 17 1< 2< + - 7

X1 X2 X3 X4 X50 -1 5 1 -1 20

1 4 -1 0 1 10

0 1 1 0 2 20

Para analizar este escenario debemos calcular el vector de variablesbásicas 5 verifcar si todos sus componentes son positivos defnidos;ótese que para esto necesitamos la matriz M inversa, la cual ácilmentepodemos rescatar identifcando los parametros asociados a %E 5 %40variables de holgura de la restricción + 5 ) respectivamente1 en la tablafnal del !étodo 2imple


9/12

escenario partiendo de cero, sino lo que se debe hacer es utilizar la tablafnal del simple< del escenario base, actualizando el lado derecho 5 valorde la unción ob/etivo

X1 X2 X3 X4 X5

0 -1 5 1 -1 -101 4 -1 0 1 30

0 1 1 0 2 60

Posteriormente, se continua iterando haciendo uso del ? "o#o Si leD$al 0"er re erencia a la derecha1

2. Incl$ ión #e $na n$e'a 'aria%le : @ebemos evaluar si la nuevavariable es un aporte signifcativo a los resultados del modelo originalLuego, para decir si la actual solución básica es óptima para el nuevoproblema, calculamos el costo reducido de la nueva variable como.

donde K es el 8ndice de la nueva variable 5 AK surespectiva columna en la matriz de coefcientes 2i se cumpleque rK -7 se conserva la actual solución óptima 7n caso contrario, sepuede seguir con el 2imple< agregando a la tabla una nueva columnacon entradas B(1AK 5 rK 5 tomando como variable entrante a la nuevabase la que acabamos de introducir al problema

E E?PLO: 2e desea estudiar la posibilidad de elaborar un nuevo

producto con benefcio neto igual a / 5 que requiere )< 2 5 8 unidadesde los recursos asociados a cada restricción 2in resolver nuevamente elproblema, Con'iene ela%orar el ro#$c"oM

?a 1 > 12 2a: ) 1 > + 2 ,- 1/7

2 1 > + 2 ,- 187 ) 1 > 2 2 ,- 167 1< 2 - 7

X1 X2 X3 X4 X5

1 0 1/2 -1/2 0 15

0 1 -1/3 2/3 0 40

0 0 -4/3 2/3 1 20

0 0 1/2 7/2 0 615

2e debe evaluar rK 5 determinar si este es -7

http://www.gestiondeoperaciones.net/programacion_lineal/incorporar-nueva-variable-en-un-modelo-analisis-de-sensibilidad-en-programacion-lineal/http://www.gestiondeoperaciones.net/programacion_lineal/incorporar-nueva-variable-en-un-modelo-analisis-de-sensibilidad-en-programacion-lineal/


10/12

7n este e/emplo rK-1 -7 , por lo cual no conviene la incorporación deesta nueva variable al modelo, es decir, aun cuándo sea incorporada noobtendremos un valor óptimo que supere el actual V4P0-618 @e todas

ormas mostraremos como se inclu5e en la tabla fnal del 2imple< estamodifcación de modo que el lector pueda entender su incorporacióncuando es necesario.

X1 X2 X3 X4 X5 XNew

1 0 ½ -1/2 0 1 15

0 1 -1/3 2/3 0 0 40

0 0 -4/3 2/3 1 1 20

0 0 ½ 7/2 0 1 615

2i el costo reducido de esta nueva variable hubiese sido cero, entoncesel nuevo escenario tendr8a infnitas soluciones

+. Ca %io en lo Coe!cien"e F$nción O%&e"i'o: 2e buscaidentifcar qué ocurre con la actual solución óptima del escenario base sise cambian uno o varios de los coefcientes que defnen la unciónob/etivo La solución óptima actual también lo será para el nuevoescenario siempre que los nuevos costos reducidos sean ma5ores oiguales a cero 0notar que también cambia el valor de la unción ob/etivoen la actual solución óptima1 7s decir se debe cumplir que.

7n caso contrario, se aplica el 2imple< a partir de la tabla fnal delmodelo original, con los nuevos costos reducidos 5 nuevo valor de laactual solución básica


11/12

E E?PLO: 2in resolver nuevamente el problema, se desea saber quesucede si se modifca los parámetros de la unción ob/etivo, quedandoéstos de la siguiente orma. - 1 > 8 2 ( 2 + 0%E 5 %4 son lasvariables de holgura de la restricción + 5 ) respectivamente1

?a 2 1 > J 2 ( + +a: 1 > + 2 > ) + ,- +7 1 > ) 2 ( + ,- 17 1< 2< + - 7

X1 X2 X3 X4 X5

0 -1 5 1 -1 20

1 4 -1 0 1 10

0 1 1 0 2 20

@ebido a que los cambios en los parámetros de la unción ob/etivo seproducen en más de una variable consideraremos la siguiente órmula.

@ebido a que al menos uno de los costos reducidos de las variables nobásicas se ha vuelto negativo, entonces cambia la actual solución 5valor óptimo del problema Para incorporar esta modifcación en la tablafnal del !étodo 2imple< se actualiza los costos reducidos asociados alas variables no básicas, además del valor óptimo, quedando comosigue.

X1 X2 X3 X4 X50 -1 5 1 -1 20

1 4 -1 0 1 10

0 -1 1 0 1 10


12/12

). Incl$ ión #e $na n$e'a re "ricción : Para saber si la actualsolución 5 valor óptimo se mantendrá luego de incorporar una nuevarestricción al problema se debe evaluar la solución actual 5 verifcar sisatis ace la nueva restricción 7n caso afrmativo, la actual solucióntambién lo será del problema con la nueva restricción, en caso contrario

se incorpora la nueva restricción a la tabla fnal del 2imple< delescenario base

E E?PLO: 2in resolver nuevamente el problema, se desea saber quesucede si se considera una nueva restricción de la orma. + 1 > 2 2 >+ + ,- 28 0 bservación. 6onsiderar mismo modelo 5 tabla fnal dele/emplo anterior1

2e evalua la solución actual en la restricción. +94170 > 29470 > +9470,- 28 ;o cumple Por tanto se incorpora esta nueva restricción comofla a la tabla fnal del 2imple< >dicionalmente, se agrega ;6 como

variable de holgura asociada a esta nueva restricción.X1 X2 X3 X4 X5 X6

0 -1 5 1 -1 0 20

1 4 -1 0 1 0 10

3 2 3 0 0 1 25

0 1 1 0 2 0 20

Una alternativa para encontrar el óptimo a través de esta tabla es

ormar la identidad 0debemos hacer cero el parámetro asociado a %+ enla tercera fla1 multiplicando la fla ) por 9B 5 sumando dicho resultado ala fla B @e esta orma se obtiene.

X1 X2 X3 X4 X5 X6

0 -1 5 1 -1 0 20

1 4 -1 0 1 0 10

0 -10 6 0 -3 1 -5

0 1 1 0 2 0 20

Ninalmente obtenemos %E, %+ 5 %' como variables básicas Producto dela trans ormación un lado derecho queda negativo 5 en este casopodemos continuar adelante utilizando el !étodo 2imple< @ual
http://www.gestiondeoperaciones.net/programacion_lineal/incorporar-nueva-restriccion-en-un-modelo-analisis-de-sensibilidad-en-programacion-lineal/http://www.gestiondeoperaciones.net/programacion_lineal/incorporar-nueva-restriccion-en-un-modelo-analisis-de-sensibilidad-en-programacion-lineal/

Análisis de Sensibilidad1

Documents

Transcript of Análisis de Sensibilidad1