Análisis de Sistemas Lineales “Diagramas de Bode” II Ing. Rafael A. Díaz Chacón ASL/RAD/2001.

Análisis de Sistemas Lineales

“Diagramas de Bode”

II

Ing. Rafael A. Díaz Chacón

ASL/RAD/2001

Álgebra de Diagramas de Bode

ASL/RAD/2001

factor" cada de fase de diagramas los de suma la es

ncia transferede funciones dos de producto del faseen Bode de diagrama El"

y

factor" cada de Bode de diagramas los de suma la a igual es

ncia transferede funciones dos de producto del amplituden Bode de diagrama El"

).()()()()(

)(log20)(log20)()(log20)(log20

entonces ,)()()(

como expresarse puede que )( ncia transferedefunción una Sea

2121

2121

21

sHsHsHsHsH

y

sHsHsHsHsH

sHsHsH

sH

Diagramas de Bode

Factores Elementales

ASL/RAD/2001

)anteriores funciones las de una cada de

inversas las a selementale factores de grupo esteen (Incluya

Bode. de gráficas srespectiva susen

como conocerá les se y números losA

11con 2

)( 4)

1)( 3)

0con )( 2)

)( 1)

:particular estructura una tienen que ncia transferede funciones

de grupoun a '' como sDefiniremo

22

2

s de cortefrecuencia

a

sssH

ssH

aas

asH

KsH

lementalesFactores E

n

nn

n

Diagramas de Bode

ASL/RAD/2001

fase la para 90-en constante unay

magnitud la para (1,0) punto elpor pasa que

dB/dec 20- pendiente de recta una tienese te,Gráficamen

90)(

será fase lay

)20log(- |)(|20log

será dB,en magnitud, la entonces

1)( Si

H

H

ssH

Diagramas de Bode de Factores Elementales

-100

-80

-60

-40

-20

0

1 10 100 1000

-360

-270

-180

-90

0

1 10 100 1000

MAGNITUD FASE

ASL/RAD/2001

fase la para 90en constante unay

magnitud la para (1,0) punto elpor pasa que

dB/dec 20 pendiente de recta una tienese te,Gráficamen

90)(

será fase lay

)20log( |)(|20log

será dB,en magnitud, la entonces

)( Si

H

H

ssH


-20

0

20

40

0,1 1 10 100

MAGNITUD0

45

90

135

0,1 1 10 100

FASE

ASL/RAD/2001

}|{y }0|{

corte de frecuencia lapor separados ,intervalos dosen eje el divide se

Bode de magnitud de gráfica lar desarrolla Para

1

2

arctg)( será fase lay

41

120log |)(|20log será dB,en magnitud, la entonces

11 ,

12

1

2)( Si

21

2

2

2

22

222

2

nn

n

n

n

nn

nn

nn

n

II

H

H

sssssH

aproximada


ASL/RAD/2001

" de valores para

dB, cero a horizontal recta unaes ,corte de frecuencia la en

complejospolos de par un paraBode de aproximado diagrama El"

n

n

n

nn

nn

I

cero.por decir, es , para entocomportamisu por

4-1

120log puede se

entonces ,1 que lopor que tienese Aqui

:magnitud) de (análisis Intervalo

2

2

22

1

aproximar


ASL/RAD/2001

" intervalo del horizontal recta la con intersectase que , de valores para

dB/dec 40-pendiente de recta unaes ,corte de frecuencia la en

complejospolos de par un paraBode de aproximado diagrama El"

1

2

2n

2

2

22

2

).log(en verticaleje al corta que dB/dec 40- pendiente de recta

una deecuación la es Esta )].log(-)40[log(20log|)H(|log 20

por decir, es , para entocomportamisu por

4-1

120log puede se



I

I

n

n

n

n

n

nn

nn

aproximar


ASL/RAD/2001

Amplitud. enBode de Diagrama el altera no s, plano del izquierdo o

derecho semiplano estudio, bajopolos los de ubicación La :

anterior" horizontal recta la con intersectase que

, de valores paradB/dec 40-pendiente de

rectade trazo unes segundo el , para dB 0 en horizontales primero el

:rectade trazos dos por conformado está ,corte de frecuencia la en

complejospolos de par un paraBode de magnitud en aproximado diagrama El"

tanteNota impor

n

n

n

:resumenEn


-60

-40

-20

0

1 10 100 1000n=20

40020400

)( 2

sssH -40 dB/dec

ASL/RAD/2001

:realy aproximado diagrama entren Comparació


5,0

20

n

-60

-40

-20

0

20

1 10 100 1000

APROXIMADO REAL

2,0

20

n

-60

-40

-20

0

20

1 10 100 1000

APROXIMADO REAL

-40 dB/dec

-40 dB/dec

ASL/RAD/2001



9,0

20

n

1,0

20

n

-60

-40

-20

0

20

1 10 100 1000

-40 dB/dec

APROXIMADO REAL

-60

-40

-20

0

20

1 10 100 1000

APROXIMADO REAL

-40 dB/dec

ASL/RAD/2001

)(

:error ese de valoresdistintos muestra siguiente tablaLa

. valor delfunción una es amplitud,en Bode de aproximado diagrama

el considerar al , para comete se queerror el queobservar puede se Aquí

|||2|log 20|||21/|log 20|)(|log 20

que consigue se corte de frecuencia laen magnitud la Evaluando


ledespreciab es siempre noerror ese que Note

n

n

n

H


| -20 log|2||

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

13.98

7.96

4.43

1.94

0

| -20 log|2||

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

0

-1.58

-2.92

-4.08

-5.11

ASL/RAD/2001

}10|{y }100.1|{ },1.00|{

corte de frecuencia la defunción en ,intervalos en tres eje el divide se

Bode de fase de gráfica lar desarrolla Para

1

2

arctg)( será fase la entonces

11- ,

12

12

)( Si

321

2

222

2

nnnn

n

n

n

nn

nn

n

III

H

sssssH

aproximada


-60

-40

-20

0

1 10 100 1000n 10n0.1n

I2 I3I1

ASL/RAD/2001

" de valores para

,0 a horizontal recta unaes ,corte de frecuencia la encomplejos

polosde par un paraBode de fase en aproximado diagrama El"

n

n

n

nn

H

I

0.1

cero.por decir, es

, para entocomportamisu por )( puede se

entonces ,1.0 que lopor 1.0que tienese Aqui

:fase) de (análisis Intervalo 1

aproximar


ASL/RAD/2001

"180 derecho, el enes si

,180-de es izquierdo semiplano el en están si

:s plano el enpolos los de ubicación lade depende valor cuyo

,10 de valores para horizontal rectade trazo unes

,corte de frecuencia la encomplejos polos

de par un paraBode de fase en aproximado diagrama El"

n

n

n

nn

H

I

.081 a tiende0,1- si pero ,180- a tiende,10 si


entonces ,10 que lopor 10que tienese Aqui


aproximar


ASL/RAD/2001

" e intervaloslos de es horizontallas a rintersectadebe y

positivoes derecho el en están si

negativo,es izquierdo semiplano el en están si

:s plano el enpolos los de ubicación lade depende signo cuyo

,10 0.1de valores para/dec 90de rectade trazo unes

,corte de frecuencia la encomplejos polos


31

31

2

. e intervalos los de eshorizontal rectas las

con intersecta se que recta línea unapor )( puede se

entonces ,10 0.1 que lopor 100.1 que tienese Aqui

:fase) de (análisis Intervalo

II

II

H

I

nn

n

nnn

aproximar


ASL/RAD/2001

".10de valores para

derecho, semiplano el enubicados están si 180 a o, izquierdo semiplano el en

ubicados estánpolos los si 180- a anterior, el con cortase que ,horizontal rectade

trazo unes tercero el anterior, horizontal recta la con intersectase que

, 10 0.1de valores para/dec 90pendiente de

rectade trazo unes segundo el ,0.1 para 0 en horizontales primero el

:rectade trazos tres por conformado está ,corte de frecuencia

la encomplejos polos de par un paraBode de fase en aproximado diagrama El"

fase. enBode de Diagrama el en s, plano del izquierdo o

derecho semiplano estudio, bajopolos los de ubicación La :

n

nn

n

n

tanteNota impor

tedeterminan es

:resumenEn


ASL/RAD/2001


POLOS EN EL SEMIPLANO IZQUIERDO

POLOS EN EL SEMIPLANO

DERECHO

-270

-180

-90

0

90

0,1 1 10 100 1000n 10n0.1n

-90 °/dec

-90

0

90

180

270

0,1 1 10 100 1000

90 °/dec

n 10n0.1n

ASL/RAD/2001

cero" a iguales ycorte de frecuencia la acomete se

,corte de frecuencia la encomplejos polos de par un paraBode de

fase en aproximado diagrama el usar alcomete se que mínimo error El"

n

n



40036400

)( 2

sssH

-270

-180

-90

0

90

0,1 1 10 100 1000

APROXIMADO REAL

-90 °/dec

n = 20 = 0.9 > 0

ASL/RAD/2001




n

n



4004400

)( 2

sssH n = 20 = 0.1 > 0

-270

-180

-90

0

90

0,1 1 10 100 1000

APROXIMADO REAL

-90 °/dec

ASL/RAD/2001




n

n



40036400

)( 2

sssH n = 20 = -0.9 < 0

-90

0

90

180

270

0,1 1 10 100 1000

APROXIMADO REAL

90 °/dec

ASL/RAD/2001




n

n



4004400

)( 2

sssH n = 20 = -0.1 < 0

-90

0

90

180

270

0,1 1 10 100 1000

APROXIMADO REAL

90 °/dec

ASL/RAD/2001

}|{y }0|{

corte de frecuencia lapor separados ,intervalos dosen eje el divide se

Bode de magnitud de gráfica lar desarrolla Para

1

2

arctg)( será fase lay

4120log |)(|20log será dB,en magnitud, la entonces

11 ,122

)( Si

21

2

2

2

22

2

2

22

nn

n

n

n

nn

nnn

nn

II

H

H

sssssH

aproximada


ASL/RAD/2001

" de valores para

dB, cero a horizontal recta unaes ,corte de frecuencia la en

complejosceros de par un paraBode de aproximado diagrama El"

n

n

n

nn

nn

I

cero.por decir, es , para entocomportamisu por

4-120log puede se



2

2

22

1

aproximar


ASL/RAD/2001

" intervalo del horizontal recta la con intersectase que , de valores para

dB/dec 40pendiente de recta unaes ,corte de frecuencia la en

complejosceros de par un paraBode de aproximado diagrama El"

1

2n

2

2

2

22

2

).log(en verticaleje al corta que dB/dec 40 pendiente de recta

una deecuación la es Esta )].log(-)40[log(20log|)H(|log 20

por decir, es , para entocomportamisu por

4-120log puede se



I

I

n

n

n

n

n

nn

nn

aproximar


ASL/RAD/2001

Amplitud. enBode de Diagrama el altera no s, plano del izquierdo o

derecho semiplano estudio, bajoceros los de ubicación La :

anterior" horizontal recta la con intersectase que

, de valores paradB/dec 40pendiente de

rectade trazo unes segundo el , para dB 0 en horizontales primero el

:rectade trazos dos por conformado está ,corte de frecuencia la en

complejosceros de par un paraBode de magnitud en aproximado diagrama El"

tanteNota impor

n

n

n

:resumenEn


40040020

)(2 ss

sH

-20

0

20

40

60

1 10 100 1000

40 dB/dec

n=20

ASL/RAD/2001

}10|{y }100.1|{ },1.00|{

corte de frecuencia la defunción en ,intervalos en tres eje el divide se

Bode de fase de gráfica lar desarrolla Para

1

2

arctg)( será fase la entonces

11- ,122

)( Si

321

2

2

2

22

nnnn

n

n

n

nnn

nn

III

H

sssssH

aproximada


-60

-40

-20

0

1 10 100 1000n 10n0.1n

I2 I3I1

ASL/RAD/2001

" de valores para

,0 a horizontal recta unaes ,corte de frecuencia la encomplejos

cerosde par un paraBode de fase en aproximado diagrama El"

n

n

n

nn

H

I

0.1

cero.por decir, es


entonces ,1.0 que lopor 1.0que tienese Aqui


aproximar


ASL/RAD/2001

"180 derecho, el enes si

,180de es izquierdo semiplano el en están si

:s plano el enceros los de ubicación lade depende valor cuyo

,10 de valores para horizontal rectade trazo unes

,corte de frecuencia la encomplejos ceros


n

n

n

nn

H

I

.081 a tiende0,1- si pero ,180 a tiende,10 si


entonces ,10 que lopor 10que tienese Aqui


aproximar


ASL/RAD/2001

" e intervaloslos de es horizontallas a rintersectadebe y

negativoes derecho el en están si

positivo,es izquierdo semiplano el en están si

:s plano el enceros los de ubicación lade depende signo cuyo

,10 0.1de valores para/dec 90de rectade trazo unes

,corte de frecuencia la encomplejos ceros


31

31

2

. e intervalos los de eshorizontal rectas las

con intersecta se que recta línea unapor )( puede se

entonces ,10 0.1 que lopor 100.1 que tienese Aqui

:fase) de (análisis Intervalo

II

II

H

I

nn

n

nnn

aproximar


ASL/RAD/2001

".10de valores para

derecho, semiplano el enubicados están si 180 a o, izquierdo semiplano el en

ubicados estánceros los si 180 a anterior, el con cortase que ,horizontal rectade

trazo unes tercero el anterior, horizontal recta la con intersectase que

, 10 0.1de valores para/dec 90 pendiente de

rectade trazo unes segundo el ,0.1 para 0 en horizontales primero el

:rectade trazos tres por conformado está ,corte de frecuencia

la encomplejos ceros de par un paraBode de fase en aproximado diagrama El"

fase. enBode de Diagrama el en s, plano del izquierdo o

derecho semiplano estudio, bajoceros los de ubicación La :

n

nn

n

n

tanteNota impor

tedeterminan es

:resumenEn


ASL/RAD/2001


CEROS EN EL SEMIPLANO

DERECHO

CEROS EN EL SEMIPLANO IZQUIERDO

-270

-180

-90

0

90

0,1 1 10 100 1000n 10n0.1n

-90 °/dec

-90

0

90

180

270

0,1 1 10 100 1000

90 °/dec

n 10n0.1n

ASL/RAD/2001

Consiga los diagramas de Bode (en magnitud y fase) de los sistemas descritos por las funciones de

transferencia siguientes

H(s)

(s2 - 12.8s + 256)/s(s + 300)

10(s + 20)/(s2 + 1.4s + 49) 100s/(s2 + 1.414s + 1)

H(s)

4(s2 - 1.414s + 1)/(s + 4)

(s2 - 1.4s + 49)/(s + 4)

(s3 + 1.4s2 + 49s)/(s + 1)(s - 200)

(s2 - 9.6s + 64)/s(s + 1) 100/(s2 + 16s + 100)


Análisis de Sistemas Lineales “Diagramas de Bode” II Ing. Rafael A. Díaz Chacón ASL/RAD/2001.

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