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ANÁLISIS DEL MODELO ANFIS EN EL PRONÓSTICO DE UN TÍTULO DE RENTA VARIABLE 

 

 

 

 

 

 

YULIETH MENDOZA ACUÑA 

ALEJANDRO MAZO PINZÓN 

 

 

 

 

 

 

 

UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA 

SEDE MEDELLÍN 

FACULTAD DE MINAS 

ESCUELA DE INGENIERÍA DE LA ORGANIZACIÓN 

2009 

 

 

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ANÁLISIS DEL MODELO ANFIS EN EL PRONÓSTICO DE UN TÍTULO DE RENTA VARIABLE 

 

 

 

 

YULIETH MENDOZA ACUÑA 

ALEJANDRO MAZO PINZÓN 

 

 

 

Monografía del Trabajo de Grado 

 

 

Director: 

SANTIAGO MEDINA HURTADO 

 

 

 

UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA 

SEDE MEDELLÍN 

FACULTAD DE MINAS 

ESCUELA DE INGENIERÍA DE LA ORGANIZACIÓN 

2009 

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TABLA DE CONTENIDO 

 

1.  INTRODUCCION  92.  ACTIVO FINANCIERO: ACCIONES  132.1     Características de una Acción 132.2     Tipo de Acciones  142.3     Valor de una Acción 152.4     Ventajas y Desventajas de una Emisión de Acciones  162.4.1     Para la empresa  162.4.2     Para los inversionistas  162.5   El Mercado Accionario Colombiano  173.  SERIES DE TIEMPO 193.1     Componentes de una Serie de Tiempo  203.2     Métodos de Predicción 213.3  Importancia de los Pronósticos  224.     MODELO ANFIS (Adaptative NeuroFuzzy Inference Systems)  244.1     Tipos de Funciones de Pertenencia  244.2   Sistemas de Inferencia Difuso 264.3     Redes Adaptativas  285.     APLICACIÓN DEL MODELO DE PRONÓSTICOS ANFIS A UNA ACCIÓN  305.1      Selección de Variables  305.1.1      Selección de la variable de salida  305.1.2     Selección de variables explicativas 325.2      Correlación    335.2.1     Matriz de Correlación 345.3.     Elección de Variables  365.3.1     Variables Exógenas 365.3.2      Variable Endógena  425.4      Pronóstico   435.4.1     Modelo de Pronostico con ANFIS  435.4.2     Modelo de Regresión Lineal Múltiple  485.4.3    Comparación de Errores del Modelo ANFIS y RLM 496.        

CONCLUSIONES BIBLIOGRAFÍA ANEXOS 1 ANEXOS 2 

51535557

 

 

 

 

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LISTA DE FIGURAS 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 Figura 4.1 

 Funciones  de  Pertenencia  a.Triangular,    b.Trapezoidal,  c.Gaussiana,  d.Campana Generalizada. 

 25

Figura 4.2  Mecanismos de Razonamiento Difuso  27

Figura 4.3  Arquitectura Típica para el ANFIS  con reglas tipo Takagi – Sugeno  28

Figura 5.4.1  Características del sistema de Inferencia Difuso  45

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LISTA DE TABLAS 

 

Tabla 5.1.1 Acciones Bancolombia (Ordinarias y  Preferenciales)  31

Tabla 5.2.1  Matriz de Correlación   35

Tabla 5.4.1  Características del FIS   47

Tabla 5.4.3  Errores con ANFIS y Regresión Lineal Múltiple   51 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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LISTA DE GRÁFICAS 

 

Gráfica 5.1.1.1  Transabilidad de las Acciones en Colombia abril de 2009  31Gráfica 5.1.1.2  Comportamiento  del  precio  de  la  Acción  Preferencial 

Bancolombia 32

Grafica 5.3.1.1  Comportamiento del Índice Bursátil COLCAP  36Gráfica 5.3.1.2  Comportamiento del valor de la TRM 37Gráfica 5.3.1.3  Comportamiento del Precio del ORO  38Gráfica 5.3.1.4  Comportamiento de la  federal funds rate‐ FED  40Gráfica 5.3.2.1  Trayectoria de la serie original, FAC, FACP  42Gráfica 5.3.2.2  Función de Autocorrelación Parcial  43Gráfica 5.4.1.1  Espaciamiento de  los datos para  las zonas de entrenamiento y 

chequeo 44

Gráfica 5.4.1.2  Funciones  de pertenencia  para  cada  una  de  las  variables  de entrada 

46

Gráfica 5.4.1.3  Pronósticos con datos de Entrenamiento   47Gráfica 5.4.1.4  Pronósticos con datos de Chequeo  48Gráfica 5.4.3.1  Errores del Modelo ANFIS 49Gráfica 5.4.3.2  Dispersión de lo errores del modelo de RLM  50 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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RESUMEN  

  A  lo  largo  de  la  historia  del  mercado  financiero,  los  inversionistas, principales contribuyentes del mercado bursátil, han basado  todos  sus movimientos  financieros en  las expectativas del  comportamiento del mercado, que  a  su  vez,  se generan por medio  de  modelos  de  pronósticos  tanto  estadísticos  como  intuitivos  (análisis fundamental y técnico de expertos). Pero debido a la complejidad en la determinación de  comportamientos  futuros  debido  a  los  numerosos  factores  externos  que intervienen,  frecuentemente  se  están  estableciendo  nuevos  modelos  que pronostiquen de manera más óptima los sistemas que ya se encuentra en el medio.  Es por esta razón que la presente investigación se fundamentó en analizar la calidad de pronóstico de una  técnica que está  tomando mucho auge debido a su capacidad de razonamiento, el Sistema de  Inferencia Neurodifuso – ANFIS. Éste modelo se basa en reglas de conocimientos difusos, que  fueron generadas a partir de algunas variables del sector económico y financiero del país. Para cumplir con el objetivo en estudio se hizo  uso  de  la  teoría  econométrica  de  series  de  tiempo  debido  a  su  capacidad  de apoyar  el  análisis  y  diagnostico  del  comportamiento  de  una  variable  en  el  sector correspondiente.   Las medidas que se tuvieron en cuenta para el análisis y conclusiones de resultados del modelo ANFIS, fue la comparación del error medio cuadrático de dicho modelo con el de  regresión  lineal múltiple,  que  trabajado  bajo  los mismos  parámetros  ayudó  a  la verificación de las hipótesis sobre el ANFIS.     

PALABRAS CLAVES  

 ANFIS, Correlación, Pronóstico, Regresión Lineal Múltiple, Series de Tiempo.  

 

 

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ABSTRACT  

 

Throughout history of financial market, the investors, main taxpayers to stock market, have based all the financial movements in the expectations of market behavior, which generate by means of models of forecast to both statistical and intuitive (fundamental analysis and technical expert). So due to the complexity in the determination of future behavior due to the several external factors that to take part, frequently have been to establish new models  that could  forecast  in  the best  form,  the systems  that you can find in the environment. 

 For this reason, the present research was based in to analyze the quality of forecast of the technique, that take a  lot of heyday due that  it´s great capacity of reasoning, the system  of  inference  Neurodifuso  –  ANFIS.  This  model  was  based  in  the  rules  of knowledge diffused,  that were generated  from  the some variables of both economic and  financial  sector  of  the  country.  To  fulfill  the  objective  of  this  study,  the econometric  theory  of  series  the  time  was  used,  because  for  it´s  capacity  in  the support  of  analysis  and  the  diagnostic  of  the  behavior  of  the  variable  in  the corresponding sector.  

The measures for the analysis and conclusions of the results of the ANFIS model were the comparison of the error middle quadratic of the above model with the regression lineal multiple model, that worked under the same parameter, helped to the validation of the hypothesis about ANFIS.     

KEY WORDS  

ANFIS, Correlation, Forecast, Regression Lineal Multiple, Series of the Time 

 

 

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1. INTRODUCCION 

  

Desde  el  siglo  pasado  el  mercado  accionario  ha  sido  pilar  de  las  economías desarrolladas y ha ayudado de manera eficiente al progreso de las empresas, que ven en  él,  una  fuente  de  recursos  monetarios  destinados  a  modernizar,  capitalizar  o financiar  futuros  planes  de  desarrollo.  Como  todo mercado,  el  accionario  opera  en periodos de alza, normalidad y baja en sus  índices y acciones, por  lo que se concibe como un mercado volátil. Cuando el mercado está al alza o tiene un comportamiento estable, tanto empresas como inversores se sienten motivados a seguir invirtiendo, así mismo  captando  la atención de nuevos afiliados que acceden a él en busca de esas grandes utilidades. Pero si el mercado  tiene un comportamiento negativo se pueden presentar épocas de crisis y pánico, lo que conllevaría a un desplome de las acciones, definido como un efecto domino, que desemboca en una caída del patrimonio de  las empresas y de los rendimientos de los inversionistas.  Por  tanto,  en  épocas  de  crisis  en  un  mercado  accionario  se  pueden  presentar cuantiosas  pérdidas  económicas  para  la  sociedad,  por  el  estrecho  vínculo  de  éste mercado con otros como son los fondos de pensiones, mercado de divisas, mercado de deuda pública, etc.. Colombia no ha sido ajena a esta problemática. Si bien el mercado accionario colombiano es todavía pequeño y concentrado, entre abril y  julio de 2006 se pudo presenciar una de las crisis más grande desde la creación en 2001 de la Bolsa de  valores de  Colombia,  con  el desplome  del  Índice  representativo de  ésta  entidad como es el IGBC (Índice General de la Bolsa de Valores de Colombia).  Los  factores causales de  la evolución de  los  índices de precios y cotizaciones parece encontrarse  en  muchas  variables,  como  el  desempeño  microeconómico  y macroeconómico  de  las  empresas,  incluyendo  la  esfera  financiera  y  fiscal  de  las mismas;  también  radicaría  en  el  comportamiento  de  los  inversionistas,    factores institucionales  y  de  regulación,  entre  otros,  que  pueden  promover  que  dichas cotizaciones  continúen  creciendo  a  pesar  de  que  sus  variables  explicativas  parecen haber  llegado a  sus valores  límite; además, el comportamiento de  los precios de  las acciones  también  se  puede  ver  influenciado  por  aspectos  de  la  psicología  que conllevan  a  especulaciones  de  los  inversionistas,  principalmente  los  ordinarios  que desconocen  pero  intervienen  en  dichos mercados,  haciendo  que  los  precios  de  los activos sobre reaccionen ante las expectativas de evolución  de las variables reales.   

10  

Entre los aspectos económicos se encuentran los cambios en la moneda, el acontecer político,  los  ciclos  económicos,  los movimientos  sociales,  la  legislación  y  las normas referentes al mercado de capitales, en particular al accionario; y dentro de los aspectos psicológicos  se  reseñan  los  siete  hábitos  “perversos”  de  los  inversionistas  en  los mercados  de  valores  ineficientes,  los  cuales  son:  su  perspectiva  de  corto  plazo,  la ambición excesiva, actuar siguiendo a  los países e  inversionistas más grandes, correr en  manada,  sobre  generalizar,  seguir  la  tendencia  y  jugar  con  el  dinero  de  otras personas.  En  cuanto  a  las  características  del  mercado  se  tiene,  que  un  mayor  tamaño  está positivamente correlacionado con  la habilidad de éste para movilizar y diversificar el riesgo,  un mercado más  líquido  permite  a  los  agentes  que  se  desenvuelven  en  él, realicen más  transacciones  con menores  costos  (en  tiempo  y  dinero)  y  por  ende, permite realizar operaciones de manera más eficiente; finalmente, un mercado menos concentrado es mejor por cuanto se hacen menos probables los conflictos de intereses entre  grandes  y  pequeños  poseedores  de  acciones,  y  se  impongan  fuerzas competitivas que permitan alcanzar puntos óptimos en su interior.  Es importante anotar que no se puede asegurar que todas las variables mencionadas e incorporadas sean las únicas bases para explicar la evolución del precio de una acción en  el  mercado  de  valores.  Sin  embargo,  es  claro  que  se  incorporan  variables microeconómicas,  financieras  y  macroeconómicas,    tratando  de  seleccionar  los elementos que se consideran más  importantes  (simplificando  la  realidad) en aras de explicar una o más variables en particular.  Colombia, por ser un país con un mercado de capitales pequeño, está cada vez más concentrado el mercado de titulo de renta variable y son menos  las empresas que  lo integran,  por  lo  que  el  principal  problema  que  se  detecta  para  su  desarrollo  es  la limitada  oferta  de  acciones,  generando  problemas  de  iliquidez,  oportunidades constantes de arbitraje, ineficiencia y riesgo. A parte de ésta particular característica se perciben  otras muy  especiales  que  hacen  difícil  la  toma  de  decisiones  en  cuanto  a inversión se refiere:  

• Falta liquidez al mercado. 

• Hay muy pocos activos financieros en el mercado. 

• Los  valores  no  son  fácilmente  accesibles  a  los  inversionistas  de  portafolios extranjeros. 

• El manejo de divisas sigue siendo complejo. 

• No es fácil repatriar capitales. 

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• Existe alta concentración de la capitalización en el mercado. 

• Bajos niveles de comercialización de las bolsas. 

• Bajo desarrollo tecnológico. 

• Bajo nivel de internacionalización de los mercados. 

• Los movimientos de los precios tienen restricciones. 

• No hay una libre fijación de las tasas de interés. 

• Se tienen altos niveles de regulación. 

• Bajo nivel de capacitación en el medio en las áreas de gestión de riesgos.  Otra  característica  significativa  del  mercado  de  capitales  colombiano  es  el  bajo volumen de acciones que se  transan,  lo cual muestra el pobre crecimiento  industrial del  país  y  que  de  alguna manera,  las  empresas  para  estructurar  sus  procesos  de crecimiento y expansión siguen recurriendo en un gran porcentaje al endeudamiento en el sector financiero, y no vía emisión de bonos o crecimiento de la masa accionaría.  Luego de ver la influencia que tiene el mercado financiero en la economía de un país, es  importante  tener  estudios  previos  del  comportamiento  de  cada  uno  de  los indicadores  o  variables  que  intervienen  en  él,  para  crear  políticas  de  prevención  a inesperadas  crisis  o  periodos  comprometedores  del  sector.  Una  técnica  de manejo para las mismas son los análisis de las Series de Tiempo, pues éstas son utilizadas como insumo  para  la  generación  de modelos  que  han  sido  y  seguirán  siendo  objeto  de estudio  para  los  científicos  e  investigadores  con  miras  a  la  comprensión  y  el conocimiento de los fenómenos.   Sin embargo, dichos modelos son simplificaciones o abstracciones de la realidad.   La serie de tiempo como tal, describe de algún modo el tipo de problema al que se está enfrentando, en otras palabras, en la serie de tiempo se  puede  evidenciar  la  complejidad  del  problema.    Ésta  puede  mostrar comportamientos  muy  simples  como  tendencias,  estacionalidades  o  patrones ampliamente conocidos en la literatura (comportamientos lineales), así como también puede indicar comportamientos no lineales, que a primera vista son incomprensibles e impredecibles.  Por su parte, los modelos también permiten solucionar ciertos tipos de problema,  como  toma de decisiones de  inversión,  control y planeación, entre otras.  Para series de tiempo simples  los modelos simples brindan soluciones satisfactorias y los  modelos  más  avanzados  son  adecuados  para  series  de  tiempo  con comportamientos más complejos.  Por otra parte, para tener en cuenta la complejidad del  mundo,  los  modelos  han  tenido  que  incorporar  más  variables  (más  series  de tiempo  tratadas  simultáneamente,  que  se  convierten  en  variables  explicativas  del fenómeno), más  interacciones  y más  interdependencias  con  otras  variables  y  otros factores. [MEJIA L, 2008]      

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En el transcurso de la investigación se lleva a cabo el objetivo de la misma, el cual, es realizar una aplicación del modelo de  inferencias neurodifuso ANFIS en  la plataforma de  MATLAB,  sobre  una  base  de  datos  construida  con  información  de  variables económicas y financieras que representan una pequeña muestra de todas aquellas que podrían  explicar  el  comportamiento  de  un  instrumento  financiero  en  el  país  y  que además,  permitirían  obtener  pronósticos  sobre  el  precio  de  un  activo  de  renta variable. La calidad de ajuste del modelo ANFIS se comprobará bajo la comparación de medidas  del  error  medio  cuadrático  del  modelo  anteriormente  mencionado  y  un modelo de regresión lineal múltiple construido bajo las mismas condiciones.   Bajo este orden de ideas propuesto, a lo largo de la investigación se tomó como base importante  para  la  generación  de  los modelos,  los  conceptos  básicos  referentes  al activo  financiero  en  estudio  correspondiente  a  las  acciones,  series  de  tiempo,  y  el manejo interno con el cual Matlab trabaja para procesamiento de la información.                  

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2. ACTIVO FINANCIERO: ACCIONES   Es un título de renta variable que  le permite a cualquier persona  (natural o  jurídica), ser  propietario  de  una  parte  de  la  empresa  emisora  del  título,  convirtiéndolo  en accionista  de  la misma  y  dándole  participación  en  las  utilidades  que  la  compañía genere. Además,  le otorga  a  sus  inversores, derechos políticos  y  económicos  en  las asambleas de accionistas, dependiendo del tipo de acción y de las condiciones que se estipulen en los contratos de tenencia de los títulos.  Las acciones son utilizadas por  las empresas emisoras como un método de captación de capital de  inversión ya sea en  tecnología o ampliación de producción, además, se puede hablar de la necesidad de adquirir una acción por parte del inversionista si este encamina su inversión a recibir dividendos y utilidades que están exentos del impuesto de renta. Si se logra una buena diversificación del capital se puede decir que el dinero esta invertido de una forma segura.   2.1 Características de una acción   Plazo: Por lo general se considera una inversión a mediano o largo plazo, sin embargo, el  inversionista está en todo el derecho de tomar decisiones de vender o comprar en cualquier momento a partir del mismo instante de su inversión, teniendo en cuenta el estado  del mercado  (alta  o  baja  liquidez)  y  el  tipo  de mercado  (organizado  o  no organizado).  Rentabilidad: Las acciones tiene la característica de que la rentabilidad de la inversión depende de la valorización del título, de las utilidades obtenidas por la empresa en la cual  se  invirtió,  del  porcentaje  de  participación  y  del  provecho  que  se  le  den  a  las oportunidades de compra y venta en los momentos adecuados.  Riesgo: Por  ser una  acción un  titulo de  renta  variable, es decir, que  su  rentabilidad depende  del  estado  del  mercado  en  cuanto  a  variables  económicas,  políticas, administrativas,  ambientales,  etc.  Los  inversionistas  podrían  incurrir  en  niveles  de riesgos muy  altos,  ya  que  estos  son  los  entes  directamente  afectado,  pues  podría obtener  ingresos  demasiado  elevados  o  pérdidas  hasta  por  el  valor  invertido  en  la acción,  dejando  el  nivel  de  pérdidas  y  ganancias  en manos  de  la  habilidad  de  los administradores de estas acciones. 

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2.2 Tipo de Acciones  Acción Ordinaria: Es el titulo representativo del aporte del accionista al capital de  la sociedad  y  tiene  la  característica  de  conceder  a  su  titular  ciertos  derechos  de participación en la sociedad emisora, entre ellos se tienen: 

 

• El de participar en  las deliberaciones de  la asamblea general de accionistas y votar en ella. 

• El de recibir una parte proporcional de los beneficios sociales establecidos por los balances de  fin de ejercicio, con sujeción a  lo dispuesto en  la  ley o en  los estatutos. 

• El de negociar  libremente  las acciones, a menos que se estipule el derecho de preferencia en favor de la sociedad o de los accionistas, o de ambos. 

• El de inspeccionar, libremente, los libros y papeles sociales dentro de los quince días  hábiles  anteriores  a  las  reuniones  de  la  asamblea  general  en  que  se examinen los balances de fin de ejercicio. 

• El  de  recibir  una  parte  proporcional  de  los  activos  sociales  al  tiempo  de  la liquidación y una vez pagado el pasivo externo de la sociedad.  

Cabe  anotar  que  éste  tipo  de  acciones  son  emitidas  con  el  fin  de  vincular  nuevos accionistas para financiar y desarrollar la empresa, sin necesidad de incurrir en gastos financieros (deudas).  Acción Preferencial: Acción que da a su poseedor prioridad en el pago de dividendos, pues éste  recibe un beneficio mínimo con preferencia por encima de  los accionistas ordinarios, accediendo a su vez, al reembolso de su capital en caso de disolución de la sociedad.  Además,  tiene  privilegios  de  carácter  económico  que  pueden  ser acumulativos, según los estatutos. Sin embargo no da derecho al voto en las asambleas de  los  accionistas,  excepto  cuando  se  específica  este  derecho  o  cuando  ocurren eventos especiales como la no declaración de dividendos preferenciales.   Esta  alternativa de  acción  le  permite  al  emisor  capitalizar  su  empresa  sin  perder  el control  de  la misma,  ya  que  le  ofrece  al  inversionista  un  dividendo  definido  por  la empresa, a cambio de no interferir en el manejo de la misma.   Acción Privilegiada: Esta clase de acción otorga a su titular, además de  los derechos consagrados anteriormente para las acciones ordinarias, los siguientes privilegios:  

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• Un  derecho  preferencial  para  su  reembolso  en  caso  de  liquidación  hasta  la concurrencia de su valor nominal.  

• Derecho  a  que  de  las  utilidades  se  les  destine,  en  primer  término,  una  cuota determinable  o  no  (La  acumulación  de  ésta  cuota  no  podrá  extenderse  a  un período superior a 5 años). 

• Cualquier otra privilegio de carácter exclusivamente económico.  En  ningún  caso  podrán  otorgarse  privilegios  que  consistan  en  voto múltiple,  o  que priven de sus derechos de modo permanente a los propietarios de acciones comunes.   Acción de Goce: Son aquellos  títulos que  se  le entregan a un  socio para  compensar aportes  de  servicio,  trabajo,  conocimientos  tecnológicos,  secretos  industriales  o comerciales,  asistencia  técnica  y,  en  general,  toda  obligación  de  hacer  a  cargo  del aportarte. Estos activos financieros poseen la característica de no ser negociables y no otorgar  la  condición  de  socio  accionista.  Además,  que  permite  participar  en  forma limitada, cuantitativa y temporalmente en los beneficios de la sociedad.  Acción  Nominativa:  Acción  que  identifica  el  nombre  de  su  propietario.  Su transferencia  debe  ser  registrada  en  un  libro  especial  en  la  empresa  emisora denominado Libro de Registro de Acciones. Actualmente, de acuerdo con  las normas del Pacto Andino, las acciones en Colombia sólo son de esta clase.   Acción  Inactiva:  Es  aquella  que  no  ha  registrado  cotización  oficial  en  la  bolsa  de valores del país durante los últimos treinta (30) días calendario.    2.3 Valor de una acción  Es de  saberse  que una  acción puede  tener diferentes  valores  en  el  tiempo,  para  la muestra tenemos:  Valor Nominal: El precio o valor nominal de una acción es el valor contable y aparece impreso  en  el  título  físico  al momento de  la  emisión.  Este  valor nominal  en ningún modo determina el valor real de la acción. Tan sólo en el momento de la constitución de la sociedad serviría como aproximación al valor real de la acción.  Valor de Libros: Es el valor resultante de dividir el patrimonio de una empresa entre el número de acciones existentes, denominado  también Valor Patrimonial Proporcional (VPP). 

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Valor de Mercado: Es el valor que los inversionistas están dispuestos a pagar por ella, y está basado en el principio de que el valor presente de una acción es el resultado de apreciar o cuantificar los rendimientos futuros que se obtendrán con una inversión. El valor  de mercado  o  comercial  de  una  acción  está  sometido  a  las  leyes  de  oferta  y demanda del mercado en el momento en que se este transando.   2.4 Ventajas y Desventajas de una Emisión de Acciones  2.4.1 Para la empresa  Ventajas  Una empresa que emite acciones no esta obligada a  realizar pagos a  los accionistas, pues estos reembolsos sólo se pueden efectuar cuando la compañía genera beneficios; cuando no tiene necesidades internas urgentes y cuando la asamblea lo apruebe en la asamblea anual de accionista. Estos activos financieros no tienen fecha de vencimiento y por tanto la empresa emisora de acciones no reembolsa el dinero invertido, si no que por el  contrario, proporciona un  colchón  contra posibles pérdidas  incrementando  la dignidad de crédito de la empresa: aumenta la calificación de sus bonos, disminuye el costo  de  sus  deudas  e  incrementan  el  uso  de  futuras  deudas.    Además,  permite acaparar una capacidad de reserva de solicitud de préstamos en los momentos en que la empresa marcha bien.   Desventajas  En algunos casos dependiendo de las características del título se le confieren derechos de  voto  y  cierto  grado  de  control  a  los  accionistas  que  decidan  adquirir  acciones, restándole  poder  a  los  directivos  que  ejercen  el  dominio  en  el  momento.  Otra desventaja importante que ese podría dar, serían los altos costos de investigación para cuando se tienen altos montos de emisión de acciones. Por otro  lado,  los dividendos pagados no son deducibles para efectos fiscales, mientras que los intereses si.    2.4.2 Para los inversionistas  Ventajas  Las acciones como instrumento financiero son una buena inversión siempre y cuando las decisiones estén basadas en un estudio  serio  y  riguroso que  lleve  a  gestionar el 

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riesgo de estos activos de  la mejor  forma posible y asegurar una buena rentabilidad. Los  dividendos  recibidos  están  exentos  del  impuesto  de  renta,  dado  que  dicho impuesto  es  cancelado  previamente  por  la  sociedad  emisora.  Adicionalmente,  las utilidades provenientes de  la compra y venta de acciones, por ser una renta variable, pueden ser demasiado altas.   Desventajas  Los  inversionistas asumen un  riesgo permanente ya que  las acciones pueden subir o bajar su precio de cotización en Bolsa. Igualmente, Se debe que tener en cuenta que la rentabilidad de su inversión no está asegurada, ya que depende de factores tales como la variación del precio de  la acción en el mercado y de  las utilidades que produzca  la compañía, que se ven reflejados en los dividendos que ésta reparte. La mejor forma de reducir el riesgo es mediante la diversificación del portafolio.   2.5 El Mercado Accionario Colombiano  El mercado de  acciones  en Colombia ha  sido una de  las opciones de  inversión más atractivas en  los últimos años, pues éste, ha crecido de 2001 a 2009 en  términos de liquidez y tamaño. Para la muestra, entre 2001 y diciembre de 2005 el IGBC se valorizó en 851%. Éste crecimiento es el más dinámico en Latinoamérica, aunque permanece la brecha en el desarrollo  frente a países como Chile o Brasil y, por  tanto,  frente a  los mercados más desarrollados.  Detrás de esta bonanza accionaría han existido tanto factores externos como internos. En el ámbito interno, la recuperación de la economía entre el 2004 y 2006 creció a una tasa promedio anual de 4.4%, reflejando un aumento de las utilidades de las empresas colombianas,  lo  cual  no  redundo  con  la  mejoría  sustancial  de  las  perspectivas accionarías. Además, en el ámbito externo, se percibe como en los últimos años se ha presentado un renovado interés del capital extranjero por los negocios accionarios en el país.   Sin  embargo,  en  el  ámbito  externo  vemos  como  actualmente  la  crisis  financiera internacional  y  sus  implicaciones  en  el  desempeño  de  la  economía  colombiana plantean  un  panorama  lleno  de  retos  para  el mercado  de  renta  variable  local.  El incremento  de  la  aversión  al  riesgo  y  la  consecuente  preferencia  por  activos considerados  como  seguros  (renta  fija)  indican  momentos  de  débil  potencial  de valorización para los activos de renta variable por el momento. 

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Uno de los factores  problemáticos y característicos del mercado de acciones en el país es que este está cada vez más concentrado, es decir, que son pocas las empresas con emisiones de acciones,  lo que  indica a su vez que son menos el número de empresas inscritas en la Bolsa de Valores de Colombia, originándose una problemática alterna y es la limitada oferta de acciones que conlleva a frenar el desarrollo del sector.    

               

                 

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3. SERIES DE TIEMPO   

En todo tipo de  institución se hace  importante conocer el comportamiento futuro de ciertas variables de interés con el fin de contrarrestar riesgos por desconocimiento de las mismas. Un  caso muy  particular  es  el  sector  económico  y  financiero,  donde  los procesos de presupuestos,  financiación,  inversión, etc. Utilizan  información histórica para  hacer  inferencias  sobre  futuro,  para  estos  estudios  se  utiliza  una  herramienta básica como son las series de tiempo.  Una  serie  o  secuencia  de  tiempo  se  define  como  un  conjunto  de  magnitudes, pertenecientes  a  diferentes  periodos  de  tiempo,  de  cierta  variable  o  conjunto  de variables, reflejando el comportamiento de las mismas. Como toda clase de conducta social, los movimientos se series de tiempos son generados por fuerzas sistemáticas y estocásticas de la sociedad.   Las series de tiempo son investigadas a veces simplemente debido a un interés por la historia. En ocasiones, el  interés es por el análisis de relaciones entre varias variables en el tiempo. Pero, a menudo, el  interés final es el futuro: pronósticos estadísticos. A éste  respecto  por  ejemplo,  si  encontramos  que  cierta  tendencia  subyacente  y persistente de una serie ha continuado durante décadas, haríamos mal en  ignorar  la posibilidad que continúe. La creencia de que el comportamiento pasado de una serie puede continuar en el futuro, forma una base racional para el pronóstico estadístico.   Los movimientos  reales  de  una  serie  de  tiempo  son  causados  por  una  variedad  de factores; algunos económicos, otros naturales y otros institucionales. De estos factores algunos  tienden a afectar sólo al movimiento a  largo plazo de  la serie, mientras que otros a producir ciertas fluctuaciones breves. [Ya Lun Chou, 1983]    Dentro  del  análisis  de  una  serie  de  tiempo  son  varios  los  objetivos  que  se  desean estudiar, entre ellos tenemos:   

• Descripción:  Al  tener  una  serie  de  tiempo,  el  primer  paso  en  el  análisis  es graficar  los datos  y obtener medidas descriptivas  simples de  las propiedades principales de la serie.  

 

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• Explicación: Cuando las observaciones son tomadas sobre dos o más variables, es posible usar  la variación en una serie para explicar  la variación en  las otras series.  

 

• Predicción: Dada una serie de tiempo se intenta predecir los valores futuros de la serie. Este es el objetivo más frecuente en el análisis de series de tiempo.  

 

• Control:  Si  una  serie  de  tiempo  se  genera  por mediciones  de  calidad  de  un proceso, el objetivo del análisis puede ser el control de dicho proceso.  

 Las series de tiempo son denotadas de la siguiente manera:  

{x(t1), x(t2), ..., x(tn)} = {x(t) / t ∈ T ⊆ Z ó R}                           (1)  Con, 

    T: Instante de tiempo.     x(ti): Valor de la variable x en el instante ti. 

 Además, se tiene que:  

    Si T = Z se dice que la serie de tiempo es Discreta.     Si T = R se dice que la serie de tiempo es Continua.   

  3.1 Componentes de una serie de tiempo  Para  la  selección  apropiada  de  los modelos  que  describen  una  serie  de  tiempo,  es preciso identificar los patrones básicos o componentes de ésta. Entre ellos se tienen:  

• Tendencia  Esta componente representa la trayectoria suavizada que define la serie en el rango de variación del índice y se halla observando la forma funcional de la gráfica de la serie a lo largo del tiempo (dato vs. tiempo de generación del dato). 

 La tendencia puede ser:  Constante:    Lineal:    Cuadrática:     Cúbica:   Etc. 

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• Componente Estacional  Esta  componente  se  muestra  cuando  la  serie  tiene  patrones  estacionales  que  se repiten con una frecuencia constante, produciendo en su gráfica un efecto periódico.  Los patrones estacionales se presentan porque  fenómenos climáticos, de recurrencia en los pagos, de costumbres y/o de agrupamiento, etc. afectan las observaciones que generan la serie.  La estacionalidad se presenta de la siguiente manera: Mensual:   Trimestral:  Bimestral:  Etc.  Donde   es  la variable  indicadora para  la estación  i de  la componente estacional de periodo s (total de periodos). 

 

• Componente Aleatoria  

Esta caracterizada por fluctuaciones erráticas sin un patrón definido alrededor de una media constante. Muy a menudo estas fluctuaciones son ocasionadas por fenómenos externos no controlables. Que sólo ocurren en un tiempo y de forma impredecible. 

 

• Componente Cíclica  Las  fluctuaciones  cíclicas  no  se  repiten  periódicamente,  como  las  variables estacionales.  Ni  tampoco  se  comportan  ocasionalmente  como  lo  hacen  los movimientos  irregulares.  Los  ciclos  de  una  serie  específica  generalmente muestran cierto patrón amplio que indica repetición, pero siempre contienen algunas diferencias en duración e  intensidad. Debido a esta falta de uniformidad en  los ciclos, es posible aislarlos, pero imposible proyectarlos en el futuro, lo que constituye la parte más difícil del pronóstico con series de tiempo.   3.2 Métodos de Predicción  Con el estudio de una  serie de  tiempo, es posible obtener valores  futuros mediante una  gran  cantidad  de  métodos  de  predicción.  Estos  métodos  pueden  clasificarse fundamentalmente en tres grupos:  

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• Subjetivos: Las predicciones se hacen sobre bases subjetivas usando el criterio, la  intuición,  el  conocimiento  en  el  área  y  otra  información  relevante.  Entre estos métodos se encuentran: Ajuste de una curva subjetiva, el método Delphi1 y comparaciones tecnológicas en tiempo independiente.  

 

• Univariados: Con este tipo de método se obtienen valores  futuros de  la serie basándose en el análisis de sus valores pasados, se intenta conseguir un patrón en estos datos, se asume que este patrón continuará en el futuro y se extrapola para  conseguir  predicciones.  Son muchos  los métodos  que  encajan  en  esta categoría,  entre  estos  se  encuentran:  Extrapolación  de  curvas  de  tendencia, suavización  exponencial, método  de Holt‐Winters2  y método  de  Box‐Jenkins (ARIMA). Este último es un método ampliamente utilizado.  

 

• Causales o Multivariados: Estos métodos  involucran  la  identificación de otras variables que están  relacionadas con  la variable a predecir. Una vez que esas variables  han  sido  identificadas,  se  desarrolla  un  modelo  estadístico  que describe la relación entre esas variables y la variable a pronosticar. Entre estos métodos  se pueden  identificar: Regresión múltiple, modelos econométricos y métodos de Box y Jenkins (Modelo de función de transferencia). 

  3.3 Importancia de los Pronósticos  Los  problemas  más  tratados  matemáticamente  en  economía  financiera  son  la valoración  y  la  predicción  como  elementos  previos  a  la  decisión.  Una  decisión financiera  racional  o  adecuada  debe  reflejar  la máxima  rentabilidad  posible  con  el mínimo riesgo. Para el análisis y el cálculo o estimación de los elementos que ayuden a esta decisión existen diferentes teorías, métodos y aproximaciones.  Estas metodologías se caracterizan por partir de unos supuestos matemáticos estrictos para  garantizar  la  existencia  de  solución  o  equilibrio,  y  que  el mismo  sea  único  y estable,  lo  cual  se  convierte  en  unos  supuestos  de  comportamiento  racional  del inversor poco vinculados con la realidad.  La decisión de  invertir en Bolsa se puede realizar siguiendo  las recomendaciones que los  expertos  en  la materia  hacen  a menudo.  En  la  realidad,  bancos,  cajas,  brokers, dealers,  y  asesores  independientes  inundan  el  mercado  con  recomendaciones  y consejos  sobre  qué  hacer  con  un  valor  o  activo  determinado  según  sus  fuentes  de información y análisis. 

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 La construcción de pronósticos de precios de acciones es un tema fundamental dentro del  problema  de  selección  de  portafolios.  Una  de  las  alternativas  que  se  está estudiando actualmente en el pronóstico de precios de activos de renta variable, es el uso de sistemas expertos, tales como las redes neuronales artificiales o la lógica difusa. En general, cualquier método de pronostico estimará el valor  futuro de  las acciones, sin  embargo,  ésta  información  es  puntual  y  realmente  solo  refleja  la  tendencia  de hacia donde evolucionará este, más no refleja el conjunto de posibles evoluciones que puede sufrir el valor de una titulo a partir de su ultimo valor conocido y no incluye el efecto de otros factores exógenos a la evolución pasada de la acción.   

                             

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4. MODELO ANFIS (Adaptative Neuro Fuzzy Inference Systems,)   

En la teoría clásica de conjuntos, un subconjunto A del universo U puede ser definido   como una  función que relaciona cada elemento x del universo, con un elemento del  conjunto discreto  {0, 1}, esto es: : 0,1 ,  tal que el  cero es usado para  indicar que el elemento no pertenece con certeza a A, y  la unidad para  indicar certeza de  la  pertenencia.  A  diferencia  de  lo  anterior,  en  el  caso  de  los  conjuntos  difusos  la pertenencia  al  subconjunto  A,  a  parte  de  los  extremos  {0,1}  se  pueden  presentar niveles de pertenencia de manera continua dentro del intervalo. 

El concepto de conjuntos difusos fue introducido por L.A. Zadeh en 1965 para procesar información y datos afectados de incertidumbre e  imprecisón no probabilística. Dicha teoría  por  definición  matemática  expone  que:  si  X  es  una  colección  de  objetos, denotados genericamente por  , entonces un conjunto difuso A en X es un conjunto de pares ordenados de la forma: 

A x , μA x x X                                                  (2)  Donde    es  llamada  función  de  pertenencia  (Membership  Functions  – MF)  al conjunto difuso A. La MF mapea cada elemento de X a un grado de pertenencia (o al valor de pertenencia) entre 0 y 1 (0 1 . [Jang, 1995]  Para  la notación expuesta, el grado 1(uno) representa  la pertenencia máxima o  total de un elemento en un conjunto difuso especifico, mientras que el grado 0 (cero) indica la no pertenencia del elemento. De esta manera cualquier valor  intermedio  indica  la proporción relativa de pertenancia al subconjunto difuso.   4.1 Tipos de Funciones de Pertenencia  Las  funciones más  simples de pertenencia,  se  forman utilizando  líneas  rectas.  Entre ellas se destacan 2 tipos de funciones como son la triangular y la trapezoidal.  Función  de  Pertenencia  Triangular:  Ésta  función  no  es más  que  una  unión  de  tres puntos  formando  un  triángulo  y  tiene  como  parámetros  {a,b,c}  que  determinan  las coordenadas x de las esquinas de dicho triangulo, donde a<b<c.  

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; , ,,

1, ,

                                       (3) 

 Función de pertenencia trapezoidal: Se caracteriza por tener un piso superior, dando forma a una especie de triángulo truncado. Tiene cuatro parámetros {a,b,c,d}, donde a<b<c<d.  

; , , ,,

1, ,

                                   (4) 

 A diferencia de  las dos funciones de pertenecia mencionadas anteriormente tenemos las  funciones  con  lineas  suavizadas  o  basadas  en  la  curva  de  distribución  gausiano. Para la muestra se tiene:  Función de pertenencia Gaussiana: Una curva gausiana simple como ésta, posee dos parámetros {c, }, donde c representa el centro y   el ancho.  

,                                         (5)  Función  de  pertenencia  de  la  Campana  Generalizada  (GBell):  La  función  de pertenencia  la campana generalizada está especificada por tres parámetros (uno más que la MF gausiana).   

, , , | |                                  (6) 

 Figura 4.1  Funciones de Pertenencia   a.Triangular, b.Trapezoidal, c.Gaussiana, d.Campana 

Generalizada.  

 

         a.                          b.  

26  

   c.                           d. 

  4.2 Sistemas de Inferencia Difusa  Los  Sistemas  de  Inferencia Difuso  (Jang,  1997)  se  basan  en  la  configuración de  tres componentes conceptuales: una base de reglas,  la cual contiene una selección de  las reglas difusas; una base de datos, la cual define las funciones de pertenencia usadas en las  reglas  difusas  y  un mecanismo  de  razonamiento  o motor  de  inferencia,  el  cual ejecuta  el  procedimiento  de  inferencia.  Un  FIS  asume  que  todas  las  reglas  son activadas en cada ciclo y contribuyen colectivamente a  la solución, es decir, opera en un proceso de inferencia paralelo.  En la práctica se distinguen tres tipos fundamentales de sistemas de inferencia difuso (FIS) que se diferencian básicamente en  la representación de  los consecuentes de  las reglas difusas y en sus procedimientos de agregación y defuzzificación. [Jang, 1993]  Tipo 1. Es el caso más general y emplea  reglas enunciadas en  términos de variables lingüisticas tanto para las entradas como para las salidas en la forma:   

, … ,   

La  salida difusa de  cada  regla  se obtiene  combinando  su  función de pertenencia de salida, bien empleando un operador de mínimo (Modelo de Mamdani), o un operador de producto (Modelo de Larsen), con un factor obtenido de evaluar el antecedente de la regla para una entrada dada. La salida difusa del sistema se obtiene combinando con operador máximo las salidas de todas las reglas. Para obtener una salida no difusa del sistema  se  pueden  emplear  diferentes  métodos,  siendo  el  más  usado  el  llamado método del centroide.  • Tipo 2. Modelo de Tsukamoto: Emplea reglas del mismo tipo que el anterior, salvo que  la  función de pertenencia de  la salida   es una  función monótona creciente. La salida final del sistema es la suma ponderada de cada salida de las reglas, dada por el 

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peso de  la regla resultante del antecedente y por  la  función monótona creciente del consecuente.  •  Tipo  3.  Modelo  de  Takagi‐Sugeno:  Emplea  reglas  enunciadas  en  términos  de variables  linguisticas  para  las  entradas,  y  el  consecuente  de  cada  reglas  se  obtiene como una combinación lineal de los valores de entrada más un término constante.  

  , … , , … ,  

 Cuando  , … ,  es un polinomio de primer orden, se tiene el modelo difuso TS de orden uno y cuando es una constante, se tiene el modelo TS de orden cero. Finalmente la salida del sistema difuso es una suma ponderada de las salidas de las reglas.   Los  tres  tipos de  inferencia  se  ilustran en  la  Figura 4.2 en  la que por  simplicidad  se muestra el caso de un sistema con dos entradas.    

Figura 4.2. Mecanismos de razonamiento Difuso. 

 

   

28  

4.3 Redes Adaptativas  La red adaptativa es una estructura de varias capas con nodos y enlaces direccionales a través  de  los  cuales  dichos  nodos  son  conectados.  Estas  redes  adaptativas  están fundamentadas  en  principios  de  aprendizaje  híbrido,  es  decir,  que  usa  diferentes métodos de aprendizaje básico para el entrenamiento de la red. En general, no existen casi  restricciones para  los nodos de  las  redes adaptativas,  siendo  la más  importante que su función sea diferenciable. [ALZATE G., Alfonso. 2001]   Supongamos un sistema de inferencia difuso con dos entradas “x” y “y” junto con una salida “z”, además,  supongamos que  se  tienen dos  reglas difusas de  tipo TS  (Takagi, Sugeno) como se muestra a continuación.  

Regla 1:    

Regla 2:     

Figura 4.3 Arquitectura típica para ANFIS con reglas tipo Takagi – Sugeno. 

 

  Donde,  Capa 1: En ésta capa se fuzzyfica cada entrada, donde usualmente es utilizada la MF de la campana generalizada.  

O μA x | |                                                  (7) 

  

29  

Capa 2: Para esta segunda capa, cada nodo calcula la fuerza de ponderación (firing strength) de cada regla.  

O w μA x  . μB y                                                  (8) 

  Capa 3: Los nodos en esta capa indican la normalización N de los niveles de ponderación de cada regla.  

O w ∑                                                          (9) 

  

Capa 4: Para la cuarta capa se calcula la salida TSK de cada regla.  

O w f w p x q y r                                         (10)    Capa 5: Con éste último nodo se calcula la salida total del sistema.  

O f x ∑ w f ∑∑

                                           (11) 

                  

30  

5. APLICACIÓN DEL MODELO DE PRONOSTICOS ANFIS A UNA ACCIÓN   5.1  SELECCIÓN DE VARIABLES  En un modelo estadístico la selección de variables se convierte en uno de los procesos  más  importantes  dentro  del  estudio,  pues  la  incorporación  de  muchas  variables iniciales (covariables) que no son influyentes, podría enmascarar los resultados que se esperan obtener. Por una parte, el número de datos  (individuos distintos) necesarios para obtener resultados estadísticamente significativos crece muy rápidamente con el número de variables  iniciales.  (Por ejemplo, 10 covariables  tienen 45 coeficientes de correlación;  20  covariables,  190  coeficientes  de  correlación.  Eso  sin mencionar  las correlaciones múltiples o  las parciales). Por otra parte,  las covariables que estén muy correlacionadas  entre  ellas  no  van  a  aportar  información  complementaria  y  van  a potenciar la inestabilidad del modelo resultante.   Para  el  caso  en  estudio,  cada  una  de  las  variables  explicativas  y  la  de  salida  se trabajaron  con 1328 datos diarios históricos  reportados durante  los días de  semana (lunes a viernes) hábiles para el mercado Colombiano. Pero teniendo en cuenta que no todas  las  variables  coinciden  en  los  días  de  cotización,  los  datos  faltantes  se completaron con el valor inmediatamente anterior.  Cada una de las series de entrada se tomaron del 1 de marzo de 2004 al 1 de abril de 2009,  donde  cada  uno  de  sus  valores  estaban  representando  un  tiempo  (t),  sin embargo, la serie de tiempo de salida se manejó desde el 8 de marzo de 2004 al 8 de abril de 2009 representando un rezago en el tiempo de cinco días (t+5) para lograr ver los efectos reales de dichas variables explicativas sobre el precio de  la acción, puesto que los cambios en las variables de entrada no se ven reflejadas en el mismo instante de tiempo en los movimientos bursátiles.   5.1.1   Selección de la variable de salida   Bancolombia  es  una  entidad  del  sector  financiero  y  emisor  de  valores,  que  se encuentra  sometido  a  la  vigilancia  y  control  de  la  Superintendencia  Financiera Colombiana.  

31  

A mediados  de  1875,  la  entidad  que  entonces  se  denominaba  Banco  de  Colombia, inicio  sus  labores  como  una  respuesta  para  atender  las  necesidades  de  servicios financieros que  surgían  en  la  economía  colombiana.  En  el  transcurrir del  tiempo,  la compañía  fue  sufriendo  transformaciones  generadas  por  las  distintas  fusiones  con empresas del sector financiero, para hoy conformar la llamada Bancolombia, quien en éste momento es catalogada como una de  las empresas  líderes en  la promoción del ahorro de los colombianos, llegando a más de un millón de personas.  Bancolombia  es  una  de  las  2.800  compañías,  dentro  de  las  cuales  hay  sólo  465 internacionales, que cotizan sus acciones o ADR’s en la Bolsa de Nueva York (NYSE), el mercado de mayor liquidez y capitalización bursátil en el mundo. Además, goza de un mejor  posicionamiento,  imagen  y  acceso  a  los  mercados  internacionales  con  el programa de ADR’s. Con éste programa  iniciado en  julio de 1995, Bancolombia se ha consolidado  como  una  alternativa  atractiva  de  inversión  para  los  inversionistas americanos e internacionales y es así como de 3.5 millones de títulos emitidos en dicho año se ha pasado a más de 32 millones en la actualidad.  Adicionalmente, las acciones Ordinarias y Preferenciales de Bancolombia están listadas en  la  Bolsa  de  Valores  de  Colombia  ("BVC")  bajo  los  símbolos  BCOLOMBIA  y PFBCOLOM  respectivamente. La  Tabla  5.1.1  muestra  la  proporción  de  acciones preferenciales y ordinarias que posee en el mercado. 

 Tabla 5.1.1 Acciones Bancolombia (Ordinarias y  Preferenciales) 

  

  

 Gráfica 5.1.1.1 Transabilidad de las Acciones en La Bolsa de Valores de Colombia en abril/09 

 

 

Número de Acciones Bancolombia en el Mercado 

Preferenciales  278.122.419  35.3% 

Ordinarias  509.704.584  64.7% 

Total  787.827.003 100% 

32  

Bancolombia tiene la ventaja de ser una entidad líder en el país y contar con una alta exposición  al mercado  de  capitales,  pues  no  sólo  es muy  líquida  en  Colombia,  sino también en Estados Unidos. Pero en  las condiciones del mercado Colombiano donde son pocos los títulos de renta variable con alta bursatilidad en el medio financiero, y al pertenecer  Bancolombia  a  este  reducido  grupo,  determina  la  razón  por  la  cual  se estudiará la relación e influencia de las variables del sector económico Colombiano con el comportamiento del precio de ésta acción (PFBCOLOM).  A continuación se muestra el comportamiento que ha tomado esta variable a lo largo de todo el periodo de estudio.  

Gráfica 5.1.1.2. Comportamiento del precio de la Acción Preferencial Bancolombia. 

 

  

 5.1.2  Selección de variables explicativas.    Para iniciar el proceso de análisis de las series de tiempo, con información extraída de la Web del Grupo Bancolombia, se creó una base de datos que se fraccionó en cuatro grupos  conformados  cada  uno  de  ellos  por  distintas  series  de  tiempo  con características similares y representativas de cada conjunto. A continuación se muestra como estaban organizados dichos grupos:  Grupo 1: Indicadores Bursátiles. 

• IGBC • COL20 • COLCAP • DOW JONES • S&P500 

 Grupo 2: Monedas más representativas del mercado mundial. 

0,00

5.000,00

10.000,00

15.000,00

20.000,00

25.000,00

1 39 77 115

153

191

229

267

305

343

381

419

457

495

533

571

609

647

685

723

761

799

837

875

913

951

989

1027

1065

1103

1141

1179

1217

1255

1293

Precio de la acción ($)

PFBCOLOM

33  

• TRM • EURO • LIBRA • YEN 

 Grupo 3: Commodities. 

• PETRÓLEO • ORO • CAFÉ • CARBÓN 

 Grupo 4: Tasas de interés.   

• UVR • FED • TES 10 AÑOS • DTF 90 DÍAS 

 De  esta  forma  se  conformó  el  grupo  de  variables  de  entradas,  con  el  objetivo  de reducir  el  número  de  covariables  hasta  un  valor  razonablemente  pequeño,  que permita estudiarlas conjuntamente, y a su vez permitan explicar el comportamiento de la  variable  de  salida  dada  por  precio  de  la  acción  preferencial  de  Bancolombia (PFBCOLOM).    5.2  Correlación    Una de las herramientas estadística que podemos utilizar para describir el grado hasta el  cual una  variable está  linealmente  relacionada  con otra, es  la  correlación,  la  cual puede  ser  calculada  con  distintos  método,  entre  ellos  se  tiene  el  coeficiente  de correlación de Pearson, el cual seleccionado para llevar a cabo la investigación.  

Éste coeficiente (PEARSON), el cual está representado por la letra (ρ), es estimado por el coeficiente de correlación muestral (r) descrito por la siguiente ecuación:   

                                               (12) 

Con,  

                                                                                                                                        (13) 

34  

∑ ∑ ∑                                                                        (14) 

∑ ∑ ∑                                                                        (15) 

∑ ∑ ∑ ∑                                             (16) 

 Éste  índice de correlación  siempre  tomará valores que varían en el  intervalo  [‐1,+1], donde:  • Un coeficiente de correlación igual a cero indica una independencia total entre las 

dos variables, de manera que cuando una de ellas varía esto no influye en absoluto en el valor que pueda tomar la segunda variable. 

 • Un coeficiente de correlación igual a +1 indica una dependencia total entre las dos 

variables,  denominada  relación  directa,  de  manera  que  cuando  una  de  ellas aumenta la otra también aumenta. 

 • Un coeficiente de correlación igual a ‐1 indica una dependencia total entre las dos 

variables,  denominada  relación  inversa,  de  manera  que  cuando  una  de  ellas aumenta la otra disminuye.  

El  tamaño  de  la  muestra  de  los  datos  para  realizar  el  cálculo  del  coeficiente  de correlación debería realizarse con una muestra grande, ya que si se calcula r con n ≤ 20, la estimación del parámetro r puede estar sesgada. Por lo que sería recomendable utilizar otros tipos de coeficientes. Pero como se trabajó con un tamaño de muestra de n = 1328 datos, es permitido utilizar este indicador.    5.2.1 Matriz de Correlación  Entrando en materia para la selección de las variables más influyentes de cada uno de los grupos económicos en el precio de  la acción de Bancolombia, es  indispensable el estudio de correlación entre  las variables explicativas y  la variable dependiente. Para esto,  se generó  la matriz de  correlaciones  (Tabla 5.2.1)  con el  fin de determinar  las variables de entrada con la relación lineal más significativa.   Ésta matriz de correlación posee  la característica de ser simétrica y en cuya diagonal representar  la correlación perfecta  r=1, dado que una  serie  se  relaciona  linealmente consigo misma de forma perfecta, además de arrojar valores de correlación entre cada una de las series, extraídos de la ecuación de Pearson, mencionada con antelación. 

35  

 Tabla 5.2.1 Matriz de Correlación 

   

MATRIZ DE CORRELACIÓN 

   PFBCOLOM  IGBC  COL20  COLCAP  DOW JONES  S&P500  TRM   EURO  LIBRA  YEN  PETRÓLEO  ORO  CAFÉ  CARBÓN  UVR  FED  TES 10 Años  DTF 90 Días 

PFBCOLOM  1                                                    

IGBC  0.956072355  1                                                 

COL20  0.937831552  0.99532569  1                                              

COLCAP  0.957814979  0.99161513  0.9795168  1                                           

DOW JONES  0.565815779  0.60909024  0.63007974  0.52784867  1                                        

S&P500  0.581285624  0.609892  0.62845341  0.52454435  0.98095901  1                                     

TRM   ‐0.640334404  ‐0.6839606  ‐0.6648358  ‐0.6860817  ‐0.6173318  ‐0.5556816  1                                  

EURO  ‐0.617622872  ‐0.6372312  ‐0.6241302  ‐0.6278544  ‐0.5009237  ‐0.5296954  0.75607744  1                               

LIBRA  0.273043558  0.30200503  0.32138528  0.21193031  0.88853923  0.87638573  ‐0.4655233  ‐0.2537401 1                            

YEN  0.390595782  0.41348698  0.44694813  0.32362129  0.65029075  0.74763259  ‐0.069353  ‐0.3978167 0.54211138 1                         

PETRÓLEO  0.572499839  0.55638993  0.52474103  0.57065311  0.52508696  0.4756678  ‐0.8263854  ‐0.4983322 0.48465321 0.0538518  1                      

ORO  0.586465331  0.6421589  0.62503609  0.68962513  0.20058308  0.09427554  ‐0.6905374  ‐0.2787709 0.01916165 ‐0.2954755  0.66764677  1                   

CAFÉ  0.576932768  0.59414788  0.55476044  0.64533861  0.15531942  0.09477866  ‐0.7235139  ‐0.4039611 0.01344211 ‐0.2977703  0.59836497  0.81089138 1                

CARBÓN  ‐0.008140992  ‐0.0253978  ‐0.0672939  0.04008209  ‐0.0991469  ‐0.1625118  ‐0.4793298  ‐0.1803267 ‐0.0095764  ‐0.4499248  0.67035676  0.44486573 0.42098937  1             

UVR  0.539099028  0.60395995  0.58126849  0.66075718  0.0774043  ‐0.0262909  ‐0.6554643  ‐0.3251738 ‐0.1426241  ‐0.3372859  0.57060668  0.92942988 0.81613034  0.44501944  1          

FED  0.689510493  0.67740727  0.69045565  0.60229895  0.71825804  0.80235163  ‐0.271663  ‐0.4576283 0.56340687 0.83179772  0.18815329  ‐0.0182719  0.03728296  ‐0.4806319  ‐0.0711189 1       

TES 10 Años  0.579009621  0.56187578  0.57620259  0.48561051  0.61453301  0.72974015  ‐0.1262942  ‐0.4024797 0.48683568 0.86456794  0.05121562  ‐0.1821124  ‐0.0905522  ‐0.5396405  ‐0.2245864 0.96562356  1    

DTF 90 Días  ‐0.075517323  ‐9.815E‐06  ‐0.0143002  0.05189073  ‐0.0529752  ‐0.2174134  ‐0.4702798  ‐0.0088046 ‐0.0634537  ‐0.6502465  0.42628404  0.63448677 0.49957499  0.63714504  0.6818321  ‐0.5722929  ‐0.719834  1 

36  

5.3. Elección de Variables  Analizando  los resultados obtenidos de  la matriz de correlación (Tabla 2), vemos que las variables de entrada que poseen mayor grado de correlación lineal con el precio de la acción preferencial de Bancolombia son: COLCAP, TRM, ORO y FED,  lo que es muy coherente con lo que se esperaba. A continuación mostraremos algunas de las razones por las cuales éstas variables influyen en los precios de la acción:    5.3.1 Variables Exógenas:  COLCAP  

Grafica 5.3.1.1.  Comportamiento del Índice Bursátil Colcap. 

 

  El  COLCAP  es  uno  de  los  indicadores  bursátiles  de  nuestro  país  que  refleja  las variaciones de las 20 acciones más líquidas de la Bolsa de Valores de Colombia (BVC), donde  el  valor  de  capitalización  bursátil  de  cada  compañía  determinará  su participación ponderada  en  el  indicador.  La  capitalización bursátil no  es más que  el valor  de  una  empresa  en bolsa, medido por  el  precio de  su  acción  y  el  número de títulos en circulación de la compañía.  En ninguno de  los dos nuevos  índices (COL20 y COLCAP) habrá una empresa con más del  20  por  ciento  de  participación,  lo  que  los  diferencia  del  IGBC,  en  donde  hay compañías hasta con un 25 por ciento de peso en la variación del indicador, y aunque éste  indicador  (IGBC)  es  el  que  normalmente  se  toma  como  referente  del comportamiento  de  las  acciones  en  la  Bolsa  de  Valores  de  Colombia,  el  consejo directivo de la misma junto con La Superintendencia Financiera, determinaron que de ahora en adelante  lo que ocurra con el  índice de capitalización COLCAP definirá si es necesario suspender temporalmente la rueda accionaria. 

0,00

200,00

400,00

600,00

800,00

1.000,00

1.200,00

1.400,00

1 39 77 115

153

191

229

267

305

343

381

419

457

495

533

571

609

647

685

723

761

799

837

875

913

951

989

1027

1065

1103

1141

1179

1217

1255

1293

Valor del In

dicado

r (Pun

tos)

COLCAP

37  

 Esta situación, sumada a que está previsto crear un derivado de acciones basado en el índice de capitalización y no en el general, hace que después de ocho años de brillar en el mercado, el IGBC pierda protagonismo en el sector financiero del país.  Según la bolsa, el cambio se basa en estándares de la Federación Mundial de Bolsas y la idea es que haya menos interrupciones en la rueda y además, mantener activas las negociaciones y la liquidez.   Esto  convierte  al  índice  de  capitalización  como  un  a  factor  a  tener  en  cuenta  al momento que un  inversionista  tome decisiones de  inversión  en el mercado bursátil colombiano.  TASA REPRESENTATIVA DEL MERCADO (TRM)  

Gráfica 5.3.1.2.  Comportamiento del valor de la TRM 

 

  

La Tasa Representativa del Mercado es el promedio ponderado del precio del dólar del día  hábil  inmediatamente  anterior  de  acuerdo  con  las  operaciones  del  mercado interbancario  de  divisas  (compras  y  ventas),  en  dicho  promedio  se  incluyen  tanto operaciones  de mercado  libre  como  del mercado  cambiario.  La  TRM  es  calculada diariamente por la Superintendencia Bancaria.   De  la matriz de correlación  (Tabla 5.2.1), se ve que comportamiento del precio de  la acción  de  Bancolombia mostró  una  correlación  negativa  con  respecto  al  precio  del dólar (TRM). Este comportamiento se debe a que en tiempos de devaluación del dólar los agentes, corredores o  inversionistas   prefieren tener activos como  las acciones en 

0,00

500,00

1.000,00

1.500,00

2.000,00

2.500,00

3.000,00

1 37 73 109

145

181

217

253

289

325

361

397

433

469

505

541

577

613

649

685

721

757

793

829

865

901

937

973

1009

1045

1081

1117

1153

1189

1225

1261

1297

Valor del indicado

r ($)

TRM

38  

dólares  y no  en  pesos, pues  se  vuelven más  atractivos  los precios  de  los  títulos de renta variable por las siempre existentes expectativas de revaluación de ésta moneda.   Con la devaluación del peso colombiano frente a cualquier moneda y principalmente al dólar y al euro por ser las monedas de mayor negociación en el mercado, se producen cambios en  la  rentabilidad y perspectivas de  las distintas actividades económicas, ya que  aquellas  con  alto  valor  agregado  nacional,  tales  como  la  producción  y comercialización  de  café,  flores  y  banano,  se  verán  favorecidas,  debido  a  que  sus ingresos aumentan con respecto a nuestra moneda, mientras que sectores  intensivos en importaciones como el de vehículos automotores, electrodomésticos, farmacéutico y aseo personal, entre otros, se enfrentan a disminuciones en la demanda. Los papeles de estos sectores se ven  intercambiados cuando  la moneda nacional gira en sentido contrario (se revalúa).  En el mismo sentido, cuando las expectativas de devaluación son elevadas se frena la inversión privada, se desvaloriza  la  finca raíz,  los viajes  internacionales se hacen más costosos,  al  igual  que  la  adquisición  de  maquinaria  y  equipos  esenciales  para  el desarrollo económico. Y si a  lo anterior se agrega una situación económica regular o mala,  caracterizada  por  un  aumento  en  el  desempleo  y  por  un  retraimiento  del crédito, entonces se hace evidente que no es el mejor momento para  iniciar nuevos proyectos.   Con todo lo anteriormente mencionado, se puede observar que el aumento del precio del dólar (Mayor TRM) implica un empobrecimiento de los colombianos frente al resto del mundo, creando un ambiente de “poca  inversión” por parte de  inversores  locales en títulos ya sea de renta fija o variable.  ORO 

Gráfica 53.1.3. Comportamiento del Precio del Oro 

 

  

0,00

200,00

400,00

600,00

800,00

1.000,00

1.200,00

1 39 77 115

153

191

229

267

305

343

381

419

457

495

533

571

609

647

685

723

761

799

837

875

913

951

989

1027

1065

1103

1141

1179

1217

1255

1293

Precio (U

S)

ORO

39  

Las propiedades  físicas y químicas del oro han motivado a  lo  largo de  la historia  su identificación como símbolo de poder y riqueza, llegando incluso a ser el soporte de las economías nacionales e  internacionales.  La comercialización del oro ha evolucionado desde  su  consideración  como  referencia  en  los  cambios  monetarios  hasta  las transacciones en las modernas bolsas de contratación de metales. 

La recesión y la perspectiva inflacionaria de la economía estadounidense  presionan el precio del oro a la alza, la recomendación de comprar oro no solo seduce a los grandes inversores,  sino  que  además  se  están  sumando  los  inversores  independientes  que tratan de defender sus ahorros y patrimonios de lo que perciben como una larga crisis económica en la que los papeles moneda (títulos valores) perderán su valor a causa de la devaluación de los mismos.  

El oro  se ha convertido en un valor  seguro en momentos de  incertidumbre como el actual  de  turbulencias  financieras.  Frente  a  un  dólar  que  pierde  valor permanentemente  la  compra  de  oro  es  una  huida  hacia  la  calidad.  Así,  los  Bancos Centrales  de  muchas  economías  emergentes  se  están  deshaciendo  de  dólares estadounidense y comprando otros activos, como, por ejemplo, el oro. Se trata de una estrategia diversificadora e inteligente de sus reservas. 

En todas las materias primas están habiendo muchas especulaciones, por lo que el oro no es una excepción. La crisis desatada a raíz de los problemas hipotecarios en Estados Unidos ha tenido en el precio del oro al principal ganador. Tal como hemos  indicado ello  se  debe  a  la  compra  de  oro  como  forma  de  inversión  segura  en  tiempos turbulentos. Las características de cobertura frente a la inflación y de refugio frente a la depreciación de otros activos financieros, en este caso, las acciones han convertido al oro en un activo de gran atractivo para los inversores.  Considerando  que  a  nivel  global  el  “papel  dinero”  pierde  valor  diariamente,  por  el crecimiento de  la oferta monetaria y  la  inflación. Ello sumado a que en  la mayoría de los países, las tasas de interés son menores con relación a esta última, dando por tanto resultados negativos, consecuentemente  la devaluación, el oro se ve privilegiado por encontrarse al margen de dichas variantes. Además el oro es un valor  refugio en un escenario de crisis como el que vivimos. Mientras que diversificadores  tradicionales, como  bonos  y  acciones  de  alternativas,  a  menudo  fallan  en  épocas  de  tensión  e inestabilidad de mercados, el oro ha demostrado mejorar los resultados de portfolios tanto en tiempos de estabilidad como lo contrario durante los últimos 500 años.   El oro es la única moneda que no se encuentra bajo el control de ningún gobierno por lo cual, se encuentra ajena a necesidades y conveniencias políticas de turno. En éste 

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mineral se puede hacer una inversión fácil que no cuenta con gravámenes impositivos ni grandes dificultades a  la hora de su  liquidez,  lo que  transforma  la  inversión en un activo casi como en el papel moneda. Con lo anteriormente expuesto se puede ver la gran relación que se presenta entre el precio  del  oro  y  el mercado  de  capitales, más  específicamente  en  el  precio  de  las acciones,  creando  un  ambiente  de  equilibrio  o  salvamento  en  momentos  de  alta tención o  crisis  como el que esta ocurriendo  a nivel mundial, donde el mercado de títulos de renta variable a decaído a niveles preocupantes.   FED 

Gráfica 5.3.1.4. Comportamiento de la  federal funds rate 

 

 

El Sistema de  la Reserva Federal es el banco central de  los Estados Unidos. Creada por el Congreso  a  través  de  una  ley  sancionada  en  1913,  otorgándole  la  responsabilidad  de promover un sistema bancario sólido y una economía próspera. Hoy en día, ésta continua siendo su gran misión y la de las partes que la componen, que son: 12 Bancos de Estados Unidos, cada uno sirviendo a una región específica del país; y el Cuerpo de Sociedades de Bolsa  en  Washington,  creado  para  supervisar  el  Sistema  de  la  Reserva  Federal.  Para cumplir con su misión, la Reserva Federal funciona como un banco para los bancos y como el  banco  del  gobierno  sirve  como  un  regulador  de  instituciones  financieras  y  como  el administrador del dinero de  la nación, cumpliendo con una amplia variedad de funciones que afectan  la economía, el sistema  financiero, y en última  instancia, a cada uno de  los ciudadanos del país. 

El Sistema de Reserva Federal tiene cuatro responsabilidades: 

 

0,00

1,00

2,00

3,00

4,00

5,00

6,00

1 37 73 109

145

181

217

253

289

325

361

397

433

469

505

541

577

613

649

685

721

757

793

829

865

901

937

973

1009

1045

1081

1117

1153

1189

1225

1261

1297

Valor del indicado

r (%

)

FED

41  

• Conducir  la  política  monetaria  influenciando  las  condiciones  monetarias  y crediticias de la economía, buscando el nivel máximo de empleo, precios estables, y tasas de interés moderadas a largo plazo.  

 • Supervisar y regular las instituciones bancarias para proteger el sistema bancario y 

financiero del país y proteger los derechos crediticios de los consumidores.   

• Mantener  la  estabilidad  y  contener  los  riesgos  que  puedan  surgir  en  el  sistema financiero.   

• Proveer  de  servicios  financieros  a  las  instituciones  de  depósito,  al  gobierno  y  a instituciones  oficiales  extranjeras  (incluyendo  la  operación  del  sistema  de  pagos nacional). 

El mecanismo  que  utiliza  la  Fed  para  “controlar”  la  economía  es  la  tasa  de  los  fondos federales (federal funds rate) y la tasa de descuento (discount rate). La primera es la tasa de interés que los bancos se cobran unos a otros por préstamos diarios y la segunda es la tasa que la Fed cobra por préstamos a los bancos.  

La Fed considera que modificando estas tasas, los bancos eventualmente bajarán o subirán las  tasas de  interés que  cobran  a  sus  clientes. Esto  tiene un efecto directo en el poder adquisitivo de la población y por ende en la economía del país.  

Por ejemplo, si se considera que la economía está desacelerándose o estancada y quieren inyectar  dinero  para motivarla,  la  Fed  optará  por  recortar  las  tasa  de  interés.  De  esta manera,  los  negocios  y  los  consumidores  se  verán  incentivados  a  prestar  dinero,  y  a gastarlo, aumentando así la demanda de productos y servicios.  

Existen tres herramientas para llevar a cabo una política monetaria. 

• Operaciones  de  Mercado  Abierto.  Cuando  la  FED  compra  instrumentos financieros, pone más dinero en circulación. Con más dinero disponible,  las  tasas de  interés tienden a disminuir, y así más dinero es prestado y gastado. Cuando  la FED vende  instrumentos  financieros,  saca de  circulación el dinero,  causando que las tasas de  interés aumenten, haciendo  los préstamos más caros y, por  lo tanto, menos accesibles.  

• Regular  la  cantidad  de  reservas. Un  banco miembro  presta  la mayor  parte  del dinero depositado en él. Si la FED dice que deben quedarse con una mayor reserva, la cantidad de dinero que un banco puede prestar disminuye, haciendo los créditos más inaccesibles y provocando alzas en la tasa de interés.  

42  

• Tasas de Descuento. Cambiar la tasa de interés a la cual los bancos pueden pedir al Sistema de Reserva Federal. Bancos miembros pueden pedir préstamos de  corto plazo    y  el  interés  que  cobra  la  FED  a  dichos  bancos  por  los  préstamos  son  las  llamadas Tasas de Descuento, la cual es superior a la tasa de interés de los bancos comerciales.  Esto  tiene  un  efecto  en  la  cantidad  de  dinero  que  los  bancos sobregiran. 

   5.3.2  Variable Endógena  

Gráfica 5.3.2.1.  Trayectoria de la serie original, FAC, FACP.   

  

La Función de Autocorrelación Parcial  sirve para medir el grado de asociación entre una serie de  tiempo consigo misma  rezagada k periodos pero sin  tener en cuenta el efecto de los demás rezagos.  El coeficiente de AC parcial   (que se calcula con  la PACF) describe  la relación entre parejas de valores de una serie de tiempo que están rezagados k periodos hacia atrás, eliminando el efecto de los rezagos restantes. (MAKRIDAKIS, et al, 1998).  En la gráfica 5.3.2.2 se puede ver con mayor claridad el comportamiento que presenta la  variable  de  salida  mostrando  rezagos  significativos  hacia  el  futuro  en  tiempos irregulares, es decir, que la FACP no tiende a cero, lo cual evidencia una dependencia de los datos hacia los valores pasados.   Además, en ésta gráfica 5.3.2.2 se ve como en el corto plazo  (20 días)  la variable de salida  muestra  un  último  rezago  para  este  periodo  en  el  octavo  dato,  lo  que 

43  

implícitamente muestra una correlación entre el dato actual y el de 8 días atrás. Por tanto  se  puede  generar  una  nueva  variable  explicativa  dada  por  el  precio  de PFBCOLOM con un rezago en el mismo periodo de tiempo, es decir, en un tiempo t‐3 ya que la variable inicial de de salida está en un tiempo t+5. 

 Gráfica 5.3.2.2. Función de Autocorrelación Parcial. 

 

 

   5.4  Pronósticos   5.4.1 Modelo de Pronóstico con ANFIS  Para generar el pronóstico, en primera  instancia se  introdujeron en  la plataforma de MATLAB todas y cada una de  las variables es estudio. Para ello, se tomaron  los 1328 datos correspondiente a  las 5 variables explicativas e  incluyendo  la variable de salida, todas  de  forma  estandarizada.  Para  dicha  estandarización  se  útilizó  la  siguiente ecuación: 

0.5 2                                           (17) 

 El que los datos de la serie de tiempo se normalizaran, se hizo con el objetivo de que estos  cayeran  en  el  rango  [‐1,1]  para  eliminar  efectos  de  dimensionalidad,  pues  el 

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programa pierde eficiencia en el procesamientos de los datos cuando la información se encuentra en diferentes escalas.    Para el análisis la base de datos se manejo bajo la siguiente nomenclatura:  

 

X1 → PFBCOLOM (t‐3) 

X2 → COLCAP   

X3 → TRM 

X4 → ORO 

X5 → FED 

            Y → PFBCOLOM (t+5) 

 Luego  de  tener  la  información  inicial  necesaria  para  la  generación  del modelo  de pronóstico, fue necesario dividir la base de datos en una zona de entrenamiento y una de  chequeo.  Para  esto,  la  selección  de  la  información  se  hizo  bajo  la  siguiente estructura:  

Entrenamiento:   Primer dato espaciado 3 unidades → 1, 4, 7, 10, 13 ,…,1327 

                             Tercer dato espaciado 3 unidades → 3, 6, 9, 12, 15 ,…,1326 

Chequeo:     Segundo dato espaciado 3 unidades → 2, 5, 8, 11, 14, …,1328  Donde se obtuvieron 885 y 443 datos para entrenamiento y chequeo  respectivamente (ver gráfica 5.4.1.1). 

 Gráfica 5.4.1.1 Espaciamiento de los datos para las zonas de entrenamiento y chequeo  

 Azul: Datos de entrenamiento                     Verde: Datos de chequeo. 

 El  sistema de  Inferencia Neuro difuso – ANFIS posee  la ventaja de generar modelos basados en  reglas de conocimientos difusas por medio de dos metodologias, una de ellas es el algoritmo de Wang – Mendel, quien establece reglas tipo Mamdani. El caso en estudio  se basó en  la otra metodologia que  se  caracteriza por generar  las  reglas difusas de manera automatica y ser de tipo Takagi – Sugeno.   Uno de los motivos de escogencia entre las tecnicas expuestas, es el echo de que si se incorporan las reglas tipo wang – Mendel (Ver Anexo 2) en el modelo ANFIS trabajado, 

45  

se  genera un  error de pronóstico muy  alto, por  lo que no habria  justificación  en  la aplicación del modelo. Es por esta razón que los pronósticos de la serie de tiempo de  PFBCOLOM  en  función  a  las  variables  explicativas  escogidas  para  el  modelo,  se trabajaron bajo un FIS automático en Matlab. En  la  creación  del  modelo,  se  estructuró  el  sistema  de  inferencia  difuso  (FIS) Automático bajo las siguientes caracteristicas (Ver figura 5.4.1):   

• El  Tipo  de  FIS  elegido  para  cada  una  de  las  reglas  difusas  es  el  de  Takagi‐Sugeno. Donde debido a  la cantidad numerosa de datos que poseen  las series de tiempo, es mucho mejor manejar un tipo de salida o consecuente de forma lineal (de orden uno) que uno constante (de orden cero).  

• El número de variables de entrada o Input es cinco.  

• El número de variables de salida  o Output es una.  

• El  número  de  reglas  difusas  bajo  el  modelo  Takagi‐Sugeno,  dado  que  se tomaron 2 conjuntos difusos para cada una de  las 5 variables explicativas, es (MF)k = 25 = 32. (Ver Anexo 1) 

 Figura 5.4.1 Características del sistema de inferencia difuso 

 

  

46  

Sin  embargo,  aparte  de  las  características  estructurales  del  modelo  FIS  que  se muestran en la figura 5.4.1, el sistema se generó bajo otras instrucciones asignadas por el  investigador, de tal manera que se  introdujo el tipo de función de pertenencia y el número de niveles para cada una de  las variables de entrada de dicho sistema. Como consecuencia a  lo mencionado, el sistema se trabajó con: 2 funciones de pertenencia para  cada  una  de  las  variables  explicativas,  pues  ingresar  una  función  más  (3) representa mayor error, a parte, cada una de estas variables serán del tipo Campana Generalizada o gbell. Además, las medidas expuestas en la última columna de la tabla 5.4.1,  representan  los parámetros  o  puntos  claves  creados  automáticamente  por  el algoritmo, para formar la figura geométrica que toma una campana generalizada. 

 Tabla 5.4.1. Características del FIS 

 

Variables  Niveles de MF  Tipo de MF  Parámetros de MF 

X1  in1mf1  gbellmf  [1.021 2.002 ‐0.977 0]     in1mf2  gbellmf  [0.9801 1.998 1.025 0]  X2  in2mf1  gbellmf  [1.031 2.003 ‐0.9663 0]    in2mf2  gbellmf  [0.9671 1.995 1.042 0]  X3  in3mf1  gbellmf  [0.9785 2.007 ‐0.999 0]    in3mf2  gbellmf  [0.9811 2.004 1.006 0]  X4  in4mf1  gbellmf  [0.9913 2.001 ‐0.996 0]    in4mf2  gbellmf  [0.9843 1.998 0.9857 0] X5  in5mf1  gbellmf  [1.001 2.003 ‐0.994 0]     in5mf2  gbellmf  [0.9746 2.004 1.017 0]  

  

Gráfica 5.4.1.2  Funciones de pertenencia para cada una de las variables de entrada  

 

47  

  

 Luego  de montar  y  entrenar  los  datos,  además  de  haber  generado  el modelo  en MATLAB,  se  obtuvieron  los  pronósticos  para  cada  una  de  las  zonas  trabajadas (entrenamiento y chequeo). (Ver gráficas 5.4.1.3 y 5.4.1.4).   En cada una de estas gráficas, se ve claramente una muy buena calidad de ajuste entre los  valores pronosticados  y  los  valores  reales de  la  variable PFBCOLOM, de acuerdo con los resultados obtenidos en el modelo ANFIS. Sin embargo, es importante tener en cuenta  que  para  el  caso  de  análisis  de  resultados  es  relevante  el  estudio  sobre  la gráfica 5.4.1.4 que representa los datos de prueba, ya que estos datos no intervienen en la construcción del modelo, pero si son la base para validarlo.   

Gráfica 5.4.1.3. Pronósticos con datos de Entrenamiento  

  

   

0

5000

10000

15000

20000

25000

1 37 73 109

145

181

217

253

289

325

361

397

433

469

505

541

577

613

649

685

721

757

793

829

865

Pronósticos con Datos de EntrenamientoOriginal

48  

 Gráfica 5.4.1.4 Pronósticos con datos de Chequeo 

 

    5.4.2 Modelo de Regresión Múltiple  Éste modelo se refiere a  la regresión  lineal de una única variable   que se caracteriza por  ser  dependiente  y  estar  en  términos  de  varias  variables    independientes.  El modelo representativo para la base de datos en estudio, corresponde a:   

                           (18)   Donde los   representan los parámetros o coeficientes de regresión múltiple y    es el término del error.  Para  la  construcción  del modelo  de  regresión múltiple  de  la misma manera  que  se procedió  en  el  sistema  ANFIS  se  particionaron  los  datos  de  entrada  en  la  zona  de entrenamiento  y  chequeo  con  la misma  estructura  de  selección,  esto  con  el  fin  de hacer comparables los datos del error de ambos modelos.  El  siguiente  paso  al  fraccionamiento  de  los  datos  es  la  generación  de  la  ecuación proveniente  de  los  datos  de  entrenamiento.  Esta  se  logró  bajo  los  comandos proporcionados por Excel arrojando como resultado la siguiente ecuación:  

0

5000

10000

15000

20000

25000

1 19 37 55 73 91 109

127

145

163

181

199

217

235

253

271

289

307

325

343

361

379

397

415

433

Pronósticos con Datos de ChequeoOriginal

Pronóstico

49  

0,00397241 0,75730049 0,19853456 0,03282404 0,06092257 0,02502607                                                   (19)   A  ésta ecuación, quien es  la base para  el modelo de  regresión,  se  le  ingresaron  los datos de chequeo con el objetivo de obtener los pronósticos para la variable de salida, y por ende los errores que se aprecian en la tabla 5.4.3.   Bajo  la  ecuación  20,  se  calcularon  los  RMSE  (Root  Mean  Square  Error  –  Error Cuadrático Medio) el cual consiste en la raíz de la sumatoria al cuadrado de lo real vs. lo proyectado por el modelo, sobre el número de observaciones.    

∑                                                 (20) 

  

5.4.3 Comparación de Errores del Modelo ANFIS y RLM.   

Gráfica 5.4.3.1 Errores del Modelo ANFIS  

  

 En  la  gráfica  5.4.3.1  se puede observar  como  en  la decima  iteración del modelo  se encuentra  el menor error que  corresponden  a 0,0539 para entrenamiento  y 0,0632 para los datos de prueba. Cabe anotar que en el tramo color azul corresponde al error para datos de entrenamiento y el  tramo en verde  representa el error para  los datos chequeo.   

50  

Gráfica 5.4.3.2 Dispersión de los errores del Modelo de RLM  

   

Tabla 5.4.3 Errores de Chequeo con ANFIS y Regresión Múltiple 

 

ERRORES de CHEQUEO 

   Unidades Estandarizadas

Unidades Reales ($/Acción) 

ANFIS  0,063  522,541 

Regresión Múltiple  0,095  786,808 

  Como resultado final al estudio del modelo ANFIS para  la variable correspondiente al precio  de  la  acción  preferencial  de  Bancolombia  (PFBCOLOM),  vemos  que  los pronósticos arrojados para dicha variable son de mayor calidad en  los del ANFIS que los  obtenidos  con  un  modelo  de  regresión  lineal  múltiple,  pues  los  errores  de pronóstico  dados  por  el  error  medio  cuadrático  son  menores  en  un  3,2% representando aproximadamente un valor de $264,3. Ésta proporción es una cantidad significativa, que da pie a la profundización en la aplicación del ANFIS como un modelo valido para  la pronosticación de  series de  tiempo  en  sector  económico,  sin  restarle importancia a las otras áreas de aplicación.     

‐0,5

‐0,4

‐0,3

‐0,2

‐0,1

0

0,1

0,2

0,3

0 100 200 300 400 500

Dispersión de los Errores del modelo de RLM con Datos Estandarizados

51  

6. CONCLUSIONES   La implementación de un sistema de inferencia neurodifuso para analizar la capacidad y calidad de ajuste de un modelo de pronóstico para un titulo de renta variable como son  las acciones, arrojó  resultados  importantes y alentadores para el medio bursátil, pues como se pudo ver a lo largo de la investigación, con éste sistema se disminuyeron los  índices  del  error,  en  comparación  con  uno  de  los  métodos  estadísticos tradicionalmente utilizados para conocer las tendencias y pronósticos de los índices de precios de los diferentes títulos en el mercado tanto de renta fija como variable.    Al  momento  de  elegir  la  mejor  metodología  de  reglas  difusas  para  conformar  el modelo, la técnica de Wang – Mendel no fue una buena técnica para aplicar en el caso en estudio, como si lo fue la metodología del sistema de inferencia difuso automático, ya que con este último los resultados mejoran notablemente en términos del error de pronóstico.   Las ventajas de las redes neurodifusas son su capacidad de aprendizaje, su flexibilidad para  efectuar  cambios,  la  inclusión  de  conocimiento  humano  como  soporte  para  el entrenamiento de  la estructura,  la representación matemática de reglas  lingüísticas y la  efectividad  en  los  resultados  obtenidos,  especialmente  por  tener  un  enfoque modelo no‐lineal en el ajuste de las series de datos. [MARIN V. y MUÑOS O. 2002]   Al momento de estructurar el sistema ANFIS se percibió una gran desventaja de este modelo y es  la dificultad para manejar problemas con muchas variables de entrada o explicativas, pues si se  tiene N número de variables de entrada y K es el número de funciones de pertenencia asociada a cada variable de entrada, entonces se presenta una cantidad R=KN de reglas difusas y el número total de parámetros adaptativos es de P=KN+1+KNxN.  Por  lo  cual,  la  complejidad  crece  aceleradamente  aumentando  la cantidad de variables de entrada, perdiéndose eficiencia en el procesamiento de  los datos. Esto determina la aplicación absoluta y necesaria de la etapa de selección de las variables más influyentes, para que permitan analizar e interpretar de una manera más práctica y sencilla los resultados obtenidos en el estudio del modelo.    

52  

El profundizar más en este tipo de proyectos abrirá un gran campo investigativo a nivel de la Universidad Nacional de Colombia, convirtiéndose en una institución pionera en el país por el estudio, investigación y aplicación de herramientas como la lógica difusa y sistemas Neurodifuso ANFIS en los distintos campos de estudio. Ya que este tipo de investigaciones sirven como motivación y ayuda a nuevas generaciones de estudiantes para  inclinarse  por  el  estudio  de  estos  sistemas  novedosos  que  no  solo  tienen aplicación  en  el  sector  bursátil  si  no  en  otras  áreas  como  son  la  robótica,  sector industrial y energético, control químico, etc.  

 

                            

53  

BIBLIOGRAFÍA  

 BANCO  DE  LA  REPUBLICA.  (Colombia).  Tasas  de  Cambio.  [En  línea]: http://www.banrep.gov.co/series‐estadisticas/see_ts_cam.htm  BOLSA  DE  VALORES  DE  COLOMBIA.  Indicadores  Bursátiles.  [En  línea]: http://www.bvc.com.co/pps/tibco/portalbvc  CHOU,  Ya‐Lun.  Análisis  Estadístico.  Segunda  Edición.  México:  Nueva  Editorial Interamericana S. A, 1983, p.613.  Computer Vision and Fuzzy – Neuronal Systems. Arun D. Kulkarni, University of Texas. Publisher: Prentice Hall PTR 2001. Pag. 93 – 96.  CORREA, Emilia. Series de Tiempo. Primera Edición. Medellín: Universidad Nacional de Colombia, Octubre de 2000, p. 3‐5.  Fuzzy Logic Toolbox™ 2 ‐ User’s Guide.  The MathWorks, Inc. COPYRIGHT 1995–2009. 3 Apple Hill Drive. Natick, MA 01760‐2098.  GRUPO  BANCOLOMBIA  (Colombia).  Indicadores.  [En  línea]: http://investigaciones.bancolombia.com/invEconomicas/(i2hiunue2zpmnb45bwqsko45)/Indicadores/Home.aspx?C=B&Id=1&S=GO  MARIN VALENCIA,  Juan y MUÑOS OCAMPO, Karina. Comparación entre  los Modelos de BOX &  JENKINS y el Modelo ANFIS en el Pronostico de Precios de Acciones en el Corto  Plazo.  Medellín  2002.  Trabajo  de  Grado  (Ingeniero  Industrial).  Universidad Nacional de Colombia – Sede Medellín. Facultad de Minas.   MEJIA  LIKOSOVA,  Margarita.  Evaluación  del  Modelo  DENFIS  Para  la  Predicción  de Series de Tiempo Económicas. Medellín 2008. Trabajo de Grado (Máster en Ingeniería Administrativa).  Universidad  Nacional  de  Colombia  –  Sede  Medellín.  Facultad  de Minas.   MONTGOMERY, D. Diseño y Análisis de Experimentos.  

54  

MORENO, Julian y   CEBALLOS, Yony. Pronóstico de generación  ideal a escala mensual usando ANFIS. 2008. Universidad Nacional de Colombia – Sede Medellín y Universidad de Antioquia. En: Revista Avances en Sistemas e  Informática, Vol. 5 No. 3, Diciembre de 2008, Medellín, 62 ISSN 16577663. 

NAVAS  GONZÁLEZ,  Rafael.  Diseño  y  Aplicación  de  Controladores  Neuro‐Difusos Integrados  en Modo Mixto  de  Alta  Complejidad. Málaga,  Diciembre  de  2000.  Tesis Doctoral. Universidad de Málaga. Departamento de Electrónica.  SUPERINTENDENCIA  FINANCIERA DE COLOMBIA. Evolución de  los precios promedios diarios de cotización. [En línea]: http://www.superfinanciera.gov.co 

VELÁSQUEZ,  Juan  y DYNER,  Isaac. Modelación  de  Series  Temporales  usando  ANFIS. Escuela  de  Sistemas,  Universidad  Nacional  de  Colombia,  Sede Medellín  En:  Revista Inteligencia Artificial Vol. 23, No17, 2004. 

55  

ANEXOS  ANEXO 1: REGLAS DE CONOCIMIENTO DEL SISTEMA DE INFERENCIA DIFUSO. 

Antecedente  Consecuente  Estructura 

[1 1 1 1 1]  1  Si (X1 es A1) y (X2 es B1) y (X3 es C1) y (X4 es D1) y (X5 es E1) Entonces (y = Z1) 

[1 1 1 1 2]  2  Si (X1 es A1) y (X2 es B1) y (X3 es C1) y (X4 es D1) y (X5 es E2) Entonces (y = Z2) 

[1 1 1 2 1]  3  Si (X1 es A1) y (X2 es B1) y (X3 es C1) y (X4 es D2) y (X5 es E1) Entonces (y = Z3) 

[1 1 1 2 2]  4  Si (X1 es A1) y (X2 es B1) y (X3 es C1) y (X4 es D2) y (X5 es E2) Entonces (y = Z4) 

[1 1 2 1 1]  5  Si (X1 es A1) y (X2 es B1) y (X3 es C2) y (X4 es D1) y (X5 es E1) Entonces (y = Z5) 

[1 1 2 1 2]  6  Si (X1 es A1) y (X2 es B1) y (X3 es C2) y (X4 es D1) y (X5 es E2) Entonces (y = Z6) 

[1 1 2 2 1]  7  Si (X1 es A1) y (X2 es B1) y (X3 es C2) y (X4 es D2) y (X5 es E1) Entonces (y = Z7) 

[1 1 2 2 2]  8  Si (X1 es A1) y (X2 es B1) y (X3 es C2) y (X4 es D2) y (X5 es E2) Entonces (y = Z8) 

[1 2 1 1 1]  9  Si (X1 es A1) y (X2 es B2) y (X3 es C1) y (X4 es D1) y (X5 es E1) Entonces (y = Z9) 

[1 2 1 1 2]  10  Si (X1 es A1) y (X2 es B2) y (X3 es C1) y (X4 es D1) y (X5 es E2) Entonces (y = Z10) 

[1 2 1 2 1]  11  Si (X1 es A1) y (X2 es B2) y (X3 es C1) y (X4 es D2) y (X5 es E1) Entonces (y = Z11) 

[1 2 1 2 2]  12  Si (X1 es A1) y (X2 es B2) y (X3 es C1) y (X4 es D2) y (X5 es E2) Entonces (y = Z12) 

[1 2 2 1 1]  13  Si (X1 es A1) y (X2 es B2) y (X3 es C2) y (X4 es D1) y (X5 es E1) Entonces (y = Z13) 

[1 2 2 1 2]  14  Si (X1 es A1) y (X2 es B2) y (X3 es C2) y (X4 es D1) y (X5 es E2) Entonces (y = Z14) 

[1 2 2 2 1]  15  Si (X1 es A1) y (X2 es B2) y (X3 es C2) y (X4 es D2) y (X5 es E1) Entonces (y = Z15) 

[1 2 2 2 2]  16  Si (X1 es A1) y (X2 es B2) y (X3 es C2) y (X4 es D2) y (X5 es E2) Entonces (y = Z16) 

[2 1 1 1 1]  17  Si (X1 es A2) y (X2 es B1) y (X3 es C1) y (X4 es D1) y (X5 es E1) Entonces (y = Z17) 

[2 1 1 1 2]  18  Si (X1 es A2) y (X2 es B1) y (X3 es C1) y (X4 es D1) y (X5 es E2) Entonces (y = Z18) 

[2 1 1 2 1]  19  Si (X1 es A2) y (X2 es B1) y (X3 es C1) y (X4 es D2) y (X5 es E1) Entonces (y = Z19) 

[2 1 1 2 2]  20  Si (X1 es A2) y (X2 es B1) y (X3 es C1) y (X4 es D2) y (X5 es E2) Entonces (y = Z20) 

[2 1 2 1 1]  21  Si (X1 es A2) y (X2 es B1) y (X3 es C2) y (X4 es D1) y (X5 es E1) Entonces (y = Z21) 

[2 1 2 1 2]  22  Si (X1 es A2) y (X2 es B1) y (X3 es C2) y (X4 es D1) y (X5 es E2) Entonces (y = Z22) 

[2 1 2 2 1]  23  Si (X1 es A2) y (X2 es B1) y (X3 es C2) y (X4 es D2) y (X5 es E1) Entonces (y = Z23) 

[2 1 2 2 2]  24  Si (X1 es A2) y (X2 es B1) y (X3 es C2) y (X4 es D2) y (X5 es E2) Entonces (y = Z24) 

[2 2 1 1 1]  25  Si (X1 es A2) y (X2 es B2) y (X3 es C1) y (X4 es D1) y (X5 es E1) Entonces (y = Z25) 

[2 2 1 1 2]  26  Si (X1 es A2) y (X2 es B2) y (X3 es C1) y (X4 es D1) y (X5 es E2) Entonces (y = Z26) 

[2 2 1 2 1]  27  Si (X1 es A2) y (X2 es B2) y (X3 es C1) y (X4 es D2) y (X5 es E1) Entonces (y = Z27) 

[2 2 1 2 2]  28  Si (X1 es A2) y (X2 es B2) y (X3 es C1) y (X4 es D2) y (X5 es E2) Entonces (y = Z28) 

[2 2 2 1 1]  29  Si (X1 es A2) y (X2 es B2) y (X3 es C2) y (X4 es D1) y (X5 es E1) Entonces (y = Z29) 

[2 2 2 1 2]  30  Si (X1 es A2) y (X2 es B2) y (X3 es C2) y (X4 es D1) y (X5 es E2) Entonces (y = Z30) 

[2 2 2 2 1]  31  Si (X1 es A2) y (X2 es B2) y (X3 es C2) y (X4 es D2) y (X5 es E1) Entonces (y = Z31) 

[2 2 2 2 2]  32  Si (X1 es A2) y (X2 es B2) y (X3 es C2) y (X4 es D2) y (X5 es E2) Entonces (y = Z32) 

  En cada una de  las 32  reglas difusas el valor de Z  (consecuente) está  relacionado de forma  lineal  con  sus  antecedentes,  dadas  por  X1,  X2,  X3,  X4  y  X5 ( 1, 2, 3, 4, 5 ) como lo expone Takagi – Sugeno. Además el valor de cada consecuente estará dado por la siguiente ecuación:   

1 2 3 4 5 .  

56  

Parámetros de los consecuentes o matriz  :  

[‐20.53 16.37 34.86 ‐6.01 ‐14.85 ‐11.39] 

[12.92 ‐31.67 ‐17.95 ‐7.244 11.54 ‐6.803] 

[60.63 ‐35.67 16.29 ‐11.95 ‐0.7418 12.91] 

[8.617 ‐0.1381 20.07 26.41 82.36 28.52] 

[1.782 1.967 5.059 ‐2.299 ‐1.962 ‐11.78] 

[‐8.75 13.17 9.025 ‐6.318 ‐18 ‐12.97] 

[‐28.34 ‐29.69 ‐23.92 4.853 ‐16.43 ‐22.19] 

[6.279 ‐66.39 6.612 ‐17.04 ‐5.19 5.695] 

[48.05 ‐39.43 ‐20.57 15.11 34.98 ‐6.289] 

[‐35.14 32.12 ‐14.08 28.44 ‐19.53 2.659] 

[‐21.81 ‐10.05 2.732 0.6704 ‐4.177 8.196] 

[‐26.36 37.35 3.079 24.39 ‐27.52 ‐25.6] 

[0.655 ‐2.65 ‐32.57 0.6266 ‐1.161 16.67] 

[‐3.226 ‐43.59 ‐22.91 ‐3.293 12.39 13.99] 

[22.92 ‐26.96 12.27 ‐2.824 14.74 37.68] 

[‐8.426 16 27.07 ‐56.87 18.47 ‐18.06] 

[‐39.9 ‐5.361 7.616 4.877 5.014 21.38] 

[‐3.984 ‐3.843 24.14 21.46 19.62 16.74] 

[16.5 1.248 ‐27.78 16.32 ‐51.82 ‐59.89] 

[5.589 57.72 ‐8.991 9.512 ‐31.58 ‐1.993] 

[‐13.54 ‐9.518 3.081 10.56 16.13 12.72] 

[‐13.4 2.635 17.37 ‐24.13 11.1 ‐33.4] 

[59.04 ‐1.931 48.05 1.366 40.77 20.63] 

[30.99 ‐24.73 ‐27.24 ‐33.49 ‐6.899 20.44] 

[‐5.778 ‐12.47 18.11 ‐9.227 ‐3.961 20.24] 

[‐4.805 ‐0.4927 ‐7.906 ‐8.425 0.6392 ‐5.145] 

[‐0.4308 3.517 ‐0.9123 ‐7.084 16.57 11.7] 

[‐0.9733 ‐1.334 12.01 ‐6.169 10.5 4.374] 

[‐23.97 16 13.66 ‐21.07 ‐34.7 ‐36.34] 

[3.559 1.192 ‐9.837 5.697 ‐9.222 21.74] 

[‐2.937 17.18 ‐22.87 2.975 ‐12.9 ‐17.83] 

[‐6.255 3.555 18.74 7.808 ‐4.353 ‐5.314]   

Finalmente el pronóstico de la variable de salida con el modelo ANFIS estará dado por:   

y∑ w Z∑ w

 

 Donde  los Wi  y  los  Zi  son:  el  valor  de  una  ponderación  y  el  valor  del  consecuente respectivamente para cada una de las reglas difusas.  

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ANEXO 2: Reglas de Conocimiento basados en el Algoritmo de Wang ‐ Mendel.  

El número de conjuntos difusos correspondientes a cada entrada y  la salida, como vector fila es: [5 6 7 8 9 6] 

Para X1   A1, A2, A3, A4, A5 

Para X2   B1, B2, B3, B4, B5, B6 

Para X3   C1, C2, C3, C4, C5, C6, C7 

Para X4   D1, D2, D3, D4, D5, D6, D7, D8 

Para X5   E1, E2, E3, E4, E5, E6, E7, E8, E9 

Para Y   S1, S2, S3, S4, S5, S6 

1. If (X1 is A1) and (X2 is B1) and (X3 is C1) and (X4 is D1) and (X5 is E1) then (Y is S1)

2. If (X1 is A1) and (X2 is B1) and (X3 is C1) and (X4 is D1) and (X5 is E2) then (Y is S1)

3. If (X1 is A1) and (X2 is B1) and (X3 is C1) and (X4 is D2) and (X5 is E2) then (Y is S1)

4. If (X1 is A1) and (X2 is B1) and (X3 is C2) and (X4 is D2) and (X5 is E2) then (Y is S1)

5. If (X1 is A1) and (X2 is B2) and (X3 is C2) and (X4 is D2) and (X5 is E2) then (Y is S2)

6. If (X1 is A2) and (X2 is B2) and (X3 is C2) and (X4 is D2) and (X5 is E2) then (Y is S2)

7. If (X1 is A2) and (X2 is B2) and (X3 is C2) and (X4 is D2) and (X5 is E3) then (Y is S2)

8. If (X1 is A2) and (X2 is B2) and (X3 is C2) and (X4 is D3) and (X5 is E3) then (Y is S2)

9. If (X1 is A2) and (X2 is B2) and (X3 is C3) and (X4 is D3) and (X5 is E3) then (Y is S2)

10. If (X1 is A2) and (X2 is B3) and (X3 is C3) and (X4 is D3) and (X5 is E3) then (Y is S3)

11. If (X1 is A2) and (X2 is B3) and (X3 is C3) and (X4 is D3) and (X5 is E4) then (Y is S3)

12. If (X1 is A2) and (X2 is B3) and (X3 is C3) and (X4 is D4) and (X5 is E4) then (Y is S3)

13. If (X1 is A3) and (X2 is B3) and (X3 is C3) and (X4 is D4) and (X5 is E4) then (Y is S3)

14. If (X1 is A3) and (X2 is B3) and (X3 is C4) and (X4 is D4) and (X5 is E4) then (Y is S3)

15. If (X1 is A3) and (X2 is B3) and (X3 is C4) and (X4 is D4) and (X5 is E5) then (Y is S3)

16. If (X1 is A3) and (X2 is B4) and (X3 is C4) and (X4 is D5) and (X5 is E5) then (Y is S4)

17. If (X1 is A3) and (X2 is B4) and (X3 is C4) and (X4 is D5) and (X5 is E6) then (Y is S4)

18. If (X1 is A3) and (X2 is B4) and (X3 is C5) and (X4 is D5) and (X5 is E6) then (Y is S4)

19. If (X1 is A4) and (X2 is B4) and (X3 is C5) and (X4 is D5) and (X5 is E6) then (Y is S4)

20. If (X1 is A4) and (X2 is B4) and (X3 is C5) and (X4 is D6) and (X5 is E6) then (Y is S4)

21. If (X1 is A4) and (X2 is B4) and (X3 is C5) and (X4 is D6) and (X5 is E7) then (Y is S4)

22. If (X1 is A4) and (X2 is B5) and (X3 is C5) and (X4 is D6) and (X5 is E7) then (Y is S5)

23. If (X1 is A4) and (X2 is B5) and (X3 is C6) and (X4 is D6) and (X5 is E7) then (Y is S5)

24. If (X1 is A4) and (X2 is B5) and (X3 is C6) and (X4 is D7) and (X5 is E7) then (Y is S5)

25. If (X1 is A4) and (X2 is B5) and (X3 is C6) and (X4 is D7) and (X5 is E8) then (Y is S5)

26. If (X1 is A5) and (X2 is B5) and (X3 is C6) and (X4 is D7) and (X5 is E8) then (Y is S5)

27. If (X1 is A5) and (X2 is B6) and (X3 is C6) and (X4 is D7) and (X5 is E8) then (Y is S6)

28. If (X1 is A5) and (X2 is B6) and (X3 is C7) and (X4 is D7) and (X5 is E8) then (Y is S6)

29. If (X1 is A5) and (X2 is B6) and (X3 is C7) and (X4 is D8) and (X5 is E8) then (Y is S6)

30. If (X1 is A5) and (X2 is B6) and (X3 is C7) and (X4 is D8) and (X5 is E9) then (Y is S6)

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