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ANALISIS DESCRIPTIVODE DATOS
Un motivo para hacer sospecharque la Estadística es más un arteque una ciencia, gira en torno a la
ambigüedad con que se usa eltérmino “ promedio”.
29/04/2016
CURSO: ESTADÍSTICA GENERAL
DOCENTE: Mag. Denís Leonor Mendoza
Rivas
SEMESTRE 2016 - I
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METODOS PARA EL ANÁLISISDESCRIPTIVO DE DATOS CUANTITATIVOS
Los cuadros estadísticos, los
distintos gráficos, que se han
estudiado hasta ahora son diversas
maneras de resumir un conjunto de
datos a pocas cifras, pero se
requieren medidas más exactas.
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Las cifras descriptivas o estadística de resumen que se obtienen de un conjunto
de datos llamado muestra (que es un subconjunto de la población), se llaman
estadígrafos o estadísticos.
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Medidas:
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(A) Las medidas de posición
Se refieren al punto medio de una distribución dedatos
Ejemplo: A partir del gráfico siguiente, se observa
que la posición central de la curva B está a laderecha de la posición central de las curvas A y C.Obsérvese que la posición central de la curva A es lamisma que la curva C.
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3.1. Las medidas de posición
En general se denominan promedios.1. Medidas de tendencia central: Los más importantesson la media, la mediana y la moda.
Aritmética
Media GeométricaMedidas de Mediana Armónica
tendencia central Moda
2. Medidas de localización: cuantiles Cuartiles
Deciles
Percentiles
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La Media
(A) La media aritmética ( )
a) Obtención: Se obtiene sumando los valoresregistrados y dividiéndolos entre el número
de datos.
x
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ál ulos a partir de datos no agrupados, seutilizan las siguientes formulas.Para una muestra
donde: : media muestral: suma de todos los datos
: número de datos (muestra)n
n
i i
x 1X
Para una población
donde: : media poblacional: suma de todos los datos
: número de datos (población)
iX x
n
iX
N
N
i i1X
N
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Mediaaritmetica
Se puede calcular la media aritmética utilizando Excel.
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Cálculo a partir de datos agrupados.
El cálculo de la media aritmética, cuando losdatos disponibles se encuentran en tablas dedistribución de frecuencias, se realiza utilizandola formula siguiente
donde: :media muestral:frecuencia absoluta de la clase i :marca de la clase i
ii
ii
i
ii nh
n
n f
n f
n f
i
i
i
i x XXX
1
1
1
1
x
i f
iX
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Al tabular las calificaciones de un examen seobtuvieron las siguientes notas: 07, 08, 09,10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17 y lasfrecuencias del numero de alumnosrespectivas: 1, 1, 1, 1, 1, 6, 8, 16, 18, 20, 2.¿Cuánto es la media, la mediana y la moda
de las notas?, ¿qué valor escogería como elpromedio?.
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Ejemplo
Cien estudiantes divididos en cuatro grupos A, B, C y Ddan un examen y obtienen un promedio general de 72(calificación centesimal). Los puntajes medios de losgrupos A, B, C son 75, 62 , 80, respectivamente. Losregistros del grupo D se extraviaron; pero se sabe queen el grupo A están el 40% del total de alumnos, en elgrupo B un cuarto del total, en el grupo C habían 15alumnos más que en el grupo D. Determinar el promedio
del grupo D.
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Ejercicio
En una empresa el sueldo promedio portrabajador es de 360 dólares mensuales,los trabajadores manuales constituyen el40% del total y reciben el ¼ del montodela planilla, ¿cuánto recibe en promediocada trabajador manual?.
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La media aritmética ponderada ( )
donde:
= factor de ponderación
= datos
n
i
i
n
i
ii
w
w
p x1
1
X
p x
iw
iX
Media Aritmética Ponderada
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Ventajas y desventajas de la media aritmética
Ventajas: Concepto familiar para muchas personasEs única para cada conjunto de datosEs posible comparar medias de diferentes
muestrasDesventajas
Se ve afectada por los datos extremosSi la muestra es grande y los datos no estánagrupados, su cálculo es tediosoSi los datos están agrupados en clases conextremos abiertos, no es posible calcular lamedia.
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(B) La media geométrica ( )
Se utiliza para promediar:
razones (a/b), índices (a/b en
%), proporciones (a/(a+b)),
tasa de cambio (a-b)/b, que
varían con el tiempo.
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g x
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(B) La media geométrica ( )Se utiliza para calcular tasas medias de variación,
como la tasa media de crecimiento poblacional, latasa media de inflación mensual, la tasa media demortalidad, entre otros.
a) Obtención Se obtiene extrayendo la raíz enésimadel producto de los n valores de una serie.
Para datos no agrupados:
Para datos no agrupados:
g x
n g n x XXXX .........
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Ejemplo
Años Tarifa (S/.)
2005 2502006 400
2007 600
2008 1000
2009 2000
•Determinar la tasa promedio de variación del pasajeinterprovincial de Huaraz a Loreto en los últimos años:
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Ejemplo
En una empresa, la producción haexperimentado un crecimiento del 25% delprimer al segundo año, del 40% delsegundo al tercero. Determine la tasa promedio de crecimiento
del primer año al tercero
Estimar la producción del cuarto año.
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Ejemplo
Suponga que se depositaron $100inicialmente y que se acumulan losintereses a tasas variables de 7, 8, 10, 12y 10% anual, durante 5 años. Hallar elfactor de crecimiento promedio.
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(C) La media armónica ( )
Se utiliza para calcular el tiempo medio, velocidady aceleración media, como por ejemplo, el tiempomedio para realizar determinada cirugía.
a) Obtención: se obtiene calculando el inverso dela media aritmética de los inversos de una serie.
h x
n
n
i i
h x
1X
1
1
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Se utiliza para obtener
promedios de valores que estánen relación inversa como la
velocidad y el tiempo.
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Ejemplo
Un automovilista recorre un circuito de formacuadrada aplicando en cada ladorespectivamente una velocidad de 20 m/s, 30
m/s, 40 m/s y u m/s. si la velocidad promedioes 32 m/s, halle u.
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Ejemplo
Un automóvil recorre los 10 primeros Km. a
razón 30 Km./h y los 10 Km. siguientes a
razón de 60 Km./h. Determinar la velocidad
media durante todo el trayecto.
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Ejemplo
Si un restaurante compra S/. 7200 demantequilla a S/. 60 el Kg., S/. 7200 de a S/.72 el Kg. y S/. 7200 de a S/. 90 el Kg.
Calcular el precio promedio por Kilogramo.
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Ejemplo
La media aritmética entre dos números es100 y su media geométrica 20. Calcule lamedia armónica.
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Ejemplo
Una ama de casa ha ido comprando durante cuatroaños arroz a distintos precios, el primer año a S/1,2 elkg, el segundo a S/1,4 kg, el tercer año a S/1.6 el kg y elcuarto a S/1.7 el kg. Hallar el costo medio del Kg dearroz durante los 4 años, suponiendo.
Que el numero de kg consumidos al año es constante
Que la cantidad de dinero gastado al año sea constante
Determine la tasa promedio de crecimiento del primeraño al cuarto
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(C) La Mediana
Es la medida que divide en dos subconjuntosiguales a datos, de tal manera que 50% de losdatos es menor a la mediana y el otro 50% esmayor a la mediana.
a) Obtención: Se obtiene ordenando la serie dedatos (en forma ascendente o descendente) y
ubicando el dato central.
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Ejemplo:
Los siguientes datos se refieren al número detrabajadores que llegaron al trabajo, después de lahora programada durante los últimos 11 días en sucentro de trabajo. Calcule e interprete la mediana.
12, 10, 5, 15, 8, 11, 13, 8, 10, 17, 16
Primero se ordenan lo datos:5, 8, 8, 10, 10, 11, 12, 13, 15, 16, 17
5 datos menores 5 datos mayores
mediana
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Ejemplo: 8, 10, 14, 18, 23, 24, 32, 34
5.202
2318mediana
2º Si la serie es par, la mediana se obtiene de lasemisuma de los dos valores centrales de la seriepreviamente ordenada.
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d) Cálculo a partir de datos agrupados.
donde:: mediana: limite real (o frontera) inferior de la clasemediana.
: número total de datos.: suma de todas las frecuencias hasta, pero
sin incluir, la clase mediana.: frecuencia de la clase mediana: amplitud de clase
c Md f
F n
Md i
1i
2L1
Md
1L
i
n
1i F
Md f
c
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e) Ventajas y desventajas Ventajas:
Los valores extremos no afectan a la medianacomo en el caso de la media aritmética.Es fácil de calcular, interpretar y entender.Se puede determinar para datos cualitativos,
registrados bajo una escala ordinal.Desventajas:
Como valor central, se debe ordenar primero laserie de datos.
Para una serie amplia de datos no agrupados, elproceso de ordenamiento de los datos demandatiempo y usualmente provoca equivocaciones.
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( D ) La Moda
La moda es el valor que más se repite dentro de un
conjunto de datos.a) Obtención: se obtiene organizando la serie dedatos y seleccionando el o los datos que más serepiten.
4, 5, 7, 8, 8 , 10, 12, 15
4, 7, 12,12 , 15, 16, 20, 20 , 24, 27
7, 12, 15, 18, 25, 30, 31, 38
Ejemplo :
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b) Cálculo a partir de datos agrupados
donde:
: moda: limite real (o frontera) inferior de la clasemodal (la de mayor frecuencia)
: frecuencia de la clase modal menos lafrecuencia de la clase anterior
: frecuencia de la clase modal menos lafrecuencia de la clase siguiente
: amplitud de clase
ci
21
1LoM
oM
iL
1
2
c
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Las clases mediana y modal pueden coincidir peroconceptualmente son diferentes.
Ejemplo: La tabla siguiente muestra los errores defacturación durante un mes, en una EMPRESA. Calcule einterprete la moda.
Interpretación: Durante un mes, el número más frecuente
de errores de facturación en esta EMPRESA es 6.
Errores de
facturación Días
0 - 4 6
4 - 8 12Clase
Modal
8 - 12 8
12 - 16 3
16 - 20 1
Total 30
Clase moda : (4 - 7)
Mo = 6,4
61
42
4
46
64 Mo
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e) Ventajas y desventajas de la moda.Ventajas:
Se puede utilizar tanto para datos cualitativoscomo cuantitativos.No se ve afectada por los valores extremos.Se puede calcular, a pesar de que existan una o
más clases abiertas.Desventajas:No tiene un uso tan frecuente como la media.Muchas veces no existe moda (distribución
amodal).En otros casos la distribución tiene variasmodas, lo que dificulta su interpretación.
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A continuación se presenta una distribución simétricareferente a los ingresos diarios (S/.), de 100 trabajadoresde una empresa, y en la que se conoce:
H6-H2=0.72, H5-H3=0.45, H4+H6=1.57,X’5-X’2 = (k-4)A, Mo=19; X’1=12.
Reconstruya el cuadro de distribución de frecuencias.
Si la gerencia fija un sueldo mínimo de S/.15 ¿Qué
porcentaje de trabajadores se beneficiaran con estamedida?
Hallar el ingreso mínimo del 20% de los de mayoringreso
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Cuantiles
Son valores que dejan por debajo deél una cierta fracción de los datos
ordenados en forma creciente y elresto por encima. Cuando la fracciónes la mitad, se trata de la mediana.
Los más comunes son: Loscuartiles, los deciles, y lospercentiles.
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Cuartiles
Dividen a la distribución de datos en cuatropartes iguales.•Q1= Valor de la variable que deja a la izquierda
el 25% de la distribución.•Q2= Valor de la variable que deja a la izquierdael 50% de la distribución = mediana.
•Q3= Valor de la variable que deja a la izquierdael 75% de la distribución.Se presentan dos casos:
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Para datos no agrupados:
Para datos agrupados:
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Deciles
Dividen a la distribución de datos en 10 partes iguales.
D1, D2,...,D9, correspondientes a 10%, 20%,...,90%.
•D1= Valor de la variable que deja a la izquierda el 10%de la distribución.
•D4= Valor de la variable que deja a la izquierda el 40%
de la distribución = mediana.
•D9= Valor de la variable que deja a la izquierda el 90%de la distribución.
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Para datos no agrupados:
Para datos agrupados:
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Percentiles
Dividen a la distribución de datos en 100 partes iguales.P1,...,P99, correspondientes a 1%,...,99%.
•P1= Valor de la variable que deja a la izquierda el 1% de
la distribución.•P20= Valor de la variable que deja a la izquierda el 20%de la distribución = mediana.
•P87= Valor de la variable que deja a la izquierda el 87%de la distribución.
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Para datos no agrupados:
Para datos agrupados:
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