An´alisis descriptivo de series temporales aplicadas al...

Analisis descriptivo de seriestemporales aplicadas al precio medio

de la vivienda en Espana

Justo Puerto Marıa Paz Rivera *

MaMaEuSch**

Management Mathematics for European Schools94342 - CP - 1 - 2001 - DE - COMENIUS - C21

*Universidad de Sevilla**Este proyecto ha sido desarrollado con ayuda parcial de la Union Europea dentro del marco del pro-

grama Socrates. El contenido no refleja necesariamente la posicion de la Union Europea ni implica ningunaresponsabilidad por parte de la Union Europea.

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1. Series temporales

Llamamos serie temporal, cronologica, historica o de tiempo a una sucesion de observa-ciones cuantitativas de un fenomeno en el tiempo. Interesa su estudio porque permite analizarla evolucion que en el transcurso del tiempo ha experimentado una variable, tanto para con-struir un modelo descriptivo de la historia del fenomeno, como para predecir sus valoresfuturos mediante metodos de alisado (que no estudiaremos en este trabajo).

Es importante entender que, en una serie temporal es esencial la ordenacion que el tiempoinduce en los datos, de forma que cada observacion debera estar asociada a un determinadoperiodo. Luego, en esencia, una serie temporal es una distribucion de frecuencias bidimensional(t, yt) donde la variable endogena o dependiente yt es la magnitud en estudio, y la exogenao independiente es el tiempo t. Pero, solo existe una variable yt que constituye lo que seconoce como modelo univariante de serie temporal que se autoexplica por su propio pasado,no existiendo ninguna variable explicativa o exogena que nos permita establecer una relacioncausa-efecto como sucede en la regresion y correlacion. Se estudia el pasado historico de yt (suscomponentes) de forma descriptiva y, bajo el supuesto de que su estructura va a permanecerconstante, se hacen predicciones para el futuro. Ası seran series temporales las ventas de unaempresa en cada uno de los ultimos diez anos, los costes financieros, la renta disponible delos clientes potenciales, etc.

Todo analisis de series temporales ha de iniciarse con una representacion grafica de lamisma, utilizando los ejes cartesianos, de forma que en el eje de abcisas representaremos eltiempo y en el de ordenadas, la serie observada yt, con lo que obtendremos una serie de puntos(t, yt) que, al unirlos, nos dan un impacto grafico de la serie del que se pueden sacar unasprimeras conclusiones de la evolucion historica de la misma.

Antes de proseguir hemos de tener en cuenta el caracter de introduccion que pretendetener este trabajo. Intentar explicar la evolucion de una variable economica a partir del simplepaso del tiempo, es algo que no nos permite ir mas alla de un mero estudio descriptivo deunos datos concretos en un intervalo de tiempo concreto. Un analisis mas profundo de laevolucion temporal de una variable, tanto a partir de los valores de otra que presumiblementeinfluye en ella, como de su propia historia (segun sus habitos adquiridos, tal y como sucedecon el consumo, o segun capacidad maxima, caso de la produccion), requiere tecnicas deanalisis mucho mas perfeccionadas que las que vamos a exponer a continuacion, que se han deinterpretar simplemente como una primera aproximacion descriptiva a las tecnicas rigurosasde analisis de series temporales que actualmente se estan utilizando.

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1.1. Componentes de una serie temporal

En el estudio clasico de las series temporales se considera que la magnitud estudiada,en un determinado valor y en un determinado periodo, es consecuencia de la actuacion decuatro componentes o fuerzas, la tendencia, las variaciones cıclicas, las variacionesestacionales y las variaciones accidentales. Vamos a definirlas.

Tendencia (T): es una componente de la serie que refleja su evolucion a largo plazo.Este largo plazo sera distinto segun sea la naturaleza de la serie, pero cuantos masperiodos se tengan mejor sera el analisis. Esta componente, en el conjunto de toda laserie, puede ser de naturaleza estacionaria o constante (se representa por una paralelaal eje de abcisas), de naturaleza lineal, de naturaleza exponencial, u otras posibilidades.

Las variaciones cıclicas (C): es una componente de la serie que recoge las oscila-ciones periodicas de amplitud superior a un ano. Estas oscilaciones no son regulares yse presentan en los fenomenos economicos cuando se dan de forma alternativa etapasde prosperidad o de depresion. Normalmente, en una serie economica se superponendistintos ciclos de esta clase, lo que hace que en la practica esta sea la componente masdifıcil de determinar. Como es natural, cuanto mayor sea el periodo de un ciclo queafecta a nuestra variable, mayor ha de ser el numero de observaciones para que aquelsea reconocible.

Las variaciones estacionarias (E): es una componente de la serie que recoge os-cilaciones que se producen en periodos de repeticion iguales o inferiores a un ano. Sunombre proviene precisamente de las estaciones climatologicas. Si se considera el anocomo periodo marco, de repeticion pueden observarse las fluctuaciones de la magnitud alo largo de sus meses, trimestres, cuatrimestres, etc. Ası como si tomamos como periodode repeticion el mes, podrıamos observar las fluctuaciones de la magnitud en sus distin-tos dıas, semanas, etc. El origen de las variaciones estacionales puede estar en factoresfısico-naturales, como son las estaciones climatologicas, o en factores culturales y detradicion, como son las fiestas navidenas, las vacaciones, los horarios comerciales, etc.El clima afecta a la venta de una serie de productos, los helados y refrescos se venderanfundamentalmente en verano y la ropa de abrigo en invierno.

Las variaciones accidentales (A): es una componente de la serie temporal que recogelas fluctuaciones erraticas que se dan por la ocurrencia de fenomenos imprevisibles, queafectan a la variable en estudio de manera esporadica y no permanente (un pedidoextraordinario a una empresa, una huelga, una catastrofe, etc). Tambien reciben elnombre de variaciones irregulares, residuales o erraticas.

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1.2. Hipotesis de estudio

Ahora cabe hacerse una pregunta basica: ¿Como actuan las cuatro componentes para queden como resultado los distintos valores de la serie observada? En el estudio clasico de lasseries temporales se han manejado dos hipotesis de trabajo:

1. Los valores observados de cualquier serie temporal son el resultado de la suma de lascuatro componentes:

yt = Tt + Ct + Et + At.

Esta expresion se conoce con el nombre de esquema o hipotesis aditiva.

2. Los valores observados de cualquier serie temporal son el resultado de la multiplicacionde las cuatro componentes:

yt = Tt ∗ Ct ∗ Et ∗ At.

Esta expresion admite variantes para recoger el supuesto de que la componente acciden-tal o erratica es independiente de las demas y no sigue ninguna regularidad periodicacomo ocurre con las otras. Esta independencia implica que la componente A aparece deforma aditiva:

yt = Tt ∗ Ct ∗ Et + At.

¿Como decidiremos que hipotesis seguir?Para resolver el problema de cual debe ser el esquema o hipotesis a utilizar en cada caso,habra que efectuar un analisis previo de la serie. Una forma analıtica de determinar el esquemade trabajo mas adecuado se consigue mediante el metodo de las diferencias y cocientesestacionales. Veamos que entendemos por diferencia y cociente estacional:

La diferencia estacional se obtiene como diferencia entre dos datos de anos consecutivos,pero de la misma estacion. La notaremos como dt,i.

dt,i = yt,i − yt−1,i.

El cociente estacional se calcula por division entre dos datos de anos consecutivos, perode la misma estacion. La notaremos como ct,i.

ct,i = yt,i/yt−1,i.

donde yt,i= valor de la serie en el ano t, en la estacion i.

Una vez aclarados los conceptos de diferencia y cociente estacional vamos a explicar los pasosque habrıa que seguir para la aplicacion de este metodo.

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1. Calculo de todos los cocientes y diferencias estacionales. Logicamente, en este calculoperderıamos las observaciones correspondientes a un ano.

2. Obtencion del coeficiente de variacion (CV) para las diferencias y cocientes estacionalesdados por las siguientes expresiones:

CV (d) =

∣∣∣∣Desviacion tıpica(d)

media(d)

∣∣∣∣,CV (c) =

∣∣∣∣Desviacion tıpica(c)

media(c)

∣∣∣∣.3. Aplicar la siguiente regla de decision:

Si CV (c) > CV (d) elegirıamos el modelo aditivo.Si CV (c) ≤ CV (d) elegirıamos el modelo multiplicativo.

La obtencion de las diferencias estacionales equivale a tomar la serie de incrementos inter-anuales. Los cocientes estacionales, sin embargo, tienen mas que ver con la serie de crecimiento.Por lo tanto lo que implıcitamente se esta diciendo es que, si el crecimiento interanual paracada estacion tiene menor variabilidad que en terminos de incrementos, esto indicarıa unaasociacion multiplicativa entre tendencia y estacionalidad. Si sucediera lo contrario serıa masplausible la hipotesis aditiva.

Nota historica; Los primeros analisis de series economicas temporales aplicaron los instru-mentos que surgieron en el ambito de la astronomıa y de la meteorologıa en el siglo XVII,cuando los estudiosos de las orbitas planetarias introdujeron la posibilidad de diferenciar entrelos distintos tipos de movimientos que aparecen en las series de datos, que reflejan cualquiertipo de fenomeno fısico. Esta diferenciacion se plasmo en una nueva idea para el tratamientode series temporales, basada en que toda serie es el resultado de la agregacion de cuatro com-ponentes denominados no observados, y que podrıan estudiarse por separado. Este enfoque,que comenzo a aplicarse en economıa aproximadamente a mediados del siglo XIX, en la actu-alidad se conoce como el enfoque clasico de las series temporales, y supuso el punto de partidade todo el analisis posterior de este tipo de datos economicos.

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2. Serie del precio medio del metro cuadrado de la

vivienda

La vivienda es un componente fundamental de la riqueza de las familias. En Espana el valorde las viviendas supone en torno a 2/3 de la riqueza total de las familias y sirve de garantıa acasi 1/3 de los activos totales de las entidades de credito espanolas. El primer problema al quehay que enfrentarse al analizar el precio de la vivienda es su propia definicion. La viviendano es un bien homogeneo, sino que varıa en funcion de su localizacion, tamano, estructura(viviendas unifamiliares, bloques de viviendas...), calidad de la construccion, etc. Ademas,las caracterısticas de las viviendas existentes varıan en el tiempo. En este trabajo, la fuentede informacion utilizada para estudiar el precio medio de la vivienda ha sido elaborada porel Ministerio de Fomento, a partir de las tasaciones realizadas por diversas sociedades detasaciones de todo el territorio espanol.

Desde 1976, el precio medio de las viviendas espanolas se ha multiplicado por 16 enterminos nominales y duplicado en terminos reales.

Esta estadıstica incluye datos trimestrales desde el primer trimestre de 1987, y se dis-tinguen las viviendas por;

Antiguedad; se refiere a la fecha en la que fueron terminadas o a la correspondiente ala ultima gran rehabilitacion.

Situacion geografica; factores como la intensidad de la demanda de la vivienda, losdiferentes submercados, la mayor o menor oferta, las distintas tipologıas de la vivienda,ası como la segregacion social del territorio, determinan que las diferencias de preciossean muy importantes.

Superficie construida; se entiende por superficie util la del suelo de la vivienda cerradapor el perımetro definido por la cara interior de sus cerramientos con el exterior o conotras viviendas locales de cualquier uso, incluyendo la superficie del suelo de los espaciosexteriores de uso privativo de la vivienda. A mayor superficie de vivienda mas baratocostara el metro cuadrado.

Para la obtencion de los precios medios se procede en dos fases:

En primer lugar, se calculan los precios medios por m2 de las viviendas de las que se harecibido informacion de una antiguedad determinada y que pertenecen al mismo codigopostal. El precio medio se obtiene como media aritmetica simple de los precios individ-uales correspondientes a cada tramo de antiguedad. En el caso de los municipios conmas de un codigo postal, el precio medio municipal se calcula como la media aritmeticasimple de los precios medios por codigo postal.

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En segundo lugar, los precios medios por m2 por municipio se ponderan por la poblacion.

Para consultar la metodologıa llevada a cabo en este estudio, consulten la pagina web delMinisterio espanol de fomento http://www.mfom.es

En primer lugar, tenemos que ver a que tipo de hipotesis se ajusta nuestro modelo. Paraello segun lo visto en la seccion 1.2, calcularemos las series del cociente y de las diferenciasentre dos observaciones consecutivas de la misma estacion.

En la tabla 1 se ve la serie de los precios medios del metro cuadrado desde Enero de 1987hasta Octubre del 2003, estos datos han sido suministrados por el Ministerio de Fomento.

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Anos Precio metro cuadrado Diferencia estacional Cociente estacional1987 1T 289,892T 308,643T 324,994T 345,551988 1T 369,13 79,24 1,272T 389,79 81,15 1,263T 404,39 79,40 1,244T 423,12 77,57 1,221989 1T 456,58 87,45 1,242T 480,17 90,38 1,233T 502,72 98,33 1,244T 516,43 93,31 1,221990 1T 550,40 93,82 1,212T 559,73 79,56 1,173T 570,77 68,05 1,144T 580,60 64,17 1,121991 1T 613,42 63,02 1,112T 637,90 78,17 1,143T 652,80 82,03 1,144T 681,23 100,63 1,171992 1T 650,49 37,07 1,062T 635,70 -2,20 1,003T 633,78 -19,02 0,974T 630,72 -50,51 0,931993 1T 625,44 -25,05 0,962T 634,83 -0,87 1,003T 639,69 5,91 1,014T 640,61 9,89 1,021994 1T 634,72 9,28 1,012T 636,80 1,97 1,003T 644,36 4,67 1,014T 642,63 2,02 1,001995 1T 652,92 18,20 1,032T 661,06 24,26 1,043T 665,46 21,10 1,034T 667,47 24,84 1,04

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Anos Precio metro cuadrado Diferencia estacional Cociente estacional1996 1T 669,98 17,06 1,032T 674,79 13,73 1,023T 675,18 9,72 1,014T 676,45 8,98 1,011997 1T 677,74 7,76 1,012T 683,06 8,27 1,013T 686,64 11,46 1,024T 691,78 15,33 1,021998 1T 694,34 16,60 1,022T 709,66 26,60 1,043T 723,95 37,31 1,054T 738,58 46,80 1,071999 1T 755,21 60,87 1,092T 780,25 70,59 1,103T 803,89 79,94 1,114T 829,81 91,23 1,122000 1T 857,25 102,04 1,142T 891,76 111,51 1,143T 926,36 122,47 1,154T 953,42 123,61 1,152001 1T 994,50 137,25 1,162T 1.030,77 139,01 1,163T 1.065,78 139,42 1,154T 1.096,57 143,15 1,152002 1T 1.148,23 153,73 1,152T 1.193,66 162,89 1,163T 1.254,09 188,31 1,184T 1.287,73 191,16 1,172003 1T 1.349,11 200,88 1,172T 1.402,57 208,91 1,183T 1.450,60 196,51 1,16

varianza 3.865,50 0,01desv.tıpica 62.17 0,09media 128,36 1,10desv.tıpica/media 0.4843 0,0788

Cuadro 1: Metodo de las diferencias y cocientes estacionales

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Como podemos observar, el coeficiente de variacion (coef.variacion=∣∣varianza/media

∣∣) delcociente es menor que el coeficiente de variacion de las diferencias, por lo tanto nos encon-tramos con un modelo de serie temporal sujeta a la hipotesis multiplicativa.

Para el calculo de estas diferencias y cocientes estacionales, como ya mencionamos anterior-mente, tomaremos la observacion en una estacion determinada y las restaremos o dividiremosrespectivamente con su observacion anterior, por lo tanto para el ano 1987 no podremos cal-cular dichos coeficientes (pues necesitarıamos los datos del ano 1986). Y en los restantes casossu calculo sera el siguiente,

Ano Diferencia estacional Cociente estacional1988-1T 369,13-289,89=79,24 369,13/289,89=1,271988-2T 389,79-308,79=81,15 389,79/308,79=1,261988-3T 404,39-324,99=79,40 404,39/324,99=1,241988-4T 423,12-345,55=77,57 423,12/345,55=1,22

Pasemos ahora al calculo de cada una de las componentes de la serie. Para ello hay quetener en cuenta que existen diversos metodos para su calculo. En este trabajo nos limitaremosa metodos clasicos y sencillos de descomposicion de series temporales.

2.1. Calculo de la tendencia

Necesitamos:

1. Hallar la serie desestacionalizada:

Tomemos una media movil centrada de la serie, de periodicidad anual, que deno-minaremos MMt. La media movil es una serie amortiguada o suavizada obtenidapor el calculo reiterado de valores medios. Su calculo es el siguiente:

• Partimos de la serie temporal observada yt.

• Se obtienen sucesivas medias aritmeticas para cada yt con un numero de ob-servaciones anteriores y posteriores que se ha fijado de antemano (en nuestrocaso tomaremos cuatro, pues los datos son dados por trimestres). Si el numerode observaciones utilizado es impar, la media yt (esta centrada) coincide conel periodo t. Si el numero utilizado es par la yt no coincide con el periodo t(esta descentrada) y hay que volver calcular una nueva media aritmetica yt

utilizando los yt, con lo que se obtiene una serie de medias moviles centradascon los periodos de tiempo.

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Ya hemos dicho que en nuestro caso tomaremos 4 observaciones, i.e., su calculoes el siguiente;

y2,5 =y1 + y2 + y3 + y4

4=

289,89 + 308,64 + 324,99 + 345,55

4= 317,27,

y3,5 =y2 + y3 + y4 + y5

4=

308,64 + 324,99 + 345,55 + 369,13

4= 337,08,

y4,5 =y3 + y4 + y5 + y6

4=

324,99 + 345,55 + 369,13 + 389,79

4= 357,37,

y5,5 =y4 + y5 + y6 + y7

4=

345,55 + 369,13 + 389,79 + 404,39

4= 377,22.

Puede verse que dichas medias se corresponden con periodos ficticios, queno existen en la serie observada que son t

′= 2,5; 3,5; 4,5; 5,5. O sea que la

media aritmetica 317.27 corresponde a un periodo irreal que esta justo entreel periodo dos y el tres, la segunda 337.08 esta en t

′= 3,5, que esta entre el

tres y el cuarto, etc. Para centrar estas medias con los periodos reales de lasobservaciones se vuelven a promediar los valores yt′ dos a dos, obteniendose laserie yt que esta centrada en los periodos observados t:

y3 =y2,5 + y3,5

2=

317,27 + 337,08

2= 327,17,

y4 =y3,5 + y4,5

2=

337,08 + 357,37

2= 347,22,

y5 =y2,5 + y3,5

2=

357,37 + 377,22

2= 367,29.

De esa forma calcularemos la media movil (MMA) de la serie original. Hemosde tener en cuenta que, segun este metodo, perderemos las dos primeras y lasdos ultimas observaciones. (Vease en la tercera columna de la 2)

Al ser anual, habremos eliminado en gran parte la componente estacional, y tam-bien la accidental, ya que al agregar las observaciones de un ano, se compensaranvalores positivos y negativos de esta ultima componente, por lo que MMt puedeinterpretarse como el producto de las componentes tendencial y cıclica: Tt ∗Ct. Portanto el cociente de la serie original entre su media movil, i.e., yt/MMt (vease enla cuarta columna de la tabla 2), es un porcentaje tomando valores alrededor de1, que contiene informacion acerca de las componentes estacional y accidental.

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Con objeto de eliminar la componente accidental, se calculan las medias aritmeticasa nivel de cada estacion de yt/MMt (en nuestro caso de todos los trimestres, ası queseran 4, M1, M2, M3, M4). Estas medias representan de forma aislada la impor-tancia de la componente estacional. En nuestro caso tenemos;

M1 =1,005 + 1,0071 + 1,0177 + · · ·+ 1,0009

16= 0,99955,

M2 =1,074 + 1,006 + 1,0043 + · · ·+ 0,9972

15= 1,00080,

M3 =0,9933 + 0,9923 + 1,004 + · · ·+ 1,0065

16= 1,00030,

M4 =0,9952 + 0,9845 + 0,9886 + · · ·+ 0,9927

16= 0,9974.

Obtencion de los ındices de variacion estacional: se calcula la media aritmeticaanual MA de las medias estacionales, i.e.

MA =M1 + M2 + M3 + M4

4=

0,99955 + 1,00080 + 1,00030 + 0,9974

4= 0,99951,

que sera la base de los ındices de variacion estacional expresados en porcentaje:

I1 =M1

MA∗ 100 =

0,99955

0,99951· 100 = 100,004,

I2 =M2

MA∗ 100 =

1,0008

0,99951· 100 = 100,128,

I3 =M3

MA∗ 100 =

1,00030

0,99951· 100 = 100,079,

I4 =M4

MA∗ 100 =

0,9974

0,99951· 100 = 99,789.

Si obtenemos un ındice del 80% quiere decir que por el mero hecho de ser unaestacion, la magnitud en estudio es un 20% mas baja que su tendencia media. Ennuestro caso, observamos que estos ındices estacionales son practicamente insignifi-cantes, esto quiere decir que el precio medio de la vivienda tiene un comportamientosimilar en todas sus estaciones, es decir, no se contemplan fuertes subidas o bajadasde precio segun la estacion en la que nos encontremos.

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Por ultimo una vez obtenidos los ındices de variacion estacional puede desesta-cionalizarse la serie observada dividiendo cada valor de la correspondiente estacionpor su ındice correspondiente, expresados en tantos por uno (vease en la quintacolumna de la tabla 2).

2. Estimar un modelo de regresion lineal de esta version desestacionalizada de la serie, ytd

y obtendremos ası la tendencia de la serie.

En nuestro caso trataremos con el ajuste lineal mediante el metodo de los mınimoscuadrados. Consiste en minimizar la suma de los cuadrados de las diferencias entrevalores observados en los distintos periodos y los estimados por la ecuacion de la recta:

yt = a + bt,

siendo las ecuaciones normales:

n∑t=1

yt = na + bn∑

t=1

t, (1)

n∑t=1

tyt = an∑

t=1

t + bn∑

t=1

t2, (2)

donde n es el numero total de observaciones, que coincide con el numero de periodos detiempo.El sistema de ecuaciones normales 2 se simplifica efectuando un cambio de variablet′= t−Ot si el numero de periodos es impar (como es nuestro caso, ya que tenemos el

estudio en 17 anos, tomaremos Ot = 1995), siendo Ot el valor que ocupa el lugar centralde la serie de instantes o periodos t. Haciendo este cambio de variables el sistema 2, alser

∑nt′=1 t

′= 0, queda reducido a:

n∑t=1

yt = na,

n∑t=1

ytt′= b

n∑t=1

t2.

Despejando los parametros de la recta que son las incognitas del sistema queda:

a =

∑nt=1 yt

n, (3)

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b =

∑nt=1 ytt

′∑nt′=1 t′2

, (4)

que nos permite establecer la recta estimada como:

yt = a + bt′,

y deshaciendo el cambio de variables tendremos la ecuacion que nos da la recta deregresion:

yt = a + b(t−Ot).

Cuando las observaciones esten dadas en periodos inferiores al ano (como es nuestro caso,periodos trimestrales), antes de hacer el ajuste conviene calcular las medias anuales paraeliminar la componente estacional que nos puede distorsionar el resultado.

Una vez ajustada la recta de regresion a la nube de observaciones, es importante disponerde una medida de la bondad del ajuste realizado y que permita decidir si el ajuste lineales suficiente o se deben buscar modelos alternativos. Como medida de bondad del ajustese utiliza el coeficiente de determinacion, definido como sigue

R2 =(St′yt)

2

S2t′S2

yt

.

Donde S2t′yt

es la covarianza entre la variable t′y yt, es decir,

St′yt=

1

N

N∑i=1

t′

iyti − t′ · yt.

Y tanto S2t′

como S2yt

representan las varianzas marginales de t′y de yt respectivamente.

Que se calculan segun las siguientes formulas;

S2yt

=1

N

N∑i=1

y2ti − (yt)

2,

S2t′ =

1

N

N∑i=1

(t′

i)2 − (t′)2.

Este coeficiente es un numero entre -1 y 1, la fiabilidad del modelo sera mejor cuantomas se acerque a 1 en caso de existencia de correlacion positiva, y a -1 en caso decorrelacion negativa.

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Siguiendo los pasos explicados obtendrıamos con nuestra serie los siguientes resultados;

a = 731,27 b = 50,10.

La recta de regresion de la serie desestacionalizada es la siguiente:

yt = 731,27 + 50,10(t− 1995) = 50,10t− 99222,45,

con un coeficiente de determinacion

R2 =1445887,84

24 · 72629,06= 0,83.

(En la seccion 4.1 se vera un calculo mas detallado sobre la recta de regresion, mediante elmetodo de los mınimos cuadrados.)

Con lo cual la tendencia tomara los valores expresados en la tabla 2;

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Anos Precio medio MMA yt/MMA Serie.desest Tendencia1987 1T 289,89 289,880 325,962T 308,64 308,244 338,4853T 324,99 327,17 0,99333 324,735 351,014T 345,55 347,22 0,99519 346,279 363,5351988 1T 369,13 367,29 1,00501 369,117 376,062T 389,79 386,91 1,00744 389,290 388,5853T 404,39 407,54 0,99227 404,073 401,114T 423,12 429,77 0,98453 424,013 413,6351989 1T 456,58 453,36 1,00711 456,564 426,162T 480,17 477,31 1,00599 479,554 438,6853T 502,72 500,70 1,00403 502,326 451,214T 516,43 522,38 0,98862 517,520 463,7351990 1T 550,40 540,83 1,01770 550,380 476,262T 559,73 557,35 1,00426 559,012 488,7853T 570,77 573,25 0,99567 570,322 501,314T 580,60 590,90 0,98257 581,825 513,8351991 1T 613,42 610,93 1,00408 613,398 526,362T 637,90 633,76 1,00653 637,082 538,8853T 652,80 650,97 1,00281 652,288 551,414T 681,23 655,33 1,03952 682,668 563,9351992 1T 650,49 652,68 0,99665 650,467 576,462T 635,70 643,99 0,98713 634,885 588,9853T 633,78 634,54 0,99880 633,283 601,514T 630,72 631,30 0,99908 632,051 614,0351993 1T 625,44 631,93 0,98973 625,417 626,562T 634,83 633,91 1,00146 634,016 639,0853T 639,69 636,30 1,00532 639,188 651,614T 640,61 637,71 1,00455 641,962 664,1351994 1T 634,72 638,54 0,99402 634,697 676,662T 636,80 639,38 0,99597 635,983 689,1853T 644,36 641,90 1,00383 643,854 701,714T 642,63 647,21 0,99292 643,986 714,2351995 1T 652,92 652,88 1,00006 652,896 726,762T 661,06 658,62 1,00370 660,212 739,2853T 665,46 663,86 1,00241 664,938 751,814T 667,47 667,71 0,99964 668,878 764,335

15

Anos Precio medio MMA yt/MMA Serie.desest Tendencia1996 1T 669,98 670,64 0,99902 669,956 776,862T 674,79 672,98 1,00269 673,924 789,3853T 675,18 675,07 1,00016 674,650 801,914T 676,45 677,07 0,99908 677,877 814,4351997 1T 677,74 679,54 0,99735 677,716 826,962T 683,06 682,89 1,00025 682,184 839,4853T 686,64 686,88 0,99965 686,101 852,014T 691,78 692,28 0,99928 693,240 864,5351998 1T 694,34 700,27 0,99153 694,315 877,062T 709,66 710,78 0,99842 708,750 889,5853T 723,95 724,24 0,99960 723,382 902,114T 738,58 740,67 0,99717 740,139 914,6351999 1T 755,21 759,49 0,99436 755,183 927,162T 780,25 780,89 0,99919 779,249 939,6853T 803,89 805,05 0,99857 803,259 952,214T 829,81 831,74 0,99768 831,561 964,7352000 1T 857,25 860,99 0,99566 857,219 977,262T 891,76 891,75 1,00002 890,616 989,7853T 926,36 924,35 1,00217 925,633 1002,314T 953,42 958,89 0,99430 955,432 1014,8352001 1T 994,50 993,69 1,00082 994,464 1027,362T 1.030,77 1.029,01 1,00171 1029,448 1039,8853T 1.065,78 1.066,12 0,99968 1064,944 1052,414T 1.096,57 1.105,70 0,99174 1098,884 1064,9352002 1T 1.148,23 1.149,60 0,99881 1148,189 1077,462T 1.193,66 1.197,03 0,99718 1192,129 1089,9853T 1.254,09 1.246,04 1,00646 1253,106 1102,514T 1.287,73 1.297,26 0,99265 1290,447 1115,0352003 1T 1.349,11 1.347,94 1,00087 1349,061 1127,562T 1.402,57 1400,771 1140,0853T 1.450,60 1449,462 1152,61

Cuadro 2: Calculo de la tendencia

16

2.2. Calculo de la componente cıclica

Se calcula el cociente de la serie desestacionalizada, ytd, entre la tendencia, Tt, y seobtiene ası el producto de las componentes cıclica y accidental, Ct ∗ At. Al ser ytd y Tt

series compatibles en magnitud, el producto Wt = Ct ∗ At tiene forma de porcentaje,tomando valores alrededor de la unidad.

Finalmente para separar la componente cıclica, se calcula la media movil de la serie Wt

y obtendremos como resultado una estimacion de la componente cıclica.

La tabla 3 recoge los resultados del calculo de la componente cıclica en porcentajes, estoscalculos son los mismos que los realizados para el calculo de la media movil de la serie original.

Anos serie desest./tendencia= Media movil Media movil segundaCt*At primera de Ct*At*100 =

de Ct*At comp.cıclica, Ct (%)1987 1T 0,8893689282T 0,910638004 0,9194108493T 0,925124174 0,942469 93,093992434T 0,952512289 0,965257551 95,386327551988 1T 0,981601533 0,985817515 97,553753292T 1,001792208 1,003956158 99,488683643T 1,007364029 1,026409219 101,51826894T 1,025066862 1,049245815 103,78275171989 1T 1,071413778 1,075720041 106,24829282T 1,093138591 1,098442605 108,70813233T 1,113260931 1,119515645 110,89791254T 1,11595712 1,132143872 112,58297581990 1T 1,155705938 1,138238271 113,51910712T 1,143651498 1,142322531 114,02804013T 1,137638527 1,144754813 114,35386724T 1,132294162 1,154390945 114,95728791991 1T 1,165435064 1,165711078 116,00510112T 1,182196027 1,185266608 117,54888433T 1,182919058 1,176021741 118,06441744T 1,210516283 1,149949281 116,2985511

17


de Ct*At comp.cıclica, Ct (%)1992 1T 1,128455595 1,117419106 113,36841942T 1,077906188 1,072119434 109,4769273T 1,052798359 1,039566136 105,58427854T 1,029317593 1,018101087 102,88336111993 1T 0,998242404 1,000130228 100,91156572T 0,99204599 0,984448868 99,228954783T 0,980914924 0,969400075 97,692447124T 0,966592153 0,952084668 96,074237111994 1T 0,938047231 0,936238519 94,416159321994 2T 0,922784363 0,919996648 92,811758363T 0,917530328 0,910091171 91,504390954T 0,901624672 0,902650485 90,637082771995 1T 0,898425319 0,894375359 89,851292172T 0,89302162 0,887742296 89,105882753T 0,884429823 0,878747562 88,324492924T 0,875092423 0,868920831 87,383419651996 1T 0,862446383 0,858134778 86,352780432T 0,853714694 0,84743921 85,278699393T 0,841285611 0,836722751 84,208098064T 0,832310152 0,826445052 83,158390181997 1T 0,819580548 0,817437631 82,194134142T 0,812603899 0,809821766 81,36296983T 0,805255924 0,80284947 80,633561754T 0,801846692 0,798873975 80,086172231998 1T 0,791691364 0,798025016 79,844949532T 0,79670192 0,799863237 79,894412613T 0,801860086 0,805581799 80,272251784T 0,809199576 0,813718337 80,96500681999 1T 0,814565613 0,824142068 81,893020272T 0,829248074 0,837326933 83,073450053T 0,84355501 0,852991475 84,515920424T 0,861939035 0,870626411 86,18089434

18


de Ct*At comp.cıclica, Ct (%)2000 1T 0,877223783 0,89060753 88,061697062T 0,899787817 0,910483906 90,054571793T 0,923479484 0,933188996 92,18364514T 0,941444539 0,955727368 94,445818192001 1T 0,968044144 0,977829308 96,677833772T 0,989941304 1,000432224 98,913076563T 1,011887244 1,024849742 101,26409834T 1,031856203 1,050786203 103,78179732002 1T 1,065714219 1,081956565 106,63713842T 1,093687146 1,113315036 109,763583T 1,136568692 1,146017008 112,96660224T 1,1572900882003 1T 1,196522108

Cuadro 3: Calculo de la componente cıclica

2.3. Calculo de la componente accidental

Obtendremos una estimacion de la componente accidental dividiendo el cociente Wt entrela estimacion de la componente cıclica, i.e, At = Wt/Ct. Estos calculos se recogen en la tabla4 y su calculo para las cuatro primeras iteraciones es;

Ano Componente accidental1987-3T 0,9251/0,9309 · 100=99.37521987-4T 0,95251/0,9533 · 100=99.85831988-1T 0,9815/0,9755 · 100=100.6211988-2T 0,9816/0,9948 · 100=10.694

2.4. Calculo de la componente estacional

Como ya vimos en el calculo de los coeficientes estacionales, al dividir la serie inicial entrela serie movil obtenıamos el producto Et ∗At. Ası pues, ahora dividiremos este producto entrela estimacion obtenida de la componente accidental At y conseguiremos ası una estimacionde la componente estacional, Et. Veamos ahora en la tabla 4 los resultados obtenidos en elcalculo de las componentes estacional y accidental en porcentajes.

19

Anos serie desest./ Estimacion de Estimacion de serie original yt/ Estimacion detendencia= la componente la componente (media movil yt la componenteCt*At cıclica,Ct (%) accidental,At (%) * At) estacional,Et( %)

1987 1T 0,8893689282T 0,9106380043T 0,925124174 93,09399243 99,37528191 0,999573725 99,95737254T 0,952512289 95,38632755 99,85836682 0,9965983 99,659830041988 1T 0,981601533 97,55375329 100,621606 0,998801058 99,880105772T 1,001792208 99,48868364 100,6940861 1,000496033 100,04960333T 1,007364029 101,5182689 99,22982736 0,999975277 99,997527684T 1,025066862 103,7827517 98,77044546 0,996788391 99,678839121989 1T 1,071413778 106,2482928 100,8405641 0,998716005 99,871600532T 1,093138591 108,7081323 100,5572047 1,00041492 100,0414923T 1,113260931 110,8979125 100,3861034 1,000167657 100,01676574T 1,11595712 112,5829758 99,12307895 0,997365394 99,736539391990 1T 1,155705938 113,5191071 101,807173 0,999636913 99,963691262T 1,143651498 114,0280401 100,2956376 1,001303222 100,13032223T 1,137638527 114,3538672 99,484045 1,000833297 100,08332974T 1,132294162 114,9572879 98,49694464 0,997560775 99,756077481991 1T 1,165435064 116,0051011 100,4641221 0,99944328 99,944327992T 1,182196027 117,5488843 100,5705868 1,000823858 100,08238583T 1,182919058 118,0644174 100,1926816 1,000880751 100,08807514T 1,210516283 116,2985511 104,0869616 0,998705368 99,870536761992 1T 1,128455595 113,3684194 99,53879584 1,001266303 100,12663032T 1,077906188 109,476927 98,45966798 1,002575875 100,25758753T 1,052798359 105,5842785 99,71165917 1,001688592 100,16885924T 1,029317593 102,8833611 100,0470418 0,998609519 99,860951921993 1T 0,998242404 100,9115657 98,92249687 1,000508427 100,05084272T 0,99204599 99,22895478 99,97545497 1,001703103 100,17031033T 0,980914924 97,69244712 100,4084709 1,001233976 100,12339764T 0,966592153 96,07423711 100,6088815 0,998469992 99,84699921994 1T 0,938047231 94,41615932 99,35240297 1,000498749 100,04987492T 0,922784363 92,81175836 99,42537231 1,001728841 100,17288413T 0,917530328 91,50439095 100,2717267 1,001108185 100,11081854T 0,901624672 90,63708277 99,47635611 0,998150224 99,81502242

20

Anos serie desest./ Estimacion de Estimacion de serie original yt/ Estimacion detendencia= la componente la componente (media movil yt la componenteCt*At cıclica, Ct (%) accidental, At (%) * At) estacional,Et(%)

1995 1T 0,898425319 89,85129217 99,9902503 1,000158779 100,01587792T 0,89302162 89,10588275 100,2202764 1,001494849 100,14948493T 0,884429823 88,32449292 100,1341524 1,001067191 100,10671914T 0,875092423 87,38341965 100,1439891 0,998205127 99,820512691996 1T 0,862446383 86,35278043 99,87476702 1,000268531 100,02685312T 0,853714694 85,27869939 100,1087846 1,001603665 100,16036653T 0,841285611 84,20809806 99,90554714 1,001108522 100,11085224T 0,832310152 83,15839018 100,0873333 0,998206989 99,820698861997 1T 0,819580548 82,19413414 99,71277831 1,00022401 100,0224012T 0,812603899 81,3629698 99,87392307 1,00151345 100,1513453T 0,805255924 80,63356175 99,86609874 1,000990933 100,09909334T 0,801846692 80,08617223 100,1229887 0,99805026 99,805025991998 1T 0,791691364 79,84494953 99,15359313 0,999997657 99,999765652T 0,79670192 79,89441261 99,71935387 1,00123067 100,1230673T 0,801860086 80,27225178 99,8925617 1,000672961 100,06729614T 0,809199576 80,9650068 99,94435967 0,997728321 99,772832121999 1T 0,814565613 81,89302027 99,46703761 0,999692625 99,969262522T 0,829248074 83,07345005 99,82107077 1,00097626 100,0976263T 0,84355501 84,51592042 99,81019033 1,000464276 100,04642764T 0,861939035 86,18089434 100,0150952 0,997530484 99,753048392000 1T 0,877223783 88,06169706 99,61468066 0,999511812 99,951181212T 0,899787817 90,05457179 99,91583983 1,000857743 100,08577433T 0,923479484 92,1836451 100,1782348 1,000387397 100,03873974T 0,941444539 94,44581819 99,68091308 0,997482211 99,748221132001 1T 0,968044144 96,67783377 100,1309303 0,999506487 99,950648662T 0,989941304 98,91307656 100,0819445 1,000888992 100,08889923T 1,011887244 101,2640983 99,925567 1,00042456 100,0424564T 1,031856203 103,7817973 99,42554765 0,997473921 99,747392092002 1T 1,065714219 106,6371384 99,93837375 0,999425275 99,942527552T 1,093687146 109,76358 99,64025819 1,000782851 100,07828513T 1,136568692 112,9666022 100,6110363 1,000349985 100,03499854T 1,1572900882003 1T 1,196522108

Cuadro 4: Calculo de la componente estacional y accidental

21

2.5. Representacion de las componentes de la serie

Despues de realizar los calculos oportunos (descritos anteriormente) para el calculo decada una de las componentes de la serie, obtenemos la grafica 1,

Figura 1: serie temporal del precio medio de la vivienda

donde estan representados: en el eje izquierdo, la serie original y la tendencia, y en el ejederecho la componente cıclica, la accidental y la estacional.

22

3. Serie del MIBOR

En este apartado vamos a estudiar la serie del MIBOR, que esta estrechamente ligada conel precio de la vivienda, pues es una ayuda indispensable para poder financiarla. Veamos enprimer lugar la definicion de este concepto economico.

Cuando acudimos a una entidad bancaria para pedir un credito hipotecario, las condicionesque nos ofrecen determinan la cantidad de dinero que tendremos que reintegrar al banco. Lostipos de hipoteca son:

Hipotecas a plazo fijo: se establece una cuota fija para todo el plazo del prestamo. Hastaamortizar la hipoteca pagamos la misma cantidad mes a mes. La desventaja que tienees que el tiempo de amortizacion (entre 10 y 15 anos) es muy inferior al que ofrecen lashipotecas variables que oscila entre 20 y 30 anos.

Hipotecas a tipo variable: la cantidad a pagar depende de un ındice de referencia acorda-do con el banco y revisado regularmente. Si el ındice se encarece, nosotros como titularesdel credito pagamos mas, y si su valor disminuye nuestra amortizacion tambien lo hara.

En caso de pedir un prestamo a interes variable, conviene elegir la variable oficial en funcionde la cual el tipo de interes cambiara, o sea el ındice de referencia oficial, i.e., aquellos quepublica mensualmente el Banco de Espana en el Boletın Oficial del Estado para los prestamoshipotecarios a tipo variable destinados a la adquisicion de vivienda. En este trabajo vamostrabajar con el MIBOR, vulgarmente se podrıa decir que el MIBOR es como el tipo deinteres al que los bancos se prestan dinero entre sı en el mercado intercambiario de Madrid.Por ello, es natural que se anada un diferencial al MIBOR, dado que en el radica la gananciadel banco. Este tipo ha dejado de tener la consideracion de tipo de referencia oficial delmercado hipotecario para las operaciones formalizadas despues del 1 de enero de 2000. Apartir de esta fecha se empezo a utilizar el EURIBOR (Europe Interbank Offered Rate), seelabora de igual forma que el MIBOR, pero en referencia a las operaciones realizadas entre losprincipales bancos europeos (con orientacion internacional), entre ellos los espanoles BBVA,Caja Postal y Banco Hipotecario S.A. Media simple de los tipos de interes diarios, aplicadospara las operaciones cruzadas al plazo de 1 ano, en el mercado de depositos interbancarios dela zona de la Union Monetaria, entre las 64 entidades financieras con mayor nivel de negocio.

En primer lugar, como ya vimos en la serie del precio medio de la vivienda, veremos aque tipo de hipotesis se ajusta nuestro modelo. Para ello, segun lo visto en la seccion 1.2,calcularemos las series del cociente y de las diferencias entre dos observaciones consecutivasde la misma estacion. Veamos la tabla 5 donde aparece la serie original, la de las diferencias yla de los cocientes estacionales, estos datos han sido proporcionados por el Banco de Espana.

23

Anos MIBOR Diferencia estacional Cociente estacional1987 1T 12,422T 15,883T 15,564T 14,431988 1T 11,86 -0,55 0,962T 10,94 -4,94 0,693T 11,17 -4,39 0,724T 13,26 -1,17 0,921989 1T 15,10 3,24 1,272T 15,01 4,07 1,373T 15,02 3,86 1,354T 15,28 2,02 1,151990 1T 15,71 0,61 1,042T 15,39 0,38 1,033T 15,41 0,39 1,034T 15,26 -0,01 1,001991 1T 14,82 -0,89 0,942T 12,63 -2,76 0,823T 12,53 -2,89 0,814T 12,68 -2,58 0,831992 1T 12,62 -2,20 0,852T 12,62 -0,01 1,003T 13,73 1,21 1,104T 14,27 1,59 1,131993 1T 13,38 0,76 1,062T 11,80 -0,82 0,943T 9,78 -3,95 0,714T 8,69 -5,57 0,611994 1T 8,09 -5,29 0,602T 7,97 -3,83 0,683T 8,57 -1,21 0,884T 9,14 0,45 1,051995 1T 10,29 2,20 1,272T 10,36 2,39 1,303T 9,94 1,37 1,164T 9,40 0,26 1,03

24

Anos MIBOR Diferencia estacional Cociente estacional1996 1T 8,50 -1,79 0,832T 7,43 -2,93 0,723T 7,15 -2,79 0,724T 6,35 -3,05 0,681997 1T 5,62 -2,88 0,662T 5,26 -2,17 0,713T 5,11 -2,04 0,714T 4,81 -1,55 0,761998 1T 4,30 -1,32 0,772T 4,21 -1,05 0,803T 4,01 -1,10 0,794T 3,50 -1,31 0,731999 1T 3,04 -1,26 0,712T 2,72 -1,49 0,653T 3,17 -0,84 0,794T 3,69 0,19 1,062000 1T 4,09 1,05 1,352T 4,72 2,00 1,743T 5,18 2,01 1,644T 5,10 1,41 1,382001 1T 4,54 0,44 1,112T 4,42 -0,30 0,943T 4,06 -1,12 0,784T 3,28 -1,81 0,642002 1T 3,62 -0,92 0,802T 3,89 -0,53 0,883T 3,44 -0,62 0,854T 3,01 -0,27 0,922003 1T 2,55 -1,07 0,702T 2,25 -1,64 0,583T 2,21 -1,23 0,64

Varianza 4,41 0,07desv.tipica 2,10 0,26media -0,66 0,93desv.tıpica/media -3,169878759 0,274383123

Cuadro 5: Metodo de las diferencias y cociente estacionales

25

En este caso cuando hallamos el coeficiente de variacion=∣∣desv.tıpica/media

∣∣ al tomarvalores absolutos tenemos de nuevo que el coeficiente del cociente es menor que el de lasdiferencias, por lo tanto nos encontramos otra vez con un modelo serie temporal sujeta a lahipotesis multiplicativa, como la mayorıa de series temporales economicas. Pero utilizaremosesta serie como ejemplo para el calculo de las componentes de una serie bajo un modelo sujetoa la hipotesis aditiva.

3.1. Calculo de la tendencia

El metodo utilizado en este caso es el de los mınimos cuadrados. Este metodo, como yavimos en la seccion 2.1, expresa la tendencia a traves de una funcion matematica que relacionala magnitud que se esta estudiando con el tiempo t, que actua como variable independiente.En primer lugar conviene representar graficamente la serie temporal observada, con objetode decidir que tipo de funcion es la mas adecuada: de tipo lineal, parabolico, etc. En nuestrocaso trataremos con el ajuste lineal. La recta resultante sera la tendencia.

3.2. Calculo de la componente estacional

Una vez calculada la tendencia ajustada a una recta yt = a + bt, el coeficiente angularb de la recta nos mide el incremento medio anual de la tendencia, que influira de distintaforma al pasar de una estacion a otra, como veremos mas adelante. Con los datos observadosse calculan las medias estacionales (M1,M2,. . . ,etc) con objeto de eliminar la componenteaccidental. Estas medias aritmeticas son brutas, ya que siguen incluyendo las componentes alargo plazo (tendencia y ciclo) y tienen que someterse a una correccion de las mismas.

Empleando el incremento medio anual dado por el coeficiente de la recta de regresion, seobtienen las medias estacionales corregidas de las componentes a largo plazo (M

′1,M

′2,. . . ,etc.)

bajo el esquema aditivo (se resta):M

′

1 = M1,

ya que estamos en la primera estacion y no esta influida por la tendencia

M′

2 = M2 −2b

no estaciones,

ya que hemos pasado de la primera estacion a la segunda, hay que restar la parte proporcionaldel incremento anual de la tendencia.Para la r-esima estacion la media estacional corregida de la tendencia interestacional sera:

M′

r = Mr −rb

noestaciones.

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Los ındices de variacion estacional se obtienen con la misma sistematica utilizada bajo lahipotesis multiplicativa en el metodo de la razon a la media movil: con las medias estacionalescorregidas se obtiene la media aritmetica anual M

′A, que sirve de base para calcular los ındices

en tantos por 100:

I1 =M

′1

M ′A∗ 100 I2 =

M′2

M ′A∗ 100 . . . , etc.

Obtenidos los ındices de variacion estacional, estamos en condiciones de desestacionalizarla serie como ya hicimos anteriormente.Y por ultimo, para calcular la componente estacional, restaremos esta serie desestacionalizadaa la serie original.

3.3. Calculo de la componente cıclica

Como ya sabemos de todas las componentes mencionadas, la componente cıclica es la masdifıcil de detectar, puesto que, a diferencia de la tendencia, que es un movimiento a largoplazo muy general, y de las variaciones estacionales, que tienen un periodo fijo, las variacionescıclicas tienen un periodo no facilmente identificable y, en muchos casos, incluso variable.

Todo ello aconseja eliminar de la serie la tendencia y las variaciones estacionales, limitandoel analisis a la parte de la serie no imputable a ninguna de estas componentes, que llamaremosxik = cik +aik (para simplificar la notacion vamos a eliminar el doble subındice, puesto que yano existe variacion estacional, y considerar xt simplemente). Obtenida esta serie intentaremosdetectar los ciclos mediante lo que se conoce como analisis armonico.

Sabemos que una onda armonica pura puede ser representada por una ecuacion de la forma

Xj = A cos(ωj) + B sin(ωj),

o de forma equivalenteXj = R cos(ωj − α).

Ambas formulas estan ligadas por

R =√

A2 + B2,

α = arctgB/A.

En nuestro analisis estamos interesados en conocer los valores de A, B y ω, o lo que es lomismo, de R, α y de ω. A R se le llama amplitud, que proporciona el valor maximo de Xj.

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La aplicacion de esta idea al analisis de la componente cıclica se basa en tratar de identificaralguna funcion de esta forma a los datos. Ası, para detectar la existencia de un ciclo de periodop, formemos un cuadro de la forma:

1.a oscilacion x1 x2 ... xp

2.a oscilacion xp+1 xp+2 ... x2p

... ... ... ... ...q.esima oscilacion x(q−1)p+1 x(q−1)p+2 ... xqp

medias xm1 xm2 ... xmp

donde la fila j-esima recoge los p valores que forman la j-esima oscilacion y el numerode observaciones de la serie xt por el periodo p. En la ultima fila figura el valor medio delos primeros elementos de cada oscilacion, el valor medio de los segundos, etc., y su calculoconstituyen el segundo paso de este metodo.

A continuacion ajustamos a los datos medios una expresion de la forma

xt = A0 + A cos(2π

pj) + B sin(

2π

pj) j = 1, 2, . . . , p,

donde incluimos la constante A0 para mejorar el ajuste. Este ajuste se puede hacer medianteel metodo de los mınimos cuadrados, dando como resultado:

A0 =

p∑j=1

xj

p,

A =2

p

p∑j=1

xj cos(2πj

p),

B =2

p

p∑j=1

xj sin(2πj

p),

y una vez conocidos A y B podemos obtener la amplitud R correspondiente a ese periodo.

3.4. Calculo de la componente accidental

Calcularemos la componente accidental simplemente restandole a la serie original todaslas componentes ya calculadas, i.e., la componente estacional, la tendencia y la componentecıclica.

28

3.5. Representacion de las componentes de la serie

Despues de realizar los calculos oportunos (descritos anteriormente) para el calculo decada una de las componentes de la serie, obtenemos la grafica 2.

Figura 2: Serie temporal del ındice de referencia MIBOR.

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t=tiempo yt=precio medio anual t′ yt * t′ t′2 yt ∗ t′2 Regresion1987 317,27 -8 -2538,16 64 100660,25 328,501988 396,61 -7 -2776,25 49 157297,51 378,621989 488,98 -6 -2933,85 36 239096,55 428,741990 565,38 -5 -2826,88 25 319648,89 478,861991 646,34 -4 -2585,35 16 417752,16 528,981992 637,67 -3 -1913,02 9 406626,22 579,101993 635,14 -2 -1270,29 4 403406,00 629,221994 639,63 -1 -639,63 1 409123,34 679,341995 661,73 0 0,00 0 437883,28 729,461996 674,10 1 674,10 1 454410,81 779,581997 684,81 2 1369,61 4 468957,89 829,701998 716,63 3 2149,90 9 513562,14 879,821999 792,29 4 3169,16 16 627723,44 929,942000 907,20 5 4535,99 25 823007,30 980,062001 1046,91 6 6281,43 36 1096010,08 1030,182002 1220,93 7 8546,49 49 1490663,96 1080,302003 1400,76 8 11206,08 64 1962128,58 1130,42SUMA 12432,35 0 20449,34 408 10327958,41MEDIAS 731,31 0 1202,90 24 607526,97

Cuadro 6: Regresion simple del precio medio de la vivienda en el tiempo

4. Regresion y correlacion

4.1. Regresion y correlacion lineal simple

En esta seccion vamos a aplicar la regresion simple a las dos series, la del precio mediode la vivienda y la del MIBOR, estudiadas anteriormente. En ambos casos como variableexogena o independiente, el tiempo y como variable endogena o dependiente, el precio de lavivienda y el MIBOR respectivamente.

Como ya vimos en la seccion 2.1, utilizando el metodo de los mınimos cuadrados paradeterminar la recta de regresion, los coeficientes de la recta vienen dados segun las ecuaciones3 y 4. Primero hacemos el cambio de variable t

′= t−Ot = t− 1995.

Veamos los calculos en la tabla 6. Para poder calcular la recta de regresion tenemos que

30

calcular los coeficientes de esta recta, que como ya vimos en la seccion 2.1 son los siguientes;

a =

∑nt=1 yt

n=

12432,35

17= 731,31,

b =

∑nt=1 ytt

′∑nt′=1 t′2

=20449,34

408= 50, 12,

yt = a+bt′= a+b(t−Ot) = 731,31+50,12(t−1995) = 731,31+50,12t−99991,26 = 50,12t−99259,94.

El nivel de fiabilidad nos lo da el coeficiente de correlacion;

R2 =(St′yt)

2

S2t′S2

yt

=(1202,90)2

24 · 72705,55=

1446974,07

28869,66= 0,83.

Siendo los calculos de la covarianza y las varianzas:

St′yt=

1

N

N∑i=1

t′

iyti − t′ · yt =20449,34

17− 0 = 1202,90,

S2t′

=1

N

N∑i=1

(t′

i)2 − (t′)2 =

408

17− 0 = 24,

S2yt

=1

N

N∑i=1

y2ti − (yt)

2 =10327958,41

17−

(12432,35

17

)2

= 72705,55.

Por lo tanto segun los calculos realizados, obtenemos como recta de regresionyt = 50,1209t− 99259,9432 y el coeficiente de determinacion obtenido es R2 = 0,83.Ası que obtendrıamos una prediccion para el precio medio de la vivienda en el ano 2004

de;y2004 = 50,1209 · 2004− 99259,9432 = 1182,34.

Veamos ahora la tabla 7 correspondiente para la serie del MIBOR; Basandonos de nuevoen las formulas de la seccion 2.1 obtenemos;

a =

∑nt=1 yt

n=

147,13

17= 8,65,

b =

∑nt=1 ytt

′∑nt′=1 t′2

=−356,08

408= −0,87,

yt = a+bt′= a+b(t−Ot) = 8,65−0,87(t−1995) = 8,65−0,87t−1741,11 = −0,87t−1749,77.

31

t=tiempo yt=MIBOR (media anual) t′ yt * t′ t′2 yt ∗ t′2 Regresion1987 14,56933333 -8 -116,5546667 64 212,2654738 15,636861661988 11,80658333 -7 -82,64608333 49 139,39541 14,764124251989 15,102 -6 -90,612 36 228,070404 13,891386851990 15,44283333 -5 -77,21416667 25 238,4811014 13,018649441991 13,1645 -4 -52,658 16 173,3040603 12,145912041992 13,309 -3 -39,927 9 177,129481 11,273174631993 10,91333333 -2 -21,82666667 4 119,1008444 10,400437231994 8,443166667 -1 -8,443166667 1 71,28706336 9,5276998231995 9,997333333 0 0 0 99,94667378 8,6549624181996 7,356 1 7,356 1 54,110736 7,7822250141997 5,197916667 2 10,39583333 4 27,01833767 6,9094876091998 4,004916667 3 12,01475 9 16,03935751 6,0367502041999 3,154916667 4 12,61966667 16 9,953499174 5,16401282000 4,773083333 5 23,86541667 25 22,78232451 4,2912753952001 4,076666667 6 24,46 36 16,61921111 3,418537992002 3,489 7 24,423 49 12,173121 2,5458005862003 2,333777778 8 18,67022222 64 5,446518716 1,673063181SUMA 147,1343611 0 -356,0768611 408 1623,123618MEDIAS 8,654962418 0 -20,94569771 24 95,47785986

Cuadro 7: Regresion simple del MIBOR en el tiempo

32

El nivel de fiabilidad nos lo da el coeficiente de correlacion;

R2 =(St′yt)

2

S2t′S2

yt

=(−20,94)2

24 · 20,57=

438,72

493,67= 0,89.

Siendo los calculos de la covarianza y las varianzas:

St′yt=

1

N

N∑i=1

t′

iyti − t′ · yt =−356,07

17− 0 = −20,94,

S2t′

=1

N

N∑i=1

(t′

i)2 − (t′)2 =

408

17− 0 = 24,

S2yt

=1

N

N∑i=1

y2ti − (yt)

2 =1623,13

17−

(12432,35

17

)2

= 20,57

Por lo tanto segun los calculos realizados, obtenemos como recta de regresiony′

t = −0,8792t + 1749,7661 y el coeficiente de determinacion obtenido es R2 = 0,89.De modo que obtenemos una prediccion del MIBOR para el ano 2004 de;

y′2004 = −0,8792 · 2004 + 1749,7661 = 0,8792.

Nota historica; ¿Por que denominamos este proceso analisis de regresion? A principios desiglo, el cientıfico de genetica Francis Galton descubrio un fenomeno llamado regresion a lamedida. Buscando leyes de herencia genetica, descubrio que la estatura de los hijos solıa seruna regresion a la estatura media poblacional, en comparacion con la estatura de sus padres.Los padres altos solıan tener hijos algo mas bajos, y viceversa. Galton desarrollo el analisis deregresion para estudiar este fenomeno. Al que se refirio de manera optimista como regresiona la mediocridad”.

33

4.2. Regresion y correlacion lineal multiple

La regresion multiple es la generalizacion de la regresion simple para el caso en que teng-amos mas de una variable explicativa. Pretendemos explicar el comportamiento de una vari-able explicativa, a la que denominaremos dependiente. Para ello no sera suficiente una unicavariable como hacıamos en en la regresion simple, necesitaremos ampliar el numero de vari-ables que utilizamos para explicar los cambios que se producen en la variable dependiente. Ennuestro caso trabajaremos con dos variables independientes o explicativas. Debemos tener encuenta que la naturaleza de la mayorıa de los fenomenos economicos estudiados es complejay necesitaremos mas de una variable independiente para poder analizar dichos fenomenos.

En este trabajo trataremos de explicar el comportamiento del precio medio de la vivienda(variable dependiente), ya no solo mediante la variable tiempo, sino tambien con variablestales como el IPC (ındice de precios al consumo) y el MIBOR. Tambien podrıamos haberelegido muchas otras variables de tipo economica, como por ejemplo la tasa de desempleo delpaıs, el PIB (producto interior bruto)...etc

Veamos ahora el ajuste de un plano mediante el metodo mınimo-cuadratico;Se parte de la nube de puntos tridimensionales en la que se recogen las observaciones de

las tres variables que vamos a utilizar. En nuestro caso tomaremos siempre como variabledependiente, yi, el precio medio de la vivienda, y como variables independientes, x1i y x2i

vamos a ir alternando entre el tiempo, IPC y el MIBOR. Ahora ajustaremos la ecuacionde un plano a esta nube de puntos, (yi, x1i, x2i);

y = b0 + b1x1 + b2x2.

El sistema de ecuaciones normales surge al minimizar la expresion;

S =N∑

i=1

(yi − b0 − b1x1i − b2x2i)2.

Derivando esta expresion con respecto al termino independiente b0 obtenemos la primeraecuacion normal;

N∑i=1

yi = Nb0 + b1

N∑i=1

x1i + b2

N∑i=1

x2i.

Dividiendo esta expresion por N y despejando la b0 obtenemos;

b0 = Y − b1X1 − b2X2.

34

De igual forma derivando respecto a b1 y b2 obtendremos;

b1 =Sy

Sx1

· Ryx1 −Ryx2Rx1x2

1−R2x1x2

,

b2 =Sy

Sx2


1−R2x1x2

.

Para el calculo de b1 y b2 necesitaremos conocer las varianzas marginales;

S2y =

1

N

N∑i=1

y2i − y2, S2

x1=

1

N

N∑i=1

x21i − x1

2, S2x2

=1

N

N∑i=1

x22i − x2

2,

Ası como las covarianzas;

Syx1 =1

N

N∑i=1

yix1i − y · x1, Syx2 =1

N

N∑i=1

yix2i − y · x2, Sx1x2 =1

N

N∑i=1

x1ix2i − x1 · x2,

y los coeficientes de correlacion lineal simple;

Ryx1 =Syx1

Sy · Sx1

, Ryx2 =Syx2

Sy · Sx2

, Rx1x2 =Sx1x2

Sx1 · Sx2

.

Para determinar ahora los coeficientes de determinacion y correlacion multiples necesita-mos calcular la varianza explicada y la residual. Partimos de la expresion

S2y = S2

y′·x1x2+ S2

ry·x1x2, (5)

donde S2y es la varianza de la variable dependiente observada yt. Llamemos yt′ a la serie

obtenida una vez estimado el modelo, de modo que S2y′·x1x2

es la varianza de la variableendogena yt explicada por la regresion. El tercer elemento de la expresion 5 es el residuoque tambien tiene su correspondiente variabilidad, que vamos a medir a traves de lo quellamamos varianza residual o varianza de los errores o residuos S2

ry·x1x2.

Segun la propia definicion de varianza residual y haciendo una serie de calculos, obtenemos;

S2ry·x1x2

= S2y − b1Syx1 − b2Syx2 ,

y despejando obtenemos la varianza explicada;

Syt·x1x2 = S2y − S2

ry·x1x2.

35

Ası que el coeficiente de determinacion multiple viene dado por la siguiente expresion;

R2y·x1x2

=S2

y

S2yt·x1x2

, Ry·x1x2 =√

R2y·x1x2

.

Como ya sabemos este coeficiente nos da la medida de la relacion existente entre la variabledependiente y el conjunto de las variables independientes. De manera estricta, el coeficientede correlacion multiple nos mide la correlacion existente entre la variable y y las prediccionesque hacemos de la misma mediante la ecuacion de regresion, es decir, nos indica el grado defiabilidad del modelo.

Tambien podrıamos estudiar como influye cada variable en el modelo por separado, ypara ello tenemos que calcular los coeficientes de determinacion y correlacion parcial. Porejemplo, el coeficiente de determinacion parcial Ryx1·2 estudia las causas comunes que tienenlas variables yti y x1i, permaneciendo constantes las que tengan yti y x2i , es decir, una vezque se ha efectuado la regresion de yti sobre x2i. Se calculan segun la siguiente formula;

R2yx1·x2

=(Ryx1 −Ryx2 ·Rx1x2)

2

(1−R2x1x2

)(1−R2yx2

),

R2yx2·x1


2

(1−R2x1x2

)(1−R2yx1

).

Apliquemos este modelo de regresion multiple a nuestro ejemplo, tomando como variabledependiente el precio medio de la vivienda y como variables independientes el IPC (tomandoesta serie como la de los incrementos producidos con base enero de 1987, desde este ano al2003) y el tiempo (desde el ano 1987 hasta el 2003). En la tabla 8 vemos los calculos necesariospara la obtencion del plano de regresion y los coeficientes de correlacion y determinacion. Lapenultima fila de esta tabla recoge la suma de todas las filas y la ultima la media de cadacolumna.

36

Yi X1i X2i Y 2i X2

1i X22i YiX1i YiX2i X1iX2i

317,27 2,25 1987 100658,7 5,1 3948169 713,85 630410,52 4470,75396,61 7,45 1988 157297,5 55,5 3952144 2954,73 788455,71 14810,60488,98 14,65 1989 239096,5 214,6 3956121 7163,48 972571,28 29138,85565,38 22,28 1990 319648,9 496,2 3960100 12593,73 1125096,25 44327,25646,34 29,38 1991 417752,2 862,9 3964081 18986,16 1286857,96 58485,63637,67 37,20 1992 406626,2 1383,8 3968064 23721,42 1270243,62 74102,40635,14 43,43 1993 403406,0 1885,7 3972049 27581,06 1265839,00 86546,03639,63 49,93 1994 409123,3 2492,5 3976036 31933,40 1275417,24 99550,45661,73 57,15 1995 437883,3 3266,1 3980025 37817,73 1320146,36 114014,25674,10 62,55 1996 454410,8 3912,5 3984016 42164,96 1345503,60 124849,80684,81 65,53 1997 468957,9 4293,5 3988009 44871,85 1367555,59 130853,43716,63 68,60 1998 513562,1 4705,9 3992004 49160,99 1431831,74 137062,80792,29 72,78 1999 627723,4 5296,2 3996001 57658,90 1583787,71 145477,23907,20 78,78 2000 823007,3 6205,5 4000000 71464,48 1814395,00 157550,001046,91 85,13 2001 1096010,1 7246,3 4004001 89117,79 2094856,91 170335,131220,93 91,65 2002 1490663,9 8399,7 4008004 111898,01 2444296,86 183483,301400,76 97,03 2003 1962128,6 9415,5 4012009 135920,41 2805722,28 194357,7712432,35 885,73 33915 10327956,8 60137,6 67660833 765722,95 24822987,61 1769415,64731,31 52,10 1995 607526,9 3537,5 3980049 45042,53 1460175,74 104083,27

Cuadro 8: Regresion multiple del precio medio de la vivienda sobre el tiempo y el IPC

37

Yi=Precio medio X1i=IPC X2i=Anos Regresion317,27 2,25 1987 359,35396,61 7,45 1988 415,10488,98 14,65 1989 452,91565,38 22,28 1990 486,90646,34 29,38 1991 525,60637,67 37,20 1992 557,79635,14 43,43 1993 604,34639,63 49,93 1994 648,43661,73 57,15 1995 686,01674,10 62,55 1996 739,97684,81 65,53 1997 815,69716,63 68,60 1998 890,51792,29 72,78 1999 955,47907,20 78,78 2000 1004,041046,91 85,13 2001 1049,471220,93 91,65 2002 1093,331400,76 97,03 2003 1147,44

Cuadro 9: Resultados del hiperplano de regresion

En la tabla 9 observamos los valores obtenidos en el plano de regresion;Veamos ahora los coeficientes del plano de regresion ası como los coeficientes de determi-

nacion y correlacion que obtenemos, usando las formulas anteriores.Para ello necesitaremos conocer las varianzas marginales;

S2y =

1

N

N∑i=1

y2i − y2 = 607526,87− (731,31)2 = 72705,67,

S2x1

=1

N

N∑i=1

x21i − x1

2 = 3537,51− (52,10)2 = 822,89,

S2x2

=1

N

N∑i=1

x22i − x2

2 = 3980049− (1995)2 = 24,

las desviaciones tıpicas,Sy =

√72705,67 = 269,64,

38

Sx1 =√

822,89 = 28,69,

Sx2 =√

24 = 4,90,

las covarianzas;

Syx1 =1

N

N∑i=1

yix1i − y · x1 = 45042,53− (731,31 · 52,10) = 6939,60,

Syx2 =1

N

N∑i=1

yix2i − y · x2 = 1460175,74− (731,31 · 1995) = 1202,90,

Sx1x2 =1

N

N∑i=1

x1ix2i − x1 · x2 = 104083,27− (52,10 · 1995) = 139,86,

y los coeficientes de correlacion lineal simple;

Ryx1 =Syx1

Sy · Sx1

=6939,60

269,64 · 28,69= 0,90,

Ryx2 =Syx2

Sy · Sx2

=1202,90

269,64 · 4,90= 0,91,

Rx1x2 =Sx1x2

Sx1 · Sx2

=139,86

28,69 · 4,90= 0,99.

Hay que resaltar que estos coeficientes de correlacion lineal simple, solo se calculan paraemplearlos en las expresiones que nos determinan el coeficiente de regresion parcial b1 y b2.Al existir una fuerte correlacion o multicolinealidad en sentido amplio entre x1i y x2i, puesRx1x2 = 0,99, los Ryx1 y Ryx2 no nos pueden explicar el grado de dependencia entre lavariable endogena y cada una de las exogenas por separado. Para ello x1i y x2i tendrıan queestar incorreladas, cosa que no suele ocurrir en la evolucion de caracterısticas socioeconomicas.Lo que hay que perseguir es que la correlacion entre las variables explicativas sea la menorposible, con objeto de que b1 y b2 representen con la mayor nitidez posible las variaciones deyti ante variaciones unitarias de las variables explicativas.

Veamos los coeficientes de regresion parcial y su significado,

b1 =Sy

Sx1


1−R2x1x2

=269,64

28,69· 0,90− (0,91 · 0,99)

1− (0,99)2= −8,98,

b2 =Sy

Sx2


1−R2x1x2

269,64

4,90· 0,91− (0,90 · 0,99)

1− (0,99)2= 102,42,

39

b0 = Y − b1X1 − b2X2 = 731,31− (−8,98) · 52,10− (102,42) · 1995 = −203138,62.

El coeficiente b1 es la derivada parcial de yti respecto de x1i y significa que al variar x1i enuna unidad, permaneciendo constante x2i, la yti varıa en -8.98, esto quiere decir que si elIPC subiera un punto porcentual dejando constante el ano, entonces el precio medio de lavivienda disminuirıa en 8,98 euros. Esta falta de pureza en el resultado es debido, comoya mencionamos antes, a la elevada multicolinealidad entre las variables explicativas. b2 nosindica la variacion de yti cuando la x2i varıa en una unidad, permaneciendo constante x1i, i.e.,el precio medio de la vivienda aumenta en 102,42 euros cuando se incrementa el tiempo enun ano y se mantiene constante el IPC.

El plano obtenido es

Y = −203138,62− 8,98X1 + 102,42X2,

y para determinar el coeficiente de correlacion multiple necesitamos calcular,

S2ry·x1x2

= S2y − b1Syx1 − b2Syx2 = 72705,67− (−8,98) · 6939,60− 102,42 · 1202,90 = 11783,22,

Syt·x1x2 = S2y − S2

ry·x1x2= 72705,67− 11783,22 = 60922,45.

Ası que el coeficiente de determinacion multiple viene dado por la siguiente expresion;

R2y·x1x2

=S2

y

S2yt·x1x2

=60922,45

72705,67= 0,84,

Ry·x1x2 =√

R2y·x1x2

=√

0,84 = 0,92.

Significa que el grado de dependencia global entre el precio medio de la vivienda en relacional tiempo y al IPC es de un 92%.

Veamos los coeficientes de determinacion y correlacion parciales;

R2yx1·x2


2

(1−R2x1x2

)(1−R2yx2

)=

(090− 0,91 · 0,99)2

(1− (0,99)2)(1− (0,91)2)= 0,05,

lo que significa que una vez que hemos realizado la regresion del precio medio de la viviendasobre el tiempo, quedara una varianza residual o no explicada, S2

ry·2, que debe reducirse a laintroduccion en el modelo de la variable IPC, lo que quiere decir que al introducir la variableIPC la varianza residual queda explicada en un 0.05% (es decir, no tiene mucha influencia).De la misma forma

R2yx2·x1


2

(1−R2x1x2

)(1−R2yx1

)

(0,91− 0,90 · 0,99)2

(1− (0,99)2)(1− (0,90)2)= 0,17,

40

es decir, una vez hecha la regresion del precio medio de la vivienda sobre el IPC, la varianzaresidual quedara explicada en un 17% al introducir la variable tiempo al modelo. Podemosconcluir diciendo que la variable tiempo tiene una mayor influencia en la evolucion del preciomedio de la vivienda que el IPC.

Por ultimo, veamos una pequena tabla con distintos valores del IPC para ver las predic-ciones posibles para el ano 2004.

IPC=X1i Ano=X2i Regresion99 2004 1232,22100 2004 1223,24101 2004 1214,27102 2004 1205,29103 2004 1196,31104 2004 1187,34

Los resultados obtenidos parecen ser algo contradictorios, ya que si mantenemos fijo el ano2004 y vamos variando el IPC, deberıa ocurrir que el precio medio de la vivienda, al aumentarel IPC, aumentase, pero no es ası, ya que el coeficiente del plano de regresion asociado a lavariable x1i es negativo. Esto se debe en gran medida al coeficiente de correlacion parcialRyx1·x2=0.05, es decir la influencia que tiene el IPC en el modelo si incluimos esta variableuna vez ya hecha la regresion del precio medio de la vivienda sobre el tiempo.

Al igual que hemos obtenido este plano de regresion tomando estas variables indepen-dientes, podrıamos haber elegido otras, y proceder de igual forma en su calculo.

41

An´alisis descriptivo de series temporales aplicadas al...

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