La nueva línea de montaje de la compañía

Auto S.A.

Silvia Schwarze

Horst W. Hamacher1

Este proyecto ha sido desarrollado con ayuda parcial de la Unión Europea dentro del

marco del programa Sócrates. El contenido no refleja necesariamente la posición de

la Unión Europea ni implica ninguna responsabilidad por parte de la Unión Europea.

1 University of Kaiserslautern, Department of Mathematics

MaMaEuSch

Management Mathematics for European Schools

http://www.mathematik.uni-kl.de/~mamaeusch/

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CAPÍTULO 2: La nueva línea de montaje de la compañía Auto S.A.

CAPITULO 2: La nueva línea de montaje de la compañía Auto S.A................................................ 1 Guía para el capítulo 2 ................................................................................................................. 3 2.1 Una llamada telefónica a Auto S.A. ....................................................................................... 3 2.2 ¿Cuánto es demasiado? ........................................................................................................ 7 2.3 Coeficientes binomiales y el triángulo de Pascal ................................................................. 13 2.4 Crecimiento exponencial ...................................................................................................... 23 2.5 Líneas de montaje a plena capacidad y nivel de eficiencia ................................................. 27 2.6 A la caza de soluciones con números enteros .................................................................... 40

Referencias a la economía - Etapas de producción - Estaciones de trabajo - Utilización - Nivel de eficiencia - Tiempo de producción - Producción de la línea de montaje - Nivel de producción - Ciclo

Referencias a la matemática escolar - Coeficientes binomiales - Crecimiento exponencial - Funciones y funciones genéricas - Hipérbolas - Combinatoria - Raíces - Triángulo de Pascal - Permutación - Conjunto potencia - Muestra ordenada y no ordenada - Subconjunto - Relaciones inversamente proporcionales - Función impar - Solución factible / óptima

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Manual para el capitulo 2

El siguiente capítulo describe los procesos de la planificación en una línea de montaje a través de un ejemplo de la industria automotriz. La planificación de la producción incluye siempre problemas de combinatoria: es así como la primera sección describe la forma en la que una problemática de combinatoria es generada a partir de una actividad económica. En la siguiente sección se toma esta problemática, y se traduce al lenguaje de la matemática. Además se deducirán nuevos conceptos, sin alejarse en ningún momento de la aplicación real del problema industrial. La tercera sección profundiza la relación existente entre los coeficientes binomiales y el triángulo de Pascal, donde primeramente se adentrará en aspectos técnicos. Para el lector fueron introducidas en esta sección dos demostraciones matemáticas. La cuarta sección explica en forma breve el crecimiento exponencial de funciones: es en esta sección donde nuevamente se profundiza el enlace entre teoría y práctica. El crecimiento exponencial de ejemplos reales es frecuentemente el responsable del nivel de dificultad de éstos, puesto que los algoritmos se enfrentan a una limitación de la eficiencia de los ordenadores disponibles. La quinta sección se concentra nuevamente en su totalidad a la planificación de la producción, en donde además se introducen diversos términos de la producción. Además, a través de cifras y diagramas, se ejemplificará el proceso de búsqueda de una solución. En el sexto apartado se tratará el mismo problema, esta vez forzando una solución entera, lo cual dificulta de gran forma la problemática inicial. Sin embargo, a través de algoritmos es posible trabajar sobre el problema y encontrarle una solución. El proceso de realizar modelos matemáticos tiene diversas facetas y en la práctica es frecuente toparse con contratiempos de diferentes índoles. Este capítulo intentará resumir este complejo proceso. Partiendo de una problemática real, a través de métodos matemáticos conocidos y nuevos que se tratará de encontrar una solución, sin perder de vista la aplicación en la vida real. Es aquí donde posiblemente sean encontradas debilidades en el modelo y puede que se requiera de nuevas suposiciones para el modelo. Al finalizar, se tendrá una solución, que será presentada al cliente. En la práctica, la fase de modelar un proceso, viene limitada por fechas de entrega o límites presupuestarios. Es por eso que las soluciones no son por lo general “soluciones finales”, puesto que tanto mejoras como una expansión del modelo son por lo general posibles. Es así como el capítulo concluye: con una solución buena, la cual, está abierta a futuros planteamientos para encontrar una solución mejor.

2.1 Una llamada telefónica a Auto S.A.

A pesar que suene raro, ésta vez se encuentran los cuatro colegas del equipo de Clever-Consulting realizando sus respectivas tareas. Oliver se encuentra con una taza de café en una habitación y habla sobre la nueva película de la Guerra de las Galaxias; mientras tanto, Nadine elabora listas bastante extensas, en las que se encuentran palabras como nueces, azúcar morena y berenjenas. Sebastián navega en Internet en una pagina de una compañía que vende libros, CDs y programas de ordenadores, sin embargo, toda su concentración se dirige a CDs de importación. Finalmente, Selina esta al teléfono con un vendedor de coches, y hablan sobre los nuevos modelos deportivos.

Selina: Vale, ahora he aprendido algo sobre la producción en la compañía Auto S.A. y sobre su nueva línea de producción de coches.

Nadine: A mi me pareció que tú querías comprarte un coche nuevo.

4

Selina: ¡Ahí también tienes razón! ¡Un lujoso deportivo azul! Mientras hablaba con el vendedor, pasó de casualidad el encargado de producción en Auto S.A. y fue como descubrí que pronto lanzarán un nuevo modelo deportivo al mercado, para el cual Auto S.A. implementará una nueva línea de montaje. Naturalmente le mencioné que nosotros somos expertos en la rama de planificación de la producción.

Nadine: ¿Que somos qué?

Selina: ¡No lo veas de una forma tan cerrada! Tenemos algo en claro: recuerda el trabajo que realizamos con la firma SchokoLeb. Además, siempre hemos sido capaces de investigar y familiarizarnos con los temas de forma rápida. A fin de cuentas, resultó ser muy beneficioso el haberse lucido un poco, ¡pues el encargado de la producción se acercó al teléfono!

Sebastián: ¿Te dio sin más información exclusiva de la compañía? Por algo esta información es exclusiva y no se la dan a cualquiera. ¡Tú podrías haber sido alguien de la competencia!

Selina: Pues hombre, tuve que convencer un poco al encargado de la producción. Le conté quienes somos y en qué proyectos hemos trabajado anteriormente. Eso le tranquilizó bastante, pues se dio cuenta que en el pasado hemos tenido éxito con otras compañías. Le propuse que les haríamos una propuesta para la planificación de la nueva línea de montaje.

Nadine: Sin ningún tipo de compromiso para él, supongo. ¿Es así?

Selina: No me hubiera sido posible convencerlo de ninguna otra forma, pero creo que es una gran oportunidad. Si en Auto S.A. quedan satisfechos de nuestro trabajo, de seguro podremos contar con futuros proyectos con ellos, y ¡no tienes idea de todo lo que allí tiene que ser planificado!

Oliver: ¡Cuéntanos un poco sobre de la nueva línea de montaje!

Selina describe a sus colegas de forma detallada su conversación con el Sr. Wiedner, el encargado de la producción para Auto S.A. La compañía planifica una moderna línea de montaje para la producción de un nuevo coche deportivo. La producción de un coche se subdivide en once partes individuales, las llamadas etapas de producción. Auto S.A. sabe la duración individual de cada etapa de producción y este tiempo recibe el nombre de tiempo de producción. Todas las etapas de producción son ejecutadas a lo largo de la línea de montaje, lo que quiere decir que las tareas son realizadas en estaciones a lo largo de la cadena de montaje.

Nadine: Ah, así que para las once etapas de producción existen once estaciones a lo largo de la cadena de producción.

Selina: No, la situación no es tan sencilla. Algunas de las etapas tardan mucho tiempo y otras por lo contrario son bastante cortas. La cadena de montaje debe detenerse en cada estación y mantenerse detenida hasta que todas las estaciones concluyen su trabajo. Los ingenieros de Auto S.A. le llaman a este tiempo el ciclo de la cadena de montaje.

En este punto nos alejamos brevemente de la conversación en Clever-Consulting, para poder visualizar lo que ha sido tratado hasta el momento. Existen once etapas para la producción, las cuales deben ser ejecutadas una tras otra:

5

Diagrama 2.1 Once etapas de producción son necesarios para la elaboración de un coche deportivo. La longitud de los bloques indica el tiempo de cada etapa de producción.

Si para cada etapa de producción se construye una estación a lo largo de la cadena de montaje, entonces es posible lograr que once coches deportivos se encuentren sobre la cadena al mismo tiempo: uno en cada estación. La línea se detiene en las estaciones y continúa hasta que todas hayan concluido sus tareas. Esto quiere decir que el ciclo es tan largo como lo sea el tiempo de producción de la etapa más larga.

A Selina le pareció desde este momento de la conversación, que esto no era una muy buena idea. Ya que algunas etapas son bastante cortas, como por ejemplo la etapa 3, en cuya estación se habrá terminado la tarea mucho antes que por ejemplo en la estación correspondiente a la etapa 8. Es así como la estación no estaría completamente utilizada y el operario tendría un tiempo de espera muy grande entre tareas. Es esto lo que precisamente no le agrada a la gerencia, porque por un lado el tiempo del trabajador y de la máquina valen bastante dinero y no debería perderse. Por otro lado, es injusto para los trabajadores que quien trabaja en la estación tres tenga frecuentemente pausas, mientras que quien trabaja en la estación número 8 tenga que trabajar ininterrumpidamente. Que esta propuesta no es una buena solución, es fácil de reconocer: sin embargo, ¿qué hacer para mejorarlo? Frecuentemente, la solución más simple es también la mejor: estaciones que no se utilicen completamente, recibirán otras tareas a ejecutar. Esto se realizará para distribuir de forma justa las tareas entre las estaciones de trabajo. Sin embargo, ¿es posible traducir el término justo a un lenguaje matemático? Para poder aclarar esto, es necesario ponerse a pensar en lo que se quiere hacer entender bajo una distribución justa. En el lenguaje común, justo significa que se distribuye el trabajo con equidad. Si se habla de un trozo de pastel del mismo tamaño o de la misma carga de trabajo, resulta ser poco importante bajo este punto de vista. En nuestro caso deseamos una distribución de trabajo igual para todos, puesto que entonces ninguna estación tendrá que esperar a otra y las estaciones estarían mejor utilizadas. Además, se tendría un ciclo más corto. Ahora deseamos enlazar nuevamente con la conversación que están realizando el grupo de Clever-Consulting. Oliver: Entiendo, así que tenemos que agrupar las etapas de la producción de tal manera que el tiempo de producción en las estaciones sea el mismo (→Ej.2.1). Así queda claro que el número de estaciones con las que se contará en total será menor a once. ¿Cuántas estaciones deberán ser?

Selina: Pues, ¡eso es precisamente lo que Auto S.A. quiere saber de nosotros!

Nadine: ¡Despacio! ¡Ya estáis yendo demasiado rápido! ¿Es posible agrupar las etapas de la producción de tal forma que todas las estaciones tengan la misma utilización?

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

6

Sebastián: Hm, dejadme pensar. Habiendo once etapas de producción, no es tan sencillo dar una respuesta a esto, puesto que hay que intentar diversas combinaciones. Empecemos viendo un ejemplo más sencillo: si solo tuviéramos dos etapas, es decir, una de dos horas de duración y otra de tres horas de duración, entonces ¡no es posible darle a las dos estaciones la misma utilización!

Oliver: A menos que formemos únicamente una estación que ejecute las dos etapas de producción, resultando en total cinco horas de producción.

Nadine: Bien, esa es la forma más fácil de hacerlo. Si formamos una única estación que ejecute todas las etapas de producción, entonces no habrá ningún tiempo de espera en las estaciones. Sin embargo, tampoco es una buena solución, puesto que a lo largo del ciclo de producción, únicamente se contara con un coche sobre la línea de montaje.

Oliver: Eso sería entonces en lugar de una línea de montaje, únicamente un elemento de montaje.....

Sebastián: Resumiendo entonces: si omitimos la solución trivial, que es la de formar una única estación, no es necesario que exista una respuesta para la pregunta de si es posible encontrar una configuración que implique una misma utilización para todas las estaciones. Es por eso que debiéramos buscar una solución, en la que las estaciones estén bien utilizadas.

Sobre esta idea están los cuatro de acuerdo: sin embargo, lo que significa “estar bien utilizadas” o la forma en la que sería posible traducir al lenguaje de las matemáticas que algo “esté bien utilizado es un tema sobre el que deberán reflexionar. A continuación Selina informa a sus colegas de otro detalle importante:

Selina: Debido a que el coche no puede ser barnizado hasta que se no haya fundido la carrocería, es necesario darle una secuencia a las etapas de la producción. Es así como la secuencia viene predeterminada por premisas técnicas. Con esto, al menos, no tenemos que ponernos a pensar sobre cual es la secuencia, puesto que ésta ya la tendrá elaborada la compañía Auto S.A.

Oliver: Estas condiciones hacen que nuestro problema sea más complejo, ¿no es así? De cualquier forma, cuando realicemos nuestra planificación, tenemos que prestar especial atención que esta secuencia sea mantenida.

Sebastián: No, al contrario: ¡ello nos facilita la tarea! Si el orden de la producción no viniera dado con anterioridad, deberíamos analizar todas las posibles secuencias para poder encontrar la

� Estación 1

� Estación 2

7

mejor. Ahora, habrían muchos más casos que analizar. Así que nos debemos alegrar de tener esta información (→Ej.2.2).

Ejercicios de repaso

Ej.2.1 Agrupe los siguientes tiempos de producción manteniendo la secuencia, de tal forma que todas las estaciones tengan la misma utilización: 3, 4, 5, 2, 7, 5, 1, 1. Verifique su respuesta varias veces.

Ej.2.2 Agrupe los siguientes tiempos de producción de dos formas diferentes de tal forma que las estaciones de trabajo tengan la misma utilización. El número de estaciones de producción puede ser escogido como se crea conveniente. A diferencia de lo visto en Ej.2.1, es posible alterar el orden de las etapas de producción. Tiempos de producción: 1, 1, 2, 2, 3, 3, 4, 4

2.2 ¿Cuánto es demasiado?

Oliver: ¿Cuántas posibilidades de ordenar las estaciones existen? Si suponemos que tenemos un conjunto numerable, finito y no muy grande, entonces podemos diseñar un programa de ordenador que ejecute todas las posibilidades y nos de el mejor valor como respuesta.

Selina: ¡Oh no! ¿Acaso tenemos que contar ahora todas las posibles combinaciones? No, ¡eso lo harán sin mí!

Nadine: No, por supuesto que no. Este problema es necesario resolverlo de forma lógica. Además, de hacerlo por el método exhaustivo, sabremos la respuesta para nuestro problema con once etapas de producción, sin embargo, seria bueno tener una respuesta para cualquier número de etapas, es decir, dejar todo en dependencia de valor es n, el cual representará el número de etapas de producción.

Oliver: Lo mejor es anotar las etapas de producción: al tener el problema a la vista, es más sencillo encontrar buenas ideas.

Nadine: Toma, aquí tienes papel y lápiz.

Nadine: Si deseamos hacer una distribución de las etapas en estaciones, debe mantenerse esta secuencia, ¿no es así?

Sebastián: Sí, así es.

Nadine: Bien, eso quiere decir que por ejemplo puedo establecer estaciones, trazando líneas verticales. Así no tenemos que escribir los números todo el tiempo. Por ejemplo, puedo entonces formar tres estaciones, trazando dos líneas:

1 3 4 5 6 7 9 10 8

11 2

8

Nadine: Así he formado tres estaciones: [1, 2], [3, 4, 5, 6] y [7, 8, 9, 10, 11]. Si ésta es o no una buena solución, no importa en primera instancia. Únicamente queremos saber cuántas combinaciones diferentes existen para crear estaciones.

Sebastián: Ahora sólo nos queda determinar, cuántas posibilidades existen para trazar dos líneas entre las etapas de producción y de esta forma sabremos cuantas combinaciones poosibles existen para dividir las etapas en tres estaciones de trabajo. (→Ej.2.3).

Oliver: ¡Muy bien! ¡Una excelente idea! Esto lo haremos entonces para todas las posibles estaciones que podríamos tener, es decir, desde uno hasta once estaciones y lo habremos determinado. ¿Cuántas posibilidades hay entonces para ubicar dos líneas entre las etapas?

Sebastián: Vagamente me acuerdo de una fórmula que utilizamos durante nuestros días de estudio. Con ella era posible determinar la cantidad de combinaciones que existen para extraer k elementos de un conjunto de n elementos.

Nadine: Ah, creo que se a que te refieres, tenía algo que ver con muestras y le llamábamos combinaciones de “k sobre n”. Era importante el hecho de que no importaba el orden en el que los elementos eran cogidos.

Selina: En nuestro caso, necesitamos determinar combinaciones de “2 sobre 10”, lo cual representaría la cantidad de combinaciones que existen para escoger dos líneas de entre diez posibilidades.

Sebastián corre por su formulario de la escuela para poder encontrar la definición exacta. Mientras, nos ocuparemos de la definición de combinaciones de „k sobre n“:

Para empezar, nos enfrentamos a la siguiente pregunta: ¿cuántas posibilidades existen de formar subconjuntos con k elementos en un conjunto con n elementos, si el orden dentro del subconjunto no importa y los elementos no se pueden repetir? El diagrama 2.2 muestra este procedimiento para k = 6 y n = 18.

Diagrama 2.2 De 18 elementos fueron escogidos seis, sin tener en cuenta el orden y sin repetición

1 3 4 5 6 7 9 10 8

11 2

1 9 16 15

4 5 6 17

8

18

11 10 12

13 14 3 2

7 11 9 2 18 4 12

9

¿Qué es lo que significan los signos de admiración en la definición de los coeficientes binomiales? n!, el factorial de n, es una abreviatura para el resultado de multiplicar los números de 1 a n. De esta forma tenemos que:

Dicha expresión se lee como “n factorial“. El concepto de factorial está únicamente definido para números enteros n no negativos. Para n = 0 se tiene que:

Para que no te calientes la cabeza a la hora de calcular los factoriales, especialmente para valores de n muy grandes, muchas de las calculadoras ya traen esta opción incorporada. ¿Por qué han sido definidos los coeficientes binomiales exactamente de esta forma? Para empezar, tenemos que determinar cuántas posibilidades diferentes hay de coger k elementos es un conjunto de n, si el orden en el que los valores fueron extraídos sí tiene relevancia. Es así como analizaremos muestras ordenadas. Esto significa que por ejemplo las combinaciones 1, 2, 3 y 2, 3, 1 son diferentes. Para el primer valor que va a ser escogido se cuenta con n posibilidades, ya que cada uno de los n valores existentes puede ser escogido. A la hora de la segunda selección, únicamente quedarán n – 1 elementos a disposición. Es así como quedaran n - 1 posibles combinaciones. Con cada nueva posición que sea escogida, el número de valores que pueden ser elegidos se reduce en una unidad y por tanto el número de posibles combinaciones. A la hora de escoger el valor k quedarán por lo tanto únicamente n – k + 1 posibles valores para elegir. La cantidad de posibilidades distintas que pueden aparecer después de k elecciones se obtienen al multiplicar la cantidad de posibles opciones en cada uno de los pasos anteriores. Esto quiere decir que la

Muestreo sin orden y sin remplazamiento La cantidad de combinaciones para coger de n elementos una muestra sin tener en cuenta el orden de k elementos, sin reemplazo es:

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

1 2 2 1 !

1 2 2 1 1 2 1 ! ( )!

nn n n n

kk k k n k n k k n k

⋅ − ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ = =

⋅ − ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ − − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ −

…

… ….

n

k

se lee: „combinación de k sobre n“. Esta notación es una abreviación

común para la formula descrita anteriormente. También se les conoce como coeficientes binomiales.

! 1 2 3 ( 2) ( 1)n n n n= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ − ⋅⋯ .

0! 1= .

10

cantidad de posibles elecciones de k valores escogidos de entre n elementos, tomando en cuenta el orden de los valores, es de:

( ) ( ) ( )1 2 1n n n k n k⋅ − ⋅ ⋅ − + ⋅ − +⋯ .

Así contamos las posibles combinaciones en un muestreo ordenado, obteniendo un valor mucho más alto que cuando se analiza el caso de un muestreo, donde la secuencia no es relevante. Esto se atribuye a que la secuencia juega un papel determinante y por tanto también el orden en el que dichos valores aparecen. En este caso, todos los valores deberán ser incluidos a la hora de contar las combinaciones. Un conjunto de k elementos se deja ordenar en k! diferentes maneras: éstas reciben el nombre de permutaciones. Éstas son fáciles de imaginar al contar con un conjunto de k elementos, del cual se escogiesen todos los elementos, es decir k y en la cual la secuencia de los valores elegidos es relevante. De acuerdo a la fórmula que acabamos de deducir se tendría que existen un total de

( )1 2 1 !k k k⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ =⋯

posibles combinaciones. Al formar nuestra muestra en la que la secuencia era relevante, contamos cada muestra sin importar el orden un total de k! veces. Es así como se obtiene el siguiente coeficiente binomial:

( ) ( )

( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

1 1 1 1 1 2 1 !

1 2 1 ! 1 2 1 ! !

nn n n k n n n k n k n k n

kk k k n k n k k n k

⋅ − ⋅ ⋅ − + ⋅ − ⋅ ⋅ − + ⋅ − ⋅ − − ⋅ ⋅ ⋅ = = =

⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ − − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ −

… … …

… …

(→Ej.2.4).

Mientras tanto, Sebastián ha encontrado las explicaciones sobre los coeficientes binomiales en sus apuntes. Los cuatro colegas intentan ahora determinar si los coeficientes binomiales les pueden ayudar en su objetivo.

Sebastián: Entonces: tenemos diez posiciones en las que podemos colocar una línea. Yo quiero posicionar dos líneas, eso quiere decir que de diez posiciones, escojo dos. Esto es lo mismo que si estuviera ejecutando una muestra de dos elementos sin remplazamiento y sin que importe el orden. Es sin reemplazo, porque en cada posición lógicamente solo puede ser colocada una única línea y por tanto cada posición puede aparecer únicamente una vez en nuestra muestra.

Selina: Si, pero ¿por qué no importa el orden en el que eliges a los elementos? Acabamos de decir que el orden de las etapas de producción son importantes y de pronto vienes y dices que ya no. ¡Ahora sí que ya no entiendo nada!

Sebastián: Sin importar la secuencia se refiere, en este caso, a que da lo mismo si tenemos el subconjunto [1, 2, 3] anotado de esa forma o como [2, 1, 3]. Desde este punto de vista no es importante si he elegido la sexta y la segunda posición o si he elegido la segunda y la sexta posición. ¿Entiendes a lo que me refiero?

Selina: Creo que aún tengo que pensar un poco al respecto, pero por el momento, mejor continúa.

Nadine: Voy a calcular de una vez con la calculadora, cuantas posibilidades existen para dos líneas.

Mientras que Nadine introduce las cifras en la calculadora, observamos nosotros el cálculo también.

11

10 10! 10! 10 9 2 1 3628800

452 2! (10 2)! 2! 8! 2 1 8 7 2 1 2 40320

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = = = = =

⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

…

…

Nadine: Existen un total de 45 combinaciones diferentes para colocar dos líneas en diez posiciones.

Oliver: O dicho de otra forma: existen 45 posibilidades para formar tres estaciones, las cuales albergarán las once etapas de producción (→Ej.2.5).

Selina: Estoy impresionada: así de simple es esto. Bueno, ahora solo tenemos que hacer esto diez veces y sumar los resultados, ¿no es así?

Sebastián: En realidad lo tenemos que hacer once veces: después de todo, podemos colocar desde diez líneas hasta un mínimo de ninguna línea. Esto hace que tengamos que hacer once cálculos.

Selina: ¿Qué? ¡Tú me confundes con tus ideas! ¿Qué quiere decir eso de no colocar ninguna línea? ¡Eso sí que son tonterías!

Sebastián: No, piénsalo bien. Ninguna línea quiere decir que no haremos ninguna subdivisión y que por lo contrario, sólo formaremos una única estación, la cual elaborará todas las etapas de la producción. Además, sólo existe una única posibilidad para crear una estación, sin embargo, tenemos que considerar esta opción de cualquier manera.

Nadine: De acuerdo, despacio: quizá debiéramos anotar esto primero bajo con formula, porque de lo contrario perderé la perspectiva de las cosas. Contamos entonces con n etapas de producción y queremos formar k estaciones, ¿no es así?

Selina: Así es.

Nadine: Bien, entonces prosigamos. Para formar k estaciones, necesito k – 1 líneas y éstas las puedo ubicar en n – 1 posiciones diferentes. Así que calcularé la combinación de “k – 1 entre n – 1“.

Mientras tanto, Nadine ha anotado en el papel lo siguiente:

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Nadine: Y ahora unimos n de estos coeficientes binomiales, ya que para valores desde k = 1 hasta k = n debemos encontrar dichos valores y sumarlos. El primer sumando viene dado para k = 1, es decir para formar una estación o lo que es lo mismo, no trazar ninguna línea. El segundo sumando representará la cantidad de posibilidades para formar dos estaciones y así sucesivamente.

Cantidad de posibles combinaciones de estaciones que se pueden formar para las n etapas de producción:

1 1 1 1

0 1 2 1

n n n n

n

− − − − + + + +

− ⋯ .

Selina: Este sumatorio se ve muy bien, sin embargo: hay tanto que introducir a la calculadora hasta encontrar una solución. No me extrañaría que me equivoque al introducir los números. (→Ej.2.6).

Sebastián: Estoy seguro de que en mis apuntes encontraré aún más información. Algunas veces es posible simplificar estas fórmulas: quizá logre encontrar algo.

Oliver: Por hoy, he visto ya demasiado respecto a estos coeficientes binomiales. Yo me voy a casa.

Selina: Vale, buena idea: ¡hasta mañana!

Mientras que los expertos del equipo de Clever-Consulting se dirigen a casa, deseamos ver en la siguiente sección si es posible simplificar esta sumatorio.

Discusión 2.1:

En la información presentada hasta el momento, la secuencia de las etapas de producción venía dada por requerimientos técnicos. Si suponemos que la secuencia de las n tareas es libre, ¿cuántas combinaciones posibles se pueden encontrar para agrupar a las etapas de producción en estaciones?

Ejercicios de repaso

Ej.2.3 ¿Cuántas combinaciones posibles existen para formar cuatro estaciones, si existen 7 etapas de producción? Represente las estaciones por medio de líneas entre las cifras.

n – 1 k – 1

n... cantidad de etapas de producción

k... cantidad de estaciones

El número de posibilidades de formar k estaciones

para ejecutar las n tareas es:

.

13

Ej.2.4 Dado el conjunto {1, 2, 3, 4, 5}.

a) Indique todas las muestras aleatorias ordenadas cogiendo tres elementos de un conjunto con cinco elementos. ¿Cuántas posibilidades hay en total?

b) Indique ahora todas las muestras aleatorias ordenadas cogiendo tres elementos de un conjunto de tres elementos. ¿Cuántas posibilidades hay en total?

c) Indique cuáles son todas las posibles muestras aleatorias no-ordenadas, cogiendo tres elementos de un conjunto con cinco elementos. ¿Cuántas posibilidades hay en total?

Ayuda: Para b) y c) en lugar de empezar de cero, ajuste el razonamiento utilizado en a)

d) Determine la cantidad de muestras aleatorias no-ordenadas que pueden ser encontradas si se cogen tres elementos de un conjunto de cinco elementos como cocientes de los resultados obtenidos en a) y b), con ayuda de los coeficientes binomiales.

Ej.2.5.a) Verifique el resultado del Ej.2.3 con ayuda de los coeficientes binomiales.

b) Calcule los siguientes coeficientes binomiales:

5 47 47 9 10 18 19 4 6 9

, , , , , , , , ,3 0 47 4 6 4 0 2 2 5

Ej.2.6 ¿Cuántas combinaciones posibles de estaciones pueden obtenerse, si se tienen un total de siete etapas de producción? (es decir, tomando desde una hasta siete estaciones)

2.3 Coeficientes binomiales y el triángulo de Pascal

El triángulo de Pascal Para llegar a conocer los coeficientes binomiales de una manera más cercana, nos adentraremos un poco en la historia de la matemática. Nos centraremos en la Francia del siglo XVII donde vivió el matemático, teólogo y filósofo Blaise Pascal (1623-1662). A se le atribuye el conocido triángulo de Pascal, el cual veremos ahora en mayor detalle.

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

1 6 15 20 15 6 1

1 7 21 35 35 21 7 1

Diagrama 2.3 Triángulo de Pascal

El diagrama anterior muestra el triángulo de Pascal. ¿Qué es lo que llama la atención de este triángulo? Bueno, para empezar, el hecho que muestra simetría respecto del eje vertical central. Además, el lado de la derecha e izquierda están formadas exclusivamente por “unos”. Si se

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observa con más detalle, nos daremos cuenta que precisamente debajo de estos unos, a lo largo del lado del triángulo, se forma una sucesión de números naturales, es decir 1, 2, 3, 4,.... ¿Cómo se forma el triángulo de Pascal y cuál es su relación en todo esto? Aunque no lo pareciese, el triángulo de Pascal se forma mediante una regla de cálculo y es posible expandirlo a cuantas cifras o niveles se desee. La regla para formar el triángulo es la siguiente: cada valor del triángulo se obtiene a partir de la suma de los valores que se encuentren en la fila anterior y en posición diagonal sobre el valor que esta siendo determinado. Para ilustrar esta regla, se buscará primero el proceso en el que se forman los valores y a continuación se dará la notación matemática para el triángulo.

3 3

3 3

1

1 1

1 2 1

1 1

1 4 6 = + Diagrama 2.4 Ejemplo para la regla de cálculo con la que se forma el triángulo de Pascal

Además podemos observar la numeración y los elementos de las filas en el triángulo de Pascal empiezan por cero. Como se puede observar en el diagrama, el segundo elemento de la cuarta fila se obtiene a partir de la suma de los dos valores localizados en posición diagonal sobre este segundo elemento de la cuarta fila. Para el cálculo del elemento número cero y del último elemento de una fila, es necesario imaginarse que en la posición vacía, se encuentra ubicado un cero. Es así como se resuelve el primer misterio: en los lados del triángulo, únicamente es posible que se formen “unos”, puesto que para cada uno de dichas posiciones, la operación a realizar es siempre: 1 + 0 = 1 (→Ej.2.7).

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1 0

1 4 6 4 1 Diagrama 2.5 Formación de los elementos en la orilla del triángulo de Pascal

Como mencionamos anteriormente, la notación matemática para esta regla de cálculo con la que se forma el triángulo de Pascal es la siguiente:

Regla de cálculo para la formación del triángulo de Pascal Sea dnk el k-ésimo elemento de la fila número n en el triángulo de Pascal. Entonces se tiene que:

1, 1 1,

00

0

1

1; 1 para todos

nk n k n k

n nn

d d d

d

d d n

− − −= +

=

= = ∈ℕ

.

15

(�Ej.2.8) La segunda condición de esta formulación que se necesita para inicializar el triangulo, es decir, para poder empezar. De igual forma, las condiciones en la tercera fila sirven para inicializar cada una de las filas. Estas tres condiciones son necesarias ya que de lo contrario, se cogerían elementos que no existirían. En la formulación dada es de notarse que en el momento de contar las filas y los elementos de una fila, se debe iniciar de cero. ¿Qué relación tiene el triángulo de Pascal con los coeficientes binomiales? Lo especial del triángulo de Pascal es que cada elemento del triángulo ¡es un coeficiente binomial! El elemento dnk tiene el valor del coeficiente binomial “k sobre n“.sería También podemos anotar el triángulo de Pascal de la siguiente manera:

0

0

1 1

0 1

2 2 2

0 1 2

3 3 3 3

0 1 2 3

…

Diagrama 2.6 Triángulo de Pascal en notación de coeficientes binomiales

Es así como una fila cualquiera del triángulo de Pascal, supongamos sea esta la fila n, se puede escribir de la siguiente manera:

0 1 1

n n n n n

k k k n

− + ⋯ ⋯ .

(→Ej.2.9+10) El hecho que los elementos del triángulo de Pascal dnk describen a los coeficientes binomiales „k entre n“, es posible calcularlo con facilidad en las primeras filas del triángulo. Sin embargo, esto no es una demostración formal para la conclusión general a la que hemos llegado. Para mostrar esto, tenemos que demostrar que los coeficientes binomiales satisfacen las reglas bajo las cuales los elementos del triángulo de Pascal son formados. Para el lector que le interese, esta demostración se lleva a cabo posteriormente en los ejercicios.

Ejercicios de repaso

Ej.2.7 El triángulo de Pascal tiene justo debajo de los lados de “unos“la sucesión de números naturales. ¿Cómo es posible explicarlo? ¿Es esta observación válida para cualquier triángulo de Pascal (es decir, con cualquier cantidad de filas)?

Ej.2.8 Elabore las primeras once filas del triángulo de Pascal. Recuerde que la primera fila es la fila cero.

Ej.2.9 Elabore la fila 13 del triángulo de Pascal con ayuda de los coeficientes binomiales.

16

Ej.2.10 Calcule los siguientes elementos del triángulo de Pascal: d11,2, d11,4, d11,7, d12,3, d12,5 y d12,8.

Demostración*: Coeficientes binomiales forman el triángulo de Pascal

Queremos demostrar que las reglas bajo las cuales se forma el triángulo de Pascal, originan coeficientes binomiales de la forma “k sobre n“. Dicho de otra manera, que los coeficientes binomiales satisfacen las reglas de formación del triángulo de Pascal. Para empezar, repitamos las reglas bajo las cuales el triángulo de Pascal es formado.

( )

( )

( )

1, 1 1,

00

0

1

1 2

1; 1 para todo 3

nk n k n k

n nn

d d d

d

d d n

− − −= +

=

= = ∈ℕ

Empecemos con la regla más sencilla, es decir (2). El hecho de que es válida para los coeficientes binomiales, lo podemos alcanzar mediante sustitución.

00

0 00! 11

0 00! (0 0)! 1d

= = = ⇒ =

⋅ −

Ahora, respecto a la regla (3). Tenemos que mostrar que “0 entre n“ y “n entre n“, para cualquier valor de n, es igual a uno:

( )

0

! ! !1 para todo

0 00! 0 ! 1 ! !n

n nn n nn d

n n n

= = = = ∈ ⇒ =

⋅ − ⋅ ℕ ,

( )

! ! ! !1 para todo

! ! ! 0! ! 1 !nn

n nn n n nn d

n nn n n n n n

= = = = = ∈ ⇒ =

⋅ − ⋅ ⋅ ℕ .

Nuevamente nos resultó bastante sencillo probar esto únicamente haciendo sustituciones y recurriendo a la definición de los coeficientes binomiales. Sin embargo, para satisfacer la condición (1), será necesario aplicar un poco más de ingenio de cálculo. Tenemos que mostrar que la siguiente igualdad es válida:

1 1

1

n n n

k k k

− − = +

− .

O en forma desarrollada:

( )

( )

( ) ( ) ( )( )( )

( )( )1 ! 1 !!

! ! 1 ! 1 1 ! ! 1 !

n nn

k n k k n k k n k

− −= +

− − − − − − −.

Empezaremos con el lado derecho de la igualdad y trataremos de modificarlo mediante operaciones correctas, hasta obtener la expresión del lado izquierdo de la igualdad.

17

( )

( ) ( ) ( )( )( )

( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )

1 2 1 1 2 1

1

1 1

1

1 ! 1 !

1 ! 1 1 ! ! 1 !

2

1 2 1 1 2

1 ! 1 1 2 1!

n k n k n k

n k n

n n

k k

n n

k n k k n k

n

k

n n k n n

k k k

k

n

n−

− − + =

−

− −+ =

− ⋅ − − − ⋅ − −

− ⋅ − ⋅ ⋅ − + ⋅ − ⋅ − ⋅ ⋅⋅ − − ⋅ ⋅ ⋅ − − ⋅ ⋅ ⋅

− ⋅ − − ⋅ ⋅ ⋅

− ⋅+

− ⋅ ⋅ − − ⋅ ⋅ ⋅

⋯

⋯

⋯⋯ ⋯

⋯

Hasta el momento únicamente hemos modificado las fracciones y desarrollado los factoriales. Esto lo realizamos para reconocer la forma en la que los cocientes podrán ser simplificados. Los términos en rojo se pueden simplificar, resultando en las siguientes fracciones claramente más simples:

( ) ( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )1 2 1 1 2

1 ! !

n n n k n n n k

k k

− ⋅ − ⋅ ⋅ − + − ⋅ − ⋅ ⋅ −+

−

⋯ ⋯.

En el siguiente paso, encontraremos el denominador común, para poder así efectuar la suma y obtener una única fracción.

( ) ( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 2 1 1 2

1 ! !

1 2 1 1 2

!

n n n k n n n k

k k

n n n k k n n n

k

k

k

k

− ⋅ − ⋅ ⋅ − + − ⋅ − ⋅ ⋅ −+ =

−

− ⋅ − ⋅ ⋅ − + ⋅ + − ⋅ −

⋅

⋅

⋅

⋅ −

⋯ ⋯

⋯ ⋯

Ahora se observa que los sumandos en el numerador poseen términos iguales, los cuales se pueden factorizar.

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) [ ]

( ) ( )

1 2 1 1

!

1 1

!

1

2

!

1

1

n n n k n n n kk n k

k

n n k k n k

k

n n k n

k

⋅ + ⋅ −=

− ⋅ − ⋅ ⋅ − + − ⋅ −

− ⋅ ⋅ − + ⋅ + − =

−

⋅ ⋅

⋅ ⋅ − ⋅

−

+

+⋯

⋯

⋯

⋯

Ahora no nos falta mucho para llegar a nuestro objetivo. Al multiplicar el numerador y el denominador por el mismo término, llegamos a la expresión buscada.

( ) ( ) ( )

( )

( )

1 1

!

1 1!

1

2 1

2 1

! !

n n n k

k

n n n nn

k k k kk n k

n k

n k

⋅ − ⋅ ⋅ − +=

− − = ⇒ + =

⋅ − ⋅ ⋅ ⋅

⋅ −

−⋅ −

⋅ ⋅ ⋅

⋯

⋯

⋯

.

� Ya hemos demostrado las tres reglas y podemos dar por concluida la demostración.

18

Cálculo simplificado de los coeficientes binomiales

Hemos establecido la relación entre el triángulo de Pascal y los coeficientes binomiales “k sobre n“. Sin embargo, ¿qué es lo que hemos ganado con esto? Por un lado, ahora sabemos que podemos generar los coeficientes binomiales de una forma muy rápida con ayuda del triángulo de Pascal. Si la fila n del triángulo es conocida, es posible generar a partir de simples sumas, la fila (n+1). Esta operación es posible ejecutarla muy fácilmente con papel y lápiz, o bien hacerlo en la mente. Por el contrario, la forma de calcular los coeficientes binomiales antes de conocer al triángulo de Pascal, llevaba a la multiplicación de números muy grandes, para las cuales era obligatorio el uso de una calculadora (→Ej.2.11).

La simetría del triángulo de Pascal

A una propiedad adicional del triángulo de Pascal, es posible sacarle provecho: la simetría. Como sabemos, el triángulo de Pascal es simétrico respecto de su eje vertical central. Esto significa que la siguiente igualdad es válida:

,nk n n kd d −= .

O bien, en notación de coeficientes binomiales:

n n

k n k

=

− .

Esta propiedad de los coeficientes binomiales será más evidente, si se observa un ejemplo de la vida diaria: se debe elegir entre cinco CDs nuevos, únicamente dos. Esto puede ser debido a que se posee únicamente dinero para comprar de dos. Sin embargo, esta decisión es la misma que tener que escoger entre los mismos cinco CDs, los tres que no se quiere comprar:

5 5 5

2 5 2 3

= =

− .

Es relativamente sencillo, a través de sustituciones y modificaciones, el mostrar que esta regla es válida para los coeficientes binomiales:

( ) ( ) ( ) ( )( )

! ! !

! ! ! ! ! !

n nn n n

k n kk n k n k k n k n n k

= = = =

−⋅ − − ⋅ − ⋅ − − .

(→Ej.2.12)

La suma de los coeficientes binomiales

Deseamos obtener Un uso adicional del triángulo de Pascal, puesto que para nosotros es el más interesante. En la última conversación de Clever-Consulting, Selina tuvo ciertos problemas con la siguiente fórmula:

1 1 1 1

0 1 2 1

n n n n

n

− − − − + + + +

− ⋯ .

Si no se posee una calculadora moderna con la opción de ejecutar sumatorios, será necesario ingresar cada uno de los sumandos y es muy fácil equivocarse. Sería interesante, poder simplificar este sumatorio. Observemos por lo tanto los elementos de la n -ésima fila del triángulo de Pascal:

19

0 1 1 1 1

n n n n n n n

k k k n n

− + − ⋯ ⋯ .

Los coeficientes binomiales de esta fila recuerdan a los sumandos que acabamos de observar. La única diferencia es que en lugar de n – 1 tenemos ahora n. Los sumandos de nuestra fórmula corresponden por lo tanto a los elementos de la fila (n – 1) del triángulo de Pascal. Observemos de todas formas a la n-ésima fila: lo que sea válido para ésta, se podrá traducir a la fila (n – 1), siempre y cuando n > 1. A nosotros nos interesa la suma de los elementos de una fila cualquiera. Sea ésta la fila n del triángulo de Pascal. Para entenderlo mejor, observaremos primero lo que sucede con las primeras filas:

Sumatorio de los elementos

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 1

1

2

4

8

16

0 5 1 32

Existe aquí algo que llama la atención: ¡la sumatorio de las cifras de cada fila se duplica entre fila y fila! ¿Es posible generalizar una regla a partir de esta observación? No, ya que lo que observamos puede ser válido únicamente para el ejemplo que estamos considerando y es necesario demostrar la propiedad para un caso genérico. Pensemos por lo tanto, a qué puede deberse el que el sumatorio de las filas se duplique y analicemos la formación del triángulo de Pascal más detenidamente. En el ejemplo siguiente, la fila n = 4 estará formada a partir de la fila n = 3.

3 3 31 13

1 3 3 1

4 61 14= + = + = +

Se puede observar que cada cifra de la fila superior aparece exactamente dos veces como un sumando (o bien como una cifra en los lados). Este comportamiento puede ser trazado para cualquier fila. Debido a que cada cifra de la fila anterior aparece dos veces en la fila, ya sea como sumando o como cifra particular, se puede concluir que el sumatorio de cada fila se duplica de una fila a otra.

Quién esté interesado en una demostración para este comportamiento, nos referimos al final de esta sección. Para nuestros siguientes cálculos llamaremos a el sumatorio de la n-ésima fila ZSn, con ZSn = dn0 + dn1 +... + dn,n-1 + dnn. El sumatorio de la fila cero la conocemos, puesto que es ZS0 = 1. El sumatorio para la segunda fila, ya no es necesario conocerla, puesto que la podemos calcular:

1 0

2 1 2 2ZS ZS= ⋅ = ⋅ = .

El sumatorio para la tercera fila, se puede calcular de la misma forma:

2 1 0

2 2 2 1 2 2 4ZS ZS ZS= ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = .

Mientras que para la n -ésima fila se tiene que:

20

1 0 02 2 2 2 2 2 para 1n n

n n

n

ZS ZS ZS ZS n−

= ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ = ≥…����� .

Sin embargo, ¿cómo se comporta esta fórmula con la fila cero? 20 = 1 = ZS0. La regla es por lo tanto válida también para la fila cero y por lo tanto se puede generalizar como sigue:

Por lo tanto se ha conseguido una simplificación de la fórmula.

0

0 1

1 2

2 3

3 4

4 5

Sumatorio de los elementos

Fila 0 1 1

Fila 1 1 1 2

Fila 2 1 2 1 4

Fila 3 1 3 3 1 8

Fila 4 1 4 6 4 1 16

Fila 5 1 5 10 10 5 1 32

2

1 2 2 2 2

2 2 2 2 2

4 2 2 2 2

8 2 2 2 2

16

Fil

2 2

2a

2 2

nn

=

= ⋅ = ⋅ =

= ⋅ = ⋅ =

= ⋅ = ⋅ =

= ⋅ = ⋅ =

= ⋅ = ⋅ =

=

⋯

⋯

Se tiene que:

(→Ej.2.13) Regresemos por un momento al significado inicial de los coeficientes binomiales. El número de posibilidades de tomar subconjuntos de k-elementos de un conjunto de n-elementos es “k sobre n“. ¿Qué es lo que obtenemos si calculamos estas cifras para cada k desde cero hasta n, y luego se suma cada resultado obtenido? Bueno, hemos formado subconjuntos de cero elementos, de un elemento, de dos elementos, etc., hasta subconjuntos de n-elementos. Es así como 2n describe a la cantidad de subconjuntos que se pueden obtener de un conjunto de n-elementos. A la unión de todos los subconjuntos, se le conoce como conjunto potencia. El conjunto potencia tiene 2n elementos. Ejemplo: El conjunto {1, 2, 3, 4} tiene cuatro elementos. Así es posible formar un total de 24 = 16 subconjuntos:

4 4!

0 0! 4!

= =

⋅ 1 0-elementos ∅ (conjunto vacío)

1 2 , 1 2 para 0n

n n n n n nnZS d d d d n−= + + + + = ≥… .

20 1 1

nn n n n n

k n n

+ + + + + + =

− ⋯ ⋯ .

21

4 4!

1 1! 3!

= =

⋅ 4 1-elementos {1}, {2}, {3}, {4}

4 4!

2 2! 2!

= =

⋅ 6 2-elementos {1, 2}, {1, 3}, {1,4}, {2, 3}, {2, 4}, {3, 4}

4 4!

3 3! 1!

= =

⋅ 4 3-elementos {1, 2, 3}, {1, 2, 4}, {1, 3, 4}, {2, 3, 4}

4 4!

4 4! 0!

= =

⋅ 1 4-elementos {1, 2, 3, 4}

(→Ej.2.14)

Ejercicios de repaso

Ej.2.11 La fila 17 del triángulo de Pascal es la siguiente:

1 17 136 680 2380 6188 12376 19448 24310 24310 19448 12376 6188 2380 680 136 17 1

Calcule la fila 18 del triángulo de Pascal sin ayuda de una calculadora y haciendo uso únicamente de la adición. Verifique su resultado de los elementos d18,4, d18,13, d18,11 y d18,8 con ayuda de una calculadora, mediante el cálculo de los coeficientes binomiales.

Ej.2.12 ¿ De las siguientes igualdades y desigualdades cuales son ciertas y cuáles son falsas?

8 8 9 9 9 9 17 17 17 17 9 10

, , , , , ,3 5 3 5 3 6 10 7 13 5 0 10

9 9 31 43 4 4 5 5 43, , , ,

4 5 0 0 2 4 2 3 1

= = ≠ = ≠ ≠

= = = ≠ ≠

43 23 23, ,

42 19 4

35 35 4 4 43 43 50 50 47 47 13 13, , , , , ,

17 18 1 3 23 21 30 10 15 32 4 9

21 21 21 21, ,

15 7 16 6

=

≠ ≠ ≠ = = =

≠ ≠

23 23 22 22 18 18 17 17, , ,

9 19 11 13 9 10 7 10

= ≠ ≠ =

Ej.2.13 Verifique el resultado del Ej.2.5. Indique adicionalmente la suma de todos los elementos de la fila 10 y la fila 13 del triángulo de Pascal.

Ej.2.14 Complete la siguiente tabla de subconjuntos, dado el conjunto {1, 2, 3, 4, 5}:

Cantidad de subconjuntos

Cantidad de elementos por subconjunto

Subconjunto(s)

5 5!1

0 0! 5!

= =

⋅ 0-elementos ∅ (conjunto vacío)

22

Demostración*: El sumatorio de los coeficientes en cada fila del triángulo de Pascal se duplican

Aquí se demostrará que el sumatorio de los coeficientes en cada fila del triángulo de Pascal se duplica entre una fila y la siguiente. Para empezar, anotaremos el sumatorio de los coeficientes para la fila n:

0 1 , 1

0

n

n n n n nn nk

k

d d d d d−

=

+ + + + =∑⋯ .

Debido a la regla bajo la cual se forma el triángulo de Pascal sabemos que dnk está formado a partir de los elementos de la fila anterior: dnk=dn-1,k-1+dn-1,k. Esta igualdad la aplicamos y observaremos los casos especiales como dn0 y dnn:

( )1

0 1, 1 1,

0 1

n n

nk n n k n k nn

k k

d d d d d−

− − −

= =

= + + +∑ ∑ .

El sumatorio lo podemos separar en dos partes mientras que para dn0 y dnn simplemente ingresaremos sus valores.

1 1

1, 1 1,

0 1 1

1 1n n n

nk n k n k

k k k

d d d− −

− − −

= = =

= + + +∑ ∑ ∑

Observemos ahora los sumatorios. El segunda sumatorio es casi idéntico al sumatorio de la fila (n - 1). La diferencia: es que empieza en k = 1, mientras que el sumatorio de la fila (n - 1) empieza en k = 0. Es así como necesitamos el primer sumando dn-1,0. Debido a que éste tiene el valor de uno, haremos uso de unos de los dos “unos” que aparecen en el sumatorio. Es así como tomamos este “uno” como dn-1,0 hacia el segundo sumatorio y obtenemos por lo tanto el sumatorio de los coeficientes de la fila (n - 1).

0

1 1

1, 1 1,

0 1

1n n n

nk n k n k

k k k

d d d− −

− − −

= = =

= + +∑ ∑ ∑

Conceptualmente, con el primer sumatorio sucede exactamente lo mismo. Sin embargo, lo que nos molesta en el primer sumatorio es el índice k – 1 en dn-1,k-1. Para modificar esto, haremos uso de una técnica que se utiliza en matemática frecuentemente a la hora de hacer modificaciones en el cálculo: la traslación de coeficientes. Introducimos así un nuevo índice r. Para r se tiene que: r = k – 1. Esto quiere decir que k puede ser reemplazado por r + 1. En las siguientes líneas se podrá ver el efecto de esta substitución. Al final, el “uno” restante es introducido en el sumatorio como dn-1,n-1, para completar la demostración.

23

2

0

1

1

1, 1 1, 1,

0 0

1 1

1, 1, 1,

0 0 0

1

, 1,

0 0

2

2

n n

nk n n n n k

k k

n n n

n r n k n k

r

n

k k

n n

n k n k

k k

r

r

d d d d

d d d

d d

−

− − − −

= =

− − −

− − −

= = =

−

−

= =

−

=

= + + =

+ = ⋅

⇒ = ⋅

∑ ∑ ∑

∑ ∑ ∑

∑ ∑

�

2.4 Crecimiento exponencial

A la mañana siguiente se reúne el equipo de Clever-Consulting para trabajar en el problema de Auto S.A. Únicamente uno de los colegas se siente sumamente cansado.

Nadine: Sebastián, ¿qué es lo que te pasa? ¿Has estado de fiesta toda la noche?

Oliver: ¡Qué va! Nuestro vicioso del trabajo se habrá pasado la noche en vela, leyendo libros, ¿no es así?

Sebastián: Ah, ¡dejadme en paz! ¡Agradeced que al menos alguien muestre interés en el proyecto! Ayer me pasé la noche buscando información en mis notas de clases.

Oliver: ¡Como era de esperarse!

Sebastián: ¡Y vaya que he encontrado algo! La fórmula que teníamos ayer la podemos simplificar bastante.

Selina: ¿En serio? ¡Enséñanoslo!

Sebastián: No, primero iré por un café, luego podréis disculparos con mucho cariño y luego quizá les diga algo acerca de los resultados a los que he llegado.

Sebastián ha encontrado la misma simplificación sobre la que nosotros hemos trabajado en las últimas páginas. Después de dos tazas de café y de estar de mucho mejor humor, les explica acerca de sus descubrimientos sobre los coeficientes binomiales.

Sebastián: Bien, y esta simplificación de la fórmula del sumatorio la podemos utilizar además para nuestro resultado de ayer. Nadine, ¿tienes las anotaciones de ayer?

Nadine, después de buscar un poco en su bolsa, coloca las anotaciones sobre la mesa, en la que se puede leer la siguiente fórmula:

1 1 1 1

0 1 2 1

n n n n

n

− − − − + + + +

− ⋯ .

Sebastián: ¡Observad! Aquí formamos el sumatorio de los elementos de la fila (n - 1), es decir que nuestro resultado es 2n-1.

24

(→Ej.2.15)

Oliver: Bueno, esto quiere decir que para Auto S.A. debemos analizar un total de 210 casos.

Nadine: Son 1024 posibilidades.

Oliver: Mm, pues eso aún es factible. Diseñaremos un programa de ordenador y éste nos calculará todas las posibilidades. También deberá indicarnos, bajo que condiciones las estaciones se encuentren utilizadas de forma equitativa.

Nadine: Mm, se escucha bastante simple. Pero, el número de posibilidades crece bastante rápido, ¿o no? Si tuviésemos 20 etapas de producción, entonces ya estaríamos hablando de 524 288 posibilidades. Y para 100 etapas de producción serían entonces… oh no, mi calculadora ya no puede representar el número completamente. Serían en total 6,338*1029 posibilidades. ¡Estamos hablando de un número con 30 cifras!

El rápido crecimiento que los cuatro colegas han observado, se conoce como crecimiento exponencial. El concepto se refiere a que en el caso de 2n-1, la variable n se encuentra en el exponente. Allí acelera el crecimiento de forma muy rápida. Si comparamos los resultados para diferentes valores de n, tenemos la siguiente tabla:

n 2n-1

10 512 20 524.288 100 6,33825*1029

200 8,03469*1059

Duplicar los valores para la variable, de n = 10 a n = 20, nos lleva a un valor 1024-veces mayor de 2n-1. Por otro lado, si duplicamos los valores para la variable, de n = 100 a n = 200, nos da un valor de 1.26765*1030 veces mayor de 2n-1. El valor de 2n-1 crece por lo tanto mucho más rápido que la variable n.

La cantidad de posibilidades de asignar n etapas de producción con secuencia predeterminada, a estaciones, viene dada por:

11 1 1 1

20 1 2 1

nn n n n

n n

−− − − −

+ + + + = − −

⋯ .

25

2 4 6 8 10

100

200

300

400

500

Diagrama 2.8 Función y = 2n-1

En el diagrama 2.8 es fácil identificar que 2n-1 no crece únicamente con n, sino que este crecimiento se acelera conforme n aumenta. Este tipo de problemas alcanzan bastante rápido un tamaño con el que aún haciendo uso de ordenadores modernos, no es posible resolverlos en poco tiempo: el número de posibilidades es demasiado grande. Este tipo de problemas hoy en día cuando se desean descifrar códigos. En estos casos, sin embargo no es posible resolverlos en poco tiempo, puesto que de lo contrario los sistemas de criptografía, como los de las tarjetas de crédito o para conexiones de Internet, no podrían ser seguros. Oliver: De acuerdo. El tamaño del problema crece muy rápido. De cualquier forma, sí es posible resolver las 1024 posibilidades que tenemos en el caso de Auto S.A.

Sebastián: Puede ser, sin embargo, no me parece bien hacerlo de esta manera. Debe haber algún método más efectivo, que el de probar todas las posibles soluciones. Estoy seguro que Auto S.A. habrá considerado la primera alternativa.

Nadine: Mm, quizá deberíamos empezar por resumir todo lo que sabemos, es decir identificar qué datos del problema ya tenemos y cuáles debemos calcular aún .

Nadine anota la siguiente lista en un papel:

26

Sebastián: El ciclo T, si bien no lo conocemos, sí sabemos que es igual al mayor tiempo de ejecución en una de las estaciones.

Selina: ¿Qué significa esta notación? ¿Ese max con una j debajo?

Sebastián: Eso no es complicado. Significa que de todas las sj que existen, es decir para j = 1 hasta j = k, se elige la de mayor valor numérico.

Selina: Ah, entiendo. ¡Esto lo memorizaré! (→Ej.2.16).

Nadine: Soy de la opinión que debemos introducir una medida que determine la diferencia entre un beneficio completo, para que podamos determinar qué solución es buena.

Oliver: Ese es un punto que debemos discutir con los responsables de Auto S.A. Después de todo, de donde vamos a saber que tipo de solución les parece a ellos buena. Estoy de acuerdo en que el beneficio debería ser en lo posible alto y de preferencia un beneficio completa. Sin embargo, éste no es posible de alcanzará siempre. Quizá entonces sea mejor el que el tiempo de espera de todas las estaciones sea lo más corto posible, para así ahorrar costos. O acaso sea importante que los tiempos de espera estén distribuidos lo más uniformemente entre todas las estaciones, para que ningún trabajador se sienta tratado incorrectamente. Estos son únicamente dos puntos de vista: ¡estoy seguro que aún hay más!

Oliver ha mencionado aquí un punto muy importante: la definición del objetivo. ¿Qué es exactamente lo que Clever-Consulting y Auto S.A. quieren alcanzar? Términos como “en lo posible una buena distribución” no son lo suficientemente concretos. Selina se encarga de conseguir una cita en Auto S.A., para poder aclarar este punto. Por otro lado, ¡la oportunidad de ver de cerca la producción de un coche deportivo, es algo que por ningún motivo quiere dejar pasar!

Dados: Cantidad de etapas de producción: n Número de cada etapa de producción: i, i=1...n Tiempo de ejecución de cada etapa de producción i: bi Buscado: Cantidad de estaciones: k, con número de estación j Tiempo de proceso de la estación j: sj

Ciclo: T Asignación: Etapas de producción a estaciones

1, ,max jj k

T s=

=…

27

Ejercicios de repaso

Ej.2.15 ¿Cuántas posibilidades existen para asignar 3, 8, 13, 15 o 20 etapas de producción, con un orden dado, a estaciones de trabajo?

Ej.2.16 Indique el valor de 1, ,

max ii k

m= …

para los siguientes conjuntos M con elementos mi:

a) M = {1, 2, 3, 4} con k = 4 b) M = {4, 6, -3, -10, 3} con k = 5

c) M = {18, -20, 46, 43} con k = 4 d) M = {8, 3, -60, 4, 10} con k = 5

e) M = {14, 19, 243, 34} con k = 4 f ) M = {18,-200, 34, 9} con k = 4

2.5 Líneas de montaje a plena capacidad y su nivel de eficiencia

Una semana después se reúne el equipo de Clever-Consulting para la cita anunciada en las instalaciones de Auto S.A., donde hay bastante movimiento. En la puerta de descarga se forma una gran cola de camiones, algunas personas gesticulan desenfrenadamente y parecen agitados. Aparentemente los pilotos se han colocado mal y ocasionan un caos para la estresante entrega de productos Just-in-Time. ¿Acaso será este problema otro caso para los Clever-Consulting? Aún antes de que los cuatro colegas puedan hacerse la idea de esto, aparece el Sr. Wiedner con una sonrisa de lado a lado.

Sr. Wiedner: ¡Buenos días! Ustedes deben ser las personas de Clever-Consulting. ¡Qué bien el tenerlos por aquí! ¿Con quién de ustedes tuve el honor de hablar por teléfono?

Selina: Buenos días Sr. Wiedner. Mi nombre es Selina Malik. Muchas gracias por la invitación.

Sr. Wiedner: ¿Les gustaría hacer un recorrido por nuestras instalaciones de producción, antes de pasar a mi oficina?

Sebastián: ¡Con mucho gusto! Siempre es mejor cuando se ha visto sobre lo que se va a hablar.

Selina: Además, ¡así puedo ver de una vez, cuál es el modelo deportivo indicado para mí!

Nadine: ¿Cuántos coches producen de media al día?

Sr. Wiedner: Eso depende de los encargos de producción, pero unas 120 unidades sí deberían producirse cada día. Esa es nuestra meta diaria.

Mientras van por el recorrido, el Sr. Wiedner les explica el proceso de montaje. Es claro que el Sr. Wiedner está orgulloso que la producción va a pedir de boca. Explica además que cualquier atraso en alguna parte de la línea de producción, conlleva al atraso general. Este tipo de atrasos resultan ser muy costosos para Auto S.A., puesto que tanto las máquinas como el personal no pueden ser productivos. Es por lo que en todo momento se encuentran técnicos dispuestos a atender cualquier tipo de problemas. Cuando el grupo llega al final de la línea de la producción, se puede ver un coche deportivo azul, totalmente nuevo, dar sus primeros movimientos.

Selina: ¡Oh! ¡Precisamente uno como ese quisiera tener yo! Sr. Wiedner, creo saber como usted puede recompensar nuestro trabajo.

Sr. Wiedner: Bueno, sobre esto podemos hablar al finalizar ustedes el encargo. Por cierto: para este modelo deportivo sería necesario que ustedes nos optimizaran algunos otros procedimientos.

28

Oliver: Fue una excelente idea el ver la producción directamente. Muchas gracias por la visita, Sr. Wiedner.

Sr. Wiedner: Con gusto. Verdaderamente parece que ustedes se toman el asunto en serio. Espero con ansioso sus resultados. Si nos logran ayudar, podríamos arreglar con la gerencia un contrato de consultoría con ustedes. Estoy seguro que en nuestra compañía existirán una serie de tareas que requieren de su especialidad. En el último tiempo he hablado con nuestros técnicos respecto al objetivo deseado. Los colegas hacen uso del nivel de eficiencia como medida de la utilización. La eficiencia la calculan como la relación entre el sumatorio del tiempo de operación y el producto entre el ciclo y el número de estaciones.

Mientras tanto ha llegado el grupo a la oficina del Sr. Wiedner. Mientras éste habla, él anota la siguiente fórmula en un folio rotativo:

Sr. Wiedner: El nivel de eficiencia indica la utilización de la línea de montaje. Esta debe ser lo más alta posible. Lo mejor sería que lo analicen con toda tranquilidad. No deseo despedirme, pero resulta que dentro de poco tengo una cita muy importante.

Nadine: Si, nosotros no deseamos quitarle más de su tiempo. Le agradecemos mucho su apoyo.

Sr. Wiedner: Ah, y antes que se me olvide: nuestros técnicos me han hecho entrega de una lista con los tiempos de operación. Esta es para ustedes: sin datos no es posible para ustedes empezar a trabajar. Las unidades de medida son, por cierto, minutos.

b1 = 8 b2 = 5 b3 = 1 b4 = 3

b5 = 7 b6 = 4 b7 = 2 b8 = 9

b9 = 2 b10 = 5 b11 = 7

Impresionados por el enorme área de producción y llenos de motivación se dirigen los consultores inteligentes de vuelta a su oficina.

Oliver: ¿Habéis entendido esa fórmula? Yo al menos no.

Nadine: Lo mejor es que introduzcamos los valores que acabamos de recibir. Éstos se refieren a los tiempos de operación, los cuales van en el numerador.

1 2 1

8 5 1 3 7 4 2 9 2 5 7 53n n

b b b b−

+ + + + = + + + + + + + + + + =⋯ .

El sumatorio de los tiempos de producción totaliza por lo tanto 53 minutos. Entonces, el nivel de eficiencia vendrá dado por:

53

NET k

=⋅

.

1 2 1Nivel de Eficiencia: NE n nb b b b

T k

−+ + + +=

⋅

⋯.

29

Sin embargo, no conocemos ni el ciclo T ni la cantidad de estaciones k. Para simplificar el asunto, escojamos una distribución aleatoria de las estaciones. Así podremos calcular el nivel de eficiencia resultante.

Nadine se encuentra en el camino correcto. Un ejemplo, inventado, ayuda frecuentemente a entender las expresiones matemáticas.

Ejemplo: La distribución de las etapas de producción en tres estaciones viene dada por: [1, 2, 3, 4] – [5, 6, 7] – [8, 9, 10, 11]; k = 3. De allí es posible calcular:

- Tiempo de operación de las estaciones

1 1 2 3 4 2 5 6 7 3 8 9 10 11

17; 13; 23s b b b b s b b b s b b b b= + + + = = + + = = + + + = .

- Ciclo

{ } { }1 2 3max , , max 17,13,23 23T s s s= = = .

- Nivel de eficiencia

53 53 53

0,76823 3 69

NET k

= = = ≈⋅ ⋅

.

El nivel de eficiencia es de 0.768 (→Ej.2.17). Si uno observa los tiempos de operación de las estaciones, es fácil darse cuenta que no se trata de un buen valor. La estación 3 se encuentra muy cargada de trabajo, puesto que allí se trabaja 23 minutos. Es esta estación la que determina el ciclo. Por otro lado, la estación 2 trabaja únicamente 13 minutos y puede, por lo tanto, esperar diez minutos hasta el final del ciclo. La utilización de las estaciones se puede observar en el diagrama 2.9.

Diagrama 2.9 diagrama de la utilización de las estaciones

El diagrama muestra el desarrollo en el tiempo de una tarea de producción. Aquí es posible reconocer claramente que la estación 3 es utilizada en exceso. Una mejor solución se obtiene, si por ejemplo se traslada la tarea de producción 8 de la estación 3 a la estación 2.

0 5 10 15 20 25

Estación 1

Estación 2

Estación 3

Tiempo de operación [minutos]

30

- Distribución por estaciones: [1, 2, 3, 4] – [5, 6, 7, 8] – [ 9, 10, 11] - Tiempo de operación de las estaciones:

1 1 2 3 4 2 5 6 7 8 3 9 10 11

17; 22; 14s b b b b s b b b b s b b b= + + + = = + + + = = + + = .

- Ciclo

{ } { }1 2 3max , , max 17,22,14 22T s s s= = = .

- Nivel de eficiencia

53 53 53

0,80322 3 66

NET k

= = = ≈⋅ ⋅

.

Diagrama 2.10 diagrama después de realizar el ajuste de la tarea de producción 8

(→Ej.2.18) El ciclo fue reducido en un minuto, mientras que el nivel de eficiencia aumentó a 0.803. La utilización de las máquinas se ha mejorado, lo cual es naturalmente un logro. De cualquier manera, no se sabe aún, si se ha encontrado la mejor solución para el problema. Las posibilidades de encontrar nuevas soluciones no se limitan únicamente a mover etapas de producción, también determinar la cantidad de estaciones de trabajo. Es de recordar, que el número de estaciones fue escogido de manera aleatoria. Del Sr. Wiedner sabemos que el NE debe ser lo más grande posible. ¿Cómo de grande puede llegar a ser? El ciclo, o sea el tiempo de producción en una estación, multiplicado por el número de estaciones debe ser al menos tan grande como la suma de los tiempos de producción, es decir que debe valer la siguiente relación:

¿Por qué es así? Bueno, el tiempo de producción de las etapas de producción bi son distribuidas entre las estaciones y pasan a formar parte de los tiempos de producción de las estaciones sj. Por lo tanto se tiene que:

1 2 1 1 2 1n n k k

b b b b s s s s− −

+ + + + = + + + +… … .

Debe notarse lo siguiente: el lado izquierdo de la igualdad contiene n sumandos, mientras que el lado derecho únicamente k sumandos.

0 5 10 15 20 25

Estación 1

Estación 2

Estación 3

Tiempo de operación (minutos)

1 2 1n nT k b b b b

−⋅ ≥ + + + +⋯ .

31

Debido a que T es el tiempo máximo de producción en una estación, se tiene que:

1 2 11, ,

max j k kj k

T k s k s s s s−=

⋅ = ⋅ ≥ + + + +…

… .

De donde se puede concluir que:

1 2 1n n

T k b b b b−

⋅ ≥ + + + +… .

Aquí podemos distinguir dos casos: 1. Caso: En el primer caso, ambos lados de la desigualdad deben tener el mismo valor. Es así como se tiene la igualdad:

1 2 1n n

b b b b T k−

+ + + + = ⋅⋯ .

En este caso, tanto el numerador como el denominador serán iguales, es decir, que se tendría que NE = 1. 2. Caso: En el segundo caso, la desigualdad previa está en efecto y se tiene que:

1 2 1n n

b b b b T k−

+ + + + < ⋅⋯ .

Es así como el denominador en la fracción del nivel de eficiencia es siempre más grande que su numerador. Esto significa a la vez, que el NE debe ser siempre menor que uno, es decir: NE < 1. Tomando ambos casos, se tiene que:

El nivel de eficiencia puede alcanzar como máximo el valor de uno. Si, como en el primer caso, se alcanza el valor para el NE de uno, entonces las etapas de producción habrán sido distribuidas en partes iguales y no existirán tiempos de espera en las máquinas. Este sería el caso ideal y la mejor solución que se puede alcanzar y se diría que la línea de montaje está utilizada a un 100%. Es así como le nivel de eficiencia es una medida de el beneficio. Como el Sr. Wiedner de Auto S.A. ya había determinado, debemos intentar alcanzar un alto nivel de eficiencia. Ahora sabemos, que éste puede ser como máximo igual a uno. Una utilización de 100% puede ser alcanzada cuando se tiene únicamente una estación que ejecuta todas las etapas de producción. El ciclo se obtendría de el sumatorio de todos los tiempos de producción: T = b1 + b2 +... + bn-1 + bn. Observemos este caso para Auto S.A.:

1 2 1

1 2 1

53

1

531

53 1

n n

n n

T b b b b

k

b b b bNE

T k

−

−

= + + + =

=

+ + += = =

⋅ ⋅

⋯

⋯

.

Esta variante, sin embargo, no es interesante. Básicamente lo que significa es que no se estaría instalando una línea de montaje. Todas las etapas de producción serían ejecutadas en la misma estación de trabajo. Además, no sería posible trabajar con varios coches a la vez y la producción total de coches sería muy baja. El caso de k = 1 no es interesante para el problema práctico y para nuestro análisis, prohibiremos dicho caso.

1NE ≤ .

32

El equipo de Clever-Consulting también se ha dado cuenta de esta situación:

Selina: No lo sé, es bastante complicado. Allí hay tantos valores que no conocemos: el ciclo, la cantidad de estaciones y cual será su distribución. ¿Por dónde deberíamos empezar?

Oliver: Ahí tienes razón. Pero todas estas medidas están relacionadas. Por ejemplo, formar más estaciones, entonces por lo general, el ciclo disminuirá. ¿Quizá podamos aprovechar esto de alguna manera?

Nadine: Además, la cantidad de estaciones también pueden ser acotadas. Por ejemplo, ya sabemos que es ilógico formar una única estación de trabajo. Me podría imaginar que dos estaciones también son muy pocas, si se desea ensamblar una cantidad mínima de coches al día.

Oliver: Esa es una buena idea. Quizá podamos incluir la cantidad mínima de producción en nuestro proceso de solución. En eso no habíamos pensado.

Selina: Si. El Sr. Wiedner habló de 120 unidades como producción mínima. Llamémosle simplemente Pmin y digamos que: Pmin = 120. ¿Cuántas horas al día trabaja la línea de producción?

Sebastián: Hasta donde yo sé, pueden trabajar tres turnos, es decir 24 horas. Cuando la cantidad de encargos no es muy alta, recurren a únicamente dos turnos. Sin embargo, entonces tampoco es necesario producir 120 coches al día.

Nadine: Bueno. Al transcurrir un ciclo T, se habrá ensamblado un coche. Eso quiere decir que para que en un día sean producidos un total de 120 coches, se tendrá que tener un ciclo que a lo sumo sea de 24/120 horas o 1440/120 minutos. Al simplificar esta fracción, obtenemos como resultado 12 minutos.

Sin más, el equipo de Clever-Consulting ha podido encontrar una buena aproximación para el ciclo. El ciclo no puede ser mayor a esta estimación, puesto que de lo contrario, no alcanzarían las 24 horas del día para producir los 120 coches requeridos. Es por eso que este valor recibe el nombre de ciclo máximo Tmax. Un ciclo que sea mayor que Tmax, no será permitido. Antes de anotar la fórmula, denotaremos al espacio del tiempo de producción bajo Z. En nuestro caso, se tratan de 24 horas o 1440 minutos También sería posible considerar un mes entero o bien sólo una hora.

Los medios corchetes alrededor de las fracciones, significan que su contenido debe ser redondeado a un número entero. En la igualdad anterior los corchetes están completos hacia abajo, eso quiere decir que debemos redondear para abajo. Si los corchetes estuvieran completos por arriba, como en algunos de los siguientes ejemplos, entonces es necesario redondear al entero inmediatamente mayor.

3,2 4 3,2 3

5 5 5 5

= =

= =

max

min

144012 12

120

ZT

P

= = = =

33

Fracciones son entonces redondeadas hacia arriba o hacia abajo. Números enteros permanecen intactos. (→Ej.2.19-21). ¿Por qué es que el ciclo máximo es redondeado hacia abajo? El ciclo es el sumatorio de los tiempos de operación bi, los cuales en nuestro caso son números enteros. Una sumatorio de números enteros es nuevamente un número entero y es por lo que un ciclo entero tiene sentido. Ahora queda aclarar por qué se redondea por abajo. En estos momentos, estamos analizando el ciclo máximo o más largo posible, en el cual un ciclo más largo no será permitido. Si de Z / Pmin se obtiene un valor fraccionario, entonces únicamente se podrán elegir números enteros que sean menores que éste. Es así como Tmax se obtiene a partir de redondear hacia abajo. El ciclo máximo tiene naturalmente una influencia en la cantidad de estaciones de trabajo. Ninguna estación puede tener un tiempo de producción que sobrepase el ciclo máximo. Si con una única tarea de producción, el ciclo máximo es sobrepasado, por ejemplo b1 = 15, entonces no será posible alcanzar la cantidad mínima de producción. En ese caso, Auto S.A. se habrá propuesto una meta muy alta. La única forma de solventar este problema, sería la de fragmentar alguna tarea de producción en varias etapas de producción más pequeñas, de tal forma que el ciclo máximo no sea sobrepasado. Sin embargo, para ello, sería necesario ponerse de acuerdo con el departamento técnico de Auto S.A. Sebastián: Muy bien. Ahora tenemos una cota superior para el ciclo. Con este dato, deberíamos poder acotar también el número de estaciones, debido a que cuanto más corto sea el ciclo, más estaciones tendré que establecer. Al acotar al ciclo superiormente, forzosamente tendré una cantidad mínima de estaciones requeridas. Sabemos de momento que el ciclo multiplicado por el número de estaciones debe ser mayor que el sumatorio de los tiempos de producción:

1 2 1n n

T k b b b b−

⋅ ≥ + + + +⋯ .

Los bi vienen dados desde el principio. En este caso, las variables son tanto T como k. Si deseamos saber cuál es la influencia de T sobre k, debemos modificar la desigualdad, hasta obtener lo siguiente:

1 2 1n nb b b bk

T

−+ + + +≥

⋯.

Nadine: Ahora está claro ver que cuanto mayor sea T, menor será el lado derecho y con esto menor será el valor permitido para k. Este comportamiento es fácil reconocerlo, si hacemos un grafo de la desigualdad con los datos que tenemos de nuestro ejemplo (ver diagrama 2.11):

53

kT

≥ .

Por el momento olvidaremos la condición de que T debe ser un número entero. Todos los puntos (T | k), los cuales están sombreados en gris o que se encuentran sobre la curva, representan una combinación factible de los parámetros para k y T.

34

Diagrama 2.11 Área de soluciones factibles

Debido a que T está acotado superiormente por Tmax, es posible acotar el área de las soluciones factibles. Esta nueva cota determina que k no puede hacerse arbitrariamente pequeño. El valor más pequeño que k puede recibir depende por lo tanto de Tmax.

Diagrama 2.12 Cotas dadas por kmin y Tmax

Sebastián: Excelente, así nos ahorramos tener que analizar el caso para todos los valores de k que se encuentren debajo de la cota. Eso ya nos ahorra un poco de tiempo en vez de tener que “probar todas las posibilidades“. Deberíamos anotar una fórmula para la cantidad mínima de estaciones kmin.

10 20 30 40 50

Taktzeit T

25

50

75

100

125

150

175

200

Stationsanzahl k

2 4 6 8 10 12 14

Taktzeit T

10

20

30

40

50

Stationsanzahl k

kmin

Tmax

35

Veloz como un rayo, Sebastián ha anotado la siguiente fórmula:

1 2 1min

max

n nb b b b

kT

−+ + + +

=⋯

.

Selina: Aunque no me gusta contradecirte, pero la fórmula no está del todo correcta. Introduce nuestros valores en la ecuación.

Sebastián: Pues, kmin se obtiene de dividir 53 entre 12, lo que equivale a aproximadamente 4.42.

Selina: ¿Y cómo va a trabajar Auto S.A. con 4.42 estaciones? El trabajador de la última estación tendrá entonces siempre un pie en la pausa de almuerzo, ¿no?

Sebastián: Ya, está bien, tienes razón. ¿Cómo ajustamos la fórmula entonces? En lugar de tener que trabajar con al menos 4.42 estaciones, serán entonces 5 estaciones.

Oliver: A la hora de implementarlo, existe esa función con los corchetes. Aquella que redondea los valores a números enteros.

Con los corchetes que ya conocemos, Oliver corrige la fórmula y la muestra a los cuatro colegas:

(→Ej.2.22)

Nadine: Ya que estamos en esto, ¿no sería posible acotar el valor de k por una cantidad máxima de estaciones? Después de todo, k no puede llegar a ser más grande que la cantidad de etapas de producción n, pues de lo contrario tendríamos que partir alguna tarea, lo cual no nos está permitido.

max

k n=

Oliver: Exacto y ese mismo motivo es por el que el ciclo no puede ser menor que el tiempo más largo de operación de una tarea de producción.

1, ,

max ii n

T b=

≥…

Sebastián: Es correcto. Pero existe un límite adicional para el ciclo mínimo. Debido a que hemos acotado superiormente el número de estaciones, el ciclo no puede asumir valores arbitrariamente pequeños, puesto que en caso contrario, no podríamos satisfacer los tiempos de operación.

1 2 1

max

n nb b b b

Tk

− + + + +

≥

⋯

Oliver: Si, allí tienes razón. Pero si ambas cotas están correctas, entonces ¿qué hacemos ahora?

Selina: Coged simplemente la cota que sea más restrictiva. El ciclo no debe sobrepasar ninguno de los dos límites. Eso quiere decir que la cota con el valor más grande es la mejor.

1 2 1min

max

n nb b b b

kT

− + + + +

=

⋯.

36

(→Ej.2.23)

Selina: Para nuestro ejemplo, esto significa entonces que:

{ }

max

min

max

min

1440 /120 12

535

12

11

53max 9; max 9;5 9

11

T

k

k

T

= =

= =

=

= = =

.

Oliver: ¿Y cómo proseguimos ahora?

Sebastián: Yo propongo que seamos optimistas y supongamos que si nos será posible alcanzar un NE igual a uno.

1 2 1 1 2 1 531 n n n nb b b b b b b b

NE kT k T T

− −+ + + + + + + += = ⇒ = =

⋅

⋯ ⋯

Nadine: Hm, ¿y qué ventaja tenemos con eso?

Sebastián: Pues: para cualquier T dentro de nuestros límites nos sería posible encontrar un valor de k con ayuda de esta ecuación, el cual redunde en un valor del nivel de eficiencia que sea igual a uno.

Nadine: ¿Qué? ¿Así de simple es el asunto?

Sebastián: Bueno, tan sencillo no lo es. Adicionalmente tenemos que asegurarnos que k sea un número entero. De lo contrario, no podemos aplicar nuestro resultado. (→Ej.2.24).

Oliver: Lo mejor es si diagramamos la curva: estoy seguro que allí veremos mejor sobre lo que estamos discutiendo.

La gráfica que Oliver ejecuta la podemos ver en el diagrama 2.13.

1 2 1

min1, ,

max

max max , n n

ii n

b b b bT b

k

−

=

+ + + + =

…

⋯

37

Diagrama 2.13

La curva en el diagrama 2.13 muestra la interrelación entre T y k. Cada punto (T | k) sobre esta curva representa una combinación de ambas medidas que da un nivel de eficiencia lo más grande posible. El punto azul nos indica una situación en la que el ciclo fue escogido tan corto, que el número de estaciones requeridas es muy alto. Si por lo contrario se elige trabajar con pocas estaciones, entonces se observa que el ciclo a considerar deberá ser muy alto. Esto lo que el punto verde representa. Ambos puntos se localizan afuera de las cotas calculadas previamente. Eso quiere decir que bajo las condiciones actuales, no será posible ejecutarlas. (→Ej.2.25-26).

Discusión 2.2:

La curva en el diagrama 2.13 muestra la relación entre k y T para un nivel de eficiencia NE = 1. Si deseamos establecer esta relación para un valor aleatorio de NE, ya no nos vale con la representación bidimensional. ¿Cuál sería la forma que adopta la curva que relaciona k, T y NE?

Ejercicios de repaso

Ej.2.17 Los siguientes tiempos de producción son de un surtidor de Auto S.A.

b1 = 3 b2 = 7 b3 = 5 b4 = 13

b5 = 1 b6 = 9 b7 = 3 b8 = 2

Calcule el nivel de eficiencia para la siguiente distribución de las estaciones:

a) [1, 2, 3] – [4, 5, 6] – [7, 8] b) [1, 2] – [3, 4] – [5, 6] – [7, 8] c) [1, 2, 3, 4] – [5, 6, 7, 8]

d) [1, 2] – [3, 4, 5] – [6, 7, 8] e) [1, 2, 3] – [4, 5] – [6, 7, 8] f) [1, 2, 3] – [4] – [5, 6] – [7, 8]

¿Qué distribución de las estaciones tiene el mejor nivel de eficiencia?

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 Ciclo T

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

k Número de estaciones

kmax

kmin

Tmin Tmax

38

Ej.2.18 Dibuje para Ej.2.16 los diagramas y describa los diferentes perfiles de utilización: ¿están las estaciones utilizadas uniformemente? ¿Qué estaciones muestran mayor utilización y cuáles menor? ¿Es posible mejorar la distribución?

Ej.2.19 Resuelva las siguientes expresiones:

) 3,9

3, 2

2,9

3

123,99

a =

=

=

=

=

) 19, 2

19, 0001

20

20, 0001

43,6

b =

=

=

=

=

) 4,9

4,9

326

326

0, 01

c =

=

=

=

− =

Ej.2.20 ¿Cuáles de las siguientes expresiones son ciertas y cuales son falsas?

4 3,99 ; 4 4,99 ; 5,01 4,09 ; 14 14 ; 34,09 35 ;

18,34 19 ; 37,23 37 ; 4 5,999 ; 34,23 34,97 ; 18,01 19,901 ;

4 5,99 ; 43,22 44

≠ = = ≠ ≠

= ≠ = ≠ =

≠ = ; 432,1 432 ; 94,23 95 ; 18,103 19,401≠ = ≠

Ej.2.21 Determine el ciclo máximo Tmax para los siguientes espacios de producción Z y producción mínima Pmin:

a) Z = 100, Pmin = 10 b) Z = 98, Pmin = 9, c) Z = 346, Pmin = 45 d) Z = 46, Pmin = 4,

e) Z = 888, Pmin = 98, f) Z = 435, Pmin = 43, g) Z = 431, Pmin = 152 h) Z = 339, Pmin = 30

Ej.2.22 Calcule el valor mínimo de estaciones kmin para los valores constantes de b1 = 4, b2 = 9, b3 = 2, b4 = 13, b5 = 5, b6 = 9, b7 = 6 y para:

a) Tmax = 10, b) Tmax = 12, c) Tmax = 4, d) Tmax = 6 e) Tmax = 2, f) Tmax = 9

Ej.2.23 Calcule el ciclo mínimo Tmin para los datos del Ej.2.16 y Ej.2.21.

Ej.2.24 Sea b1 + b2 +… + bn-1 + bn = 40. Determine independientemente de Tmin, Tmax, kmin y kmax todos los valores posibles para T, de tal forma que NE = 1 y los valores de k sean enteros.

Ej.2.25 Dibuje un diagrama parecido al del diagrama 2.13, con el ciclo en el eje horizontal y el número de estaciones k en el eje vertical. Introduzca allí los valores máximos y mínimos para el ciclo, así como el número máximo y mínimo de estaciones para los siguientes valores: Z = 210, Pmin = 19, b1 = 5, b2 = 3, b3 = 2, b4 = 9, b5 = 8, b6 = 7, b7 = 1, b8 = 5, b9 = 6 y b10 = 4.

39

Ej.2.26 Dibuje en el diagrama realizado en Ej.2.25 todos los puntos enteros que se localizan dentro del rectángulo formado por Tmin, Tmax, kmin y kmax. Dibuje además los siguientes puntos: (7 │ 6), (12 │ 6), (10 │ 4), (10 │ 11).

Justifique en sus propias palabras, es decir, sin hacer uso de las fórmulas, por qué los últimos cuatro puntos no son factibles.

Excursión: Funciones inversamente proporcionales – hipérbolas

La curva previamente discutida corresponde a la clase de funciones que son expresadas por lo general como:

( ) constantek

y f x kx

= = …

Este tipo de curvas son conocidas como hipérbolas (→Ej.2.27). También se caracteriza en este caso, que y es inversamente proporcional a x. Si se analizan hipérbolas con valores de k > 0, entonces existe la siguiente relación entre x y y: al crecer x, disminuye y; al disminuir x, crece y. La forma en la que un cambio en x afecta a y depende únicamente de k.

Diagrama 2.14.a k es un valor positivo Diagrama 2.14.b k es un valor negativo

Las hipérbolas tienen las siguientes propiedades:

- El valor y para x = 0 no está definido. Si la función se aproxima al eje y por la izquierda y k es un valor positivo, entonces la función crece hacia menos infinito (–∞). Por el contrario, si la función se acerca por la derecha, entonces la función crece hacia más infinito (+∞). Se suele decir que la función tiene en el punto x = 0 una discontinuidad de salto.

- La función no tiene ninguna raíz, es decir no existe ningún valor para el cual se cumpla que y = 0. Si bien la función se aproxima al eje x cuando x tiende a + ∞ ó –∞, sin embargo, nunca lo toca.

- La función es impar, es decir que la siguiente relación se cumple:

( ) ( )f x f x− = − .

Se observa que esta relación se cumple, puesto que

x

y ( )

con 0

kf x y

x

k

= =

>

x

y ( )

con 0

kf x y

x

k

= =

<

40

( ) ( )k k

f x f xx x

− = = − = −−

.

Funciones impares son fácilmente reconocibles, puesto que son simétricas respecto del origen (0 | 0).

- La función es simétrica respecto de la recta y = x. Esto quiere decir que:

( ) ( )f x y f y x= ⇔ =

o

( )( )f f x x=

(→Ej.2.28).

Ejercicios de repaso

Ej.2.27 ¿Cuáles de las siguientes funciones son hipérbolas y cuáles no? Justifique su respuesta.

2

1) ( )

1) ( )

3) ( )

4) ( )

a f x yx

b f x yx

c f x yx

d f x yx

= =

= =

= =

= = −

2

1

) ( )

2) ( )

29) ( )

) ( )

xe f x y

x

xf f x y

x

g f x yx

h f x y x−

= =

= =

−= =

= =

) ( )

) ( )

2 3) ( )

4) ( ) 4

x

ei f x y

x

j f x y e

xk f x y

x

l f x yx

−

= =

= =

+= =

= = −

Ej.2.28 Muestre que f (f(x)) = x se cumple para hipérbolas. Utilice para ello la fórmula general dada para una hipérbola.

2.6 A la caza de soluciones con números enteros

Mientras Oliver ha trabajado muy concentrado en la gráfica y ha marcado todos los pares de puntos enteros (ver diagrama 2.15).

41

Diagrama 2.15

Oliver: ¿Qué os parece? ¿No ha quedado bonito? Ya habíamos determinado previamente que k y T debían ser números enteros, y es por eso los he marcado en nuestra gráfica. Los puntos representan aquellas combinaciones de k y T, en las cuales ambos valores son cifras enteras. Si la función que hemos dibujado cortase a alguno de estos puntos, entonces tendríamos nuestra solución la cual nos daría un nivel de eficiencia igual a uno.

Nadine: ¿Qué es lo que hacemos, si ninguna de las soluciones se encuentra sobre la curva? Eso es lo que sucede en nuestro caso. Creo que debemos hacernos la idea que alcanzar NE = 1 no nos será posible. Tengo una idea: si disminuimos el nivel de eficiencia levemente y observamos que es lo que pasa con la función, podríamos sacar ciertas conclusiones. Probemos simplemente con NE = 0.9.

1 2 1

1 2 1

0,9

53 58,80,9

0,9

n n

n n

b b b bNE

T k

b b b bk k

T T T

−

−

+ + + += =

⋅

+ + + +⇒ ⋅ = ⇒ = =

⋅

⋯

⋯

Nadine: ¿Lo veis? La constante en nuestra función ha crecido debido a que hemos reducido nuestro NE. ¿Qué es lo que pasa con nuestra función cuando la constante aumenta? Oliver, tú que has estado dibujando todo el tiempo, haznos el favor de hacer una gráfica de la nueva función.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 Ciclo T

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

k Número de estaciones

Tmax

kmax

kmin

Tmin

42

Diagrama 2.16

Selina: La nueva función se ha corrido hacia arriba y a la derecha y se ha vuelto más plana. Probemos nuevamente con otro valor, por ejemplo NE = 0.5. Quizá entonces nos sea más fácil ver el corrimiento.

53 53 106

0,5 0,50,5

NE k kT T T

= ⇒ ⋅ = ⇒ = =⋅

Diagrama 2.17

Sebastián: La función cambia entonces con cada nuevo valor que le demos al nivel de eficiencia. Esto lo deberíamos anotar en forma general:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 Ciclo T

1 2

3 4 5

6 7 8

9 10

11 12

k Número de estaciones

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 Ciclo T

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12 k Número de estaciones

NE = 1

NE = 0,9

NE = 1

NE = 0,9

NE = 0,5

43

Sebastián: Los tiempos de producción bi son tal y como ha sido siempre constantes, es decir, son elegidos al principio y no cambian a lo largo de nuestros cálculos. El NE es en esta función un parámetro. Esto significa que puede ser escogido arbitrariamente, pero se mantiene constante durante los cálculos. Al conjunto de todas las funciones que se originan por diferentes eficiencias de volumen dadas, se le conoce como un conjunto de funciones. (→Ej.2.29).

Oliver: Ahora sí que nos estás disparando con terminología.

Sebastián: Éstas son las denominaciones correctas. Me parece adecuado que cuando nos reunamos con nuestros clientes, hagamos uso de los términos correctos.

Nadine: Ahí tienes razón. Prosigamos: buscamos ahora una función de este conjunto de funciones o funciones genéricas, sobre la cual encontremos una solución a nuestro problema y que a la vez tenga un alto nivel de eficiencia. ¿Cómo hacemos para encontrarla?

Selina: Yo lo que haría sería borrar de la gráfica todos aquellos puntos que de cualquier forma no nos interesan. Por ejemplo aquellos puntos que están localizados fuera de las cotas kmin, kmax, Tmin y Tmax.

Oliver: ¡Buena idea! Dibujemos únicamente las soluciones factibles en nuestro gráfico. Estos son aquellos puntos que se encuentran dentro de las cotas. Y como el NE no puede ser nunca más grande que uno, podemos eliminar también todos los puntos que se encuentran debajo de esta curva.

Diagrama 2.18 Soluciones factibles

Oliver: Cuanto más se acerque un punto a la curva, mejor. En la gráfica podemos ver que un punto se acerca bastante a nuestra curva: (9 | 6). El nivel de eficiencia para (9 | 6) es de 53/(9⋅6) = 53/54 ≈ 0.981.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 Ciclo T

1

2 3

4 5 6

7 8

9 10

11 12

k Número de estaciones

NE = 1

1 2 1n nb b b bk

NE T

−+ + + +=

⋅

⋯.

44

Selina: ¡Excelente! Ahí hemos encontrado ya nuestra solución, ¿no es así? Seis estaciones con un ciclo de nueve minutos y un nivel de eficiencia de 0.981. Una eficiencia que además de todo es muy buena, ¿no es así?

Sebastián: Sí, soy de la misma opinión. Actualmente en Auto S.A. trabajan con un nivel de eficiencia entre 0.75 y 0.85, de acuerdo a lo que nos relató el Sr. Wiedner.

Selina: Bien, entonces hagamos el plan de producción. Asignemos las tareas de la producción a las estaciones, en donde debemos asegurarnos que ninguna estación trabaje más de nueve minutos.

Diagrama 2.19 Diagrama: con un ciclo de nueve minutos, se requieren siete estaciones

Selina: Oh no, ¡no funciona con seis estaciones! Si no deseamos sobrepasar los nueve minutos, debemos trabajar con siete estaciones. Habíamos encontrado la mejor combinación de ciclo y número de estaciones y ahora no la podemos ejecutar.

Sebastián: ¡En eso no había pensado! Es lógico, no habíamos considerado la duración de las etapas de producción.

Oliver: Es una lástima, pero aún así tenemos otros puntos que se encuentran muy cerca de la curva para NE = 1. Estos puntos tienen un nivel de eficiencia que es apenas un poco más bajo. ¿Quizá sí sea posible ejecutar alguna de estas combinaciones? (→Ej.2.30)

Nadine: Hm, si tenemos que probar bastantes posibilidades, estoy a favor que automaticemos todo el asunto. Lo mejor sería que hagamos un programa de ordenador que nos indique todas las soluciones factibles para un determinado nivel de eficiencia y que luego nos ordene los puntos en forma descendiente respecto al NE. De acuerdo a este listado podríamos probar si la combinación de ciclo y cantidad de estaciones es factible de ejecutar.

Oliver: Ahora intentaré crear un algoritmo que nos devuelva todas las soluciones factibles.

Con estas palabras desaparece Oliver detrás de su ordenador y tan sólo un cuarto de hora después aparece con el algoritmo terminado.

0 2 4 6 8 10

Estación 1

Estación 2

Estación 3

Estación 4

Estación 5

Estación 6

Estación 7

Tiempo de producción [minutos]

45

Algoritmo 2.1 Determinación de las soluciones factibles Imput: Tiempos de producción bi, cantidad mínima de producción

Pmin, ventana de tiempo Z

Output: Soluciones factibles ListaZP

Tmax:= min

Z

P

If Tmax = 0 then Output: “el tiempo máximo de producción por cada paso

equivale a 0, es decir que el problema no se puede solucionar”

Stop

kmin := 1 2 1

max

n nb b b b

T

− + + + +

⋯

kmax := n

Tmin := 1 2 1

1, ,max

max max , n ni

i n

b b b bb

k

−

=

+ + + +

…

⋯

i := Tmin

j := kmin

ListeZP := conjunto vacío While j ≤ kmax do

While i ≤ Tmax do

If 1 2 1 1n nb b b b

i j

−+ + + +

≤⋅

⋯

Then agregar a ListaZP el siguiente elemento:

1 2 1, , n nb b b bi j

i j

− + + + +

⋅

⋯

i := i + 1 End While i j := j + 1 i := Tmin

End While j If ListaZP = ∅

Entonces Salida: “No existen puntos factibles“ Caso Contrario Salida: ListaZP

46

Oliver: He terminado. El algoritmo me da una lista con todas las soluciones factibles. Para cada solución obtenemos el ciclo, el número de estaciones y el nivel de eficiencia.

Nadine: ¿Puedes explicar rápidamente cómo funciona el algoritmo?

Oliver: Con mucho gusto, no es muy complicado. Para empezar, el algoritmo determina todas las cotas que nosotros ya hemos calculado, es decir Tmax, Tmin, etc. En el bucle de “While” externa, el algoritmo considera todos los posibles valores para el número de estaciones, mientras que en el bucle de “While” interna se determina para cada número de estaciones, el ciclo permitido. Para cada pareja de número de estaciones y ciclos, el algoritmo determina el nivel de eficiencia. Si éste es menor o igual a uno, entonces esta pareja es archivada como una solución factible.

Selina: ¿Debemos probar ahora las soluciones factibles en orden?

Sebastián: No, para ello también debemos idear un algoritmo. De lo contrario, ¿cómo le vamos a hacer para venderle nuestro resultado a Auto S.A.? Dudo mucho que ellos quieran hacer los cálculos a mano.

Oliver: Ahora procederé a trabajar en ello.

Después de unos instantes, vuelve Oliver con un algoritmo que prueba cada uno de los puntos.

47

(→Ej.2.31)

Oliver: ¡Listo! Este algoritmo ya es un poco más complicado: ¿queréis que os lo explique?

Sebastián: ¡Claro, con mucho gusto!

Oliver: Este algoritmo utiliza tres bucles “While”. La de fuera trabaja sobre las entradas de ListaZP, es decir, sobre las soluciones factibles. Cada solución factible es analizada y es archivada en la variable Punto. Punto es un vector y consta de tres elementos: ciclo, número de estaciones y nivel de eficiencia. El bucle intermedio revisa las estaciones de la solución, mientras que en el bucle interno se llena cada estación con las tareas de la producción, siempre y cuando el ciclo lo permita. La variable Contador muestra la tarea de producción que está siendo planificada en ese momento. Debido a que las soluciones factibles fueron ordenadas al principio, es posible terminar el programa al no encontrar una solución en la que sea posible planificar todas las tareas de la producción.

Algoritmo 2.2 Prueba de las soluciones factibles Imput: Tiempos de producción bi, Soluciones factibles ListaZP Output: Solución factible con el mejor nivel de eficiencia

1 2 1n nb b b b

NEi j

−+ + +

=⋅

⋯

Ordenar ListaZP en orden descendente de acuerdo al NE (el tercer elemento de la lista de entrada) i := 0 While i < Cardinalidad (ListaZP) do

i := i + 1 Punto:= ListeZP[i] Contador:= 1 j := 0 While j < Punto [2] do

j:= j + 1 suma:= 0 ok:= 1 While ok = 1 y Contador ≤ n do

If suma+bContador ≤ Punto [1] Then suma:= suma + bContador

Contador:= Contador + 1 Elseok:= 0

End - While ok If Contador = n + 1

Then stop. Output: “Punto es la mejor solución factible“

End – While j End – While i

48

Nadine: Inteligente. Sin embargo, ¿qué sucede si tuviésemos dos soluciones con el mismo nivel de eficiencia? En este caso, sólo encontrarías una, ¿verdad?

Oliver: Eso es cierto. Lo mejor es consultar esto con Auto S.A. para ver si ellos desean conocer todas las soluciones que redundan en un mismo grado de eficiencia. Ajustar luego el programa no será tarea difícil.

Selina: ¡Qué bien! Así que literalmente sólo debemos dejar trabajar al ordenador y ya tendremos nuestra solución.

Sebastián: ¿Qué resultado obtenemos para los valores que recibimos de Auto S.A.?

Oliver: Eso ya lo he calculado. La primera solución de nuestra lista que es posible ejecutar es (9 | 7), es decir trabajar con un ciclo de nueve minutos y localizando siete estaciones.

Selina: Yo dibujo el diagrama respectivo:

Diagrama 2.20 Diagrama para siete estaciones de trabajo y un ciclo de nueve minutos

Selina: Un momento, el diagrama se parece mucho al anterior. Nuevamente tenemos un ciclo de nueve minutos. Anteriormente habíamos requerido seis estaciones. Eso no funcionó, pero con siete estaciones sí.

Sebastián: Eso ha sido casualidad. Es casualidad que la primera solución que hayamos encontrado sea precisamente la mejor.

Nadine: El nivel de eficiencia es de 84.13%. El tiempo total de producción de un coche deportivo es por lo tanto de 9 · 7 = 63 minutos y es posible construir siete coches al mismo tiempo.

Sebastián: Así que este es el valor del nivel de eficiencia más grande que puede ser alcanzado y con ello hemos encontrado una solución óptima. Un nivel de eficiencia mayor sería posible alcanzar únicamente alterando los requerimientos técnicos en cuanto a la distribución de las etapas de producción o acelerando las tareas existentes.

Selina: ¿Acaso es esto un posible nuevo encargo? Podríamos analizar en que partes del proceso es posible mejorar los requerimientos técnicos.

Oliver: Veamos primero si causamos una buena impresión con nuestro resultado. Lo ideal sería que nos permitieran trabajar también sobre las demás líneas de montaje.

Nadine: Y la pregunta sobre si se justifica un cambio, lo podríamos resolver matemáticamente de una vez. Sólo necesitaríamos los costos que se incurrirían al cambiar una etapa del proceso, el tiempo restante de ejecución, el aumento de la eficiencia. …

0 2 4 6 8 10

Estación 1

Estación 2

Estación 3

Estación 4

Estación 5

Estación 6

Estación 7

Tiempo de producción [minutos]

49

Selina: A mí el que me sigue gustando más es el azul, ¿qué opináis vosotros?

Nadine: ¿Cómo?

Selina: ¡Azul! ¡Para el coche deportivo!

Nadine: ....

Selina: Pues, si nos hacemos cargo de tantos encargos de Auto S.A., ¡entonces nos habremos merecido un coche nuevo! ¿No les parece que sería excelente? Un coche para nuestra empresa nos vendría muy bien.

Oliver: Y para los fines de semana, simplemente nos lo repartimos.

Sebastián: O.K., entonces ¡a trabajar! ¿Quién escribirá el artículo final?

Oliver: Sebastián, es muy amable de tu parte que quieras hacerlo. ¡Me parece fenomenal!

Nadine: Y mientras lo haces, agrega que tenemos bastantes otras ideas referente a posibles mejoras. Auto S.A. sería un muy buen cliente para nosotros.

Selina: Adiós Sebastián, ¡y no trabajes hasta muy tarde!

Sebastián: Pero, eso no era lo que quería dar a entender...

Selina: Precisamente, nosotros tampoco. Naturalmente lo vamos a escribir juntos, pero primero vayamos a celebrar un poco nuestro éxito.

Discusión 2.3:

- Todos los análisis llevados a cabo hasta el momento se referían a la maximización del nivel de eficiencia. En base a costos, es posible que la firma esté interesada también en la minimización de la cantidad de estaciones. ¿Cómo sería posible realizar esto? ¿Qué otras metas son posibles?

- Algunas etapas de producción requieren de un tiempo de espera después de su ejecución. Por ejemplo, después de aplicar la laca, es necesario que exista una fase de secado. Durante este tiempo de espera, no se está ocupando ninguna estación. ¿Cómo es posible incorporar este tipo de eventos al modelo?

- Una nueva técnica para líneas de montaje sería la de trabajar con estaciones en paralelo. Esto quiere decir que para una estación de trabajo, se le puede proveer de una estación de trabajo igual y colocarla a su lado. Ambas estaciones pueden trabajar independientemente de la otra. ¿Qué efecto tiene esto sobre la planificación?

- (Conocimientos de estocástica necesarios) En nuestro análisis los tiempos de producción venían dados, es decir, son valores determinísticos. En la práctica, estos valores pueden variar debido a interrupciones o por velocidades diferentes de trabajo por parte de cada trabajador. Estas variaciones son modeladas a través de la varianza y el valor esperado de una variable aleatoria que le podemos llamar “tiempo de producción”. ¿Cómo se haría la planificación en este caso?

Ejercicios de repaso

Ej.2.29 Dibuje el conjunto de funciones k(T) para las valores de Ej.2.17 y NE ∈ {1; 0.8; 0.5}. Para ello, elija sobre el eje x una longitud máxima de 1, mientras que para el eje y una longitud de 600.

Ej.2.30 ¿Cuál de las siguientes combinaciones son factibles, si se consideran los valores dados en Ej.2.17?

a) (13 │ 4) b) (14 │ 4) c) (15 │ 3) d) (16 │ 3) e) (26 │ 2) f) (27 │ 2) g) (28 │ 2)

50

Ü.2.31 Aplique los algoritmos 2.1 y 2.2 para poder encontrar la mejor solución al problema de la línea de montaje, si los datos vienen dados por:

b1 = 5, b2 = 6, b3 = 3, b4 = 7, b5 = 1, b6 = 5, b7 = 2, b8 = 3, Pmin = 19, Z = 170