.Anàlisis dimensional aplicado a la mecánicade los fluidos

por

Antonio Herranz García y Albino Arenas Gómez

PRESENTADO POR EI, ACADÉMICO NUMERARIO D. JULIO PALACIOS

A B S T K A C T

Several problems of Mechanics of fluids, aro solved by using- Professor Palacios'Theory of Dimensional Analysis. By so doing, we arrive in all the cases considered,at a better solution than that obtained with the aid of the conventional Dimensional-Analysis.

R E S U M E N

ï>e resuelven varios problemas de mecánica de finidos aplicando la teoría de Aná-«is dimensional del profesor Palacios, llegando, en todos los casos expuestos, a

«na mejor solución que la dada por el Análisis dimensional usual.

INTRODUCCIÓN

Ue las consecuencias que D. Julio Palacio? obtiene de su teoriae Análisis Dimensional (1), haremos uso de las dos siguientes :

Anunciado preciso del teorema de pi, al determinar exactamenteLimero de. monomios ni independientes que aparecen en cada pro-

olerna.

odo de ta discriminación de las dimensiones del espacio,nahzemos brevemente ambas cuestiones.

enunciado del teorema de pi en su forma primitiva, tal como0 d'o Buckingham, es el siguiente :

- 38* -

l.° «La foravi más general de cualquier ecuación fisica com-pleta: / (.f1; ..., -i',,) = O es F (-,, ..., -,) = O, donde los r.¡ son losmonomios independientes de dimensión nula que pueden formarsecon las n magnitudes consideradas.

2.° El número de estos monomios independientes es / = ' / — g , .donde q es el número de unidades fundamentales necesarias para me-dir las n magnitudes.»

La vaguedad de este enunciado es evidente, puesto que no hayacuerdo entre los diversos autores sobre el número de unidades fun-damentales q, quedando la cuestión al buen criterio de cada uno

El nuevo enunciado del teorema de p;, que da el profesor Pala-cios, es :

1.° «La forma más general de todit ecuación / (-i",, ...,-i",,) = 0que sea consecuencia de una teoría cuyas leyes fundamentales seanrelaciones de proporcionalidad entre potencias con exponentes fi jos,es F (-,, ..., T.,~) — O, donde los -, son los monomios independien-tes de dimensión nula o monomios pi que pueden formarse con lasmagnitudes consideradas.

2." El número de estos monomios independientes es i = n — ">donde h es la característica de la matriz formada con los exponen-tes dimensionales con relación a una base completa cualquiera.»

La teoría del profesor Palacios se basa en dos postulados funda-mentales, de donde se deducen sin ambigüedad los criterios para es-tablecer en cada caso un sistema de unidades coherentes y una ^ase

completa.Con esto ha quedado determinado perfectamente el número 2 de

monomios independientes aclimensionales que pueden formarse con lasmagnitudes consideradas.

La segunda consecuencia es e! «Método de In discriminación delas dimensiones del espacio». Consiste este método en reemplazarla base (L M T) por otra que se obtiene considerando por separa-do tres componentes Lx Ly L.¡ de la longitud, que junto con la masaM y el tiempo T dan una base de cinco magnitudes (I,c L- L.M '/•

Se deduce en la mencionada teoría el principio de homogene dapara las fórmulas físicas, siendo los s:mbolos que figuran en Ms

ecuaciones de dimensiones (L, M, ..., etc.) la relación entre las lir"'dades de la correspondiente magnitud en dos sistemas coherentescualesquiera.

La discriminación de las dimensiones según las tres dirección?-espaciales, significa poder emplear distintas unidades de longitud «n

- 3*3 -

cada eje. Si se eligen las unidades fundamentales distintas en cadadirección, esto afectará a las unidades derivadas.

Si por ejemplo, se toma el sistema cm. g. s. en vertical, y m. g. s.en horizontal, el peso se medirá en dinas y el rozamiento en un pla-no horizontal en ki'.odinas (1.000 dinas), y las-fórmulas dimensiona-les serán:

lP] = LtMT-* [F,l •= Lr M T-*.

En ocasiones no tiene interés distinguir las tres dimensiones, yse toman dos Liy, L. o sólo una L.

Las tres direcciones elegidas como ejes no es preciso que sean-ortogonales.

En los problemas expuestos a continuación hemos supuesto queestamos tratando con fluidos incompresibles.

Las magnitudes que intervienen son :

Densidad (p), peso específico (p g), fuerza (P), presión (/>), ve-locidad (t;), aceleración de la gravedad (g), coeficiente de viscosidad:(fO, cuyas fórmulas dimensionales respecto de la base (L M T),son :

íí'] = L-3 M ; [p £] = L-3 M -y-2 ; r/j = L Aí r-2 . rj] = ¿-ï .1/ 7--2 .

[v¡=LT-¡; F£] = £.T-«: [,,] = L-iAÍ T-'.

^IRCULACIÓM r>E t;.v Ft.u[no EX REGTMEV LAMI.VAR TOR UNA TUBERÍA

Sea un tubo rectilíneo de longitud I y radio r, entre cuyos extre-m°s se mantiene una diferencia de presión constante A />, q»e hacecircular el fluido. Supuesto el régimen laminar, calculemos la velo-

ad media v, una vez establecido el régimen permanente.

Las variables que intervienen en el fenómeno son: por parte delndro, el radio •• y la longitud /; por parte del fluido, la velocidad_ "e' fluido ;• (incógnita), y el coeficiente de viscosidad [i. Noa preciso considerar la densidad, puesto que el movimiento esljne° y permanente, y al no haber aceleraciones, la inercia no-rviene. Tampoco se incluye el peso específico, puesto que las

rz'is exteriores son tan sólo las debidas a la diferencia de presión.-

- 384 -

Variables : v, A p, I, r }' &> cuyas fórmulas dimensionales res-pecto de la base (L M T) son conocidas.

E! «análisis dimensiona! clásico» conduce n.

''"V / M„— f-, s — l* ' \ r l

[l]

Veamos a qué solución se llega al discriminar las dimensiones del•espacio.

'tísmxyTig. 1.—Modo de discriminar las dimensiones en el caso de un fluido circulando

por un tubo cilindrico.

Tomamos el eje del tubo como eje z. El fenómeno es simétricoen torno a este eje s, luego no nos interesa distinguir entre las otrasdos dimensiones del espacio x e v.

Las fórmulas dimensionales respecto de la nueva base (L,? L, M Tiserán, por tanto :

M = ,,r-,, [ipl,-s^-=-^

= L-} L, M T-* ; [r] = L,, ; [l] = L,.

Para calcular la fórmula dimensional de [i recurrimos a la eclia

rft>ción F — [i 5 -j— . En un fluido en movimiento, cada porción eje

ce sobre las contiguas una fuerza tangencial proporcional al ar

- 3Sj -

de ia superficie de separación y a la proyección del gradiente de lavelocidad sobre la normal a dicha superficie :

[F] = M L, T-* ; i-V] = JLXÏ L, ; M = ¿, r-i ; [n] = L,y.

Fig. 2.—Como se discriminan Ins dimensiones de la viscosidad.

De donde

[,.] = ¿..-'.i/r-'.

Respecto a esU nueva basc, — va no es de dimensión nula:

v Ù.P

-2.a/ + .r = 0

S + si/> +e( ~ e(t = °

*4/ + '» = °

O O —1"i¿ *ll = o

'-a característica es /i = 4, luego se tienen i = 5 — 4 = 1 mono-10 P', apareciendo en dicho monomio las variables con los expo-

nentes e solución del sistema.Resulta :

IX V I

7*17

REV' ÜE LA REAL ACADKMU DE CIENCIAS—1903.

— 386 —

y despejando la incógnita :

,-c-^ÍL B

La función arbitraria de un monomio, de [IJ, se reduce a unaconstante C numèrica, con lo que se lia ganado en precisión.

El va'.or de C no lo da el Análisis dimensional. La teoria del fe-nòmeno da C = 1/8.

(jASTO POR UNIDAD DE A N C H U K A EN UN CANAI. RECTANGULAR

INFINITAMENTE ANCHO

Este problema nos fue propuesto por el profesor M. Van Dyke,de la Universidad de Stanford (California). Nos incluía la soluciónclásica del Análisis Dimensional, añadiendo que con el método de ladiscriminación de las dimensiones del espacio, que propugna el pro-fesor Palacios, no se llegaba a ninguna solución.

Veremos, sin embargo, que con la utilización correcta de estemétodo, mejoraremos la solución obtenida por el profesor Van Dyke.

El enunciado de dicho problema es el siguiente :Por un canal rectangular inf ini tamente ancho, e inclinado un án-

gulo a constante respecto de la horizontal, circula un fluido debidoa la acción de su propio peso. Se pretende calcular el volumen adf luido que sale por el extremo del canal, por unidad de anchura ypor unidad de tiempo, una vez establecido el régimen permane^y sabiendo que el fluido circula en régimen laminar.

Las variables que intervienen son : el volumen de fluido por mu-dad de anchura del canal y por unidad de tiempo (£?) ; la profumi-dad (fl) : el peso específico (pues el fluido circula debido a la acciónde. su propio peso) (p g') ; el coeficiente de viscosidad (|i) ; el ángv

de inclinación del canal (a). La densidad p no influye, pues no haJaceleraciones en la masa fluida al ser el movimiento rectilíneo y Per"manente.

La solución a que Uega el profesor Van Dyke es :

, ,j^_ jí> \ !>' /

[31

Veamos ahora cómo debe aplicarse d método de la «disenfii'0*'ción de las dimensiones del espacio».

- 387 -

Elegimos el eje í en In dirección de la velocidad del fluido, eleje 72 en la dirección de la anchura del canal, y el eje b perpendicu-lar a ambos.

Fig;. •!.—Eligiendo adecuadamente los ejes, desaparece la variable a.

En vez de tomar las variables p »• y i, podemos hacer la siguien-te consideración: como de las dos componentes de p g : (? gt, ? gb)r'a que influye en la circulación del fluido es la o gt, podemos por tan-to tomar p g, en vez de p g, con lo cual desaparece la variable a.

Variables: Q, ? gt, a, ¡i.

[Q] =Volumen LÌ Ln L/,

= L, V'1Anchura X lienipo LM T

[.«£,] = [/•] . [St] = /.,-' L~< /.ri .1/ . L, T-- = V1 V1 jl/ 7'-2

[«] = L>

[/•'] = /-( .1/ y-a[í] = L( /,[v] = L¡T-![»] = /.,.

t.«i = '-r1 Ln~l L* -1' r-1

pJTí

.li

r

- 3»8 -

La característica es h = 3, luego habrá / = 4 — 3 = 1 mono-mio independiente, que resulta ser:

_ _ 0nP£"í<J3

De donde, despejando la incógnita, Q :

Q=C Pjr'a' = C a*Pg S e n g [4]V- V-

En donde sójo aparece indeterminado un factor numérico C,mientras que en la [8] (propuesta por ti profesor Van Dyke) apa-recia una función indeterminada dependiente de dos parámetros adi-mensionales. Por tanto, la solución [4], obtenida por nosotros, esmás precisa.

La solución [4] se suele poner en función de la altura h, me-dida sobre la vertical, del fluido en el canal. Como a = li eos <t,queda :

= Ifl p f cos» g sen g ^ ^

V-

La imperfecta solución [3] obtenida por el profesor Van Dyke,es debida a que en este fenómeno introduce como variable la densi-dad p, lo cual es erróneo, ya que, al no haber aceleraciones en lamasa fluida, no interviene como variable independiente.

PAR QUE SE EJERCE SOBRE UX CILINDRO EN ROTACIÓN' SUMERGIDO

EN UX FLUIDO EN REPOSO

Un cilindro vertical, de altura /¡ y de radio r, gira sobre su eje

con una velocidad angular o> constante, estando totalmente sumer-gido en un medio fluido indefinido, de viscosidad dinámica «•> <ïue

carece de movimiento propio. Se pretende calcular el momento oe

par de fuerzas C que el fluido ejerce sobre la superficie lateral decilindro.

Una vez alcanzada la velocidad w, no intervendrá la densidad ("•Evidentemente, tampoco influye eí peso específico p g. Por tanto,quedan como variables :

C, ft, h, », r.

- 3«9 —

Discriminemos las dimensiones del espacio. Elegimos el eje zcoincidente cors el eje de rotación. El fenómeno es simétrico en tor-no a este eje, luego la base dimensional será (LxS L2 M T). La fuer-za sobre la pared del cilindro es normal al eje; por tanto,

[/••] = L,, M T-*,

CU

<L;$añoxy

Fig. 4,—iLa discriminación de !as magnitudes secundarias ha de obtenerse a partirde sus fórmulas de definición.

V el par:

[C1 = [F][Í] = L' tyMT-=. [6]

Es importante señalar que la fórmula dimensional de las mag-nrtii(íes secundarías ha de obtenerse precisamente a partir de su fór-^ula de definición. El momento de un par de vectores se consideraen teoría como un vector dirigido ; en nuestro caso, según el eje s.v ln embargo, en sus dimensiones no hay que considerar la L,.

T as restantes fórmulas dimensionales son:

W - L,

M - ¿,y[•„] = T-i.

— 390 —

Considerando la interacción de capas cilíndricas de fluido, sehalla [¡JL] :

[F] = Lxy M T-*

M = L*i L,M =L r ),T->[»3 = Lts

de donde

[ju] = L,- .1/ r-i [7]

C u // tu r

Lxì 2 0 0 O

/ - , 0 — 1 1 0 0 r_1 / i = 4 ; i = 1 ; t = ï-

r'u.u> iM 1 1 O O (i

— 2 — 1 O —1 Ü

C = k ¡a o> r" A. [8]

Sin discriminar las dimensiones del espacio, se obtiene la solu-ción más ambigua :

f =/!«* ' , , /— } PI

PAR DE FUERZAS NECESARIO PARA HACER GIRAR UX DISCO

EN UX FLUIDO

Nos proponemos calcular el momento del par de fuerzas C nece'sario para hacer girar sobre su eje un disco, sumergido en tm fluido,a nna velocidad angular <o.

No intervendrá el peso específico ? g, ya que no se consideranacciones gravitatorias. Sin embargo, habrá que tener en cuenta ladensidad p, pues hay aceleraciones en la masa del fluido.

Variables: C, D (diámetro del disco), u, p, ¡i.

— 39' —

Las dimensiones de C, ü, u, p son iguales a las del caso an-terior :

[C] = L%, M T-'

W = ¿„H = r-'M = /r» ¿r1 ¿/

U)

Fig. õ.—Sistema de referencia para un disco que gira en un fluido, Eti este casosólo se discrimina la dirección normal al disco.

"ero cambia la de ¡i, pues !a resistencia del liquido es con arre-§lû a capas paralelas al disco:

de

*•„—- — _

—̂ .Ai•*•

T~*

donde :

C D

2 1

0 0

1 0

-2 0

[/••] = L„Air-»M = L%y[ì/1 = L ,̂ r-i[n] = L,

b\=L-jLlAfT-iw p y-

0 — 2 — 2

0 _1 1i, .. J . .* T .

0 1 1

-1 0 -1C - k t/'„ n ,„3 . /)

ü* v'n P w1

[101

— 3Q2 —

Con la base (L M 7) se encuentra

C-| /_£Î_ J-JL-)J/ p s iu \ /> spu. /

111]

PRESIÓN EN EL SENO DE UN FLUIDO EN ROTACIÓN

Un fluido incompresible está encerrado en un cilindro verticalque gira alrededor de su eje, con velocidad angular o> constante.

Deseamos calcular Ja presión debida a la rotación en un puntodel fluido, una vez establecido el régimen estacionario.

Variables: Presión (Pr), velocidad angular (wi, distancia al ejede giro (r), densidad p (debido a la inercia de la masa fluida), y laaeceleración de la gravedad (g).

:¡6/añoXy\^^

pig., ß.—Elección de ios ejes para ia discriminación, y variables que intervienesen la sobrepresión debida a una rotación.

El giro del cilindro se transmite a 3a masa líquida merced a laviscosidad, pero transcurrido un cierto tiempo, el fluido se muevecomo un sólido ; no existen tensiones de cortadura y la viscosida¡i no interviene.

La solución clásica es„ / «o1;- \P'-f-'**( — )

[12]

— 393 -

Este resultado se mejora discriminando las dimensiones del es-pacio.

Para ello, tomamos el eje de rotación como eje s, y por la sime-tría del fenómeno en tonio a este eje nos queda la nueva base

(Lf,LtMT).

Las fórmulas dimensionales de las magnitudes que intervienenrespecto a 1a baso (L,,. L- M T) serán:

M = 3T-11 [r] = L„ ; [i-] = L: T-* : [>] = L,,-" ¿,-' .1/,

)' nos queda por calcular únicamente la de !a presión Pr, para locual haremos !a? siguientes consideraciones.

Queremos calcular la presión debida a la rotación, por tanto lafuerza que figura en

dF = P d s [13)

es la fuerza centrífuga. Su fórmula dimensional es

[FJ = A,, Sí T->

^a superficie d í que aparece en [13] será, pues, normal a la di-rección de Fc, o sea, [í] = Liy L~. Por tanto, queda como fónnu-!a dimensional de Pr la siguiente:

L^ M T-*— - *- = Lf-i .1/ j-2

h = 4 ; i = 1

.

Lxy

— —*-,- — — _

M—~- — .

/ •

Pr•

0•

— 1

1

o

(U

0

0

0

L*

r

1

0

0

rJ -

JT

0

1

0

^.v L,

P

2

j

1

^j-; /',--. O,«r». [14]pui1 r

ta i n0tar que> a^ resolver el sistema, el exponente de g resul-• esto, aun cuando era previsible, pues se considera la pre-

— 394 —

sión debida a la rotación, lo da directamente el análisis dimensional.La solución [14] es más aproximada que la [32], pues ha des-

aparecido la función arbitraria de *" •

La teoría da para C el valor

-}•En un fluido en movimiento aparecen acciones de cortadura de-

bidas a la viscosidad, que son la causa de que en cada punto existaun tensor de presiones. Tomando como ejes los propios del tensor,éste toma forma diagonal :

.

n

ü P„ (i I [15]

'V

Cuando no interviene u., como en nuestro caso, en que no haymovimiento relativo de las distintas partes del fluido, resulta

P -P —P - Pxx ' yy ~ ' z; ~ ' '

y se dice que el tensor degenera en un escalar : la presión P. Asipues, la sobrepresión debida a la rotación es la misma en todas di-reacciones, y, sumándole la presión debida a la profundidad H, r£"sulta la presión total :

Pt = -i- ,, «fl r* + p „' //.

Hagamos notar, sin embargo, que aun cuando los elementos o'3'gonales del tensor P sean numéricamente iguales, no tienen la i1115'ma fórmula dimensional. En efecto, de

dF = P d s

resulta :dp, -r^ds*d Fy - Py> d Sy

dP;~P.„dSt.

- 395 -

Las dimensiones de la fuerza son :

[dPJ = [d F,] = /.„.V T-*rd F.1 = L. if T--

Las de Ias superficies, normales a ellas, serán por tanto :

[djg = Ids,] = LzyL,VW = *•'„•

CU

'£• '•—Al discriminar las dimensiones del espacio, !a presión toma la formade un tensor.

e donde las dimensiones de la presión son :

CPJ-JJ-JJ..^^..^-.»^[a ^,J L·iy i,t

rp i _ l^^l _ ¿.,¿/7-* _ L -i u r-2Lí-j,,,J fj-p-f- = —7 J L> '" 'I« Oj.J ¿j:̂ /xj

es decir :

['-H^:h~^-••'-•-"'-=*.r

[P] ( VUfT-* - \¿ri.vr-¿ - 1

L-« L t W T - /

— 396 —

Creemos que es la primera vez que se encuentra que una magni-tud escalar deba considerarse como tensor al tener en cuenta susdimensiones.

Por la simetría del problema resultan iguales \_PXX\ y [Pyy] ', enotros problemas no lo serán. Por otra parte, haciendo un cambio deejes, desaparece la forma diagonal y se pueden hallar las dimensio-nes de los nueve términos del tensor.

LA VISCOSIDAD COMO TENSOR

a) Velocidad por un canal rectangular.

Consideremos un canal de sección rectangular por el que circulaun fluido en régimen laminar. Nos proponemos cacular la velocidadmedia del fluido una vez establecido el régimen permanente.

Para mayor generalidad supondremos que también está cubiertala parte superior del canal, y que el fluido circula debido a una di-ferencia de presión A p entre sus extremos. (En el caso en que cir-cule debido a la acción de su propio peso, bastará sustituir A P Por

? S ¿O

Fig. 8.—El fluido circula según el eje x , en régimen laminar.

Las variables que intervienen en este fenómeno son : la velocdad media del fluido v; la diferencia de presión A P entre sus &•'tremos ; las dimensiones del canal : longitud /, anchura b y a'tu

a; y, por último, el coeficiente de viscosidad ¡i. No intervendrádensidad p, pues el movimiento es rectilíneo y permanente. TamP

— 397 —

co interviene el peso específico p g, puesto que las fuerzas exterio-res son debidas a la diferencia de presión.

Con la base L, M, T, se obtiene

• - -^-f l - r -T) "«'

Veamos cómo resolverlo con la base discriminada.El eje A\ le tomamos en la dirección del movimiento del fluido,

el eje *v3 en la dirección de la anchura del canal y el eje .1% perpen-dicular a ambos.

Las fórmulas dimensionales de r, A P> í, b, a, respecto de labase (L, Lz L3 M T), serán:

M = L1 r-i

[A « = J£!i_ = J^L^L = r L -, , -i M T-,i aSup. ¿j Z,,

W = ¿, W = La [o] = La.

La dificultad surge cuando se trata de hallar la fórmula dimen-sional del coeficiente de viscosidad {i. respecto de esta base,

Para ello, partiendo de la definición de ¡A :

F = f s ~- [H]<z n

0 se sabe qué dimensión discriminada dar al gradiente de la velo-cidad ^"

~d~ïr ' Plies su dirección varia de un punto a otro.

"ara resolver esta cuestión, seguimos el camino señalado por elprofesor Palacios eu su libro «Análisis dimensional», que consisteen considerar la viscosidad como un tensor.

L* ecuación [17] se puede escribir:

d t = T d s ,

es decir;

d/ t = r f ,dí,; 1181

a superficie elemental d s¡ se toma normal a la dirección x,.

- 39» -

Los componentes d?l tensor T son :

d vil,-. =u = f u ÒXj

Tomando dimensiones:

[d Ft] = L. M T-"- ; [d í,] = /., Lt (i, k já /)

de [18] resulta:

[T,,] = L,-" M r-'.

y como

\ÒVi

l d*7

sustituyendo en [19] se obtiene :

/-,- T-'

í;

' u. l - / -' / / -1 t' V-1L,"j;J - ''l ' - / L·l, • '

[19]

[20|

Fig. 9.—La viscosidad conio tensor. Modo de obtener sus dimensiones discriminada •

Según esto, tomando d &¡ como indica la figura, y como osólo tiene una componente, que es en Ja dirección del movimient <¡as ecuaciones [18] se reducen a

<*/, -= 7 ' , , ' ' • < ; + T , i d * s + 7',:,''V [21]

— 399 —

pero teniendo en cuenta que los elementos diagonales del tensor Tdan las fuerzas normales, que no dependen de la viscosidad, pres-cindimos del término T^dsi, con lo que [21] se transforma en

« / / ' , - r » d fa +

v\.dvque de acuerdo con

T - - Ti

" ""'''J "à f¡

y teniendo en cuenta [20] nos conduce a

[ / . , , ]= / - , - • L„ V- l /T- '['S~j = V V' ¿, -1/r"'

y ya se puede resolver el problema :

f if ! 6 <j n,, [í,.

Li l 1 1 0 0 — 1 — 1

L2 o -i o o i i — i

L3 n — ] n i o — i i

* ' ' ° ' " ' ' , = >4»,(-ÍH roIMs' \ "*!"« 'T -1 0 0 0

ei1 la que hay un monomio menos que en la [16],^] suponemos a = /i, caso de un canal de sección cuadrada, la

HG ] se reduce a

í i»» = MT-) [23J-v !» [22] a

^a'J'ls

IS „ / !1<3 \r^U7l710 S*13 tiene el mismo valor numérico que u.,,,, resulta:

í- = C A^L . [241V-'

— 4°° —

La forma de la función ?, queda, pues, determinada en nuestro re-sultado.

b) Canal con sección triangular.

Sea un cana! de sección triangular, siendo de 90° el diedro infe-rior. Supondremos iguales los dos lados que forman el ángulo recto.La sección es, pues, un triángulo rectángulo isósceles.

Supondremos cubierta la parte superior del canal y que el fluidocircula debido a una diferencia de presiones A P entre sus extre-mos (en el caso en que circule debido a la acción de su propio peso,bastará sustituir A /> por p # /í). Suponemos que el fluido circulaen régimen laminar, y deseamos calcular la velocidad media del flui-do 'una vez establecido el régimen permanente.

Las variables que intervienen en el fenómeno son : la velocidadmedia v, la diferencia de presión A f y las dimensiones del canal:longitud /, lados a, b, c del triángulo que forman la sección y, porúltimo, la viscosidad ¡x del fluido.

Teniendo en cuenta que n2 = b* •*• c-. sólo dos son independien-tes. Tomamos b y c.

La solución clásica es :

rJií / / f> \v = F *, —,u • M r c I!̂

Según el enunciado, b >= c, luego :

v= -14¿_«,( M [251H \ f *

Si en vez de utilizar la base (L M T) utilizamos (L, L, L3 M T),correspondientes a haber discriminado las dimensiones del espacio,según la figura, las magnitudes tendrán las siguientes fórmulas di-mensionales :

[v] = L, r-i ; [A PI = -[ir = W"' = L! V V 7'-*[ò] L·i L·I -

[fr] = L„; M = L .2

Para hallar la fórmula dimensional del coeficiente de viscosidaH respecto de la base (L, L2 L3 M T], nos encontramos con la ^15

ma dificultad que en el problema anterior (caso del canal rectans,^

— 401 —

Jar), al hallar la dirección del gradiente de la velocidad, necesariopara obtener la fórmula dimensional. Lo resolveremos como en elcaso anterior, considerando el coeficiente de viscosidad u. como untensor.

X

Fig. 10.—Cuando un fluido se mueve por un canal triangular, la viscosidad debeconsiderarse como un tensor.

Análogamente al caso anterior, v y d F sólo tienen la primeracomponente :

dF^T^d^ +Tlad,í + Tltdst

y prescindiendo de 7",, d slt que da las acciones normales, llega-mos a

de donde

dF\·aT»*', + Ti,<t'>'

[pia] = V1 Li V1 M T~l

L« I 3 )= L,-i La-i L3 MT-i[20]

[271

i/» / ò

1 1

^it tLis

0 - 1 0

0

) 1

i 0

) 0

t 0

0

0

1

0

0

— 1

1

— 1

1

— 1

— 1

— 1

1

1

— 1

h = 5 ; i

c»<v

^u'*(^>\ f V-u I

Ttsv. EE u REAL ACADEMIA DE CIENCIAS,—1963.

— 4o2 —

en el caso particular en que b=c, y, teniendo en cuenta que ¡i,2 = p.ltfqueda :

v = -^- C [28]V-*

Comparando las soluciones [25] y [28], llegamos a una conclu-sión análoga a la del problema anterior : la presencia del factor de

forma — en la solución [2.~>] implica que esta solución sólo tieneC

interés para comparar el comportamiento de canales de forma se-mejante, mientras que en la solución [28] la función indeterminadaha quedado reducida a una constante.

REFERENCIA

(1) Jut.ro PALACIOS: Análisis dimensional. Espasa-Calpe, S. A. Ma-drid (1004).

Instituto de deudas FísicasUniversidad de Madrid