ANÁLISIS DIMENSIONAL

ANALISIS DIMENSIONALSIMILITUD

TEORIA DE MODELOS

ANALISIS DIMENSIONAL• 1.- INTRODUCCION GENERAL.• La Mecánica de Fluidos es una ciencia “FENOMENOLOGICA”, es decir, se basa en conceptos

teoricos (Ecuaciones matematicas diferenciales e integrales) de complejos fenomenos fisicos y ademas en mediciones “EXPERIMENTALES”, estudiadas y analizadas en laboratorios donde se estudian los “MODELOS” de estos fenomenos fisicos.

• La complejidad teórica se basa en el hecho de que las “ECUACIONES DIFERENCIALES DINAMICAS”, que rigen el movimiento de los fluidos y que representan el fenomeno fisico…”NO SON LINEALES”…y por lo tanto son muy dificil de integrar.

• Si sumamos a esta dificultad matemática, la complicación dada por la “INESTABILIDAD DEL MOVIMIENTO” de un fluido y que conduce al fenomeno de la “TURBULENCIA”, ha obligado a los investigadores a completar los resultados insuficientes del calculo matematico, mediante “MEDICIONES” obtenidas experimentalmente en los modelos.

• Lo anterior nos induce a pensar, que dado un problema, se procura reproducirlo “EXACTAMENTE” en el laboratorio en tamaño “NATURAL” o a “ESCALA” y entoces, observar el movimiento, midiendo directamente las velocidades, presiones, etc. en los puntos de interes. Esto conlleva una serie de dificultades que ha obligado a buscar una “METODOLOGIA ESPECIAL” y que es lo que estudiaremos en este curso

ANALISIS DIMENSIONAL• El “ANALISIS DIMENSIONAL”, es una tecnica matematica funcional de

“CONDENSACION” o “COMPACTACION” que se utiliza para “DEDUCIR” la complejidad de los programas experimentales y al mismo tiempo para “INCREMENTAR” la generalidad de la informacion experimental

• El “ANALISIS DIMENSIONAL”, nos proporciona las herramientas logicas para “DECIDIR” a priori, si es probable, por ejemplo, que un flujo de fluidos sea “LAMINAR” o TURBULENTO”, o bien si es correcto omitir la compreesibilidad en un fluido

• La “SIMILITUD”, es el estudio de la “PREDICCION” del comportamiento dinamico en los “PROTOTIPOS” a partir de las observaciones experimentales en los “MODELOS”. La “SIMILITUD”, implica el uso de “PARAMETROS ADIMENSIONALES”, que se obtienen del “ANALISIS DIMENSIONAL”, es decir, estudia la “PREDICCION” de las condiciones de flujo en un “PROTOTIPO”, a partir de las obsevaciones en un “MODELO”

ANALISIS DIMENSIONAL

• La “TEORIA DE MODELOS”, basada en el “ANALISIS DIMENSIONAL”, permite establecer “CRITERIOS” para “ORGANIZAR” un experimento fisico, en el cual se quiere establecer la “RELACION ADIMENSIONAL”, que liga las diferentes magnitudes fisicas involucradas en un fenomeno de transporte de fluidos. Si el experimento no se puede realizar en “VERDADERO TAMAÑO” (PROTOTIPO), es necesario hacerlo sobre un “MODELO” a escala del prototipo y donde se trata de reproducir los mismos fenomenos que afectan al “PROTOTIPO”, obviamente a una escala menor.

• Para aplicar el concepto de “TEORIA DE MODELOS”, es necesario establecer una serie de “CRITERIOS DE SEMEJANZA” y que nos indican que entre “PROTOTIPO” y “MODELO” debe existir:

• SEMEJANZA GEOMETRICA

• SEMEJANZA CINEMATICA

• SEMEJANZA DINAMICA


2.1.- INTRODUCCION.-• La técnica matemática, llamada “ANALISIS DIMENSIONAL”, se basa en el concepto de

“HOMOGENEIDAD DIMENSIONAL”, y que nos dice que “TODOS LOS TERMINOS DE UNA ECUACION DEBEN TENER LAS MISMAS DIMENSIONES”.

• Veamos un ejemplo de este concepto: Apliquemos la ecuación de “BERNOULLI” a una linea de corriente entre dos puntos (secciones) de una tuberia, por la cual circula un fluido incompresible

1 2

v


• Cada uno de los términos de la ecuación tiene dimensiones de longitud y representan energía por unidad de peso de fluido transportado

V12 / 2g + p1/ γ + Z1 = V2

2 / 2g + p2/ γ + Z2

ANALISIS DIMENSIONAL• Si factorizamos la ecuación de Bernoulli por 1/ Z1, la ecuación queda como una

combinación de parámetros sin dimensiones, es decir, hemos escrito la ecuación de Bernoulli con TODOS sus términos ADIMENSIONALES y que es la idea básica del “ANALISIS DIMENSIONAL”.

V12 / (2g Z1) + p1/ (γ Z1) + 1 = [V2

2 / 2g + p2/ γ + 1] Z2 / Z1

ANALISIS DIMENSIONAL• Se pueden seguir dos (2) estrategias para estudiar el “ANALISIS DIMENSIONAL” y

la “SIMILITUD”.

• Primero, utilizar el “TEOREMA π de BUCKINGHAN” (Organiza los pasos, para garantizar “HOMOGENEIDAD DIMENSIONAL”) y para esto, el enfoque requiere conocer el fenomeno que se estudia lo “SUFICIENTE”, para poder incluir las cantidades de interes apropiadas.

• Segundo, extraer los “PARAMETROS ADIMENSIONALES NECESARIOS”(que influyen en una situacion de flujo dado) de las ecuaciones diferenciales y condiciones de frontera, a objeto de describir lo mas exactamente posible, el fenomeno que se esta investigando

• Antes de analizar el “TEOREMA de π de BUCKINGHAN”, analizaremos dos tipos diferentes de problemas de flujo y los que se deben resolver por medio de la “EXPERIMENTACION”

ANALISIS DIMENSIONAL• Ejemplo 1.- Evaluar la “PERDIDA DE CARGA” ( Perdida de energia Mecanica) para

un flujo turbulento, incompresible y totalmente desarrollado para un fluido que circula por una tuberia

L

D

1 2

V

ANALISIS DIMENSIONAL• Apliquemos la “ECUACION DE LA ENERGIA” a una linea de corriente entre lasa

secciones 1 y 2 de la tuberia y separadas a una distancia L.

p1 / γ + V12 / 2g + Z1 = p2 / γ + V2

2 / 2g + Z2 + hfL

ANALISIS DIMENSIONAL• Al eliminar las energía potencial y las velocidades nos queda la ecuación como:

hfL = ( p1 – p2 ) / γ = ( p1 – p2 ) / ρ g = Δp / ρ g g hfL = ( p1 – p2 ) / ρ

ANALISIS DIMENSIONAL• La perdida de energía, se puede evaluar midiendo la diferencia de presión entre las

secciones 1 y 2 y conociendo la velocidad del fluido.

Como ya tenemos una ecuación que nos sirve para medir la perdida de energía mecánica , consideremos los parámetros que afectan esta perdida de carga:

1) Longitud (L) de la tubería entre las secciones 1 y 2.

2) Diámetro (D) interior de la tubería.

3) Velocidad (V) del fluido.

4) Densidad (ρ ) del fluido.

5) Viscosidad dinámica (μ ) del fluido.

6) Rugosidad absoluta (ε ) de la pared del tubo

• Podemos intuir, que “TODOS” estos parametros tendran un efecto sobre la perdida de energia y podemos escribir la siguiente relacion funcional.

g hfL = f ( L ; D ; V ; ρ ; μ ; ε )

ANALISIS DIMENSIONAL• Si se modifica “CUALQUIERA” de las variables de la funcion f, se espera que las

perdidas de energia cambien aun cuando las demas variables permanezcan “FIJAS”. La relacion funcional “SOLO” indica que existe una “INTERDEPENDENCIA” entre gh y las varaiables de f .

• ¿Qué se necesita para descubrir la relación matemática de la relación funcional ?...¿como se pueden representar los resultados?.

• Para encontrar esta relación “CADA” parametro del lado derecho debe variarse “SISTEMATICAMENTE”

• Primero se dejan fijos D ; V ; ρ ; μ y ε y se varia L sistemáticamente. Por ejemplo hacer 10 variaciones y tendríamos los siguientes resultados

gh

L

ANALISIS DIMENSIONAL• Segundo cambiamos D, manteniendo constantes V ; ρ ; μ y ε y repetimos las

ejecuciones para los diez (10) valores de L y después se realizarían todas las combinaciones de L y D para diez (10) valores de V y seguimos de esta manera con toda la lista de variables. Necesitaríamos 106 , ejercicios experimentales diferentes y mucho mas aun para 100 fluidos diferentes…Una tarea IRREALIZABLE…-

gh

V1 ; ρ1; μ1 ; ε1 V2 > V1 ; ρ1 ; μ1 ; ε1

D1

D2

D3

D4 gh

D1

D2

D3

D4

ANALISIS DIMENSIONAL• El “ANALISIS DIMENSIONAL” resuelve este complejo mproblema de una manera

sencilla y practica y veremos mas adelante que la “RELACION FUNCIONAL ADIMENSIONAL” , que representa la perdida de carga de un fluido incompresible moviendose en flujo turbulento por una tuberia rugosa esta dada por una expresion “GENERAL”, pues no esta afectada por las dimensiones y esta expresion tiene tres (3) parametros adimensionales controlables en lugar de seis (6) y se pueden desarrollar como maximo 103 experimentos:

ghfL / ½ V2 = F ( L / D ; ( ρ V D ) / μ ; ε / D )

ANALISIS DIMENSIONAL• Ejemplo 2.- Evaluar la “PERDIDA DE PRESION”, que sufre un fluido incompresible

al pasar a traves de la valvula de compuerta indicada en la figura

p1 p2

V hD h

ANALISIS DIMENSIONAL• Se puede intuir que la caída de presión dependerá de parámetros físicos como:

velocidad (V); densidad (ρ); viscosidad dinámica (μ); diámetro interior de la tubería (D); apertura de la válvula (h), por lo tanto la relación funcional entre estas variables será:

Δp = f ( V ; ρ ; μ ; D ; h )

ANALISIS DIMENSIONAL• Como un primer paso, podemos fijar “TODOS” los parametros exepto la velocidad del

fluido “V”, e investigar la dependencia, que en estas condiciones existiria entre la caida de presion y la velocidad promedio del fluido.

• Segundo, se puede cambiar el diámetro “D” y repetir el experimento y después lo podemos hacer con la abertura “h” de la válvula. Si graficamos tendríamos lo siguiente:

ANALISIS DIMENSIONAL• Como tercer paso, podemos tomar otros fluidos y así obtenemos las curvas en las que

cambia la densidad (ρ) y la viscosidad dinámica (μ).

• Como ultimo planteamiento podemos considerar “CUALQUIER” ecuacion que relacione un conjunto de variables y esta relacion funcional se puede escribir, de alguna forma, en funcion de “PARAMETROS ADIMENSIONALES” ( Como lo planteamos en la ecuacion de Bernoulli) y podemos entonces “ORGANIZAR” las variables de estas ecuaciobes en “PARAMETROS ADIMENSIONALES”

• La relación funcional con la cual trabajamos en este ejemplo nos puede quedar como:

Δp / ρ V2 = f [ ( V ρ D ) / μ ; h / D ]

ANALISIS DIMENSIONAL• Al tener una relación funcional de parámetros adimensionales, tenemos una relación mas

sencilla y ahora podemos realizar un numero manejable de experimentos con h / D fijos ( Ej. h / D = 0.1 ) y podemos variar ( V ρ D ) / μ y en este caso basta con variar V y hacemos la grafica de este experimento. Después cambiamos h y podemos tener el valor h / D = 0.5 y así sucesivamente y tenemos unas curvas como se indica en las grafica:

ANALISIS DIMENSIONAL2.2.-DIMENSIONES.-• Casi todas las cantidades que participan en “FENOMENOS

FISICOS”, tienen alguna combinacion de las dimensiones: Longitud (L); Tiempo (T); Masa (M) y Fuerza (F) y que se relacionan por la “SEGUNDA LEY DE NEWTON”.

F = m a

• Dimensionalmente podemos expresar esta ecuación como:

F = M L / T 2

• Escogeremos el sistema “M L T” , pues F es dependiente de estas dimensiones

ANALISIS DIMENSIONAL• Analizaremos la “ECUACION DE ESTADO DE LOS GASES IDEALES”.

RTp

pRT

ML

LFRT

3

2 *

MLLMLTRT

322 *

22 TLRT

ANALISIS DIMENSIONALSIMBOLOS Y DIMENSIONES

CANTIDAD SIMBOLO DIMENSION

Longitud L L Tiempo t T Masa m M Fuerza F ML/T2

Velocidad V L/T Aceleración a L/T2 Frecuencia ω T-1 Gravedad g L/T2 Área A L2 Razón de Flujo (Caudal) Q L3/T Flujo másico m M/T Presión p M/LT2 Esfuerzo λ M/LT2 Densidad φ M/L3 Peso Especifico γ M/L2T2 Viscosidad Dinámica μ M/LT Viscosidad Cinemática ν L2/T Trabajo w ML2/T2 Potencia, Flujo Calor W, Q ML2/T3 Tensión Superficial σ M/T2 Modulo Volumétrico β M/LT2


2.2.-TEOREMA π DE BUCKINGHAM.-• En un problema físico dado, la variable “DEPENDIENTE” x1, se puede expresar en funcion de las

varables “INDEPENDIENTES”, como:

x1 = f ( x2 ; x3 ; x4 ; … ; xn )

• Donde n = numero total de variables

• Habíamos visto anteriormente que:

Δp = f ( V ; ρ ; μ ; D ; h )

• Donde Δp = variable dependiente

• Donde V ; ρ ; μ ; D ; h = variables independientes

• El teorema de “π DE BUCKINGHAM”, dice que ( n – m ) “GRUPOS ADIMENSIONALES” de variables, llamados “PARAMETROS π “, donde m es el numero de dimensiones basicas, se pueden relacionar como:

π1 = f ( π2 ; π3 ; π4 ; … ; πn-m )

ANALISIS DIMENSIONAL• En esta ecuación π1 , incluye las variables dependientes y los parámetros πi , restantes incluyes

solo variables independientes del tipo:

hDDVf

Vp ;2

El procedimiento empleado para aplicar el “TEOREMA π “, se puede resumir de la siguiente forma:

a) Escribir la forma funcional de la variable dependiente de las (n -1) variables independientes

b) Identificar “m VARIABLES REPETIDAS”, las que se combinaran con cada una de las variables restantes para formar los parametros π. La variables repetidas seleccionadas de entre las variables independientes, deben “INCLUIR TODAS LAS DIMENSIONES BASICAS”, pero no deben formar un parametro π por si solas

c) Escribir la forma funcional de los ( n – m ) parametros π adimensionales.

ANALISIS DIMENSIONAL• Veamos un ejemplo: Supongamos que nos interesa combinar las variables: Tensión Superficial (σ) ;

Velocidad (V) ; Densidad (ρ) i Longitud (L) en un parámetro π . Podemos escribir lo siguiente:

π = σα Vβ ργ Lλ

• El objetivo es determinar: α ; Β ; γ ; λ ; de tal forma que el agrupamiento sea “ADIMENSIONAL”

• En términos de dimensiones la Ecuación anterior debe ser del tipo:

M0 L0 T0 = ( M / T2 ) α ( L / T )β ( M / L3 )γ Lλ

• Igualando las componentes para “CADA UNA” de las “DIMENSIONES BASICAS”, tenemos:

• M ; 0 = α + γ

• L ; 0 = β - 3γ + λ

• T ; 0 = - 2α - β

ANALISIS DIMENSIONAL• El resultado de estas tres ecuaciones con cuatro incógnitas es:

α = - γ ; β = 2 γ ; λ = γ

• Reemplazando en función de γ , tenemos que;

π = σ -γ V 2γ ργ Lγ

• Por lo tanto :

π = ( ( ρ L V2) / σ ) γ

• Como un parámetro adimensional elevado a cualquier potencia, sigue siendo adimensional, podemos hacer que γ sea cualquier numero diferente de Cero ( por ejemplo γ = 1), entonces:

π = ( ( ρ L V2) / σ )

ANALISIS DIMENSIONAL• Ejemplo 3.-

Veamos el problema de ubicar las leyes que rigen la caída de presión a lo largo de una tubería y por la cual circula un fluido. Trataremos de encontrar una expresión adimensional que nos indique la forma que tendría la ley física que nos daría esta caída de presión. Podemos hacer ver que la caída de presión es una relación funcional del tipo:

Δp = f ( V ; D ; ρ ; μ ; L ; ε )

Si alguno de estos factores se llegara a omitir, la experiencia nos indicaría su ausencia.

1) Magnitudes Base; Esta magnitudes pueden ser cualquiera pero siempre deben formar una “BASE COMPLETA” y por lo tanto el Determinante que forman sus dimensiones debe ser distinto a Cero

Vamos a suponer que las magnitudes base son: D ; V y ρ

ANALISIS ADIMENSIONAL

L M T

D 1 0 0 V 1 0 -1 ρ -3 1 0

Δp -1 1 -2 μ -1 1 -1 L 1 0 0 ε 1 0 0

ANALISIS DIMENSIONAL• El Determinante de las Dimensiones Base es distinto de Cero, por lo tanto es una BASE

COMPLETA:

1 0 0

1 0 -1 = 1 # 0

-3 1 0

2) Producto Adimensional π 1; ( Interviene Δ p )

π 1 = Δ p D α1 V β1 ρ γ1

M0L0T0 = M1L-1T-2 L α1 Lβ1T –β1 L -3γ1 M γ1 T0

L : α1 + β1 - 3γ1 - 1 = 0 α1 = 0

M: γ1 + 1 = 0 β1 = - 2

T: -β1 - 2 = 0 γ1 = - 1


π1 = Δ p V -2 ρ -1 = Δ p / ( ρ V2 )

2) Producto Adimensional π 2; ( Interviene la viscosidad μ )

π 2 = μ D α2 V β2 ρ γ2

M0L0T0 = M1L-1T-1 L α2 Lβ2 T –β2 L -3γ2 M γ2 T0

L : α2 + β2 - 3γ2 - 1 = 0 α2 = -1

M: γ2 + 1 = 0 β2 = - 1

T: -β2 - 1 = 0 γ2 = - 1


π2 = μ D -1 V -1 ρ -1 = μ / ( ρ V D ) = ν / V D = 1 / Re

π2 = Re

3) Producto Adimensional π 3; ( Interviene la Longitud L )

π 3 = L D α3 V β3 ρ γ3

M0L0T0 = L1 L α3 Lβ3 T –β3 L -3γ3 M γ3 T0

L : α3 + β3 - 3γ3 + 1 = 0 α3 = -1

M: γ3 = 0 β3 = 0

T: -β3 = 0 γ3 = 0


π3 = L D -1 = L / D

4) Producto Adimensional π 4; ( Interviene la Rugosidad Absoluta ε )

π 4 = ε D α4 V β4 ρ γ4

M0L0T0 = L1 L α4 Lβ4 T –β4 L -3γ4 M γ4 T0

L : α4 + β4 - 3γ4 + 1 = 0 α4 = -1

M: γ4 = 0 β4 = 0

T: -β4 = 0 γ4 = 0


π4 = ε D -1 = ε / D

4) Formula adimensional; La forma mas reducida para expresar la perdida de presión a lo largo de una tubería y como función de ( V ; D ; ρ ; μ ; L ; ε ) esta dada por los siguientes parámetros π , ( Parámetros adimensionales ).

π 1 = F ( π 2 ; π 3 ; π 4 )

Esta formula expresada en función de las variables que intervienen en el fenómeno físico será:

Δ p / ( ρ V2 ) = F ( Re ; L / D ; ε / D )

ANÁLISIS DIMENSIONAL

Documents

Transcript of ANÁLISIS DIMENSIONAL