Sistema de unidades y análisis dimensional

SISTEMAS DE UNIDADES Y ANÁLISIS DIMENSIONAL Conceptos Básicos: Dimensión y magnitud. Sistemas de Unidades: Sistemas absolutos, gravitacionales y de ingeniería. Constantes dimensionales. El Sistema internacional de unidades. Factores de conversión. Ecuaciones dimensionales y adimensionales. Análisis dimensional: Método de Rayleigh

PS4218: Química Industrial I Cap I: Introducción a los cálculos en sistemas de procesos químicos

Conceptos básicos:

Dimensión

Propiedad o cualidad física observada en la naturaleza, susceptible de ser medida y expresada cuantitativamente.

Magnitud

Tamaño de la medición de una dimensión que se expresa por el número obtenido al comparar la variable física con una de referencia definida por el usuario mediante un sistema de unidades.

Sistema de unidades

Conjunto reducido de unidades elegidas arbitrariamente y que permite medir todas las dimensiones.

Se considera que una unidad es el valor obtenido al fijar arbitrariamente la cantidad de cada una de las dimensiones de un sistema, que se utiliza como referencia para medir una variable cualquiera y de su misma naturaleza mediante comparación.

Todo Sistema de Unidades debe tener

los siguientes componentes…

Unidades básicas:

Dimensiones fundamentales seleccionadas arbitrariamente

para las que se definen unidades de referencia.

Su cantidad depende del sistema, pero hoy se acepta que se

requiere un mínimo de siete (7) dimensiones fundamentales.

Unidades derivadas:

Unidades compuestas obtenidas por multiplicación y/o división

de unidades básicas.

Múltiplos y submúltiplos de unidades:

Definidos más por comodidad que por conveniencia y siempre

relaciondo con la unidad de referencia.

Según el número de

dimensiones fundamentales

- Absoluto (SI)

- Gravitacional

Sistemas Coherentes

- Ingenieril

Sistemas Incoherentes

Todas las dimensiones y unidades de las dimensiones físicas

pueden ser expresadas a partir de un número reducido de

dimensiones fundamentales escogidas arbitrariamente.

Según la cantidad de dimensiones establecidas como fundamentales,

los sistemas pueden agruparse en:

Si número de dimensiones fundamentales

es mayor al mínimo requerido

Si número de dimensiones fundamentales

es igual al mínimo requerido

Sistemas absolutos

CGS MKS FPS

Longitud [L] Centímetro (cm) Metro (m) Pie (ft)

Masa [M] Gramo (g) Kilogramo (kg) Libra (lb)

Tiempo [t] Segundo (s) Segundo (s) Segundo (s)

Temperatura[T]

Grado Celsius(°C)

Grado Celsius(°C)

Grado Farenheit(°F)

Fuerza [MLt-2] Dina (g.cm.s-2) Newton(kg.m.s-2)

Poudal (lb.ft.s-2)

Trabajo [ML2t-2] Ergio (g.cm2.s-2) Joule (kg.m2.s-2) Poudal. Pie(lb.ft2.s-2)

Presión [ML-1t-2] Dina.cm-2 Pascal (kg.m-1.s-2) Poudal.ft-2

Sistemas técnicos o gravitacionales

Métrico Inglés


Fuerza [F] Gramo-fuerza (gf)

Kilogramo-fuerza (kgf)

Libra-fuerza (lbf)


Temperatura [T]

Grado Celsius (°C)

Grado Celsius (°C)

Grado Farenheit (°F)

Masa [FL-1t2] U.T. M. (geokilo) (kgf.m-1.s2)

Slug (lbf.ft-1.s2)

Trabajo [FL] (kgf.m) (lbf.ft)

Presión [FL-2] (kgf.m-2) (lbf.ft-2)

Sistemas ingenieriles

Métrico Inglés

Longitud [L] Metro (m) Pie (ft)

Masa [M] Kilogramo (kg) Libra (lb)

Fuerza [F] Kilogramo-fuerza (kgf) Libra-fuerza (lbf)

Tiempo [t] Segundo (s) Segundo (s)

Temperatura [T] Grado Celsius (°C) Grado Farenheit (°F)

Calor [Q] Kilocaloría (kcal) British thermal unit (BTU)



Constantes dimensionales

Su uso es imprescindible en los sistemas redundantes

para hacerlos consistentes

Constante dimensional

Dimensiones Sistema de unidades Valor (unidades)

gc F-1

MLt-2 Ingenieril métrico

Ingenieril inglés 9,807 (kg.m.s

-2.kgf

-1)

32,174 (lb.ft.s-2

.lbf-1

)

J ML2t-2

Q-1

CGS MKS FPS

4,184 107 (ergio.cal

-1)

4,184 103 (julio.kcal

-1)

25,02 103 (poudal.ft.BTU

-1)

J FLQ-1

Métrico técnico e ingenieril Inglés técnico e ingenieril

426,65 (kgf.m.kcal-1

) 777,67 (lbf.ft.BTU

-1)

“Equivalente mecánico del calor”

en sistemas absolutos

CGS (Cegesimal)

MKS (Giorgi)

FPS (Inglés)


Masa [M] Gramo (g) Kilogramo (kg) Libra (lb)


Temperatura [T]

Grado Celsius (°C)

Grado Celsius (°C)


Calor [Q] Calorías (cal) Kilocalorías (kcal)

British thermical unit (Btu)

Fuerza [MLt-2] Dina (g.cm.s-2) Newton (kg.m.s-2)

Poudal (lb.ft.s-2)

Trabajo [ML2t-2] Ergio (g.cm2.s-2) Joule (kg.m2.s-2) Poudal. Pie (lb.ft2.s-2)

Presión [ML-1t-2] Dina.cm-2 Pascal (kg.m-1.s-2) Poudal.ft-2

“Equivalente mecánico del calor”

en sistemas técnicos o gravitacionales

Métrico Inglés


Fuerza [F] Gramo-fuerza (gf)

Kilogramo-fuerza (kgf)

Libra-fuerza (lbf)


Temperatura [T]

Grado Celsius (°C)

Grado Celsius (°C)


Calor [Q] Caloría (cal) Kilocaloría (kcal) British thermal unit (Btu)

Masa [FL-1t2] U.T. M. (geokilo) (kgf.m-1.s2)

Slug (lbf.ft-1.s2)



Sistema Internacional (SI)

Basado en el sistema MKSA (metro, kilogramo, segundo, amperio) incorporando el Kelvin como unidad de temperatura, la candela como unidad de intensidad luminosa y el mol como unidad de cantidad de sustancia.

Es el único no redundante, pues no incluye ni la fuerza ni el calor entre sus unidades fundamentales.

Utiliza el sistema métrico para definir los múltiplos y submúltiplos de sus unidades.

Siete dimensiones

fundamentales

MASA

LOGITUD

TIEMPO

TEMPERATURA

INTENSIDAD DE CORRIENTE

INTENSIDAD LUMINOSA

CANTIDAD DE SUSTANCIA

http://physics.nist.gov/cuu/Units/index.html

Sistema Internacional (SI)

Abreviado oficialmente SI en todos los idiomas, es una versión del sistema métrico decimal.

Establecido en la Conferencia General de Pesos y Medidas en 1960 con la intensión de convertirlo en el sistema legal en todos los países.

Venezuela adoptó en SI como sistema legal de medidas en Gaceta Oficial N° 27919 del 25 de diciembre de 1964 y sus unidades de medida se publicaron en Gaceta Oficial N° 2823 Extraordinario del 14 de julio de 1981.

El Sistema Internacional de Unidades

en las Naciones del mundo

En negro los tres únicos países (Birmania, Liberia y Estados Unidos)

que en su legislación no han adoptado el

Sistema Internacional de Unidades como prioritario o único.

Breve historia de mejoras al SI

Dimensiones fundamentales

Las siete unidades

para las dimensiones

básicas y la interdependencia

de sus definiciones

Dimensión fundamental Unidad

Longitud [L] m

Masa [M] kg

Tiempo [T] s

Temperatura [Q] K

Intensidad de Corriente [I] A

Intensidad luminosa [J] cd

Cantidad de sustancia [N] mol

s

kg

m

K A

cd

mol

Desde 1980 se discute que las dimensiones

auxiliares para ángulo plano (radianes) y ángulo

esférico (steroradianes) comprometen la

coherencia interna del SI, por lo que en 1995

quedan eliminadas y se le pasa a considerar

dimensiones derivadas adimensionales.

metro Inicialmente (1792) definido como la diezmillonésima parte de la distancia entre el ecuador y el polo norte, a lo largo del meridiano que pasa por París.

Distancia entre dos líneas finas trazadas en una barra de aleación de platino e iridio.

En 1960 se redefine como 1.650.763,74 longitudes de onda de la luz roja-anaranjada emitida por el isótopo Kr86.

En 1983 se define como la longitud recorrida por la luz en el vacío en un intervalo de tiempo de 1/299.792.458 de segundo.

Dimensión fundamental:

LONGITUD

Montaje

experimental de

láser He-Ne

estabilizado con

una celda interna

de yodo a una

longitud de onda de

632 991 398,22 fm

para establecer el

patrón de longitud

en el SI

kilogramo

Unidad de masa en el SI (1875) correspondiente a la de un prototipo internacionalmente consisten en un cilindro de 39 mm de diámetro y altura construido con una aleación de platino (90%) e iridio (10%), definido en 1889 por la CGPM y conservado en el Bureau Internacional de los Pesos y Medidas (BIPM)


MASA

segundo

Inicialmente definido como 1/86.400 del

día solar medio (tiempo de una rotación

completa de la tierra sobre su eje en

relación al sol)

En 1967 se definió como la duración de

9.192.631.770 períodos de la radiación

correspondiente a la transición entre los

dos niveles energéticos hiperfinos del

estado fundamental del átomo de cesio

133.


TIEMPO

Relojes atómicos

donde se mantiene

en operación los

patrones de tiempo

y frecuencia del SI

Kelvin

Es la unidad de temperatura en el SI, correspondiente a la fracción 1/273,16 de la temperatura termodinámica del punto triple del agua (1954-1957).

Montaje

experimental de la

celda diseñada para

mantener las

condiciones del

punto triple del

agua.


TEMPERATURA

amperio

Intensidad constante de una corriente eléctrica que, mantenida entre dos conductores paralelos lineales infinitos, de sección circular despreciable, distantes un metro y ubicadas en el vacío, produjera entre estos conductores una fuerza igual a 2.10-7 newton por metro de longitud del conductor. (1946-1948).


INTENSIDAD DE CORRIENTE

Montaje

experimental del

sistema para

mantener en

operación el efecto

Josephson,

requerido para

reproducir el patrón

de tensión.

candela

Es la intensidad luminosa, en una dirección dada, de una fuente monocromática de frecuencia 540.1012 hertz y cuya intensidad energética en esta dirección sea de 1/683 watt por esteradían. (1979)


INTENSIDAD LUMINOSA

Montaje

experimental en

laboratorio de

fotometría para

operar el patrón de

intensidad luminosa.

mol

cantidad de materia, igual a la cantidad de entes elementales equivalentes a la de átomos contenidos en exactamente 0,012 kilogramos de carbono 12 (1971)

Al utilizar la definición de mol, han de especificarse los entes elementales, tales

como átomos, moléculas, iones, electrones, etc.


CANTIDAD DE SUSTANCIA

Dimensiones derivadas

RESULTADO DE LA APLICACIÓN

DE LEYES O RELACIONES

ENTRE LAS VARIABLES

DE UN FENÓMENO

Superficie [L2]

Volumen [L3]

Masa específica [ML-3]

Aceleración [Lt-2]

Fuerza [MLt-2]

Trabajo [ML2t-2]

Potencia [ML2t-3]

Presión [ML-1t-2]

Caudal [L3t-1]

Flujo másico [Mt-1]

Viscosidad dinámica [ML-1t-1]

Capacidad calórica [L2t-2T-1]

Algunas dimensiones derivadas tienen

unidades con nombres propios

Frecuencia hertz Hz [t-1

]

Fuerza newton N [MLt-2

]

Presión pascal Pa [ML-1

t-2

]

Energía joule J [ML2t-2

]

Potencia vatio W [ML2t-3

]

Viscosidad dinámica poiseuille Pl [ML-1

t-1

]

Carga eléctrica coulombio C [t]

Potencial eléctrico voltio V [ML2t-3

I-1

]

Capacidad eléctrica faradio F [M-1

L-2

t4I2]

Inducción magnética tesla T [Mt-2

I2]

Inductancia henry H [ML2t-3

I-1

]

Alumbramiento luminoso lux lx [L-2

E] áng sól.

Flujo luminoso lumen lm [E] áng sól.

Actividad de rayos becquerel Bq [t-1

]

Prefijos para múltiplos y submúltiplos

del Sistema Internacional

No contribuyen a la

coherencia del SI y

se les tienden a

reemplazar por

potencias de 10,

pero se consideran

útiles para

expresar orden de

magnitud.

Unidades que no pertenecen al SI

pero que se acepta su uso

NO pertenecen

al Sistema

Internacional

pero debido al

uso extendido

se opta por

mantenerlas

para usarlas

conjuntamente.

Tampoco

pertenecen al

Sistema

Internacional;

pero se calculan

experimentalmente

por lo que se

acepta mantenerlas

para usarlas

conjuntamente.

Factores de conversión

Relación adimensional entre la magnitud de

una propiedad física expresada en diferentes

sistemas de unidades.

(Diferente patrón de referencia para las dimensiones básicas)

Ejemplos:

Masa 1 lb = 0,453 kg

Longitud 1 in = 2,54 cm

Presión 14,7 psi = 1 atm

Temperatura 1 DK = 1,8 DR

Fuerza 1 lbf = 4,448 N

Uso de los factores de conversión

Conversión de valores numéricos

Transformación del valor numérico

expresado en distintas unidades o sistemas

de unidades

Conversión de ecuaciones

Modificación de ecuaciones dimensionales

para ser utilizadas con unidades distintas a

las dadas en la ecuación

Análisis Dimensional

Fundamentos

Todas las dimensiones físicas pueden expresarse como producto de

potencias de un número reducido de dimensiones fundamentales

Las ecuaciones que representan fenómenos físicos deben ser

dimensionalmente homogéneas.

Cualquier relación general entre dimensiones físicas puede

expresarse en función de un conjunto de grupos adimensionales que

contengan las variables que interviene en el fenómeno y las

constantes dimensionales del sistema de unidades utilizado.

Estrategias y métodos:

Teorema de la productoria de Buckingham

Método de Rayleigh

Método de las ecuaciones diferenciales.

Consecuencias…

Toda ecuación válida debe ser dimensionalmente

homogénea.

V (m/s) = Vo (m/s) + g (m/s2) . t (s)

Sólo es posible sumar, restar o igualar cantidades si

las unidades son las mismas.

Se puede multiplicar o dividir unidades a voluntad,

pero no se pueden cancelar ni combinar unidades si

no son idénticas.

Ecuación dimensionalmente homogénea,

basada en leyes físicas.

Considere la ecuación:

D (ft) = 3 t (s) + 4

Si la ecuación es válida, ¿Cuáles son las dimensiones de las

constantes 3 y 4?

Si es consistente en unidades, ¿Cuáles son las unidades de 3 y 4?

Encuentre una ecuación para la distancia en metros en función del

tiempo en minutos.

Ecuaciones dimensionales

Ecuación empírica para el tiempo de

separación de dos líquidos inmiscibles

BA

t

24,6

Coeficiente transferencia de calor por

convección natural en tubo horizontal

25,0

D

T 0,50

Dh

h: Coeficiente convectivo (Btu/h.ft2.°F)

DT: Diferencia de temperatura (°F)

D: Diámetro exterior del tubo (in)

t: Tiempo para la separación (h)

A; B: Densidad de líquidos a separar (lb/ft3)

: Viscosidad de la fase continua (cp)

Estrategias y métodos del análisis dimensional

Teorema de productoria de Buckingham

En un problema físico

en el que intervienen

“n” variables y

“p” dimensiones

fundamentales, se

pueden definir

“n-p” grupos

adimensionales.

n variables

p dimensiones fundamentales

n-p grupos adimensionales

Estrategias y métodos del análisis dimensional

Método de Rayleigh (1899)

1. Expresar la variable de interés como una función potencial de las restantes variables.

2. Sustituir las variables en la función potencial por sus dimensiones

3. Plantear ecuación de condición de homegeneidad para cada una de las magnitudes fundamentales.

4. Para “n” variables, el número de incógnitas a determinar será “n-1”, y dado que el sistema posee “p” magnitudes fundamentales (ecuaciones de condición), se fijan “n-p-1” incógnitas para resolver el sistema.

5. Sustituir los exponentes calculados en la función potencia y agrupar las variables elevadas a los mismos exponentes.

Algunas consecuencias importantes…

Si el exponente de una variable es cero, dicha variable no

es significativa en el problema.

Si dos de las magnitudes fundamentales aparecen siempre

en la misma combinación, se obtiene la misma ecuación

para los exponentes de estas magnitudes, por lo que se

reduce el número de magnitudes fundamentales efectivas

y se incrementa el número de grupos adimensionales.

La forma de la ecuación final dependerá del método de

resolución, pero los nuevos grupos adimensionales se

pueden obtener multiplicando entre sí potencias de los

grupos existentes.

Números adimensionales en Ing. Química Semejanza dinámica

Números adimensionales que representan cocientes de

fuerzas

Nombre Símbolo Expresión Sentido físico

Reynolds Re

LV

rozamiento de fuerzasinercia de fuerzas

Euler Eu2V

p

D

inercia de fuerzas

presión de fuerzas

Froude Fr gLV 2

gravedad de fuerzasinercia de fuerzas

Grashof Gr2

32

TgL D

viscoso)rozamiento de (fuerzas

térmica)convección de uerzasinercia)(f de (fuerzas2

Grashof de

concentración

GrAB 2

32

AAgL D

viscoso)rozamiento de (fuerzas

ión)concentrac convección de uerzasinercia)(f de (fuerzas2

Weber Wes

LV

2

lsuperficia tensión de fuerzasinercia de fuerzas

Números adimensionales en Ing. Química Semejanza térmica


flujos o de términos de generación de calor


Nusselt Nu k

hL conducciónpor smitidoCalor tran

conveccióny conducciónpor smitidoCalor tran

Stanton St = Nu/Pe VC

h

p convecciónpor smitidoCalor tran

conveccióny conducciónpor smitidoCalor tran

Peclet Pe = Re. Pr k

VLCp conducciónpor smitidoCalor tran

convecciónpor smitidoCalor tran

Damköhler III DaIII

TVC

LrH

p

A

D

D


químicareacción deCalor

Damköhler IV DaIV=DaIII.Pe Tk

LrH A

D

D 2

conducciónpor smitidoCalor tran

químicareacción deCalor

Thring Th 3T

VCp

radiación por smitidoCalor tran


Brinkman Br Tk

V

D

2 conducciónpor smitidoCalor tran

rozamientopor generadoCalor

Números adimensionales en Ing. Química Semejanza de concentraciones


transporte de materia y de términos de reacción química


Sherwood Sh

AB

A

D

Lk

difusión de A por Transporte

usión ción y difpor convec de A Transporte

Peclet másico Pe = Re.Sc

ABD

LV


ción por convec de A Transporte

Damköhler I DaI

V

Lr

A

A

convección de A por Transporte

a ión químic por reacc de A o consumoGeneración

Damköhler II DaII

ABA

A

Dρ

Lr 2


a ión químic por reacc de A o consumoGeneración

Ejemplo de aplicación del análisis dimensional

Transferencia de calor por convección forzada

Determinar “h” para condicion de flujo a velocidad promedio v en conductor

cerrado con diferencia de temperatura entre el fluido y la pared del tubo.

Variables y sus respectivas dimensiones:

Variable Símbolo Dimensión

Diámetro del tubo D L

Densidad del fluido M/L3

Viscosidad del fluido M/Lt

Capacidad calorífica del fluido Cp Q/MT

Conductividad térmica del fluido k Q/tLT

Velocidad v L/t

Coeficiente convectivo h Q/tL2T

h = f(D, , , Cp, k, v)

Método de Buckingham

3 grupos adimensionales

DvRe Reynolds

Nusselt

Prandtl

k

hDNu

k

CpPr

Nu = f (Re, Pr)

Variable Símbolo Dimensiones

Longitud significativa L L

Densidad del fluido M/L3

Capacidad calorífica del fluido Cp Q/MT

Conductividad térmica del fluido k Q/LtT

Coeficiente de expansión térmica del fluido 1/T

Aceleración gravitacional g L/t2

Diferencia de temperatura DT T

Coeficiente convectivo de transferencia de calor H Q/L2tT

Determinar “h” para transferencia de calor por convección natural desde una

pared plana hasta un fluido adyacente.

Variables y sus respectivas dimensiones:

h = f(L, , , Cp, k, , g, DT)

Método de Buckingham

4 grupos adimensionales

Nusselt

Prandtl k

hLNu

k

CpPr

Nu = f (Gr, Pr) 2

23

1

gL

TD 2

2

23

21

.

TgL DGrashof

Ejemplo de aplicación del análisis dimensional

Transferencia de calor por convección natural

Ejemplo de aplicación del análisis dimensional Ecuación para convección natural en superficie isotérmica

Geometría Gr.Pr (b) Régimen a m

Placas y cilindros verticales (a) 104 – 109 Laminar 0,59 1/4

109 – 1013 Turbulento 0,10 1/3

Cilindros horizontales (a) 104 – 109 Laminar 0,53 1/4

109 – 1012 Turbulento 0,13 1/3

Placas horizontales calientes:

Cara superior 2.104 – 8.106 Laminar 0,54 1/4

8.106 - 1011 Lam + Turb. 0,15 1/3

Cara inferior 105 – 1011 Lam + Turb. 0,58 1/5

2.104 – 8.106 Laminar 0,27 1/4(a) Para cilindros, L = diámetro del cilindro

(b) Número de Gr y Pr calculados a la temperatura de película de la capa límite, Tf = 0,5 (To + T)

Nu = a(Gr.Pr)m

Ejemplo aplicación análisis dimensional

Diagrama para el cálculo del consumo de potencia en tanques agitados.

Bibliografía

Introducción a la Ingeniería Química – Calleja y colaboradores.

Magnitudes, dimensiones y conversiones de unidades – Ledanois & López

Principios básicos y cálculos en Ingeniería Química – Himmelblau.

Principios fundamentales de los procesos químicos – Felder & Rousseau.

El sistema internacional – Centro Nacional de Metrología de México

Sistema de unidades y análisis dimensional

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