“Año de la Integración Nacional y el Reconocimiento de Nuestra Diversidad”

Análisis dimensional

Alumna: CALDERÓN MARTEL, Connie France

Profesora: MORALES NERI, Milagros

Curso: CIENCIA, TECNOLOGÍA Y AMBIENTE

Grado y Sección: 5° “A” SECUNDARIA

Lima - 2012

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SUMARIO

I. INTRODUCCIÓN……………………………………………………..3

II. MARCO TEÓRICO

II.1Definición…………………………………………………………4

II.2Fines……………………………………………………………....6

II.3 Importancia……………………………………………………….8

II.4Ecuaciones dimensionales…………………………………….10

III. REFERENCIAS……………………………………………………...13

IV. CONCLUSIONES……………………………………………………15

V. ANEXOS……………………………………………………...............17

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I. INTRODUCCIÓN

El Análisis Dimensional se reveló como una potente herramienta de

investigación en Física e Ingeniería a principios de este siglo, aunque tiene

sus antecedentes en Fourier y aún antes, con Galileo, se debe al primero la

fundamentación rigurosa de esta disciplina, que es conocida por los

matemáticos y algunos físicos.

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II. MARCO TEÓRICO

2.1 DEFINICIÓN

Para David Guevara Galdós (2004) el análisis dimensional es “una parte de

la física que estudia la forma como se relacionan las magnitudes derivadas

con las fundamentales. Tal estudio se hace básicamente para descubrir

valores numéricos, a los que los llamaremos dimensiones, los cuales

aparecen como exponentes de los símbolos de las magnitudes

fundamentales.” y de la misma manera lo presenta Jerry D. Wilson (1997)

quien se refiera a este análisis como “una herramienta que permite simplificar

el estudio de cualquier fenómeno en el que estén involucradas

muchas magnitudes físicas en forma de variables independientes. Su

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resultado fundamental, el teorema de Vaschy-Buckingham (VER ANEXO

PÁG. 21) permite cambiar el conjunto original de parámetros de entrada

dimensionales de un problema físico por otro conjunto de parámetros de

entrada adimensionales más reducido”. Finalmente, para Julián Martínez de

la Calle (2008), “el análisis dimensional es un método para verificar

ecuaciones y planificar experimentos sistemáticos.” Entonces se puede

concluir que el análisis dimensional es aquella igualdad matemática que

muestra la relación que existe entre una magnitud derivada y las magnitudes

fundamentales, cuyo resultado fundamental es el teorema de Vaschy-

Buckingham. Además, el análisis dimensional se basa en el Principio de

Homogeneidad Dimensional postulado por Fourier (1822), que establece que

“si una ecuación expresa correctamente una relación entre variables, debe

ser dimensionalmente homogénea, es decir, sus sumandos deben tener las

mismas dimensiones”.

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2.2 FINES

El análisis dimensional sirve para expresar (relacionar) las magnitudes

derivadas en términos de las fundamentales.

Sirve para comprobar la veracidad o falsedad de las fórmulas físicas,

haciendo uso del principio de homogeneidad dimensional.

Sirve para deducir nuevas fórmulas a partir de datos experimentales.

(Fórmulas Empíricas).

Sirve para formular leyes de similitud de considerable importancia en la

investigación experimental.

Permite la resolución de problemas cuya solución directa conlleva

dificultades matemáticas insalvables.

Creación y estudio de modelos reducidos.

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Posibilita consideraciones sobre la influencia de posibles cambios en

los modelos, etc.

El Análisis Dimensional permite reducir el número y la complejidad de

las variables que intervienen en la descripción de un fenómeno físico

dado:

Si un fenómeno físico depende de n variables dimensionales, es

posible reducir el problema a sólo k variables adimensionales, donde la

reducción n-k puede ser 1, 2, 3 o 4, dependiendo del número de

dimensiones básicas que intervengan en el fenómeno.

En definitiva, el Análisis Dimensional: (1) Permite un análisis

cualitativo, (2) Muestra la dependencia entre las variables y (3)

Simplifica las relaciones entre variables, mientras que la Teoría de

modelos permitirá extrapolar resultados entre flujos semejantes.

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2.3 IMPORTANCIA

El análisis dimensional es la base de los ensayos con maquetas a escala

reducida utilizados en muchas ramas de la ingeniería, tales como

la aeronáutica, la automoción o la ingeniería civil. A partir de dichos ensayos

se obtiene información sobre lo que ocurre en el fenómeno a escala real

cuando existe semejanza física entre el fenómeno real y el ensayo, gracias a

que los resultados obtenidos en una maqueta a escala son válidos para el

modelo a tamaño real si los números adimensionales que se toman como

variables independientes para la experimentación tienen el mismo valor en la

maqueta y en el modelo real. Así, para este tipo de cálculos, se

utilizan ecuaciones dimensionales, que son expresiones algebraicas que

tienen como variables a las unidades fundamentales y derivadas, las cuales

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se usan para demostrar fórmulas, equivalencias o para dar unidades a una

respuesta.

La importancia del análisis dimensional viene dada por la dificultad del

establecimiento de ecuaciones en determinados flujos, además de la

dificultad de su resolución, siendo imposible obtener relaciones empíricas.

Es importante considerar que si en un experimento en un modelo (a escala

geométrica del prototipo), se pueden obtener las escalas cinemáticas

(relaciones de velocidades) y las escalas dinámicas (relaciones de fuerzas),

los resultados adimensionales que se obtienen para el modelo son también

válidos para el prototipo.

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2.4 ECUACIONES DIMENSIONALES

Las ecuaciones dimensionales son aquellas que sirven para expresar la

relación existente entre las magnitudes derivadas y las magnitudes

fundamentales.

Forma general de la Ecuación Dimensional.- En el S.I. tiene la siguiente

forma:

[x]= La Mb Tc Id θe Jf Ng

Donde:

x: Magnitud derivada

a, b, c, d, e, f, g : Constantes numéricas

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Principio de Homogeneidad Dimensional.- Toda ecuación física correcta es

dimensionalmente homogénea, esto quiere decir, que cada sumando de una

fórmula física debe tener la misma ecuación dimensional.

Ej. Sea la ecuación: x = vo.t + at2 /2

Homogeneidad dimensional quiere decir:

[x] = [vo.t] = [at2 /2]

Observaciones:

1. La ecuación dimensional de números (diferente de cero) de ángulos,

funciones trigonométricas, logaritmos y de constantes adimensionales es

igual a la unidad.

2. El exponente de una magnitud física es siempre una cantidad

adimensional. (Esto no significa que una magnitud física no puede aparecer

en el exponente).

3. La suma o diferencia de las mismas magnitudes da como resultado las

mismas magnitudes.

Ej.:

L + L = L

L - L = L

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Aplicaciones de las Ecuaciones Dimensiónales: sirven para la comprobación

de fórmulas, determinar las unidades de las magnitudes y conversión de

unidades.

Listado de ecuaciones dimensionales básicas (VER CUADRO EN EL

ANEXO PÁG. 18)

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III. REFERENCIAS

WILSON, Jerry D. y BUFFA, Anthony J. Física con aplicaciones 5ta

edición. Editorial Pearson Educación, 2003. México.

HEWITT, Paul G. Física conceptual 9na edición. Editorial Pearson

Educación, 2004. México.

WESTON, Francis. Física universitaria, volumen 1. Editorial Pearson

Educación, 2005.

CASAS VÁSQUEZ, José. Física, segunda edición. Editorial Reverté,

2007. Barcelona, España. (Edición española)

BURBANO GARCÍA, Enrique. Física general 32va. edición. Editorial

Tébar, SL. 2003.

GUVARA GALDÓS, David. Estudios de Física Conceptual. Cusco

Perú 2004.

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MARTÍNEZ DE LA CALLE, Julián. Apuntes de Mecánica de Fluidos: 2ª

parte. Escuela Politécnica Superior de Ingeniería de Gijón, 2008.

España.

SOTOLONGO COSTA, Óscar. Estudio de análisis dimensional,

departamento de Física teórica. Universidad de la Habana, 2003.

Cuba.

www.es.scribd.com/gavila111/d/52010457-Ecuaciones-dimensional es

www.es.wikipedia.org/wiki/An%C3%A1lisis_dimensional

www.unioviedo.es/Areas/Mecanica.Fluidos/docencia/_asignaturas/

mecanica_de_fluidos/08_09/II.1.%20ANALISIS%20DIMENSIONAL

%200809.pdf

www.civil.frba.utn.edu.ar/2011/Materias/modeloshidraulicos/

analisis.dimensional.pdf

www.ugr.es/~andyk/Docencia/TEB/Tema5.pdf

www.fisica1.fisica.edu.uy/2012/Ficha_1.pdf

www.fisicafacil.awardspace.com/tema00/dimen01.pdf

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IV. CONCLUSIONES

1. El análisis dimensional es un método para verificar ecuaciones y

planificar experimentos sistemáticos. A partir del análisis dimensional

se obtienen una serie de grupos adimensionales, que van a permitir

utilizar los resultados experimentales obtenidos en condiciones

limitadas, a situaciones en que se tengan diferentes dimensiones

geométricas, cinemáticas y dinámicas; y muchas veces en casos en

que las propiedades del fluido y del flujo son distintas de las que se

tuvieron durante los experimentos

2. Las ecuaciones dimensionales son expresiones algebraicas que

tienen como variables a las unidades fundamentales y derivadas, las

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cuales se usan para probar fórmulas, equivalencias o para dar

unidades a una respuesta.

3. El análisis dimensional es importante en diversas ramas de la

ingeniería, tales como la aeronáutica, la automoción o la ingeniería

civil.

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V. ANEXOS

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(ANEXO N°1)

TABLA DE ECUACIONES DIMENSIONALES BÁSICAS

Variable Símbolo Unidad MLT FLT

Fuerza F Nw MLT-2 F

Masa M Kg. M FL-1T-2

Longitud L M L L

Tiempo T S T T

Velocidad lineal V m/s LT L

Velocidad angular w s-1 T-1 T-1

Velocidad del sonido C m/s LT-1 LT-1

Aceleración lineal A m/s2 LT-2 LT-2

Aceleración gravedad G m/s2 LT-2 LT-2

Gasto o caudal Q m3/s L3T-1 L3T-1

Caudal unitario Q m2/s L2T-1 L2T-1

Presión P Pa ML-1T-2 FL-2

Densidad r Kg/m3 ML-3 FL-4T2

Peso específico G N/m3 ML-2T-2 FL-3

Viscosidad dinámica M Pa.s ML-1T-1 FL-2T

Viscosidad cinemática V m2/s L2T-1 L2T-1

Tensión superficial S N/m MT-2 FL-1

Esfuerzo de corte t Pa ML-1T-2 FL-1

Modulo de elasticidad E( K) Pa ML-1T-2 FL-2

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(ANEXO N°2)

EJEMPLO DE ANÁLISIS DIMENSIONAL

Calculemos mediante Análisis Dimensional la velocidad de un cuerpo en caída libre.

Sabemos que dicha velocidad   dependerá de la altura   y de la gravedad . Pero

imaginemos que también se nos ocurre decir que la velocidad depende de la masa . Una

de las bondades del Análisis Dimensional es que es "autocorregible", es decir, el

procedimiento, por sí sólo, elimina las unidades que no son necesarias.

Identificar las magnitudes de las variables:

.

Formar la matriz

Hacer el producto de matrices:

Aquí tenemos que decir que   se refiere al exponente de la unidad , pero eso se verá en

pasos sucesivos.

.

Desarrollar el producto de matrices y resolver el sistema de ecuaciones.

Se forma un sistema de ecuaciones. Si nos fijamos, tenemos 4 incógnitas, y sólo 3

ecuaciones, así que para que el sistema pueda ser resuelto, necesitamos tantas incógnitas

como ecuaciones. ¿Cómo se subsana el problema? Muy sencillo: se coge un   cualquiera

y le asignamos el valor que queramos, a excepción del 0. En nuestro caso, vamos a

tomar   como .

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Si aplicamos la solución inicial que hemos propuesto anteriormente ( ), se realizan

los sencillos cálculos y llegamos a las soluciones:

Formar el/los grupos 

Un grupo   es una ecuación adimensional. ¿Cuántos grupos   vamos a obtener? Pues

si   es el número de unidades (las unidades son el metro, el kilo, el segundo, el grado), y   

el rango máximo de la matriz que contiene los coeficientes de las magnitudes de las

unidades (a veces coincide el rango de la matriz con el número de variables que tenemos,

aunque ésta no es una regla fiable), el número de grupos   (o ecuaciones que

obtendremos) será . En el caso que nos ocupa,   ecuación.

Ahora se cogen las unidades que hemos tomado en nuestro problema y las elevamos a los

exponentes que hemos obtenido. Ésa es nuestra ecuación.

(Nótese que   es adimensional). Aquí obtenemos aquello que llamábamos

"autocorrección": el exponente de la masa es 0, así que desaparece de nuestra ecuación,

demostrando una vez más que la caída libre no depende de la masa del objeto en cuestión.

Paso final: obtención de la ecuación.

, con   valiendo , lo que nos da la fórmula correcta: 

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(ANEXO N°3)

TEOREMA π DE VASCHY-BUCKINGHAM

El Teorema de Π (pi) de Vaschy-Buckingham es el teorema fundamental del análisis

dimensional. El teorema establece que dada una relación física expresable mediante una

ecuación en la que están involucradas n magnitudes físicas o variables, y si dichas variables

se expresan en términos de k cantidades físicas dimensionalmente independientes,

entonces la ecuación original puede escribirse equivalentemente como una ecuación con

una serie de n - k números adimensionales construidos con las variables originales.

Este teorema proporciona un método de construcción de parámetros adimensionales,

incluso cuando la forma de la ecuación es desconocida. De todas formas la elección de

parámetros adimensionales no es única y el teorema no elige cuáles tienen significado físico.

Un ejemplo

Imaginemos un problema donde pretendemos relacionar la resistencia aerodinámica o

fuerza aerodinámica Fa sobre un cuerpo, por ejemplo una esfera o cualquier otra forma

geométrica, en función de su tamaño o dimensión característica d, la densidad del fluido ρ,

la viscosidad η del mismo y la velocidad del cuerpo v en el seno de dicho fluido. Dado que

parece que esas variables deberían explicar por sí mismas la resistencia aerodinámica se

tiene relación matemática del tipo:1

Puesto que tenemos 5 variables relevantes . Estas cinco variables no son

dimensionalmente independientes ya que desde el punto de vista dimensional se tiene en

términos de masa, tiempo y longitud que:

En este caso se tiene por tanto   ya que todas las magnitudes son reducibles a sólo 3

magnitudes dimensionales independientes. Esto implica que existen   combinaciones

adimensionales tales que la relación (2) se puede reducir a la forma:

(3a)

Para continuar se escogen arbitrariamente 3 de las cinco magnitudes originales como

"básicas" y se forman junto con las otras dos consideradas "dependientes" productos

adimensionales. En este caso se toman como básicas por ejemplo ρ, v y d (aunque podría

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haberse hecho otra elección). Ahora buscamos exponentes enteros tales que los siguientes

productos sean adimensionales:

(4)

La condición de adimensionalidad para   lleva a que por ejemplo:

(5)

Esto lleva al sistema de ecuaciones sobre los enteros:

Análogamente para el parámetro , se llega a que:   y por tanto la

relación buscada es:

)

Si se asumen ciertas condiciones de regularidad y diferenciabilidad sobre la función anterior,

podrá usarse el teorema de la función implícita para escribir las relaciones:

(7a)

Esta última ecuación dice es consistente con la expresión común para la resistencia

aerodinámica:

(7b)

Donde,   y   es una función del número de Reynolds que precisamente

es proporcional al parámetro . Obviamente el teorema no es capaz de darnos todos los

factores de proporcionalidad requeridos, ni la forma funcional exacta de algunas partes de la

fórmula, pero simplifica mucho el conjunto de expresiones a partir de la cual tenemos que

buscar los datos.

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