Análisis Dinámico de TEMA 4 Análisis Dinámico...

TEORÍA DE MÁQUINASTEORÍA DE MÁQUINAS -- 4.4.11 --

TEMA 4Análisis Dinámico de

Mecanismos

TEMA 4TEMA 4Análisis Dinámico de Análisis Dinámico de

MecanismosMecanismos

J.

M. P

into

r J.

M. P

into

r Bor

obia

Bor

obia

J.M

. Jim

énez

J.

M. J

imén

ez B

asco

nes

Bas

cone

s

ANÁLISIS COMPUTACIONALANÁLISIS COMPUTACIONALANÁLISIS COMPUTACIONAL

Análisis DinámicoAnálisis Dinámico� Definición

��La Dinámica es la rama de la Mecánica que se ocupa La Dinámica es la rama de la Mecánica que se ocupa del estudio del movimiento, considerando las causas del estudio del movimiento, considerando las causas que lo producen y sus efectosque lo producen y sus efectos.

� PROBLEMAS DINÁMICOS:�Posición de equilibrio estable.�Dinámica directa o simulación dinámica.�Dinámica inversa.�Linealización de las ecuaciones del movimiento.



Mecanismos



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cone

s


Posición de Equilibrio Posición de Equilibrio EstableEstable

� OBJETIVO:��Obtención de la posición de equilibrio del mecanismo Obtención de la posición de equilibrio del mecanismo

sometido a la acción de un conjunto de solicitaciones sometido a la acción de un conjunto de solicitaciones exterioresexteriores.

� PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA:�Incógnitas: Vector de coordenadas dependientes q.�Datos: Datos inerciales y geométricos del mecanismo.

Solicitaciones exteriores.Aproximación inicial del vector de coordenadas.

� OBSERVACIONES:�Se trata de un problema no lineal ⇒ MÉTODOS ITERATIVOSMÉTODOS ITERATIVOS



Mecanismos



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Simulación DinámicaSimulación Dinámica� OBJETIVO:

�� Determinar de la respuesta en el tiempo del mecanismo sometido aDeterminar de la respuesta en el tiempo del mecanismo sometido a la la acción de un conjunto de solicitaciones exteriores.acción de un conjunto de solicitaciones exteriores.

� PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA:� Incógnitas: Respuesta en el tiempo del mecanismo (posiciones, velocidades,

aceleraciones, reacciones en los pares, etc.)� Datos: Datos inerciales y geométricos del mecanismo.

Solicitaciones exteriores.Condiciones iniciales de los grados de libertad.

� OBSERVACIONES:�� Requiere la solución de un sistema de ecuaciones diferencialesRequiere la solución de un sistema de ecuaciones diferenciales.� Las coordenadascoordenadas que definen el mecanismo son dependientes.dependientes.



Mecanismos



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cone

s


Problema Dinámico Problema Dinámico InversoInverso

� OBJETIVO:��Obtención de los esfuerzos motores que originan un Obtención de los esfuerzos motores que originan un

movimiento dado en el mecanismo.movimiento dado en el mecanismo.

� PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA:�Incógnitas: Esfuerzos motores que originan el movimiento.�Datos: Datos inerciales y geométricos del mecanismo.

Solicitaciones exteriores.Datos cinemáticos del movimiento.

� OBSERVACIONES:��Junto con los esfuerzos motores, es habitual el cálculo de las Junto con los esfuerzos motores, es habitual el cálculo de las

reacciones en los pares reacciones en los pares cinemáticoscinemáticos.



Mecanismos



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Bor

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nes

Bas

cone

s


Péndulo Simple (I)Péndulo Simple (I)

� Diagrama del péndulo � Diagrama de sólido libre

θ x

y

m

Rx

Ry

xm &&

mgym +&&

θ



Mecanismos



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s


Péndulo Simple (II)Péndulo Simple (II)

� Ecs. de equilibrio dinámico � Cinemática∑ −== xmRF xx

&&0

mgymRF yy −−==∑ &&0

( ) ( )∑ −−−−== xmgymyxmM o&&&&0

θθ

sen

cos

Ly

Lx

==

θθθθ&&

&&

cos

sen

Ly

Lx

=−=

2

2

sencos

cossen

θθθθθθθθ&&&&&

&&&&&

LLy

LLx

−=−−=

0cos2 =+ θθ mLgmL &&

0cos =+ θθL

g&&

� Sustituyendo las ecuaciones de la cinemática en las ecuaciones de equilibrio dinámico



Mecanismos



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s


Péndulo Simple (III)Péndulo Simple (III)

� Función Lagrangiana � Cinemática

( )22

2

1yxmT && +=

mgyV =θθ

sen

cos

Ly

Lx

==

θθθθ&&

&&

cos

sen

Ly

Lx

=−=( ) mgyyxmVTL −+=−= 22

2

1&&

� Ecs. de Lagrange

θθ sen2

1 22 mgLmLL −= &

0=

∂∂−

∂∂

θθLL

dt

d&

0cos =+ θθL

g&&



Mecanismos



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s


BielaBiela--manivela (I)manivela (I)

� Diagrama del mecanismo � Diagramas de sólido libre

R1x

R1y

R2y

R2x

1xm &&

mgym +1&&

x

L L

y

A (0,0)C (s,0)

B (x,y)

m

θ

m m(x1,y1) (x2,y2)

R2x

R2y

R3y

2xm &&

mgym +2&&

sm &&



Mecanismos



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s


BielaBiela--manivela (II)manivela (II)� Ecuaciones de equilibrio dinámico

� Ecuaciones de cinemática

=======

xs

yy

xx

yy

xx

LyLx

2

2

23

2

2

sencos

2

2

1

1

θθ

( )( )

=+−−+=+−−

=−−

0

0

0

112112

121

121

gymxxRxmyyR

gymRR

xmRR

yx

yy

xx

&&&&

&&

&&

( )( )

=+−+−=+−+

=−−

0

0

0

212212

232

22

gymxxRxmyyR

gymRR

smxmR

yx

yy

x

&&&&

&&

&&&&

=====

−=−−=

xs

yy

xx

yy

xx

LLyLLx

&&&&

&&&&

&&&&

&&&&

&&&&

&&&&&

&&&&&

2

2

23

2

2

sencos

cossen

2

2

1

1

2

2

θθθθθθθθ

======

−=

xs

yy

xx

yy

xx

LyLx

&&

&&

&&

&&

&&

&&

&&

2

2

23

2

2

cos

sen

2

2

1

1

θθθθ



Mecanismos



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BielaBiela--manivela (III)manivela (III)

� Operando en las ecuaciones de equilibrio dinámico

� Sustituyendo las ecuaciones de la cinemática en las ecuaciones de equilibrio dinámico

127 xmR x

&&=

( ) ( ) 0222112112

=++−−+ gyymxxxmyyR x&&&&&&&&

0213 =−− xmgyxmxym &&&&

( ) 0cos2cossen12sen12122 =+++ θθθθθθ

L

g&&&



Mecanismos



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BielaBiela--manivela (IV)manivela (IV)

� Función Lagrangiana

� Ecuaciones de Lagrange

� Cinemática

=

+=

θθθθ

sen

sen34

1 22222

mgLV

mLmLT &&

0=

∂∂−

∂∂

θθLL

dt

d&

θθθθ sensen34

1 22222 mgLmLmLL −+= &&

( ) ( )

+=

++++=

21

22

2

2

2

2

1

2

12

1

2

1

2

1

mgymgyV

smyxmyxmT &&&&&

======

−=

xs

yy

xx

yy

xx

LyLx

&&

&&

&&

&&

&&

&&

&&

2

2

23

2

2

cos

sen

2

2

1

1

θθθθ

( ) 0cos2cossen12sen12122 =+++ θθθθθθ

L

g&&&



Mecanismos



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Planteamiento del Planteamiento del problema dinámicoproblema dinámico

1. Definición del modelo matemático� Selección de las coordenadas

2. Resolución de la cinemática3. Planteamiento de las ecuaciones del movimiento

� Fuerzas de inercia� Fuerzas exteriores

4. Integración en el tiempo de las ecs. del movimiento� Ecuaciones diferenciales no lineales de 2º grado



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Ecuaciones del Ecuaciones del Movimiento (I)Movimiento (I)

�� Ecuaciones de NewtonEcuaciones de Newton--EulerEuler:

� DIFICULTADES que plantean:� Conducen a grandes sistemas de ecuacionesgrandes sistemas de ecuaciones.� Incluyen entre las incógnitas las reacciones en los pares cinemáticos.

� En ciertos mecanismos, pueden aparecer más incógnitas que ecuaciones ⇒el problema puede no estar determinado.el problema puede no estar determinado.

( ) 0aF =−∑i

ii m

( ) 0ωJωωJN =×−−∑i

iGiiGi&



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Ecuaciones del Ecuaciones del Movimiento (II)Movimiento (II)

� Ecuaciones de LAGRANGELAGRANGE:

� Principio de los TRABAJOS VIRTUALESTRABAJOS VIRTUALES:

� Principio de las POTENCIAS VIRTUALESPOTENCIAS VIRTUALES:

� Principio de HAMILTONHAMILTON:

� Otros: ecuaciones de Gibbs-Appell,...

ext

TLL

dt

dQλΦ

qqq =+

∂∂−

∂∂&

( ) 0QFq =−in

Tδ

( ) 0QFq =−in

T&~

( ) ( ) 0λΦq =++ ∫∫2

1

2

1

t

t

Tt

text dtdtWL δδ



Mecanismos



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Formulación NuméricaFormulación Numérica� Energía cinética:

matriz de masas�Posición del elemento

definida por dos puntos.

� Fuerzas exteriores: fuerzas generalizadas�Fuerzas puntuales.�Resortes y

amortiguadores.

ri

rj

t

n

−−

=ij

ij

yy

xxt

−+−

=ij

ij

xx

yyn



Mecanismos



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Matriz de Masas (I)Matriz de Masas (I)�� ENERGÍA CINÉTICAENERGÍA CINÉTICA de un elemento rígido:

�� Posición de un punto genéricoPosición de un punto genérico viene dada por:

∫=V

T

e dmT rr &&

2

1

( ) ( )( ) ( )

−+−+−−−+

=

=

ijnijti

ijnijti

xxcyycy

yycxxcx

y

xr

=

−−

−−=

=

nt

Cnt

rtntn

ntnt

cccc

cccc

y

x

1

1



Mecanismos



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s


Matriz de Masas (IMatriz de Masas (III))

�� Velocidad del puntoVelocidad del punto viene dada por:

� Sustituyendo en la expresión de la energía cinéticaenergía cinética:

( ) ( )( ) ( )

=

−+−+−−−+

=

=

ntCr&

&

&&&&&

&&&&&

&

&&

ijnijti

ijnijti

xxcyycy

yycxxcx

y

x

{ } ( ) ee

T

eV

TT

V

T

e dmdmT qMqnt

CCntrr &&&

&&&&&

2

1

2

1

2

1 =

== ∫∫

∫=V

T

e dmCCM



Mecanismos



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Matriz de Masas (III)Matriz de Masas (III)

� La matriz de masas se escribe como,

( ) ( )( ) ( )

( )( )

∫

+−−−+−−

−−+−−−−+−

=V

ntnttn

ntnntt

nttnnt

nnttnt

e dm

cccccc

cccccc

cccccc

cccccc

222

222

222

222

01

01

110

101

M

∫=V

T

e dmCCM



Mecanismos



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Bas

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Matriz de Masas (IMatriz de Masas (IVV))

� Los TÉRMINOS DE LA MATRIZ DE MASASTÉRMINOS DE LA MATRIZ DE MASAS se calculan con:

−−=

−−+−−

⇒+=−i

i

n

t

ijij

ijij

nti yy

xx

c

c

xxyy

yyxxcc ntrr

−−=

i

i

n

t

yy

xx

c

cA

eV

mdm =∫

−−=

−−

=

∫∫iG

iGe

Vi

i

Vn

t

yy

xxmdm

yy

xxdm

c

cAA



Mecanismos



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Bas

cone

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Matriz de Masas (Matriz de Masas (VV))

� Los TÉRMINOS DE LA MATRIZ DE MASASTÉRMINOS DE LA MATRIZ DE MASAS se calculan con:

( ) ( )( )( )( ) ( )

T

Viii

iii

Vnnt

ntt dmyyyyxx

yyxxxxdm

ccc

cccAA

−−−−−−

=

∫∫ 2

2

2

2

T

ieiGeyyiieiGeiGeyx

iieiGeiGeyxieiGexx

Vnnt

ntt

ymyymIyxmxymyxmI

yxmxymyxmIxmxxmI

dmccc

ccc

AA

+−+−−+−−+−

=

∫

2

2

2

2

2

2



Mecanismos



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Fuerzas PuntualesFuerzas Puntuales�� Potencial virtualPotencial virtual de una fuerza

puntual:

�� Posición y velocidad virtualPosición y velocidad virtual del punto de aplicación:

� Vector FUERZA GENERALIZADAFUERZA GENERALIZADA:

FrT

FW && ~~ =

=n

tCr&

&&

~

~~

=nt

Cr

{ } FCQFCntFrTTTTT

FW =⇒== &&&& ~~~~

ri

rj

t

nF

r



Mecanismos



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Bor

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. Jim

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s


ResortesResortes�� Posición de los extremosPosición de los extremos del resorte:

� Valor de la fuerza aplicada:fuerza aplicada:

� El caso se reduce a un PROBLEMAPROBLEMADDE FUERZAS PUNTUALES:E FUERZAS PUNTUALES:

=

1

111 n

tCr

=

2

222 n

tCr

( )12

120

1212rr

rrF

−−−= ddkr

r

TFCQ

11= r

TFCQ22

−=

r1

-Fr

t1n1

n2

t2

r2

Fr



Mecanismos



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AmortiguadoresAmortiguadores�� Velocidad de los extremosVelocidad de los extremos

del amortiguador:

� Valor de la fuerza aplicadafuerza aplicada:

� El caso se reduce a un PROBLEMAPROBLEMADE FUERZAS PUNTUALES:DE FUERZAS PUNTUALES:

( ) ( )( ) ( ) ( )

12

1212

1212 rrrrrr

rrrrF −

−−−−=

T

T

c c&&

c

TFCQ11

= c

TFCQ22

−=

=

1

111 n

tCr

&

&&

=

2

222 n

tCr

&

&&

r1 t1n1

n2

t2

r2

Fc

-Fc



Mecanismos



J.

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r J.

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Bor

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. Jim

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Bas

cone

s


Ensamblado del sistema Ensamblado del sistema de ecuaciones (I)de ecuaciones (I)

� Diagrama del mecanismo � Diagramas de sólido libre

R1x

R1y

R2y

R2x

1xm &&

mgym +1&&

x

L L

y

m

θ

m m

R2x

R2y

R3y

2xm &&

mgym +2&&

sm &&

A (xa,ya)

B (xb,yb)

C (xc,yc)



Mecanismos



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s


Ensamblado del sistema Ensamblado del sistema de ecuaciones (II)de ecuaciones (II)

� Eslabón 1 � Eslabón 2

1xm &&

mgym +1&&

2xm &&

mgym +2&&

sm &&

b

b

a

a

y

x

y

x

&&

&&

&&

&&

yb

xb

ya

xa

q

q

q

q

1

1

1

1

−

−

babba

bbaab

abbaa

baaba

mmm

mmm

mmm

mmm

111

111

111

111

0

0

0

0

c

c

b

b

y

x

y

x

&&

&&

&&

&&

yc

xc

yb

xb

q

q

q

q

2

2

2

2

−

−

cbccb

ccbbc

bccbb

cbbcb

mmm

mmm

mmm

mmm

221

212

212

122

0

0

0

0



Mecanismos



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r J.

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r Bor

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Bor

obia

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s


Ensamblado del sistema Ensamblado del sistema de ecuaciones (III)de ecuaciones (III)

� Matriz de masas y vector de fuerzas del mecanismo

−

+−−+

−

=

c

c

b

b

a

a

cbccb

ccbbc

bccbbbabba

cbbcbbbaab

abbaa

baaba

in

y

x

y

x

y

x

mmm

mmm

mmmmmm

mmmmmm

mmm

mmm

&&

&&

&&

&&

&&

&&

222

222

222111

222111

111

111

F

−−

−+

−

−

=

+

=

mgmg

mgmg

mg

q

q

q

q

q

q

q

q

yc

xc

yb

xb

yb

xb

ya

xa

20

2000

00

20

20

00

00

2

2

2

2

1

1

1

1

Q



Mecanismos



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r J.

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Bor

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. Jim

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J.

M. J

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ez B

asco

nes

Bas

cone

s


Ensamblado del sistema Ensamblado del sistema de ecuaciones (IV)de ecuaciones (IV)

� Matriz de masas y vector de fuerzas del mecanismo

{ } 0

230

0

~~~~

222

222

2221

2221

=

−

−−

−

+−+

mg

mg

y

x

y

x

mmm

mmm

mmmm

mmmm

yxyx

c

c

b

b

cbccb

ccbbc

bccbbb

cbbcbb

ccbb

&&

&&

&&

&&

&&&&

{ } 0

230

0

20

~~~~~~

222

222

222111

222111

111

111

=

−

−

−

−

−

+−−+

−

mg

mg

mg

y

x

y

x

y

x

mmm

mmm

mmmmmm

mmmmmm

mmm

mmm

yxyxyx

c

c

b

b

a

a

cbccb

ccbbc

bccbbbabba

cbbcbbbaab

abbaa

baaba

ccbbaa

&&

&&

&&

&&

&&

&&

&&&&&&



Mecanismos



J.

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into

r J.

M. P

into

r Bor

obia

Bor

obia

J.M

. Jim

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J.

M. J

imén

ez B

asco

nes

Bas

cone

s


Multiplicadores de Multiplicadores de LagrangeLagrange (I)(I)

� Del Principio de las Potencias VirtualesPrincipio de las Potencias Virtuales:

donde el vector de velocidades virtuales está sujeto a las ecuaciones de restricciónecuaciones de restricción formuladas de la forma:

� Las velocidades virtuales se eliminan mediante un vector de incógnitas adicionales ⇒ los MULTIPLICADORES DE MULTIPLICADORES DE LAGRANGELAGRANGE:

( ) ( ) 0QqMqQFq =−=− &&&& T

in

T ~~

0qq =&~ΦΦΦΦ

QλΦqM q =+ T&&



Mecanismos



J.

M. P

into

r J.

M. P

into

r Bor

obia

Bor

obia

J.M

. Jim

énez

J.

M. J

imén

ez B

asco

nes

Bas

cone

s


Multiplicadores de Multiplicadores de LagrangeLagrange (II)(II)

� Las ecuaciones dinámicas se completan con las las restricciones derivadas dos vecesrestricciones derivadas dos veces:

� Se llega así a un conjunto de ecuaciones conjunto de ecuaciones diferenciales algebraicasdiferenciales algebraicas que se debe INTEGRAR EN EL TIEMPO:

tΦqq qq&&&&& −−= ΦΦΦΦΦΦΦΦ

−−=

t

T

Φq

Q

λ

q

0Φ

ΦM

qq

q

&&&

&&

ΦΦΦΦ



Mecanismos



J.

M. P

into

r J.

M. P

into

r Bor

obia

Bor

obia

J.M

. Jim

énez

J.

M. J

imén

ez B

asco

nes

Bas

cone

s


Ecuaciones del Ecuaciones del MovMov. en. enCoordsCoords. Independientes. Independientes

� Las coordenadas dependientes se expresan como:

� Derivando esta ecuación para las velocidades virtuales y las aceleraciones reales:

� En el PRINCIPIO DE LAS POTENCIAS VIRTUALESPRINCIPIO DE LAS POTENCIAS VIRTUALES:

que es un sistema de ecuaciones diferenciales sistema de ecuaciones diferenciales ordinariasordinarias.

( )zqq =

( )zzRq && ~~ = zRzRq &&&&&& +=

( ) 0QqMq =−&&& T~

( ) 0QqMRz =−&&& TT~

( )( ) 0QzRzRMR =−+ &&&&T

( )zRMQRzMRR &&&& −= TT



Mecanismos



J.

M. P

into

r J.

M. P

into

r Bor

obia

Bor

obia

J.M

. Jim

énez

J.

M. J

imén

ez B

asco

nes

Bas

cone

s


Integración Numérica (I)Integración Numérica (I)

� Coord. dependientes�Diferenciales algebraicas�Segundo orden

�No-lineales

� Coord. Independientes�Diferenciales ordinarias�Segundo orden

�No-lineales

−−=

t

T

Φq

Q

λ

q

0Φ

ΦM

qq

q

&&&

&&

ΦΦΦΦ ( )zRMQRzMRR &&&& −= TT

� Características de las ecuaciones del movimiento



Mecanismos



J.

M. P

into

r J.

M. P

into

r Bor

obia

Bor

obia

J.M

. Jim

énez

J.

M. J

imén

ez B

asco

nes

Bas

cone

s


Integración Numérica (II)Integración Numérica (II)

� Integración de ecuaciones de segundo orden�Integradores de primer orden

�Transformación de las ecuaciones de segundo orden en ecuaciones de primer orden

( )t,yfy =&

=

= t,

q

qf

q

qy

&&&

&&

=q

qy

&



Mecanismos



J.

M. P

into

r J.

M. P

into

r Bor

obia

Bor

obia

J.M

. Jim

énez

J.

M. J

imén

ez B

asco

nes

Bas

cone

s


Integración Integración Numérica (III)Numérica (III)

� Integración en coordenadas dependientes

t

q

q&

t

q

q&&

&

∆tt+

q

q&

−−

=

−

t

T

Φq

Q

0Φ

ΦM

λ

q

qq

q

&&&

&&

ΦΦΦΦ

1



Mecanismos



J.

M. P

into

r J.

M. P

into

r Bor

obia

Bor

obia

J.M

. Jim

énez

J.

M. J

imén

ez B

asco

nes

Bas

cone

s


Integración Integración Numérica (IV)Numérica (IV)

� Algoritmo de cálculo en coordenadas dependientes1. Posición y velocidad (dependientes) en t

2. Matriz de masas

3. Matriz jacobiana

4. Fuerzas exteriores

5. Término de aceleraciones

6. Derivada

−−

=

−

t

T

Φq

Q

0Φ

ΦM

λ

q

qq

q

&&&

&&

ΦΦΦΦ

1

M

( )qΦΦ qq =

( )t,,qqQQ &=

tΦqq&&& −− ΦΦΦΦ



Mecanismos



J.

M. P

into

r J.

M. P

into

r Bor

obia

Bor

obia

J.M

. Jim

énez

J.

M. J

imén

ez B

asco

nes

Bas

cone

s


Integración Integración Numérica (V)Numérica (V)

� Integración en coordenadas independientes

t

z

q&

t

z

q&&

&

∆tt+

z

q&

( ) ( )zRMQRMRRz &&&& −= − TT 1



Mecanismos



J.

M. P

into

r J.

M. P

into

r Bor

obia

Bor

obia

J.M

. Jim

énez

J.

M. J

imén

ez B

asco

nes

Bas

cone

s


Integración Integración Numérica (VI)Numérica (VI)

� Algoritmo de cálculo en coordenadas independientes1. Posición (dependiente) y velocidad (independiente) en t2. Matriz de transformación3. Velocidades dependientes4. Matriz de masas5. Fuerzas exteriores6. Término de aceleraciones7. Derivada ( ) ( )zRMQRMRRz &&&& −= − TT 1

( )qRR =zRq && =

( )qMMRR =T

( )tT,,qqQQR &=

zRMR &&T

Análisis Dinámico de TEMA 4 Análisis Dinámico...

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