ANALISIS ESPECTRAL E INTRODUCCION AL

TRATAMIENTO DE SERIES MEDIANTE FILTROS

I.L.R. KLEIN

AREA DE MODELIZACIÓN MACROECONÓMICA

Julián Moral Carcedo

LOS CICLOS ECONÓMICOS

- 4

- 2

0

2

4

6

8

1 0

7 0 7 5 8 0 8 5 9 0 9 5 0 0

T A S A IN T E R A N U A L D E C R E C IM IE N T O D E L P IB

“Las economías de mercado experimentan fluctuaciones en los ritmos de crecimiento de un conjunto amplio y diverso de series: producción, empleo, precios, consumo, inversión, etc,….Tales oscilaciones son recurrentes y sistemáticas aunque con patrones variables de amplitud y duración.Estos fenómenos se denominan ciclos económicos.” (National Bureau of Economic Research)

LOS CICLOS EN ECONOMIA

GRANGER .Spectral analysis of economic time series.1964.

• Ondas de Kondratieff, este economista ruso planteaba la existencia de ciclos largos de entre 40 y 60 años. Sin evidencias empíricas claras.• Ondas de Kuznets, ciclos de 20 años en variables como el PNB, emigración y población. Con evidencia empírica.• "Building cycle". Evidencia de la existencia de ciclos de 15-20 años en el sector de la construcción.• Ciclos de Hansen, este economista plantea la existencia de ciclos "mayores" de período 6-11 años (debidos a cambios tecnológicos) junto con ciclos "menores" de duración entre 2-4 años ( ciclo de inventario/ existencias).•Business cycle, definidos por el NBER (National Bureau of Economic Research) como un tipo de fluctuación encontrado en la actividad económica agregada, de duración media 4 años y rango entre 1-12 años.•Sub-ciclos de Mack, llamados así por tener una duración corta de 24 meses, encontrados en series de pedidos, precios, inventarios, etc….

ANALISIS ESPECTRAL 4

-

1,0

2,0 3,0

4,0

5,0

6,0

-2

-

2

4

6

8

10

12

Consumo Disp. Consumo

- 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0

1996

01

1996

03

1997

01

1997

03

1998

01

1998

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1999

01

1999

03

2000

01

2000

03

-

2

4

6

8

Consumo Renta salarial

ANALISIS ESPECTRAL 5

- 1,0

2,0 3,0 4,0

5,0 6,0

1996

01

1996

03

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01

1997

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1998

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01

1999

03

2000

01

2000

03

-4 -2

- 2 4

6 8

Consumo Comercio

- 1,0 2,0 3,0

4,0 5,0 6,0

1996

01

1996

03

1997

01

1997

03

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01

1998

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01

1999

03

2000

01

2000

03

-20 -15 -10 -5 - 5 10 15

Consumo Confianza cons.

ANALISIS ESPECTRAL 6

-

1,0

2,0

3,0

4,0

5,0

6,0

1996

01

1996

03

1997

01

1997

03

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01

1998

03

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01

1999

03

2000

01

2000

03

-

10 20

30

40 50

60

Consumo Ahorro convenien.

-

1,0

2,0

3,0

4,0

5,0

6,0

1996

01

1996

03

1997

01

1997

03

1998

01

1998

03

1999

01

1999

03

2000

01

2000

03

-

2

4

6

8

10

12

Consumo tipo consumo

Como modelizar fenómenos recurrentes:

Funciones periódicas

)2

cos(

T

tAYt

•A, amplitud de la oscilación.

•T, período.

, desfase.

-1,5

-1

-0,5

0

0,5

1

1,5

1 8 15 22 29 36 43 50 57 64 71 78 85 92 99

A

T

-1,5

-1

-0,5

0

0,5

1

1,5

1 8 15 22 29 36 43 50 57 64 71 78 85 92 99

DESFASE = PI/2

)cos( tAYt

)sen()cos( tbtaYt titi

t eiba

eiba

Y )22

()22

(

Expresiones alternativas:

¿Es evidente la periodicidad?

-6

-4

-2

0

2

4

6

20 40 60 80 100 120 140 160 180 200

C I C L O 1

ciclo1=cos(2*pi*t/10)+cos(2*pi*t/40)+cos(2*pi*t/20)+cos(2*pi*t/25)+u

Detección de periodicidades ocultas:

El correlograma.

Idea básica:

Una función periódica se repite transcurrido T (período), por lo tanto presentará la máxima correlación con el retardo Ty sus múltiplos enteros.

Puede demostrarse que la autocorrelación de una función periódica es periódica, del mismo período que dicha función.

-1.5

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

20 40 60 80 100 120 140 160 180 200

COS(2*PI*@TREND/(200/10))

-1.5

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

-40 -20 0 20 40

FUNCION DE AUTOCORRELACION

Detección de periodicidades ocultas:

El periodograma

-6

-4

-2

0

2

4

6

20 40 60 80 100 120 140 160 180 200

C I C L O 1

0

5

10

15

20

0 5 10 15 20 25

FREC

PERD

G

El periodograma se asimila a un “sintonizador” de un receptor de radio, así, la serie que observamos sería la señal emitida por una radio y el periodograma no sería mas que el dial que busca en que frecuencia se “oye” mejor la señal emitida.

El periodograma: formulación.

k

itiiipt tbtaY

1

)sencos(

“Modelo” que sigue la serie observada:

Asumimos que las frecuencias, w, son:

N

pii

2 kpi ,...,1

N

t

t

N

Ya

10ˆ

N

totp tpY

Na

1

cos2

ˆ

N

totp tpY

Nb

1

sen2ˆ

N

ttN tY

Na

12/ cos

1ˆ

Se determinan los parámetros, a y b, según:

0

22

2

)()(

ppp

baI

Se calcula el periodograma

I(w)

El periodograma: Interpretación.

El periodograma mide aportaciones a la varianza total de la serie de componentes periódicos de una frecuencia determinada (w).Si el periodograma presenta un “pico” en una frecuencia, indica que dicha frecuencia tiene mayor “importancia” en la serie que el resto.

ciclo1=cos(2*pi*t/10)+cos(2*pi*t/40)+cos(2*pi*t/20)+cos(2*pi*t/25)+u

N=200; 200/10=20; 200/40=5; 200/20=10; 200/25=8

0

5

10

15

20

0 50 100 150

FREC

PER

DG

0

5

10

15

20

0 5 10 15 20 25

FREC

PER

DG

El periodograma: Interpretación.

-1.5

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

20 40 60 80 100 120 140 160 180 200-1.0

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0.0

-1.5

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

20 40 60 80 100 120 140 160 180 200

0

1

2

3

4

0 50 100 150

De izqda. a drcha. aumenta la frecuencia (disminuye el período)

El periodograma y la transformada de FourierEl periodograma está basado en una herramienta

matemática denominada Transformada de Fourier, según la cual una serie, que cumpla determinados requisitos, puede descomponerse como suma de un número finito o infinito de frecuencias. Del mismo modo, a partir de la representación frecuencial puede recuperarse la serie original a través de la Transformada Inversa de Fourier.

En este punto, es preciso señalar las diferencias existentes entre procesos discretos periódicos, aperiódicos y estocásticos en términos frecuenciales:• Las series periódicas presenta un periodograma discreto, es decir, solo existe "masa" espectral en aquellas frecuencias contenidas en la serie, siendo éstas un número discreto. • Las series aperiódicas presentan un periodograma continúo, es decir, existe "masa" en un "infinito" número de frecuencias. • Las series estocásticas presentan densidad espectral en un rango continúo de frecuencias.

SERIE PERIODICA SERIES APERIODICAS

PERIODOGRAMA PERIODOGRAMA

-1.5

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

20 40 60 80 100 120 140 160 180 200

0

5

10

15

20

0 50 100 150

FREC

PE

RD

G

0

20

40

60

80

100

20 40 60 80 100 120 140 160 180 200

0

2000

4000

6000

8000

10000

12000

0 50 100 150

FREC

PE

RD

G

SERIES ESTOCASTICAS

PERIODOGRAMA (DE ESA REALIZACION)

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

0 50 100 150

FREC

PE

RD

G

-3

-2

-1

0

1

2

3

20 40 60 80 100 120 140 160 180 200

LA ESTIMACION DEL ESPECTRO

El espectro o densidad espectral se define para procesos estocásticos estacionarios como la transformada de Fourier de la función de autocovarianza (teorema de Wiener-Khintchine). Su estimador “natural” es el periodograma, antes visto. Como hemos comprobado es un instrumento adecuado para la detección de procesos periódicos puros, sin embargo en el caso de procesos estocásticos presenta serias limitaciones, las más importantes son la inconsistencia y la correlación asintóticamente nula entre ordenadas del periodograma. Esto implica que no converja al verdadero “espectro” cuando la muestra se amplia y que el periodograma muestre un comportamiento errático.

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

0 50 100 150

FREC

PE

RD

G

w

h(w)

-pi pi

LA ESTIMACION DEL ESPECTRO: METODOS NO PARAMÉTRICOS

A fin de solucionar los problemas antes comentados se propone, en este tipo de métodos, ponderar el espectro por unos valores denominados “ventanas espectrales”

)1(

)1(

)(ˆ2

1)(

N

Nr

ri rReh

)1(

)1(

)(ˆ)(2

1)(

N

Nr

ri rRerh

Estimador sin aplicar “enventanado”

Estimador “enventanado”

Existe un amplio número de “ventanas espectrales”, Tukey, Parzen, Hamming, etc.

LA ESTIMACION DEL ESPECTRO: METODOS NO PARAMÉTRICOS

Si bien la utilización de ventanas espectrales permite eliminar la inconsistencia y la irregularidad del periodograma como estimador, el que se suavicen las ordenadas del periodograma introduce la dificultad de diferenciar frecuencias próximas.

x1=cos(2*pi*t/(200/15))+cos(2*pi*t/(200/17))+u

0

5

10

15

20

0 10 20 30 40

FREC

PE

RD

G

PERIODOGRAMA NO SUAVIZADO

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

0 10 20 30 40

FREC

DE

NS

IDA

D2

PERIODGRA MA S UAVIZADO MEDIA NTE UNA VENTA NA DE TUKEY-HA NNING (M =50)

LA ESTIMACION DEL ESPECTRO: METODOS PARAMÉTRICOS

Los métodos paramétricos, parten de suponer “conocido” el PGD, y modelizado en general a través de un proceso ARMA, a partir del cual se puede recuperar una estimación del espectro.

Si la serie observada responde a un modelo ARMA (p,q):

qtqtttptpttt bbbYaYaYaY ...... 22112211

El espectro equivale a:

2...1

...1)(

2

2221

2221

ipp

ii

iqq

ii

Y

eaeaea

ebebebh

- 8

- 6

- 4

- 2

0

2

4

6

8

2 0 4 0 6 0 8 0 1 0 0 1 2 0 1 4 0 1 6 0 1 8 0 2 0 0

Y 4

0

5

10

15

20

0 20 40 60 80

FREC

PER

DG

PERIODOGRAMA (NO ALISADO)

-0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

0 20 40 60 80

FREC

DEN

SID

AD

2

PERIODOGRAMA ALISADO ( VENTANA TUKEY-HANNING)

0 0.5 1 1.5 2 2.5 30

50

100

150

200

250

300

350

Frecuencia (0-pi)

Serie original

Estimaciones del espectro

0

50

1 00

1 50

200

250

300

350

400

450

0

2

4

6

8

1 0

1 2

1 4

1 6

1 8PARAMETRICO NO ALISADO ALISADO

COMPARACION METODOS DE ESTIMACION

Modelos dinámicos y funciones periódicas

: Ec. En diferencias: 021 ttt cYbYY Condición para la existencia de raíces complejas : 042 cb Soluc. de la ec. Homogénea: )sencos( tBtArY t

t Valores de los parámetros:

2

b ; cb 4

2

1 2

sencos rr 22 r

c

b

cbb

b 2/cos

)4)(4/1()4/(

2/cos 1

22

1

21cos2 ttt YwYY

Modelos dinámicos y funciones periódicas

21 99777946.090.1 ttt YYY

- 6

- 4

- 2

0

2

4

6

2 0 4 0 6 0 8 0 1 0 0 1 2 0 1 4 0 1 6 0 1 8 0 2 0 0

Y

y = 1 . 9 0 * y ( - 1 ) - 0 . 9 9 7 7 7 9 4 6 * y ( - 2 )

FILTROS E INTRODUCCION AL TRATAMIENTO Y DESCOMPOSICION DE SERIES.

INPUT FILTRO OUTPUT

ESQUEMA BASICO DE FUNCIONAMIENTO DE UNFILTRO

Un filtro no es mas que el tratamiento que se da a una serie inicial o “input” para obtener una serie final u “output”. Si el filtro es lineal, el “output” es simplemente una combinación lineal de valores pasados, presentes y futuros del “input”

k

kktkuctY )(

)(tY)(tu

ALGUNOS TIPOS DE FILTROS LINEALES

No-recursivos, los coeficientes del filtro sólo afectan a valores del input.

Recursivos, los coeficientes del filtro afectan a valores del input y del output.

Causales (“one-sided”), los coeficientes del filtro sólo afectan a valores pasados y actuales del input y/o pasados del output.

Simétricos, los coeficientes del filtro equiespaciados son iguales.

k

kktkuctY )(

k

kktk

k

kktk YductY )(

Mk

kktk

Nk

kktk YductY

10

)(

FILTROS LINEALES: EJEMPLOS

Media móvil centrada de orden 3:

1

11111 )(

3

1

3

1

3

1

3

1

3

1)(

k

kttttttkt uuuuuuutY

Modelo ARMA:

ttttt uuYYY 112 1.02.05.0

Modelo MA:

ttt uuY 11.0

Modelo AR:

tttt uYYY 12 2.05.0

Mk

kktk

Nk

kktk YdxctY

10

)(

tN

NtM

M

Nk

kktk

Mk

kktkt

Mk

kktk

Nk

kktk

xLcLcLcYLdLdLd

xcYdYYdxctY

)...1()...1(

)(

221

221

0110

tt XL

LY

)(

)(

EXPRESION DEL FILTRO EN FUNCION DEL OPERADOR RETARDO

Sea el filtro recursivo:

Su expresión en el polinomio de retardos es por tanto:

O en forma compacta:

FILTROS: UTILIDADES

•SON LA BASE DE LA MODELIZACION ARIMA.

•SUAVIZADO DE SERIES.

•ELIMINACION DE COMPONENTES “INDESEADOS” : DESESTACIONALIZACIÓN, ELIMINACION DE TENDENCIAS LINEALES Y ESTOCASTICAS.

•POTENCIACION DE DETERMINADAS CARACTERISTICAS.

•ESTIMACION DEL COMPONENTE CICLICO.

EFECTOS DEL FILTRADO EN EL DOMINIO DEL TIEMPO

-3

-2

-1

0

1

2

3

20 40 60 80 100 120 140 160 180 200

INPUT

FILTRO NO RECURSIVO

10

0 10

1)(

k

kktutY

-1.5

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

20 40 60 80 100 120 140 160 180 200

-0.2

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

-200 -100 0 100 200

C1

C2

-0.4

-0.2

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

-100 0 100

C1

C2

Modifica la evolución temporal y estructura de correlación del input.

EFECTOS DEL FILTRADO EN EL DOMINIO DEL TIEMPO

ttttt XXXX 13121

Sea la serie:

-80

-60

-40

-20

0

20

20 40 60 80 100 120 140 160 180 200

TSEAS

ttXLLL )1( 1312

Se aplica el filtro, donde C0=1 y C1=-1:

1

0iitit XcY

tt XLY )1(

ttttt LL

LY

LLL

LXLY

)1)(1(

)1(

)1(

)1()1(

121312

Sustituyendo X por su expresión:

ttttttt YYYLL

Y

1212

12)1(

)1(

1

EFECTOS DEL FILTRADO EN EL DOMINIO DEL TIEMPO

-8

-4

0

4

8

12

20 40 60 80 100 120 140 160 180 200

X2 D(TSEAS)

x2=x2(-12)+e

LOS FILTROS EN EL DOMINIO DE LA FRECUENCIA

Asumiendo la expresión de un filtro lineal no recursivo

k

kktkuctY )(

Puede demostrarse (ver p.ej. Priestley) que la relación entre la densidad espectral de input(Ut) y la densidad espectral del output (Yt) responde a la expresión:

)()()(2 uY hh

“La función de densidad espectral del output es igual a la función de densidad espectral del input multiplicada por el módulo de la función de transferencia”.

Dónde la función de transferencia se define cómo la transformada de Fourier de los coeficientes c(k) del filtro, es decir:

K

kikec

)(

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

0 20 40 60 80

FREC

PER

DGEFECTOS DEL FILTRADO EN EL DOMINIO

DE LA FRECUENCIALa característica más importante del proceso de filtrado es que el valor de la densidad espectral del output en una determinada frecuencia es el producto del valor de la función de transferencia y el valor de la densidad espectral del input en dicha frecuencia. Esta propiedad permite “anular” ciertas frecuencias con la adecuada selección de los valores del filtro, con lo que conseguimos que el output exhiba las características que deseemos.

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

0,0 0,3 0,5 0,8 1,1 1,3 1,6 1,9 2,1 2,4 2,6 2,90.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

0 20 40 60 80

FREC

PE

RD

G

DESCOMPOSICION DE SERIES

Según el esquema tradicional, una serie puede descomponerse en todos o alguno de los siguientes componentes:

•Tendencia, se asocia con la evolución a largo plazo de la serie, desde un punto de vista frecuencial se asocia a componentes de frecuencia baja o alternativamente de período alto, generalmente superior 8 años.•Ciclo, son oscilaciones en torno a la tendencia de periodo superior al año e inferior a 8 años. •Estacionalidad, son los movimientos que se producen con periodicidad anual.•Irregularidad, movimienos de alta frecuencia, superior a la de la estacionalidad y distintos de los armónicos de la misma

0 50 100 150 200

FREC

PER

DG Estacionalidad

Tendencia

DESCOMPOSICION DE SERIES EN EL DOMINIO DE LA FRECUENCIA.

0 .0 E + 0 0

4 .0 E + 0 7

8 .0 E + 0 7

1 .2 E + 0 8

1 .6 E + 0 8

6 0 6 5 7 0 7 5 8 0 8 5 9 0 9 5

M A TR I

M A TR IC U L A C IO N D E A U T O M O V IL E S

0.E+00

2.E+16

4.E+16

6.E+16

8.E+16

1.E+17

0 100 200 300 400

FREC

PE

RD

G

-80000000

-60000000

-40000000

-20000000

0

20000000

40000000

60000000

60 65 70 75 80 85 90 95

D(MATRI)

0.0E+00

5.0E+14

1.0E+15

1.5E+15

2.0E+15

0 100 200 300 400

FREC

PE

RD

G

-80000000

-60000000

-40000000

-20000000

0

20000000

40000000

60000000

60 65 70 75 80 85 90 95

D(MATRI,1,12)

0.0E+00

5.0E+13

1.0E+14

1.5E+14

2.0E+14

0 100 200 300 400

FREC

PE

RD

G

-0.4

-0.2

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

60 62 64 66 68 70 72 74 76 78

TMATRI

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0 50 100 150 200

FREC

PE

RD

G

SERIE FESTA FTEND FTEND*FESTA

DESCOMPOSICION DE SERIES EN EL DOMINIO DE LA FRECUENCIA.

DESCOMPOSICION DE SERIES EN EL DOMINIO DE LA FRECUENCIA.: FILTROS

PARA LA TENDENCIA

Operador diferenciaGanancia

0

0,5

1

1,5

2

2,5

INF 24 12 8 6 5 4 3 3 3 2 2 2

Filtro de Hodrick-Prescott

FUNC. DE GANANCIA FILTRO HP: SERIE-TENDENCIA

-0,2

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

0 PI

100 400 1600 3200

DESCOMPOSICION DE SERIES EN EL DOMINIO DE LA FRECUENCIA.: FILTROS

PARA LA ESTACIONALIDAD

Ganancia

02468

101214

INF 24 12 8 6 5 4 3 3 3 2 2 2

Sumador estacional

Ganancia

0

0,5

1

1,5

2

2,5

INF 24 12 8 6 5 4 3 3 3 2 2 2

Diferencia estacional