Analisis modal espectral

Capitulo 15

15.1 Introducción

Aunque la capacidad de los computadores, tanto en tamaño de la memoria como envelocidad, ha venido en aumento en los últimos años, a niveles nunca sospechados; laobtención de la respuesta dinámica por medio de técnicas de análisis cronológico, comolas presentadas en el Capitulo anterior, sigue siendo dispendiosa y de difícilinterpretación para efectos de diseño.

Dado que los valores que se leen de un espectro, ya sea de respuesta o de diseño,corresponden al valor máximo que puede tener la respuesta de un sistema dinámico deun grado de libertad -- en términos de desplazamiento, velocidad o aceleración -- esevidente que conociendo el espectro se puede determinar ti valor máximo de larespuesta .:;ae puede tener un grado de libertad desacoplado, y por ende se podríautilizar estos valores para determinar la máxima respuesta que tendría un sistema de, arios grados de libertad.

El presente Capítulo se dedica a la formulación del análisis dinámico de sistemas devarios grados de libertad utilizando espectros, ya sean de respuesta ante sismosregistrados, o de diseño para movimientos sísmicos futuros. Las metodologíaspresentadas en el presente Capítulo, al igual que en el anterior, solo pueden emplearseen sistema que permanecen dentro del rango elástico y donde es aplicable el principiode superposición.

15.2 Formulación del análisis modal espectral

De acuerdo con lo presentado en las Secciones lCA y l-lA, las ecuaciones demoximiento para un sistema sometido a una excitación en su base tienen la forma dadaen la siguiente ecuación:

(l S-1)

Las matrices de masa [M] y rigidez [K] de la estructura se obtienen de acuerdo con lopresentado en el Capítulo 11. La obtención de la matriz [y] se realiza de acuerdo con lopresentado en las Secciones 11.3.1(h), 11.5 Y 14.8, Y su forma depende de si laestructura se ve afectada por una, dos o tres componentes del acelerograma,representadas en un vector {x o } columnar con 1, 2 o 3 términos, casos en los cuales [y]

tiene dimensiones n x 1, n x 2 ó n x 3 respectivamente, siendo n el número de grados delibertad de la estructura.

Dado que podemos obtener los modos y frecuencias, [] y [ol], de la estructura conbase en sus propiedades para vibración libre representadas en el lado derecho igual a

B07

Dinámica est ruct Ilra I aplicada al diseño sísmico

cero en la ecuación (15-1); la solución del sistema de ecuaciones diferencialessimultáneas se obtiene desacoplando el sistema por medio de la aplicación de lasiguiente transformación de coordenadas:

{u}= []{TI}

y derivando dos veces contra el tiempo:

{ü} = []{ il}

(15-2)

(15-3)

Reemplazando (15-2) Y(15-3) en (I 5-1), Ypremultiplicando por []T obtenemos:

(15-4)

Tanto [1] como rol], son matrices diagonales, y por esto el sistema se desacopla, lo cualimplica que se tienen n ecuaciones independientes de un grado de libertad del tipo:

.. 2 ..Tli + m¡ Tli = -a i X o

y si se aplica amortiguamiento modal:

05-5)

(15-6)

La solución para las ecuaciones (15-5) o (15-6) se puede llevar a cabo por medio decualquiera de las metodologías presentadas en los Capítulos 2 y 3 para sístemas de ungrado de libertad. Una vez se obtienen los valores de {TI(t)}, para cualquier tiempo t, pormedio de la ecuación (15-2) se pueden obtener los desplazamientos de la estructurapara ese instante.

La diferencia fundamental entre el análisis modal cronológico y el análisis modalespectral se presenta aquí, pues de acuerdo con la definición de espectro de respuestade desplazamiento (Sección 5.2): el máximo valor que puede tener el desplazamientorelativo u, entre la base y la masa de un sistema de un grado de libertad sometido a unacelerograma en su base xo(t) , es precisamente el valor que se lee del espectro dedesplazamiento Sd(T,S), calculado para el mismo acelerograma, utilizando lo valores delperíodo T, y el amortiguamiento S, del mismo sistema de un grado de libertad.

Por lo tanto el máximo valor de puede tener Tli en las Ecuaciones (15-5) o (15-6)corresponde al valor leído del espectro de desplazamientos de la excitación amplificadopor el coeficiente de partícípación <X.¡. Entonces:

(15-7)

Donde Ti = 21Úffi¡ Y ~ corresponde al valor del amortiguamiento modal con laslimitaciones expresadas al respecto en la Sección 12.6. Cuando se dispone es delespectro de aceleraciones, puede utilizarse la transformación indicada en la ecuación(5-11), también tomando en cuenta las limitaciones impuestas por las premisasempleadas en su deducción, entonces el valor máximo de TI¡ se puede determinar,alternativamente, por medio de:

508

15 • Aná.lisis modal espoct re

( 11 . ) = la. ._1 . S (T., j:: • )1 =la.. T¡2 . S (T., 1;. )1'1, max I 2 a ,.", I 4 2 a I I

O)¡ 1t(15-8)

Dado que, por medio de cualquiera de los dos procedimientos alternos, se dispone deunos valores máximos de los grados de libertad desacoplados 11¡; en principio, bastaríacon aplicar la transformación de coordenadas implícita en la ecuación 05-2) paraobtener los valores máximos de los desplazamientos de los grados de líbertad de laestructura {U}. Desafortunadamente, este procedimiento es errado debido a que losvalores máximos de los desplazamientos, o aceleraciones, que se coleccionan en elespectro de respuesta no ocurren en el mísm.. mstante en el tiempo. En la Figura 15-1 ,tomada de la Figura 5-3 se muestra cómo en el calculo del espectro de desplazamientoslas respuestas para los diferentes períodos de víbracíón ocurren en instantes diferentes.

PERIODO RESPUESTA EN TERMINOS DE DESPLAZAMIENTO (mi PARA SISTEMAS CON DIFERENTE PERIODO

T=3.0s

j

ESPECTRO DE DESPLAZAMIENTOSTEMBLOR DE EL CENTRO

Amorliguamiento 5%

lII

Desplazamiento I I1

, ,

(m) I

0.30 1 I Imi0.25 t '020 t I I i I

J\fvo------::r-~1 I0.00 ~~J--_l_-l__'1

0.0 0.5 1.0 7.5 2.0 25 3.0

Periodo T (s)

2

o Il'

-2

-4 O 5 10 15 20 25 t (s)

0.3 T

ji

o f.d-"\-il-+-i-+-+--I;-+-\c-:~.p..-~f"'ocr

0.3 1! t m2ximo 0.128 'ti

O 'ji. /) A11-;:- H' "VVI[V "" VOl) IT vv

-0.3

0.3 ¡

o \ •./to.. '(~i;;;o 0./51 m

-0.3 ,

o ~ ~ ........ «ioe»;O AA'"" f\(\l\lIfll\~_Vv'J VV \TU 1T\T~v

,0.31

T=0.5s

T= 1.0s

T=1.5s

T=2.5 s

T=2.0s

Figura 15-1- Cálculo del espectro de respuesta de desplazamientos del Temblor de El Centro. Debe observarse quelos valores que se coleccionan en el espectro no ocurren en el mismo instante

Además, debe notarse que el signo, positivo o negativo, de la respuesta también sepierde, debido a que al espectro se lleva el valor absoluto de ella.

Dado que la ecuación (15-2), implícitamente, realiza la superposicíón de las respuestasindividuales de cada uno de los modos:

SOD

Dinámica estructural aplicada al diseño sísmico

{u} = []{TI} = i {Ij>(i) }TI¡ (t)¡=l

= {Ij>(l) }Tll (t) +{1j>(2) }Tl2 (t) + ... +{Ij>(n) }Tln(t)

= {U(l)}+{U(2)} + '" +{u(n)}

(l 5-9)

su utilización directa, tal como se presenta en la ecuación (15-9) es errada pues sumavalores de desplazamientos modales que no ocurren en el mismo instante y además notoma en cuenta su signo al sumar algebraícamente,

En principio, las respuestas modales individuales son correctas y corresponden a los. máximos valores que tendrían cada una de ellas, simplemente hay que tener en cuentaque pueden ser tanto positivas como negativas. La dificultad radica en determinar unamanera apropiada de combinarlas para obtener una. respuesta apropiada. Esto se lograpor medio de lo que se conoce con el nombre de métodos de combinación modalespectral. La presentación de estos métodos se hace más adelante en la Sección 15.3, lacual se dedica a discutir sus fundamentos y la forma como deben emplearse; noobstante, es importante dejar establecidas las diferentes formas que pueden tener lasrespuestas modales Indívíduales, pero sin llegar a combinarlas.

Los desplazamientos dinámicos modales máximos que se presentan en la estructura,correspondientes a cada modo individual, por ejemplo el modo O), pueden obtenersepor medio de:

(15-10)

En la ecuación anterior debe tenerse en cuenta que el resultado multiplicado por (-1)también es factible, dado que se trata de un movimiento alternante derivado de unfenómeno ondulatorio. Esta posibilidad de un cambio de signo se manifiesta en todaslas diferentes formas de la respuesta modal.

Para cada modo individual (í), las fuerzas dinámicas inerciales modales máximas que sepresentan en la estructura pueden obtenerse multiplicando los desplazamientosmodales máximos por la matriz de rigidez de la estructura:

(15-11)

Cada una de estas fuerzas modales máximas pueden utilizarse como un conjunto defuerzas estáticas y con ellas, independientemente, por medie de un análisis estáticoconvencional, llegar a encontrar las fuerzas internas causadas por el modo (i) en cadauno de los elementos de la estructura. Estas fuerzas internas modales máximas puedenobtenerse, también, utilizando los desplazamientos modales máximos obtenidos pormedio de la ecuación (15-10). Las dos alternativas conducen a resultados idénticos.

En este punto se tendría la respuesta máxima, individual por modo, de los diferentesparámetros relevantes causados por unas fuerzas inerciales aplicadas a la estructuracomo si fueran fuerzas estáticas externas. Estos parámetros comprenden las fuerzasinternas en los elementos de la estructura, las derivas de piso, el corte basal y elmomento de vuelco, entre otros. Habrá tantos conjuntos independientes de parámetroscomo modos tenga la estructura. Tan solo bastaría combinarlos.

510

· 15 • Análisis modal espect ral

Ejemplo 15-1

Se desect ev¡,colttmr Los valores de Lct respH,{'stct deL eetiJicío elnpLectdo en eí EjempLo 14-3 ete LctSecciém 14.5, ctL ser sOI,'}teLido ct Lct CüVltr10Jteltte N-S del twttlLor de EL Centro. CctLifomict, deMctljO 18 de 1940, emrILe(;utdo témims CSYlcctmLes, Lcts rJroYJiedades de mctsct lj de rigidezeseria descritcts CI1 eL Ejentplo 14-3, EL edificio se Inll,{'stm, Itl1.eVctVlteltte elt Lct rigl1,m 15-2, HaljiVl.terés en Lct reSrll1.('stct de Lct estmctluct en Lct direcciólt mostmetct en LctJigl1.m,

Figura 15-2 - Ejemplo 15-1

256 O o O On .,U

O 256 O O O O

O O 256 O O O

O O O 256 O O

O O O O 256 O

O O O O O 256

.Al

216.76 -306.77 105.49 -19.561 4.2822 - 0.51088

- 306.77 668.24 - 475.14 137.94 - 29.375 5.3857

105.49 - 475.14 731.37 - 493.23 159.60 - 21J.327

-19.561 137.94 - 493.23 749.02 -494.47 145.71

4.2822 - 29.375 159.60 -494.47 738.11 - 515.90

- 0.51088 5.3857 - 29.327 145.71 - 515.90 889.94

511...--'

AL resolver el prolJLevvLa de valores propios pLa/1,teado por La al-tterior emació/t de eq¡úLilJrio, seolJtie¡-te1t tas sig/tie/ltesjreutevu:ias Ij períDdos:

1¡.~I

Modo (ji O) f T(rad/s)2 (rad/s) (Hertz) (s)

1 29.108 5.3952 085866 1.1646

2 301,81 17.373 2.76495 03616

3 973.78 31.205 4.96647 0.2013

4 2494,3 49,943 7.94849 0.1258

5 4686.5 68.458 10,89550 0.0918

6 7113.8 84-.344 13.42372 0.0745

Los f1wdos ci..e vi~)m.ciólt correStl0/1ci..ie¡1tes son.

[<1>] =

0.036721 -0.032775 0.029168 -0.020667 0.013049 -0.005955~

0.033690 -0.011592 -0.014245 0.032483 - 0.032188 0.018512

0.028524 0.014524 -0.034529 0.005317 0.028533 -0.029103

0.020961 0.033322 -0.005049 -0.034504 -0.003317 0.033609

0.012243 0.033525 0.031633 0.006893 -0.024392 -0.031454

L 0.004460 0.015888 0.025184 0.034025 0.035774 0.023711

~,

.....v ,/

r-....--<,

V,/

;,v....... r-....r-,

1/

4

6

5

2

3

/VI-'"

.......r-. r-....V V

IVr--..... r-.... 1"'-......

/'V

6

2

4

5

3

<, ¡--......r-,

./V

/./'

<,¡--......

......"!/V

5

4

6

2

3

./-:

I

"- <,<,

r-,

)/

4

2

5

3

o o o o000 004 ~04 000 004 ~04 000 004 ~04 000 004 ~04 000 004

I I!

il1/

I1/ I

I¡

4

5

s

2

3

o-0.04 0.00 0.04

Modo 1

(TI = 1.165 s)Modo 2

(T1 = 0.362 s)Moci..o3

(T3 = 0.201 s)Moci..o4

(T4 = 0,126 s)Modos

(Ts = 0,092 s)Moci..o 6

(T6 = 0.075 s)

Figur¡:. 15-3 - Ejemplo 15-1- Modos y períodos de vibración de la estructura

Los cotjkielltes de rJarticirlació¡i. S(1I1:

34.970

13.540

8.2331

6.0279

4.4695

2.3861

512

Dinámica estructural aplicada (/1 diseño sísmico

Tabla 15-2 - Ejemplo 15-1 - Valores máximos para los grados de libertad desacoplados

Moeto <X¡ SiT;,~) (l1¡}max =a¡ xSd(T¡,l;¡)

(m) (m)

1 34-.9700 0.1158 4.0495

2 13.54-00 0.02184 0.29571

3 8.2331 OJJ06736 0.0554584 6.0279 0.002846 0.0171555 4.4695 0.001133 0.00506396 2.3861 C).0007196 0.0017170

DestJ LazGunic VLtOS fntixi/!VWs l11DetuLes (In)

Los desYILazGunieVl.tos I1tW<ivvl.OS ('VL cuetu I1tOetO. se o~ltieVln1. ete:

Esto Vl1.iSfl1D se YJIi.eete Logrur fl1.Gl.tricit.ú¡·1tC/1.te. COLOCGl.f1.etO Los vGl.Lores etc (ll¡)max ('/1. Lu etiGl.gOl1.Gl.L eteIH1.U f11.Gl.triz w.Gl.etrGl.etGl. [Trnod] U reGl.LizGl.Vl.eto LGl. operucióVl.:

LVI. eL wesevLte rr;j,SO. LGl. 111.Gl.triz [Trnod] tiene LuJoYf11.Gl. siglüeVl.te:

1i.0:

[rmocI]=

(TlILx o o o o oo I (Tlz)max o o o oo o (Tl3)max o o oo o o I (114)max o oo o o o (l1 s)max oo o o o o (116)ma.

U Gl.L reel11.pLazGl.r Los vatores Gl.proy'iGl.etos.

4.0495 o o o o oo 0.29571 o o o oo o 0.0055458 o o oo o o 0.015155 o oo o o o 0.0050639 oo o o o o 0.001717

0.148703 -0.009692 0.001618 -0.000355 0.000066 -0.000010

0.136429 -0.003428 -0.000790 0.000557 -0.000163 0.000032

0.115519 0.004295 -0.001915 0.000091 0.000144 -0.000050

0.084882 0.009854 -0.000280 -0.000592 -0.000017 0.000058

0.049588 0.009914 0.001754 0.000118 -0.000124 -0.000054

0.018061 0.004698 0.001397 0.000584 0.000181 0.000041

{U~~} {U (2) }mod {

U (3 ) }mod

514

{U::~} {U~} {U~ld} ,J.gdl

U6

UsU4

u 3

UzU I

T\2 + 2~2OO2"2 + OO;lh = -13.540x O

113 + 2~3OO3"3 + 00;1'\3 =-8.233lXO

T\4 + 2~4OO4"4 + 00:1'\4 =-6.0279x O

11 5 + 2~5OO5"5 + 00;1'\5 = -4.4695x O

116 + ~6OO6"6 + OO~1'\6 =-2.386lXO

EJl Lus seis eu{,uciones, de uCI1,erdo con el eV1fHuiudo deL rrobLevl1u, ~ =0.05

tu rest'!ltestu t'!um mdu IH1.U de estus eC/tUciOf1.eS desucorLudus, se obUei1.e /ttWzundo elespectro de desrJLlIlZuvlüel1tos de Lu COVVLt'!OfteJ1.te N-S del tel·nt,Lor tA.e EL Cel1.lro. EI1. Lu Figlua 15-4se mlH'stru et esnectro 0 La Inal1.eru de obtener Los vuíores corresponzüentes el1.J,Huióf1. de Los(,:tLferelttes rJeríü(,:tos de vitlración correspOfltA.ielttes u wvciu lUtO tA.e Los vVLocios de vik¡mciól1..

Amortiguamiento .;= 0.050,20

2.01.51.0Período T (s):

0.5

,

-tI

I

I

,;

I

1, • • •

0.05

0.02184m _.

0.006736 m.0,002846 m- ¡¡¡; ,0.'000.001133 m

0.0007196 m' 0.0

0.15

Sd0.10

(m)

0.1158 m

, : ~

Ti

Figura 15-4 - Ejemplo 15-1 - Espectro de desplazamientos de El Centro

Tabla 15-1 - Ejemplo 15-1- Valores leídos del espectro de desplazamiento

Mo~to Ti Sd(Th~)

(s) (m)

1 1.1646 0.11582 0.3616 0.021843 0,2013 0.0067364 0,1258 0,002846

5 0.0918 0.001133

6 0.0745 (HlOO7196

CClI1. La iVl:fon11.aciól1. anterior pOClel1"LOS obtener Los valores mcixifnos Cij/te rl1,edel1. tener [os01'w,tos <te Litlertcu:t desacop Lucios

518

.(}.001 0.000 0.001 0.002Deflexión (m)

3 I-----t--~d----t_-_j

4f\----t---+__--t_-_j

2 I----+---+----+-~__i

5r-----1.~-+__--t_-_j

0.02.(}.01 0.00 0.01

Dcflexión (m)

1'""'-,

\

/VI

2

4

3

5

6

o0.15 .(}.020.05 0.10

Deflexión(m)

//

V/

V/

Vo0.00

~

6

5

4

3

2

I1Wci.O 1 modo 2 modo 3

2

3r----+---t----H'----1

4r-------io::---I-----t-----j

5r----+----I---+-+----j

o 1------!---_---1-----1

.(}.00010 .(}.00005 0.00000 0.00005 0.00010Dcflexión (m)

3 r----+-------7'9----j----j

4 r----+---j----j-~r_-j

2 ¡-------"...r----t--

5 f---'~--t---+__-

6 r----,----,-~--r---,

4 r-----t----J7"'----t---j

3 f---t+---1---t----iI

2 Ir---r--___I~___I,--___I

5 r----+---j----f\---j

o f----+---~-__+--_j.(}.0010 '(}.0005 0.0000 0.0005 0.0010 .(}.0002 .(}.0001 0.0000 0.0001 0.0002

Deflexión (m) Deflexión (m)

VlWci.o ') Inoci.06

Figura 15-5 - Ejemplo 15-1- Desplazamientos máximos horizontales de cada modo

Derivu ci.e YJiSO ¡n6txÍfnu (%IL)

utiLiZlíLItci.o Lo.'". ci.espLlíLlumie/ttos u/tteriores es positlLe ClíLLmLur rntrlíl. ClíLci.u modo Lu derivumiÁXimu Ll'i.e plte&tE' tevIN cuci.u VJiso de Lu estmctttr~: como eL despLlíLlumie/tto reLutivo entrepiso !1 piso. Es costtunkJrc expresur estu derivI/L corno Vlorce/ttuje de Lu uLtluu de cuciu YJiso:

Tabla 15-3 - Ejemplo 15-1 - Valores máximos para la deriva de piso como porcentaje de su etture

YJiso IYU)l.ÍO 1 VI'wdo 2 ¡nodo 3 I1wdo 4 Vltoeto 5 Inod06

6 0.409% -{).209% 0.080% -{).030% 0.008% -<1.001%t: 0.697% -{l257% 0.037% 0.016% -o.o10% 0.003%.J

4 1.021% -0.185% -{).054-% 0.023% 0.005% -{).004-%

:3 1.177% -{).002% -{).068% -{).024-% 0.004-% 0.004%

2 1.051 % 0.174% 0.012% -{1.016% -{).()10% -{).O03%

1 0.602% 0.157% 0.()47% 0.019%, 0.006% 0.001%

E/'l LI/L Jigarlíl. siglüe/'lte se mrv'sLrlíLlt Lf/LS cterivus in6tximus cte piso PUrDl. cuctu lUtO cte Los',UJctos:

Dinámica est rHC( HrU[ aplicada uf diseño sísmico

V.l0

I\

II

\

I

2

4

3

5

6

II

IIo O

-0.30 -0.20 -0.10 0.00 0.10 0.20 -0.10 -0.05 0.00 0.05Deriva ('!'oh) Deriva (%h)

3

2

4

6

5

1.500.50 1.00Deriva ('Joh)

II

I 1I

1\¡

11

2

o0.00

4

3

5

6

n'lOdo 1 Inocto 2

II,I

Ii II

II

4

2

o-0.004 -0.002 0.000 0.002 0.004

Deriva (%h)

3

5

6

I

I

Io-0.015 -0.010 -0.005 0.000 0.005 0.010

Deriva ('!'oh)

2

4

5

3

6

0.04-0.02 0.00 0.02

Deriva ('!'oh)

of------!---+----I-----i

-0.04

21--~_,_--+--+_--

31--~---+----U--~

51--L..---"---+--~+---:

111Octo 4 ftwdo 5 ftWUO 6

Figura 15-6 - Ejemplo 15-1- Deriva de piso (%h) máxima de cada modo

FI1,frza<, iHerciaLes f1tw<Ünas (l<N)

Para ctetenniltar Las Jlterzas ifterciaLes mlAX01tas YJor modo qlle if'l'LY¡OftE' eL sismo s(lb,ve Laestrttct/ua. se fl'L/útirJLica La matriz de rigidez de todrA- LtJl. estntctllXrA- YJor Los desy¡LrA-zwnieHtosmlÁ.xivlws corresy)oltdielttes a crA-da f11Odo. el res¡.útado está en kN:

¡,~

1 {F(l) } {F(2)} {F(Jl} {F(4l} {F(Sl} {F(6l}mod mod mod mod mod mod ,J.gdl

51fj

1108.3 -748.9 403.3 -226.4 79.3 -18.61

1016.2 -264.8 -1%.9 355.8 -195.6 57.9

860.2 331.8 -477.4 58.2 173.4 -91.0--632.9 761.5 -69.8 -378.0 -20.2 105.1

369.4 765.9 437.3 75.5 -148.2 -98.4

135.1 363.0 348.2 372.7 217.3 74.1te.)

til

j-------

sao 1000 IS00o

//..

I..~

/

I 11o-1000 -SOO

2

s

3

4

6

sao 1000 IS00o

<,-.<,

<,"--,

)/

/

I V2

s

4

3

6

oSOO 1000 IS00 -1000 -sooo

·1

/

/I

/

I17

o-1000 -soo

'W.~

1

6

S

4

3

2

Fuerzas Modales(kN)

Fuerzas Modales(kN)

Fuerzas Modales(kN)

f1wcto 1

sao 1000 ISeOo

II

I II

I'\

I I.\ I

7(

i '\ II

¡II

I iI I¡

3

6

2

4

o-1000 -SOO

s

sao 1000 IS00o

I I'\

--1-,)

I

(I

\

~ ~

V'---..

2

4

6

3

s

osao 1000 IS00 -1000 -sooo

I<, I

-,)

/<,

\1/

6

2

o-1000 -soo

4

s

:3

Fuerzas Modales(kN)

Fuerzas Modales(kN)

Fuerzas Modates(kN)

f1weto 4 111DetO 5 Wl.Or;tO 6

Figura 15-7 - Ejemplo 15-1 - Fuerzas inerciales máximas de cada modo

CurCcutCe In&tXlVVtO 1110etaL etc !1lS0 (I<N)

n

EL cortnnte InélXLlTLO f1waaL etl' rJlSO se atf~ne COf1W v~i) = ~ F~i).1 k,¡k=j

Tabla 15-4 - Ejemplo 15-1 - Valores máximos para el cortante de piso

V(l) V(l) V(3) V(4) V(S) V(6)

rnsCJ mod mod mod mod mod mod(kN) (kN) (kN) (kN) (kN) (kN)

6 1108.3 748.9 4D:U -226.4 79.3 18.6r 2124.6 10137 206.3 129.4 116.3 3<).3-)

~ 2984.8 681.9 -271.0 187.7 57.1 r~ ,-~) ,

3 3617.6 79.6 3409 -190.3 369 53.4

2 3987.U 8455 96.5 114.8 111.3 450-t 4122.1 1208.5 444.6 2')7<) 10ó.1 291,() 4-1/2.1 120S.5 444.6 257.9 ¡ 0(..-; 2q1

517

-Dillá;llica est ructural aplicada al diseño sísmico

oo

II

II

250 500o

II

I

I Ii

II I

3

o-500 -250

4

6

2

5

750 1500o

II

'1

11I IIo

-1500 -750

2

4

3

6

5

450030001500

2

6

3

4

5

Cortante de piso(kN)



I'JWGio 1 11tOGÍÓ 2

6030o-30

II

:II

II

iiIo

-60

2

4

5

6

3

15075o

¡ liI

II

IIo

-150 -75

4

2

3

5

6

150 300o

I Ii

I

I 1I1I

I I

I I

I

I

Io-300 -150

2

4

3

6

5


Cortante de piso

(kN)


Hwdo 4 InodoS I'Jwdo 6

Figura 15-8 - Ejemplo 15-1- Cortante máximo de piso para cada modo

Corte /rlasal (kN\

El cortante eIt La LIase del edificio, C/IL kN, de cada Hwdo se ¡:Jltcde oL¡te/ILer r,or Inedia de:

1108.3 -748.9 403.3 -226.4 79.3 -18.6

1016.2 - 264.8 -196.9 355.8 -195.6 57.9

860.2 331.8 -477.4 58.2 173.4 -91.0

632.9 761.5 -69.8 -378.0 -20.2 105.1

369.4 765.9 437.3 75.5 -148.¡ -98.4

135.1 363.0 348.2 372.7 217.3 74.1

= {4122.l11208.5 1 444.61 257.9 I 106.11 29.1}

Vil)mod

V(4)mod

ViS)mod

V(6)mod

Pactie verse &jIte este valor corresrJov¡,de al cortante oLlteltido ¡:Jara el ¡:Jrimer y,iso ev¡, cada IOtade los Inodos. n¡, el paso altterior.

518

1 U ......,(l.{l(((("~I":> Ilt\.." .• ,.I.' "JI"'''' , ..~

Movvtel'tto eLe v/trLco (kN . va)

n

EL momento eLe vuelco en CliI.eLcJt ~)iso se obCio'\,(' por vneeLio eLe M~i) = L (h k - h j ) ' FP)k=j+1

Tabla 15-5 - Ejemplo 15-1 - Valores máximos para el momento de vuelco de piso

M(l) M(2) M(3) M(4) M(S) M(Ó)

piSOmod mod mod mod mod mod

(kN -m) (kN' m) (kN - m) (kN -m) (kN- m) (kN -m)

Ó 0.0 0.0 0.0 00 0.0 00

5 3324.9 -224óJ ; 2D9.8 -679.2 237.8 :>5.9

4 9698.6 -')287.8 18287 -290.9 n1.0 61.90 18652.9 73336 ~C)~5.6 272.2 60.2 -933.,7. 7.950')8 70'-)1./ 6.9 298.7 170.9 h6.8~ 4H66.8 . -4558J 282.4- ó43.1 162.9 68.2

o 5]833 ; -937. 7 -;é,-;ó.] 130./ 155.3 19.;2

6,----.,----,-------,

s-l-\---+_--+_-----1

4+-~-+---+----j

3+----'\1-----+_-----1

2+---.,---'<--+---------1

20000 40000 60000

6r---r------,--~

sl------i----'--...4---!-

4t-----h;C-----t---!-

sf--l--'--i------t---!-

2 f---l~-j-----+----+

-6000 -4000 -2000 o

4 I------t--t-----t---+--+--J

sf-----t--+-~=--+_--1

2 r---l'---t-----t---+---j

ol------!--t-----t---""""----J

-SOO o SOO 1000 1500 2000

Momento de vuelco (kN . m) Momento de vuelco (kN • m) Momento de vuelco (kN . ro)

11tOdo 1 VltOctO 2 11wao 3

10050o-so

2 f---+_--+----+-7--1

sl-Ec-+_--+---+---1

sl----'I,t-----l----j-----J

4r---+---+----j¿--------1

4Q()200o

21------1----",1-1------1

SOOo-SOO

2f----h~-f------I

01------1------f""--------1

·1000

s

4r----j--"""'-!___----1

sl------.~I----!___----1

Momento de vuelco (kN • ro) Momento de vuelco (kN . m) Momento de vuelco (1lN . m)

mocto4

Figura 15-9 - Ejemplo 15-1- Momento de vuelco para cada modo

Et 11V)111,e¡tlo eLe vuelco eH tu l'!CLse. elt kN . In. covtCrivl/ücto r10r cuctcJt morto. se rJltecte ohtcnerrJ or mectio ele

519

1108.3 -748.9 403.3 -22M 79.3 -18.6

1016.2 -264.8 -196.9 355.8 -195.6 57.9

1 860.2 331.8 -477A 58.2 173.4 -91.0

632.9 761.5 -69.8 -378.0 -20.2 105.1

369.4 765.9 437.3 75.5 -148.2 -98.4

135.1 363.0 348.2 372.7 217.3 74.1

= {53833I -933 I 16161 131 I 155 I 19}

M~~d M~ld M~~d M~~d M~ld M:::~d

Octdo IIjI1R eVL ejevl1pLo 14-3 se encontró Lct reSpl1Rstct crmlOLógim de Lct mismct estrttctlUct wtteel I'lÜSVllO ctceLerogrctmct de EL Cefltro. Cf1,!jO espectro se emrJLeó e11 el prese11te ejevnpLo, pl1,edellhctcerse ctLgl1Hcts compctrctcio11es acerca de Los valores mcixifnos o!:ltefüdos en el ejempLo 14-3 l::J

Los valores modctLes Hlciximos o!:ltellidos en eL presente ejempLo, Ell Lct tctbLct 15-6 se COI'ltpctrctltLos valores obteltidos flctrct Los grctdos de Libertctd desctcopLctdos en el ejelnpLo 14-3, con Losvalores de estos miSf'ltoS gmdos de Hbertctd efnpLeLLdos en el I'Jrescnte cjcf'ltpLo

Tabla 15-6 - Ejemplo 15-1- ComparDción de los valores obtenidos en los ejemplos 14-3 y 15-1

Gntc;{o de EjemrLo 14-3 Ele~nrLo 15-1

L,iJertlMi 11¡ t (11¡)max =a¡ x Sd(T¡,~¡)desv,copLl/t.do (ro) (s) (ro)

111 mi,x,wlO 4.049463 5.90 4.0495

mivüww -3,664644 3,04

112 W\.Vlx, m.o 0.295191 4.76 029571

mim VYto -0284971 4.58

113 V'M'X'V'/I.o 0,047073 3.22 0,055458

mímwlo -0,054570 2.52

114 VVlÚX,WW 0,010581 2,51' 0,017155

míruww -OO1711S 2.64

115 mitX,WW 0.003448 2,12 0,0050639

miVLLV'(\.() -0,004919 2.24

116 vvu,',xiww 0,001150 2.16 0,0017170

mí v',1w..o -O.OO"4q~ 2./?

COI'110 p/lRde verse Los vctLores son ese11cictLW\.C/ltc ig/{"ctLes, !j LlA.s diferencicts o!:wdeCeft ct erroresuc r¡recisiólt lj redCHtdeo dlA.do IIjI1R ellA.Lgoritmo ef'l1.pLectdo plA.m eflCOf1trctr LlA. resp/lRsta en eLcjempLo 14-3 es diferente del IttiLimdo /:'lctrct cctLuüm el espectro empLectdo eft el presef1.teejentpLo, odIe notarse. tctnt!:liéft, el hecfLO de GjI1R lüng/HIO de Los valores VVlcixÍlno o l'l-tíl1.í1noocurre en eí miSf'110 iltStwlte,

EL mciximo ues~JLWctVlüeftto ILOriLmttctL de Lct c¡ü¡iertu ueL edificio, tctL como se obtltvo en elejempLo 14-3, Jite de 0,148729 m, La S/H'llct ctLgebruim de Los valores de Los despLwamientosnlOdctLes IncixinlOs en eL /:'liso 6 ojr,tenidos en el presenLc ejempLo, es 0,140330 1'l'L !j Lct SH,mct deS/tS valores ctbsoLtttos es 0,160443 m, Cm'110 pltede verse La S/M'l-ta ctLgejrJruicct slüJestimct eL valorobteflido eVL La resp/testa crmlOLógim, lj La sltma de Los valores a!:lsoLlttos Lasobrestima,

..~.~-520

EL mciximo valor deL cortante ell Lct bctse deL edificio. taL como se obtuvo en el ejempLo 14-3.JIlRde 4355,8 /<N. LaSltmct de Los vaLores de Los cortantes wlÁ.JdaLes mcixivllos ell La !:¡ase obtevl.idoseft el weseflte ejempLo es 6168.4 /<N. COVllO p/tede verse La s/tma sobrestimct et valor obteftidoen La resp/lRstct crovlDLógim, tsto se debe a t/l/lR CIl La res~Jltestct crmlOLógim eL vctLor deLcortante en La !:Iase está controLado por La resYJltesta deL primer modo lj Los otros VllOdoswtictiml'l'U'flte no cmttri!:J1t!jefl u SIl. vuLur c/tu~ldo oCluye eL Vllcixil'llO, EL mcixi~'}lO valor del~'llOI11('ItID CI: Lu jr'lA.Se ueL edificio, tuL como se obtlwo ('11 eL ejem~JLo 14-3.JH.e ue 54406 kN . m,J'¡

f--------------------

1 b • ,'Ulal/SI.'; 1I1(}(HII e~jJeC(nll

La SI1,f1il,a aLgebraica ete Los valores ete los IWll11RlttoS modcües Vl1tÁXÚ1WS en la base otJtevüctosen et presente ejempLo es 54822 kN . f1il" U La S/tlna ete Los valores a~)soLI1,tos es 56687 kN . lit.Como piteete verse Las S/iVl1IAS sotlrestiman eL valor obtel1ieto en Lu respHesta crorwLógica. ELvalor meixif1w cteL 1110/'11('/tto elt La blAse pIAra Los f'11OetOS i-tíJermtes ctd Jlutciavltentul espeVjlteilo comrJaraÜvame/tle al del JIHtciame vLt(;tLel1 el preSCltte ejempLo. Lj el1 Lu resrw~sta

crorwLóg ica ocurre ¡;ügo simiLar.11

15.3 Métodos de combinación de la respuesta modal

15.3.1 Generalidades

En la Sección anterior, con su ejemplo, se presentó la forma como se puede llegar aencontrar la respuesta máxima para cada uno de los modos para diferentes parámetrosde la respuesta estructural ante un sismo. Así mísmo en el ejemplo 15-1 se realizó alfinal una corta discusión acerca de las diferencias que se obtendrían para algunos deestos parámetros al comparar la respuesta cronológica con los resultados espectrales.Es evidente de la presentación que la suma de los valores absolutos de la respuestaespectral siempre conduce a valores mayores que los obtenidos por medio de larespuesta cronológica debido a la no simultaneidad de los valores máximos de lasrespuestas modales. En general cuando un modo llega a su máximo; las otrasrespuestas modales, en ese instante, son menores que sus máximos índíviduales, Esobvio, entonces, que el límite superior de la respuesta combinada f , de los diferentesvalores modales r¡, es la suma de los ro valores absolutos, siendo ro el número demodo":

m

r~IJd¡=1

(15-12)

El grado de conservatismo que se introduce por medio de la suma de los maximosvalores absolutos varía de un parámetro a otro. Por esta razón se recurre a técnicas decombinación de la respuesta modal basadas en análisis estadístico y conceptos de\ibraciones aleatorias, las cuales permiten determinar un valor máximo factible de larespuesta. En [Cupta, 19901 se deducen y discuten diferentes métodos de combinaciónde la respuesta modal. A continuación se presentan las metodologías más empleadas enla actualidad.

15.3.2 Método de la raíz cuadrada de la suma de les cuadrados (ReSO

El método más conocido de combinación modal espectral es el método de la raízcuadrada de la suma de los cuadrados (ResC). Este método fue desarrollado por E.Rosenblueth en su tesis doctoral [Rosenblueth, 1951) y postula que para cualquierparámetro modal respuesta r, el valor máximo factible del parámetro r, al tomar encuenta las diferentes componentes modales máximas r., se obtiene a través de:

(15-13)

.-\ la luz de la teoría moderna de confiabilidad [Ang y Tanq, 19841. la respuesta de ungrado de libertad desacoplado TI¡(t), ante una excitación sísmica puede considerarse unavariable aleatoria con una media ~, y una desviación estándar O'j. La transformación deestos grados de libertad desacoplados en los grados de libertad de la estructura serealiza por medio de la ecuación (15-2). Dado que esta transformación es lineal ysuponiendo que los diferentes grados de libertad desacoplados son estadísticamente

521

independientes, utilizando la teoría de probabilidad, es posible demostrar que elresultado de la transformación también es una variable aleatoria, cuya media es igual aemplear la transformación utilizando los valores medios

{u}=[<1>]{~} =i {<jl(il}~ii=1

(15-1-4)

y su desviación estándar [Ang y Tanq, 1984], es:

(15-15)

Si el sismo es suficientemente largo puede decirse que la respuesta lineal a él está lamitad del tiempo del lado positivo y la otra mitad del lado negativo, por lo tanto en estecaso, la media del valor de 11¡(t) es cero (~ =O); y cualquier parámetro de respuesta r, quese transforme linealmente, desde el punto de vista estadístico, tendrá un valor r , iguala la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de los valores modales individualesmáximos del parámetro fj, que es precisamente lo que indica el método de la raízcuadrada de la suma de los cuadrados a través de la ecuación (15-13). No sobra insistirque se partió de la premisa de que las respuestas modales son independientesestadísticamente entre si. Cuando se viola esta premisa el método conduce a resultadosno conservadores. Si existen modos de víbracíón CO:l períodos de vibración con valorescercanos, en alguna medida, hay correlación entre sus respuestas y el método no esaplicable.

El método RCSC:, raíz cuadrarla de la suma de los cuadrados debe emplearse sobre losresultados máximos modales del parámetro bajo estudio fjo Debe tenerse en cuenta quepara cualquier parámetro obtenido aplicando el método RCSC de combinación modal, elresultado siempre será positivo, pero en realidad puede ser positivo o negativo pues esuna representación de un movimíento oscilatorio. Este aspecto debe tenerse en cuentaen la combinación de estas fuerzas de origen sísmico con otras fuerzas de origengravítacíonal, como pueden ser las cargas vivas o muertas.

La manera de aplicar el método rle la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados (RCSC)a los diferentes parámetros de respuesta es la siguiente, donde la estructura bajoestudio tiene jl pisos y ID modos:

(a) Desplazamientos horizontales maximos de la estructura - Por medio de laecuación (15-10) se obtienen los desplazamientos de máximos de cada piso, porejemplo el piso j, para el modo i: U~il o Luego, por medio de la aplicación del método

RCSC,

Uj" = ~(U~i)f = (U~ll)2 +(U~2lf +o.o+(ujmlr1=1

(15-16)

se determina el valor máximo factible del desplazamiento del piso j.

(b) Derivas máximas de piso - Utilizando los valores de los desplazamientos demáximos de cada piso obtenidos al comienzo del paso anterior, por ejemplo para elpiso j, en el modo i: U~il. Se determina primero la máxima deriva inducida por el

modo i en el piso J. así:

59.')J--------

A(i) _ U(i) _ U(i)ti j - j+1 j

Luego, aplicando el método RCSC,

15 • Análisis modal espectro

(15-17)

(15-18)

se determina el valor máximo factible de la deriva del piso j. Es importante tener encuenta que es errado calcular la deriva de piso utilizando valores de losdesplazamientos ya combinados, por lo tanto no es lícito, dentro de la metodología,emplear los desplazamientos máximos obtenidos por medio de la ecuación (15-1 G)para obtener las derivas máximas factibles.

(e) Cortantes máximos de piso - Por medio de la ecuación (15-10) se obtienen las

fuerzas modales máximas de cada piso, por ejemplo el piso k, para el modo i: F~i).

Luego se determina el máximo cortante inducido por el modo i en el piso J. así:

y aplicando el método RCSC,

Vjmax= f(V.lilf = (V.ll)r +(vYlr +... +(v.¡mlr

i~1

(15-19)

(15-20)

se determina el valor máximo factible del cortante del piso j. Debe hacerse la mismaadvertencia que en al caso de la deriva, pues es errado calcular el cortante de pisoutilizando valores de las fuerzas ya combinadas.

(d) Cortante basal máximo - Primero se obtiene la fuerza cortante máxima para cadauno de los modos sumando algebraícamente todas las fuerzas modales máximasdel modo en los diferentes pisos, F~i):

p

V(i) = I, F~il

k=l

y aplicando,

Vmax= f(V~¿dr =

i=1(VO) )1. +(V(2 l )2 +.. o +(v(m) )2mod mod mod

(15-21)

(15-22)

se determina el valor máximo factible del cortante en la base. Igual que en los otroscasos, es errado calcular el cortante basal utilizando valores de las fuerzashorizontales ya combinadas.

(e) Momentos de vuelco máximos de piso - Con las fuerzas modales de piso para elmodo I: F~i), se determina el máximo momento de vuelco inducido por el modo i en

el piso j, así:

Jinámicn estructural opliccul« al diseño sísmico

M~i) = ±[(hk - hj ) . F~i)]k=j+l

(15-23)

donde h, Y h j son las alturas, medidas desde la base, de los .pisos k y j,respectívamente, Aplicando el método RCSC,

Mjax = f(M~i)r = (M~l)r +(M~2)r +".+(M~m)ri=l

(15-24)

se determina el valor máximo factible' del momento de vuelco del piso j. Debehacerse la misma advertencia, pues es errado calcular el momento de vuelco de pisoutilizando valores de las fuerzas ya combinadas.

(e) Momento de vuelco máximo en la base - Con las fuerzas modales de piso para elmodo i: F~i}, se determina el máximo momento de vuelco inducido por el modo i enla base así:

y aplicando,

Mmax= f(M~~dr = (M~~d)2 +(M~~r +... +(M~~ri=l

(15-25)

(15-26)

se determina el valor máximo factible del cortante en la base. Igual que en los otroscasos, es errado calcular el cortante basal utilizando valores de las fuerzashorizontales ya combinadas.

(f) Fuerzas horizontales estáticas correspondientes a las fuerzas máximas modales Con en fin de obtener las fuerzas internas en los elementos de la estructura esconveniente disponer de un conjunto de fuerzas horizontales estáticas querepresenten las fuerzas máximas factibles que puede desarrollar el sismo. De estamanera las fuerzas estáticas correspondientes se pueden emplear en un análisisestático convencional y así determinar las fuerzas internas de los elementosutilizando la misma metodología que se emplee para las demás fuerzas estáticas.

Las fuerzas estáticas correspondientes se determinan a partir de las fuerzascortantes máximas factibles de piso obtenidas en el paso (e). La fuerzacorrespondiente de cualquier piso se obtiene como la diferencia entre la fuerzacortante del piso y la del piso inmediatamente por encima. En el piso superior esigual al cortante de ese piso. Entonces, para cualquier piso j, la fuerza estáticacorrespondiente es:

lvmax

FE _ jj - V max _ V max

j j+1

para J> p

para j:;t: p(15-27)

1

lLo anterior se presentó teniendo en mente un análisis modal planar. Al aplicar elmétodo RCSC a sistemas tridimensionales hay que tener en cuenta algunos aspectosadicionales que serán discutidos más adelante en el presente Capítulo.

15 • Análisis modal especti

Ejemplo 15-2

Se ueselit eVftrJLeliLr eL método de Lu míz cltlitdmdlit de LIit SIHnlit de Los CluAdmdos (RCSC) lit Losresl1Ltlituos deL ejefnpLo 15-1. EL emf'JLeo de rJrocedUnimto COftdltce lit Los sigaientes resl1.Ltlitdos:

DesnLliLZlitvvtientos horizcHttlitLes f1tcixil11OS (m)

Los desr¡LliLZumiefttos múxil1tOS en. ml.Í1it 11tOUO, se okJltwierovL de:

litsí:

0.148703 -0.009692 0.001618 -0.000355 0.000066 -0.000010

0.136429 -0.003428 -0.000790 0.000557 -0.000163 0.000032

0.115519 0.004295 -0.001915 0.000091 0.000144 -0.000050

0.084882 0.009854 -0.000280 -0.000592 -0.000017 0.000058

0.049588 0.009914 0.001754 0.000118 -0.000124 -0.000054

0.018061 0.004698 0.001397 0.000584 0.000181 0.000041

{U (I ) }

mod {U (Z) }

mod {U (3 ) }

mod {U::~} {U (S ) }

mod {U~~d} J,gdl

U6

Usu 4

U3

U2

u I

AlwrlA. Iitr¡Liml1tOs et procedilnieltto de RC')C lit mdu IUtlit de LlitsJiLlits de LIit fnlittriz IiLftterio:'. ASÍ,

lit f1tOl.ÍO iLltstmtivo, rJlitm el sexto riso:

U;¡"'x = J(0.148703)2 +(-0.009692)2 + {0.OCI618)2 + {-0.000355/ + (0.000066)2

+ {-0.00001O)2

= 0.14903 m

Este valor se compum kJustultle bien, COVI. eL valor de 0.14873 In obtenido rJOr vftedio (le llAresfJl1.estu crOftOlógim reuLizudu evl. el ejef11.pLo 14-]. El resl1.Ltlitdo, eVl. m. pun/l.lodos los piSOS es:

,J.,gdl

rO.14903

jo.13M 8

{ }0.11560

U ma x =±--0.08545

0.05059

0.01872

Se hu cotocaao el sín1.kJolo ± plitm ütsistir qli.e los reslütudos vltl.~ximos obU'-Itidos rJOr /11.fdio dcRCSC rJltcl.Íelt ser positivos o neglittivos.

Derivlits múxime/l.s de tJiso

El valor de LIit derivu f'Jum mdu modo en ml.Íu piso se mlwJu IttiLizliLf1.do los vatoresmosirul.Íos en fUmad]. EmrJteuvLdo tu eCltlitciólt (15-17) se OkJtielteft los siglúeVl.tes resltltudos:

525

'lámica estructural aplicada al diseño sísmico

0.012274 -0.006264 0.002408 -0.000912 0.000229 -0.000042

0.020920 -0.007723 0.001125 0.000466 -0.000307 0.000082

0.030627 -0.005559 -0.001635 0.000683 0.000161 -0.000108

0.035304 -0.000060 -0.002034 -0.000710 0.000107 0.000112

0.031517 0.005216 0.000358 -0.000465 -0.000305 -0.000095

0.018061 0.004698 0.001397 0.000584 0.000181 0.000,,41

{/!,( 2) }

mod {/:;.( 3) }

mod {/:;.(4 ) }

mod {/:;.(S) }

mod {/:;.<;~d } t piso

6

5

4

3

2

1

AhorcA. ar)L~cavJws eL woced~f1t~eftto RCSC por ejemplo. aL tercer piso:

/:;.';,'" = J(0.035304)2 + {_0.00006O)2 +(-0.0~2034)2 +(_0.000710)2 +(0.000107)2 + {0.0(0112)2

= 0.03537 ID

IJ para todos Los r~S05.

0.01402

0.0223.t

0.03118

0.03537

0.03195

o.ousn

ID=

-ipiso

0.467%h' Ó

0.744%h 5

1.039%h 4

1.179%h

j3

1.065%h 2

0.624%h 1

Ahora, s~ las derivas se ¡~It¡"'~esell ClíLLcltL1A.do, E'YrcA.dlíLlne~tte. a ~1ayt~y de Los vaLores de {U'?"}. losyeslütados seYiavl, Los s~glüelltes, COVJW rDrcentaje de LaaLtlHa de r)Lso (%h):

0.418%h'

0.696%h---1.005%h---1.162%h---l.06~%h---0.624%hJ

..l.piso

6 <= resutado errado



3 <=resutado errado

2

1

FI1,erzas Ú1.eyclales 11uH;l.ales (kN)

Las Jl1.erzus inerciales mrix~mlíLs rlOY v11.odo tijltc ivnpmte eL S~SI1W sobre la estmcU1XlíL. seobtHN~eYmt eri el ejemr)la 15-1 mlüt~/1l~ClíLndo llíL mlíLtr~z de Y~g~del ¡;(e ta¡;(a LacstntctlulA. VIOY Los¡;(eSr)LlíLZlíLInie~ltas Inrix~f1ws carreSrlOflCÜf'fttes líL ClíLíilíl. f1wdo. el yeslütlíl.¡;(o estti elt kN:

{F(l)} {F(2)} {F(3)} {F(4)} {F(S)} {F(6) 1mod mod l mod mod moti mod J

1108.3 -748.9 403.3 -226.4 79.3 -18.6

1016.2 -264.8 -196.9 355.8 -195.6 57.9

86a.2 331.8 -47'7.4 58.2 173.4 - 91.0

632.9 761.5 -69.8 -378.0 -20.2 105.1

369.4 765.9 437.3 75.5 -148.2 -98.4

135.1 363.0 348.2 372.7 217.3 74.1

tgdl

Debe evitarse combÚtlíLY estlíLsJIH'17líl.S I1w¡;(aLes líL truvés de RCSC. pites COlt¡;(,tclyilíl. a reslütlíl.aosCYYlíL¡;(as posteYiaYvllCflte elt el ctiLutLa ¡;(e Los cortlíLfltes de piso lJ f1wlnenlos (M vaetco.

15 • Análisis modal espectr.

Cortcutte Inrixilno vnoduL de t'Jiso (kN)

EL cortante vnrixüno de r¡iso rJum mdu ¡nodo se ohtiene r¡or vftedio de iu ec/{,ucióft (15-19):pvii) = LF~i)

k=j

Tabla 15-7 - Ejemplo 15-2 - Valores máximos del cortante modal de piso

y(l) y(2) y(3) y(4) y(5) y(6)

rnso mod mod mod mod mod mod

(kN) (kN) (kN) (kN) (kN) (kN)

6 110S.:J ~748.9 403.3 ~226.4 79.3 ~18.6

S 2124.6 10"13.7 200.3 129.4 116.3 39.3

'1 2984.8 681.9 271.0 1877 57.1 C"1 7- ,) 1. /

3 J()':76 79(, '340.9 ~ 190.3 369 S:L4-

2 3987.0 84';.'1 Q¿'.5 -11'18 '1 .., 1 '1 --1-5.0- • 1 t .~)

1 4122.1 1208.'1 444.6 257.9 106.1 29.1

Alwm Ur¡Licwnos eL Y¡Y(Jcecü,nien((J RC<.;C. por ejemy¡Lo. uL scg/1.ndo r¡iso:

y~x = ~(3987.0)2 +(845.5)2 +(96.5)2 +(_114.8)2 +(_1ll.3)2 +(-45.0)2

= 4080.2 kN

El resH.Ltucio. eft kN. rlCua tocios Los rJisos es:

1417.6

2369.8

{y max } = ± 3080.3

3640.1

4080.2

4327.6

Corte LJusaL ,nrixiww

J.piso

6

5

4

3

2

1

EL cortante en Lu ¡.,use deL edificio ('VL ki'-J. se OtltliViJ en eL cjevvLpLo 15-1 r¡ara mda nVJ(.io así

1108.3 -748.9 403.3 -226.4 79.3 -18.6

1016.2 - 264.8 -196.9 355.8 -195.6 57.9

860.2 331.8 -477.4 58.2 173.4 -91.0

632.9 761.5 -69.8 -378.0 -20.2 105.1

369.4 765.9 437.3 75.5 -148.2 -98.4

135.1 363.0 348.2 372.7 217.3 74.1

= {4122.l 11208.5 I 444.6 I 257.9 I 106.11 29.1}

y(l)mod

y(6)mod

Alwm upLLCI;tvnos eL y¡rocedimiell.t.o RCSC

ymax = ~(4122.1)2 +(1208.5)2 +(444.6)2 +(257.9)2 +(106.1)2 +(29.1)2

= 4327.6 kN

--------------

'iruunica estructural aplicada al diseño sísmico

MOlneV\,to de VlteLco

EL VVWVVlCV\,to de vuelco en cadlíl piso se obtiene por Inedia de Llíl eCl-LlílcióVl (15-23):

M~i) = ±[(hk -h')'F~i)lJ.1 .1 .1

k=j+1

Tabla 15-8 - Ejemplo 15-2 - Valores máximos del momento de vuelco modal de piso

M(l) M(2) M(3) (4) M(S) M(6)

riso mod mod mod M mod mod mod

(.kN' m) (kN 'm) (kN 'm) (kN' m) (kN 'm) (k.~. ro)

él 0.0 00 00 0.0 0.0 0.0

5 3324-.9 -224-67 1209.8 -679.2 237.8 -55.9

4 9698.6 -5287.8 1828./ 290.9 i 11 .0 6~9

3 18652.9 -7333.6 1015.6 272.2 60.2 -93.3

2 29505.8 -7094.7 -6.9 -298.7 170.9 66.81 414-66.8 -4-558.2 282.4 -6431 1(l2.Y 68.)() 53833 1 -932.7 1616.3 130.7 ~ 55.3 19.2

Altorn apLiclílfnos el procedivI-tiCf1to RCSC por ejevl1rLo. aLmarta r1iso:

M:"X = ~(9698.6)2 +(-5287.7)2 +(1828.7)2 +(_290.9)2 +(-111.0)2 +(61.9)2

= 4080.2 kN

EL resltLtado. en I<N . m. pam todos Los rJisos es'

0.014252.9

11201.3

{l\l ma x}= ~OO70.6

30348.8141722.9

53865.8

.~ piso

6

5

4

3

2

1

o

1108.3 -748.9 403.3 - 226.4 79.3 -18.6

1016.2 - 264.8 -196.9 355.8 -195.6 57.9

860.2 331.8 -477A 58.2 173.4 -91.0

632.9 761.5 -69.8 -378.0 -20.2 105.1

369.4 765.9 437.3 75.5 -148.2 -98A

135.1 363.0 348.2 372.7 217.3 74.1

MOVI-1CfttO de vHdco el1 Llíl tJlílse

EL ;nOVl1Cftto de vuelco en La tJlílse. eVl, I<N . In. cmttrib,údo rlor cada litado. se rJl1.ede obtenerrol' medio de:

r{M_l" {h}'[F_l" {"lIS 1121916131

= {53833I -933 \ 1616\ 1311 155 1 19}

M(4)mod

M max = ~(53833.1)2 +(-932.7)2 +(1616.3)2 +(130.7)2 +(155.3)2 +(19.2)2

= 53865.8 kN· m

15 • Análisis modal espect

r Iterzas lLorizont.uLes estlÁ.t:icus corresroVLcÜefttes

Est.usJ/terzus, en kN, se cr;lJu1.Laft por vVLeGiio Gie La ew,aciÓft (15-27), con base en Los cortantesfnoGiaLes Gie piso vVLeixilnos:

r1417.6

2369.8-1417.6

3080.3 - 2369.8

3640.1- 3080.3

4080.2 - 3640.1

4327.6- 4080.2

1417.6

951.9

710.5=+--

- 559.8

440.3

247.6

J.piso

6

5

4

3

2

1

EL VltÓfneftt.o Gie V/teLCO eft La base, eft kN . flt c(;¡Juüacto rJara est.asJI1.erzas corresr)()/'ldie/'l{:fs es:1417.6

951.9

ME={hf[FE]={18115112191613} 710.5 =56742.1 kN.m559.8

440.3

247.6

Este ¡1'!ülnento ~1.e vnctco es. e/t este caso, Ugeramenle s/tperior aL q14.e se obt.nvo w],teriorme/'l{ea/'lLicanúio RC5;C cte Los flWV!tentCJs de vuetco flwdaLes. Dado qH,e e/t eJE'111fJ Lo 14--3 "e encontró Luresp/testa umwLógim de La misvna estrttctH.ra aftte eL misvlw acderograma de El Ce/ttro, mijoeSrJectro se empLeó en et presente ejempLo, 11/.¡.eden ILacerse aLg/utas comrJaraciones ucerca GieLos vatores 1·1teixÍflWS o~JtevLidos en eL ejenwLo 14-3 Ij Los valores meixÍflws rro~lalJLes cubüudosItt.Uizal1I1.o RCSC en et presente ejempLo.

Tabla 15-9 - Ejemplo 15-2 - Comparación de los valores obtenidos en los ejemplos 14-3, 15-1 Y 15-2

E¡em¡olo 14-3 EJempLo 15-1 Ejemplo ¡52

Pvm'imetro AVl.6tlisis Espectml MOviv¡[ EspectmllV1o¡;{vilCroVl.ológico Vvilor íl.hsoluto RCSC

DesplViZVimieVl.to 0.14873 m 0.16044 m O.i~9OJ mde L¡;'i cuhierw

Corte BViS¡;,il 4355.8 kN 6168.4 kN ~327.6 k,"'~

rv10VVUeVl.I"() ¡;fe vuelco 51'r 40tJ kN . m 56687 kN, m 5:l866 kN· m

COVV\.() rJlteGie verse Los vaLores o~lteftidos por meGiio deL I1roceGiimiento RC';C soto varialt conresl1ecto aL fl'leixÍfI'lO valor crmtoLógico ef'l Lu terceru ciJra decimaL

•Con el fin de aclarar un paco más aquellos casos en los cuales no es lícito utilizar elmétodo RCSC, los dos errores más comunes en su aplicación consisten aplicar elprocedimiento a los desplazamientos modales [Umod] , o a las fuerzas modales [Fmod] ,

obteniendo un vector de desplazamientos, o de fuerzas horizontales, de los pisos; paraluego ser empleado directamente en un análisis de la estructura por procedimientosconvencionales. El error se introduce en aquellos pisos en los cuales losdesplazamientos o las fuerzas cambian de signo, con respecto al piso inmediatamentesuperior, pues tanto la deriva como el cortante de piso se calcula dentro del modo comola diferencia algebraica, tomando en cuenta el signo; pero si esta diferencia se calcula apartir de desplazamientos, o tuer-zas, que se obtuvieron sacando raíz cuadrada de loscuadrados de los valores de cada modo, los valores pierden su signo al elevar alcuadrado, y la diferencia es en consecuencia menor.

529

uunica estructural aplicada al diseño sísmico

.3.3 Método de la combinación cuadrática completa (CCC)

El método de la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados parte de la premisa de lasrespuestas de los grados de libertad desacoplados son estadísticamente independientes.En aquellos casos en los cuales existe interacción modal debe recurrirse a otrosprocedimientos. El más utilizado de ellos se conoce como el método de la combinacióncuadrática completa (Cce). La forma de combinar la respuesta de los diferentesparámetros modales, r, se expresa así:

(15-28)

donde r, y rj corresponden a las respuestas modales máximas del parámetro, para losmodos i y j respectivamente, y ru corresponde al coeficiente de correlación entre los dosmodos, el cual varía entre cero y uno, siendo uno para el modo con si mismo. Por estaúltima razón, los términos de las dos sumatorias para el mismo modo pueden sacarsedel producto, lo cual conduce a la siguiente expresión:

m m m

r "" L r¡2 +L L. (ri . r j . P\i)i=l i=lj=l

;*jj*i

(15-29)

Es evidente aquí que la primera sumatoría corresponde al método de la raíz cuadradade la suma de los cuadrados (RCSC), el cual el un caso particular del método CCCcuando los coeficientes de correlación entre modos son cero, lo cual solo ocurre cuandohay independencia estadística entre ellos, confirmando la base del método RCSC.

El método fue planteado por primera vez por Rosenblueth [Rosenblueth y Elorduy,1969], y posteriormente Der Kíureghían [Der Kiureqhian, 1981] propuso una maneradiferente de calcular los coeficientes de correlación, la cual es la más empleada hoy endía, y es la que se presenta a continuación. En [Cupta, 1990] se introducen otrosmétodos y se comparan con los dos mencionados. Todos ellos se fundamentan en lateoría de \ ibraciones aleatorias y su deducción se sale del alcance de una presentaciónintroductoria.

De acuerdo con el procedimiento de Der Kíureghían los coeficientes de correlación secalculan por medio de:

(15-30)

donde ~ y Si son los coeficientes de amortiguamiento de los modos i y j,respectivamente, y ~ij = (j},/ffij, siendo 0\ y ffij las frecuencia naturales, en radianes porsegundo de los modos i y J. respectivamente. Cuando el coeficiente de amortiguamientocrítico es el mismo para los dos modos, la ecuación anterior se convierte en:

(15-31)

Un aspecto que se deduce de la ecuación anterior, es que la ausencia deamortiguamiento hace que el coeficiente de correlación se convierta en cero. En la

15 • Análisis modal espect i

Figura 15-10 se grafíca la ecuación (15-31) anterior. Allí es evidente que el coeficientede correlación se hace mayor en la medida que las dos frecuencias se acercan, y queeste efecto es más pronunciado cuando el amortiguamiento es mayor.

t~-,=0. O

~=( .15

/~= 0.10

~ 1\ /~ =0.0

¡}' \/ ~=O 02 ,

T !I p\'\V~= 0.01

~'/ I '\ K',"-...ro-pJJ~ I~r-:'---r----

1_0

0_9

0_8

O]

0_6

Pu 0.5

0.4

0.3

0.2

0.1

0.0

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0

Figura 15-10 - Coeficiente de correlación para el método CCC

La gráfica anterior demuestra que aun para amortiguamientos hasta de 10% del crítico,para frecuencias que difieran por UJ"l factor de 2 o más (0.5 > ~ij o ~ij> 2), el coeficiente de .correlación Pij, se mantiene por debajo de 0.10. La importancia del método eee se hacemanifiesta cuando existen frecuencias naturales cercanas, de resto los resultadosobtenidos son prácticamente los mismos que se obtendrían con el método ReSc.

Desde el punto de vista de la utilización del método debe realizarse de la mismamanera que para el ReSe, la diferencia estriba en la manera como se realizan las sumasantes de extraer la raíz cuadrada. La manera más simple de realizar la operaciónimplícita en 1,,1 ecuación (! 5-28) es realizar el siguiente producto de rnarnces:

(15-32)

Ejemplo 15-3

Se deseCA. eVftpLeCA.r eL ntétodo de LCA. covnbinCA.(Íó¡t cltCA.vtráticCA. compLetCA. (cce) CA. Los resltLtCA.dosdeL ejcvltpLo 15-1. eL CH.CA.LJlte eL VniSf1!1O empLcCA.do PWCA. el vl"Létodo RCSC m el ejempLo 15-2. LCA.s

JrcCH.enciCA.s lJ períodos ltCA.tI1.YCA.Les deL siste/1tCA.. se dCA.lt en LCA. tCA.bLCA. 15-10.

Tabla 15-10 - Ejemplo 15-3 - Valores de las frecuencias y períodos naturales

Modo ol ro f T(radls)2 (rad/s) (Hertz) (s)

~ 2'! 108 5.3Y52 0.85866 1.1646,

2 :>0-; .81 17.373 2.76495 0.3616

:5 973.78 3 ~ .205 4.96647 0.2013

4 2494.3 49.943 7.94849 0.1258r

4tJ~Ó.5 68.458 1089550 0.09~8.)

f) 7: :38 84.344 :]42372 00745

5al

uámica estructural aplicada al diseño sísmico

uüLiZCU1-do Los valores de La jremel'u:ia 0), el'L rad/s constnu-nos La sigfüel'Lte tabLa con Loscocientes !3ij = o>'/OOj:

Tabla 15-11- Ejemplo 15-3 - Valores del cociente de frecuencias !3ij =o>'/OOj

V'IW¡;;(O ~ 1 2 3 ~. 5 6

WU)¡¡jo.1 O) (rad/s) 5.3952 17.373 31205 4·9.943 68.458 84.344

1 5.3952 100000 0.31055 0.17290 O 10803 007881 0.06397

2 ~ 7.373 322008 1.00000 0.55674 0.34786 0.2"378 0.20598

3 .1; .205 5.78384· '1.7%18 1.00000 0.62481 045583 036997

4 49.943 9.25693' 2.87475 1.60048 1.00000 0.72954 0.59213

5 68.458 12.68869 3.94048 2.19382 1.37072 1.00000 0.81165f) 84·.344 15.6331 Ó 4.85489 2.70290 1.68881 1.23205 100000

W.ego se caLcIÚalt Los coe]i.cievttes de corretación, H.üLizlil.It¡;;{o La eCl1.aciólt (15-31) IJ con IHtcoef~cil.'lttl' etl.' (M11OrUgl1.amil'ltlD cnuco etl' ~ = 0.05, iglHitL (itL cmr Leado CIt Los ejemrLos 14-3. 151 IJ 15-2 para La misma estn1.cUua. Los coejiciel1-tes ete correLaciém se presl.'Jttlil.lt l.'VI. La sig¡üenteta~,La.

Tabla 15-12 - Ejemplo 15-3 - Valores del coeficiente de correlación Pij

.1 VVln¡¡jo~ 1 2 :3 4 S (),

; 100üüO n00552 0.0017') 0.00080 0.00048 0.00035

2 000552 100000 0.02641 000710 000365 0.m245

3 0.00179 0.02641 1.00000 0.04135 0.01406 0.00320

"r 0.00080 0.00710 0.04135 1.00000 0.08958 003322

5 0.00048 0.00365 0.01406 0.08958 1.00000 0.18519.-(, 000035 0.00245 0.00820 003322 O: ><519 100000

I:J empLeu (tE pmceetiínief1tc co:ti!1.ce lit Los sigLúrntes reslútados. elt el uiLc,üo ete LosetespLCitZamielttos vHw<únos del sexto riso

¡;2 "" { 0.148703 I - 0.009692 I 0.001618 I - 0.000355 I 0.000066 I- 0.000010}

x

= 0.022193

1.00000 0.00552 0.00179 0.00080 0.00048 0.00035

0.00552 1.00000 0.02641 0.00710 0.00365 0.00245

0.00179 0.02641 1.00000 0.04135 0.01406 0.00820

0.00080 0.00710 0.04135 1.00000 0.08958 0.03322

0.00048 0.00365 0.01406 0.08958 1.00000 0.18519

0.00035 0.00245 0.00820 0.03322 0.18519 1.00000

x

0.148703

-0.009692

0.001618

-0.000355

0.000066

-0.000010

u~ax = Ji2 = ~0.022193 = U.l48974 ID

Este valor se comrura ~1líl.Staf1,tc ~,iel'L COI1- el valor etr 0.14873 m o~jWtido rJor Inecüo de LaresplH'stDL crDlloLógicDL reDLLizDLaDL el1- el cjev¡trJLo 14-3.

•

15 • ..Análisis modal especu

15.3.4 Combinación de componentes horizontales

En una estructura modelada tridímensionalmente se puede llegar a tener seisdirecciones globales para plantear el equilibrio; consistentes en dos desplazamientoshorizontales ortogonales en planta, un desplazamiento vertical, y tres rotacionesalrededor de estos mismos ejes. Dado que los registros acelerográficos que se obtienende sismos reales solo contienen tres componentes de desplazamiento, dos horizontalesortogonales y una vertical; los registros sísmicos, o sus espectros, que se emplean en elestudio de la respuesta de la estructura están limitados a estas tres componentes, y sedesconocen las componentes rotacionales.

Por otro lado, el estudio de la respuesta de una estructura ante aceleraciones verticaleses elaborado en la formulación del modelo de la estructura y en la manera como sedeterminan los elementos críticos de la respuesta. Aspectos tales como la excitaciónvertical en los diferentes apoyos y su interacción con las componentes horizontales delmovímíento juegan un papel fundamental. La importancia de la respuesta anteaceleraciones verticales de estructuras convencionales ha sido motivo de debate desdehace mucho tiempo, pero tradicionalmente ha prevalecido el criterio de que essecundaria al ser comparada con la respuesta ante aceleraciones horizontales. Estosaspectos se salen del alcance de estas notas y por esta razón la discusión aquí se limitaa la respuesta ante aceleraciones horizontales.

En la Sección 11.3.I(h), al plantear las ecuaciones de equilibrio dinámico se distinguíaentre la dirección en que actúan las aceleraciones del terreno y la airección en queactúan las fuerzas inerciales de la estructura, En la Figura 15-11 se muestran lasdirecciones x-y-z que describen las direcciones en las cuales actúan las fuerzasinerciales de un diafragma de la estructura, y las direcciones de las dos componenteshorízontale., de un acelerograma, que en este casa se han denominado 1·2.

z

Figura 15-11- Dirección de las aceleraciones de los grados de libertad de una estructura modeladzpor medio de diafragmas rígidos y la dirección de las excitaciones horizontales del terreno

Al plantear las ecuaciones de equilibrio de la estructura, las aceleraciones horizontalesdel terreno deben ser colíneales con las aceleraciones inerciales de las direccionesprincipales de la estructura. Entonces en las ecuaciones de equilibrio, tenemos:

[ME]{Ü}+ [KE]{U} =-[ME][y]{xo} (15-33)

Dado que existen tres grados de libertad por diafragma, las ecuaciones simultáneas deequilibrio dadas en la ecuación 05-33) tendrian la forma que se da a continuación,donde m~ es la masa translacional del nivel i, y m~ es la masa rotacional, con respectoa un eje vertical localizado en el centro de masa del diafragma.

..

inámica estructural apliccula al diseño sísmico

oo

ooo

ooo

o

o

ooo

ooo

o 1 : oo \"': o

m:: : O____L- __ l. _

I II I

----r--"t'---O: :m~o l ... I O

O: : O----:---t---

I I---~-- ....---O: : O

O: : OO: : O

ooo

o

o

ooo

I Io I I oo : ... : oO: : o___.l__ ..J _

I II I---"t--""1----O: : o

o I ; Omi: : O

r I I---,.-;--1----I . I___ -+ __ -f _

O: :m:o : ... : O

O: : O

ooo

ooo

o

o

ooo

ooo

oo

ÜPy

k pxpx Ik pxpy k p xpzI I k p xix kpx.iy k pxiz

I I k px1x k px1y k px1zI I 1 1

k pyp• k pypy kpl'P'I o'. I k pyix k p y jy kp)'iz

I I k pyIx kp)'oly k pyIzI I I I

~-"~'- _k_~~,,- k pzpz, I kpzj~ ~.!'~i!_ k pziz

, I k~zlx ~-~~y- _~~z~~I , I I------I-.--r----- ----'""1---t------: I I I I

----- ----- I I ----- I I ----- -----------j---r----- -----1-- -r-----s , k ixpy k¡xpz: : k ixix k ix iy k ixiz : : k ix h k ix 1 y k ix1zl\. ixpx

k¡ypx k iypy k¡yPZ,

'" k iyix k¡yiy k i:r:z1

k Iy1x k¡yly k iy tzI I I I

~-~P!- -~~~- k a pz : : k izix ~_iz.!~_ k iziz : : k izh -~~:>- kizIz_____ -l___ L. _____ _ ___ -l_.__ L- _____ -----I , I I

----- ----- I I ----- I I ----- -----------j---r----- -----;--- .... -----k Ix p• k Ix Py k lx pz

I , k 1xíx k Ixty k lxizI I k Ix Ix k Ixly k lx1zI I I Ilk

l yp• k l yPy k l ypz I ... , k t yix k l yiy k l yizI ... I k l ylx k l y l y k IylzI I I I

k l ZP' k I ZPy k lzpz : I k 1zi x k 1ziy k 1ziz I I k lzlx k Izly klzlz, , ,

{:::}

m P O O, I

O O OI I

O O O .~~I 1 I I

t

O m P OI I o O O

I IO O O OI ... I l'" I ...

t ,-"-O O m:: : O O O 1 1 O O O O OI I

--- ___ -l- __ ..... ___ ___ ..1. __ -1____ _ __ o - --I , I I

--- ---- , I --- I I --- ---- - ------¡--- ..... --;- ----r---,----O O O I \ m~ O O I ,

O O O 1 OI I I I-r-O O O I ... 1 O m; O I I O O O O 1, I t I I 1-f-

O O O , I O O mi I I O O O O O--- ---- I I r I I ___ o - -----'---r--- ---1"7--1----

I , I I--- -- -- ----:--- ..... --- --- --- .... ---1---- --- ___ o - -

lO O o I ,

O Il O I I mI ¡¡ O 1 OI I , I t I-r-jO O O I ... I O O O, ... I O mI O O 1, I I I t I-f-

O O O I I O O O I I O O mi O OI I I I r

(15-34)

Al desacoplar las ecuaciones simultáneas indicadas en la ecuación (15-34) por medio delas transformaciones de coordenadas:

y {u} = []{l1} (15-35)

y premultiplicar por []T a ambos lados de la ecuación, se obtiene n ecuaciones del tipo:

(15-36)

y si suponemos, por ahora, que disponemos de un espectro de desplazamientos para ladirección x, Sdx, el cual es diferente del que se tienen para la dirección y, S<ly' Entoncestenemos, por analogía con la ecuación (15-7):

n 5-37)

16 • Análisis modal espectr,

pero en la combinación de las componentes indicada en la ecuación anterior los valoresespectrales no necesariamente ocurrieron en le mismo instante, ni reflejan el ángulo deataque ~ más desfavorable, indicado en la Figura 15-11. En realidad, lo único quepodemos decir con certeza es que el valor máximo que se puede asignar al grado delibertad desacoplado 11; si el sismo actúa únicamente en la dirección x, es:

05-38)

y que el valor máximo que se puede asignar al grado de libertad desacoplado 11i si elsismo actúa únicamente en la dirección y, es:

(15-39)

Los desplazamientos dinámicos modales máximos que se presentan en la estructura,correspondientes a cada modo individual, por ejemplo el modo (i), cuando el sismoactúa únicamente en la dirección x, son:

y si el sismo actúa únicamente en la dirección y, son:

{U~i)} = {<l>(i)}. (11¡ )max = {tj>(i) }·Iu¡y .Sdy (Ti '~i)1

(15-40)

(15-41)

De una manera análoga, para cada modo individual (í), las fuerzas dinámicas inercialesmodales máximas que se presentan en la estructura cuando el sismo actúa en ladirección x, pueden obtenerse multiplicando los desplazamientos modales máximos enla dirección x, por la matriz de rigidez de la estructura:

y si el sismo actúa únicamente en la dirección y, son:

{F;i)} = [KHu~i)} = [~H<l>(i)}. (~¡ )ma~

= [K]{<l>(i'Hu¡y 'Sdy(T¡'~i)1

(15-42)

(15-43)

Lo mismo ocurre para cualquier parámetro de respuesta r, pues se tiene un valor paracada modo cuando el sismo actúa en la dirección x, y otro cuando actúa únicamente enla dirección y. Utilizando cualquiera de los métodos de combinación modal, RCSC oCCC, obtendríamos el valor máximo factible del parámetro, independientemente paralas direcciones x y y, como rx y r y, respectivamente. Ahora solo nos resta determinar la

forma como se combinan estos resultados de las dos direcciones principales.

En el análisis dinámico modal espectral de estructuras tridimensionales lo usual esemplear el mismo espectro en las dos direcciones principales, pues no existenelementos de juicio, en el estado actual del conocimiento, para afectar los dosespectros y hacerlos diferentes. En la Sección 5.6 se discutió la variación entre losespectros obtenidos para las dos componentes horizontales de un mismo sismo. Engeneral la correlación entre las dos componentes horizontales de un registro

685 -


ace!erográfico es baja [Clough y Penrien, 1993], y es recomendable realizar unareducción de una de las dos componentes multiplicándola por un coeficiente 'A queoscila entre O y l. Entonces, de acuerdo con lo indicado en la Figura 15-12 se tendría unespectro actuando en la dirección 1 y el mismo espectro, afectado por el coeficiente 'A,actuando en la dirección 2.

r maxy

1

2 r 2

x -xr x

Figura 15-12· Direcciones en que actúan las dos componentes horizontales del sismo

Entonces los valores máximos probables del parámetro r en las direcciones 1 y 2 son:

r1 :::: rx cos 13 + rysenfr2:::: -'Arx sen~ + 'A ry cos 13

(lS-44)

El máximo probable rmax ' se obtiene por medio de:

(15-45)

Reemplazando (15-44) en (15-45):

_ . ." 1/2rmax =[(r;'I'lr"''A2.~;).cos~ 13 + (r; + 'A2r;)sen213 + 2rxry (1- 'A2)sen13 cos13] (15-46)

.,~ .

--:. :,y derivando con respect~'al ~ñ~tllo 13:

drmax

== - 2cos 13 sen13(r; +),,2 r:) +2sen13 cos /3(r; +),,2 r:) +(- sen 213 +cos213)2rJy(1_),,2) (l 5-47)

d13 2.[(1'; +),,2 r:) CQS213+(r; +A?r;~en2/3 + 2rxry(1+ ),,2)sen13cos13t2

El valor del ángulo 13 que conduce al máximo valor de rmax se obtiene igualando laderivada anterior a cero:

Reordenando:

(15-49)

Pero:

(15-50)

lB • ...'lllálisís modal espectral

Entonces:

(15-51)

Solo nos resta definir valores para el parámetro A. Clough y Penzien rClough y Penzien,1993], indican que la reducción de la componente menor con respecto a la mayor debeser del orden del quince por ciento, convírtíendola en el 85 por ciento de la otra, lo cuallleva a un valor de A= 0.85.

Ejemplo 15-4

Se ¡iene IH'L nu[ficio de Cilt(() ¡'Jisos ue ,i{{¡utll;!. c/1.(,uArudLl lj .d,c)1'Lde todos 1m rJÓrticos SO/t igltcües.con coLIU1tltas ae 0.5 por 0.5 m ae secáón lj Vig(A5 ae 0.4 m al' altdw 1'101' 0.5 m al' alto. FtInCLtenaL al' todos Los eLevlte/tlos liCIte I1Jt módlüo de dasticidctd de 25 GPa. Llit cslYlv:tJtmtiene IUt 11tlUO eSlrt1.c.UuaL que cltCierm eL vacío del ascemor. con 111 = 0.6279 m". 122 = 0.5761 m"lj E =25 GPa . La IVLaSC'L de Lct eslnuL!tru es 1 Mg/m2 de Losa. Las dimnlsio/tes de [os vanos. Lasn.LtlUas de Los pisos. lj La LocctLizcLciém del mitro eslntctluuL se Inl·1estrun elt Lu Fig/ua 15-13. ELdiaJrugmu se comideru iv!futital1tCnle rígido en s/t rJrorJio pLalw lj tievL<' tres grudos deLibertad: IHtct rolucióll con resrJecCO u IUt eje verticaL lj dos desp(uzctl1tieltlos horizOIt1ctLesortogonaLes elt La ¡,ürección de Los ejes x-y.

I@-~

y

I-,-II

-J¡-I

@ ©


@ G)

Se desea bltscar La direcciém ae La reSpl1esta Inlixívna ¡10r el ¡1yocedímíeltto Íltdícado en La¡1resettte sección. Se co/tsídem qlie el ejecto mris Jlterte deL sismo pltede actltctr elt cltaLqlúerdíreccíó/t en rJL(,LntlA-, lj lljlte Laaíreccíólt l11eltOsJ,terte corresrlonde a L(7. contr¡Oltflttc ortogo/1.IA-L aLIA- CLnteríor lj tiene l1.It v(,Ltor del 85% de La deL selttidoJlterte. Los ejectos deL síSI1W se descríbcltlA- través de 11.ít esnectro de ShitJIA-!(,L-SOZeVl (Sección 7.2.4) con /uta aceLeraciólt mlixímu deLlnreno ígl1.aL IA-I 30% de La de uf gruvedud (Ate = 0.3g). Se cottsíderu que IUt cocJícít'ntc dt'IA-I;lOrtig/1.wnintW de 5% del crítico (S = 0.05) es reweselttlA-tivo para Lu res¡1l1esLu de laestn1.ctluR

«mica estructural aplicada al diseño sísmico

Elespectro ete SfLitJtA-tlíL-Sozev\, estti etrfil1,ieto ~JlíLm IHttA-fnortig/~.tA-miel1,to ete 2% por f'lteetio ete:

I25AteT = 7.5T ptA-rtA- T :::; 0.15s

Sa(g}= 3.75Ate=1.125 ~JtA,rtA- 0.15s < T :::; O.4sl.5A 0.45__te =__ ptA-m 0.4s < T

T T

PtA-m convertírlo tA- JCt LU1wrtigJl,líLf'ltieftto ettA-eto se f1tJÜti~JLiclíLlt LtA-s oretefttA-ettA-S espectmLes por8

6+100~

(/jIte en este ClíLSO corres~)OItete tA8

----=0.7276+100·0.05

EL esncctro etc ctespL1JLZVllnielttos se otJtielte rJor f1'leetio etc:

E/ttoltCes. pur!..\. Ate =0.3g Ij ~ =5%:

2 137.5 . T· 0.727· 9.8 .T - = 1.354· T

41t 2

2 1 21.125· 0.727· 9.8·T -2 = 0.203· T41t

u.45 2 1-·0.727·9.8·T -=0.081·T

T 41t2

T :::;

plíLm 0.15s < T :::;

plíLm O.4s < T

0.15s

O.4s

32.51.5 2

Período T (s)0.5

I V1I 1;=5% -:~/

// I I

/V

/ "0.00

O

0.05

0.25

0.10

C.15

0.20

Sd(m)

Figura 15-14 - Espectro de diseño de desplazamiento

Lu musu tn..\.sLuriollt..\.L ete cudtA, lUtO de Los rJisos corres¡101tete u m, = 12m· 12m . 1Mg/~ = 144Mg. Lv. mn.su rot[).cicmuL ete CltuL(/jlüer rJiso correspmtcte U m, = (mI/A) . (1"" + lyy) = (l44Mg

cno

15 • Análisis modal espectral

!144m2) • (124/12+124/12) = 3456 Mg . m 2

. Con estos valores se COvlstntlje /~.ft~ m~triz de m~sCA. detod~ L~ esl.Ylv:t/WA. [ME).

Se /'lLwtte~n dos casos. eVl eL C~SO (~) Los ejes /'lriVLCi/'l~Les de L~ estn1.ctlu~ SOVl coLine~Les con Losejes x-y. Elt el C~so (t,) L~ estnl.cUi.Y~ está LocaLizCA.d~ elt rJL~ftL~ de t~L Vlt~VU'm q/te S/I'<; ejesprÍltci/'l~Les. x'-y'. están rot~dos 45° con resuecto ~ Los ejes x-y Cft Los utr.ües ~ctl1.l/L eL SiSVltO.COVll.O Lo mEteS tm Le;{. FigIUl/L 15-15.

yy.'

Y

"-.. / x'

IIt

@

I-rI

@-J.I1

@--- -tt---__- X

I 'r ~ I1

2V IG)-~ -"1-

© @

Caso (a)


/

-----'----.---x/

Caso (b)

.<1.

AL resolver et pYOtJLeVltl/L de valores /'lropios pLl/Llttee;{.do r¡or Ll/LS ecuacíones de VltOvÍll'lÍento. seObÜel1.CI1 Ll/LS siglüel1.tesJreCIWtci¡;¡s 1:1 y¡erfodos. 0 eL valor l/j/1.e se obtiene en eL esnectro ~te ¡Úsefíüde despLCíLZl/Lf11iClttos'

Tabla 15-13 - Ejemplo 15-4 - Caso (a) - Frecuencias naturales y períodos,y valor leído del espectro de desplazamiento

Modo (ji ro f T Sd(rad/s)? (radls) (Hertz) (s) (m)

-t 109.160 10.448 1.6627 0.6014 0.0487,

2 156.380 12.505 19900 05025 0.0407

3 241.850 15.551 2.4748 0.4-D40 O.OJ27

4 1236.0 35.157 5.5948 0.1787 0.ClO6.)

5 3139.5 56.032 8.9168 o... ..,~) .., 0.00 "J')I r z, I

6 4335.9 65.848 10.4790 0.09543 00012

7 50472 71.044 11.3060 0.08845 000094

8 10800 103.920 16.5380 0.06047 O.OOOJO

9 n~755 136.950 217940 0.04588 0.00013

10 21016 144.970 23.0700 0.04335 000011

11 33310 182.510 29.0440 0.03443 0.00005S

12 7460:' 273.140 43.4660 0.(J2301 0.(JOO016

13 118670 344.480 54.8210 001824 0.000008

14 162130 402.650 64.077CJ CJ.01561 OOOOOOSH' 2S8330 S08.270 80.8:'140 0.01236 0.000003'-'

Los f1'l.odos de vitJmciól1. correspof1,Üefttes son:

589

I

-ámica estructural aplicada al diseño sísmico

Tabla 15-14 - Ejemplo 15-4 - Caso (a) - Modos de vibración

q(.j[ Inrlllo 1 Hwdo 2 IIlOll0 3 Illorio 4 111.01105 IllOdo 6 m.orto 7 Hlorio 8

USx -0033311 004-2534- 0.025075 0022609 -0.032388 -0.024-708 0.013084- -0.0104-18

USy 0.033311 00'~2534 -0025075 0.022609 -0032388 0.024-708 -0.013084- 0.0104-18

USx 0005540 O 0.009bt.'J -0007175 O 0002056 0.008384- 0.0034-13

U4x -0.027874- 0.032357 0.016789 0.0004-4-6 0.007299 0.019361 0.001824- 0.024-005

u; 0.027874 0.032357 -0016789 -0.0004-4-6 0.007299 -0.019361 -0001824- -0.024-005

u., 0.005084- O 0.007967 0001331 O -0.004-4-41 -0.003315 -0.00724-0

U3x 0020737 0.021730 0009392 -0020702 0032788 0.024-919 -0.013297 -0.014-171

U3y 0020737 0.021730 -0009392 0.020702 0.03278d -0.024-919 0.013297 0.014-171

U3x 0.004104- O 0.005863 0.004799 O -0.001°52 -0.008509 000434-3

U' x -00124-72 0011501 0003630 -0.02e-323 0033133 -0.005500 -0.027158 -0.011185

U' y 00124-72 0011501 -0.003630 0020323 0.033133 0.005500 0.027158 0.011185

u, 0002680 O 00034-87 0006892 O 0.007282 0.004-410 0003081

U tx -0.00;~4b8 0.003411 00004-39 0.0135W~ 00n039 -001'1671 -0.0174-82 002+371

u., 0.004-4-68 0003411 0000'U9 0.013588 0.014039 0.01 St)7~ 0.0 ~ 74·82 -0024-371

UIx 0001054- O 0001228 0.003758 O 0.007192 -0.000016 ·0007951

<lril IllO{:{O 9 IIlu¡Ú,10 Ill(Hin 11 III<JriíJ 1;! IIt.Urlo 13 1I·l(xiu 1't IIHltÚ¡ iS

VSx -0.004634 0.021089 0.014876 -0.011999 -0008721 -0.005035 -0003695

Vsv 0.004-63'1- 0021089 0014876 -0.011999 0.008721 0005035 0.003095

Vsz 0001571 O 0004299 O -0.002308 O -0.000983

V4x ().01469~ " n')"n"~ () W70/7 0.032870 0024-051 0.01815 1) 0.013389V.vJ,~ • __

V4v 0014-t9" -0.031013 0.022027 0032870 -0.024-051 0.018159 -0013389

V4z 0004587 O 0006315 () 0.OOt,460 O 000:'5:'3

U3x -0~";!OO2 -0016135 001174-4 -0.026995 -0.01984-2 ·0030~)(n ·0.022606

V3v 0022002 -C016135 001174-4- 0026995 0.01984-2 0030593 0.022600

V3z 0.006828 O -0.003158 O O.0052'Y' O -0.00594-t,

V2x 0022590 0.031187 0.022670 -0.008385 -0.00614-3 0.034-630 0.025606

V2y -0022590 0.031187 -0.022670 -0.008385 0.006143 0.03'1-630 -0.025600

V2z -0.007354- O 0006207 O -0001628 O 0.006730

VIx -0.018507 0/128857 0021255 0038063 0.028084- -0031336 -0023222

u., 0018507 0.028857 -0021255 0.038063 -0_028084- ü.031J36 0.023222

Vi< 0005827 O 0.005626 O 0.007421 O -0.OO60H4-.

Tabla 15-15 - Ejemplo 15-4 - Caso (a) - Coeficientes de participación modal

V'/IOJo <Xx e,~ 1'1.236 14.236

2 16.061 16.061

3 7.967 -7.967

4 5.408 5.408

5 7.901 790~

6 0.230 0230

7 -6.196 6.196

8 1.815 -1.815

9 -1132 1.132

10 4.894 4894

/1 3.604 -3.604

~2 3.392 3.392

13 2.510 2_510

14 2.04~ 2.041

~5 1.516 ¡ .S1ó

Los eteSr)Lazuvvü('~trOS paru cuda grado ete Li~Jertad Cfll1tVuio el SLsI1tO acU1,a fÜÜCaf'f1l'ltte elt Laaírecciónx se olrJtie~tevl deL proa/laO {V~i)}:= {cj>(i)}.(ux ,Sd) ':J tAJtáLoguf'ftf'lttc, CflWtdo eL SiSf1'lO

15 • Allálisis modal espectrc

uctl1,U 111LÍcuvvU'Itte en Lu direc(Íólt y IIJor Vltedio de {U~i)}={(i)}'(ay 'Sd)' COlt Los wodl1,ctos

{F~i)}=[KE]{(i)}'(aX'Sd) I:J {F~i)}=[KE]{(i)}'(aY'Sd)' obteVLeVJtOS LasJH-etzas horizoVLtaLes elt

Lus direccímtes x 11 y reSr¡ecüvameltte. IIJUnA. cada Inodo. I:J Las col11pmteVLtes deL corte busuLCpi.<' se l1UteslnA.it u conlÍftltuciÓlt. en lutidudes de kN I:J kN . m:

Tabla 15-16 - Ejemplo 15-4 - Caso (a) - Fuerzas modales, sismo actuando solo en x y solo en y

D(jl Inodo 1 HlOriO 2 IllOdo 3 fl'lOdo 4- I'/lodo 5Si.(,:110 x ,iSlllO 'I Si.slllOX si.s:no 11 Si.SIIlO x Si.sHlO If Si.slllO x Si.SIVlO Ij sismo x Si.SfllO ~I

Fsx 3630 -363.0 6261 6261 227.5 -227.5 -14·1.~) ¡4-1.5 -2198 -219.8

Fsy -363.0 363.0 6261 626.1 -227.5 227.5 14-1.5 -1'1-1.5 -219.8 -219.8

Msz 14-4-9.0 1449.0 O O 2105,4 21054 1077.4- 1077.4- O O

F4x 3038 -303.8 4-76:, 476.3 152.3 -152.3 -2.8 28 4-9.5 4-9.5

F4v -3038 30377 476.3 4·76.3 -152.3 152.3 2.8 -2.8 49.5 49.5

~z :329.8 1329.8 O O 1734.7 1734-7 1999 -199.9 O O

F3x 226.0 226.0 319.9 319.9 85.2 -852 129.5 -129.5 222.5 222.5

F3v 22tJ.O 226.0 3199 3199 -85.2 85.2 1295 129.5 . 222.5 222.5

M3z 1U73,4 1073.4 O O 1276.7 '1276.7 -7200 720.6 O O

F2x 135.9 -;35.9 169.3 léJ9.9 32.9 -329 164-.7 -164-70 224-9 224-9

F2y 135.9 135.9 169.3 169.9 -32.9 32.9 -164.7 164.7 224.9 224.9

M2z 7009 700.9 O O 759.3 -759.3 -103'1.9 1034-.9 O O

Flx 4-8.7 '18.7 502 50.2 4.0 -4-.0 85.0 85.02 95.3 9° .,J.C>

F¡y -4-8 7 4-8.7 502 502 -34-.0 4-.0 -85.0 85.0 953 9[' .,. ,:),,)

Miz -2757 275.66 O O 267.3 -267.3 -S64.4 564-.4- O O

Vx 10774 1077.4 164-1 7 164-1.7 502.0 -502.0 235.0 235.0 372.4 372,4

Vv 1077.4- 1077.4- 164-1.7 1641.7 -502.0 502.0 -2350 235.0 372.4- 372.4

Mz +8287 4828.7 O O 614-3.3 -bI4-3.3 -10425 104-2.~ O O

Tabla 15-16 (cont.) - Ejemplo 15-4 - Caso (a) - Fuerzas modales, sismo actuando solo en x y $010 en y

1IIll IllO(Ú' b HlOC:1cJ 7 IVI.odo 8 HlOdo ') IHodo 10SISI\l.O x SiSHlO Ij si.smox S¡SHlO '.1 si.snlO x Si.s1l1O II Si.SHlO x SiSlIlO Ij sisuio x Si.sIIIO 1I

Fsx 4-.3 -4-3 -55.4 55.4- -8.8 8.8 1.8 -1.8 3l1-.4 34.4

li';v -4-.:: 4-3 55. f} -554- 88 -8.8 -1.8 1 8 :>4.4- 34-.4-----

Msz 8.5 85 851.8 851.8 69.3 -69.3 15.0 15.0 O O

F4x -3.3 3.3 -7.7 7.7 203 -20.3 -58 5.8 50.5 -50.5

F4v 33 -3.3 7.7 -7.7 -20.3 203 5.8 -5.1' -50.5 -50.5

M4z 18.4- -184- 336.8 -336.8 14-7. ; 14-71 437 -4-3.7 O O

F3. -/1-.3 4-.3 56.3 -56.3 -1200 12.0 8 f -8.7 -2b.3 -26.3.,

F3v 4'.3 -4-.3 -56.3 563 12.00 -12.0 -8.7 8.7 -263 -2b.3

M3z 8.1 -8.1 864.5 -8645 88.3 -88.3 65.1 (,5.1 o O

F2x 1.0 -1.0 115.0 -115.0 9.5 9" -9.0 9.0 50.8 50.8.C>

F2y 1.0 1.0 -115.0 114-5.0 9.5 -9.5 890 -9.0 50.8 508

M2z -301 30.1 4-4-80 -4-41'.0 62.6 -62.(, 70.1 -70.1 O O

FIx 27 -2.7 74-.0 ·74-.0 20.6 -20.u 7.4- 7.4- 4-7.0 4-70

Flv -2.7 2.7 -74-.0 74-0 -20.6 20.6 -7.4- 7.4- 4-7.0 4-7.0-Miz -29.8 29.8 1.7 -1.7 161.6 161.6 -55.6 55.6 O O

Vx 0.3 -0.3 1822 -182.2 10.7 -10.7 3.1 -3.1 55.4- 55.4-

Vv -0.3 0.3 -182.:.' 182.2 -10.7 10.7 -31 3.1 55.4- 55,4-

Mz -4?O 4-20 7'J9? -799.2 -885 88.5 21.8 21.8 O U

Tabla 15-16 (cont.) - Ejemplo 15-4 - Caso (a) - Fuerzas modales, sismo actuando solo en x y <>010 en y

<Id!. Ilwdo 1'1 1\'1"riu 13

541

Hln{{u 14

-

lIámica estructural aplicada al diseño sísmico

sísrno X ~1$1Ij.() 11 ~i~H-¡'(l x ~i~ ino Ij ~i~fl-¡'O x ~1:~1I10 IJ SiSlIlO x S~IIW 11 ~i~lIlO X ~1~f1-¡'O 11

Fsx 14.2 -14.2 -70 7.0 -3.0 3.0 1.2 1.2 0.6 -0.6

Fsv -14-2 14.2 -7.0 -7.0 3.0 -3.0 1.2 1.2 -0.6 06

Msz 98.1 -98.1 o o -19.5 19.5 o o 4-.0 -4-0

F4x -21.0 21.0 19.2 19.2 83 -8.3 -4.3 -4.3 -2.3 2.3

F4v 21.0 -210 19.2 192 -8.3 8' -4-.3 -4-.3 2 ., -23.C> ...)

M4z 14-4.1 14-4-.1 o o 53.2 -53.2 o o -14.4· 14-.4

F3x -112 1¡.2 -15.7 -15 7 -6.8 6.8 7.3 7.3 38 -3.8

F3v 112 -11.2 -15.7 -15.7 6.8 -6.8 7.3 73 -3.8 38

M3z -72.1 72.1 o o -4-3.6 43.6 o o 24.2 -2 ft .::

F2x ;! ~.Ó n.6 -4.9 -4.9 -2.1 2. I -8.3 -8.3 ·-4.3 4-3

F2v -21.6 21.6 -4-.9 -49 2.1 -2.1 -8.3 -83 4-.3 -/L3

M2z 1417 ·141.7 O o -13.4 13.4- o O -27.3 27.3

FIx 20.2 20.2 2~ -, 222 9.6 9.6 7.5 7.5 3,9 -3.9_L.L

Flv 20.~ 20.:! ~~ 2 122 -9.b 9.6 7_5 75 -39 3_9

Miz 128.4 -1284- o o 61.1 -b1.1 o o 24-·(, -24-_7

Vx 738 -23.8 137 13.7 6.0 6.0 3.;~ 3.4 1.8 18

VV2J.¡; 238 ., ..., I

13.7 -6.0 60 3.4- 3A -18 18t ,»,»

M z ;1<>"0 -1 ~)2.0 o o :Fíi -37.8 o o 11.2 -11.2

Pum el'1tYJLeur el, vVLéwclO eee de COI1"tk¡iftuciólt moduL se emYJLeuv¡, Los sig¡üelttes coejicíentcsete correLucióq Pij clA-LCliJucios pum ¡·ti1, U11wrüg/tumiel1,to crítico de ~ =5%.

Tabla 15-17 - Ejemplo 15-4 - Caso (a) - Coeficientes de correlación entre modos para el método cce

.1I,~otio 1 2 .) ;) ~) Í) 7 8 9 10 " 12 13 14- -v t'.'

~ 1.000 0.235 0.058 0.005 0002 0.002 0.001 0.001 0.000 0.000 0000 0000 0.000 0.000 0.000

2 0.235 1.000 0.172 0007 0003 0002 0002 0001 0.001 0.001 0.000 0.000 0.000 0000 0.000

3 0.058 0.172 1.000 0013 0.004 0003 0003 0.001 0.001 0.001 0.001 0.000 0.000 0.000 0.000

4- 0005 0.007 0.013 1.000 0.04-2 0.023 0018 0.007 0.004- 0.003 0002 0.001 0.001 0.00 1 0.000

5 0.002 0003 0.004 0.04-2 1.000 0.276 0.149 0024- 0.011 0.009 0.005 0.002 0.002 0.001 0.001

b 0.002 0002 0003 0023 0276 1000 0.634 0.04-4 0.016 0014- 0.008 0.003 0.002 0.002 0.001

7 0.001 0.002 0.003 0018 0149 0.634- 1000 0063 0.021 0.017 0.009 O.OM 0002 0002 0001

8 0001 0001 0.001 0.007 0.02;} OC4-4- 0063 1.000 0.114- 0.081 0.029 0.009 0.005 0.004- 0.OC2y o.ooo COO1 OC01 0004- tJ.O~ 1 0016 0.021 0.114- 1.000 0.755 0.106 0019 0.010 0007 0004-

10 0.000 0001 0.001 0003 0.009 0014- 0.017 0.081 0.755 1.000 0.157 0.022 0.011 OOOI:-! U.005

11 0.000 0.000 0001 0.002 0.005 0008 OJJ09 0029 0.106 0157 1.000 0.056 0.022 0.014 OOOíi

12 0.000 0000 0000 0001 0002 0.003 0.004- 0.009 0.019 0.022 0.05b 1.000 0.155 0.060 0.023

13 0000 0.000 0.000 0001 O.OC/'> 0.002 0002 0.005 0.010 0.011 0.022 0.155 1000 n290 O.OtiO

14 0000 0.000 0000 0001 0.001 0002 0.002 O.OO;~ 0.007 0008 "0014- 0060 0290 1.000 0.1S.:1H 0.000 0.000 0.000 0000 0.OLi1 0.001 0.001 0.002 0.004 0.005 0008 0023 0.060 0.154 1000,-,

Ahoru estitCÜef1WS Los ejectos direcdc)ltuLes deL siSf11,o ete disel10 empLeuyoltos et corte ~lusaL eleLu estrl1,ctluu. Los valores deL corte ~msaL por n·wdo se reSlmteft iA-sL con Los resYJeetivos valoresde LaCOf1-ttli!tiA-cióVL moduL uu sea eL método eee o el RCC;C

Tabla 15-18 - Ejemplo 15-4 - Caso (a) - Corte y momento modal basaly combinación con los métodos CCC y RCSC

SiSIII.O eux Si.sl-\IO ell 1.1

IllOIÚ) V"" Vyx M", Vxy Vyy Mzy

1 1077.4-0 -1077.4-0 -4-828.70 -1077.4-0 1077.4-0 4-828.70

2 1M1.70 164-1.70 000 16;~1.70 1M1 70 000

3 5019S 50'¡ .95 6143.30 -501.9:' 501.95 -r..14:l.30

4 23S.00 23500 -1CH2S0 235.00 23500 10/12.50:, 372.41 372.41 000 37241 3 7) .'~-i O.(J(J

o O.2B 028 -41.9(} 02A 028 .:i"19él

7 182.16 11'2.16 799.17 -1¡;2.1 o 182.1éJ -790"

15 • Análisis modal espect n

8 10.67 ·10.t!7 ·88.''1-6 -1067 10.67 884[)

9 3.12 -3.12 -2179 -3.12 3.12 21.79

10 SS.37 55.37 0.00 55.37 55.37 000

11 23.80 -23.80 151.96 23.80 2380 1:11.96

12 13.73 137:3 000 11.73 1373 0.001" 5.98 -5.98 37.77 -5.98 ')98 <>7.77..)

14 3.38 3.38 0.00 3.38 3.38 000

15 1.78 -1.78 ; 1.16 -1 78 178 -11.16

eee 235984- 1805.37 7695.64 1805.37 2359.84- 7695.64-

ReSe 2083.0:; 2083.03 N25.70 2083.03 2083.03 7925.70

DetJeI11ClS encontrar el vIJ1.Lor cJjH,e tiene cada lUto de los partimetros, VX ' Vy U M" tlll,sCCA-l1.do elc5tvlfjHJO ~ de atacJjlte del SiSl11ü cJjl1,e col1.d/1,ce al S/t valor vncí.ximo, pam el efecto se IH.iliza lcl,emaCiór1. (15-51), cJj/1,e eVL este CCA-SO se al11ica. ~}or ejevlwlo ~)am el ¡'Jwc5tmetro vX ' ue l(lv sig/üer1.temal1-era:

~ = ! arctan[_2_V_xx_V_xy=--J

2 V 2 _ V 2xx xy

UVLr/t vez Sp detennina el c5tltg¡ÜO ~. se otltieltelt las COVI1.pOltClttes VI Ij V2' petra este CCA-SO, YJOrI1tedio de:

Vi = Vxxcosñ + VXysenf

V2 =-A,Vxxsenf + A,VXycosjí

El mcí.xivno valor protlal1k tJam el parc5tl1tetro VX' v,:nax, se olinene entonces YJOr VVLe(ÜO de:

V,:nax = ~vi + vi

A CO/1.tilt/tación se preselttalt los res/ütados, para Vx IHiLiza/'Ldo difere/1.tes valores de A" YJara el1~'1étodo cee Ij i'!euí/t d RC~C

Tabla 15-19 - Ejemplo 15-4 - Caso (a) - Valores probables para Vx calculado utilizando

los métodos CCC y RCSC, para diferentes valores del parámetro A,

A Hléto(10 V"" VX)' 13° V, V2 vma xx

;).00 eee 2359.8'. 180537 7.6' 2100.98 O 210098

0.30 eee 235984 180537 7.6' 2100.98 :>30.29 2193.48

OSO cee 2359.84 180537 7.0' 2100.98 1050.49 234896

0.85 cee 2359.84- 180537 76' 2100.98 1785.83 275741

1.00 ece 235984- 1805.37 7.6' 2100.98 2100.98 297123

0.00 RCSe 2083CJ:\ 208:303 O' 2083.03 O 208303

0.30 RCSe 208303 2083.03 O' 2083.03 624-.91 2174-.75

0.50 RCSe 2083.03 208303 O' 208303 104-1.52 2328.90

0.85 RCSe 208303 2083.03 O' 2083.03 1770.58 273385

~ .00 ReSC 208303 2083.03 O' 208303 2083.03 294-585

LOS res¡ütados, YJam Vy Itrilizartci.o ci.U'ere/1.tes valores de A" con el métoci.o ci.e comf:'iltaciól1.modal eee Ij con el 111.2todo ci.c colnf:'iltaciólt Inodal RCSC son:

548 ...

Hnámica estructural aplicada al diseño sísmico

Tabla 15-20- Ejemplo 15-4 - Caso (a) - Valores probables para Vy calculado utilizando

los métodos CCC y RCSC, para diferentes valores del parámetro 'A

A. método Vyx Vyy [30 VI V, v ma •y

0.00 CCC 1f.05.3 7 235984 7.6' 210098 O 2100.98

0.30 CCC 180).37 2359.84- 76' 210098 630.7.9 2193.4-8

0.50 cec 1805.37 2359.84- ·7.6' 2100.98 1050.49 234-896

0.85 cee 1805.37 2359.84- 16' 2100.98 1785.83 27574- '

100 ece 1805.37 235984- -7.6' 2100.98 2100.98 2971.23

0.00 ReSe 2083.03 208303 O' 208303 O 2083.03

0.30 RCSe 2083.03 2083.03 O' 208303 62"'l.91 2174-.75

0.50 RCSe 2083.03 2083.03 O' 2083.03 104-1.52 2328.90

0.85 RCSe 2083.03 208303 O' 2083.03 1770.58 2733.85

1.00 ReSe 2083.03 2083.03 O' 2.083.03 2083.03 294585

EL l11,¡iX~VIi.0 valor vieL curte busuL Vrnax. se ohtíene por l11kt.ÜO vil':

v = ./(v max )2+(v max \2max VX Y)

Vy COVL diferentes vntores de 'A. rum eL l1-tétodo eee lj ruru eL RCSC. SOI1:

Tabla 15-21- Ejemplo 15-4 - Caso (a) - Valores de Vy calculado utilizando


A. fllé/orlo v ma • v max Vma•. y

000 cee 210098 210098 297123

0.30 cee 2193.4-8 21934-8 3102.06

0.50 cee 234-8.96 234-8.96 3321.94

0.85 cee 2757.4-1 2757.4-1 3899.56

1.00 cee 297123 2971.23 4201.-95

0.00 Rese 20iU.03 208303 294-585

0.30 RC\e 2174.75 2174.75 30755¡,

0.50 RCSe 2328.90 232890 3293.56l1.85 {<ce 27'33.3~) :: 733 .85 3cloé,.25

Rese --1.00 2945.85 294-:,85 4·1oo.Oó

Los resltLtudos. pum Mz ItWLZUl1do diferentes vaícres de 'A. COl1 eL Iltétodo cee lj COl1 eL RC';;C.son:

Tabla 15-22 - Ejemplo 15-4 - Caso (a) - Valores probables para M, calculado utilizando


A. iflé/orlo Mzx Mzy [30 VI V, M ma•z

0.00 cee 7695.64- 7695.64- O' 7695.64- O 7695.64-0.30 cee 7695.64- 7695.64- O' 769564- 2308.69 8034-.48

0.50 cee 7695.64- 7695.64- O' 769564- 384-7.82 8603.980.85 cee 7695.64- 7695.64- O' 7695.b4- 654-1.29 10100.0

1.00 cee 7695.64- 7695.64- O' 7695.64- 7695.64- 10883.3

0.00 ReSe 792564- 7925.64- O' 7925.64- O 7925.64---0.30 RCSe 7925.64- 7925.64- O' 792504- 237771 8274-.67

0.50 RLSe 7925.64- 7925.64 O' 7925.64- 3962.85 8861.20085 RCSC 7925.64- 7925.64- O' 792564- 6736.84- 104·02 .0100 ReSe 79¿S.6-4- 792564 O' 7925e-4 7()25.b4 112086

Cuso (ti)

544

lB • Análisis modal espectral

AL resolver et prollLevvLa de valores propios pLaltteacto por Las ecuaciones de VVLOvifniento. seokltievLelt Los IniSVl'LOS valores parvt LasJrecl-telteias Id perí.odos. qlte en eL CVLSO (a); covljirVltandoqw' Las cnracterísucas vilm:HorilA.s ete LlA. estnu:t/trvt son ÍftsensitivlA.s lA. LlA. orientlA.cíón de Los ejesprÍJtcíplA.Lcs. Los ¡nodos de vilJmcíóncorreSpOltdielttes son:

Tabla 15-23 - Ejemplo 15-4 - Caso (b) - Modos de vibración

nd l IllOdo 1 IIlodo 2 1I10do 3 IllOdo 4 modo S 1I10do 6 1110(:107 11101:10 8

USx O 0.060152 O O -0.045804 O O O

USy 0.047109 O -0.035461 -0.031973 O 0.034942 -0018504 0.014733

Us• 000554{) O 0.009669 -0.007175 O 0.002056 0.008384 0.003413

u, O 0045760 O O 0.010322 O O O

u, 0.039419 O -0023743 -0.000631 O -0.027380 -0.002579 -0.033948

U•• 0.005084 O 0.0079tJ7 -0.00133-; O -0.004441 -0.003315 -0.007240

U3x O 0.030731 O O 0.046369 O O O

U,y 0029327 O -0.013283 0.029278 O -0.035241 0018805 0.020041

U,. 0004-104 O 0.005803 0.004799 O -0.001952 -0.008509 000434-3

U2x O 0016264 O O 0.046857 O O O

U2y 0017638 O -0.005134 0.037226 O 0.007779 0.038408 0015818

U2• 0.002680 O 0.003487 0.000892 O 0.007282 -0.004-410 0.003081

Dlx O 0.004824 o O 0019854 O O O

Dly 0.006318 O -0.000621 0.019217 O 0.022161 0.024723 -0.034466

U¡, 0.001054 O 0.001228 0.003758 O 0007192 -0.000016 -0007951

~1(:1 I IlkJ(:/c) 9 IIl011rJ 10 IIlodo 11 IIlcJ(:10 12 IllOdo 13 IIlono 14 1110(:10 15

USx O 002982', O 0.016969 O 0.007120 O

Usv 0.00t553 O 0.021038 O 0.012334 O -0005225

Us, 0.001571 O -0.004299 O -0.002368 O 0.000983

U4x O 0043859 O 0046485 O -0.025681 O

U4v -0.020781 O -0.031151 O -0.034014- O 0018934

U4, -0.004-587 O 0.006315 O 0006460 O 0.003533

U3x O -0.022818 O -0.038170 O 0,043265 O

U3v 0.03'1116 O '0,016609 O 0,028061 O -0,031970

U3, 0-C)06828 O 0,003158 O -0.005299 O 0,00594i!

UZx O 0,044-105 O -0011858 O -0.048974 O

Uzv -0.031947 O 0,032061 O 0008688 O 0036213--~ ------ ----- ------0 --=C~006730-'us, -0007354- ° -0,006207 O -0,001628

Ulx O 0040809 O 0053830 O 0,044316 O

Uly 002617'1- O 0030059 O -0,039717 O -0,032841

Ulz 0005827 O -0,005620 O 0,007421 O OOOéJ084

Los coeficíenres de purticipaciólt son:

Tabla 15-24 - Ejemplo 15-4 - Caso (b) - Ce eficientes de participación modal

1!'lodo <Xx a.. O 20,133,2 22.713 O

3 O -11,267

4 O 7,649

5 11 174 O

o O 0.326

7 O 8,763

8 ° 256(,

') O 1,601

10 t>.92·; O., r ~;097

-12 ·1 71~7 ()

545

13 o -3.550

14 2.887 o15 o -2.144

Las J/{,erzas ltorizontates en Las tiireccimtcs x Id y res¡'Jcctiva/ltcnte. ¡'Jara cutia fl'Lcnto. í. eVLwtitiades de kN Id kN . In. son:

Tabla 15-25 - Ejemplo 15-4 - Caso (b) - Fuerzas modales, sismo actuando solo en x y solo en y

gn' /11.0(10 , Illor/o 2 morto 3 HlUl10 4 /1101:/0 5sjsrno x sisruo '1 sismo x sisuto Ij sismo x SiSllW 101 sisruo x si.SIIw 101 SiSHlO x sisnlO /1

Fsx O O 12522 O O O O O -4-39./ O

Fsv O 72b.1 O O O 4550 O -282.9 O O

Msz O 20492 O O O 29775 O -1523 7 O O

F4x O O 952.6 O O O O O 991 O

F4v O b07.5 O O O 304tJ O -s.e O O

M4z O 1880.ti O O O -2453.2 () ·282.7 O O

F3x O O 639.7 O O () O O l~ll-5.1 O

F3v O 4-S2.0 O O O 1704 O 2~J9.1 O ()

M3z O ,é; 180 O O O -1805.:) O 1019.0 O O

F2x O O 338.b O O O O O 449.8 O

F2v O 277.9 O O O 65.9 O 329.4 O O

M2z O 99; .2 O O O ·10737 O 1463.ti O O

F\x o O 1004 O O O O O 190.b O

Flv O 97.4 O O O 80 O 170.0 O O

Miz O 31<98 O O Ü -3780 O 798.1 O (J

_Vx () O ,,283.4 O O O O O 744.8 O

Vv O 2154.8 O O O 1003.9 O 4700 O ()

Mz O b828.9 O O O -86880 O 14-74.3 O O

Tabla 15-25 (cont.} - Ejemplo 15-4 - Caso (b) - Fuerzas modales, sismo actuando solo en x y solo en y

~11:H IHodo o IIlodo 7 1llano 8 n1.Ol:/o 9 11'1-0(/0 10sismo x SiSIHO !J Si.slllO x SiSlllO lj sismo x sisn1.O IJ SiSlllO x SiSlllO If sismo x sisrno /1

.I<'sx e e 0 O () O O O 687 O

Fsv O 85 O -110.8 O -17.6 O 37 Ü ()

Msz O 12.0 O 1204.7 O -98.1 O 212 O O

F4x O O O o O O O O -1011 oF4v () -c.: O -15.4 O '.0.7 O -117 O O

M4z O 26.0 O -476.3 O 2081 O -61.9 O o

F3x o O O O O o o O -sz.o O

F3v o R. u o 112.6 O 240 o 17.5 O O

M3z o --; ~.4 o -1222.6 O 124.8 O 92.1 O oF2x o O o O o O o O 101.6 O

F2v O 1.9 o 2299 O -189 o -180 O O

M2z O 42.6 O -633.6 O -88.5 o -99.12 O O

FIx O O O O O O O O 94.0 O

F lv O 5.4 O 148.0 O 41.3 O 14.7 O O

Miz o 42.1 O -2.4 O 228.5 O 78.6 O O

Vx () () () O O () () O 110.7 O

Vv o O.b O 3M3 O 21.3 () 6.3 o o

Mz o 5Q.:~ O 1130.2 O 1251 O 30.8 O O

546

15 . Análisis modal e8J)(>(

Tabla 15-25 (cont.} - Ejemplo 15-4 - Caso (b) - Fuerzas modales, sismo actuando solo en x y solo en y

(I/H 1I10do 11 1I1.011<J 12 1I1odo 13 morto 14 IIlOdo 15

stsuio x sislllo IJ Si.s 111 o x siSlIlO IJ SiSllIOX sisllto IJ sísiuo X S¡.sIIIO IJ SiSIlIOx S¡.sIlIO IJ

Fsx O O -140 O O O 2.'1 O O O

Fsv O 28.3 O O O 6.0 O O O U

Msz () 138.7 O O O 27.6 O O O -5.6

F4x () O 38.3 O O O -87 O O O

F4v O -419 O O O 16.5 O O O -4.5

M4z O 203.8 O O O -75.2 O O O 20.3

F3x O O "1 e O O O 14.0 O O O-..) , .~)

1<'3v O -22.3 O O () -1~.6 () () () 77

M3z () 101.9 O O O 61.7 O O O ·34.2

Fzx O O -9.8 O O O -165 O O O

F2v O 43.1 O O O -4.2 O O O 87

M2z O 200.3 O O O 190 O O n 3R.7

FIx O O 44-,11- O O O 14.9 () O O

F", O "1-0.4 () O (J '10 ") (J O () 79i ,.' .. )

Miz (J -181.t, () O O 8óA () O O 34.9

Vx O () 27:, O O () 6.8 O O O

Vv () 47.0 O O O 120 O O O 3.6

M z (J 214.9 () (J O -53.4 O O O 158

Los coeJLciel1tcs de correLlIl-ClÓVl Pij' ¡;¡um eL Inétodo eee SOI1 íos VlÜSVlWS t/jltC ~Jl.Me eL caso (u).Ahoru estlü.üel11os Los ejcctos dLrecciol1uLes dC'~ SLSl1'k'1 de dLseíiD CV;111Learewlos eL corte lnlS17.ldeLrA. estYlt.clf.ua. Los valores deL corte lJusaL por mOl-to se reSIt.Vl1el1 así. con Los res~J("ctivos vatoresde La COVl1t,LilUL~511 vl-1odaL. lja sea et método eee o et RCC;C

Tabla 15-26 - Ejemplo 15-4 - Caso (b) - Corte y momento modal basaly combinación con los métodos CCC y RCSC

SiSlllO en x SiStllo en 111I10lio V"" Vyx Mzx Vxy Vyy Mzy

1 O O O O 2154;80 6828.90,2 321U.40 O O () O O.,

O e O () 10C\3.')O -'l',?8.()f).)

470.01_._---

4 (J O (J O 1474.30

5 74482 O O O O O

o O O O O 0.55 59.J':~

7 O O O O 364-.31 -113020

8 O () O O 21.34 12:~.1o9 O O o () (J.2s 30.81

10 110.¡j O o O O o11 O o o o 4760 -2'1 rl.c)O

12 27.46 o O o o O,., o o o o -: 1.9b -53.41,j

14 b.7tJ o o () () ()

15 o o o o 3.56 -15.78

eee 3371.1ó o O o 2508.33 10883.3 7

RCSC 3368.7tJ () o o 2451.03 11208.73

BIt.scal11Os eL Ó\.l1gltLn ~ de atal/jlt.e del sismo. t/jIt.e col1dlt.ce aLcorte !JasaL In6t.x~I'lto. atWzando Luwtaciól1 (15-51). Cjac el1 este caso se apLLca de La sLg aíel1te mUl1em. de amerdo C0l1 Lu.fig 11.YItl.

15-16:

547

ünámica estructural aplicada al diseño sísmico

1 ( zv¿ Vyy ](3 =-arctan2 V 2 V 2

xx yy

----"--......---..·x

y

Figura 15-16 - Ejemplo 15-4 - Caso (b) - Direcciones en que actúan las doscomponentes horizontales del sismo y corte basal máximo

UV¡,u vez se cietervvlúta eL ciltgltLo (3. se oléltie/teH Las COVVl.pOVLelttes VI Ij V2 por vHedio de:

VI = Vxx cos(3 + Vyy senp

V 2 = -AVxx senl3+ AVyy cos 13

EL l1"tcixivvtO valor YJrobabLe. V max se ov¡tiel1J? por vnecüo de:

A covt!útl1.aciÓlt se r'rese~ttWt Los reslülacios. rJam ciifere/ttes valores ete A.

Tabla 15-27 - Ejemplo 15-4 - Caso (b) - Valores de Vmax calculado utilizando

los métodos CCC y RCSC, para diferentes valores del parámetro A

A ¡;létotl" V"" Vyy 1)0 VI Vz Vma •

0.00 CCC 3371 16 250833 8 o' 2971.23 O 2971.23.,)

030 cee 3371.16 250833 8 o' 297123 891.37 3102.06.o

0.50-- -- ece- IL)' 2)l~ .23 ~·~S"'.62 33'11.')43371.1b 2508.33

085 cee 3371 16 2508.33 8 ." 2971.23 2525.55 3899.56.,)

1.00 cee 3371 16 250833 8.3' 2971.7.3 2971.23 420195

000 RCSC 3368.76 2451.03 'lO' 294585 o 294535

030 RCSC 3368.7ó 245103 'lO' '!945.85 883.75 3075.56

0.50 RCSC 3:168 76 245103 90' 294-5.85 1472.92 329356

0.85 RCSC 3368.76 24-~j1.03 9.0' 294585 2503.97 3866.25

100 RCSC :13(¡S76 245 'o] 'la' :~945.~S 294585 4166.0(,

COVVI.O YJltecie verse Los resltLtacios SO/t exactaV¡1J?/1le Los vnismos rljlte se obt/tvierOlt en el Ca:-,o (a).(011, Los ejes principaLes cie La estmctltra rotaaos 45° COH respecto a Los cie este caso, Lo anteriorütciim. ql1.e sig/üeltdo este proceciimie/tto. no es intportavl.te La orientació/t cie Los ejespriftCipaLes. rm.es Los reslútados Ita son sensitivos a La orielttacióvtde Loa ejes privtcipaLes cie Laestnl.ct/1.m,

Otro asrJecto rljl1.e ciebe tenerse nI.w.e/tta es La gm/t ciifereltCia rlj/1.e existe aL variar Los valores cieLacmnpovtC/tte orientacia en La ciireccióft 2. a través cieL coeJiciCltte A. Elt eL presente ejempLohalj Itita variacióvt eL,:, a/élroximaeLameltte 1m treütta /'lar ciento entre eL valor aL tovnar A =O Ij

el valor de A=0.85 reco/1'U'ltciado /élor cLo/1'0¡~ Ij Pe Itzie11,.

•

548

1;) • 1'l1IUII:;/8 I//U(,," (''')" 'Cl I ,

Los conceptos presentados en esta Sección, han sido extendidos a los códigos de diseñosismo resistente de la siguiente manera. Si r, y ry corresponden al efecto de lasrespuestas máximas del parámetro r para el sismo actuando en la dirección x y en ladirección y, respectivamente, como la correlación entre las dos componentes del mismoacelerograma es baja, el empleo del método de la raíz cuadrada de la suma de loscuadrados (RCSC) sería apropiado, pues prácticamente no hay correlación entre las doscomponentes. Entonces:

(1S-52)

De aquí viene el requisito de combinación entre componentes a 90 que prescriben loscódigos de diseño sismo resistente en el cual se exige que se combine el 100% de larespuesta en una dirección principal con el 30% de la respuesta en la dirección principalortogonal, lo que algunas veces se denomina efectos ortogonales.

15.4 Número de modos a emplear

La respuesta dinámica exacta obtenida por medio de superposicion modal de unaestructura en el rango elástico, solo se obtiene si se incluyen todos los modos devibración. No obstante, en muchos casos la contribución a la respuesta producida porlos modos superiores es despreciable, por esta razón es válido utilizar un número demodos menor. Dado que existen metodologías que permiten calcular, con una precisiónadecuada, un número de modos menor que el número de grados de libertad, como elmétodo de iteración en el subespacio presentado en la Sección 13.5, la decisión decuántos modos incluir se presenta con mucha frecuencia.

Históricamente han existido toda clase de recomendaciones al respecto, pero desde hacealgún tiempo, para el caso de respuesta sísmica de estructuras, se ha recomendadoincluir un número de modos tal que la masa que se excita a través de estos modos seaal menos el noventa por ciento de la masa total de la edificación. En la Sección I-lA seprobó que la masa activa corresponde a la suma de los cuadrados de los coeficientes departicipación de los modos que se incluyan.

Muchos códigos de diseño sismo resistente modernos fijan un límite inferior a la masaactiva en un valor igual al 90% de la masa de la estructura; lo cual se traduce en quedebe incluirse un número de modos tal que se active el 90% de la masa en cadadirección principal en la cual se presente excitación.

No obstante, el número de modos que se requiere para obtener una respuesta que no sedesvíe de la respuesta obtenida utilizando todos los modos; en un valor de errorprefijado, por ejemplo un cinco por ciento, no es el mismo para la respuesta dediferentes parámetros. En general, en edificios en altura, los modos superiores tienenuna mayor influencia en el corte basal que en los desplazamientos horizontales delúltimo piso, indicando en alguna medida que los modos superiores afectan más lasfuerzas que las deformaciones [Chopra, 1995J. Además, el orden de magnitud de larespuesta espectral de cualquier parámetro depende fundamentalmente del productodel coeficiente de participación del modo por el valor leído del espectro para el períodode vibración del modo. <X; • Sd(T¡). En general en los espectros de desplazamientos de lossismos (véase la Sección S.7), el desplazamiento decrece en la medida que el período devibración se hace menor; por lo tanto la influencia de los modos superiores, conperíodos cada vez menores, va a ser menor. Lo anterior sugiere que la decisión de fijarel número de modos a emplear se tome cuidadosamente, aún en los casosconvencionales.

•

inámica estructural aplicada al diseño sísmico

5.5 El método de la fuerza horizontal equivalente

Prácticamente todos los códigos de diseño sismo resistente incluyen un procedimientoaproximado que permite determinar unas fuerzas sísmicas horizontales de diseño sinque haya necesidad de realizar un análisis dinámico de la estructura, esteprocedimiento se denomina el método de la fuerza horizontal equivalente. Acontinuación se presentan sus fundamentos.

Partiendo de las ecuaciones de equilibrio dinámico de la estructura:

OS-53)

y obteniendo los ID modos y frecuencias, [cI>] y [al], con base en sus propiedades paravibración libre, la solución del sistema de ecuaciones diferenciales simultáneas se

·obt{ene desacoplando el sistema por medio d~ la aplicación de la transformación decoordenadas:

y

{u} = [<r>]{T\} 05-54)

OS-55)

Esta transformación desacopla el sistema de ecuaciones de equilibrio, conduciendo a:

OS-56)

Tanto [1] como [002] , son matrices diagonales, y por esto el sistema se desacopla,obteniendo n ecuaciones independientes de un grado de libertad del tipo:

.. 2 ..T\¡ + oo¡ T\¡ =-U¡ x" (15-57)

Nos limitamos a sistemas planares, con p pisos, en los cuales {y}={l}, donde {l} es unvector con todos sus términos iguales a la unidad. Además, en este caso la matriz demasa [M], es diagonal. Si los modos son ortonormales, o sea que se normalizaronutilizando [<P]T[M][<P]=[I], entonces:

(1 S-58)

o con cualquier tipo de normalización:

(15-59)

De acuerdo con lo presentado en la Sección 15.2, el máximo valor de puede tener T\¡corresponde al valor leído del espectro de desplazamientos amplificado por elcoeficiente de participación (l¡. Entonces:

(15-GO)

550

1,5 • A.J1iilisís 11I0([al espectral

y(15-61)

Donde Ti =2rrJro. y S. corresponde al valor del amortiguamiento. Ahora, de acuerdo con latransformación dada en la ecuación (15-5~), los desplazamientos máximos que puedetener la estructura, causados por el modo i, son:

(15-62)

y las aceleraciones máximas, son:

(15-63)

Las máximas fuerzas inerciales a que se ve sometido el sistema son entonces:

y el máximo cortante en la base, para el modo i:

v~~x ={1}T{F~~x} = [Ml{Ü~~x} ={1} T[Ml{<1>(jJ}<xj .s, (Tj'~i)

(l5-6~)

(15-65)

Ahora, expandiendo las operaciones matriciales de la ecuación (15-65), y reemplazandoex; por su definición en términos de sumatorias dada en la ecuación (15-59), obtenemosla siguiente expresión para el cortante máximo en la base causado por el modo i:

05-(6)

Debe notarse que el término m~~J es precisamente la masa efectiva modal definida

anteriormente en la Sección 1~.4.

Si ahora estudiamos en detalle el caso del primero modo de vibración, o modofundamental, para sistemas planares en general se puede decir que sus términos, paracualquier piso j, pueden expresarse por medio de:

(15-67)

donde hj es la altura del piso j medida desde la base de la estructura, y k es unexponente que se relaciona con lo flexible que sea la estructura, siendo cercano a launidad (k = 1), para estructuras bajas y rígidas y cercano a dos (k = 2), para estructurasflexibles y altas. En la Figura 15-17 se presenta la forma de calcular la masa efectivapara estructuras con masa uniforme por piso, m, y entrepisos con la misma altura, paraun número de pisos igual a p.

k <1> ~lJ.J

551

masa efectiva - m~}J

'Hnámica estructural aplicada al diseño sísmico

P /p-I[m. (p+;),pr/ (p+ 1)· p

4k =1 / <1>~1) =h. m(l) - =ef - (2p+ 1)· (p+ 1)· p 2p+l

T~J J

Vm-

6 6

1: = 1.5. (p + 1) . P.m(2p+ 1)

PI /[m. (2P+l)'¿P+l),pTp-I

k=2<l>~l) =(hj )2

m~~) =

Tj (3p 2+ 3p-l)· (2p+ 1)· (p+ Ij-p

m. 2. 30

hjl I I = 0.833. (2p+l)·(p+.l),p.m

_f~ O (3p 2+ 3p-l)

p

p-I

[ ]2Piso m·pm(~) = =m·p

blandoT j

<1>~1) =1 e m.p

I 2h·lJI

~~~

Figura 15-17 - Cálculo de la masa efectiva modal para el primer modo

En la tabla 15-28 se utilizan las fórmulas anteriores para calcular la masa efectivamodal del primer modo en los casos mostrados y para diferentes números de pisos. Lamasa efectiva se expresa allí como fracción de la masa total de la edificación (Mlot =mp).

Tabia 15-28 - Masa etectiv« para el primer modo como fracción de ia masa total

número masa efectiva del primer modode (m~~) ¡M tot )

pisosk=1 k=2 Piso blando

1 1.000 1.000 1.0003 0.857 0.666 1.0005 0.818 0.618 1.0008 0.794 0.593 1.00010 0.786 0.585 1.00015 0.774 0.575 1.00020 0.768 0.570 1.00030 0.762 0.565 1.000100 0.754 0.558 1.000

Para los casos típicos de estructuras regulares, la masa efectiva oscila entre el 55% y el9()% de la masa total de la estructura. En el caso del edificio con un primer piso blando,el primer modo siempre tiene una masa efectiva igual a la masa total. Esta situación sepresenta en edificios con muros que no llegan a la cimentación y están apoyados enuna losa de transferencia que a su vez está sostenida por una estructura aporticada. Enel método de la fuerza horizontal equivalente se realizan las siguientes

552

15 • ilJ1(ílisis I1w(l(/1 espect

aproximaciones, las cuales siguen la forma como está planteado en el ATe-3 IATe,1978] yen las normas sísmicas colombianas [AIS, 1981,1983,1997,1998].

Las dos aproximaciones fundamentales del método consisten en: limitar la respuestasísmica al primer modo, e igualar la masa efectiva del primer modo a la masa total de laestructura, para compensar por la ausencia de los otros modos. Estas aproximacionesson generalmente conservadoras, pero existen casos en los cuales no los son; como es eledificio con un primer piso muy flexible, como el caso de piso blando mostradoanteriormente. El grado de conservatismo de los casos de estructuras sinirregularidades se puede determinar de los resultados mostrados en la tabla 15-28. Allimitarnos al primer modo, la ecuación (15-66) se convierte en:

(15-68)

El espectro de aceleraciones que se emplea en las normas por lo general incluye uncoeficiente de amortiguamiento crítico del 5% (~=0.05) Y además está expresado comofracción de la aceleración de la gravedad, g. Dado esto, habría necesidad de multiplicarlo resultados por g. Tradicionalmente, esto se ha obviado en las normas dejando elespectro como fracción de la gravedad y utilizando el valor de g para multiplicar lamasa, convírtíendola en fuerzas gravítacíonales, o peso, W. En el caso de las normassismo resistentes colombianas, se ha dejado en función de la masa, así:

(15-69)

Es evidente que la ecuación anterior corresponde a la 2a Ley de Newton. La siguienteaproximación del método consiste en estimar un período de vibración fundamental dela estructura Ta , Ycon él determinar las ordenadas espectrales:

T = C . h3/4

a t n (l5-70)

Donde C, es un coeficiente que depende del sistema y material estructural (parapórticos resistentes a momento, de concreto reforzado Cl = 0.08 Y de acero C, = 0.09), Yh, es la altura en metros medida desde la base del piso más alto del edificio.

Históricamente, dentro de la terminología de las normas de diseño sismo resistente, elespectro de aceleraciones, Sa, expresado en unidades de fracción de la gravedad (g), hasido llamado coeficiente sísmico, utilizando el término C, para denominarlo. Dado quelas fuerzas de diseño que prescriben los códigos incluyen una reducción a lasordenadas espectrales por medio de un coeficiente de reduccicn de resistencia, R, debidoa que se espera que la estructura responda en el rango inelástico (véase la Sección 6.4).Entonces el coeficiente sísmico, C, =Sa, si las fuerzas sísmicas están prescritas al nivelde respuesta elástica, e igual a C.=SalR, si incluyen el efecto ínelástíco descrito a travésdel coeficiente R. Entonces, el cortante en la base que impone el sismo a la estructura,incluyendo los efectos inelásticos, si se desea, se obtiene modificando la ecuación (1568) así:

(15-71)

Es importante notar aquí que el coeficiente sísmico corresponde a la fracción del pesode la estructura que se emplea como cortante basal de diseño corresponde alcoeficiente sísmico, Cs = V,/(Mlot · g) = V,/W,

El cortante basal, Vs , corresponde a la suma de unas fuerzas horizontales localizadas encada uno de los pisos de la estructura. Estas fuerzas varían en la altura con la forma delprimero modo, o modo fundamental. La norma define la forma del primer modo así:

558

nnánüca estructural aplicada al diseño sísmico

{

LO4> j =hf donde k = 0.75+ 0.5· Ta

2.0

para Ta < 0.5 s

para 0.5 s <Ta < 2.5 s

para 2.5 s <Ta

(15-72)

Las fuerzas horizontales se obtienen a partir de la ecuación (15-64):

(15-73)

Pero de acuerdo con las simplificaciones realizadas, al hacer la masa efectiva igual a lamasa total y aplicar la definición de los términos modales dada en la ecuación (15-72),entonces:

(15-74)

;=1

y al modificar el espectro de aceleraciones a un espectro, elástico o ínelástíco, expresadocomo fracción de la gravedad:

(15-75)

Reemplazando las ecuaciones (15-74) y (15-75) en la ecuación (l 5-73), obtenemos:

(15-76)

ij=1 i=l

Entonces, para cualquier pisa j, la fuerza horizontal está dada por:

m .. h~F. = J J • V =e .. V

J P r ] s YJ s

I,P"i .h~;=1

CS-77)

El coeficiente Cyj indica la fracción del corte basal que se aplica en cada piso de laestructura.

El método de la fuerza horizontal equivalente ha sido históricamente el procedimientode determinación de las fuerzas sísmicas de diseño de prácticamente todos los códigossísmicos del mundo. El procedimiento es indudablemente una manera de realizar unanálisis dinámico aproximado sin complejidad matemática, pero con limitaciones en suaplicación, especialmente a estructuras irregulares, ya sea en planta o en alzado.

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Analisis modal espectral

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