Comprado por: Alejandro Vasquez Arteaga alejandrovasqueza@gmail.com Comprado por: Alejandro Vasquez Arteaga alejandrovasqueza@gmail.comAnlisis Tridimensional Esttico y Dinmico de Estructuras Edward L. Wilson, D. Ing. ElProfesorWilsonposeemsde45aosde experienciaprofesionalenlaIngenieraCivil, MecnicayAeroespacial.FueProfesorde IngenieraEstructuraldelaUniversidadde CaliforniaenBerkeleyduranteelperodode 1965al1991,yhapublicadomsde180 artculosylibros.Susaportesalainvestigacin yaldesarrollolehancosechadonumerosos premios,incluyendosueleccinalaAcademia Nacional de Ingeniera en el ao 1985. Enelao1961,elProfesorWilsonescribiel primerprogramaautomatizadodecomputadora deanlisisdeelementosfinitos,yfuequien origin el desarrollo de la serie de programasde computadoraCAL,SAPyETABS.Estos programassonconocidosporsuprecisiny velocidad, ysu empleo de algoritmos numricos muyeficientesyelementosfinitosprecisos. Durantelosltimosdiezaos,EdWilsonha trabajado como Consultor Senior de la CSI en la programacinyladocumentacindedichos nuevosmtodosdeanlisisestructural computacional. Elprincipalobjetivodeestelibroesresumirel desarrollotericodeloselementosfinitosylos mtodosnumricosempleadosenlasltimas versionesdelosprogramasSAPyETABS.La mayoradeloselementosymtodosnumricos que se usan en estos programas son nuevos, y no sepresentanenlibrosdetextoactualessobreel anlisisestructural.Adems,estelibroresume las ecuaciones fundamentales de la mecnica. Serequierenconocimientosmatemticos mnimosparacomprenderplenamenteel materialpresentadoenestelibro.Sinembargo, esimprescindibleunacomprensindel comportamientofsicodeestructuras.Nose requierenconocimientosdeprogramacinde computadoras. SepresentaunnuevoelementodeCSCARAcuadrilateralcongradosdelibertadderotacin normales,elcualesprecisoparaplacasfinasy gruesas,ycscaras.Porlotanto,sepueden conectarloselementosdecscarafcilmentea loselementosclsicosdePRTICO.Sepuede utilizarelelementoSOLIDOtridimensional para modelar tanto lquidos como slidos.Sepresentaelanlisisdinmicocomouna extensinlgicadelanlisisestticodondese agreganfuerzasdeinerciayamortiguamiento parasatisfacerelequilibrioencadapunto cronolgico. El uso de Vectores Dependientes de Carga Ritz (LDR, por sus siglas en ingls) en un anlisis dinmico produce resultados mucho ms precisosqueelempleodelosautovectores dinmicos exactos.El uso de vectores LDR permite que se extienda elmtodoclsicodesuperposicinmodalal anlisis dinmico no-lineal, utilizando elmtodo deAnlisisRpidoNo-Lineal(FNA,porsus siglaseningls).Estenuevomtododeanlisis dinmicono-linealpermitequeestructurascon unnmerolimitadodeelementosno-lineales seananalizadascasienelmismotiempode computacinqueloqueserequiereparaun anlisis dinmico de la misma estructura. Estelibroesdelectur aobligator iaparatodo investigadoryprofesionalquetrabajaenel campo de la ingeniera estructural moderna. Comprado por: Alejandro Vasquez Arteaga alejandrovasqueza@gmail.comComprado por: Alejandro Vasquez Arteagaesimprescindibleunacomprensindelesimprescindibleunacomprensindel amientofsicodeestructuras.amientofsicodeestructuras. requierenconocimientosdeprogramacinderequierenconocimientosdeprogramacinde Sepresentaunnuevoelementod Sepresentaunnuevoelementodcongradosdelibe congradosdelibenormales,elcualesprecisoparaplacasfinasynormales,elcualesprecisoparaplacasfinasy Comprado por: Alejandro Vasquez Arteagasidaddesidadde anteelperododeanteelperodode omsde180omsde180 SusaportesalainvestigacinSusaportesalainvestigacin yaldesarrollolehancosechadoyaldesarrollolehancosechadonumerosos numerosospremios,incluyendosueleccinalaAcademiapremios,incluyendosueleccinalaAcademia en el ao 1985. en el ao 1985.elProfesorWilsonescribie elProfesorWilsonescribieprimerprogramaautomatizadoprimerprogramaautomatizado elementosfinitos,yfuequien elementosfinitos,yfuequienorigin el desarrollo de la serie de programasdeorigin el desarrollo de la serie de programasde AAComprado por: Alejandro Vasquez ArteagaLLComprado por: Alejandro Vasquez Arteaga,,Comprado por: Alejandro Vasquez ArteagaSSnocidosporsuprecisinynocidosporsuprecisiny gruesas,ycscaras gruesas,ycscarasconectarloselementosdeconectarloselementosde loselementosclsicosdeloselementosclsicosde utilizar utilizarpara modelar tanto lquidos como slidos.para modelar tanto lquidos como slidos. AnlisisEsttico y Dinmico de Estr uctur as Un Enfoque Fsico Con nfasis en Ingeniera Ssmica Edwar d L. Wilson Profesor Emrito de Ingeniera Estructural Universidad de California en Berkeley Traduccin www.morrisoningenieros.com Revisin Tcnica Ing. Carlos A. Prato, Ph.D. Profesor Titular Plenario del Departamento de Estructuras Universidad Nacional de Crdoba, Argentina Ing. Fernando Gonzalo Vsquez, Ph.D. Profesor Asociado Universidad Nacional de Ingeniera, Per Ing. Alberto Guzmn De La Cruz, Ph.D. Coordinador del Area de Estructuras Universidad Politcnica de Puerto Rico, Puerto Rico Ing. Emilio Cruz Herasme, M.Sc. Profesor Asociado Universidad Nacional Pedro Henrquez Urea, Repblica Dominicana Comprado por: Alejandro Vasquez Arteaga alejandrovasqueza@gmail.comwww.morrisoningenieros.com www.morrisoningenieros.comComprado por: Alejandro Vasquez ArteagaRevisin Tcnica Revisin TcnicaaaComprado por: Alejandro Vasquez ArteagarrComprado por: Alejandro Vasquez ArteagallComprado por: Alejandro Vasquez ArteagaooComprado por: Alejandro Vasquez ArteagassComprado por: Alejandro Vasquez ArteagaAAComprado por: Alejandro Vasquez ArteagaProfesor Titular Plenario del Departamento de Estructuras Profesor Titular Plenario del Departamento de EstructurasUniversidad Nacional de Crdoba, Argentina Universidad Nacional de Crdoba, ArgentinannComprado por: Alejandro Vasquez ArteagaggComprado por: Alejandro Vasquez Arteaga..Comprado por: Alejandro Vasquez ArteagaFFComprado por: Alejandro Vasquez ArteagaeeComprado por: Alejandro Vasquez ArteagarrComprado por: Alejandro Vasquez ArteagannComprado por: Alejandro Vasquez ArteagaUniversidad Nacional de Ingeniera, Per Universidad Nacional de Ingeniera, PerComprado por: Alejandro Vasquez Arteaga alejandrovasqueza@gmail.comComprado por: Alejandro Vasquez ArteagaDerechos Reservados por Computers and Structures, Inc. Ninguna parte de esta publicacin puede ser reproducida o distribuida de ninguna forma o por ningnmedio, sin un permiso escrito previo de Computers and Structures, Inc. Copias de esta publicacin pueden ser obtenidas de: Computers and Structures, Inc. 1995 University Avenue Berkeley, California 94704 USA Telfono: (510) 845-2177 Fax: (510) 845-4096 e-mail: info@csiberkeley.com Derechos Reservados Computers and Structures, Inc., 1996-2008 El logo CSI es marca registrada de Computers and Structures, Inc. SAP90, SAP2000, SAFE, FLOOR y ETABS son marcas registradas deComputers and Structures, Inc. ISBN 0-000000-00-0 Comprado por: Alejandro Vasquez Arteaga alejandrovasqueza@gmail.comComprado por: Alejandro Vasquez ArteagaLA INGENIERA ESTRUCTURAL EL ARTE DE UTILIZAR MATERIALES Que Tienen Propiedades Que Slo Pueden Ser Estimadas PARA CONSTRUIR ESTRUCTURAS REALES Que Slo Pueden Ser Analizadas Aproximadamente QUE SOPORTAN FUERZAS Que No son Conocidas con Precisin DE MANERA QUE NUESTRA RESPONSABILIDAD CON EL PBLICO SEA SATISFECHA. Adoptado de un Autor Annimo Comprado por: Alejandro Vasquez Arteaga alejandrovasqueza@gmail.comComprado por: Alejandro Vasquez Arteagalo Pueden Ser Estimadas lo Pueden Ser EstimadasPARA CONSTRUIR ESTRUCTURAS PARA CONSTRUIR ESTRUCTURAS REALES REALESAnalizadas Aproximadamente Analizadas AproximadamenteQUE SOPORTAN FUERZAS QUE SOPORTAN FUERZASConocidas con Precisin Conocidas con PrecisinNUESTRA RESPONSABILIDAD NUESTRA RESPONSABILIDADPBLIC PBLICOO Comprado por: Alejandro Vasquez Arteaga alejandrovasqueza@gmail.comComprado por: Alejandro Vasquez ArteagaPrlogo de la Cuarta EdicinEsta edicin del libro contiene correcciones y adiciones a la edicin de Julio del 2000. A juzgarporloscomentariosdeloslectores,ellibrohasidomuyexitosodesdela publicacindelaprimeraedicinen1998.Detodasformas,todosloslibrostcnicos tienen existencia limitada y deben ser modificados y expandidos peridicamente. Ha sido agregado el Captulo 23 acerca de la interaccin fluido-estructurade los tipos de cargasduranteterremotos.EnestecapituloestademostradoqueelelementoSOLID tridimensionalenSAP2000puedeserutilizadoparamodelarfluidosinteractuandocon estructuras slidas. El elemento incluye el efecto de compresibilidad exacta y masa de los fluidos. UnPequeo modulo de cortante es utilizado para estabilizar la malla y para aproximar la viscosidad del fluido. Problemas, tales como la respuesta ssmica de los sistemas de embalse de las presas, puedan ahora ser modelados de forma precisa con elprogramaSAP2000.Portanto,lanecesidaddeutilizarprogramasparaobjetivos especficosparaestaclasedeproblemashasidoeliminado.Adems,yanoes requerida la adicin de aproximacin de masa. Estaedicinpuedeserutilizadacomounlibrodereferenciabsicaporelelemento tecnologayelmtodonumricoutilizadoenSAP2000,ETABSySAFE.Detodos modos estos programas contienen muchas opciones practicas que no son cubiertas en el libro. Algunos ejemplos de estas opciones son carga incremental por construccin, anlisis de pushover, y degradacin de la rigidez de los elementos. Muchos de estos temasestndisponiblesenlapaginawebwww.csiberkeley.como www.edwilson.org. Si usted tiene alguna pregunta terica relacionada con el material presentado en este libromepuedecontactaratravsdecorreoelectrnicoened-wilson1@juno.com. Para preguntas relacionadas con el uso de los programas de computadoras por favor contacte a CSI. Edward L. WilsonAgosto 2004Comprado por: Alejandro Vasquez Arteaga alejandrovasqueza@gmail.comComprado por: Alejandro Vasquez ArteagatridimensionalenSAP2000puedeserutilizadoparamodelarfluidosinteractuandotridimensionalenSAP2000puedeserutilizadoparamodelarfluidosinteractuando estructuras slidas. El elemento incluye el efecto de compresibilidad exacta y masa de losestructuras slidas. El elemento incluye el efecto de compresibilidad exacta y masa de los Pequeo modulo de cortante es utilizado para estabilizar la malla y paraPequeo modulo de cortante es utilizado para estabilizar la malla y para aproximar la viscosidad del fluido. Problemas, tales como la respuesta ssm aproximar la viscosidad del fluido. Problemas, tales como la respuesta ssmsistemas de embalse de las presas, puedan ahora ser modelados de forma precisa consistemas de embalse de las presas, puedan ahora ser modelados de forma precisa con elprogramaSAP2000.Portanto,lanecesidaddeutilizarprogramasparaobjetivoselprogramaSAP2000.Portanto,lanecesidaddeutilizarprogramasparaobjetivos especficosparaestaclasedeproblemashasidoeliminado.Adems,yanoesespecficosparaestaclasedeproblemashasidoeliminado.Adems,yanoes EstaedicinpuedeserutilizadacomounlibrodereferenciabsicaporelelementoEstaedicinpuedeserutilizadacomounlibrodereferenciabsicaporelelemento tecnologayelmtodonumricoutilizadoenSAP2000,ETABSySAFE.DetodostecnologayelmtodonumricoutilizadoenSAP2000,ETABSySAFE.Detodos modos estos programas contienen muchas opciones pra modos estos programas contienen muchas opciones prael libro. Algunos ejemplos de estas opciones son carga incremental por construccin,el libro. Algunos ejemplos de estas opciones son carga incremental por construccin, anlisis de pushover, y degradacin de la rigidez de los elementos. Muchos de estosanlisis de pushover, y degradacin de la rigidez de los elementos. Muchos de estos temasestndisponiblesenlapaginawebtemasestndisponiblesenlapaginaweb Si usted tiene alguna pregunta terica relacionada con el material presentado en esteSi usted tiene alguna pregunta terica relacionada con el material presentado en este libromepuedecontactaratravsdecorreoelectrnicoenlibromepuedecontactaratravsdecorreoelectrnicoen Comprado por: Alejandro Vasquez ArteagaPara preguntas relacionadas con el uso de los programas de computadoras por favorPara preguntas relacionadas con el uso de los programas de computadoras por favor Prlogo de la TerceraEdicin Esta edicin del libro contiene correcciones y adiciones a la edicin de julio del 2000.Lamayorpartedelmaterialnuevohasidoagregadoenrespuestaalas preguntas y comentarios de los usuarios del SAP2000, ETABS, y SAFE. ElCaptulo22ha sidoescritoacercadel empleodirectodecargasssmicaspor desplazamientoabsolutosqueactanenlabasedelaestructura.Variostipos nuevosdeerroresnumricoshansidoidentificadosparacargasde desplazamientoabsoluto.Primero,lanaturalezafundamentaldelacargapor desplazamiento absoluto es significativamente diferente a la carga por aceleracin enlabaseempleadatradicionalmenteenlaingenierassmica.Segundo,se requiereunintervalodeintegracinmenorparadefinirlosdesplazamientos ssmicosypararesolverlasecuacionesdelequilibriodinmico.Tercero,se necesitadeunnmeroelevadodemodosparaquelacargadedesplazamiento absoluta arroje la misma precisin que la producidacuando una aceleracin en labase es utilizada como carga.Cuarto, la regla del 90 por ciento de la masa, no se aplica para la carga de desplazamiento absoluto. Finalmente el amortiguamiento modal efectivo para cargas por desplazamiento es mayor que cuando se emplea la carga por aceleracin. Para reducir los errores asociados a la carga por desplazamiento, se ha introducido enelcaptulo13unmtododeordensuperiordeintegracinbasadoenuna variacin cbica de las cargas con respecto al lapso.Adicionalmente, los factores por participacin esttico y dinmico han sido definidos para permitir al ingeniero estructuralminimizarloserroresasociadosconcargaspordesplazamiento. Adicionalmente el captulo 19 de amortiguamiento viscoso ha sido ampliado para ilustrar elefectofsicodelamortiguamientomodalenlosresultados del anlisis dinmico. El Apndice H, acerca de la velocidad de las computadoras personales modernas hasidoactualizado.Hoyesposiblecomprarunacomputadorapersonalpor aproximadamente$1,500.00quees25vecesmsrpidaquelaCRAYde $10,000,000 producida en 1974. Otras adiciones y modificaciones han sido realizadas en esta impresin.Por favor enve sus comentarios y preguntased@csiberkeley.com a. Edward L. Wilson Agosto 2000Comprado por: Alejandro Vasquez Arteaga alejandrovasqueza@gmail.comComprado por: Alejandro Vasquez Arteagaporpor significativamente diferente a la carga por aceleracinsignificativamente diferente a la carga por aceleracin Segundo Segundo,se,se desplazamiento desplazamientoecuacionesdelequilibriodinmico.ecuacionesdelequilibriodinmico.Tercero Terceroquelacargadedesplazamientoquelacargadedesplazamiento cuando unacuando una aceleracin aceleracinpor ciento por ciento de la masa,de la masa, . Finalmente el. Finalmente el modal efectivo para cargas por desplazamiento es mayor que cuando semodal efectivo para cargas por desplazamiento es mayor que cuando se Para reducir los errores asociados a la carga por desplazamiento,Para reducir los errores asociados a la carga por desplazamiento, Comprado por: Alejandro Vasquez Arteagatulo13unmtododeordensuperiordeintegracinbasadoenunatulo13unmtododeordensuperiordeintegracinbasadoenuna con respecto al lapso con respecto al lapsodinmico dinmico han sido defi han sido defiestructuralminimizarloserroresasociadosconcargasestructuralminimizarloserroresasociadosconcargas Adicionalmente el captulo 19 de amortiguamiento viscoso ha sido ampliado paraAdicionalmente el captulo 19 de amortiguamiento viscoso ha sido ampliado para ilustrar elefectofsicodelamortiguamientomodalenlosresultados ilustrar elefectofsicodelamortiguamientomodalenlosresultadosl Apndice H,l Apndice H, Comprado por: Alejandro Vasquez Arteagaacercaacerca actualizado actualizadoComprado por: Alejandro Vasquez Arteagaaproximadamente$1,500.00 aproximadamente$1,500.00$10,000,000$10,000,000 producida en 1974. producida en 1974. Comprado por: Alejandro Vasquez Arteaga alejandrovasqueza@gmail.comComprado por: Alejandro Vasquez ArteagaComentarios Personales Miprofesordefsicadeprimeraodelauniversidadadvertadogmticamenteala clase no usen una ecuacin que no puedan demostrar. El mismo instructor una vez declarSiunapersonatienecincominutospararesolverunproblemadelcual dependiera su vida, el individuo debe de empleartres minutos leyendo y entendiendo claramenteelproblema.Enlosltimoscuarentaaosestasimpleobservacin prctica ha guiado mi trabajo y espero que la misma filosofa haya sido transmitida a misestudiantes.Conrespectoalaingenieraestructuralmodernaunopuede reformular esas observaciones como no utilicen un programa de anlisis estructural a menos que usted entienda completamente la teora y aproximaciones contenidas en elprogramaynohagaunmodelodecomputadorahastaquelascargas, propiedadesdelosmaterialesycondicionesdefronteranoestnclaramente definidos. Por lo tanto, el propsito principal de este libro es presentar los antecedentes tericos necesariosdemaneraqueelusuariodeprogramasdecomputadorasparaelanlisis estructuralpuedaentenderlasaproximacionesbsicasimplementadasdentrodel programa,verifiqueyasumasuresponsabilidadprofesionaldelosresultados.Se asumequeellectortieneconocimientosdeesttica,mecnicadeslidosyanlisis estructural elemental. El nivel de conocimientos esperado es igual al de un individuo conunalicenciaturaenIngenieraCiviloMecnica.Notacinmatricialyvectorial elementales son definidos en los apndices y son usados profusamente.Antecedentes en notacin tensorial y variables complejas no son requeridos. Todaslasecuacionessondesarrolladasusandounenfoquefsicopuestoqueeste libroestescritoparaestudiantesyprofesionalesdelaingeniera,ynoparamis colegasacadmicos.Elanlisisestructuraltridimensionalesrelativamentesimple debidoalaaltavelocidaddelacomputadoramoderna.Porlotanto,todaslas ecuaciones sonpresentadasenformatridimensional, yseincluyen automticamente laspropiedadesdelosmaterialesanisotrpicos.Noserequierenantecedentesde programacindecomputadorasparautilizarunprogramadecomputadora inteligentemente.Sin embargo, algoritmos numricos detallados han sido dados para queellectorentiendacompletamentelosmtodoscomputacionalesqueseresumen enestelibro.Losapndicescontienenunsumarioelementaldelosmtodos numricosusados;sinembargo,nodeberasernecesarioempleartiempoadicional leyendo artculos de investigacin para entender la teora presentada en este libro. Elautorhadesarrolladoypublicadomuchastcnicasdecomputacinparaelanlisis esttico y dinmico de estructuras.Ha sido motivo de satisfaccin personal el hecho de quemuchosprofesionalesdelaingenierahayanencontradotilesestosmtodosde computacin. Por lo tanto, una razn por la cual compilar este libro terico y de aplicacin Comprado por: Alejandro Vasquez Arteaga alejandrovasqueza@gmail.comComprado por: Alejandro Vasquez Arteagacontenidas contenidashastaquelascargas,hastaquelascargas, estn estn claramenteclaramente Por lo tanto, el propsito principal de este libro es presentar los antecedentes Por lo tanto, el propsito principal de este libro es presentar los antecedentesnecesariosdemaneraqueelusuariodeprogramasdecomputadorasparaelanlisisnecesariosdemaneraqueelusuariodeprogramasdecomputadorasparaelanlisis puedaentenderlasaproximacionesbsicaspuedaentenderlasaproximacionesbsicasimplementadas implementadasyasumasuresponsabilidadprofesionaldeyasumasuresponsabilidadprofesionalde equeellectortieneconocimientosdeesttica,mecnicades equeellectortieneconocimientosdeesttica,mecnicadesestructural elemental. El nivel de conocimientos esperado es igualestructural elemental. El nivel de conocimientos esperado es igual CiviloMecnica.NotacinmatricialyvectorialCiviloMecnica.Notacinmatricialyvectorial es son definidos en los apndices y son usados profu es son definidos en los apndices y son usados profuy variables complejas no son requeridos. y variables complejas no son requeridos.desarrolla desarrolladasdas estudiant estudiantesyesyprofesionalesprofesionales colegasacadmicos.Elanlisisestructuraltridimensionalesrelativamentecolegasacadmicos.Elanlisisestructuraltridimensionalesrelativamente debidoalaaltavelocidaddelacomputadoramoderna.Porlotanto,todaslasdebidoalaaltavelocidaddelacomputadoramoderna.Porlotanto,todaslas presen presenta tadas das enformatridi enformatridilaspropiedadesde laspropiedadesde loslosmaterialesanisotrpicos.Noserequiere materialesanisotrpicos.Noserequiereprogramacindecomputadorasparautilizar programacindecomputadorasparautilizarmente mente.Sin embargo, .Sin embargo,Comprado por: Alejandro Vasquez Arteagaqueellectorentiendacompletamentelosmtodoscomputacionalesquesequeellectorentiendacompletamentelosmtodoscomputacionalesquese esconsolidarenunapublicacindicha investigacin ydesarrollo.Adicionalmente,el recientedesarrolladoanlisisnolinealrpido(FNA),yotrosmtodosnumricosson presentados en detalle por primera vez.Las leyes fundamentales de la fsica,que sonlabasedelanlisisestticoydinmicode estructuras,tienenmsde100aosdeedad.Porlotanto,cualquieraquecreaquehaya descubierto un principio nuevo de mecnica, es vctima de su propia ignorancia. Este libro contiene trucos computacionales que el autor ha considerado efectivos para el desarrollo de programas de anlisis estructural. El anlisis esttico y dinmico ha sido automatizado a un alto grado por la existencia de computadoras personales econmicas. Sin embargo, el campo de la ingeniera estructural, en mi opinin, nunca ser automatizado. La idea de que un sistema experto de programas decomputadorasconinteligenciaartificialreemplazarlacreatividadhumanaesun insulto a todos los ingenieros estructurales. El material en este libro ha evolucionado a travs de lo ltimos 35 aoscon la ayuda demisantiguosestudiantesycolegasprofesionales.Suscontribucionesson reconocidas.AshrafHabibullahIqbalSubarwardy,RobertMorris,SyedHasanain, DollyGurola,MarilynWilkesyRandyCorsondeComputersandStructures,Inc., merecen un reconocimiento especial. Adicionalmente, me gustara agradeceral gran nmerodeingenierosestructuralesquehanusadolaseriedeprogramasTABSy SAP. Ellos han provisto la motivacin para esta publicacin. El material presentado en la primera edicin de Anlisis Dinmico Tridimensional de Estructurasestincluidoyactualizadoenestelibro.Esperoansiosamentepor comentarios y preguntas adicionales de los lectores en orden de expandir el material en futuras ediciones de este libro. Edward L. Wilson Agosto 2004Comprado por: Alejandro Vasquez Arteaga alejandrovasqueza@gmail.comComprado por: Alejandro Vasquez Arteagaha sido automatizado a un alto grado por la existencia deha sido automatizado a un alto grado por la existencia de , el campo de la ingeniera estructural,, el campo de la ingeniera estructural, perto de programasperto de programas lacreatividadhumanaesunlacreatividadhumanaesun ltimosltimos 35 aoscon la ayuda35 aoscon la ayuda demisantiguosestudiantesycolegasprofesionales demisantiguosestudiantesycolegasprofesionales.Suscontribucionesson.Suscontribucionesson ahIqbalSubarwardy,RobertMorris,SyedHasanain,ahIqbalSubarwardy,RobertMorris,SyedHasanain, RandyCorsondeComputersandStructures,Inc.,RandyCorsondeComputersandStructures,Inc., Adicionalmente, me gustara agradeceral granAdicionalmente, me gustara agradeceral gran quehanusadolaseriedeprogramasTABSyquehanusadolaseriedeprogramasTABSy SAP. Ellos han provisto la motivacin para esta publicacin.SAP. Ellos han provisto la motivacin para esta publicacin. primera edici primera ediciestincluidoyactualizado estincluidoyactualizadocomentarios y preguntas adicionales de los lectores comentarios y preguntas adicionales de los lectoresComprado por: Alejandro Vasquez Arteagaen futuras ediciones de este libro.en futuras ediciones de este libro. CONTENIDO1.Propiedades de los Materiales 1.1Introduccin1.2Materiales Anisotrpicos1.3Uso de las Propiedades de los Materiales en Programas de Computadora1.4Materiales Ortotrpicos1.5Materiales Isotrpicos1.6Deformacin en el Plano en Materiales Isotrpicos1.7Esfuerzo en el Plano en Materiales Isotrpicos1.8Propiedades Materiales Parecidos a Fluidos1.9Velocidades de Onda de Cortante y Compresin1.10Propiedades de Materiales Axisimtricos1.11Relaciones de Fuerza-Deformacin1.12Resumen1.13Referencias2.Equilibrio y Compatibilidad 2.1Introduccin 2.2Ecuaciones Fundamentales de Equilibrio 2.3Resultantes de Esfuerzo - Fuerzas y Momentos2.4Requisitos de Compatibilidad 2.5Ecuaciones de Desplazamiento de Deformacin 2.6Definicin de Rotacin2.7Ecuaciones en la Frontera entre Materiales 2.8 Ecuaciones de Acoplamiento en Sistemas de Elementos Finitos2.9Estructuras Estticamente Determinadas2.10Matriz de Transformacin de Desplazamientos2.11Matrices de Rigidez y Flexibilidad del Elemento2.12Solucin de Sistemas Estticamente Determinados Comprado por: Alejandro Vasquez Arteaga alejandrovasqueza@gmail.comComprado por: Alejandro Vasquez Arteagales en Programas de Computadora les en Programas de Computadorapicos picos Isotrpicos Isotrpicos Fluidos Fluidos y Compresin y CompresinAxisimtrico Axisimtricos sDeformacin DeformacinComprado por: Alejandro Vasquez ArteagaiiComprado por: Alejandro Vasquez ArteagabbComprado por: Alejandro Vasquez ArteagaiiComprado por: Alejandro Vasquez ArteagallComprado por: Alejandro Vasquez ArteagaiiComprado por: Alejandro Vasquez ArteagaddComprado por: Alejandro Vasquez ArteagaaaComprado por: Alejandro Vasquez ArteagaddComprado por: Alejandro Vasquez Arteaga2.1Introduccin2.1Introduccin 2.2Ecuaciones Fundamentales de Equilibrio2.2Ecuaciones Fundamentales de Equilibrio Resultante Resultantess Comprado por: Alejandro Vasquez Arteagade Esfuerzo de Esfuerzo2.4Requisitos de Compatibilidad2.4Requisitos de Compatibilidad Comprado por: Alejandro Vasquez ArteagaEcuaciones de DesplazamientoEcuaciones de Desplazamiento 2.13Solucin General de Sistemas Estructurales2.14Resumen2.15Referencias3.Energa y Trabajo 3.1Introduccin3.2Trabajo Virtual y Trabajo Real3.3Energa Potencial y Energa Cintica3.4Energa de Deformacin3.5Trabajo Externo3.6Principio de Energa Estacionaria3.7Mtodo de la Fuerza3.8Ecuacin de Movimiento de Lagrange3.9Conservacin del Momento3.10Resumen3.11Refererencias4.Elementos Unidimensionales 4.1Introduccin4.2Anlisis de un Elemento Axial4.3Elemento de Prtico Bidimensional4.4Elemento de Prtico Tridimensional4.5Liberacin del Extremo del Elemento4.6Resumen 4-13 5.Elementos Isoparamtricos 5.1Introduccin 5-1 5.2Ejemplo Sencillo Unidimensional5.3Frmulas de Integracin Unidimensionales5.4Restriccin sobre las ubicaciones de los Nodos Intermedios5.5Funciones de Formas Bidimensionales5.6Integracin Numrica en Dos Dimensiones5.7Funciones de Forma TridimensionalesComprado por: Alejandro Vasquez Arteaga alejandrovasqueza@gmail.comComprado por: Alejandro Vasquez ArteagaeeComprado por: Alejandro Vasquez ArteagassComprado por: Alejandro Vasquez Arteagalisis de un Elemento Axial lisis de un Elemento AxialElemento de Prtico Bid Elemento de Prtico Bidimensional imensionalElemento de Prtico Tridimensional Elemento de Prtico TridimensionalLiberacin del Extremo delLiberacin del Extremo del Resumen Resumen 4-134-13 eeComprado por: Alejandro Vasquez ArteagannComprado por: Alejandro Vasquez ArteagattComprado por: Alejandro Vasquez ArteagaooComprado por: Alejandro Vasquez ArteagassComprado por: Alejandro Vasquez ArteagaIIComprado por: Alejandro Vasquez ArteagaIntroduccin 5-1Introduccin 5-1 5.8Elementos Triangulares y Tetradricos5.9Resumen5.10Referencias6.Elementos Incompatibles 6.1 Introduccin6.2 Elementos con Cortante Fijo6.3 Adicin de Modos Incompatibles6.4 Formacin de la Matriz de Rigidez del Elemento6.5 Elementos Bidimensionales Incompatibles6.6 Ejemplo Usando Desplazamientos Incompatibles6.7 Elementos Tridimensionales Incompatibles6.8 Resumen6.9 Referencias7. Condiciones de Bordes y Restricciones Generales 7.1Introduccin7.2Condiciones de Frontera de Desplazamientos7.3Problemas Numricos en el Anlisis Estructural7.4Teora General Asociada a las Restricciones7.5Restricciones sobre el Diafragma del PisoRestricciones RgidasUso de Restricciones en Anlisis de Viga-LosaUso de Restricciones en el Anlisis de Muro de CortanteUso de Restricciones para Transiciones de MallaMultiplicadores Lagrange y Funciones de PenalidadResumen8.Elementos de Flexin en Losa 8.1Introduccin8.2El Elemento Cuadrilateral8.3Ecuaciones Deformacin-Desplazamiento8.4La Rigidez del Elemento CuadrilateralComprado por: Alejandro Vasquez Arteaga alejandrovasqueza@gmail.comccComprado por: Alejandro Vasquez ArteagaiiComprado por: Alejandro Vasquez ArteagaooComprado por: Alejandro Vasquez ArteagannComprado por: Alejandro Vasquez ArteagaeeComprado por: Alejandro Vasquez ArteagassComprado por: Alejandro Vasquez ArteagaComprado por: Alejandro Vasquez Arteagade Desplazamiento de DesplazamientoProblemas Numricos en el Anlisis EstructuralProblemas Numricos en el Anlisis Estructural Teora General AsociadaTeora General Asociada a las Restri a las RestriRestricciones sobre Restricciones sobre el el Diafragma delDiafragma del Restricciones RestriccionesComprado por: Alejandro Vasquez Arteagaen Anlisis de Viga en Anlisis de VigaRestricciones Restricciones en el Anlisis de Muroen el Anlisis de Muro Restricciones RestriccionesMultiplicadores Lagrange y Funciones de PenalidadMultiplicadores Lagrange y Funciones de Penalidad 8.5Satisfaciendo la Prueba de Grupo8.6Condensacin Esttica8.7Elemento de Flexin en Placa Triangular8.8Otros Elementos de Flexin de Placa8.9Ejemplos Numricos 8.9.1 Un Elemento Viga 8.9.2 Carga Puntual en Placa Cuadrada con Soporte Simple 8.9.3 Carga Uniforme en Placa Cuadrada con Soporte Simple 8.9.4 Evaluacin de Elementos de Flexin en Placa Triangular 8.9.5 Uso de Elementos Placas para Modelar Torsin en Vigas8.10Resumen8.11Referencias9.Elemento de Membrana con Rotaciones Normales 9.1Introduccin9.2Suposiciones Bsicas9.3Aproximacin de Desplazamiento 9.4Introduccin de Rotacin de Nodo 9.5Ecuaciones de Deformacin - Desplazamiento9.6Relacin Esfuerzo - Deformacin9.7Transformacin Relativa a Rotaciones Absolutas9.8Elemento de Membrana Triangular9.9Ejemplo Numrico9.10Resumen9.11Referencias10.Elementos de Cscara10.1Introduccin10.2Un Simple Elemento de Cscara Cuadrilateral10.3Modelos de Cscaras Curvos con Elementos Planos10.4Elementos de CscaraTriangulares10.5Elementos Slidos para Anlisis de Cscaras10.6Anlisis de Bveda de Can Scordelis-Lo10.7Ejemplo de Cscara HemisfricaComprado por: Alejandro Vasquez Arteaga alejandrovasqueza@gmail.comComprado por: Alejandro Vasquez Arteaga Triangular TriangularUso de Elementos Placas para Modelar Torsin en Vigas Uso de Elementos Placas para Modelar Torsin en VigasooComprado por: Alejandro Vasquez ArteagarrComprado por: Alejandro Vasquez ArteagammComprado por: Alejandro Vasquez ArteagaaaComprado por: Alejandro Vasquez ArteagallComprado por: Alejandro Vasquez ArteagaeeComprado por: Alejandro Vasquez ArteagaAproximacin de DesplazamientoAproximacin de Desplazamiento Introduccin de Rotacin de NodoIntroduccin de Rotacin de Nodo Ecuaciones de Deformacin -Ecuaciones de Deformacin - DesplazamientoDesplazamiento lacin Esfuerzo - Deformacin lacin Esfuerzo - DeformacinRelativa a Relativa a Rotaciones Absolutas Rotaciones AbsolutasElemento de Membrana TriangularElemento de Membrana Triangular Ejemplo Numrico Ejemplo NumricoResumen ResumenReferencias ReferenciaseeComprado por: Alejandro Vasquez ArteagannComprado por: Alejandro Vasquez ArteagattComprado por: Alejandro Vasquez ArteagaooComprado por: Alejandro Vasquez ArteagassComprado por: Alejandro Vasquez Arteagadd10.1Introduccin 10.1Introduccin10.8Resumen10.9Referencias11.Rigidez Geomtrica y Efectos P-Delta 11.1Definicin de Rigidez GeomtricaAnlisis Aproximado de PandeoAnlisis P-Delta de EdificiosEcuaciones para Edificios TridimensionalesMagnitud de Efectos P-DeltaAnlisis P-Delta usando Programa de Computo sin ModificacinLongitud Efectiva Factores KFormulacin General de la Rigidez GeomtricaResumenReferencias12.Anlisis Dinmico 12.1Introduccin12.2Equilibrio Dinmico12.3Mtodo de Solucin Paso a Paso12.4Mtodo de SuperposicinModal12.5Anlisis Espectral12.6Solucin en el Dominio de Frecuencia12.7Solucin de Ecuaciones Lineales12.8Respuesta Armnica no Amortiguada12.9Vibracin Libre no Amortiguada12.10Resumen12.11Referencias13.Anlisis Dinmico Utilizando la Superposicin de Modo 13.1Ecuaciones a Resolver13.2Transformacin a Ecuaciones Modales13.3Respuesta Debida a Condiciones Iniciales13.4Solucin General Debido a Carga ArbitrariaComprado por: Alejandro Vasquez Arteaga alejandrovasqueza@gmail.comComprado por: Alejandro Vasquez ArteagaMtodo de Solucin Paso Mtodo de Solucin Paso aa PasoPaso Mtodo de SuperposicinModal Mtodo de SuperposicinModalEspectral EspectralSolucin en el Dominio deSolucin en el Dominio de Solucin de Ecuaciones LinealesSolucin de Ecuaciones Lineales Comprado por: Alejandro Vasquez ArteagaRespuestaRespuesta Armnica no Amortiguada Armnica no AmortiguadaVibracin VibracinResumen Resumen13.5Solucin para Cargas Peridicas13.6Factores de Masa Participante13.7Factores de Participacin de Cargas Estticas13.8Coeficientes de Participacin de Carga Dinmica13.9Resumen14. Clculo de Vectores Ortogonales de Rigidez y Masa 14.1Introduccin14.2Mtodo de Bsqueda del Determinante14.3Chequeo de Secuencia Sturm 14.4Iteracin Inversa14.5Ortogonalizacin de Gram-Schmidt14.6Iteracin en el Sub-espacio14.7Solucin de Sistemas Singulares14.8Generacin de Vectores Ritz Dependientes de Carga14.9Explicacin Fsica del Algoritmo LDR14.10Comparacin de Soluciones usando Vectores Eigen y Ritz14.11Correccin para Truncado de Modos Superiores14.12Respuesta Ssmica en la Direccin Vertical14.13Resumen14.14Referencias15.Anlisis Dinmico con Carga Ssmica de Espectro de Respuesta 15.1Introduccin 15.2Definicin de un Espectro de Respuesta 15.3Clculo de Respuesta Modal 15.4Curvas Tpicas del Espectro de Respuesta 15.5Mtodo CQC de Combinacin Modal 15.6Ejemplo Numrico de Combinacin Modal 15.7Espectros de Diseo 15.8Efectos Ortogonales en el Anlisis Espectral 15.8.1 Ecuaciones Bsicas para el Clculo de Fuerzas Espectrales 15.8.2 El Mtodo General CQC3 Comprado por: Alejandro Vasquez Arteaga alejandrovasqueza@gmail.comComprado por: Alejandro Vasquez Arteagactores Ritz Dependientes de Carga ctores Ritz Dependientes de Cargal Algoritmo LDR l Algoritmo LDRComparacin de Soluciones usandoComparacin de Soluciones usando Vectores Eigen y RitzVectores Eigen y Ritz Truncado de Modos Superiores Truncado de Modos Superioresenen lala Direccin VerticalDireccin Vertical ReferenciasReferencias Comprado por: Alejandro Vasquez ArteagammComprado por: Alejandro Vasquez ArteagaiiComprado por: Alejandro Vasquez ArteagaccComprado por: Alejandro Vasquez ArteagaooComprado por: Alejandro Vasquez ArteagaComprado por: Alejandro Vasquez Arteaga 15.1Introduccin 15.1IntroduccinDefinicin deDefinicin de Clculo de Respuesta Modal Clculo de Respuesta Modal 15.8.3 Ejemplos de Anlisis de Espectros Tridimensionales 15.8.4 Recomendaciones sobre Efectos Ortogonales 15.9Limitaciones del Mtodo de Espectro de Respuesta 15.9.1Clculos de las Deriva de Piso 15.9.2Estimacin de Esfuerzos Espectrales en Vigas 15.9.3Revisin de Diseo para Vigas de Acero y Concreto 15.9.4Clculo de Fuerza Cortante en Pernos15.10 Resumen15.11Referencias16.Interaccin Suelo Estructura 16.1Introduccin16.2Anlisis de Respuesta de Sitio16.3Cinemtica o Interaccin Suelo Estructura16.4Respuesta debido a Movimientos Mltiples de Apoyos16.5Anlisis de Presa de Gravedad y Fundacin16.6Aproximacin de Fundacin sin Masa16.7CondicionesAproximadas de Radiacin de Frontera16.8Uso de Resortes en la Base de una Estructura16.9Resumen16.10Referencias17.Modelado en Anlisis Ssmico Cumpliendo con Cdigos deEdificaciones 17.1Introduccin17.2Modelo Computarizado Tridimensional17.3Formas y Frecuencias de los Modos Tridimensionales17.4Anlisis Dinmico Tridimensional17.4.1Cortante Dinmico de Cortante Base17.4.2Definicin de Direcciones Principales 17.4.3Efectos Direccionales y Ortogonales17.4.4 Mtodo Bsico de Anlisis Ssmico 17.4.5Escalando Resultados 17.4.6Desplazamientos Dinmicos y Fuerzas de Elementos17.4.7Efectos por Torsin 17.5Ejemplo Numrico Comprado por: Alejandro Vasquez Arteaga alejandrovasqueza@gmail.comComprado por: Alejandro Vasquez Arteagacin Suelo Estructura cin Suelo EstructuraRespuesta debido a Movimientos Mltiples Respuesta debido a Movimientos Mltiples de Apoyos de ApoyosPresa de Gravedad y Fundacin Presa de Gravedad y Fundacinacin de Fundacin sin Masaacin de Fundacin sin Masa s de Radiacin s de RadiacinUso de Resortes en la Base de una Estruct Uso de Resortes en la Base de una EstructAAComprado por: Alejandro Vasquez ArteagannComprado por: Alejandro Vasquez ArteagaComprado por: Alejandro Vasquez ArteagallComprado por: Alejandro Vasquez ArteagaiiComprado por: Alejandro Vasquez ArteagassComprado por: Alejandro Vasquez ArteagaiiComprado por: Alejandro Vasquez ArteagassComprado por: Alejandro Vasquez ArteagaeeComprado por: Alejandro Vasquez ArteagassComprado por: Alejandro Vasquez ArteagaComprado por: Alejandro Vasquez Arteaga17.1Introduccin 17.1IntroduccinModelo Computarizado Tri Modelo Computarizado TriFormas y FrecuenciasFormas y Frecuencias 17.6Resumen del Mtodo de Anlisis Dinmico17.7Resumen17.8Referencias18.Anlisis No-Lineal Rpido 18.1Introduccin18.2Estructuras que Tengan un Nmero Limitado de Elementos No-Lineales18.3Ecuaciones Fundamentales de Equilibrio18.4Clculo de Fuerzas No-Lineales18.5Transformacin a Coordenadas Modales18.6Solucin de Ecuaciones Modales No-Lineales18.7Anlisis Esttico No-Lineal para Estructura de Prtico18.8Anlisis Dinmico No-Lineal para Estructura de Prtico18.9Anlisis Ssmico de Tanque Elevado de Agua18.10Resumen19. Amortiguamiento Viscoso Lineal 19.1Introduccin19.2Disipacin de Energa en Estructuras Reales19.3Interpretacin Fsica del Amortiguamiento Viscoso19.4El Amortiguacin Modal Viola Equilibrio Dinmico19.5Ejemplo Numrico19.6Amortiguamiento Proporcional de Rigidez y Masa19.7Clculo de Matriz Ortogonal de Amortiguamiento19.8Estructuras con Amortiguamiento No-Clsico19.9Disipacin No-Linealde Energa19.10Resumen19.11Referencias20.Anlisis Dinmico Utilizando la Integracin Numrica 20.1Introduccin20.2Familia de MtodosNewmark20.3Estabilidad del Mtodo NewmarkComprado por: Alejandro Vasquez Arteaga alejandrovasqueza@gmail.comComprado por: Alejandro Vasquez Arteagapara Estructura de Prtico para Estructura de Prtico Estructura de Prtico Estructura de PrticoAnlisis Ssmico de Tanque Elevado de AguaAnlisis Ssmico de Tanque Elevado de Agua eeComprado por: Alejandro Vasquez ArteagaaaComprado por: Alejandro Vasquez ArteagallComprado por: Alejandro Vasquez ArteagaComprado por: Alejandro Vasquez ArteagaDisipacin de Energa en Estructuras RealesDisipacin de Energa en Estructuras Reales Interpretacin Fsica de Interpretacin Fsica dell Amortiguamiento AmortiguamientoEl Amortiguacin Modal Viola Equilibrio Dinmico El Amortiguacin Modal Viola Equilibrio DinmicoEjemplo Numrico Ejemplo NumricoAmortiguamiento Proporcional de Rigidez y Masa Amortiguamiento Proporcional de Rigidez y MasaClculo de Matri Clculo de MatriComprado por: Alejandro Vasquez ArteagaEstructuras con Amortiguamiento No- Estructuras con Amortiguamiento No-DisipacinDisipacin 20.4El Mtodo de la Aceleracin Promedio20.5El Factor de Wilson 20.6Uso de Amortiguamiento Proporcional de Rigidez20.7Mtodo Hilber, Hughes y Taylor20.8Seleccin de un Mtodo de Integracin Directa20.9Anlisis No-Lineal20.10Resumen20.11Referencias21.Elementos No-Lineales21.1Introduccin21.2Elemento General Tridimensional de Dos Nudos21.3Elemento de Plasticidad General21.4Diferentes Propiedades Positivas y Negativas21.5Elemento Brecha Bilineal de Tensin-Fluencia21.6Elemento No-Lineal Brecha-Choque21.7Elementos de Amortiguamiento Viscoso21.8Elemento Tridimensional Friccin-Brecha21.9Resumen 22.Anlisis Ssmico Utilizando Carga de Desplazamiento 22.1 Introduccin22.2Ecuaciones de Equilibrio para entrada de Desplazamiento22.3Uso de Desplazamientos Pseudo-Estticos22.4Solucin de Ecuaciones de Equilibrio Dinmico22.5Ejemplo Numrico 22.5.1 Estructura de Ejemplo22.5.2 CargaSsmica22.5.3 Efecto del Lapso para Amortiguamiento Cero22.5.4Anlisis Ssmico Para Amortiguamiento Finito 22.5.5Efecto del Truncamiento de Modos22.6Uso de Vectores Dependendientes de Carga Ritz22.7Solucin usando Integracin Paso-a-Paso22.8ResumenComprado por: Alejandro Vasquez Arteaga alejandrovasqueza@gmail.comComprado por: Alejandro Vasquez ArteagaNudos NudosDiferentes Propiedades Positivas y Negativas Diferentes Propiedades Positivas y Negativas Tensin-Fluencia Tensin-Fluencia-Choque -Choquemiento miento Viscos Viscosimensional Friccin imensional FriccinUUttComprado por: Alejandro Vasquez ArteagaiiComprado por: Alejandro Vasquez ArteagallComprado por: Alejandro Vasquez ArteagaiiComprado por: Alejandro Vasquez ArteagazzComprado por: Alejandro Vasquez ArteagaaaComprado por: Alejandro Vasquez ArteagannComprado por: Alejandro Vasquez ArteagaddComprado por: Alejandro Vasquez ArteagaIntroduccin IntroduccinEcuaciones de Equilibrio paraEcuaciones de Equilibrio para Uso de Desplazamientos Pseudo Uso de Desplazamientos PseudoSolucin de Ecuaciones de Equilibrio Dinmico Solucin de Ecuaciones de Equilibrio DinmicoEjemplo NumricoEjemplo Numrico 23.INTERACCIN FLUIDO-ESTRUCTURA23.1 Introduccin23.2Interaccin Fluido-Estructura 23.3Modelo De Elementos Finitos De La Interfaz Presa-Fundacin 23.4Cargas Debidas Al Empuje De Boyamiento Y Presin De Poro Del Agua 23.5 Clculo De Las Presiones De Poro Del Agua Empleando El Sap 2000 23.6Seleccin Del Valor De La Rigidez Del Elemento Gap 23.7Ecuaciones Fundamentales De La Dinmica De Fluidos 23.8Relacin Entre Presin Y Velocidad 23.9Equilibrio En La Interfaz De Dos Materiales 23.10Condiciones De Frontera De Irradiacin 23.11Modos De Oleaje De La Superficie 23.12Propagacin Vertical De Las Ondas 23.13El Documento Westergaard 23.14Anlisis Dinmico De Emblases Rectangulares 23.15Fronteras Absorbedoras De Energa Del Embalse 23.16Formulaciones Relativa Vs Absoluta 23.17Efecto Del Escaln De La Compuerta En La Presin 23.18Anlisis Ssmico De Compuertas Radiales 23.19Observaciones Finales 23.20Referencias Apndice ANotacin de Vector A.1IntroduccinA.2Producto VectorialA.3Vectores para Definir un Sistema Referencia LocalA.4Subrutinas Fortran para Operaciones Vectoriales Comprado por: Alejandro Vasquez Arteaga alejandrovasqueza@gmail.comAnlisis Dinmico De Emblases Rectangulares Anlisis Dinmico De Emblases RectangularesFronteras Absorbedoras De Energa Del Embalse Fronteras Absorbedoras De Energa Del EmbalseFormulaciones Relativa Vs Absoluta Formulaciones Relativa Vs AbsolutaEfecto Del Escaln De La Compuerta En La Presin Efecto Del Escaln De La Compuerta En La PresinAnlisis Ssmico De Compuertas Radiales Anlisis Ssmico De Compuertas RadialesObservaciones Finales Observaciones FinalesReferencias ReferenciasNNComprado por: Alejandro Vasquez ArteagaooComprado por: Alejandro Vasquez ArteagattComprado por: Alejandro Vasquez ArteagaaaComprado por: Alejandro Vasquez ArteagaccComprado por: Alejandro Vasquez ArteagaIntroduccin IntroduccinApndice BNotacin de Matricial B.1IntroduccinB.2Definicin de notacin Matricial B.3Transpuesta de una Matriz y Multiplicacin EscalarB.4Definicin de una Operacin NumricaB.5Programacin de Productos MatricialesB.6Orden de Multiplicacin de MatrizB.7ResumenApndice CSolucin o Inversin de Ecuaciones Lineales C.1IntroduccinC.2Ejemplo NumricoC.3Algoritmo de Eliminacin GaussC.4Solucin de un Sistema General de Ecuaciones LinealesC.5Alternativa de PivotajeC.6Inversin de MatricesC.7Interpretacin Fsica de Inversin de Matricial C.8Eliminacin Parcial Gauss, Condensacin Esttica y de Sub-estructuraC.9Almacenamiento de Ecuaciones en Banda o de Perfil C.10Factorizacin LDL C10.1Triangularizacin o Factorizacin de laMatrizA C10.2Reduccin por Adelantado de Matriz bC10.3Clculo de X por Substitucin Regresiva C.11Cancelacin Diagonal y Precisin NumricaC.12ResumenC.13Referencias Apndice D El Problema de AutovaloresD.1 IntroduccinD.2El Mtodo JacobiComprado por: Alejandro Vasquez Arteaga alejandrovasqueza@gmail.comComprado por: Alejandro Vasquez ArteagannComprado por: Alejandro Vasquez ArteagaeeComprado por: Alejandro Vasquez ArteagaaaComprado por: Alejandro Vasquez ArteagallComprado por: Alejandro Vasquez ArteagaeeComprado por: Alejandro Vasquez ArteagassComprado por: Alejandro Vasquez ArteagaComprado por: Alejandro Vasquez ArteagaGeneral de Ecuaciones General de EcuacionesInterpretacin Fsica de Inversin de Matri Interpretacin Fsica de Inversin de MatriParcialParcial Gauss, Condensacin Esttica y de Sub- Gauss, Condensacin Esttica y de Sub-Almacenamiento de Ecuaciones en Banda o Almacenamiento de Ecuaciones en Banda oFactorizacin LDL Factorizacin LDLTriangularizacin o Triangularizacin oC10.2ReduccinC10.2Reduccin Comprado por: Alejandro Vasquez ArteagaC10.3C10.3 Cancelacin Diagonal y Precisin NumricaCancelacin Diagonal y Precisin Numrica D.3Clculo de Esfuerzos Principales 3dD.4Solucin del Problema General de Valores CaractersticosD.5ResumenApndice ETransformacin de Propiedades de Materiales E.1IntroduccinE.2Resumen Apndice FUn Elemento de Viga en Base a Desplazamiento con Deformaciones a Cortante F.1IntroduccinF.2Suposiciones BsicasF.3rea Efectiva de Cortante Apndice GIntegracin Numrica G.1IntroduccinG.2Cuadratura Unidimensional GaussG.3Integracin Numrica en Dos DimensionesG.4Una Regla Bidimensional de Ocho PuntosG.5Una Regla de Orden Inferior de Ocho PuntosG.6Una Regla de Integracin de Cinco PuntosG.7Reglas de Integracin TridimensionalG.8Integracin SelectivaG.9ResumenApndice HVelocidad de Sistemas De Computadora H.1IntroduccinH.2Definicin de Una Operacin NumricaH.3Velocidad de Diferentes Sistemas de ComputadorasH.4Velocidad de Sistemas de Computadoras PersonalesH.5Sistemas Operativo de EnlaceH.6 Resumen Comprado por: Alejandro Vasquez Arteaga alejandrovasqueza@gmail.comComprado por: Alejandro Vasquez ArteagaccComprado por: Alejandro Vasquez ArteagaooComprado por: Alejandro Vasquez Arteagaimensional Gauss imensional GaussIntegracin Numrica e Integracin Numrica en Dos Dimensionesn Dos Dimensiones imensional de Ocho Puntos imensional de Ocho PuntosUna Regla de Orden Inferior de Ocho Puntos Una Regla de Orden Inferior de Ocho PuntosUna Regla de Integracin de Cinco Puntos Una Regla de Integracin de Cinco PuntosReglas deReglas de Integracin Tridimensional Integracin TridimensionalIntegracin SelectivaIntegracin Selectiva Resumen ResumenVVeeComprado por: Alejandro Vasquez ArteagallComprado por: Alejandro Vasquez ArteagaooComprado por: Alejandro Vasquez ArteagaccComprado por: Alejandro Vasquez ArteagaiiComprado por: Alejandro Vasquez ArteagaddComprado por: Alejandro Vasquez ArteagaH.1 H.1Introduccin IntroduccinApndice IMtodo del Mnimo Cuadrado I.1Ejemplo SimpleI-2Formulacin GeneralI-3Clculo de Esfuerzos Dentro de Elementos FinitosApndice J Registros Consistentes de Aceleracin y Desplazamiento Ssmicos J.1IntroduccinJ.2Registros de Aceleracin del TerrenoJ.3Clculo de Registros de Aceleracin por Registros de Desplazamiento J.4Creacin de un Registro Consistente de Aceleracin J.5Resumenndice Comprado por: Alejandro Vasquez Arteaga alejandrovasqueza@gmail.comComprado por: Alejandro Vasquez ArteagaRegistro Registros des de Desplazamiento DesplazamientoConsistente de Aceleracin Consistente de Aceleracin1.PROPIEDADES DE LOS MATERIALESLas Propiedades de los Mater iales Deben SerEvaluadas Mediante Pr uebas de Labor ator io o de Campo 1.1INTRODUCCIN Las ecuaciones fundamentales de la mecnica estructural pueden ser clasificadas en tres categoras [1]. En primer lugar, la relacin esfuerzo-deformacin contiene informacinsobrelaspropiedadesdelosmaterialesquedebenserevaluadas medianteexperimentosdelaboratorioodecampo.Ensegundolugar,la estructuraglobal,cadaelemento,ycadapartculainfinitesimaldentrodecada elementodebenestarenequilibriodefuerzasensuposicindeformada.En tercerlugar,sedebencumplirlascondicionesdecompatibilidadde desplazamientos. Decumplirselastresecuacionesentodomomento,sesatisfacendemanera automticaotrascondiciones.Porejemplo,encualquiermomentodado,el trabajo total de las cargas externas debe ser equivalente a la energa cintica y de deformacinalmacenadadentrodelsistemaestructural,mscualquierenerga quehayasidodisipadaporelsistema.Eltrabajovirtualylosprincipiosde variacinsondeunvalorimportanteenladerivacinmatemticadeciertas ecuaciones;sinembargo,noconstituyenecuacionesfundamentalesdela mecnica. 1.2MATERIALES ANISOTRPICOS Lasrelacioneslinealesesfuerzo-deformacincontienenlasconstantesdelas propiedadesdemateriales,quenicamentepuedenserevaluadasatravsde experimentosdelaboratorioodecampo.Laspropiedadesmecnicasparala mayora de los materiales comunes, tales como el acero, son bien conocidas, y se Comprado por: Alejandro Vasquez Arteaga alejandrovasqueza@gmail.comComprado por: Alejandro Vasquez Arteagaeben SerEvaluadaseben SerEvaluadas Mediante Pr uebas de Labor ator io o de Campo Mediante Pr uebas de Labor ator io o de CampoLas ecuaciones fundamentales de la mecnica estructural pueden ser clasificadasLas ecuaciones fundamentales de la mecnica estructural pueden ser clasificadas lugar, la relacin esfuerzo lugar, la relacin esfuerzoinformacinsobrelaspropiedadesdeinformacinsobrelaspropiedadesdeloslosmaterialesquedebe materialesquedebetosdelaboratorioodecampo.Ensegundolugar,latosdelaboratorioodecampo.Ensegundolugar,la estructuraglobal,cadaelemento,ycadapartculainfinitesimaldentrodecadaestructuraglobal,cadaelemento,ycadapartculainfinitesimaldentrodecada elementodebenestarenequilibriodefuerza elementodebenestarenequilibriodefuerzatercerlugar,sedebencumplirtercerlugar,sedebencumplir Decumplirselastresecuacionesentodomomento,sesatisfacendemaneraDecumplirselastresecuacionesentodomomento,sesatisfacendemanera otrascondi otrasconditrabajo total de las cargas externas debe ser equivalente a la energa cintica y detrabajo total de las cargas externas debe ser equivalente a la energa cintica y de deformacindeformacinalmacenadadentrodelsistemaestructural,mscualquierenergaalmacenadadentrodelsistemaestructural,mscualquierenerga Comprado por: Alejandro Vasquez Arteagaquehaya quehaya sidodisipadasidodisipada variacinsondeunvalorimportanteenladerivacinmatemticadeciertasvariacinsondeunvalorimportanteenladerivacinmatemticadeciertas ecuaciones;sinembargo,noconstituyenecuacionesfundamentalesdelaecuaciones;sinembargo,noconstituyenecuacionesfundamentalesdela definenenfuncindetresnmeros:elmdulodeelasticidadE,larelacinde Poisson , y el coeficiente de dilatacin trmica . Adems, el peso especfico wy la densidad se consideran propiedades fundamentales de los materiales.Antes del desarrollo del mtodo del elemento finito, la mayora de las soluciones analticasenlamecnicadeslidosselimitabanalosmaterialesisotrpicos (propiedadesigualesentodasdirecciones)yhomogneos(lasmismas propiedadesentodoslospuntosdentrodelslido).Desdelaintroduccindel mtodo de elemento finito, ya no existe esta limitacin. Por lo tanto, es razonable comenzarconunadefinicindematerialanisotrpico,quepuedesermuy diferente en cada elemento de una estructura. Ladefinicindelosesfuerzospositivos,enreferenciaaunsistema1-2-3 ortogonal, se presenta en la Figura 1.1. Figura 1.1 Convencin de los Esfuerzos Positivos 1 2 32 3 1 21 23 3112 32 13 Comprado por: Alejandro Vasquez Arteaga alejandrovasqueza@gmail.comComprado por: Alejandro Vasquez ArteagaPor lo tanto, es razonablePor lo tanto, es razonable comenzarconunadefinicindematerialanisotrpico,quepuedesermuycomenzarconunadefinicindematerialanisotrpico,quepuedesermuy ,enreferenciaaunsistema1 ,enreferenciaaunsistema1Comprado por: Alejandro Vasquez ArteagaComprado por: Alejandro Vasquez ArteagaComprado por: Alejandro Vasquez Arteaga3Pordefinicin,todoslosesfuerzosvienendadosenunidadesdefuerza-por-unidadderea.Ennotacinmatricial,losseisesfuerzosindependientespueden ser definidos mediante: [ ]23 31 21 3 2 1 =Tf (1.1) Delequilibrio,12 =21,31 =13y32 =23.Lasseisdeformaciones correspondientes de ingeniera son: [ ]23 31 21 3 2 1 =Td (1.2) Laformamsgeneraldelarelacintridimensionalesfuerzo-deformacinpara materialesestructuraleslinealessujetostantoalosesfuerzosmecnicoscomoa cambios de temperatura puede expresarse de manera matricial como [2]: + =2331213212331213216 5654643632621616565 4543532521516465454 3432421416364354343 2321316265254243232 1216165154143132121233121321111111 TE E E E E EE E E E E EE E E E E EE E E E E EE E E E E EE E E E E E(1.3) O en forma matricial simblica: a Cf d T + = (1.4) La matriz C se conoce como la matriz de correlacin, y puede considerarse como la definicin ms fundamental de las propiedades de materiales porque todos los trminospuedenserevaluadosdirectamenteatravsdesencillosexperimentos delaboratorio.CadacolumnadelamatrizC representalasdeformaciones causadas por la aplicacin de un esfuerzo unitario. El incremento de temperatura T viene dado en referencia a la temperatura a esfuerzo cero. La matriz a indica las deformaciones causadas por un incremento unitario de temperatura. Comprado por: Alejandro Vasquez Arteaga alejandrovasqueza@gmail.comComprado por: Alejandro Vasquez Arteagadimensionalesfuerzo dimensionalesfuerzo--deformacinparadeformacinpara sujetostantoalosesfuerzosmecnicoscomoa sujetostantoalosesfuerzosmecnicoscomoade temperatura puede expresarse de manera matr de temperatura puede expresarse de manera matricial como icial comoComprado por: Alejandro Vasquez ArteagaComprado por: Alejandro Vasquez ArteagaComprado por: Alejandro Vasquez Arteaga 61 6152 521143 4322334424 245515 15 61 61 61 52 52 52 15 15 15E E E E E E E E E E E EE E E E E E E E E E E E111E E E E E E E E E E E E222E E E E E E E E E E E E333E E E E E E E E E E E E444E E E E E E E E E E E E555O en O en formaforma LosprincipiosbsicosdeenergarequierenquelamatrizCparamateriales lineales sea simtrica. Por lo tanto, ijijijE E = (1.5) Sin embargo, debido a errores de medicin o algn pequeo comportamiento no linealdelmaterial,nosesatisfaceestacondicindemaneraidnticaparala mayoradelosmateriales.Porende,esosvaloresexperimentalesnormalmente son promediados de manera que los valores simtricos puedan ser aprovechados en el anlisis.1.3USO DE LAS PROPIEDADES DE LOS MATERIALES EN PROGRAMAS DE COMPUTADORA Lamayoradelosprogramasmodernosdecomputadorasparaelanlisisde elementosfinitosexigenquelosesfuerzosseanexpresadosentrminosdelas deformaciones y cambios de temperatura.Por lo tanto, se requiere una ecuacin de la siguiente forma dentro del programa: 0f Ed f + = (1.6) dondeE=C-1.Porlotanto,losesfuerzostrmicosdecero-deformacinse definen como sigue: a E f0- T = (1.7) LainversinnumricadelamatrizC6x6paramaterialesanisotrpicos complejosserealizadentrodelprogramadecomputadora.Porlotanto,nose requiere calcular la matriz E en forma analtica segn se indica en muchos libros clsicos sobre la mecnica de slidos. Adems, los esfuerzos trmicos iniciales se evalannumricamentedentrodelprograma.Porconsiguiente,paralamayora delosmaterialesanisotrpicos,losdatosbsicosdigitadossernveintiuna constantes elsticas, ms seis coeficientes de dilatacin trmica. Adems de los esfuerzos trmicos, pueden existir esfuerzos iniciales para muchos tiposdiferentesdesistemasestructurales.Dichosesfuerzosinicialespuedenser el resultado de la fabricacin o el historial de la construccin de la estructura. De Comprado por: Alejandro Vasquez Arteaga alejandrovasqueza@gmail.comComprado por: Alejandro Vasquez Arteagaesosvaloresexperimentalesnormalmenteesosvaloresexperimentalesnormalmente son promediados de manera que los valores simtricos puedan ser aprovechadosson promediados de manera que los valores simtricos puedan ser aprovechados MMComprado por: Alejandro Vasquez ArteagaAAComprado por: Alejandro Vasquez ArteagaTTComprado por: Alejandro Vasquez ArteagaEEComprado por: Alejandro Vasquez ArteagaRRComprado por: Alejandro Vasquez ArteagaComprado por: Alejandro Vasquez Arteagayoradelosprogramasmodernos yoradelosprogramasmodernos decomputadoras decomputadoraselementosfinitosexigenquelosesfuerzosseanexpresadosentrminosdelaselementosfinitosexigenquelosesfuerzosseanexpresadosentrminosdelas deformaciones y cambios de temperatura.Por lo tanto, se requiere una ecuacindeformaciones y cambios de temperatura.Por lo tanto, se requiere una ecuacin de la siguiente forma dentro del programa: de la siguiente forma dentro del programa:.Porlotanto,losesfuerzos .Porlotanto,losesfuerzosdefinen como sigue:definen como sigue: a E f a E f a E f a E f a E f a E f a E f a E f a E f a E f a E f a E f a E f a E f a E f a E f a E f a E fComprado por: Alejandro Vasquez ArteagaLainversinnumricadel Lainversinnumricadelcomplejosser complejosserrequiere calcular la matrizrequiere calcular la matriz clsicos sobre la mecnica de slidos. clsicos sobre la mecnica de slidos.conocersedichosesfuerzosiniciales,stospueden seragregadosdirectamentea la Ecuacin (1.7). 1.4MATERIALES ORTOTRPICOS Eltipodematerialanisotrpicomscomnesaquelenelcuallosesfuerzos cortantes,actuandoen los tresplanosde referencia,noprovocandeformaciones normales.Paraestecasoespecial,elmaterialsedefinecomoortotrpico, pudindose expresarse la Ecuacin (1.3) como sigue: + =00010 0 0 0 0010 0 0 00 010 0 00 0 010 0 010 0 013212331213216543 2321313232 1213132121233121321 TGGGE E EE E EE E E(1.8) Paraelmaterialortotrpico,lamatrizc tienenueveconstantesdemateriales independientes,yexistentrescoeficientesdedilatacintrmicaindependientes. Estetipodepropiedadmaterialesmuycomn.Porejemplo,lasrocas,el concreto,lamaderaymuchosmaterialesreforzadosconfibraexhibenun comportamientoortotrpico.Sinembargo,sedebesealarquepruebasde laboratorio indican que la Ecuacin (1.8) constituye solamente una aproximacin al comportamiento real de los materiales. 1.5MATERIALES ISOTRPICOS Un material isotrpico posee propiedades iguales en todas direcciones, siendo la aproximacindemayorusoparapronosticarelcomportamientodemateriales elsticoslineales.Paramaterialesisotrpicos,laEcuacin(1.3)adoptala siguiente forma: Comprado por: Alejandro Vasquez Arteaga alejandrovasqueza@gmail.comComprado por: Alejandro Vasquez ArteagaComprado por: Alejandro Vasquez Arteaga0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0110 0 0 0 0 00 0 0 0 0 044GGParaelmaterialortotrpico,lamatrizParaelmaterialortotrpico,lamatriz independientes,yexistentrescoeficientesindependientes,yexistentrescoeficientes Estetipo Estetipo depropiedadmaterialesmuycomn.Porejemplo,lasrocas,eldepropiedadmaterialesmuycomn.Porejemplo,lasrocas,el concreto,lamaderaymuchosmaterialesrefo concreto,lamaderaymuchosmaterialesrefoComprado por: Alejandro Vasquez Arteagacomportamientoortotrpico.Sinembargo,sedebesealarquepruebasdecomportamientoortotrpico.Sinembargo,sedebesealarquepruebasde laboratorio indican que la Ecuacin (1.8) consti laboratorio indican que la Ecuacin (1.8) consti + =00011110 0 0 0 0010 0 0 00 010 0 00 0 010 0 010 0 01233121321233121321TGGGE E EE E EE E E (1.9) Parecequelamatrizdecorrelacinposeetresconstantesdelosmateriales independientes. Sepuededemostrar fcilmente que laaplicacin deun esfuerzo cortantepurodebeproducirdeformacionespurasdetensinydecompresin sobreelelementosistesegiraunos45grados.Usandoestarestriccin,se puede demostrar que: ) 1 ( 2 +=EG (1.10) Porlotanto,paramaterialesisotrpicos,setienenquedefinirsolamenteel mdulo de Young E y la relacin de Poisson . La mayora de los programas de computadorausanlaEcuacin(1.10)paracalcularelmdulodecortante,enel caso de que no sea especificado. 1.6DEFORMACIN EN EL PLANO EN MATERIALES ISOTRPICOS Enloscasosdonde 23 13 23 13 1y , , , , soncero,laestructuraseencuentraen unestadodedeformacinenelplano.Paraestecasosereducelamatrizaun arreglode3x3.Puedeconsiderarsequelasseccionestransversalesdemuchas presas,tnelesyslidosconunadimensincasiinfinitaalolargodeleje3,se encuentranenunestadodedeformacinenelplanoparacargaconstanteenel plano1-2.Paramaterialesisotrpicosydedeformacinenelplano,larelacin esfuerzo-deformacin es: Comprado por: Alejandro Vasquez Arteaga alejandrovasqueza@gmail.comComprado por: Alejandro Vasquez Arteaga00poseetresconstantesdelosposeetresconstantesdelos independientes. Sepuededemostrar fcilmente que laaplica independientes. Sepuededemostrar fcilmente que laaplicacortantepurodebeproducirdeformacionespurasdetensinydecompresincortantepurodebeproducirdeformacionespurasdetensinydecompresin stesegiraunos45grados.stesegiraunos45grados. Porlotanto,paramaterialesisotrpicos,setienenquedefinirsolamenteelPorlotanto,paramaterialesisotrpicos,setienenquedefinirsolamenteel mdulo de Youngmdulo de Young EE y lay la computadorausanlaEcuacin(1.10)paracalcularelmdulodecortante,enelcomputadorausanlaEcuacin(1.10)paracalcularelmdulodecortante,enel caso de que no sea especificado. caso de que no sea especificado.EEComprado por: Alejandro Vasquez ArteagaFFComprado por: Alejandro Vasquez ArteagaOOComprado por: Alejandro Vasquez ArteagaRRComprado por: Alejandro Vasquez ArteagaMMComprado por: Alejandro Vasquez ArteagaIIComprado por: Alejandro Vasquez ArteagaSSComprado por: Alejandro Vasquez ArteagaOOComprado por: Alejandro Vasquez ArteagaTTComprado por: Alejandro Vasquez ArteagaRRComprado por: Alejandro Vasquez ArteagaComprado por: Alejandro Vasquez ArteagaEnloscasosdonde Enloscasosdonde =01122 10 00 10 112211221E T E (1.11) donde ) 2 1 )( 1 ( +=EE (1.12) Para el caso de deformacin en el plano, el desplazamiento y la deformacin en la direccin 3 son cero. Sin embargo, por la Ecuacin (1.8) el esfuerzo normal en la direccin 3 es: T E + = ) (2 1 3 (1.13) Esimportantenotarqueamedidaquelarelacin dePoissonseacercaa0.5, algunostrminosenlarelacinesfuerzo-deformacintiendenalinfinito.Estas propiedadesrealesexistenparaunmaterialcasiincomprensibleconunmdulo de cortante relativamente bajo. 1.7ESFUERZO EN EL PLANO EN MATERIALES ISOTRPICOSSi 23 1 33y , , son cero, la estructura se encuentra en un estado de esfuerzo en elplano.Paraestecasolamatrizesfuerzo-deformacinsereduceaunarreglo 3x3.Elcomportamientocomomembranadelosasylasestructurasdemurode cortante puede considerarse en un estado de deformacin en el plano para carga constante en el plano 1-2. Para materiales isotrpicos y de esfuerzo en el plano, la relacin esfuerzo-deformacin es: =011210 00 10 112211221E T E (1.14) donde) 1 (2 =EE (1.15) Comprado por: Alejandro Vasquez Arteaga alejandrovasqueza@gmail.comComprado por: Alejandro Vasquez Arteaga, el desplazamiento y la deformacin en, el desplazamiento y la deformacin en direccin 3 son cero. Sin embargo, por la Ecuacin (1.8) el esfuerzo normal endireccin 3 son cero. Sin embargo, por la Ecuacin (1.8) el esfuerzo normal en EsimportantenotarqueamedidaquelaEsimportantenotarqueamedidaquelarelacin relacinalgunostrminosenlarelacinesfuerzo algunostrminosenlarelacinesfuerzo-de -deformacintiendenalinfinito.formacintiendenalinfinito. propiedadesrealesexistenparaunmaterialcasi propiedadesrealesexistenparaunmaterialcasiortante relativamente bajo. ortante relativamente bajo.PPComprado por: Alejandro Vasquez ArteagaLLComprado por: Alejandro Vasquez ArteagaAAComprado por: Alejandro Vasquez ArteagaNNComprado por: Alejandro Vasquez ArteagaOOComprado por: Alejandro Vasquez Arteagason cero, la estructura se encuentra e son cero, la estructura se encuentra eParaestecasolamatrizesfuerzo ParaestecasolamatrizesfuerzoElcomportamientocomomembranadelosasylasestructurasdemurodeElcomportamientocomomembranadelosasylasestructurasdemurode cortante puede considerarse en un estado de deformacincortante puede considerarse en un estado de deformacin Comprado por: Alejandro Vasquez Arteagaconstante en el plano 1 constante en el plano 1relacin esfuerzo relacin esfuerzo1.8PROPIEDADES DE MATERIALES PARECIDOS A FLUIDOS Muchos materiales isotrpicos diferentes, que tienen un mdulo de cortante muy bajoencomparacinconsumdulodevolumen,poseenuncomportamiento parecido al de un fluido. Muchas veces se refiere a estos materiales como slidos casiincompresibles.Laterminologaincompresibleesengaosa,puestoquela compresibilidad,o elmdulovolumtrico,dedichos materialesesnormalmente inferioraladeotrosslidos.Larelacinpresin-volumendeunslidoodeun fluido puede expresarse como sigue: = (1.16) dondeeselmdulodeexpansinvolumtricadelmaterial,quedebeser evaluadomediantepruebasdelaboratoriodepresin-volumen.Elcambiode volumen es equivalente a 1+2+3, y la presin hidrosttica indica esfuerzo constanteentodaslasdirecciones.DelaEcuacin(1.9)sepuedeexpresarel mdulovolumtricoentrminosdelmdulodeYoungylarelacindePoisson como sigue: ) 2 - 1E=( 3(1.17) Paralosfluidos,elmdulovolumtricoesunaconstanteindependiente,la relacindePoissones0.5,yelmdulodeYoungyelmdulodecortanteson cero.Paralosmaterialesisotrpicos,elmdulovolumtricoyelmdulode cortante se conocen como constantes elsticas de Lame, y deben ser considerados como propiedades fundamentales de los materiales tanto para slidos como para fluidos.DelaEcuacin(1.10),larelacindePoissonyelmdulodeYoung pueden ser calculados en base a lo siguiente: 2 6

G+G2 3=y G = E ) 1 ( 2 + (1.18a y 1.18b) Sielmdulodecortantesevuelvepequeoencomparacinconelmdulo volumtrico,entonces5 . 0 y G E 3 .LaTabla1.1resumelaspropiedades materiales aproximadas de varios materiales comunes. Comprado por: Alejandro Vasquez Arteaga alejandrovasqueza@gmail.comComprado por: Alejandro Vasquez Arteagadelmateri delmaterievaluadomediantepruebasdelaboratoriodepresin evaluadomediantepruebasdelaboratoriodepresin--volumen.Elcambiodevolumen.Elcambiode y la presin hidrostticay la presin hidrosttica laEcuacin(1.9)sepuedeexpresarellaEcuacin(1.9)sepuedeexpresarel entrminosdelmdulodeYoungylaentrminosdelmdulodeYoungyla Paralosfluidos,elmduloParalosfluidos,elmdulo dePoissones0.5,yelmdulodeYoungyelm dePoissones0.5,yelmdulodeYoungyelmParalosmaterial Paralosmaterialesisotrpicos,elmdulovolumtricoyelmdulode esisotrpicos,elmdulovolumtricoyelmdulodecortante se conocen como constantes elsticas de Lame, y deben ser consideradoscortante se conocen como constantes elsticas de Lame, y deben ser considerados como propiedades fundamentales como propiedades fundamentalesfluidos.fluidos.De DeComprado por: Alejandro Vasquez Arteagalala pueden ser calculados en base a lo siguiente: pueden ser calculados en base a lo siguiente:Tabla 1.1 Propiedades Mecnicas Aproximadas de Materiales Tpicos Material E Mdulo de Young ksi Relacin de Poisson G Mdulo de Cortante ksi Mdulo Volumtrico ksi Dilatacin Trmica -610 wPeso especfico lb/in3Acero29,0000.3011,15416,7306.50.283 Aluminio10,0000.333,7507,30013.00.100 Concreto4,0000.201,6671,1006.00.087 Mercurio00.5003,300-0.540 Agua00.500300-0.036 Agua*0.90.49950.3300-0.036 * Estas son propiedades aproximadas que pueden ser utilizadas para modelar el agua como un material slido. Es aparente que la principal diferencia entre lquidos y slidos es que los lquidos poseenunmdulodecortantemuypequeoencomparacinconelmdulo volumtrico, y que los lquidos no son incompresibles. 1.9VELOCIDADES DE ONDA DE CORTANTE Y COMPRESIN La medicin de las velocidades de onda de compresin y de corte de materiales, que utilizan experimentos de laboratorio o campo constituye otro mtodo sencillo queseutilizafrecuentementeparadefinirlaspropiedadesdelosmateriales.La velocidad de la onda compresiva, Vc, y la velocidad de onda de corte, Vs vienen dadas por: G2 += Vc(1.19) G= Vs (1.20) donde esladensidaddelmaterial.Porlotanto,esposiblecalculartodaslas demspropiedadeselsticasdelosmaterialesisotrpicosapartirdeestas ecuaciones. Est claro que las ondas de corte no pueden propagarse en los fluidos porque el mdulo de cortante es cero. Comprado por: Alejandro Vasquez Arteaga alejandrovasqueza@gmail.comComprado por: Alejandro Vasquez Arteaga-- Comprado por: Alejandro Vasquez ArteagaComprado por: Alejandro Vasquez Arteaga300 300Comprado por: Alejandro Vasquez ArteagaComprado por: Alejandro Vasquez ArteagaComprado por: Alejandro Vasquez ArteagaComprado por: Alejandro Vasquez Arteaga300 300Comprado por: Alejandro Vasquez ArteagaComprado por: Alejandro Vasquez ArteagaComprado por: Alejandro Vasquez ArteagaComprado por: Alejandro Vasquez ArteagaComprado por: Alejandro Vasquez ArteagaComprado por: Alejandro Vasquez Arteaga* Estas son propiedades aproximadas que pueden ser utilizadas para modelar* Estas son propiedades aproximadas que pueden ser utilizadas para modelar Es aparente que la principal diferencia entre lquidos y slidos es que los lquidosEs aparente que la principal diferencia entre lquidos y slidos es que los lquidos poseenunmdulodecortantemuypequeoencomp poseenunmdulodecortantemuypequeoencompooComprado por: Alejandro Vasquez ArteagassComprado por: Alejandro Vasquez ArteagaooComprado por: Alejandro Vasquez ArteagannComprado por: Alejandro Vasquez ArteagaiiComprado por: Alejandro Vasquez ArteagannComprado por: Alejandro Vasquez ArteagaOOComprado por: Alejandro Vasquez ArteagaNNComprado por: Alejandro Vasquez ArteagaDDComprado por: Alejandro Vasquez ArteagaAAComprado por: Alejandro Vasquez ArteagaDDComprado por: Alejandro Vasquez ArteagaComprado por: Alejandro Vasquez ArteagaLa medicin de las velocidades de onda de compresin y de corte de material La medicin de las velocidades de onda de compresin y de corte de materialque utilizan experimentos de laboratorio o campo constituye otro mtodo sencilloque utilizan experimentos de laboratorio o campo constituye otro mtodo sencillo queseutilizafrecuentementeparadefinirlaspropiedadesdequeseutilizafrecuentementeparadefinirlaspropiedadesde velocidad de la onda compresiva,velocidad de la onda compresiva, dadas por dadas por:: == VVccVVV Ref: 001 Ref: 0011.10PROPIEDADES MATERIALES AXISIMTRICAS Muchas clases comunes de estructuras, tales como tuberas, recipientes a presin, tanquesparaalmacenarlquidos,cohetes,yotrasestructurasespaciales,estn incluidasenlacategoradeestructurasaxisimtricas.Ungrannnerode estructurasaxisimtricasposeenmaterialesanisotrpicos.Paraelcasodelos slidosaxisimtricosquequedan sujetosacargasno-axisimtricas, lamatrizde correlacin,segnsedefineenlaEcuacin(1.3),puedeexpresarseentrminos del sistema de referencia y, z rcomo la Ecuacin (1.21). Se puede obtener la solucindeestecasoespecialdeunslidotridimensionalexpresandolos desplazamientos y cargas del punto nodal por una serie de funciones armnicas. Luegoseexpresalasolucincomolasumadelosresultadosdeunaseriede problemas axisimtricos bidimensionales [3]. + =0010 0 0 010 0 0 00 010 010 010 016 56565654 3432421414343 2321314243232 1214143132121rzzrzrrzzrzrrzzrTE EE EE E E EE E E EE E E EE E E E (1.21) 1.11RELACIONES DE FUERZA-DEFORMACIN Lasecuacionesesfuerzo-deformacinquesepresentanenlassecciones anterioresconstituyenlasleyesconstitutivasfundamentalesdelosmateriales lineales.Sinembargo,paraelementosunidimensionalesenlaingeniera estructural,muchasvecesreformulamosdichasecuacionesentrminosde esfuerzosydeformaciones.Porejemplo,paraunelementounidimensional axialmentecargadodelongitudLyreaA ,ladeformacinaxialtotal yel esfuerzoaxialPson=LyP=A.Yaque=E,larelacinesfuerzo-deformacin es: Comprado por: Alejandro Vasquez Arteaga alejandrovasqueza@gmail.comComprado por: Alejandro Vasquez Arteagacomo la Ecuacin (1.21). Se puede obtener lacomo la Ecuacin (1.21). Se puede obtener la dimensionalexpresandolosdimensionalexpresandolos serie de funciones armnicas.serie de funciones armnicas. Luegoseexpresalasolucincomolasumadelosresulta Luegoseexpresalasolucincomolasumadelosresultadosdeunaseriededosdeunaseriede Comprado por: Alejandro Vasquez ArteagaComprado por: Alejandro Vasquez Arteaga 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 00 0 0 00 0 0 03343 4334 3444E E E E E E E E333E E E E E E E EE E E E E E E E444RRComprado por: Alejandro Vasquez ArteagaEEComprado por: Alejandro Vasquez ArteagaLLComprado por: Alejandro Vasquez ArteagaAAComprado por: Alejandro Vasquez ArteagaCCComprado por: Alejandro Vasquez ArteagaComprado por: Alejandro Vasquez ArteagaLasecuacionesesfuerzo Lasecuacionesesfuerzo =ak P (1.22) donde LAEka =ysedefinecomolarigidezaxialdelelemento.Tambin,se puede expresar la Ecuacin (1.22) en la siguiente forma: P fa= (1.23) donde AELfa =ysedefinecomolaflexibilidadaxialdelelemento.Es importante notar que los trminos de rigidez y flexibilidad no son una funcin de lacarga,sinoquedependensolamentedelaspropiedadesdelosmaterialesy geomtricas del elemento. Paraunelementounidimensionaldeseccintransversalconstante,lafuerza torsionalTentrminosdelarotacinrelativaentrelosextremosdel elemento viene dada por: Tk T =(1.24) donde LJGkT =yJ es el momento torsional de inercia. Asimismo, el inverso de la rigidez torsional es la flexibilidad torsional. En el casode flexinpura deunavigaconunextremofijo, la integracindela distribucindelesfuerzotorsionalsobrelaseccintransversalproduceun momentoM . La distribucin del deformacin lineal produce una rotacin en el extremo de la viga de . Para esta viga de longitud finita, la relacin momento-rotacin es: bk M = (1.25) dondelarigidezdeflexin LEIkb = .Paraunaseccintransversaltpicadela viga de longitud dx, la relacin momento-curvatura en el punto x es: ) ( ) ( x EI x M = (1.26) Estas relaciones fuerza-deformacin se consideran fundamentales en los campos tradicionales del anlisis y el diseo estructurales. Comprado por: Alejandro Vasquez Arteaga alejandrovasqueza@gmail.comComprado por: Alejandro Vasquez Arteagaimportante notar que los trminos de rigidez y flexibilidad no son una funcin deimportante notar que los trminos de rigidez y flexibilidad no son una funcin de laspropiedades laspropiedades delosdelos transversalconstante,laf transversalconstante,lafentrminosdelarotacinrelativaentrminosdelarotacinrelativa es el momento to es el momento torsiona rsionaes la flexibilidad torsional. es la flexibilidad torsional.flexinpura deunavigaconunextremofijo, la integracindelaflexinpura deunavigaconunextremofijo, la integracindela distribucindelesfuerzotorsionalsobrelaseccintransversalproduceundistribucindelesfuerzotorsionalsobrelaseccintransversalproduceun . La distribucin del deformacin lineal produce una rotacin en. La distribucin del deformacin lineal produce una rotacin en de la viga dede la viga de rotacin es: rotacin es:k M k M k M k M k Mdondelarigid dondelarigid1.12RESUMENLaspropiedadesdelosmaterialesdebenserdeterminadasatravsde experimentos.Exmenescuidadososdelaspropiedadesdelamayoradelos materialesestructuralesindicanquenosonisotrpicosnihomogneos.Sin embargo,constituyeunaprcticacomnelusodelaaproximacinisotrpica paralamayoradelosanlisis.Sinembargo,enelfuturodelaingeniera estructural,elusodelosmaterialesanisotrpicoscompuestosaumentarde manerasignificativa.Laresponsabilidaddelingenieroesevaluarloserrores asociadoscondichasaproximacionesllevandoacabovariosanlisisutilizando diferentes propiedades de los materiales. Sedeberecordarqueelresultadoobtenidodeunmodelocomputarizado constituyeunestimadodelcomportamientodelaestructurareal.El comportamientodelaestructuraestregidoporlasleyesfundamentalesdela fsica,ynoselerequierecumplirconningncdigodeconstruccinoconel manual de usuario de un programa de computadora. 1.13REFERENCIAS 1. Popov,E.P.1990.EngineeringMechanicsofSolids.Prentice-Hall, Inc. ISBN 0-13-279258-3. 2. Boresi,A.P.1985.AdvancedMechanicsofMaterials.John Wiley& Sons. ISBN 0-471-88392-1. 3.Wilson,E.L.1965.StructuralAnalysisofAxisymmetricSolids. AIAA Journal. Vol. 3, pp.2269-2274. Comprado por: Alejandro Vasquez Arteaga alejandrovasqueza@gmail.comComprado por: Alejandro Vasquez ArteagaLaresponsabilidaddelingenieroesevaluarloserroresLaresponsabilidaddelingenieroesevaluarloserrores asociadoscondichasaproximacionesllevandoacabovariosanlisisutilizandoasociadoscondichasaproximacionesllevandoacabovariosanlisisutilizando Sedeberecordarqueelresultadoobtenidodeunmodeloc Sedeberecordarqueelresultadoobtenidodeunmodelocconstituyeunestimadodelcomportamientodelaestructurareal.Elconstituyeunestimadodelcomportamientodelaestructurareal.El regido regido porlasleyesfundamentalesdelaporlasleyesfundamentalesdela fsica,ynoselerequierecumplirconningncdigodeconstruccinoconelfsica,ynoselerequierecumplirconningncdigodeconstruccinoconel manual de usuario de un programa de computadora.manual de usuario de un programa de computadora. Popov,E.P.1990.Popov,E.P.1990.EngineeringMechanicsofSolids EngineeringMechanicsofSolids-13-279258-3.-13-279258-3. Boresi,A.P.1985.Boresi,A.P.1985.AdvancedMechanicsofMaterials AdvancedMechanicsofMaterialsSons. ISBN 0-471-88392-1.Sons. ISBN 0-471-88392-1. Wilson,E.L.1965.Structur Wilson,E.L.1965.StructurAIAA Journal AIAA Journal2.EQUILIBRIO Y COMPATIBILIDAD ElEquilibr io es EsencialLa Compatibilidad es Opcional 2.1INTRODUCCIN Lasecuacionesdeequilibrioestablecenquelascargasaplicadasexternamente seanigualesalasumadelasfuerzasinternasdeloselementosentodaslas unionesonodosdeunsistemaestructural;dichasecuacionessonlasms fundamentalesenelanlisisydiseoestructurales.Lasolucinexactadeun problemademecnicadeslidosrequierequesesatisfaganlasecuaciones diferenciales de equilibrio para todos los elementos infinitesimales dentro de los slidos.Elequilibrioesunaleyfundamentaldelafsica,quenopuedeser violadaenunsistemaestructuralreal..Porlotantoesimprescindiblequeel modelo matemtico que se vaya a utilizar para simular el comportamiento de una estructura real, tambin satisfaga dichas ecuaciones bsicas de equilibrio. Esimportantenotarquedentrodeunelementofinito,queestbasadoenuna formulacin formal de desplazamiento, las ecuaciones diferenciales de esfuerzo-equilibriosonsiempresatisfechas.Sinembargo,lasecuacionesdefuerza-equilibrio entre elementos son satisfechas de manera idntica en todos los puntos nodales(uniones).Elusuariodelprogramadecomputadoraquenocomprenda lasaproximacionesusadasparadesarrollarunelementofinitopuedeobtener resultados que constituyan unerrorsignificativosila mallade los elementosno es lo suficientemente fina en reas de concentracin de esfuerzo [1]. Se deben satisfacer los requisitos de compatibilidad. Sin embargo, si se tiene que escogerentrecumplirconelequilibriooconlacompatibilidad,sedebeusarla solucinbasadaenelequilibrio.Paraestructurasrealesno-lineales,siemprese satisfaceelequilibrioenlaposicindeformada.Muchasestructurasrealesno satisfacenlacompatibilidadcausadaporlaretraccinplstica,el Comprado por: Alejandro Vasquez Arteaga alejandrovasqueza@gmail.comComprado por: Alejandro Vasquez ArteagaLa Compatibilidad es Opcional La Compatibilidad es Opcionalestablecenquelascargasaplicadasexternamenteestablecenquelascargasaplicadasexternamente internasinternasdeloselementosentodaslas deloselementosentodaslasunsistemaestructural;dichasunsistemaestructural;dichas fundamentalesenelanlisisydiseoestructural fundamentalesenelanlisisydiseoestructuralicadeslidosrequierequeseicadeslidosrequierequese ra todos los elementos infinitesimales dentro de losra todos los elementos infinitesimales dentro de los unaleyfundamentaldelafsica,quenopuedeserunaleyfundamentaldelafsica,quenopuedeser unsistemaestructuralreal. unsistemaestructuralreal.que se vaya a utilizar para que se vaya a utilizar paraestructura real, tambin satisfaga dichas ecuaciones bsicas de equilibrio. estructura real, tambin satisfaga dichas ecuaciones bsicas de equilibrio.Esimportantenotarquedentrodeunelementofinito,queestbasadoenunaEsimportantenotarquedentrodeunelementofinito,queestbasadoenuna formulacinformulacin formalformal equilibriosonsiempresatisfechas.Sinembargo,equilibriosonsiempresatisfechas.Sinembargo, Comprado por: Alejandro Vasquez Arteagaequilibrio equilibrio entre elementos entre elementosnodales(uniones).Elusuariodelprogramadecomputadoraquenocomprendanodales(uniones).Elusuariodelprogramadecomputadoraquenocomprenda lasaproximacio lasaproximacioresultados que constituyan unerrorsignificativosilaresultados que constituyan unerrorsignificativosila desprendimientodelasuniones,laconstruccinporincrementosyla deformacin direccional. 2.2ECUACIONES FUNDAMENTALES DE EQUILIBRIO Elequilibriotridimensionaldeunelementoinfinitesimal,quesepresentaenla Figura 1.1, se expresa con las siguientes ecuaciones de equilibrio [2]: 0 = + +x+x131321211 x 0 = +x+x+x232322121 (2.1) 0 = +x+x+x333232131 Lafuerzadelcuerpo,iseexpresaporunidaddevolumenenladireccini, representandofuerzasdegravedadogradientesdepresindeporo.Yaque ji ij = ,elelementoinfinitesimalseencuentraautomticamenteenequilibrio rotacional. Por supuesto, para que esta ecuacin sea vlida para desplazamientos significativos, se debe satisfacer en la posicin deformada, y todos los esfuerzos deben ser definidos como fuerzas por unidad de rea deformada. 2.3RESULTANTES DE ESFUERZO FUERZAS Y MOMENTOS Enelanlisisestructuralesunaprcticaestndarexpresarlasecuacionesde equilibrioentrminosdelasresultantesdeesfuerzoenvezdeentrminosde esfuerzos.Lasresultantesdelesfuerzodefuerzasecalculanmediantela integracindeesfuerzosnormalesoesfuerzoscortantesqueactansobreuna superficie. Las resultantes del esfuerzo de momento equivalen a la integracin de los esfuerzos sobre una superficie multiplicadas por su distancia a un eje.Unacargaconcentrada,quesearesultantedeesfuerzo,espordefinicinun esfuerzoinfinitomultiplicadoporunareainfinitesimal,siendofsicamente imposibleentodaestructurareal.Tambin,unmomentoconcentradoesuna definicin matemtica; no posee un campo nico de esfuerzo como interpretacin fsica. Claramente el uso de fuerzas y momentos es fundamental en el anlisis y eldiseodeestructuras.Sinembargo,unaclaracomprensindesuusoenel Comprado por: Alejandro Vasquez Arteaga alejandrovasqueza@gmail.comComprado por: Alejandro Vasquez Arteagaseexpresaporunidaddevolumenenladireccini,seexpresaporunidaddevolumenenladireccini, representandofuerzasdegravedadogradie representandofuerzasdegravedadogradientesdepresindeporo.ntesdepresindeporo. ,elelementoinfinitesimalseencuentraautomticamenteenequilibrio,elelementoinfinitesimalseencuentraautomticamenteenequilibrio para que esta ecuacin sea vl para que esta ecuacin sea vlsatisfacer en la posicin de satisfacer en la posicin dedeben ser definidos como fuerza deben ser definidos como fuerzass por unidad de rea deformada. por unidad de rea deformada.DDEEComprado por: Alejandro Vasquez ArteagaEEComprado por: Alejandro Vasquez ArteagaSSComprado por: Alejandro Vasquez ArteagaFFComprado por: Alejandro Vasquez ArteagaComprado por: Alejandro Vasquez ArteagaEnelanlisisestructuralesunaprcticaestndarexpresarlasecuacionesdeEnelanlisisestructuralesunaprcticaestndarexpresarlasecuacionesde equilibrioentrminosdelasresultantesdeesfuerzoenv equilibrioentrminosdelasresultantesdeesfuerzoenvLasresultantesdelesfuerzodefuerzasecalculanmedia Lasresultantesdelesfuerzodefuerzasecalculanmediaintegracindeesfuerzos integracindeesfuerzossuperficie. superficie. Las resultantes del esfuerzo de momentoLas resultantes del esfuerzo de momento anlisisdeunelementofinitoesabsolutamentenecesariaparaquesepuedan evaluar fsicamente los resultados del esfuerzo. Paraunelementoounindetamaofinito,unasubestructura,ounsistema estructuralcompleto,sedebensatisfacerlassiguientesseisecuacionesde equilibrio: 0 =F 0 =F0 =F z y x 0 =M 0 =M0 =M z y x (2.2) Paraestructurasbidimensionales,solamentetresdeestasecuacionesdebenser satisfechas. 2.4REQUISITOS DE COMPATIBILIDAD Paralosslidoscontinuos,hemosdefinidolasdeformacionescomo desplazamientosporunidaddelongitud.Paracalcularlosdesplazamientos absolutosenunpuntodeterminado,debemosintegrarlasdeformacionescon respecto aunacondicin de borde fija.Dicha integracinpodr serconducida a travs de muchas vas o trayectorias diferentes. Una solucin es compatible si el desplazamientoentodoslospuntosnoesunafuncindelatrayectoria.Porlo tanto, una solucin compatible con el desplazamiento implica la existencia de un campo nico de desplazamiento definido. Enelanlisisdeunsistemaestructuraldeelementosdiscretos,todoslos elementosconectadosaunauninopuntonodaldebentenerelmismo desplazamientoabsoluto.Siseconocenlosdesplazamientosnodales,todaslas deformacionesdelelementopuedensercalculadosenbasealasecuaciones bsicasdelageometra.Enunanlisisdeelementofinitobasadoenel desplazamiento,sesatisfacelacompatibilidaddedesplazamientonodal.Sin embargo,noesnecesarioquelosdesplazamientosalolargodeloslateralesde los elementos sean compatibles si el elemento pasa la prueba de grupo. Unelementofinitopasalapruebadegruposiunconjuntodeelementosde formaarbitrariasesujetaadesplazamientosnodalesasociadoscon deformacionesconstantes,yelresultadodeunanlisisdeelementofinitodel grupo de elementos arroja una deformacin constante. En el caso de elementos de flexin de una losa, la aplicacin de un patrn de desplazamiento de curvatura Comprado por: Alejandro Vasquez Arteaga alejandrovasqueza@gmail.comComprado por: Alejandro Vasquez Arteagaestasecuacionesdebenestasecuacionesdeben Paralosslidoscontinuos,hemosdefinidolasdeformacionescomoParalosslidoscontinuos,hemosdefinidolasdeformacionescomo ientosporunidaddelongitud.ientosporunidaddelongitud.ParacalcularlosdesplazamientosParacalcularlosdesplazamientos absolutosenunpuntodeterminado,debemosint absolutosenunpuntodeterminado,debemosintbordeborde fij fijaas de muchas vas o trayectorias diferentes. s de muchas vas o trayectorias diferentes.desplazamientoentodoslospuntosnoesunafuncindelatrayect desplazamientoentodoslospuntosnoesunafuncindelatrayecttanto, una solucin compatible con el desplazamiento implica la existencia de untanto, una solucin compatible con el desplazamiento implica la existencia de un campo nico de desplazamiento definido.campo nico de desplazamiento definido. Enelanlisisdeunsistemaestructuraldeelementosdiscretos,todoslosEnelanlisisdeunsistemaestructuraldeelementosdiscretos,todoslos elementosconectadosaunauninopuntonodalelementosconectadosaunauninopuntonodal Comprado por: Alejandro Vasquez Arteagadesplazamientoabsoluto.desplazamientoabsoluto. deformacionesdelelementopuedensercalculadosenbasealasecuacionesdeformacionesdelelementopuedensercalculadosenbasealasecuaciones bsicasdelageometra.bsicasdelageometra. desplazamie desplazamieconstante en los nodos debe producir una curvatura constante dentro de un grupo de elementos. Si un elemento no pasa la prueba de grupo, podra no converger a la solucin exacta. Tambin en el caso de una malla burda, los elementos que no pasan la prueba de grupo podran producir resultados con errores de importancia. 2.5ECUACIONES DE DESPLAZAMIENTO DE DEFORMACIN Siloscamposdepequeosdesplazamientos 1 2, u u y3u sonespecificados, asumidosocalculados,lasdeformacionesconsistentespuedensercalculadas directamente en base a las siguientes ecuaciones bien conocidas de deformacin-desplazamiento [2]: 111xu= (2.3a) 222xu= (2.3b) 333xu= (2.3c) 122112xuxu+= (2.3d) 133113xuxu+= (2.3e) 233223xuxu+= (2.3f) 2.6DEFINICIN DE ROTACIN Dentrodeunaestructurareal,noexisteunarotacinnicaenunpunto determinado. La rotacin de una lnea horizontal puede ser diferente a la rotacin deuna lneavertical.Sinembargo,enmuchoslibros tericossobrelamecnica continua,seusanlassiguientesecuacionesmatemticasparadefinirlarotacin de los tres ejes: Comprado por: Alejandro Vasquez Arteaga alejandrovasqueza@gmail.comComprado por: Alejandro Vasquez Arteagaasumidosocalculados,lasdeformacionesconsistentespuedensercalculadasasumidosocalculados,lasdeformacionesconsistentespuedensercalculadas directamente en base a las siguientes ecuaciones bien conocidas de deformacin directamente en base a las siguientes ecuaciones bien conocidas de deformacin (2.3d)(2.3d) Comprado por: Alejandro Vasquez Arteaga11xx111xxx(2.3e)(2.3e) Comprado por: Alejandro Vasquez ArteagaComprado por: Alejandro Vasquez Arteaga3322uuxxuu ++xxx1221321xuxu(2.4a) 3113221xuxu (2.4b) 2332121xuxu(2.4c) Esdeintersnotarqueestadefinicindelarotacineselpromediodela rotacin dedoslneasnormales. Esimportante reconocerqueestasdefiniciones nosonlasmismasqueseempleanenlateoradevigascuandoseincluyen deformacionescortantes.Cuandolasseccionesdevigasestnconectadas,la rotacin absoluta de las secciones terminales deben ser iguales.2.7ECUACIONES EN LA FRONTERA ENTRE MATERIALES Claramentesepuedecomprenderlosrequisitosfundamentalesdeequilibrioy compatibilidad al examinar los esfuerzos y las deformaciones en la interfaz entre dosmateriales.EnlaFigura2.1semuestraunainterfaztpicaparaunmedio continuobidimensional.Pordefinicin,losdesplazamientosenel desplazamiento son iguales. Esto es, us(s,n)=s(s,n) y un(s,n)=ns,us(s,n)n,un(s,n)G E,G E,(s,n). Figura 2.1Propiedades Materiales de la InterfazElequilibrionormalenlainterfazrequierequelosesfuerzosnormalessean iguales. As: Comprado por: Alejandro Vasquez Arteaga alejandrovasqueza@gmail.comnotarqueestadefinicindelarotacineselpromediodelanotarqueestadefinicindelarotacineselpromediodela rotacin dedoslneasnormales. Esimportante reconocerqueestasdefinicionesrotacin dedoslneasnormales. Esimportante reconocerqueestasdefiniciones enlateoradevigascuandoseincluyenenlateoradevigascuandoseincluyen Cuandolasseccionesdevigasestnconectadas,laCuandolasseccionesdevigasestnconectadas,la rotacin absoluta de las secciones terminales deben ser iguales.rotacin absoluta de las secciones terminales deben ser iguales. EEComprado por: Alejandro Vasquez ArteagaRRComprado por: Alejandro Vasquez ArteagaAAComprado por: Alejandro Vasquez ArteagaEEComprado por: Alejandro Vasquez ArteagaNNComprado por: Alejandro Vasquez ArteagaComprado por: Alejandro Vasquez Arteagaentesepuedecomprenderlosrequisitosfundamentalesdeequilibrioyentesepuedecomprenderlosrequisitosfundamentalesdeequilibrioy lidad al examinar los esfuerzos lidad al examinar los esfuerzosEnlaFigura2.1semuestraun EnlaFigura2.1semuestrauncontinuobidimensional.continuobidimensional.Po Podesplazamiento son iguales. Esto es desplazamiento son iguales. Esto esComprado por: Alejandro Vasquez ArteagaComprado por: Alejandro Vasquez ArteagaComprado por: Alejandro Vasquez Arteagan,un(s,n)n n = (2.5a) De igual manera, los esfuerzos cortantes en la interfaz son iguales. Esto es: ns ns = (2.5b) Debidoaquelosdesplazamientos s su u ydebenserigualesycontinuosenla superficie, se tiene: s s = (2.5c) Yaquelaspropiedadesdelosmaterialesquerelacionanelesfuerzoconla deformacin no son iguales para los dos materiales, se puede concluir que: s s (2.5d) n n (2.5e) ns ns (2.5f) Paraunainterfaztridimensionaldelmaterialdeunasuperficies-t,esaparente que las siguientes 12 ecuaciones de equilibrio y compatibilidad existen: n n =n n (2.6a) s s s s =(2.6b) t t t t = (2.6c) ns ns =ns ns (2.6d) nt nt =nt nt (2.6e) st st st st = (2.6f) Estas 12 ecuaciones no pueden ser derivadas porque son leyes fundamentales de la fsica del equilibrio y la compatibilidad. Es importante notar que si un esfuerzo escontinuo,ladeformacincorrespondiente,derivadeldesplazamiento