Anlisis Anlisis FrecuencialFrecuencial de de Seales en Tiempo ContinuoSeales en Tiempo Continuo

Teora de Sistemas y SealesTeora de Sistemas y Seales

Transparencias:

Autor: Dr. Juan Carlos Gmez

TeSyS 2

Serie de Serie de FourierFourier de Seales Peridicas en TCde Seales Peridicas en TC

Si x(t) es peridica y satisface las condiciones de condiciones de DirichletDirichlet: x(t) tiene un nmero finito de discontinuidades en un perodo. x(t) contiene un nmero finito de mximos y mnimos en un

perodo. x(t) es absolutamente integrable en un perodo

TeSyS 3

Entonces x(t) puede ser representada por la serie de serie de FourierFourier

(1)

La serie converge a x(t) para todo t, excepto para los valores de t para los cuales x(t) es discontinua, en cuyo caso converge al valor medio de la discontinuidad.ck : coeficientes de Fourier.

=

=k

tkFjk e cx(t) 0

2

TeSyS 4

(2)

En general, los coeficientes ck son complejos. Si la seal peridica es a valores reales, entonces:

ck = c-k*donde (.)* indica complejo conjugado. Escribiendo:

ck = ck e j kresulta

c-k = ck e - j k

=PT

tkFj

Pk dt x(t) eT

c 021

TeSyS 5

(3)

Donde c0 .Otra expresin de la serie de Fourier es

(4)

Con a0 = c0ak = 2 ck cos kbk = 2 ck sin k

=

++=1

00 2cos2k

kk )tkF( ccx(t)

( )=

+=1

000 2sin2cosk

kk tkF btkF aax(t)

TeSyS 6

Espectro de Densidad de Potencia de Espectro de Densidad de Potencia de Seales PeridicasSeales Peridicas

Una seal peridica tiene energa infinita y potencia media finita:

Usando (1)

=PTP

x dtx(t) TP 21

=PTP

) dt x(t) x*(tT1

=

=PT

tkFj

kk

P

dt* ec x(t) T

021

=

=

k T

tkFj

Pk

P

dtx(t) eT

*c 021

ck

TeSyS 7

Hemos establecido la relacin:

(5)

Que es la llamada igualdad de Parseval. Si graficamos ck2como funcin de las frecuencias kF0, con k = 0, 1, 2, ... , el diagrama obtenido muestra como la potencia de la seal peridica est distribuida entre las diferentes componentes armnicas.

=

=k

kc2

=

==k

kTP

x c dtx(t) TP

P

22 1

TeSyS 8

El diagrama se denomina Espectro de densidad de Potencia de la seal peridica x(t).

Frecuencia F

......

ck2

-4F0 -3F0 -2F0 -F0 0 F0 2F0 3F0 4F0

TeSyS 9

Como la potencia de una seal peridica existe slo para valores discretos de frecuencias F = 0, F0, 2 F0, ...se dice que la seal tiene un espectro de lneas.Tambin se puede graficar

ck vs. F Espectro de magnitudEspectro de magnitudk vs. F Espectro de faseEspectro de fase

TeSyS 10

Si la seal peridica es real, entoncesc-k = ck* ck2 =c-k2

Y el espectro es simtrico respecto al eje de ordenadas, es decir, es representado por una funcin par. El espectro de amplitud es tambin una funcin par y el de fase una funcin impar.La potencia media total resulta

=

+=1

220 2

kkx ccP

( )=

++=1

2220 2

1k

kk baa

TeSyS 11

EjemploEjemplo

Tren de pulsos rectangulares

x(t) es peridica con perodo TPPara k = 0:

PP

T

TP TAdtA

Tdttx

Tc

P

P

===

2/

2/

2/

2/0

1 )(1

x(t)

t /2- /2 TP

TeSyS 12

Para k 0 tenemos

=2

2

2 01/

/

tkFj

Pk dtA eT

c

0

022/

2/2 kFj

eTA tkFj

P

=

2

00

0 jee

kTFA kFjkFj

P

=

TeSyS 13

x(t): funcin par ck reales

El espectro de densidad de potencia es:

, ..., k kFkF

TA

P

21sin

0

0 ==

=

=

, ..., kkF

kFTA

kTA

c

P

Pk

21 sin

0

2

0

0

2

2

2

TeSyS 14

Transformada de Transformada de FourierFourier de Seales de Seales AperidicasAperidicas en TCen TC

xp(t)

x(t)

TP-TP TP/2-TP/2

-TP/2 TP/2

0 t

t

......

x(t) = lim xP(t)TP

seal aperidica

seal periodizada

TeSyS 15

xP(t) x(t)

Espectro de lneas Espectro continuo

Seal de Potencia Seal de Energa

Tenemos

Pk

tkFjkP T

F ec(t)x 1, 02 0 ==

=

TeSyS 16

donde:

Luego, como xP(t) = x(t) para -TP/2 t TP/2 , entonces:

Adems, como x(t) = 0 para |t| > TP/2 , entonces podemos escribir:

=2

2

2 0)(1/T

/T

tkFjP

Pk

P

P

dt etxT

c

=2

2

2 0)(1/T

/T

tkFj

Pk

P

P

dt etxT

c

TeSyS 17

(6)

Definamos ahora una funcin X(F), llamada Transformada Transformada de de FourierFourier de x(t), como

(7)

Vemos que X(F) es funcin de la variable continua F y no depende de TP o F0.

= dt etxT

c tkFjP

k02)(1

= dt etxFX Ftj 2)()(

TeSyS 18

De (6) y (7) vemos que

Es decir que los coeficientes de Fourier son muestras de X(F) tomadas en mltiplos de F0 y escaladas tambin por F0.Resulta entonces:

( )

==

PkP T

kXFkXcT 0 (8)

tkFj

k PPP eT

kXT

tx 02 1)( =

=

TeSyS 19

Definiendo resulta:

En el lmite cuando TP xP(t) x(t)F dF

y

01 F

TF

P

==

( ) FeFkXtx Ftkjk

P =

= )( 2

[ ] Fk

=

[ ]dF

TeSyS 20

Es decir:lim xP(t) = x(t) = lim

con lo cual

(9)

Que es la llamada Transformada Inversa de Transformada Inversa de FourierFourier..

TP F0FeFkX Ftkj

k

= ) ( 2

dFeFXtx Ftj )()( 2

=

TeSyS 21

Definiendo = 2F dF = d/2 , y por lo tanto los pares transformados de Fourier en funcin de resultan:

(10)

(11)

=

deXtx tj )(21)(

= dt etxX tj)()(

TeSyS 22

Las condiciones suficientes para la existencia de la Transformada de Fourier son las llamadas condiciones de Dirichlet:

1. x(t) tiene un nmero finito de discontinuidades finitas2. x(t) tiene un nmero finito de mximos y mnimos3. x(t) es absolutamente integrable

TeSyS 23

Espectro de Densidad de Energa de Espectro de Densidad de Energa de Seales Seales AperidicasAperidicas

Sea x(t) una seal de energa finita con Transformada de Fourier X(F). La energa es:

= dttxtx )(* )(

= dttxEx )( 2

=

dFX*(F) ex(t) dt Ftj2

x*(t)

TeSyS 24

Es decir:

Que es la llamada Identidad de Parseval para seales aperidicas de energa finita.

=

dt e x(t)X*(F) dF Ftj2

X(F)

= dFX(F) 2

== dFX(F)dttxEx 22 )( (12)

TeSyS 25

El espectro X(F) de una seal es generalmente complejoX(F) = |X(F)| ej (F)

donde:|X(F)| es la magnitud(F) = es la fase

La cantidad Sxx(F) = |X(F)|2

representa la distribucin de energa en la seal en funcin de la frecuencia y se denomina Espectro de Densidad de Espectro de Densidad de EnergaEnerga de x(t).

TeSyS 26

La integral de Sxx(F) sobre todas las frecuencias da la energa totalenerga total de la seal. La energa de x(t) en una banda de frecuencias F1 F F2 puede calcularse como:

( )=

TeSyS 27

Si la seal x(t) es real, entonces:|X(-F)| = |X(F)| funcin par(-F) = -(F) funcin imparSxx(-F) = Sxx(F) funcin par

Ejemplo:

>

=2/ 02/

)(

ttA

tx

t

x(t)

-/2 /2

TeSyS 28

x(t) es no peridica y satisface las condiciones de Dirichlet. Su Transformada de Fourier es:

Y su espectro de densidad de energa resulta:

==2/

2/

2 sin e )(

FFAdtAFX Ftj

( ) 22 sin)(

=

FFAFSxx

TeSyS 29

X(F)

F

A

-2/ -1/ 0 1/ 2/