ANÁLISIS laible en word

ANLISISESTRUCTURALJeffrey P. LaibleUniversity of VermontTraduccin:Hugo Viiiagmez Veizquez Instituto Politcnico NacionalRevisin tcnica:Ing. Alonso de la CeraUniversidad Autnoma MetropolitanaMcGRAWHIUMXICO BOGOT BUENOS AIRES CARACAS GUATEMALA LISBOA MADRID NUEVA YORK PANAM SAN JUAN SANTIAGO SAO PAULOAUCKLAND HAMBURGO LONDRES MONTREAL NUEVA DELHI PARS SAN FRANCISCO SINGAPUR ST LOUIS SIDNEY TOKIO TORONTO

PrefacioDe este texto pretende hacerse un libro de inters para un grupo diverso de estudiantes, profesores e ingenieros que ejercen la profesin. Puede utilizarse en cursos que estn orientados sobre todo de manera clsica o puede adoptarse para introducir a los estudiantes a las metodologas modernas basadas en la computacin.El ofrecimiento est dividido en dos partes; principalmente debido al desafo para los educadores de preservar la naturaleza pedaggica y fundamental de la instruccin, adems de preparar adecuadamente a los ingenieros para los trabajos modernos, en los que la metodologa basada en la computacin es un lugar comn. Por experiencia, el autor sabe que puede efectuarse una mezcla razonable en un nivel de licenciatura. Sin embargo, parece que se logra mejor el proceso de aprendizaje por medio de una presentacin que vaya de los mtodos manuales clsicos hacia las tcnicas dirigidas a la computacin, en el contexto de un tpico dado. Este es el enfoque utilizado a lo largo del texto.A menudo, al estudiante le parece que el anlisis estructural es una coleccin de metodologas inconexas. En un intento para evitar esta percepcin, el texto refuerza en forma constante los principios fundamentales, haciendo nfasis en el papel que juega cada concepto en una tcnica dada. Se espera que esta presentacin promueva una revisin ms general del tema que conduzca a una mayor apreciacin de la apli-cabilidad de esos principios al campo general de la mecnica.El estilo del texto est caracterizado por un gran nmero de problemas-ejemplo y por la manera de proceder de lo especfico a lo general; de lo simple a lo ms complejo. Si hubo una filosofa principal a travs del proceso dinmico por el que se desarroll el texto, sta fue que el estudiante aprendiera de los ejemplos y de la revisin de los fundamentos.En los captulos 1 a 3 se presenta un panorama general de la ingeniera estructural, se analizan las suposiciones bsicas y las limitaciones del anlisis lineal, y se da una introduccin a los dos principales mtodos de resolucin. El captulo 2 est dedicado a la clasificacin de estructuras para fines de anlisis y a la identificacin de las variables importantes en un anlisis estructural. Se introducen los conceptos de indeterminacin y de grados de libertad. Se cubre la formacin de conjuntos vlidos de ecuaciones de equilibrio y se relacionan stas con su descripcin matemtica

viPrefacioen forma de matrices. En el captulo 3, la sucesin de tpicos pretende transmitir cmo son utilizados los conceptos fundamentales de equilibrio, compatibilidad y las relaciones entre fuerzas y desplazamientos en las dos tcnicas de resolucin ms importantes: el mtodo de la flexibilidad y el de la rigidez. Se definen los pasos bsicos de cada mtodo y se aplican a un modelo estructural sencillo. Ya que el mtodo de la rigidez se ha vuelto el ms usual en la prctica, se hace nfasis en l.En los captulos 4 y 5 se abordan el anlisis de armaduras, empezando con los mtodos manuales clsicos en el captulo 4 y continuando con los mtodos matriciales en el captulo 5. Se estudia primero a las armaduras determinadas, ya que los mtodos matriciales para armaduras de esta clase son una extensin y reformulacin directas de los mtodos manuales clsicos. En el resto del captulo 5 se presentan los mtodos matriciales ms generales como una manipulacin directa de los conjuntos de ecuaciones que representan a los tres conceptos fundamentales: de equilibrio, de compatibilidad y de relaciones entre fuerzas y desplazamientos. Aunque este procedimiento no es la formulacin ms eficaz para el desarrollo en la computadora, s enfatiza los fundamentos e introduce la terminologa y estructura general de los conjuntos de datos que se generan y manipulan comnmente en un programa de anlisis estructural. De nuevo se destaca el mtodo de la rigidez, donde no es necesario hacer distincin alguna entre las estructuras determinadas y las indeterminadas. El anlisis de armaduras como estructuras indeterminadas se reserva para el captulo 8, de anlisis clsico. Tambin se posponen para el captulo 9 los algoritmos ms eficientes para el desarrollo en la computadora, con la intencin de concentrarse en los conceptos bsicos.En los captulos 6 a 8 se presentan los mtodos clsicos de anlisis. En el captulo 6 se cubre el anlisis de equilibrio de arcos y de estructuras determinadas de vigas. Tambin se discute, en este captulo, el anlisis aproximado de estructuras indeterminadas. En el captulo 7 se tratan los mtodos geomtrico y de energa para el clculo de los desplazamientos. En el captulo 8 se utilizan las tcnicas del captulo 7 para analizar estructuras pequeas mediante el mtodo de la flexibilidad. Tambin se presentan los mtodos clsicos de la distribucin de momentos y de pendiente deflexin.El captulo 9 est dedicado al mtodo de la rigidez directo para el anlisis de marcos y armaduras. Se comentan tanto las bases tericas como algunos aspectos importantes del desarrollo en la computadora.El captulo 10 contiene los tpicos especiales de las lneas de influencia y del anlisis numrico aproximado, es decir, de la integracin numrica y de las aproximaciones de diferencia finita. Tambin se incluyen mtodos numricos aproximados que emplean la minimizacin de conceptos.El captulo 11 es una introduccin al mtodo del elemento finito. Se cubre algo de la teora fundamental. Se presenta un ejemplo completo de modelacin con elemento finito, que incluye el preprocesamiento para la generacin de mallas y el postprocesamiento para la exposicin de los campos de esfuerzos y de deformaciones.Este texto est diseado para ser utilizado en una sucesin de dos cursos sobre anlisis estructural. Los captulos 1 a 6 y los mtodos geomtricos del captulo 7 son apropiados para el primer curso. El resto del captulo 7 y los captulos 8 a 11 pueden cubrirse en el segundo curso.Al mismo tiempo que se publica este texto, se est llevando a cabo una revolucin en el campo de la computacin en los bachilleratos y las universidades. La integracin de las computadoras personales en las escuelas de ingeniera est afectando de manera inevitable y en la misma medida tanto a los planes de estudio como a

Prefacioviilos profesores. La meta siempre ha sido proporcionar a los estudiantes una comprensin firme de los fundamentos y una versin actualizada del tema de la materia. En tanto esta meta no sufra un cambio fundamental, qu se necesita para lograrla? Ciertamente, es posible esperar que los aspectos del desarrollo en las computadoras referidos al anlisis estructural, puedan ser logrados ahora con ms facilidad, en tanto declinen la disponibilidad y rentabilidad de las computadoras personales, y mientras crezca su potencia a un ritmo fluctuante.Creo firmemente que puede aprenderse mucho si se programan varios mtodos de resolucin, que la computadora puede desempear una funcin importante en el proceso educativo y que el tiempo invertido en esos esfuerzos se manifestar a s mismo en un conocimiento ms profundo del tema de estudio. Algunas partes de este texto fueron diseadas especialmente para facilitar dicho proceso. La programacin per se es en general una tarea que lleva mucho tiempo y por ello los problemas que se asignen deben ser elegidos con gran cuidado. Mi propia experiencia ha sido de que los proyectos ms adecuados son los semestrales. El desarrollo de programas con el mtodo de la rigidez para el anlisis de armaduras y marcos, utilizando las subruti-nas del apndice y algo del cdigo contenido en el captulo 5, es una tarea apropiada si se distribuye a lo largo del semestre.Quiero expresar mi agradecimiento a Lowell Greimann, de la Iowa State Univer-sity; a John Zacker, de la Milwaukee School of Engineering; a Colin B. Brown, de la University of Washington; a Furman W. Barton, de la University of Virginia; y a D.L. Wheat, de la University of Texas-Austin por sus comentarios y revisin constructiva a partes del texto. Tambin estoy en deuda con la Srita. Janice Zebowitz por la dedicacin que tuvo al mecanografiar el borrador del texto y con James Whitaker por su ayuda en la resolucin y comprobacin de muchos de los problemas planteados en los captulos.

ContenidoCaptulo 1 Introduccin al anlisis estructural1.1. Ingeniera estructural21.2. Sistemas estructurales41.3. Modelado de estructura: diagramas de lnea, conexiones ysoportes 81.4. Comportamiento lineal del material y superposicin101.5. Teora de los desplazamientos pequeos y no linealidadgeomtrica131.6. Introduccin a la distribucin de cargas151.7. Cargas muertas161.8. Cargas vivas171.9. Combinaciones de cargas33

1.10. Incertidumbres331.11. Seguridad estructural y probabilidad de fallas351.12. Resumen38Captulo 2 Equilibrio, indeterminacin y grados de libertad2.1. Ecuaciones bsicas de equilibrio422.2. Determinacin e indeterminacin502.3. Grados de libertad582.4. Incgnitas en un sistema estructural622.5. Resumen65Captulo 3 Relaciones fundamentales y mtodos de resolucin3.1.Equilibrio, compatibilidad y relaciones entre fuerzasy desplazamientos743.2. Estrategias bsicas de resolucin793.3. El mtodo bsico de la rigidez80ix

Contenido3.4. Introduccin al uso de matrices883.5. El mtodo bsico de la flexibilidad993.6. Exactitud numrica 1113.7. Resumen113Captulo 4Anlisis clsico de armaduras4.1. Definiciones y modelado de armaduras1244.2. Fuerzas en los miembros y convenciones de signos1284.3. Mtodo de juntas1294.4. Mtodo de secciones1424.5. Resumen153Captulo 5 Anlisis matricial de armaduras5.1. Anlisis matricial de armaduras determinadas: procedimientosemiautomatizado 1625.2. Anlisis matricial de armaduras determinadas: procedimientoautomatizado 1675.3. Anlisis de armaduras planas mediante el mtodode la rigidez bsico 1975.4. Anlisis de armaduras tridimensionales (armaduras espaciales) 2105.5. Comentarios acerca de los mtodos de la rigidez directoy bsico 2245.6.Comentarios acerca del mtodo de la flexibilidad paraarmaduras indeterminadas 2245.7.Resumen 225Captulo 6 Equilibrio interno de vigas, marcos y arcos6.1. Introduccin y diagramas de cuerpo libre 2466.2. Acciones de cortante, axial y de flexin:Convencin de signos 2526.3.Transformacin ortogonal de cargas concentradasy distribuidas 2536.4.Esfuerzo cortante axial y acciones de flexin por aplicacindirecta del equilibrio 2586.5.Relaciones diferenciales para la fuerza cortante y parala flexin 2676.6.Diagramas de la fuerza cortante y del momento flexionanteutilizando las relaciones diferenciales e integrales entrela fuerza cortante, la carga y el momento2716.7. Superposicin de los diagramas de momento2876.8. Equilibrio de arcos sencillos2906.9. Anlisis aproximado de marcos y vigas planasindeterminadas 3026.10. Resumen 317

ContenidoxiCaptulo 7 Relaciones entre fuerzas y desplazamientos; Mtodos geomtricos y de energa7.1. Teora de la flexin de vigas3327.2. Compatibilidad, leyes constitutivas para la flexinde vigas y equilibrio3347.3. Relaciones de curvatura entre el momento y la temperatura3377.4. La ecuacin diferencial de la flexin de vigas3397.5. Mtodo rea-momento3407.6. Mtodo de los cambios de ngulos concentrados3577.7. Mtodo de la viga conjugada3697.8. Definiciones de trabajo y de energa3767.9. Principio del trabajo virtual (cuerpos rgidos)385

7.10. Principios del trabajo virtual (cuerpos deformables)3907.11. Trabajo virtual complementario interno para los miembrosestructurales3987.12. Desplazamientos de estructuras bidimensionales ytridimensionales4047.13. Matriz de flexibilidad para miembros de marcos4227.14. Desplazamientos en marcos por medio de un mtodomatricial 4277.15.Energa potencial y expresiones para la energa de deformacinen miembros estructurales lineales4327.16.Principios de la energa potencial y estacionaria y de laenerga potencial mnima4347.17. Primer teorema de Castigliano4377.18. Energa potencial complementaria4397.19. Principio de la energa potencial complementariamnima y estacionaria4407.20. Segundo teorema de Castigliano y teorema de Engesser4427.21. Comentarios sobre los principios de energa4447.22. Teoremas recprocos447Captulo 8 Mtodos clsicos del anlisis indeterminado8.1. Pasos generales del mtodo de flexibilidad4678.2. Anlisis de deformacin consistente de estructurasindeterminadas con una redundante4708.3.Solucin de estructuras indeterminadas con una redundante utilizandoel segundo teorema de Castigliano4868.4.Estructuras indeterminadas con varias redundantes:Aplicacin directa de las deformaciones consistentes4898.5.Estructuras indeterminadas con varias redundantes:mtodo de Castigliano5108.6.Mtodo matricial de la flexibilidad utilizando el segundo teoremade Castigliano5138.7. Acciones de extremo fijo5348.8. Enfoques de rigidez: introduccin5378.9. Ideas del anlisis de rigidez para vigas continuas5378.10. xii Contenido8.10. Solucin iterativa de las ecuaciones de rigidez5418.11. Proceso de distribucin del momento: precedentes5448.12. El mtodo general: reglas y normas5518.13. Distribucin de momentos con traslacin desconocidade las juntas: desplazamiento lateral5658.14.Mtodo pendiente-deflexin 575Captulo 9 Mtodo de rigidez directa9.1. Introduccin6069.2. Relaciones de rigidez del miembro de marco mediantedeformaciones consistentes6079.3.Relaciones de rigidez del miembro del marco mediantemtodos de energa6149.4. Propiedades de las matrices de rigidez6219.5. Transformaciones ortogonales6299.6. Transformacin de una cantidad de rigidez6329.7. Matrices de rigidez del miembro6349.8. Planteamiento global6419.9. Cargas equivalentes en las juntas para cargas en el miembro6689.10.Tratamiento de miembros articulados y acciones deextremo fijo6749.11. Condiciones especiales6829.12. Algunos aspectos de la implementacin de la computadora6909.13. Resumen709Captulo 10 Temas especiales: diagramas de influencia, cargas mviles y anlisis numrico aproximado10.1. Diagramas de influencia72010.2. Cargas mviles74910.3. Aproximaciones numricas de relaciones deferenciales76110.4. Integracin numrica: regla de Simpson77810.5. Tcnicas de minimizacin: mtodo de los mnimos cuadradosde los residuos78310.6.Resumen793Captulo 11 Introduccin del anlisis del elemento finito11.1. Introduccin80411.2. Campos de desplazamientos suspuestos y funciones deinterpolacin80811.3.Enfoque de la energa potencial para plantear la matrizde rigidez del elemento81911.4. Principios del esfuerzo plano82611.5. Resumen y otros elementos84011.6. Ejemplo de anlisis84311.7. Otras tcnicas de minimizacin: residuos ponderados ymtodo de Galerkin853

ContenidoxiiiApndice A Matemtica matricial861Apndice B Subrutinas883Apndice C Tablas891ndice alfabtico905

Introduccin al anlisis estructural 3Diseo preliminar

F, A,, S,No

Fig. 1-1. Proceso cclico del anlisis y del diseo. cr = esfuerzos; S = tamaos de los miembros; C = costo; F = fuerzas de los miembros; A, = desplazamientos estructurales.cin en Madera (AITC, del ingl. American Institute of Timber Construction). Estos y otros cdigos proporcionan orientacin para seleccionar las cargas a aplicar en la estructura.El proceso de anlisis y diseo puede en realidad ser considerado como un problema de optimizacin. Para ilustrar wwel costo. Bajo ciertas con-

4 Introduccin al anlisis estructuraldiciones, el costo puede ser reemplazado por el peso de todos los elementos por disear. El proceso dedq minimizar un costo (es decir, una funcin objeto) sujeto a algunos criterios de ejecucin (restricciones) es un problema matemtico tpico de optimizacin. Para estructuras pequeas o bien sencillas, el diseo ptimo puede por lo general ser encontrado por ensayo y error. Si se intenta una optimizacin en sistemas estructurales ms complejos, ser necesario utilizar tcnicas bien conocidas, como la programacin lineal o no lineal.El procedimiento anterior de anlisis y diseo es bastante general. En ocasiones hay circunstancias en las que todos esos pasos pueden efectuarse de manera simultnea, pero esto est restringido a las estructuras ms simples. Sin embargo, es prctica comn disear la estructura con base en las fuerzas obtenidas del anlisis (es decir, en < orm&x) y revisar los desplazamientos slo despus de haber satisfecho todas las restricciones relativas a los esfuerzos.En un sentido ms amplio, la ingeniera estructural va ms all de la fase del diseo y del anlisis. La mayor parte de los proyectos de ingeniera tambin incluyen fases de planeacin general o de conceptualizacin, estimacin de tiempos, fabricacin, construccin e inspeccin de una estructura. El ingeniero en estructuras puede ser requerido para participar en cualesquiera de esos niveles y para utilizar habilidades y juicios analticos. Es evidente que la discusin anterior acerca del proceso de anlisis es slo una parte de todas las responsabilidades del ingeniero en estructuras. Sin embargo, es un paso muy importante para alcanzar el objetivo final de la ingeniera: una estructura segura y econmica. Los errores cometidos en el anlisis durante cualquier fase de un proyecto pueden resultar catastrficos en grado extremo, generando quiz una cuota muy alta de prdida de vidas o de dinero. Es por esta razn que los anlisis son revisados y comprobados muy a menudo por diferentes individuos dentro de una empresa. Incluso los aparentemente infalibles resultados de los anlisis efectuados por computadora deben ser revisados de modo exhaustivo. Debido a ello, muchos estudiantes perciben a sus instructores como extremadamente meticulosos acerca de detalles como los "errores matemticos". No hay duda de que el momento para cometer errores es ahora, cuando se est aprendiendo una materia como el anlisis estructural. Desgraciadamente, existe un gran testimonio acerca de las experiencias dolorosas del aprendizaje a partir de errores cometidos "en el campo".1.2 SISTEMAS ESTRUCTURALESLos mtodos de anlisis desarrollados en este texto son directamente aplicables a las estructuras de ingeniera que consisten en un ensamblaje de miembros individuales. El ensamblaje total suele denominarse armazn o estructura armada (fig. 1-2) y es utilizado ampliamente en edificios, puentes, torres de transmisin, naves espaciales, aviacin y en muchos otros medios (fig. 1-3). Existe otro tipo de sistemas para los que puede no haber una estructura identificable, como cascarones, domos, placas, muros de contencin, presas, torres enfriadoras y tanques de almacenamiento (fig. 1-4). Estos sistemas se llaman continuos. Aun cuando no se considerar el anlisis de estos tipos de estructuras, los principios bsicos y algo de los mtodos de anlisis y procedimientos computacionales de este texto pueden extenderse para analizar tambin esta clase de estructuras.La armazn puede concebirse como el esqueleto de la estructura total. Es un sistema de miembros conexos que soporta las cargas impuestas por su propio peso

Introduccin al anlisis estructural

V//////7///////7777/(d)

Marcoestructural principal: resiste cargas verticales y laterales.Analizado como un marco plano. \ \ n

(e)

Contraventeo diagonal: proporciona rigidez longitudinal.

Largueros: transmite lasverticales .reo principal.Largueros de fachada: proporcionan rigidez longitudinal entre los marcos principales y puntos de fijacin para el material de recubrimientos de los muros laterales.

Fig. 1-2. Estructuras planas comunes: a) ciones, c) marco plano, d) marco plano y de marcos rgidos de una sola planta.

armadura plana, b) arco con tres articula-muro de cortante y e) construccin a base

6 Introduccin al anlisis estructural

Un miembro general de marco resiste dos fuerzas cortantes, una fuerza axial, dos momentos de flexin y uno de torsin(a)AxialFuerza cortante menor

Miembro axial: soporta fuerzas de tensin o de compresin

Torsin

Flexin principal

Fig. 1-3. Estructuras espaciales comunes: a) armadura espacial, b) marco espacial yc) parrilla.


Los esfuerzos primarios son compresivos.Existen esfuerzos deflexin en el cascarn cercade la viga de borde.(b)Losa plana: soporta flexin biaxial.

Borde:soporta cargas deflexin y torsin.

Domo

Anillo(a)

Domo

Cilindro(c)

Cilindro

Direccin de la compresin Direccin de la tensinViga de bordeSuperficie curva formada por generatrices rectosCascarn delgado

id)Fig. 1-4. Estructuras de.elementos continuos a) construccin monoltica, de losa, vigas y columnas; b) bveda de can; c) recipiente de presin cihfldrico con domo y anillo; d) paraboloide hiperblico.

8 Introduccin al anlisis estructuraly por el peso de materiales fijos (conocidas como cargas muertas), as como las cargas impuestas por la gente, por objetos movibles o por las fuerzas de la naturaleza (denominadas cargas vivas). En una seccin posterior se considerar la magnitud de las cargas vivas debidas al viento, a la nieve, a los sismos y al trnsito vehicular. Por ahora, slo es importante reconocer que la armazn por ella misma debe soportar totalmente todas las cargas previstas de manera segura y econmica. Las partes ms visibles de los edificios, por ejemplo el enladrillado, la manipostera decorativa y otras superficies, por lo general no son hechas para soportar cargas. Aunque estos componentes pueden de hecho reforzar a la estructura, slo son considerados como cargas muertas de la misma.1.3 MODELADO DE ESTRUCTURAS: DIAGRAMAS DE LINEA, CONEXIONES Y SOPORTESUno de los pasos ms importantes en cualquier anlisis es el proceso de formulacin de un modelo de la estructura real, susceptible de un tratamiento matemtico relativamente sencillo. Este paso consiste en adoptar una cantidad de idealizaciones y simplificaciones con la intencin de reducir la complejidad del problema, as como de retener las caractersticas "primarias" importantes del comportamiento. Algunas de las idealizaciones tratan directamente con descripciones geomtricas de la estructura real; otras tratan acerca del comportamiento material. Tambin es necesario idealizar la forma en que los miembros individuales de una estructura estn conectados entre s y cmo estn sujetos entre s los elementos de la frontera a los soportes del sistema. Una vez que se han hecho estas idealizaciones, tanto a nivel de estructura como de elementos, se aplican al modelo los procedimientos de anlisis para determinar las fuerzas y desplazamientos deseados.Para ilustrar algunos de estos puntos, se considerar el marco de la figura 1-5. El marco est hecho de placas de acero soldadas. Todas las secciones transversales tienen forma de I. Las estructuras de este tipo se utilizan comnmente para crear espacios abiertos sin columnas interiores en edificios industriales o reas deportivas, como canchas de tenis. Para analizar el marco se debe construir primero un diagrama de lneas. Las lneas del diagrama por lo general siguen el centroide de la seccin transversal de cada uno de los elementos. En el caso de marcos ahusados, stos pueden ser incmodos para los fines del anlisis, y el diagrama de lneas slo aproxima la ubicacin del centroide en las regiones ahusadas. En los miembros con secciones transversales constantes la lnea sigue, de hecho, al centroide de la seccin. En el caso de las vigas I con patines iguales, el centroide est localizado en el centro de la seccin transversal del miembro.Las propiedades importantes de los miembros necesarias para el anlisis del marco son el momento de inercia y el rea. En los miembros rectos estas propiedades son constantes, ya que las dimensiones de la seccin transversal no cambian. En el miembro ahusado, cambian el rea y la inercia a lo largo de la longitud del miembro, ya que el peralte vara. Aunque es posible analizar directamente un miembro con una seccin ahusada, una simplificacin comn es representar esta seccin con uno o ms miembros de peralte uniforme, utilizando un rea y un momento de inercia "efectivas" para cada segmento. En la figura l-5b se muestra un diagrama de lneas razonable. Se acostumbra anotar las reas y los valores del momento de inercia cerca de cada segmento o miembro.


(b)Seccin A-A(c)Fig. 1-5. Marco rgido de seccin variable.Una vez que se ha construido el diagrama de lneas, es necesario idealizar las conexiones de los miembros y los soportes. El marco del ejemplo es conocido como un marco rgido, ya que los momentos pueden ser transmitidos a travs de las juntas o nudos que conectan a los miembros. En un soporte, el extremo del elemento columna puede tener rotacin libre, estar parcialmente fijo o estar empotrado, dependiendo del tipo de construccin del soporte real. Si se va a analizar el marco por medio de computacin manual, el tipo de idealizacin hecha para los soportes puede influir en el mtodo de anlisis que se va a utilizar. Algunos mtodos se aplican con ms facilidad a una estructura con un gran nmero de restricciones en el movimiento (de base fija); otros mtodos son ms aplicables a estructuras con menos restricciones (de base articulada). Si se utilizan mtodos con computadoras, se pueden analizar todas las condiciones en prcticamente la misma cantidad de tiempo de computadora y de preparacin de datos. En la figura 1-6, se muestran algunas condiciones para los soportes y conexiones de los miembros, as como sus representaciones simblicas. Para el marco del ejemplo, la construccin de la base en realidad presenta alguna restriccin parcial, aun cuando no necesariamente la restriccin de un empotramiento (fig. l-6a). La suposicin de una base articulada suele ser utilizada, a menos que se disponga de algunos datos para cuantificar la resistencia rotacional del soporte. El anlisis del marco utilizando primero una base articulada y despus

10 Introduccin al anlisis estructural

Construccin del soporte o apoyo

Smbolo

Posibles fuerzas y momentos

(a)

(O" Cojn elastomrico

Fig. 1-6. Condiciones de soportes tpicos: a) fijo, b) articulado y c) de rodillos.una base empotrada debe proporcionar cotas para las magnitudes de las fuerzas en todos los miembros.1.4 COMPORTAMIENTO LINEAL DEL MATERIAL Y SUPERPOSICINLas estructuras se hacen por lo comn de madera, concreto o acero. Cada una de ellas tiene diferentes propiedades materiales que deben ser consideradas para el anlisis y el diseo. Debe conocerse el mdulo de elasticidad E de cada material


11

Rango lineal

Rango lineal

Rango lineal

MaderaConcretoFlg. 1-7. Leyes de esfuerzo-deformacin.

Acero

para cualquier clculo de desplazamientos. En la figura 1-7, se muestran curvas tpicas esfuerzo-deformacin para los tres materiales antes mencionados. El mdulo de elasticidad E se define como la pendiente de la curva esfuerzo-deformacin. Para deformaciones localizadas debajo de las lneas punteadas que se muestran en cada grfica, la curva es aproximadamente una lnea recta. La pendiente es constante y por ello tambin E lo es. Dentro de esta regin, al comportamiento se le denomina lineal. Una estructura, para la que todas sus deformaciones se ubiquen en esta regin, tambin ser linealmente proporcional a la magnitud de las cargas aplicadas, siempre que los desplazamientos sean pequeos, como se comenta en la siguiente seccin. A lo largo de este texto se utilizar la suposicin de propiedades lineales del material.Una consecuencia directa de la suposicin del comportamiento lineal es la validez del "principio de superposicin":"La respuesta de una estructura, debida a un nmero de cargas aplicadas simultneamente, se obtiene mediante la suma de las respuestas de las cargas individuales, aplicando por separado cada una de ellas a la estructura."La respuesta de una estructura es medida tanto por sus desplazamientos como por las fuerzas internas que desarrolla.Para ilustrar estas ideas, considrense dos miembros axiales sencillos; uno que tiene una relacin de deformacin lineal debido a la carga y otro que acta de manera no lineal, como se muestra en la figura 1-8. Si se aplica una carga Pi a la barra

P,2P

Fig. 1-8. Principio de superposicin.

12


lineal, resulta el desplazamiento Al El principio de superposicin permitira predecir el desplazamiento que resultara debido a una carga de 2P. Ya que Pi provoc un desplazamiento de Ai, 2Pi debera generar un desplazamiento de Ai + Ai; esto es, se suman o sobreponen las respuestas individuales debidas a cargas aplicadas por separado para obtener la respuesta total (punto b). Ahora, considrese que se aplica una carga de 2Pi al miembro que posee una propiedad no lineal. Ahora debera observarse el desplazamiento denominado A2 == 2Ai en el diagrama (punto c). En consecuencia, no es posible sumar o "sobreponer" los desplazamientos provocados por cargas individuales para obtener el desplazamiento final debido a la carga total si las propiedades del material son no lineales. Aunque no expresa plenamente el principio, la frase "duplicar la carga duplica el desplazamiento" refleja la esencia del principio de superposicin. Tambin es posible aplicar el principio de superposicin para encontrar todas las fuerzas internas o reactiva de una estructura sujeta a cargas mltiples. Esto se demostrar ampliamente en captulos subsecuentes.Otro requisito para que el principio de superposicin sea vlido es que, al descargar un miembro, el desplazamiento debe seguir exactamente la misma trayectoria carga-desplazamiento que tuvo durante el proceso de cargado. Se dice que un material que se comporta de esta forma es elstico; de otro modo, se llama inelsti-co. Las trayectorias de carga de la figura 1-9 ilustran la naturaleza de varias combinaciones de las propiedades del material. El acero cargado ms all de su punto de fluencia es no lineal e inelstico. El hule es no lineal pero elstico. Algunas estructuras de concreto reforzado que han desarrollado cuarteaduras al ser cclicamente cargadas muestran un comportamiento casi inelsticamente lineal al aproximarse a su carga mxima. Es evidente que la suposicin de material lineal elstico es bastante restrictiva. Las desviaciones de esta suposicin son muy a menudo las causales de la discrepancia entre los resultados tericos y los experimentales. La incertidum-bre y la idealizacin de las propiedades del material desempean una funcin importante en la determinacin de factores de seguridad dentro del diseo de estructuras de Ingeniera.

Inelsticamente linealElsticamente lineal

Inelsticamente no lineal

Elsticamente no lineal

AAAceroHuleFig. 1-9. Trayectorias de carga.


13

1.5 TEORA DE LOS DESPLAZAMIENTOS PEQUEOS Y NO LINEALIDAD GEOMTRICAAdems de la no linealidad del material, algunas estructuras pueden comportarse de manera no lineal debido al cambio en la forma de toda la estructura. Esto requiere que la estructura se desplace una cantidad lo suficientemente significativa para afectar las relaciones de equilibrio de la estructura. Cuando esto sucede, se dice que la estructura es "geomtricamente no lineal". Las estructuras de los cables son susceptibles a este tipo de no linealidad, y el anlisis del pandeo est basado en este efecto. Considrese la viga voladiza de la figura 1-10. Si la viga es muy flexible y de verdad se desplaza en la cantidad mostrada en la figura, obsrvese lo que le sucede al brazo de momento de P alrededor del punto a de la base. En la posicin original, el momento alrededor de a es Ma = PL. En la posicin desplazada, el momento debera estar correctamente proporcionado por M = P (L + A).Supngase que el desplazamiento es cualquier funcin de la carga, esto es, A = / (P). Sustituyendo la funcin / (P) jor A en la ecuacin del momento alrededor de a cuando la viga est en la forma desplazada, se obtiene M P(L + /(P)) o Ma = PL + Pf{P). Est claro que el ltimo trmino es alguna funcin no lineal de P. Se puede probar el principio de superposicin simplemente examinando lo que sucede si P se determina para algn otro valor, por ejemplo 2P. Ahora, el momento respecto a a es ahora Ma = 2PL + 2Pf (2P). Se observa que no es posible predecir el momento en a debido a 2P (es decir, Ma = 2PL) mediante la duplicacin del momento que se obtiene de la carga P, debido al trmino adicional no lineal 2Pf (2P). En consecuencia, la superposicin ser vlida slo si es posible expresar las fuerzas o los momentos en una estructura por medio de funciones lineales de las cargas. En el ejemplo, el momento en a, Ma P(L + A) en la posicin desplazada, est muy aproximado por M = PL slo cuando A 20' utilizar los casos 1, 2 y 3

Cuando h < 5 pies, utilizar w = 10 ft A > 15 pies, utilizar w = 30 fth = Diferencia en las alturas de los techos, pies g Carga debida a la nieve en el suelo, Ib/pie2 w = Ancho de la nieve proveniente de laconstruccin ms alta, pies a = Distancia entre las construcciones< 15pies' Disee el techo superior para cargas aplicables a techos de un solo nivel

'Para techos de acuerdo con los requisitos de exposicin del viento de 711.3.1. todos los valores de C, marcados con un asterisco (*) deben reducirse en un 25%. El trminoa -3050 es vlido slo para a > 30 gradosFig. 1-15. Distribucin de la carga debida a la nieve y coeficientes. Autorizacin otorgada por BOCA, Copyright 1981, Building Officials and Administrators Code International, Inc.

Introduccin al anlisis estructural 21

u,Para ngulos generalmente menores que 30, ocurre succin en el techoLas presiones ms grandes ocurren cerca de los bordesFig. 1-16. Presin de las cargas debidas al viento.q = .00256V2donde V = velocidad del viento (mph) q = libras/pies2 q presin (libras/pies2) V = velocidad del viento (mph)

Los coeficientes anotados arriba son aplicables para el diseo de las estructuras principales y el arriostramiento (fig. 1-17). La distribucin de cargas en un maree principal (fig. 1-18) tambin depende de la longitud de la zona final, C, de la se paracin entre marcos, de la altura y anchura de la construccin, y de la velocidac de diseo del viento. Las velocidades de diseo del viento a ser utilizadas en h ecuacin 1-3 pueden calcularse a partir de la relacin v V3o (z/3O)1/7, donde ; puede tomarse como la altura promedio de la construccin y V3o es la velocidac del viento a 30 pies sobre el nivel del suelo. Los valores de V3o pueden obtenerse dtZonas interiores

Zonas extremas

Fig. 1-17. Zonas de presin en una construccin a dos aguas. Coeficientes promed de forma c para superficies primarias. Los valores negativos indican succin exte na en el techo o en la superficie de los muros. V = velocidad del viento en mili; por hora; q = presin = .00256V2 en Ib/pies2; c = coeficiente de forma, obtenib de tablas; cq =r presin del viento, normal a una superficie dada, en Ib/pies2.

22


Viento

Fig. 1-18. Distribucin de cargas tpica para el diseo de marcos principales.mapas como el que se muestra en la figura 1-19. Las velocidades del viento proporcionadas en esta figura son los "vientos de la milla ms rpida", con un intervalo medio de recurrencia de 50 aos, ocurridos a una altura de 30 pies. Algunos cdigos tambin recomiendan "factores de rfaga", que se multiplican por las velocida-

v/ ^llo!.*16B*ao*

Fig. 1-19. Velocidad del viento segn la milla ms rpida 30 pies sobre el nivel del suelo, media en 50 aos de recurrencia. (De "Wind Forces on Structures", reporte final, Trans. ASCE, Vol. 126, Parte II, 1961). "BOCA Basic Building Code/1981, Copyright 1981, Building Officiais and Code Administrators International, Inc. Publicado por acuerdos con el autor. Reservados todos los derechos. Ninguna parte de este libro puede reproducirse o transmitirse en cualquier forma o por cualquier medio, electrnico o mecnico, incluyendo el fotocopiado, la grabacin o mediante un sistema de informacin, almacenamiento o de recuperacin de la informacin sin permiso previo por escrito de Building Officiais and Code Administrators International, Inc. Para informacin, dirigirse a: BOCA, Inc., 4051 West Flossmor Road, Country Club Hills, IL 60477". BOCA no otorgar autorizacin a usted ni a Interamericana de imprimir cualesquiera revisiones y ediciones futuras del libro si no cuentan con el permiso previo de BOCA.

Introduccin al anlisis estructural 23des del viento. Estos factores son utilizados para calcular las variaciones rpidas de presin que el viento puede causar momentneamente en una estructura. Los factores tpicos de rfaga varan de 1.1 a 1.3, dependiendo de la forma de la construccin.De nuevo estos valores son mnimos, y pueden ser necesarios la topografa local de la estructura y los registros locales del viento para evaluar de manera adecuada un diseo apropiado de carga. Tambin deben hacerse consideraciones especiales para las estructuras con lados abiertos y para estructuras construidas en reas donde son frecuentes los vientos fuertes, como los tornados. Para proyectos estructurales de suma importancia, por ejemplo edificios de gran altura, pudiera ser necesario efectuar pruebas de tnel aerodinmico para determinar no slo el efecto de los alrededores locales de la estructura sino tambin el efecto que pudiera tener la locali-zacin y forma de la nueva estructura en las velocidades del viento en reas adyacentes habitadas.Se ha dedicado una cantidad considerable de investigacin al estudio de la respuesta dinmica de las estructuras causadas por las cargas debidas al viento. Una seal de alto "vibrando" y girando alrededor de la columna que la sostiene, ilustra este fenmeno. Sin una amortiguacin apropiada, los sistemas muy esbeltos pueden ser excitados a un estado de resonancia que finalmente pudiera provocar un colapso. El primer puente del estrecho de Tacoma es quiz el desastre ms conocido asociado a una estructura muy esbelta. El tramo principal del puente colgante, de 2 800 pies, se desplom el 7 de noviembre de 1940 bajo un viento cuya velocidad era de 42 millas por hora. La falla fue atribuida al deslizamiento de un cable, que introdujo una vibracin torsional. No exista ningn mecanismo para amortiguar esta vibracin y por ello la estructura continu deformndose hasta que sucedi el colapso total.1.8.3 Cargas de ocupacin o usoLa carga de piso que se va a aplicar a un rea dada de una construccin depende de su pretendida utilizacin u ocupancia. El cuadro 1-2 muestra los requisitos de carga viva para diferentes clasificaciones de ocupancia, como se especifica en varios cdigos. Estas cargas se deben a los seres humanos, al equipo, al almacenamiento en general, a los automviles, a la estantera de una biblioteca, etctera.Debido a que las cargas de ocupacin son tan aleatorias en su naturaleza, no hay una forma precisa para aplicar las cargas reales a un rea dada. Por esta razn, dichas cargas se especifican como cargas uniformes sobre el rea total. Estas cargas son extremadamente conservadoras debido a la incertidumbre acerca de cmo pudieran distribuirse las cargas reales. Adems de las cargas distribuidas, tambin se especifican con frecuencia cargas concentradas. Estas cargas deben colocarse en posiciones que provoquen los esfuerzos mximos.Bajo ciertas circunstancias y en ciertas reas de una construccin, es posible reducir las cargas vivas para considerar la improbabilidad de que una carga distribuida ocurra sobre el rea total. La probabilidad de que una gran rea est por completo cargada es generalmente menor que aquella para un rea ms pequea. En algunas instancias puede reducirse la carga viva para reas mayores de 150 pies2 a una tasa de 0.08% hasta un mximo del 60% de reduccin. Sin embargo, esto no puede aplicarse a reas de reunin pblica, ya que con frecuencia pueden estar totalmente ocupadas.

24 Introduccin al anlisis estructuralTabla 1-2. CARGAS TPICAS DE OCUPACIN

CARGA

TPICA*

OCUPACIN(Ib/pie2)

reas de reunin

Asientos fijos60

Asientos mviles100

reas del foro150

Construcciones comerciales

Fabricacin100-125

Bodegas (ligeras, pesadas)125-250

Tiendas, al menudeo75-100

Tiendas, al mayoreo100-125

Bibliotecas

Salas de lectura60

reas para la estantera125-150

Edificios para oficinas80-100

Edificios para estacionamiento100-120

Residencias

Casas, hoteles, departamentos40

Corredores (para el pblico), estancias100

Escuelas

Salones de clase40

Corredores100

"Hay cargas tpicas uniformes. Los cdigos tambin especifican algunas cargas concentradas.1.8.4 Cargas vehiculares dinmicasLas cargas vivas en las carreteras son especificadas por la Asociacin Estadounidense de Funcionarios del Transporte en Carreteras Estatales (AASHTO, del ingl. American Association of State Highway Transportation Officials). Sus cargas recomendadas han sido aceptadas como la gua para todos los puentes de carretera construidos por agencias pblicas en Estados Unidos.Hay dos sistemas de carga de camiones, especificados por la AASHTO: la carga H y la HS. Estas cargas se muestran en las figuras 1-20 y 1-21. La carga ms comnmente utilizada es la HS. El espacio variable de los ejes traseros permite que la ubicacin de camiones en claros adyacentes provoque momentos negativos mximos en claros continuos del puente. Se ubica un camin sencillo en un carril. Se considera una serie de camiones usando una carga en el carril que consiste en una carga distribuida de modo uniforme (320-640 Ib/pie por carril) y una carga puntual concentrada sencilla (900k 2 600*). Ambas distribuciones de carga deben ser investigadas para determinar cul es la que provoca las fuerzas cortantes, los momentos y las fuerzas axiales mximas. Se dar mayor atencin a la ubicacin de dichas cargas en el captulo 10.En la medida en que los vehculos se aproximan y entran a un claro del puente, el efecto dinmico tiende a incrementar la magnitud de la carga. Es difcil estimar este "impacto" en gran detalle, y por esta razn es que se han desarrollado factores

Introduccin al anlisis estructural 25

HS 20-44 (MS 18) 8,000 Ib HS 15-44(MS 13.5) 6,000 Ib(36 kN) 32,000 Ib (27 kN) 24,000 Ib(144 kN) (108kN)W = Peso combinado en los dos primeros ejes, que es el mismo quepara el camin H (M) correspondiente. V = Espaciamiento variable de 14 a 30 pies (4.267 a 9.144 m) incluso.El espacio a ser utilizado es el que produce esfuerzos mximos.O'-O" (3.048 m)Seccin libre y ancho de! carril de carga

GUARNICIN1j|| (.610m)(1.830m)(.610m)CAMIONES ESTNDAR HS (MS)Fig. 1-20. Camin AASHTO H. Tomado de ESPECIFICACIONES ESTNDAR PARA PUENTES DE CARRETERAS 1977: 12a. edicin. Cortesa de la Asociacin Estadounidense de Funcionarios del Transporte en Carreteras Estatales (AASHTO).de impacto basados en amplias investigaciones para ayudar al diseo de los claros de los puentes. El criterio comnmente adoptado es la frmula de la AASHTO:

50L + 125

(1.4)

donde L = longitud cargada del claro (pies) / = factor de impacto no mayor a 0.3Expresado como un porcentaje, / es el aumento en la carga que debe utilizarse para calcular los esfuerzos.1.8.5 Carga debida a los sismosLos sismos hacen que el suelo se acelere en las direcciones horizontal y vertical. Estas aceleraciones se expresan a menudo en trminos de g, la aceleracin de la

26


H 20-44 (M 18) 8,000 H 15-44 (M 13.5) 6,000 H 10-44 (M 9) 4,000

Ib (36 kN) Ib (27 kN) Ib (18 kN)

32,000 Ib* 24,000 Ib 16,000 Ib

(144kN) (108 kN) ( 72 kN)

^U14'-0" (4.267 m) tsvala M.M*Zon* i Danos graves: corresponde a la oleosidad Vl[] yms altas de la escala M.M*4 Estas ireas dentro d li zona 3 esla determinadas por la cercana de curios sistemas principales de fallas'Escala de Intensidad de Mercatl. modificada, de 1931

Vanse tambin las figuras nms. 2 y 31LLi),

Fig. 1-23. a) Mapa de contorno de la aceleracin pico efectiva para los 48 estados vecinos. Los contornos representan los niveles APE con una probabilidad de no excedencia de entre 80 y 95% durante un periodo de 50 aos. Nora: Los contornos muestran el valor de An. b) Zonas de riesgo. Reproducido del Union Building Code, edicin 1982, Copyright 1982, con permiso del editor, The International Conference of Building Officials.

Introduccin al anlisis estructural 29Esta figura muestra tres zonas principales. En realidad existe una cuarta zona dentro de la zona 3 en la que se sabe que existen las fallas activas primordiales. Los factores Z dados por el ms reciente Cdigo Uniforme de la Construccin sonZ = 3/i6parala zona 1Z = 3/8parala zona 2Z = 3/4parala zona 3Z = 1parala zona 4El factor K refleja la ductilidad de la estructura. La ductilidad es la capacidad de deformacin de la estructura sin que ocurra. Tales deformaciones sirven para disipar energa y para reducir la respuesta de la estructura. Mientras ms alta sea la ductilidad, ms bajo ser el factor K. Un objetivo primordial de un diseo ssmico es garantizar alguna medida de ductilidad y evitar las fallas frgiles que son instantneamente catastrficas; no dan aviso de la inminencia de la falla. Las estructuras de acero tienden a ser ms dctiles, mientras que las estructuras convencionales de concreto reforzado por lo general no son dctiles y no funcionan bien en zonas telricas. Sin embargo, investigaciones recientes han producido nuevos mtodos para la construccin de conexiones dctiles entre vigas y columnas, haciendo ms competitivas a las estructuras de concreto en las zonas telricas. El hotel Plaza Continental, de 35 pisos, en Seattle, Washington (zona 3), es un ejemplo de una de las primeras estructuras dctiles de concreto de gran tamao. En la zona ssmicamente activa de San Francisco (zona 4) hace poco fue terminado un condominio de 30 pisos con una zona de estacionamiento de cinco niveles. Fue necesario hacer conexiones dctiles entre vigas y columnas, como se muestra en la figura 1-24, para resistir las cargas ssmicas.El factor C depende del periodo natural fundamental de la estructura T y est dado por1C = 1.0Los factores y y pueden basarse en algn ndice de confiabilidad seleccionado /3 y en un conocimiento de crR y de crp. Este mtodo, por tanto, est ms cerca de utilizar directamente el anlisis estadstico. Para un diseo prctico, los factores $ y y pueden ser especificados por cdigos, recomendaciones de los fabricantes, investigacin terica y analtica, etctera. Con el tiempo, este mtodo se utilizar ms ampliamente ya que proporciona una metodologa ms lgica para especificar la confiabilidad estructural (seguridad).Estas discusiones muestran algunas de las filosofas importantes del diseo utilizado y cmo estn relacionadas con los conceptos de probabilidad de falla. Aunque todava no se ha desarrollado una verdadera filosofa probabilstica del diseo para el anlisis esttico de las estructuras, la probabilidad se utiliza por lo comn en el anlisis de estructuras complejas bajo carga ssmica. En este texto se har nfasis en el anlisis esttico determinista de las estructuras, aunque es valioso mencionar la utilidad del diseo y anlisis probabilstico para demostrar el avance de las metodologas en la ingeniera estructural.1.12 RESUMENLa suposicin de comportamiento lineal elstico es muy utilizada en el anlisis de estructuras. El comportamiento lineal significa que cualquier relacin carga-deformacin es 1e la formaCarga constante X desplazamiento

Introduccin al anlisis estructural 39Elstico significa que, durante la descarga, la estructura regresa a su posicin original, siguiendo la misma trayectoria que durante el proceso de carga.El comportamiento lineal elstico requiere que 1) la ley constitutiva del material (ley de esfuerzo-deformacin) sea lineal y 2) que los desplazamientos sean pequeos. Cuando el esfuerzo en una estructura supera el rango de elasticidad, se dice que la estructura posee no linealidad material. Cuando los desplazamientos de una estructura son grandes, cambian significativamente la posicin y la orientacin de las cargas en la medida en que stas se incrementan hacia su valor total. En este caso, no pueden considerarse constantes las ecuaciones de equilibrio y deben escribirse con mediciones registradas en la posicin deformada.Cuando una estructura se comporta de modo lineal, el principio de superposicin es vlido. Este principio establece:"La respuesta de una estructura, debida a un nmero de cargas aplicadas simultneamente, puede obtenerse sumando las respuestas de las cargas individuales aplicando por separado cada una de ellas a la estructura."Para desplazamientos pequeos, la pendiente de la curva elstica respecto de su posicin original esdy . dxBajo estas condiciones, es posible reducir la expresin general para la curvatura como1d2y/dx2df_R [1 +Las cargas muertas de una estructura consisten en el peso de la estructura y de todas las partes no reubicables. Las cargas no permanentes o que estn asociadas con el pretendido uso del rea se denominan cargas vivas. Las cargas vivas tpicas se deben a la nieve, el viento, la ocupancia, los vehculos, los sismos, la presin hidrosttica, la presin de tierra, los cambios de temperatura y los errores de fabricacin. La incertidumbre acerca de las cargas y de las propiedades de los materiales se suele tomar en cuenta utilizando factores de seguridad en el diseo de una estructura. Esto permite un anlisis determinista.Las dos principales filosofas de diseo utilizadas en la ingeniera estructural son 1) el diseo por esfuerzos de trabajo (WSD) (acero y madera) y 2) el diseo por resistencia ltima (USD) (concreto). En un diseo por esfuerzos de trabajo, los miembros son calculados de manera que los esfuerzos mximos no excedan un "esfuerzo permisible", que es una fraccin del esfuerzo de fluencia del material. En un diseo de acero, por ejemplo, se requiere generalmente que los esfuerzos debidos a la flexin sean menores a dos tercios del esfuerzo de fluencia del acero. Se aplica el factor de seguridad al esfuerzo. En un diseo por resistencia ltima, se dimen-sionan los miembros de tal forma que los esfuerzos alcancen el nivel ltimo de carga bajo un nivel factorizado de la carga. Una carga tpica utilizada en un diseo de concreto reforzado esCarea de diseo = 1 DI -4- mjj

40 Introduccin al anlisis estructuraldonde DL = carga muerta y LL = carga viva (del ingl. dead load y Uve load, respectivamente) . Se aplican los factores de seguridad a las cargas.n tercer mtodo de diseo, que se ha ido adoptando en forma gradual, es el mtodo de diseo por factor de carga y resistencia (LRFD). En este procedimiento se aplican los factores de seguridad a la resistencia (capacidad) R y a la carga P. El criterio del diseo esR >yPdonde < 1 = un factor de resistencia y y > = 1 un factor de carga. Estos factores pueden seleccionarse con base en algn ndice supuesto de confiabilidad /8 y en el conocimiento de la variacin estadstica de R y de P, esto es, de o-r y de = looib,/5OklbFig. 2-9. Cuerpos determinados.

Equilibrio, indeterminacin y grados de libertad 51

50klb

r1001b

A&C 1

r1001b

1

Fig. 2-10. Cuerpos indeterminados.librio y el nmero de incgnitas para cualquier conjunto de miembros conectados. En un principio, los comentarios se limitarn a las estructuras bidimensionales, pero la extensin a tres dimensiones es directa.2.2.1 Indeterminacin de marcos planosCualquier marco puede ser definido por el nmero de miembros (/S/M), por el nmero de juntas (NJ) y por el nmero de componentes de reaccin externa aportados por los soportes (NR). Estos distintos componentes se muestran en la figura 2-11. Ahora se desarrollar una expresin para el grado de indeterminacin en trminos de esas cantidades. Para llevar a cabo esto, es necesario determinar el nmero total de incgnitas y el nmero total de ecuaciones.Si la estructura total va a estar en un estado de equilibrio, entonces cada cuerpo mostrado en la figura 2-11 debe estar en equilibrio, esto es, cada miembro y cada

Tres componentes de reaccin independientes

Dos componentes de reaccin independientes

Figura 2-11.

52 Equilibrio, indeterminacin y grados de libertadjunta deben estar en equilibrio. Para cada cuerpo bidimensional hay tres ecuaciones de equilibrio.Por tanto, es posible afirmar que el nmero total de ecuaciones disponibles (NEQ) est dado porNEQ = 3NM + 3NJ(2.21)La cantidad de incgnitas del sistema consiste en el nmero de fuerzas de extremo y en el nmero de componentes de reaccin. Para cada miembro del marco hay seis fuerzas extremas. En consecuencia, es posible afirmar que el nmero de incgnitas (NUK, del ingl. number of unknowns) se puede expresar comoNUK = 6NM + NR(2.22)La condicin de determinacin requiere que el nmero de incgnitas sea igual al nmero de ecuaciones de equilibrio. As pues, la determinacin se define comoNUK = NEQ(2.23)6NM + NR = 3NJ + 3NM(2.24)3NM + NR - 3NJ(2.25)Otra forma de ver la ltima ecuacin es reconocer que slo hay tres fuerzas independientes en los extremos de cualquier miembro para cada miembro que est en equilibrio.Ahora es posible definir el grado de indeterminacin comoIND grado de indeterminacin = 3NM + NR 3NJComo se anot en la seccin 2.1, se necesitan tres componentes independientes de reaccin si la estructura es estable. Esta condicin es necesaria pero no suficiente. El grado de indeterminacin es simplemente el nmero de incgnitas que supera el nmero de ecuaciones. Para el marco de la figura 2-11, se tieneIND = grado de indeterminacin = 3 (3) -f- 5 3 (4) =2La ecuacin (2-25) es aplicable a cualquier marco que tenga miembros continuos y juntas internas rgidas. Sin embargo, hay ciertas condiciones especiales de construccin que pueden reducir el nmero de incgnitas y por ello el grado de indeterminacin. La ms comn de estas condiciones es un pasador o articulacin interno. Considrese el miembro del marco con un pasador interno, que se muestra en la figura 2-12. Es posible que puedan existir todava las seis fuerzas de miembro, pero hay ahora tres ecuaciones de equilibrio para el miembro como un todo ms una condicin adicional que requiere que el momento alrededor del pasador sea cero. En consecuencia, hay slo dos fuerzas de miembro independientes (V y A) para un miembro con un pasador interno, como se muestra en la figura 2-12b. Si se considera que el pasador contribuye con otra ecuacin adicional, es posible modificar la ecuacin (2-25) de tal forma que sea3NM + NR = 3NJ + NC(2.26)oIND = 3NM + NR- 3NJ - NC(2.27)


Seis posibles fuerzas de extremo sin articulacin interna; hay tres fuerzas de extremo independientes(a)

Fuerzas de extremos independientes A, V y(b)Articulacin interna porE Mart =0Con una articulacin interna hay dos fuerzas independientes, A y V

Figura 2-12.donde NC = nmero de ecuaciones de condicin. Considrense los marcos de la figura 2-13. Ambos marcos son iguales. En el marco de la figura 2-13a, se ha considerado que el pasador es interno al miembro 2 y se encuentra que el marco es determinado. Tambin puede considerarse que el pasador es en s mismo una junta (es decir, NJ = 5), pero ahora debe haber cuatro miembros (NM = 4), en oposicin a los tres miembros del marco de la figura 2-13a. En ambos casos se cumplen las frmulas y el marco es determinado.La figura 2-14 ilustra otros tipos de marcos y de vigas, y el grado de indeterminacin. La utilizacin de la ecuacin (2-27) es ms bien acadmica en cuanto que una estructura sumamente indeterminada no sera analizada en forma manual incluso si se conoce el grado de indeterminacin. Por otra parte, los programas de computacin basados en el mtodo de la flexibilidad pueden usar esta ecuacin como un paso inicial en el proceso de resolucin.Tambin puede determinarse la indeterminacin de un marco dividiendo la estructura en un nmero de estructuras determinadas estticamente y anotando la

54 Equilibrio, indeterminacin y grados de libertad

51 J

NM = 3 NJ = 4 A = 4 JVC = 13NM + NR = 3NJ + JVC 9 + 4 = 12 + 1 13 = 13

NM= 4Ai/= 5A7?= 4AfC= 13NM + NR= 3 NJ + WC3 (4) + 4= 3 (5) + 116= 16

(a)(b)Fig. 2-13. Marcos determinados.cantidad de fuerzas que existen en las divisiones, o "cortes", en el sistema. Como ejemplo, considrese el marco de la figura 2-15. Cada subestructura es determinada. Es posible encontrar todas las fuerzas en cada estructura con la condicin de que se conozcan las fuerzas en los cortes. Para cada corte hay tres incgnitas y por ello hay un total de 12 incgnitas. En consecuencia, la estructura es indeterminada en 12 grados. Este enfoque puede aplicarse casi siempre a estructuras ms grandes.En los siguientes captulos se tratar ms extensamente la identificacin de la forma determinada de una estructura indeterminada dada, ya que es uno de los primeros pasos del proceso de resolucin conocido como mtodo de la flexibilidad.2.2.2 Indeterminacin de armaduras planasSe puede derivar la ecuacin para encontrar la indeterminacin de una armadura siguiendo las mismas lneas de razonamiento que para un marco. La distincin ms notable es que una armadura se idealiza como integrada por miembros que soportan slo fuerzas axiales. No hay fuerzas cortantes o momentos en el miembro idealizado de la armadura. En la figura 2-16a se muestran los diagramas de cuerpo libre de los miembros y las juntas de una armadura bidimensional. Para cada miembro de la armadura hay dos fuerzas extremas, pero por equilibrio a lo largo del miembro, stas deben ser iguales y opuestas; de aqu que solamente haya una incgnita independiente para cada miembro. La cantidad total de incgnitas consiste en las fuerzas de miembro y de los componentes independientes de reaccin, lo cual puede expresarse ahora comoNUK = NM + NRdonde NM = nmero de miembrosNR = nmero de componentes de reaccinAdems del equilibrio de los miembros, se dispone de las ecuaciones restantes de equilibrio' de las juntas para resolver NUK incgnitas. Se supone que en cada junta todas las fuerzas son concurrentes y que no existen momentos. Como resul-


(a)

IND = 3 NM + NR - 3 NJ - NCNM = 4 NJ =5 NR = 4 JVC = OIND = 3 (4) + 4 - 3 (5) - O = 1

(b)

NM =7AV =8NR =6NC =2/A/O =3 (7) + 6 - 3 (8) - 2=1

(O

NM = 15 NJ = 12 NR = 8 NC = OIND = 3(15) + 8 - 3(12) - O = 17

Afl = 3 (3) + 5 - 3 (4) - 1(d)

(e)

NM = 9 .W = 9 NR = 4 .VC = 3/.Vfl = 3 (9) + 4 - 3 (9) - 3 = 1

Fig. 2-14. Marcos y vigas indeterminados.


'\Corte

\ Corte

SubestructuraFigura 2-15.

tado de ello, hay dos ecuaciones de equilibrio disponibles para cada junta. En consecuencia, el nmero de ecuaciones est dado por(2.28)NEQ = 2NJdonde Nf = nmero de juntas La condicin de determinacin est definida porNEQ=NUK

2NJ =Entonces, el grado de indeterminacin es IND = NM + NR- 2NJ

(2.29)(2.30)

De nuevo, NR debe ser mayor o igual que 3 para que la estructura sea estable. Esta condicin es necesaria pero no suficiente para asegurar la estabilidad. Para el ejemplo de la figura 2-16a se tiene

NM ~6

NR-4

IND-6 +4 -2(4)

2

Por tanto, la estructura es indeterminada en dos grados. La figura 2-16 muestra muchas otras armaduras y su grado de indeterminacin.

Equilibrio, indeterminacin y grados de libertad 57m

Los miembros 5 y 6estn conectados en el centro

y

IND = 2

(a)

IND =IND = 1

(b)Fig. 2-16. a) Armadura indeterminada en dos grados, y b) otras armaduras indeterminadas.2.2.3 Indeterminacin de estructuras tridimensionalesPuede utilizarse el-mismo razonamiento desarrollado en las dos secciones anteriores para definir los grados de indeterminacin de marcos y armaduras tridimensionales.Un miembro o junta de un marco espacial debe satisfacer las seis ecuaciones de equilibrio, esto es, SF*, 2F, 2F*, 2M*, 2M y SM*. Cada miembro tiene un total de 12 posibles acciones extremas, como se muestra en la figura 2-17a. Las relaciones para el nmero de incgnitas y el nmero de ecuaciones, incluyendo los componentes independientes de reaccin y las condiciones de construccin, son

NEQ = 6NM + 6NJ - NC NUK= 12NM + NR

(2.31) (2.32)


Fig. 2-17. a) 12 posibles fuerzas extremas de un miembro general de un marco tridimensional, b) Tensin o compresin axial en un miembro de una armadura tridimensional.

En consecuencia, el grado de indeterminacin esIND = 6NM 6NJ + NR-NC

(2.33)

En el caso de una armadura espacial idealizada, sigue habiendo slo una fuerza axial desconocida para cada miembro (fig. 2-17b). En cada junta, sin embargo, hay ahora tres ecuaciones de equilibrio, 2Fi, 2F, y SFz. Por tanto, las expresiones para la armadura espacial son

NUK = NM + NRNEQ = 3NJIND = NM + NR- 3NJ

(2.34) (2.35) (2.36)

Como hay seis ecuaciones de equilibrio para cualquier cuerpo tridimensional, debe haber un mnimo de seis componentes independientes de reaccin para que la estructura sea estable. Esta es otra vez una condicin necesaria pero insuficiente. La figura 2-18 ilustra algunas estructuras tridimensionales indeterminadas.2.3 GRADOS DE LIBERTADLos grados de libertad de una estructura son el nmero mnimo de parmetros necesarios para describir de manera nica la figura deformada de la estructura. Los


Seis componentes de reaccin independientes

Tres componentes de reaccin independientes

c

NM = 8 NJ = 8 NR = 24 NC = O/M5 = 6 (8) + 24 - 6 (8) + O = 24^ CorteySeis fuerzas independientes en un corteNM = 18 NJ = 15 NR = 18 NC = 0/M) = 6(18) + 18 - 6(15) + 0 = 36

NM = 18 NJ = 8 M? = 8 /A75 = 18 + 8-3(8)= 2

AH =6NJ =4A =9/M> =6 + 9 - 3 (4)=3

Fig. 2-18. Armaduras y marcos tridimensionales indeterminados.parmetros pueden ser ciertos desplazamientos y rotaciones en diversos puntos de la estructura. Este es el tipo ms comn de grado de libertad y es el que se usar con,amplitud aqu. En contraste, la forma desplazada de un miembro estructural puede expresarse en trminos de una ecuacin, por lo general un polimomio. Los coeficientes de la variable independiente (es decir, a, b y c de y = ax2 + bx + c) pueden servir tambin como los parmetros que definan la posicin de la curva elstica y por ello de la forma desplazada. A menudo estos parmetros son referidos como desplazamientos generalizados o grados de libertad generalizados.La figura 2-19 ilustra el perfil deformado de un miembro de un marco bidimen-sional. Posteriormente se demostrar que el desplazamiento en todos los puntos del miembro puede definirse de una manera nica si los seis desplazamientos que se


Desplazamientos extremos del miembro

Posicin original

Fig. 2-19. Miembro de un marco, estado deformado y desplazamientos extremos.muestran estn definidos. Los seis desplazamientos constan del desplazamiento independiente en las dos direcciones cartesianas y de una rotacin. Si el miembro es parte de un marco rgido, entonces los tres desplazamientos en los extremos de los miembros que se ensamblan en una junta sern iguales. Es entonces aparente que el nmero de grados de libertad para un marco rgido estable bidimensional ser, cuando mucho,

NDOF = (del ingl. Number of Degrees of Freedom) nmero de grados de libertad = 3NJ 3

(2.37)

El 3 en esta ecuacin representa el nmero de sujeciones requerido para prevenir movimientos de cuerpo rgido de la estructura. Por supuesto que los movimientos de cuerpo rgido deben prevenirse si la estructura ha de permanecer estable, como se muestra en la figura 2-20.

Movimiento de cuerpo rgido no impedido

Movimiento de cuerpo rgido impedido

Carga

Traslacin en x

Carga

Estas tres reacciones impiden el movimiento de cuerpo rgido

Soportes insuficientes para impedir el movimiento de cuerpo rgidoLa traslacin en x y en y y la rotacin son los tres movimientos de cuerpo rgidoTres reacciones que no impiden el movimiento de cuerpo rgido debido a la inestabilidad geomtricaFig. 2-20. Ejemplo de movimientos de cuerpo rgido de una estructura bidimensional.

Equilibrio, indeterminacin y grados de libertad 61Naturalmente que puede haber cualquier cantidad de sujeciones, de tal forma que la ecuacin general para el nmero de grados de libertad puede escribirse como

NDOF = 3NJ - NR

(2.38)

donde NR > 3 para un marco rgido estable bidimensional. En una estructura tridimensional esta ecuacin se transforma en

NDOF = 6NJ NR

(2.39)

(a)

(b)

Fig. 2-21. a) Grados de libertad de una junta en un marco de una estructura tridimensional, b) Seis movimientos de cuerpo rgido de un miembro de un marco tridimensional.

62 Equilibrio, indeterminacin y grados de libertadPosicin deformada, el miembro permanece

Miembro de armaduraCuatro desplazamientos externos definen completamente la posicin de cualquier punto en el miembro

Fig. 2-22. Miembro de una armadura tridimensional y grados de libertad.donde NR > 6 para un marco estable. En cada junta de esta estructura hay seis posibles grados de libertad independientes, como se muestra en la figura 2-21. Tambin hay seis posibles movimientos de cuerpo rgido.Las armaduras representan un tipo especial de estructura, en el que nicamente existen fuerzas axiales. Como no hay deformaciones de flexin, todos los miembros permanecen rectos y el perfil desplazado total del miembro de la armadura puede definirse con los cuatro desplazamientos que se muestran en la figura 2-22. En cada junta de pasador, los desplazamientos de los extremos de los miembros comunes a la junta tendrn los mismos desplazamientos x y y. As, el nmero de grados de libertad es

NDOF = 2NJ NR NR>3Para armaduras tridimensionales, la ecuacin se transforma en NDOF = ZNJ -NR NR>6

(2.40)(2.41)

La figura 2-23 ilustra los grados de libertad de varios marcos y armaduras.Es importante recordar que la definicin de los grados de libertad afirma que los parmetros requeridos son el mnimo nmero necesario para definir completamente el perfil desplazado. En general, puede pensarse que toda estructura tiene una cantidad infinita de desplazamientos. Por lo comn se quiere trabajar con el menor nmero posible de parmetros desconocidos y por ello, como se definieron aqu, los grados de libertad representan este nmero mnimo de incgnitas. Ms tarde se mostrar cmo a menudo se introducen grados de libertad adicionales para la conveniencia de determinar desplazamientos en ubicaciones especiales.A lo largo de este texto tambin se utilizar el trmino "grados de libertad" en un sentido ms general, para significar todos los movimientos posibles de las junturas de una estructura. Algunos de estos movimientos estarn restringidos y se denominarn desplazamientos prescritos o fijos. Los desplazamientos restantes sern referidos como desplazamientos libres (vase la fig. 2-24).2.4 INCGNITAS EN UN SISTEMA ESTRUCTURALLos grados de libertad de una estructura pueden seleccionarse como las incgnitas a determinar mediante algn procedimiento analtico. Para llegar a una solucin,


= 54

NDOF = 12

^

/\/\/\.

1

NDOF=2\

Fig. 2-23. Grados de libertad en marcos y armaduras.debe desarrollarse un sistema de NDOF ecuaciones en trminos de las NDOF incgnitas. Despus de resolver para los grados de libertad, es posible determinar el grado de deformacin y subsecuentemente el estado de esfuerzo de todos los puntos de la estructura.En contraste, puede seleccionarse un conjunto de fuerzas como las incgnitas a determinar mediante algn procedimiento analtico. Estas fuerzas son aquellas en exceso del nmero de ecuaciones de equilibrio disponibles para resolver el sistema mediante un anlisis de equilibrio esttico. La cantidad de incgnitas de este tipo se defini en la seccin 2.2 como el grado de indeterminacin. Dichas incgnitas fuerqn tambin referidas como redundantes. Para resolver estas incgnitas, debe plantearse un sistema de IND ecuaciones en trminos de las IND incgnitas. Des-

64

Equilibrio, indeterminacin y grados de libertad

Desplazamientos prescritos

Movimientos posibles pero prescritos a desplazamientos cero

Fig. 2-24. Grados de libertad libres y prescritos.pues de resolver las incgnitas, es posible determinar el estado de esfuerzo y subsecuentemente el estado de deformacin de todos los puntos de la estructura.El voladizo apuntalado sirve como una ilustracin de estos dos enfoques, como se muestra en la figura 2-25. En la figura 2-25a se determinan primero las fuerzas desconocidas. A continuacin puede dibujarse el diagrama de momentos. A partir de este diagrama es posible determinar los esfuerzos internos y los desplazamientos. En la figura 2-25b se determinan primero los grados de libertad. A continuacin pueden encontrarse la posicin desplazada de todos los puntos internos y los esfuerzos internos, es decir, M = El (dy2/dx2).En el captulo siguiente se desarrollarn las tcnicas para obtener las soluciones de las incgnitas anotadas anteriormente. Cuando las incgnitas son los desplazamientos, el mtodo se denomina mtodo de los desplazamientos o mtodo de la rigidez. Cuando las incgnitas son las fuerzas, el mtodo se llama mtodo de las fuerzas o mtodo de la flexibilidad. Cada enfoque tiene sus ventajas y sus desventajas. A pesar de todo, el mtodo de la rigidez es el ms popular para el anlisis de computadoras y se ha vuelto el estndar para anlisis estructurales grandes.y/7////

Desplazamiento del eje neutro /A

Desplazamientos desconocidos

(a)

fb)

Fig. 2-25. a) fuerzas que definen el estado de esfuerzo de una estructura, b) Desplazamientos que definen el estado de deformacin de una estructura.

Equilibrio, indeterminacin y grados de libertad 652.5 RESUMENLas ecuaciones de equilibrio utilizadas para resolver un problema dado deben ser independientes. En dos dimensiones, tres ecuaciones de equilibrio vlidas para un simple cuerpo pueden ser de la formasin restricciones, o2FX = 0 o 2F, = 0 SAf^ = 0 SA/fl = 0con las restricciones de que AyBno sean concurrentes o estn en una lnea perpendicular a la direccin de la ecuacin 2F, ocon las restricciones de que A, B y C no estn en la misma lnea.Estas ecuaciones tienen solucin, con la condicin de que no representen una condicin de inestabilidad geomtrica. La inestabilidad geomtrica sucede cuando las fuerzas externas que sostienen un cuerpo no son capaces de prevenir el movimiento bajo una distribucin arbitraria de cargas, como

^Geomtricamente inestable

Geomtricamente estable

Cuando las lneas de accin de todas las reacciones son paralelas o concurrentes, entonces el cuerpo es geomtricamente inestable.Las ecuaciones de equilibrio pueden expresarse en forma matricial como

Matriz esttica

Fuerzas, momentos desconocidos, o ambos

Fuerzas, momentos aplicados conocidos, o ambos

Siempre que el nmero de ecuaciones sea igual al nmero de incgnitas, y que se cumplen las condiciones anteriormente escritas y que el determinante de [B] "= 0,

66 Equilibrio, indeterminacin y grados de libertadentonces el sistema de ecuaciones tiene una solucin para cualquier distribucin de cargas, esto es,{F} = [B] {P}El grado de indeterminacin (IND) de una estructura es el nmero de fuerzas en exceso del nmero de ecuaciones de equilibrio disponibles. Algunas ecuaciones para determinar el grado de indeterminacin sonMarco bidimensional, IND = 3NM + NR - 3NJ - NC, NR>3 Armadura bidimensional, IND = NM + NR 2NJ, NR>3 Marco tridimensional, IND = 6NM + NR 6NJ NC, NR>6 Armadura tridimensional, IND = NM + NR 3NJ, NR>6donde NM = nmero de miembros, NJ = nmero de juntas, NR = nmero de componentes independientes de reaccin y NC = nmero de ecuaciones de condicin interna.Los grados de libertad de una estructura (DOF, del ingl. Degrees of Freedom) son el nmero mnimo requerido de parmetros para describir de manera nica el perfil deformado de la estructura. En el anlisis estructural, los grados de libertad por lo general se eligen como los desplazamientos en las juntas de la estructura. Puede definirse el nmero de grados de libertad (NDOF) comoMarco bidimensional, NDOF = 3NJ - NR, NR>3 Armadura bidimensional, NDOF = 2NJ NR, NR>3 Marco tridimensional, NDOF = 6NJ NR, NR>6 Armadura tridimensional,, NDOF = 3NJ NR, NR>6El trmino "grados de libertad" puede ser usado en un sentido ms general para significar todos los posibles movimientos de las juntas de una estructura. Se deben distinguir dos grupos de movimientos: 1) desplazamientos prescritos (p. ej., un desplazamiento es forzado a ser cero o algn valor conocido) y 2) desplazamientos libres.Las incgnitas de un sistema estructural pueden ser o un conjunto de desplazamientos (DOF) o un conjunto de fuerzas (redundantes). Cuando los grados de libertad se seleccionan como incgnitas, se debe formar un conjunto de NDOF ecuaciones en trminos de las NDOF incgnitas. Despus de resolver este sistema para los desplazamientos, es posible encontrar los desplazamientos de todos los dems puntos y todos los esfuerzos internos. Este enfoque se denomina mtodo de la rigidez y es el mtodo ms popular, particularmente para el anlisis de sistemas estructurales grandes.Cuando se seleccionan como incgnitas las fuerzas redundantes (IND nmero de fuerzas), se debe formar un conjunto de IND ecuaciones en trminos de las IND incgnitas. Despus de resolver para las redundantes, es posible determinar las fuerzas en todos los miembros, los esfuerzos internos y los desplazamientos de los miembros. Este enfoque se conoce como mtodo de la flexibilidad.


PPROBLEMAS2-1 2-13 a) Establezca las ecuaciones de equilibrio para los siguientes cuerpos rgidos.b) Forme la matriz esttica y calcule el determinante.c) Haga comentarios acerca de la estabilidad y explique la razn fsica de laposible inestabilidad. Comente acerca de la dependencia o independenciade las ecuaciones.d) Si la estructura es estable, obtenga las reacciones invirtiendo la matriz esttica, esto es, {F} = []1 {P).Refirase a la seccin 2-12 y al apndice A.

PROBLEMAFIGURAECUACIONESDATOS

2.1P2.12FXXFy ZMAa = 30

2.2P2.12FXa = 90

2.3P2.12F,V *,f ' V AjZMA ZMBa-30

2.4P2.12F,~LMA 2MSa = 30

2.5P2.22F,2Fj, ZMAa = c/2, a0 = 0o, ab = 30

2.6P2.22FXVC V ^2Fy zMAa = c/2, a0 - 30, atb - 30

2.7P2.22FXV J7 V Y2Fy ZMBa *= c/4, cta - 30, a,, = 30

2.8P2.22FX2Fy SAZ,a = 3c/4, tan aa = 7/5

ab - 45

2.9P2.32FX2F, 2A/,a - 10 pies

2.10P2.42FX2F, XMAa = 1, >- 0, A = 10 m, L = 18 m

2.11P2.42F,a-4, > = 3, /i- 10 m, L= 18 m

2.12P2.42FXa- 12, = 5,A = 12m,= 17 m

2.13P2.52F,Utilice trminos variables

I

l^

\

P = 20 klb h = 10 pies L = 20 pies

P2.1

Orden de reacciones:


Orden de reacciones: R, iP2.2

Considrese que el soporte de rodillos puede reaccionar en cualquier direccin'I,*-P = 20Klb Orden de reaccin: RAlRB,Rc

P2.3

_L

El puntal slo toma fuerza axialP= 100 kN Orden de reaccin: R,RB,RC

P2.4


Cables/ I \

Orden de reaccin RA, RB,RC P2.52.14-2.35.Para las estructuras de las figuras P2.6 a P2.27, determine el grado de indeterminacin.

V7777/.77/7?7,Viga continua P2.6

Marco rgido P2.7

Articulaciones Articulaciones Tablero de puente y soporteP2.8'/v/////Marco rgido P2.9

70 Equilibrio, indeterminacin y grados de libertad.ArticulacinMarcoP2.107777/Marco P2.11

P2.13Marcos espaciales

P2.16Armaduras planas

P2.17


vvP2.18

P2.19

Armadura plana

Armadura plana P2.20

P2.21

P2.22

Armaduras espaciales

P2.24

P2.25

2.36-2.57 Determine el nmero de grados de libertad para las estructuras de las figuras P2.6 a P2.27. Bosqueje la estructura e indique los grados de libertad en cada junta.

Captulo3Relaciones fundamentales y mtodos de resolucin

3El objetivo de este captulo es introducir las estrategias generales de solucin del anlisis estructural. En esta etapa inicial no se intenta proporcionar una explicacin detallada y completa de las tcnicas matriciales de resolucin o de los procedimientos de clculo. Ms bien se trata de demostrar los aspectos sobresalientes y los pasos generales de estos mtodos. Dichos pasos se esquematizan de manera claramente general, pero se aplican slo a modelos muy simples. Los modelos representan un sistema estructural y contienen muchos de los aspectos de un sistema de mucha mayor complejidad. Tambin se examinarn algunas definiciones y clasificaciones tiles de estructuras que utilizan el modelo, con fines de ejemplificacin.Aun cuando el nfasis primordial de la siguiente seccin es explicar los pasos de las diferentes estrategias de resolucin, tambin se prestar atencin a las ventajas y desventajas de los diferentes mtodos. Estas consideraciones dependen en gran medida del esfuerzo computacional requerido para obtener resultados numricos. El modelo sencillo utilizado aqu no mostrar la obviedad de las consideraciones anteriores, de manera que algunos comentarios acerca del esfuerzo requerido para la extensin de los procedimientos para analizar estructuras de mayor complejidad se encuentran en las secciones de recapitulacin,Como se ver, cualesquiera de las estrategias de resolucin finalmente conduce a un paso (o pasos) que requieren de la solucin de un sistema lineal de ecuaciones simultneas. En la ltima seccin de este captulo, se harn algunas observaciones acerca de posibles problemas en este paso y se comentar acerca del nivel de exactitud necesario para este proceso, comparado con el requerido por las computaciones de resolucin manuales ms comunes.Por ltimo, debe entenderse que los pasos de los mtodos, como se describen aqu, fueron desarrollados con la intencin de formar una metodologa consistente con los requisitos para programar los mtodos en una computadora digital. Esto no disminuye su aplicabilidad a la computacin manual. Sin embargo, los mtodos manuales por lo general incorporan algunos atajos y simplificaciones para minimizar el esfuerzo computacional.3.1 EQUILIBRIO, COMPATIBILIDAD Y RELACIONES ENTRE FUERZAS Y DESPLAZAMIENTOSEn el captulo 1, se defini el objetivo tcnico del anlisis estructural como el proceso de encontrar todas las fuerzas y desplazamientos de un ensamblaje de elementos estructurales debidos a alguna perturbacin dada. Sin importar qu mtodo se utiliza para lograr este objetivo, el anlisis completo de una estructura necesitar la utilizacin de los principios de1. Equilibrio.2. Compatibilidad.3. Relaciones entre fuerzas y desplazamientos.La solucin total de cualquier sistema estructural se desarrolla a travs de una sucesin de sustituciones entre estas relaciones, hasta que resulta un sistema de N74

Relaciones fundamentales y mtodos de resolucin 75ecuaciones con N incgnitas. Segn cmo se manipulan estas relaciones, surgen diferentes estrategias. El objetivo final es desarrollar un sistema resoluble de ecuaciones que contenga como incgnitas ya sea a las fuerzas o a los desplazamientos.Tradicionalmente y para propsitos de anlisis, los sistemas estructurales se clasifican en dos grupos generales. Como se coment en el captulo 2, aquellos sistemas que slo requieren del uso de las ecuaciones de equilibrio para determinar todas las fuerzas en una estructura se denominan estructuras estticas determinadas. Los principios de compatibilidad y las relaciones entre fuerzas y desplazamientos se utilizan slo para encontrar los desplazamientos despus de haber encontrado, mediante el equilibrio, las fuerzas. Muchas estructuras prcticas caen en esta clase; estos sistemas se considerarn con ms detalle en los captulos 4 y 6. La segunda clase de estructuras requiere de la utilizacin de los tres principios para encontrar las fuerzas en la estructura. Las estructuras de este tipo se denominan indeterminadas. La distincin entre estructuras determinadas e indeterminadas se abord ini-cialmente en el captulo 2.Para ilustrar la utilizacin de los tres conceptos antes mencionados, a lo largo de este captulo se considerar el modelo de la figura 3-la. Aunque el modelo es bidimensional, los siguientes argumentos pueden extenderse con facilidad a estructuras tridimensionales. Las lneas de razonamiento aqu desarrolladas son lo suficientemente generales para aplicarse a cualquier sistema estructural que sea lineal, elstico y que experimente slo pequeos desplazamientos. Como se mencion en el captulo 1, estas restricciones son necesarias para que el principio de superposicinY////////////////////A B

(a)(b)Fig. 3-1. a) Modelo estructural, b) Diagrama de cuerpo libre.

76 Relaciones fundamentales y mtodos de resolucinsea vlido. La teora de los desplazamientos pequeos tambin simplificar la geometra del problema.El modelo de la figura 3-1 representa un sistema deformable que consiste en dos resortes conectados a una masa. La carga se aplica en el punto B y es concurrente con las fuerzas que ejercen los resortes sobre la masa. Se supone que la fuerza P se aplicar con lentitud, de modo que no participen fuerzas dinmicas. Se supone tambin que los resortes inicialmente no estn estirados, y el bloque est restringido a moverse sin friccin en la direccin de la gua.3.1.1 EquilibrioPara el anlisis bidimensional, las tres ecuaciones bsicas de equilibrio sonPara el modelo de los resortes, todas las fuerzas son concurrentes en el punto B y por ello %Mb se satisface de manera automtica. Esto deja a %Fx = 0 y a 2F = 0 como las ecuaciones primarias. Despreciando el peso del bloque, en la figura 3-Ib se muestra el diagrama de cuerpo libre de la masa. Con referencia a este diagrama, es posible escribir las ecuaciones de equilibrio como-Fx - F2 eos 6 + P = 0(3.1)F2 sen 6 + R = 0(3.2)Se ha supuesto que las fuerzas de los resortes sern de tensin y que entonces jalarn al cuerpo como se muestra. Estas fuerzas se llaman fuerzas internas o de miembro. Las fuerzas P y R se conocen como fuerzas externas o de la estructura. Tambin pueden llamarse fuerzas de las juntas, ya que estn aplicadas directamente a las conexiones o juntas de la estructura. Aunque ambas son ecuaciones de equilibrio, se clasificarn de una manera diferente.La primera ecuacin, 2Fx, relaciona las fuerzas en la direccin de un posible movimiento de la estructura. En la medida que el sistema se deforma, el punto B se mover slo en la direccin x. El posible movimiento es el grado de libertad. Un desplazamiento en la direccin de un grado de libertad se denomina desplazamiento libre. Se dice que la primera ecuacin est escrita en la direccin de un grado de libertad. La segunda ecuacin relaciona fuerzas en una direccin para la cual el movimiento no es por completo libre. Puede decirse que los movimientos en esta direccin estn prescritos o impuestos, y que la ecuacin de equilibrio est escrita en la direccin de un desplazamiento impuesto. Se ver que esta distincin es de suma importancia en el planteamiento de un procedimiento analtico general, ya que estas ecuaciones se manipulan de una forma diferente a lo largo del proceso de resolucin.3.1.2 CompatibilidadLa compatibilidad es en esencia una afirmacin acerca de cmo debe ajustarse a s misma la estructura; se trata, por consiguiente, de una relacin entre las deforma-

Relaciones fundamentales y mtodos de resolucin

77

(D

y////////////////////// b\b'y\yy

Fig. 3-2. Posicin desplazada, desplazamiento x.ciones del sistema. Si el bloque del modelo se mueve una distancia A* en la direccin x, hay una elongacin correspondiente de los dos resortes fijados al bloque (i y e2). Se puede afirmar que el desplazamiento A* en la direccin del grado de libertad debe ser "compatible" con la elongacin de los resortes {ex y e2). La figura 3-2 muestra la posicin deformada del sistema cuando el punto B se desplaza. El tringulo abe proporciona una forma de expresar la elongacin del resorte en trminos de Ai como

elx = Ax eos t

(3.3) (3.4)

Aqu se ha adoptado la notacin en para representar la elongacin del miembro i debida a un movimiento en la direccin /.Aunque el sistema est en realidad restringido de movimiento en la direccin y en B, se puede desarrollar la relacin entre las elongaciones de los resortes y una hipottica AB. El diagrama de desplazamiento aparece ahora como se muestra en la figura 3-3. Ahora, las elongaciones estn dadas por(3.5) (3.6)En ambos diagramas de desplazamiento se ha supuesto que la teora de los desplazamientos pequeos es vlida. En el diagrama de la figura 3-3, AM es un movi-

'T1

Fig. 3-3. Posicin desplazada, desplazamiento y.

78 Relaciones fundamentales y mtodos de resolucinmiento perpendicular al miembro 1. Podra calcularse la distancia CB' a partir del tringulo CBB', que esCB' = yJCB2 + ACon la suposicin de los desplazamientos pequeos (Ay < 10"2 CB), se observa que CB ser, cuando mucho,CB' = CB y\ + lO"4Esto muestra que el miembro 1 no se alarga cuando el punto B se mueve per-pendicularmente al miembro BC, en tanto se suponga que ocurren pequeos desplazamientos. Como resultado, e = 0.Ya que la superposicin es vlida, se puede combinar el alargamiento debido a cada uno de los desplazamientos Ax y Ay para obtener el alargamiento total comoe\ = eXx + e]y = Ax(3.7)^ = elx + e2y = eos 6 Ax + sen 6 Ay(3-8)Los desplazamientos A* y As a veces son llamados extemos o de la estructura. El trmino Ax es un desplazamiento de la estructura, es decir, un grado libre de libertad. El trmino A es un desplazamiento de la estructura, esto es, no es un grado libre de libertad, sino ms bien un desplazamiento prescrito. En este ejemplo se representa la gua imponiendo un desplazamiento de Ay = 0.Los desplazamientos d y e2 se conocen como desplazamientos internos o de miembro. Se dice entonces que las ecuaciones de compatibilidad relacionan desplazamientos externos con desplazamientos internos o desplazamientos de la estructura con desplazamientos de los miembros.3.1.3 Relaciones entre fuerzas y desplazamientosEn el estudio de los cuerpos deformables, el trmino "ley constitutiva" se refiere a la relacin entre los esfuerzos y las deformaciones de un material. En el captulo 1, se comentaron algunos diferentes tipos de leyes y se puntualiz que restringiramos el estudio a estructuras con material cuyas propiedades fueran lineales y elsticas. Utilizando las leyes constitutivas de un material dado y los conceptos de equilibrio y compatibilidad, es posible definir la relacin entre las fuerzas y las deformaciones de cualquier elemento estructural, por ejemplo una viga, una placa o un cascarn. Los resortes del modelo representan los elementos estructurales y se supondr que se han utilizado los principios fundamentales para definir las propiedades de desplazamiento y fuerza del elemento. Hay"dos formas bsicas para expresar estas relaciones. La primera relacin es de la formaF = ke(3.9)donde F y e fuerza del miembro y desplazamiento k = rigidez del elemento

Relaciones fundamentales y mtodos de resolucin 79La rigidez tiene unidades de fuerza por longitud y puede pensarse como la fuerza necesaria para mantener al elemento en una unidad de desplazamiento. La segunda forma de la ecuacin relacionando fuerza y desplazamiento ese = kF(3.10)e-fFEn este caso, la cantidad / est dada en unidades de longitud por fuerza y define la flexibilidad del elemento estructural. Puede considerarse que un coeficiente de flexibilidad es el desplazamiento que resulta de una carga unitaria. Se observa que en este modelo la flexibilidad es simplemente el recproco de la rigidez. Despus se ver que las flexibilidades y las rigideces de elementos con fuerzas mltiples tambin estn relacionadas por esta propiedad inversa. De hecho, hay dos estrategias principales de resolucin, que se basan ya sea en el punto de vista de la rigidez o en el de la flexibilidad.Debe observarse que los dos principios previos, el de equilibrio y el de compatibilidad, tratan con relaciones entre cantidades de una clase, esto es, las ecuaciones de equilibrio relacionan fuerzas diferentes y las ecuaciones de compatibilidad relacionan diferentes desplazamientos. Las relaciones fuerza-desplazamiento proporcionan esencialmente el vnculo entre las fuerzas y los desplazamientos.Para los dos resortes del ejemplo, se tienen los dos conjuntos posibles de ecuaciones(3.11)relaciones de rigidez(3.12)relaciones de flexibilidad(3.14)3.2 ESTRATEGIAS BSICAS DE RESOLUCINLas estrategias bsicas de resolucin se refieren a los procedimientos de resolucin que implican la manipulacin directa de las ecu

ANÁLISIS laible en word

Documents

Transcript of ANÁLISIS laible en word