Análisis Matemático II – Eduardo Espinoza Ramos – 1ed

f (x )d x = L im ^ Y f (

www.elsolucionario.net

ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net



http://elsolucionario.blogspot.com/feeds/posts/default

http://www.facebook.com/pages/EL-SOLUCIONARIO/185607668178277

http://twitter.com/#!/elsolucionario

http://www.elsolucionario.net/

ANALISIS MATEMÁTICO

PARA ESTUDIANTES DE CIENCIA E INGENIERÍA(TERCERA EDICION)

♦ INTEGRAL INDEFINIDA

♦ INTEGRAL DEFINIDA

♦ APLICACIÓN DE LA INTEGRAL DEFINIDA

♦ INTEGRALES IMPROPIAS

♦ APLICACIÓN DE LA INTEGRAL DEFINIDA A LA FISICA

♦ INTEGRACION NUMERICA

♦ FUNCIONES ESPECIALES

♦ ECUACIONES PARAMETRICAS

♦ COORDENADAS POLARES

EDUARDO ESPINOZA RAMOS

L I M A - P E R U


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net


IMPRESO EN EL PERÚ03 - 03 - 2002

3S EDICIÓN

DERECHOS RESERVADOS

Este libro no puede reproducirse total ó parcialmente por ningún método gráfico, electrónico o mecánico, incluyendo los sistemas de fotocopia, registros magnéticos o de alimentación de datos, sin expreso consentimiento del autor y Editor.

RUCLey de Derechos del Autor Registro comercial Escritura Publica

Ne 10070440607Nfi13714 Ne 10716 Ns 4484


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net


En la presente obra Intitulada “Análisis Matemático II para Estudiantes de Ciencia e Ingeniería” en su 3ra. Edición, hemos aprovechado de los numerosos y valiosos comentarios y sugerencias de mis colegas que elaboran en las diversas universidades de la

capital, al igual que la 2da. Edición se expone en forma teórica y práctica, los métodos de

integración, integral definida, integración impropia, integración numérica. Ecuaciones

Paramétricas, Coordenadas Polares y sus aplicaciones, las funciones Beta y Gamma, ios

polinomios de Taylor, así mismo se ha incluido en las integrales indefinida las ecuaciones diferenciales sencillas y sus aplicaciones, se ha hecho la demostración de las propiedades de la

integral definida, se ha incluido también mas ejercicios desarrollados y propuestos de las practicas y exámenes de las diversas Universidades de la capital.

La parte teórica se desarrolla de manera metódica y con especial cuidado, tratando de no perder el rigor matemático pero tratando de no caer en el excesivo formulismo que confunde al lector.

La lectura provechosa del presente trabajo requiere del conocimiento previo de las funciones reales de variable real, los limites y continuidad de una función, así como la derivación de las funciones en una variable.

#

La presente obra es recomendable para estudiante de ciencias matemáticas,

física, ingeniería, economía y para toda persona interesada en fundamentar sólidamente sus conocimientos matemáticos del análisis real.

Por ultimo deseo agradecer y expresar mi aprecio a las siguientes personas

por sus valiosos comentarios y sugerencias.


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net


DOCTOR PEDRO CONTRERAS CHAMORROEx-Director de la Escuela Profesional de Matemática Pura de la Universidad Nacional Mayor de San Marcos.Catedrático Principal en Pos-Grado de la Facultad de Matemática Pura de la UNMSM Miembro Fundador de la Academia Nacional de Ciencia y tecnología del Perú. Catedrático de la Universidad Particular Ricardo Palma.DOCTOR EUGENIO CABANILLAS LAPADoctor en matemática Pura, Universidad Federal de Río de Janeiro — Brasil.Director de Pos-Grado en la Universidad Nacional Mayor de San Marcos.Catedrático de la Universidad Nacional del Callao.LIC. ANTONIO CALDERON LEANDROEx-Jefe de Departamento Académico de la Facultad de Ing. Pesquera y Alimentos de la Universidad Nacional del Callao.Jefe de Departamento Académico de la Facultad de Ciencias Naturales y Matemática de la Universidad Nacional del Callao.Coordinador del Area de Matemática en la Facultad de Ingeniería de la Universidad Ricardo Palma.LIC. SERGIO LEYVA HAROExJefe del Centro de Computo de la Facultad de Ingeniería Química de la Universidad Nacional del Callao.Catedrático en la Facultad de Ingeniería Ambiental y de Recursos Naturales de la Universidad Nacional del Callao.LIC. JUAN BERNUI BARROSDirector del Intituto de Investigación de la Facultad de Ciencias Naturales y Matemática de la Universidad Nacional del Callao.Catedrático de la Universidad Nacional Mayor de San Marcos.LIC. PALERMO SOTO SOTOCatedrático de la Universidad Nacional Mayor de San Marcos.Catedrático de la Universidad Particular Ricardo Palma.LIC. JOSE KIKE BRONCANOCatedrático de la Universidad Nacional Mayor de San Marcos.Coordinador del área de matemática en la Facultad de Ciencias Matemáticas Puras.

EDUARDO ESPINOZA RAMOS


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net


D E D I C A T O R I A

Este libro lo dedico a mis hijos RONALD, JORGE

y DIANA, que Dios ilumine sus caminos para que

puedan ser guías de su prójimo


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net


P R E S E N T A C I O N

En la presente obra, Eduardo Espinoza Ramos, demuestra que sigue

avanzando, no solo en el aspecto técnico formal de la matemática, si no que, su avance se

manifiesta en la selección cuidadosa y esmero en la impresión de esta obra.

Su formación de matemático, como su experiencia en la docencia

universitaria, se amalgaman y dan como fruto una obra que marca un camino en su madurez

profesional, obra, que seguramente llenará un vacío para quienes no solo desean “resolver

problemas” sino también conocer el lenguaje formal y las ideas de esa hermosa ciencia que es la matemática

DOCTOR PEDRO CONTRERAS CHAMORRODIRECTOR DE LA ESCUELA PROFESIONAL DE MATEMATICA PURA DE LA UNMSM

ASESOR DEL “CONCYTEC”


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net


1, INTEGRAL INDEFINIDA

1.1 Introducción 11.2 La Antiderivada de una función 21.3 La Antiderivada General 21.4 La Integral Indefinida 31.5 Fórmulas Básicas de Integración 51.5.1 Primeras Fórmulas Básicas de Integración 61.5.2 Segundas Fórmulas Básicas de integración 131.5.3 Terceras Fórmulas Básicas de Integración 181.5.4 Cuartas Fórmulas Básicas de Integración 211.5.5 Integración por Sustitución o Cambio de Variable 231.5.6 Integrales de funciones que contienen un Trinomio cuadrado 271.5.7 Ejercicios Propuestos de las Fórmulas Básicas 321.5.8 Ecuaciones Diferenciales sencillas 521.5.9 Movimiento Rectilíneo 541.5.10 Aceleración Constante 561.5.11 Movimiento Vertical con Aceleración Gravitacional Constante 581.5.12 Ejercicios Desarrollados 601.5.13 Ejercicios y Problemas Prepuestos 691.6 Métodos de Integración 731.6.1 Integración de las Funciones Trigonométricas 731.6.2 Ejercicios Propuestos 871.6.3 Otras Integrales Trigonométricas 941.6.4 Ejercicios Propuestos 971.6.5 Integración por partes 1021.6.6 Casos Especiales de Integración por Partes 1171.6.7 Ejercicios Propuestos 122


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net


130143150169181186190196201215218229253

268269270276280280282296300302302303307308

Integración por Sustitución Trigonométricas Ejercicios Propuestos Integración de Funciones Racionales Ejercicios PropuestosMétodos de HERMITE - OSTROGRADSKI Ejercicios PropuestosIntegrales de Funciones Racionales de Senos y Cosenos Ejercicios PropuestosIntegrales de Algunas Funciones Irracionales Fórmulas de Reducción Ejercicios Propuestos Ejercicios Desarrollados Diversos Ejercicios Propuestos

C A P IT U L O II

INTEGRAL DEFINIDA

SumatoriasPropiedades de las Sumatorias Fórmulas de las Sumatorias Ejercicios PropuestosCalculo del Area de Una Región Plana por Sumatorias Partición de un Intervalo CerradoAproximación del Area de una Región por Areas de Rectángulos Sumas Superiores y Sumas Superiores Propiedades de las Sumas Superiores e Inferiores Integral DefinidaPropiedades de las Integrales Superiores e Inferiores Integral de RIEMANN La integral como limite de SumasCalculo de la Integral Definida usando Intervalos de igual longitud


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net


4.1 Introducción 4504.2 Integrales Impropias con Limites Infinitos 4514.3 Integrales Impropias con Limites Finitos 4544.4 Criterios para la Convergencia de Integrales Impropias 4574.4.1 Criterio de Comparación 4574.4.2 Criterio de Convergencia para Funciones Discontinuas 4574.4.3 Criterio de Convergencia Cuando un Limite de Integración es Infinito 4574.4.4 Ejercicios Propuestos 4614.5 Aplicaciones de la Integral Impropia 4734.5.1 Areas de Regiones y Volumen de Sólidos de Revolución 4734.5.2 Problemas Propuestos 4804.6 Funciones Especiales 4834.6.1 Definición de la Función GAMMA 4834.6.1.1 Propiedades de la Función GAMMA 4834.6.1.2 Ejercicios Desarrollados 4894.6.2 Definición de la Función BETA 4914.6.2.1 Propiedades de la Función Beta 4914.6.2.2 Ejemplos Aplicativos 4934.6.3 Ejercicios Propuestos 4974.7 Integrales Dependientes de un parámetro 5024.7.1 Ejercicios Propuestos 5094.8 El Polinomio de Taylor 5114.8.1 Aproximación de Funciones por Polinomios 5114.8.2 Polinomios de Taylor Engendrado por una Función 5134.8.3 Fórmula de Taylor con Resto 5184.8.4 Teorema del Valor Medio para Integrales 5224.8.5 Teorema del Valor Medio Ponderado por Integrales 5224.9 Ejercicios Desarrollados 5244.10 Ejercicios Propuestos 529


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net


7.3.1 Area Bajo una Curva dada en forma Parametrica7.3.2 Longitud de Arco cuando la Curva es dada por Ecuaciones Farametricas7.3.3 Area de una Superficie de Revolución cuando la Curva es dada en

forma Parametrica7.4 Problemas Desarrollados7.5 Ejercicios Propuestos

C A P IT U L O VIH

COORDENADAS POLARES

8.1 Introducción8.2 Relación entre Coordenadas Polares y Rectangulares8.3 La Recta y la Circunferencia en Coordenadas Polares8.4 Ejercicios Propuestos8.5 Trazado de Curvas en Coordenadas Polares8.6 Ejemplos8.7 Ejercicios Propuestos8.8 Distancia entre Dos Puntos en Coordenadas Polares8.9 Intersección de Curvas en Coordenadas Polares8.10 Derivadas y Rectas Tangentes en Coordenadas Polares8.11 Aplicaciones de las Integrales en Coordenadas Polares8.12 Ejercicios Desarrollados8.13 Ejercicios Propuestos

APENDICE

BIBLIOGRAFIA


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net


Integral Indefinida 1

C A P I T U L O I

I. INTEGRAL INDEFINIDA

1.1 INTRODUCCION.-

El problema básico de la derivación es: Dado el recorrido de un punto móvil, calcular su velocidad o también, dada una curva, calcular su pendiente.

El problema básico de la integración, es el caso inverso: dado la velocidad de un punto móvil en cada instante, hallar su trayectoria o también dado la pendiente de una curva en cada uno de sus puntos, calcular la curva.

En el estudio del cálculo diferencial se ha tratado esencialmente: Dada una función hallar su derivada, muchas aplicaciones importantes del cálculo, guardan relación con el problema inverso, es decir:

Dada la derivada de una función, hallar tal función por ejemplo: /*(jc) = 4,

g'(x) = 5jc4 . Ahora el problema es hallar ffx) y g(x), pero con un poco de astucia se puede hallar dichas funciones, esto es:

Esta iteración de determinar la función original a partir de su derivada es la inversa de la derivación y lo llamaremos cálculo de la función primitiva o antiderivada.


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net


2 Eduardo Espinoza Ramos

DEFINICION.- La función F: I -----> R, se llama la antiderivada o primitiva de

f: 1---- >R, si F '(x )= f(x ) , V x g I . (I = [a.b])

Ejemplo.- Sea / ( jc) = 5jc4 y g(x) = 3e3x, V x e R, las funciones F(x) = x5 yG(x) = eix para x e I respectivamente puesto que:G(x)=eix para x e R son las antiderivadas de f(x) y g(x)

F{x) = jc5

G(x)=eixF'(x) = 5x4 = / ( x)

G'(x) = 3eix =g(x)

Sin embargo las funciones Fx(jc) = je5 + 7 y Gx{x) = eix + 5 también son

antiderivadas de las funciones / ( jc) = 5 jc4 y g(x) = 3e3x respectivamente, puesto que:

F,(x) = x 5 + 7

G¡ (x) = eix + 5

F¡(x) = 5xA = / ( x)

G|( x) = 3eix =g(x)

análogamente, otras antiderivadas de f(x) y g(x) son por ejemplo: F2(x) = xs - 4 ,

F3(x) = x5 + 4n, FA{x) = x5 +a , G2(x) = eix - 7 , G3(x) = eix - e * , GA =eix + b

donde a y b son constantes cualquiera, puesto que sus derivadas son iguales a f(x) y g(x) respectivamente.

En general, si F(x) es una antiderivada de f(x) es decir que F'(x) = / ( jc) , por lo tanto

F(x) + c, también es una antiderivada de f(x) para cualquier constante c, puesto que su derivada es igual a la función ffx), es decir: (F(x) + c)'= F ’ (jc) = f(x)

DEFINICION.- Si la antiderivada de f(x) es F(x) sobre I. Entonces la función

G(x) = F(x) + c, se denomina la antiderivada general de fíx).

El significado geométrico de la antiderivada F(x) de fíx), es que cualquier otra antiderivada de f¡x) es una curva paralela al gráfico de y = F(x).


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net



OBSERVACION.- Resulta claro que el cálculo de antiderivadas o primitivas no determina una única función, si no una familia de funciones, que

difieren entre sí en una constante.

El proceso del cálculo de antiderivadas o primitivas se suele denominar integración y se denota por el símbolo J , llamado signo de integración, el símbolo J f(x)dx se

llama integral indefinida de f{x).

IA LA INTEGRAL INDEFINIDA,-

DEFINICIÓN 1.- Si F(x) es una antiderivada de f(x) sobre un intervalo I.osea F*(x) = /( jt) , entonces a su antiderivada general G(x) = F(x) + c se denota por:

Al cual le llamaremos la integral indefinida de f(x).

NOTA.- De la definición de la integral indefinida se tiene: G'(x) =F'(x) = / ( x) es decir:


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net



PROPIEDADES.-

De la definición de integral indefinida se tiene las propiedades:

1) -~~(f f(x)dx) = ( í f (x)dx)'= (F(x) + c)'= F'(x) = /Xx) ósea que “La derivadadx J J

de la integral indefinida es igual al integrando” es decir:

2) d ( j f(x)dx) = (jf(x)dx)'dx = f(x)dx ósea que “La diferencial de la integral

indefinida es igual a la función integrado por la diferencial de x, es decir:

3) Si f es una función derivable en I, entonces una antiderivada de / ' es f y

4) Se conoce que d( f(x)) = f'(x)dx, luego de la propiedad (3) se obtiene:

OBSERVACION.- De las propiedades (2 y (3), a la integral indefinida tambiénpodemos interpretarla como una operación inversa de la

diferenciación, puesto que la integral indefinida al actuar en la diferencial d(f(x)) reproduce la función f(x) más la constante de integración.

Ejemplo.- Con las propiedades de la integral indefinida, se tiene, que por simple inspección:

1) J (x2 + 3x + 2 )dx = j* ~ x1 + 2jc) + 2 x + c


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net



2,

r „ r , sen 3* cos4x sen3x cos4jc3) J (cos3jc - sen 4jt)dx = j d{------- + ---- ) = —-— + ——— + c3 4

n-1 n~\4) f xn dx - í d (—— ) = —— + c , n * -1

J J /i +1 n +1

DEFINICIÓN 2.- En toda integral indefinida J /(jc)rfx, a la función f(x) le

llamamos función integrando y a la variable x le llamaremos variable de integración, la constante c es llamada constante de integración, a

J /(jt)rfx también se lee “integral indefinida de f(x) diferencial de x”

NOTA.- Sugerimos al lector el dominio de las fórmulas básicas de integración, de tal manera que, en el estudio de las técnicas de integración sea amena y ágil, para tal efecto hemos agrupado en cuatro partes las fórmulas básicas.

1.5 FORMULAS BASICAS DE INTEGRACION.-

1.5.1 PRIMERAS FORMULAS BASICAS DE INTEGRACION;-

Sean f, g funciones derivables, k y c son constantes, entonces:

© i d x - x + c © ^Kf(x)dx = K ^ f(x )d x

fH'l(T ) j d(f(x)) = f(x )+ c ( ? ) jx "d x = +c

© J ( / (x) ± g(x))dx = J/l(x)dx ± J g(x)dx

Sea u = f(x), una función diferenciable en x


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net


© j e udu = eu +c audu =——+c,a>0, a* 1ln a

© Ju 2 +a2 a a © ¡

© í

Ejemplos de aplicación de estas fórmulas.

Calcular las siguientes integrales.

J x(a - bx2 )dx

Solución

Como x (a -b x2 ) = a x -b x 3 entonces:

Solución

A la función, se expresa en la forma:

+c

_ x 2m-\f2 _ 2 x m+n~li2 + X 2x li2

= jt(4m~1)/2 - 2x (2m+2n~l)/2 +x(4n-l)/2

entonces j ^ - Z £ ^ - dx = - i x ^ 2 12 +x iAnl)l2)dx

jc(4m+l)/2 2JC<2m+2',+1>/2 x(4»+l)/2(4wj +1) / 2 (2/w + 2« +1) / 2 (4« +1) / 2


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net


2-s/jt4m+1 W x2m+2n+1 2-v/x4n+1+ 6*

4/w + l 2w + 2/i + l 4/1 + 1

© |(.x—v/x+l)(V + l)rf*Solución

Efectuando la multiplicación de (x--Jx + l)(-/it +1). es decir:

(jt—Jx + lft-Jx +1) = x 3/í + 1. entonces:

2x'n J (x --/x + l)(-s/x + l)dx = j* (x3/ 2 + \)dx

© f g (-* )./'( .T )-g '(*)■/(*) dx

J g~(X)

Solución

o t- i i j ■ . j , f ( XK g (x ) .f '(x ) - f(x).g'(x)Se sabe que la diferencial de un cociente es: a (------ ) = ----------------- --------- dxg(x) [g(*)]~

Ahora reemplazando en la integral se tiene:

g{x).f'(x)-f{x).g '{x) f . , /(* ) , f Wr g ( x ) , f ( x ) - n x ) .g ' ( x ) dx r /(x) =J J OÍ*)

© J

[*W ]2 ' J *W * M

3 + lnjc J------- dxx

Solución

+ c

A la integral escribiremos en la forma:

r3 + lnjt , dx r. dx , ln2 x-------- dx = 3 — + lnx.— = 31n|jc| +-------+ cJ x J x J jc 2


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net


dxx 2 — 4jc H-13©

Solución

Cuando en el denominador se tiene una expresión cuadrática como en éste caso, se completa cuadrados.

x 2 -4 x + 13 = (jc2 -4jc + 4) + 9 = (jc-2)2 +9

r dx r dx 1í ? ^ u = J í í ^ ? ' 3 arc,e,- r ,+ ‘-

Jt + 1 .— dx 2x

Solución

Cuando se observa que el diferencial del denominador se encuentra en el numeradoro su diferencia esté en un factor de proporcionalidad, en éste caso se aplica la fórmula (7) es decir:

Sea u = x 2 + 2x => du = 2(x+l)dx, de donde, ahora reemplazando en la integral:

f * + dx= f — = — ln|w|+c* = —ln| x 2 + 2x |+ f J J 2u 2 2 1 1x 2 +2x J 2u 2

x 3dx

Solución+ jc4

En forma similar al ejercicio (7) se tiene:

Sea w = l+.v4 => du = 4xidx => x 3dx = —

Ahora reemplazando en la integral:

r x ydx tdu 1. . , I . . . 4 ,I —= 1 — = —ln \u = — In 1+jr +<•J l+ jc 4 J 4w 4 4

*%■


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net

integral Indefinida 9

( ¿ ) j(ax + b)* 2dx

Solución

En éste ejercicio se aplicará la fórmula (6) es decir:

Sea u = ax + b => du = adx dx = —a

Ahora reemplazando en la integral:

f ✓ » f 3/■> du 1 2 *¡t i 2I (ax + b) “d x = \u " — = —.—u° “ +c = — (ar + fe) “ +c J J o a 5 5¿z

© J x w + bx"dx

Solución

A la integral dada lo escribiremos en la forma:

| x " l^!a + bx"dx = j (a+bxn)U2x H'dx ...(1)

Ahora aplicando la fórmula (6), es decir:

Sea u ~ a + bxn => du = bnxM]dx de donde x n i dx = — ... (2)hn

Luego reemplazando (2) en (1) se tiene:

f „ , /---- , f 1,2 du 1 n , 2(a + hxn)v l ,I A fev í/rV = I ti ------= ------- 14 + C' ------------------------------ + CJ J hn 3 hn 3 hn

(¡T)^ J jclnx

Solución

En ésta integral aplicamos la fórmula (6), es decir:


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net



dxSea u = ln(ln x) d u ~ ------ , ahora reemplazando en la integral se tiene:jtlnx

f In(lnx) , f . dx f , u2 ln2(ln(x))— —dx — I ln(lnx)------ =1 udu = — + c = ----- +c¿ jflnx J jclnx 2 2 2

© f *—

Solución

A la expresión, agrupemos en la forma:

^ l+ x 2 +(l + x 2)3,2 = ^(l + x2) + (l+ x 2h/l + x 2

= -J(l + x 2)(l+Vl + ="n/i + x2 -Jl+Vl+Jr2"

f xdx f C „ ít T x !;■> xdx------------ = -----= (l + Vl + x -) 1/’ -7_ . . . ( l )V1 + * + fl + * ~)3 2 ‘yjl + x 2

ahora aplicamos la fórmula (6), es decir:

Sea u =l + T¡l-tx2 => du = .X X *.-(2)Vl+.v2

Reemplazando (2) en (1) se tiene:

f ..... .AA......fu ll2du = 2u1'2 + c = 21 WT+*2 + c

W TSolución

En el presente ejercicio aplicaremos la fórmula (7); es decir:


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net


3 i- _ 2Sea u = 1+x-Jx , de donde du = - -J x dx entonces -s/jc dx =—du

2 3

Ahora reemplazamos en la integral dada, se tiene:

r -Jxdx 2 [du 2 , . . 2 , /- .------ 7= = - — = —ln | m | +c= —ln 11+W * | +<

J 14- yJ r 3 * u 1 3

© ¡1 + x4x 3 J m 3

t'are,gJ + xln(x2 +l) + l dx\+ x l

Solución

En primer lugar aplicamos la propiedad (7) es decir:

r +xln(x2 +1) + 1 re*m * , f -> x í /x f dxI ---------- :---- T--------------------------------------------------- — '* = I ------ T d x + \ ln<*‘ + ,>---7+1 T-7

J l + X~ J 1 + X 1 1 + X " •’ l + X "

Ahora aplicamos las fórmulas (6), (8) y (10), es decir:

f +xln(x2 +1) + 1 ln2(x2 +l)-------------- ^------'— dx= +-- ------- -+arctgx + cJ 1 + x" 4

x 2 +3x‘ (x ' +9)

Solución

En los ejemplos anteriores, para el cálculo de las integrales, lo que sé hacia era expresar en una forma de tal manera que, se pueda utilizar las propiedades básicas de integración en forma directa, pero ciertas funciones no es tan fáciles de expresar en forma directa, esto depende de la práctica que se tenga y de la habilidad de la que está calculando; tal es el caso del presente ejercicio, es decir, en el cálculo de la integral, se hace de la siguiente manera.

x 2 + 3 = x 2 + —(x2 + 9 -x 2) = —x2 +—(x2 +9)3 3 3

ahora reemplazando en la integral dada se tiene:


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net


r x 2 +3 _ 1 f 2x2 + (x2 +9) _ 1 f. 2x2 x 2 +9J x V + 9 ) 3 J jr2(x2 +9) ~ 3 J r ( x 2 +9) + jt (jc2 +9)

l r r 2dx rd x1 l r2 x l n= T [ I-T —r + I — ] = r t r a rc tg -— ]+ c3 J j r + 9 J j r 3 3 3 x

f—J Wv7dx

x(x' +1)Solución

En forma similar al caso anterior, el numerador expresamos en la forma:

1 = (x7 +1) - x 1, ahora reemplazamos en la integral dada:

f f = f ^ A ' A - f ^J x (x 7 +1) J x ( x 7 + l ) J x ( x7 +1) J x ( x 7 + l)

r dx _ r x dx (aplicando la fórmula 7)J x J x 1 +1

= l n |x | - y l n |x 7 -h 11-i-c:*

5> V cp n r —

cosjcdrsen" x - 6sen* + 5

Solución

c o s jc dx r c o s jc dx f cosjc dxÍ cosx dx _ r cosjc dx rsen2 jc-6senjc + 5 J (sen2jc-6senx + 9 ) -4 J (senjc-3)2 - 4


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net



En éstas fórmulas básicas van a considerarse los casos en que él integrando es una raíz cuadrada de una expresión cuadrática.

Sea u = f(x) una función diferenciable en x, entonces:

Nota.- Las integrales de este tipo se calculan completando cuadrados.

Ejemplos de aplicación de estas fórmulas.


O \-r= r=3 V -* 2- 6 x - 6Solución


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net



En la expresión completamos cuadrados: - x2 - 6 jc- 6 = 3 - ( x2 +6+9) = 3 - ( jc + 3)2

ahora reemplazando en la integral y aplicando la fórmula (1)

t dx t dx /*+3,- .vr-_,-r= = = = arcsen(—-=-)+c3 4 - x 2 - 6 x - 6 J ^ 3 - ( x + 3)2 V3

Solución

Completando cuadrados en la expresión 5 - 2x + x 2 se tiene:

5-2jc + jc2 = x2 -2 x + 1 + 4 = (jc-1)2 + 4 , ahora reemplazando en la integral y

aplicando la fórmula (2)

f . - - f - ^ = = - ^ =-r = ln lx - l + V5-2x + x2 |+cJ V 5-2x + jc2 J ,/ (x - l)2 +4

® J - A -J W l- ln xSolución

dx

i / * . . . . a)W l- ln 2 x V l- ln 2 jc

Sea u = lnx ==> d u - — ... (2)x


— . *** = f . = arcsen(w) + c = arcsen(lnx) + cx s l í ^ i ñ ^


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net


Integrai Indefinida 15

Solución

A la integral dada escribiremos así: ? v „

f senx eosx d x= )_ f 2 senx.eosx ^ 4'ÉO - £ (1)V2-sen* v 2 .12-(sen’ .t)2 \

Sea w = sen2 x => d& = 2 senxeosxdx ...(2)

Ahora reemplazando (2) en (1) se tiene:

r sen .y eos x , 1 r du 1 , « v 1 ,sen2x x, = dx = — \ . = — aresení—¡=)+c = — arcsen(— ) + rJ V2-sen4 x 2 J 2 ^ 2 ^2

J -\/.Y2 - 2 x - l <ÍTSolución

Completando cuadrados: jc2 — 2jc—1 = (a — l)2 —2 , reemplazando y aplicando la

fórmula (5) se tiene:

J Vx2 - 2 x - l dx = J-^ (x -l)2 -2 dx

x — 1-y/x2 - 2 x - l - ln lx -1 + V x 2 - 2 x - l \+c

© Ja/2 a x -x 2

Solución

Completando cuadrados: la x - x 2 = a 2 -(x - o ) 2.

Ahora reemplazando y aplicando la fórmula (1).

r dx r dx ,x ~ a .I = - = —¡ = = = = aresenf------) +cJ -J la x -x1 J -Jo2 - (x — ' 2o)


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net

Q J (8x-3 )dx~<J\2x-4x2 -5

Solución

Cuando se tiene éste tipo de integrales, en el numerador se pone el diferencial de la cantidad subradical, luego se resta ó suma una cantidad de tal manera que, resulte la

misma expresión, es decir: d( 12x - 4x2 - 5) = (12 - 8jc )dx

r (&v-3)rfr r ( 1 2 - 8 x - 9 )dx _ .r (\2-% x)dx ^ r dx

* J \2 x -4 x 2 - 5 Vi2 x - 4 x 2 - 5 ^ jl2 x -~4x^-5 ^ |l2x^ A x2 -5

= —2-\/l2x-4jEZ -5 -f— f . = =2-» T T

h x-2 }

= -2'yj\2x~4x2 -5 + arcsen(—y ~ ) + c

O JV2 + x2 —v/ 2 —jc 2—dx4 ^ .

Solución

A la expresión, separamos y simplificamos

-\/2 + jc2 - ^ 2 - x 2 _ -v/2 + x 2 —n/2—jc2 _ -\/2 + . t2 —s/2—jc2

V 4 - x 4 -^(2 + jc2) ( 2 - x 2) ^¡2+ xI ^ Í2 ^ 7 2

V2 + X2 V2-X2"-^2 +x 2 - j2 - x 2 ^¡2+x2 - j2 - x 2 - j2 - x 2 ^ 2 + x 2

Ahora reemplazamos en la integral dada se tiene:


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net


= arcsen(-^=)—ln |x + 1/ 2 + x3 \ +c■n

1 (x2 +¡fríP +1Solución

2Al integrando divide, numerador y denominador entre x

/■ 2 u j ----(1------------------------ T*1*(x -1 )dx _ r rr (x -îjfflr _ f jr f____' (x2 + lh /x4+l • '(x 2+lh/xî + I (vJ.Iv Ü + J _

* V X2

Ahora hacemos la sustitución: w = x + — => ¿« = (1 — -)rfx* x2

1 2 2 1 ? 1 7 «w=x + — => u - x +-— + 2 => * +■— = « - 2„ 2 2* X X

enseguida reemplazamos en la integral

f (x“ - l )dx r du 1 fu| 1 , x +1.---------- = — , ■ = —;= arc sec —==+c - —¡=arc sec(-==-----)+cJ (x2+ lh /7 7 7 J w / ^ 2 -J2 - f i J2 J ï \ x \

Íx2 +1710) I — = d x Vx2 +9

Solución

r x2 +17 . f(x2 +9) + 8 . f x2 +9 , _f dxI , dx= — , - ■ - dx= dx + S\ -,--=■Vx2 +9 Vx + 9 Vx2 +9 -\/x2 + 9

= f Vx2 +9dx + 8 f —J -vx2 +9

= —[xVx2 +9 + 251n|x + -\/x2 + 9 |+c 2


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net



1,5.3 TERCERAS FÓRMULAS BASICAS DE INTEGRACIÓN,-

En éstas fórmulas básicas vamos a considerar a las funciones trigonométricas, para esto tenemos una función u = f(x) diferenciable en x, entonces:

| sencida m -m sw | c u "§$

Jíg&ifc ~-ífí:|€OSí¿:| £?)

=ífe| e£f+ tg(^+

Jeosecuutu ~ in [cosecu -c tgu | = In) tg~ | +c

( ? ) | ses- u.du :- :f e f x ^ ^ ^ u M i ^ - c X g u +&

J smtt. tg « ;é íN :^ # ^ t■ ^pj) J w s e p m ^ ^

Ejemplos de aplicaciones de estas fórmulas

Calcular las siguiente integrales.

Jsen(x2 -4 x + 5).(jc-2)rfx

Solución

Sea w= jc2 - 4 jc + 5 => du = 2(x-2)dx , de donde

(x -2 ) = y reemplazando en la integral dada

f -iv j f du eos u cos(x2 -4 x + 5)I sen(jr -4 x + 5).(x-2)dx= I senu.— = -------- + c = ----------------------+ c 2i 2* 2

J cos(sen x + x 2 ).(2x+ eos x)dx


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net


Solución

Sea u = sen x +x 2 => d u - (2x + eos x)dx , reemplazando en la integral dada

J cos(sen x + x 2 )(2x + eos x)dx = J eos u.du = sen u + c = sen(sen x + x 2) + c

©tg(V*2 +4)x dx

J x 1 +4Solución

Sea u =-\/x2 +4 => du = —¡ ^ ^ = . reemplazando en la integral dada:V*2 +4

[ tg(Vjc2 +4) X<L= = f tg u.du = ln | sec u \ +c =ln|sec(Vx2 + 4)|+ cJ V x 2 + 4 J

(7 ) Je tg (ln .r)-^

Solución

dxSea u = ln r => d u - — , ahora reemplazando en la integral dada:x

J c tg(ln x) — = | c tg u.du = ln | sen w | +c = ln | sen(ln jc) | +c

( 5) J sec(3x + 5)dx

Solución

Sea u = 3x + 5 => du = 3dx => rf* = , ahora reemplazando en la integral dada.

f sec(3x + 5)dx = f sec m.— = — ln | sec u -1- tgu | +c = — ln | sec(3x + 5) + tg(3x + 5) | +c* J 3 3 3


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net


x) + c

® [secasen +J 2-4 x

Solución

c r j 2'Jx + c.oS'Jx .Sea u = sen V* +x => du = -------- ¡=------dx2-Jx

Ahora reemplazando en la integral dada:

Jsec(sen^[x + x)( ^ ^ )dx = J sec 2 u.du = tgu + c = t g ( s e n + x)

(7 ) | secasen x ) tg(-Vseñx )^Jcigx^fcosxdx

Solución

f— eos xdx Jc tgW cosxSea w - Vsen x => du = —= = = ----------------dx2vsen.v 2

De donde, ahora reemplazando en la integral se tiene:

| sec(-Vsenjc) tgí^sen x )^/c tg Wcos x rfx

= 2 J sec k. tg w.dw = 2 sec w + c = 2 secasen x) + t

© f v r + eos 8xdx

Solución

Se conoce que: eos2 4x = l + cos8x = 2cos2 4 x , ahora reemplazando

en la integral dada:

a/2 sen 4xJV1 + cos8xí& = JV2 eos2 4xí/x = a/2 Jcos 4x.dx = -+£■


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net


1.5.

En estas fórmulas básicas vamos a considerar a las funciones hiperbólicas, para esto consideramos una función u = f(x) diferenciable en x, entonces:

( 1 ) Jsenhw.rf.v = coshí* + é (¿p J coshfe^f« = senhw -i c

(”Í ) J tgiiu.du = ]nl'cosh» | +¿ ( 7 ) j c i0 ü .M ± ínjséah»} #

( 5) Jsec/?’?«*/ igliw+f (g) | cmechhi-du = -ttgh

?) J cosecte./. tghí<uíw = cosec/«/ +<:

Ejemplos de aplicación de estas fórmulas básicas.

© í sec hx.dx

Solución

r > , 1 2 leComo sec hx =coshx ex +e~x e2x+ l'

Hacer: u = ex => du = exdx, reemplazando en la integral dada:

í sec hxxix = 2 f — ----d x - l [ = 2 arctg(w )+c =2 arctg(e*) + cJ J e~x +1 J u~ +1

J(3senh7,v-8cosh7x)rfx

Solución

J (3 senh 7x - 8 cosh 7x)rfx = 3jsenh7x.<lc-8j cosh lx.dx = - C° ^ — - ^ 5 ^ L +C

(T ) J 5tghA.sec h2x.dx


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net


Solución

Sea u = tgh x => du = sech2x ¿y, reemplazando en la integral dada, y por la

fórmula 9) de la primera parte se tiene:

cu ,-tgh.rf5 Igh\s e c /r* dx= \5 “du= — + c = - -----+ ci i ln5 ln5

© j cosh2 x.dxSolución

€'X + € X 1cosh2 x.dx = (---------- )2 = —(e2* + e 2 jr + 2) , reemplazando en la integral dada2 4

i i 2xícosh2 x.dx = — [(e2x + e~2x + 2)dx = —[—----— + 2x] + cJ 4 J 4 2 2

1 1 x- — (senh 2x + 2x)+c =—senh 2x + —+c4 4 2

© i senh jc.coshjc.dx

Solución

senh5 xJ senh4 x cosh x.dx = J (senh x)4 cosh x.dx -

(ó ) jV*. cosh{e*) senhfc* )dx

Solución

| ex cosh(er)senh(e' )dx = J senh(^x).cosh(er)£xdx =

+ C

senh2 e* ■+• c----- ' 2du

(7) ísenh(-v/x)-^r J v x


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net


Solución

senh^/jc) = 2 í scnh(-Jx )d(*Jx) = 2 cosh ( J x )+c

OBSERVACION - En ciertos casos es preferible elegir un cambio de variable en laforma mas adecuada a fin que la integración sea fácil de

resolver y este caso veremos con el nombre de integración por sustitución o cambio de variable.

1.5.5. INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN O CAMBIO DE VARIABLE,-

TEOREMA.- Si x = (JKt) es una función diferenciable entonces:

Probaremos que G(t) es la integral indefinida de la función / , esto es quese cumple:

Demostración

Sea F(x) = J / (x)dx y definimos G(t) = F(<Kt))

(2)

Lo que es equivalente G(t) = f(4>(l))jp'(t)dt ... (3)

En efecto se tiene: dG(t) __ d F(<¡>{t)) = — F(x) , x = <J>(t)di dt dt


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net

dF(x) dx (regja ^ ja ca(jena)dx dt

= f(x)4'U) pues dFj X = f{x)dx

- f ((¡>(t))$ (/) (lo cual demuestra 2)

Se concluye que:

Sí x = <|)(t) entonces J / (x)rfx = F(x) = F(<¡>{t)) - G{t) = J f (t)dt

Ejemplos.- Calcular las siguientes integrales.

J x\ jx - 2 dx

Solución

Sea t = x - 2 => x = t + 2 => dx = dt, reemplazando en la integral

j x l f x - 2 <¿* = J(/ + 2)Vr rf/ - J(í4/3 +2tl l i )dí

= 3 /7/3 + 3 /4,3 +c = i (jf_ 2)7/3 +l ( x - 2 ) 4/3 +c

© í # iV i- *2Solución

Í x3á _ f x 2jr dx

sea / = 1—x* => x2 = l - f => xdx = - - y , reemplazando en (1)


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net


1 3 / 7 !/■> .111 1V 3) f 3= - t 1 - +c = t ' ( — l ) + c = — --- - + í = V 1 —JC ( -------------------- ) + c3 3 3 3

J v5 Vi ~v2 rfv

Solución

J x5 Vi - * 2 dx - J (x 2)2 Vi - * 2 x dx ... (1)

Sea / = 1 — jr2 => je2 = 1 -/ => x dx = - ^ , reemplazando en (1)

J * 5 Vi“ -T2rfx = J (x 2)2 Vi“ *2* rfx = J ( l - / ) 2Vf

= J ( l - 2 / + r ) - v / 7 ( - ^ - ) = | j ( 2 / J ' 2 - f 1 / J - t ‘i / 2 )d t

2 f 1 1 1 2 1 7 / ■>=—r — r ¿ — / + c5 3 7

© I - t HJ W-v -1

= ^(1-V 2)5' 2 --(1 -A -2)3 2 - I ( l - X 2)7/2 + f 5 3 7

d x

-1Solución

Sea f2 = v 3 - l => .v3 = 1+ /2 => x2f/v = zí_í^ reemplazando en (1)


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net



f dx f x 2dx _ r 21 di

J w * 3-1 _ J 3(i+/ 2)^ r

2= -J ----7 =—arctg/+c = —arctg(-y/jc3 - l )+ c

Solución

d tSea i = jr5 +1 => x4dx = — , reemplazando en la integral dada:

f_ * . 1 f c ' " d t ^ + c = W +D6' 7 + c30 30

r x t t f * = I f , J 5 ift s J

© |^ 2 + ^ 2 +a/2 + 2 co s(5 ^ + 4 M '1(2*

Solución

Por la identidad eos2 — = ■*— C0S-* de donde 1 + eos x = 2 eos 2 —

/2 + 2cos(5^/x + 4) = a/2.^/i + eos(Wx + 4) = ^2^2 cos^ * = 2 cos("*^*+ )

^¡2 + -y¡2 + 2cos{5-Jx+4) =^2 + 2 c o s - ^ ^ -

-^2+-^2 + -^2 + 2cos(5V* + 4) =-^2+ 2 eos = V2^1 + eos ^


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net



pr pr 5-/x + 4 5-J x + 4= V2.v2.cos--------- = 2cos-----------

ahora reemplazamos en la integral dada

J ^2 + + -J2 + 2cos(5^/x + 4) . x V2dx = 2Jeos — jc'^dx

5-\/x+ 4 8 rf,v -i/? 16=> —í f c = — = => .v ~dx = — d :

8 5 " 2-v/jc 5

J-^2+-j2+-y/2 + 2cos(5-s/x +4)Fjc 1/2í/x = 2 J c o s ífc = — senr + c

32 5Vx + 4= — sen--------- + c5 8

Se traía de las integrales de la forma siguiente:

Las integrales de la forma (1) y (2) se calculan completando cuadrado en el trinomio y aplicando 11 y 12 de la Ira. fórmulas básicas 11, 2 y 3 de la 2da. fórmulas básicas es decir:


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net



r dx 1 f dx* ax2 +bx+c o J b 7 4cfc- ¿ 2(* + — )“ +----—

2a 4¿r

í z f c - i l -rf-Y

x a x ^ b x + c f 6 .7 4ac-ZrI,x+ ü > - + ^ r -

Luego aplicar las fórmulas indicadas para las integrales de la forma (3) y (4), primeramente se calcula la derivada del trinomio cuadrado 2ax + b.

Luego se acomoda en la expresión ax + b en la siguiente forma:

ax+b = — [2cx + d]~— + b, como se observa que la expresión 2cx + d es la 2c 2c

derivada del trinomio cuadrado, luego reemplazamos en cada una de las integrales.

j

l 1 ¥ U U U LA U 1 V 1 1 1 1 V / W W U U i U U KJ* A U V C 1 V i l t U U U I

(ax+b)dx a r (2cx+d) J ,, ad t dx— ---------= — — 5---------dx+(b- —- ) —¿---------cx~+dx + e 2c J cx~ + dx+e 2c J cx~+dx+ecx~ -n

aquí se aplica la propiedad (7) de las Ira fórmulas básicas y la integral de la forma (1).

En forma similar para la otra integral

r (ax + b)dx _ 2 l Í 2cx+d + ad r dx^cx2 +dx + e ^c J Ver2 +dx + e ^c J ^Jcx^dx^-e

aquí se aplica la propiedad 6 de la Ira fórmula básicas y la integral de la forma (2 ).

Í dx— --------------

x~ +2x + 3

SoluciónCompletando cuadrado x 2 + 2x+3 = (x +1) 2 + 2


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net


Í dx— — r ' —j r - 7 j t+ 10

Solucion

•, 49 49Completando cuadrado jc‘ - Ix + 10 = (*“ - Ix + — ) + 10-----= (x -4 4

-_Z_!f dx r dx 1 _ , ' i i , 1 _ . j t - 5 ,

-------= ------=----- o = T ln |----5 - 5 - 1+í' = T ln |— ^ l+ fj jc2 - 7 jc + 1ü / y——)" —— 3 r - Z + i . 3 r ” 2

2 4 2 2

¿AEjemplo.- Calcular la integral - pJ V4x-3-Jc2 Solución

Completando cuadrados 4jc—3 — Jt2 =1—(a 2 - 4 y + 4) = 1-( y- 2 ) 2

í . = - f -= ^ ^ ^ = = arcsen(v-2) + c*J V4r-3-Jt2 J Jl-(*-2)2

dxEjemplo.- Calcular la integral f .................*J V r 2 + 6 r + 13

Solución

Completando cuadrados ,v2 + 6x + 13 = (x+ 3 r +4

í ___ — ____ - f ----- = In |x+3 W-V2 +6~y+13 1J V * 2 +6.V + 13 ^/(v-f3)2 4 4

0 (v -2 )dxEjemplo.- Calcular la integral I ---------1 1 —~ x -lx-* 12

Solución

+r

r- | <n


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net


1 2 * -7 + 3 1 2x —7 | 32 x 2 - l x + 12 2 jc2 - 7 jc + 12 2(x2 - 7 a* + 12)

se observa que 2x — 7 es la derivada del trinomio x 2 - l x + \2

f ^ - 2 |A = i [ , 2 x ~ 7 —J a - 7 a + 12 2 J jf - 7 x + 12 2 J a - 7 a + 12

= — In | .y2 - 7.y + 1 2 1 + — [ -------^ — -2 2 J , 7 i 1(x — ) —

2 4

x _ 7 _ I

— ln|A2 - 7 x + 12| + —.— ln | ---- 1 \ | +c2 2 1. 7 1 12(—) A - - + -

2 2 2

— ln |x 2 — 7,v +121 + — ln | ——-\+ c2 2 Jc-3

3jc 1Ejemplo.- Calcular la integral í — ------------ dxJ 4x —4.V + 12

Solución

3 4 3 13.y-1 = - [8 a - 4 + - ] = - ( 8 a - 4 ) + -

8 3 8 2

í dx— í ^ a -4 dx+^ í1 4x2 - 4 x + 17 * 8 J 4a-2 - 4 a+17 * + 4a2 - 4 a + J7

= —ln |4x2 - 4 a + 17 |+ — í ------P ------8 8 J . l j .( x ------) +4

2

13 1

= — ln 14x2 - 4x +171 + — arcig — + c8 16 2


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net



= —In I 4x2 ~ 4 x +171 + — arctg(——-) + c 8 16 4

Ejemplo.- Calcular la integral í l)dx_V x 2 + 2 .V + 2

Solución

se observa que 2x + 2 es la derivada del trinomio

r ( 3 x - l ) d x 3 |r 2 * + 2 „1r d x

W x 2 + 2 x + 2 2 , ‘1 1 ■> - - a x q J

V x " + 2 x + 2 r( x + 1 ) 2 + 1

= 34 x l + 2 x + 2 - 4 In I x + 1 + - \ /x 2 + 2 x + 2 | + c

(4 — 7jc )rfjcf >Ejemplo.- Calcular la integral I .Vx2 +2 x -8

Solución

4 -7 x = - - [ 2 x + 2 - — l = - - ( 2 x + 2) + l l2 7 2

se observa que 2x + 2 es la derivada del trinomio

(4 -7 x)¿/x 7 f 2x + 2 r rfxr (4— Jxjux _ ¡ c ¿x + ¿ r

3 -Jx2 + 2x-8 2 -* Vx2 + 2 x -8 ■\¡(x + l)2 -9

= -7-y/x2 + 2 x -8 + llln |x + l+ V x 2 + 2 x -8 |+c


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net



1.5.7. EJERCICIOS PROPUESTOS DE LAS FÓRMULAS BÁSICAS.-

Calcular las siguientes integrales indefinidas inmediatas:

© f 3 ax1 - 2 bx ,7 dx

Vax3 - b x 1Rpta. 2^ax*-bx2 + c

© f a* eos x.dx Rpta. (a sen a + cos x - 1)] ,wJ (a* sen a* + cos a -1) 1 -m

© f dx

Y(l + A2)ln(A+-\/l + A2 )Rpta. 2^/ln(x + '\/l + x2 ) +í*

© 1 ln(C0SX).tgX.rf* Rpta. ln2(cosA)--------------+ c2

©f^/l + lnx . ---------- dxJ A

Rpta. — (1 + lnx)4' 3 +c 4

©f x" Va Rpta. 2 i „

-----■%/ n 4 - h v 4 - c

^]a + bxnV u F C/JV T t

nb

©f x-arctg(2x) ^ Rpta. ln(l + 4x2) arctg2(2jc)J 1 + 4x" * 8 4

©r ¿v Rpta. 1

(aresenx)3 ^ \ - x 272(arcsenx)~

©f Ja Rpta. arctgtO + c

© r a* ln¿/ ,----- — dx

J l + o2rRpta. arctg(tf*)+c

© re*(l + xlnx) ,------------------rfx

J ARpta. ex lnx + c


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net



@

©©

©

©

@

jt2v(lnjc + l)rfr

r * v 2V JC-JC e +x dx

sen 2x^\ + 2 cos 2x dx

4 x (x i ,2 - 4 )}rfv

a + bx2

ax+b dxpx + q

xdx

VJC2 +1

V* + In y

JC

jrd.Y

y dx

'\j\6~9x2

ln(x + -\/l + *2 )1 + JT

dx

e'dx

x 2xRpta. + c

R p ta .------ p r - e 1 + l n | y | + c

3x^J x

Rpta. -i(l+ 2cos2 ji-)3/2+ r

Rpta. - ( j t 3,2- 4 ) 4 + f 6

Rpta. — \n\ci + bx2 |+t* 2b

_ ¿/x b p -a q . . cjRpta. — + ——:pM n|jt + — l+cP p~ P

Rpta. (jr2 + l)2 + r

_ _ f— liT yRpta. 24 x + —-— + c

Rpta. (x2+8)2 +c

_ I ,3x Rpta. — arcsen(— ) + £■

a + hex

Rpta. y[ln(x + l + x 2 )]2 + £

Rpta. ^-ln\a + he* [+r


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net


íd x

4 + (jc-2 y. 1 x - 2 vRpta. — arclg(------) + c

2 2

jx d x

6 + (3 + 2a2)2_ 1 3 + 2x2Rpta. — arctg(— = —) + c

4V6 V6

sen a rfxCOSA*

Rpta. ln |1 — eos x | + c

Rpta- -y— ln | j — | +<• 16 x2-X

sec~ x d x

a + h tg xRpta. — ln| a+ ¿tgx|+í*

b

ísee2 x d x

6 + 2 t g 2 x

^ 1 , tg xRpta. —= arctg(-T^) + c 2V3 V3

©

©

J e i 2 x i ) d x

Ídx7 Í ^

© Jxln" x

2'3 ~ iex-2

Rpta. yí?í l r5 )+c

Rpta.ln.r

3 , 6 .

+c

Rpta. - ( - ) " ( 125 5 In6 -ln5

) + c

© I 1 8 ¿ t

9 x 2 - x A

_ 2 1. , jc+ 3 .R p ta .-------In I----- 1 +ca 3 a - 3

COSARpta. 2V - cos a + c

© f , fJ sen .r^/ctgjc-1

Rpta. (í tg x -1 )3 +<


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net


©

(x2 -2 x + l)5l - x

senh xdx

dx

(1 + cosh A )

(]n.i+I)e 'lnxi/r

dx7 l 2a x~ - b

ascnx cosx dx

1 + sen x dxx - cos X

e hxdxl - e hx

x 2dx.3 v2(a + bx )

x3 - lx4 -4x+\

dx

dx

x 2 -4 v + 8

18 dxx 2 + 4 x -5

, sec 2x i ,(----------)~dxl + tg2x

Rpta. 12(1 + cosh x)

+ c

Rpta. xx +i

_ 1 . , a x-b .Rpta. — -ln|---~\+clab ax + b

Rpta. aIn a

+ c

Rpta. In | x - cos x | + c

Rpta. ^ - ln |l-e bx | +c

Rpta. - 13b(a + bx )

Rpta. - -ln|A'4 -4 a + 1 |+c

_ 1 fx-2Rpta. — arctg(-——) + c 2 2

Rpta. 3 In | ——- | +cx + 5

Rpta. -2(1 + tg 2x)

+ c


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net


4 dx

V -4x2 -20a - 9Rpta. 2arcsen (^ ^ ) + t-

IaretgV* d*

Vx + 2x2 + x 3Rpta. arctg2V*+c

© i dxcos2 A-Jl + tg-V

Rpta. 2 /l + tgjr+c

© J2x - Varcsen x

V i-* 2dx Rpta. - l 4 \ - x 2 (aresenx) -n

jlnxdx

x(l+ln~ x)d v

1 ?Rpta. — ln |l + ln~ x |+c

2jt

©

dxí —J <?2'+ i

Í lnx-1 . --- y— dxln x

Rpta. ln |e +é~x |+c

Rpta. + clnx

jg 'W

( g W ) 2dx Rpta.

g(x)■ + c

x ln x -( l + x 2)arctgx x(l + x2)ln2 x

dx _ arctgxRpta. ---- — + clnx

i1 -x ln x

Xí?dx

_ lnx Rpta. ---- + c

/x r (xln2 x + x lnx-1)

ln2 xdx Rpta. ---- + c

lnx

© iV i-* 2V l-X 2

aresenx-x

(aresenx)'dx Rpta. +c

aresenx


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net


@

©

©

©

g(x).g'(x)

■Ji+gHx)dx

e x~e dx

ln(2x) dxln(4x)x

2 + x + 3 arctg3 x1 + j r

sen ~Jx cos^x

dx

£

ln(2x) + In2 jt

dx

3xdx

In % *—

dx

e€ e€ ^Xdx

x dx(1 + a*4)arctg3 a*2

sznlxdxcos'' x + 4

ex sen(4er + 2)dx

(x + 2) dx^/x3 + 6x2 + 12x + 4

Rpta. ^ l + g 2(x) +c

Rpta. e€ +c

Rpta. In x — In 2. Ln | x In x

1 3Rpta. — ln(l + x2) + 2 arctgx + — arctg4 x + c2 4

Rpta. -cos2

Rpta. Z irr |2 x |+ ^ ln 3 |x |+~-ln2.1n|x|+c

Rpta. e€ + c

1R p ta .---------- —- + c4 arctg“ x

Rpta. -ln |cos x + 4 |+c

Rpta. - Z cos(4^ ' + 2)+c

Rpta. — 'vx3 + 6x2 +12x + 4+6*


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net



©

©

®

V3-t4 +4.v3 +6x2 +12jf+9(.v3 + x~ +x + \)dx

Rpta. -j^(3x4 +4x3 +6x2 +12a+9)5 + c

x 3 + x + 5x 2 +l

dx

4 + 4 l ^ x :a/3 -3 jc2

dx

Rpta. — + 5arctgx+r

J 3Rpta. -^-(x + 4arcsenx) + c

(x + l)(x2 + l)ln(x2 + l) + 2x2 Vj _ 4 7 ----- ----------------—-e ' dx Rpta. xe ln(l + jc2 )+ cx 2 +l

dxx(ln(ln (lnx))).(ln(lnx))lnx

3 + xln(l + x 2)1 + x 2

dx

xdx

(x-2)dx

4 x 2 -4 x + 13

/ 1 1 ^ T T—r r )^x~ -a~ x~ —u

sen x -x ln x . eos jcdxa sen' a*

lnxrfv(1-ln2 x)x

Rpta. | l n | l n | l n J |lnx |||+ c

1 ?Rpta. 3arctgx + —ln~(l+x~) + c 4

Rpta. yarcsen(jc2 ) + c

Rpta. ^'x2 -4 x + 13 +c

Rpta. —ln | —----- — | +c2 x -k~

__ lnx Rpta. — -fesenx

Rpta. ~ y i n | l - l n 2 x |+ c


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net



©

©

©©

©

x idxV T v

e'dxe2x -6 e ' +13

sec2 xdx

-Jtg2 x + 4tg.t + l

1------Vl + -v2

dx

exé ~ e 2x

dx

Vs- 4 x -* 2

dx

Vis + 2 X - X 1

dx

jcV* -9 In2 a*

rf.v

V *- £2a +3e'

sen jc dxV2- COS2 A

dx

Vs- 6 a -9a-2

dx

4 \2 x -9 x - -1

Rpta. arcscn(x4 )+c

1 ex -3Rpta. — arctg(--------)+c2 ^

Rpta. In | tg.v + 2 +Vtg2 x + 4tgx + 11 +r

Rpta. iVl + JC2 -31n |x + V*2 +1 |+c*

Rpta. -arcseii(e *) + £•

Rpta. arcsen(* j ) + ¿

Rpta. arcsen(^Z) + c

Rpta. Z arcscn(ln x 2 ) + c

2ex -3 Rpta. arcsen(—Vi7

i .3.V-2Rpta. - a r c s e n ( — ^ - ) + c3 V2


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net


s cos x dx

V -2 -sen 2 x+3senxRpta. arcsen (2 sen x -3 ) + e

Í 2dx

V9x2 -6 x + 2Rpta. — ln |3 x - l W 9 x 2 6x + 2 |+c

3

3 dxr ó a,J T T tTI^4 ln 2 x + 9

Rpta. — ln ^ ln x + ^ T n 2 v + 9 |-fc* 2

i3x dx

í JC4 +6.V" +5Rpta. y ln |x 2 + 3 + V*4 + 6x2 +5 |+c

rfx

+ J?x+#Rpta. ln | x + 'y + 'Jx2 + px+g I +c

íoo; f ,J Vl + tf'r +e2*

Rpta. ln |e' + — + -Jl+ex + e2jt |+c 2

© í dx

V -2 6 -1 6 x -2 ;rRpta. —p^arcsen(—pr-)+c

V2 V3

[102 jlnxdx

rVl+ 41nx-ln2Rpta. - V l-41n x-ln 2 x - 2 arcsen(^+^ *) + c

V5

103 eos xdx

Vsen2 x + senx + 1Rpta. ln12 senx +1 + l^ sen2 x + senx + 11 +c

104J see x <íxJ *^ tg 2 x+ tgx + 1

Rpta. ln |2 tgx + l + 2^tg2 x + l + 2-s/tg2x+ tgx+ l |+c


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net

-x )dx

a/4 . v 2 - 1 2 v + 7

©

108

109

©

©©©©©©

Rpta. - ln |2 .v -3 + V4.t2 -12.V + 7 \ - - ^ 4 x 2 -12.Ï + 7 + <4 4

4 dx

eos W l-sen 2 a- + 2 eos - vRpta. 41n|(tg2 x -I) + - J t g 2 a* - 2 tg y + 3 |+ r

e o s " A '(tg~ A' + l )

(sen y-feos a ) 'dx Rpta. 1

[see A - t g A

1 sec X + tg X

(8a -3) dx

dx

Vi2jl —4 r2 -5

*\Ja2 + />2x 2

eos ax ¿7a

^[a2~+s+ sen_ ¿7v

'sjl—x - x 2 dx

tJx2 + x dx

Vx2 - 2 y + 22

1 + tu v• + t

Rpta. In I see x + tg x | - ln |see x | + e

Rpta. - 2 - \ / i 2 y - 4 x 2 -5 + — aresenf + 12 2

Rpta. — ln|/?A+ ]a2 + b2x 2 | +c b

1 / 7 ^Rpta. — Inlsenav + V*?" + sen~ tfx|+t

a/ a 2 + 2 A'+ 5 dx Rpta. * 2 + 2x + 5 + 21n| a + 1 + Vy^ + 2 x + 5 | + ¿

2 y + 1 r ----------— 9 2 a + 1Rpta. -------V 2 - a — y “ + —aresení--------) + (4 8 3

Rpta. V-V2 + v - l n | 2 a +1 + 2Vx2 + x |

Rpta. - —- ^ v 2 — 2 y + 2 +—ln| y - I + V - y "* -2x + 2 | + r


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net

©©

1119

120

©

123

125

126

127J

.128

V-*2 -2.V-3 d x

V6 a - x 2 d x

d x

Rpta. V-v2 - 2a - 3 - 2 ln | a -1 + V v2 - 2x - 3 | + í -

„ . a -3 r T 9 / a - 3Rpta. ------V6 x -x +—arcscn(—-—) + <3

■ y fx - 1 +~<]x + 1

f/t-J lx+ l—<Jx

Rpta. - j ( ( * + l ) 2 —(.v —1 ) 2 ) + c

Rpta. 2(^/2x+l +-s/x)-2(arctg-\/2jc + 1 + arctgV*) + c

v2sL-ni 1 (sen Y + Acosx in r)¿/v Rpta. —x2sen' +t*

In3xjtln5jt

€?*+4

dx2 V + 3

¿7,vln(2 ln jr+^ln

A 3 - 8

2e -fe 3eT -4^

Rpta. I n — . l n l l n S . v l + l n j c + c

1Rpta. —— I n 11 + 4 ^ ' | +c*

4 - -Rpta. — + 1)2 -4 (4 x + 1)2 + f3

Rpta. i(A --- i- ln (2 '+ 3 ))+ í 3 ln2

Rpta. ^jlnx+^Jlna + ...+*

r 8Rpta. — + j l n | x 3 - 8 | + f

Rpta. ln | V3tJ2r -4 ^ 3 -4 ^ 2* |+r


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net

129 f —f^ X - Rpta. 2 a r c t g -1 + cJ -Je*-l

1 130) Rpta. 2-Je* + 2 - 4 arctg(—g ~ ) + c

(¡3l) f 4 = ^ Rpta. - ( í ' ’r - l ) 3,2-2(<?r +l), ' 2 +í-^ J V i + f r 3

® r lnxrfx _ „ l—---------- R p ta .------- ----------- r +cJ y3n n r -1 \3 ?r-íln >-_l\2

ln a í/x 1---------- - R p ta .------- -----

x J(lnx-l) 2x~(lnx-l)'

^ J ^ / + x V - r - l

Rpta. t>aiclg * +—ln2 (1 + x 2) + arete x +c4

(134) Jsen(o + bx)dx Rpta. - cos^ + ^ + c

(135) J sen(lnx) ^ Rpta. -cos(lnx) + c

(oó) Jx cos(2-x2 )dx Rpta. — sen(2-v2 )+c

(Í37) J sen' 4xcos4xífa Rpta. -en ~ - + c

139)

@ J tg \|)sec2( )dx Rpta. 4 tg 4(v) + í' 4 3

r sen x cos x d\ n x 1 /---- r—■ ... R p ta .------(/eos 2 x+ cVeos2 x -se n 2 x ^


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net


140J

©142

144)

145

146J

147J

148

149J

150J

151

152

cos(sen x + 2.v)(cos x + 2)dx

tg(sen x + 5) eos x dx

see 2 ( cos(ln jc)) sen lnx ¿x

eos(sen x) eos x dx

sen■fx dx■fx

lg-Jix + 1 dxV3x+T

, dxítg(lnx)—JC

tg /ínx

dx

dxx~Jh\x

cos“(1-4 jc)

eos1 xdx1-senjc

dx1 + cos 1 0a'

dx4+5 eos“ jc

dx

Rpta. sen(sen a* + 2 a ) + c

Rpta. ln|sec(senjc + 5)|+c

Rpta. -tg(coslnx) + c

Rpta. sen(sen jc) + c

Rpta. -2cosa/jc+c

4 + 5sen“ x

Rpta. — ln|sec v 3 jc + 1 |

Rpta. ln|sen(lnx)|+c

Rpta. 2 In | sec Vlnjc [ +c

Rpta. - “ te(l-4jc) + c 4

™ a. eos~ xRpta. sen a ---------- +c

1 tlíXRpta. -are tg (^ -^ -) + c 6 3

I ,3 tg jc % Rpta. — arctg(—^—) + c 6 2


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net



153

1154

155

157

158

159

161

163

164

165

-s/l + senx dx

1 + tgxsen 2x

dx

•>/] + cos 2x dx

Vl - cos 2x dx

■yjl + cos 8x dx

-s/l - cos 8x dx

sen Vcosjc.-Jtgx.senx dx

cos 6x + 6 cos 4x +15 cos x +10cos 5x + 5 cos 3x +10 cos x

x 2 cosh(x3 +3 )dx

dxsenhx.cosh2 x

e2x cosh x dx

e x senhxdx

senh3 x. cosh2 x dx

Rpta. - 2a/1 -sen x + c

1 tgx Rpta. — In | cos ec2x-c tg 2x | +2 2

Rpta. V2senx + c

Rpta. - a/2 cosx + c

V2Rpta. -^-sen4x + c

O . a/2R p ta .------cos4x + c

Rpta. 2 cos Vcosx + c

dx Rpta. 2senx + c

_ senh(x3 +3) Rpta. ----- --------- + c

x , 1Rpta. ln |tg h y | +coshx

+ c

e3x exRpta. ---- +— + c6 2

l x€ XR p ta .-------—+c

4 2

+ c


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net



(lóó) J— (lne+lnx.lne*)í/x Rpta. ex lnx+c

f x2/3+ x4esen3,r cos3x + x3 , _ , 3 -7/3 esen3jr-------------------------------- dx Rpta. — x + - - - -J x4 7 3

168

172

1174

f O-*) , „ 1 1 1----- — d x R pta.------- r + ------+ cJ x 4 3x x2 x

(l69) J x^4 + x 1dx

© í

r2e - e -3 , _ , , rI —--------------- dx Rpta. x + ln(í? —3) + cJ -Jo*e - 2e - 3

Rpta. -^(4 + x2)3' 2 +c

^ 7 0 ) J 4 l a x - x 1 d x Rpta. arcscn -—— + ° - J l a x - x 2

(x2 +2x)dx _ 1 3 , 7 , . 7/3Rpta. — (x +3x*+l) +c& 3 + 3 x 2 +1 2

f * 1 .I . Rpta. — arcsen(— ) + cJ - /n „4 2 3V9-X4 2 ^

(l73) J6x.e J rfx Rpta. -3 t,r +c

f (6-2x)rfx a/8 -4 x - 4 x2 7 2x + l175) I . = Rpta. ------------------+—arcsen—----J V 8 -4 x -4 x 2 2 2 6

+ c


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net


Integra! Indefinida 47

178J

179

180

©182

183J

184

185J

186

©188

189

( v + 3 )d\

scns veos V dx

dx5v- -20.V + 23

dx

dx

a/ - 5 - 1 2 a - 3 a- 2

dx

VW9 - v

a d\5 + r 4

dx2.x + x +1

rfx

6 \ - 12-4v

-Ja: -hl x2

■\ic 'dx

dx vin y

Rpta. V-v"* +2x + 2 lnI y->-l + Vv2 + 2x ( +i

_ sen6 X Rpta. --------+ t

1 V 5 ( v - 2 )Rpta. —= arciu ----- — + cVÎ5 - V3

1 v-1Rpta. — arctg(—^ ) + rV3 *v 3

I r v + 2Rpta. —=arcsenv3(—^ ) + <‘a/3 a/7

Rpta. 2arcsen(-~) + c-

1 t 2Rpta. —p^arettz^r+ r2^5 ^

2 4 x + 1 Rpta. - =arc i u— +a/7 - V7

1 , , a- 3 - ^ 3 9 ,R p ta .-----= - ln I ---- ----2 - J 3 9 v - 3 + a / 3 9

1 />A-Rpt&. — aresen— +<: b a

Rpta. 2 ' 2 +r

Rpta. In(lni) + £


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net

190

©192

193

©195

196)

©I98J

199J

200

In vdx _ In- \Rpta. ------ + t

x\n(\ + x~)dx Rpta. -^[ln(l + v2 )]2 + r1+x-

dx■Jx{\±^fx)

(21n v + l)rfxx[ln' x + In a ]

x dx(2 — 7 v)

Rpta. 21n(l+Vv) + r

Rpta. ln(ln~ x + ln r) + t*

1 4 -7 xRpta. — ( . ) + t49 J l ^ T x

V2x-3 dx(2x-3)r 3 +1

Rpta . 2[(2v 3)-----------------( 2 a 3 > — + — r — 3 - ^2,v-3 + a r c t g - 3 ] + <

x^[x + ] dx

xv2-5x rfv

dxa/x + 1 - Vx

v 2 a/1 + x r/v

xv4 + x dx

2 7Rpta. -j(x + l)* “ ——(x + 1)3 2+ r

Rpta. — (2-5.v)5 2 (2 -5 .t)3,2 +c125 75

Rpta. y[(.v + l)3 2+,v3' 2] + c

Rpta. ~ (1 + x)7' 2 + l')5 2 + 2 + í’

Rpta. ~ (a + 4)5' 2 -^(.v + 4)3' 2 +c


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net

íntegrai Indefinida 49

© J ; x 5dx Rpta. | [ (9 + X8 )8' - y ( 9 + x 2)5' 3 + y ( 9 + jc2)2' 3] + e+x*

202 Jdx

(1 + VTTjc)1' 2Rpta. y (l+ V Í+ ^ ),/2(V Í+ 7 -2 )+ f

(2Ô3) Jx2(x + 3)n r/v (x+3)14 6(x + 3)13 . 3(x + 3)12R p ta .------------------- :-----+ ------------ + í14 13

Rpta. — ln(t,T +2)--\[e2* - 4 + c

x -5x+9[205) f *~ ----- ¿vJ X 2 -5x+ 6

Rpta. x + 31n———+ c x -2

206) J X 2 -3x~8 X2 -2 x + l

dx 10 , ,Rpta. x + ------- ln |x - l |+ cX — 1

207J jX2 +1

(x + 2)2dx Rpta. .y - 4 In I .V+2 Ì --------+c

x + 2

20H) I *J v~(4x+ 5 Wa

x ' + 2x + 2Rpta. 21n|x" +2. + 2| + arctg(x + l)+c

209; {3x-5)dxX -8 a+42

Rpta. — In I V2 -8x + 42| + -¡Z=arctg(^=^) + í-2 -s/26 -V 2 6

© f - 5x + 3+ 4x + 4

rfv Rpta. 51n|x + 2| + -------+ cx + 2

211 j(x- + l)rfx

(X 3 + 3x-7)'Rpta.

_____1_3(x3 +3x-7)

•+£•


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net


® M * 2 + l)ln(x2 + I) + 2.ver arctg-v ln(x2 + l)g>J x 2+l x 2 +l

Rpta. e* ln(x2 +1) arctgx+c

© r r(l + x2)cosx + (l + x + x 2)senx %1. _ . , r. 7J [-------------- — ------ ------- e }dx Rpta. e Vl + x~ sen x + 1

214

217

218

f (x + l)(x2 +l)ln(x2 + l) + 2x2 , v | 2 , ,---------------- -------------------e dx Rpta. xe ln(l + x ) + t3 x '+ l

© f r2(x2 +x+l) + (2x3 +6x2 +5x + 2)lnx x , _ r 7[—----------- --------- í-----e*dx Rpta. xVl + x+x-í?Mnx + <J 2vx2 +x + l

[21 ó) Suponga que f(x) es una función “suficientemente derivable” simplifique la expresióndada:

a) f(x3 íx 3 f\x)dx+ f"{x))dx Rpta. x3(l + f(x)) + f ”(x) d \J dx J

b) J(x/(x))'djr Rpta. x f(x)

c) J (4 /" (x ) + 5/'(x))rfx Rpta. 4 f ( x ) + 5f(x)

d) J“(íx/(x))"+x/,(x) + f(x))dx Rpta. /(x ) + x(/(x) + / ’(x))

e) J (x / '(x ) + /(x))rfx Rpta. x f(x)

rsenxí;,g2* ] lR:,---------—— dx Rpta. — e g + cJ eos x 2

f 4arctg2 x+2x2 + l + 5x + 2 , _ 4 3 5 . , ?I -------------------------dx Rpta. 2x + —arctg x + — ln|x~ +1| +<*J l + x~ 3 2


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net

2 1 9

220)

222

223J

225

226

227J

228J

229

230

i-’ +lh/4 - 2 i 2-y"

(\ 4.V + 4 d x

d x

d \

s e n v. s c n ( c u s x ) d x

s c c a . \u x . c o s ( s e c jc )d x

V i + v + V i - A ' 2

v r ^ 7

V v ^ i - V ^ i

r/v

V 7 ~dar

d*

(v + 4)dv

( A - + 8 a* ) 4

r + 3

+ 2*

2 y + 5

+2.V + 5

d*

dv

1Rpfa. ^ - (4 - 2 v 2- v 4)2 +r 16

3ii

Rpta. — Ijl-2) 3 +c 11

iRpta. -2(1 +— )2 + i-

3a

Rpta. T V i 3 + 3 a 2 + 1

Rpta. e o s (e o s x ) + c

Rpta. s e n ( s e e x ) + c

+ <

Rpta. aresenx + ln | A' + Vi + *2 | +c

Rpta. ln | 1 + — i-1 -fex + 4 x ^ + 1

Rpta. l n | x | ------~ r + c4a

Rpta. + r

5( x 2 + 8 a ) 4

Rpta. Vv2 + 2 jc + 2 ln \x + 1 + Vv2 + 2 a ' | + c

Rpta. ln jx 2 +2x + 5| + y a rc tg ^ Z + (


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net

231, j( 6 - 2 y )dx

4 y - 4 a *

j __________ -j “ + 1Rpta. — VH -4 v -4 v : + — arcsciK V+ ) + r

232 J I t - e - j2i -i C - 1c — J

dx Rpta. v + ln 11*‘ - 3 1 +c

© Í 7 ÍT dx Rpta. J _ ^ ln |jc 2 +l|+c-

234 r -\¡2 x~ +1 - \ +1 Rpta. _v —— ~ ^ 2 +1 + - ^ l n | 'Jl.x + 'jlx* +1 |2 42

+<•

235) Jv ' + i-V en3> eos3 a + A 3

_ 4

sen xdx Rpta. ln v + --------—- X 5 +£*

3 7

1.5.8. ECUACIONES DIFERENCIALES MUY SENCILLAS.-

Una ecuación que contiene una función y sus derivadas, o solo sus derivadas, se llama “Ecuación Diferenciar’ usaremos la técnica de antiderivada para resolver una ecuación diferencial de la forma:

donde la variable dependiente “y” no aparece en el lado derecho.

La solucion de la ecuación diferencial (1) consiste simplemente en encontrar una función y(x) que satisfaga la ecuación (1), luego la solución general de la ecuación(1) es la integral indefinida.

v(.v) = J/(jrW.v+< ... (2)

dxEjemplo.- Encontrar la solución general de la ecuación diferencial — = i \- o,rfi

Solución


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net


La solución general de la ecuación diferencial dada es: y(x) = j 2xd x + c = x 2 +c

NOTA.- Una ecuación diferencial de la forma de la ecuación (1) puede aparecer junto con una condición inicial de la forma y(x0) = y {) y con estas

condiciones conociendo la solución general (2) se obtiene la solución particular de la ecuación (1), por lo tanto la combinación.

de una ecuación diferencial con una condición inicial es llamado un “Problema con condición iniciar’.

dyEjemplo.- Resolver la ecuación diferencial — = 2x +1, y(0) = 3dx

Solución

La solución general es: y(x) = J (2x + l)dx + c - x 2 + x + c como y{0) = 3 es decir:

cuando x = 0, y = 3, que al reemplazar en la solución general se tiene: 3 = 0 + 0 + c entonces c = 3, por lo tanto la solución particular es y = jt2 + x + 3

OBSERVACION.- El método indicado para resolver una ecuación diferencialpuede escribirse como integrar ambos lados de una ecuación diferencial con respecto a x.

f (— )dx = f (2x + \)dx => y(x) = x2 + x + c J dx J

También las ecuaciones diferenciales sencillas aparecen en la forma:

La ecuación diferencial (4) se ouede expresar con diferenciales en la forma:


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net



h(y)dy = g(x)dx

así las variables están separadas, por lo que se dice que estas ecuaciones son “Ecuaciones Diferenciales Separables” y la solución general se obtiene por integración directa.

~ J g{x)dx+c

¿y ^ ^ ^Ejemplo.- Hallar la solución general de la ecuación diferencial. — -------- ------

dx y“Solución

La ecuación diferencial — = —— ^ ——, se escribe con diferencialesdx y~

V2dy = x 2 x* - 3 d x , quedando las variables separadas

ahora integrando ambos miembros para obtener la solución

3 3

\ y 2d y - í x2-y]x3 - 3 dx + c => — = —(x3 - 3 ) 2 + c J J 3 9

3

3>’2 = 2(x3 - 3)2 +9c que es la solución general.

OBSERVACION.- Las ecuaciones diferenciales tienen muchas aplicaciones endiversos campos, así por ejemplo se aplica al movimiento

rectilíneo en Física, en Química. Biología, psicología, Sociología, Administración, Economía, etc., en esta sección trataremos solamente del movimiento rectilíneo, aceleración constante y movimiento vertical con aceleración gravitacional constante.

I S S . MOVIMIENTO RECTILINEO^

Las antiderivadas nos permite, en muchos casos importantes, analizar el movimiento de una partícula (o masa puntual) en términos de las fuerzas que actúan sobre esta. Si la partícula se mueve con movimiento rectilíneo, a lo largo de una línea recta (eje X), bajo la influencia de una fuerza dada, entonces el movimiento de la partícula queda descrito por su “función de posicion” x(t) que da su coordenada x en el tiempo t.


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net


íntegra! Indefinida 55

A

0 . ... ^

x(t) posición en el instante x

La función de posición X(t) de una partícula que se mueve a lo largo del eje X.

La “velocidad” de la partícula v(t) es la derivada, con respecto al tiempo de su función de posición.

A0

1►rx(0) = x0 t = 0

velocidad x'(0)

Su aceleración a(t) es la derivada de su velocidad con respecto del tiempo.

En una situación típica, se tiene la siguiente información:

a(t): la aceleración de la partícula

x(0) = x0 Su posición inicial.

v(0) = v0 Su velocidad inicial.

Para determinar la función de posición de la partícula x(t).

Primeramente resolveremos el problema con condición inicial.

correspondiente a la función velocidad v(t).


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net



Conociendo v(t) se puede resolver el problema con condición inicial.

dxdt ... (P)

para la función de posición x(t) de la partícula.

1.5.10. ACELERACCION CONSTANTE.-

La solución de los problemas con condiciones iniciales en la s ecuaciones (a) y (p) es más sencillo cuando la aceleración “a” es constante y se parte de:

dv— = a (a es una constante) dt

de donde v(t) = ja d t + cl =at + cl

para calcular cx se tiene v(0) = vo obteniendo v(/)=¿*/ + v0

como jc* (/> = v(/) una segunda antiderivada se tiene:

*(/) = | v(t)dt + c2 = + v0)dt + c2

para x(0) = x0 entonces c2 =x0

Luego

(1)

(2)

(3)

NOTA.- Las ecuaciones (3) y (4) solamente son validas en los casos en que la aceleración “a” es constante no se aplica cuando la aceleración varia.

Ejemplo.- Las marcas de derrape de unos neumáticos indican que se han aplicado los frenos durante una distancia de 160 pies antes de detenerse él

automóvil. Supongamos que el automóvil en cuestión tiene una desaceleración constante de 20pies/seg1 bajo las condiciones del derrape. ¿A que velocidad viajaba el auto cuando se comenzó a frenar?


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net



Solución

Consideremos al eje X orientado positivamente en la dirección del movimiento del auto, elegimos el orden de modo que xt) = 0 cuando t = 0.

x = 0 v = v0

En este sistema coordenado, la velocidad del auto v(t) es una función decreciente del tiempo t (en segundos), de modo que su aceleración es a = -20 pies/seg2 y no a = + 20, por lo tanto comenzamos con la ecuación de aceleración constante.

dv c— = -20, integrando se tiene v(t) = ~ 20 dt + cx = -20/ 4* cx dt J

aunque la velocidad inicial no se conoce, los datos iniciales t = 0, v = v0 implican que cx = v0, luego la velocidad del automóvil es: v(t) = -20/ + v0

al sustituir los datos iniciales t = 0, x = 0 obtenemos c2 = 0 por lo tanto, la función

El hecho de que las marcas del derrape tenga una longitud de 160 pies nos dice que x = 160 cuando el auto se detiene, es decir: x = 160 si v = 0 al sustituir estos valores en la ecuación de la velocidad y de posición se tiene:

xdesaceleración constante: a = -20

inicio t = 0

x = 160 v = 0

como

del automóvil es: x(l) ~ -10/2 +

— 20/ + Vq — 0

—10/" +v0/ = 160.(1).(2)

de la ecuación (1) v0 = 20/ sustituyendo en (2)

— 10/- + 2 0 r ^!60 => r = 1 6 = > t = 4


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net



v0 = 20(4) = 80 pies/ seg

Luego cuando t = 4 seg. el auto se detiene, quiere decir que a velocidad del auto era

v0 = 20/ - 20(4) = 80 pies!seg

1.5.11. MOVIMIENTO VERI ICAL CON ACELEíÍACION GRAV1TACIONALCONSTANTE.*- . • , • .. . •. , . . . -

Una de las aplicaciones de las ecuaciones de la velocidad y la aceleración estaseleccionada con el movimiento vertical cerca de la superficie de la tierra unapartícula con este movimiento esta sujeta a una aceleración “a” hacia abajo, que casies constante si solo sé utilizar distancias verticales pequeñas. La magnitud de esta

1 0constante se denota con g, aproximadamente igual a 32 pies / seg ~ o 9.8 mi seg~.

Si se desprecia la resistencia del aire, podemos suponer que esta aceleración debida a la gravedad es la única influencia externa sobre la partícula en movimiento, como aquí trabajamos con el movimiento vertical, es natural elegir el eje Y como el sistema de coordenadas para la posición de la partícula. Si elegimos la dirección hacia arriba como la dirección positiva, entonces el efecto de la gravedad sobre la partícula

consiste en disminuir su altura, y también disminuye su velocidad v = — , entonces ladt

aceleración de la partícula es: a = ~^¡= ^ pies!seg1

v{t) = Jarf/ + c = J - 32dt + c = -32/ + c = -32/ + v0 ... (1)

>•(/ ) = v(t)dt + k - j (-32/ + v0 )di + k = -16/2 + v0/ + k , para t = 0, y(0) = >’o

V{) = 0 + k => k = >n por lo tanto >(/) = -16/2 + v{)t + >*0 ... (2)

Aquí y« es la altura inicial de la partícula en pies, v0 es la velocidad inicial en

pies/seg. y t el tiempo en segundos.


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net


Ejemplo.- Suponga que se dispara una flecha en sentido vertical mediante una poderosa ballesta, desde el piso, y que vuelve a tocar el suelo 48

segundos después. Si podemos despreciar la resistencia del aire. Determinar la velocidad inicial de la flecha y la altura máxima que alcanza.

Solución

Ubiquemos el sistema de coordenadas en el presente figura donde el nivel del suelo correspondiente a y = 0, la flecha se lanza en el instante t = 0 (en segundos) y con la dirección positiva hacia arriba. Las unidades en el eje Y están en pies.

Se tiene que cuando t = 48 seg., y = 0 y no tenemos la información sobre la velocidad inicial v0 pero se puede usar las ecuaciones (1) y (2) que

v(í) - 32/ + v0 son < 7 7

y(t) = -16/“ v0/ + >’0 = -1 6 r + v0/

Cuando t = 4 8 seg. se tiene y = 0 de donde

0 = -16( 4 8 ) 2 + 4 8 vü => v0 = 1 6 ( 4 8 ) = 7 6 8 piesíseg

para determinar la altura máxima de la flecha, maximemos y(t) calculando el valor de t para lo cual la derivada se anula, es decir, la flecha alcanza su altura máxima cuando

su velocidad se anula - 3 2 / + v„ =0 de donde / = — = 2 4 en este instante, la flecha3 2

ha alcanzado su altura máxima de ymax = >‘( 2 4 ) = - 1 6 ( 2 4 ) 2 + 7 6 8 ( 2 4 ) = 9 2 1 6 pies .

Ejemplo.- Se lanza una pelota verljcalmente hacia arriba desde el techo de una casa de 6 5 pies de altura y la velocidad inicial es 4 8 pies / seg. ¿Cuánto

tiempo lardará la pelota en llegar al suelo y con qué velocidad llegará?

Solución

Y

v a l o r e s p o s i t i v o s h a c i a a r r i b a

a(t) = -g

t = 0 s u e l o

y(0) = y„ = o v (0 ) = v0


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net


B VA =48 pies!seg

t y(0 V

0 64 48

6 4

a =—32 pies/seg~

se sabe que v(t) = ja dt = j - 3 2 d t + c

v(t) = -32t + c como para t = 0, v(0) = 48

48 = 0 + c entonces c = 48

Lueeo v(t) = -32t + 48

Además y(t) = J v(t)dl + k => y(t) = J (-32/ + 48)dt + k

y(() = -16/2 + 48/ + k como t = 0. y(0) = 64

64 = 0 + 0 + k entonces k = 64

Lueeo +48Í + 64 (2)

Calculando el tiempo transcurrido /AC que demora en llegar la pelota al suelo y esto ocurre cuando y = 0 de donde -16 /2 + 48/+ 64 = 0 => / 2 - 3 / - 4 = 0

(t — 4)(t + 1) = 0es tAC = 4 seg

t = 4, t = -1 por lo tanto el tiempo que tomara en llegar al suelo

1.5.12, EJERCICIOS DESARROLLADOS.-

©dy iResuelva la ecuación diferencial — = ( jc - 2) donde y(2) = 1.dx

Solución

La solución general de la ecuación diferencial dada es:


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net



v(x) = í (x — 2)*dx + k= —-— i-k como y(2) = 1J 4

(2 2)2 (x 2)2v(2) = 1 = ---------- + k de donde k = 1 por lo tanto la solución es y = -----------+ 1

(T) Hallar la solución general de la ecuación diferencial x J \ + y 2 + v.Vl + x2 — = 0w dx

Solución

A la ecuación diferencial expresamos con diferenciales

x.^l + y 1 dx + yrjl + x2dy = 0 separando las variables

x dx ydy _ . 4 , r x , f ydy ,_ = + _ = = 0 , integrando J - — - » *VI + -v - /l + v* Vi + x V 1 + -v

de donde + -Jl + >'2 = A'

Hallar la solución general de la ecuación diferencial (4x + xy2)dx + (y + x2>*)rf>’ = 0

Solución

A la ecuación diferencial expresamos en la forma:

x.(4 + y 2)d\ + v*(l + x2 )dy = 0 , separando las variables

xdx vdy .— + ——— = 0 , integrandoi + x 4+>-2

f * ■ + f = lnfr de donde — ln(l + x2)+~ln(4 + >'2) = lnA'J 1 + x2 J 4 + / 2 2

InVl + x2 ^ 4 + >‘2 = InA' de donde Vi + x2 1 + >’2 = £

/. ( l+ x 2) ( 4 + r ) = c


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net



Hallar la solución general de la ecuación diferencial x dy + i/l + y 2 dx = 0

Solución

jc dy + + y 2 dx = 0, separando las variables

. ^ + — = 0 , integrando ambos miembrosV1 + r x

j*-^=¿L= + J — = k de donde In| y + -yjl + y2 | + ln r = lnr

lnx.(>* + */] + y 2 ) = lnc por lo tanto x,(y + ^1 + y 2) = c

© Hallar la solución particular de la ecuación diferencial sen 2x dx + eos 3 y dy = 0, ./n\ 71 y y

Solución

sen 2x dx + eos 3 y dy = 0 , integrando ambos miembros

Jsen2xdx+ Jcos3yrf>’ = ¿ dedonde _ CQs 2x + sen3> =

.71 71 _ 7T 7Tcomo y(—) = — es decir para ,x = —, y = —' 2 3 2 3

COS7T sen7r , 1 „ , fl 1---------+ ------- - k => — + 0 = A' => Ar= —2 3 2 2

cos2,t sen3>- 1----------- h----- - = — dedonde 2 sen 3y—3 eos 2x = 32 3 2

© La pendiente de al recta tangente en cualquier punto (x,y) de esta curva es 3*Jx , si el punto (9,4) esta en la curva, encontrar una ecuación de la curva.


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net


Solución

dy i—Por la condición del problema: mLf - — = 3^x de donde

dx

dy - ?>4x dx integrando J dy - J ?>4x dx + c

3_y = 2 x 2 +c como la curva pasa por (9,4) entonces

24 = 29 2 +e =>4 = 5 4 + c = > c = -50 /. y = 2 x4 x -5 0

Q La pendiente de una curva en cualquier punto (x,y) de ella es igual a eos x. Encontrar

una ecuación de la curva sí esta pasa por el punto ( y ,2)

Solución

dyDe la condición del problema se tiene: mLr = — = eos xdx

De donde dy = eos x dx, integrando j d y - j eos x dx + k

y = sen x + k, como la curva pasa por el punto (y ,2) entonces

2 = sen — + Ar => 2 = I + k de donde k = 1 y = sen x + 12

^8) En cada punto de una curva cuya ecuación es y = f(x); Dxy = 6x - 2 , y en el punto

(1,2) la pendiente de la curva es 8. Halle una ecuación de la curva.

Solución

Dxy = | D¿ydx+k = J(6 jc-2 )dx + k =3x2 -2 x+ k

mLt =Dxy |(|<2) = 8 entonces 3 - 2 + 4 = 8 => k = 7


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net


y = J Dxy dx + c = J(3x2 - 2x + 7)rfx + c

v = y3 - x2 + Ix + c , como la curva pasa por el punto (1,2) se tiene:

l = l - l + 7 + 6 c = -6 /. v = x* - x 2 + 7 x -6

Una partícula se mueve en línea recta, x(t) es la distancia dirigida por la partícula desde el origen en t seg. V(t) es la velocidad de la partícula en t segundos, a(t) es la aceleración de la partícula en t segundos.

a) a(t) = 5 — 2t, V(2) y x = 0 cuando t = 0 expresar V(t), x(t) en términos de t.

Solución

dva(f) = — = 5 -2 1 => dv = (5 — 2t) dt, integrando di

F(/) = 5 / - r + c para V= 2 cuando t = 0 => c= 2

por lo tanto r ( t f * 5 t - Í 2+2

V(t) = - = 5 t - r +2 dedonde dx = ( 5 t - r +2)dt dt

f f i 5/2 / 3J d x - J ( 5 / - r 2 +2)dt+k => x(t) = —----— -i-2/ + Ar comox = 0 cuando t = 0

0 = 0 —0 + 0 + k entonces k = 0 .%: 0 )2 3

7 7b) a(t) = 3 t - t ~, V = — y X = 1 cuando t= 1 expresar X y V en términos de t.6

Solución

a ( t ) = ~ ~ 3 t - t 2 dedonde dV = (3 t - í2)dt dt


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net


j d l ' = | ( 3 / - r )dt + c => v(/) = —*— ^r + c2 3

1 „ 7 7 3 lcomo l = 1. F = — se tiene — = -------- +c => c = 06 6 2 3

K</) = — = - ----— de donde dx = ( - — — )dtdt 2 3 2 3

1 1 7como X( 1) = 1 entonces 1=------- + A k= —2 12 12

~ í t 1x(t) — --------- + —2 12 12

La velocidad de una partícula que se desplaza a lo largo de una recta en el instante es v{t) = t ]\ + t 2 . Determinar la distancia recorrida por la partícula desde el instante /j =a/8 hasta el instante í 2 =-v/24

Solución

Sea X(t) la posición de la partícula en el instante t entonces X'(t) = v(/) = tA¡l + t 2

La distancia recorrida desde el instante tx hasta el instante í2 es:

X(t2) - X ( t i ) = X(-J24)-A 'h/8) (1)

como X'(t)=v(t) => X(l) = J v(i)dt + c

______ 1 3

A'(o = J / .v i+ í2< a = -( i+ /2) 2 +c


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net

fc6 Eduardo Espinoza Ramos

A<V24) = - ( l + 24)- +c = — +c : A'(V8) = -(1 + X)2 + i= — + c3 3 3 3

125 1 27

©

,— r~ 125 27 98como A'(-s/24)-A'(Ví<)=(— + í ) - ( — + í )= —

3 3 3

Sí el conductor de un automóvil desea aumentar su rapidez de 20 mi/h a 50 mi/h mientras corre una distancia de 528 pies ¿Cuál es la aceleración constante que debe mantener?

Solución

528 pies

mi 528 X8 .K'‘ = 2 0 T - 3 6 Ó T T '’“i , ' ’‘*

„ mi 528 220 . ,= JóW = ~3~ *>le'> Xeg

se conoce que 1 milla = 5280 pies

además V(i) = ja d i+ c de donde V(t) = at + c

cuando t = 0, V = — => — = 0 + t => c - —3 3 3

— (1)

ademásás x(f) = j y ( t ) d i +A-, reemplazando x(l) = j (a! +— )dl+k=---- + — + A2 3

cuando t = 0, x = 0 => 0 = 0 + 0 + k =>k = 0 entonces at2 88/ +2 3 ... (2)

220ahora encontramos la aceleración cuando V = —— , t = ?

x = 528, reemplazando estos valores en (1) y (2)


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net

220 88 132-----= at+— => I = -----3 3 3a

528 = - ( — )+— (— ) => 9a(528) = 203282 3 3 a

20328 77 , ia - -------- => a - — pies/ seg~9(528) 18

(l2) Si se aplica los frenos de un carro viajando a 50 mi/h y si los frenos pueden dar al

carro una aceleración negativa constante de lOpiesIseg2 . ¿Cuánto tardará el coche

en detenerse? ¿Qué distancia recoiTerá antes de parar?

Solución

V - 50 mi = 220 piesVA VB A ' h 3 seg

VB =?

•yo - -20pies / seg "

además V(t) = j -20 dt -te = -20/ + c

220 220 220 cuando t - 0, V ----- de donde -----= 0 + c => c - -----

I - : 3

f * ?20 además *(/) J V{l)dt+k - j (-20/ f +

1 2'ilx(/) = -10/~ — , juanúo t = * '< = 0

(1)

7?0/0 = -0 + 0 + k Je dorde k = tí entona:.; jc(/) = -10/" +-----3


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net

para hallar el tiempo que necesita para detenerse el carro es cuando V(t) = 0, t = ? en220 11la ecuación (1)0 = -20/ + ---- entonces t = — seg3 3

Luego la distancia recorrida es cuando / = — seg en (2):3

11 11 , 220 11 1210 .•v(—) = -IO(—)- + - ( — )= — - pies

j 3 3 3 3

( b ) Una piedra se lanza verticalmente hacia arriba desde el suelo, con una velocidad inicial de 20 pies/seg. ¿Cuánto tiempo le tomará llegar al suelo y con qué velocidad llegará? ¿Durante cuanto tiempo está subiendo la piedra y que tan alto llegará?

Solución

VA —20 pies/ seg TAC = ?

// V TiB = ? a = -32 pies/ seg.

i \> »4 ------ Vf = ? porque se opone el movimiento!\ B

dV_dt

como a= — = ~32 => V(l) = j - 3 d l + c

V(t) = -32t + c para V = 20 pies/seg. cuando t = 0. x = 0

20 = -0 + c => c - 2 0 luego V(t) = -32t + 20

V(t) = — = -32t + 20 => dx = (-32t + 20)dt integrando dt

J<¿t = J(-32r + 20)<*+A x(t) = - l6 t2 +20t+k

x = 0 cuando t= 0 0 = -0 + 0 + k => k = 0

Luego se tiene x(t) = -16t2 + 20/


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net

Tab es el tiempo que demora en llegar al suelo, para esto x = 0 => -16 /2 + 20f = 0

t = 0, / = —, el tiempo que demora en caer es —seg y la velocidad con que llega4 4

5 piesal suelo es V = —32(—) + 20 = -20 —— , por lo tanto V = 20pies/seg es la velocidad4 seg

con que llega al suelo; el tiempo que demora en subir es — es decir — seg2 8

11.5.13. EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS -

® Hallar la solución general de la ecuación diferencial.

a)dy x~ dx v(l + .v3)

Rpta. 3y2 — 21n(l + *1) = c

b) f i 7 7 ^ = x 2v+ x2dx

Rpta. 2^\-\-x* = 31n(j? + l) + c

. dy , 2 ?c) — = 1 x + v -i- xydx

Rpta. a rc tgy -jt------- c

d)dy _ e * + x dx y + ey

Rpta. y 2 - x 2 +2(ey - e x ) = c

e) ( x - y 2x )d x+ (y -x1ytd, - 0 Rpta. (x2 - l) (y 2 -1) =k

f) {x + x^jy )dy+y-fyax ~ •' Rpta. — + ln xy = c<y

g) ey(l+x )d -jí:(1+e"kfx = 0 Rp.a. l + e y =c(í+x2)

h) (ey +1) --íx éD-e- 'senr+Dtfy-Q Rpta. (senjc + lXe-*’ + l) = k


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net


(T) Hallar la solución particular de la ecuación diferencial con las condiciones iniciales.

v *• , 3 2 „ 3 v4 2 9a) ~~ = 3x + - T ,y ( l ) = l Rpta. y = — --------- + —dx x - 4 x 4

b) ~ = J -----y(2) = -l Rpta. y = 2-fx+2 —5dx -yj x + 2

Jc) v” —~— x 2 = 0 , y{-2) = -2 Rpta. y= x

dx

d) (4x+*>•2 )rfx + (>• + x 2 = 0, y( 1 )-2 Rpta. (1 ■+ x 2 )(1 + y 2) = 16

ie) ^ l = x y y . y(3) = 1 Rpta. jc3 -3jc-3>-- 3 ln | >• |= 21

dx .v+1

f) ÉL^ ' - t o - y ' ^ 3)b1 Rpta. (x3 -1)4 =264(2.v2 -J)dx y - x 3y

g) — -2jr tgx =0 , v(~) = 2 Rpta. y = 2 sen 2 jrdx ' 2

h) x(y6 +l)dx+y2(x4 +l)dy = 0, y(0)=l Rpta. 3arctg2 + 2 arctg y 3 = —j2»

© Una piedra es lanzada verticalmente hacia arriba desde el suelo con una velocidad inicial de 128 pie/seg. Si la única fuerza que se considera es la atribuida a la aceleración de la gravedad, determinar:

a) Cuanto tiempo tardara la piedra en chocar contra el suelo.

b) La velocidad con la cual chocara contra el suelo.

c) A que altura se elevara la piedra en su ascenso.

Rpta. a) 8 seg. b) 128pies/seg. c) 256 pies


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net



© Una pelota se deja caer desde la cúspide del monumento a Washington, el cual tiene 555 pies de altura

a) ¿Cuánto tiempo tomara a la pelota llegar al suelo?

b) ¿A que velocidad chocara la pelota con el suelo?

Rpta. a) — V555 seg b) 8^555 pieslseg4

& En un movimiento rectilíneo, la función aceleración de un punto es a(t) = -32 en elinstante t > 0. Si la velocidad del punto es -20 cuando t = 0, y la posición del mismo punto en 10 unidades en la dirección positiva cuando t = 0, encuentre la función velocidad V(t) y la función de posición x(t).

Rpta. V(t) = -32t - 20 , .v(/) = -16/2 -2 0 /+ 10

(ó ) Una mujer que se encuentra en un globo deja caer sus binoculares cuando el globoesta a 150 pies de altura sobre el suelo y se eleva a razón de 10 pie/seg.

a) ¿Cuánto tiempo tardaran los binoculares en llegar al suelo?

b) ¿Cuál es la velocidad de los binoculares al momento del impacto?

Rpta. a) 3.4 seg. b) 99 pie / seg.

Usted arroja una pelota hacia arriba, desde el suelo, con una velocidad inicial de 97 pie/seg. ¿A que altura sube la pelota, y por cuanto tiempo permanece en el aire?

Rpta. 144 pies f 6 seg.

Laura suelta una piedra a un pozo, esta llega al fondo 3 seg. después ¿Cuál es la profundidad del pozo? Rpta. 144 pies.

parte superior de un edificio de altura 160 pies. La pelota cae al suelo en 1 base del edificio ¿Cuánto permanece la pelota en el aire, y con que velocidad golpea al suelo?

Efrain arroja una pelota hacia arriba, con una velocidad inicial de 48 pies/seg. desde la

Rpta. 5 seg. , 112pies/seg.


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net



© Una pelota se lanza verticalmente hacia arriba con una velocidad inicial de 40 pies/seg. desde un punto situado a 20 pies sobre el nivel del suelo.

a) Si v pies/seg. es la velocidad de la pelota cuando está a x pies del punto inicial, exprese v en términos de x

b) ¿Cuál es la velocidad de la pelota cuando ésta se encuentra a 36 pies del suelo y sigue ascendiendo?

Rpta. a) v2 = -64jc +1600 b) 24 pies/seg.

( l l ) Una partícula se desplaza en linea recta en forma tal que sí v cm/seg. es la velocidadde la partícula a los t segundos, entonces V(t) = sen xrt, donde el sentido positivo es a la derecha del origen. Si la partícula está en el origen al inicio del movimiento,

determine su posición y segundos más tarde.

Rpta. — cm a la derecha del origen.2 n

( l ^ Juanito arroja una piedra hacia arriba, desde el suelo. La piedra alcanza una alturamáxima de 225 pies. ¿Cuál era su velocidad inicial? Rpta, 120 pies/seg.

( l ^ Gálvez arroja una pelota de tenis hacia arriba, desde la parte superior de un edificio de400 pies de altura ¿Cuánto tiempo tarda la pelota en llegar al suelo? ¿Con que velocidad golpea al suelo?. Rpta. 5 seg. y -160 pies/seg.

14) Se arroja una pelota hacia arriba, desde el suelo, con una velocidad inicial de 160pies/seg. ¿Cuál es la altura máxima que alcanza la pelota? Rpta. 400 pies

(ls ) Si el conductor de un automóvil desea aumentar la velocidad de 40 km./hr a 100km./hr al recorrer una distancia de 200 m ¿Cuál es la aceleración constante que debe

mantenerse? Rpta. 1.62 mseg


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net



(íé) El punto (3,2) esta en una curva y en cualquier punto (x,y) de la curva, la rectatangente tiene una pendiente igual a 2x —3. Encontrar una ecuación de la curva.

Rpta. y ~ x 2 -3x + 2

^ 7) En cualquier punto (x,y) de una curva D2y = l - x 2, y una ecuación de la recta

tangente a la curva en el punto (1,1) es y = 2 - x. Encontrar una ecuación de la curva.

Rpta. 12y - 6a*2 —x 4 - 20x + 27

(l?) Los puntos (-1,3) y (0,2) están en una curva y en cualquier punto (x,y) de la curva

D 2y - 2 - 4x . Encontrar una ecuación de la curva. Rpta. 3y = 3x2 - 2x3 + 2x + c

(l?) Encontrar la curva que pasa por el punto (1,2) cuya normal en cualquier punto

(excepto en x = 0) se biseca por el eje X. Rpta. y 2 + 2x2 = 6

(20) La pendiente de la recta tangente en cualquier punto (x,y) en una curva es 10 - 4x yel punto (1,-1) esta en la curva. Encontrar una ecuación de la curva.

Rpta. y = 10x-2x2 - 9

IA METODOS DE INTEGRACION -

Entre los métodos de integración que se va ha estudiar se tiene: Integración de lasfunciones trigonométricas, integración por partes y casos especiales, integración por sustitución trigonométrica, integración de funciones racionales por descomposición en fracciones parciales, el Método de Ortrograski, integración de funciones racionales de seno y coseno, integración de algunas funciones irracionales entre ellas las binomiales con la combinación de CHEBICHEV.

l& f INTEGR>M-íON; Dfc £ AS ÍPSÍCÍON^

Se trata de las integrales que tiene la forma siguiente:


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net



J sen* jcife* Jctg1*xd xy

Jscn^ xcos" xáx s jVfg'* xcose^xás

Para calcular estas integrales, aplicaremos los criterios siguientes:

a) Para el cálculo de las integrales de la forma:

m j:¡sen* xrf*, eos" ': J J

Se presentan dos casos:

ler. Caso.- Cuando n es un número entero positivo par, se usan las identidades siguientes:

■- u;. "a t ... ■....., a jal; v. wjj ;.u ■ ■. .q»¿y vt•I —eos 2x 1 +

2 ■ 2

2do. Caso.- Cuando n es un número entero positivo impar, a las integrales de este caso expresaremos en la forma:

J sen* x á x - J scvT1 xsenxdx

| eos* xdx~ 1

Luego se usa la identidad sen2 x + cos2 x = l

Ejemplos de aplicación de este criterio.

Calcular las integrales siguientes:

Jsen2 3x¿¿T

Solución

Observamos que el exponente es par, entonces usamos la identidad


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net



sen2 3x =----- —— , luego al reemplazar en la integral dada se tiene:

if * 1 f,, ^ , 1 , sen 6x v jc sen 6xsen“ 3 xdx = — (1 - eos 6x)dx = — (x------ ) + c -----------------+ ci 2 i 2 6 2 12

Observación: En forma práctica se puede calcular las siguientes integrales:

Ejemplo: i, cos(20x)sen(20x)rfx = ----------- -+c

20

I . ^ iwñfrg) 'J v ft

Ejemplo: J cos(l &x)dx = sen| ^ ^ + c

En forma similar ocurre en las integrales de las demás funciones trigonométricas.

( 2) Jeos4 2xdx

Soluciónrf( 1

Observamos que el exponente de la función es par, entonces usaremos la identidad:2 _ 1 + eos 4x ,eos 2x =-----------, por lo tanto:

|e o s 4 2xdx - 1 ( l + c°s 4*)2 = i. J (i + 2 eos4x + eos2 4x)dx

1 r „ , , l + cos8x, .= — (1 + 2 eos 4x +------------ )dx4 J 2

1 r,3 , , cos8x. . 1 ,3x sen4x sen8x_= - (-+2cos4x +------- )dx = - ( — + ---------------------- + -) + c4J 2 2 4 2 2 16


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net



Jsen34x¿£c

Solución

Observemos que el exponente de la función es impar, entonces a la integral escribiremos así:

Jsen3 4xdx = Jsen2 4x.$en4xdx = J ( l- c o s 2 4x)sen4xrfx

= Jsen4x¿/x-Jeos2 4jc.sen4xdx =• eos 4x eos3 4x12

+ c

Observación.- En forma práctica se puede integrar las siguientes funciones.

Ejemplo:/■sen19 2x.cos2xdx = sen20 2x

40-+c

Ejemplo: J eos 29 3x. sen 3x dx = - ~ ~ ~ — + c

En forma similar ocurre en las integrales de las demás expresiones trigonométricas.

Q ) J c o s 5 3 jc *£c

Solución

Observemos que el exponente de la función es impar, entonces a la integral expresamos asi:

Jeos5 3xdx = Jcos4 3x.cos3xdx = J ( l- s e n 2 3x)2 eos3xdx


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net



J ( l-2 s e n 2 3x+sen4 3x)cos3xdx

= J cos 3x dx - 2 J sen2 3x. cos 3jc dx + | sen4 3x. cos 3x dxí

s e n 3 x 2 s e n 3 3jc s e n 5 3 x- + ---------- -he15

b) Para el cálculo de las integrales de la forma

Se presentan los siguientes casos:

ler. Caso.- Si n es un número entero par positivo, a las integrales dadas se expresan así:

Luego se usan las identidades siguientes.

1 * ig2x 1 ¿ct¿2 x ~m$ec2x :

2do. Caso.- Si n es un número enterQ positivo impar, a las integrales dadas se expresan en la forma:

Luego se usan las identidades siguientes.


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net



Ejemplos de aplicación de este criterio


J tg2 4xdx

Solución

Observamos que el exponente de la función es par, entonces de acuerdo al criterio establecido expresamos:

J tg2 4xdx = J(sec2 4x-1 )dx = - x + c

j c t g 4 4xdx

Solución

En forma similar al ejemplo anterior, por tener el exponente par; a la integral expresaremos asi:

Jctg4 4xdx = Jctg2 4xrtg2 4 x d x - Jctg2 4x(cosec24x-l)rfx:

= Jctg2 4x.cosec24 x d x -Jctg2 4xdx

ctg34x r 2 a iv ctg34x ctg4x= -----5------- (eoscc 4x-l)dx =------- -----+ —- — + x + c12 J 12 4

© J tg6 5x dx

Solución

Observemos que el exponente de la función es par, entonces a la integral expresamos así:

J tg6 5xdx = J tg 4 5x.tg2 5xdx = J tg4 5jc(sec2 5 x - l}dx

= J tg 4 Sx.sec2 5 x -J tg4 5xdx = ^ ^ - J t g 25x(sec25x-l)rfx


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net


Integral indefinida 79

tg5 5x r 2 r 225

- Jtg2 5asee1 5xdx+ jtg2 5xdx

tgs 5x tg3 5x r . 2 r . . . tg5 5x tg3 5a tg5x= —------- ----- + (Sec 5x-l)dx =—-------- ----- + —----- x+c25 15 J 25 15 5

© J tg 35xrfx

Solución

Observamos que el exponente de la función es impar, entonces a la integral expresamos así:

Jtg3 5xdx = Jtg2 5x.tg5xdx = J(sec2 5x-l)tg5jcrfx = _ ln 1 sec 5x | ^

(¿) Jc tg5 3xdxSolución

Como el exponente de la función es impar, entonces a la integral escribiremos en la forma:

Jctg5 3xdx- J^tg4 3xjctg3xdx = j (cosec2 3x - l ) 2 c tg3x dx

= J (eos ec4 3x - 2 eos ec2 3x +1 )c tg 3x dx

- J eos ec3 3x. eos ec3x.c tg 3x dx - 2 J c tg 3x. eos ec2 3jc dx + J c tg 3x dx

eos ec43x c tg2 3x In | sen 3x \= -------------- + —-------+ —1-------- L + c12 3 3

c) Para el cálculo de las integrales de la forma.

sen” xcos** a h

Se presentan los siguientes casos:


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net


ler Caso. Si m ó n, es decir, cualquiera de los exponentes es un número entero positivo impar y el otro es cualquier número, se procede de la siguiente manera.

i) Suponiendo que m es un número impar y n es cualquier número, entonces a la integral expresamos así:

Luego se usa la identidad: sen2 x + eos 2 x = 1

i¡) Suponiendo que n es un número entero impar y m es cualquier número, se procede de la siguiente manera.

J senmx<:os" x-¿tx~ J sen"1 x.cos”"1 x. eos xdx

*} 9Luego se usa la identidad: sen " x + cos~ x = 1

2do. Caso. Si m y n los dos exponentes son números enteros positivos pares, se usan las identidades siguientes:

y con estas sustituciones la integral Jsenm x.cos" xdx se transforma en

integrales de la forma J sen "x d x , las cuales han sido estudiadas

anteriormente.

Ejemplos de aplicación de éste criterio.



ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net


Solución

Como uno de los exponentes es impar, entonces a la integral dada escribiremos así:

J eos3 jc.sen4 x d x - Jcos2 x.sen4 x.cosxdx = J ( l - s e n 2 x)sen4 xcosxdx

= fsen4 xcosxdx- fsen6 xcosxdr = — sens x - —sen7 x + cJ J 5 7

© í sen3 xcos2 xdxSolución

r 7 2 , f l - c o s 2x l + cos2x I r . . J sen“ x eos xdx = J ---- ------.-----------d x = —J(l-c o s 2x)dx

I r 2 , 1 fl-co s4 x _ 1 . sen4x^= — sen 2x d x - — \ --------------------------- dx=—(x-) + c4 i 4 J 2 8 4

Jsen5 x.cos2 x¡dx

Solución

Como uno de los exponentes es impar, entonces a la integral dada escribiremos así:

J sens x.cos2 xdr = J sen4 x.cos2 x.sen xdx = J (1-co s2 x) 2 eos2 x.sen xdx

= J ( l - 2 c o s 2 x + cos4 x)cos2 xsenxdx

= Jcos2 x s e n x d x - 2 jeos4 xsenxdx + J co s6 xsenxdx

eos3 x 2 eos5 x eos7 X --------+ ---------------------+ c

© Jsen4 x.cos2 xdx


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net



Solución

Como los dos exponentes son pares, entonces se usan las identidades:

2 1 - c o s 2 j c 2 1 + c o s 2 jcsen x = ----------- ; eos x =-----------2 2

f 4 2 , f,l-C0S2jtv2 /l + C0s2-Xv .sen jc. eos jc rfx = (------------ ) (-----------)dxj ¿ 2 2

= J (1 - eos2 2 jc) (1 - eos 2x)dx - ~ J sen2 2x(\ - eos 2x)dx

1 r f 2 n . f 2o l r fl-cos4jc , sen3 2x..= —[ I sen 2 xd x - sen 2jc.cos2jc¿jc] = —[ I ------------ ¿ x - — — ] + c8 J J 8 J 2 6

1 rjc senx sen32x,= - [ ----------------------- ]+c8 2 8 6

Jcos7 x.sen3 xdx

Solución

Observamos que los exponentes son impares, entonces a la integral dada expresamos así:

Jeos7 x.sen3 xd x ~ Jcos7 x.sen2 x.senxdx = Jcos7 jc(1 + c o s 2 r ) senxdx

o ir)f 7 f 9 , COS JC COS X= eos x.senxdx — I eos x.senxdx = ------------------------- +--------+cJ i 8 10

J sen 2 3x. eos 4 3jc dx

Solución

Como los exponentes son pares, entonces usaremos las identidades:

l - C O S Ó J C l + COSÓJCsen“3x = ----------- ; eos~ 3x = -----------2 2


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net


r t . f / l “ c o s 6 j c v/1 + c o s 6 x v ? ,J sen“ 3x.cos 3xdx = J (----------- )(----------- )" dx

= — f (1 - cos2 6jc)(1 + cos 6x)dx = — Í sen2 6jc(1 + cos 6x)dx8 J o J

l r f • > , . f f * , , n l r r l - c o s l 2 r . sen3 6jc,= —[J sen- 6xdx + j sen- 6xcos6xdx] = —[ j ----- ----- dx+— —— ]+c

1 ,x sen 12x sen3 6x8 2 24 18 )+ f= T T -

jr sen 2x sen3 6x16 192

-+144

■+c

d) Para el cálculo de las integrales de la forma

;i J" tg" xsec“ xd$ ; J r tg ” x C0StíCmJC<5Ír

Se presentan dos casos:

ler. Caso. Cuando n es un número positivo impar y m es cualquier número, a las integrales escribiremos en la forma:

IÍig* jt-sec" xdx~ J $0* xsecm § xAgx^socxdx

I ctg” xcm ecmxdx - \ c tgn~J

Luego se usa las identidades siguientes.

2do. Caso. Cuando m es un número entero positivo par y n es cualquier número, entonces a las integrales se escribe así:

Luego se usa las identidades siguientes.


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net


2x • 1 +ctg2 x -sec.2* -j

Observación:

1) Cuando n es un número entero positivo impar y m es un número entero positivo par, se puede aplicar cualquiera de los dos casos.

2) Si n es par y m es impar se aplica el 1er. caso.

Ejemplo de aplicación de éste criterio.


J sec 4 2x. tg2 2x dx

Solución

Observemos que el exponente de La sec 2x es par, entonces a la integral escribiremos asi:

J sec4 2x. tg2 2x dx = J sec2 2x. tg2 2x.sec2 2xdx = J (1 + tg2 2x) tg2 2x.sec2 2x dx

= f tg2 2jc.sec2 2xdx + f tg4 2x.sec2 2xdx = ÍM__?£+Jll2^L +CJ J 6 10

(^ J^/tgjc.sec6 xdx

Solución

Como el exponente de secx es par, entonces a la integral dada escribiremos así:

J^/tgjc.sec6 x d x - J tg1/2 jc.sec4 x.sec2 xdx = J tg1/2 jc(1 + tg2 x)2 sec2 xdx

= J tg 1/2 x.sec2 xrfx+2jtg5/2 x.sec2 xd x + J tg 9/2 x.sec2 x¿x

2tg3/2x 4 tg?/2 x 2 u/2= —5 5 -------+ — tg11 z JC+C3 7 11 6


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net



® I tg3 3x.sec3 3xdxSolución

Como el exponente de la tg 3x es impar, entonces a la integral dada escribiremos asi.

J tg3 3x.sec3 3xdx = Jtg 2 3x.sec2 3x.tg3x.sec3xdx

= J (sec2 3x - 1) sec2 3x. tg 3a*. sec 3x dx

- J sec 4 3x.tg3x. sec 3* dx - J sec2 3x.ig3jc.sec 3x dx

sec5 3x sec33x_ ------------------------------------------------------ + c

15 9

( 4 ) J c tg ' x.eos ec4x dx

Solución

Como el exponente de la cosec x es par, entonces a la integral escribiremos asi:

J c tg 5 x.cos ec*xdx = J c tg 5 x.cosec2x.cosec2xdx

= Jctg5 x(l + ctg2 x)cosec2xdx

- J c t g 5 x.eosec2xdx+ J^ tg 7 x.cosec2xdx

ctg6 x ctg8 x6 8

NOTA. Cuando en las integrales se observa que no se adapta a los casos estudiados, es conveniente transformarlo a estos casos, utilizando las identidades trigonométricas.


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net



© JEjemplo.- Calcular las siguientes integrales.

dx>s4 x

Soluciónsen2 xcos4 x

r dx r sen2 x + cos2 x , r , 1 1J 2 4 ~~ J ? 4 J ^ 4 + 7 2 ^J sen x.cos x J sen - xcos x J eos x sen“ xcos x

Í dx r ¿/x r 4 _ rsen~x + cos a— 4^ + ------ 2----------5 = J see x ¿ x + ------- j------- —eos x J sen xcos“x J J sen x.cos~ x

= f (1 + tg2 x)sec2 xdx+ f (— ^—+ — í-—)dx J J eos“ x sen2 x

= Jsec2 tg2 JC-sec2 xdx + Jsec2 xrfx+Jcosec2xrfx

te3 x tg^ JCtg x + -^ — + tg x -c tg x + c = 2 tg x + -^ c tg x + c

© idx

Vsenx.cos3 x

Solución

f - J • see2 jc r / x |r see2 xrfx

Vsenx.cos3 x see2 jc-\J sen x.cos3 x / 4 3Vsenx.see x.cos x

f s e c ^ f e f 1/2 , r -I i------------ I i— * - I JU aCC X MA y feJ V sen x. see x J J

eos x dx

Vsen7 2x.cosx© í i E T“ ¿X. tus XSolución

dx

X + C


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net


r eos x dx f

Vsen7 2x. cos x 4 /2 Vi

cos X ¿/x 1 r sec5 x. cos x dx" U 7 ? J Z J 7 3 p Tsen7 x-cos* x 4^2 - sec- x </sen ■ x.cos' x

1 r sec4 xdx 1 r (l + tg~ x)sec~ xdx1 r sec x dx _ I r4V2-J 3|tg7x " 4V2 J tg7/1 x

4^2n=[J tg 7 3 x.sec2 xdx+ Jtg 1,3 x.sec2 xf/tj

1 r 3 -4/1 3 *>/1 1 , 3 4/1 3 i/i ,- [ - - tg x + - tg - x]+c — 77= ( ~ c tg * + - t g Jt)+r4^/2 4 4V2 ' 4

1.41 EJERCICIOS PROPUESTOS.»


© i sen x dx n 3x sen 2x sen 4xR p ta .------------- + -------- + cF 8 4 32

2 3 1 5 Rpta. senx — sen x + —sen x + cF 3 5

© / eos4 3xdx „ 3.v sen 6x sen12xRpta. — + —- — + -----:— + c8 12 96

( 4) J sen6 2x dx „ A 1 ,5jc . 3 sen 8x sen 4rRpta. —(----- sen 4x +----------+ ----------) + c8 2 16 12

Jsen5 x /2 d x r . ^ T , X s 4 3 / * v 2 5 , 1 ,Rpta. - 2 cos(—) + —eos (—) — eos (—) + c2 3 2 5 2

(ó ) J(sen2 3x + cos3x i2d\ „ Ix sen 12x . sen1 3xRpta. — + ---------+ 2--------- +cv 8 96 9

Jcos63xríx _ 5x sen6x sen3 6x senl2x Rpta. — + —--------- r—:— +----—— + C16 12 144 64


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net


©

©

©

©

©

©

@

j c c o s 3 ( x 2 )dx

(sen2 x + cosx)2dx

tg6 xdx

ctg* xdx

tg3 xdx

ctg*(3x)dx

c tg3 2xdx

tgz (x + \)dx

ctg5 2xdx

ctg3(^)dx

tg5 3x dx

ctg4 2xdx

tg5 x dx

1 2 ^ 3 2 Rpta. — sen* — sen x +c2 6

Ix sen4x 2 sen3 xRpta. — +--------+ ----------- \-c8 32 3

1 1 3Rpta. —tg * “ ^*8 jc —tgjc + jr + c

tf£2 XRpta. ------ + ln |cosx |+ c

Rpta. -^ -c tg 3 3x + jc tg 3 x + x + c

_ ctg~2x In I sen 2x1R pta .----------------- --------- L + c

Rpta. tg(x + l ) -x + c

- cosec42x c tg 2 2x ln |sen2x|R p ta .--------------+— ------ -f—!---------- +cF 8 2 2

Rpta. - ^ c t g 2(y )-3 1 n |sen y l+ c

Rpta. — see4 3 x -— tg2 3x+—ln|sec3x|+c12 3 3

Rpta. „ £ S i í . - £ i ¿ 2 £ + c

Rpta. "6C X - tg2 x + ln | see x | -fe


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net


3 ) senx cosj<dx

(22) J -n/cosjc sen3 xdx r* . ^ 7/ ? 2 3,7Rpta. —eos ~ x — eos ~x + c 7 3

(23) J* Veos a* sen5 xrfx

J rnt _eos2 x ^/cosa*

Rpta. eos4' 3 x + -c o s 10/1 x —— eos16' 3 x+c4 5 16

Rpta. •— eos 4 3 x + —- eos 2 3 x+c 4 2

25) J sen7 5x. eos3 5x dx Rpta. sen* 5x __ sen1{) 5x 40 50

■ + c

© senx.eos5 xrfx r» * n í— — ,senx 2 3 1 5Rpta. 2Vsenx(— ------ sen v + — sen x) + c3 7 11

¿7) Jsen5 xeos2 x dx . cos7x 2 5 cos3xR p ta .------------------------- + —eos x -- + c7 5 3

28) Jsen 3xeos3x dx sen4 x sen6 x Rpta. ------- ----------- + c

(29) J sen4(^)cos2 (^)rfx „ x senx.eosx sen xRpta. — —------- -----------------+ c16 16 24

sen4 veos4 xdx Rpta. — (3*-sen 4x + - sen 8 \ ) +c 128 8

(3l) | sen1 (—) eos7 (~}dx Rpta. -c o s IH(—) - —eos3(—) + £■ 5 2 4 2

(32) J sen3 3 x eos 3jt dx „ . eos*' 3.v eos6 3x R p ta .----------------- — +c24 18

a I H S /"> *■ 1illRpta. 2vsen x — sen ~ x + —sen x + c 5 9


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net

34) J cos4 2x sen3 2x dx Rpta. ——eos5 2x + — eos7 2x + c 10 14

Jsen2 x eos5 xdx Rpta. sen3x 2 5 sen7 *3 5

— sen x +---------» c

(3£) J sen5 2x. eos3 2x dx 1 . 1 iRpta. —sen ¿x-----sen 2x + c

2 16

dx Rpta. 13 eos3 x

-secx + c*

(38) J see4 x^jc tg3 x dx Rpta. -2-^rtgx +y-\/tg3 x +1

(39) J tg5 xVeos3 x t/r2 ^ ^

Rpta. —see ~ x-4sec x - —eos ~ x + c 5 3

Í cos X

sen4 xdx Rpta. cosecx-yCOS€?c3x-fc

jsen 3 x

eos4 xdx Rpta. Vsecx(—eos2 x + 3) + c

r see x tg4x

dx 1 1Rpta. - c i g x — ctg x + <* 3

© Í sen' m .----1— dxCOS 7DC

1 1 ^Rpta. — [-tg m r+-tg nx] + c k 3 5

© J\í tgxeos9 xdx Rpta. 2^fséñx— sen5' 2 x + —sen9' 2 x+c 5 9

4?) J tg3 4x. see 9> 2 4x dx Rpta. — see13/2 4 x - ^26 18

•fe


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net


© f tg5 3x.sec9/2 4xdxJ

©r sen5 3x ,----- dxJ cos3x

© íx 2 eos3 2x3dx

© i sec7 2x.tg2xdxJ

© i tg xjsec x dxJ

i tg7 x.see4 xdx

f ( secV ¿ *J tgx

® i c tg3 x. eos c t4 x dx

©V \ i1 ctg x.coset"xdx

J

© i c tg3 xcos ec5xdx

© i tg2 2x.cos2 2xdx

©rsec4 x ,1 dx3 tg x

©r sen4 x ,1 , dx J eos* x

c tg6 4.x c tg* 3x c tglu 3jc c tg12 3xK pta.----------------------------------------------------f c18 8 10 36

„ 1. ■ , . eos2 3x eos4 3xKpta. — ln sec 3x1+----------------------+ c3 3 12

„ , sen 2x3 sen3 2x3 Rpta.----------------------- +c18

_ 4 sec7 2xKpta. --------- +c14

Rpta. 2-Vsecx +c

» * tg'” x *Rpta. —-----+—— +c10 8

„ 4 ctg3xR pta.------------ctgx+c

ctg4x 1 6Rpta. —- --------ctg x+ c4 6

1 1 }Rpta. — cosec x + —eosec x+c5 3

„ eos ec7x eos ec5x R pta.------------ +-----------+c

1 sen4xRpta. — (x---------- ) + c2 4

Rpta. -ctgx+tgx + c

_ sen 2x 3xRpta. tgx + ——------ 2~+c


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net


59) Jsec4 2xdx _ 4 tg2x tg3 2x Rpta. —— + —------+c

(óo) J see6 xdx 2 1 <¡ Rpta. tgx + y tg x + —tg x + c

J see3 x.tg3 v dx1 <5 1 3Rpta. —sec x — see x + c 5 3

(62) J c tg5 x.cosec4x dx _ C tg X 1 6R pta .-------------- c tg x + c8 6

© i t g 4 a . see3 xdx

_ . 1 <i 7 j tgx.secx ln|secx + tgx|Rpta. — tgx.sec x ----- tgx.sec x + —--------- +— ---------- í + c6 24 16 16

MJ f , ¿J ---- 5sen x. eos xRpta. - 2-y/í-t g X + y t g X-y/t g X + c

J(l + cos3x)3 2rfx Rpta. 2-y/2(^sen(-^)-^sen3(^))+í-

sen3 xt/ 4V eos x

rfx Rpta. — eos5 3x +—p L = + c 5 3-n/cosx

Ísen(x + 7r/4) sen x. cosx

. -721 1+senx,Rpta. — Ln|tgx.----------|+c2 1 - eos x

© 1eos3 x

1 -senxdx 1 7Rpta. sen x + —sen“ x+c

© eos3 x-s/scn2xRpta. ^y-(tg : x + 5)-Jlgx +c


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net


©

©

©

@

®

eos X

dxsen4 x.cos4 x

sen xi

dxcosx

senh3 xdx

tgh6 x. see/j 4 xdx

c* tgh4 xdx

e'dxcosh x + senh x

tgh4 xdx

c tgh5 xdx

senh2 x.cosh3 xdx

dx

3 ----- - ^Rpta. — -Jtg5 x(5tg2x + ll)+ c

4 l + 3tg2 4xRpta. - - ( ----- —---- )+c3 ig 4x

Rpta. —C°-SX (cos2 x -5 )+ c

1 ?Rpta. -jcoshxícosh2 x -3 ) + c

Rpta. x—ctghx—- ctgh3 x+c 3

1(cosh2 ax + senh2 ax)dx Rpta. — senh(2¿/x) + c2a

senh x. cosh" x

Rpta. x + c

Rpta. v' - tgh jc - — tgh3 x + c 3

Rpta. ln| se n h x |-—-r tgh2 x -~ -ctgh4 x + c*

_ senh1x senh5 vRpta. --------- + - ----- —- + cH 3 5

Rpta. ln | tgh — | + see hx+ c


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net


» 4

( S ) J ( lg3.v.cosec43xdx Rpta. — °S< - + c

© J tg3 3x. see 4 3.v dx Rpta. + 1

CN r <¡, i , , „ . eos* 3x eos6 3xK4J Icos 3x.sen 3x dx R p ta .----------------------- •-c^ J 24 18

(ss) J*(x~ —6A')sen~(—— 3x~)dx Rpta. •“ (—— 3x2 )—- s e n ( — bx2 ) + c2 3

1.6.3 OTRAè INTÉGRALES TRlGQ^p^ÊTRIÇAS,-

Se trata de las integrales de la forma:

• I_

Para el cálculo de éste tipo de integrales se usan las fórmulas siguientes:

sen(m.Y)cos(«L*)==— (sen(w + tt)x + sen(w - ttfx)

sen(wv)sen(«\) « ~ (cosí fít'-n)x~cos(m + n)x)■

; cos(m)cos(«A:) §

Las fórmulas mencionadas se deducen de las identidades:

sen(w + n)x = sen mx eos wx+ sen nx eos mx ... (1)

sen(w - n)x = sen mx eos nx - sen nx eos mx ... (2)

eos (m + n)x = eos mx eos nx - sen nx sen mx ... (3)

cos(w-/i)x = cos/nxcos«x + sen/7xsenmx ... (4)


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net


Ahora sumando (1) y (2) se tiene:

scn(wjr)cos{flut)-=;^(sen(w-+ ;z)x+sen(w-n)x)

ahora restando (4) y (3) se tiene:

ahora sumando (3) y (4) se tiene:

cm(jnx}cos{tix) — X{w$ m - ti)x + eos {m+n)x)2

NOTA: En la aplicación de las fórmulas mencionadas se debe tener en cuenta las identidades siguientes.

sen{-x)~ — sen*cos(-A') = COSA'

V x e R

Ejemplos de aplicación.

Calcular las smuientes integrales

© i sen 2 a . sen 9 xdx

Solución

Como sen 2 x . sen 9 y = ^ (eos Ix - eos 1 L y ) , reemplazando en la integral:

f n ^ j l f v» 1 ,sen7x sen 1 lxvsen2 a*.sen9 a*dx = — (cos7x-cosl l.v)rfx = —(----------------------------- ) + cJ 2 J 2 7 11

© i eos 2v. eos Ix dx


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net



Solución

Como eos 2x. eos 7a* = ~ (eos 5x + eos 9x), reemplazando en la integral;

r I r 1 sen 5 x sen 9 xJ eos 2x. eosIx dx = - J (eos 5.v+ eos9x)dx = - (---- — + — — ) + c

2

sen 4 y. eos 5 y ¿ y

Solución

Como sen 4.v. eos 5.x - ^ (sen(4 + 5)x + sen(4- 5).y)

= ^ ( s e n 9 x - s e n y ) , r e e m p l a z a n d o e n l a in te g r a l :

Í 1 r 1 e o s 9jcs e n 4x. e o s 5 x dx - — J ( s e n 9 y - s e n x)dx = ~ ( e o s x ------- — ) + c

© J s e n 3 4 v . e o s 2 7 a dx

Solución

_ *>-, . *7 r-¡ A 1 - c o s S .v 1 + e o s 1 4a- .C o m o s e n 4 a . e o s “ 7 a = s e n - 4 a . e o s ' 7 a . s e n 4 a ------------- — ----------------- . s e n 4 a

2 2

= — (1 + e o s 1 4a - e o s Ha - e o s 8 x e o s 1 4a ) s e n 4x4

= — ( s e n 4 y: + s e n 4x e o s 1 4 a ' - e o s 8a' s e n 4 y - e o s 8 a e o s 14 i s e n 4 y )4

s e n 1 4YCOS2 7 a = - ( s e n 4 v + s e n 4 a e o s 1 4 y - c o sKy s e n 4 r - c o s f t v c o s í 4 \ s c n % ) . . . ( 1 )4

s e n 4 v e o s 14 y = ~ ( s e n 18 y - s e n 10 y)

*er 4 x eos X v = — (sen 12x - sen 4a )

( s e n 4 \ > s e n 1 0 * s e n 1 2 v + s e n 2 6 .v )

..(2)


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net



= ~ [sen 23x - sen 2 lx + sen Ix - sen 5]


sen3 4x eos2 7x = — (sen 4x) + — (sen 4x -3 sen 1 Ox -sen 12x + 2 sen 18x - sen 26x))4 4

= — (5 sen 4x - 3 sen 10 - sen 12x + 2 sen 8x - sen 26x), entonces: 16

| sen3 4x. cos2 lx dx = J (5 sen 4x - 3 sen I Ox -sen 12x+2 sen 1 8x - sen 26)¿/x+c

1 3cosl0x cosl2x eos 26* 5cos4x cos18a\= ---(----------- + --------- + —---- -------------------------- ) + £‘16 10 12 26 4 9

(i) J sen(3x + 6).cos(5x + 10)dx

Solución

Como sen(3x+ 6).cos(5x + 10) = (sen(8x +16) + sen((3 x + 6) -(5x +10)))

= (sen(8x + 16)- sen(2x + 4)) entonces

J sen(3x + 6). cos(5x +10 )dx = ~ J (sen(8x + 16)- sen(2x + 4 ))dx

cos(8x +16) cos(2x + 4)- H-------------- h C

16

© f eos x eos2 5 xdxSolución

Como eos x. eos2 5x = — cosx(l + cos 1 Ox) = — (cos x + cos x.cos I Ox)2 2


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net


1 , eos 9* + eos 11 a\ 1 n .= — (eos x + ---------------------------- ) = — (2 cos+ eos 9* + cos 1 I jc)

2 2 4

J eos x eos 2 5a d x = — J (2 cos jt + cos 9,v + cos 1 \ x ) d x

1 sen 9 a sen 11a ,= — (2 sen jc + -------------------------- + -) + £•

4 9 11

( 7) f sen(— - x ) sen(— + a ) d xv J 4 4

Solución

^ v fn 1 tt cos2xComo s e n ( ------ ,v ) s e n ( — + x ) = — ( c o s 2 j c - c o s — ) = ------------4 4 2 2 2

J sen(— - x ) scn(— + x ) d x = — J cos 2 a d x = —-11— * + <

© s sen x sen 2 x . sen 3 jc dx

Solución

Como sen 2x. sen 3jc = y (eos jr + eos 5x) , entonces

sen x sen 2 * . sen 3a' = — sen jc(cos x + cos 5x) = — (sen x eos jc + sen x cos 5x )? 2

= — (sen 2 x - sen 6a: + sen 4 x ) = — (sen 2a' + sen 6a: - sen 4 v)4 4

J sen x . sen 2x. sen 3a: d x = — J (sen 2a' - sen 4 x + sen 6 x ) d x

1 , cos óx ' cos 4jc cos 2 x cos2jc cos 4x cos 6 a= — ( -------------- + --------------------------- ) + c = ---------------+ --------------------------- + c

4 6 4 2 8 16 24


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net


1.6.4 EJERCICIOS PROPUESTOS,-


© J sen 8 v. sen 3 xdx^ sen5x senllv Rpta. ——---------—— + c

10

© /■sen 3r. sen 5 a dx _ sen 2x sen 8xR p ta .------------------ + c4 1 6

J sen1 x. eos 3 x dx _ 3 eos 2 a 3cos4y eos 6xR p ta .--------------------- +— -— + £16 3 2 48

© j eos 4x. eos 5x dx •-fc . 1 / sen9xvRpta. ~(scnx +—-— ) + c

© j eos2 x.sen2 4 a dxn x sen 8 y sen2x senóx senlOx R p t a . ------------ +------------ a------------------

4 32 8 48 80

(ó ) J sen—.sen — dx2 2

_ sen y sen 2x R p ta .------------------fí

sen 5 a . eos x dx ^ eos 6x eos 4xR p ta .-------------------- + cF 12 8

© j eos y . eos 5x dx ^ sen 4a' sen 6xRpta. — — + - ■ -8 12

© j sen 4x.eos7Ydx_ eos3x eosllx Rpta. —---------------- + c

F 6 22

f x 3 x jsen —.eos — dx2 2

^ eos y eos 2x R p ta .-----------------+ r

(Ti) J eos | . eos y dx x 3 5xRpta. 3 sen — + — sen — + c 6 5 6

s> J*sen 2x.sen 3xdx _ eos y eos 5xRpta. — ------------- + c2 10

+ c


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net



© 1* (Vsen 2 a - eos 2x)2dx Rpta.

© |* sen 5 a . sen a dx Rpta.

© .j* eos 3 a . eos 2 a dx Rpta.

© JJ* sen 3 a . eos 6 a dx Rpta.

© jj* eos 4 a . eos 2 a dx Rpta.

© J|* eos 3 0 a . sen 2 0 a dx Rpta.

© j1* sen 3 a . eos 5 a dx Rpta.

© J|* sen 2 a . eos 4 a dx Rpta.

© J1* sen(4y + 7). c o s ( 5 a + %)dx Rpta.

© j[ c o s ( 9 a - 2 0 ) . c o s ( 5 a + 2 0 )¿ /a Rpta.

© J sen a . sen 3 a . sen 5 a dx Rpta.

© J eos a . eos 3 a . eos 5 a dx Rpta.

© I sen 1 0 a . sen 2 0 a , sen 3 0 a dx Rpta.

x sen4* c o s 2 a 2 , . v3 , 7—+ -----------------------(sen 2a) + c*2 8 2 3

sen 4 a sen 6x8 12

sen x sen 5a

+ c

2 10

eos 3 a eos9 a

6 18

■+c'

- + c

sen 2 a sen 6 a--------+-------- + c4 12

eos 1 0 a eos 5 0 a

20 100

eos 2 a eos 8 a

4 16

eos 2 a eos 6 v ~4 12

+ r

• + r

+ C'

1 8

1 _ sen(4 v - 40) sen 1 4 a ..—[------------- - + ---------]+c4 2 7

1 r eos 9 a eos 3 a eos 7 a—feos a + ----------------- -----------4 9 3 7

]+c-

1 r sen 3 a sen 7 a sen 9 a .—[senA +------- - f ------- +-----— 1 + c4 3 7 9

l r eos 6 0 y eos 4 0 a ,„ r ----------------------- eos 2 0 a ] + r8 3 2


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net


J ... -n m j „ l,sen20v sen40.v sen60v,cos 10 a . cos 20 r. cos 30a-í¿v Rpta. — [-------------------------------------------+ --- + ------ + c4 20 20 60 J

J sen x. eos 7v.sen 1 Ijc dxr, 1 . sen 3.<r sen 19 r sen 5.r sen 17 x , RPta- ~[— ----- —---- 7— +—77— ]+t4 3 19 17

J cos x. sen 7 v. cos 1 \x dx__ l rcos3x cos5jc cos17,y cosl9x,Rpta.—[—-— -f — ---------- —--------- —— ] + c

4 3 5 17 19

(29) J sen(2x + IJ.scnpA' + 2).sen(5x + 3)dx

^ 1 _cos(10.y + 6 ) c o s (6 jy + 4) cos( 4y + 2)_Rpta. - [ ------------------------------------------------- 1 + Í-8 5 3 2 J

© 1 cos(x + 3).cos(3v + 5).cos(5x + 7 )dx

_ 1 rsen(3,v+5) sen(7jr+9) sen(9.v + 15) .Rpta. —[------------- + — --------- + — --------- i +sen(.v + l)l+c4 3 7 9

© J sen3 x.cos 3*dx Rpta. — cos 2 a:—— ciks 4x + — cos 6x + c 16 32 48

32) J cos 2 x. sen2 4x dx„ x sen 8a' sen 2x sen6.v sen 1 ().v Rpta. —--------- +-------------------------------+c

4 32 8 48 80

© J cosh x. cosh 3x dx Rpta. —senh 4x + —senh 2x + c 8 4

© senh 4jr.senh.rrfr Rpta. — cosh 5jy + —cosh 3-y + í ' 10 6

© j senh2 jr.cosh5xdx_ senh 7 a' senh3.r senh5.r Rpta. — —— +-----------------:— + <•

28 12 10


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net


1.6.5 INTEGRACION POR PARTES -

El método de integración por partes es de mucha utilidad en la práctica, cuyo procedimiento es de la siguiente manera:

Consideremos u = f(x) y v = g(x) dos funciones diferenciales en la variable x.

De la fórmula para la diferencial de un producto de dos funciones se tiene:

d(uv) = udv + vdu, lo que es equivalente

udv = d(uv) — vdu. integrando ambos miembros se tiene:

La ecuación (*) se denomina ‘‘Fórmula para la integración por partes"

Ejemplo de aplicación de este método


Q J a 2 I n a dx

Solución

Comentario: Cuando se tiene un producto de una función logarítmica inclusive afectada de un exponentc por una expresión en x, en lodos estos casos, se loma asi:

Haciendo:u = 1 n x

dv — x 2dx. . . o )

Ahora (1) reemplazamos en la fórmula de integración por partes:

x “ \nxdx = — ln. 3

x —J — simplificando


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net


a 3 . 1 f -» , X* In A A3= — In a — x~dx —-------------- + <■3 3 i 3 9

(7 ) Jln(A + /l + i'2 )dx

Solución

De acuerdo al comentario del ejemplo anterior se tiene.

Haciendo: m = ln(x + >dv - dx

du = dx

^ \ + x 2V = A

Ahora aplicamos la fórmula de integración por partes:

ílnÍA + + A 2 )dx = AlnfA + 's/l + x2 ) - f - - - - - - = a In(A+Vi + a 2) - -\/l + a 2VI+*2

+ c

© J jcsca sen 3a ¿a

Solución

Comentario: Todas las funciones trigonométricas multiplicados por una expresiónen x se integran por parles donde las funciones u y dv se toman asi:

Haciendo:I u = xI dv = sen 3a dx

d u = d x

eos 3 av -----------


r _ . a eos 3a f eos 3a , a eos 3a sen 3ai s e n 3 x d x ------- ------------- I ---------------------------------------- d x = -----+ ----+ ¿

J 3 J 3

© i ( v ? + 2 a + 3 ) e o s 2 a dx

Solución


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net


De acuerdo a) comentario del ejemplo (3) se tiene.

Haciendo: u = x 2 + 2 jc+ 3

dv = eos 2x dx

du = 2(x + \)dx sen2vv =


+ +3j* (x ' + Ix + 3) eos 2 x = 1 + + scn 2x - j* (jr +1) sen 2x dx

nuevamente a la integral J (v +1) sen 2a dx , lo calculamos por partes.

Haciendo:íw = x + 1 \ => [ dv = sen 2a' dx

du = dxeos 2x

v -

y aplicando la fórmula de integración por partes.

t , _ , r + 1 . r cos2v , a + 1 _ sen2rI Í.T + l)sen2jr¿ir = -------c o s 2 x - ----------dx = ------- cos2*+-------J J J 2 4+ c

ahora reemplazando (2) en (1) se tiene

j~ n , x ‘ +2x + 3 ~ x + \ ~ sen2x

U " + 2 jc + 3)cos2*¿& = -------------------- sen2i + -----c o s 2 v ---------+ c2 2 4

© j xe2xdx

2jc2 + 4 a + 6 ^ A + l ^---------------sen 2 a +-------eos 2x + c4 2

Solución

.(2)

Comentario: Las funciones exponenciales multiplicadas por una expresión en x seintegran por parles y las funciones u y dv se toma asi.


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net


Haciendo:u = x

dv = e2xdx

du - dx2x

Ahora aplicamos la fórmula de integración por partes.

© J (jc- +3x-\)e- 'dx

e ' A dx xe2x e 2x e’------- = -------------- +c = -----(2x- l) + i2x

Solución

De acuerdo al comentario del ejemplo (5) se tiene:

Haciendo:u — x~ + 3 x -l

dv = e2xdx

du = {2x + 3)dx2a


2 x ^ . _ X2 +3JC-1 2x j 2x + 3 21J (x2 +3x-\)elx dx = e¿xdx

x~ + 3x-l ->x—----- ----- e~2 2

U(2.*+3)<rJdx

Nuevamente a la integral J (2jr+3)elxdx , lo integramos por partes:

Haciendo:u — 2x + 3

dv = e2xdx

du = 2 dx


-)x 2vf/o ox 2.v + 3 ->* Ce" ~ , 2x + 3 ix e , n 2*(2jt + 3)*r dr = ------- e~ ~ \ -----2dx =------ e ~ -------- = (x + l)e — (2)J 2 J 2 2 2


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net


Ahora reemplazamos (2) en (1).

j, ? *>r , x2 + 3 x - l ix x + l ~)x x 2 + 2 x -2(x~ +3x-\)e~' dx =------------ e ~ --------e +c = --------------e~ + r

Jxarctgxrfx

Solución

Comentario: Todas las funciones trigonométricas inversas multiplicados por unaexpresión en x, se integran por partes donde las funciones u y dv se toman así.

Haciendo:\u = arctg x ) dv = x dx

du = dxl + x2

V =X


f x2 arctgx l f x 2dx x 2 arctgx l r„ lv arctgx dx = -----—S - - - —— = ----—*— _ (i — ----rfvJ 2 2 J x + 1 2 2 J jc2+l

x" arctg x x l---------------- + —arctex + c2 2 2

x + 1 x-------arctg x — + c

© j x are sen x dx

Solución

De acuerdo al comentario del ejemplo (7) se tiene.

Haciendo:\u = aresenx I dv = x dx

du dx

-Jl-X2

v = ■X*



ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net



í xrc sen x dx = x~ arcsen x _1_ r x^dx“ 2

nuevamente la integral f * ^ x . Calculamos por panesV i-* 2

Haciendo:u - x

dv = xdx

V i-* 2

Luego aplicamos la fórmula de integración por partes:

= = -x V l-x 2 - J - ^ j e 2dx = -xy¡ l -x2 + j ‘Jl-x* dx

= - x ^ \ - x 2 + —-s/l-x2 + —arcsenjt + c = — (arcsen x-x*J] 2 2 2


j x arcsen , jc2 arcsen jc 1 , r Tx dx =------------------ (arcsen x - x y \ - x ~ +c2 4

2jc2 — i x r rLY + —Vl~*~ +Carcsen.

4 4

® j'eax sen bxdx

Solución

.*(1)

Comentario: Las funciones exponenciales multiplicadas por la función seno ocoseno se integran por partes y las funciones u y dv se eligen de cualquier forma, así: tenemos para nuestro caso:


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net



Haciendo:ju -senbx

| dv = euy dx

du = b eos bx dx

v =a

Ahora aplicamos la fórmula de integración por partes

i eax sen bx dx - e“x sen bx ba - ía J

eax eos bx dx (1)

nuevamente a la integral J eax eos bxdx , lo calculamos por partes.

Haciendo:u = eos bx

dv = eaxdx

du = -b sen bx dx

v =a

Luego aplicamos la fórmula de integración por partes.

/ * * »eax eos bxsen bx dx = eos bx r b ax

--------------- €a J a

sen bxdx

eax eos bx ba

- | > vs a J

+ — \e sen bx dx (2)

ahora reemplazamos (2) en (1) es decir:

jax , , sen bx b . e tíA cos far b f UKe sen bx dx ~ ------------- ■

are eos bx b r UK . , 1[------------+ — e sen bx dx]

a a a J

I eÜA sen bx dx = —y (a sen bx - b eos bx)----— \ e tn sen bx dxJ a" a~ J

b f c" '(1 +— ) e"' sen bx dx = —— (¿/ sen />jc - b eos bx)a~ J a~

etíA sen /¿r dx - (¿/ sen fcx - eos for)2 r.-*+ rr

+ £'


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net



Ejemplos diversos de integración por partes.

jx arctgx

Vi + v2dx

Solución

De acuerdo a los comentarios de los ejemplos anteriores.

Haciendo:u = arctg x

x dxdv =du - dx

v

1 + x2

= >/l+*2


r x arctg x r r 4 f /; T dxi dx = Vl + x~ a rc tg x -IVI + x " ----------------- -V 1 + x 2

= Vl + x2 aretex- f . ^ = -\/l + x2 arc tgx-ln |x + ->/l + x 2 |+cJ VI+x2

ix~dx

(xcosx-senx)Solución

A la integral dada escribiremos así:

f x 2rfx r x:~senxrfx r x x senx ¿Ir(.xcosx-senx)2 sen x(x eos x -sen x )2 senx (xcosx-senx)2

x~ senxrfx x x sen x dr

Haciendo:u - ■

senx

dv = x sen x dx(x eos x-senx)'

senx-xcosx , du = -----------------dxsen" x

1V =xcosx-senx



ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net



f x 2 dx _______ x__________ f (senjf-jrcosjr) ^J (jc eos x - sen x)2 sen x(x cos x - sen x) J sen2 jc(jc eos jc - sen jc)

x ( 2 j xIcosec xdx =■senjc(jccosx -sen*) J senAfxcosjc-senx)

© f Jf + senJfrf)í j 1 + COS JC

Solución

Se conoce: 2cos2(—) = 1 + c o s .y , sen.r = 2sen(—).cos —2 2 2

Entonces a la integral dada escribiremos así:

x x x + 2 sen(—) cos(—) .fx + senx r i . 1 f ■>/*». r . /-vvj---------- dx = I ------------ =-------— dx = - I .rsec (—)rfx + tg(—)dxJ 1 + c o s j c J 2 J 2 J 22 eos (y)

Ahora calculamos la integral f.tsec2(—)dx , por partes.J 2

Haciendo:u = x ídu =dx

dv = see 2 (~)dx v = 2 tg(y)

Luego aplicando la fórmula de integración por partes.

J jc sec 2 (y)dc = 2 jc tg(^) - 2 J t g{^)dx

Ahora reemplazando (2) en (1)

f j c + senx , 1 . ,jc , x , f , j c % ,---------- = —[-v tg (-)—2 i ig(—)dx] + tg(-)dx+cJ 1 + cosx 2 2 J 2 J 2

= j tg(^) - J tg(j)dx+j tg (^)dx+c = ± tg(-|)+ c

ctgx + c

... (2)


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net



© í cos x + x sen x -1 (sen x-x)~

dx

Solución

Corno sen1 x + eosJ x = 1 , entonces a la integral dada escribiremos así:

r eos x + x sen v -1 . r eos x + x sen y - sen2 xi --------------- i— * = i ----------- ------------ —J (sen y - y ) " j (sen y - a )

eos" Xdx

cos a (eos x - 1) - sen A(sen x -y ) (sen y-a:)2

dx

- jeos jc(cos x -1) ^ | sen x dx

(sen a - x)' (senx-x)

Ahora calculamos la , r cosx(cosx-l) _ integral -------------- — dx, por partes.

J (sen-y-a)*

Haciendo:u = eos x

c o s j c - 1 dv =------------ -dx(senx-x)~

=>du

v

-sen-Y dx 1

sen x - x

Luego aplicando la fórmula de integración por partes.

Ícos x(cos x - 1) eos x r sen x(senx-x )2 sen x -x ' senx-x(senx-x)

Ahora reemplazando (2) en (1)

eos x + x sen x —1 f eos;• dx — —r eos x + x sen x ' (senx-x)2

sx f senx , r sen y , cosa-----+ -----------d x- I ----------- dx + c =---------sen x -x J senx -x J sens e n a - a sen a - j

. ( l )

..(2)

+ c

Solución

^ 4 ) J see1 x dx


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net




J sec8 v dx — J sec2 x. sec x dx = J (11- tg2 x) sec xdx

= Jsec xdx + J tg 2 jc.sec jtdx = ln|sec.jr + igjr | + Jtg2 a.sec xdx ... (I)

ahora calculamos la integral j* tg2 x.sec x dx . por partes.

Haciendo:jw = tg.v| d\ = tg x. sec x dx

\ du — sec2 a

1 r = sec v


| tg2 x. sec x dx = sec x. tg x - 3 J sec3 x dx

Luego reemplazamos (2) en (1) se tiene:

| sec3 x dx = l n | sec x + tg a* + sec x tg x - J see3 x dx

sec3 x dx = — (In | sec a + tg x | + sec a tg x) + c

xeaiVlg -V/I -1^2(1+* )

dx

Solución

De acuerdo a los comentarios de los ejemplos anteriores.

Haciendo: =>dv =

1 + x'dx

du dxI -I T

(! + * ' ) ■ “

Ahora aplicamos la fórmula de integración por panes:


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net



dx = xe*«*xC xe Í ârctg x

(1 + a' 2)3/2- . ( I )

nuevamente Í aictg*------ - — dx, por partes(l + *2)3/2

Haciendo:u

dv =arctg x

l + x ‘dx

du = xdx(l + x 2)3' 2

v = e™**

Jarctg x aicig x

dx(1 + x 2)3' 2 (1 + x2)2x3/2

f A-e3™6'+ J(1 + a2)3/2

dx ... (2)

luego reemplazando (2) en (1) se tiene:

r Aearct6 * J ( 1 + a-2 ) 3/2

dxx e *Ktg x âictgjr arctg x

( i+ a ) o + a-t

í

âictgx e arctg x-dx = ------------. . . . ( a - 1 ) + c

(1+a-2 y 2(1+a )

íarcsen4~x( l - A )

1/2 dx

Solución

Sea z-'-Jx x - z 2 => dx~2zdz

z arcsen zÍ arcsen~Jx . - f d=a - z * y

.(i)Ahora aplicamos el criterio de integración por partes.

Haciendo:u = arcsen rzdzdv =

( l - 2 2),/2

du = dz(1 - z 2 ) , /2

v = - ( l - z 2)1/2


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net




Í z arcsen z------ —— d z ~ - ^ \ - z ^ arcsen(1 - 2 )

= - ( l - r 2)1/2 arcsenz+z

^ d : arcsenz- f - V l - ~ 2 -----2 i n - - 2 i

ahora reemplazamos (2) en (1), es decir:

(l-z2)1/2

... (2)

r arcsen4x e¡x = 2(-^Ji-z2 arcsenz + z )+ c = -2>j\-x a r c s e n + 2-Jx +cJ 0 - x )

( n ) I sen(ln*)d*

Solución

Sea z = lnx => x = ez => dx = ezdz

Isen(lnx)dx = J e 2 sen zdz

Aplicando el criterio de integración por partes.

Haciendo:u = senjt dv = exdz

du = cos r dz

v = ez

Mediante la fórmula de integración por partes se tiene:9

J ez sen z dz = ez sen z - J ez eoszdz

nuevamente calculamos la integral J ex eos z d z , por partes.

Haciendo:u = cosr

d v - e z dz

du - - sen z dz

v = ez

aplicando la fórmula de integración por partes.


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net



j e z eosz d z - e z eos z + J e z sen zdz ... (3)

ahora reemplazamos (3) en (2)

/«■senzdz = ez senz ~ e z eosZ~ f e z senzdz

í ez sen z dz = — (senz -e o sz )


J sen(ln x)dx = — (sen z - eos z) +c

J sen(ln x)dx = y (sen(ln x) - cos(lnx)) + c

e ^ d x

Solución

(4)

Sea x = z 2 => dx = 2 zd z , entonces: J = 2 J zezdz, integrando por partes.

Haciendo:u - z

dv = ezdz

d u - d z

v = eA

Aplicando la fórmula de integración por partes:

J e ^ d x = 2(zez - J e*dz)+c=2(zez - e z )+c = 2ez ( : - 1)+c = 2 e ^ ( -Jx- l) + c

® í^ rx arctg*

+ x.2dx

Solución

Sea z = arctg xdz dx

1 + x 2 , ahora reemplazando en la integral, x = lgz


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net



Í - arct£* dx = f 2 tg2 z d z , aplicando el criterio de integración por partes.1+X 3

Haciendo:u = z \du = dzdv = tg2 zdz \v = tg r

Mediante la fórmula de integración por partes se tiene:

j a _arctgx^ = z(¡z - z(x%z-z)-^{\%z-z)dz

= z t g z - z 2 - ln \secz \ + - + c = x arctgjc-ln|sec(arctgx)| - arct& -

©arcsenx J dx

( l - * 2)3' 2Solución

Sea z = arcsen* => «, dxdz =

(1 - jc2)172 , ahora reemplazamos en la integral*dada: x = sen z

u - z f du = dzrfv = sec2 zdz }v = t g 2

Í arcsenx , r arcsenx , r zdz e 2------ --------------------- i------ TT7Tdx = --------- T~ = ~sec zd:( l - x 2)3/2 J a - J t K l-* ) 1-sen z J

Ahora aplicamos el criterio de integración por partes.

Haciendo:

Luego aplicamos la fórmula por partes:

r aresenx _ r _ , .------ r r r dx = z t g z — tgzdz + c = z tg z - ln secz +c* ( l - A ) J

x arcsen a 1. „ 2,= ----------— — - - l n ( l - A z ) + c

( I - a ) 2

+c


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net


En esta parte consideremos el cálculo de las integrales, mediante ciertas técnicas, llamadas el método de los coeficientes indeterminados y se considera las siguientes integrales.

Donde Pn(x) es un polinomio de grado n, para él cálculo de estas integrales se expresa así:

donde Q„ (a) es un polinomio de grado n de coeficientes por calcular, es decir:

P„(x) = a„xn + a„_1x"~I +...+alx+a0, Q„(x) = bnx n +b„_lx n i +„.+blx + b0

y se trata de calcular los coeficientes de Qn (*) , los que se obtienen derivando la

ecuación (1) y después se aplica la identidad de polinomios.

Ejemplo:

Calcular la integral: J (jc3 + 5a 2 - 2)e 2xdx

Solución

De acuerdo al criterio establecido, a la integral dada escribiremos en la forma:

1ro. Las integrales de la forma:

.~<D

J (x 3 + 5x2 -2 )e2xdx = (Ax3 +Bx2 +Cx+D)e2x +c (1)

Para calcular A,B,C y D derivamos la ecuación (1)

(X 3 + 5 * 2 -2 )e lx =2(Ax3 +Bx2 +Cx + D)e2x + ( 3 Ax2 +2Bx+C)e2x

(x3 +5x2 -2 )eZv = (2Ax3 +(2B+3A)x2 + (2C + 2B)x + (2D + C)e2x

x 3 +5x2 - 2 = 2Ax3 +(3A + 2 B)x2 + (IB + 2C)x + C+2D


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net


Ahora por identidad de polinomios se tiene:

2A = 13/1 + 2 5 = 5

' 2B + 2C = 0 C + 2D = -2


J ( jc3 + 5 * 2 -2)e2x dx = ^{4x3 + 1 4 x 2 - \4 x + l)e2x +c

Observación: En general se puede probar que:

Comprobemos con el ejemplo anterior.

f 3 ^ *> * i x , e l x r 3 _ 2 ^ 3 a 2 + 1 0 a 6 a + 1 0 6_(x + 5 a - 2 )e2xdx = ------- [a 3 + 5a 2 - 2 ----------------------- + ------------------------ ] + cJ 2 2 4 8

2-r

= ^ - [ 4 jc3 + 1 4 jc2 - 1 4 x - Í ] + c

2do. Para las integrales de la forma:

/\x)scn(íD:>íñ. J/tJr)cos(ax>iít

Donde P(x ) es un polinomio.

Él calculo de estas integrales se obtienen mediante las expresiones siguientes:

A =

B = - 4

4

D = - 1

- (2)


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net



- cos(ax)I P(x) sen {ax)dx = ——a a

a a a a

sen(tfx)J P(x) cos(ax)dx = P(x)p"(x) , p (4)(x)a a

| cos(flx)[f (Jt) P"(x) | P'(x) ]a a fl3 ' a5

Ej empio: Calcular la integral J (2x4 + 2x - 1) cos 2x dx

Solución

De acuerdo al criterio se tiene:

P(x) = 2x4 + 2 x -l => F (x) = 8x3+2

P"(x) = 24x‘

P”'(x) = 48x

P (x) = 48

sen 2x F ' (x) | Piv (x) | cos 2x P (x) F "' (x) | g16 8

sen2xr_ 4 . .--------[2x + 2 x -l 24jc2 48.. cos2xr8x3 +2 48x,+7t ] + —r - [— ;------- H + c4 16 8

: (2x4 - 6x2 + 2x + 2 ) + (2x3 -3 x + - ) cos 2x+c2 2


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net



OBSERVACION.- Los casos especiales de integración por partes analizados

y que son de la forma ^P(x) = eaxd x , Jp(x)senaxdx,

| P(x) eos axdx, donde P(x) es una función polinomica que se puede derivar varias

hasta anularse y efljr, sen ax, eos ax, puede integrarse varias veces sin dificultades, en estos casos, existe una forma de organizar los cálculos que simplificar el trabajo, este criterio ilustraremos mediante los siguientes ejemplo:

Ejemplo.- Calcular la integral J x 5exdx

Solución

J x5exdx = J / (x).g(x) dx donde / (x) = x5 y g(x) = ex

Ejemplo.- Calcular la integral J(x3 + x + 5)elxdx

Solución


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net



J ( a 3 + x + 5)elxdx = J /(*).#(*) dx donde / ( a ) = a 3 + x + 5, g(x)=e2x

e2x 6e2x 8 16

+ c

Ejemplo.- Calcular la integral J x2 c o s a dx

Solución

J*x2 c o s a dx = j f ( a ) . £ ( a ) dx donde / ( a ) = x 2 y g(x) = eos x

J a 2 c o s a ¿£t = A2senA-(2A)(-cosA) + 2(-senA) + e

= a 2 sen a + 2* c o s a -2senx + c


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net



Ejemplo.- Calcula la integral J (x3 - x + 7) sen 2x dx

Solución

J fW .g (x ) dx = J(x3 - x + 7)sen 2x í£t, donde /(x) = x3-x + 7 yg(x) = sen2x

, ,cos2x. 6sen2x+ 6x(------- ) ------------- + c8 16

, 3 _ c o s 2x , , 2 ,. sen2x 3xeos2x 3sen2x= —(x - x + 7)------- + (3x -1 )-------- + ------------------- ----- + c8

EJERCICIOS PROPtESTOS.-

Calcular las siguientes integrales:

Jx ” lnxí£c, n*-l xn+1 1Rpta. ----- (lnx---- )+cn + 1 M+l

© Jln xdx 1 i ,Rpta. — (ln x + 31n x + 61nx + 6)+c


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net



®

©

©

©

©

©

©

©

©

©

ln2 x.5 /3 dx

ln(cosx) dxCOS" x

(x2 -2x + 3)lnxdx

x3 ln2 xdx

ln2 xdx

xlnx2x1/2

dxd - x ¿)

x ln(-|——)dx 1 + x

lnx dx

ln(Inx) dx

ln(-v/x + -J\ +x )dx

ln(2+Vx) dx

a + x - 3 x 2) e xdx

Rpta. 8 ,9 . 228x3' 2 4

(—ln x+31nx + 2)+c

Rpta. tgxln(cosx) + tg x -x + c

3 3 2Rpta. ( -— x 2 + 3 x )ln x -— + - — 3x + c

3 9 2

4 4 4Rpta. — ln2 x - — ln x +— +c

4 8 32

Rpta. x(ln2 x-21nx + 2) + c

Rpta. -Jl - x 2 (1 -ln x ) + lnC1 1 — )+c

_ „ x2- l. ,1-x. ,Rpta. —-— ln| l-x+c2 1+x

l + 21nx R p ta .---------— +c4x

Rpta. lnx(ln(lnx)-l) + c

Rpta. (x + —) ln(Vx + -Jx +1)—- 4 x 1 + x + c: 2 ^

Rpta. —-ln |V x + 2 1

Rpta. (3x2 +5x-2)e * +c

^ 3 r------ +*Jx+c


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net



© Jí' (1+*)Rpta. xex x

- - +e +c1 + JC

© J\ e’> 1 XRpta. X - l l / x---- el +c

X

© J[(2jc-3)(x2 -3JC-1)4 ln(x2 ■-3x-l)dx i

Rpta. —---- y-—— (ln(x2 - 3 x - l ) - y ) + c

^8) j x 2e "*dx Rpta. — e *(x2 +2x + 2)+c

@ J x ie~xndx Rpta. -3 e_Jt/3(ocJ +9x2 + 54x + 162)+c

© j ( x 2-2x + 5)e Xdx Rpta. -(x2 +5)e * +c

© f (jc3 -3 x)e6xdx Rpta. — (36x3 -18jc2 -102jc + 17)+cJ 216

(22) [ — -t .?*—-dx Rpta. ——— (3jc2 +4x+—) + cJ 4e3x ' 12

(23) j(8x3 +6x2 +2x+5)e4xdx Rpta. eAx (2x3 + —+ —) + c2 8

(24) JarctgVx dx Rpta. xarctg-\/jt —\/x+arctg-Jx+c

2^) f x arctg2 xdx Rpta. —((x2 +l)arctg2 x-2xarctgx + ln |x 2 + l|)+ cW' 2

3 ) Rpta. , „ | _ 4 ^ | - I a, c , g , - H 2 ¿ £ «J jc2(I+ jt2) (1+x 2) " 2 * 2


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net



1arctgx

dx Rpta. ln| ——- 1 - arCtp* +c-Jl+x2

(28) j x2 arctg3xí£í r 3 r 1Rpta. — arctg3x----------------------------- +----In 11+9x 2 | +c

3 18 160

(x + 1)'Rpta. 2xe

x + 1-ex +c

Jx , ,x + l ln(----- )dx

-s/l-x2 x ~ l

(3l) J arctg(-\/x+l)dx:

Rpta. -\/l-x2 In| —— |+2arcsenx+iX + 1

Rpta. (x + 2) arctgV* + l —n/j¡c + 1 +c

(32) |xarctg^/x2 -1 dx Rpta. — arctg-\/*2 - 1 — "Jx2 -1 +c

(33) J arctg-/ /x -lrfac Rpta. (w2 + l)2arctgw -y(H '2 +3) + c

donde w = - £ f x - 1

í£c_ arctgx arctgx xRpta. — f ----------£— +---------—+c

4 2(l + x ) 4(1+ x )

©

rx -xarctgx J (1 + x2)

arctgVx© J

dx

dx

Jxsec2 xdx

Rpta. x + Ix +52(1+x2) 4(1+ x2)

orc.tgx+c

Rpta. 2-Jx arctg /x + In 11 + x | +c

Rpta. xtgx+ln|cosx|+c

(38) Jx tg 2 xdx Rpta. x tg x —— + ln|eosx \ +c


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net



[sen ijxdx Rpta. 3((2-%jx2)cos\[x +2.\fx sen \[x)+c

© í xsenxcosxdc Rpta. sen 2x x------------ eos 2 x+c8 4

© | x3 sen x dxJ

Rpta. —x3 senx + 3.*:2 senjc + 6xcosx —6senx + c

© 1 (* ' +5x+ 6)cos2xí£c Rpta. 2x2 + 10x+l 1 . 2jc+5 .-----------------sen2x + --------cos2jc+ c4 4

© í xsee2 3xdxJ

Rpta. — tg 3x ln | see 3x | +c 3

©

i x eos ec2 (-)dx i 2

Rpta. - 2xc tg(—) + 4 ln | sen(—) | +c

© j x 2 senxdx Rpta. - x cosx + 2xsenx + 2cosx+c

© f 9jc tg 2 3xdxJ

Rpta. 9x23x tg 3x-------+ ln | eos 3x | +c2

© f * dx J sen2 x

Rpta. -xc tg x + ln | sen x | +c

© j sen^/Z* dx j

Rpta. — ¡2x eos a/2x + sen 2x + c

©rxcosx ,1 Wv Rpta. X , , , * v .-L |n te* i i 1 1 r>

J 2J sen x+ i n 1 lgi - ) \ +c senx 2

© | x eos 3x dx Rpta. x „ eos 2x— sen 3.x+ ----------- + c3 9

© f xsen2 xdx Rpta. x 2 x sen 2x eos 2x-------------------------------- ----- + C4 4 8


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net



©

©

©

©

3* cosxdx

sec 5 xdx

arcsen x dxVX + 1

(arcsen x) 2 dx

arccosx dx

arcsen x dx

jcarcsen (x2)dx

6x2 arcsen 2xdx

arcsen 2xdx

x arcsenx( l - x 2)3/2

dx

(arccosx- In x)dx

4x3 arcsen(—)dx

arcsen •s/I£

dx

3*(senx + ln3.cosx) Rpta. -----------------r---------- f Cl + (ln3)

_ , secxtg.x,„ ? -,v 3, .Rpta. ----- (2sec x+3)+—ln|sec* + tgjc|+c

Rpta. 2-y/x +1 arcsen x + 4^1—x + c

Rpta. x(arcsenx )2 + 2arcsenx . - j 2 - x 2 - 2 x + c

Rpta. xarccosx - - J \ - x 2 + c

_ arcsen jc . . x ,R pta.------------ + In |-— -----r i 7 r l +c

Rpta. — arcsen(x2)+ —- J l - x A + c 2 2

Rpta. 2x3 arcsen 2x V l - 4 j c 2 (1 - 4 x 2) 3' 212

+ c

Rpta. x arcsen 2x+— — \-c

_ . arcsen* 1, , 1 — jc ,R Pta' „ 2 i / 2 +T lnh---- l+c{ \ - x 2y 2 2 1 + jc

Rpta. x arccosjc —s/l —jc2 ~ x(lnx-l) + e*

Rpta. 2Vx arcsenVx+ 2VÍ--X


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net


í x~ arcsenxrfx r 1 1Rpta. — arcsenx— ( l - x 2)3/2 +—( l - x 2)i/2 +c

3 9 3

( ^ ) Jxcos3x¿íc n £ X 3 2 eos3 XRpta. xsenx— sen x + — cosx +-------- + c3 3 9

q ) j e r cos3xrfxx

Rpta. ---- (3scn3x-cos3jc)+ c10

68) p O l * e ' ,cos2x-sen2xRpta. -----(------------------V 2 5

)+c

(S ) J" e* sen x sen 3x dx Rpta. — (e* .2 sen 2x + eos 2x 4sen 4x + eos 4x17

)+c

© ¡ e°* eos bxdxa - + b ~

(71) J e1* cos(t?* )dx Rpta. e sene + eose + c

@ Jsec2(lnx)<£t Rpta. xsen2(ln.v)--^(x sen(2 lnjr)-2x eos(2 lnx)) + c

73) j x ’e ' 1dx 1 -A2Rpta. ~ —e (x+ l)+c

© 1xarcsccx dx o * X1 ^X2 -1Rpta. — arc see x----------- + c2 2

J (fif/rsecx)2“dx » 2 2 2 1 1 1 * _ l tRpta. xtfcrsec x — -------- ln |------|+cX -x x 2 x + 1

(7^) J x 2 arctgxdx

@ j 4 x \ n x d x

2 2 ,Rpta. — arctgx----- + —ln(l+x2)+c

2 6 6

Rpta. —x3' 2 ln x - —x3' 2 +c 3 9


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net


(78) J sen x. ln(l + sen x)dx Rpta. - eos x.ln(l + sen x) + x + eos x+c

(79) Si f " ( x ) = -a f (x ) y g"(x) = b g (x ) , donde a y b son constantes encontrar la

integral f f (x) .g"(x)dx. Rpta. - l — [f(x).g'(x)-f'(x).g(x)]+eJ a + b

j cos(lnx)í/xJ

XRpta. —[sen(lnx) + cos(lnx)]+c 2

© f (3x + l) arctg2 xdx Rpta. ( ^ —+ x + —)arctg2x-—X -—ln(4x2 v 2 8 4 8

© U x 1 +5jc+ 1 )exdx Rpta. ex (x 2 + 3x - 4) + c

© i (x2 + x + l)sen xdx Rpta. (2x + l)sen x -(x 2 + x -l)co sx + c

© í (3x2 +7x+l )exdxJ

Rpta. xe*(3x + l) + c

© f(x 2 -5x + l)e~xdxJRpta. - e " r (x2 -3 x -2 )+ c

© r x2 +3x+4 , ------------- dx Rpta. -e~x(x2 +5x+9) + c

© 1 (x2 + 2x + 5)(2senx+ 3cosx)¿/x 1 %

Rpta. (3x2 + 10x + 13)sen x -(x 2 -2 x -2 )c o sx+c

© í x 2 ln(x6 -1)í£c Rpta. — [(jc3 - l ) ln |x 3 - l | - ( x 3-1)]J 3

+j[ (* 3 +1) ln | x3 +11 -(x 3 + l)]+c


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net



© J ln 2(jr + Vl + JT )rfx

Rpta. x ln2(jc+^ \ + x 2 ) - 2-Jl-x1 ln(.r+^j\+x2 ) + 2x+c

© ) j ( 2 x A + 2jc-l)sen2xdx

Rpta. (2x3 -3 x + —)sen2x-(x4 - 3jc2 +x + l)cos2x+c

© JjtV'dx © x2(x3 + 1) 2 lnx dx @ JarcsenV3xdr

© J ln(x2 + 2 )dx @ (x2 + 7x - 5) eos 2x dx (l04) J (InixV f d x

Je2x senxcosx dx e~x cos3x dx ^07) j x 3e x2dx

@ rsen x . ------- dxJ ex © x2 aresenx dx (lío) J(arcserur)2ríx

© J e*x sen 4x dx © x2e*senx dx © J rln'T *(x2 - l ) 2

1.6.8 INTEGRACION POR SUSTITUCION TRIGONOMETRICA.-

Sea u =f(x) una función de x. En muchos casos es posible calcular una integral efectuando una sustitución trigonométrica, y estas integrales son de la forma:

Donde R es una función racional.

Ahora daremos un criterio para calcular estas integrales, para esto consideremos los siguientes casos:


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net


integral indefinida 131

ler. Caso. Para la integral de la forma:

Construimos un triángulo rectángulo.

Se toma la función:

U /i utg 6 = -a

u ~ a lg 6

6 = arctg(—) a

du = a see2 6 d6

Las demás funciones se toman de acuerdo al integrando que se tenga.

2do. Caso: Para la integral de la forma:


Se loma la función:

U sen 6 = — a

u = a sen 6

6 = arcsen(—) a

du = a eos 6 d6


3er. Caso: Para la integral de la forma.


Se toma la función:

/i u see 6 = —a

u = a see 6

6 = arc sec(—) a

du = asec6ig6d6



ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net


Observación: Se trata de la sustitución trigonométrica del tercer caso

a) Se calcula la integral para u > a.

b) Se calcula la integral para u < -a, luego se hace la sustitución v = -u, de donde élcalculo de la integral se reduce a la parte (a).

c) Por lo tanto la integral resultante se compone de dos integrales, una para elintervalo u > a y la otra para el intervalo u < a (ejem. 3).

Sin embargo estas integrales pueden resultar iguales y dar una sola expresión para la integral dada (ejem. 4).

Ejemplo de aplicación de éste criterio.- Calcular las siguientes integrales:

J R ( u ^ u 2 - a 2 )du , se procede del siguiente modo:

Solución

Aplicando la sustitución del 1er. caso:

X

t g o = —Se toma la función: 3 =>

x = 3tg0

6 = arctgí^)

t£r = 3sec2 6d6

3 => (jc2 +9)in =3 see 6

= 9j (sec2 6- l)sec6d6 =9j (see3 6-sec6)d6

- 9[ - (lg 6. see 6 + In | tg 6 + sec 0 1) - In | tg 6 + sec 6 1]+c


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net

9 rx x . , x y x 2 + 9 n[-■ 7=-- ------------ |]+c

2 x ¿ +9

9 r x= TÍ

2 3^9+jc2—ln | + y¡9^. I ] + c

© hdx

Vl6+9.r2

Solución

A la integral dada escribiremos así: í -----. = = f ---- _______} x 2 t¡ 1 6 + 9 x 2 J x 2t¡ 4 2 +.(3x ) :

Aplicando la sustitución del 1er. caso se tiene:

tomando la función:

tg0 =3x4

_ 4 tg e

see© = Vl6+9x2 = 4sec 0

Ahora hacemos las sustituciones

0 = arctg(^)4

4 7dx = — see" 0 d0

3

jdx

í

4 2—see 6 d 6 , „3 _ 3 fsecf?</0

16 7 7 T 7 _ Tfi J to22>/ 16+9x2 J l ^ tg 2e.4sece 16 6

= — f cos^ . d o = — fctg6.cosec6d6 16 J sen 6 16 J *


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net

3 n 3 Vl6 + 9x2= -----eos ecO + c =-------------------+ c = ------------16 16 3jc I6jc

+ 9jc + c

© hdx

V*2 - 4Solución

De acuerdo al tercer caso se considera dos partes.

Ira. Parte.- Si x > 2, se tiene la sustitución.

Vx2- 4

/i xsee 6 = —2jc = 2 see 6

6 = are sec(—)

dx = 2 see 6. tgO d6

4 ? - 4 = 2 tg e

Ahora haciendo la sustitución en la integral

f ** = ! d0 = rcosie' x3V*2 - 4 8sec3 G.2tgG J 8

= — Í(l + cos20)rf0 = — (6 + SCn 2g) +c =-^:(0 + sen0.cos0) + c ln J Id 2 ' ^16

1 , ,x. 2 x 2 —4= — (are sec(—) +------ ---- ) + c si x > 216 2 x 2

2da. Parte.- Si x < -2, se tiene la sustitución x < -2 => -x > 2, ahora hacemos elcambio de variable y = -x aquí se cumple y > 2. t

-dyÍ W r ‘ - 4 ^ - y 1 y 1 - i J - 4- f

dy

1= — (arcsec( 16 2 c de la (Ira. parte)


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net

1 . , - x . 2-Jx2 - 4 .— (arc sec(— ) +------ ---- ) + c , si x<-216 2 x~

( j ) Demostrar la formula f —r — ---- = ìn\x + 4 x 2 - a 2 |+cVjc2 - a 2

Solución

De acuerdo al tercer caso se considera dos partes.

Ira. Parte.- Si x > a => se hace la sustitución.

vsec G = —

a =>x = a secG

tg 6 =a

x6 =arc*sec(—) a

dx = asQc6.ig6dO

-\lx2 - a 2 = a tg 6

Ahora sustituimos en la integrai dada.

a sec 6. tg 6Ç d x ^ fflsecfMgtf r

i 4 ? ^ 2 J a 'Ze JdG= \sec6d0

tgG

. . « „ . 1 . x y x 2 - a 2 ,= ln|sec0 + tg0 |+c, = ln |—+ ------------ \+c,a a

= ln \x + 4 x2 - o 2 l+q - ln a = ln |jcW x 2 - o 2 |+ c, s ix > a

2da. Parte.- Si x < -a => -x > a, luego hacemos la sustitución y = -x aquí se cumple y > a.

dyf dx f ~ay f

= - ln | y+ -J^2 - o 2 l+c, de la (Ira. parte)


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net

- In |-or W * 2 -fl2 l+c2 =ln|----—j — T1 7 t I +ci- x + (x~ -a~)

resumiendo se tiene:

© íz S

In I x + 4 x 2 - a 2 | +c, si x< -a

dxJ ==r = 1 n|x + Vx2 -cf2 | +c

^|x2~+Solución

De acuerdo al criterio del 1er. caso se tiene:

Tomando la Junción: * 6 = l s x = S \ ge

6 = arctg(-^=)

dx = *Js sec2 6 d6

'Jx2 +5 í- í 7 /T „---- ¡=— => Vjr +5 =V5sec0V5

ahora hacemos las sustituciones en la integral

dx r -\/5sec20dO 1 r eos©= -

-y/x2 + 5 J 5 tg2 6.-s/5 see 6 5 J sen2 6d6

I r „ „ eosec6 *Jx2 + 5= —J c Igfí.eos ecfi dfí ----------------------------- + c =-+ c5x

© J dx(x1 -2 x + 5)3/2

Solución

A la integral escribiremos así:

dx(xz ~2x+5)

f____ _____ = f_______J (x2 -2 x + 5 )3/2 J f(x -1 )2 +

dx[(x — 1) + 4][(x -1) + 4]


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net


Aplicando el criterio del primer caso se tiene:

X -1

Tomando la función:

tgf) = ——- 2 =>

x = l + 2tg0

see 0 +4 => - /(jc—l)2 +4 =2sec0

ahora hacemos la sustitución en la integral

r dx r 2sec16d6 ] r' (jc2 -2 x + l)3/2 J 4 see2 0.2 sec 0 4J

sen0- + c = x - i

© JJC3r f x

4 x 2 + 2x + 5

W x2-2 x + 5

Solución

+ c


x 3dxí

Xs dx

6 = a rc tg (^ -)

dx = 2 see2

- j-Jx2 + 2x + 5 -\/(x + 1)2 +4

Tomando la función

, aplicando el criterio del primer caso se tiene:

X + l

X + 1

ig6= i2 => sx = - 1 + 2 t g #

X + 1fí = arctg(— —)

dx = 2sec2 6dG

sec0 = •y/*2 + 2x + 5 ^jx^~+2x + 5 = 2 see 0

ahora hacemos las sustituciones en la integral dada.


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net



I 2x + 5 ix 3dx r ( - . l + 2lg6)32sec2 6d62 see 6

= J (-1 + 2 tgO f secOdO

= J (8tg3 0 -1 2 tg 2 0 + 6tgÉ>-l)sec6d6

g= — sec3 6 - 6 tg 6. sec 6 + 5 In | sec 6 + tg 6 1 -2 sec 6 + c

=—(x2 +2r+5)3' 2 - -^ ^ ^ A /x ^ ^ ^ + 5 1 n |x + l+ '\ /x ^ + ^ + 5 |^\/x^f2x+53 2

+c

= -\/x2 + 2x+5(—---- ——-)+51n |x + l+-\/x2 + 2x+ 5 |6 +c

© i (9e'2*+ l)3/2Solución

A la integral dada escribiremos así: f ---- %— , = í ---------- — =J {9e~2* + 1} J ((3e_Jr)2 + l)- (3e_JC)2 +1

Aplicando el criterio del primer caso.


3e~tgG = 3e~*

tg0e~* =

6 =arctg(3e *)

e~*dx see O d6

secO=^¡9e2 ^ l => sec20 = 9 e 2x+ l


r e Xdx 1 r see2 6d6J (9e 2x+l)3' 2 3 J see2 0.sec0 3 J

eos 6 d6


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net



sen 6 e x------------- + C = -------- : + C

V9e_2jr+1

® 1(2x-5)

aMx- x2dx

Solución


(2*-5)í/jc , aplicando el criterio del 2do. caso se tiene:

x - 2


x-2sen 0 = ------2 =>

x = 2 + 2sen0

a/4x- x2eos#

x —20 =- arcsen( — -)

rfx = 2 eos 0

^ 4 x ~ x 2 =2 eos 0


(2x-5) . f4 s e n 0 - lf , • dx= f en ■2cose£/e=f(4sen0-l)rffl = ^ c o s 6 - 6 + ci ^2 J 2cos£> Jjt-x 2 eos 6

= - 2 ^ 4 x - x 2 - arcsen(———) + r = - 2 ^ 4 x - x 2 - arcsen(*—- ) + c2 2

x~dx

Solución

Aplicando el criterio del 2do. caso se tiene:


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net



Tomando la función:[sen# = jc U = sen0

[0 = arcsenjr I dx = eos 0 dO

eos 8

ahora hacemos la sustitución en la integral dada.

f x 2dx rsen2 6.cos6d6 r , I r-p:--— = ------------------- = sen ~GdG =— ( l-c o s2 8)d6i cose i 2 i

1 sen20 1 - 1 r ~TX=—(0 -) + c = — (fl-senfl.cosf/Hc = — (a rcsen x -W l-jt- ) + c2 2 2 2

© J (2*-3)(jc +2jc-3) 3/2 dx

Solución

A la integral dada escribiremos así: í ; , 7 = í ----------( * *)dx =J (a2 + 2*-3) J ((jc+1)2 -4)-yj(x + l)2 -4

Aplicando el criterio del 3er. caso se tiene:


secfl = * + 1 6 = are sec(----- )

dx = 2 see 6. tg 6 dO

tgfl =(x2 + 2 x -3 )1/2 I~1 “ 7------------------- => -\lx~+2x-3 =2tg0

ahora hacemos la sustitución en la integral.

r (2x—3)dx _ r J i r 2 J

(2x - 3)dx f (4 see 0 - 5)2 sec 0. tg B d6 (x2 +2jc-3) 4 tg2 6.2 tg©


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net


- í4sec2 0 -5 sec0

4 tg20de = [ (eos ec2 6 - —c ig6.eos ec6)d6

J 4

5 /í * 5 r * +1 2- — eos ecft-ctgO +c - —[ . 1— . —4 4 L 2 +2jt_ 3 J Vx2 +2x -3

+ c

Jsee " 0 dO

(4 - tg 2 0)3/2Solución

A la integral dada escribiremos asi:

sec" Ode r sec2 0</0r see y _ rJ (4 - tg 2 6)3'2 J (4 - tg 2 0)^4 - t g 2 6

aplicando el criterio del 2do caso.

V4 - t g 20

cosa =-^4-tg2 6


sena = tg0

tg0 = 2sena

tg#a = are sec(----- )

see 2 0 ¿0 = 2 cos a da

^ 4 - tg 2 0 =2cosa => 4 - tg 2 0 = 4cos2 a

ahora hacemos la sustitución en la integral.

Í sec 2 8 d 8 r 2 eos a d a I r ■> 1-------- — —- = I ------ -------------= — see a d a = —tga + c ~ —f(4 - tg ~ 6) J 4cos~ a.2cosa 4J 4 ^

tg0 ■ + c4~tg 0

dx(l + JC4)((l + JC4)1/2-A-2),/2

Solución

Aplicando el criterio del 1er. caso se tiene:


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net


Tomando la función:tg e=x~x = J lg 6

6 = arctgjt2see2 6 d6dx =

2 j tg 8

sec 6 = Jl + x* => sec20 = ] + x 4

ahora hacemos la sustitución en la integral dada:

r dx _ f______ sec~ o ao______

(\ + x A) ^ ( l + x A) - x 2 2 ^ é s e c 2 e ^ c 6 ~ l g e

sec2 6d6

4 Jí de - 1 !r eos 6 dO 1 if eos 6 dO

i/tgé>sec0-tg2 6 2 sen 0 -sen2 6 2Jí i - ( s e n O - i ) 2

. s e n # - i .1 o 1= — arcsen(----- — —) + c = — arcsen(2 sen 6 - 1) + c

i / 2* 2 = — arcsen(— -1 )+cS i + x

s4 x 2 + 2*-3

JC + 1dx

Solución

Completando cuadrados al subradical.

^jx2 + 2x-3 = (x + 1)2 - 4 , entonces la integral dada escribiremos así:

f X - f — dx y aplicando el tercer criterio se tiene.J JC + 1 J x + 1


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net




* * + 1see 6 =------2 =>

jc = ~l + 2sec0

sen# = 4 x 2 + 2x - 3

,x +1 6 = arcsen(------)

dx = 2sec6.tg6d6

x + 1

ahora hacemos la sustitución en la integral dada:

j slx- +2x - 2 dx j seng 2sec e tge d e _ 2J tg2 ed e

r 7 ~= 2 í (sec2 0 - l)d0 = 2(tg0 - 0) + e = 2 ( - - - - --2? - -3- - o /r s e c (^ - ) ) + 1-

J 2 2

= V*2 + 2x-3 - 2¿/é?csec(^—) + c3

1.6.9 EJERCICIOS PROPUESTOS.-


® Jx dx

2 , 3 / 2(1 6 - jr )Rpta. * - ~arcsen(— ) + c

->/l6—jc2 4

© í^4 + x' dx

©

Rpta.~J(4 + x 2)*(x 2 -6)

Rpta. 5 ln |

120jc5

5—s/25—:

+c

| W 25-X 2 +c

© r(1 6 -9 x 2)3' 2J

1 (16—9jc2)5/2R p ta .-------------- ----+ c80 jr5


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net



©

©

©

©

©

©

©

©

©

©

x 2 a / i 6 - x 2 d x

lW x 27 lU 2 + l)32

x3dx

dx

■y]2x2 +7

x 2^4- x 2 dx

x dx

V21 + 4 x -x 2

x 2^9-x 2 dx

see2 x.tg2 x

-v/2 + sec2 xdx

*\/x2 +1 dx

dx(x2 +5)3/2

a/x2 -16 dx

(x + l)dx

V*2 -8

Rpta. 32arcsen— A— ) + c 4 4

Rpta.-\/x2 +1

+ arctgjr+c

^ 2 x 2 +7 2 7 >Rpta. ----------- (jc +7)+c

Rpta. 2arcsen— V (jc3 +2.v)+c2 4

Rpta. ^ arcsen (* -—)--\/21 + 4 jt-x 2 ^ ^ )+ r

Rpta. — aresen— (9 -2 x 2h /9 -x 2 +c 8 3 8

Rpta. ^^>/2 + sec2 jr — -ln| tgjr + -\/2 + sec2 * |+c

Rpta. Vx2 + l + ln l 'V~+1 1 |+c

Rpta.5-\/jt2 +5

+ c

Rpta. V*2 - 1 6 - 4o/rsec(—) + c4

Rpta. —s/9—jr2 +arcsen(y)+c-

Rpta.24x3

+c


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net


dx Rpta. Vx2 + 2x +ln| x + l + V*2 + 2x |+c

x 2dx3/2 Rpta. -arcsen(—)+c

4 a 2 ^ x 2 a

<£c

(x + 1) 1 "s/jc2 + 2x

_ 1 , V-T2 +2.1Rpta. — arcsen(jr +1) + ----------—+c2 2(,v+ 1)

Ídx

Jt2Vl + x 2Rpta. ~ ^ * L + c

(x“ + íWi • jc2Rpta. —|=r arctg( ) + c

V2 V l ^ 2

Jx*dx

-J4-X1

2Rpta. - (8+.v2)+c

I ■>/(t2' - 2 ^ +5)3c/.v Rpta.

4 ^ - 2 ^ +5+ c

S ) J (25 + x )2 *3,2rfx (25 + x 2 )5/2 R p ta .----------------- + c

125jc

Jx~dx

> - * 2;Rpta. ------X , r r r f ------- — +C

3 (9 - x2)3/2 405(9- x")2 x5/2

í —J íd -xVv2,7/2

Rpta.20(4 - jc2) 5/2

+ £*

S ) I V i-* 23x

a- * 2) 3' 2Rpta. --------- ----+ í


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net


@ t (4x + 5 )dx n 9(jc — 1) 4J t 1 o 'nv '’ Rpta. _ i/i +t’J (x~ - 2 x + 2) (x - 2 x + 2 ) (x - 2 x + 2 )

f ( 9 - x 2 )*'2 , ( 9 -x 2)1/2 x .-------- ---- dx R pta.----------- --------arcsen(—)+cJ v- Jf- 3

® f (2x-3)dx 5x-3— tjj Rpta. --------- —

J (x2 + 2x-3 )3' 2 4(x ' '*'1' 2+c

(x + 2x-3) 4(x + 2x-3)

S> J ( jc2 + 3 x ) d r

(x -l)(x 2 - 2 X + 10)1' 2

Rpta. sfx2 -2 x + 10 + 51n | -Jx2 -2x + 10 + x+ l | +—ln| 2x + 10—^ | +cJC

© f (-* 3)¿* Rpta. i [ l n |x 2 +(x2 -4 )1/2| —^-crcsec(4-)]+cJ vf v —A\ ~ / 2 Z

© Jx(x —4) 2 2 ' 2

(4x2 + l)dx (x — 3)(6x — x2 -8 )1/2

l - ( 6 x - x 2 -8 )1/2 , 2 0 ,/2Rpta. -24arcsen(x-3)+371n|-----—-----------— |+4(6x-x~-8 ) +cx -3

8 sen 2x.senxdxg ) í -------^-/ J Í70-(20-4sen2x-19sen_ x)

128 4 tgx-16 , 5(tgx-4)Rpta. ----- ------------------— +----- ---- ------------— ( - ------------- + 12)+c3(tg" x -8 tgx+ 20) 3(tg* x -8 tg x + 20) * tg~x-8 tgx+20

f xdx 1 -\/x4 - 4 x 2 +5 -1—;----------------------------------------- ;---;---- r r RPta- —lnl---- ;---- +c

J (x2 -2)(x4 - 4 x2 +5)1' 2 2 x - 2

© f ---- Rpta. a rc tg (_ L = )+ cJ (2x2 +l)Vx2 +l VI+ x 2


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net



@

©

©

©

©

dx(l + *2)(*2 +1)I/2

dx

Rpta. +c+1

( l - x 2h /l+ x 2

1 , ,( l+ x 2)1/2+(2x)1/2 . Rpta. —7=ln ------ ——------- - +cl 4 l (1 + x ) -(2x)

dx

(x2 +Ix) '¡2JC + 1

dx

dx

jt (jc +3)

( ^ - x 2)1' 2

1 4 x 2 - 1Rpta. — [arc see x + ---------- ] + c2 x

Rpta. (x2 + 2x)h 2 -arcsec(x + l) + c

_ (x2 +3)1' 2 (x2 + 3)3/2Rpta. ---- — ----- ------------------ -------+c9x 27x

dx 4 a 2 - x 2 xR p ta .---------------- arcsen(—)+cx 3

(jc + 3)2(x2 +6X + 8)1' 2dx Rpta. y (x + 3)-y/(x2 + 6x + 8)3 +c

dx( 4 x - x 2)3/2

x 2 dx2 »5/2(4 -x )

2dx

Rpta.

Rpta.

x - 24(4x—x 2 )l/2

x12(4—x )2x3/2

+ C

+ C

4 , -icxl/2x(x + 25)

(16-e2* )1/2 dx

Rpta. - j ln | (x 4 +25)1' 2 - 5 | - y l n x + c

(IÓ-íT*)1' 2 ,e*Rpta. ---------- ------- arcsen(— ) + cpx 4

(4x-5)rfx (x2 - 2 x + 2) 3/2 Rpta. 9(x- l)___________ 4

(x2 -2 x + 2)1/2 (x2 -2 x + 2) 1/2 + C


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net


© ¡<„2 + « ’ ) " ’ dx

i 2 2*1/2 ^ , *> ->*i,? a * Ax +a ) - a .Rpta. (x +a-) - + - l n |— --— --------|+ r2 (a2 +x*)l u +a

Ix 2dx

( 2 x - x )2 »1/2Rpta. ^a rcsen (jr-l)-* - (2x~x2)12 +c

Í (Air2 _

dx(4x~-24x + 27) 3/2 Rpta. jc-3

9(4jc2 -24x + 27)1' 2+ c*

2 yl .1/2(JC “ ~4x)

(x2 -2 5 )3,2

dx

dx

(x2 -4 x )3' 2 Rpta. -------- ------ +c36x

2 ->cx5/2_ , (xz -2 5 )3Rpta. --------------- + c125jc

dx(x1 -2x + 5)3,2 Rpta. x-1

4(x -2 x + 5)1 / 2

r dxj (x2 -l)(x 2 ~2)^*

2 nvl/2(x - 2 )Rpta. arctg(------------- ) + c*

2*1/2dx ( 4 -x 2)1' 2 xR p ta .----------------- arcsen(—) + c

x 2

§ ) J x i {a2x 2 - h 2)v2dx t 1 , 2 2 , 2 x ^ / 2 h , 2 2 » 2 * 3 / 2 .Rpta. — r - 6 ) +——(a x ) + í*a 3a

íe d t

(e2‘ +8e' +7)3' 2Rpta. í>'+4

4(e2' +8e' +7)U2+ C

!3x arcsenx

s2 xiT

dx

H \ - x 2)V-

_ arcscn.* 1 , x . . ,c + l lvR Pta- 77---- T ? 7 T ~ 7 (7---- F + lnl7,---- I“T 77 »+C'(1-JE ) 2 1 — JC (1 —JC )

I 2x2 -4 x + 4 (3 + 2X-X2)1 2

dx x — 1 1Rpta. arcsení— > —íjc—1)(3 + 2jc—jc2>'y2 +c


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net

©

©

©

©

■14 a 1 -x~ dx Rpta. -{a1 - v2)' 2 ( 3 .y 2 + 2 ¿ / 2 ) — + c15

dx

x~*\jx~ - 4Rpta.

4x

x2dx

Vi--Y 2

.Y2 -3

x V T ^dx Rpta. -^[ln |x2 + V*2 - 4 | — o/'i sec ] + r

x dx

( r 2 -2 h /x 4 -4 x 2 +5

x 2dx

V— 4x 2 —

x ldx

12x- 5

_ 1 , . t/ a 4 - 4 x 2 + 5 - 1 .Rpta. —ln | -------- -----------H +t2 a " -2

Rpta. | [11 arcsen +V- 4x 2 - 12x - 5 (3 - 2x)]+<•

( a 2 + 8 ) 2

© J -f/A dx

'Vi + X2

dx V4 - x2

( y - l)(x2 - 3x + 2)2

r © J----- © J iíz- (x + 1)' V-Y” + 2x v

dx

-J06-9x2,dx © j

dx

(4x2 -24x + 27)2© J ^ 9 -4 x 2 dx

a2'-Ja4x - 2 a lx -15 dx @ j W l 6 - x 2 dx


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net

INTEGRACION DE FUNCIONESRACIONALES-

Consideremos dos funciones polinómicas:

P(x) = bmx m + hm jjp* 1 + y Q(x) = a„x" +an xx “ 1 + ...+ <?,x + a{)» \

una función racional es el cociente de dos funciones polinómicas. es decir:

cuando el grado de la función polinómica P(x) es menor que el grado de Q(x), a la

función racional P(x)Qix)

se denomina función racional propia, en caso contrarío se

denomina impropia. Si la función racional es impropia, al dividir el numerador entre el denominador, a la función racional se representa como la suma de una función polinómica y de una función racional propia, es decir:

donde el grado R(x) es menor que el grado de Q(x); nuestro interés es la integración de las funciones racionales propias, es decir:

para el cálculo de estas integrales consideraremos los siguientes casos:

1 er. caso: Cuando se tiene integrales de la forma:

. donde a,b,c son constantes.

Para calcular la presente integral se procede del siguiente modo:


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net

■> b ba) Se completa cuadrados enei denominador: ax' +/u + c* = a(jr + — )2 + (t*------ )2a 4 a

h) Se hace la sustitución r =x+ —, con la cual la mteural se convierte en:a

r Ax+B _ r m: + /i . m r zdz n r rfr— — -------------------------------------------dx= — -<fc = — —--+ - —-------J ax~ +f e v + í* J í / ( r “ + / f )

m r zdz // r rfc

el cálculo de estas dos integrales se reali/a mediante las primeras fórmulas básicas de integración.

r P(x)2do. Caso: Cuando en la integral — — dx, la función polinómica Q(x) se

J Q(x)

descompone en factores todas lineales y distintos es decir:

Q( x) = a n ( x - a x ) ( x - a 2 ) . . . ( x - a n )

P(x) \a la función racional------ se expresa como una suma de fracciones simples:

Q(x)

donde Ax, A2.... An son constantes que se va ha determinar.

3er. caso: r P{ r)Cuando en la integral J ^ d x , la función polinómica O(x) se

descompone en factores lineales algunas repetidas, suponiendo que x - a, es el factor lineal que se repite p veces, es decir:

Q(x) - a„ (x - a)(x-a) . . . (x -a)(x-ap , )...(x-a„ )

P( x )a la función racional ------se expresa como una suma de funciones simples.Q(x)


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net

donde Ax, A2 son constantes que se van ha determinar.

f P{x)4to. Caso: Cuando en la integral J ^ - d x , la función polinómica Q(x) se

descompone en factores lineales y cuadráticas irreducibles y ninguno se repite, es decir:

Q(x) = an{x2 +/>!*+ r1)(jt2 + b2x+c2)(x2 + byx + C))(x-a4)...(x-a„ ), a la función

racional — - se expresa como una suma de funciones simples Q(x)

( W A , í ..,4—~ —)<¿íi £<x) J

donde Ax*A2,...,An , son constantes que se va ha determinar.

r /*(*)5to. Caso: Cuando en la integral J — — d x , la función polinomiéa Q(x) se

descompone en factores lineales y euadráticos repetidos en donde los factores cuadraticos irreducible se repite es decir:

Q (x ) -a n(x2 +foc+c)2( j t - a 3)...(jc-aw) ala función racional se expresa como una

suma de fracciones simples.

^3 „ , jÿ . : 4 , XJ 'J e w . J V - f t o : + <? (jc2 + hx+cŸ x -<ï , •. x - a„

donde Ax, A2.... A„ , Bx. B2 son constantes que se van ha determinar.




ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net


© f - r *J X s +

4x2 + 9 x -l dx2x - x - 2

Solución

Factorizando la función polinomica del denominador:

Q(x) = x* + 2x2 — jc—2 — (x + l)(x—1)(jc-h 2)a la integral dada expresaremos así:

r 4x2 +9x + l r A B C ,—r------ ---------dx= (-------+ ---------------------------------------------------------- +-)dx • „ (1)J x + 2x~ —x —2 J x + 1 x —1 x + 2

Calculando las constantes A, B y C.

4x2 + 9 x -l A B C .+ -------+ .jr"+Zx2 -JC-2 * + 1 Jf-1 * + 2

í4(jc — 1)(jc + 2) + B(x + l)(x + 2) + C(x + l)(x -1)” (x + l)(*-l)(x + 2)

igualando los numeradores

4A'2 + 9 x - l = v4(x2 + 3x + 2) + i?(x2 - x + 2) + C ( x 2 -1) , ordenando

4x2 + 9x -1 = (A + B + C)x 2 + (3 4 + Z?)* + (2A - 2B - C) por identidad de polinomios se tiene:

A + B + C = 4 u , - ^ ,ahora resolviendo el sistema se tiene:3A + B - 9 B2 / l - 2 5 - C = - l

Luego reemplazando estos valores en (1).

4jc2 +9jc-1r 4jcz +9jc- 1 , r . 2 3 1 . .— ----------dx= (------+-------------- )dx* x 3+2x 2 - x - 2 J Jf + 1 x - l x + 2

2 3= 2 ln |* +11 +3ln |j t- 1 1- ln |* + 2 1 +c = l n | (* + 1) ^ ~ !> | +c-

x + 2


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net



Observación: Para calcular las constantes de la descomposición de la funciónracional se ha hecho mediante el método de los coeficientes,

también se puede calcular dando valores particulares a la variable x, en este caso se dan valores apropiados a x, y se evalúan ambos miembros, los valores que se asignan a x es conveniente tomar x = , donde at son raíces de Q(x), o también

asignar valores pequeños, tales como: 0, ±1, ±2..... etc.

Ejemplo: En el caso: 4x +9x-l A B C + ----- +X3 +2x2 —jc — 2 Jr + 1 x - l x + 2

Los valores de x se sustituyen en la ecuación.

4x 2 + 9x -1 = A(x - 1 )(jc + 2) + B(x + 1)(jc + 2) + C(x + 1)(jc -1) para:

* = -1x = \ x - - 2

© j(5x-7)dx

( x - 3 ) ( x 2 - x - 2 )

Solución

Como Q(x) = (x-3)(x2 - x - 2 ) = (x - 3)(x- 2)(x- 1) entonces a la integral dada

expresamos asi:

r (5x-7 )dx (í A B C VJ---------- í--------- = (-----r + ----~+----~)dx3 (x-3)(x~ - x - 2 ) x -3 x -2 x + 1

ahora calculamos las constantes A, B y C.

(5x + 7) A B C---------- -—-------= ------ + ------ +------(x-3)(x2 - x - 2 ) x -3 x - 2 x + 1

(5x + 7) /4(x-2)(x + l)+ B(x - 3)(x + l) + C (x-3)(x-2)(x-3)(x2 - x - 2 ) (x-3)(x-2)(x+ l)


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net



igualando los numeradores se tiene:

5a - 7 = A(x2 - x - 2 ) + B(x2 - 2 x - 3 ) + C(x2 - 5 a + 6); ordenando:

5 x - l = (A + B + C)x2 + ( - A - 2 B - 5C )x-2A -3B + 6C por identidad de polinomios se tiene que:

A + B + C = 0Resolviendo el sistema se tiene:

- A - 2 B - 5 C = 5 ^ ,A= 2, £ = - l , C = - 1-2 i4 -3 ^ + 6C = -7

Luego reemplazando los valores de A, B y C en (1):

r f S x - T ) * -------r (_2-------- 1------- 1_(jc-3){x2 - x - 2 ) J Jc-3 x - 2 x + 1

22 1 n | x - 3 | - l n | r - 2 | - l n | x + l | + c = l n | — ———----- \+c

(x ~ 2)(jc +1)

© f dx6jc3 - 7 x 2 - 3 x

Solución

Como Q(x) = 6x3 - 7 a 2 -3x=x(2x-3){3x + \) entonces a la integral dada

expresamos asi:

r dx r.yí B C ...I —“í--------------------------------------------------------------------------------------------- ;-= I (-1--1--------)dx ... (1)J 6x -7x -3x J x 2x-3 3x + l


1 A B C A(2x -3)(3x +1) + Bx(3x +1) + Cx(2x -3)—---1---------h6x - l x ~ - 3 x x 2 x - 3 3a + 1 x (2x-3)(3x + l)


l = A(6x2 - l x - 3 ) + B{3x2 + x) + C(2a2 -3a); ordenando:


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net



1 = (6A + 3B + 2C)x2 + (-7A + B -3C )x-3A por identidad de polinomios se tiene:

6A + 3B + 2C ~ 0 Resolviendo el sistema se tiene:• -1 A + B -3 C = 0 1 4 ^ 9

A = — , B =— , C = —-3 A = 1 3 33 11


dx 1 jr ^ + A i r 2 dx +— 1f 3 dx7x2 -3x ~ 3 J' x 33 j' 2x-3 11J1 3x+l

= — ln|3x + l |+ — ln |2 x - 3 |- - ln |x |+ c11 33 3

(7 ) f x d x^ 1 x 4 - 3 x 2 +2

Solución

Como: Q(x) = x 4 - 3 x 2 + 2 - ( x 2 -2 )(x2-1) = (x + -\/2)(x--\/2)(x + l)(x -l)

Entonces a la integral dada escribiremos así:

r x dx r A B C ,I ~A------T---- — I C------- h--------—I----------------------- 1- —---)dx

x —3x~ + 2 J (x + Jl) ( x - 'J l ) (x + 1) (*-1)


x A B C Dx 4 - 3 x 2 +2 ( x - ^ 2 ) (x + -\/2) (x + 1) (x—1)

x A(.r+V2)(x2 -l)+B(x-42)(x2-l)+C(x2 -2)(x+\)+D(x2 -2)(x-l) x4 -3x2 +2~ (x+j2)(xS)(x+l)(x- l)


x = A(x + s¡2)(x2 -1)+ B(x ~y/2)(x2 -1) + C(x2 - 2)(x +1) + D(x2 - 2)(x -1)


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net


integral indefinida 1S7

+ V2a2 -x-*s¡2) + B(x* -*Jlx2 - x + ' j2)+C(xl + x2 -2 v -2 ) +

+ /)( v' - a ' 2 \+ 2)

x —1.4 B + C + D)x3 + ( J lA -T¡2B + C - D )x 2 + ( - A - B - 2 C - 2 D ) x -

- y f l A - ^ B - 2 C + 2n

Por identidad de polinomios se tiene:

A + +4-^JÍb + C - D - 0 ahora resolviendo el sistema se tiene que

- A - t í - 2 C - 2 D = \ A=B = - . ( ' = /> = - -*> ?-42A + sÍ2B-2C + 2D = 0

Luego reemplazando los valores de A, B, C y D en (1):

dx ,f v dx — 1 r f ~dx i 1r ~dx i ir clx + f’ v4 -3.v2 +2 2 J u + , /2 ) J'(-V-V2) J> ( v + l) J

= —[ln|or-V2 | + ln |4 f+ V 2 |-In |A '-l|- ln |.v + l |]+ f = - I n |^ — -|+ < 2 2 .v — 1

/^s r (2.v2 + !)(/*^ J (a + 1)2(jc-3 )

Solución

A la integral dada expresemos en la forma:

r (2a2 +\)dx r A B C VJI ------- --------— |C---- “ +------- ^ +----~)dx ...(1)J U + D U -3 ) J x + 1 (.v + l)2 x -3

ahora calculando las constantes A, B y C.

(2*2 +1) A B C A(x+ l)(jf -3 )+ 2?(.r -3) + C(x +1)2H----------- — 4-

(,v + l)2(,v-3) x + ] (x + 1)2 x -3 (v + l)2( í-3 )


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net

i igualando los numeradores se tiene:

•>2a" +1 = A(x~ -2 jc-3) + Z?(r-3) + C(jr~ -*-2jc + I) ordenando

2x ~ +1 = (.4 + C)x2 + {-2 A + B + 2C)x—3A -3 B-rC ahora por identidad de polinomios se tiene:

. A + C = 2 resolviendo el sistema se tiene que:\-2A + B+2C^to 13 3 13

A = — , C = —|-3 .4 -3 £ + C = - l 16 4 16

Luego reemplazando los valores de A. B y C en (1):

r (2.v‘ + l)dr 13 f dx 3 |í dX\ 3 r dx

1 U + l); (.t-3 ) léJjc^-l 4 J1 (jt+I)2 16J r —3

r -> | ^= — ln |x + l| + — ---- ln |r -3 |+ r

16 4{_r-t-2) 16

W J U - l ) U + l)(x -3.1+4»

ax

Solucióa

A la integral dada expresemos en la forma:

r —Sar+4) c A B C DI ------- ------- dx= I {------+ --------- + ------- - - ----- (t-1 )'(jt+ 1) j <r-l M - l r (*-1) x+

anora calculando las constantes A. B. C \ D.

( je * —3.1 4 | 4 B C D-------- -------- --------- jh---------- ----------- fi------l* - l> V + l» x - l f j - l ) 2 ijr-U5 J+I

Aj r - tK (r+l)+g|_r-l]K r +1)+ C(.r +1) + ¿»(r-1)1f r - l l 'U + n


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net



a 1 —3 a + 4 = A(x‘ - a 2 —a +1) + B(x~ -1) + C(a + 1) + D(a3 - 3 a 2 + 3a-1)

x ' -3x+4 = (A+D)xi +(-A + B -3D )x2 +(-A + C + 3D)x + A - B + C~D

por la identidad de polinomios se tiene:

A + D= 1ahora resolviendo el sistema se tiene que:

— A 4- d — j D = U

-A + C + 37) = -3 A = - , B = - - s C = 1. D = - ~4 2 4

.4-fl + C-Z) = 4


r ( v * - 3 - í + 4 ) í ¿ c 7 ir dx 1 ií * t i lr dx 3 ir dx

1 (jc + 1)2(jc—3) 4 J ljc-1 2 J’ (*- l>2 > (jc-1 )3 4J1 JC + 1

7 1 1 3= —ln |jr - l | + ----------------------- — —ln| jc + l l+r

4 2(x-l) 2(x-l) 4

© 1x3 + * 2 - 2 a - 3 .------- i-------- T dx(jc + 1) (jc- 2 )

Solución

A la integral dada expresaremos asi:

r a3 + a2 — 2a — 3 , r ^ t O . ,------- —— ~ r dx = (— r +------- ~ +— ^ +-------- r>rfjf

J (jc + 1)'(jc-2)- J x + \ (jc + 1)- x-2 (jc-2)-

ahora calculando las constantes A, B, C y D.

x3 +x2 -2x-3 A B C D■ + ------- — +------+(jc + l)2(jc—2)2 Jc+1 (x + l)2 x - 2 (x - 2 )2

_ A(x + l)(x — 2)~ + B(x - 2 ) 2 + C(x - 2)(r + 1)2 + /)(x + l)2(.t + l)2( .t-2 )2


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net



ahora igualando los numeradores se tiene:

x3 + x2 — 2x —3 = A(x+)(x—2)2 + B(x—2)2 + C(x-2)(x + l)2 +D(x + 1)2

x3 +x2 -2x -3 = (A+C)x* +(-2A+B+D)x2 +(~4A-3C+2D)x+4A+4B-2C+D

por la identidad de polinomios se tiene:

A + C = 1_ , _ _ , ahora resolviendo el sistema se tiene que:-3A + B+D = 1 M

5 1 32 5- 4 B - 3 C + 2D = -2 A = ~ — , B = — , C = — . / ) = -?7 9 27 9

4/1 + 4A —2C + D = -3


r x3 + x2 -2 x -3 5 r dx I r dx , 32 r r/x + 5 r dxJ (x+ l)2(x -2 )2 V _ _ 27J x+T_ 9 J (x + 1)2 + 27 J 7 ^ 2 + 9 J ( jt-2 )2

5 . . 1 32 5= ----- ln x+1 + ---- +— ln x -2 + ----------------+c21 9(x + l) 27 9(x-2)

/ T \ f ( x 2 + 2)dx

^ J (x + 1)3(x -2 )Solución

A la integral dada expresemos así:

(x2 + 2 )dxr (x + 2)í/x c A B C D------- ---------= (— +-------- r + ... (1)

J (x + 1) (x -2 ) j x + 1 ( x + 1)2 ( x + 1)3 x - 2

ahora calculando las constantes A, B, C y D.

(x +2) /í 5 C D+ -------- :r + -------- r + -

( x + l ) 3 ( x - 2 ) x + 1 ( x + 1 ) 2 ( x + 1 ) 3 x - 2

A (x +1)2 ( x - 2) + f l ( x +1 ) ( x - 2) + C(x - 2) + D(x+1)’(x + 1)3 (x-2)


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net




X2 + 2 = A(x* - 3 x - 2 ) + B{x2 - x - 2 ) + C(x~2) + D(x3 + 3x2 +3x + l)

x~ +2 = (A + D)x} +(B + 3D)x2 + ( -2 A -B + 3 D )x -2 A -2 B -2 C + D

A + D = 0B + 3D = \- 3 A - B + 3D = 0 - 2 A - 2 B - 2 C + D = 2

ahora resolviendo el sistema se tiene que :2 1 2A = — , B = - . C = -1. D=~9 3 9

Luego reemplazando los valores de A, B, C y D en ( 1 ):

r (x +2 )dx _ 2 ir dx 1 «r dx 1r dx + 2 ir dx' (x + l)3(x -2 ) ~ 9J1 x + 1 3 J (x+1)“ J1 (x + l)3 9 J' x -2

ln |x + l | ----í— +--- !——+—In | „v - 21 +f9 3(x + l) 2(x + 2) 9

2, x -2 (2x '+ 5 x -5 )- l n | ---- - | ------------------ -+ c9 x+1 6(x+l)(x + 2)2

© í4x +6v1 + 3x

Solución

Como Q(x) = x3 -i- 3x = r(x2 + 3) entonces a la integral dada expresemos en la fonna:

r4 x 2 + 6 , { .A Bx+C—------dx= (— + —;-------------------------------------------------------------------- Wx ...(1)J x + 3x J A' X 2 + 3


4v2 +6 _A__^ Bx+C A(x2 +3) + Bx2 +Cxv3 +3x x x 2 +3 x(x- +3)


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net


igualando numeradores se tiene: 4x 2 + 6 = (A + B)x2 + Cx+3 A

Por identidad de polinomios se liene:

^ + S 4 ahora resolviendo el sistema se tiene que:C = 0 A= 2, ¿? = 2, C - 03/í = 6


f + rfr = í —dx+ f ~A r/v = 21n|x| + ln| v2 +3|+r = lnx2(x2 + 3) + < J v-+3x x J a +3

no f y ,+3v~ 2x+1 faJ i +5.t +4

Solución

•1 *7 *) *)Como Q( v) = i + 5 f + 4 = (x” + 4 )(,v +1) entonces a la integral dada

expresaremos en la forma:

)dx ... (1)f a-3 +3.v ’ -2.V + 1 C,Ax+B Cx-rDJ — 4 g „ J T*~~> TJ r + 5 r” +4 J x +1 x~+4

ahora calculamos las constantes A% B, C y D.

x' + 3x2 -2v + l A\ + B ^ Cx + D _ $Ax + B)(x2 +4) + {Cx + D)[x2 +1)a-“ + 5 , v - + 4 , t -+ 1 x~ + 4 (a*+1)(a-2 +4)

igualando numeradores se tiene:

x '+3x2 -2 x + l = A{x* + 4x) + B(x 2 +4) + C(x3 +x) + D{x2 +1)

r ’ + 3v2 - 2 x + l = (A + Cíx* + (B+D)x2 +{4A+C)x + 4B + D

por identidad de polinomios se tiene:


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net

A + C = 1 B + D= 3 4A + C = -2 4B + D = 1

ahora resolviendo el sistema se tiene que;2 11A = - l B = — , C = 2, D = —3 3

Luego reemplazando los valores de A, B, C y D en (1).

r .v3 + 3 r2 -2 x + l f xdx 2 c dx ^ c l x d x ^ W c c x 4 +5x2 +4 x 2 +1 3 J a:2 ^ 1 J j r + 4 3 J x2

xdx 2 c dx 2xdx 11 f dx+ 4

1 . , ? . 2 » - i 11 x= — ln |x ' +1| — arctgx + ln|x~ + 4 | +— arctg— + c2 3 6, "2

© i (x -2x*" + 3x-4) ( x - l ) 2(x2 + 2x + 2)

dx

Solución

A la integral dada expresaremos en la forma:

f (* -2 x - +& r-4) ^ , _A_J l x - h 2(x2 + 2x + 2> J X —1

+ B Cx+D(x — 1) (x- + 2x + 2) (x-1)3 x 2 +2.V+2

)dx . . . d )

ahora calculamos las constantes A, B, C y D.

x 3 - 2 x 2 + 3 x - 4

(x - l) - (x 2 +2x + 2) x - l ' <.r—1)2 ' x2 + 2x+2A B Cx + D+-------- —+ ■

A(x -1 )(x 2 + 2x + 2) + B(x 2 + 2x + 2) + (Cx + D)(x -1)2 ( x - l ) 2(x2 + 2x + 2)

igualando numeradores se tiene:

x3 -2x2 +3x-4 = /í(x3 -Ky2 -2) + B(x2 + 2x+2)+C(x3 - 2 y2 +x) + D(x1 -2x+l)

= (A + C)x*+(A + B -2 C + D)x2 + (2B + C -2 D )x -2 A + 2B+D



ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net


A + C = 1, n ahora resolviendo el sistema se tiene que:A + B -2C + D =-1 M

18 2 7 442B + C -2 D = 3 A= — . B =---- . C = — , D = ------25 5 25 25

-2A + 2B + D = ^ l


r (x3 -2.v2 +3jc-4) ^ _ 18 r xdx _ 2 r dx + 1 r 7x-44 M x - l) 2 (x2 +2x + 2) 2 5 jx -1 5 J —1)2 25 J x 2 + 2r + 2

18, , ,, 2 7 f 2x + 2 . 54 f dx— In i - l + -------- +— —-----------dx------—-------------25 5(jc — 1) 50 J x2 +2x+2 25J x2+2a + 2

18 2 7 -> _ . 54= — ln |.v - l | + - ---- - + — ln|.v- + 2 .r+ 2 |-—-arctgCv + D +f25 5(.v-l) 50 25

5) J X' +x 2 + 3x + 5 .----dx

8Solución

Como Q(x) = x3 +8 = (x + 2)(x2 -2 x + 4) entonces a la integral dada escribiremos

en la forma:

f x 2 +3x + 5 , f , A Bx + C yív----- -------d x = \ ( ----- - + - r - — — )dx ...(1)J x 3 + 8 J x + 2 x -2x + 4

ahora calculamos las constantes A, B, C.

x2+3x + 5 _ A Bx + C _ M x 2 -2 x + 4) + (¿?x + C)(x + 2) x 3 +8 x + 2 x 2 -2 x + 4 (x + 2)(x2 -2x + 4)


x 2 +3x + 5 ~ A ( x 2 -2 x + 4 ) + £(x2 + 2x) + C(x + 2)

= (A + B)x2 + (~2A + 2B + C)x + 4A + 2C


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net




A + B = l ahora resolviendo el sistema se tiene que:— 2 A + 2 B + C — 3 l 3

A = - , C = 24v4 + 2C = 5 4 4

Luego reemplazando, los valores de A, B y C en (1).

x2 +3x + 5 . 1 r dx I r 3x + 8Í r + 3 x + 5 I r dx + 1 f 3x x 3 +8 1 ~ 4 J jt + 2 + 4 J x2 -2 x + 4

dx

= - [ [ — + - [ 7 ~ 2 d v - h l l f ----------^ -------- ] + £4 J x + 2 2 J x -2 x + 4 ■* (x-1) +3

= —[ln |x + 2 |+ —ln |x 2 - 2x + 4 1 + -^Larctg('Y )]+c4 2 V3 V3

X3 + X-1 ,dx

Solución

a la integral dada expresaremos en la forma:

*rx 3 + x - l . rrAx+B Cx+D __— -------rf* = [— ----- + — ------ t¥ x — ü )J (x + 2) J x2 +2 (x + 2)

ahora calculamos las constantes A, B, C y D.

x3 + x - l _ Ax+B Cx+D _ (Ax+ B)(9x2 +2) + Cx + D (x2 + 2)2 “ x 2 +2 + (x2 +2)2 ~ (x2 +2)2


x3 +x —1 =(Ax+ B)(x2 +2) +Cx + D =A(x3 + 2x) + Z?(x2 + 2) + Cx+D



ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net


A = l B = O 2A +C = 1 2fl + D = - l

ahora resolviendo el sistema se tiene que: A = l B = 0. C = —1, D = - 1


f r ’ + jt- l , r xdx r x+1J / ’ ztí — J t r—J 7 2■’ (x~+2) ■ 'x"+2 J (x +2)'

1, . 7 , , 1 f dx= —ln |x ' + 2 1 +---- ---------—-------- -2 2(x +2) J (x +2)

Calculando

tg0

la integral í — —-J (x +2)

4 2

x = 'j2 tg6

6 = arctg(-¡=)V2

secf? =

dx = 2 see2 6d6

^ => -\/2 see6 = 4 x 2 + 2V2

2scc2 6 - x 2 +2

r <ír r V? see2 - 2^. f cos2 QdO - ^ [J (x2 +2)2 J 4sec4 0

— 1 CU.> V U \j — 14 j 4 j

... (2)

= — f (1 + eos 26)d6 = — (6 + - ) = — (6+sen 6 eos 6)8 J 8 2 8

. x . V2x .— (arclg(- j= | + - T- — (J)

reemplazando (3) en (2).


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net


© ídx

Solución


jdx

jiA tíx+C Dx+E---*■--7---- +--- 7-----7X x -+ \ (x2 + l)2

]dx - ( I )

Ahora calculamos las constantes A.BX'.D y E


1 = A(x4 +2x2 +1 ) + B ( x a + x 2)+C(x3 + x ) + Dx2 + Ex

1 ={A + B)x4 +Cxi +(2 A + B + D)x2 +(C+E)x + A

Luego por identidad de polinomios se tiene:

¡A + B = 0

Por lo tanto reemplazamos los valores de A, B, C, D y E en (1).

A ^ B x + C ^ Dx+E _ A(x2 +\)2 +(Bx+C)x(x2 + \)+(Dx+E)x

C = 02A + B + D = 0 C + E = 0 A= 1

ahora resolviendo el sistema se tiene que: A= 1, f? = - l , C = 0. D = - 1, E = 0


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net


168#

Eduardo Espinoza Ramos

© j2x + 3x + jc-1 .

---------- i----------- T dx(x + l)(x~ + 2x + 2)~Solución

A la integral dada escribiremos en la forma:

2x + 3 x '+ x - l , f r A Bx+C Dx+E-------- ----------- -d x= [----- + —----------- +— ---------

ahora calculamos las constantes A, B, C, D y E.

2x3+3x2 + x - l A Bx +C Dx + E(x+l)(x2 +2.X+2)1 ~ -v + 1 x 2 +2x+2 (x2 +2x + 2)2

_ AQr + 2x + 2)2 + (gx+C)(x + l)(x2 4-2x+2)-t-(Dv + £)(x + i)(x + l)(x2 + 2x + 2)'


2x3 + 3x2 + x - l = A(x2 + 2x + 2)2 + (¿?x+C)(x + l)(x2 + 2x + 2) + (Dx+£)(x + l)

2x3 + 3x2 +x - \ = (A + B)x a + {4A + 3B + C)xl + (8A+4B + 3C+D)x2 +

= A(x4 + 4x3 + 8x2 + 8.v + 4) + £(a 4 + 3x3 + 4x2 + 2x) +

+ C(x3 +3x2 + 4x+2) + £>(v2 + x) + £(x + 1)

+{8/4 + 2B + 4 C + D + E)x + 4 A + 2C + E


A + B = 0 4A + 3B + C = 2 %A + 4B + 3C + D = 3 8/J + 2B + 4C + D + E = 1 4A + 2C + E = —1

ahora resolviendo el sistema se liene que: A = - 1, B = \, C -3 , D = -2, £ = -3


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net



Luego reemplazando los valores de A, B, C, D y E en (1).

Í 2x3+3x2 + x - l , f r -1 x + 3 2x + 3---------- ----------- T dx= [---- - + —--------------- --------------- T]dx(x + l)(x~ + 2x + 2)" x -1 x“ +2x + 2 (x"+2x+2)~

r dx f (x-t-1 )dx r dx r (2x + 2)dx r dx J x + l J x 2 + 2 x + 2 ^ x 2 + 2 x + 2 m x 2 + 2 x + 2 ) 2 m x 2 + 2 x + 2 ) 2

- - l n |x + l | + —ln |x 2 + 2x + 2|+2arctg(x + l)+ —— --------2 x +2x + 2

- —arctiìfx +1 )-- — — +c2 " 2(x + 2x + 2)

= - ln |x -f 11 + — ln |x 2 + 2x + 2 |+ —arct£(x+l)------ — —+ e2 2 2(x + 2x + 2)

1.6.11 EJERCICIOS PROPUESTOS,“

Calcular las siguientes integrales indefinidas.

© i2x2 + 4 1x -9 1

(x —I)(x + 3)(x—4)■de R p t a . ,

( í + 3>7

Rpta. —?= 1 n 1 ——^ | + —t= In | ——^ | + c2-y¡3 x + j2 2J 3 x + J i

© I? ,(2x + l)dx

7v + 6Rpta. — ln |— ----- |+í*

4 (r-1 ) (x + 3)

f 4x +4x- lfa + 6 ^ Rpta> 2 ln | jc | —3 ln | x +11 + ln | .r — 11 +41n | .v—3 1 +cJ x -3x - x +3x

J r(r/ - x )1 YRpta. — - l n |—-----T \+c

2a~ a~ —x~


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net



©

©

©

©

©

2.x1 -1 r 3 - a -

dx

32 xdx(2x-l)(4 jf -16*+ 15)

(5.r + 2)dxx 1 - 5 r 2 +4.v

xdxx 4 - 3x2 +2

(x + \)dx1 1 sx + j r -6a*

jr3 -14x3 - x

dx

(3a*+ 5)A' 3 - A ' 2 — A' + l

dx

(3x-2)dx(* + 2)(* + l)(*-l)

(2x2 +3x-l)dx(a +3)(x + 2)(jc-1)

(x~ - x + l)dxx 4 -5.V3 +5.v2 +5.V-6

Rpta. ln(|jc|-v/jc2 - l ) + r

dx Rpta. ln 12x- 1 1 -61 n | 2jc - 3 1 +5ln 12.v - 5 1 +c

Rpta. 5x + ln| V r t r - 4)“ "(v-1) 7,3 | +C

x 2 - 2 Rpta. ln- —---- +c*jc“ -1

,3/1«Rpta. ln| {x 2) — | +c

jr (jc+3)

Rpta. — + — ln |lfi

Rpta.

4 i6 (2 * + ir(2 A '-ir

4 1 x +1 .-+ — In I----- 1 +£■x - \ 2 x - \

Rpta. ln | * + 2 1 + — ln | x +11 + — ln | * - 1 1 +c3 2 6

Rpta. 2 1 n | x + 31 1 n | a + 2 1 + -^ | x - 11 + e

Rpta. i - l n | j f - l | - - l n |x + l |+ - l n | v -3 |- ln |. r - 2 |+ c 4 8 8


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net


IntegraI Indefinida 171

xA + 3x3 - 5 x 2 - 4 x + 17 X 2 . 3 , , 2 T 1 ,------------ dx Rpta. — + 2x----------- ln x + 2 x -3 +c5.V+3 2 x - \3 x + x -5

f 5x2 -1 lx + 5 J x 3 -4.v2 + 5x-2

dx Rpta. ln (x -l)2(x -2 )3---- — + í-x-1

x 2dxf x~dx+ 4

dx _ 1. . x - 2 . 1 , . x + 1,Rpta. — ln | ---- - | + —ln |---- - |+ c3 x + 2 6 x —1

r2 x _ -2 x + l J 9 V — V

dx2x- - x

Rpta. —!— +1 n 12.v — 11 +i3x

r dx J x3 + 3x2

1 x+3 1Rpta. — ln | -------\ - — + c9 jc 3x

í(3* + 2)dx x(x+ 1)3

4x +3 x iRpta. -------- - + ln(-------) +c2(x + l) x + 1

(,\-2 +x-\)dxC (A " + X

J.v3- v 2 x + 1Rpta. - _ 1 — + A l n U - l |- ^ ln U + l |+ f

2(jc-1) 4 4

© iX + 1 dxA-3 + 4 .V

Rpta. ^ l n |— ----- |-^a rc tg (^ ) + <-o x~ + 4 2 2

© íX3 +4x + l

4 1 iX + x +1dx

Rpta. ln | x 2 + x +11 —J í arctg(-^=^-) + -j= arctg(^^_- ) + c

© J2x dx

x4 +x2 +1

_ 1 . x - —x +1. 1 2x + l 1 2 x - lRpta. —ln | —--------1 + —¡= arctg(—^ ) + -=arctg (— ^ - ) + c2 x~ + x +1 V 3 V3 v 3 V3


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net

S> J -24.Y3 +3Qjf~ +52.V + 17 9x4 - 6 x 3 -1 Lv2 +4x + 4

dx

Rpta. - ln |(x + 2 ) 2' 3( .Y - l )2 1 13(3jc+2) x - l

- + c

®r ( x 2 - 3 x - 7 ) d x

J (2x + 3)(.r+ 1)2Rpta. — + ln|A + l | - - í- ln |2x + 3 |+c

.v + 1 2

dxí-T + 1)

* - , X +1 - 1 1Rpta. 2 In | ----- | ------------- + cX X X +1

© jx 2 -3x + 2

x(x2 +2jc+1)dx Rpta. ln | —— |+ —— + c

x +1 x +1

Rpta. 4 1 n | A ' | - 3 1 n | x - l | ---------+cx — 1

íx ~ dx

x 3 + 5-Y2 + 8*+ 4Rpta.

x + 2+ ln | x +11 +r

r dx 1 1 , , JC-l,Rpta. — i— ln | -------|+íx 2 x +1

íx 2dx

(x+2)2(.v + 4)2„ , , , x + 4, 5x+12R p t a . 2 l n | - - | — - + <•

x - 2 jc-+6a+8

íj t * - 6 -v 2 + 9x + 7

( x - 2 ) 3 (x - 5 )dx Rpta. 3

2(.v-2)— + ln|.v-5|+t-

í[x~ - 2 x + 3)dx

( x - l ) í . r 1 - 4 x 2 +3.r)1 J ( x - l)(*-2)

Rpta. ----- -h ln | —---------------- 1 +cx - l | a |

J5 A' +ÓV- + 9

U - 3 ) 2(j + 1):dx 9 1 1 1

Rpta. - - ( ---- -------------r) + í2 jc- 3 2 v + l


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net

@

©

©

©

©

©

(x2 —8*+ 7)(x 1 —3x—10)2

dx Rpta. 8 27 30 , , x - 5 ,+ ---- In | ------ 1 +r49(x-5) 49(x + 2) 343 x + 2

x 4 - x 3 - x - 1x3 - x 2

(x -3 )dx

dx

(x + l)-(x -2 )

(2x + 3 )dx

Rpta. — - -+ 2 1 n | — |+c2 x x-1

_ . 1 , , x + 1 . 4Rpta. —ln |—— | ——---- - + <•9 x - 2 3 (x-l)

(x + 2 )(x -l)2„ * 1, . x - l , 5Rpta. — l n ------------------

9 x+2 3 (x-l)+c

x3 -3x + 4(x + l) (x - l) ’

—dx

1Rpta. —— ln |x + l |+ — l n |x - l | +----------------------4 4 2(x +1) 2(x + l)

+ c

x3 -6 x 2 +1 lx —5(x -2 ) '

dx

X" +X-11jc + j r

x 3 -2 x 2 +4x 3(x -2 )2

x + 1x3 - 2x2 +3x

dx

dx

Rpta. ----- — —-------- — r + ln(x-2) + c2(x - 2) 3 (x-2)

1 XRpta. —h ln | ----- l+cx x + 1

1 , ♦ * . 1 . 1Rpta. — ln | ---- - | — (1 + — ) - —----— + c4 x - 2 x 2x 2(x-2)

ln| v| ln |x 2 -2 x + 3| 2 w x - lRpta. —— ----- -------------- ' +—arctg(----- ) + cP 3 6 3 2

dx(x2 —4x + 3)(x2 + 4x + 5)

1 1 1 i 7Rpta. — l n |x - 3 | - — ln |x - l |+ — ln(x2 + 4x + 5)+ — arctg(x + 2) + c


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net

174 Eduardo Espinoza Ramos.

©

©

©

©

x~ + .V-2 ■dxx4 +5x2 +4

(2x2 -3x~3)dx(x -l)(x 2 -2 x + 5)

x s dx( x - +4)

4x2 +6x 3+3x

dx

dx

(x2 + 2x + 5)3

1 . . X + 1 . XRpta. — Ln | —---- 1 -arclgx + arctg— + c6 x“ + 4 2

Rpta. — 1 n(jc2 - 2x + 5) - ln(x-1) + — arctg(-—-) + < 2 2

x 2 KR p ta .-------- --------41n|x2 +4|+c?

2 x - +4

Rpta. ln(x2(x2 +3))+r

„ . 2(* + l) 3<x + l) 3 . x + 1Rpta. —------------ - + ---- ------------ +—arctg(------ )+c(x~+2x + 5) ' 4 (x '+ 2x + 5) 8 2

dx, 4 2 i»1x(x +x +1)

Rpta. l n |x |—— ln|jc4 +x¿ +11 +^^-arctg(— (2x~ +1)) + 1 -x 2■> ,, 5-J3 -\¡3 _ ■>' ■ — arctgí— (2 .V - - ,*8 3 6(x + x~+l)

+ c

6x3dx(x2 + l) 2

x 3 +2x2 +5x + 8x(x2 +4)2

dxx(x3 +1)2

dx

3r2Rpta. 31n|x2 + l | ----^— + c

x- +1

1 x 9 x v Rpta. — ln |—-ij-— |+ — arctg- + ---- f -----+ c4 x +4 16 2 8(x +4)

Rpta. l n |x | - - l n |x 3 + 1 |+---- j ---- + c3(.v + 1)

4 1 1X +JC" +1

2 .2x2 +1RPta- arctg( ■ —j= ) + c


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net

g r 3x4 -4 x 3+ 7x2 -3x + l l . A ■* (x ' + X + 1)(X - A - - x - 2 )

Rpta. ln |x - 2 | + ln |x 2 + x + l | - — ---------7= arctg(—~ ) + c3(x + r+1) 3V3 V3

i 3 + x 2 + t + 1----- \ dx Rpta. arctii.v + -x + 3 x + 2 2

© f , X d\ ---- Rpta. — ln |^— ^|+ iW J x - 1 0 a + 9 2 4 .v3 - 1

® r x 4 +8x3- x 2 +2x + l , „ . . , x 3 — x~ + x , 3 2 2 x - l------ -------- --------- dx Rpta. In | ---------- — | ------ + arctg{—p^ ) +c} (x + x)(x +1) (x +1) Jf + 1 V3 V3

® r (x7 + x 3 )dx> 7 r ^ 7 + 1

Rpta. —ln |x 4 —1| —— ln |x K + x4 —1 |---- ^= ln |-2jC* + 1 ^ | +c2 4 2 ^ /5 2 x U l + S

© Rpta. -l(x3- l n |x 3- l | ) + fJ x - 1 3

64) f » U j ’ - h + U &■* (x‘ + 5)(x~ +2x + 3)

Rpta. In4x~ +2x + 3 + -^Larctgi^^-)-a/5 arctg(—)=) +<V 2 -s/2 V 5

6 5 ) f V + A—i r f x R pta.—- 7—--------ln-\/x2 + 2 -----arctii(— +<■^ J ( x + 2 ) 4 ( v + 2 ) 4 ^ 2 \ Í 2

f ( 4 x 2 - 8 x ) 3x2 - 1 . (x -1 )2---------— ----- rfv Rpta. ----------- -----+1 n(— ----- ) + arctg x + 1(x — 1) (x +1) (x -l)(x 2 +l) X + 1


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net

176 Eduardo Espinoza Ramos .

r dx 10 ,2 x - l . 2 x - l67) — -------- ;--------- Rpta. ln(----- ) -----arctg(—¡=^)--------- ---------- +c^ j (x2-x ) (x 2 - x + l)2 X 3^3 3 3(JC- - x + 1)

(68) f - + *_+ (/jc Rpta. i l n |x + 11 +—ln | x 2 + 11 +—arctgx + cw J (x + I)(.v2 +l) 2 4 2

69) J £ Í ± * ¡ l ^ £ i l *x4 + 5x2 +4

11 v i 9Rpta. ln |A'2 + 4 |+ —-a rc ig y -y ln U '2 +1 |--ja re tgx + c

70) f - :rl 2iLt LJ ív _ n 2 íy-( j t - l ) - ( j r +4)

4 , , 2 2 _ _ -> 19R p ta . ----------ln b e - i ----------------------+ — ln x~ + 4 + — arete a + cH 25 5ÍJC-1) 25 50 b

S> íx 2 + 2 x - 1 . — i---------dx

x 3 -27

Rpta. - ^ l n |x - 3 |+ ^ l n |x 2 +3.v+9|+ —^= arctg(-^ ^ ) + c 27 54 3V27 V27

f dx 1 , (x + 1)2 1 ,2 x - l® Í 7 7 T Rp,a- 6 ln<7 - ^ » ^ « re« - x » +‘

f t e * d í R p t e . j ^ - 1

J (x -l)(x 2 -2 x + 5) |x -1 | 2 2

@ f ( x 4 + 1 ) , _ ( x + l ) 2 , IJC — 1 1— ---- --------- dx Rpta. --------- + ln -- - arctg v + cJ x - x ' + x - l 2 sjx2 +1

Rpta. i - l n | l ~ a r c t g x + c


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net


f e

dx(x~ + l)(x" +JC)

Rpta. — ln(4 (x + l)“(-í2 + 1) 2

) - —arctgx + c

í2x2 - x + 2

x 5 +2x3 + jcdx x 1 1 Rpta. ln(—-----) — arctgjc + c

X “ + 1 2

@ ijr3 + jr- l (Xa + 1)2

dx Rpta. ln a/x2 +1 arctcx------ ^---- + c2 2(j»r+l)

© j dxx(4 + x2)(l+ x2)

Rpta. — lnx——ln(x2 +1) +——ln(x2 +4)16 18 288 24(x2 +4)

■+c

(5x 2 -12) (x2 - 6* + 13)2

dx Rpta. 13jc -159 53 , x - 3+ — arctg(------ ) + c8(t2 - 6 a +13) 16

(JC + l)'(x2 + 2x + 2)3

dx 5x3 +15x2 +18x + 8Rpta. — arctg(x +1)o 8 (x + 2 jc + 2 ) _

■ + c

© jdx

x4 +11 x2 +X-J2 + 1 V2 J l xRpta. —^ I n —------------------------------ 7=— +--- arctg(--)+c

4^2 x -x^Í2+l 4 l+x2'

(x +l)(x + 8)dx Rpta. i-[8 1 n |x 3 + 8| - ln |x 3 + l|] + c

r 4x3 +8x2 -12 ,-------i------ 5— d xJ (x + 4)

, •> , . 5 16 — 11 jcRpta. 21n|A'^ + 4| + — arcíg(—) + -4 .2 2(x2 +4)

+c

1(-v4 +1) (x2 +4)'1

dx 51 x Rpta. ^^arctg(—) 11x 17x256 2 128(x2 +4) 16(x2 +2)2

■ + c


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net


178 Eduardo Espinoza Ramos -

© í2x dx

(l + x)(l+x2)2Rpta. !-----— ln |x + l | + —ln |l + x 2 |+c

2(x +1) 2 4

Ix 1 + 2x+3

x3 - xdx Rpta. ln (x + l)+c

Il + 2 x -x 2

(l + x)2(l + x2)« * i . 1 + * i 1Rpta. ln| , = |+ ----- + arctgx+c*

■ Jl + 7 2 l + x

© hdx

x +x‘^ t . x +1 , 1Rpta. ln | ----- 1 — + c*

X X

x3 +2 x 3(x3 +8)

dx

_ 1 3 , , 3 , , ? '>/3 x +1Rpta. - — r + — ln | x + 2 1 ln | x" + 2x + 4 1 +— arctg—j=- + c 8x~ 16 32 16 v3

í(2x -4)rfx

(x2 +l)(x + l)2Rpta. ------+ ln | x2 + 11 -arctgx + c

x +1

© J 4x2 +2x + 8 x5 + 4x3 + 4x

dx 4 i , X -J2xRpta. ln(—— -) + — [arctg-= + —— -] + c x~ +2 8 V2 x~ + 2

ídx

x(x2 +l)^(x4 + 1)2

Rpta. l n |x |- - ^ l n |x <1 + l | - | l n | x 2 + l |- |a r c tg x 2 + - 1 -*— ■----- +c16 8 8 8(x +l)(x +1)

3 dxx(x8 +2x4 +2)2

Rpta. — ln | x | — - ln |x K + 2x4 + 2 |— arctg(x4 +1)-------lóíx8 +2x4 +2)

+ c


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net

(%) í — ~ Rpta. — ln|jr4 -l|-In|jr|+cw J x(x4 -1) 4

1021

dx® ■f,vU3 -I)(.Y6 +4)

Rpta. — ln |x 6 +1 | - l n | x |+ —Ln| x1 - 1 1arctü 'C y 3 ) + í* 12 6 6 "

¡ e lxdxe " + 4ex —5

Rpta. — In| ex - 1 | - — ln|t2v +e* + 5 |+ ^ ^ a r c t g ( — Qe* + l))+c 7 14 133 19

99J f ^ - 1 4 ^J x 2 - 2 x - 8

Rpta. + .y7 + 8\' + l n | x - 4 1 ln | x + 2 1 +c

í10üJ I d2 jr f dx X +x~+\

1, .Y2 - . Y + l , 1 2,y + 1 1 2.V-1Rpta. — ln| —-------- 1 + -j= arctg — + — arctg — ¡=- + c2 x~ + .Í + 1 v3 v3 v3 v3

„ . 1 , , ■> ,, r 2x + ] 4 2.Y-1Rpta. — ln| v ' +.Y + 11 —v/3 arctg—==- + —¡= arctg(—— ) + <2 V3 V3 V3

f dx ^ 1 1 1— - R p ta .------- - + —------- arctg x + cJ v^ + v6 5 y s 3 y 3 -y


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net

180 Eduardo Espinoza Ramos ,

103 f ______ ÉL______J ( A '2 ~ X ) ( X 2 - J f + 1 )2

, ,.v--l, 10 2 x - l 2 x - lRpta. ln | ----- 1---- 7=arctg— — —— — —— +tx W I -Ü 30r3 -jr + l)

© f f ' f , t (sen x +1)

Rpta. ln |s e n x |-—ln|sen7 x+11 + -------\------- + c7 7(sen x + 1)

105 Idx

x(x* + 1)3Rpta. l n |x |—- ln |x 9 + l| +----- ------ 1-------7---- —+ t

9 9(a +1) 18(x +1)

106 Idx

x l2(xn +1)Rpta. - p j - l n | a 11 + 1 |

1 1a 11 ln |x |+ c

107 j5x-8

a3 +4a2 + 4ydx Rpta. 21n—— ---- í— K-

x x - 2

© í - ^ h - J ( l + A 3 ) 2

x 1 , , (x + 1)- . 2 2 x - lRpta. --------— + — ln —-------- +—F^arctg— + cv 3(1 + Y2) 9 V - x + 1 3 /3 ^3

109 J5x~ -1- 12x+l jc3 +3x2 -4

dx Rpta. ln[(.x-1 )2( x + 2 ) 3 ] - — + <•x + 2

-2)dxx(x~ - 4 a+ 5)'

Rpta. x -4 1 , , x - 4 a + 5 . 3+ — ln j10(x2 - 4 a+5) 25

| - — arctg(x-2)+c

© r 6x — 18x ,, --------------------— — dx

J (x - \)(x -4 )Rpta. 21n|x2 -l|+ln|x2 -4|+í*

112 r dxJ ~ 2J x - x

_ 1 , x - \ , 1 2x +1 1Rpta. T ln 1 -^= = = = = | +—=arctg—= - + - + <■3 V x '+ x + l v3 V3 x


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net

© Jp X2 + x -1 0 .7 dx

1 (2x -3)(x + 4)

© Jp x dx4 2 i1 X - x -1

© J1 A - 1 ©

© Jr a 2 - 2a + 3 J7 7 « X

1 ( a - 1 ) ( a + 4) ©

© J’ (2* 3 - 4) ¿ A( a 2 + 1 ) ( a + 1 ) 2

<D

1 x + 4 xRpta. —In | -------- |+arcUs—+ c-F 2 f 2 x -3 w 2

_ „ 1, . 2x2 — 1 —v/5 .Rpta* T ln |T ^ “ ' ¡— / r ,+c2 2x~ -1 + -\/5

ia -9jr~ + 16a + 4

x3 - 3x2 + x + 5dx 117 (a- + 5)

f —J r 2 ( r 2

1120

2a + 3a + a - 1f ¿ X + J A

j (x + 1 ) ( a 2 +( a + 1 ) ( a + 2 a + 2 )

1,6.12 METODO DE HERMITE^OSTROGRADSKI.- 1

dx 123

x(x~ + 8)

x 2 + 2x + 3A 3 - A

r x 2 -5 x + 9 J x2 - 5x + 6

dx

j dx

dx

Cálculo de la integral de la forma: / . . f Ax 1 ‘ :•;:❖:£?;r :j;:•*;:'¡ywasj i'i'h'i ■'•'i vfv ’ n 1 ”7 í1 i c fmí xx *>>>>&

donde x2 + bx+c es una expresión cuadrática irreducible.

Para el cálculo de estas integrales se debe escribir en la forma:

. . ' j - - . t .£*+x>* {x2 +bx+c)n (x2+foe+¿)' • *¡w wsMm

donde P(x) es un polinomio de grado < 2(n - l) = grado de (x2 +fox+c)w 1 y los

coeficientes de P(x) así como C y D se hallan derivando ambos miembros y se aplica el método de los casos de 2.9. Además la integral del segundo miembro se calcula de acuerdo al caso 1ro. De 2.9.

Ahora veremos el método de Hermite-Ostrogradski si en la función racional P(x)Q M

,1a

función polinómica Q(x) se descompone en factores de multiplicidad, es decir:


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net


Q(x) ~ ( x -a xf> ( x -a 7 f* +/>¡x+c,)ft (x2 + bsx+c¿)?’

Í P(x)^ - dx se expresa en la forma siguiente:

... (a)

donde Qx(x) es el máximo común divisor de los polinomios Q(x) y de su derivada

(?*(x) y £M*)= * además f(x) y g(x) son polinomios con coeficientesQ iW

indeterminados, cuyos grados son menores en una unidad que los polinomios Qx (x) y Q 2 ( x ) respectivamente.

Los coeficientes indeterminados de los polinomios ffx) y g(x) .se calculan derivando la ecuación (a).

Ejemplo. Calcular las integrales siguientes:

©dx

(x + 1) (x~ + 1)Solución

Como Q(x) = (x + l)2(x2 + 1) 2 => (?’(*) = 2(x + l)(x2 + l)(3x2 + 2x + l)

además: Qx (x) = máximo común divisor de Q(x) y Q (x) es: Qx (x) = (x + l)(x2 +1)

^ / v Q M (* + l)2(*2 +1)2 , 1W 7 1vademas Q->(x) = —---- = ------------ ------- = (x + l)(x~+l)Ql(x) (x + l)(x2 +l)

Como: f --------J (x+l)~(x~ + 1)" Q iW Qi(x)

f dx Ax2 + Bx+C f Dx2 +Ex+Ff dx ... (a)


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net



derivando y agrupando la ecuación (a) se tiene:

■ = [Dx$ + (-A + D + E)x* + (-2B + D + E + F)x* +(x + l)(xz + 1)

+ (A-B-3C+D+E+F)x2 +(2A-2C+E+F)x+B-C+F]+[(x+l)2(x2 +l)2]


D = 0- A + D + E = 0

^ r* r* /v resolviendo el sistema se tiene:-2Z? + Z> + £ + F = 0A - B - 3 C + D + E + F = 0 A = - ~ , B = - , C = 0, D = 0, £ = - i , F = -

4 4 4 42A-2C+E + F = 0 B - C + F - \

ahora reemplazando estos valores en (a):

x 2 x x 3, ----- + —+0 0 — +—f ______* _____ = - . 4 4 + f ____ 4 . 4 dx

J Cv+l)2(x2 +1)2 (x+l)(x2 +1) 3 (jc+1)(jc2 +1)

1 , x~ - x . 1 f x -3 ,= — (------------------------ -) — - ---------- ----- dx

4 (x + l)(x2 +l) 4J (jr + l)(x2 +l)

1 x2 ~x 1 r - 2 d x r l x d x r dx4 (x + l)(x2 +l) 4 J x + 1 J * 2 +l J x2 +1

2 — i[-2 ln | x +11 -+ ln(x 2 +1) - arctgx] + c

4(x+1)(x2+1) 4

x" - X l . . , . 1 , , 2 , I 1-+—ln |x + l | — ln |x +1| + — arctgx + e4(x + l)(x2 +1) 2 4 4


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net


184/

Eduardo Espinozq Ramos

Solución

Sea £>(x) = (x3 - l ) 2 => £)'(x) = 6x2(x3 -1)

Luego el máximo común divisor de Q(x) y Q'(x) es Q1 (x), es decir:

Qi (x) = mx:.cl. (Q(x), Q'{x)) = x3 -1

1 (x3-l)(2^x + g)-(/4x2 +gx+C)3x2 Dx2 + Ex+F(x3 - l ) 2 ~ (x3 - l ) 2 x3 -1

eliminando denominadores se tiene:

l = (x3 - \)(2Ax + B )-3x2 (Ax2 + Bx+C) + (Dx2 + £ x + ir)(x3 -1)

1 = Dx5 + (-A + £)x4 + (-2B + F)x3 + (-3C - D)x2 + (2 A - E)x- B - F


D = 0 - A + E = 0

además: Q2 (x) =Qi(x) x3- l

... (a)

derivando la ecuación se tiene:

-2 B + F = 0 - 3 C - D = 0

resolviendo el sistema se tiene:

2 /4 -£ = 0

23


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net



Ahora reemplazando estos valores en la ecuación (a)

Í dx _ —x 2 r dx (x3- l )2 3(x3- l ) ^ * x 3-l

dx 1 f dx 1 f x + 2— dxÍ dx 1 r dx 1 j*X2 + X+1

dx(x2 + l)4

Solución

= ~ l n |x - l | “ ln |x 2 + x + l |- J = a rc tg (^ = ¿ ) ...(2 )

reemplazando (2) en (1) se tiene:

r dx - x 1, ,x 2 +x + l 2 ,2x + l x—r----- r- = — r — + ln(-------- —p^arctgí—7—) + c

j (x3 - l ) 2 3(x -1) 9 (X-1)2 3/3 V3

Sea Q(x ) = (x 2 + l)4 => Q'(x) = 8x(x2 +1)3

Calculamos Qx (x) que es el máximo común divisor de Q(x) y Q’(x) es decir.

Ql(x) = m£jd. (Q(x),Q'(x)) = (x2 +1)3ademásQ2(x) = * = v" , ' = x2 +1

r dx /(x ) r g(x)como —;---------------------------- - = + f/xJ ( x 2 + 1 ) 4 ñ W J & W

f dx Ax5 + Bx*+Cx3 + Dx2 + Ex+F rHx+E , , v—?----------------------------T = --i-------i---+ \ —i------------------------------ dx ...(a )( x + 1 ) ( x 2 + l ) 3 J x 2 +l

Q(x) (X2 +1)4 „ 2

a (x ) (x2 + d 3

ahora derivamos la ecuación (a) y luego agrupamos término a término para poder aplicar la identidad de polinomios.


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net



1 = Hx7 + (-A + G)x6 + (-25 + 3H)x5 + (5/l-3C+3G)x4 + (4B-4D+3H)x3 +

+ (3C-5E+3G)x2 +(2D-6F + H)x+E + G

H = O -A + G = 0 -2 B + 3H = 0 5A-3C+3G = 0 4B-4D+3H = 0 3C-5E + 3G = 0 2 D -6 F + H = 0 E+G = O


yí = — , B = 0, C =—, D = 0 16 6

E =— , F = 0, G = — , / / = 0 16 16

Ahora reemplazamos estos valores en (a).

Jrfx

_5_ s 5 , 1116* + 6* + 16* 5 f dx 15jc5 + 40x3 +33x 5;----- 1--------— I —i —------------------------- - ------- 1

(x2+ l)4 (x2 + l)3 16 J x 2 +1 48(x2 + 1)3 16arctgx + c

Calcular las siguientes integrales indefinidas:

© J (x7 +2)dx (x2 +x + l)2

„ , x 2 ,2x+1 , 2 ,, * 2x x _Rpta. —-------- +-=arctg(—=^)-21n(x + x+l) +------------+ — +2jc+cx +x + l V3 -\/3 4 3 2

© J(4x -8x)¿£t

( x - l ) 2(x2+l)r» * 3x2 - X , (JC —1)JRpta. ---------- ------+ ln - -i-arctgx + c

(x -l)(x 2+l) x 2+l

© b

dx(x- +1)

_ A 15x5 + 40x3 +33x 5 .Rpta. ------------- — ---- +— arctgx+c48(1+ x 2)3 16


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net



© Idx

(x4 - l ) 2_ 3 xRpta. — arctgx------ -----

8 4(x -1) 16 x+13 , . x -1 ln | ----- 1 +c

© |x4 -2 x 2 + 2

(x2 -2 x + 2)2dx

Rpta. x x -3x 2 -2 x + 2

+ 21n(x2 -2 x + 2) + arctg(x-l) + c

© j dxx4(x3 + l)2

+ X +1x5 - 2 x 4 + x3

dx

© J

© J

x6 + x4 -4 x 2 - 2 x 3(x2 + l)2

dx

(x2 - l ) 2rir (x + l)(l+x2)3

„ . 1 . . . . x +1. 1 1 , ,Rpta. — (2 ln | — — | ---- ---- ----) + c3 x x x +1

d » c i i x “ ' . I2x2 — 5x—1 Rpta. -6 1 n |----- 1-------- ----- r— +cx 2(x - x )

Rpta. —— -+lnVx2 + 1 +cx (x2 +1)

1 . x + 1 I x - 2 1Rpta. - ( ----- — ) + - —— +-arctg x + c2 (1 + x ) 4 x —1 4

JJ

dxx4(x3+ l)2

dx(x2 +2x + 10)3

2 x 3 +1. 1Rpta. — | 13 x3 3x3 3(x3 +1)

■ + c

^ 1 _ ,x + l 3(x + l) 18(x + l) _Rpta. -----[arctg(------)+ —----------- + —-------------- - ] + c648 3 x + 2x + 10 (x~+2x + 10)~

© j(x + 2)rfx

(x2 +2x+2)-

3 3 x + 1 xRpta. — arctg(x + 1) + —.—;------------------------------------+ ---,------- r + c8 8 x + 2x + 2 4(x + 2x + 2)


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net



3 ) f ej r - x 4 - 26x2 - 2 4 x - 2 5

(x2 + 4 x + 5 ) 2( x 2 + 4 )2dx

x 2x -f* 5 1 yR p ta .------ ------------—:----------------- arctg^--arctg(v+2)-c8(.y " + 4 ) 2 ( x + 4 x + 5 ) 1 6 2

7N f 3x4 +4 . „ 57x4 +103x2 +32 5714) —— ------ - d x R p ta .------------ ----- -------- — arctg x + c3 x (x +1) 8x(x +1) 8

^ f 5-3x + 6x2 +5x3 - x 4 . „ . 3 -7 x -2 x 2 , |x —1115; —----- ------ ------ --------dx Rpta. ----- ---------------+ ln -------- '- + cJ v 5 - x 4 _ 2 x 3 + 2 x 2 + x - 1 2 ( x - x - x + 1) (x + 1)

9dx© j 2*3

5 x ( 3 - 2 x )

_ „ r x 4 5x2 3. 1 1 . ,V3 + x-v/2 .[- t + — - ■ +w " " u ^ ñ ' Wc

© f -Y—v ~- Rpta. —2 X + liWx2 + 2 -1 — arctg(-^) + cW J (x +2) 4(x + 2) 4V2 % /2

® r (4x2 -8x)rfx 3x2- l . , ( x - l ) 2 .J — — T -T - r ? Rp»a- 7 — , n + 7 I~I+ arctgx + cJ ( x - l ) ' ( x '+1) (x -l)(x -+ l) x +1

19) f * r 2x + A dx Rpta. — ln |— —| —— (1+— )-------- + cJ (x2 - l ) 3 4 x - 2 x 2x 2(x-2)

20) f 3*~+\ dx R p ta .------ ^ r + cJ ( r 2 4 - n 3 i r 2 - U 2

f x 2dx _ . . x + 4 5x + 1221) -------- --------- - Rpta. 2 ln |---- - | ---------------+ c^ J ( x + 2 )2(x + 4 ) 2 x + 2 x + 6 t + 8

C \ r (3x2 +x + 3)ítc 1 -\/x2 +1 7 ,22) -------- — ----- Rpta. — [ln ------— + arctgx--------- - ]+ ti (x - l )3(x2 +l) 4 | x - l | (x -1 )2


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net



x - 2

x(x2 -4 x + 5);Rpta. x - 4 ■ + — In x 2 -4 x + 5

10(x -4 x + 5) 25

dx(.x 4 - l ) 3

Rpta. 7x5 - l l x 2 1 ,I In x - 1 21

32(x4 - l ) 2 128 1 x + 1 64

© I xdx(x2 - x + l) 3

_ 1 r x —2 , l r 2x - l , 2 2x - lRpta. - [ —i--------- - ] + - [ —--------] + —¡=arctg—p ^ + c6 (x -x+1) 6 X - x + 1 3^3 V3

x° + 13x4 - x 3 +14x2 - x + 6

( l -x ) 3(l+ x 2 ) 2dx

Rpta. — * -— — + In 11 - x | +2 arctgx+c ( l -x )2(l + x 2)

(5x2 -12)rfxf pxJ i v2 _(x - 6x + 13)"

13x-159 53 /X—3Rpta. ——-— ------—+— arctg(—-—) + c8(x -6x+ l3) 16

@ J (2x + 24 )dx (x2 -4 x + 8 ) 2

_ 3x-10 5 . ,x - 2 ,Rpta* ñ - + - arctg(— - ) + ex ' -4 x + 8 2 2

® J x dx (x4 - l ) 2

_ , 1 r2x6 -3 x 2 3 , ,x 2 - l nRpta* 1 [— r-7“ +7 ln|^ ~ 7 l]+c4 x -1 2 x + 1

@ i3x4 + llx 3 +10x2 + 2x-16

(x3 + 6x 2 + 10x + 8)(x2 + 2x + 2)■dx

Rpta. * + 2 ‘ + ln[(x+4)2a/x2 + 2 x + 2 ]-5arctg(x +1)+c x~ + 2x + 2


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net


190 Eduaxds-Espinoza Ramos

m u v ^rísbewo^

Las integrales racionales de seno y coseno son de la forma:

I#! (a)

donde R es una función racional.

Para el calculo de este tipo de integrales, se debe de transformar en integrales de funciones racionales de una sola variable z, mediante la sustitución siguiente:

z- tg— H < \r2 2 2 2

ahora mediante un triángulo rectángulo, obtenemos las relaciones.

Tomando la función seno y coseno.

1xsen— = JC-, eos—

X XComo: sen x = 2 sen —. eos2 2

(1)

. . . (2)

...(3)

Ahora reemplazando (2) en (3):i.:::;.:. 2g 3

sen A ' -----~1 + , 2

además como: • '2-/ ''v-‘ ■ * -Í2 •/" \-mm sx *=■ eos (^> '4 . 2

Luego reemplazando (2) en (5):; :>>>

Como tg— = r * = 2 arctgz, de donde:2

, 2 «fc ffo ~1 +J~

... (4)

... (5)

. . . (6)

... (7)

por lo tanto al sustituir (4), (6), (7) en (a) se obtiene una integral de una función racional en z.


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net


Observación.- En el cálculo de las integrales de las funciones de seno y coseno, quex

se realiza mediante la sustitución z = tg(—), en muchos casos se

presentan cálculo complicados, por lo tanto en dichos casos se puede hacer otra sustitución de manera que se simplifique el desarrollo de la integral

J tf(senx,cosx)í£t, para esto consideremos los siguientes casos:

ler. Caso: Si la función R(senx. cosx) es una función impar respecto a senx, es decir:

si

en este caso se hace la sustitución t = cosx.

2do. Caso: Si la función R(senx, cosx) es una función impar respecto a cosx, es decir:

si

en este caso se hace la sustitución t = senx.

3er. Caso: Si la función R(senxf cosx) es una función par respecto a senx y cosx, es decir:

si

© j

en este caso se hace ia sustitución t = tgx.



dx5-4senx + 3cosx

Solución

Del criterio que se ha establecido se tiene: sen x = - , eos x = -— , d x -1 + - 2 ' 1 + r2 1 + r 2

ahora reemplazando en la integral dada se tiene:


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net



2dz

í ---------- ----------= í --------- — ------ T = f — ~ T = ---- ~ + tJ 5 -4senx + 3cosjt J 8Z 3-3z J ( r -2 ) z - 2

© j

5 _ ¡-----“ + ' 1 21 + 2 “ 1 + Z

1-sen x + cosx ,------------------ dx1 + senx-cosx

Solución

Al integrando expresamos en la forma:

t _sen x + eos x 2------------------ = - 1+ ------------------- , ahora reemplazamos en la integral dadal + senx-cosx 1 + senx-cosx

--------?--------)dx=-x + l [ -------- ------ ...(1)J 1+senjc-cosx J 1+senx-cosx J 1+senx-cosx

2r l - z 2 . 2 dzcomo senx = ----- eos*------- ------dx1 + r 2 1 + r 2 1 + z 2

2dzr dx f i + ~ 2 rJ 1+senx-cosx J 2r 1- z 2 J j 2 + ;

1+----- :----------1 + z 2 1 + z 2

tg*= í ( - ---- í - ) * = ln |- ^ - l= ln |-----(2)

J r Z + l r + 1 . Xtg —+ 12

luego reemplazando (2 ) en (1) se tiene:

xi t g — r l- s e n x + cosx . . . . 2 .------------------ í/x = -x + 2 ln | -----— |+c

J 1+senx-cosx . xtg—+1

© f edx

(2-senx)(3-senx)


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net



Solución

Sea z = senx, entonces hacemos la descomposición

_______ 1_______ = ________ 1_______(2 - sen ,v)(3 - sen x) (2 - sen x)(3 - sen x)

1 A . B A(3-z) + B(2 + z)+ ~— — — ~— —-------- ••• U)(2 -z ) (3 -z ) 2 - z 3 - 2 (2 -z)(3 -2 )

igualando los numeradores se tiene: 1 = (-A— B)z + 3A + 2B, por identidad se tiene

\ - A - B = 0 \A = \[3,4 + 25 = 1 ^ [£ = -1

ahora reemplazando (2) en (1) se tiene:

1 1 1

. . . (2)

(2 -senx)(3-senx) 2 -senx 3-senx

í ---------- ^ ------------------------------- = f — ^ ------- f - ^ — ...(3)J (2-senx)(3-senx) J 2 -senx 3 -senx

ahora calculamos cada una de las integrales:

2 dzr dx r i + ~2 r dz c dz 2 , 2z - l

l + = 2 2 4

2 2 tg(.v/2 ) —1= ~¡= arctg( B — ) ... (4)V3 V3

2dz


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net


19' Eduardo Espinoza Ramos

1 - -1 /3 1 3 --1 1 1_ a r c , 8 (^ _ ) = _ a r c tg (^ ) = _ a r c lg (_ ?_ ) , „ ( 5 )

reemplazando (4) y (5) en (3) se tiene:

x. . _ ,x.f dx 2 1 3 tg ( - ) - l

í ( í r ^ H 3 ^ = ^ a,ct8 (' - 7 r ~ )^ arc,E(' 7 ^ )+c

© í , . - J 3sen" x + 5cos" x

Solución

Multiplicando numerador y denominador por sec2 x

c dx r s ec2xdx 3sen2 x + 5cos2 x J sec2 x(3sen2 x + 5cos2 x)

Í sec2 xdx _ 1 f ^ s e c 2 xdx _ 1 V3tgx(V3tgx)2 +(V5) 2 ' ^ arctgw r )+6*

dx4-3cos2 x + 5sen2 x/ . ...........................

Solución

dx r dx4 -3cos2 x + 5sen2 x 4(sen2 x + cos2 x )-3cos2 x + 5sen2 r

r dx rsec2 xdx l r 3sec2 xdx 1------ í---------— = -----5------= - ----------?----= —arctg(3 tgjf) + c

J 9sen~ x + cos~ x J 9 tg“ x + 1 3 J (3 ig jc)~ -h 1 3

© J r A -J 1 + sen" x


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net



Solución

f dx f dx _ r dxJ 1 + sen2 x * sen2 x+cos2 x + sen2 x 2 sen2 x+cos2 x

1 r a/2 see2 xdx 1 , rr= —¡=------ñ----= -prarcig(V2 tg x) + 6*

a/2 J (-\/2 tg.t) +1 -v/2

dx© f e .sen~ x + 3senxcosx-cos~ *

Solución

Multiplicando numerador y denominador por sec2 x

sec2 xdx r sec2 xdxsec* x(sen'jc+3senjrcosjr-cos x) J tg 'x + 3 tg x - l

sec2 xdx r sec2 xdxC sec xdx f~ i ~ j 7 9 13 Jlg2 x+3 t g x + ^ ~ J (tgx+l)2

3 VÍ31 , , 2 3 , 1 , ,2 tg jr+3-v/Í3 .In I------- ---- ^ | + c = - = r l n | — 2-------- -i— l+c

VÍ3 3 -7Í3 VÍ3 2tgx+3+-v/3tg x + - + — & v2 2

© f e - J sen" x -dx

5senx. cosxSolución

Multiplicando numerador y denominador por sec 2 x

dx r sec1 xdxf _ ___ —______ = rJ sen2 x-5senxcos.\ J sec2 .v(sen2 ,v-5senxcos.v)


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net


r sec2 xdx 1 , , tg x -5 ,= I -------- r --------= 7 l n l — -------------- l + c

" « 2 » 4

m m m m m m m e m m m11 ..............Ti I I .. ..........i'............ ■ 11T ,1111111 .1Éh I II II I l i l i i É éVé-.V. iViYi .1 I I I l i l i'.

Calcular las integrales indefinidas siguientes:

© r dx 2 3 t g - - 9í --------—------- Rpta. ——In | -----2------1 +cJ 4senx+3cosx 5 * , ,

Y

tg(-) + 2® f ---- —---- Rpta. —ln |— ?------- l+cW i 3 + 5cosx 4 ,xtg( - ) ~ 2

j t g Á - 1+V2í ------—------ Rpta. - ]= ln |— ------------ l+cJsenx + cosx ^ 2 tg (^ )- l~ v /2

® r 2 -senx , _ , , , 4 , 1---------- dx Rpta. ln 12 + eos x | + —¡= arctg(-¡= tg(—))+ cJ 2 + eos x -J3 v 3 2

j , x + arctg(—)© J --------—h------ Rpta- ~r= = f ln |tg (------- — — )\+c^ J <zcosx + ¿>senjc +b ^

/ “N f f/x lS (j)Q r ---- _«x------- Rpta> ln(----- 2_ )+cJ 1 + senx-cosjc . .X.l + tg(-)


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net

in te g r a l In d e fin id a 197

dxS+4senx

2 5 ts£ > + 4Rpta. jarclg(-----1----- )+c

© If?SCR x dx2 -sen*

4 2 t g A - lRpta. -x+^=arctg(— ----)+c

J© J

dr(2+cosxX3+cosx)

cosx+2senx+3

2 « f > l l UCt* ~ W i+C

Rpta. arctgfl + tg(—» +c

§> i i idr

8-4senx+7cosx

tg(—)-S Rpta. In |—I-----|+c

W f» -J

5 ) f l z î ^ L *^ J 1+senx

Rpta.« § > ♦ 1

-ln|l+seox|+c

4senx-3cosxRpa. ---- 1 «

5

3cos2x+lRpta. ^/21n| t-e- - ^ |+c

tgx-V2

cosx dx l+2cosx

Rpta. - + — ln |----------i - |+ c2 6 Æ + ig ( j)

© f ------------------ * ------------------J 2senx + 2cosx+3

Rpta. 2arctg(2 + lg(y))+c


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net



©

©

©

©

©

dx1 + sen x + eos x

dx3cosx + senx+l

dxa2 +b2 - 2abcosx

dxsen" x-5senx.cosx

cosx dxsen2 x - 6 senx + 5

dxeos2 x + 2 senx c o s t + 2 sen2 x

dx

Rpta. ln 11 + tg(—) | +c

! tgC—>+1Rpta. — ln | — -----|+c

3 w f ) - l

^ 2 q +b x _Rpta. — -----7 arctg[—— tg(-)] + ca1 - b ' 2 - 6 2

Rpta. ^ ln |l -5 c tg x |+ c

_ A 1. . senx-5 .Rpta. —ln | ---------- l+c4 senx + 1

Rpta. arctg(senx + l) + c

sen2 x + 3senxcosx-cos2 x

sen2x dx

1 2tgx + 3--y/nRpta. —= l n -------------- +£VÍ3 2 tgx + 3 + -\/Í3

sen4 x + cos4 x

dxtg2 x+sen2 x

1 + tgx1- tg x

dx

dxsen x sen 2x

dx(senx + cosx)

Rpta. arctg(2 sen ' x -1 )+c

Rpta. - —[c tg x + —j= arctg(—= r ) ] + c* 2 V2 v 2

Rpta. - ln | cosx-senx |+ t

Rpta. ^ ln | tgx + secx |--^cosecx+c

R p ta .----- — + cl + tgx


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net


©

©

©

©

©

@

4 + tg x + 4c tg x

Rpta. tgx + 2 | + 2 - ^ ln |c o s x |+ c25 25 5(tgx + 2) 25

dx(tgx + l)sen" x

dx

Rpta. ln| l + c tg x |-c tg x + c

1-sen x

dx

Rpta. +2 2^2

arctg(-v/2 tgx) + c

dxtgx. eos 2x

senx dxcosx(l + eos~ x)

dx(senx+ 2 see x)2

dxa2 sen2 x + ¿>2 eos2 jc

dx

_ c.senxRpta. In I . — |+ rVeos 2x

Rpta. y ln |l + sec2 x |+ c

_ cos2x-I5 4 . 4sen2xRpta. ------------------+— = arcsen(------------) + c15(4 + sen2x) 15V15 4+sen2x

_ 1 ,<ZtgXvRpta. — arctg(—— ) + r 06 b

4senx+3cosx + 5

secx dx

Rpta. 1

tg(f) + 2+ c

2 tg x + secx -l

dx3 + 5 sen x + 3 eos x

dx1 7 , 1 1a~ sen~ x - ¿ r eos- x

i tg(f }Rpta. —ln | ------ — |+c2 tg( | ) + 2

Rpta. — ln 15 tg(—) + 3|+c 5 2

_ , 1 , , asenx-fceosx ,Rpta. — ln | -------------------l+cab asenx + fccosx


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net


ídx

eos x(cos2 x + 4 sen x - 5)

Rpta. ln |( l-sen x )1/2(l + senx)_1/R(2 -senjc)-4/v |+c

íC tg X .C O S X + C t g X + l + COSX , _ 1 , 1 , X

------------------------------------------dx Rpta. ln |tg -(-) |+ JC -tg -+ í-f t g j c + í t g j r . c o s j r + c o s e c j r + t t g j f 2 2

© ísen x. eos 2 x dx

1+a2 eos2 xRpta. - cosx 1

a aarctg(aeosx) + c

í(l-úreosx)dx

l - 2acosx + úr^ x A + a x xRpta. —+ arctg(----- tg - ) + c

2 l —a 2

j(2 + 3 eos x)dx

eos x(\ + 4 eos x)Rpta. 21n|secx + tg x [-1/ ^ l n| ^ £ — | +c

V3

f 2 senx-cosx 3 3sen2 x + 4cos2 x

dx _ . 2 c o s a 1 2 + senxRPta- —7= arctg(—7=-) - —1 n | —----------|+cV3 V3 4 2 -senx

I(senx + cosx)dx

2sen2 x-4senxcosx + 5cos2 x

~ * 3 - 1 ^ 6 + 2senx + cosx,Rpta. — aretg(sen x - 2 eos x) + -----¡= ln | —= -------------------1 +c5 10V6 v 6 - 2 senx-cosx

ísen2 x-4senxcosx+3cos2 x ¿/x

senx + eosx

Rpta. - sen x +3 eos x + 2^2 1 n | tg(y + —) | +c

r sen x + 2 eosx-3 ^ J se n x -2 cosx + 3

3 r 4 6 5 tg(y) + iRpta. —— ln |senx-2cosx+ 31-—arctg(----- -----) + c


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net


í(2 sen x + cosx)dx 3senx + 4cosx-2

2 j 4 -s/7+V 3(2tg(|)-l)Rpta. — jr— ln|3senjc + 4cosjc-2| + —¡= ln |--------------------------|+cr

5 5 ^ V 7 - V 4 ( 2 , g f - l ,

s 0 f s e n ^ r f , /g v ^ rsenS j + s e n ^J 1- tg x ^ J 2 senx + 3 cosjc J 1 + 2 cos2jc

54) f----- © f-------------------, * ---- -- © f^ J (tgx + l)sen~x J 3sen_ jc + 5cos‘ x J^secx + tgjr

dx /C7\ f cosjc + senx . /T7N r d*f , ■ © f cosx + senx ^ @ fJ sen'2x.cos 2x J cos27T-sen2x J 13-5cosx

cos2jc í£r /T7\ fcosx -senx , /T^\ f eosecxdx3 + 4 t g x

~ f — CS ■ — (61) [ S ^ L ^ l dx (62) fJ sen x + cos x ■* 5 + 2senx -J

14,1* INTEGRALES DE ALG UNAS FUNCIONES IKRÁdONAUÉS^

Las integrales de las funciones elementales que no son racionales, representa gran dificultad en calcularlas, incluso cuando una función elemental que es la integral de una función dada, realmente existe. En esta sección trataremos de ver criterios para algunas integrales Irracionales.

ler. Integrales de la forma.

El calculo de estas integrales se realiza completando cuadrados en el trinomio ax2 + bx + c , es decir:

7 , , ? b c. . i b b2 v b2 , b ^ 4a c - b 2ax~ +bx + c = a(x~ + — x +—) =a(x~ +—x +— -)+ c ----- =a(x + — )“ + -----------a a a 4a~ 4a 2 a 4 a

(Ax+B)dx c (Ax+B)dxr (Ax+ti)dx fJ _ _ JVax2 +bx + c ¡~ b~ 2 Aac-b2

,o<í+^ ) + - ^r


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net


Luego se hace la sustitución z = x + — y se aplica las formulas básicas dela

integración.

(jc + 2 )dxEjemplo. Calcular la integral í ■ • x + ~J V4-2X-JC2

Solución

Completando cuadrados se tiene: 4 - 2 x - x 2 — 5 — ( jc2 + 2x + l) = 5 - ( r + l) 2

r (x + 2 )dx r (x+2)dx

-n/4-2jc-jc2 ^ - ( j c + I)2

sea z = x + l => x = z —l => dx = dz

ahora sustituyendo en la ecuación (1)

r (x + 2)dx _ r ( z - \ + 2)dz _ r ( z + \)dz r zdz r dz

^ 4 - 2 x - x 2 ' > /5-22 ' ^ 5 - r 2 ' ^ 5 - r 2 ^ 5 - ; 2

= --^ 5 -r2 + arcsen(-^)+c = - ^ 4 - 2 x - x 2 + arcsen(^^i-) + c a/5 -y/5

2do. Integrales de la forma.

donde a,b.c,d son constantes y n es un número natural y además ad - be ^ 0 .

Para calcular estas integrales se debe transformar en integrales de funciones racionales en z, mediante la sustitución.

- = » tfjc + £ , , b - d z n . , nzn l (ad-hc); despejando x se tiene x = --------- ae donde ax = ------—------— ¿fr'rx + rf cz”- a {cz”- a ) 1

Ejemplo. Calcular la sitmiente integral. í * -—J Vl + v x


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net



Solución

De acuerdo al criterio establecido: c 3 = -—— de donde al despejar x se tiene:1 + jr

x = 1- r 3 . 6z2dzdx =----- . Ahora reemplazando en la integral dada:n - 3I + r 3 (1 + - 3)

J l- x dx _ f 1+ r 3 - t z 2dz f z 3dz _ , f z 3dzIfl + a r 'x J = l — z 3 (1 + r 3) 2 J ( l-_ -3)(l + _-3) ■* ( r3 —l)(r3 + 1)

, t . A B Cz + D Ez + F= 6 [----- + ------- + —-------+—----------1 dzJ - - 1 2 + 1 z~+z + l r ~ - r + ]

- í [ — +—---------------------^ - ] d z6 l z - l z + 1 - 2 +z + l r - r + 1

= [ln |r —l|+ ln |z + l | - y l n |^ 2 + r + l | ——ln |z 2 - z + l | —jL 2

- a/3 arctgí-^W-) + -v/3 a rc tg í^^ -) + c V3 V3

1 R= ln |z 2 - l | - - l n | ( r 2 + r + l)(r2 - r + l)| —\/3arctg(— -----) + c

2 2 r~ + 1

3ro. Integrales de la forma:

donde a, b, c, d son constantes y además ad — be * 0; ..,/>* %

son números enteros, siendo R una función racional.

Para calcular estas integrales, se debe de transformar en una integral de una función

racional en z, mediante la sustitución r" = °X + , donde n es el mínimo comúnac+d

múltiplo de los números ^ , q2 .


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net



Ejemplo. Calcular la integral indefinida, f *J }h M vlj\+x

Solución

Sea z6 ~ 1 + x =>«.2 _ 3

entonces x = r 6 - l => dx = 6z*dz+ X

f—-- % — 6z*dz = 6 [ z \ z u - 2 z 6 +l + z 3)dzJ 3/ l + X J J

ó j (r15 — 2r 9 + r 6 + r 3 )dz = 6[«16 „10 J _4r----- — + ji_ + _ | + í.16 5 7 4

4r -*” "ft - 3 11 , 3/T •) (.V + l)2 1 + JC -\jl + X 16z [— ----- +— +— 1+c =6¿J(x + l)~ (------- ----------+ --------+ —)+c10 5 7 4J 16 5 7 4

4to. Integrales de la forma: í• M x)dx■yjafí + fa+ c

donde Pn (x) es un polinomio de grado n. Para calcular estas integrales, a la integral expresaremos en la forma:

í Pn M dx = = (xyJaxl +bx + C + A j —4ax~ -f ¿x + c

dx

ax + fcr + c

donde (x) es un polinomio de grado n — 11 con coeficientes indeterminados y X es un número real.

Los coeficientes de Qn l (x) y el número X se encuentran derivando la ecuación (1).

Í x “dx—j= ------—

V x 2 - X + lSolución



ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net



f . p ~ T 7 T , . , f *+i J , / * * - * + 1 '

ahora derivando la ecuación (1) se tiene:

. . . d i

-\/jc 2 -JC + 2-s/jt2 -Jc + 1 -\/x2 - x + 1

multiplicando a esta ecuación por -\/jr2 -jc + 1

2x2 = 2A(x2 - x + l) + (Ax+B)(2x-l) + 2A , agrupando

2x2 =4Ax2 +(2B-3A)x + 2A + 2 A -B

luego por identidad de polinomios se tiene:

4/4 = 2 25-3/4 = 0

2/4 + 2A -fi = 0resolviendo el sistema se tiene; /4 = —, B = —, A =

2 4 8

reemplazando estos valores en (1) se tiene:

f . 3 , . 0 — ~ I r *Vjc2 - jc + 1 2 4 8 — jc +1

2jc + 3 r~>r~> 7 1 fV*“ —x + 1 — - 7= - •(*— ) " + -

2 4

= + *>jx2 -jc + 1 - - ln |2 jr - l + 2‘\/jc2 -jc + 1 |+c4 8

5to. Integrales de la forma:

Para calcular estas integrales se debe de transformar en integrales de la forma del 4to.

Caso valiéndose de la sustitución / = —-— => x - a = -X - C L t


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net


Ejemplo.- Calcular la integral indefinida: í ------------------——-= = = ■ =(jc3 + 3x2 + 3x + \)'yx2 + 2x -3

Solución

A la integral dada expresaremos así:

r_______dx r____ fx ... o )J (x3 + 3x2 +3.V + W-V2 + 2x -3 J (jc + l)3-y/(x+l) 2 - 4

sea / = —?— => * + ] = - => rf* = - 4 r reemplazando en la ecuación (1) se tiene: jc + 1 f /-

didx r <2 - _ i r t 2dt.

3 ’t 3 \

i U l - 4 t 2•** (2 )

*> ,

caso antenorcalculamos la integral í / L aplicando el3 V l-4 /2

f r r f * = (At + B ^ - 4 t 2 +*.{ A 1 ...(3 )J J Vi- * 2

. , , , v . t 2 . r—7— 4t(At + B) Aderivando la ecuación (3) se tiene: ------- = A-\Jl - 4t ~ ---- . . + .--------V i- 4 r V l - 4 r VI- 4 f

multiplicando a esta ecuación por Vi- 4 / 2

t 2 = A ( \ - r ) - 4 t ( A t + B) + A, agrupando t 2 =-%At2 -4B t + A + k , poridentidad

- 8/1 = 1-4 5 = 0 resolviendo el sistema se tiene: A - — , B = 0, A = —

8 8A + X = 0


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net


reemplazando estos valores en (3) se tiene:

í ———— = - —Vi- 4 í 2 +— í — —— = - —Vi - 4 / 2 +— arcsen(2/) ... Í4)J V ^ 8 8 16

ahora reemplazando (4) en (2) se tiene:

f -----------------—— - — Vi- 4 í 2 —— arcsen(2/) + cJ (x3 +3x2+3x + \)-Jx2 +2x-3 8 16

V* 2 +2.V-3 1 , 2 v= ----------- ----------arcsen(------) + c8(jc + 1) 16 Jf + r

6to. Integrales de la forma. (a)

donde m, n y p son números racionales.

Para calcular estas integrales se aplica las condiciones de “CHEBICHEV” y mediante este criterio a la integral de la ecuación (a) se puede expresar como una combinación finita de funciones elementales solamente en los tres casos siguientes:

i) Cuando P es un número entero.

_ , w + 1 , ,n) Cuando ------ , es un numero entero, en este caso se hace la sustituciónn

z s =a + bx" , donde s es el divisor de la fracción P.

ii¡) Cuando m + + P , es un número entero, en este caso se hace la sustitución n

z s =ax ” + 6 , donde s es el divisor de la fracción P.

Ejemplo: Calcular la integral indefinida: j V ( l + 2jr )~ 3/2dx

Solución

Aplicando el criterio de CHEBICHEV.


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net


m +1 3 + 1 _--------------- 2 es un numero entero, entoncesn 2

Sea z 2 =1 + 2jc2 => x 2 = ——- , x d x - ^ ^ -

J jc3 (1 + 2 j c 2 ) 3 2dx = J x 2(\ + 2x2) i/2x dx = J - ----- (z2)2 2

l , r 2+l, l . l+x2 .= - ( -------)+C=—( ■< )+c

4 z 2 v ü I x 21

dxEjemplo. Calcular la integral indefinida: í -------p+ ^ 3

Solución


f -------^ = = f x - 3/2( i+x 3/4y V3dx . . .O )1+tyc3

ahora aplicando el criterio de CHEBICHEV

3 .wí + I 2 + 2------= —=:— = — no es numero entero

n 3 3

m+1 „ 2 1 ,------+ P = ---------= -1 es un numero enteron 3 3

Luego r 3 = .v 3' 4 + 1 => x3/4 = — —Z 3- l


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net


*= 3 1 4/3 => dx = -4 x 2\ z i - \ ) l n dz . . . ( 2 )

reemplazando (2 ) en (1) se tiene:

= - 4 j z d z = -2 z2 +c =-2lj(x + 1) +c

donde a, b, c son números reales

La función R {x^a x2 + bx+c) se denomina irracionalidad cuadrática.

Cuando el trinomio ax2 +bx+c tiene raíces xx ,jc2 entonces

ax2 + bx + c = a(x - xx ) ( x - x 2) en este caso se hace la sustitución.

^a x2 + foc+c =f(jc-jr1)

ahora elevando al cuadrado se tiene:

a ( x - x 2) = r ( x - x l ) de donde

Al momento de hacer las sustituciones se tiene la integral de una función racional.

Cuando el trinomio ax2 +bx+c no tiene raíces reales y a > 0 la integral se transforma de una función racional haciendo la sustitución de Euler.

7mo. Integrales de la forma. fjj


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net


Luego se tiene: 4ax2 +bx+c = t - x^o = t-----1—¡=-— [a2í4 ü +b

por lo tanto se tiene una función racional de t

J R(x,4ax2 +bx + c ) d x - j Rx (t)dt

Observación.- S ia < 0 y c > 0 (ax2 + bx + c > 0) se puede hacer la sustitución.

Ejemplo. Calcular la integral indefinida: í ------l + *Vl + * 2

Solución

Sea 4¡+ x2 = / + x , de donde al elevar al cuadrado se tiene

1 +x2 - t 2 + 2/x + jc2 = > x —\ - t 2

Luego /l

2/

2 .22 . _ \ - r r + 1+ X = / + -

2/ 2r

Como x = — — => dx = — y ~T~ d t , Ahora reemplazando en la integral dada:

f dx r -(/2+l)rf/ 1 r (r+ l)¿* r (r+l)rffJ 1+W Ü ] 7 J . I - / 2 1+í2 2 r U t 2 + l - t 4 J t 4 -A t2 -11 +

2/ 2/

Factorizando el denominador se tiene:


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net

= *fr - J ü l lJ / 2 - 2 -

At + B Ct + D 1 ,+ —---------—]<*

^5 t 2 -2 + 4 2 '

Ahora calculamos los valores de A,B,C y D.

t 2+1 /i/+ 5 C/+D _(At+B)(t2-2+4S)+(Ct+D)(t2- 2 s f 5 )Ia - 4 r -1 f - 2 - J s t 2 - 2 + S (t2 - 2 —j5)(/2 -2+-fe)

/ 2 +1 - ^ ( / 3 - 2 t + S t ) + B ( t2 -2 + ^ 5 ) + C( / 3 - 2 t —Jlt) + D{t2 - 2 —y/5)

/ 2 +l = (/4 + C)í3 +Dt2+((-2 + s¡5)A-(2+-45)C)t + (-y¡5-2)B-(2+j5)D

A + C = 0 £ + Z) = l

(-2 + 45)A—(2 + -y¡5)C = 0

(-Js -2)b-(2+45)D = l

A = 0 3 + 52^5

C = 0

Z> = ■J5-32^5

. . . ( 2 )

irdx _ ^ 3 +'Js

+ xVl + x 2 -\/5

f <* -y/5-3 f dtJ r 2 - 2 - J 5 +" W r J ? ^ 2 7->/5 2^5 Vs'

„ 3 + 5 1 , . í - 2 - ^ 5 . V 5-3 1 . , /= 2[--- = - . -7-- ----- ln ----------= +---- = - . . arctg(—= = = ) ] + c2^5 V 2W 5 /+ 2 W T 2 /5 ^ / 5 - 2 % /V f^ 2

3 + 4$ -\/l+x2 - x —j2 + -<j5 -Js-3 y l + x 2 - x

“ Vs,¿2+,/5 Vl+x 2 - x W 2 +^ + ar° 8 VV5-2

--\/x2 +3x + 2f x — v x + 3 x +Ejemplo: Calcular la integral indefinida: ----- y - .... —X+ vX + 3x +

dx

Solución

Como el trinomio x 2 +3x + 2=(x+l)(x + 2) entonces se hace la sustitución:


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net

Vx2 + 3x + 2 = -n/ ( x + 1)(x + 2) = /(x + l)

n/(x + l)(x + 2 ) = t(x + 1) => x + 2 = / 2 (x + 1) de donde

2 - / 2 - 2 /x = —---- => dx = —i----- d t , ahora reemplazando en la integral dada.r - l ( r - 1)2

2 - r t

x + V* 2 + 3x + 2 / (í - 1)f2 - l / 2 - l

donde -y/ * 2 +3x + 2 = /(2, - + 1) = —^—f2 - l í 2 - l

= "2 J — — T - tdl-v = “2 [-7———•—7-—jd t 3 2 + t - f (í2- l )2 J f - t - 2 (/2- l)2

t(t + 2)dt _r (t2 +2t)dt3

r /(r + 2)gí ^ r ( r +.J ( / - 2)(/-)(/+ l)2 J ( /—2)(/—1)(/+ 1)

^ t A B C £> £ %J= - 2 | ( ----- +----- +----- +------- - + --------)<# . . . ( 1)J í —2 / - I t + 1 (/ + 1)2 (/ + l) 3

ahora calculamos las constantes A, B, C, D y E.

t 2 +2t A B C D E■ + ---- +----- +------- —+■(/—2^(r—!)(/ + 1)3 t —2 / - I í +1 (/ + i) 2 (/ + i) 3

t 2 + 2t = A(t - l)(í + 1)} +B((- 2)(/ + 1) 3 + C(t -2)(¿ -1)(( + 1)2 +

+D(t-2)(t-l)(í + l) + E(/ + 2)(r -1)

t 2 +2t = A(t4 +2í3- 2 t - \ ) + B(t4 + t3 - 3 t 2 - 5 t - 2 ) + C(t4 - t 3- 3 t 2 + t + 2) +

+ D(t3 - 2 í2 - t + 2) + E(t2 -31+2)


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net

r +2 t = (A + B + C)tA +(2 A + B -C + D ) ' + ( -3B -3C -3D +E)r +

+(A - 5B + C - D - 3£)í - A - 2B + 2C + 2D + 2E

A + B + C =O 2A + B - C + D = ü - 2 A - 3 B - 3 C —2D + E = 1 A -5B + C - D - 3 E = 2 - A - 2 B + 2C + 2D + 2E = 1

17 216

_5_ 36

6

C = . . . ( 2)

reemplazando (2 ) en (1) se tiene:

í10:-V a 2 +3x + 2 _ f 16

: + 4 7 + 3 x +2 X J 27(/-2) 8(/ -1) ' 46{/ + l) 36(/+l)2 6(/ + l) 3

6 34]<*+c

= — l n | / - 2 | - - l n | / - l | + — ln| / + l | + ---- ----+ ----- ^ r + c27 1 4 108 18(r+ 1) 6(r + l)

donde t - 4 x 2 +3x + 21 4 1

8vo. Integrales de la forma:

Para calcular estas integrales se debe de transformar en integrales de la forma del

7mo. Caso, mediante la sustitución / 2 =ax+b .

Ejemplo.- Calcular la integral indefinida: í ----- r ^ x -----=J l+'yJX + V1 + X

Solución


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net


Sea z 2 ~ x => dx = 2zdz

f r dX t— ‘ 2 ¡ — £ * . . . ( 1)J 1+ v x + v l + x J l + z + v l + z 2

aplicando el criterio del 7mo. caso se tiene: V l+ - 2 =z+t => 1 + r 2 = z 2 +2zt + t 2

* *> « j +1 Jde donde z =------ => dz =-------— dt

2t 2 i2

r,---- 7 1- r t 2 + 1Vl + r - - z + í - ------+ / = --------21 21

ahora reemplazando en (1) se tiene:

t 2 + 1 l - / 2 1 -t*

f J * r — ° 2 f 2,V ? r f»=-2f------- rff = _ f _ L l í l _ rf,•» 1+Vx +Vl + x , 1- / ' í '+ l 3 2t + l- t~ +t~ +1 ■* t~1+----+ (2/+ 2)

2/ 2/ 2t

, 1 f 4 ^ L rf, = 1 = L ¡ ! l z í ± L ± dí2 J / ( /+ ! ) 2 J , 2 2J / 2

= |j(/-l+y-^-)rf/ = y [y-/ + lní+y] + C ...(2)

Como r 2 =jc z = 4x

'yjl + z 2 =z + t => / = ^ l - z 2 —z ~'Jl + x —Jjc

que al reemplazar en (2 ) se tiene:

i * ih + ^ + ^ l ü ^ 2 2


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net



Cuando en una integral /„ que depende de un número entero n, es posible hallar una

fórmula en términos de otra integral de la misma forma en donde el número entero aparece aumentado o disminuido, a dichas expresiones se denominan formulas de reducción o de recurrencia o recursivas.

Ejemplo.- Deducir las formulas de reducción de las siguientes integrales.

® r r dx 1 . x 2« —3h = —;---- ;— = —(------------- i--- ;— r)+ ------------ t K - i . n * 1

J (jc- + a ')n o (2n-2)(x~ + a~)n (2n-2)a~

Solución

c dx 1 ex +a~-x~ , 1 , r x~+a , r x dx ," " J ( x 2 + fl2r _ fl2 J (x2+a2)n ~ a2 J {x2 +a2)" i ( x 2 +a-)n

1 f dx______ 1_ f x 2dx~ a 2 J (x2 +a2)n l a2 J { x 2 +a2)n

• (I)

x 2dxcalculando la integral f — — por partesJ / . . . ~~ \ n(x'+a*)'

haciendou =x

dv x dxr ¿ ¿ \ t(x +a )

du = dx- 1

2(n-\)(x2 + a 2)

r x 2dx(x2 +a2)n (2n-2)(x2 +a2)"~} 2 n - 2 i ( x 2 +a 2)

1 r dx ^ 2 i ( x 2 +a 2)n l

... (2)



ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net



(2n-2)(xx , 1 1 , r dx2 . 2 n-1 2 2 7-*J , 2 , 2 >n 1+ a ) a a (2n - 2 ) J (x +a )

2»-3 ,+ —----------¡n-\

a2(2n-2)(x2 +a2)"-' a 2{2n-2)

© f „ . senn l jccosx « - I r „-•> ,l n = I sen xdx = ----------------------------------------- +- sen - xdxJ n n J

Solución

1„ = Jsen” xdx = Jsen" 1 xsenxdx

u = sen" 1 x dv = sen .v dx

da = ( n - 1) sen" 2 x eos xdx v = - eos x

I„ = j*sen” xdx = -sen" 1 xcosx + (n -l)Jsen ” 2 xeos2 xdx

= -sen ”~' xcosx + (n - l) J sen" 2 x(l - sen 2 x)dx

-sen" 1 x eos x + (w -l)Jsen” 2 x íit-( //- l)Jse n " xdx

= (1 + (/;-l))Jsen” xdx = -sen" 1 x eosx + (n-l)Jsen" 2 xdx

r„ = Jsen" xdx sen” 1 j c c o s x n - 1

nf «-*> — sen *

n Jxdx

@ I n ~ j x ne *dx = - x ne * + nl„_{

Solución


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net



r„ = j*x tle Xdx integrando por partes haciendo:

u = A

dv = e 'dxdu = nxit]dxv - -e

/„ = J x "e rdx = —xue r + nJxn ye Xdx = —xne x + nItrA

© Jscsenm x cos" xdx = sen r 1 x cos a " 1 x /# — 1

ni + h m +- j » H Jm n 2 jsen rcos xdx

donde m y n son números enteros tales que m + n * 0

Solución

u = cos" 1 X

dv = sen"1 x cos r dx

du = - ( n - l)cos" 2 x sen xdxsen1”"1 xv = ----------

m + 1

îm » , senw 1 xcos" 1 x /i — 1 r ,sen xcos x d x - -------------------- +------ I sen xcos xdx+ 1 m + lJm

sen”1 1 x cos" 1 x #i-l m

:cos" ] x n - 1 f m „ ? _ „_7 ,---------- +------ I sen x(l~cos“ x)cos " xdx+ 1 w + lJ

f isen” xco^xdx=-sen"HlxcorfH x n-lm+1 w+1i+——- I sen"' xcos” 2 xdx- " I sen"' xcos" xdxn- 1

TO+1

w 1 f m n , sen x cos x /7 1 r m ? ,(1+------) sen xcos x d x - ---------------------+ ------ sen xcos 'x d xw + 1 J m +1 m + W

f m n . s e n xcos"“1 X #1—1 f m „-7 ,sen xcos x d x - -------------------- + ------- I sen xcos * xdxJ m + n w + z/J


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net


©

©

©

©

©

©

©

©

©

dx+ x

Rpta. 2arcign/í+x +£'

VT+x +1

VÍ + x - 1

Ifxdx

dx

x(~Jx + Ifx)

{x +1 )dx

Rpta. x + 4n/1 + x +41n(Vl + x - l ) - n

Rpta. ln | — ----- [+<■Í ^ + D'

Rpta. 2^Jx- 2 -r V2 arctg(Y ^ )+cd x - 2

4x dx4~x- Tx

s 5/6 o 2/3Rpta. x h——— + - ^ — + 2-Jx +3^[x + (&¡x +61n|^/jc - 1 1 +c

dxtfx(ljx - 1)

dx^ + 4 /7

-Jx dx

dx

Rpta. 3V r+ 3 1 n |V * -l|+ t

Rpta. 2-\¡x — 4$Jx +41n| 1 + /x | +í-

Rpta. + 2ltfx* +21n|^(v^ — l|+ c

-j3x - 2 - iJ lx -2

Rpta. ^ (3 .r-2 )t,i +—(3x-2 )1 4 + — In 1 (3jc-4)1' 4 - l |+ c3 3 3

r dx Rpta. 2 4 x -3 \fx + (£fx-6\nftjx + l) + c


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net


©

@

@

©

©

©

©

©

©

e2xdx

1-V 3I+2

Rpta. — (3ex - 4)- (ex +1)5 + c

1+"\¡3x+ 2dr

Vx+T+Vx+T

^2+-Jx dx

Rpta. -x+y(->/3x+2-ln(l+->/3x+2))+c

Rpta. 2 V ^ -4 V j^ + 4 1 n |l+ ^ /Í T x |+ c

Rpta. — (2+-\/x)(3x + 2-\/x -8 )+ c

1—s/x+11+3/x+T

dx

Rpta. 6r-3f2 - 2 /3 + —/5 - —/7 +31n(l+/2)-6arctg/+c donde f=fyx+l2 5 7

(2+x)dx

V 4 -2 x -x 2

x5dt

Rpta. arcsen(—p -) - y 4 - 2 x - x 2 +c ■v5

8+4x2 -3 x 4

VT

(x2 +l)dx

Rpta. — —Jl-x* +c15

-^3+2x-x2

x dx^ 8 + 2 x -x 2

Rpta. - £ Ü V 8 + 2 x - x2 + arcsen(— ) + c 2 2

n a a*+3 rz “ r 11 lR p ta . -V8 + 2jc- jc +— arcsen(--------------)+ c2 2 3

jc -2 x + 5

V9 -X 2

x3 -6 x 2 + l lx -6

Vx2 +4x + 13

dx 19 x ^ 9 - :Rpta. — arcsen— * +2-\/9-x2 +c 2 2 2

dx


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net


Rpta. ( - ----^^- + 37)4x2 +4x + 3 -661n| jt + 2*\/jt2 +4x + 3 | +c

2

© Í (2X - W<fa Rp». W * 2 -2x+ 5 -5 1 n |x - l+ V * 2 -2 x + 5 |+cW J Vx2 -2 x + 5

© J 3*3rfr

-\/x2 + 4x + 5

Rpta. (x2 — 5jch-20)-\/jc2 + 4x+5 — 151n|x+2+-\/x2 + 4x+5 |+c

r (3x 5x)dx Rpta. - ——— - j 3 - 2 x - x 2 +14arcsen(^ -!-)+c^ 3 - 2 x - x 2 2 2

© J (jc3 —x+l)dx

4 x 2 + 2 x + 2

Rpta. ( -— — + — y¡x2 + 2x+2 + —ln| x + l + V* 2 + 2x + 2 |+c F 3 6 6 2

26) f 3* ~ 8” 53 V*2 - 4 x - 7

Rpta. (x2 + 5 x + 2 0 ) V ^ I 7 + i i 2 l „ U - 2 + V ^ ^ l + c

27) í —, ^X . = Rpta. -arcsen(-——)+cxs¡3x2 +2x—l 2x

■

(28) f--------- ■ ■ - ■— Rpta. — arcsen(---- )+cW J ( x - l ) V * Z - 2 x - 3 2


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net


3dx _ 1 ,2*— —-_.r- Rpta. — G/rsec(— )+cJ x ^ x 2 -9 2 3

(3l) f ---- f * Rpta. —— +16+cW J x4^/Í6 ^ 96x

@ f -----p ---- Rpta. 1X ^ l 4 x 2 -1 +t-W J *4 - ¿ r ^ T 3x3

( x - r f - J x 2 +3x+1

3x-5 I 2 I 7 11 i (jc + 1)a/5 +-\/x2 +3x+1Rpta. ---------- r V* + 3 x + l-----p^ln|------ ---------------------- +c20(x-l) 4V5 x -1

® J - f T T I t R iK - - 2^ ’/4 + " ! «

f á n t 1 1 /W +H+1. 1 . / 2m+1. ,—¡ = = Rpta. — ln(--------- —) — prarctg(—p —)+cJViTI7 6 (“"I) V3 -s/3

donde u =

® r dx „ 1 1 3/l + x 4 +x 1 r3/l+x4 ,


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net



n » M 1 , . M -1-1 , 1 . ,2W- 1Rpta. ---- --------- lnl , -----1----- ¡= arctg(—¡=-)+c2(u + 1) 6 ^ 2 _ H+1 2-v/J a/3

dx

ViX \ J + X

1 [ J + x \ ¡ 1 [ l + x \ ¡ 1 | l + x 4* " • j f — >1 - w f — > - W — + ‘

í£rx6(65-x6)1/6

1------------------ ,65-X 2 s/6 R pta.------ (----- — )325 r

I■ 17^9 dx Rpta. — lnx——ln | Vx2 +9 + 31----—

6 6 2x 2+c

S ) Rpta. 6« + 2 ln | . = 1 - 1 -2 arctg(-^jÜ)+cV« 2 +M + 1 V3

donde u = (1+^[x)i i

í dx

Vl+x3 1 2-\/l+x + x 4 1 , . (l+ x3)1,3+xR pta .----------- +-parctg(------ P ------ - - l n ------ t- jtt---------- t- ttt---- r +cX yfi J3x 3 (l+ x 3)1/3 +x(l + x3 )1/3 +x2

© l + XlM í¿CD t „ r « 13/3 3w10' 3 3w7' 3 h4/\Rpta. 12[------------------ 1-----------------l+c

13 10 7 4

donde m = 1 + x 1/4

fJ x 4Vl+x2

Rpta. ^1+f (2x2 - l)+ c 3jc

3 Sdx

x n(l + x n)l,nn > 2

n-l

Rpta. - +c


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net


In te g r a l In d e fin id a 223

® f — Rpta. —ln| ’ 1 arcl¡j-!^-+t-W ¡ x € ¿ ? 5 \ F T 7 7 l 5 43

donde t =^¡l + x 5

© í ^ n —J ( X2 - l ) V x 2 —x —l

1 x - 3 l 3 x + l - 2 - ) [ x ^ - x - lRota. — arcsen -------- ¡= — In ------------------------ +c2 \ x - l h Í 5 2 x + l

@ r dx A l f . x+6+*v60x-l5x2 ,I--------- Rpta. ~ = l n | -------r — ---------l+c

J ( 2 x - 3 y ] 4 x - x Vl5 2 x -3

í—T = T T R p t a - -^ln|/ . ^ - | - j a r c t g V l + x 4 +cJ í ^ l + x V 4 V x * + l+ l 2

® J ^ + 5 ¿c Rpta. 2 y 3 x + 5 | + c + V s i n | ^ * + * ^ j l | + c

© ^ - f # r > ‘ +t

dx „ . 3 J x + l + c

f x rfr J -v/x+l +^/x+l

+c

2 V x-l

R pta.-(x + l)3/2- - ( x + l ) 4/3+ - (x + l)7/6-(x + l)+ - (x + l)5/6- | ( x + l ) 2/3+c3 4 7 5 2


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net



© J ________ dx________(2x + 1)3' 2 - ( 2x + 1)1/2

Rpta. - (2x+l)1' 5 + 3(2jc+ 1)1' 6 + 3 ln | $¡2x+\ - 1 1 +c

® [ 7 t— 77 Rpta. --v/í —2 jt — 2^/l — 2jc — 2 In|^/l — 2jc - 1 |+cJ V1- 2x -^ /1- 2jc

(S ) [~^TF=r Rpta. — /? -2 V x + 6^/x-5arctg^/jc+c

© J1+ ^ ' 5

dxx(l + 2t/x +\fx)

„ 3, . x\fx , 2 ,4^ /x -lRpta. — In I---- -= —-------—— I-----—arctg(— =—)+c4 (l+V ^)2( l - ^ + 2W ) 2^7 V7

( 5 ) f - ,_____ ± _______ Rpta. - Í - J H «W tf(x--a)"+i (x-b)"*1 b-aMx-a

r -v x dx n 6

1

@ Rpta' | x 5 / 6 _4xl/Z + 1 8 * I/6 + -^ ^ - 2 la r c tg ^ /7 + c

■ Z r® f dx _ 1, - f-1 . V3 , ,1 + 2/.-,-----= Rpta- - l n | - = = = | + — arctg(—=^)+e

xljl+x 5 +t + l 5 V3,/----- r

3r 1, ,( Í + 1) 2 , -s/í ,2 /—1© [ % x ~ x 'd x Rpta. — 1 -------- In( ; + } ) - ^ - a r c tg ( - ^ > + cW J ^ 2(t + 1) 4 V - / + 1 2

donde t \¡3x-~x3


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net



@ ^ ( l + s f x ) * d x

_ 2x r 24 * r r 36*~ f ,r 8* ‘ r~ 6 ’ fifTRpta. — V* + — W *‘ + ----------------------------------v* +---- V *+— x “ V*‘3 11 13 5 17

+c

idx

:- '¡x2 - X + l

Rpta. -2(2x—1—2-\Jx2 - x + l) 2

— In|2jc—1—2-\/je2 - x + l |+ 2 |ln x -V x 2 - x + l l+r

íí /x

(x + 2fr]x2 +2xRpta.

\ x + 2+ c

® íV-C2 + JC+1

U + l) 2

Rpta Va*2 + jt + 1 , . 1 7, 1, . 1 - jc + 2V*2 +x + l. --------------- -f ln | jc -i---- \-yx~ +x + l |h— ln |----------------------jc + 1 jc + 1

l+C

© í r ^ ix rfv

(JC-I) 2 Vi + 2x —X2

-v/l + 2x - x 7 1 V2 +Vl + 2x - r 2Rpta. ----:-------j= ln |------- ;----------- |+c2(1-x ) j í 1- x

@ /

@

(X2 + lh /x 2 - l

l+ x 2

1 , V^X + Vx2 +1 .Rpta. —= l n - ———, +c^ 2 ^ 2 4 2 x - 4 x ^ \

_____ / 2 + 2Rpta. ln| jc-h-s/jc2 +2 |-a rc tg — ------ + c

@ í -Vi + x + 4*/l+JC

dx Rpta. y (l + x)lü + y (l + x)7 -8(1+x)4 +c


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net


rsi i m — JL JL73) J — Rpt a. 2x2 ——jc10 + 10*10 -lOarctgx10 +c

JC+X5

J_ Jl 7 . r 2

JC 7 + * 14

.3

J +*15 dx Rpta. I x 1 -14jc14 + 28In(x14 + l) + e

1— S 37 ?) Rpta. —x 4 - —a 4 + 2x2 + 4x4 -21n(l+->/3)-4arctg—+ r^ j y x + l 5 3 2

„ . 3 7 , t 3f —j=-— — Rpta. — x 3 -6 x 3 + — -------------------------+91n|x3 +1 |+ í-J t í /^ + 1)2 2 I

x 3 +1

f —==————==— Rpta. 3 arctg(Vx )+<•^ ( 1 + 7 )

, / 3 / r , i>2 ¿ 1 2 1 2f WX + U & Rpta. - ( x 3 +1)2 - 2(x3 + 1)2 +cJ ¿Ir 5

(x-2)3 +3

80) f ^ E r f x Rpta. S ± í S 5 K 2 - W ¿ + cJ i/v 5

© I_U—2^_dx_ Rpta. (x-2)-9Vjr 2+9V3arctg(^^) + c

© Rpta. A (7^ - 4 )(i +^ ) 4 + t.


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net


© S ~ nx \x “

dx

+ 2jc - 1

x — 1Rpta. arcsen(— ¿=)+c xv 2

í¿Y

- i ) V ? + JC + 1

1 3+3x + 2-j3(x2 +x + l)Rpta. — 7= ln |---------------------------------------l+c

JC- 1

ídx

;^2 f x - ,v~

1 1 2+-y¡2 + x - x ^Rpta. — prln — +---------- ¡=----- +cV2 4 W 2

í - nxV"

dx

X2 + 4 x -4

1 2 ” v Rpta. ~arccos(— j'—) + c2 xv2

©jt3 + 2x2 +3.V + 4dx

+ 2x + 2

Rpta. (— + — + — )Vx2 + 2x + 2 + —ln |x + l + /x2 +2x4-2 |+c 3 6 6 2

5.r+3

V5dx

+ 4X~X~

Rpta. —5^5 + 4 x -x 2 +13arcsen(*- - ) + c

»9,x~ + 4x

Rpta. - +5h/-.v 2 +4.v +13 arcsen(*^ ■) + c

, 5 1 1 gi—Rpta. —jc* - A x 2 + 18jc® + —-4=r-21 arctg^/x +c

5 1 + Vx

© ídx-------- -------- Rpta. — arctgfl +—sjlx - 3 )+c

(2x + 5hl2x-3+&x-\2 2 2

© í dx

(x ■2)4x ~~4jc + 1Rpta. — arcsen( — - ) + c

V 3 -v-2


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net



(93) í -----p ----- Rpta. — + -a /x 2 -1 - - l n |x W x 2 -1 |+cx - y x 1 - 1 2 2 2

íd x

(jc — 1 )3 "\/ 5 jc 2 - 8 x + 4

_ . -\/5x2 -8x+ 4(4 -3x) -J5x 2 - 8x + 4 + .vRpta- ----------5 T ¡ ? ------- + ln |-------- -------------l+c

® Rp,i'- 1 + 9 1 " 3 aic,s(i 7 n ! )+ c

® r 1-V l+ x + x 2 , _ , . x+2-2-J\ + x + x 2 , . tfx Rpta. ln |-----------^ ------------ |+cx-\/l + x + x 2 x ~

(97) í ----------Í = = Rpta. aresen(——— )+—\= arcsen(———)+cw J (x2 4 5 x - 5 7 2^6 5x+5

® f * ~ 3 x ~ 1 dx+ f -Jx2 + 4 deW J x - x - 2x J

Rpta. + ^ ] + —a/x~ + 4 + 21n | x + •y/x2 + 4 1 +cx + 1 2

W J x 2 - 2 x + 8 J x W J x^ ( 1 +Jt4)3

® ® j — Une + lm .ln e '] *

f cigh(lnx) , f senx.eos5 x dx

f c r r ^ 1(eos2 x + eos3 x + sen x)


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net



( f f i \ f A T ^ te l e r f A r -dx___V— / J (c ig v -t- xcosec'x)- v^ / J ( v + D-v x2 + x +1

(J o j) J V ' ( 2 + ^ ) ' 4dx ( W ) J V l + e 4v dx

@ f 7 —7 7 ( n i ) f — p=3 x (1 + x ) ^ J

® [ ---------- —---------— - f a' cos ecx dxJ sen jr(-Y cos x — sen x)~ J

© i — ,— ± — . - j ’ • 5- *—y J 2 cos x + sen x cos x + sen “ x J (jc ~ 1 )(x~ - 2x + 5)

® r I X r (2 + \fx)dxr cscl7 T T ^ I WTWTTTT,

( m ) f ---------* -------------------------------v-«' J scn2.r.ln(u>.v) J r

1.6.19 EJERCICIOS DESARROLLADOS DIVERSOS.-

© í

Calcular las siguientes integrales:

dx

4^[x +1Solución

Sea r = *Jx => x = z 2 => dx = 2z dIz, reemplazando en la integral

f . ¿ - f = £ , . „ « i jV T rT T J V7TI

Sea w - J z + 1 -=> - = ir2 -1 => ¿/ = 2^ d\\. reemplazando en (1)


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net


’- i| dx _ f (w~ -1 )2wdw

vv= 4j(IV2 ~\)dw

= 4(—— u) + c• = — v»t iv2 -3) + c = —Vr + I(r + l-3 ) + r = --^^fx + I(V* -2 )3 3 3 3

+ c

©1 W-V </r

Solución

Sea z : = a* => dx — 2z dz, reemplazando en la integral dada:

^ d x = [ $ —^2zd= = 2 [ ^ \ — _dz = 2 | r1 1 + c

1- r , _r (1- r )1 + - J ^ i - r :

í/r

fsenfl = r Sea 4 =>

Z z = sen &

cosO =-\ll-Z2

[O = aresen rI di = eos 0 dO

( 1)

f -■ * - f sen' OcasOdO f

u - = 4 •1 eos© J= Jsen2 0 dO =-^-(0 -son O lo s 0 )

- — (aresenr- W l - r 2) (2)



ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net


©

I-—^Ldx = —2a/ 1 — - 2 - arcsen r + W l - r 2 + c\+ 4x

= ( - 2 + r)-\/l - - 2 - arcsen r + c = (~Jx - 2)^1—x - arcscn -Jx +c

3¡1-x dx \ + X X

Solución

c a ■ a I “ - ’ w 6 r 2ÆSea r = ----- , despejando x = ------ => dx = - ------- ——1 + -Ï 1 + r 3 (1 + r 3 ) 2

3 ^ d x = f I4 ( 6~ ~, )d= = - 6 Í ----- = 6 [ - - ----l+x i l - z (1 + -3)2 J ( l - z 3)(l + r 3) J ( r3 - l ) ( r 3 +1)

/4 B Cz + D Ez+F, t r A ¡s Lz + U b z + t . .= 6 [----- +----- + —---------+—---------lífc

J r - l r + 1 r + r + l ; 2 - r + l

Calculando los valores de A.B.C,D.E.F se tiene:

= [[— + —-------------------- r ~ 2 }dzJ r — 1 r + l - - 4- - -4-1 - -u 1

ln| = - l | + ln | - + l | - | l n | r 2 + r + l | Ty l n | - 2 - z + l | -

-Viarctg(~~ ) + V3 arctg( ) + cV3 V3

l n | r 2 - 1 1—- l n | ( r 2 + r + l)(r2 + z + 1) | —J3(arctg 1.1 - arctg ) + c2 V 3 V3

Ilz £i + . t


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net



© I t dx

T \Solución

i + x4

f - = í x°(l + jc4 ) ' ;4 dx , ahora aplicamos la condición de CHEBICHEVJ Vi+ * 4

m +1 0 + 1 1------= ------= — no es un numero entero.n 4 4

wi + I 1 1------+ p ~ -------= 0 es un numero entero.// 4 4

Sea z 4 =x 4 +1 => x 4 = (z4- l ) ~ l = - ¿ —z —1

= (z4 - l ) li4 => dx = - z 3(z3 - i y SIAdz

- J z~l (z4 - l ) 1/4 r 3( r4 -l)~5l4dz

t z~ , r. A B Cz + D1 .(1)

A f _ 5 _ + Cr + D A(z+l)(z2 + l)+ 5 ( r - l ) ( r 2 +l)+(C’c + D)(r2 -1)r 4 —1 - - 1 - + 1 r 2 +l ( r - l) ( r+ l)(z 2 +l)

r 2 = A{z~ +z2 + z+\) + B(z3 - z 2 + z~l)+C(z3 - z ) + d(z2 - 1)

r 2 = (A + B + C)z3 + (A -B + D)z2 +(A + B - C ) z + A - B - D



ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net



A + B + C =O A - B + D = 1 A + B - C =O A - B - D =O


A = - , B = - ~ , C = 0, D = —4 4 2

•(2 )

ahora reemplazando eslos valores de (2 ) en (1)

4(r —1) 4(r + l) 2(r3 +1)]d=

1 1 i . l— In | - —1 1 h— ln | r + 1 j — arctu z+c = — In f----- 1 — aretií z + c4 4 2 ^ 4 r - l 2

- —— ln| ^.X + — | —- arctgfifx 4 + 1)+ t4 4 1 1 1 2+ 1 - 1

CD J(.r-Jt3)1,3rfr

Solución

Sea v = — => dx = . reemplazando


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net



Solución

Sea z 2 = x * -1 => 2zdz = 5xAdXi reemplazando en la integral dada:

f dx _ 1 !r 5xAdx _ 1 ir 2~-ífc1 w '*5 - l 5J1 5 r 5 , 5 JX Vx “ 1 J 1 1-2 +D-

2 r dz 2 2 , s ^= — -------= — arcter + c = — arctg(x' - 1) '~+c5 J r +1 5 w 5 h

sen2jc dx© j

> IV 1 I *nr B WV/«J A

Soluciónsen4 x + cos4 x

sen 2x ¿x r sen 2x tfxf senzxrfx _ fI 4 4 — I “ 7 ? ,2 O *>J sen x + cos x J (sen- " *---- — ---------(sen" x + cos- x)“ - 2 sen" xcos~ x

r sen2xrfx r 2 sen2x¿/x _ ^ r sen2xdx j* sen2xrfr 2 sen2 2x J 2 -sen 2 2x l + (l-sen 2 2x) M + cos2 2x

r sen2x 2¿x = ------------- — = - arctgfcos 2x )+cJ l + (cos2x)“

(T) f _________ ÉL_________j x(x2 — l)(lnjc2 —ln(x2 - 1))

Solución


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net



® f(x -a)*’ ( x - P) p

( x - a ) ( x - P )d x , p > 0 , a * p

Solución

r ( x - a ) ‘’( x -P ) r' ^ f ( x - a f l ^ _ r x - a dxJ (x -a ) (x~P) J (x - p y ’' 1 J x - p (x~P)

x - a dz dxSea r = ------

í

x - p a - p ( x - p ) 1

( t - p f i x - p ) p_

(x -a )(x~P)dx

a - B J p(a - f i ) p (a - f t ) x - p

Solución

Sea z 2 = x => dx = 2 / dz, reemplazando en la integral dada

=( 2=d=)f I x j _ f =@=d=) _ 0 f - 2dzH 2 - x dX = \ ^ - - l j V I 7 :

Seasen 6 =J i7. = -J2 sen 6

cos 0 =

j* z 2dz _ j* 2 sen2 0^2 cosOdQJ ¡2 - z 2 V2 cos 0

=,V2

= J 2 sen2 OdO

0 = arcsen(-^=r) y¡2

d: = 4 2 cos 0 dO

V2 - r 2 =-\ /2 cos©

C r n / 2 — r 2= j (1 -co s20)d6 = 0 -sen 0 cos0 = arcsen(-^=)------------ ... (2)


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net


reemplazando (2) en ( i ) se tiene:

JC dx = arcsen( - ^ ) - z 4 2 - z 2 - 2arcsen

5) 1\ 2 - x ~ \ 2

( \ + e 2 x ) l , 2 e x d x

(l + e2x)(-^4 + 4 e ^ - l )Solución

(l+*>2') ] 2e'dx c e'dx

x + c

r (i +e~ ) ' e dx _ r

* (l+e2x)(44+4e2x -1) * ^ (U e ^ (2 -J } + e2x -1)

Sea z 2 = l + e2x => e 1' = r 2 -1 => ex => ex dx = —¡~- =V?^T

(l+e2A )1/2<?*dLr r Zí/r f drr (1 +e~ ) ~e dx _ r zdz _ r

(l + <?2* )(-\¡4 + 4 e 2 x - \ ) rVr2 - l ( 2 r - l ) ( 2 = - ] y f = 2 - l..(1)

Sea t = —— => 2 r - l = - => r = — => d: = - dl2 --1 i 21 2 r

Ahora reemplazando en la ecuación (1) se tiene:

di dtj- 0 + e2x)v2exx _ f dz r 2 r _ f 212

•* íl + e 2 x v J ¿ U t e 2 r - U J Q = - \ ) l = 2 - 1 ) ^ J 1 f l + l . ¡ . J+ J (2 r-l)(_2 - l ) ^ J 1 ¡,l + ‘ *2 J -\/l+2/ —3/2/ V 2/ 2/2

_ f di 1_ r ______ _______•* Vl + 2 f - 3 r V3 J r iO _ í /_ I )21i/2

27 3 J

1 r3V3/—V3-= — r= arcsenf------¡=— 1+ cV3 Vio

1 1como t = ------- = — , — entonces2--> 2Vh ^ 37-1


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net

IntegraI Indefinida 237

J (l + <?2' ) ‘ V 'ífr 1 r 2^3(2 - Vi+ t?2' ) .— ^ arcsenl——— -- = = .-----]+c(\+e2i)(44+4eTx -1) ^ slÌQQ-fl+t?2r -1)"

/■,arusen

Solución

Sea / = arcscn x dz = ¿Y rfjf rfv

^ J ì - 7 V1 - sen 2 r" cos -

/ = arcscn x x = sen z

Como dx = cos z dzcosr

JearLicn vrfx = J<'; cos rdz (1)

Integrando por partes: u - edv = cos r dz

du —r = sen r

| e: cosr dz - e 2 sen r - J e~ senr dz

| u - e\ dv = sen z dz

\du = e~dz v = -cosr

J*£" cosz d z - e 1 senr+é>r cos r-Jc?" coszdz

• ì e: cos r dz = f ' (sen r +cosr) (2)

reemplazando (2) en (1 ) se ìiene:

J aroen i * z ( s e n - + COS _ ) „ archer.e d x - e -------------- ( v + V l - . t 2 )+ t = £ > ----------------\-c


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net

23* Eduardo Espinoza Ramos

5) ídx

( Y - l ) ( A - + l)V(r-2)(* + 3)Solución

1 A B A(x +1) + B(x - 1)( x - 1 ) ( a + 1 ) a- - 1 a + 1 ( a - 1 ) ( a + 1)

í A + B = 01 = (A + B)x + A — B. por identidad se tiene: j ^ >

1 1 1 1■ =—(— r+ r)

2

B = - i ?

( j t - 1 ) ( jc + 1) 2 x - \ Jt + 1

f ^ _ W j 1 1 J dvj ( x - 1)(jc + 1 ) t / ( x - 2 ) ( a + 3 ) ~ 2 j .y - 1 x + 1 ^ / ( x - 2 ) ( a : + 3 )

= I r f _____________ £ ___________________ f ___________£ _____________ ] . . ( i )2 J ( a - 1 ) V U - 2 ) ( a + 3 ) J (A- + l ) ^ ( , v - 2 ) C r + 3 )

dxCalculando la intearal f ------- , A = ■j ( X - l ) - y / ( A ' - 2 ) ( A + 3 )

c 1 i 1 ^Sea r = ----- => .y-1 = — => d x - — —x — 1 r -2

f _______ £ _______ = f _______£1_____ = - fJ (a -1 )-J(a' — 2)(a- + 3) J I ^ {i _ 1)(I + 4) J V (l-r)(l + 4r)

= f —, = r completando cuadrados-\/l+ 3 r-4 r“

__3

= — ^ í —- = É ^ = = = —- arcsenf—— ]+c 2 5 _ 7 _ 3 : 2 5

Í 64 {- 8 «


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net



= —- arcsen[——-]+ cx = —- arcsen[——— ] + cx ... (2)2 5 2 5(x-l)

dxahora calculando la integral í -------- = =2)(x + 3)

1 , 1 dtSea t =----- => x +1 = - => dx = — -x+1 t t~

dt di

f .d x . - I r. t2 . ~ if — — I[ dt1 ( x + 1)V(jc-2)(x + 3) J

i l lí(I_3KI + 2) 1 ^ ( 1 - 3 0 ( 1 + 2 /) J

/ 2

1/ + —

° ~ Í Í 125 1 ,l f e r (' V ñ

1 -arcsen^ - -—]+ c 2 = — j= arcsen[ v + ] + Cj ...(3)^6 5 “ -x/6 5(x + l)

Luego reemplazando (2), (3) en (1)

c dx 1 1,11-3*. 1 1,jc + 13,--------------- . ■ — = — arcsen—(----------------) + — arcsen— (---)J (x - 1)(* + 1) /(jc- 2)(jc + 3) 4 5 x - \ 2V6 5 jc + 1

x 2dx5) J... ....Solución

Oteos jc-senx)2

A la integral dada lo expresaremos en la forma:

r x 2dx c * xsenxdx .-------------------- = --------------------------- # integrando por partesJ i r e n e v — cf*n ~ J S e n X i r rf>c r — “


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net


240 E d u a r d o E s p in o z a R a m o s

u = ■sen*

dv jcsenjc dx

j

(jccosjc-sen jc)'

x 2dx

, senjc-xcosx , au --------------------— dx

(sen*)“1v = ■

xcosx-senjc

(jrcosjr-senx)2 senx(jrcosx-senx) J sen2 jr(xcosx-senjr)H* cpn **(senjr-jccosx)rfjt

sen x(x eos jc - sen x)Jcos ec2~xdx

sen jc(jccosjc-senjc)- C t g J C + C

Solución

. f x 2 -1 dx 1 f x 2 -1 2xdx la mtegral dada expresaremos asi: I , —-------- = — I , —--------- -J Vor+1 x 2J\x~+l x~

Sea : = x 2 => dz = 2x dx, reemplazando

r fx2 -1 dx 1 r jz-1 dzj V j r + i T ^ l J 'V T T T l

c •> r —1Sea w = -----r + 1

vr+1w 2 - l

dz = 4w dw

(w2 - l ) 2

f jx2 -1 dx 1 f w2 -1 4wdw r w2dwj V ^ + T ^ ’ ^ J ^ ^ + i V 2 - ! ) 2 " J (tv2 +l)(»v2 -

... (1)

..(2)

- f r A B Cw+D- “2 1 [- + + — ;—-]d»j w-1 W + l w + l ... (3)


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net


I n te g r a l In d e fin id a 241

w2 A B Cw+Z)--- 1-------- r-----= ------- f*----------- ------(w~ -l)(w2 +1) w-l w+1 IV“ +1

_ ,4(w+l)(w2 + l) + i?(w-l)(w2 +1) (iC w + D ) ( w 2 -1)(w—l)(w+l)(»v2 +1) (w—l)(w+l)(w^ +1)

w 2 = A ( w 3 + w) + A ( w 2 +l) + B ( w 2 + w ) - B ( w2 + 1) + C(w3 -~w) + D ( w 2 -1)

w 2 = ( A + B + C )w * + ( A - B - D ) w 2 + ( A + B - C ) w + A - B - D

A + B + C =0. „ .. , resolviendo el sistema se tiene:

A - B + D = 1A + B - C = 0 A = ~ . B = - ~ , C = 0, D = -

4 4 2

ahora reemplazando los valores de A,B,C y D.

je2 -1 dx 1 f rfw 1 r rfw r rfw 1. . w+1l +l X 2

r rfw 1 f rfw f rfw 1 - , w+1.---- - + - ---- — ----= —ln I------- |-a rc tgw + c

J w-1 2J w+1 J vv“ +1 2 w—1

= 2 - 1-1

1, .V ^ I + V I + l , t f r -Tarctg J ----- +c = - l n h = — - a r c tg h U + 1 2 'V ^ I - V i + î Vz+1

+c

1. . -y/*2 -1 +-y/*2 +1 , ,= ? ln|T T = — 5=7 = Í - arctg

2 VJr'-l-'VJC +1 v + i+ c

COSJCrfjC© M

Soluciónsen' or-cos3 or

f cos xdx _ f sec2 xí/x /lvI î ï “ I ï ••• VvJ sen X-cos x J tg jc—1


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net



Sea z = tgx => dz = sec2 xdx

f sec2 xdx _ f dz r dz AJ tg3 jc — 1 z 3 -1 ( z - l ) ( z 2 + z + l) J z —\ z

Bz + C(z — l)(z + Z +1) ’} +Z + 1

]dz • •(2)

1 /í Bz + C A(z +z+\) + (Bz + C)(z — 1)* + *z 3 —1 2 —1 z 2 +Z + 1 ( z - l ) ( z - +Z + 1)

] = A(z2 +z + \) + B(z2 +z) + C (z-l) => 1 = (A + B)z2 + (A -B + C )z+ z -C1

Por identidad polinómica se tiene:A + B = 0A - B + C = 0 A - C = 1

A =

B = - i 3

c = - 2

reemplazando (2) en (3) se tiene

f see2 xdx ] r. 1 z + 2 , , 1 ri . l r 2 z + l+3 , ,I — ---- r = T J [— i-” ---------------------] r f z = - [ l n | z - l | - - l ~ -; dz]te x -1 3 J z-1 z +z+ 3 2 J z~ +z + l

- ± lp 2z + l

2 J Z 2 + Z + 1 fe“ f— ií 2 J . 1dz

]

2 4

1Z H---

= [ln | z - l | - ^ l n | z2 + z + 11 a r c t g f —^ - ] ]

..(3)

= i[ ln | z - 1 1 - I ln | z 2 + z +11-V3 a r c tg í^ - ) ]

= j [ ln | tgx-11 - y l n | tg2 x + tgjr + l | -y¡3 a rc tg (-^¿)]

© íxe* sen xdx


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net



Solución

Integrando por partes se tiene: u - xexdv = sen x dx

du = {x+\)e'dxV = — COS JC

J xex sen x dx = - x e ' cos x - J (x +1 )*>c (- eos a-)dx

= -xeA eos x + J" (x + l)é?' eos x dx (1)

haciendo i4 = (x + l)tjl dv = eos x dx

du = (a : + 2)e'dx v = sen x

J(jr + l)e* eosxdx = (x + 1)ex sen jc-J(x + 2)í?' senxdx

= (x + l)e* sen x - J xe' sen x d x e x sen a' dx


Jxe% sen a dx - -xe* eos jc + ( a + \)ex sen x - jxe ' senxíÉc-2jé?1 sen a

(2)

dx

j x e ' sS Qnxdx = * xe* eos x (x +1 )e ' sen x C xí e sen.vííx: (3)

ahora calculamos la integral J e ' sen a dx por partes.


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net



JVX senxdx = e* se n x -e ' cosx~Je* sen xdx

r v , s e n x - e o s xj e sen x d x - ---------- ----------- ...(4)


ív , - x e x eos x (x +1 )ex sen x e* sen x - ex eos x xe senxdx =------------- + ----------- :------------------------------- + c

IX3Vl + X418J 1 , v dxVl + x 4 +1

Solución

Sea r = x 4 ==> d z - 4 x 3dx => x3¿/x = —

r W ¡ i 7 ^ _ r y r r r (1)J Vl + x4 +1 J Vl + r + l 4 4 JV 1+ I + I

sea w2 =l + r => dz = 2udu

Í ^ \ + z dz ru(2u)du _ cu 2du _ f . , 1 , 2 ^, — = —— -— = 2 1------ =2 (w~l + ------ )du =u -2w + 21n|w + l |Vi + z +1 * w + 1 w + 1 J w +1

f 2 ^ ^ . =M2_2,/ + 2 in |M + l | = l + --2-VÍ+7+21n|VÍ+7+l | . . .(2)J VI + r +1



ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net


íx 3Vl+-v4 . r + 1 V l+ ^ 1 , , /t---- ,,dx = — ----- ^ — + - ln |V l + r + l | + raI Î + 7 + I 4 O •)

X + 1 _ j ! + £ l + l l n | ^ 1 + J C 4 + 1 | + t .

1 9 ) J l n ( V l + X - < s l \ - x ) d x

Calculando la integral por partes

u = lnfVl + A* ~-s/l — jc)

¿v = dx

Solución

2xx ^ \ ~ x 2v - x

Jln(Vl + x - -\/l - jc )rfx = jcln(^l + x —n/l - x) - J — rfx

= ln(-\/l + x —v /T ^ x ) - - f [ . 1 + l]rfxV1 - X 2

(20) J^/tg2 x + 2dx

Solución


r i ¿ i ± ü *


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net


1 , I 2 r . f COS X dx'■ In | tg x + 4 1£ x + 2 | + 1 i ■ ^Vsen2 x + 2cos2 x

cos x dxI t ~ c cos x dx = In 1 tgx + Vtg“ x + 2 | ~ =*\/2-sen~ x

i . I 7 7. senxx= In | tg x + tg~ x + 2 | + arcsenf— + cV2

§> +W1+JC

Solución

Dividiendo numerador y denominador por x2

f (x2 -1 )dx f x 2

U x 2 + \ y l ü 7 J , „ . i J „ 2 , i

íjc2-1) dx

{x* ~ x T * 7

2Sea r = x + — => dr = ( l— ^-)dx, d z ~ — i dx

X X “ X "

•) ■? 1 - i l 2 or - x + — + 2 => x + — ~ z ~ - 2

X" x ~

ahora reemplazamos en la ecuación (1)


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net



dt

r d= _ _ f _ _ r z . _r * _J w ^ J i / m U - 2 , 2

W / 2

^fl di 1 [— arcsen(V2/)S i J V l-(V 202 -Ji

■J2 -J2= -^ -a rcsen (— ) ...(3 )


A'

4 Í , -Jlx .----arcsenf—---- ) + c2 r 2 - 1-1

í

jr +1

dx

Solución

Sea r = í? r => ¿fc = - z d x => r/v = —

f -7- ......,■= [ - - £ — . . .d )Vl + e* +e2x W - + - + 1

1 1 , dtSea / = — => r = - => rfr- — —- t t l

dl dir ____£ ___ - í , /2 - rJ W 77777 J 1 ÍT 7 T 7 J #

-v/ , + ~+1/ V /+ /+ 1

-J = — = - in |/ + y+V /'2 +/ + l | = - l n | - + - + j ^ r +-^ + l |


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net


i i - + 2 + 2a/—2 + - +1 -In | ---------- ------------ 1 ...(2 )2:reemplazando (2) en (1) se tiene:

f dx z + 2 + 2%/-2 + r + 1 í?' + 2 + l 4 ^ x + e T +1 ,i = - l n ------------ +c, = - l n ---------------- +c

J Vl+e'+ f !' 2-- 2«'

23}J CAnsen" x + sen2 x

Solución


reos3x(l + cos2 x) , reos2 x(l + eos2 x)eosx , r(1-sen2 x)(2-sen2x)cosx .I ----- 5---------— d x = \ -------- j---------i-------dx = \ ----------- i-------- ?--------- dxJ sen x + sen- x J sen x + sen- x J sen x+sen“ x

Sea z = senx => dz = cosx dx

[ <l---; K 2 -^ )rf- , [ „ 6 2 ^sen x + sen“ x * z + z r - +1 z -

2 2= z - 6 arctg z — + c = sen x - 6 arctg(senx)-------- + cz sen x

© í<— »-7= :^ 1 * + > - / r t ?

x — 1. dx

+ x + l)Solución

Sea z 2 = x + l + — => 2zdz — (1— \-)dx => 2zdz- X 7 dx

ahora a la integral dada escribiremos así:


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net

■J a —1 1 dxY - f 1 X

r ' * 7T-il?

x -1 1 dx

x X

T v 2 + 2

1 x -1 dx+ 2.V + 1 , 1 x------- A A' +1+-,v V x

i1 x ¿ - \

(x + 1 + -+ I ) J jc + 1 + - *Y V A

dx

f —7— — = 2 í = 2 arctg z + c = 2 arctn J,v +1 + —J (r-+l)r J r 2+1 V v

+ r

i arcsen(----- )dxI + X

Solución

Integrando por partes se tiene:

Haciendo:,2-\[xu = arcsen(----- )

1 + X

dv - dx

du -(1 -x)dx

V = X

íx-1, si x > 1 como I x - 1 1= i entonces d/v = <

11 —X, si 0 < A < 1

dx• ^ ( X + l)

dxJü(x + 1)'

, .Vi A > 1

A7 0 < X < 1

Luego consideremos Los casos:

i) Cuando x > 1 se tiene:

f M x . . 2-Jx. r - x d x 2.-J*, (4 xd xI arcsen( )dx = x arcsen( ) - I —= ---- = varesenf——) + I-----------J \+ x 1 + v JVTlx + 1) i+v J (v + 1)

Sea r 2 =.v => dx = 2zdz

\


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net

r fx dx r z.lzdz : 2d= _ r 1----- - = — -----= 2 —-----=2 (1— ------) = 2( r —arctgr)

J x + 1 J : 2 + l J r 2 +l J : -+l

= 2-Jx - 2 arctgjx


Í arcsen( )dx - x arcsen( )+ 2-Jx - 2 arctg-JxI + .v 1+.V

ii) Cuando 0< x < 1, se tiene:

f ,2 -/* .. P-^x. f xdx r4xd .aresení----- )dx = x arcscnf-— ) - —¡=-------- x arcscnf-— ) - --------j 1 + X 1+X J^ ÍJC + I) 1+X J x + 1


r - j—

Íarcsen(-— )dx - x arcsenP— ) - 2-Jx + 2 arctg4x1 + x l + x

Luego de la parle (a) y (p) se tiene:

í arcsenp ^ * )dx = x arcsen(~^*) ± 2-Jx + +2 arctg [xJ 1 + A' 1 + A*

+ c

xcosx-smx

íxrfx4 +sen4 x

Solución

Dividiendo numerador y denominador por x2

v eos x - sen x , x eos v - sen v■dxr reos y-sen x ^ _ f , v3 = f , j r l _ . rfr

v-yx -sen \/x ' • sen ' t sCn

- - ( 2)

... (a)

. . .(3)

..(4)

..(P )

..(1)


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net

senx , A*cosx-senA _Sea r = ------ => d~ = ----------------- dx ...(2 )* x~


Í ACosA-senA r dz 1, . +1+1. 1 A /4/ 4 \\~dx=^\-7= - — ln\—¡ = ---- - “ -arctg(A/A* + l)+ c

V ? + s e n 4 x JV Ü T 7 4 V 7 T T -1 2

este es el resultado del ejercicio 4.

dx

® f eSolución

Sea x n = \ => x = t 2/" * entonees dx = —~ t 2in)ldt r n

dx__ = _2 r t <lín)~ldt = 2 Mp rfAT 2 f J _

W I"^ 1 w l - L - i " S~-\ / 2 t

t 2

2 C d i 2 0 1= — arcsení + c = —2» arcsenj— +cnVi

(28) I (----------- ---------- j - x eos ecx)dxsen x(x eos a - sen v) ”

Solución

A la integral dada escribiremos así;

x 1 - x eos etx sen a ( x eos x - sen x)Í(----------- —-----------—-ACOSeCA)rfA = i

«r*n ví vrnc y — <cpn *dx

sen x(x eos j r - sen a*)“ j sen a ( a eos x - sen x) J

■ja 3 - a ( a 2 eos2 x-2xsenxcosA + sen2 a ) ,------- dxsen a ( a eos x - sen x )2


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net


- i

=J

- í

- í

- J

x - x eos a* + 2x~ senx eosx — x sen x ,------------------------------------------------sen x(x eos x - sen x)

x 3( l-e o s 2 x) + 2x2 senxeosx-xsen2 xsen x(x eos x - sen x)2

a* sen a + 2 x senxeosx-xsen x"-------------------------------------------- «Asen x(x eos a - sen a ) “

a* senx + 2x eosx-xsenA _--------------------------i----- ~ dx

( a* eos a* — sen x y

dx

1 7x senx + 2x eos a* - 2x sen x + x sen x (xeosx-senx)2

dx

r x 3 s e n x + 2 x 2 e o s x - 2 x s e n A , r x s e n x d x= -------------------------- r--------dx+ ------------------- -

J ( a eos a* — sen a*) j (xcosA-senx)**

i2 . r x sen x dxf d(------ ------) + J -J a c o s a -sen a* J ( x( a eos a -sen x)2

A2 1 A2 -1- + C = ----------------------- \ -C

a eos x - sen a x eos x - sen a a eos x - sen a

see A'Vsec 2x dx aresen(tgx)

Solución

0 , v see2 a d x see a dx see a d xSea z = aresen (tgx) => dz = . => dr =^ / l - t g 2 a Veos2 x - s e n 2 a a / c o s 2 a*

dz = s e e x .V s e c 2 x d x

r s e c A .V s e c 2 a d x r d z---------------------------- = 1 — = ln | z I + c = In I a r e s e n ( tg x ) | + c

J a r e s e n ( t e x ) J z


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net



Solución

Sea z = 1 + V l+x2 diferenciando se tiene: rfz = —+ x

v dx r 1 y dxf * * * f f___________________________________

J Vi + X2 V +O + v-)1 2 J V1 + O+ * 2) 1 2 -V1 + JC2

f -^ r = 2 '/ r + í' = 2-vl + Vl + v ^ + t“ J V-

Ì 4 J 0 EJERCÍGldSFROPtESI'OS^

aladar las siguientes Integrale-

Q ——^d A Rpta. a.aresen l ^ a ^ a - x -^fx —[a - x + c\ d -V-Y Vi/

© r ( t f - ¿ r 2 ) d \ _ a - l x .I — __ ■===: Rpta. arccos(— . ) + c" _^ Y " X “\¡ Q ^Ctf)

( 3) í rfv Rpta. 3arccos(-— - )-r3^jx2 -2x+ 8 +tw •> ', 2 + r 3

G f dx _ * r.— - — 1 . . -\/3 +-v/2-t sen a-------- - - Rpta. In Vi + sen . r ----- j= ln | —¡=— . - - -.=-. | +c■’ cu- i-v2 + senjr 2v3 v3 + -v/2 + sen x

- dx Rpta. aresen *Jx —\j\ \h - x + c

(7 ) f - ^ —= — Rpta. 3arctg^/x+ + cw J V x ^ o + ^ ) 2 i+*fc


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net



©

©

©

©

©

©

©

©

©

©

©

ln(2+Mx) dx

xcosjt-senx+1(jc + eos x ) '

dx

I 1 1 1x \ x + l

dx

V l-x 3x 24*

dx

Vl + lnjc dxxlnx

x 2ex senxdx

x 5dxV8x3 +27

2a + x Ia - x dxa+x \a + x

dxsen xcosx

3 1 ^x aresen—dx

dx\¡5 - X + V 5 - X

Rpta. — ln(2+l¡x)(tfx - 4 ) - —fi jx2 -4¿Jx)+c 2 4

* senx Rpta. ---------- +cx + cosx

, l x 4 x 2 - 1 Rpta. arcsen(—) +--------- +cX X

Rpta. —2 l l - x 3 23 v x

, — aresen-Jx3 +c3 3

Rpta. 2-Vl + ln jc-ln |lnx |jc+21n|V l + lnjr - 1 1 +c

1 , ,

Rpta. —[(x - l) s e n x - (x - l) cosx]e*+c

Rpta. — (8x3 + 27)5' 3 (8x3 +27)2/3 +c320 128

4a+c

+ X

- Ctg XRpta. ln | tg x | -c tg x ----------- + c

Rpta. — aresen(—)+ X *Jx2 - l +c 4 x 12

Rpta. -2 (^ /5 -jc -l)2 -41n(l+^/5-x)+c

sen(5x + 2) sen(4x+2) cos(3x+ 4)dx


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net



_ 1 r .. sen(4x + 4) sen 6x sen(2x + 8)Rpta. — [sen(2A- + 4) + —— ------ - + -------- + ----- --------] + c8 2 3 6

® f „ . x xcos(21n.r) + 2A-sen(21nx)I cos" (In x)dx Rpta. - + ------------------------------------- -- ------- -------- - + cJ 2 10

I cos x(cos x + sen xh/cosx + 2sen x

1 Jc \g x + 2+l l Jc tg x + 2 - 4 2Rpta. —l n | - ^ = ----- — 1+—= l n | - ^ = = = — t= |+ ‘'

2 ^jc ig x+2 -1 2v2

a> P * 1

Rpta. [25x2 (3 sen x - cos a ) - 1 0a (4 sen x -3 cos x) + 9 sen x - 13 cos v] + c

(3x2 +4)dx a/3 a 2 + a - 4 + -Jx- -------- / . . Rpta. In I—-----2~Jx(4-3x2 W 3a-2 + a- - 4 V3a 2 - 4

f = = Rpta. — t/2+a/x-T(-v/jc-1 -4 ) + cJ V2+a/xZT 3

24) J Jig x dx

Rpta. 1 n I I+ arctg(\/2 tg x -1) + arctg(-\/2 tg x +1)+c4 lg a' + J 2 tg a* +1 2 2

25j f ----- 4 ^ — t RPta- 1,1— — l n | r w +l | + ---------------------------- -------+cJ x ( x ™ + 1 ) 2 9 9 9 9 9 9 ( v + 1 )

© J*-y2+ ^ T ^ T + T c o s p ^ T ^ x *"dx Rpta. sen(3 2 (3 ^ 1 U+ —) + c8 4


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net



¡tg-V dx

(eos99 x+1)2

Rpta. ln x ——lnlcos99jc + l |- ln c o s x ---------- ----------+c99 99(cos x +1)

(28) f -----P —— Rpta. ln * —— In j a-7 +11 +cW J x(x +1)2 7

@ r (2 + tg2 x ) see2 x , _ , . . , 2 2 t g A - l------------ -------- dx Rpta. l n | te a + 11 + - 7 = arctg(----- p — ) + c

J 1+tg x V3 V3

(30) f ---- = ---- Rpta. J lnx + -\/lna- + -s/Tria +...W J ein2x4 \ n x + 4 h ^ 7 . - x

+ c

(3 ^ J(x + (x + (A + (x+...+oo)3)3)3)3dx

R p t a . i [ ( x + ( x + ( x + ( x + . . .+ » ) 3 ) 3 )3 ) 3 ] 4 - Í [ ( a + ( x + ( x + . . . + oo) 3 ) 3 ) 3 ]6 4 2

® r sen jt+sen2x + ...+sen wx , _ 2 ,w + l .-------------------------------dx R p ta .--------ln | cos(------ )x | +cJ eos x + eos 2x +...+ cos nx n + 1 n

® r (x2 -sen 2 x)dr _----------------------- ------------ Rpta. x(cos ec - c tg x) + cJ jt-senjtcosx+xcos x -senx

® r xlnx dx _ lux—ñ----- r^r Rpta. — -----+ ore see x + c3 (x — 1) a: - 1

(35) f a r e s e n ^2 x ^ Rpta. -J2x - ~Jl - 2a a r e s e n J2x + cw J V i - 2 a-

+ C


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net


§> j e x eos3 x dx Rpta. - ( 3 sen 3x - COS —-) +—e r(sen.v-cosx) + í40 3 8

1 + JC *2

-J4 + X1 dx

5+-\/4+x2

+ c

Rpta. jc —51n|------ ------ | — ¡ = l n |-------------- =-------- — |+c2 V2Í ^_ V 3 tg (Ia rc tg (^ ))

2 2

40) f g r Rpta. + í1 -f- -\/l -4- e ' ^

©f Jr-VJ 1 l/7A" - ty :

•</.r

Rpta. — ln|(.v—2) 1 3 + 1| + —ln |(x -2 )2'3 — (v -2 )1'3 + 2 |-----!j= arctg (-^ ¡J—-) + c4 8 4V7 V7

f n . 1 , , í2 “ 1)2 . ^3 . /2Z + 1r -— Rpta. — ln — ---------- + — arctg(— j=-)+cJ x¡S 7 x r 10 z 2 + z + l 5 V3

donde Z = t/ i + x5

r (jc2 —1)í¿c . . x 2 + l + "\/jr4 + 3x2 +1 .— - Rpta. In | ---------------------------|+t‘xVl+3x2 + x4 x

Sugerencia: Z = x+ —x

f arcsen A dx Rpta. aresenx tg(arcsen x) + ln | cos(arcsenx) | +cJ (1_ jc2)3/2


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net


._i fVl-JC2 , „ . arcsenx(l-x2)3/2 1 lnx45) ------— arcsen x dx R p ta .---------------- ----- -—----------------+ c^ J x4 3x 6x 3

Idx

(x -2 )3^¡3x*^%x + 5

r. * 6x-13 r ~2 ~ 7 9 2x-3+-\/3x2 -8x+5 .Rpta. --------- -V3a -8x + 5 — ln| -------------------------- +í-2(x-2) 2 x —2

g j f ^ j-2 ^ 2 JrT T r 2

rfx „ 1 1— Rpta. arete x + --------x + x X 3x

f3x -1 , _ (x '+ l) - r-I ----- 7= arctg x dx Rpta. — — arctg a - 2v* + cJ 9 r J v / v

50) fJ 1 -xV Ñ V

Rpta. —— 1 n 11 - xVl -A-2 | + a/3 arctgf^ - ^ * ) -2 V3(l " * 2)

arcsen a* + c

® r x + -Jl + x + x2 , r r 1. . l + 2x+2-\/l + x + x2----------> ■ dx Rpta. V l + x + x - + - l n | ................ . ........ — |+c1 + x + Vl+Jc + x2 2 (2 + x + 2Vl + x + x 2 )2

f * j—= dx Rpta. ^-[(x+1)3' 2+x3' 2]— [(x+1)5' 2 - x 5/2]+cJ Vx+Vx + l 3 5

© í “xa V a 2 - A + l


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net


Rpta. 21n |jt-V x2 -jc+1 | - —In |2jc- 1 -2<s/jc2 -jc+1 |2(2jc—1—2'v/jc2 - x + 1

+ c

¿A Rpta. ln|x+-\/2 + Jc2 | - arctg( ^ + * -x

)+c

A dx 1 Va'2 - 4x + 3--------= = = = = Rpta. - 2 arcsen(------) ------------------+c( a 2 - 3 a' + 2 W a-2 - 4 x + 3 * - 2

í(3a + 2)dx

(x + lh/jc2 + 3a + 3

Rpta. 31n |x+ -+ ^A -2 + 3x+3 | + l n | — + - + — + 3 x + 3 | + cx + 1 2 x + 1

© í-( a - 1 )dx

a 2 V a 2 + 2 x + 1

_ ^ 2 x 2 -2 x + lRpta. ------------------+ cA

dx ^ 1 , , 1 + t g A , 1Rpta. — l n ---- — +—senxcosx + c4 1 -tgx 2

/sen x + sen3 a

eos 2xdx n COSA 3 . . a/2 COSA-1 ,Rpta. —= ---------------------- ^ ln | —¡=--1 +c

V2 2V2 V2cosx + l

(óo) J a ( c o s 3 a 2 - sen3 a 2 )dx Rpta. ~ (sen x 2 + eos x 2 )(4 + sen 2x 2) + c

ídx

•\/sen x.cos 3 xRpta. 2^tg x + c

© j ¿X

3(1 - x 2) - (5 + 4x)Vl - a2

2-s/l + A Rpta. —= = — ------+ 63V1 + a - V I-x


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net


(63) Jcosec5xrfx:

_ A eos ec3x , 3 3, . . .R p ta .------ —---- c tg x - —eos ecxx: tg x + — ln | eos ecx - c tg x \ +c

(64) Jsec6 xdx Rpta. ^ * + ~ tg 3 x + tgx-fc

© fsen3x¿fcc _ 5 , 3 2—j Rpta. — (eos x-6)=ycos x + cVeos3 x

® fVl + x8 4 ^ ( l+ x 8):\ — ¿ ~ dx Rpta. K ——

© f f - = Rpta. —í ——- +cW J ^ /(x -l)3(x+2)5 + 23 Vx + 2

© f l N * ó --------- Rpta. 2arctg p ± 2 + cw J V2x + 3 3x2 + llx+10 \ x+2

© Í7 7 I

Rpta. H E Í I £ + ^ f ln| * ~ + ^ * + 1 1+ iarctg(2x + ^ ) + i a r c t g ( 2 x - 3 ) + c3 12 x - V 3 x + l 6 6

© |cosjc-senx

5 + sen2xdx _ 1 sen x +eos*

Rpta. — arctgf----- — — )+c

© í-y/l-x2

J V4 aresenx r/x

© J ^ í/x

tÍ ? - X 3

Rpta. - VO -* 2); aresenx l Inx3x‘ 6 x

-+c

2 x3/2Rpta. j arcsen(— yy) + c


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net


©

©

(cos 2x-3 )dx

eos4 x tg2Rpta. - ^ tg x(2 + tg2 x ) ^ 4 - c tg2 x + c

— X X Rpta. —(x + l)3/2 +“ [xV*2 +1 + ln(x + V l+*2 )] + cVx + 1 -V * 2 +1 ^

1 — eos x , „ ^ ^ ™ n cos(x/ 2)-dx, ()<a<x<7ü Rpta. -2arcsen(---- :—— ) + rcos a - eos x

x" aretg(x/¿?)dx

1 1 ^—-sen — dx x x

dx

eos(tf/2)

3 2 3r* x , . qx a iRpta. — aretg(x/¿?)-— + — ln(¿7_ + x’ ) + c-3 6 6

« 1 1 1Rpta. —eos--- sen —+cx x x

(x +1 )Vl + 3x + 3x2

_ 1, ,x + Vl + 3x + 3x2Rpta. — ln | ——---------------3 x V3

1 2%+3x+3x2 - Iarctg(--------- ¡=--------- ) -

1, (l + 3.t+3x ) Vl+3x + 3jc „— ln |---------- -— ------ --------- ---- + l|+ c6 x- *

Idx

(eos2 x + 4senx-5)eosx

Rpta. ln |( l- s e n x ) '/2(l+senx) 1/18(2-senx) 4/g[ +----- ------ + c6 - 3 sen x

^(1 + x~)~dx

x

Rpta. ln(x ++JC 2 n / ( l + X '' ) 5 - > / ( l X ““ ) 3 ^ 1 -f X ?

+ * 5x5 3x3 X+ c


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net


© f ‘ = Rpta. V2 arcig- ^ - 1 + c

® j x~dx Rpta. y-Jl+Vl + x +c

® ÍV2 + 3jc x -3

■dx Rpta. ->/3jc2 -7.V-6 + -]=ln |x —— + J x 2 x - 2 | +c2V3 6 V 3

dx

Rpta. 4 - 4x2 -12x + 8 - —(2x-3h/4x2 -12*+ 8 ln| 2x-3 W 4 x 2 -12x + 8 |+c8 8

(85) J e ' (c tg x + ln(senx))dx Rpta. ex ln(senx) + c

Rpta. ^ l n k 4" - l | - x + c

dxx5 +1

„ „ -s/5 ,2,v2 -(1 -V 5)x+ 2 , Vi O - 2^5 A x - d + j S )Rpta. - ^ - ln |— ;— ^ - | + - — arctg( , _ -) +20 2x2 - ( l + -\/5)x + 2 10 ^10-2^5

VlO + 2V5 #4jr-(l —v/5h+—------------arctg(—r-------v---' ) + c10 VIO + 2V5

® J 8sen2x.senx í /x

2 .5.2(20-4sen2r-19serr x)

4 tgx-16 5(tgx-4)'Rpta. —, (—-—£-----------+12) + 1283-Jüp- x -8 tg x + 2 0 tg2 x -8 tg x + 2 0 3(tgx-8tgx+20) 3/2 -t-r


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net


® r3xarcsenx , _ arcsenx 1_ x , . x + 1 n

[ 9 5 ]

r e ' ^ e 2' - 4 -2 e lx(ex + 2) 1 * f j ; ~I ----------------- . -----dx Rpta. —ln |f + 2 |—ve — 4+cJ /i 2

i

2(ex + 2 h f e ^ 4 2

(x2 + 3x)rfx

( a - l h / * 2 - 2 . V + 1 0

Rpta. Vv2 - 2.v +10 + 51 n|V.r2 - 2.v +10 + .r+11 + -1 n| — --- 2* + 10 3 |+t3 x —!

* x4 Vsen x + Vsen x + cos x ^ (x4 +1) cos xj

_ 1, . Vsenx +1 , ,¡ ------% a/2, , x 2 +V2x + i,Rpta. — In | . — | - arctgwsen r ) +---- In | —------------* | +2 Vsenx-1 8 x’ -V2x + l

+ arctg(V2x+1) - arctgfyfl x -1) + c

2-senx------+t*© f i l l — cosx dx Rpta. V3 + senxV2-scn x + 5 arcsen^-

® r cosx dx 1 , Vl + sen4 x - s e n x . 1 i l+sen4 x,L , , Rp,a- 4 ln' w, , -------- l + ’ arc,8lW H T )+ ‘'Vl + sen x ^ VI + sen x+senx - V scn x

f arccos. dx Rpta. x arccos - — ---- 4x - arctg V* + cJ V \ -t-1 V1 + x

® r Vl+i , „ V l+T 1, . Vl+<? -<■’ . 1 j / l + e >----- ----i/r R p ta .-------- ------ - l r | ------1 + - arctg(------ — ) -t- <J ** tf* 2 tfl-r*4' +<•' 2 Í'

© jV sen v + scn v dx Rpta. - Vsen1 r + sen a + arcscn -\/l - cos x +c


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net


100

©

103

©

105

106

®

108

sen v * C O S x - s e n x ,e --------- ---------dxc o s ~ X

Rpta. 'Veos2 x + eosx + aresen V i-eos y + r

Rpta. esenv(x-sec v) + ¿-

l - V x dx1 + =Vx -v

Rpta. 3[ln | V* M n 11W 1 - Vx |-aresen

(x2 +1 )dx

dx(x + a)(x + b)

Rpta. ln(x + í/).ln(x + fc) + c

(JC2 -l)V l+ .t4

1 , i + Vx4 +1 .RPta. — 7=ln|------- --------- |+ rV 2 x “ - l

e fc(tf»l+ t -fcO,M+2 , ,nv + 1—--------------- ¿x Rpta. ln(lnx + 2)— ^arctg(— p —)+c

é» ln j + í J3 -J3

x dx -v/x + 32x(x+3)1/2 - (4 r + 12)

senxtgx dxsen3 x~cos3 x

eos x(senx)7dx

— Rpta. — arctií t]x + 3 ----------- 1- c5.2 * 3 3

Rpta. ^ l n | t g 3 x-1 |+e

(1 + sen4 x)3 2Rpta. Vi + sen4 x +

i i+c

+ sen x

(x5 +2x2)(l + x ’>3 . 3 / 2 dx

,,_i ,x + a eos (-— )2

x - osen (—— )d x

2 i--- r 2Rpta. — -a/I+ x -----, +c~

3 3 ^ 7

R p ta .----- — (cos(— (scn(^—^)) " +c/ieos¿? 2 2


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net



109 Idx

i-JxA - 2 x 2 —1

(n o ) j ln (x2 - x - 6 )d x

1 x~ +1Rpta. — arccos(——y=) + c 2 x~ V2

Rpta. ln(—)(2x + l) + (2x-l)ln( 2 V x 2 - x - 6 2 x - 6 .— i-------- ) - 5 In 1 —= |- (2 x - l) + ¿2Vx~- x - 6

(m) J arccos ec^J^^rfx +Jx + 1 . r U - r ) 1'- ¿X

113

Rpta. x arccos ecJ — — —y/x + arctg-v/x— — I)6'* +c-V jf 24 x4

f ___ rfxeos3 xVsen2x

5x + 2V3xVÍ--3x

rfr

Rpta. — ijtg5 x(5tg? x + 1 l) + r

V2Rpta. -^ -(tg 2 x + 5)^tgx +c*

Rpta. — aresen *J3x - — sen(2 aresen ->/3x) + c 9 18

eos2 x

Rpta.. _ ^ + -*CQS X + 3 ln | Vi +3cos2 x +^/3 cos x|+ecosx

© J n(2x + 3)¿/x

(x2 +2x + 3)Vx2 +2x + 4

D , . ,-\/jc2 +2.V+4-1 1 J l(x^+ 2x + 4)Rpta. ln[ - — | — — arclg(---------- ------- )+ rV x2 + 2x +4 +1 ^2 x + 1


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net


© í

3jt , x ,vnxRpta. arctg(í? - e ) + c

■\¡\ + e ' +"\/l— fc,J

„ . e ' ' , £ 7 T> 1 , . ('v/l+e' -1)(1—■ ) ,Rpta. — — (VI + e - VI -<f ) + - ln | -------— --------------- | +c2 4 N l+ e ' + \ ) ( \+ J \ -ex )

© Deducir la fórmula de recurrencia de la siguiente integral:

Í .n ux t „ ^ W fX € U X " / M i

tí

(l2o) Deducir la fórmula de recurrencia de la siguiente integral:

f xw¿/x x n~1 r 7 w-1/n = ¡----V " ------- +--------------- í *’*

J Vi~x2 ” ”

^21^ Deducir la fórmula de recurrencia de la integral:

I n = sen* dx = - x tl eosx+ nxn senjc-//(j?-l) / w_2

(*22) Deducir la fórmula de recurrencia de la integral:

I„ = fx^ í j r+f l í ' i fe ----- ----- [xH(x.+a)n*1J m + n + 1

123) Verificar la fórmula de recurrencia de la integral:

r C n . eo s"1*sen n - \ C ,/„ — eos x dx = -------------- +------I eos ~ x dxJ n n *

^124) Verificar la fórmula de recurrencia de la integral:

r „ sec,?2xtgx n - 2 r ,sec x d x - ---------------- v------ sec “ x dxJ n - 1 w - l J


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net



r „ , cosec” 2x r lg x n - 2 f #l ? ,cosec x d x - ------------------— + ------ coser ~x dxJ 11-I —1 J


¡:; = f / lnm x d x = — [xw+l lnm x - — f x n l n ~ x d r ] , n # l J n + 1 n +1 J

121) Verificar la formula de recurrencia de la integral:

r sen x , sen x 1 r eos x ,/„ = ------ d x - --------------r +----- ----: dxJ x” (H-l)jc" 1 « - 1 J.V” 1

^28) Use la integración por partes para deducir la siguiente fórmula.

J tg" x dx = - J tg"~2 x dx. n > 2

^29) Hallar una fórmula de recurrencia para

.2 |*1 2/„ = x ne * dx , n> 0 y aplicar dicha fórmula para calcular I e ' x

Jo Jo

(l3o) Deducir una fórmula de recurrencia para J v4 lnw x dx y calcular x4

© Verificar:

a) I H = J l n " x dx = xínn x-ní„_l b) In = J xnexdx= x1

x ! í \ 2 2k» j x(a2-X2)" 2ncrc) /. = (a ) dx=------- - --- +-----J 2n + \ 2n +1

r x"dx x" 1 l~> «-1 .d) /„ = i = ---- - = ----- V a r + a --------/„ .2

J Vx2+o » ”

'dx

ln3 x dx

e* - n i „ ,


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net


CAPITULO II

2 . I N T E G R A L D E F I N I D A . -

En este capitulo expondremos la teoría de las sumatorias, que es necesario para el estudio de la integral definida y que en el siguiente capítulo será utilizado en diversas aplicaciones.

2,1 S t M Á T O M ^

A la suma de los n números ax,a2^..,an es decir; ax + a2 +—+a„ , representaremos por la notación:

. . ...... v ... ....................« w- ’

t+-#2 + iry + Ctft

donde el símbolo ^ se llama signo de sumación y es la letra sigma mayúscula del alfabeto griego.

Generalizando: Consideremos m yn dos números enteros de tal manera que m < n, yn

f una función definida para cada i e Z donde m < i < n, luego la notación ^ f ( i )i ni

nos representa la suma de los términos f(m), f(m + 1), f(m + 2 ) , . . f(n), es decir:

donde i es el índice o variable, m es el límite inferior y n es el límite superior.

i 6 3 4 5 6Ejemplo.- Si /(/) = — , entonces Y f(i) = Y ~^-; = ~ + - + - + - + -

/ + 1 r i i + 1 3 4 5 6 7i-1 i~2


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net

Integral Definida 269

Ejemplo.- Sí f(i) = eos ix, entoncesn n

^ /( i) = ^ e o s ix = eos v + eos2x + eos3x +...+ eos#ix 1=1 i=i

nObservación.- En la sumatoria ^ / ( / ) , existen ( n - m +1) términos los cuales

i-tnson f(m), f(m+l), ffm+3)..... f(m + (n — m)), en particular, si m = 1

ny n > 1: entonces en ^ /(/') exiten n términos: es decir:

X / ( 0 - / ( l ) + /a > + /(3)+,,.+ /{«)

2 4 4 PROPIEDADES DE LA SIJMA í ORIA -

Sean f, g funciones definidas V i g Z. k constante.

h n0 Y j k = k" © =( / / -w + 1)A-

; 1 i-#w

/i n n »© £ * / o ) = * X / o •) © 2 ] ( / ( i )± íí(o) = 2 ] / ( i )± x «(í)

*=1 i 1 í-1 i=l i-l

© í > > = ! > - < > © ¿ . / ( / ) = X / ( / + c )i a i—a-*-c i-a i=a+c

_ «© ^ ( / ( / ) - / ( / -1)) = /(;;) - /(O) (Ira. Regla Telescópica)

»1

© Z ( AO - / ( / - 1 ) ) = f {n ) - f ( k - 1) (Ira. Regla Telescópica Generalizada)i k

_ »( 9) ^ ( / Í l + D - A (/-l)í= + D + f(ii)“ / 0 ) - / ( 0 ) (2da. Regla Telescópica)

1 1


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net

ío) Y j </<' + 1)-/('-!)) = ./ (« +1) + A » ) -./ (A) - / (A -1)i i

(2da. Regla Telescópica Generalizada)

Ejemplo.

40(T) Hallar el valor de £< 72771 -V 2/-1 )

I ISolución

Mediante la regla Telescópica se tiene: /( /) = V2/TT => / ( / - l ) = V 2 /-I

40(V2i + 1 - V 2 / - l ) = ./(40)- /(()> = ^ 8 T -1 = 9 -1 = 8

1-1

© 100 . ]Calcular el valor V (---------)

t f 'Solución p(r^ r ,

V I/Mediante la regla Telescópica se tiene: f(i) = —— => /(/) = -

i +1 í

40 1 1 . 1 1 , ____ . 1 .. 100Z ( - — — ) = ~ y (—— i )= -< /r(ioo)-AO)) =-<— 1)=i / +1 " i + l / 101 101I 1 1-1

2.1.2 FORMULAS DE LA SUMATORÍA,-

te, 2

£3 ) V 7* - «~(h + 1); ^ ^ .4 _ «(« +l)(6n* +9« 2 +n -1)

#*i /-i


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net


Demostraremos las dos primeras fórmulas, las otras dos dejamos para el lector.

Q y 1 / = 1 + 2 + 3 + ... + ( w - 3) + ( / i ~ 2) + ( w - 1) + /j

í=i

n=w + (j?-l) + (/í-2) + ...+ 4 + 3 + 2 + i

/-i_________________________________________________ sumando

n2 ^ T / = (/? + 1) + (i# + 1 ) + (/ ? + 1 ) + . . .+ (/ i + 1 ) + ( n + 1 ) + (/ i + 1 )

i 1n

en el segundo miembro se tiene n términos (n + 1) por lo tanto 2 ^ / -;?(m + 1)i 1

y . _ n ( n +1)

A t r ' = 2

otra forma de hacer la demostración es aplicando la regla telescópica.

n

y > + l)2 - r ) = /(/i) - /(O) donde /( /) = (/ + l )2i i

ri^ [ ( / + 1)2 - í 2] = ( / i+ 1 )2 - 1 , Simplificando la expresión dentro del corchete se tiene: í=i

n

+li + l - i 2) = n2 + 2ni l

n n2 ^ / + ^ l = / r +2;/, de donde 2 ^ i + n - n 2 + 2n

í-i í=i í-i

*> w (#f + l )2 / i ~ + /i , entonces > i = ---------i i .=1 2


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net


Para demostrar y V = n n + ^(2n + l) ap^camos reg|a telescópica. 1=1 ®

n

£ [ ( / + IIa - Í 31=/(« ) - / ( O ) . donde /(Í) = (| + 1)3Í=1

TI

^ [(/ +1)3 - / 3 ] = (n +1)3 -1 . simplificando la expresión del corchete se tiene:7 = 1

n^ ( r 3 + 3/2 + 3/ + l - i 3) = (w + l)3 -1 , por propiedad de sumatoria se tiene:/=i

3 ^ i 1 + 3 , + y , l = (n + l)3 —1, reemplazando por su equivalencia1=1 1=1 «=i

’’ .2 33 ^ / '2 + — n(n +1) + n = (n +1)3 -1 , transponiendo término /=i 2

3 n(n+l)(2n + l)3 ^ i 2 - (h + 1)3 - ( h+1)——w(n+l)/-i 2 2

, V -3 w(w+1)(2#1 + 1)Por lo tanto: ¿ Z ------ ------

® Para demostrar ^ i3 = n ^ + ^ t use la regla telescópica. Sugerencia.í=i 4

^ [ ( /+ 1 )4 - / 4] = / ( « ) - /.(O) donde /(/) = (i + l)4 1=1

© De igual manera para demostrar.

.4 /í(w + 1)(6/j3 +9w2 +/í-1) , . , .2_¿l -------- -------------------- » u s a r r e 8la telescópica, sugerencia.

3<>


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net


^ [ ( / + l)v- i >] = / ( « ) - / ( 0 ) . donde /(í) = (/-rl)si i

Ejemplo.-

(T) Hallar una fórmula para la suinatoria ^ ------ -------w “ (/ + !)(/-1)!

Solución

Multiplicando numerador y denominador por i, es decir:

h i « - w n - . n . .1 _ y^ / _ y^ / _ y-» / +1 -1 y* / + ! 1“ ( / + 1 ) ( / - ! ) ! ~ “ ( / + l ) / ( / - l ) ! ^ 0 + 1 ) ! “ f ¡ * ( i + l ) ! ( / + 1 ) ! ~ ( / + 1 ) ! )

_ y* 1 1 1 1 1 (// + !)!—!“ il íi+1)! “ 0 + 1)! /! ( (// + !)! * (// +1)!

••• ? 3 7 -

[a + !)!-!j - f (i+ 1)(/-1)! (/# + !)!

_ "(Y) Hallar una formula para la sumatona ^ ln(/)

i 1

Solución

Aplicando propiedad de logaritmo se tiene:

ny^lnfí) = lnd) + ln(2) + ln(3) + ...+ln(w) =ln(1.2.3...n) = In(w!)■ i

nY i n « ) =ln(//!)/-i

( 3) Hallar una formula para la sumatona ^ sen(/x)


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net



Solución

A + B A - BUsando la identidad: eos A - eos B = -2sen(—-—)sen(—-—) ... (I)

de donde haciendo la sustitución se tiene:

A + B .------- = I X2A - B — x

A + B = 2/x] A - B = 2x


A = ( i+l)x ; B = ( i - l ) x - . (2 )


cos(z + 1)a* - cos(z - 1)jt = -2 senixsen x , aplicando sumatoria a ambos miembros:

1y[cos(i+l)jc-cos(/-l)A ] = -2 sen A y sen áí-i

y mediante la segunda regla Telescópica se tiene:

neos (/i +1) + cos( n) - eos x -1 = -2 sen j c ^ sen(/x), despejando ^ sen(/.v) se tiene:

/-i

Z _ 1 + COS JC “ C O S (/ÍX ) - cos(w + l)xSCUIX ~ 2 sen ,vi i

í-i í i

© Hallar una fórmula para la sumatoria ^ i.in

!i-1

Solución

Aplicando la Regla Telescópica se tiene:

n^ [ ( / +1)!-/!] = /(»■)-/(O ), donde f(i) = (i+l)!í 1


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net



Simplificando mediante propiedad del factorial la expresión dentro del corchete.

n n^ (/! (/ + !) — /!) = (// +1)!—1, de donde ^ (/./!+/!-/!) = (n +1)!—1*=i í=i

n

por lo tanto ^ /./! = (n +1)!—1r=i

_ » ( 5) Hallar una fórmula para la sumatoria 5'

1=1

Solución

Mediante la Regla Telescópica se tiene:

^T(5í+1 - 5 ') = / ( n ) - / ( 0 ) donde /(/) = 5'I 1

¿ ( 5 . 5 ' - 5 ' ) = 5 - ' - 5 =* ¿ 4 .5 '= 5 ( 5 ’ - l )1 = 1 1 = 1 * *1 ^

w(ó ) Hallar una fórmula para la sumatoria ^ senh(9/x)

/-i

Solución

Mediante la segunda regia Telescopica se tiene:

n^ [cosh 9(/ +1 )x - cosh 9(/ — 1)jt] = cosh 9(/# + 1)* + cosh(9/u) - cosh(9x) -11=1

2 senh(9x)^ senh(9wc) = cosh 9 (// + l)x + cosh(9wx) - cosh(9jc)i-i

ny senh(9/x) -i i

cosh 9(// + 1)jc + cosh(9«jc) - cosh(9A ) -12 senh(9x)


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net



2 M EJERCICIOS PROPUESTOS

I. Hallar el valor de las siguientes sumatorias.

S>9© z ii\2l Rpta. 4950ln2

10Ü . j

© Z 1”« ^ RP'a- ' " f e *1=1

20® ^ 3 / ( í 2 +2) Rpta. 133,560

»=1

25@ ^ 2 i ( / - l ) Rpta. 10.400

1=1

1U0(5 ) ^ sen21 (2jc) Rpta. tg2 (2x)(l - sen200 2x)

í~i

3

í=2

25

í=14

634

© Z t p t RP'»-í=0 z z

® S ^ - Rpta' WÍO)2" 32

50® ]T (2 ;2 +Í-1) Rpta. 85359

¡2 ) R p ,a ' T i1=1


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net


Integra/ Definida 277

II. Hallar la fórmula para cada una de las siguientes sumatorias.

Rpta. 2 - 2 + n2“

©1=1

1=1

W

Rpta. («-1)2" +1

Rpta. in(n +1)!

Rpta. ^ 2 n + 1 -1i=i

© t“ (4í -3)(4/ +1)Rpta. 4 ti

4tf + l

© X a'-” 1i=i

Rpta. q(l —/•*') 1 —r

©tel vi +1

Rpta. ■V/i+i - i-v/n + l

y 2' +i(i + l)W h l ' - ' d U n

Rpta. 1 1 12« + 2 2n-l

i=i i 0 + 1)Rpta. n(n + 2)

(h + 1)2

® ¿ Ate2 ‘ — 1Rpta. 3 2/7 + 1

4 «(» +1)

© ^2* ln(i')[ln(l +/)1*1 ]•vl+i • Rpta. 1 121n2 (/# +1) ln(/i +1)


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net



12) £ ( V 3 7 7 ) 'í=i

Rpta. V3+I[(3 + -r)n,2- l ]4 3 + x - l

n i

y — 1—t ? 2 / 2 +6/ + 4Rpta. /i

4(// + 2)

w ix — -m - n/

Rpta. n2n + \

15) £ ( 2 / - l ) 2i=i

Rpta. w(2n-l)(2» + l)

¡í> Z“ (a + / -l)(a + /)Rpta. «

a(n + a)

Rpta. «3n + l

.2

(2/ + 1)(2/—1")Rpta. w(n + l)

2(2« + 1)

© Z Rpta. h2 +3h + 3 2(h + 2)(w+3)

S> L£ flo g 0(22').log0(22,+2)Rpta. ----- — — (—------ ----)

(logfl 2)- 2 2(m + 1)

2Í) Z s en2,(2jc)1=1

Rpta. tgz jc(l-sen2w(2x))

( 22) cos(3/jc)1=1

Rpta. sen(3(w + l)jr) + sen(3/ur) - sen 3jc 2 sen x


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net



® y-> tgh(l 9ix) R ta cosh 19(n +1) + cosh 19tix - cosh 19-1“ senh(l 9ix) ** 2senh(19jc)

n i

& zí l

e -(3 sen ¿7 cosa) 1

H i 7Rpta. e[(e / 3)" -1] sen 2a[(sen a.cos a)” -1]

e - 3 sen(2a) - 2

25) ^ eos1 2x1=1

Rpta. senn+1 (2x) 2"+1 sen*

eos IX

í=1Rpta.

.2/1 + 1sen(-------x)_____ n

2 sen(^)

v p 2' + 3*'

.=1 6Rpta. ( | - 3 " - 2 n+1)

& zi n 'o + i)o 2 + 5/ + 6>Rpta. tt2 +3« + 3

2(w + 2)(w + 3)

29) y - - - - - - - - - - - - - - -(i+x)(/ + x + l)(/ + x + 2)

Rpta. rt(2x + rt + 3)2(a + x +1 )(n + x + 2)(x + 2)(x +1)

9 z 10,-_.j 24 + 10/ — 25/

1 1 5 Rpta. ------- +------------5>j + 4 5 /j- l 4

S> Z '-2‘ Rpta. (n -l).2”+1 +21=1

@ ¿ c o s 2 , 3 x

í-1Rpta. c tg2 3x.(l - eos2" (3x))


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net


III. Hallar el valor de n para que:

® ¿ ( 2 + / 2) = ¿ ( l + /2)1=1 1=1

_ 2 > . .Si x = — — , demostrar que: ^ (x ,- - x ) 2 = ^ x j - x ^ x¡

n n

n 1=1 í=i i=i

,/IXn sen(— ) _ j(T) Demostrar que: ^ c o s (x 0 + (k-\)x) =------— sen(.v0 + —— x)

*=i sen(y) 2

( 4) Demostrar que V ’ arctg[------ ------] = arctg(n(n+l))*=1 W * + n

© Demostrar que: f -----------------i--------------. +w “ cos[x + { k - 1) j ] cos(x+ ky) sen y

2,2 CALCULO DEL ÁREA DE UNA REGION PLANA SÜMATOR1AS. . ' -■ ~ '________ -

2.2.1 m ÉARTIClÓNDE^NJNTÉRA'Al^'ifeERRABG.--

DEFINICION.- Consideremos un intervalo cerrado [a,b] con a < b, una partición del intervalo [a,b] es toda colección de puntos P = {x0,xx } c: [a,b\ de tal manera que:


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net


OBSERVACION.-

Toda partición P de [a,b] divide al intervalo [a,b] en subintervalos [*,-1.* ,] , i = l,2,..,n.

© A la longitud de cada subintervalo [jca-_!, jc,-] para i = 1,2,...,n denotaremosn

Afx = x¿-Xi_i donde i = 1,2,..ji y se cumple Afx - b - a

© Cuando las longitudes de cada subintervalo tiene la misma medida, se expresa en

la forma At = - —- , y en este caso se dice que la partición es regular donde los ti

extremos de cada sub-intervalo es:

jc0 = a , xx = a + At , x2 = a + 2 A t x¡ - a + iAx , V i = 0,1,2,.. .,n

© Al número | P |= maxfr,- - x M / i = 1,2,...,«} le llamaremos norma o diámetro dela partición P y que es la mayor de las longitudes A,x.

1 3 9Ejemplo.- Dado el intervalo [0,3] y la partición P = {0,—,1,—,23,—.5}4 2 2

Calculando las longitudes A,x, es decir:

A,x ———0 = — , A2x = 1——= —1 4 4 2 4 4

3 , 1 A O 3 1A,x = ----1 = — , A4x = 2 ----2 2 4 2 2

A5x = 3 - 2 = 1 , A6x = —-3 =^-2 2

Avx = 5 - | = |2 2

3Luego se encuentra que la norma de la partición P es \P\= —


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net


Ejemplo.- Dado el intervalo [a.b] con a < b, y la partición regular^ _q

P = {x0 = a,xx%x 2.... xn ~b\ donde x¡=a +------ 1 , i = 0,l,...,n

x0 = a , x „ - b entonces Alx = x/ -jcm =b - a

n

b -an

a = x, xn = b

y la norma de la partición P es | P |= b - an

m w w m m m w m /m w m

Sea f: [a,b]-----> R, una función continua y positiva (f(x) > 0) en [a,b], sea R laregión plana limitada por la gráfica de la curva y = f(x), por el eje X y las rectas x = a, x = b.

(llamada región bajo la gráfica f de a hasta b)

Una aproximación por defecto, se puede hallar el área usando una serie de rectángulo inscritos, es decir:


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net


n y

Como f es una función continua en [a,b] podemos elegir una colección de puntos

, ¡x2.... Vn en los n rectángulos de la partición P = {x0,xx } tales que:

f ( j j {) es el valor mínimo de f en [x0,jq ]/(a¿2) es va or mínimo de f en [xx , x2 ]/ ( A*3) es el valor minimo de f en [x2, x3 ]

/ ( ) es e* valor mínimo de f en [x„ ¡,x„ ]

Luego los n rectángulos construidos cuyas bases son los sub-intervalos de la partición P y cuyas alturas son respectivamente.

Las áreas de estos rectángulos son:

f { p l )Alx,f( iu2)A2x,...,f(fin)Anx , respectivamente aproximamos por defecto el

valor del área A sumando las área de los n rectángulos inscritos.

A>AX +A2 +...+ An = f ( n l )A1x + ...+ f(n„)A„x


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net



a la suma que nos dio la aproximación por defecto el valor del área A se denomina suma inferior de la función f correspondiente a la partición P del intervalo [a,b], ahora calcularemos el área de la región R en forma exacta, mediante un proceso de límite, es decir:

nA > y / ( ¡¿i aproximación por defecto

í=in

A=lim Y fiHi)A/Jt, valor exacto«-♦00 1=1

Como f es una función continua en [a,b], podemos elegir una colección de puntos Vj, v2 V..,v„ en los n rectángulos de la partición P - {x0 ,xx ,x2 } tal que:

/(v j) es el valor máximo de f en [x0, ]/ (v2) es el valor máximo de f en [xx ,x2 ]

f (v„ ) es el valor máximo de f en [xnA ,xn ]

Luego en los n rectángulos construidos cuyas bases son los sub-intervalos de la partición P y cuyas alturas son / (vx), / (v2 / ( vn) respectivamente y las áreas de

estos rectángulos son /(v 1)A1x ,/(v 2)A2x,...,/(vIJ)AMx respectivamente

aproximaremos por exceso el valor del área A, sumando las áreas de los rectángulos circunscritos.

En forma similar se puede aproximar el área por exceso, usando también una serie de rectángulos circunscritos.

▲Y


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net


A < A} + Aj +... + An

A < f( \ \ )Ajx + /(v 2 )A2x +...+ f(v„ )Á„x

, aproximación por exceso

nA = lim y f(v¡)A,x, valor exacton—>oc. ' i=l

a la suma que nos dio la aproximación por exceso el valor del área A se denomina, sumas superiores de f correspondiente a la partición P = {jc0 , jcj } del intervalo

[a,b].

A la sumas inferiores de f denotaremos por:

y a las sumas superiores de f denotaremos por:

Luego L(P,f) < A < U(P,f), por lo tanto para el cálculo de las áreas mediante rectángulos inscritos y circunscritos se tiene:

donde Ar = - —~ y ct =a + ¿Ax n

Ejemplos de Aplicación.-

© Hallar el área de la región acotada por y = I x 1, el eje X, y la recta x = 2.

Solución


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net


v = f ( x ) = 2x2, x e [0,2]

* 2-0 2 A 2Ax = ------= — => Ax= —n n n

además c¡ = a+ iAx

„ 21 2 i c¡ =0 + — = — n /i

2/. Sí-Como / ( x) = 2jc2 => / ( t , ) = / ( —) =

Luego A(R)= lim ^ /'(c, )Ax = lim y ——

1= 16 lim — y / 2 =16 lim — .1 n(n + l)(2n + l)

8 „ 1 « 1, 16 : - / /m (l+ -K 2+-) = —3 n—*oc n n 3

© Hallar el área de la región R acotada por la gráfica de y = x + 1 al eje X y las rectas x = 0, x = 3.

Solución

y=f(x) = x+ 1, x e [0,3]

* 3 -0 3 A 3Ax = ----- = — =r> Ax = —n n n

además c¡ = a + iAx

X n 3Í 3iCi =0 + — => Cj = —n n

f


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net



^ • T 'Como f(x) = x + 1 => f(c¡) = f ( — =) = —+1

n n

w •%. n q .

Luego A(R) = lini y jT(c. )Ax = lim ^ (—+1)— = lim (— + —)11 ** fY w 7^ w w ”‘*t' 7T n n

r9(w +1) r9 „ 1 „ 9 , 15 9= /wj[---------+ 3] = lim [— (1 h— ) Hb 3] — —h 3 = — u~n ** 2n *-»*■ 2 n 2 2

A(R)=— u 22

Q ) Hallar el área de la región R limitada por la gráfica de la curva y = x3 + x + 3, el eje

X y las rectas verticales x = -1, x = 2.

Solución

y - f ( x ) =jc3 + x + 3 , x e [-1,2]

A 2 - ( - l ) 3 . 3Ax = --------- = — => Ax = —n n Ti

—»> Ci = a + /Ax = - l + — X n

3 i 3 iComo f(x) = x3 + x +3 . entonces /(c ,) = (- l +—)3 +(-1 + —) + 3n n

r, . 27 .3 27 ,2 12 . ,/ ( c , ) = ^ - i — =-i +— i+l

n n 2 n

A(R) = lim ¿ / ( c . ) Ax = lim - - j ' 2 + ~ ' + 11~1=1 1=1

3.27 m2(m + 1)2 27 n(n+l)(2n + l) 12 w(n+l) .= lim ~ [— -------------------------------------------T — -b------ ¿+ — , - ^ - ^ + n ]

«-*« n n 4 n 6 n


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net



3 r 27 (n + 1)2 9 (h + 1)(2/i + 1) , v .= hm - [ — ----- ------ ------- -------+6(w + l)+n]»-»** n n 4 2 n

27 1 i 9 1 1 1= Um 3[— (1 + - ) '2 - i- (1 + —)(2 + - ) + 6(1 + - ) + !]

n 4 n 2 n n n

~ 3[— (1 + 0 )2 (1 + 0)(2 + 0) + 6(1 + 0) +1] = 3[— - 9 + 6 + 1 ] = 2ÜÍÜ = — U24 2 4 4 4

/. A(R) ~ — u 24

(7 ) Dado la región R acotada por las curvas 2y=(jt-2)z, 2y = (x + 2)2 , 2j> = -(x ~ 2 )2, 2y = ~(x+2)2 . calcular su área.

2y = (x-2)2y = ( x + 2 )

Solución

2y = - (x + 2 ) 2y = - ( x - 2 )

Grafícaremos la región R.

En la gráfica se observa que existe simetría con respecto a los ejes, y al origen de coordenadas, entonces es suficiente encontrar el área de la

x región R¡ y multiplicarlo por cuatro es decir:

nA(R) = 4A(R¡) = 4 lim y / (c¡)Ax, donde

n-K* 1=1

(x -2 )2 2 - 0 2 .v = A*) = ------ — , xe[0,2] y Ax = ------= —, ademas2 n n


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net



/ ( c , > = | [ ^ - 8 - + 4 ] = 2 [ i l - 2 - U l ]2 r¡~ n h- «

« .2 -»■i 2/ „ 2¿(Ä) = 4 //m Y f(ci )Ax=4 lim Y 2[ — - — + 1]- ”-”r ~ w" w w

_ 1 /?(/! + 1)(2/1 + 1) 2 n(w + l) /i,= 16 //«[— ,--------------- -L + - ]« -** /i 6 /i 2 n

= 16 lim [— (1 + —)(2+—) - (1+—)+ 1] »-»«■ 6 n n n

16¿(l+0)(2 + 0 )-(l + 0) + l] = 1 6 ¿ = V6 3 3

Dada la región R acotada por la recta y = mx, eje X y las rectas x = a, x = b, b > a > 0, Hallar su área de R.

Solución

Ubiquemos la región R.Como f(x) = mx, x g [a,b]

b - aEntonces Ax = ■n

b - a .c¡ - a +------/n

v m(b-a) .f(C¡) = ma +----------- /n

A(R) = lim y /(c, )Ax, ahora reemplazamos por sus valores correspondientes.1=1


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net


= lim m(b-a)[a + - —— ( I = m(b~a)[a + - —— ] = m(b-a)[a + ] «-►* 2 / i 2 2

= ni2 1.2 £7 — U A(R) = ( b 2 - a 2)

(ó ) Dada la region R acotada por la curva. / (x) =x “ , x <3

-j6x-x~ , x>3 el eje X y las rectas x = 1, x = 7. calcular su área.

Solución

iYi 9 \\\ y\ y = x

\ \ s

i 111J \ y = 6 x - X '

/ h \/ 1 /* \1 1 / i n \

/ ! 2 \i Jám \ j .0 if1I5

¡ 1 3 1 x! I R 3

Haremos la gráfica de la curva f(x)

Sí x< 3 => y = x 2

Si x> 3 => y = 6x—x 2

El área de la región acotada lo calcularemos en tres partes.

Calculamos el área de la región Ri .

A(Rl)= l i m ^ f(c¡)Ax, donde f ( x ) = x 2. x e [1.3]M-*oc i=1

A 3~ l 2 ‘A 1Ax = -----= —, c¡ = a + /Ax = l+ —n n n

r, * yvi 2i\ „ 2/\ 2 , 4 . 4 .2/(^■) = / ( l + —) = (! + —) = l + - i + —-1n n n n 4

w—>VT’ 1-1 n t r n “ i r “ /r

2/i 8 /?(/* +1) 8 /?(/* + l)(2/i + l)- hm[— +— .— -— +— *---- ---- Jn n~ 2 n


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net


= lim [2 + 4(1+—)+ —(1+—)(2+—)] =2 + 4+ — = — n 3 n n 3 3

/ J ( ^ ) = y H 2

Calculando el área de la región R2

n

A(R2)= lim y / (c¡) Ax , donde /(* ) = 6jc-x2, x € [3,6] i=i

* 6 -3 3 -a o 3/Ajc = ------ = — , cf = a + ilüx = 3 + —n n n

3/ 3/ 9/ (q ) = 6(3 + —) - (3+—) 2 = 9 — — i 2 , entonces se tiene:/? n n

A(R2) = lim Y ( 9 - 4 ' ) - = 27 / / « [ ¿ ( I - i l ) ] =27 / « « [ Y I - V - L / 2]«—>ÜC1=1 « w n_w“ ” «

, 1 n(« + l)(2n + l), r, 1 ,, 1 1,' / i w[l— =27 lim[1— (1 + -X 2 + -; «-»« w3 6 »-»“ 6 n n

= 2 7 (l- l(2 )) = 2 7 ( l - i ) = ^ = 18 /1(/?2) = 18M26 3 3

Para calcular el área de la región /?3 se observa que la región se encuentra debajo del

eje X, en este caso se toma el valor absoluto.

H

A(Ry)= lim y f(c¡)Ar, donde f (x ) = 6 x - x 2, x € [6,7]n>cc 1=1

f(Ci) =6(6 + — ) - ( 6 + — )2 = reemplazando se tiene:n n n n


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net



« I H Hm ¿ ( - ® - 4 ) ì | . -!,,>]

6 n(n +1) I n(/i + l)(2n + l) 1 1 1 1= hm[ ~ . — -— +— .------- 4------- i] = lint [3(1 + —)+ —(1+—)(2+—)]n--»* ff- 2 « ' 6 »-»* n o n n

^ ( ^ ) = 3(l + 0)+^(l+0)(2 + 0) = 3 + i = f 6 3 3

••• / f | í , ) = y K 2

Como /4(«) = /!(/?, ) + /l(/?2) + /4(/?3) = 18 + y + y = 18+12 = 30

©A(R) = 30w2

Calcular el área de la región R limitada por las gráficas de j = ex, x = 0, x = l y el

eje X.Solución

Graficando la región R, sea f { x ) - e x, x g [0,1]

1-0 1Donde Axn n

c¡ =a + / Ax =0 + —= — n n

+ f(Ci) = et/n, entonces el área de la región R es:

= /iw y f (c,) Ax = fíw y el , n = /íw — V*B-M* ^ n >a' n n-*v. fi

...(1)

Calculando la suma ¡T e* ln aplicando la regla Telescópica.í=i

¿ [ ( e 1'" V - ( e Un >M ] = / ( » ) - /(O)*=i


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net


Y J[ei ,n - e i,n* ìln) = (eVn)n - \1=1

n lin -i n 1/n /y e " . ( £ _ l , = e - t . de donde Y «*'• = / U ...(2 )¿ —f 1 n ¿—t Am i, i e I=1 e -1


11 rt / IV « 1 int e n(e- \ ) 1 eA(R) = iim , }- = (e- \ ) Iim ----- )«-»oc fi e —\ »-»« jj ^ —1

Sea r = —, de donde n -----» ao, z -----> 0n

1 e1/n *ezA(R) = ( e - 1) lim — (——------------------------------------- ) = lim-= (<?-!)lime Jimn-Kc ft £ ¡n —1 r->0 £>z _ 1 ï—>0 z-»0 -2 — 1

: (e -1) lim -!- = (g - 1)«;z—*0 £> A(R) = (e-l)u

Calcular el área de la región R acotada per las gráficas de y = 2-Jx, eje X y x = 0,

x = 9.Solución

En este caso, por comodidad tenemos como variable independiente a la variable y, es decir: *


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net

v2 V2f (V) = -— pero la región está limitada entre las curvas f (y) = -— , g(y) = 9 y las4 ' 4

rectas y = 0, y = 6

El área del i-esimo rectángulo esta dado por [g(r/) - f(z¡ )]Ay, por lo tanto el área de

la región R esta dado por:

W / A / •

A(R)= lim A v 'y [(g{=¡) - / ( - , ) ] donde Av = ------= — y zf =0+/Ay = —»-»(r ‘—f n n n1=1

9 iComo g(zt ) - f ( z f ) = 9 — —i “ se tiene

n

a/m /• 6 V"/n 9 -2v , 6 r 9 «(/í + l)(2/* + l)A{R) = hm — / (9— - i ) = hm ~[9n-------------------------]n~*u n " h 2 »-><» n n2 6

= Jim 6 í 9 - |a + - ) ( 2 + - ) ] = 6 Í9 - |(2 )] = 36 u22 n n 2

® Calcular el área de la región limitada por la gráfica de f(x) = sen x, en x e [0, y ] .

Solución


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net


i n nn , iY n1 + eos----- eos------- eos (n + 1) —

= Um — (-------- 2»-------- 2n-------------- 2» }2 /7 0 7T2 sen —

2n

t ^ n 1 V ^1 + COS-------- COS----------C 0 S ( 1 + — ) — , , n 'I

- # « _____ 25_____2-¿ 2 „ 1 1 1 ^ 0 , 2 =12(1)» 7T2 sen —

____ 2n_7r

l ñ

@ Calcular el área de la región bajo la curva f(x) = senh x, en [0,1]

Solución

cosh(« + l)—+cosh(/i.—)-cosh—-1 .lim[------------- «---------- JL----------« _ ] In~*v . 1 f}2 senh-

n

cosh(l + — ) + coshl-cosh-—1 ~l im ---------- a------------------- = -Zc- S h 1 - - = (coshl

, 1 2 senh—

A(R) = h r

I ) u 2


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net


2.5 SUMAS SUPERIORES Y SUMAS INFERIORES -

DEFINICION.- Si Px = {x, / / = 0,1.... n} y P2 = {*1 ^1 ~ 0J .....son dos

particiones de [a,b] tal que Px c P2, ósea que cada punto de división

x, de P{ es también un punto de P2 entonces a la partición P2 se le llama un

refinamiento de la partición Px entonces || P2 II < || Px ||.

Ejemplo.- En el intervalo [1,7] la partición:P2 = {1,1.5,2.23,3.5,3.8,4.2,4.7,5,5.5,5.9,6,6.5,7}

es un refinamiento de Px ={1,2,3,4,5,6,7} puesto que Px c:P2 además

II P\ 11= 1 -2, || P2 || =0.8

DEFINICION.- Si f: [a.b]-----> R, es una función acotada sobre el intervalo [a,b], esdecir, que existen números m y M tales que m< f(x) <M,

V x g [a,b] entonces dada una partición P = {x0,x ,.... x„} de [a,b].

Se define el número /wl/ = inf{/(jc)/xe[x,_1,xI], i =1,2,...,/?} denominando

ínfimo (o mayor cota inferior) de los valores de la función f para el intervalo [x,-i,*i] y M t f = aup{/(x)/ x g[xM , x, ] | se denomina el supremo (o menor cota

superior) de los valores de la función sobre el intervalo [xM , x, ].


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net

3 5Ejemplo.- Dada la función / ( x) =x3 -1 , x e [1,3] y la partición P = {1,—,2,—,3}2! <2*

entonces:

M l ( / ) = sup{/(x) / x e[x0,Xj]} = sup{x3 -1 / x e [1,^]} = s u p [ 0 , ^2 o o

w, ( / ) = inf{/(x/x e[x0,xj ]} = inf{x3 - l / x = inflO,^] = 0L o

M 2( / ) = sup{x3 - 1 / X 6 ¿ ,2]} = s u p [^ ,7] = 72 o

m2 ( / ) = inf{x3 -1 / x e ¿ ,2]} = in f[^ ,7]=^2 o o

( / ) = sup{jt3 -1 I x e [2,|] } = s u p [7 ,^ ] =

SJ 117w3 ( / ) = inf{x3 -1 / X e [2, — ]} = in p ,- ^ - ] = 7

O


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net

DEFINICION.- Dada la función f acotada sobre [a,b], entonces existen M ¡(f) y

nh ( / ) para cada i = 1,2.....n tales que m < ni¡ ( / ) < M¡ ( / ) < M ,

correspondiente a la partición P = {x¡ l i = 0,1,2.... n\ d^ [a,b], se define la sumasuperior de f correspondiente a la partición P del intervalo [a,b] al número.

y a la suma inferior de f correspondiente a la partición P de [a,b] al numero.

fí'' • 1.

i 1

a ambas sumas se les denomina “Suma de RIEMANN”.

Ejemplo.- Sea f(x) = 4x, x € [0,3] y A = 9 intervalo. Calcular la suma superior y la suma inferior.

Solución

Ax = - —— = - —- = — la longitud de cada subintervalo9 9 3 *

[0,3] = [0,1 ] u [ I | ] u [ | J ] u [ l , y M y . j ] u [ | ,2 ]u [ 2 , | ] u [ | , | ] u [ | 3]

La función f(x) = 4x es creciente en [0,3]


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net

íntegraI Definida 299

Calculando la suma superior de f en [0,3]

1 2 1 4 5 2 7 8 33 3 3 3 3 3

§; 'w II s /■—V 4 8 4 16 20 8 28 32 12

3" 3 3 3 3 3

&£/(/, P) = Z ( / X * i “ - V i ) = X M'

í=n i=i

= [Mtl ( /) + M, ( / ) + M2 ( /) + M3 ( / ) + M4 ( /) + M, ( /) + M6 ( / ) + A/ 7 ( / ) + M8 (y )]Ax

4 8 16 20 28 32 108 1 45 + 108 153 r ,= [ - + - + 4 + — + — + 8+— +— + 1 2 1 - = ( 1 5 +---------------------------- )—= -----= ----- = 513 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3

Calculando la suma inferior de f en [0,3]

*/-l 0 1 2 1 4 5 2 7 83 3 3 3 3 3

Mf ( / ) = /(* ,) 0 4 8 4 16 20 8 28 323 3 3 3 3 3

O w

£ ( / . P) = Z n,¡ Í/X*/ ~ x¡-i) = Z m‘i=0 /=0

= [«o ( / ) + wi ( / ) + nh ( / ) + nh ( / ) + nh ( / ) + «5 ( / ) + w 6 ( / ) + to7 ( / ) + wk (/)]Ax

rA 4 8 . 16 20 _ 28 32.1 48[0 + — + — + 4 + — + — + 8 + — + — ] - = — = 163 3 3 3 3 3 3 3

INTERPRETACION GEOMETRICA.-

Si f(x) es una función positiva (f(x) > 0), las sumas de Riemann tienen una interpretación muy sencilla consideremos el siguiente gráfico.


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net



n nSabemos que la suma superior: t / ( / , P) = ^ J )(x¡ ~ x i { ) = Y JM ¡ ( f )Ax

í-0 i=l

nos representa la suma de las áreas de los rectángulos por exceso sobre cada subintervalo [xf_! , x g ] y de altura M¡ ( / ) y la suma inferior.

n nL(f, P) = '£ «,• (/)(*. ~x¡-1) = Yj m* )Ax

i i í=i

representa las áreas de los rectángulos por defecto sobre el sub-intervalo y la altura m, ( / ) .

OBSERVACION.- Cuando la función f es creciente, los valores mínimos ro, ( / )se toma el extremo izquierdo x¡ j y los valores máximos

M ¡( f ) se toma en el extremo derecho x¡ del subintervalo j,*,-].

2.6 PROPIEDADES DÉ tA S SUM ASSUPERIO RES E INFERIORES.-

Si f es una función acotada sobre [a,b], entonces existen m y M tales que:

~m= inf ;f(x)/x 6 fa,b|} y M = sup {t\x) /x e [a,b|¡ |


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net


Io Si f es una función acotada sobre [a,b] y P = {x{),xx } es una partición de

[a,b] entonces se tiene:

m(b~-a):¿ t& F y g II£P): $ M(b~ a ) '

Demostración

Para los números m, m¿ ( / ) , A/,- ( / ) y M se tiene la desigualdad.

a la desigualdad (1) multiplicamos por Afor, es decir:

m^iX < mi (/)A foc < Mi ( / ) Afjt < A/A jc

ahora tomamos la suma para i = 1,2.....n

n #i n nX mA ,.r < X m¡ (/ )A M¡ (/ )A X MA' x1-1 1=1 1=1 1=1

«»X M < « / . P) < £/(/, /?) < A/]T A,.*1=1 1=1

Wm(b — a) < L(f,P) < U(f,P) < M(b - a), donde ] T A*x = ¿ - a

1=1

2° Si f es una función acotada en [a,b] y , P2 son dos particiones de [a,b] tal

que P¿ es un refinamiento de Px (Px cz A ) entonces se tiene:

3o Sea f es una función acotada en [a,b], Px, P2 dos particiones arbitrarias de [a,b]

entonces se tiene: LifsPx) ¿ U(f,P?)


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net

2,7 INTEGRAL DEFINIDA.-

Sea D el conjunto de todas las particiones posibles P del intervalo [a,b]. Si f es una función acotada sobre [a,b] entonces existen números m y M tal que:

m < f(x) < M, V x e [a,b]

Se sabe que la siguiente desigualdad se cumple

m (b-a) < L(f,P) < U(f,P) < M(b - a)

para toda partición P en D, esto asegura que el conjunto numérico ¡L(f,P) / P g D( es acotado superiormente y el conjunto {U(f,P) / P e D ¡ es acotado inferiormente, luego el conjunto {L(f,P) / PeD} tiene un supremo (la mayor cota inferior) y {U(f,P)/P€ D} tiene un ínfimo (mínima cota superior) con estos valores supremo e ínfimo daremos la definición siguiente:

DEFINICION.- Si f es una función acotada en [a,b], al número sup {L(f P) / Pe D} se llama integral inferior de f en [a,b] y se indica.

rhI f(x)dx = s\ip{L(f.P)/PeD\ = integral inferior de f desde a hasta b.

_

Al número inferior {U(f,P) / P € D[ se llama integral superior de f en [a,b] y se indica.

\ f(x)dx = inf{U(f,P)! P e D} = integral superior de f desde a hasta b.

2,7J PROPIEDADES PE LAS JES SUPERIORES E IN FE R IÓ M E

® Si f es una función acotada en [a,b], entonces:


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net

© Si f es una función acotada en [a,b] entonces:

m(b - a ) ú L(fJP) <: li(f.P) < M(b-a>

donde m = inf {f(x) / x <e [a.b]¡ y M = sup {f(x) / x e [a.b]}

© Si fes una función acotada en [a,b] existen puntos cx%c2 e[a*b] tales que:

fkf(x}dx - /(c ,Ju )(/> a) y ] j i x ) d x = / (c,)(£ -a)

© Si f es una función acotada en [a,b] y c e <a,b> entonces:

f/(x)rfA ^ f f t t i d m f¥Jtl -v :<: * • rfÉT■M+ ' " * * * * ’•! . ...» -

f/{*)¿Y = í f(x\dx > f/(.t)dx :i ¿a Ja Je

2.7.2 INTEGRAL DE R1EMANN,-

DEFINICION.- Una función f se dice que es integrable en [a.b]. Si f es una función

f (x )dx= J f ( x )d x , a este valor común se

le llama “La integral definida” (De Riemann) y se denota así:

!*/(*)<&- ~

por simplicidad se llama integral definida de f sobre [a.b] ó integral definida de f sobre [a.b] ó integral de f de “a” hasta “b”.

OBSERVACION.-

© El número J f(x)dx se llama integral definida de fix) desde “a” hasta “b’\

© El símbolo J es llamado símbolo de integración (éste símbolo fue introducido

por Lebnitz).

acotada en [a,b] y si


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net

La función f(x) se llama integrante.

© “a” se llama el límite superior de integración.

( 5^ “b" se llama el límite superior de integración.

La variable x que aparece en f / (x)dx , no tiene significado especial es:Ja

fí(x)dx= í/(.v)rfv= f/(-)<fc = f/(«)rfwJa Ja Ja

EXISTENCIA DE FUNCIONES INTEGRABLES.

Se conoce que las funciones decrecientes y crecientes son integrables, ahora veremos que las funciones continuas sobre un intervalo cerrado [a,b] son también integrables en [a,b].

¡) Si f es una función continua sobre [a,b] entonces f es integrable sobre [a,b],

ii) Si f es continua sobre [a,b], entonces para cada £ > 0, existe 8 > 0 tal que:

para toda partición P con |P| < 8 y para toda elección de x, e [x¿ {, x f ]

¡ii) Si f es continua en [a,b], entonces:

donde xf es un punto arbitrario en [x ^ .x , ] para toda partición P de [a,b] y— _ X ¡ + * , . _ !

u t ! uiLfuu a ig u iw n v '

punto medio de [*,_!, jc, ] .

puede elegirse los x¡ e x,] del modo siguiente x, = —-----— que es el2


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net

Ejemplo.- Expresar el limite de la suma dada como una integral definidan

Jim y (X* 1 )2(jcf- - xt l) donde P: partición de [1,9].

Solución

Como [a,b] = [1,9] se tiene: Ax¡

TEOREMA.- Una función acotada f es integrable en [a,b] si y solo si para cada € > 0, siempre es posible hallar una partición P tal que U(f,P) — L(fJP) < c.

Ejemplo de aplicación.

Sea f una función acotada en [a,b] y continua en [a,b] excepto en el punto c € [a,b], pruebe que f es integrable en [a,b].

Ahora identificamos ílx) donde x, = —---- — punto medio

)3 =x, de donde f ( x ) = x i

nLuego se tiene: lim ) (

\p\ ^ “

Solucióna Y

F es continua en [a,b] excepto en x = c.

Una función es acotada si está acotada.

f: [a,b]-----> R <=> V e > 0 , 3 8 > 0 , 3A particiónde [a,b] tal que U(f,A) - L(f,A) < c por probar

a 0 b X* para que f se integrable en [a,b].

c

Luego tenemos:


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net

f es continua en [a,c]

U ( f , A ' ) - L ( f \ A ' ) < —z«

f es continua en [c,b]

A " )< -

V — > 0 , 3 A' partición de [a,c] tal que2

V —> 0 , 3 A" partición de [c,b] tal que2

Sea c > 0, cualquiera, entonces definimos A = A 'u A " /l/( /,A ) - L ( f , A) < c , puesto

que í/(/,A ) = £ /(/, A ')+ t/(/,A ") y L(/,A) = ¿ (/,A ') + ¿ (/,A ") de donde

£ ££ /( / .A)- L ( f , A) = ! ( / , A')- A') + ! / ( / , A " ) -L ( f ,A " ) < - + - = £

U(f,A) — L(f.A) < e

Ejemplo.- Sean c e [a,b] y a e R, definimos f: [a,b] -» R por

Ía si x = c rbpruebe que f es integrable y que f(x)dx = 0

0 si x ± c Ja

Solución

Aplicando la definición siguiente:

Una función f acotada sobre [a,b] es integrable sobre [a,b] si sup{L(f,p)¡ = inf {U(f,p)} donde p es una partición de [a,b].

Aplicamos esta definición.

Como fíx) es acotada pues |f(x)| < a, V x € Df = R

Sea P — { x ^ x x...... jcFI} una partición, , jc/]sub-intervalo

n

1=1


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net

í-i

w 1 h — nm¡ = inf{ f(x) / xf_j <*<*,-} = / w#--------- 0 pues wr = 0

^ //

Luego L(f,p) = 0

n

U( / , /?) = ^ (xt - A'M ); Mf- = sup{/ (x) / xMí=i

í=i■ ü

n n

Luego Sup {L(f,p)| = 0

Ahora inf{t/(/\p)} = inf{——- a } =n

0 , a < 00 , a > 0 => inf {U(f,p){ = 00 , a = 0

/. sup {L(utp)} = mf {U(f,p)} = 0

y por definición | f (x)dx = sup{L( f , p ) \ = inf{£/(/, /?)} = 0

a) DEFINICION.- Diremos que una función f es integrable en el intervalo [a,b],si existe un número L, que cumple la condición que, para

rjcada c > 0, existe 5 >0, tal que | ^ / (a,)A,x - L |< e , para toda partición P

i=idel intervalo [a,b], donde |P| < 5, a esta definición lo representaremos por:


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net


b) DEFINICION.- Consideremos una función f definida en el intervalo cerrado [a,b], entonces a la integral definida de f de “a” hasta “b’\

Denotaremos pormh

f(x)dx y es definida por:¿a

I f(x)dx - Itm y / ' ( « . )A a ' lü ' n >w A* '

si existe el límite

2.7.4 CALCULO DE LA INTEGRAL DEFINIDA USANDO INTERVALOS DE IGUAL L O N G lT m

En el cálculo de las integrales definidas, cuando se usan intervalos de igual longitud se tiene que:

Ax = ———, X, = a + iAx, de donde x¿ = a +———i , i = 0,1,2..... nn n

Luego la integral definida se calcula mediante la expresión.

:

: f i t — ...... ......................

l A r

C

Ejemplo.- Mediante la definición de integral definida. Calcular la integral

j V * 3 -3 x 2 +\)dx

Solución

í (4x3 -3 x 2 +1 )dx= lim f{x¡)kx% donde Ax = ------- = — , x¡ =1+—/Ji n~*u i~\ n n n

t 1 /'y 2 _i _ 2 „ i , 32 .i 36 .2 12 . ^/ ( x) = 4jr -3x~ +1 f{Xj) = 4(1 h— i) -3(1 + —1)~ +1 = —-r + —- / +— / + 2« n w3 / r

ahora reemplazando en la integral.


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net


Integral Definida 3 09j . . i — ................. i . . . .

r 64 v -1.3 7 2 ^ . , 2 4 ^ 4 ^ n= 2 / +— L r +~ Z / + - 2 J ]

w , i « t í » ' t í " t í

64 w2(w + l) 2 72 ji(/? + 1)(2w+ 1) 24 w(w + l) 4= ///»[— . 1 + — • - --------------------^------- ¿+ —4 /2’ 6 2 ti

= lim [16(1 + - ) 2 +12(1 + - ) ( 2 + - ) +12(1 + - ) + 4]// ti ti ti

= 16 + 24+12 + 4 = 56

Ejemplo.- Mediante la definición de integral definida, calcular la integral

J V 2 + 4x + 5)(bc

Solución

Por definición de la integral definida se tiene:

f 4 -> 4 - 1 3 310c +4x+5)dx=//m > /'(xí )Ax, donde Ai = ----- = —, xf = 0 +/Ax = 1+ —

Ji «-*« ' ■ n n n*=i

f { x )—x 2 + 4x + 5 => /X*,) = ( ! + — ) 2 +4(1+—) + 5 = - U 2 + — / + 10n n t r ti

ahora reemplazando en la definición de la integral.

f 4 / 2 a cxj i- ^ i m 3 2 7 ^ . 2 54 ^ . 3 0 ^ n(x +4jc + 5 )^ j c=/ /w 7 (— - r + — i + IO)— = lim[—— / i + — > i + — / 1]J> "— t í » 2 » « «3 t r n M « M

27 n(n + i)(2n + l) 54 n(ri + \)= hm[— .--- ----------------+ — .— -— + 30]n->& 6 l

= /íw[-(1 + -)(2 + -)+ 2 7 (1 + -) + 30]2 n n n

= — (2) + 27 + 30 = 9 + 27 + 30 = 66 2


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net


Ejemplo.- Representar el límite de las siguientes sumas como una integral definida.

( 0 y ( » 2 + / 2 r 1' 2 , P: partición [0,^3]n-^zr. *—?

Solucióni=i

b - a V 3-0 -v/3n

x, = a+/Ax = 0 +

ti ns i

11

Ax ~

*, =■

Ati

11

lint ¿ ( w 2 + /2) 1/2 = lim Y ,—\ - = = lim V* . *----— í r — r r ^ + / 2 — f r *

V n

" • ’S a r L i , * , . ”V 3 «

1 p/3 _ p /?

%/J Jo l x 2 J<> Vi + JC¿

© te , £ < — > i // + / //

Solución

1Si Ax = —, entonces el intervalo se tiene [0,1] ti

n ' 1x, = 0 + — => x¿ = — /i /?

u„ y . ,/ra y - L - . - U ,,m y ,< Í ) .-U f» “ // + / n »-»»“ i , / w »-**“ /i /? «fol+jcI 1 I 1 1 H--- 1=1

1 ] i . l f1 rfr

1=11 + -11


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net

n l + xti

. Tí ¿Tí M7Tlim - ( t g — + tg— + ...+ tg(— )) n ^ n 4/7 4/7 4/7

Solución

1 n 2n " ti7T . ni 1/ / w - ( t g — + t g — + . . . + t g — ) = > t g —»->*// 4« 4/í 4n 4/i /ii=i

, ™ y /(±). I =f,,g£ £ <¡,“ * 11 ti Jo 4

, , r , i . . ni r, . i71** a 1 - 0 1donde / ( - ) = tg — => /(x ) = tg(— ) => Ax = ----- = —ti 4w 4 n n

l i /%

( í ) //»if — [Infer+ —) + ln(a+—)+.. .+ln(tf+ —)]v ---- “ “ ti

Solución

1 1 Olim — [ln(<7 +— ) + ln(<7 +—) + ...+ln(tf+—)] «-«* /i n n n

#-** n ti n ti

n * ” 1 A= lim y ln(<7+—)= /mi ^ = jlnfa+jck&r

» - » « ■ " // n ^ f fi fi JOi=l i=l

donde Ar = -—— = —, x, = — => f(x) = ln(a + x) n n n

( ? ) lim V — 2/> + 4/— - , P: participación [2,6] •-»* ~ 1 2«" + 4 '» +4/

Solución


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net

a 4i AiXi =a + iAx = 2 +— => Xj = 2 +— n ti

o 4/« y, . n -¿ + — .lim X — 7 ”+ l-— —= lini ' S ' -----------— —B-** 2 /r+ 4 /n+ 4 /- " »•' 7~\ An 4/ 4/ ' »

4(z H I o')ti n

4/2 H---- -.»i 4/ahora a la expresión ----- — ------ pondremos en términos de 2 +— es decir:2 +Ü + 4<i)!

ti ti

.. 2 + — 2+ — 2 + 4(—)/ ( 2 +—) = ----- » H »

” 4(2 + 4(—) + 4(y)2) 4(2 + 4—) + ( — )2 <2+ — ) 2 +4ti 1 ti 11 11

xf (je) = —---- entonces se tiene:

x~ +4

n a . n 2 + 4y ,2"*4i' r= z—r2-1-fV-*jrf 2tr +4//J + 4/ (2 + —-)2 11

ti

GD Utilizando integral definida hallar él limite lim -— i«-> or. W. r + 2 p +...+/ij

p+i

Solución


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net

IntegraI Definida 313

= Un ¿ i - ) - — = f'‘xpdx=2— í = — n n <*u P + l / o P+1 = 1

l p + 2 P +...+#j/> / / m -----n-*f nP+Ì p +1

2.7.5. EJERCICIOS PROPUESTOS-

I. Encontrar el área exacta de la región indicada, expresar el área como él limite de unasuma de Riemann con particiones iguales.

© Hallar el área de la región R acotada por y = x 2 + 2x +1, el eje X y las rectas x = -1.i, D 64 2x = 3. Rpta. — u

(T) Hallar el área de la región R acotada por y = 3a 4, el eje X y las rectas x = 0, x = 1.

o , 3 2Rpta. —u

© Hallar el área de la región R acotada por y = 2-Jx , eje X y las rectas x = 0, x = 4.

32 ,Rpta. — u~

© Hallar el área de la región R acotada por y = (.v-3) 2 +2, el eje X y las rectas x = 0.

x = 6 . Rpta. 30 a 2

(T) Hallar el área de la región R acotada por y = 12- x 2 —x . el eje X y las rectas x = -3,

305 ox = 2. Rpta. ---- u~

(ó ) Hallar el área de la región R acotada por y = 2x3, el eje X y las rectas x = -1, x = 1.


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net


( f y Hallar el área de la región R acotada por y = 4 - x 2, el eje X y las rectas x = 1, x = 2.

5 ->Rpta. — ir

( í ) Hallar el área de la región R acotada por y = 2 - | x |, el eje X y las rectas x= -2, x = 2.

Rpta. 4 i r

(? ) Hallar el área de la región R acolada por y - (x+3)2, el eje X y las rectas x= -3, x= 0.

Rpta. 9 i r

@ Hallar el área de la región R acotada por y = x 2 - 2 x - \ , el eje X y las rectas x = 1,

x = 4. Rpta. ( 1 ^ ^ - 4)i/2

(11) Hallar el área de la región R acotada por y = 3 x -3 x 2 ■ el eJe X y las rectas

x = 0, x = 1. Rpta. —u 26

U2J Hallar el área de la región R acotada por y = — +1, el eje X y las rectas x = 0,4

21 ?x = 3. Rpta. — i r4

(13) Hallar el área de la región comprendida por y = x 2, y = 4 - 3x2

Rpta. “ W2

(14) Hallar el área de la región comprendida por = 3jc 2, >> = 1 ~ 3jc 2 , x = 0, x = 3

Rpta. 57 u


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net


Integrai Definida 3 1 5

^ i ) Hallar el área de la región R limitada por y = 2x2 + ~ +1, el eje Y, el eje X y la recta

23 ’x = 1. Rpta. -— i r12

Hallar el área de la región R limitada por y = x - x 2 , el eje X.

1 •>Rpta. — ir6

^ 7) Hallar el area de la región R limitada por la curva y = x 2 - v 4 , 0 < x < 1 y el eje X.

2 ,Rpta. — ir 15

(l8) Encontrar el área de la región R limitada por y = 1 + a 2 + 2a 4 , en el eje Y, el eje X y26 ?la recta x = 1. Rpta. — i r15

^ 9) Hallar el área de la región limitada por las líneas dados por la ecuación Ay - (x - 4) 2 ,

Ay = ( a ' + 4)2, Ay = (*~ 4 ) 2 , Ay = ~{A+x)2 . Rpta. ~yU2

^ 0) Encontrar el área de la región acotada por la curva v - 6 x + x 2 - x 3, el eje X y las

rectas x = -1 yx = 3. Rpta.

II. Usando la definición de la integral definida calcular las integrales siguientes:


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net

© J V + \)d x Rpta. 4w2

© J V * 3 -3.v2 +1 )dx Rpta. 56i r

© [ (3x3 + 3x2 - 2 x - 6 )dx Rpta. 222 u 2

© J 6 (2.v3 -2.V-3)dx Rpta. 596i r

© f (3x2 -1 )dxJo

Rpta. 6 i r

©*2I (x3 + x 2 - 4 x - 2 )d x *Rpta. — — i r

© J (x3 + 2x)rfx 21 7Rpta. i r4

© J (x2 - l ) 2dx o . 812 ’Rpta. ----i r15

© f sen x d x Jo

Rpta. 1 - cos a

© Aplicando sumas de Riemann, evaluar la integral f f ( x ) d x Jo

donde

m =2x + 2, x e [0,2] x 1 - 4 * + 10, x € < 2 A ]

Rpta. - —

III.

( j ) Expresar el siguiente límite como una integral definida limn

Rpta. f e x d x Jo


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net

In te g r a l D e fin id a 317

© Expresar el siguiente límite como una integral definida, limm _k rA

. l p + 2P +3 p +...+ni,,P+i

Rpta. fJo

Expresar el siguiente limite como una integral definida.

x pdx

J e----- sm

. . . . - , ° (l + x)501

( i ) Expresar el siguiente límite como una integral definida, lim V 1—kor.' * J

* g2(l»2 -» 2) 5

Í=1n-*oc ~r~r fí

Rpta. f (x 2 - x A)dx Jo

1 n

© Expresar el siguiente límite como una integral definida, lim - Y ln(o+—)«--»no n W H

Rpta. [\n{a+x)dx Jo

® nExpresar el siguiente limite como una integral definida, lim V* (n2 +k2)~l/1

Rpta. f Jo

1 dx

x +1

» sen(—)( 7) Expresar el siguiente límite como una integral definida, lim V 1----- —

M—kOD ^ « 4 . Í

r1 sen* ,Rpta. ------ d xJo 1 + x


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net


Expresar el siguiente límite como una integral definida.

,1. ,2. narctg(—) arctg(—)| » ( — g _ + _ » _ + „ . + - 4 _ ) Rpia. f “!“* *n->* \ + n 2 + n n + n J o l +x

áx

© Expresar el siguiente límite como una integral definida lim Y (——+—)1=1

Rpta. J (7x2 +9)dx

© Expresar el siguiente límite como una integral definida.

. . . » » » . __ f1 dxlim(-------------—+ ------------- - + --------------- - ) Rpta. —----------n-»<x. \ + 2n+2n 4+4n+2n n +2n(n)+2n Jo x +2x + 2

Expresar el siguiente límite como una integral definida.

¡i„(— L = + - 1 +...+ 1 ) Rpta. f”“>DC -\/«2 +1 ->/»2 + 2 2 -\/«2 + » 2

@ Expresar el siguiente límite como una integral definida.

* 2

.. V » ^ + V » + 2 +...+V2»lim-------------- -«->00 j j -

^ 3 ) Aplicando sumas de Riemann, evaluar la integral J /(jc) dx donde

2x + 2, x e [0 ,2 ] 4, R p ta .------

x2 -4 x + 10,xe<2,4] 3/(* ) =

Consideremos dos funciones f y g integrables en [a,b] y K una constante arbitrariamente, entonces:


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net

In te g r a I D e fin id a 319

© J K f(x)dx = K^ f(x )dx (T ) J tf íx ) ± g(x)]dx = J*/ (x)dx± j*g(x)dx

( i ) | f{x)dx = J / (x)dx+ J f ( x )d x , donde f es integrable en [a,c],[c,b],[a,b] y a<c a ( ? ) J / (x)dx = 0

© r / (x)dx = / (.r - k)dx (invariancia frente a una traslación)

Si f(x) > 0, V x € [a,b] entonces f f(x)dx> 0Ja

© Si fíx) > g(x). V x e [a,b], entonces: j f(x)dx> jg(x)dx

( 9 ) Si m y M son los valores mínimos y máximos absolutos de f en [a,b] respectivamente

tal que m < fíx) < M, V x e [a,b] entonces: m(b-a)< \ f(x)dx< M (b-a )Ja

(10) Si f es una función continua en el intervalo [a,b], entonces: |J/ (x)dx 1< j j f ( x ) | dx

( n ) Si f es una función continua en el intervalo [0,a], entonces: | f(x)dx = jV to -x)dx

(12) Si f es una función par y continua en [-a,a], entonces: J / (x)dx = 2^ f (x)dx

(13) Si f es una función impar y continua en [-a,a], entonces: J J'{x)dx = 0

® Si f es una función par y continua, entonces: f v / (eosx)dx = — f / (eos x)rfxJo 2 J<»

^ 5) Si f es una función continua, entonces: j\v / (sen x)dx = y | í scnx^ x


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net

16) Si f es integrable en [a,b], entonces para cualquier c * 0 se tiene que:

a) \ f (x )dx = - \ f ( —)dx b) j f(x)dx = <[ f(cx)dxJu c "a( C ¿ale

( n ) Si f es una función continua en un intervalo 1, entonces, para cada i e I.

a) í f(x)dx = f f ( - x ) d x b) í f(x)dx = 2 f f ( x ) d x , si f es par.J i Jo J t Jo

@ Sea f una función impar (par) continua sobre [-a,a], si se define la función

g(x) = i f(t)di para x e [-a,a], entonces g es una función par (impar).

(l9) Si f es continua en I, entonces para c e I: J f (x)dx = |/ ( - j t)d x

Demostración

( l ) Por demostrar j k f ( x ) d x = k j f ( x )d x

Sea P = una partición del intervalo [a,b].

La suma de Riemann de la función k f(x) asociado a esta partición es:

n nS(p, f ) = y k f (a¿ )A,x = A y / (a , )Ai.y ,

í=i i- 1

de modo que podemos expresar en la forma:

l n ití k f(x)dx ~ lint Y 1 k f{a.)A¡x = lint k ^ / (a )A xJa \p\-+a*-*' |P|-»n¡~] i 1

= k lim ^ / ( a )A#jc = k f f (x)dx i=\

Por demostrar f (/(jc) ± g(x ) )d x - f f ( x ) d x ± f g{x)dx.J« Jtf J«


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net

Integrai Definida 321

Sea P = {xti.x | ....x„\ una partición del intervalo [a,b] la suma de Riemann de la

función f(x) ± g(x) asociada a esta partición es:

n n m

Sip. () = ^ [ / ( a , ) ± g(a¡ )]A,.t - £ f(a¡)A,x + )A,xi I *1 f 1

de modo que podemos expresar en la forma:

h 11 f ( f (x) ± g(x))dx = lint y [ / ( a ,) ± g(a¡)]A,-j

Jit< i

« H . ^

= lim V /(cí, )A,a- ± //»i y g(a,)A,a- = [ f(x)dx± [ gix)dx\p\ Ht*-1 M y<í i i i

Por demostrar J / (xk/r = J f (x)dx + j f(.\)dx donde a < c 0. existe una partición

P - { a =-r,„.v1.... x„=b\ de [a.b] tal que U(f,P) — L(f.P) < c

Sea P={x(>.xl.... x¡\ una partición del intervalo [a,c] y P"= {x¡.....jc„} una

partición del intervalo [c,b], entonces L(f,P) -L(f,P') + L{f,P") y

U(J.P) = U í f . P ) + U( / , P ') entonces:

[Vi 1. P ) +Vi f , P" )] - [Li f . P) + Li f . P" )] = Vi f . P) - U f . P)<€ como cada

termino del paréntesis no es negativo, cada uno es menor que c, esto muestra que f es integrable en [a,c] y [c.b] y se tiene que:

L ( f .P )< f f ix )d x< U if .P )Ja

L ( Í ,P ' ) < J H \)dx<Uif ,P") porlotanio:


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net

U 1 , P) < £ f(x)dx + J f(x)dx < U( / , P) lo que demuestra que:

í Hx)dx= f f(x)dx+ f Kx)dx Ja Ja Ji

La demostración J f{x)dx = - £ f(x)dx , b > a es inmediato aplicando

f (x)dx=f(c){b-a) donde a < c < bJa

La demostración f / [x)dx = 0 ejercicio es inmediato.Ju

(ó ) Por demostrar que í f(x)dx= f f ( x - k ) d xJ u ' Ja- k

Sea z = x - k donde dx = dz, además

Para x = a + k ; z = a + k — k = a y x = b+k; 7 = b + k - k = b

f f { x - k ) d x = \ f (z)dz - í f[x)dx f / (x)dx = f f ( x - k ) d xJ a ' k Ja Ja Ja Ja - k

( j ) La demostración de f f(x)dx > 0, V xe[a,b], f(x)>0 dejamos como ejercicio.Ja

Por demostrar que J f(x)dx > J g(x)dx donde f(x) > g(x), x e [a,b] para esto

aplicamos la propiedad de linealidad y la propiedad (7).

Como f(x) y g(x) son integrables, entonces la función h(x) = T(x) — g(x) esintegrable y como por hipótesis se tiene que h(x) = f(x) — g(x) > 0 V x e [a,b]entonces

0 < f h(x)dx = f ( / ( * ) - g(x))dx = f f(x)dx - f g(x)dxJa Ja Ja Ja

es decir í f (x)dx- í g(jt)dx>0 , de donde f f(x)dx> í g(x)dxJa Ja Ja Ja


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net

® Por demostrar que m(b - a) < J f (x)dx < M(b - a) como f es continua en [a,b],

entonces fíx) es integrable en [a,b] y como m y M son los valores mínimo y máximo absoluta de f(x) es decir m < f(x) < M, V x e [a.b]. Aplicando la propiedad (8) se tiene:

J m dx < J f(x)dx < J M dx => nix /* < J / (x)dx < M x

ni(h-a)< \ f (x )dx< M (h-a)Ja

© Por demostrar que: |J f(x)dx\<j \ f(x) | dx como f(x) es continua en [a,b]

entonces | f(x) | también es continua en [a,b] y por lo tanto es integrable,además por la propiedad, V u g R, -|u| < u < |u| de modo que: V xg [a,b] se tiene

- |f(x)| < f(x) < |ffx)| por la propiedad (8) se tiene:

- f | f(x)\dx< f f(x)dx < f | f(x)\dxJa Ja Ja

y aplicando la propiedad: |a| < b <=? - b < a < b se tiene: | f / (x)dx |< f | f(x) | dxJa Ja

© Por demostrar que f{x)dx = / (a - x)dx

En la integral J^/(o - x)dx , hacemos z = a - x, donde x = U, z = a y para x = a,

z = 0 , además dx = - dz

\Uf ( a - x ) d x ~ f / ( - ) í - ^ ) = - f (V(r)rfr= [ f(z)dz JO Ja Ja J()

por la propiedad (4) por lo tanto: f (a - x)dx = j(z)dz = f(x)dx


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net

12) Por demostrar que: J J (x)dx = 2 J / [x)dx, aplicando la propiedad (3):

f f (x )dx- [ f ( x )d x+ \ f{x)dxJa ' Ja Jl)' 0 )

r°en la integral f(x)d< reemplazando x = -y entonces para x = -a, y = a y x = 0 , J a

y = 0 , dx = -dy

f f(x)dx= f' / (-.v)(-í/v) = - f " / (~y)dy = f"/(-v)r/vJ a Ja Ja

= j \ / (x)dx, porque fes par ... (2)

ra pw mu 0aal reemplazar (2 ) en (1) se tiene: f{x)dx = f(x)dx + f(x)dx = 2 f(x)dx

J a ' Jo J0‘ J()

| f(x)dx ~ 2^ f(x)dx

NOTA.- Las demás propiedades su demostración dejamos como ejercicio.

OBSERVACION.- Si se tiene una función f continua en el intervalo [a,b] yademás f(a) * f(b), entonces para cualquier número z entre

f(a) y f(b) existe un número c entre a y b de tal manera que fíe) = z.


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net

2X1 TEOREMA DEL VALOR MEDIO PARA INTEGRALES**

Consideremos una función f continua en [a,b]. Entonces existe un número c e [a.b] tal que.

¿ti

Demostración

Como f es continua en [a.b] => 3 ex, p en [a.b] tal que fía) = m y ffp) = M son los valores mínimos y máximos absolutos respectivamente de f en [a,b].

Luego m < f(x) < M, V x e [a.b]. Entonces.

m(b-a)< f f(x)dx< M(b-a) (por la propiedad 9).Ja

I J(x)dx fhf(x)dxPor lo tanto: /»<—-------- < M , de donde f (a )<—--------- < /(/i)

h - a b - a

Ahora mediante la observación, existe c e [a.b] tal que :

f f(x)dx h/<<) = - -------- => \ f(x)dx= 1(c)(b-a)

h - a

2X2 PRIMER TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CALCULO.-

(Derivadas de Integrales)

Sea f una función continua en el intervalo [a,b]. Entonces la función F definida por:

F(x) = f f( t)dx , a < x < b es derivable en [a,b] y Ja

DxJ(x) = Dx f /(/)<* = /'(*). V x e [a.b]Ja

Demostración


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net

Como F(x) = f j{t)dí es una función definida en [a,b]. Entonces:Ja

f(x)= J > lrf,- J > lrf'/; »o /? /#->o h

f 7 (/ + fy ?/ )<// - f / (/)j/ í y (/ )dt= lim —----------- -------------------- = iirti —-------- (por la propiedad 3 )h-M) ¡l /#-> 0 //

Por el teorema del valor medio para integrales se tiene, para cada númerofX ’ a

no nulo x + h e [a,b] existe a e [x. x + h] tal que J / (/ )<// = h / (a) de donde.

*.\ - A m..r— /;/(/)<// /(/)<//

/~(a) = —--------, luego F'(jc) = lim ------ = lim f(a )= /(y)// /i+o }\

F '(x)=f(x)

Ejemplo.- Calcular F'(jc) siendo F(x) = J e \ntdt

Solución

F(x) = [ e l n t d t => F'ix) = ex Inx Jo

renx Ai

---------

1 + aresaresen i

Solución

Para calcular F'(x) en este ejemplo se debe aplicar la regla de la cadena en el primer

teorema fundamental del cálculo, es decir:

f£(*)F(x) = J / ( / ) = / / (#(jr)) derivando mediante la regla de la cadena se tiene:


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net


F ,Cv) = / / ,(«í(x)).^,U )= f(g{x))-g'{x) donde /'(f) = ------ i— y g(x) = senx1 + arcsení

F'i A ) = Hg{x))g'(x) = /(sen x).(sen x)'=l + arcsen(senx)

F ’(x )= COS*1 + A*

Ejemplo.- Calcular F'(a) siendo F(x)=[ 'Jt + e'dtJo

Solución

Aplicando el criterio del ejemplo anterior:

F(x) = f ' -Jl + e‘ di => F'(x) = 4 x 2 +ex'~ (x2)' F'{x) = 2x4x2 + ex*J n

2.8.3. GENERALIZACION DEL PRIMER TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CALCULO.-

© Si f es continua en R y g es diferenciable en R, entonces:

DK[ \ ' UÍ f(t)dt] = Mg(x)).g'(x), x e RJa

En efecto: Sea u = g(x) y aplicamos la regla de la cadena

rsU) d ) d dud , [ | r v m = - r i f f«)dt]=-?-[\ w ) d , ] ^ -

dx Ju du J" dx

=f ( u)~r=f(g(x)) .g '(x) dx

© Con la hipótesis de (1) y con la suposición que h e diferenciable en R, entonces:

/>,[f ÍV)dt]= f{g(x)).g'(x)- f(h(x))h'(x)J/l(.l )


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net


32S Eduardo Espinoza Ramos

En efecio: Aplicando la propiedad (3) de la integral definida

J’ííía ) ro rir(') r.c(') f*<*>fit)dt)= f(t)df+ f[t)dt = f[ t )d i- / (t)dt . derivando

h(\ ) Jh\x) Ja Ja Ja

D,[f /(/)<//] = D ,[í fi t)di]- /) ,[f /(/)í//] por la parte (1)J h [ \ ) Ja Ja

= /( .S í( . l ) ) . í í ' (A ) - / ( / l( V)).//'( V)

(7 ) Si f es continua en R, g diferenciable en R y •>' continua en R. entonces:

{' HgU)).g’(t)dt = /(!/)</«, x e RJu Jz(tt)

En J*sr( v)f(u)du entonces H(a) = 0 y

//•(x) = Ag(.v)).g*U) => f'/ (g(x)).g'{x)dt = [ n ' ( t ) d t = H ( \ ) ~ 11(a)J a Ja

í(gU))g'(t)dl = \ f (u)rìua ■»£(«)

2.8.4. SEGUNDO TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CALCULO.-

Consideremos una función f continua en [a,b] y sea F una función tal que:

F'{x)= f(x) V x e [a,b] entonces: f f (x)dx = F(x) j -F(b)~F{a)/ a

Demostración

Como F'i x) = / ( v). V x e [a,b] entonces por el primer teorema fundamental del

calculo se tiene: /*'U) = f f(t)di + c ... (1)Ja


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net

Si x = a entonces F(a) = f f(t)dt + c = 0 + c => c = F(a) esto es aplicando laJa

propiedad (5) de la integral definida que reemplazando en (1) se tiene:

F(x) = f/(í)<* + F(a) ...(2)Ju

Si x = b, reemplazamos en (2) obteniendo:

F(b)= \ f{ t)d t + F(a) de donde se tiene: f f{t)dt = F(b)-F(a)Ju Ju

como la variable de integración t es independiente se concluye:

( f(x)dx = F(b)-F(a)Ja

OBSERVACION.-

© En la evaluación de las integrales definidas la notación F(x) indica

F(b) - F(a) es decir: J J'(x)dx = J F'(x)dx - F ( x ) = (b) - F(a)

© La formula J f{x)dx = F{b) - F(a) se conoce con el nombre de “Formula de

NEWTON — LEIBN1TZ”, debido a que estos dos ilustres matemáticosindependientemente establecieron la relación entre los conceptos de la derivada y la integral.

© La diferencia F(b) - F(a) no depende de la elección de la antiderivada F, puesto que todas las antiderivadas se diferencian en una constante, la que se desaparece al efectuar la diferencia, por lo que no es necesario considerar la constante al hallar la antiderivada.

Ejemplo.- Calcular la integral J | x - 3 1 dx


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net

Solución

\x — 3 SÍ X > 3 Aplicando definición de valor absoluto: | x - 3 1= <

[3-x si jc < 3

Luego se tiene: [-2,5] = [-2,3] U [3,5]

j * | x - 3 1 dx = J * I X - 3 1 dx + [ i -v - 3 1 dx = J ^ - { x - 3 )dx + f ( x - 3 )dx

.2 ,3= ( 3 x - ^ ) / ’ +(-^--3x) / = [ ( 9 -V ( -6 -2 ) ]+ [< 4 ^ -1 5 ) -4 -9 ) ]

2 / - 1 2 2 2 2

9 25 9 7 291 7 - - + — - - - 6 = 11 + - = — 2 2 2 2 2

fs 29A J J x - 3 | < f r = y

1 2.8.5. CAMBIO PE VARIABLE EN UNA INTEGRAL DEFINID A.-

E1 calculo en la integral definida se puede simplificar mediante un cambio de variable, este criterio indicaremos en el siguiente teorema.

TEOREMA.- Si f es continua en el intervalo [a.b] y si se reemplaza la variable dela integral x = g(t) donde g: [cc,p]-----> [a,b] tiene derivada

continua en [cc,p], con g(cc) = a y g(P) = b, entonces:

í f'(x)dx = fP f(g(t)).g'(t)dtJa J a

Demostración

Aplicando el primer y segundo teorema del calculo

Sea F{y) = í f(x)dx entonces F '(y ) - / (y) , V y e [a,b] por ia regla de laJu

cadena o derivada de la función compuesta.

t^(«ÍM)] - E'(g(/)).g'(t) = /(g(O)g'(O por lo tamo F(g(t)) es la antiderivada deI

/ (k(/)).k'(/) entonces por el segundo teorema del calculo se tiene:


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net

= F(g(P» - F(g(a)) = F(b) - F(a) = f / W d x

f f(x)dx= \P f(g(t))g'(1)dtJa Ja

29 t/(JC -2)2dx/(JC — ZlEjemplo.- Calcular la integral —— ¡ =

Jj 3 + lJ(x- 2?

Solución

Sea z 3 = x - 2 de donde dx = 3z2d z , además para x= 3; z= 1 y para x = 29, z = 3

f» V(jc - 2)2 ^ f3z2.3z2<fe , f 3 z4dz" 3 + ^ /(x -2 ) 2 * 3 + z2 J i3 + z2

- 3 + T T i * ■ - * 7 ’ 3- '+

- (¡’ - 9 z t 9 . f i M C Ig i) / ’ = 9^3(y) + 8 - 9V 3(|) = 8 +

OBSERVACION.- En la practica no es necesario tomar la función g(t) en forma explícita, puesto que ya esta habilitado a cambiar de variable en

la integral indefinida, solamente se debe agregar para cambiar los limites de integración solamente se debe reemplazar la variable original x por los limites de integración correspondiente, obteniéndose los nuevos limites de integración.

f2 jf dxEjemplo.- Calcular la integral definida -------5- 5-

Ji (1 + x )

Solución


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net


Sea z = l + x 2 dz = 2x dx, ademas para x = l ; z = 2 y para x = 2; z - 5

f2 x dx _ 1 r 2 2x dx _ 1 t5dz __ 1 / 5 _ 1 1 1 3

Ji (1 + X2 )2 2 Ji (1 + x 2) 2 2 J2 z 2 2 r f 2 2 5 2 20

Ejemplo.- Calcular la integral íV* - 1

Solución

Cuando se hace un cambio de variable o una sustitución adecuada también es recomendable cambiar los límites de integración para facilitar los cálculos.

Ahora hacemos el cálculo de integral, sea x - z 2 dx = 2z dz cambiando los límites de integración para: x = 4, se tiene z = 2; y para x = 9, se tiene z = 3

r9 Jxdx f-* z 1 'r2 /■*

= 2 [(|+ 3 + In 2 > - í | + 2,+lril)]=?7¥21n2

Sea f una función continua sobre el intervalo [a,b], c e [a,b] ahora calcularemos el límite siguiente:

para esto, definimos la función:

G(x) = £ / , para cada x e [a,b], donde G(0) = 0, G'(x) = / (x), G*(c) = / (c)

Luego el valor de E lo expresamos como:


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net


Integra! Definida 333

E = lim—[C(x+h)-G(c)] y como E resulta diferenciable por el primer teorema/. *0/1

fundamental entonces: E = lint ^ = G'(c) = /(<)h Hl /;

por lo tanto:1 p+'h

£ = !im~~ f{ t )d t- f(c] b~fO h Je

1 f 4 * í //Ejemplo.- Calcular el limite lint — I ------

h-, ti A Al l + ,2

Solución

Sea /'(/) = ------— entonces aplicando el caso especialf l + r )

f4-* (¡tf — r = / ( 4 ) =J4 i + ,í

1 r4** dilint — h *11 ¡1

1 _ 1

1 + 16 _ 17

2.8.7 EJEMPLO DEL ler. V 2dt>. TEOREMA;FUNDAMENTAL £IC£L CALCULO.-

® Hallar ffx) sabiendo que f es continua V x e R y j f ( l ) d t = x 6 + x 4 + 3x2

Solución

Derivando ambos miembros de la ecuación dada se tiene:

2x / (x2 - 1) = 6xs + 4* 1 + 6x , simplificando tenernos

/(a*2 - 1) = 3jc4 + 2 x 2 +3 =3(x2 - l ) 2 + 8(x2 - l ) + 8

/. / ( x) = 3jc2 +8jc + 8

® r * 1 - / + / 2Hallar la derivada de la función y = —---- — rf/ para x = 1J<H+/ + / 2


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net


Solución

Nos piden calcular y'(l) = — / primeramente calculamos su derivada condx • * idy dx

respecto a x.

y*(x) = — = Dvf • d l~- — , ahora evaluamos en x = 1.d r Jo 1+/ + - l+x+x~

rf-V / , riV ( v , - I

1 + 1 + 1 3 • 3

© Hallar la derivada respecto a x de la función “y” dada en forma implícita.

í e dt+ feos/ d i - 0 Jo Jo

Solución

Derivando con respecto a xt a la ecuación f e di = f eos i dt - 0Jo Jo

v dy A 4 dy cosxe — + cosr = 0 entonces ' -dx dx e'r

( 4 ) Hallar F'(x) siendo: F ( x ) = f (í -------- -r~ — — )dyJ2 J8 i + /- + sen~ t

Solución

Sea / ( > • ) = [ - — ~ — — => /(.r) = £ - — ^ — — J* l + /~+sen~f 1 + r + sen~ i


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net



© Hallar F'(x) si F(x) = f - ------ 1— -t +9sen/ + 15

Solución

F ( X) = f —----- —----= - f —----------—--------, derivando/ “ +9sen/ + 15 ^ r_ +9sen/ + 15

3jc2F'(x) = -x6 + 9senx1 +15

(ó ) Hallar F'(x) si F(x)= fJa•sen.r rf,

arcsen/

Solución

EV , f * _ E„ , . COS .V COS .Vp(-v)= --------- => F (x) =-------------- - = ------ F (x) =aresen/ arcsen(senx) x

(T) Hallar la derivada Dx(J yfl +14dt +1 4l + r4 dt)

Solución

Dy( Ç M + i4di+ ^ 4 l+ t4dt) = Dx ( - £ 4l+t*dt + 1' 4\+t*dt)

= —s/l + je4 + 2x^lìTx*

@ Si F(x) = r ^/l+ .V3 d y , hallar F'(x)

Solución

cosxX

F (X) = £ ^ / l + v V v = £ ’ ^ 7 d y + £ Vl + > V v


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net


F(x) = — | ^ Jl + y 3dy+ J %j\+y3 d y , derivando tenemos:

F'íx) = -3 x 1l l l+jc* +2ít/i + * 6

Calcular lim — [ | sen t d t - sen / dt]

lim — [ f sen / di - f sen / dt] = lim —— — — -= Dy f sen t dt = sen jch »0 h ti »o /j

Solución

j s e n t d t - jjsenjrf/* »o // Ji Ji /» »o h

/ / i » y - [Jjsent d t - j sen/ d t ] = senx

© Calcular lim — [ f sen2 / dt - f eos2 t d t - x]a->o h Ji Ji

Solución

i cx i r +h ilim— [ sen t d t - \ eos” t d t - x \ = /•—»<! }\ Jl

= lim j l *-»<> /; Ío SCn2 1

= lim - (i»—>íi h J (sen2

= Um j lA-»0 h f - f

1 Cx + h 1

•x h

•x-h

I C* */# lim -~[x + I iII J\

lim /»->« /| Jx


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net

(T í) Hallar f(2 ) si J / ( t)dt = x 2(1+x)

Solución

J" / (t)dt = x 2(l + x) derivando con respecto a x

f ( x ) = 2x+3x => f(2) = 4 + 12 = 16 f(2) = 16

12) Si ^ r d t = x 2(\+x). Hallar f(2)

Solución

rfX*) 7 ?J /" dt = x “ (1 + jc) derivando con respecto a x .

/ 2 00 /* (x) = 2jc + 3x2 integrando

— - x 2 + jc3 => f ( x ) = 3(x2 + x 3) , evaluando en x = 2

/ ( 2) = 3/3(4 + 8)=V36 f (2 ) = l¡26

Si f(t) es una función continua en [a,b] y g(x) es una función diferenciable con valores

en [a,b]. Demostrar que: f#< ' f( t)dt = f(g(x))-^-(g(x))dx Ja dx

Solución

Sea F (u )~ [ f ( t )d t entonces = í f{t)dtJa Ja

fX(x)Luego derivando / (t)dí - F(g(x)) con respecto a xJa

^ I*'*/ ( / ) *“ (F(g(x)) = F'(g(x)) .4~(g(x)) ... (1)OX Ja dx dx


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net


como F(u)=[j( t )d t => F'(u) = f(u)

F(g(x)) = f(g(x)) donde u = g(x) ... (2)

d f*(jr) dahora reemplazando (2) en (1) se tiene: — / (t)dt = f(g(x)) — (gM )dx Ja dx

^ 4 ) Calcular la integral | (2x2 + 4jc +1 )dx

Solución

Aplicando el segundo teorema fundamental del calculo.

f (2x2 +4x+l)dx = (— +2x2 +x) t = ( - + 2 + l) - (0 )= ^ - *0 3 / o 3 3

(15) Calcular la integral | x 24 x 3 -1 dx

Solución

f x 2 ^ ¿ x = j j V + 1)1' 2 3 x 2 í /x = ^ ( x 3 + 1 )3' 2 f~

= —(8 + l)3/2 - - = - ( 2 1 + 242)9 9 9

Í 6 ) Calcular la integral í —-----w Jox2 +4x + 5

Solución

í —r- —----- = í ------— = arctg(x + 2) / = arctg 3 - arctg 2Jo x 2 + 4 x + 5 *"• (x + 2) +1 / «

® „ , , , . , rT/2 sen,veosxdxCalcular la integral —----- ------- ------—Jo o* eos x + b~ sen~ x


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net


Solución

Sea z = a 2 eos2 x + b2 sen2 x , diferenciando tenemos:

í/r = (-2¿7 “ sen x eos x + 2b ~ sen jc eos x)dx = 2 (fr - ¿7 ~ ) sen jc eos x dx

ahora a la integral dada escribiremos así:

rJosenxcosAí/v 1 r * ' 2 2(6 2 - a 2) sen x eos x dx

cf~ eos- + sen- j 2(/?~ - c r )1 r*'¿Z{0'-a

2(h2 - a 2) o 2 eos2 x + />2 sen2 x

1 In------ r—ln |a~ eos2 x+ b2 sen2 x| /

2(b - a ) / o

-— — [lnb2 - l n a 2] = —j-í—— ln(—)2(6 -<T) ¿ - - o " o

Ilw Calcular la integral r■Jl + X2 dxx

Solución

En esta integral hacemos una sustitución y también cambiaremos los limites para facilitar los cálculos. (Por sustitución trigonométrica).

Sea[tg0 = x \x = lgO

eos ecO ^fl + x 2

0 = arctgxdx = see2 0 dQ

además tg 0 = x, parajc = 1 0 =

n


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net

— dx = f eos ecG. sec 2 GdG = f (eos ecG + tg G. sec 6 )dGX J n ¿4 J n / 4

Vir/3 2 1= (ln | — — = |+2 )

*-4 V3 V3

= (ln |^ -l|+ -v /2 ) = 2 - ^ 2 -I tiÍa/ó- a/3)

© í xsenx dxSolución

. f«=x fdu = dxHaciendo < => <

[dv = sen * dx [v = - eos x

f x sen x dx = -x eos x /* + f eos x dx = -x eos x / + sen x /Jo ' 0 Jü ' 0

= -(—7T-0) + (0 -0 ) = 71

(2 0 ) Calcular la integral J | x 2 + x - 6 1 dx

j^ V l+ J r 2

Solución

En el cálculo de integrales con un valor absoluto se debe determinar el signo de la expresión dentro de las barras, mediante el criterio del punto crítico, (en caso que el integrando tenga más de un valor absoluto se define los valores absolutos) es decir:

+ - + x2 + x - 6 = (x+3)(x-2) T T

”0

Lucgo el criterio sobre el cual se realiza la integración se expresa en dos o más subintervalos, es decir: [-4,4] = [-4,-3] u [-3,2] \j [2,4]


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net


= J (x2 + x - 6)dx - J (A2 + x-6)dx+ J (a2 + a - b)dx

=(T + T - f a , / r (T + T - fa ) / l +lT + T - 6' , / ‘

:[(_9+| +l 8)_ (_ ^ + 8+ 2 4 )]-[( | + 2 -1 2 )-(-9 + |+ 1 8 )]+

+ [ (y + 8 -2 4 ) - l ( |+ 2 -1 2 ) ]

,64 9 .8 9 . . . 56 109(— + — 23) — C---------------------19)+ (--6) = --3 2 3 2 3 3

(2l) Calcular la integrai f | A + | dxJ-2 x + 6x + 6

Solución

De acuerdo al comentario del problema (20) determinaremos el signo de la expresión

X + mediante el criterio de los puntos críticos. x + 6

-6 -1

Luego [-2,4] = [-2,-1] ¡u [-1,4]

f4 | ^ l i | d A = r 1| ^ i | í/A+f4 \ ^ ± \ d x = [ l^ ! ± d x +f ^ d x J-2 x + 6 J-2 x + 6 J-i x + 6 J-2 x + 6 J-ix + 6

r l 5 f4 5= - f (\— ^-)dx+\ (1 ~ ^~ )dx J-2 x+6 J-i x + 6x+6 J i x + 6

-{x-51n |x + 6 |)! + (x-51n |x + 6 |) j*^


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net


= -[(-1 - 51n5) - (-2 - 51n4>] + [(4 - 51nl 0) - (-1 - 51n5)]

-[1 + 5 In—] + 5 + 51n— = 4-51n(-)5 10 8

22) Calcular la integral J [\2x\]dx

Solución

Sea z=2x => dx = — además para x = - I ; z - -2 ; x = 2 ; z = 42

4 C » - -1» * ■+ f , n --1 + £ t i -- I I * ■- J,ÍI -- I I * + J ’ti -- n * * j j i -- \ r n

= - [ - 2 - 1 + 0 +1+2+ 3] = —

(23) Calcular la integral J ([| x |] + [| x + — f]) dx

Solución

X G [-1 ,0- 1 < x < O

1 1 1----< * + —< “2 2 2

tU |] = - l

[ | x + i | ] = 0

x e [0,1>0 < x < l1 1 3 —< x + —< —2 2 2

[|*l] = 0

[U + ^ l] = ‘


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net

X € [1,2> =>l< x< 2 3 1 5—< * + —< — 2 2 2

[\x\] = l

[U + | | ] = 2

x e [2,3>

2<x<35 1 7— < jc+— < — 2 2 2

[ U 11= 2

[ U + jl] = 3

í ([l*l] + [l* + — = f (-l + 0)£Ír+ f(0 + l)í/v+ f(l + 2 )dx + f(2 + 3)rfrJ 1 2 J-l Jo Jl *>2

= J-rfr + Jrfx+ 3rfx+Jsrfx

-<0 + 1) + (1 -0 ) + (6 -3 ) + (15 -10) = - 1 + 1 + 3 + 5 = 8

(24) Calcular la integral J1 x 1 —3jc5 + 7x3 - xeos2 X

dx

Solución

Cuando la integración se realiza sobre un intervalo de la forma [-a,a] se debe ver si la función es par o impar es decir:

f(x) = x 7 ~3x5 + lx3 —xeos2 x => / ( -* ) = -

x 1 - 3 x 5 +7x3 - xeos2 A'

= -f(x)

Luego como f(—x) = —f(x) la función es impar entonces por la propiedad (13) se tiene:

j.1 x 1 - 3 x 5 + l x 3 —x 1 eos2 X

dx = 0

Calcular lar* ‘'3 J tgx dx

integral —~ = — ------Jme^t g x + j c t g x

Solución


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net


Sea r = —- x 2 dx = -dz paraV -----

n nA -----

~6 ; r"Tn n

X = — + """3 6

, reemplazando se tiene:

-Jtgx dx _ f*'» r ^ 2 _ f * 3 ± tgrrfr■k'6 I .K I TtÍ 7 Jn,6 /tg- + J c t« -

,7Ttg(^ -)rf- fn.3 -Jctg: d:

* f i g x + jc tg x |tg(—-z ) + J e tg (y - r ) f i g l + Jcig.

»/*/3 -Jtgx dx c’1 - 3 s[clgx dxf*'-’ i

6JlgX +^JclgX •’«^^tgx+-y/ctgx- ( I )

* *r / 3 -v/l^ XSumando ambos miembros de la ecuación (1) la integral — j = es decir:

Jn/6 ^ X g x -¥^jc t g x

r*'3 ^¡Xgxdx f*/3 ^jtgxdx f*'3*\JtgX +-y/ctgx ^tgx+^/ctgX ^ /6-JtgX +

X rfx -Jtgx+^ctgx

_ p ^ ^ /tg x +-y/í tgx ^ _ 7T

•’’r/6 -y/tgjt +^/ctgx ■*'I/6 3 6 6

r*/3 -Jlgxdx _ n

*n/6y¡tgx +^Jctgx 12

(2ó) Calcular la integral J «« e9enxdr^ cosjc _ ^ s e n x

Solución

/rSea z = ---- x => dx = - dz, para2

x = 0 ; r = /r

/r, reemplazando se tiene:


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net



cn/1 €senxdx r° gscn(2 ^ ~n!2 gcos2rfr /Z = X)Jo cos.r +é?senA J^ /2 sen(£_z) cos(£ -2) Jo ^enz + cosz ' Z X

J*m ¿ e dx cnlL e dx---------------= --------------- , ahora sumando í

0 em *+¿x*x J0 ^sen*+ cos*

r*'2 gsenVJo ^senT+(

avmiembros de la ecuación la interni I —------------ es decir:„sen a .

eos X

rn.2 e ^ d x r 2 e ^ d x | f* /2 e ^ d xJO t senj + e £“ * Jo esenr+ e cosjr Jo pSeii.* + e cosv

2r ' l e ^ d x rm'l gsepx +gcos t f '^ 2= ZLJo ^senx +É,cosx J0 ^senx + £ ,cos* X Jf) 2

í*12 esmxdx n

'o esmx +e'MSX 4

(27) Calcular la integral f A scn* W 1 + COS A'

Solución

Aplicando la propiedad f f{x)dx = f f ia -x)dxJo Jo*

rn x sen a' dx rn (n - x) sen(;r - jc) , rn (n - x) sen x ,--------- ?— = --------------------------------------------------------5------- d x = \ -------- ?-------- d xJi) 1 + eos“ A' Jo 1 + eos~ (n - x) J() 1 + eos“ x

c71 xsenx dx rn senx dx rn x senx dx , .I -— = n ------- ----- ------------ -— * transponiendo términosJo 1 + cos" a' Jo 1 + cos x Jo l + cos~x

ambos

^r rxsenxdx , / , , tv g n n2 —- = -n arctg(cosx) / = - 7r(arctg(-l) - arctgO)) = - n {— 7 —7 )= —

1+cos2 x / o 4 4 2


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net



i* xsenx dx n 2

l + cos2x 4

@ Sí J J f '{x) + f" '(x))cosx dx = 9 y / " ( 0) = 7 Hallar / '( * )

Solución

f ( / '( * ) + r " ( * ) ) c o s x d x = f r U ) c o s x d x + f /"'(x)cosxrfx . . . ( 1 )Jo ‘ Jo* Jo'

J*ní 2f'(x) eos a dx por partes:

o

f u - f ' ( x ) jdu = f " { x ) d xj r f v = eos x dx [ v = sen x

¡n/2 n/2 [X/2J / '(x Jco sx í/A ^ sen x /'fx )^ - j /" (xjsenxrfx ... (2)

pnr/2ahora calculamos la integral / '' ’ (x) eos x dx por partes:

Jo

{ u = cosx ídu = -sen x d x

dv = f " ' ( x ) d x ^ [ v = / " ( a )

fiel 2 n¡2 Cni 2J /,,,(x)cosx¿x = cosx/,,(x)/o + J / M(*)sen xdx

£/"'(x)cosxdx = -/''(O) + Jo/ ,2"(x)scnxdx ... (3)

reemplazando (2) y (3) en (1) se tiene:


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net


29) Calcular la integral J | x | dx2 [| x\]x + 20

Solución

r3 | x | dx r° | x | dx r1 | x | dxJ-i2[|* |]x + 2 0 ”~ J i 2[|jc|]jc + 20 + J«2[|x|]x + 20 +

| x | dx r3 | x | dx1 2[|x|]x + 20 + J 2 2[|x|]x + 20

r° -x dx r1 x dx r2 x dx r3 x dx J 1 -2x + 20 + Jo 20 +Ji 2x + 20 + J2 4x + 20

1 f° n 10 w f1 A 1 f2/i 10 w 1 f\t 52 J 1 x-10 Jo 20 2 Ji x-10 4 J2 x + 5

2 t

= —U + 101n | x - 1 0 | ) / ”i + /'o+—(jf-101n |x + 1 0 | ) / j +

+ (* -5 1 n |x + 5|)/*

10 1 1 1 11 1 5. 7 51 5 5 , 7= 51n— + —+ — + —+ 51n— + —+ —ln— = — + 51n—+ —ln—11 2 40 2 12 4 4 8 40 6 4 8

30} Sean f y g dos funciones integrables sobre [a,b], pruebe la desigualdad de

CAUCHY — SCHWARZ.: ( ff(x).g(x)dx)2 < ( f (x)2dx.f*g{x)2dxJa Ja Ja

Solución

Para todo real X se tiene J (f(x) + Xg{x))2dx> 0

f f(x)2 dx + 2?Xf{x)g(x)dx + ?c f g(jf)2 ííc> 0 . . . ( 1)Ju Ja Ja

Sea A2 = f f ( x ) 2dx, B 2 = í g(x)2dx, C = f f(x).g{x)dx ...(2)Ju Ja Ju


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net

Reemplazando (2) en (1) se tiene: A 2 + 2h: + X2B2 > 0 ... (3 )

2q ^ 2a la ecuación (3) se expresa asi: A" + -— A H------ > 0, completando cuadrados

B- B2

. 2 2 C . C2 A 2 C*+ B 2 + B4 + B2 B4

(á + S ^ )2 + A 1 - £ t >0 .. .(4)B B B4

A 2 C 2ahora (4) es cierto sí y solo sí —-------- > 0B 2 B4

A 2B 2 - C 2 > 0 dedonde C 2 <A2B2

por lo tanto: ( \ f (x).g(x)dx)2 < f / ( x)2 dx, í g(x) 2 dxJa Ja Ja

2.9 EJERCICIOS PROPUESTOS.-]

I. Calcular F '(jc) siendo:

© F(x) = f e \ní dtJO

©cx4F(x) = J senh t dt

© F(x) = j 5Jl + t4dt

© F (jf)= |" Vi +t4dí

© aJ-jr 1 + / -

Rpta. F'(x) = ex Inx

Rpta. F'(4x) = 4x3 senh(x4)

Rpta. F'(x) = -^/l + x 4

Rpta. F'(x) = 2x^l + x*

2Rpta. F'(x) = ----- —l + x~


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net

© F(jc) = J ' cosh(2r + \)dt Rpta. F'{x) = 2 eosh(8jc2 + 1)

r* di© F(x) = Rpta. F'(x) =

Ju 1 + / - ( i+Jf2 )n+( r - 5 L . ) 2]Ju \ + t ¿

F(x) = sen(jj sen(J sen3 tdt)dy)

Rpta. F'(,v) = cos( f sen( í sen31 dt)d\.sen( f sen31 di))Jo Jo Jo

* ' 3 x 2r </' ,

© F(x) = P" l W / . ... 1 Rpta. F'(x) =-------------w Jfi 1+sen2/ , 3 n V dt(1+sen .t )[l + (l --------—y ]

Jo 1 + sen2/

© F(x) = r ( - L ^ + -J\ + tA)dtW J- 3/ + r

Rpta. F'(x) = ** 3* 6 +^|l + 7 - 3 x 2^|l + x 2a ( jc + 3 ) ( a ~ + 3 )

© r!' sen,rf'Jo / Rpta. n , ) . ” 2'

© J2 tRpta. F ’(a' ) = 4

© F(x) = f ln/ í//Jjc2

Rpta. F'(x) = -4A'lnx

2F(.v)=J ln2 / í// Rpta. F*(x) = 2xln2 x 2

© F(x) = f (eos l + t 2)dtJsen a

Rpta. F*(x) -2x(cosx2 + jt4)-(cos(sen x) + senz a ) eos*


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net

© F(x) = \ \ \ f ( t ) d t Rpta. F (x ) = 2xVf(t)dt + x 2 f(x)Jo'

© dtl+ sen2 1

Rpta. F'(x) = 3x2

1+sen2 jc3

© F< * H r ñ Rpta. F'(x) = 1

senx + x - 1

© F(x) = fJssen a 1 - j . eos 2 /

Rpta. F (x) -cosx 1 + eos2 (sen x)

© F(x) = £2 + / 3 - c t g 2 /

@ f u ) = r — %V- / J3 1 + cfit!61 + sen6 t + t 2

Rpta. F'(x)= fJu 2 + r -ctg /

Rpta. F'(x) = - 2x

» n ‘ . 2 41 + sen jf“ +x

© F(x) = J*'8* dt1 + /'

Rpta. F 'fr) = S£C * =1 1 + tg2 /

Rpta. F'(x) = see2 xi - t g 2 (tg.v)

f (x) = r ^tgr

see3 jr¿/xr

U i - x -1

dt x ¿Rpta. F'{x) = 2x P -^ V + J-2 to t¿tg/ tg*

f* i? f seo ví/v rfxRpta. F ' ( x ) = 4 r h

3\¡t «W 1- jr 3

@ F(x) = J* [£* ' VTVrfiv]rf/ Rpta. F ''(*) = 44^/l- ( 2 + jr2 ) 2 - V i - * 4 ]■í

dt Rpta. F'(x) =2igx 2_rsen(l+ a 2 )sen2x l+.v2


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net

@ F(x) = J' l¡] + v3 dy Rpta. F' (x) = x[3xlh+xv - 2 /l+x6]

II.

Sea f una función continua V x que cumple la relación:

f f(t)dt = - —+x sen 2x + —eos 2x+x2, calcular f ( —) y /**(—)J 2 2 4 ‘ 4

Rpta. / 4 > = T ’4 2 4

® 7T / fJ-Calcular F ’(—) si F(jc) = I xarcsen(— )dt y g(x) = (sen/ + 1 eost)dt

2 J* x Jo

Rpta. 0

© Si fes continua y x4 = JJ(/ (/ ))3rf/+17x. Hallar f(3) Rpta. f{3) = W \

© Sí f 8 f(t)dt = g(x) y /(* ) = ------Hallar g(x) Rpta. g(x) = -x+cJ3 1 + x

( ? ) Si f V & / = 2x+3 Hallar f(12) Rpta. f ( l 2 ) = -Jo' ‘ 4

© fcl8* f(t)dt = - ln | see 2x + tg 2x | . Hallar / ( - ) Rpta.J-2 7 71

4 - n -

© Si ^f{t)d1 - -2-Jl -senx , Hallar f(x) Rpta. f{x ) = —j =

© Si J /(/)<//= g(x) y /(x ) = l - x 2 , Hallar g(ji) Rpta. rc-1

© Si f f « ) d t = x - ^ , hallar f ¿ ) Rpta. ^V 2 • 2


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net

352 Eduardo Espittoza Ramos

(ío) Una función g definida para todo número real positivo satisface las dos condiciones

siguientes: g ( l )” l y g ’(x2) =jc3 , V x > 0, Calcular g(4)

Rpta. g(4) ~ ~

( n ) Si f y ( t )d t = x 1{\+x) Hallar f(2) Rpta.

(12) Sea f{l) = 4 4 + / 2 + f t = = - . si se define H(x) - f 1(t)dt.J 2 V4+ « 2 J *

Calcular D 2H(x) parax=l . Rpta.

2 + 3V2

■J5

© Si f }(t)di = 4 x + J } . Hallar f(17) Rpta. —Jv3 32

(l4) Sea f una función derivable tal que /(O) = /'(O) = 0 se define las funciones.

g(x) = ¡*f(u)u, //(X) = f (Jr> /(/)<*. Hallar D 2//(x) parax = 0 Jo J~£(*)

Rpta. 200

( í s ) Si í 3r 1 f (t)dt = — + ax , Hallar el valor o valores de a para que f (—) = —w Jo ax 4 3

Rpta. a = -2 ó 1

rb2 xd x r]+t}2dí Demuestre que: J —

@ Si / ( ( ) = * + f V l - « 2rfw; / / ( * ) = £ / ( < ) * entonces D2H(x). Rpta. 0

(l8 ) Demostrar que si f es continua, entonces: J /(w)(x-w)rfw = £ (J^/(/))rf« sugerencia

considerar F(x) = f /(w)(x-w)cfw después derivar F*(x) = [f(u)du enseguida Jo Jo

hallar un antiderivada y calcular la constante de integración calcular F(0).


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net

19) Aplicando el ejercicio (18), demostrar que:

^ f(u)(x-u)du = 2^ (£ (J ‘ f(i)dí)dul )du

c . . . . . f« 1» dt . , farcsenfcos 1-seilX2 0 ) Si H(x) = ,----— en donde I f (se n /)d t= J---------- y

JrW O -V i .T2 ) / 2 J j i V 1 + s e n j f

F™*4gV)dt=^!\-cosX . Hallar H'(x) Rpta. H'(x) = - \JV2

21) Sea f una función derivable tal que /(O) = /'(O) = a * se define las siguientes

J. fg(jr)f(u)du ; //(* )= donde “a”, “b” son constantes,

o' Jo

Calcular H'[x) parax = 0. Rpta. H'(Q)~a2b

22 / Existe una función f definida y continua V x e R que satisface una ecuación de la

r r1 2 x16 * 18forma f( t)dt=\ t f{t)dt +---- + -----+ c , donde c es una constante. EncontrarJo Jx 8 9

una fórmula explícita para f(x) y hallar el valor de la constante c.

Rpta. F(x) = 2x15; c = _ ^

(S ) Si 0 a < jc < — * Calcular d \ {í + f — —— ]dí\ en x = —2 Ja t J/ 1 + cosu 4

Rpta.n~

(24) Sea f una función derivable f ( l ) = f ' ( \ ) = = \ se define la función:

r/(*)G(x) = x f(u)du . Hallar la segunda derivada de G en el punto x = 1.Jo

Rpta. G"(l) = 4


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net

© f X + X 2 i

Si F(x)= l 2 ' d t , calcular F'(x), f ”(I)J r +1

Rpta. F'(x) = -x .2 *A*2xl +(\ + 2x)2 lx**1)2; F ( 1) = -

® Sea F(x) = p 2 f(t)dt, donde f: 1 -» R es una función continua y <p,,</>2:Jo.ÍJr)

16

2U )

son funciones derivables. Probar que: F'(x) = /( í» 2( x ^ j ( j t ) - / ( ^ (x))^¡ ( i )

® 1 r* V dl t x’h dtCalcular el limite l i m - ( x - \

A—»0 fj JO 1 + / 2 JO | + / 2

1Rpta.1 + x 2

. 1 pfc/2-íh 15 28) Calcular //« —1_ sen(/ )ífr Rpta. — =^-/ h-,0 h A/í/2+7* -y¡2

© Calcular lim — (jc - f sen2 / í/í - f eos2 t di) Rpta. 1h-t0 ti JO JO

® J »sen a -----

eaicuiar nm ---------------- Rpta. 1A-.0 f«* i----- ,Vsen/ dtJo

© Calcular lim í see t 2 dt Rpta. -14h-*0 Jfi/i

4

(¿2) Si f(x) es continua en [0,3] calcular lim J2_A f(t)dt Rpta. f(2)

(33) Sea f una función continua. Se define las funciones siguientes:

H(t)=ty + í* f 2(u)du , G(x) = r jr//(/)rf/ .Jo' Jo

f ' (u)du = ao

J ->I


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net

(34) Usando el criterio de la segunda derivada compruebe que la función definida por:

f*2 1 dtf(x)= y... ■ - , alcanza su valor mínimo en x = 0 .V/4 + / 2 +i

(35) Calcular D:.F(y) para y = 2 donde: F ( y ) = f * g(x)dx y' * Jl-4v(

.1+4

g(jc) = ( - l + x)1/:, + r -----Rpta. D;F( 2) = 32(—1 + m)(-1+H)1' 3 - 3

(3ó) Encontrar una función f(x) y un valor de la constante c, tal que:

J'x x 2t f ( t ) d t - senx-jccosx----- , Vx Rpta. f(x) = s e n x - l , c = 0c * 2

(37) Sea f una función continua sobre <-oo,oo>, tal que /(1) = /*(1) = 1, se define

H(x) = [ (x2 -a)f( t)d t sabiendo que ^ f ( t )d t = 8a. Calcular f /M( 1).

Rpta. H"(l) = 21 + a

® Cx 1 + sen /Dada la función ffx) definida para todo x por la fórmula f(x) = 3+ I -------— d t ,Jo 2+r

hallar las constantes “a”, “b” y “c” del polinomio cuadrático P(x) = a + bx+cx2

sabiendo que: P(0) = ffO), F (0) = /"(O), P"{0) = /"(O) .

Rpta. a = 3, b = — * c = —2 4

(39) Sea f una función continua en R, y F{x) = J* f (u)(x- u)2du , x e R. Hallar

F"(x) en su forma mas simplificada.

@ Si f es periódica de período P continua en R se define G(x) = ^ f ( t ) d t . Demostrar

que:

a) Si f es impar G es una función par. b) G(x + p) = G(x) + G(p)


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net

( í í ) Probar que sí x > 1, lnx - ~ = 2(^fx -1 ).

(42) Pruebe que si / (x) = J f ( t )d t , V x entonces f(x) = 0, V x.

®CG(x)

Demostrar que si H es continua F y G derivables J(x) = H{t)dt entoncesJF(x)

J \ x ) = H(G(x))G'(x) - H(F(x))F'(x) .

(44) Dado F(x) = \ y si H(x) = í F(x)dx. ¿En qué puntos es H' (x) = F(x) ?[1 si x > 1 Jo

45) Sea f una función real, biyectiva, creciente y derivable, se definerf(x) ,

I ( x ) = f U ) d t , V x e R. Demostrar que sí a < b, entonces 3 c e [a,b] tal queJa

Kb)-1(a) f ( b ) - f ( a ) ‘

(Só) Sea f una función continua en [!,+*», con f(x) > 0, V x > 1 sí:

F(x) = \ Xf( t )d t< ( f(x ) )2

(47) Sea f una función continua en [0,+ao>, con f(x) * 0, V x > 0, Demostrar que sí

[/(x)]2 = 2JV (l)dt, V x > 0 entonces f(x) = x, V x > 0.

Pruebe que si f(x) es derivable y f '(x) = c f ( x ) , V x entonces existe un número K tal

que f(x) = ke" , V x.

® ftg* 1 rrlzx 1Demostrar la siguiente igualdad: I ------d t + \ -------— dí = \

Ji/* 1+ 1 Ji/« /(1+/2)


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net

n ru )d tJo

\* m d tJo

(50) Sea f(x) una función positiva continua. Demostrar que la función <p(x) =

es creciente para x > 1.

(si) Hallar todos los valores de x > 0 para los que J [| r |]2 di = 2(x -1)

(52) Sea f una función derivable en <-oo,qo>, tal que /(1) = /'(1) = 1 se defínelas

siguientes funciones H(x) = %]7+jc3 + f/( f(t)dt y G(x) = í H(u)du . HallarJy

D'H(x) , parax = 1.

1 ^a) Probar que ----- = 1 - u + u 2 -------- (la división puede continuar)\ + u l + u

f r dtb) En la ecuación lnx= — , hacer la sustitución t = 1+ u. dt = du y hacer elJi i

du------ .

0 1 + U

r-T-1 - u 3c) Combinar los resultados de a) y b) para obtener l n x = (1 - w + 1/ z -------- )du

Jo 1 + u

ó lnx = (x -1 ) -—(x-1)2 + — (x-1)3- R donde du .2 3 Jo l + u

^ 3d) Probar que s i x > l y 0 < u < x — 1, entonces ----- < w3 , deducir que

l + i/*-1 - (x-1)4r x~l

< UJo du

III. Aplicando el teorema fundamental del cálculo, calcular las siguientes integrales definidas:


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net

© j y * Rpta. 18

© j' (5r4 -4. x 3)dx Rpta. 2

©r1 xdx Rpta. 3Jo(x2 + l)3 16

© JJ(3jt2 -4x+2)rfx Rpta. 11

© J 3x^4—x 2 dx Rpta. -8

©f2 x3 +2x2 +x+4 , dxJi (x + 1)2

Rpta. 136

©f1 x 3dx J-i x + 2

Rpta. — -81n3 3

©r1 (x2 + 2 x)dx

M x 3 +3x2 +4Rpta.

&1<N

\X x U l dx Jo x + 1

Rpta. 56

© Rpta. 621512

Rpta. - — 14


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net

In te g r a ! D e fin id a 361

©

©

2)dx

J (x + iy]x+3 dx

Rpta.

Rpta.

11T4615

© f sen2 /orcos2 tdc dx Jo

Rpta. 15

©f 1I sen (— )dx Jo 2

Rpta. 43 n

©rn/21 sen x cos xdx Jo Rpta. 1

12

©f*r/4

tg x dxJo Rpta. ------- In22 2

©*nl 21 (senx-cosx)dx Jo

Rpta. 0

©cn/2 1I (— + cosx)rfx Jo 2

Rpta. £ + i4

©r* '4,.^sen jr ,

( , )dxJo COS X

Rpta. n 1T _ 2

© Jo s ig (x -x i )dx Rpta. -1

© f x.v/^(cos_v)i/x Jo

Rpta. /r24

®fV2 4\x2 - 2 x - 3 \ ( x - \ ) dx J-V2 [\x2 +\\]

Rpta. -^[8+ (1 + 2a/2)3' 2 +(2V2-1)3' 2] 6

© r*/4 sec2 x tax _ - r = dx

0 V2 + sec2 xRpta. 2 -a/3


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net



®rn/6 2 + 3J3J sen 2x eos 4x dx Rpta. — ——

® r2*/3 dO „ kI — Rpta. —Jo 5 + 4eos0 9

® ^w/3 - «. 856i see x tu x dx Rpta. ----Jo v 105

© r 1 dx Rpta.Jo 3 + eos 2x 8

® r,l/3cos2x-l , _ n .------ dx R p ta .---1Jo eos 2x + l 4

senx dx 1 7+3-J2.---- ---------------- Rpta. — ln | -j=Jrt/4 eos jc-eos.r+4 3 1 - 3 ^ 2

® r”n cos.x dx „ n--------= - Rpta. -

Jo 1+sen x 4

(60) J 2/ sen t 2 eos t 2 dt Rpta.2 2 sen n

W J-*'2^/s¡ñ7 8 l 4

® í Veos .r-eos3 x dx Rpta. —J-n/2 3

® f2in J 1i -— sen— dx Rpta. 1Jl/TT x 2 x

f --------—------- Rpta. 42 arctg(—^=)Jo senjc+eosjc+2 2-\/2


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net


In te g r a l D e fin id a 3 63

® .r /2 dx lo senjc+cosjt

Rpta. 4 l ln(V2 +1)

© ;*nl 2I sen5jtcos3jif dx lo

1Rpta. —

© ;p/r/2i (l + sen0) ¿0 lo

D . 2 0 3 5 /rRpta. — +-----F 3 16

@ Jpzr/3

ctgx\n(senx)dx*n / 4

Rpta. i[ ( in ( |) )2 - ( ln ( ^ ) ) 2] ' «¿n

•

©

í arctg(-Jx)dx lo Rpta. y - 1 (í 8

© Jr1/2 xarcsen,x dx 1 W 3R p ta .----------2 12é - x 2

© Jr n 7e~*sei\xdx'o

o . ^2" +15

© J[* jc ln x dx 3Rpta. In4—

4

© Ji r '¡ l7 2 *V2/2 x2Rpta. 1 -—

4

© JA2x(l+x 2)V2dx 0Rpta. 2,2^ - ' >

© J■2 x 5dxo (1+*J )3/2

gRpta. —

9 (a


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net


© jki Rpta. 1285967

@ Jf V ( l - x 2)V2dx loRpta. 2n

256

© Jx 9dx Rpta. 2

lo (l+.r5)1 45

® Jr dx '• x(l + ln2 jc)

Rpta. 71~4

® Jr ( i -'» - ^ Rpta. ln(3t ? ^ ) + 2V2 *s/Í51 & iy m.r- ■ — 1 | ^ y ** y A fc/4-VÍ5

© Jr2 dx Rpta. f./7 arrtp -¡Í7 arrtp

x 2 + 3jc + 4 7 7

© jr1/2 3arcsenjc , Rpta.4

© jr1 xdx Rpta. /r-2® (jc+1)2(x2 +1) 8

© J[ Ot2 +4xh]x3 +6x2 +1 í£c 'o

Rpta.

© Jr-2 dx

4 4 - x 2 - 6 X~5Rpta. n

y

© J•3 (2jc3 +1 %)dx » ÍJC—3Kjc2 +9)

Rpta. A 55 , <> 76----- ln2 — tt18 9


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net

I n te g r a l D e fin id a 365

p/ 2 x n l dxRpta. n

* -Ja2 - x 2n 6n

j-i e2xdx Rpta. e —2

'~24 \ - e 2x 2

© J 4 x ^¡2-x dx Rpta. n7

© r F * d xJo \ 1 — X

Rpta. arcsen(^) +

©f1 -Jl-X .

Jo^¡2-xRpta. V2-ln(l + V2)

© J ln-s/2-x<tr Rpta. In 2 -y

© J-i\3 + xRpta. K— 2

© f9 x ~ l ji r * * i *

Rpta. 233

© [' x 154l + 3x*dx Jo

Rpta. 29270

© r . h *J-l/2V l - XRpta. n

y

©J-16 ¿¿X

a / x + 9 - V *Rpta. 12

p/3/2 X3Í¿C

^ 2 , 5 V \ |5 .4Rpta. 4

y


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net


© .f " +> ,0 1 + x

© .Hcarctgx dx Jo

© .r /3 2x sen3x dxk

® :rls/2 x *

© J(0 X

© Jr1 arcsen-y/x>0 ^ (1 -X )

© jÍ V l - e 'd *lln(3/4)

© j--5-5VÍ ¿v

15 (x + 5) Vi Ox + .v2

© Jj ln(,\ + V-x2 -1 )dx

© JA/& dx

0 (2x2 +l)sjx2 +1

© J■27 rfx 0 x - l f x

© J■Wl+e 2" .----------- ¿¿X0 e-3"

n ln2

Rpta.

—+- 4 2

27T V3T " 2

7T2 --4

27

^ n Rpta. —3

Rpta. 41n(2 + V3)-2V3

Rpta. nr

Rpta. In3 - 1

nR p ta .-----60

Rpta. 3 In(3 + 2^2) - 2^2

Rpta. arctg(y)

Rpta. — ln(—) 8 3

Rp.a.


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net



( m ) |'ln (.r2 +\)dx Rpta. ln2 + - -2

© t í

121

2V2 dx „ * %/6,, — r - Rpta. --------+ ------^ x j ( x 2 -2 ) 27 48

(ÍÍ5) f1 3 Rpta. —in 2W Jo 1 + X2 F 8

© r cos^|2x dx Rpta. -2

( m ) í 2---------- — Rpta. -Jo - J x + \ + V ( x + 1)5 6

(Íl8) J J Me3jrsen4x íír Rpta. ^ ( l + e (3,r)/4)

© Jl arcsen J j ^ —dx Rpta.

(Í20) f"------,A Rpta. í

f ^ dx Rpta. l n ( í l Ü H ,


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net


368

©©©©©©©©©

©©©

E d u a r d o E s p in o z a R a m o s

r2 aM-jc2 'JsI ---- — d x Rpta. —Ji H 4

? d x „ . , ,7 + 2^7 x, , RPta- In(— --)1 x 4 x + 5jc + 1 ®

f3 x *dx D 14

fln5 e*-Je* —1 , .I -----------d x Rpta. 4 — nJn e x +3

W « 2' * Rpta. ^____0 +J-l -/ i 32J 1 - J ^ 7 (4 - x 2 ) 2 ' 72

a rc tg ^ l'J x + \d x Rpta. l|L -2 ^ /3

f7 . 652 I . Rpta. ---j 1-7x72 H 15

f7/z dx 2Jí'2 (5 + 4jc-x2 )5' 2 P 3 ‘ 9t/3

r1 jc dx ^ 27ti Rpta. - n ---J l (2 -x )V T V 3

sen x ln(l + senx )d x Rpta. y - ^ - ^ l n ( l + “^~)

rJ ¿x +1» . _ 4 , 33, . mI --------------d x Rpta. 6 -----ln2-----Jo ( j c + 3 ) 0 r + 9 ) 18 9

í ln(4.r2 + \)d x Rpta. ln(-^L) + arctg2 -1 - —Ji/2 V2 4


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net


*ni 4 .----- 2 j n + 2137) \ n¡y cosx+^/tgx + sen xec“ x +cos x)dx Rpta. ■ —

138) J x81 eosx dx Rpta. 0

IV.

dx 1 bRpta. - ¡= a rc tg J —(139) r — .J<) fleos x + b sen x ~Jab

® í [cos(sen x) ln(^— + 3x + 4]dx Rpta. 4«J-l/2 1 — X

© J [(x5 + x3 + x ) ^ \ + x A + 3 ]dx Rpta. 12

(142) | cosjcln(|^)¿¿x Rpta. 0

a

»ni%l143 Í- m ojc sen x dx Rpta. 0

-n i 8

(Í44) Rpta. V 2 - ^ + l n ( ^ ^ )^ x 2 -s/3 1+V2

@ f2 ---- p = r, * 7T 7-V3 .Rpta. — +------- 432 2

© f71 z üb dx tiMostrar que —— *4-------------------------------------------------------------------- ------ — = —, donde a y b son números realesJ0 a eos x+b sen x 2

cualquiera distinto de cero.

© _ rnn -Jsen xdx nDemostrar que: . — . = —Jo vsenx+vcosx 4

( ? ) Demostrar que: ^ \ t \d t = , V x e R


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net


( 4) Demostrar que: -7 - í (>' - * ) / ' (y)dy = /(O) - f (x)dx Jo

© Demostrar que para todo x real r (t+\t\)2dt = - x 2(x+\x\)

© Hallar el valor de c tal que f(x) = x 2 - 2x +1, f(c) = f(x)dx

2Rpta. c - 1 + -= e [1,3]

V 3

( 7) Demostrar que: f ------ —— = íJo árceos x Jo x

1 dx cn 12 sen x ,— — dx

© Hallar un polinomio cuadrático p(x) para el cual p(0) = p(l) = 0 y j^p(x)dx

Rpta. p(x) = 6jc - 6x2

3

^9) Demostrar que: J 2 [| x |]dx = —

^ 0) Probar que: J f(x)dx = J / ( a + b - x)dx

© Evaluar f"{2x)dx , sabiendo que f(0) = 1, f(2) = 3, / ' (2) = 5 Rpta. 2

®

CX d t tiResolver la ecuación _ —r .-.~ - - — Rpta. x = 212

(Í3) Calcular í -y/secx ¿y Rpta. sug: z =Jn/6 ^¡secx +-yJcosecx 12

(14) Hallar un polinomio cubico p(x) para el cual p(0) = p(-2) = 0, p(l) = 15 y

3J° p(x)dx = 4 Rpta. p(x) = 4x + 8jc 2 + 3x3


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net


(i?) Demostrar que, si f es continua en [-3.4], entonces:

JV (x)dx+JJ ( x ) d x + J / (x)dx + 1 / (x)dx = 0

Demostrar que, si f es continua en [-3,4], entonces:

J f (x)dx + J / (x)dx + jV (x)dx + f (x)dx = 0

^ 7) Demostrar que, si f(x) es continua en [a,b], entonces:

\ f (x)dx = {b-a)[ f{a + ib - a)x)dxJa Jo

(ÍÍ) Demostrar que 0< ^ ^ - dx<— n 2W Jo 3 + ^ 2 36

^9 ) Calcular la siguiente integral J f(x)dx si f(x) = |x—2| + |x — 11

© Hallar J* [^F{x)G(y)dyVx

/ 2 _ * _ JC + lDemostrar la siguiente igualdad ln(sen 6 + x eos 6)d6 = ln(-^—)

(22) Calcular /'*'(0), sabiendo que: J [ / '(x ) + / ,,,(x)]cosx d x~ 3 , así mismo f \

/* ', / " ' son funciones continuas en [0,—] y / ' ( —) = 02 2

(23) Calcular / = £ x4F (4)(x)dx, sabiendo que F ,,f(6) = 1, F"(6) = -4 , F ’(6) = 8,

F(6) = -10, F(0) = -20.

© Calcular í x 2sig(eúsx)dx Rpta.Jo 43

4


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net

(25) Calcular J \6x2 - 5 x + l |¿ t Rpta. ~

26) Calcular J'*'2 sen 2x , „-------- — dx Rpta. 3o (sen*)

(27) Calcular el valor de la integral definida J f(x)dx siendo

\x \+x2 , x< 0/ ( * ) = [ n ,

|r |J r ' + eosk , x > 0

(28) Sea f una función integrable en [a,b] y k * 0, una constante real. Demostrar que:

( f(x )dx = k ( ' kf(kx)dxJa Ja l k

(29) Pruebe que j^x d x > ^ x 2dx pero ^ x dx< x 2d x , no evaluar la integral.

(jü) Sea f acotada en [a,b] y continua en [a,b] excepto en un punto c e [a,b]. Pruebe que fes integrable en [a,b].

® [a si x ~ cSea c € [a,b] y a e R, definimos f: [a,b] -» R por f(x) -< . Pruebe

[0 si x

que f es integrable y que \ f \x)dx = 0Ja

(32) Por definición una función f(x) es par sí f(-x) = f(x), V x. Pruebe que sí f(x) función

par entonces J f (x)dx - 2 / (x)dx, a > 0.

(33) Dadas las funciones siguientes:


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net

Calcular £/(x)g(x)<£t Rpta. 11" 6

Si n e Z+ , demostrar que:

a) b) f r i*Jo

c) f u J n * = n{n- T +l)>0 6

Evaluar las siguientes integrales.

a) í sen 2x dx lo

Rpta. 1

b) J{mi j

| —H eos 11 dt lo 2

Rpta. ^ 3 + ^

O jP*/3 / , eos—dt w 2

Rpta. I

d) Jr° dx Rpta. n^•4x2 +8x+8 16

e) jp2 dx Rpta. - - l n 26x 2 - 4 x - 5

* J*nsenhjc.senjc dx 0

Rpta. senh?r2

g) J*2jt|senjc-cosjc|¿/x0

Rpta. 4 s/2

"n * it2 j, B(«-1)(2w-1)

(3ó) Sea f: R -> R una función continua, sabiendo que J f(t)dt = 6. Calcular

J 44/(2 * -2 )d x .


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net

© Si f(x) = -

x 2 , x< 2

2 , 2 < x < 0 , Calcular ^ ( f (x )-x )dx

l + xJ•, x > 0

© ) Sean f y g dos funciones integrables sobre [a,b], pruebe la desigualdad de Cauchy

SCHWARTZ. ( f /g ) 2 < ( f f 2)(f g 2)Ja Ja Ja

(39) Hallar j~f(x)dx sí f ( x ) =

@ ) Hallar £ ;f(x)dx si f (x ) =

x 2, 0 < x < l 2 -x , l< x < 2

x para 0 <x<tl - xt.----- para i <x< 11- / y

© Demostrar la igualdad. í x3 f (x2 )dx = — f x f (x)dx, a > 0Jo 2 Jo

(42) Demostrar que si f(x) es continua en [0,1], entonces: £ x /(senx)dx = y |/(sen x )d x

43) Calcular la integral

1/ = x+ — . x

J'2 1 x+—(1+x— )<? *dx, introduciendo la nueva variable

1/2 jc

Tr „ ! - , f3 f'{x)dx , (x + l)2(x -l)Hallar la integral -----—— si / (x) = ---- ----------J-U + / ( x )2 x (x-2)

(4 5) Calcular las siguientes integrales:

a) J 2[|x|]dx Rpta. 4


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net

b) J i([|*|] + [|x + ^ |])tfx Rpta. 6

(íó) Probar que: J [ |x\]dx + J [| - x \]dx - a - b

(47) Demostrar que: j j \ t 2 \]dí = 5 - ^ 2 - ^ 3

^8 ) Si F(x + T) = F(x) Probar que: J x F(x)dx = J x F (x )á + J F(x)dx

R p t a . AJo 2 6

(serrx-2senx + 4)J

50J f — dx Rpta. - ——J Jo i+x2 2

í —----- Rpta. ln2Ji x - 4 x —5 6

(52) Calcular f(0) sabiendo que f(n) = 2 y a su vez Jj (f(x) + /"(x))senx dx = 5

Rpta. 3

f 4* + 5 , <tc Rpta. 9/2Jo i.

(x2 -2 x + 2)2

i

© j r * — 5/ — Rpta- ¿ (8 0 )

5?) Calcular el valor de J g(x)dx donde #(x) = J ^í( t)d t , x e R y

Í12x-12.si x <1 3697/ (x) = \ , Rpta. ——

|6x" -6 , si x > 1 4

«


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net

376 E d u a rd o E s p in o z a R a m o s

r l x d x t l r duDemostrar que ----- T = —h \ + x 2 Jo u

Calcular f(2) si f es continua y J / (f)d/ = v Rpta. —

(58) Si f(n) = 2 y | [F(r) + F ,f(v)]senx rfx = 5, calcular f(0)

(59) Si J^[F '(x) + F''(x)]cosxdx = 90. F"<0) = 7, calcular F '(y )

(ó0) Sabiendo que f jn--—* ■ dx = —ln 2 , calcular f arclk \ /v^ Jo l -f x " 8 Jo 1 + x

£ 7 t) ¡i.x F(x)dx - J xF{ \ )dx + jJ* F(x)dx

(ó2) Expresar el siguiente limite como una integral definida luego calcular el valor de la. .. rn n 2n 2n nn nn ,1 integral hm[—sen— + — sen— +... + — sen(— )]—

w-** n n n n n n n

(ó3) Aplicando el primer teorema fundamental del calculo» hallar la derivada de la integral definida.


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net

A p lic a c ió n d e la In te g r a ! D e fin id a 377

CAPITULO III

3 . A P L IC A C IO N E S P E L A IN T E G R A L D E F I N I P A .-

3.1 AREAS P E REGIONES PLANAS,-

En el cálculo de area de regiones planas se consideran dos casos:

ler. Caso.- Consideremos una función y = f(x) continua en un intervalo cerrado [a,b] y además f(x) > 0, V x e [a,b]. El área de la región R limitada por la curva y = f(x), el eje X y las rectas verticales x = a y x = b, está dado por la expresión:

Á m ^ f f W d x

OBSERVACION.- Si la región R es limitada por la curva x = g(y) y las rectasy = c, y = d, entonces el área de la región R es expresado por:


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net



2do. Caso.- Consideremos dos funciones f y g continuas en el intervalo cerrado [a,b] tal que f(x) > g(x), V x g [a,b], el área de la región R Limitada por las curvas y = f(x), y = g(x) y las rectas x = a y x = b, está dado por la expresión.

OBSERVACION.- Si la región R es limitada por las curvas x = g(y)* x = h(y) talque g(y) > h(y), V y e[c,d] y las rectas y = c, y = d, entonces, el área de la región R está dada por la expresión:


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net


A p lic a c ió n d e la in te g r a l D e fin id a 379

OBSERVACION.- En él calculo del área de una región R limitada por la curvay = f(x) el eje X y las rectas x =a, x = b la función f(x) > 0,V x e[a,b] pero en el caso en que f(x) < 0, la región R esta debajo del eje X en este caso el área es calculado por:

A(R) =i

3.1.1 PROBLEMAS DESARROLLADOS.

© Calcular el área de la figura limitada por la parábola y = 4x ~ x2. v el eje de abscisas.

Solución


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net

380 E d u a r d o E s p in o la R a m o s

©

©

Como y = 4 x ~ x2 => y -4 = -(jc -2 )2, es una parábola de vértice en el punto V(2,4) cuyo gráficoes:

A { R ) = \v d x - \ { 4 x - x 2)dx Jo' Jo

2 .r3 . / A 32 2 = (2x — —) / = — «3 / 0 J

Hallar el área de la figura comprendida entre la hipérbola xy = t?i2, las rectas

verticales x = a, x = 3a (a > 0) y el eje OX.

Solución

xy -m ~ => y ------, cuyo gráfico es:

iY

k.

Vi

1 „

l a

K.

►0 a 3a x

y d x - I ---- dx = nr lnx /Jtf A'

v4(/?) = wz2 ln3a-w r Ina

>í(/?) = w2 In3 u2

Encontrar el área acotada por las curvas cuyas ecuaciones son y — ex, y = e x y la

recta x = 1.Solución

YLa región comprendida por y = ex , >• = é \ x = 1 es la del gráfico siguiente.

A(R) = í {ex - e x )dx = (ex +e ) ¡ \= e + e - 2 Jo 7 0

1 x e+e 1= 2(——----- 1) = 2(coshl-l)

/!(/?) = 2(cosh I — l )u2


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net


A p lic a c ió n d e la In te g r a l D e fin id a 381

Hallar el área limitada por las curvas x 2 ~ y 2 = 3 , xy = ± 2, y = ± 4.

©

Graficando la región se tiene:

i i -» x~ - y~ =3 x 2 — (—-)2 = 3 jcxy = 2

*4 -3 x 2 - 4 = 0

(x2 - 4)(x2 +1) = 0 => x = ± 2

para x = 2, y = 1 por simetría se tiene: A( R) = 4A(RX)

A{R) = 4 f [^3+ v2 -~ M v , por la tabla de integración. j i ' ^

>í(/?) = 4[y^/3+v2 + ~ln \y + 3 + y 2 | —21nv]

>4(7?) = 4{(2VÍ9 + - ln | 4^19 | -21n4)- ( - ( 2 ) + - ln 11 + 2 1 -0]

/4(/?) = (8VÍ9-4 + 61n| 4+^ |-161n2)t<2

Calcular el área de la figura limitada por las líneas cuyas ecuaciones son

r 2 =x + l , x - y — 1 = 0.

Solución

Calculando los puntos de intersección se tiene:

y 2 =x+\ [y2- l - . y - l = 0x —y —\ = 0 |v2- > ' - 2 = 0

(y —2)(y+ 1) = 0 y = -1, y = 2


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net


A(R)= f [(v+ l)-(v2-l)]rfv= f ( - v2 + v + 2 W v = ( - ^ - + ^ — + 2 v ) /i i ' ' J-i ' 3 2 / i

/!(*)= | t r

Hallar el área de la figura comprendida entre la parábola y = - x 2 + 4 a -3 y las tangentes a ésta en los puntos (0,-3) y (3,0).

Solución

>4(/0= f [ (4 y -3 )-(-x 2 + 4x-3)]dx + f [(6 -2 x )-(-jc2+4t-3)]rfx Jo J3/2

i4(/?)=f x 2dx+ f (x2 -6 x + 9)¿¿c Jo J3/2

A(R) =3/2

+ (~ - -3 jc2 + 9a)3/2

_9_ 9 9 = 9~ 4 + 8 4 _ 4

( 7) Calculando el área de la figura limitada por las parábolas y2 +8* = 16, y

y 2 -24jr = 48.Solución


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net


ik v

i

y2 - 24x = !

F/ i / t 1 i

W 2 +8x = 16 ] fel

\ 1 ° R y/2 X

<

y + 8x = 16 y 2 -24jc = 48

y 2 = - 8 (jc-2)

y2 = 24(x + 2)

y +8.r = 16 y2-24v=48

x= 16-y2~8 y2 -48 16 -y 2•2 -48 24 8

x =24

v2 -48 = 48-3 v2 => v2 =24 => y = ± l S

bIS 1 6 - r 3 v2 -48 ‘2-Je2t/6 8 24 wW w 4~ V ,* ’ ' ,4>' n ? ’

2>/6= f V 6

A ( W = - y S u 2

Calcular el área de la figura limitada por las parábolas y = x 2, y = A'

Solución

*>y = ; rr 3 => — 3

31 •*V = —/ 3

/»(/?) = 0 - 4

A(R) = (?_ 2 7 _ 9

= jT => x = 0, x = 3

¿(*> =

O ¡ 'sí*


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net


Calcular el área de la figura limitada por las lineas y = lnx e v = ln2 x

Solución

V’ = lnxr=> ln2 t = lnx

v = l i r x

ln(x)(lnx — 1) = 0 => lnx = 0 V lnx — 1 = 0

= ln 2x x = í?°, x = ex de donde x = l t x - e

A(R) = Jj fin v -ln 2 x)rfx = (3xlnx-xln2 x-3v)j

A(R) = (3-e)ir

© Calcular el área de la figura limitada por las lineas v = ; y = x lnx4x

,/D4 3-21n22-21n2 ,A(R)=-------------------- W16


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net


A p lic a c ió n d e ia In te g r a l D e fin id a 385

^ 1 ) A un ingeniero civil se le encarga construir en un terreno que tiene la forma de la

siguiente región en el plano, el cual esta limitado por las curvas y = 3 - x 2

e y = -x + 1, medido en decámetros ¿Cuál será el área techada en el primer piso si se quiere dejar un tercio del total del terreno para jardines?.

Solución

Para graficar la parábola, hallamos el vértice.

y -3 = - x 2 => V(0,3)

ahora calculamos los puntos de intersección

y = 3 - x 2 i íx = -l=> x' —x — 2 = 0 => <y = -x +1 I x - 2

de la región total se debe tomar los 2/3 por lo tanto el área techada es

Ar = ! j [(3 -x 2) - ( -x + l)]dx = yJ* (2 + x - x 2)dx

2 r,~ x 2 j r \ / 2 , 2 r / . „ 8, / ~ 1 1 ~= —[(2x +----- — ) / 1=— [(4 + 2 — ) —(—2 h------1—)1 = 33 2 3 / i 3 3 2 3

9 7Luego transformando en metros tenemos: AT = 3(10)' = 300 m~

La forma de una piscina es como la región del plano dado por las curvas x = y ,

x = V3 ¿Qué área ocupa la piscina? (es dado en decámetros).

Solución

r1 ? < v3 v4 /i 1 1 iA = I (y~ - v )dv = (------ —) / = (--------)= — dm‘ , que en metros es:Jo ' 3 4 / 0 3 4 12

. 100 7A = ---- m~12


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net


I .VI.2

© Hallar el área de la figura limitada por la curva y3 = x , la recta y = h la vertical x = 8.

* 31 2 Rpta. — u

( 2) Hallar el área de la figura limitada por la curva y = x 3, la recta y = 8 y el eje OY.

Rpta. 12 m2

© Hallar el área comprendida entre las curvas y 2 =x3, y 2 = x

D 8 2 Rpta. — u15

© Hallar el área de la superficie limitada por las curvas y = 4 - x 2 , y = 4 - 4x

o . 32 7Rpta.

© Hallar el área de la superficie limitada por las curvas y 2 = 4 x , 2\ y = 4.

Rpta. 9u2

Hallar el área de la figura limitada por la curva y = x(x — 1 )(x - 2) y el eje x.

( 7) Calcular el área de la región limitada por la gráfica >• = ^ , el eje X y las1 + x~

rectas x = -2, x = l . Rpta. (InlO)w2

© Calcular el área de la figura limitada por la parabola y = 2 x - x 2, y la recta y = -x.


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net


© Calcular el área de la figura comprendida entre la línea _y = - - 7 y la parábola

X2 n i / l l 2y - — . R|*a. < - - *

(To) Encontrar el área de la región acotada por la curva y = - el eje X y las rectasv-^ x - 3

x = 4, x = 5. Rpta. (21n2)u2

11) Determinar el área de la superficie limitada por los arcos de las tres parábolas

x 2 = 9 v -8 1 , x 2 = 4y—16, x 2 - y - 1 la región no se intercepta con el eje Y.

Rpta. 16 u 2

12) Hallar el área de la región limitada por las curvas y = x 2 , y = x + 2, y = —3 x 2 + 8.

Rpta. — u 26

^ 3) Encontrar el área de la figura plana que forman las curvas y = -J\~x —Jx ;4

3 ^ 5

1— 4 1y - ±^Jx . Rpta. — -= u "

^4 ) Calcular el área de la figura comprendida entre las parábolas y - x 1 , y = — , y la

recta y=2x. Rpta. 4u2

(l§) Hallar el área mayor encerrada por las curvas x 2 - 2 y 3 = 0 , x 2 - 8 y = 0, y = 3.

Rpta. ( ^ + 5^3 )«2

Hallar el área de la porción en el primer cuadrante limitada superiormente por y = 2x e

inferiormente por y = x^3x2 +1 Rpta. ~ u 2


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net


( j j ) Hallar el área de la figura comprendida entre la hipérbola x 2 - y 2 = 9 , el eje X y el

45 idiámetro que pasa por el punto (5,4). Rpta. (— + 9 ln 3)u“4

© Calcular el área del trapecio mixtilineo limitado por la línea y = (x2 + 2x)e x y el eje

de abscisas. Rpta. 4i r

^ 9 ) Hallar el área de la superficie limitada por la parábola y - 6+ 4x - x2 y la cuerda que

une los puntos (-2. -6) y (4.6). Rpta. 36u 2

(20) Hallar el area de la figura comprendida entre las curvas yx2 = 2, x + y = 4, x = 1,

x = 2. Rpta. —u24

(21) Hallar el área limitada por las siguientes curvas:

a) y 2 = 2 x , y=-4 + x Rpta. 18a2

3 2b) x 2 =4av, v= , — - Rpta. ( la2n - ^ —)u2

x'+4a~ 3

\ 2 3 ^ . 49 7c) y = x , v = x , x + y = 2 Rpta. — u~12

d) y = 4 x ^ - 3 , y = |x — 11, y= 0 Rpta. (y in 3 - y)w2

e) ~ x3 + x ~ 4, y = x, y = 8 -x .

f) y = 4-ln(x + 1), y= ln(x + 1), x= 0 Rpta. 2(e2 -3) i r

g) y = x 2 - 2 \ x \ + 2 , y = ~ Rpta. j U 2

h) > = x 3-3 x , y= x Rpta. 8u2


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net


A p lic a c ió n d e la In te g r a ! D e fin id a 389

i) y 2 = 4*. x = 12 + 2y - y 2 Rpta. 54.61«2

j) y(x2+ 4) = 4 ( 2 - x ) , y=0, x = 0 Rpta. ln4)w2JLm

k) x - e }\ x = 0, y=0, y = ln 4 Rpta. 3u2

I) y=2x + 2, jc - y 2 + 1, x = O, y = O, x= 2 Rpta. (15 + — Jl)u23

11) r = secr x , y = tg^x, x = O Rpta. (— - l )u 2jLr

m) y - jc2 , v = 8 - x 2 , 4x — y + 12 = O Rpta. 64a2

n) y = 3jc5 4 -J t4/3, y=0, x = -1, Rpta. -y -u2

(22) Hallar el área de la región comprendida entre las curvas y = senx, y = cosx con

jc € [—, — ) Rpta. 2a/2w 24 4

(23) Hallar el área de la región limitada por los gráficos y = arcsen x, y = arccos x, y = 0.

Rpta. (*j2-l)u2

(24) Hallar el área de la figura limitada por la línea en donde y 2 = x 2 - jc4 .

O * 4 *Rpta. —ir3

(25) Hallar el área comprendida entre las curvas y = ex 9 y = lnx, x = -l, x = 2, y = 0

Rpta. 6.63ir

(26) Hallar el área de la región limitada por el astroide x 2'3 + y 2'3 = o2 3


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net



(27) Hallar el area de la región comprendida entre las curvas y = xe* 2x*, y = x.

e8 -9 2 Rpta. - — - u2

(28) Hallar el área de la región comprendida entre las curvas ^(jc2 +4) = 8,

3jc2 - 4y - 8 = 0 Rpta. 2(tt + 2)u 2

(29) Hallar el área de la figura comprendida entre las curvas y = \Jx +1 - M x - \ , x = -1,

x = l Rpta. 3^2 u2

(30) Calcular el área de la figura comprendida entre las curvas y = jc 3e8_ **, y = 4x.

u , e8-73 ,Rpta. -------- w“4

(31) Calcular el área de la figura comprendida entre la curva y = tg x, el eje X y la recta

x — Rpta. (In2) u2

(32) Calcular el área de la figura comprendida entre la línea y = x ( x - 1)2 y el eje de las

abscisas. Rpta. — u 2F 12

^ 3) Hallar el área de la región limitada por los siguientes gráficos de1 t 1 455 ty - \ x - 4 x + x + 6 |, 3>- + x“ = 0 , x = 0, x = 4. Rpta. -----u~

34) Hallar el área limitada por las curvas >> = jc3 +3jc2 + 2 , j = jc3 +6x2 -2 5 .

Rpta. 108 u2

35) Hallar el área limitada por las lineas: y = x3 -5jc2 - 8x+12, y = jc3 -6 x 2 + 21

Rpta. 166 yw 2


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net



(36) Calcular el área de la figura limitada por las curvas siguientes:

i 7 ia) y = |x — 11, y = x ~ - 2 x , x = 0, x = 2. Rpta. —u~

b) y = |x — 2| — |x — 6|, x — y = 4 Rpta. 8

c) y= |x -2 |, j>+jc2 = 0 , x = 1,x = 3 Rpta. — u 26

d) y= |x —5| —|x + 3|, x + y = 2 Rpta. 34w2

i 4 je) y = x - x ~ , y = -x Rpta. — u3

f) y = x 3 +x, x = 0, y = 2, y = 0 Rpta. —u 24

g) y = - — y=0, x — -1, x = 2 Rpta. [l + ^--arctg2 + ^-lnÁ]Ml+x 2 2 5

? 7 ->i) y - x ~ , y = 2 x - 1, y —4 = 0 Rpta. — w

2 1 2 j) x = 0, y = tgx, >' = —cosx Rpta. (--ln(-pr))w 23 3 V3

3jc | ^k) y=arctgx, = arccos— , y = 0 Rpta. (------- ln(—))u2

2 3 2 3

1) y = arcsen x. y = arccos x, x = 1. Rpta. (y - -J2 - 2)u2

2


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net



g

n) y - 3x-x2, y = x2-x Rpta. —u2

(37) Calcular el área de la figura limitada por el eje de abscisas y la línea x = y 2 (y -1)

O . 1 2Rpta. — uF 12

(38) Calcular el área del segmento de la parábola y - x 2 , que corta la recta y = 3 —2x.

I> ♦ 32 2Rpta. y w

(39 ) Hallar el área de la superficie limitada por las curvas y - x(±4x) y la recta x = 4.

* 125 2Rpta. —— u

(40) Hallar el área de la figura limitada por y= |20x+x2 ~-x31, y = 0

D * 2301 2Rpta. ------uF 12

(4Í) Hallar el área de la región limitada por las curvas:

37a) x+>’- ¿ ,3= 0 , x - y + y 2 = 0 Rpta. — u2

b) 8jc = 2>-3 -iry2 - 2 y \ 8jc= v3 , >’2 + y -2 - 0 Rpta.

42j Calcular el área de la superficie del primer cuadrante limitada por el arco de la curva que va desde el eje de las Y hasta la primera intersección con el eje X.

a) y - e senx Rpta. -------

b) y = sen(x + 1) Rpta. 1.54 u1


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net


A p lic a c ió n d e la I n te g r a l D e fin id a 393

c) x+ y + y 2 =2 Rpta. —u 16

*/’ •> u . Se*1* - 2 ,d) y =e “ cos2jc Rpta. -----—----- u~

e) y = x* -8jc2 +15jc Rpta. ^ - u 2

Hallar el área de la figura limitada por las curvas a2y 4 = x4 (a2 - x 2) .

d * 2Rpta. —— u

Hallar el área que encierra la curva 9ay2 = x(x-3a)2

8 ^ 3 2 2Rpta. — w

(4 5 ) Encontrar el área de un lazo de la curva a2y 4 - x 44 a 2 - x 2 .

0 . 4¿z2 2Rpta. —— u

(4ó) Encontrar el área de un lazo de la curva y 2(a2 + jc2) - x 2(a2 - x 2) .

2Rpta. ^ - ( n - 2 ) u 2

(4^ Encontrar el área de un lazo de la curva a 2>,2(cr + x2) = (a2 - x 2)2

Rpta. o 2 (3^2 ln(l+ -\/2 ) - 2)m 2

(48J Encontrar el área de un lazo de la curva 6a 2y A = h 2x 2(a2 - 2 ax).


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net


(49) Calcular el área del trapecio mixtilineo limitado por la línea

y = e~x(x2 + 3x+l) + e2, por el ejeX y por dos rectas paralelas al eje OY trazadas de

manera que pasan por los puntos extremos de la función Y,

Rpta. — (e3 -4)w2e

(50) Calcular las áreas de las figuras curvilíneas formadas por la intersección de la elipse2 • 2

— + v2 = 1 y la hipérbola —— y 2 = 1.4 2

•x/2 [lRpta. s¡ =s¡ = n — — ln3-2arcsen J y ; ,v2 = 2 (n -s ¡ )

(5l) Calcular el área de la región limitada por: / ( x) =J |x - l | , x< 5

, el eje X y las( x -3 )2 -2 , x> 5

76rectas x = -3 y x = 7 Rpta. A - — u1

(52) Calcular el área de la figura comprendida entre la curva y - \ x 2 - 11, -2 < x < 2 y el

eje X. Rpta. 4 u2

6 3 ) Calcular el área de la región limitada por la curva y 2 = -——, y su asíntota.1+x

Rpta. A = 2k

(m) Calcular el área del interior del ovalo de ecuación (1 + x 2 ) y 2 = 1 - x 2

(55) Hallar el área de la región acotada por la curva í* = x3 - 6 x 2 +8x yelejeX

Rpta. 8 w2

( ^ ) Hallar una formula para encontrar el área de la región limitada por la hipérbola

x2 - y 2 = a2, a > 0, el eje X y una recta trazada del origen a un punto.


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net


Rpta. A = ^ I n ^ ]

(57) Hallar el área de la región, en el primer cuadrante limitado por las curvas

y = x 3 - 3x2 + 2 x , y = - x 3 + 4x2 -3 x Rpta.

(58) Hallar el área de la región limitada por las gráficas de las funciones

f ( x ) = x 3 - 2x2 + x - l y g(x) = - x 2 + 3 x - l .

(59) Encontrar el área de la región R, ubicado en el segundo cuadrante y acotado por las

gráficas de y = x 2 , x 2 =4y, x — y+ 6 = 0. Rpta. — u 23

(óO) Hallar el área de la región limitada por las curvas x = - y 2 , y = x + 6.

© Una parábola de eje vertical corta a la curva y = x 3 + 2 en los puntos (-1,1) y (1,3),

sabiendo que la curva mencionada encierra una región de área 2 w2. Halle la

ecuación de la curva.

(62) Sostenemos que J x + dy = bn+l - a n l ,

a)

b)

e)

Utilice la figura adjunta para justificar esto mediante un argumento geométrico.

Pruebe el resultado utilizando el teorema fundamental del cálculo.

Pruebe que An = nBn . Y


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net



(S ) Hallar el área de la región comprendida entre las curvas x 2y + 4y -8 = 0 y x 2 =4y .

( S ) Calcular el área de la región comprendida por las curvas x 2 + y 2 = 25, 3y 2 =16x,

3x2 = 18y.

(éi) Calcular el área de la región acotada por las curvas de ecuación: 4y = ± (x -4 )2 y

4y = ±(x + 4)2 .

(óó) El área comprendida entre y = 10jc-5y2, el eje X es dividido en dos partes iguales

por una recta que pasa por el origen. Hallar la ecuación de la recta.

® a* c?Calcular el área de la figura comprendida entre las curvas y = —----- . y —¿ Tx~+a~ x~ + a~

(ó8) Hallar el área de la región limitada por las curvas x = - y2 , y = x + 6.

(ó ^ Hallar el área de la región limitada por las gráficas de las funciones y = + x - \ ,

g(x) = - x 2 + 3jc .

,7^ Hallar el área de la región acotada D por la gráfica / (jc) = | x~ + 2x | . el eje X en el

intervalo [-2,2]

^ l ) Dado la parábola y = 3 + 2x - x 2, Hallar el área de la región plana R, comprendida

entre la parábola y la recta que pasa por los puntos (2,3); (2,-5).

(72) Hallar el área de la región R limitada por la curva y = (x — 3)(x - 2)(x + 1 las rectasx = 0. x = 4 y el eje X.

1^3) Calcular el area de la región en el primer cuadrante limitado por la curva' y = *2,

x2 =4y y la recia x + y = b.

V Calcular el area de la región R limitada por las curvas y - x 2 - 2 |x |+ 3 ,


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net


Encuentre el área de la región limitada por la curva y - x4 - 2x3 + 2 entre x= -1, x =2

(7ó) Hallas el área de la región acotada por las curvas y -

@

4 x - x 2

v =x~ + 8x — 48

16, x > - 4

- 3x -16 , x <-4

Determine m de tal forma que la región sobre la recta y = mx y bajo la parábola

y = 2x - x 1, tenga un área de 36 unidades cuadradas.

Determine m de tal forma que la región sobre la curva y = mx2, m > 0, a la derecha

del eje Y, y bajo la recta y = m ,tenga un área de k unidades cuadradas (k > 0).

Hallar el área de la región R limitada por y = 21x11 + jt2

, el eje X y las dos rectas

verticales correspondientes a las abscisas de los puntos máximos absolutos.

Una parábola del eje vertical corta a la curva y = x3 + 2 , en los puntos (-1,1) y (1,3).

Sabiendo que la curva mencionada encierra una región de área 2u2. Halle la ecuación

de la curva.

3,2 VOLUMEN DE UN SOLIDO DE REVOLUCION^

DEFINICION.- Un sólido de revolución es aquel que se obtiene al rotar una región plana alrededor de una recta en el plano, llamado eje de revolución.

Ejemplo.- Si la región comprendida dentro de una semicircunferencia y su diámetro, se hace girar alrededor de su diámetro se obtiene una esfera.


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net


Ejemplo.- Si a la región comprendida dentro de un triángulo al hacer girar alrededor de uno de sus catetos se obtiene un cono recto.

Para calcular el volumen de un sólido de revolución consideraremos los siguientes métodos.

5X1 METODO DEL PISCO CIRCmAR,-

Consideremos una función f continua en el intervalo [a,b] y que f(x) > 0 , V x g [a,b].

Sea R la región plana acotada por la curva y = f(x), el eje X y las rectas x = ay x = b.

Consideremos una partición del intervalo cerrado [a,b], P = {jr0,jr1,...,jrlf J , donde i-

ésimo sub-intervalo [x/.j,*,-] tiene longitud A,-x = xf* —Jf/_i y lomemos

e¡ g [ x , i,*,-] para i = I,2,...,n, luego trazamos los rectángulos que tienen una

altura f(£¡) unidades y ancho Ar-x unidades.

Si se hace girar el i-ésimo rectángulo alrededor del eje X se obtiene un disco circular de la forma de un cilindro circular recto donde el radio de la base es f ( c , ) y sus

altura A,*.


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net



Como son n discos circulares, entonces el volumen de los n discos circulares es:

* - - * •:. . Í.JJU .ñ n ......

i m F k ?tn. :v : : :

Esta expresión nos representa la suma de Riemann* y cuando | A,-jc |-> 0, se obtiene el

volumen del sólido generado al cual denotaremos por v, es decir que v se define como el límite de la suma de Riemann cuando | A¡x |-> 0.

a) DEFINICION.- Consideremos una función f continua en un intervalo cerrado[a,b] y suponiendo que f(x) > 0, V x e [a,b] y sea S el sólido

de revolución que se obtiene al girar alrededor del eje X la región R acotada por la curva y = f(x) el eje X y las rectas verticales x = a A x = b, y sea V el volumen del sólido S al cual definiremos por:

n ^V = Uní y n ( / (£, ))2 A,.r = n f ( / (*))2 dxu + / JaI 1

( Método del disco circular).


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net


Ejemplo.- Determinar el volumen del sólido de revolución generado al hacer girar

alrededor del eje X la región limitada por la curva y = ^fx , el eje X y la

Solución

— ► V = n r y~dx = n f A- dx = n— X Jo Ja 2

= 2n

V = 2U u'

OBSERVACION.- Si la región R está limitada por la curva x = g(yh el eje Y y lasrectas y = c, y= d (c<d) entonces el volumen del sólido

generado al girar la región R sobre el eje Y, esta dado por la expresión.

Ejemplo.- Hallar el volumen del sólido generado al rotar la región acotada por x 2 3 + y 2# 1 = flr2,3 alrededor del eje Y.


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net


r =2r V - » £ l+ 3 E l - £ Í ] - o5 7 3 3 35 105

3.2.2 METODO DEL ANILLO CIRCULAR.-

Consideremos dos funciones f y g continuas en un intervalo cerrado [a,b] de talmanera que f(x) > g(x) >0, V x e [a,b] y R la región acotada por las curvas y = f(x),y = g(x) y las rectas verticales x = a A x = b.

Sea S el sólido obtenido al hacer girar la región R alrededor del eje X

En el intervalo [a,b] consideremos el i-ésimo sub-intervalo y sea

c¡ e[jt, cuando el i-ésimo rectángulo se hace girar alrededor del eje X, se

obtiene un anillo circular.


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net



La diferencia de las áreas de las dos regiones circulares es Tí[f1 (ru )- g 2 (r¿)] y el

espesor de estas regiones es A,x, luego la medida del volumen del i-ésimo anillo

circular es:

Como son n anillo circulares, entonces:

n ii) - í f 3(«iPí.v

te l i-1

Que es la suma de Riemann, entonces el volumen del sólido S se define como el límite de la suma de Riemann cuando | A, x |-> 0.

a) DEFINICION.- Consideremos f y g dos funciones continuas en el intervalocerrado [atb] de tal manera que f(x) > g(x) > 0, V x e [a,b],

entonces el volumen V del sólido de revolución S generado al rotar alrededor del eje X la región R acotada por las curvas y = f(x), y = g(x) y las rectas verticales x = a y x = b es dado por la fórmula.

nV= Uní Y n [ f 2(r.i ) - g 2(r.i m ix

T t

F = n £ [ / 2{jc)-g3(r)3^v

OBSERVACION.- Si la región R limitada por las curvas y = f(x), y = g(x) de talmanera que f(x) > g(x), V x e [a.b] y las rectas verticales x= a.

x =b gira alrededor de la recta y = c donde (g(x) > c), entonces el volumen del sólido generado al rotar la región R alrededor de la recta y = c, es expresado por la fórmula.

v = n£f(/(.v) - c f - ( g { x ) - c f y t x ,


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net



OBSERVACION.- Si la región R limitada por las curvas x = f(y), x = g(y) y porlas rectas horizontales y = c, y = d, gira alrededor de la recta

vertical x = k, entonces el volumen del sólido de revolución obtenido es expresado por la fórmula.

> '= n £ [(/(>-) *)2 - (£(.v)~ a)2Mv

Ejemplo.- Calcular el volumen del sólido obtenido al hacer girar alrededor del eje X,

la región limitada por las gráficas y = jc2 , y = J x ,x = 2.


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net


Solución

/

y = x y /y =-Jx

*1^ 1 / „1 2 b> *

y = x~

y = 4xxx = 0, x -1

V = n[Jf (a - x 4 )dx + (.v4 -x)rfr]

? s X" V^ n [ < T - T ,

1 5 2 ’+ ( - ----— )

r, 5 2 ,

1 1 V 1 1] =n[(------ ) - o + (— - 2) - (------ )]J 2 5 5 5 2

= n ( i -2 + 6) = 5n F = 5 n « 3

3.2.3 METODO DE LA CORTEZA CILINDRICA.-

Considercmos una función y=f(x) continua en [a,b], donde a> 0 , y f(x)>0.

V x e [a,b] y sea R la región limitada por la curva y = f(x), el eje X y las rectas verticales x =a, x = b.

El volumen del sólido de revolución S engendrado al hacer girar alrededor del eje Y la región R esta dado por la fórmula:


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net


V ~ ltl^ x f{ x )d x

OBSERVACION.-

1) El volumen del sólido de revolución generado al hacer rotar alrededor del eje Y, la región R acotada por las curvas y = f(x), y = g(x) tal que f(x) > g(x),V x g [a.b]. a > 0 es dado por la fórmula:

V í=2nJ*x{/(jc)-g{x)]í£t

2) El volumen del sólido de revolución generado al hacer rotar alrededor de la recta x = c, la región R acotada por las curvas y = f(x), y = g(x) donde f(x) > g(x), V x e [a,b] y las rectas verticales x = a, x = b. donde a > c es expresado por la formula:

v ~ 2O03C -cJII/Xsr)“ g{x)](ív


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net



3) Cuando la región R está a la izquierda del eje de revolución, el volumen del sólido generado esta dado por la fórmula.

t ,X = c

Ejemplo.- Calcular el volumen del sólido generado por la rotación de la región R

limitada por las curvas y - ln x, el eje X, x = e 2 alrededor del eje Y.

Solución■» ■»

V = 2 n p > clx = 2n r ’vlnx dx

X = e 2 F = 2 n ( ^ i - ^ )2 4

y = iu[(- ~ "g ->]2 4- 4


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net


A p lic a c ió n d e la in te g r a l D e fin id a 407

%2A METOPO PE LAS SECCIONES PLAÑAS PARALELAS CQNOClgAS^

i) Si las secciones son perpendiculares al eje X, el volumen del sólido S es dado por la fórmula.

donde A(x) es el área de la sección en x.

ii) Si las secciones son perpendiculares al eje Y, el volumen del sólido S es dado por la fórmula.

donde A(y) es el área de la sección en Y.

/

Sección perpendicular al eje X.

Sección perpendicular al eje Y.


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net



Ejemplo.- Un sólido tiene una base circular de 4 unidades de radio. Encontrar el volumen del sólido si cada sección plana perpendicular al diámetro fijo es un triángulo equilátero.

Solución

La ecuación del círculo es x2 + y 2 = 16 el lado deltriángulo equilátero ABC que es la sección transversal

, , 4 AB.CH es de 2y, como su area A(x) = ---------

También se tiene

equilátero, entonces:

L2J 3A(x)=------- para triángulo

A (x) = — = -Jly2 = >/3(16—jc2) . Luego por simetría se tiene.

V = 2^ A(x)dx = 2^-73(16- x2)dx - 2-73(16* - y ) 256 -¡3 «3

Encontrar por integración el volumen de un cono circular recto de altura h unidades y de radio de la base “a” unidades.

Solución

v íf ’ . La ecuación de la recta L: y = —x h,a) h


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net



© Determinar el volumen del sólido de revolución generado al hacer girar alrededor del

eje X. la región limitada por el eje X y la curva y = - x 2 + 2x + 3 .

Solución

v = - x 2 + 2x + 3 . completando cuadrados.

y - 4 = —(jc -1 )2 es una parábola de vértice V( 1,4).

P aray = 0 => x 2 -2 x + 3 = 0

=> x = -1, x = 3

V = n f v2dx =n f (- x 2 + 2x+3)dxX J i J '— ►

V = Hj (x4 - 4 . t 3 - 2 x z +l2x+4)dx

( 3) Encontrar el volumen del sólido generado por la rotación de la región entre las curvas

y = x 2 + 4 e y = 2x2 alrededor del eje X.

Solución


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net



© Hallar el volumen del paraboloide de revolución si el radio de su base es R y su altura H.

Solución

La ecuación de la parábola es x2 =ky como x = R, y = H

ikY

R IJ i \

V __ - /

x /Y = f(x)H ^ * 1

110 X

H H

7* „ t-rf" n f " « 2 . n/f2 yx v=n\ jrdv=n\ — vdv= —in Jr. / / ' II 2

Hn Rrll

( 5) Encontrar el volumen cuando el área plana encerrada por y = - x 2 -3 x + 6 , y,

x + y — 3 = 0 gira alrededor de y = 0.

Solución

2 n r 33 / 3 2 ,V = - x -3*+ 6 => y -----= — (jr + —) parabola4 2

- 3 x + 6 ? 0 ^ -=> -x~ —3jc + 6 = 3 - xy - 3 - x

x 2 + 2 jc- 3 =0 ^ (x + 3 ) ( x - l ) = 0

x = -3, x = 1

F = n j ' [(-*.* -3X + 6)1 — (3— JC2)]dx

F = n f ' (x4 +6.t3 -4 x 2 -30x+27)rfx = — n u3J -3 15


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net



©

©

©

Encontrar el volumen del sólido generado al rotar alrededor del eje X la región

acotada por la curva y = r y las rectas y = 0, x = 2.

Encontrar el volumen del sólido generado al rotar la región del ejercicio 6 alrededor del eje Y.

V = 2n[ \ f ( x ) d xJo

V = 2 n x*dx Jo

Hallar el volumen del sólido engendrado haciendo girar alrededor del eje OX, la

superficie limitada por la curva -Jx + y = 4a , y la recta x = 0, y = 0.

Solución


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net



Hallar el volumen del cuerpo engendrado al girar alrededor de la recta x = a J a parte

de la parábola r 2 = 4a x , que se intercepta por la misma recta.

Solución

Aplicando el método de la corteza cilindrica se tiene:

V = 2[2n{\a-x) \ dx)Jo

F = 4 n f (a - jth/4axdx Jo

V = 8 nV o£ (ax1 2- x J' 2 )dx = m j a [^2 -i 5/ 22 ax 2x

la - '2 2a-'1 , 32o3n-] = 15

Calcular el volumen del sólido que genera la circunferencia x~ + (y-3)~ = 1 al girar

alrededor del eje X.

Solucion

De la ecuación de la circunferencia x2 + (v -3 )2 =1 despejamos y. es decir:

(>•-3)2 = 1 - v2, de donde tenemos:


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net



.v, =3 + - \/l- jr , y 2 = 3 -V l- x 2

F = 2;rf (y.2 - ví)rf.t =2n\[@+-Jl—x * )2 —( 3 - J l —x * )2dx Jo " Jo

V = 2/r £ 12- 1 - x 2í¿x = 2 4 n £ 4 ~ x 2cix /. F = 6ttV

© Hallar el volumen del cuerpo engendrado al girar alrededor del eje X, el lazo de la

curva (jc - 4a) y2 = ox(jc - 3a), a > 0.

©

Solución

( jc - 4a) v2 = ax(x - 3a), a > 0, entonces:

2 ax(x-3a)jc~ 4 a

, de donde tenemos:

■to Jü r —4a

Demostrar que el volumen de la parte del cuerpo de revolución engendrado al girar la

hipérbola equilátera x 2 - y 2 ~ a 2, alrededor del eje X, intercepta al plano x = 2a y

es igual al volumen de la esfera de radio a.


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net


13) Hallar el volumen del sólido de revolución que se obtiene al girar alrededor del eje Y, la región encerrada por las curvas x~ = 2 y e r = jr -3x + 4 y las rectas x = 0, x = 2 .

Solución

La ecuación x 2 = 2v es una parábola de vértice V(0,0) discutiendo la gráfica de

y = jc 3 - 3x + 4, para esto calculamos su derivada.

dydx

- 3x - 3 = 0 x = ± 1 los puntos críticos.

d 2v , d 2v— - = 6 x — 7dx~ dx~

(-1,6 ) punto máximo.

= - 6 < 0 3 máximo en x = -1 de donde y = 6 , luego

d 2ydx2

= 6 > 0 =>3 mínimo en x = 1 de donde y = 2

Luego ( 1,2) es el punto mínimo.

Y

y = x3 - 3 x + 4

V =2FI ¡x(f(x)-g(x))dxJo '

r 1 y 2V = 2U\ 4 (x 3 -3x + 4 ) - — ]dx

Jo 2

x 2 V = 211 f2 (x4 —— + 3.í2 + 4x)dx - — Jo 2

2n | ( jc4 — 3x2 +4)dx Jo . 2

Sea R la región limitada por x = 6 -2 y2* x = 4 v2 Hallar el volumen del sólido que

se obtiene de rotar la región R alrededor de la a 2.


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net

A p lic a c ió n d e la In te g r a l D e fin id a 4 1 5

Solución

k = n[ í4 8— í/x + f 8 í¿t]= — n + — n Jo 2 J4 2 3 3

64 „ 32 F = 32nM 3

©* 2 X“ VLa base de un sólido es la región limitada por la elipse — + = 1. Hallar el

¿7" b~volumen del sólido, suponiendo que las secciones transversales perpendiculares al eje X son cuadrados.

Solución


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net



x 2 y 2 , , b2 . ,— + TT = 1 => y =— ( a - - x - )a~ h~ a~

Calculando el área de la sección transversal.

A(x) = (2y)2 = 4vi = ——(a2 - x 2). luego el volumen es:Q~

V = 2rA(x)dx = 2í ^ - ( a 2 - x 2) d x = ^ r (a2x - ^ —) Jo Ji> a a 2 3

8b2 8b2 3 o 3 16of>2 j——( a ----- ) = -------- ua2 3 3

V J ™ - u '

Una comunidad agrícola ha tenido una sobre producción de papas que deseanalmacenar en un silo, le encargan el proyecto a un ingeniero civil: el se da cuenta de lo

ique desean para el silo es que las paredes laterales estén limitadas por un cono que se obtiene al girar la recta y = x alrededor del eje Y, y el techo del silo por una semiesfera de radio a, que se obtiene al girar el arco de circunferencia de radio a y centro en (0,a) alrededor del eje Y. Hallar el volumen que puede almacenar el silo.

Solución

Graficando

El problema se resuelve trabajando en dos

partes V =Vl + V2, donde

Fi =7tÍ (-y/cr -(>^-o)2)2í/v Ja

V, = n f2 (2 a y -y 2 )dyJtí

1/ W 2 , t-a 2ü'/rK, = ntay - — ) /


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net



1/ f 2 , n y / “ naV7 =n \ v dy = —— / = ----2 Jo' * 3 / 0 3

T, 2a n a n jV = -------+ ------= a n

(l7) Si el ingeniero que construyo la cisterna como una esfera de radio R = 1 desea hallar

el volumen pero por el método del disco ¿Cómo plantearía el problema?.

Solución

Para graficar solo necesitamos ubicar el centro de

la circunferencia.

C: (x -1 ) 2 + y 2 = 1 de donde >■ = -y/l — ( jc — 1 ) 2

ahora aplicamos el método del disco

V = n [ f 2(x)dx = n \ [ l - ( j t - l ) 2]dx = 7r f ( 2 x - x 2)dxJa J O Jo

1 x3 / 2 8= n[ * " - — ] / = zr[(4 - —) - 0] =3 / o 3

( l8) Un depósito de gasolina tiene la forma de un sólido de revolución que se tiene al girar

la región en el plano limitado por las curvas y 2 ~3y = 2x y x — y + 2 = 0

alrededor del eje X. ¿Cuál es le volumen del depósito?

Solución

7 2 9 9y~ - 3 v - 2 x , completando cuadrado y -3 y + —= 2x+ —4 4

3 7 9 9 3( y - - ) 2 =2(x + - ) dedonde V ( ~ - )


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net


Calculando los puntos de intersección: y2 —3y = 2x < => <v2 - 3 v = :'X - y = -2 v = x + 2

j in(x + 2)2 -3(jc + 2) = 2x, simplificando tenemos: x 2 + 4x+ 4-3x~6 = 2x

I x — —1x 2 - jc- 2 = 0 => (x-2)(x + 1) = 0 <

be = 2

y 2 —3y=2x => y = j ± J 2x + \

r= ffí L 4 +i l ^ )2 " 4 ~ i l ^ )2^ +r , 4 +^ I >2"(x+ 2)2M*' = *íí L 6f * + ¿ ífe+i ' í T +3^ | ” 2x - x 2)dx]

V = n [ U 2x + V 2 / ‘ + l ^ + U 2 x + j ) i/2 - x 2 - ± - ] f2 4 / ^ / 8 4 4 4 3 /

„ __ 1 503 41 r - ,1- = tt[— +---- + — v41]m16 32 32

* ,29* 1


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net

A p lic a c ió n d e i a In te g r a l D e fin id a 419

19) Para una campaña publicitaria se desea hacer la cisterna de un camión para transportar yogurt de una forma muy especial. Un ingeniero civil acepta el reto de resolverles el problema, el se da cuenta que las paredes de la cisterna, están generadas por un sólido de revolución obtenido al girar un arco de y = sen x alrededor del eje X ¿Qué volumen de yogurt puede transportar el camión?.

Solución

3.2*6 PROBLEMAS PROPUESTOS.-

Hallar el volumen de tronco del cono generado al girar el área limitada por

2y = 6 - x, y = 0% x = 0, x = 4 alrededor del eje X. Rpta. -y n u 3

© Hallar el volumen del solido generado por la rotación de la región R limitada por la

ncurva v = e' senc ' . x = 0 . x = ln(—) alrcdedoi del eje X. Rpta. (cosí— —)

Hallar el volumen del sólido generado por la rotación de la región plana definida por

a -M’ <20, v2 < 8 a' , y > 0, alrededor del eje X. Rpta. y (80-\/5-64)¿/^


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net

420 E d u a rd o E sp in o za R a m o s

(7 ) Hallar el volumen del sólido de revolución obtenido al rotar alrededor de la recta

y = -1 la región comprendida entre las curvas r = v2 y y = 4x •

_ 29;r ^Rpta.---u30

© Hallar el volumen que genera la superficie limiiada por la curva y = 4 - x 2 * y = 0. al

512 !girar alrededor del eje X. Rpta. n u

© Hallar el volumen del solido generado ai girar sobre el eje OX, la región limitada por

las curvas v = 4 - -v: +1, v = -J~x2 + 4 . Rpta. — III / ’3

© Calcular el volumen del sólido engendrado al rotar alrededor del eje Y la figura

. i i , t . 4n Q~bacotada por la curva (—)"+(—) "=1. Rpta. --------a h 5

© Hallar el volumen del sólido obtenido al rotar la región limitada por el primer la/o de

la curva v = e ' 4scñx , y el eje X positivo, alrededor de la recta y = 0.

Rpta. 2")u'

© Dada la regí* n plana R en el primer cuadrante limitada por 3y —4x = 6, 4 v - 3x = 8,

v2 + ( v - 2)“ = . Hallar el volumen generado, si se rota R alrededor del eje X

Rpta. -----u20

(lo) Hallar el volumen del sólido engendrado haciendo girar alrededor del eje OY. el arco

de la parábola y2 = 2px comprendido entre el origen y el punto (_\j, \ \ ).


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net



(11) Hallar el volumen que genera la superficie limitada por y 2 - x 3, y = 0, x = 0, y,

x = 4 al girar alrededor del eje X. Rpta. 64n u3

(12) A la parábola y 2 = \2x, en el punto cuya abscisa es 6 se ha trazado una tangente.

Calcular el volumen del sólido generado al girar alrededor del eje X, la región limitada

por la tangente trazada, el eje X y la parábola. Rpta. 12YI u3

( 13) Calcular el volumen generado por la rotación de la superficie encerrada por y 2 = 4 x 9

32x = y alrededor del eje X. Rpta. — n u3

( 14) Hallar el volumen engendrado por el área menor comprendida entre las curvas

x 2 + y2 =25 y 3jc2 - \ 6 y al girar alrededor del eje X. Rpta. “" “ H u3

( 15) Hallar el volumen del cuerpo engendrado al girar alrededor del eje OX, la superficie

comprendida entre las parábolas y = x 2 , y - 4 x . Rpta. — m3

© Calcular el volumen del sólido generado por la rotación de la región limitada por las

curvas x + y 2 +3_y = 6, x + y = 3 alrededor de la recta y = 3. Rpta. ~ n w3

Calcular el volumen generado al hacer rotar la región encerrada por las curvas_ A A „ _ n • 1___ ________ _ 1 1 n o r r ..3

©( y - 4) = 4 —4x, y + 2x = 2, gira alrededor de la recta y = - 1. Rpta. 108n u

Calcular el volumen del sólido generado por la rotación de la región limitada por

y 2 - 4(2- x ) , x = 0 alrededor de la recta y = 4. Rpta. u3

( l í ) Calcular el volumen del sólido generado por la rotación de la región limitada por

y = arccos x, y = arcsen x, x = 1 alrededor de la recta y = -1. Rpta. (16—7r2) — u34


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net


(20) Hallar el volumen del cuerpo engendrado al girar alrededor del eje X, la superficiexlimitada por la catenaria y = a cosh(—), el eje X y las rectas x = ± a.a

Rpta. ^-^-(e2 + 4 -e 2)u3

2J} Hallar el volumen engendrado por el área comprendida entre las curvas y 2 = 9 jc,

n 2187x 2 - 9y al girar alrededor del eje X. Rpta. — n u3

(22) Hallar el volumen del cuerpo engendrado al girar alrededor del eje OX, la curva

3 tí 2y = sen2 x en el intervalo x = 0 hasta x = 7c. Rpta. —— u3

(23) La región limitada por las curvas Jt2jy2 = 1; y(x2 + 3) = 4 gira alrededor de la recta

16*J3 2y + 1 = 0. Hallar el volumen del sólido que se genera. Rpta. (------------- ln9)w3

(24) Encuentre el volumen del sólido generado por la rotación alrededor del eje X de la

región limitada por las curvas y =ex, x = 0, x = 1, y = 0* Rpta. —-— n u

2 2 <x yCalcular el volumen que genera la elipse — + — = 1, al girar alrededor del eje X.q 4 3

Rpta. 811 u3

(26) Un ingeniero civil piensa que para almacenar agua, una cisterna debe tener la forma de una esfera y construye una en la azotea de su casa de radio R = lm, y desea encontrar el volumen que puede almacenar pero planteándolo como un problema de integral

4 Tí -1

definida por el método del anillo. Rpta. V = — u

(27) Hallar el volumen, del sólido engendrado por la rotación de la región entre las curvas

y = tg x, x - — , y = 0, rota alrededor del eje X. Rpta. (^3 - — )/r u33 3


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net

Aplicación de la Integral Definida 423

(28) Calcular el volumen del sólido engendrado por la rotación de la región entre

.2 ................................*y = sen x, y = sen x , el eje X , y 0 < x < — y rota alrededor del eje X.

Rpta. 4 ) V4

( 5 ) Hallar el volumen del cuerpo engendrado por la rotación alrededor del eje OX, de la

superficie limitada por el eje X y la parábola y = ax- x 2, a >0. Rpta. ^ - l l « 3

(5o) Determinar el volumen del cuerpo de revolución engendrado al girar la Cisoide de7 1 aDiocles y (a-x) = x alrededor del eje X entre x = 0 hasta jr = — .

Rpta. a 3(ln2—j)IT u 3

(31) Hallar el volumen del toro de revolución engendrado por la rotación del circulo

x 2 + ( y - b ) 2 = a 2 , alrededor del eje OX, con b > a. Rpta. l a 2b n 2 u 3

(32) Hallar el volumen generado en la rotación del área limitada por y = x 2 , y = 4 x - x 1

64 »alrededor de la recta y = 6. Rpta. — Ylu

(3^) Encuentre el volumen del sólido que se genera si la región acotada por la curva

y - sen2 x y el eje X de x = 0 a x = n gira alrededor de la recta y = 1.

Rpta. ———u38

(34) Calcular el volumen del sólido engendrado al hacer girar la región limitada por la

gráfica y = arcsen x, y = 0, x = -l, alrededor del eje Y. Rpta.

(35) Hallar el volumen generado al hacer girar la curva y = x 2 +1 alrededor del eje Y

desde y = 1 a y = 5. Rpta. 8n u 3


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net


(36) Encuentre el volumen del sólido generado al girar la región acotada por la curva

y - sen2 x y el eje X de x = 0 a x = n gira alrededor de la recta x = 4.

6 4 _ 3Rpta. — n u

(37) Hallar el volumen del cuerpo engendrado al girar alrededor del eje OY, la parte de la

parábola y 2 = 4 a x , que intercepta la recta x = a. Rpta. ^ T í o 3 u 3

(38) Calcular el volumen engendrado por el área menor comprendida entre el círculo

x 2 + y 2 =25 y la recta x = 4 al girar alrededor de la recta x = 6.

Rpta. 2(150 arcsen—-90)11 u3

(39) Encuentre el volumen del sólido generado al girar sobre el eje Y, la región limitada

7 1 1por la curva y = (jc-1) , el eje X y la recta x = 3 Rpta. —II u

(40) Calcular el volumen engendrado al girar alrededor del eje Y, el área comprendida

entre las curvas y = x 3, y 2 = 2 - x , x = 0. Rpta. n h3

(4l) Hallar el volumen del cono elíptico recto cuya base es una elipse de semi-ejes a y b yabhcuya altura es igual a h. Rpta. ----n w3

(42) Calcular el volumen del sólido de revolución que se obtiene al hacer girar alrededor de

la recta x = 1, la región limitada por los gráficos de y = ¡ x 2 - 2 x - 3 \ , y + l = 0 ,

x —2 = 0, x — 4=0. Rpta. 17/r u3

(43) Calcular el volumen del sólido generado por la rotación de la región limitada por

a 2y 2 - b 2x2 = a 2b2, |x| = a, alrededor del eje Y. Rpta. —^-n w1


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net



(44) Hallar el volumen del conoide elíptico cuya base es una elipse x 2 +2y 2 =12 y cuya

altura es 10. Rpta. 20-\/2n u3

(45) Calcular el volumen del sólido generado por la rotación, alrededor del eje Y, de la32gráfica acotada por la curva x 2' 3 + y2n = a 2/3. Rpta. y ^ -a 3n u3

(4^) Encuentre el volumen del sólido generado por la rotación del eje Y, de la región

exterior a la curva y = x 2, y entre las rectas y = 2x — 1, y = x + 2. Rpta. n u 3

(47) Calcular el volumen del sólido engendrado por la rotación de la región entre

x 2 + y 2 =9 y 4x2 + 9 j 2 = 36 (región en el primer cuadrante) alrededor del eje Y.

Rpta. 611 u3

(48) Calcular el volumen del sólido engendrado por la rotación de la región entre las curvas

y = cosx, y = 0, x = 0, donde x es mayor igual a cero y menor igual a —, rota

alrededor del eje Y. Rpta. 11(11-2)«3

(49) Hallar el volumen del sólido de revolución generado al hacer girar alrededor de la

recta x =-5, la región acotada por la curva y = x 2 - 6x+13 ylarectax —y + 3 = 0.

Rpta. — n u3

(50) Hallar el volumen generado en la rotación del área limitada por y = - x 2 -3x + 6, y

153la recta x + y—3 = 0 alrededor de la recta x = 3. Rpta. n u3

(51) El segmento de la recta que une el origen de coordenadas con el punto (a,b) gira

a 2b alrededor del eje OY. Hallar el volumen del cono obtenido. Rpta. -----n u3


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net


(52) Hallar el volumen generado en la rotación del área limitada por x = 9 - y 2,

153x — y— 7 = 0 alrededor de la recta x = 4. Rpta. — n w3

(53) Hallar el volumen generado en la rotación del área limitada por x 2 - 4 = y , y = -3x

625alrededor de la recta x = 1. Rpta. ----n u 36

54) El área acotada por las curvas y = eos x, y = sen x entre x = 0 y * = ~ es rotada

71alrededor del eje x = —, ¿Cuál es el volumen V del sólido generado?.2

F?Rpta. 2 tt — 7T2(1------ )u3

Calcular el volumen del sólido generado por la región que quede debajo de

y = 1 + sen x, sobre el eje X entre x = 0 y x = 2n rotado alrededor del eje Y.

Rpta. 4n2( n - l )u 3

t! • r llft(56) Calcular el volumen generado por la región comprendida entre las curvas

x 2 y 2 j i j x— + — = 1, x + y = 4, al girar alrededor de la recta x = -3. Rpta. 12;r u9 4

(gj) Calcular el volumen generado al rotar la región encerrada por la curva

x 213 + y 2' 3 = l alrededor de la recta x = 4. Rpta. 3n 2 u3

(sS) Sea R la región plana limitada por Lx: 3x+ 4>> = 8, L2 : 4x+3y = 6, y la curva

de curvatura constante k = j con respecto a la intersección de Lx y L2 . Calcular el

volumen de sólido que se obtiene al rotar R alrededor de la recta x = 0

(considere x < 0). Rpta. n + ^ n 2 )u3


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net

(59) Hallar el volumen generado por la rotación de la región limitada por las curvas

y = xJ + 2, 2y = x2 + 2 x + l , alrededor de la recta x = 4. Rpta. n u y60

© Encuentre el volumen del sólido de revolución que se forma al rotar alrededor de la

recta x = 4, la región acotada por y - x 3 - 6x2 + 8jc , y = x 2 - 4x, donde en ambos

casos x e [0,4]. Rpta. 60.86 Flw3

(ól) Calcular el volumen generado al rotar la curva y = x2e~*2 alrededor de su asíntota

_ n 3

RP“ ' W 2 r " — "

(62) Hallar el volumen del sólido obtenido al rotar la región acotada por y = x2, al eje X

y la re c ta x = l, alrededor de la recta y =2. Rpta.

( 5 ) Calcular el volumen del sólido generado por la rotación de la región R limitado por

x1 + ( y - 3)2 = 1 alrededor de la recta y = 0. Rpta. 6n2u3

(m ) Calcular el valor del sólido obtenido al hacer girar la región R limitada por

x2 + y 2 = 1, x~ + y 1 = 4 alrededor de la recta x = 0. Rpta.

© x2 y2Hallar el volumen obtenido al girar la elipse — + = 1 alrededor de:a b

a) el eje X b) el eje Y c) la recta x = 0 d) la recta y = b

Rpta. a) — — b) - n a 2b c) l n 2a2b d) l n 2ab23 3

(óó) Calcular el volumen del sólido obtenido al hacer girar la región R limitada por las2S6curvas x = y 2 , x = 8 - y 2 alrededor de la recta x = 0. Rpta. -----nu3


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net


(ó7) Calcular el volumen generado por el área comprendida entre las curvas y = ,

y = 2-s/jc , al girar alrededor del eje Y. Rpta. —~ u*

(ó8) Calcular el volumen generado por el área comprendida entre las curvas

x 2y 2 + 16,v2 = 16, x = 0, y = 0, x = 0, al girar alrededor del eje X. Rpta. n 2i?

(S ) Calcular el volumen del sólido generado por la rotación de la región limitada por lascurvas dadas alrededor de la recta dada:

a) y 2 = x . y - x 2 alrededor dex = -2. Rpta.

128b) y = 4 - x 2, y = 0 alrededor de x =-2. Rpta. -----ÍI a 33

c) y = x J -5jc2 +8jc-4, y = 0 alrededor de y = 0 Rpta. -^—u3' 105

1 3d) y = 4 * — p , x = l , x = 4, y= 0 alrededor de y = 0. Rpta. (In4 + —)I1 w3V* 2

e) y = 4 x — , x = l,x = 4, y= 0 alrededor de y = -2.V*

Rpta. ( I n 4 + ^ ^ ) n u 3 6

2 i0 y - e , y = 0 ,x = 0 ,x = l alrededor de x = 0. Rpta. (e - l)n u

7 45 -ig) y = x + 2, y~ - 3 y = 2x alrededor de y = 0. Rpta. — n u4

h) v = V 4 - x 2 , y= 1, x = 0, x = 3 alrededor de y = 0. Rpta. 2n^3 i/3

i) x + y = l , ^ + = 1 alrededor de x = 0. Rpta. u3


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net



j) y = 3x¿, y = 4 - 6 x ¿ alrededor dex = 0. Rpta. — w3

k) x 2y 2 +16y 2 = 16, x = 0, y = 0, x = 4 alrededor de x = 4.

Rpta. 327r[l-V2+ln(-^L)]u3V2

© La base de un sólido es un circulo de radio a, si todas las secciones planas del sólido perpendiculares a un diámetro fijo de la base son cuadrados, hallar el volumen del

,3sólido. Rpta. ^ - u16a: j

(71) Un círculo deformable se mueve de manera que uno de los puntos de susx 2 y 2circunferencias se encuentra en el eje X, el centro describe una elipse — + = 1 ya b

el plano del círculo es perpendicular al eje X. Calcular el volumen del sólido.

_ 8 n a b 2 3Rpta. — -— u

(72) La base de un solido es un círculo de radio r. Todas las secciones transversales del sólido, perpendiculares a un diámetro fijo de la base son cuadrados. Determine el

16volumen del sólido. Rpta. — r 3w3

(73) Hallar el volumen del sólido, cuya base es un círculo de radio 3 y cuyas secciones

planas perpendiculares a un diámetro fijo son triángulos equiláteros. Rpta. 36 /3 w3

(74) Un cilindro circular recto de radio r es cortado por un plano que pasa por el diámetro de la base bajo un ángulo a respecto al plano de la base. Hallar el volumen de la parte

2r 3separada. Rpta. (----- tga)u3

3

® x 2 y 2La base de un sólido es la región limitada por la elipse — + J~ - = 1, hallar ela ~ b

volumen del sólido, sabiendo que las secciones transversales perpendiculares al eje X,4cit) 2son triángulos equiláteros. Rpta. - - j=- u 3


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net



(76) L a base de un cilindro es u n círculo de radio 3. T o d o plano perpendicular a u n

diámetro dada intercepta al sólido en un cuadrado que tiene un lado en la base del

sólido. Calcular el volumen del sólido. Rpta. 1 4 4 « 3

© U n círculo móvil se encuentra en un plano perpendicular al plano X Y de m o d o que

los extremos de un diámetro están sobre las parábolas de ecuaciones

(x - 2 ) 2 = 2 ( y +1), 3 ( x - 2 ) 2 = 8 ( ^ - 1 ) , Hallar el volumen del sólido que genera

dicho círculo móvil si el diámetro en mención es paralelo al eje Y y se m u e v e en la

región encerrada por ellas. Rpta. ~ ^ ~ u *

U n sólido tiene por base un círculo de radio 1 y sus intersecciones con planos

perpendiculares a un diámetro fijo de la base son triángulos rectángulos isósceles

cuyas hipotenusas son las respectivas cuerdas de los círculos. Determinar el volumen

4 ,del sólido. Rpta. —u

3

(7 9) L a base de un sólido es u n círculo limitado por x 2 + y 2 = 25 y las secciones

transversales perpendiculares al eje Y son triángulos equiláteros. Calcular su

volumen.

(5j) D o s cilindros de radio R se cortan perpendicularmente. Hallar el volumen de su

intersección. Rpta. — R 33

(gl) L a base de un sólido es un circulo de radio 2, si las secciones transversales

perpendiculares a la base son triángulo isósceles con un cateto c o m o base. Hallar el

32volumen del sólido generado. Rpta. — u 3

3

(82) L a base de un sólido es una elipse cuyos ejes miden 20 y 10 unidades; la intersección

de ese sólido con un plano perpendicular al eje mayor de la elipse es un cuadrado.

Calcular el volumen del sólido. Rpta. — u3


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net



(^3) La base de un sólido es la región entre las parábolas y = x 2, y = 3 - 2 x 2. Hallar elvolumen del sólido si las secciones transversales perpendiculares al eje Y son triángulos rectángulos isósceles, cada uno de ellos con la hipotenusa sobre el plano

XY. Rpta.

(S ) La base de un sólido es la región limitada por >■ = 1 - x 4 . Las secciones transversales

del sólido determinadas por planos perpendiculares al eje X son cuadrados. Encontrar

el volumen del sólido. Rpta.315

85) A una naranja de forma esférica y de radio a por medio de dos semiplanos, que pasanpor un mismo diámetro formando entre si un ángulo de 30° se le extrae una tajada.

Determine el volumen del resto de la naranja. Rpta.

i i Y “ y “Encontrar el volumen del sólido encerrado por el paraboloide — + — = r y el plano

z = 10. Rpta. 1000 n w 3

2 287J Hallar el volumen del segmento parabólico elíptico -----= jc interceptado por el

2 p 2 p

plano x = a. Rpta. a 2 p q U u 3

El sólido de revolución se forma por la rotación alrededor del eje Y, de la región por

la curva y = \[ x , el eje X y la recta x = c (c > 0). Considere los elementos rectangulares de áreas paralelas al eje de revolución para determinar el valor de c que

dará un volumen de 1211 u3. Rpta. c = 2744

89J Se hace un agujero de 2 cm. de radio através de un sólido de forma esférica con un radio de 6 cm; siendo su eje un diámetro de la esfera. Encuentre el volumen de la parte

184restante del sólido. Rpta. ---- F1 h3


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net



® Se hace un hoyo de 2 ^ 3 pulgadas de radio através del centro de un sólido de formaesférica con un radio de 4 pulgadas. Encuentre el volumen de la porción del sólido que

224 3fue cortada. Rpta. u

(9 ^ Hallar el volumen del obelisco cuyas bases paralelas son rectángulos de lados A.B y^ h , , Ab + aB , *a,b respectivamente y la altura h. Rpta. — (ah + -----------+ ab)u

3 2

(92) La base de un sólido de un círculo con un radio de 9 pulgadas y cada sección planaperpendicular a un diámetro fijo de la base es un cuadrado que tiene una cuerda del

circulo como diagonal. Encontrar el volumen del sólido. Rpta. 1944 pu lg1

(9^ Encontrar el volumen del tetraedro que tiene tres caras mutuamente perpendiculares ytres aristas mutuamente perpendiculares cuyas longitudes tienen medidas a,b y c.

« * °bc 3Rpta. ----u

6

( 0 ) Hallar el volumen del sólido de revolución formado al girar alrededor del eje X. la

región D acotada por las gráficas de las curvas F(jc) = 4 -^ - (x -4 )2,

2 1 144 1G(jc) = 1 + — (x - 4) y las rectas x = 2, x = 6. Rpta. /r[60 - 64(-------------)]«9 1215

(95 ) Hallar el volumen del sólido generado, al rotar alrededor del eje X la región limitada

por las curvas C: y = ax~ x2, a> 0 , Cx : y = 0 .

(9ó) La región limitada por la circunferencia x 2 + y 2 + 2x+ 2y-2 = 0 , girar alrededor de

la recta y = 3, calcular el volumen del sólido generado.

a) DEFINICION.- El área de una superficie S obtenida por la rotación alrededordel eje X, del arco de la curva y = f(x) entre los puntos x = a

y x = b es definida por medio de la fórmula.


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net



OBSERVACION.

1) Si la curva y = f(x) se hace rotar alrededor de la recta y = c se obtiene una superficie de revolución, cuya área es expresado por la fórmula.

m a m*1 d x - " %

2) Si la ecuación del arco de una curva está dado por la ecuación y = g(y),V y g [c,d] en donde g es una función con derivada continua en [c,d] entonces el área de la superficie engendrada por la rotación alrededor del eje OY del arco de la curva x = g(y) entre los puntos y = c, y = d es expresado por la fórmula.


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net



3) Si la curva x = g(y) se hace girar alrededor de la recta x = k. el área de la superficie de revolución está expresada por la fórmula.

Ejemplo.- Hallar el área de la superfìcie del “Huso”, que resulta al girar una semionda de la senusoide y = sen x alrededor del eje OX.

Solucion

dvy = sen x => — = eos xdx

Como ^4(5r ) = 2 n f y j l + (— )2 = 2 n f -Jl + cos2~x senx dx Jo v dx Jo

= -2 n (^ ^ V c o s 2 jc + l + —ln|cosx+Vl +cosx |)

A(SX ) = - n [ -2 4 í -ln (l + V2) + ln (-1 + -Jl)]

A(SX ) = 2U[-j2 + ln(l+^2 )]« 2


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net


Ejemplo.- Hallar el área de la superficie engendrada al rotar alrededor del eje Y, la

hipocicloide x 2 3 + y 2/3 = a 2i 3

Solución

2/3 2/3 2/3 rfV , f y d x ¡X

x ^ ~<hc~ u ^

td x s x 2/3 C2/3- v 2' 3 a 2 n - v 2n(~r)~ = —r r r = -------^ — => ( t ) ' =¿v' >-2/3 y 2n dy y 2/3

Como ¿ (S y) = 2n£* jc^|i+ ( ^ ) 2 rfv - 2 n £ (o2/3 - y 2 n ) 3 / 2^ a 2 ^ 2/f / 3 d y

J.a ^1/2 / 2/3 2 /3 \5 /2

(f l2/3 _ 2 /3 } 3/2 " ^ = 6 n a «/3[ ( C _ Z Z _ J _ ] / "

o ' «l/3 ' 1 5 /2 J/o

V_ 12fl 7T 2A(S y ) ----------- —--- U

3.34 PROBLEMAS PROPUESTOS.-

Hallar el área de la superficie generada haciendo girar la curva y = 2^6 - x , x e [3,6]

56 ialrededor del eje OX. Rpta. m2

© Hallar el área de la superficie engendrada por la rotación, alrededor del eje OX. del

arco de la curva y = e * comprendida entre x = 0 y x = -Ho.

Rpta. h/2 + ln(l + /2)]n u1

© Hallar el área de la superficie del tronco engendrado por la rotación del círculo

x 2 +(y - b ) 2 = a2 alrededor del eje OX (b > a). Rpta. Aab FI2 u2

( 4) Hallar el área del elipsoide de revolución que se obtiene al hacer girar la elipse1 1x~ y-— +— = 1 alrededor de:

25 16


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net


a) Su eje mayor. Rpta. 2(16 + ^arcseny)7T u 2

b) Su eje menor.on

Rpta. (50 + y ln4)?r u2

© Calcular el área de la superficie formada por la rotación alrededor del eje X del arco

de la curva 4y - x 2 -2 In x entre x = l y x = 4. Rpta. 24 n u 2

© Calcular el área de la superficie de revolución que se obtiene al rotar, alrededor del eje

X, el lazo de la curva 9ay2 =x(3a-x)2 Rpta. 3a2n u2

© Hallar el área de la superficie engendrada por la rotación de la parte de la tangentoide

©

©

nde y = tg x, comprendida entre x = 0 y x = — alrededor del eje OX.

Rpta. [ n { S ~ 4 l ) + n ln (2(^ +2))fr2V5 +1

En la figura se dan las dimensiones de un espejo parabólico AOB. Hallar la superficie de este espejo.

Rpta. 1D° (5-S -8)/r u2

Hallar el área de la superficie (denominada Catenoide), engendrada por la rotación dex

la catenaria y = a. cosh(~) alrededor del eje OX, entre los límites x = 0 y x = a.a

Rpta. — ( e 2 - e 2 +4)ÍIw 2


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net



(ío) Hallar el área de la superficie engendrada por la rotación del eje OY, del arco de la

curva y = a cosh _1 (—) desde x = a hasta x = a cosh 1.a

a2 2Rpta. — (2 + senh2)IT u 2

( í l ) Hallar el área de superficie de revolución de la curva x = —----- 1 n y , alrededor delv“' 4 2

e4 -9 ,eje OX, comprendida entre y= 1, y = e. Rpta. ------- II u

16

(l2) Hallar el área de la superficie cuando la curva 2x = y^Jy2 -1 + ln | y+^jy2 - 1 |,

y e [2,5], gira alrededor del eje OX. Rpta. 78 n u 2

^ 3) Hallar el área de la superficie de revolución que se obtiene al girar alrededor del eje

OX, la curva dada por y 2 =4ojc, desde x = 0 hasta x = 3a. Rpta. ~ ^ a2n

( h ) Calcular el área de la superficie de revolución que se obtiene al hacer girar el arco de

la curva y = 2-e* 9 desde x = 0 hasta x = 2 alrededor de la recta y = 2.

Rpta. [ c 2 a / i + e 4 — j 2 + l n ( e - + ^ r - ) H u 21 + /2

(l5) Hallar el área de la superficie de revolución formada cuando la curva indicada gira alrededor del eje dado:

a) y = x 3, x e [1,2] alrededor de y = -l.

b) y=ln(x — 1), xe[2,e2 +1] alrededor de x = 1.

c) y = 2x, x e [0,2] alrededor de x = 1.

d) y = 4+ex, x e [0,1] alrededor de y = 4.


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net



^ ó ) Hallar el área de la superficie generada por la rotación entorno al eje Y, de cada una de las siguientes curvas:

a) x = y \ y e [0,3] Rpta. ^-[(730)3/2 -1] k 2

b) 2y = x-Jx* -1 + ln(jc —n/jc2 -1 ), x e [2,5] Rpta. 7811 u 2

®2 2

Hallar el área de la superficie engendrada al girar la elipse — = 1, (a > b)a 2 b

alrededor de:

2 . la b n ____ r, j ___, ^ Va2 - b 2a) ElejeOX. Rpta. 2Ylb +— — arcsen£, donde E =

E a

2 b2n , A + E. , . „ -va2 - b 2b) ElejeOY. Rpta. 2na + -----ln(----- ) donde E =

E l - E a

@ Hallar el área de la superficie generada cuando la curva y =—x i/2 - —x1' 2, x e [0,4]3 2

gira alrededor del eje X. Rpta. " u 2

(jg) Hallar el área de la superficie generada por la curva y 2 -21ny - 4 x , al girar^ . 2

alrededor del eje X. Rpta. u10?r' 2

(¿o) Hallar el área de la superficie generada por la rotación de la curva 6c2xy = _y4 + 3c4

es de x = c hasta x = 3c, alrededor del eje X. Rpta. c 27r(20 + ln3)M2

(2^ Hallar el área de la superficie de revolución que se obtiene al girar alrededor del eje X,

la región R limitada por las curvas y 2 + 4x = 21n>\ y = 1, y= 2 Rpta. — nmJ


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net



(22) Hallar el area de la superficie de revolución que se obtiene al girar alrededor del eje X,

. 1 *3 1 r t 11 ^ 208la región R limitada por las curvas y = — + — , xg[1,3] Rpta. -----n6 2x 9

3.4 LONGITUD DE ARGOP

Consideremos una función f con derivada continua en el intervalo [a,b] y una partición P = {xn,x].... del intervalo [a,b] que defina una poligonal formada por

los segmentos rectilíneos desde /*_!(*,_!,/ ( x m )) hasta //(x ,V/Xx,)) para

i= 1,2.....n.

m m n M . >2;+ ( w - /u v - 1))2

por lo tanto la longitud de la poligonal definida por la partición P es:

a) DEFINICION.- Sea f: [a,b] ---- > R una función con derivada continua en[a,b]; si existe un número L de tal manera que:


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net


entonces diremos que el arco PfíP„ de la curva y = f(x) es rectificable y al

número L se le llama la longitud del arco de la curva y = f(x) desde el punto P0 (a, f (a)) hasta el punto P„ (b, f (b)).

b) TEOREMA.- Sea f: [a,b]-----> R una función con derivada continua en [a,b],entonces la longitud del arco de la curva y = f(x) desde el punto

cuya abscisa es a hasta el punto cuyo abscisa es b es expresado por la fórmula.

Demostración

Consideremos una partición P = {jc0 9x¿ } del intervalo [a,b], tal que:

a = x0 <x{ <...<x„ =b.

del triángulo rectángulo P ^ AP¡ de la figura se tiene:

I ^ n J ía^ + ía ^ ) 2 ...Í1)

donde Aix = xi - x i-.l y A,> = /(x , ) - / ( x lM). Luego a la ecuación (1)

podemos escribir asi:


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net


Como f es continua en [x, (,x,J y f '{x) existe en \x, j ,x ,J , entonces por el

teorema del valor medio 3 c, e[xH ,í , ] talque:

/ ( * , ) - / ( * , i) A,.yx¡ —x¡_ i A, x

Luego de (3) y (2) se tiene: | Pi XP¡ |= -Jl + (/'(c, ))2 A,x entonces

L= lint Y J \ + ( r ( c i ))1Aix= [h^ l + (f '(x))2dxi/>M> V Ja1=1

. . . (3)

••• L = f. I l+(— )2dx dx

OBSERVACION.- Si g: [c,d] -----> R es una función continua en [c,d], entoncesla longitud del arco de la curva x = g(y) desde el punto

A(g(c),c) hasta el punto B(g(d),d) es expresado por la fórmula:

» aifc V dy

© Hallar la longitud del arco de la parábola 6 y = x 2 desde el origen de coordenadas alg

punto (4,—).

Solución


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net



Como 6y = x 2 — = — , de donde dx 3

t = r j 1+A !* = r , & - iJo V rf)c Jo V 9 3 Jo

L = U ^ ^ 7 ^ \ x +4 x r ^ 9 \ ] / l3 2

©i [ (1 0 + |ln 9 ) - (0 + |ln 3 ) ] = i[10 + |ln 3 ]

Encontrar la longitud de la circunferencia x 1 + >’2 - a2

Solución

£ = y(10+ |ln3)w

L~2a ií/ jc

“ J a 2 - x 1

X ,a 71 7t= 2a arcsen—/ _q = 2a[arcsen(l) - arcsen(-l)] = 2a(— + —)7T 7T

2 + 2

©

L = 2;rau

Calcular la longitud del arco de la parábola semicúbica y 2 = x 3 desde el origen del

coordenadas hasta el punto cuyas coordenadas son x = 4, y = 8.

Solución


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net



© Hallar la longitud total de la hipocicloide x2,1 + >,2/3 = a2' 3

Solución

„2# 3 , 2/3 _ 2/3X + V = £7 2/3

^ - = * - ,' 3Va2,3- * 2/3dx

t=4f f W *

¿ = 4 r ^ P V T drJo Jo

= 4Í x 1/3a I,3rfr = 6x2' 3tfI/3/* = 6a Jo ' «

© Sea R la región del plano limitado superiormente por x 2 + y2 =2 e por x2 = - y 3. Halle la longitud del contorno de la región R.

Solución

Calcular los puntos de intersección.

- j => >’3 - v 2 + 2 = 0 lx ” + y =2

de donde y = -l

A(l,~l) y B(-l,-l)

x2/3)3/2

inferiormente

del gráfico por simetría se tiene: L - 2(Lab + Loa)


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net


Calculando L^ se tiene x = 2 - y 2 , x > 0

** = rf f & + - l f

= / ^ : V.. = V2 arcsen(-^r) /^ “ = 2 [arcsen 1 - arcsen(— J=)l^ 2 - y 2 V 2 ' - 1 /2

= 2 [arcsen 1 -f arcsenf— j=)] = 2 [— + —] =V2 2 4 4

r _ 3-s/27Ty<C ~ 4 W ••• ^

Calculando se tiene x = J-y3 9 x> 0

¿m = ~j1+(2/^ ~7 ^ dy= í i i^ 4 ~ dy ’ integrando

“ (lW Í3-8 ) ...(2 )

reemplazando (1) y (2) en (a) se tiene:

, -3-y¡2n 13-JÍ3-8 . . . r J-%/2;r 2 ^ 1 3 -1 6 ,¿ = 2(-------+------------ ) de donde L = (------------------------ +---- )u4 27 4 27

2(ó ) Hallar la longitud del arco de la curva 8>* = x4 + — desde x = 1 hasta x = 2.j r

Solución


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net

r2 m r z r r . i 3 1 1 y 1 „ ¿= U l ,x + 2+ 7 ' )* _ l í ,x + 7 )

l rM 14 ,1 1V1 1 r31 1. 33= [(4 - - ) - ( 7 - tt)] = T f v +7 l = T7H2 8 4 2 2 8 4 16

3.4.2. PROBLEMAS PROPliESTOS.-

© Hallar la longitud del arco de la curva y 2 = 4 x -x 2, comprendido entre los dos

puntos en que corta al eje X. Rpta. L = 2n u.

© Hallar la longitud del arco de la curva y = ln x desde x = ¡3 hasta x = -JÜ.

1 3 Rpta. (1+—ln—)u

2 2

© Hallar la longitud del arco de la parábola semicúbica 5>3 = x2 comprendida dentro

■> 1 1 3 4de la circunferencia x~ + v =6 Rpta. -----u27

© Calcular la longitud del arco de la curva y - e* entre los puntos (0,1) y ( 1 ,e).

/ - r — , (V<?2 + i -1)(-n/2+ 1) „Rpta. Se +1 +ln—-----------— ----- - - 2e

© Encontrar la longitud del arco de la parábola y 1 =4px desde el vértice hasta un

extremo del lado recto. Rpta. [-J2 + ln(l + -J2)]p

© Si f ( x ) = J -\/cos td l . encuentre la longitud del arco de la gráfica de f desde el

punto donde x = 0 hasta x = ir. Rpta. 2-y¡2 u


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net


© 1 3Hallar la longitud de la curva y = ln(l - x 1) desde x = — a x = —.4 4

Rpta. ( ln (y )-^ )w

^8) Encuentre la longitud del arco de la curva 9y 2 = 4.v3 del origen al punto (3,2-JÍ).

_ x 14 Rpta. — u3

^9) Hallar la longitud del arco de la curva cuya ecuación es >>3 = x 2, comprendida entre

los puntos (0.0) y (8,4). Rpta. — (10-JlQ -1 )u3 7

(10) Hallar la longitud total del lazo de la curva 6y 2 = x (x -2 )2 si x e [0,2].

Rpta. ■j'v/3 u

@ Calcular la longitud total de la curva 8>’2 = x2( \ - x 2) . Rpta. u

(12) Calcular la longitud total del arco de la parábola y = 2^x desde x = 0 hasta x = 1.

Rpta. [ + ln(l + 2 )]u

( 13) Hallar la longitud del arco de la parábola ay2 = x 2 desde el origen hasta x = 5a.

335 Rpta. ----a

y 21

*""v v2 114J Hallar la longitud del arco de la curva x = In y desde y = 1 hasta y = e.


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net


Hallar la longitud del arco de la curva y =—J x 2 -1 - —ln(,v+J x 2 -1) desde x = 32 2

hasta x = 5. Rpta. 8u.

© Calcule la longitud del arco de la parábola semicúbica y 2 = y (x-1)3 comprendida

^ J dentro de la parábola y 2 = — . Rpta. — (1 OVIO - 8 )u

3 ^

11) Hallar la longitud de la catenaria y - a cosh(—) desde el vértice A(0,a) hasta ela

punto B(b,h). Rpta. asenh(—)a

18) Hallar la longitud del arco de la rama derecha de la tractriz

-----y a + J a 2 - y 2x = —J a ” - y + a .ln |---------------- 1, desde y = a hasta y=b , (0< b< a).

y

Rpta. aln(—) b

(19) Calcular la longitud del arco de la curva (—)2/3 + (—)2/3 = 1, en el primer cuadrante.a b

n a 2 + a¿ + ¿ 2Rpta. --------------- u

a+b

@ x3 1Hallar la longitud del arco de la curva cuya ecuación es >’ = — + — desde el punto

14de abscisa x = 1 al punto de abscisa x = 3. Rpta. — u

(21) Hallar la longitud del arco de la parábola y 2 - 2px desde el vértice a un extremo del


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net

(22) Calcular la longitud del arco de la curva x = ln(sec y) comprendido entre y = 0 e

y = —. Rpta. ln(2 + >/3 )u•J

(23) Hallar la longitud de la curva y = ln(gy +1) entre las abscisas x = 1 y x = 2.€X —1

Rpta. (ln(t?2 +l)-l)w

(24) Hallar la longitud total de la curva (>■ -arcsenx)2 - 1 - x 2. Rpta. 8 u

(25) Calcular la longitud de la parábola semicúbica 2>-3 = x2 comprendida dentro de la

circunferencia x 2 + y2 =20. Rpta. — (IOVÍO-I)m

(26) Hallar la longitud del arco de la curva y = 4 x - x 2 + arcsen-Jx . Rpta. 2 u

( t f ) Halle la longitud del arco de la curva 8y = x4 +2x 2 desde el punto donde x = 1 al33punto donde x = 2. Rpta. — u

(28) Determinar la longitud de la curva y 2(2a-x) = x i (Cisoide de Diocles) entre x = 0

y x = a. Rpta. 2a(-j5 -2 ) +-s/3aln|-— |7 -4 ^ 3

(29) Hallar la longitud de la curva j = -\/sec2 y + 1 - ln | + SCC T + | desde x = — ^ sec x 4

hasta x = y . Rpta. (^3-1)«

^ 0 ) Hallar la longitud del arco de la parábola y = ln | c tgh(^) | desde x = a hasta x = b

e2b- l (0 < a < b). Rpta. a - b + ln(—-------)e~a -1

Calcular la longitud del arco de la curva 9r/>2 = x ( x —3a)2 desde x = 0 hasta

x = 3a. Rpta. 2-^3 a u


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net

It


(32) Hallar la longitud total de la curva 8a2y2 = x 2 (a2 - 2 x 2) . Rpta. a n u.

(33) Encuentre la longitud de la curva 6y 2 = x(x - 2 )2 de (2,0) a (8,4\/3).

Rpta. w

6 4 ) Encuentre la longitud de la curva (—) 2/3 + (—) 2/3 = 1, en el primer cuadrante, desdea b

A a a U A A n 8o3 -(a2 +3b2)3' 2el punto donde x = — hasta donde x = a. Rpta. -------- -----r------ u8 F 8(a —b )

(5?) Halle la longitud de la curva 9y2 = x (x -3 )2, en el primer cuadrante, desde donde

x= 1, hasta donde x = 3. Rpta. —- «

(3ó) Determinar la longitud del arco de curva descrito por y - 4 e2x -1 - a/csec(ex) - 1,

x e [0.4]. Rpta. — (e%- \ )

Determinar la longitud del arco de la curva descrito por y = ln(l - x1) desde x = 0

hasta x = —. Rpta. + ln32 F 2

® jc3 1Determinar la longitud del arco de la curva descrito por y = — + — , x g [1,2]3

Rpta. —24

(39) Determinar la longitud de arco de la curva descrito por y = — arcsenx - —Vi - x 2 ,

rn ^ 3 , 4n +y¡2x g [0,--- ] Rpta.2 16

(40) Determinar la longitud de arco de la curva descrito por y = + y - , x e [2,5]

_ A 383Rpta. -----20


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net


CAPITULO IV

4. ímÉxmALÉS » R O F M S L -

4.1 INTRODUCCION.-

Por el teorema fundamental del cálculo se tiene que: si f es una función continua en el intervalo cerrado [a,b] y si F(x) es la integral indefinida de f(x) entonces:

Ahora nos haremos algunas interrogantes, por ejemplo:

f+DO dx¿A que es igual la integral —- ? En donde la función es definida en el intervaloj2 JC

[2 ,+ o o >

Í-i dx—- ? En donde la función es definida en el intervalo x

<-oo,1]

r4 dx¿A que es igual la integral j — ? En donde la función esta definida en el intervaloJO Y*

<0,4]

Í ¿ dx—- ? En donde la función esta definida en el 1 x

intervalo [-2 ,0 U <0,2]

A todas las integrales de estos tipos mencionados se denominan integrales impropias las cuales pueden existir o no existir.


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net

Integrales Impropias 451

f+CjC dxAnalizaremos la integra] | — , para esto calcularemos el área bajo la curvaJl x

y = —- , y el eje X desde x = 2 hasta x = b.x

rh dx 1 ,h 1 1 1| — = — - = — (— -) enioncesh v4 ivj/ 2 3 V K ídx 1 1

24 3b3

Luego —-------- es igual a — , cuando b -> qo lo cual expresaremos en la forma.24 3 24

«fe r 4 A-»* «fe r 4 24 l/j3 2¿3¿ 24

Se tiene dos tipos de integrales impropias que son integrales impropias con límites infinitos e integrales impropias con limites finitos.

4.2 INTEGRALES IMPROPIAS CON LIMITES INFINITOS.«

a) DEFINICION.- Si f: [a,+oo>---- > R es una función continua en [a,+'*>>,f *oc

entonces a la integral impropia f{x)dx definiremos por:J a

Si existe el límite diremos que la integral impropia es convergente, en caso contrario diremos que es divergente.


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net


b) DEFINICION.- Si f: <-*>,b] ---- ► R es una función continua en <-oo,b]

Cbentonces a la integral impropia f(x)dx definiremos por:J-OG '

Si existe el límite diremos que la integral impropia es convergente, en caso contrario diremos que es divergente.

c) DEFINICION.- Si f: <-oo,+oo>-----► R es una función continua V x e R,

Í-rfr.

f{x)dx definiremos por:

Í +» me pc pbf(x)dx= I f(x)dx+ I f(x)dx = lint I f(x)dx+ lim I f(x)dx

-do* J-oo' Je Ja b~*+ Jc

Si las integrales impropias J° f(x )d x , J / (x)dx son convergentes entonces la

Í+ODf(x)dx es convergente, en caso contrario se dice que es

-OD ‘

divergente.

(c es un número arbitrario en donde está definición no depende del número c que se considera).

OBSERVACION.- Si f(x) >0, entonces las integrales impropias convergentesrepresentan el área de la región plana que determina la

gráfica de la función f y el eje X.

Ejemplo.- Determinar la convergencia o divergencia de las siguientes integrales impropias.

© r — ,^ Jo l+ xSolución


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net

#+®'1 dx dx ¿I - lim I ----- - = lim arctgjc / = ¡im (arctg¿-arctgO)JO l+JC b-t+oojo 1+jc 6-»+co b-*-*-oa

© í

r*^ dx n| ----- - = — es convergente.Jo \+ x 2

exdxv>

Solución

—DO ne —e = e — v= eí e*dx= lim f e'dx = lim ex / = lim ( e - e a) =J oo o —»- o: Jü fl-+ -a « —»—<*>

/. J exdx = e 9 es convergente

f |jc |e_r rfx J-ÚO

Solución

-+ar 2 fO 2 fl+00 2 1*0 2 /‘+OD 2|x |e * d x = | \x\e~x dx+\ \x\e~x dx = \ %-xe x dx+\ xe~x dx Joo J-ao Jo Jo

= lim f - x e x2dx+ lim f xe X d x = lim —— lim - — fa~~*~oo Ja Jj-h»+odJo íí-»-oc. 2 0 b~*+uD 2

4 [ lim ( l - e -°2) - lim (e~bl -1)] = I [ ( l - 0 ) - ( 0 - l ) ] = l2 o-»-«. 6-*+oc 2

-4-00 JI | jc | e? 'rfx = 1 es convergente.

J a


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net

e ax cos(fot), a > 0

Solución

r+v ~ rB| e ax cos( bx)dx= lim | e ax eos(bx)dxJO 0 -+ + V Jo

Calculando la integral J e~ax cos(bx)dx por partes:

e~ax (b sen bx - a eos fot)J e ax eos(bx)dx

a +b

f*"e -“ cos(fa)A= lim f e " cosita)* = limJo 6>-»+«? Jo 6-t+tx, Q + b

r -aB í^sen b 6 - a cos b6) a■■ lim [e .----------— —--------------- + — ------ -o->+<* a +b~ a +b~

n a a1 u1 ~ 1 u?a~ + b a~ +b

-+0C. ^ Q

I e cos(bx)dx = —----- es convergenteJo a~+b~

4.3 INTEGRALES IMPROPIAS CON LIMITES FINITOS.-

a) DEFINICION.- Si f: [a,b> ----- >• R es una función continua eri [a,b>,

entonces a la integral impropia J f(x)dx definiremos por:

/ ( x ^ d x - lm j f(x)dx É >(¡J«

Si existe el límite diremos que la integral impropia es convergente, en caso contrario se dice que es divergente.


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net

b) DEFINICION.- Si f: <a,b] -----» R es una función continua en <a,b],rh

entonces a la integral impropia f f (x)dx definiremos por:Ja

Si existe el límite diremos que la integral impropia es convergente, en caso contrario se dice que es divergente.

c) DEFINICION.- Si f: [a,b] -> R es una función continua en [a,b] excepto enx = c donde a < c < b, entonces a la integral impropia

definiremos por:

f f(x)dx= f f(x)dx+ [f(x)dx =¡im f f[x)dx+lim í f(x)dxJ a J a J e e *0 Ja e ~ > 0 J e + e

Si las integrales impropias f f(x)dx y f f(x)dx son convergentes, entoncesJ a J e

la integral impropia f(x)dx es convergente, en caso contrario se dice que esJ a

divergente.

Ejemplo.- Determinar si las siguientes integrales impropias es convergente odivergente.

© í ' - r =

Solución

f 1A1- = lim í = l i m - l ^ l - x / * =-2 h m (4 ^ - 1) = -2(0-1) = 2Jo ¡\ _ x y-*U Jo ^¡l~X «~>0 ff_>0

-y:— =2 es convergente.


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net

Solución

f 2^ É L = H m í 2 4 ^ = lim 2->/x-I[ - 1)3 + 3(jc-l)3/2+ x ] /

= //ra[— ~ J c ( -+ 3 e i n +17e] = — e-»o 7 7 7

r2 jc3rfx 72 j - ^ = = = — es convergente

^ ji ln(2 + Vx)-dx

Solución

r1 ln(2 +V*) , f° ln(2 +Vx) r1 ln(2+V*)J - . - w _ * = k _ s r - ‘fa+J'>_ 5 r - ' fa

e—►O *-1 %* e->0 Jo+e x I y

= //TO3 ¿ ln (2 + V r) (^ y - 4 ) - i ^ J + W ] /7»o 2 4 7 1

+ lim 3[-ln(2 + V T )(V ?- 4) - 1 V ? + V* ] / ' f->o 2 4 / *

= 3(|[ln2(0 - 4) - 0] - |[ ln ( l - 4) -1 (1 - 4)]) + 3(|[ln3(l - 4) -2 2 4 2

- 7 O -4 )] ■-1 [ln 2(0 - 4) - 1 (0 - 0)]) = ~ ln 34 2 4 2

filn(2 + V * ) . 27 .I ---- -r=---- </x = ------ln 3 es convergente.J-i 2


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net

4A CRITERIOS PARA LA CONVERGENCIA DE INTEGRALES IMPROPIAS.“

4.4.1 CRITERIO DE COMPARACION-

Consideremos dos funciones f y g tales que 0 < g(x) < f{x) V x e [ a,b > y además integrable en [a,t>, V t e [a,b>, entonces:

i) Si J / {x)dx es convergente, entonces J g(x)dx es convergente

ii) Si í g(x)dx es divergente, entonces f f(x)dx es divergente.Ja

4,42 CRITERIOS DE CONVERGÉNCIA PARA FUNCIONES DlSCCWTINUASw-

Sea f : [a,b]-----> R una función continua en [a,b] excepto en el punto x = c;

si f(x)>0 y lim f ( x ) \ x - c \ m= A donde A * 0 , +a> en este caso a la funciónX~*C

f(x) lo aproximemos a f (x ) ------ - ---- cuando x —» c, entonces la integral/ \ fn(x-c)

impropia J / ( jc)í/x .

i) Es convergente cuando m < 1. ii) Es divergente cuando m > 1.

4.43 CRITERIO DE CÓJWERGENCIA CUANDO UN LIMITE DE INTEGRACION ES INIEINIT^

Sea f: <a,+oo> -----> R una función continua en a < x < +oo, si f(x) > 0 y

lim f(x)jcm = A , donde A * 0, +*> en este caso a la función f(x) los.r—>-*-«•'

aproximamos a f ( x ) ------cuando x oo entonces la integral impropia.

i) Es convergente si m > 1. ii) Es divergente si m < 1.


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net

© í

Ejemplos.- Determinar sí las integrales impropias son convergentes o divergentes.

dx2

Solución

x 3+x2

r *r/ {¡x f ' a dxI —-----— < | — , V x e [1 ,+oo>, como la integral.

x3 + x2 Jl x3

f *' dx 1— = — es convergente, entonces el criterio de comparación se tiene a la integral x3 4

J*+£° dx— — es convergente.1 V -4- V2

© r+00 _

e x senx dx

Solución

r oo 7 +00e~x sen x~ dx , como la integral

Jo

J»+ooe~xdx = 1 es convergente, entonces por el criterio de comparación se tiene que la

o

f * 2 e sen jc de es convergente.

© i1 dx

Vx2 +3xSolución

Ja dx dx f1 dx7 —-----r < I —— V x e <0,11, como la integral | —¡= = 2 es convergente, por» V r2 +3x Jo V* h Vx

dxlo 'anto r ____ es convergente por el criterio de comparación.Vx2 +3x


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net

© r — * -1 2x + S x 2 +1 +4

Solución

A la función dada los expresaremos así:

_1_2

if (x )2x + S x 2 +1 + 4 1 \ 4

2jc3 +(1 + — )3 +x2 -X 3

cuando x +oo, el denominador tiende a 1.

1 A 2Luego f ( x ) — —— = ---- de donde A = 1, m = —x 2n xm 3

f+tt> dxLuego por el criterio c) de la convergencia resulta que I ------- . ----31 2 * + \x 2 +1 +4

es

divergente.

dx© f j r T r » > b >°Ji l¡x + 2ilx + x i

Solución

A la función lo expresaremos así:

/ ( * ) = —= --- 77=----— = —777"(—TTñ— "— tttt) esta función es discontinua enl f c + 2 t f c + x 3 x 1' 4 x + 2 + x

x = 0 y cuando x —> 0 a la función f(x) lo aproximamos.

f ( x ) -----= de donde A= —, m = — < 1 .2x x" 2 4

Luego por el criterio b) de la convergencia se tiene que la integral impropia rb dxi — ----- —— r- es convergente.Ji v r + 2 ^ + x 3


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net

© r* fcxHallar el valor de k para que la integral impropia (—-------------- )dx

Jo x +1 2x4-1convergente. Luego hallar el valor de la integral.

sea

Solución

r (- £ --------— ) * = lm |* < -£ ------- — ) *je +1 2jc + 1 6-*+ocJo y +1 2x + l

/ i « i ¿ l n U 2 + l | ~ I n | 2 j c + l | ) /b-++oo 2 2

= f t . I i n í i í l i l í l ) / * = 1fc-»+œ 2 2x+ 1 0 2 *-»+» 2b+1

este limite existe cuando b->+oo sí fr=—2

r * , fct i %J i , r f . ( t 2 + d1/2, i , , i x i , „(—------- )dx = — Lnf lim -------------- ----1 = — ln(—) = — ln2Jo V + l 2x + \ 2 Woo 2b+\ 2 2 2

(7 ) Hallar el valor de a y b de tal manera que la integra] f ( - - +° -\)dx = 1 w Jo x(2x + a)

Solución

A la integral dada lo expresaremos en la forma:


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net

la integral impropia es convergente solo cuando dentro del argumento del logaritmo el numerador y denominador sus exponentes son iguales, es decir: a — b + 2 = 2 de donde a = b.

| lim ln(— - — - ) ] / = 1 => lim (ln— - — - - ln -----í— -) = 22 b~*+oc (2x+a)~ 1 (2 b + a) (2 + a)

ln( lim — — — — ) -ln(— — )2 = 2 h * (2 b + a V 2 + a

ln—-ln(—í—)2 =2 => ln ^ + a = 2 . aplicando logaritmo neperiano4 2 + a 4

(^ + a )2 = e1 => ^ +fl = e => a = 2e — 2 de donde b = 2e — 22 2


I. Determinar la convergencia o divergencia de las siguientes integrales impropias.

© <N

iRpta. Conv. 2

© J#■+30

xe Xdx>0Rpta. Conv. 1

© Jfe*dxIhx> Rpta. Conv. e

© Jr+ctl lnjjc dx Rpta. Div.

© Jr u dx*1 JC(JC + 1)

Rpta. Conv. Ln2


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net


© íx dx

Rpta. Conv.

® f* arctgx dx nRpta. Conv. y - 1

® f T T r hJl (a +x )Rpta. Conv. ---- -1

6(a-+l):

©

5) i' dx

4 7Rpta. Conv. 2

s> fdx

rior Rpta. Conv. 100

a) r e sen bx dx Rpta. Conv.2 , » 2 a + 0

5) r ^ rRpta. Conv. 2n

3^3

S) ídx

° x ln2*Rpta. Conv.

lna

r * arctgx 1+x2

dx Rpta. Conv. K

g ) E l * Rpta. Conv.

® ix1e ' xdx Rpta. Conv. —

^ 27


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net



Rpta. Conv.18

© { V - ' * Rpta. Conv. l - e

© rdx

'0 (X2 +a2)(x2 +b2)Rpta. Conv. n

2 ab(a + b)

íx dx

3^5/2 Rpta. Conv. t H18

© f ;dx

i (x z ~6x) 3/2 Rpta. Conv. 3-^/318

© í-2x -1

3VxT(x-1 );•dr Rpta. Div.

© rdx

xy¡l + x ‘Rpta. Conv. ln Va4 +1+1

a

© r i+ x_ 1 7T

Rpta. Conv. —+— V 2 4

© f xV ' ^ jc Rpta. Div.

(28) J xcoshx dx Rpta. Div.

© r:Tx dx+ x

nRpta. Conv. —

Rpta. Conv. 1


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net


©

©

©©

©

©

©

©

II.

©

©

©

©

Eduardo Espinoza Ramos

P \x \e 1,1 dx Rpta. Conv. 1J—06

f+a> dx _ _ nI — ----- Rpta. Conv. —J-°° 4x +1 2

r00 dx—---------- Rpta. Conv. nx + 2x + 2

f e~Mdx Rpta. Conv. 2J—00

dx _ . „ nI —---------- Rpta. Conv. —=J-00 x + 4x+9 V5

r+m 2x dxI —------ Rpta. Div.J-00 (x +1)

dx „ n— -----— Rpta. Conv. —(x2 +1)2 2

p _ l d x _ £Jo K 2

Determinar la convergencia o divergencias de las siguientes integrales impropias.

f x~2ndx Rpta. Conv. 9J-8

f° —¿ í Rpta. Conv.—3J-2VÍTT

f1 , = Rpta. Conv. 2(2^2-1)W l + x-2/3

f4 dx---- Rpta. Conv. nJo ^4-----2x - x


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net



©

©

© í

f ™LJ-2X1

2 dx

(Sx2 -]

© Jo ír_1\2'

© í

© r

(*-!)•

* dxc-s/4—:

dr

4 a ^ :

© Vjc2- 9

dxf w ¡¡¡í

r4_ d rJl r 2 -

© 1

x- - 4

20 x dx

S l a x - x 1

1 dx

xJ -5 x 2

x5dxC j T ?

Rpta. Div.

Rpta. Conv. n

Rpta. Conv. 6

Rpta. Div.

nRpta. Conv. y

Rpta. Conv.

Rpta. Conv. 2

Rpta. Div.

Rpta. Conv. fia

Rpta. Div.

Rpta. Conv.

í» dx

4 * - x 2Rpta. Conv. IT


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net


3> Í * - A = 71Rpta. Conv. — 2

dx(x -l)(x -3 )

Rpta. Div.

© £3 dx Rpta. Conv. —

2

dx-y/íX-flXf)- X)

, a< b Rpta. Conv. n

2 - ev2l) f - _____ dx n . n a 2 ,, e2 .Rp,a- — “ - T *

(22) J jc lnjc rfr

© f —^ JO ir —

dx(x — 1)(jc -8x+15)

Rpta. Div.

@ idx Rpta. Conv. 33tt

® r x dx , a ím2 ¿¡X

I-senxRpta. Div.

® i r a Rpta. Div.


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net


® rn/4 sec2 x dx _ A .I — p = — Rpta. Conv. 2Jo V1«*

® í secx dx Rpta. Div.J-ní 2

III. Determinar la convergencia o divergencia de las siguientes integrales impropias.

(7 ) í — — Rpta. Conv. tia/jcíjc + I)a/x(x + 1)

© C ^ 4 Rp,a' COnV- °

I — - ^ d x Rpta. Conv. I4x

( 4) C — 1É L = Rpta. Div.

© Rpta- Conv.Rpta. Conv. —2 ^

dx 1(Í6) f ---------------- Rpta. Conv. 1W Jo ( x + J x ^ ) 1 3

(T) í -Rpta. Conv. 1w Ji x 24 7 ^ \

( ? ) \ S — ~ 1)dx Rpta. Conv. 0^ Jl x ' 4 x ^ \

( ?) f . = =■ Rpta. Div.W V 2x2 - 4 jt- 6


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net



© Jr° (x + 1 )dx

-1V -* 2 - x

_ ^ 7TRpta. Conv. —

© Ji* dx li (x -l)(2 -x )Rpta. Conv. n

© Jr x 3 + ldxlo

Rpta. Div.

© Jr+0° dx I»1 x ln(lnx)

Rpta. Div.

© Jr+K dx « x(lnx)2

Rpta. Conv. 1

IV. Determinar la convergencia o divergencia de las siguientes integrales impropias.

© Jr+0° dx

,2 x 4Vl + x4Rpta. Conv.

í *© Jr+°° r + 3f dx

'i x 4 +lRpta. Conv.

© Jr f +l dx '2 4 x 2 - \

Rpta. Conv.

© J•! sen(x3)l r , *

Rpta. Conv.

© J■+oo >| e * 'd x 0

Rpta. Conv.

© j dxe x(lnx)3/2

Rpta. Conv.

© J x n dx « (x5 + x3 +2)3

Rpta. Conv.


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net



© 1p ln(jf2 + l ) ^>1 .V

© Jr1 dx

% ~ x A

m

- £

® ©

r u dx

1 4x^+1

r * c n x dx'1 X

© Jr fJ xarctgjf dx

® Vl + -t4

© Jr1 x 2dx

I(, /(1-X2)5

© Jp' dxl o ^ _ i

© Jr> 4x dx lt e*enx _ i

© Jp> dx0 ex - eos .v

© J'n' 2 In(secx)dx° 4x

© J rsen2(— )dx 0 x

© J•+y sen x dx

.

Rpta. Div.

Rpta. Conv.

Rpta. Div.

Rpta. Conv.

Rpta. Div.

Rpta. Div. #

Rpta. Conv.

Rpta. Conv.

Rpta. Div.

Rpta. Conv.

Rpta. Conv.

Rpta. Conv.


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net


470 Eduardo Espinoza Ra»nos

V. Problemas Diversos.

© Mostrar que la integral J es convergente para p > 1 y divergente para p < 1.

© Demostrar que la integral impropia J v(l + x 2) 2dx es convergente y la integral

impropia J a (1 + x 2) 1 dx es divergente.

© Mostrar que la integral impropia f — —— es convergente sí 0 1.

Demostrar que: í = [ ——-j- = —%=W J o 1 + jc J ” 1 + x 4 2 ^ 2

Q ) Demostrar que: J e ' dx = 2^ e~x d x ~ \{ ~J^^X

Demostrar que: í — —— = f X dxarccos x «m x

© Determinar un valor para n de tal manera que la integral impropia

J* y , nx1 1 „ .(—------------- )dx es conveniente.i r ’ +l 3 r+ 1

© Determinar un valor para k de tal manera que la integral impropia

J. 1 kx~ 1(—-------------)d\ sea conveniente v calcule la integral.

i . i + l 2.v + l

, 1 1 , 5Rpta. A = - , - l n -2 4 4

®|B * / ^ ^

Determinar el valor de n para que la integral impropia (----------- —— )dx sea

jc + l 2x~ + n3convergente. Rpta. n = —


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net

® f +cc 1 kDeterminar el valor de k para que la integral impropia (—,--------- -------- )dx seaJo ^ ¡2 ^ ¡ * + 1

1 3convergente y calcular la integral. Rpta. ¿=-^=r, - ^ - ln2

©

r+u dx r+a dxPara que valores de k convergen las integrales I —------y | -------- —

x k l nx J2 * ( l n x ) *

*Rpta. Para k > 1 converge y k < 1 Div.

k cDeterminar el valor de k para la integral impropia (— --------------- )dx seaJi 2x +2c x + 1

convergente y calcular la integral. Rpta. k = 1, — ln 22

® r+oc 1 ccHallar el valor de la integral impropia: ( . --------- )dx .Jo -J\ + ax2 * +1

Rpta. « = — — ^=ln2*yfa -sla -sja

®r +QC _ 2 ' J tiSabiendo que: J é~* dx = — ~ (integral de Poisson) calcular las integrales

impropias siguientes:

a) f e 0x2d x , a> 0 Rpta.Jo

> g x —b) —= d x Rpta. V/T

J<> 4 x

J* *■(/.■ jx~e * dx Rpta.

o 4

sen x tíSabiendo que: ---- —dx = — (integral de Dirichlet) calcular las siguientesJ<» x 2

impropias.


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net

. f+0° sen 2x , _ . na) ------ dx Rpta. —Jo x 2

f sen ax Rpta. — Sí a > 0, — — sí a < 0 o sí a = 0.Jo jc 2 2

+“ sen2 x dx _ nRpta. —J.+oc sen ji

------ 7o X

r+*sen3x dx 7rd) Rpta. —

Jo x 4

r+tcsen4x d x _ ne) L — i— Rpta* TJo x 4

f+00 sen ax. eos bx dx n , „ „ rc . . n .0 , a > 0, b > 0 Rpta. — si a > b, — si a = b, o si a < bJo x 2 4

® c°° sen jcPruebe que la integral ------dx es convergente.Ji x

( n ) Analizar la convergencia o divergencia de las siguientes integrales:

a) r ^ f d x b) r ^ d xJl x 3/2 JO Jx

x (cosG-e )(l8) Estudiar con detalle si la integral dada converge o diverge J —=

1

conociendo que 0 = n y v = In e*.

® r°° 2x 2 + b + aHallar los valores de a y b de tal manera que la integral (---------------- 1 )dx = 1.x(2x + a)

20) Hallar £ x ne xdx, ( n e Z +)

21) Evaluar I x 3e *dxr


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net


22) Calcular r 2 ,x eJo

dx

(23) Analizarla convergencia o divergencia de la integral J| —(2 r - l )x 2í/.r

*)J

4.5 APLICACIONES DE LA INTEGRAL IMPROPIA.»

4.5.1 AREAS DE REGIONES Y VOLUMEN DE SOLIDOS DE REVOLUCION.-

© Hallar el área de la figura comprendida entre la curva de agnesi v = , y el eje

de abscisas.X' + X'

Solución

La eráfica de la curva es:Como la gráfica es simétrica con respecto al eje Y se tiene:

A(R) = 2 Í yd x = 2Í ' “ - dxJo Jo x 2 +a 2

y * A(R) = 2a? Itr/i í - - 2 a 3 lint arete— /X /,_«J» +fl2 ~ a '"

2a3 //w(arctg-----arctg0) = 2a3 arctg(x)* a

A (R ) -a 3n u 1

Hallar el área de la figura limitada por la cisoide y 2 = —---- y su asíntota x = 22 a -x

(a> 0).Solución

La gráfica de la cisoide es:


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net


Como la gráfica de la cisoide es simétrica con respecto al eje X se tiene

A(R) = l { 2vdx = 2Í2\ L ^ — dx Jo Jo y 2 a — k

Como la función es discontinua en x = 2a entonces

fia h I V-A(R) = 2 i i r t i I \ 'l~---- ~dx

V 2 a -x► Jo

Calculando la integral

Sea a' = z 2 => dx = 2zdz

í- < ' ' , = í x = r =2í=A±

^2 a - z 2 y¡2a-z2

sen 6 = 0 = arcsenH^-)42a

dz = eos 0 dO

4a1 sen4 O.^fla eos0 d6la eos 6

= 8o2 Jsen4 0 dU = l a 2(—— sen 20 +

Cambiando los límites de integración se tiene:

sen 40-)

i f" ‘ I x . -»,30 scn40v ,n,iA(R) = 1 hm xJ-z -dx = la (— -sen 20 + —-— ) /, »o Jo \ la - x 1 X

- (1)

i4(R) = 3o ’n u2


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net


© Calcular el área de la región limitada por las curvas y =2\x\

l + x ‘-, v = 4|-v|

1 + x A

Solución

1 + Jt 1 + X ■'““’l+JC

6|X|

A(R) r» 61jc| J e** 61jc| . ,r° 2\x\ . , r a 2 |x| .= 1 dx+ — --■7 dx — 31 —'— dx+2\ - - dx' J 1 + X 1 + X " 1 + X «"> 1 +

,r° 2x dx r6 2x dx , , ■> /> , />■ lini - 3 1 ------—— + 3 lirn I ------- — ■ = - 3 lim arctg.v / + 3 lim arctg.v /1 + ( * ¥ a~*~oo ’ a 6->+oc * 0

= -3 //w (0-arctgcr)+3 /ww (arctgft2 -0)=-3(-arctg(oo)) + 3arctg(oo) = — + —tí— b—H-tx- 2 2

A(R) = 3n u1

(7 ) Hallar el área de la región comprendida entre las curvas xy = 1, y = — — , a+1

la

derecha de la recta x = 1.Solución

Ubiquemos la región entre las curvas


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net



A R 1 - ( i l n í l u 1

© Calcular el ¿rea de la región R comprendida entre la curva y = xe 2 y su asíntota.

Solución

- 7 XCalculando la asíntota: y = xe x “ = —;— , cuando x —> ±oo, y = 0x* i 2

Luego y = 0 es la única asíntota. Ahora graficando la curva se tiene:

Se observa que la gráfica es simétrica con respecto al origen.


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net



©

©

A{R) = A, + A1 = 2Aj = 2 f y dx = 2 lim [ xe ' ' 2dx = 2 //#« - e ' 12 /*Jll h-**-r-f Jl) h-*-j ’ O

1,1,2 - l ) = -2 (0 -l) = 2

/. A(R) = 2u2

lim (eh

Hallar el volumen del cuerpo engendrado al girar la superficie limitada por las lineas

y = e A, x = 0 e y = 0 alrededor del eje X.

Ín _ f o _

y d x = n \ e xdx

V = ti lim f e 2xdxo ■> f j - f.

2-T ,e i»K ~ tt lim ---- /« —» t 2

3 jcDeterminar el volumen de revolución engendrado al Girar la curva y = —jc +3

alrededor del eje X.Solución

x dx


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net



V - 1S7T lint (---- arctg -^L) th^ 2 ( x 2 +3) 2v3 /3 /o

K = 18tí lim (---- — + —^=arclg-“ =r) = 18^(0 + -^ -= (—))* 2 ( / r +3) 2 /3 ^3 2^3 2

i/ ? *K = ---- 7T~W2

Hallar el volumen del cuerpo que se engendra al girar la cisoide y 2 = x2a - x

alrededor de su asíntota x = 2a.Solución

Aplicando el método de la corteza cilindrica se tiene:

F = 2 n [(2a-x) v dxJO

c-a x4xV=2U\ (2 a -x ) -¿ = ^ = d xJo V2 a - x

V = 211 f (x^2 a x -x2 )dx jo

V = 2 a 'n 2 i/3

® Hallar el volumen del sólido obtenido al girar la curva x + xy2 - y = 0 , alrededor de

su asintota vertical.Solución

Determinaremos la asintota vertical, para esto despejamos y es decir:

1±-v/l-4.v>’ =

2 x

Luego su asintota vertical es x = 0 (eje Y) por lo tanto la curva gira alrededor del ejey

Y entonces despejamos x: x =----- -.1 + v“


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net



I v~dv(1 + V” )"

I- 1

Aplicando la simetría se tiene:

v = 2 u [ ' x 2d v = 2 n í v y (i¡ , Jo Jo (1 + y )

y = 2n Um *■

f* y ~ dy

0+V 2)2

Seanu = y

rfv = V dy

— + — arctgy \ 2

du = dy

v = -120+v-.)

. . . (2)

reemplazando (2) en (1 ) se tiene:

V=2U lintfe—

V 1im (--------------------------------- 1——+—arctg y) / = 2 n lint (-------— + —arctg¿>)♦+* (! + >•") 2 /n 2(1+ Zr) 2

© Calcular el volumen del sólido generado por la rotación de la curva

rv2 = 9a2 (3a - jc) , a > 0 alrededor de su asíntota vertical.

Solución

En primer lugar determinaremos su asíntota vertical para esto despejamos y es decir

y = ±3a j ——— . Luego su asíntota vertical es x = 0 (eje Y); ahora haremos la gráficax

correspondiente.


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net



Como gira alrededor del eje Y aplicaremos el método de la corteza cilindrica y como es simétrica con respecto al eje X, se tiene:

3 a -xV = 2 [ 2 n j^ a x 3a dx]

n f1" ¡3a-x* =lH xi ~ r

dx

La función es discontinua en x = 0, entonces

J* / 3 o — xx J ----- —d x. Calculando la integral y tomando él limite.* V jc

V = - a 3n 2 u30

4.5.2 PROBLEMAS PROPUESTOS.*

© Hallar el ¿rea de la figura comprendida entre la curva y = -^ -, el eje OX y la recta

x = l (x > 1). Rpta. I «

© 64Calcular el ¿rea de la región limitada por la gráfica y = —------ y su asíntota.jc“ +16

Rpta. 16/r u~

Calcular el ¿rea de la región comprendida entre la curva y = e ,v 11 y el eje X.

Rpta. 2 u 2

Calcular el área de la superficie limitada superiormente por xy = 1, inferiormente por

vx2 + y -x = 0 , y a la izquierda por x = 1. Rpta. (ln a/2 )u2


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net



Calcular el ¿rea de la figura limitada por la curva y 2(x2 + 4) = 4x2 , sus asíntotas y

sus ejes. Rpta. 8 i r

4

(ó ) Calcular el ¿rea de la región limitada por la curva y2 - - * —- , y = 0 y sus asíntotas4~x~

verticales. Rpta. 2Y\ u2

Qj} Calcular el área de la región limitada por la curva y 2 = — -— , y = 0 y sus" jc(1 — jc)

asíntotas verticales. Rpta. U u 2

^8) Encontrar el área de la curva y 2 (a -x ) = x 2 (a + jc) y su asíntota.

Rpta. (-y+ 2 )a2 u 2

Determinar el área de la región limitada por las curvas x(y - 1) = 1,

a'2(>’-1) + y - * - J * ubicada a la derecha de la recta x = l . Rpta. (—ln2)w22

no) Hallar el área de la región, no acotada, limitada por la curva y 2 - * - , por sus1 Hh AT~

asíntotas y el eje Y. Rpta. 2 u2

( l ^ Encontrar el área de la región limitada por curva y2 = X X - y por su asíntota2 a - x

n n + 4 •)(a>0). Rpta. ----- a~ u~

2Q i) Hallar el área de la región limitada por la curva y2 = —— y sus asíntotas.

" x~ -1


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net



^ 3 ) Hallar el área de la región limitada por las gráficas de y = arctg x, 2y = n , x = 0.

Rpta. no existe

^ 4) Hallar el área de la región limitada por los gráficos y = sech x y su asintota.71 ?Rpta. —ir

Determinar el volumen del sólido de revolución generado al hacer rotar alrededor del

eje x. la región comprendida entre la curva y = ] - , x > 1, y = 0.Jlf

Rpta. 3 n w 3

Hallar el volumen del cuerpo engendrado al girar la superficie limitada por la linea

y = ex , x = 0 e y = 0 alrededor del eje Y. Rpta. 2n m3

W La curva xy~ = 4a~(2a-x) gira alrededor de su asintota, ¿Cuál es el volumen

generado?. Rpta. 4a3n 3 u3

(l8) Calcular el volumen del sólido generado al hacer rotar la región comprendida entre la

curva x + xy2 = y , y su asintota vertical y gira alrededor de su asintota vertical.2

Rpta. ^ - f / 3

^ 9) Calcular el volumen generado obtenido al hacer girar la región comprendida entre la

curva y = ——— y su asintota donde el eje de rotación es el eje X. x~ +2

1Rpta. «

(2^) Calcular el volumen del sólido generado al hacer rotar la región comprendida entre las1 xcurvas y = —, y = — , y que se encuentre a la derecha de la recta x = 1 y rotax * x~+l

alrededor del eje X. Rpta. K n u3


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net



@ Hallar si existe el volumen del sólido de revolución obtenida al girar la región

x2 -1comprendida entre la curva y = —-----, y su asíntota, alrededor de la recta y = 1.x~ +1

Rpta. 2n 2 u 3

(22) Hallar el volumen obtenido al girar alrededor del eje X, la región situada encima del_$ 1114

eje X y limitada por la curva (x - 4)y 2 = x(x - 3). Rpta. ------------uJff

(23) La región limitada por la gráfica de y = e * , x > 0 y por sus asintota, rota alrededor

del eje de coordenadas, calcular el volumen del sólido. Rpta. ÍT u3

(24) Calcular el volumen del sólido generado al girar la región comprendida entre la curva

xy2 =9a 2 (3 a -x ) , (a > 0) y su asintota gira alrededor del eje Y.

Rpta. ^ ~ a 3Yl2 u 3

En esta sección estudiaremos las funciones conocidas como la función Gamma y Beta que se denota por F(x) y B(m,n) y son definidas en términos que una integral impropia.

4 .41 D E F IN IC IO N La función Gamma es una integral paramétrica definida por:

Esta integral es convergente para x > 0.

4.& h l

i° r(x + i ) = xr(x), v x > -i

Demostración


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net



Por definición de función Gamma se tiene:

F (a + 1)= f le 11 du = r "du = lim f uxe Udu ,Jo Jo Jo

W — 14

dv = e~“du

dw = xu* lduv - - e

r(x + l)= lim [~u*e u ¡ ! + a Í ux {e “du] = 0 + x lim f w* U Jo /?->+« J()

= jcf ux~le" d u = x\r(x)Jo

2o r(n + l) = n! V w e Z

Demostración

Aplicando repetidas veces la propiedad 1.

T(n + 1) = n T(n) = n(n— 1) T(n— 1)

= n(n - 1 )(n - 2) T(n - 2) = n(n -1 )(n - 2).. .3.2.1 T{ 1)

T(n+ 1) = n! V w eZ

OBSERVACION.- T(1) = f u'~le“ du = f e du = 1Jo Jo

i > - * 4

n i ) = i

integrando por partes

le 14 du

f(x + 1) = x r(x)

La demostración de esta propiedad está en el libro de Transformada de Laplace en forma detallada.


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net


integrales Impropias 485

Ejemplos de aplicación.-

Sol ución

Por definición de la función Gamma se tiene: r(jt) = f u X~xe Ud u , de dondeJo

r ( j ) = JT u1 'e "du = JT u hl-e"du

Sea u - x 2 => du = 2x dx

Para x = 0, u = 0 y cuando x —> u —» qo

n - ) = r x V T" 2x dx = 2 f° e ** dx = 2 — = j ñ2 Jo Jo 2

© Calcular la integral Jj 4 x e Xdx

Solución

r J x e *dx = r X1':V 'd r = f x * V xdr = Y ¿ ) = r ( l+ i ) = { r ¿ ) = Jo Jo Jo 2 2 2 2 2

© Calcular la integral x Ae x dx

Solución

Por definición de la función Gamma. T( a ) = J j u x ~ l e u du

Sea u= x 2 => x = u1' 2 => ¿ r = —w"lf2dw2

Para x = 0, u = 0, x -> *>, u -» oo, entonces


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net


f x 4e d x = \ (x2)2e x d x - í u2e u —u Jo Jo Jo 2

1/2 da

= - f u 3lle ud u = - [ u 2~Xe " 2 Jo 2 Jo

du

=\ T (|)= i :r o + | ) = | r ¿ ) =~ r ( i+ i) = | r ¿ ) = 2 2 2 2 4 2 4 2 8 2 8

( 4 ) Calcular la integral | x*‘2e ^Xdx

Solución

o n U , d USea u = 9x => x = — dx = —9 9

Para x = 0, u —»0, x -> *>, u -» oo

r 3/7 w , r w 3/2 du 1 r 7 1I ' '* T =2 4 3 Í."‘ * " "

1 r A » - ! - . ¿ r A = - i - . I r ( I , = ^243 2 243 2 2 162 2 2 324

Calcular la integral J V* e ¿ y

Solución

1/3 w -2/3Sea u= 8x3 => x = ----- => rfr = -------<&/

Para x = 0, u = 0 para x -> oc, u -* »


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net

r1 dx V~31njc© 1 / ......

Solución

r1 dx _ _ L |r1 dxV—3 In v ’«> S - ln x

Sea u = -lnx ln X = -u => A" = t* “

Para x = 0, u —> X, x = U u = 0

r1 dx= — 1

r°-e Udu= — r

-s/-3 lllJC

i r t ■ n i» ^ i¡r= v p . " ' f ‘"“ i r ’ s ’ i j

© Calcular la integral 7 4x rfv

Solución

7 4’-: = c ta7" ,S = *< 41n7,‘: = - ¿ = e «= 2 -7 ^7 *2Vln7

f 7 4,J rfv = f e ( 4,n7,v' d x = — ¡ = [ e "~du = —J*) 2Vfn7Jo 4-Jln7

OBSERVACION.- En la definición de la función Gamma T(jt)= f ux le Udu ,Joharemos las siguientes sustituciones tenemos:

1°) Si se sustituye t - e ~ H => -d t = e ,4du

f = e =>lnt = -u => w = - ln f = l n -/


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net

para u = O, t = 1. u -* x. t -* 0.

n .r)= f u x le "du = f [ l n ( - ) ] x l ( -* ) = f '(ln(—))* 1 dt = f ' ( ln(—))r 1 í/m Jo Ji í Jo t Jo ti

es decir: r(jr) = f [ln(— )]**</«. x>0.Jo u

2o) Para a >0. u = ia => du=atu ldi

para u = 0, t = 0, u = 1, t = 1

r(.í) = ¿ [ ln ( i ) r 1<** = ||[ln(^-)]‘ xat“ ldt = j W V ] A xa J - ldt

= í 'a ' '( ln íV ^ o i" ldt =a' í'[ln(-)]v V ldt. x > 0 Jo t Jw t

Ejemplos de aplicación.

Q Calcular que:

Solución

r(.í) = c/’ j j l n ( i ) ] * V ldl

= = ¡2ñ


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net

© Demostrar que f [— -— ]l 2 dtJo In(l //) V 3

Solución

1 . 3

¡ \ — -— ]li2dl = ftln í-)]“1' 2/1' 2^ = f[ln(-)]2 ' / 2 'dt => x = - , a = - JoMnfl//) Jo1 , Jo1 t 2 2

como r(x )= flt | ‘[ l n ( V 1í í'-,rf/ => r(I) = J |j[ [ liK Í)]-I,2/ ,/2rf/

[ln(~)] 112 /1' 2d t , de donde tenemos:

/

14.6.1.2 EJERCICIOS DESARROLLADOS^

2 2

Solución

Sea r = x2 => dz = 2x dx => dx = — =2jc 2rl/2

Si x = 0, z = 0 y si x->oo, z->ao

f v •, íkc i * r j £ _ }_ i *oo ü l i ] i n + lf jr -jrdr=r z * * e x ~-- dz = - \ z 2 e zd z = - f r 2 e-2<fc = ±r(^)Jo Jo 2 2 Jo 2 Jo 2 2

r ^ e - ' ‘* = I r (£ i l )Jo 2 2

® fi /—1)”/í!Demostrar que: J x w (lnx)n dx = — —— we Z , m > - l


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net

Solución

Sea ln x = -u => jc = e lt => dx = -e " du

Si x —» 0, => u —>00; s i x —>1 => u 0

£.vm(lnx f d x = j ' e “ (-w)"(-e“rf«) = (-rfw)

Sea (m+l)u = z => du = -w + 1

Cuando u = 0, z = 0, u — z 00

£ 1 " (ln.v)” d x = £ (-1)" « V ^ 1"' (-di/) = (-1)" £ w 'V0"*0" (-<*<)

J.« t fi- í—n ” rv(—-—)"e~z —— - = , f :"e Zdz

0 TO + 1 m + 1 ím + 1) Jow + 1 (wj + 1)'

(-Dn r ,(„+iH e-v . = (~i)"r(w+i) = (-i)w»!( w + l)n+1 J0 ’ " (W!+1)"+1 (ra + l)BTl

® Calcular jj x me ux dx , m, n, a > 0

Solución

v . n ti M y W. | y jj , 1 / W. d l íHacemos u - ax => jc = — => jc = (—) => dx = — (—) —a a n a a

Si x = 0, u = 0; x to => u -> 00


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net

1m ti\~ i y-y

V e dx -------- - f ( ------)IW-—1 nna

© Demoslraislrar que: T(/?) — 2 f a*2" [e ' dx Jo

Solución

Por definiciónfin n«)= f V '<•"Jo du

2 í x 2” [c 1 dx ~ f a 2" e 1 2a dx = f {v2)" 1 e 2x Jo Jo Jo

dx

Sea m = v2 => du - 2x dx

Si x = í) => u —> 0; si x —> oc, u -> x

2 I V " V vVa = Í V ^ V/./ = n /i)Jo Jo

por lo lanío r(//)=2 f jJo

2« I -v“ i X f «A'

4.6.2 DEFINICION.- A la función B : R xR ------> R . definida por la integral

donde m > l). n > 0 se denomina función Beta.

4.6.2, l PROPIEDADES D E LA FUNCION BETA**

© B(m,n) = B(njn)Demostración

Por definición de función Beia se tiene: B(nun) = f //" 1 (1 -//)" 1 duJo


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net


Sea z = 1 —u => d/ = -du, además cuando[// = 0, z = \ 1/ = U r = 0

B(m.n)= JV" ‘(l-M)" 1 du = —J*”r" 1 (1 - r)'" 'ífc= j|-" '(1-=)"' 'd= = B(n, ni)

Y(m)Y(fi)r(m-rii)

Demostración

La demostración en detalle de esla propiedad se hace con transformada de Laplace y el teorema de Convolucion y está desarrollado en mi libro de Transformada de Laplace.

® r 2 7 „ f i 2« 1 n ¿a 1 L>, V r (w)rí//)sen " 0 eos O dO = — B(iu ni) = ------------Jo 2 2 r{m + //)

Demostración

De la propiedad (2) se tiene: B(mji) = f um 1 (1 -u)" 1 du = ^Jo f (m + n)

Sea r = eos2 0 => dz - - 2 eos0 sen 0 dO => sen QcosOdO = - ^ -

Cuando 0 = 0, z = l ; 0 - — . z = 0

í sen2m 1 0 eos2" 1 6 d6 = í sen2™ 2 0 eos2" 2 tf.sen0 eos0 dO Jo Jo

= r 2(l-co s20)w 1 (eos2 @)n 1 sen0 eos0 dO Jo

= - i | " ( l - r ) " - 1r" = l =" 'dz

1 x nw)r(H)= — B(n, m) =------------2 2T (ni+ »)


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net


In te g r a le s Im p r o p ia s 493

EJEMPLOS APLICATIVOS^

Calcular las siguientes integrales

Solución

|V ( 1 - x f d x = f x61 (1 - x f~ l dx = 5(6,9)Jo Jo

r(6)r(9) r(6)r(9) 5! .8!T(6+9) T(15) 14! “

1.2.3.4.5 _ 1~ 9.10.11.12.13.14 ~ 9.11.13.14

5! .8!81.9.10.11.12.13.14

1“ 18018

(T) sen8 x dx

Solución


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net



J sen6 6 eos6 6 d6

Solución

í sen2™ 1 6 eos2” 1 6 dO = — B(m,n)Jo 2

7(2m-l = 6

t* - ' - « 3 J -2

7 ._ 7 .

f'2 sen6 ©eos6 6 dG = -£(-,-) --—4^ =-(-)2(-)2(-)2 —Jo 2 2 2 2 _ ,7 7 2 2 2 2 6!1 I---1---)

2 r

225 n 45 n 15tt 15tt

(7 ) Calcular la integral / = - j =

32 1.2.3.4.5 32.1.2.3.4 32.8 256

1 dxx 3

Solución

Como B(m,n)= í um ' ( l -w )” 1 du , entonces Jo

1/31 / 1

Z = X => X3 - ~ = =1/3 => dx = - ----- dz3

para x = 0, z = 0; para x = 1, z = 1

v = f l- r £ = = í , ( i - * V ' ! * = f 1(i-=) •» V i-* 1 Jo *

-2/3- 1/ 2 -

= i f r - J / 3 a - í ) " 1/2* = - f 1- 3 1 ( i ——) 2_13 Jo 3 Jod:


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net



1 . 1 r(i )r(í» . 4" 3 ' 3 - 2 J- 3 - 1+ I "3- 5

3 2 6

- £■ dx

V i-x 3" 3 r ( - )6

© Calcular la integral / = Jx4

Solución

Sea z = x 4 => x = z1/4 => x r 3/4Jz4

Para x = 0, z - 0; para x = 1, z = 1

/ = 1 % ^ = \ \ \ - x * ) ~ v l dx = [ \ l - z ) - u 2 - z - i,AdzJ o ^ Jo Jo 7 4

, i r , X >

4 4 r ( I +i ) 4 rx¿)4 2 4

Calcular la integral / = J

Solución

Sea z= t fx => x = r 4 => rfx = 4z3¿/z

Para x = 0, z = 0 y para x = 1, z = 1

/ = f ' = = f ' ( l - ^ ) " 1'2ííc= fl ( l-r )" 1/24r3rfz = 4 f 1r3( l - r ) I/2í/rJo V l - t / x J " J o J|)


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net



1 f 4 , 1 R 4 | r , Í )= — í - (1 ~ =)2 d: = 45(4,—) = 4-------------------------------- f - ...(1 )4 J" 2 r (4 +i>

reemplazando (2) en (1)

j . f1 dx - 1 F(4)r(2) _ 64 n i ) 64(6) _ 64(2) _ 128

l ^ r ( I ) 105 105 35 3516 2

® rn ¡ lCalcular la integral / = —l

Jo V.

,t/2 ^/sen5 x rfjCeos3 X

Solución

Sea r = sen2 jt => dz = 2 sen x eos x dx


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net



Calcular la integral / = J x 5^ a 2 x 2 dx

Solución

Sea x = a sen 0 => dx = a eos 0 d0

nPara x = 0, 0 = 0, para x = a, 6 - —

/ = í x 54 a 2 - x 2dx = í ¿r sen5 6^ a 2 - a 2 sen2 0.¿zeos0 Jo Jo rfe

i rn/- * n t rT/2 -j/iN i 2(—)— i= a sen 6.cos~ 6 d6 = a sen~( ) éf.cos 2 6

Jo Jode

7 , 7 r (3 ) r ( |) 7 7 ro _ # (3 _ ) = f!____2 _ o 2 _ a -\ln

2 2 r(3+—) 22

_ = _________________ _ 8a7

n | ) “ 4 | i 1 . ^ ' 105 2 2 2 2 2

4.6.3 EJERCICIOS PROPUESTOS-

(7) Mostrar que | x V 2x dx =

( ! ) Mostrar que J x 2e~2x~ dx = ~j=-

( 3) Mostrar que | e 3*x3,2dx~36~

(7 ) Calcular f —¡ ^ d x ^ Jo 4 x

Rpta.

© Calcular J e ' dx 1 r r 1Rpta. - T ( - )


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net


© Calcular e ^ dx Rpta. 6

© Calcular J x 6e~ixdx Rpta. 80243

C a lc u la r (v + l)’ t- ' dx Rpta. — + H —) + r (—)

© Verificar que ^ - ~ - d t = T(1 + /» r(l - p ) , |p| < 1

© Calcular f ía (1 + í)hdt Rpta.

Jo

14) Calcular

© Calcular j ' = Rpta.fAln(-)

2T{a + \ ) Y [ - b - a - \ )Jo T(-b)

Calcular f (lnx)A dx Rpta. 24

^ 2) Calcular J (xlnx)l dx Rpta. - 3128

(Í3) Calcular (\nx)ndxn / ie Z Rpta. (-1)"//!

[ (In(—))h 2 rfx Rpta.'o x 2

( 15) Calcular f [ln(—)]"1,2rfv Rpta. 4 ñJo x

3 r ¿ )( 1 7 ) Calcular f dx R p ta .----------

J11 ln.v 4


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net

@ Calcular 22r xY{p)T(p + ) = 4 ñ T(2p)

© Demostrar que f -J" l + .v4 2^2

(2 ^ Demostrar que | jc(8 .x 3)V3d xJ ± Ü n27

1 x J,1dx „ p n Cl dx(22) Calcular f - = , q>0, — >0 y deducir el valor de í —¡=W J" Vi - JT* 9 Jo Vi -,v4

'"’"N ffJf v/J 1 ln v23) Calcular I 1-------- ‘—dx Rpta. -n cosec (p7r). ctiífpir)^ JO 1+Jt1+*

[24) Calcular Jj -^jlgx dx Rpta.

(25) Calcular las siguientes integrales:

a) í Vi —-V4 dx Rpta. —,—J» 6^¡2n

b, i ' M * Rpta. |

,*,2 ,_____ ^ r <c) i/sen 2x dx Rpta.

Jo


wn | ce


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net

a) rJoX

l + .v(dx

b)dx

C) ( - £ = Jo V i - t 4

rfr

Rpfa. /r3^3

Rpta. /r

Rpta.

12 r 4

X 71----- tt dx Rpta. --------—" 1+ v 14 5n14sen—

7

27) Calcular f * Rpta. ± « 1 . 1 , ,J o ^ r T T K 12 6 6N l+ V ^ 6 6 ]2 fJ

3

(28) Calcular las siguientes integrales

r 6 i , , f1 JC3rf*r „ 80 11!.12!a) \ x e dx + I — — Rpt a. ---- +------- Jo Jo (ln.v) 243 24!

•v .v3 Adx „ 2nb) f — ~ Rpta.Jo x + x * 3^2

C dx « ~nc) - Rpta. —=Jo 1 + x 3 3^ /3

2n C' c~xd) — ------ dx , a > 0, b > 0 Rpta.J * acu +b 3-j3a b

F U g 4 e + m 1 o de „ 1e) i -----------— ----- Rpta. £(3,1) = -

Jo (l + tg(?)4 3


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net


^ f e dx 2 kO —t----------------------------------------- r RPta-J « + l\2“ (eix +1)2 ' 9 /3

@ Evaluar ( - = = + [' * % - Rpta. 7r + - ^ r ( - )W J3 V(a-3 ) (7 - a-) J«(lnA)2/5 ^4 3

© EvaIuar r Rpta. _jl---?í_^ J»U -+ l>U + l r 4sen— 5sen —

10 5

(m ) Demostrar que para todo m > 0 y n > 0 : B(m + 1, n) + B(m, n + 1) = B(m,n)

32) Probar que: B(m¿) = — , m > 0m

33) Probar que /?íw+ l,ii) = —— B{nun)* m>0, n>0.^ m + n

© Demostrar que: f x m l { \ - x r )n l dx = — B ( ~ , n ) , m>0, n > 0, r>0 .Jo r r

nSi m.n = 1,2,3,..., probar que: ^ ( -1 )*

k 0 kv y

1 mi Mm + k + l (w + H + 1)!

1

® i r1 xSi » / > - —, Demostrar que: J ^ == dx2m T(m + —)

(37) Si 11 > 0, Demostrar que: f = — .— ; ^W " n-+ -

2r(w + i)

H - )

n - + - >n 2

(38) Si m > -1, n > -1 y b > a. Demostrar que:

f ( x - a ) m \h—x)n dx = (b - a) fn n+l B(m +1, // +1) Ja


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net


b) Si n > 1, Probar que:

(40) Si m > 0, n > 0, probar que:

\+ xVp '0 x" 1 + ,r"_1B(m,n) =(! + *)’

4.7 INTEGRALES DEFENDIENTE DE UN PARAMETRO.-

rbLa expresión general de una integral dependiente de un parámetro es: I f{x j)dx que

sea nauiralmente una función del parámetro t.

F(í)= \bf{x,t)dxJa

Continuidad de F(t)

Si f(x,t) es continua en el dominio cerrado a < x < b, c < t < d.

La función F(t) es continua en el intervalo c < t < d

Derivación:

a ) Caso en que los límites de integración no sean función del parámetro.

dF(t) Cbd ( f (x j ) )- fJa

dxdt Jo dt

b) Caso en que los límites de integración sean función del parámetro a=ip(t), b= y(t)

dt dt dt dt

Si solamente fuera uno de los límites función del parámetro, será nulo el término correspondiente a la derivada del otro límite.


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net


Los pasos necesarios para resolver algunas integrales por derivación respecto alparámetro.

i) Derivar respecto al parámetro y calcular el valor de la integral a la que da origen dicha derivada.

¡i) Resolver la ecuación diferencial formada por la derivada respecto al parámetro y el resultado de la parte (i) (calcular el valor de la constante).

iii) Dar al parámetro el valor adecuado para calcular el valor de la integral que nos piden.

Ejemplo de Aplicación-

(¡xCalcular por derivación respecto al parámetro la integral: F(a) = I ------

Jo **+5

Solución

Derivando respecto al parámetro (a) y calculamos el valor de esta derivada.

2adx , calculando la integral

Sea - = a a j a .=> x = — => dx =— -dz ~ z"jc

Para x = 0, z —> oo; x —> oo, z = 0

dF(a) _ pda Jo

puesto que es la misma integral que la que nos piden.


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net



dF(a) ,Luego tenemos --------- = —2F(a)da

Ahora resolvemos esta ecuación diferencial

dF(a) _ . r dF(a) _ r . ,--------= -2da , integrando tenemos -------- = -2 Ida => ln F(a) = -2a + ln cF(a) J F(a) J

ln^ Í £ l = _2a => = ^ F(a) = ce-* . . . (1)c c

ahora calculamos el valor de la constante de integración c por la cual damos un valor apropiado a a que nos facilite el cálculo de la integral que nos dan, para nuestro caso

identificamos el valor de a , es decir a = 0 y tenemos f e x dx = (ver funciónJo 2

Gamma)

f® -x2 4 ñFÍO) = c =\ e dx =---- => c ~ ----Jo 2 2

ahora damos el valor adecuado para obtener la integral que nos piden, para nuestro caso a = a.

F(a) = f — l— dx =— e~2a F (a )= — íT2hJo ^«1 2

© f1 x n -1Calcular por derivación paramétrica el valor de F(n) = i ------- dxJo lnx

Solución

Derivando respecto al parámetro (n) y calculando el valor de la integral.

dF(n) f1 a ” lnx= ¡l^ dx= ¡ lx ''dx= ^ f = - Ldn Jo lnx Jo n +17 0 n + 1


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net



Luego , resolviendo esta ecuación diferenciald/? n + 1

f dF(tf) = f —— de donde F(n) = ln(n + 1) + cJ J /7 + 1

F(n) = ln(n + 1) + ln k = In k(n + 1)

Haciendo n = 0 sacamos el valor de k, luego la integral que nos dan se hace cero para este valor de n*

Luego F(0) = ln k = 0 => k = 1 por lo tanto F(n) = ln(n +1)

r _ sen x3) Partiendo de F(a) = e ----dx , calcular por derivación respecto al parámetro

el valor de

Solución

F(a) = l e ax — d x , derivando respecto al parámetro

. . . (1)

calculando la integral por integración por partes.

u - e du=-aeaxdxdu=-aeaxdxdv = senx dx v = —eosx

u = e~ax \du = —ae~axdxdu=-ae axdxdv = eosx dx v = senxv = senx


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net



(l+a2) j e “Xsenxdx = -e (eosx+ asenx)

r -ax . e~"(cosx + firsenx)l e senxdx = ------- 1------- -------- - ...(2 )J l + a


dF(a) e _“*(cosx + císenx) .*> . 1 ,— ~ = ------------- ;-----------/„ = 0 — -— , mtegrandoda l + a 2 /o ¿7+1

^(o) = í — r — = -arctgo + k J a~ +1

Para calcular el valor de k hacemos a = *>, la integral de partida es nula es decir:

F(0) = - arctg(oo) + k =——+k = 0 => fc = —

por lo tanto F(a) = - arctgfao)+k = - — + k = 0 => k = —

J- SCn Jt 7T:---- dx = —o x 2

® cn cos~ x dxCalcular I l (a*b)=\ —------------- -------— basandose en la integralJo ín rnu1' YA-h~ y\~

J,1T dx—— r - ^ — 7

0 fiT eos" x + b~ sen“

(a eos“ x + b~ sen~ xy dx

i i x

Solución

Derivando J2 respecto al parámetro a

dl2(a^b) rn -2crcos2x dxCn - ¿ a eos x axr)n = Jn T~-> i---,2 T T l =~2aW -O)tía Jo (a~ COs x + b sen jc)

ahora calculamos la integral I2 (a,b)


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net



_ rn dx r* sec x dx rn sec“ x dxI 2(a,b)—\ —----- ------- ----- — —I —------------------- — r— - I —---—a “ eos“ x + b~ sen“ x ^ a~ +b~ tg x a"+(fctgA:)~

= — arctg(— tg t) f = — , derivando respecto a ab a ' 0 ab

dlz{ayb) _ n va arb

•..(2)

reemplazando (2) en (1) se tiene: — = -2#/, (¿7) => /, (a,¿?) = ■ na b 2a b

arctgx dx x ( l+x2)

© Calcular

Solución

Introduciendo el parámetro X

Íac flrctPÍAx)——--- — dx, derivando respecto al parámetro X

E-./1V ( ' dx f“ ,Ax+B Cx +D= -i---r^-= (----r +--r r ) * — O)( l+ x ‘ )(l + A‘x ‘ ) J0 1 + x l + A'x"

1 yjjc+g Cx + Z? _ Mx + g)d + A2x 2) + (Cx + D)(l + x 2)(1+x2 )(1 + A2x 2) _ 1 + x2 1 + A2x 2 ~ (l + x2)(l + A2x 2)

1 = A(Á2x 3 + x) + 5(A2x 2 +1) + C(x3 + x) + £)(x2 +1)

1 =(A2A + C ) x 3 + (EA2 + D)x2 +(A + C)x + E + D

A = 0A” A + (' () ^ q

£A2 + D = 0 _ p i=> n =-A + C = 0 1-A2fl + D = l ¿>=

1-A2


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net



7 7 ? - ¡ T Í r f T T Íh = T T F arc,g^ » - í ^ arc,8At/»

k . 1 A ti . 1 - A . nT )2 (1 - A2 1-A2> 2 (1-A2) 2(1 +

F'(A) = - . - í - => integrando F(A) = -Jln(l +A)+c2 1+A 2 1 + A 2

para calcular el valor de la constante hacemos X = 0

F(0) = - |ln l + í= 0 => c = 0

I r m r orctg/jc ax n .Luego / (A) = I ----- — -— = —ln(l + A) para X = 1•"> jrfl + j r ) 2

F(l) = f aiC^ rfy = —ln2 Jo x(l + x2) 2

© Calcular el valor de f ' M L t í l ¿x^ Jo 1+x2

Solución

Introduciendo el parámetro X: F(X)=[ d \ , derivando respecto a X.Jo l + .v2

i-../1» rA * dx ln(l + A2) , ^ ,r (A )= ------ -----------+ --------— (por el teorema de Calculo)Jo (l + x 2)(l + A*r) 1 + A2

-y A Bx + C _ A(l + -r2) + (gy + C)(l + Av)(l+jr)( l + Ac) 1 + Ac 1+x2 (l + Ax)(l + x 2)

x — A(x2 +1) + B(?jc2 + jc) + C(Ar +1) => x = (A + A0)í2 +(B + Ác)x + A + C


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net


A+1B=0 £ + AC = 1 A + C = 0

A =

B =

C =

A1+A2I

1 + A2

1 + A2

f ' ( A ) = — U p t f —— - 0 + 4 - }1 + A ‘ Jo 1 + Ax Jo 1 + jf" 1 + A~

a ln(l + A“ )(A) = -—— [- ln(l + Av)+—ln(l+ x 2 ) + A arctg jcJ / () + ———

F'(A) = —l T-[-ln(l + A2 ) +iln( l + A2) + A a r c t g A ] + ^ ! ^1 + A* 2 1 + A“

1 ln(l + A2 ) A arctg A .I (A)=—.------- , integrando2 1 + A” 1 + A"

/•(A) = ftj---n^ + - + - arCt^ - ]dX +k entonces F(A) = —arctgA.lnO + A2)+/r J 2 l + A- 1 + A“ 2

para calcular k hacemos k = 0 entonces F(0) = 0 = 0 + k => k = 0

Luego la integral que nos queda es: F(l) = f dx = —arctg 1.ln(2)\+x~ 2

7rln28

r1 ln(l + x) ln 2I — dx =------.nJ" 1 + x 8

4.7.1 EJERCICIOS PROPUESTOS^

© <-i x m l —x " ’ 1Calcular por derivación respecto al parámetro el valor de -------------- dx

J<> lnx

Rpta. ln(—)n


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net

© Obtener por derivación respecto al parámetro/= J xa(lnx)n dx, para n entero y a > 1

Rpta. / = (-l)"n!(a+l)"-1

( ? ) Integrar por derivación respecto el parámetro £ln(l + tg t. tg x)dx

Rpta. -t ln eos t

© Utilizando el método de derivación respecto al parametro, calcular

fln(10-6cosxWx Rpta. 7iln9Jo

Sabiendo que F(P) = ^psen(fíx)dx % calcular el valor

J- 9 i(x~ sen3x + x cos3x)dx Rpta. I = 0

o

n(ó ) Calcular el valor de L sen 0 arccos(------ )dü R p ta .---- eos a + —w J—-a sen© 2 22

, r' senhx dxCalcular el valor de I(a) = ---------------------------—, 0 < x < k

Jo (coshx-feos a. senhx)

Rpta. I(a) = — - — [1 + - a r c tg J ^ sen“ « tg« Vi cosa tga

® c711 q ? dxCalcular el valor de J(a ) = ln(l + a sen “ x)---- -Jo «pn2

Rpta. l(a ) = 2^1 + a arctg 4 + a + ln(------ )----a + 2 2

de

(9 ) Calcular el valor de ¡(a) = í ln(l + a sen2 x) —^ — Rpta. 1(a) - n ^ a ñ -1w Jo sen2 x


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net


íü ) Calcular el valor de la integral J ln(l + eos x)dx Rpta. n -

II) Calcular el valor de la integral j" a| ct^ x rfx

4J EL POLINOMIO

48.1 APROXIMACION BE FUNCIONES POR POLINO^I IQS^

Los polinomios son las funciones mas sencillas que se estudian en análisis, debido a que son adecuadas para trabajar en cálculos numéricos, pues sus valores se puedenobtener efectuando un numero finito de multiplicación y adiciones.

Las funciones logarítmicas, exponenciales, trigonométrica se pueden aproximar por polinomios.

Existen muchas maneras de aproximar una función dada f por polinomios, esto significa que se comporta casi igual que la función en un punto.

Si el error cometido en la aproximación es pequeña entonces podemos calcular con el polinomio en lugar de hacer con la función original.

Nuestro interés es de obtener un polinomio que coincide con f y algunas de susderivadas en un punto dado.

Ilustraremos todo esto mediante el siguiente ejemplo.

Supongamos que la función exponencial f (x ) =ex en el punto x = 0, la función f y

todas sus derivadas valen 1 y el polinomio de primer grado g(x) = 1 + x, también tiene g(0) = 1.

También tiene g(0) =1 y g'(0) = 1, de manera que coincidan con f y su primera

derivadas en cero, geométricamente quiere decir que la gráfica de g es la recta tangente a f en el punto (0,1).


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net



1 + X

X

Si se aproxima f por un polinomio de segundo grado Q que coincide con f y sus dos primeras derivadas en cero se obtiene una mejor aproximación de f que con la función g por lo menos en las proximidades de (0,1).

El polinomio Q(x) = l + x + —Jal

Tiene 0(0) = Q'(0) = 1 y ^ ’'(0) = /"(O) = 1, la gráfica de Q aproxima a la curva

f ( x ) = ex mejor que la recta q(x) = 1 + x; se puede mejorar la aproximación

utilizando polinomios que coincidan con f y sus derivadas terceras y de orden superior.

n k 2 nZ JC JC X--- = 1 + X + — + ... + —A=0 A'! 2! ii!

coincide con la función exponencial y sus primeras derivadas en el punto x = 0.


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net


TEOREMA.- Sea f una función con derivada de orden n (n > 1) en el punto x = 0, existe un polinomio P y uno solo de grado < n que satisface las n + 1 condiciones.

P(0) = / ( 0 ) , P'(0) = / '( 0 ) ........ P (n)0 = / (n)(0) ...(1 )

Tal polinomio viene dado por la fórmula. P(x) =

Demostración

Sea P{x) = c0 + q x + c2x 2 + ...+c„x n , el polinomio que se desea obtener en el que

los coeficientes deben determinarse usando las condiciones (2).

P(0) = c() = /(O) => c0 = /(O)

+2c2x + 3 c 3 jc2 +...+ ticnx n 1

P ‘(0) =Cj = / '(0 ) => c1= / f(0)

PM(x) = 2c2 +2.3c3x + ...+w(«-1)c„x"-2

P " ( 0 ) = 2 c 2 = / " ( 0 ) c 2 = £ ^ p -

P'"(x) = 2.3ci ...+n(n -l)(n —2)cxn~3

í ’” (0)P'"(0) = 2.3c3 = / '" (0 ) c3 =^—p

i►

P (<)(.r) = 1.2.3..n(n - \)...(ii~k)cnx n l


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net

„ /-(*)

OBSERVACION.-

1) El grado de P es n / (B) (x) * 0.

2) P coincide con f y, sus n primeras derivadas en x = 0.

3) En la misma forma se puede demostrar que existe un polinomio y uno solo degrado < n que coincide con f y sus n primeras derivadas en el punto x = a.

Se escribe el polinomio P en forma ordenadas según las potencias de x — a y seprocede como antes. Calcular las derivadas en x = a y se llega al polinomio.

que es el único de grado < n que satisface las condiciones P(a) = f(a).

El polinomio (3) se llama polinomio de Taylor de grado n generado por f en el

4) La notación P = T„ f ó T„(í) indica la dependencia del polinomio de Taylor

respecto de f y n.

5) El símbolo T„ se denomina operador de Taylor de grado n, cuando este

operador se aplica a una función f, produce una nueva función Tnf que es el

polinomio de Taylor de grado n.

P'(a) = f ( a ) P w (a) = f nHa).

punto a*

6) Tn f (x, a), indica la dependencia respecto de a.


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net

In te g r a le s Im p r o p ia s 515

Cálculo con polinomio de Taylor.

Si la función tiene derivadas de orden n en un punto a, entonces siempre se puede formar su polinomio de Taylor T„f por medio de la fórmula.

*=o "•

Ejemplo.- El polinomio de Taylor de grado n generado por la función exponencial

/ (x) =ex en x = 0 es dado por la fórmula.

r„ /(x ) = ¿ / ( ,>,(())x* , donde f (k)(x)=ex => / (*)(0) = 1*=n "■

y el polinomio de Taylor de la función f ( x ) = e x en el punto x = 1 es dado por:

n /'•«ATn {ex ) = Y / —^ - { x - \ ) k , donde f (l)(x) = ex => f m (l) = e

k^o

A=0 *=0

algunas veces el cálculo de las derivadas f*'k\ a ) es muy laborioso, por tal motivo

veremos otros métodos para determinar polinomios de Taylor.

TEOREMA 2.- El operador de Taylor T„ , tiene las siguientes propiedades.

i) Linealidad.- Si cx y c2 son constantes.

T„ ( q / + c2g) = c, r„ ( / ) + c2T„ ( / )


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net



Ii) Derivación.- La derivada de un polinomio de Taylor de f es un polinomio de Taylor de /* es decir se tiene:

{Tnf ) ' ^ T n_y{f ')

iii) Integración.- Una integral indefinida de un polinomio de Taylor de f es un polinomio de Taylor de una integral indefinida de f, es decir si:

g 00 = f f{ t)d t , se tiene entonces: T„_xg(x) = í Tn f(t)dtJa Ja

TEOREMA 3.- (Propiedad de Sustitución)

Sea g(x) = f(cx), siendo c una constante, se tiene entonces Tng(x, a) = Tnf(cx.ca)

En particular, cuando a = 0, tenemos Tng(x) = T„ f (ex)

Demostración

Como g(x) = f(cx), por la regla de la cadena se tiene:

g'(x) = c f ( c x )

g" (x)=c2f"(cx)

g '" (x )= c \r ' ( c x )

#

g ll) (x) =ck f {k) (ex)

Tng(x.a) = ' ^ ^ - ^ - ( x - a ) i T

= ¿ - f y Ca\ x - a ) k ,^Ca) (cx-ca)k =T„f(cx.ca)


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net



Ejemplo.- En el polinomio de Taylor correspondiente a la función f (x )= e*e s

x 2 x n xkdecir: Tn(e*)~ l + x+ — +...+— = / — , al sustituir x por -x2! «!

2 n *i kencontramos que: T„(e *) = 1-jc+ — + ...+ (-!)" — = ^ ( -1 )* —

2! ni k=0 kl

Ejemplo.- El polinomio de Taylor correspondiente a la función f(x) = cosh x se obtiene utilizando la propiedad de Linealidad.

Como coshx =—(ex + e v) se tiene:2

U , , 1 ~2 ”4Tln(coshx) = — Tla(ex)+—T2n(e *) =l + -+^- + ...+42 2 2! 4! (2«)!

x3 x2- 1Derivando se tiene: Tln_x (senh x) = x +— +...+■3! (2/?-l)!

TEOREMA 4.- Sea Pn un polinomio de grado n > 1, sean f y g dos funciones

con derivadas de orden n en 0, y supongamos que:

f (x) = PnW + xng(x) ... (a)

en donde g(x) 0, cuando x 0. El polinomio P„ es el polinomio de Taylor

generado por f en 0.Demostración

Sea h(x) = f ( x ) - Pn (jc) = x n g{x) , derivando repetidamente el producto x ng(x) , se

observa que h y sus n primeras derivadas son 0 en x = 0.

Por consiguiente, f coincide con Pn y sus n primeras derivadas en 0, de tal manera

que P„ = T„f


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net



Ejemplo.- De la identidad algebraica.

1 o xnH----- = l + x + x~ -K.. + xn + ------ , V x * l ..*(1)1 -x 1—x

La ecuación (a) se satisface con f(x) - ——, Pn(x) = 1 + x + ...+jcm yL-x

xg(x) =----- , puesto que g(x)^0, cuando 0 y el teorema 4 nos dice que

1 -x

Tn(——) = l + x + x 2 + xn l - x

Otro polinomio de Taylor se consigue integrando

x~ X3 x""1r„+1 (- infl - x)) = x + + 4 r + •••+2 3 n + I

Si en la ecuación (1) reemplazamos x por - x 2 se tiene

1- = \ - x 2 +xA- x 6 + ...+ ( - l ) V 0 - (- !)"

1+x2 1+x 2

1 ”aplicando el teorema (4) encontramos que: Tlnl+JC *=0

k 7kx~k

n + Iintegrando esta relación llegamos a la fórmula. T2nH (arctgx) = y (-1)* ——-

n S 2 k + l

4.S.3 FORM ULA»! TAYLOR CON RESTO.-

DEFINICION.-El error se define En (x) = J (x) - T„ f ( x ) . Luego si f tiene

derivadas de orden n en a, se puede escribir:

f (x ) = 2 J—¡ p - ( x - a ) k +En(x) ... (I)


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net



la ecuación (I) se denomina Fórmula de Taylor con resto en En (x)

La fórmula de Taylor es útil cuando podemos estimar la magnitud de En (x).

TEOREMA 5-- Supongamos que f tiene derivadas segunda / ' ' continua en cierto

entorno de a. Entonces, para todo x en ese entorno se tiene:

f ( x ) = f{a) + f ' ( á ) ( x - a )+£, (x)

en donde Ex (x) = í (x - t) f ' ' 0)dt Ja

Demostración

De la definición del error podemos escribir

El (x) = f ( x ) - f ( a ) - f ( a ) ( x - a ) = f f ' ( t ) d t - f ' ( a ) \d t = \[f'{t) - f (a)]dtJa Ja Ja

la última integral puede ponerse en la forma ¡u dv % donde w= f ' ( t ) - f ' ( a ) yJ a

v = t — x, así mismo /" (O y ~ = U de donde la fórmula de integración por

partes nos da.

El (x) = j u dv = uv/ " - £ ( / -x ) f" ( t )d t = \ \ x - t ) f " ( t ) d t

puesto que u = 0, cuando t = a y v = 0, cuando t = x con lo cual queda demostrado el teorema.

TEOREMA 6.- Supongamos que f tenga derivada continua de orden n + 1 en un cierto intervalo que contenga a. Entonces, para todo x en este

intervalo, tenemos la fórmula de Taylor.

A=0

Siendo En{x)=— [ ( x - i f f (n { t )d tni Ja


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net



Demostración

La demostración se hace por inducción respecto a n. ya se ha hecho para n = 1, supongamos que se cumple para un cierto n, luego se debe demostrar para n + 1, escribiendo la fórmula de Taylor para n + 1 y n y luego restando.

«+1 r(*)/ \f{x ) = - a ) k + E„+l (x)

/ W = X --- M--- (X~ a)k +En(x)

En+1 (x) = E„ (x) } \ x - a ) n*x("+!)!

Como E„(x) = — í ( x - t ) " ( t ) d t y observando que ———— = f (t - a ) ndt //! Jo n +1 Jo

se tiene:

E „ M = - ¡ X( x - 0 nf (n+l)( t )d t - j(n+1](a) \ \ x - t ) ndt ni Jo n\ Ja

= - f {x - /)" [ / (n+1)(t)~ f (n+'\a)]dt ni Ja

La última integral puede escribirse en la forma j u d v , donde

(x - t \ n+xu = / (n+1)(í)_ f (a) y v = ——--— de donde integrando por panes y

n + 1teniendo encuerna que u = 0, cuando t = a y que v = 0 cuando t = x encontramos que:

= ~7 f w dv = - — ^vdu = - 1 f ( x - t r l J ( 2)U)dl ni Ja ni Ja (/l+l)!J"

esto completa el paso inductivo de n a n + 1, con lo cual queda demostrado el teorema.


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net


TEOREMA.- Si la derivada de f de orden n + 1 satisface las desigualdades

m< f {n+1)(t)<M ... (p)

para todo t en un cierto intervalo que contenga a, entonces para todo x en esteintervalo tenemos la siguiente estimación

m(x~a)a+l M ( x - a .—5----------------------------- — <E,Ax) < — --- — s i x > a(//+])! (« + 1)¡

si x < a(H+l)! (n + 1)!

Demostración

Supongamos que x > a, entonces la integral para En (x ) se extiende al intervalo

[a,x], V t € [a,x], tenemos (x - t ) n > 0 entonces a la desigualdad (P) se expresa:

m{x-1)n < (x-Qn {n+]) < M(x-Q"n\ n\ ni

integrando de a hasta x, encontramos que:

- r (x - o ” dt < r (x~ ,)n{ (n 1>(0 d t < ^ r ( x - t ? d¡ ... <dtil Ja Ja fil til

sea u = x — t du = = -dt, de donde

r o t - / ) " < f t = r ~ v < f o = (* ~ g) ...(2 )Ja JO H + l

reemplazando (2) en (1) se tiene: — ———— <En(x)< ————ni w + 1 n + 1


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net

Si x < a, la integración se efectúa en [x,a], V te [x,a].

Tenemos t>x, con lo que {-\)n{ x - t ) n = ( t - x ) n >0

( - l) a ( x - t ) nA al desigualdad (P) lo multiplicamosn i

”,{t x)- < f (n+X) (í) < M(t . que es lon\ ni ni

mismo

m(-l)n( x - t ) n £ (-1 )n( x - t ) n (B+1)(0 < M {-\)n{ x - t ) ntú ni ni

ahora integramos de x hasta a.

r d lí r (-!)•(»-«)• f - « ( - ! ) • (> :-)• ri,Jjr /i! J* /l! /l!

»i(fl -* ) 1 < (_!)""! E (jc) < —(« + !)! (n + 1)!

» 1 f

Si f es una función continua en [a,b] para cierto c e [a,b], se tiene la integral de

j j ( x ) d x = f (c ) (b -a ) .

........ .........

Suponer que f y g son continuas en [a,b], Si g no cambia nunca de signo en [a,b], con c e [a,b], se tiene:

^f{x)g(x)dx = f(c) jg(x)dx

otras formas de la fórmula de Taylor con resto, explicando el T.V.M.P. para integrales tenemos:


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net


I ( x - t ) nf {n*X)(t)dt = f {n*l\ c ) \ ( x - t ) ndt = f (n+1)(c){x a) - , c € [a,x]Ja Ju ( « + ! ) !

(n+1Luego el error se expresa: En (x) = ---- ---- f {n+l) (c)(x - a ) n+1 = —------ —— - - —

n\(n +1) (/i + l)!

EÁÁ)- ..... ; ■; "v, Forma de Lagrange del resto.

OBSERVACIONES

f in+l)(x) esta calculada en c desconocida y no en a, el punto c depende de x y de n.

Suponer que / (w+1), existe en (h,k) intervalo abierto que contiene al punto a y que / (w) es continua en [h,k]. Elegimos cualquier x* a en[h,kj*

Admitir que x > a. con fines de simplificación.

Mantener x fijo y definimos una nueva función F en [a,x] del siguiente modo:

" r(k)F ( x ) = m + Y J~ r - ( x - t ) k

t í kl

Observar que F(x) = f{x), F(a) = T„f(x,a)

Luego F(x) -F(a) = En (x), F es continua en [a*x] porque / (w) lo que, luego f es

continua, f (k) es continua (x~ t)k continua F es derivable en (a,x).

Al calcular F'{t) , tener encuerna que cada término de la suma es un producto, al

desarrollar la sumatoria se simplifica todos los términos excepto uno (el de la mayor derivada) y nos queda.

F'(t) = ( - f n+X)(t)n\


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net


Tomar G cualquier función continua en [a,x] y derivable en <a,x>.

F'(c)Si G'*0 en <a, x>, entonces se tiene: En(x) = ------ [G(x)-G(a)]G'(c)

Se puede expresar el error de varias maneras, mediante elecciones distintas de la

función G, por ejemplo. G{í) = ( x - i ) n+1, entonces

(X-C)n / (n+1)(c)[(x-x)B+1 ~ { x -a )n+x]ni G’(c)

f K }(c)(x-a)nE„ (x) = - --------- -- — , a < c < x Fórmula de Lagrange.(» + !)!

I. Encontrar el polinomio de Taylor de grado n para cada función f alrededor del valor dado de a.

f(x) = In (1 + x ) , a = 0Solución

P(x) = T„f (x,0) = V —— — - el polinomio de Taylor.^ lr\*=0

/(x ) = ln(l + x) 1

/ ’(*) = l + x

/" (* ) =1

/•"(*)=■

a + * r1.2

d + x):

~(n) , v _t tvn !)•r n,(x )= (- iy(1 + JC)"

/(0)=0/ ( 0 ) = 1

/ " ( 0 ) = - i

/" '(0 )= 1 .2


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net


P W = / ( 0 ) + /•(0)x+ / ^ +/ ^ l + ...+ / (n,(0)JC',2! 3! n i

P(x) = x - — +— x 3 +.. .+(-1)"+12! 3! «!

D, , JC2 x3 x4 (-l)n+1x” P(x) = x -----+ ---------+ ...+-2 3 4 n

© f(x) = ln (1 + x), a = 1Solución

/ (x) = ln(l + x) 1

/ ’(*) =1 + X

f " ( x ) = -

f ' " ( x ) =

1(1+xy

1.2

(1 + JC)

~(n), y _ / un (ti 1)!f ' a>(x) = (-!)•(l + x )n

/ ( l) = ln2

/ '( l ) 4

(~Dn+1 (»-D! 2 "

p (x ) = 7; ( / (x,i)) = Y , - —

2! 3!

. / ív(l)(x-l)4 . , / (n)(l)(x-l)"_l--------------------------- K...H------

4! »!

P(x) = ln 2 + -?-— ^-(x-l)2+-^-(x-l)3+...+ (-l)"+1 r ^ (x- l)'’ 2 2 .2! 2 .3! *2”.»!


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net


P(x) = l n 2 4 x —1 122.2! 2 \3 2 n.n

©

©

f ( x ) = e x, a= 1

m = e xf ' (x ) = ex

f " { x ) = e x

f ' " ( x ) = e1

Solución

f (n\ x ) = ex

m = e/ ' ( \) = e r m = e / " ' ( l) = e

/<n,( l) = e

/>(x) = T„ (e',1) = £ i _ -1)”*=0

» - « " =<p + k - i h í í ^ l +...+í í ^ l ]

fix) = cos x , a =7T

Solución

7tf (x) = eos x = sen(x+—)

/ ' (x) = -sen x - sen(x + tt)3 it/ " (x) - - eos x = sen(x+ — )4Lmt

/ ' " (x) = sen x = sen(x + 2 n)

/ (n,(x) = s e n (x + ^ )/17T

/ £ ) = - 3 2

A - ) — —7 3 2

/ " ( —) = - - 3 2

/""'<•—) = —' 3 2

/ (">4) = sen(2^ + 3«w)


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net


P(x) = T„ (eos x, = £ ---- r r - ( x ~ ) ní *=0 " • 4

P (x)= I + / .(£ )(x_ £ )+ í _ ^ : (x_ £ )2 + ...+ l _ V (x_iL)-2 7 3 3 2! 3 n! 3

l f i x l (X~ T )2 Í3 {X~ T )3Píx)=i _ Í 3 (x_ £ ) _ i . -----3 _ +Í i . _ _ l _ +...2 2 3 2 2! 2 3!

11. Determinar los primeros términos del desarrollo de Taylor alrededor del valor de a,

efectuando el proceso, hasta incluir el término ( x - a ) n para el entero dado n.

( l ) f(x )= e~ *\ a = 0, n = 4Solución

x 2 r 3 r"Como g(x) = e* =l + x + — +— + ...+—

21 3! «!

P(x) = T„ (/(*)) = l - x 2 +4¡t—4 r + —+ (-l)" X "2! 3! ni

P(x) = T J ( x ü ) = 1 - x 2 + + í l2 6 24

f (x ) = xex , a = 0, n = 4Solución

r 2 r 3 y”Como e * = l + x + — + — +.. .+—

2! 3! «!

x 2 * 3 x* Xn+'xe =x+x + — +— +...+•2! 3! tú

3 4 5P(x) = T4/(x,0) = x + x 2 + ^ ~ + ^ - + ^ -

2 6 24


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net


© / ( * ) = — l— , a = 0, n = 41 + x2

Solución

1 ?Como ----- = l + x + x +...+X sí |x| < 11-jt

— l- — = \ - x 2 + x4 - x 6 + ...+ (-l)”x2"1 + X

P(x) = T^f(x,0) = l - x 2 + x 4 - x 6 +x8

( 4) f(x) = arctg x, a = 0, n = 5Solución

Como — í- r = l - x 2 +x4 - x 6 +.. .+(-l)"x2” 1+x

f *—~~r= f ( l - / 2 + /4 - i 6 + . . .+ ( -1 )nt 2n)dtJo i + í 2 Jo

x 3 x5 x 7 (- l)"x 2B+l arctgx = x ----- + ---------- +...+3 5 7 2«+l

x3 x5 x 7 x9 x11 P(x) = T5f(x,0) = x —h—— — +3 5 7 9 11

111. Calcular las expresiones dadas con aproximación del número indicado de cifrasdecimales, comprobar dicha expresión utilizando el Teorema de Taylor con residuo.

( I ) e~° 2, 5 decimales.Solución

„ jr . X 2 X3 X 4 X ”Como e = 1 + x + — +— +— +...+ —2 6 24 ni

— x2 x3 x4 x”Sustituyendox por-x, tenemos: e~x = l - x + ---------- + ------ ...+(-1)” —2 6 24 ni


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net

Como x = 0.2, tenemos:

-02 , «o (0.2)2 (0.2)3 (02)4 „ (0.2)" . . . ,e ' = 1 -0 .2+ --------------- — + --------+...+(-1) -i— — para 5 decimales es:2 6 24 n!

2 6 4!

entonces e 02 = 0.81867 con error 0 < iÉ3 (x) < 0.00006

4, con 4 decimales.Solución

2 3 4 n

e x = l - x + — +~— .. .+(-l)w— , Como x = 0.4 tenemos:2 6 24 ni

- 0 4 . f\ a W-4)2 (0.4)3 (0.4)4 w (0.4)” .e =1-0 .4+------------------ +-------- + ...+(-1) -------- , para 4 decimales es:2 6 24 ni

e- « = , - 0 . 4 * M Í - i í f i i , OTarar Oí I*,,0.4>| S ÍM Ü2 6 3 4!

entonces e~tí 4 = 0.6694 con error 0 < | /?j(0.4) | < 0.001060

4.10 EJERCICIOS PROPUESTOS.-

1. Encontrar el polinomio de Taylor de grado n para cada función f alrededor del valor dado de a.

( ? ) ffx) = eos x, a = 0 © f ( x ) = — í—r , a = 0W (1-x)2

® /(* ) = 1 a = 0 (7) f(x) = lnx, a = 3— X

J(x) = 4 x , a = 4 fíx) = senx, a = ~


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net


(7 ) /(x ) = l n ¿ ^ ) . a = 0 ( i ) f(x) = xln(x2 +1), a= 01—x

II. Determinar los primeros términos del desarrollo de Taylor alrededor del valor de a,

efectuando el proceso hasta incluir el término ( x - a ) n para el entero dado n.

( j ) f ( x ) = -f=L=r, a=0. n = 4 (7 ) f(x) = tgx, a = ~ , n = 5Vl-Jr2 4

fíx) = arcsen x , a = 0, n = 5 f(x) = ln (sec x), a = 0, n = 6

fíx) = secx, a = 0, n = 4 f{x ) =ex cosx, a = 0, n = 4

III- Calcular las expresiones dadas con aproximación del número indicado de cifrasdecimales, comprobar dicha expresión utilizando el Teorema de Taylor con residuo.

© ln(1.2), 4 decimales © tg(O.l), 3 decimales

® cos(0.5), 5 decimales © (1.08)1/4,5 decimales

© (0.92)1/4,5 decimales © (0.91)1/3,5 decimales

© (3.0)1/5,5 decimales © (0.8)1/S, 5 decimales

© (1.5)l/4, 5 decimales © ln(0.8), 5 decimales

(ÍT) in(0.6), 3 decimales


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net


Aplicación de la Integral Definida a Ia Física 531

5 . A P L IC A C IO N D E L A IN T E G R A L D E F IN ID A ' A L A• ' f í s i c a • ; •.

5.1 MASA, MOMENTOS ESTATICC>S Y DE EIN¡ER<SIA Y CENTRODE MASA. "r-S:-

CAPITULO V

ler. Caso: Sistema de puntos Materiales.

Consideremos un sistema de n puntos materiales de masas , ubicados

en un plano de la recta L, llamado eje, entonces definimos.

a) Masa Total del Sistema.

b) El momento estático respecto al eje L.


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net


c) El momento de inercia respecto del eje L.

d) El centro de masa respecto del eje L.

OBSERVACION.- d{ - ± distancia del i-ésimo punto al eje L, donde el signo + se

elige para aquellos puntos que se encuentran en un lado del eje L, y el signo -, para los puntos que se encuentran en el otro lado del eje L.

e) Radio de giro respecto del eje L*

R = radio de giro respecto del eje L.

2do. Caso.- Curvas Planas-

Supongamos que la curva C representa a un alambre (o hilo) contenido en un plano de una recta fija L y admitamos que en cada punto de la curva se tiene una densidad 5 de masa por unidad de longitud.

La masa de un arco elemental ds es dM = 5 ds.


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net


Aplicación de la Integral Definida a la Física 533

dM = a ds

OBSERVACION

1) Sea x = ± distancia de dM al eje L.

2) El signo + se elige de acuerdo a donde se encuentre dM a un lado del eje L.

3) El signo - se elige cuando dM se encuentra al otro lado.

Ahora para la curva C que representa a un alambre damos la siguiente definición.

R = radio de giro, R>0.

e) Cuando C = alambre se encuentra en el plano XY el centro de masa se denota por (x,y) y es definido por:

a) Masa Total:

b) Momento estático respecto al eje L.

c) Momento de inercia respecto del eje L,

d) Radio de giro respecto del eje L.


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net



OBSERVACION.-

1) Los límites de integración de las partes a), b) y c) se determinan de tal manera que el elemento de masa dM recorre toda la curva C.

2) Cuando la masa es constante diremos que la masa es homogénea, en este caso el centro de masa (jc, y) se denomina centroide.

3) Cuando se trata de figuras geométricas se toma 5 = 1 en este caso la masa del alambre es numéricamente igual a la longitud.

4) Cuando la curva es simétrica al eje L, entonces el centro de masa se encuentra en el eje L.

3er. Caso.- Figuras Planas.-

Supongamos que una “lámina fina” tiene la forma de una región s contenida en un plano, y que la masa de la lamina es homogénea, es decir que la densidad 5 de masa por unidad de área es constante. Sea L una recta fija en dicho plano; la masa de un rectángulo elemental con dos lados paralelos al eje L (franjas paralelas al eje L) es dM = 5h dx, donde h la altura y dx la base de dicho rectángulo.

x = ± distancia de R al eje L, el signo se determina de acuerdo a los casos anteriores.

Ahora daremos las siguientes definiciones para la lámina.

dx

LhO

a) Masa Total.


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net


b) Momento estático respecto al eje L.* 'x ú M*

c) Momento de inercia respecto al eje L. m W mi

d) Radio de giro respecto al eje L. é J kM

e) Si la lámina esta en el plano cartesiano XY el centroide de s es (x,y), donde

f) El momento de inercia relativa al origen (o momento polar).

:*x-+h

g) Cuando la región S del plano es acotada por las rectas x = a, x = b y las curvas 0 <y , ( x ) <y 2(x), a á x í b, entonces se tiene:

4to. Caso: Superficie de Revolución.

Suponiendo que D sea la superficie obtenida por rotación alrededor del eje X de la curva y = f(x) > 0 para a < x < b, entonces definimos.

a) Area de


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net

b) Momento estático de D respecto al eje X. M, - Zt

c) Momento de inercia de D respecto al eje X

I x = m \ by 3ds donde ds = J l + ( ^ - )2 dx'a V dx

5to. Caso: Sólidos.

Supongamos que S es el sólido de densidad constante 8 de masa por unidad de volumen en el espacio XYZ, limitada por los planos x = a y x = bsi A(x) es el ¿rea de sección de S paralela al plano YZ en el punto x, a < x < b, entonces la masa del cilindro elemental de base A(x) y altura dx es dM = 5A(x) dx entonces definimos.

Y

a) La masa de S: áM

b) Momento estático de S respecto al plano VZ.

c) Centroide de S es (x,y,z) donde


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net


5.2 TEOREMAS DE PAPPUS {GuMin>^

a) TEOREMA 1.- El área de la superficie engendrada por la rotación del arcode una curva plana alrededor de un eje situado en el mismo

plano que la curva, pero que no se corta con ella, es igual al producto de la longitud de dicho arcos por la longitud de la circunferencia que describe el centro de gravedad del misino.

Sea C: y = f(x), x e[a,b], una curva definida por la función continua f (no negativa sobre [a,b]). La coordenada y es dado por:

( y ds r> dsJa Ja

longitud de Cde donde f y ds = y L

Ja...d)

además sabemos que: el área de la superficie de revolución de la curva alrededor deleje X es:

A(s) = 2n f y ds - I n y L , Luego A(.s) - 2n y LJtl

Ejemplo.- Determinar el área S de la superficie de revolución generada por la rotación del primer arco de la cicloide x = t — sen t, y = 1 - eos t,

4t e [0,2n] alrededor de la recta L : y = jc + —.

Solución


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net



Hallando las coordenadas del centroide

t e[0,2n], *'(/) = 1- e o s / , y' (/) = sen/, longitud de C = X.

f .v(/)Jjc'(í)2 + v'(O2 di = 2 Í (/-sen/)sen —dt = %n Jo Jo 2

f Y(t\Jx'(t)2 + y'(/)2f/í =a [ sen3— dt=— Jo v Jo 2 3

32- 8w - 3 4 ---- 4x = — = n , ,v = —- = — . luego (*,>•) = (»,—)

o 8 3 3

rf(c, L) =------■=•—- = - = , luego por el teorema de Pappusv2 V2

>4(.y) = 2nd (longitud C) = 2^(^r)8 = 8V2/r2V2

b) TEOREMA 2.- El volumen del cuerpo engendrado por la rotación de unafigura plana alrededor de un eje, situado en el mismo plano

que la figura, pero no se corta con ella, es igual al producto del área de dicha figura por la longitud de la circunferencia que describe el centro de gravedad de la misma.


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net


Aplicación de la integral Definida a la Física 539

V = 2TlyA

donde: A = área de la regióny = distancia del centro de masa de la región al eje dado.

V = Volumen del sólido generado por la región.

Demostración

Sean f y g dos funciones continuas, donde f(x) > g(x) >0, V x e [a,b]. Si R es la región encerrada entre las curvas y = f(x), y = g(x) sobre el intervalo [a,b].

- J ( f 2( x ) - g 2(x))dxSabemos que: y = ósea que \ ( f 2( x ) - g 2 (x))dx = 2 y A

Area (R) Ju

además V = n\ ( f 2{ x ) - g 2(x))dx = 2n y AJa

/. V =2n y A

Ejemplo.- Sea R la región limitada por la semicircunferencia y = -\[ci2 - x 2 , y

el eje X, utilizar el teorema de Pappus para calcular el volumen V del sólido de revolución generado por la rotación de R alrededor de la recta L: y = x — a.

Solución


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net



% 2na(3n + 4) n a 1 v fl3/r(3/r + 4) *%v) = -------- 7=--(—— ) = -----------r ---

3/rV2 2 3^2

Ejemplo.- Calcular el volumen de! sólido S generado por la rotación de la región R

limitada por la parábola y = x2 * y la recta y = x + 2 entorno a ésta

última.Solución

Por el teorema de Pappus se tiene que:

V(s) = 2 n d A , donde d = es la distancia del centro de gravedad a la recta en el cual rota y A es el área de la región R.

Calculando el área de la región R

C2 -> 9A(R)=\ x(x + 2 - x~ )dx = —J i 2

Calculando el centro de gravedad de la región R, P(x, y)


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net


Aplicación a ¡a Integral Definida a la Física 541

- A / , . 1 - M x 8 1 8^’ V r ‘ — ’ r " xtso P ,2 - s ’

Ahora calculando la distancia del punto P a la recta L

l.v-v + 2 9-Jld - p— — = -------- , luego por el teorema de Pappus-v /í+ í 20

.// v , a , 9^ , 9 81V1W 3K(.v) = 2 ttí/ / í = 2/r{------- ) — = ----------- M2» 2 20

5.3 CAMINO RECORRIDO POR UN PUNTO.-

La longitud del camino o trayectoria recorrido por un punto P que se mueve a lo largo de una curva en el intervalo de tiempo [/j ,t2 ] es definido por:

s ^ v m d t

donde V(t) = Velocidad.

5.4 TRABAJO--

Si la fuerza f es constante durante el desplazamiento, el trabajo W realizado por ésta fuerza es definida por W = f.d, donde f es la fuerza constante y d la distancia recorrida por el cuerpo.

Si la fuer/a no es constante durante el desplazamiento, el trabajo no se puede expresar en forma tan simple.

Consideremos P una panícula que se desplaza sobre la línea coordenada desde a hasta b, por medio de una fuerza f = F(x), V x g [a,b] donde F(x) es la fuerza aplicada a la partícula P cuando se encuentra en el punto cuya coordenada es x.

T,

a X, Xj X x n_2 x n_, b


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net



Cuando la partícula se mueve de jcf l a x¡ , el trabajo realizado es aproximadamente

igual al producto F(t,)A,x quiere decir que mientras más pequeña es la longitud

A¡x en [jcf l ,jcf ] mejor será la aproximación ahora, formando la suma de Riemann

del trabajo.

A¡W = F(t¡ )AjX se tiene:

el trabajo total realizado por la fuerza F denotaremos por W y es definido por:

OBSERVACION.-

1) Un ejemplo de trabajo realizado por una fuerza no constante, es el alargamientoo comprensión de un resorte helicoidal.

Según la ley de Hooke, se tiene que la fuerza necesaria para estirar un resorte helicoidal, varía directamente con la elongación del resorte.

La fuerza F(x) para producir una elongación de x unidades que puede ser dada o se calcula a partir de los datos.

Ejemplo.- Una fuerza de 25 kg, alarga un resorte de 3 cm., encontrar el trabajo requerido para alargar el resorte de 2 cm. mas.

Solución

Se tiene F(x) = kx, como x = 3 cm. = 0.03 m.

F(0.03) = 0.03 k = 25 => k = —


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net


Aplicación a la Integral Definida a la Física 543

y - (0.0016)

La integral también se aplica para determinar el trabajo realizado al bombear agua (u otro liquido) de un tanque:

El principio físico que se usa es:

"Si un objeto se eleva una distancia vertical h, el trabajo realizado es el producto del peso del objeto por la distancia h.

Consideremos un tanque que contiene agua hasta una profundidad de km.

Sea W el trabajo realizado al bombear el agua a la parte superior del tanque, el área de la base del i-ésimo sólido elemental es At- su volumen será A¡Adi9 como el agua

pesa 1000 kg. por w3, entonces el peso del i-ésimo sólido elemental es \0QQAgAdg.

La cantidad de trabajo realizado para elevar este sólido lleno de agua, hasta la parte superior del tanque es aproximadamente.

h

Km

AiW = (m Q A i Adi )di


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net



n . i* ■ ■

. Ai... ...

: * •

* Â- / ilf: - í -j A j :

Z - A >

W ■■=■ > ( i d j )c h

r i ;.

tomando limites se tiene:r-i

entonces W es el trabajo realizado al bombear el agua hasta la parte superior del tanque.

Para hallar una integral definida cuyo valor es W dependerá de hallar una función F donde el dominio contiene un intervalo S de longitud k tal que:

Ejemplo.- Un tanque en forma cilindrica circular de radio 8m. y altura 20m. se llena con agua. Encuentre el trabajo necesario para bombear el agua hasta llenar el tanque.

Solución

El trabajo requerido para elevar el i-esimo sólido hasta la parte superior del tanque es aproximadamente

1000( At Adj )d¡ , donde Af = n r 2 , de donde

ik X

*

-------------►

tty (1000,4,-Ad¿ )d¡ es la suma aproximada para eli-i)

trabajo W necesario para bombear el agua hasta la parte superior del tanque, para expresar el i-ésimo termino de la suma de aproximadamente en la forma F(t¡ )Av,. se

considera una línea coordenada sobre el cual se puede graficar el dominio, el intervalo es [ 0,20] y se hace ti = x¡ ~ d i para i = 1,2,.. .,n, Ad¡ = xf - x f j = Ay, .

Luego la suma aproximada se puede escribir:


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net


Aplicación a la Integral Definida a la Física 545

// ny (1000^ Ad¿ )d¡ = 1 000/rrf x¡ At, , luego F(x) = 64x entonces se tiene:i 0 i 4)

J*20 r2»1OOO/r.64* dx = 64000/r Lr rfv .\ W = 12 800 000 n

o Jo

5.5 ENERGIA CINETICA,- 1

Se da el nombre de energia cinética de un punto material, de masa m y velocidad v, a la siguiente expresión:

5.6 PRESION DE LOS LIQUIDOS.-

Para calcular la fuerza con que presionan los líquidos se emplea la ley de Pascal, según la cual, la presión que ejercen los líquidos sobre una área A sumergida a un profundidad x. es igual a: ____________

4x

donde y es el peso especifico del liquido.


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net


I 5.7 PROBLEMAS DESARROLLADOS^

Hallar ios momentos estáticos, respecto a los ejes coordenados, del segmento de la x y

línea recta — + — = 1, comprendidos entre dichos ejes coordenados. a b

Solución

Los momentos estáticos respecto a ios ejes coordenados es:

„ x v . b dv bComo — + — = 1 => ) = — {a-x) => — = —a b a dx a

.. f“b [ Tr b ^ c r ^ t r {a-x)-M x = — (o-jcLl +— dx =----- ---------- /J(> a V a2 a2 2

b-Ja2••• M x =

* ' < 4. . A í j ^0^[a^ +b2 j 4 a 2 +/>2 il + (— ) dx= I ------------.r dx =------------ jr /

r f r Jo a 2 a ' 0

a ^ a 1 + b2*• A*> =

( 2) Encontrar el centroide de un arco de la catenaria v = 4cosh(—) desde x = -44

hasta x = 4.Solución

v = 4 cosh(—) => — a senh(—)4 rfv 4


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net

A p lic a c ió n a la In te g r a l D e fin id a a la F ís ic a 547

= 4 f cosh{—), cosh(—)dx = 2 f (1 + cosh — )dx J 4 4 4 J-4 2

M\ = 8senh2 + 16

M x = f x j l + (— )2dx~ f xcosh — dx = ()i a \ dx i 4 4

_ M Y — M x - - 2 + senh2Como -v = -* y — —— entonces x = v = — --------

L L senhl

. ít\ scnh 2(x, v) = ( 0,------ — -)senhl

NOTA.- L= í |l + (— )2dx= f cosh—rfx = 4 se n h ~ /4 = 4(senhl-senh(-I)) J 4 y ¿/jc J 4 4 4 / 4

(T) Hallar el centroide del área acolada por las curvas y = x 2, y = *Jx .

Solución

Graficando la región se tiene:

A = í (-Jx - x 2)dx -Jo

1

M , = f — (x—x A)dx= ^ Jo 2 20

M = f x(-Jx - x 2)dx =—Jo 20

_ M ,x =----- 20 = _9_

1 203

M.3_20

320

9 9


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net


54X E d u a rd o E sp in o za R a m o s

© Hallar el centro de gravedad de la superficie limitada por las curvas v2 = 2px , x = h.

Solución

Graficando la reiíión

A = y dx = 2^ -yjlpx1,2dx

3

Ahora hallaremos los momentos con respecto a los ejes

ch lM x - J —(2px-2px)dx = Q

ds = a^2yfT^cosídt = 2a sen (-)dt2

rl* 1*2 n f fL - I ds = la I sen — dt = -4a eos — dt

Jo Jo 2 2 /o

(•2* f2/r fA/a = I v rfv = fl(l-cos/)2tf sen — di

Jo Jo 2

M,. 2 ^ ' - d x , ^ x s:'- / l ^ J f - p h ' - T h

L = 8a

_ „ l & e s , 3 _ MLuego x = — = 4----------------= -/» , v = —— = 0

■* \ 4 í ¡ k j i 5 14


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net


A p lic a c ió n a la In te g r a ! D e fin id a a la F ís ic a 5 4 9

© Hallar las coordenadas del centro de gravedad del primer arco de la cicloide

x = (t — a sen t), y = a( 1 - eos 1).

Solucién

j x = a ( t - sen /) ídx = a( 1 - eos t )dtlv = 0(1 -eos/) [rfy = ¿¡r sen/ di

{(be)2 = a 2(\-co<t)2[dt (dy)2 = a 2 sen2 t(dt)2

ds = '\j(dx)2 +(dy)2 = a^J(\-cost) +sen2 tdt

A , , / . 3 2 2= 4 a~\ se- —dt= ah 2 j

En forma similar para Ai =%a2U luego el centro de gravedad es:3 2

- M v %ü 2n - M x 3a2 4ax = -----= ------- = a n , v = — = —

L %a L %a 3

-----------V r r 4 auo*) = (« n ,— 4

r l largo natural de un resorte es de 10 cm. Una fuerza de 90 kgrs lo alarga hasta a11 cm. Encontrar el trabajo requerido para alargarlo de 12 a 14 cm.

Solución


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net

© Encontrar el trabajo efectuado al alargar un resorte 6cms. sabiendo que se necesita unafuerza de 15 kg. para alargarlo 1 cm„

Solución

Como f(x) = kx además 1 cm. = 0.01 m.

110.01) = 0.0-1 k= 15 => k - 1500

<•(>.06 fO 06W = I / (x)dx = 1500jc dx = 2.62 kgr.

Jo.oi Jo.oi

(§ ) Encontrar el trabajo requerido para bombear el agua que llena un recipientehemisférico de radio R, por encima del recipiente.

Solución

V x

1r X

El peso del disco circular de espesor dx y base paralela a la base del recipiente es:

/ = p(Ur2 )dx

Donde p = peso de una unidad de volumen de

agua y r 2 = R 2 - x 2 entonces

W = „ n |

© Determinar el trabajo realizado en la expresión adiabatica del aire hasta ocupar el

volumen inicial es V{) =1 w3 y la presión p{) =1 k¡ f / enr

Solución

De acuerdo a la ley de Poisson se tiene pvk = p {)V{*¡ donde k * 1.4, de donde

w = f W « dv=^ v<L ) k . m v k k - 1 V ,

Reemplazando valores se tiene: W = 15,000 kg-!7m


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net

A p lic a c ió n d e la In te g r a l D e fin id a a ¡a F ís ic a 551

©

Un reservorio vertical tiene forma de trapecio calcular la presión total del agua sobre dicha presa, sabiendo que la base superior tiene 70 cm., la base 50cm. y su altura 20 cm.

Solución

p = rh

Empleando semejan/a de triángulo se tiene:

y_a

Y + h y5 0

y + 20 70

. de donde y = 50

725 725-/#70 1

1 =(725-/0 70725

/? = /f20[ (725-A) Jo

70725

h dh p= 113.60 cm.

Una lamina tiene la forma de un rectángulo y es sumergido verticalmente en un tanque con agua y su base superior en la superficie del liquido: si el ancho de la lamina es de1 Op y el largo es de 8p encontrar la fuerza debida a la presión del liquido sobre un lado de la lamina.

Solución

f(x)dx donde

F(x) = 5

F = 2 vv f 5x Jo

5.V dx = 3 2 0 w

Se lanza una pelota verticalmente hacia arriba desde el techo de una casa de 64p. de altura y la velocidad inicial es 48p/reg. ¿Cuánto tiempo tardara la pelota en llegar al suelo y con qué velocidad llegara?

Solución


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net



©

Va =48 p /re g , lAÍ =?

a = -32 p/reg'

T s V0 64 48

Se sabe que v = Jo di => v = at + k es decir

V = -32t + k y cuando l = 0, v = 48 k = 48. Luego v = -32t + 48

además s = J vdi = J (-32/ + 48)dt = -16/2 + 48/ + A'

cuando t = 0, s= 64 => k = 64, luego x - -16/2 +48/ + 64

encontrando tAC y ocurre cuando s = 0

=> —16/2 +48/+ 64 = 0 => (t — 4)(t + 1) = 0

=> t = 4, t = - I por lo tanto el tiempo que le tomara llegar al suelo es / AC =4 seg.

La velocidad de un cuerpo, lanzado verticalmente hacia arriba con una velocidadinicial v0, contando la resistencia del aire, se expresa por la formula:

/V = c. tg(-g — + arctg— )c c

donde t es el tiempo transcurrido, g es la aceleración de al gravedad y c es una constante. Hallar la altura a que se eleva el cuerpo.

Solución


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net


A p lic a c ió n d e la In te g r a l D e fin id a a la F ís ic a 553

Datos:

V = c. tg(-g - + arctg(— )) c c

i = tiempo c = constante g = gravedad

V c' S ~ + arctg(— )) di r c

\ d h - f c. tg(-g — + arete(— ))dl Jn Jo c c

h = ln | sen(-g - + arctg— ) | í g c c

? l^r » r 3 2 2// - - — ln | sen(-g — + arctg(— )) | +c2 In (1 + — de donde // = — ln(l + —

g c e c- 2 g c-

5.8 PROBLEMAS PROPUESTOS -

© Hallar las coordenadas del centro de gravedad del arco de la catenaria y = a¿oh(—)

comprendida entre x = -a y x = a

ad * / - “ i /a tf(2 + senh2)Rpta. (a\ y) = (0.— ---- —— )

2senhl

© Hallar los momentos estáticos, respecto a los ejes OX, OY, y las coordenadas del centro de gravedad del triángulo limitado por las rectas x + y = a. x = 0, y = 0.

Rpta. M x = M = 2 - , (x. y ) = ( ~ )6 3 3

Encontrar las coordenadas de centro de masa de la región acotada por la elipseT 2-V“ \ 4a 4b—- + = 1 v los ejes coordenadas (x > 0, v> 0). Rpta. („*. v) = (— ,-------)

a 1 h~ ' 3n 3n


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net


© Hallar los momentos estáticos respecto a los ejes OX, OY las coordenadas del centro

de gravedad del arco de la astroide x 23 +>-2 3 = a 2 3 situado en el primer

_ . w 3a 2 3a 2 ,--- . ,2a 2a xcuadrante- Rpta. M x = —— , M v =— ~ , (x,>*) = (— ,— )

Probar que si R es la región del plano acotado por las rectas x = a, x = b y las curvas0 < g(x) < fíx), a < x < b entonces

Mx = f ( / 2(jc) - g 2(x))dx, M ,, = [ x ( / ( x ) - g(x))dx7 "tí Ja

© Hallar el centro de gravedad del areo de la circunferencia de radio a, que subtiene el___ n s e n cl

ángulo 2a. Rpta. {x, v) = (—------ ,0)a

© Hallar el centro de gravedad de la región limitada por las curvas j r - 8 y = 0.

7 4jc“ +16y = 24. Rpta. (jc,>) = (0,—)

© Hallar el centroide de la región acotada por las curvas y = x 3, y = 4x en el primer

cuadrante. Rpta. (— )15 21

© Encontrar el centroide de la región limitada por las curvas x = 2y - y 2 ,x = 0.

Rpta. (*.>■) = ( j J )

^ ü ) Hallar el centro de gravedad de la región finita, en el primer cuadrante, comprendida

entre la curva y = xe * y el eje OX. Rpta. (2,—)8

11 Encontrar el centro de gravedad de cada una de las regiones limitadas por lassiguientes curvas:


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net

a) y = x 2 - 4 . y = 2 x - x 2 Rpta. | )

T I 1 1b) > -= jr , y = x - x - Rpta. ( - , - )4 8

c) y= ln x, y = 4, >’ = 4 -4 x 2 en el primer cuadrante Rpta. (14.61,3.15)

d ) -Jx+ 4y= 3 . y= 0 , x = 0 Rpta. ¿ . - )5 5

e) y = sen x, y = eos x, y = 0 desde x = 0, hasta * = y ■

4 16

f) >' = x 2 -2 jc -3 , v = 6jc-jc2 -3 Rpta. (2,1)

12 3g) * = 4y_>>2, y= x. Rpta. ( y , - )

(l¿) Calcular las coordenadas del centro de gravedad de la figura limitada por x = 0,

x = zr . y=0, y=senx. Rpta. (x.y) = (h^-)2 o

^ 3 ) Determinar el centroide de la región plana limitada por la curva y = f(x), y = - x 2 ,

x = -l, x = 2 donde /(* ) = • I < 0 r p » . ( i ü . i " , *2 +l. i > 0 106 265

(l4) Encontrar el centro de gravedad de cada una de las regiones limitadas por las curvas siguientes:

a) y 2 - 2 0 x , x 2 = 20y Rpta. (9,9)


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net

556 E d u a r d o E sp in o za R a m o s

16 ^4b) y = x3 —3x, y = x sobre el lado derecho del eje Y Rpta. (—

x2 y 2 „ ^ . Aa 4¿rc) — + ~ = 1 en el primer cuadrante Rpta. (— ,— )a“ b~ 3n 3n

d) y = sen x (0 < x < ir), y = 0 Rpta. (— )2 8

15) El centro de gravedad de la región acotada por las curvas x2 = 4y , y = mx es un

punto de abscisa igual a 2. Determinar el valor de m. Rpta. m = 1

\ t ) Hallar el centro de gravedad del hemisferio de radio a, con el centro en el origen de

coordenadas, sobre el plano XOY. Rpta. (OAy)

( n ) Hallar el centro de masa de un cono homogéneo circular recto de altura h y radio de la

base r. Rpta. (x, \\ z) = (0,—,0)4

( lí) Calcular el momento estático y de inercia de la semicircunferencia y = r 2 - x 2 ,

/ir3-r < x < r, respecto al eje X. Rpta. M x =2r 2, I x = - y

( 19) Calcular el momento de inercia del área de una elipse x = a eos t, y = a sen 1

respecto al eje OY. Rpta. M x = M v =------ , / x - 1y =5 ' 8

20J Calcular el momento estático y de inercia del arco de la catenaria

y = y (eA a + e ''" ) donde 0 < x < a, respecto al eje Y.


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net

(2 ^ Calcular el momento estático y de inercia de una triángulo de base a y de altura h

respecto a su base. Rpta. M a = —— , I a =6 12

(22) Calcular el momento de inercia de un segmento parabólico limitado por la parábola1628y = 4 - jT , y la recta y= 3, respecto al eje OX. Rpta. I x = ——

(2^) Hallar el momento de inercia de la circunferencia de radio a, respecto a su propio

diámetro. Rpta. I =a3n

(24) Probar que el momento de inercia respecto al eje X de una región R acotada por lasrectas x = a, x = b, y las curvas continuas b > a, g(x) < f(x) es:

\ \ . f ' ( x ) - g \ x ) ) d xJ Ja

Sea R el sólido generado por rotación alrededor del eje X de la región acotada por x = a, x = b, la curva f(x) > 0 y el eje X, probar que los momentos estáticos y de inercia de R respecto del eje de revolución son dadas por:

f 3(x)dx y I x = f f i (x)dx j Jo Z Ja

(26) Calcular el momento de inercia de un cono circular recto homogéneo, respecto a su

eje, si la base del radio es R y la altura es h. Rpta. l y = M = 6 h

Hallar el momento de inercia respecto del eje X de la superficie generada por rotación, alrededor del eje X, de un arco completo de la cicloide x = a(t — sen t),

2048 _ 4y = a ( l-c o s t) . Rpta. I x = ------Tía3

(28) Calcular el momento de inercia con respecto al eje de revolución del sólido generado7 V2 . r 8 n a ¿ rX y

por rotación de la elipse — + — = 1 alrededor del eje X. Rpta. /a 1 b 2 15


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net


(29) Encontrar el centroide del sector hiperbólico acotado por la hipérbola equilátera3 3 71x= —secG, >> = — t g 0 y los radios vectores 0 = 0 y ^ “ y

„ t - 1 - V2 - 1Rpta. x = ---- 7=------ , yln(V 2+l)’ ln(V2 + l)

(30) Encontrar el centroide de área acotada por las curvas y - (x +1)2, x + y = 5, y = 0,___ 70 OO

X = 2 . Rpta. (x, y) = (— . — )

Calcular el momento del volumen comprendido en un octante y la elipsoide2 2 2 , 2 n x y r , , _ abe n^ V -— + — + — = 1, respecto al plano xy. Rpta.

a~ b~ c~ 16

^ 2) Un resorte tiene una longitud natural de 14 cm si se requiere una fuerza de 50 dinaspara mantener el resorte estirado 2 cm cuanto trabajo se realiza al estirar el resorte desde su longitud natural hasta una longitud de 18 cm. Rpta. 200 ergs.

(33) Un resorte tiene una longitud natural de 8 pulgadas, si una fuerza de 20 libras estira

el resorte y pulg. Determinar el trabajo efectuando al alargar el resorte de 8 a 11

pulgadas. Rpta. 108 libr/pulg.

(34) Hallar la longitud de un muelle metálico pesado, si el trabajo efectuado al alargarlo desde una longitud de 2 pies hasta una longitud de 3 pies es la mitad del trabajo efectuado al alargarlo desde una longitud de 3 pies hasta una longitud de 4 pies.

3Rpta. — pies

(35) Una fuerza de 8 newton estira un resorte de 4m de longitud natural a 50m más. Encuentre el trabajo realizado al alargar el resorte desde su longitud natural hasta 5m.

Rpta. 8 Joules


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net



(3ó) Un resorte tiene una longitud natural de 6 pulg. Una fuerza de 12,000 libras comprimeel resorte de 5 Vi pulg. Encontrar el trabajo realizado al comprimirlo de 6 pulg a 5 pulg la ley de hooke se cumple para comprimir como para extensión.

Rpta. w= 12,000 libr-pulg.

(37) Un tanque de agua en forma de un cono circular recto invertido, mide 20 pies dediámetro en su parte superior y 15 pies de profundidad, sí la superficie del agua esta 5 pies por debajo de la tapa del tanque. Encuentre el trabajo realizado al bombear el

10000 ^agua hasta la parte superior del tanque. Rpta. —-— n w pies - libra

(35) Un tanque lleno de agua tiene la forma de un paralelepípedo rectangular de 5 pies deprofundidad, 15 pies de ancho y 25 pies de largo. Encuentre el trabajo necesario para bombear el agua del tanque hasta un nivel de lpie arriba de la superficie del tanque.

Rpta. 5,362.5 w pies-libras

(39) Un depósito cilindrico vertical de radio 2 metros y altura 6 metros se encuentra lleno de agua. Hallar el trabajo al bombear el agua.

a) Hasta el nivel más alto del depósito.

b) Hasta el nivel de 5 metros por encima de dicho depósito (suponer que el peso del agua es de 1000 kilos por metros cúbicos).

Rpta. a) 72,000 n kilográmetro

b) 312,000 n kilográmetro

(40) Un tanque semiesferico con un radio de 6 pies se llena de agua a una profundidad de 4 pies. Encuentre el trabajo realizado al bombear el agua la parte superior del tanque.

Rpta. 256 llw pies —libras

(41) Que trabajo hay que realizar con una grúa para sacar un bloque de hormigón armado del fondo de un rio de !5m de profundidad, si el bloque tiene forma de tetraedro

equilátero de lm de lado, siendo al densidad del hormigón 2,500 kgf m3.


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net


560 E d u a r d o E sp in o za R a m o s

(42) Encontrar ei trabajo que debe hacerse para extraer el agua contenida en un recipiente

a2h2 2cónico recto invertido de radio r en la base y la altura h. Rpta. w = — ^ — n p

(43) Un tanque rectangular lleno de agua tiene 2 pies de ancho y 8 pies de profundidad, encontrar al fuerza debida a la presión del líquido sobre un extremo del tanque.

Rpta. f = 2.25 w libras

(44) Una superficie tiene la forma de un elipse de semi ejes a y b se sumerge verticalmenteen un líquido con su eje mayor paralelo a la superficie del líquido hasta que el centro de la elipse se encuentre a una profundidad h. ¿Cuál es la presión del líquido sobre la superficie?. Rpta. f=riabhp

(45) Un punto del eje OX vibra armónicamente alrededor del origen de coordenadas con una velocidad que viene dada por la fórmula V - V0 eos wt , donde t es el tiempo y

V{) y w constantes. Hallar la ley de la vibración del punto, si t = o, tenia una abscisa

x = o. ¿A que será igual el valor medio de la magnitud absoluta de la velocidad del

punto durante el período de la vibración?. Rpta. jc = — sen wtw

(4ó) Una piedra se lanza verticalmente hacia arriba desde el suelo, con una velocidadinicial de 20p/seg. ¿Cuánto tiempo le tomará llegar al suelo y con que velocidad llegará? ¿Durante qué tiempo esta subiendo la piedra y qué alto llegará?.

5 5Rpta. / = — seg. , v = 20p/seg, t = — seg .

(47) Un hombre en un globo suelta sus binoculares cuando se encuentra a 150p. de altura yesta subiendo a razón de lOp/seg, ¿Cuánto tiempo tai dará los binoculares en llegar al suelo y cual es su velocidad de impacto?.

^g ) La región limitada por las gráficas y2 = 20v , \ 2 = 2Qr, gira alrededor de la recta

3x + ¿y + 12 = 0. calcular el volumen del sólido generado. Rpta. 4000/ri/^


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net



(49) La región limitada por las gráficas de y = x 2 „ y = 5 gira alrededor de una recta

oblicua que pasa por el punto A(1,0). Hallar la ecuación de dicha recta, si el volumen

del sólido generado es igual a 40V5/rw3. Rpta. 3x — 4y—3 = 0

(50) Sea R la región del plano limitado por la parábola y = x2 -1 y la recta y = x — 1.

Determinar el volumen del sólido obtenido por la rotación de la región R alrededor de

la recta y = x - 1. Rpta. ------u60

(^l) La región limitada por las gráficas de y - jc2 , y = 5 gira alrededor de una recta

oblicua que pasa por el punto (-1,0). Hallar la ecuación de la recta si el volumen del

sólido generado es igual a 40^5n\? Rpta. 3x + 4y + 3 = 0

(52) Los vértices de un triángulo son A(0,0), B(a,0), y C(0,^) , a > 0 calcular el volumen

del sólido obtenido por la rotación entorno de la recta y = x — a, de la región limitado

por el triángulo ABC. Rpta. — m3


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net



CAPITULO VI

6. IN T E G R A C IO N N U M E R I C A -

6,1 INTRODUCCION.»

r*Para calcular la integral definida f(x)dx , por el teorema fundamental del cálculo,

primero se encuentra una integral indefinida o antiderivada F(x), es decir:

\ bf(x)dx = F(x) / [ = F(b) - F(a)

J*i y p3 n ¡ 2 x c~ senh x

e dx, ------ d x , ------- dx% noO Jnr 2 X Jl X

existe un método conocido para encontrar primero su integral indefinida o antiderivada, sin embargo si la función f es continua en el intervalo cerrado [a,b], la

integral definida í f(x)dx existe y es un número único. Para estos casos en que no seJa

puede encontrar la integral indefinida o antiderivada, veremos los siguientes métodos

para calcular un valor aproximado de una integral definida y que puede ser utilizados

para calcular una integral definida por medio de computadoras electrónicas.

REGLA DEL TRAPECIO^

Si f(x) es una función continua en [a,b] la integral definida es dado por:

f A x )d x ~ J m T f(c¡)A;X


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net


In te g r a c ió n N u m é r ic a 563

ngeométricamente la suma de Rienmann ^ / ( c y)Ayx es igual a la suma de las

1=1

medidas de las áreas de los rectángulos que están arriba del eje X, más el negativo de los rectángulos que están abajo del eje X.

Para aproximar la medida del área de una región, usaremos trapecios en ves de rectángulos, para este caso también usaremos particiones regulares y evaluaremos la función en los puntos cuyas distancias sean la misma.

En la integral definida J f ( x )d x , al intervalo [a,b] dividiremos en n sub-intervalos

cada uno de longitud Ax b - an

, dando n 4* 1 puntos xQ=a, xx =a + Ax,

x 2 = a + 2Ax,. . . , x, =a + iAx, . . . , x„^ =a + ( n - l)Ax, xn = b .

Luego a la integral j bf(x)dx expresaremos como la suma de n integrales definidas.

t f ( x ) d x - í 1 f(x)dx+ í 2 / ’(*)<**+-..+ í * /(x)¿/x+...+ í " f{x)dxJa Ja J.v, Jx¿l


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net


La integral f f(x)dx* da la medida del área de la región acotada por el eje X,Ja

nlas rectas x = a, x= xx y la porción de la curva P0Pl . Luego a la integral definida

rxif(x)dx se puede aproximar por la medida del trapecio formado por las rectas

Ja

x = a, x = X], P0P} y el eje X, donde la medida de este trapecio es

~ [ / f * o ) + /U i)]A x, en forma similar para las otras integrales, pueden ser

aproximadas por la medida del área de un trapecio, mediante el símbolo entonces para la i-ésima integral definida se tiene:

por lo tanto para la integral definida. \ f(x)dx se tiene:Jo

| W * ) + f (x 1 )]Ax+± [ /(x ,)+ f ( x 2 )]Ax+...+ i t / ( x n l ) + /(*„ )]AxJa ¿ L L

f f(x)dx ~ “ [/X*„) + 2 /(x ,) + 2(.v2 ) + ...+2/{xn ,) + f ( x „ )] ... (*)Ja 2

La fórmula (*) se denomina la Regla del Trapecio.

OBSERVACION.- La exactitud de una integral definida por la Regla del Trapecio,se obtiene cuando Ax se aproxima a cero (Ax-*0) y n crece sin límite.

El límite de la aproximación por la regla del trapecio es el valor exacto de la integral definida; es decir:


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net


T = [/(* , )+ /(Jf2)+....+ /(jc„>]Ar+| [ / ( x 0) - / í . t n)]Ax

Av—fcll A.v->0 2i-l

1¡im T = lim 'S' /'(x, )Ax+ /iw —[/(<*)-J(b)]Ax

//w T - f /(x)dx + 0

OBSERVACION.- Al aplicar la ley de los trapecios es posible que se cométanerrores que denotaremos por eT y que se puedan hallar

mediante el teorema siguiente.

TEOREMA.- Sea f una función continua en el intervalo cerrado [a,b] y que f \ f "

existen en [a,b].

i L

Si cT = —T , donde T es el valor aproximado de que se encontró

También se conoce con el nombre de la regla parabólica, al calcular la integral

Chdefinida f (x)dx por la regla de los trapecios, los puntos sucesivos en la gráfica

y = flx) eran conectados por segmentos de la línea recta, mientras que en la Regla de Simpson, los puntos son conectados por segmentos parabólicos.

La Regla de Simpson da una mejor aproximación que la regla de los trapecios, pero sí, con un mayor esfuerzo.

mediante la Regla Trapecial, entonces existe un número r\ en [a,b] tal que:

2

$ 3 REGJLA DE SIMPSON.


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net


Para establecer la Regla de Simpson veremos primero el teorema siguiente.

TEOREMA1. Si P[} (x0, y {)), P{ (Xj, y \ ) y P2(x2 ->'2 ) son tres puntos no

y0 ^ 0 , y\ > 0 , y 2 ^ 0, xx = x0 + h , x2 = x0 + 2h , entonces la medida del área de

la región acotada por la parábola, el eje X y las rectas x = x0, x = x2 está dado por:

y x = Ax2 +Bxx + C = A(x0 + h)2 + B(x0 +h) + C

y 2 = Ax2 + Bx2 + C = A(x0 + 2h)2 + B(x0 + 2h) + C , de donde se tiene:

>’o + + >’2 = +12/?x0 +8//)2>’ + (6x0 + 6/?) + 6C

Sea Ar el área de la región acotada por la parábola, el eje X y las rectas x = x0,

x = x0 + 2h , entonces.

colineales en la parábola de ecuación y = Ax2 +Bx + C % donde

EJE VERTICAL Demostración

La parábola de ecuación y = Ax 2 +B x + C , tiene] pi 2 su eje vertical.

Como los puntos p 0, p { y p 2 son de la

parábola, entonces se tiene:

o U h »U h— ►! x► y 0 =Axo+Bx0 + C


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net



Ar =^[A(6 x (2 + 12/ix0 + 8//2) + 0(6xn + 6//) + 6C]

Consideremos una función f continua en el intervalo cerrado [a,b] tal que f(x) > 0 y tomemos una partición regular en el intervalo [a,b] de 2n sub-intervalos (2n se usa en

b - avez de n) donde la longitud de cada subintervalo esta dado por Ax =■2 n

Aproximemos el segmento de la curva y = flx) de P0 a P2 por el segmento

parabólico con su eje atravez de P(], Px y P2 y de acuerdo al teorema se tiene:

La medida del área de la región acotada por esta parábola, el eje X y las rectas

x = x0, * = x2 enAx = hes: y (yQ +4>>, +y2) o y ( / ( * 0) + 4 /(x 1) + / ( x 2)) .

En forma análoga para el segmento de la curva y = f(x) de P2 a P4 se tiene:

- y (>’2 + 4.v3 + y 4) o y ( f ( x 2) + 4 /(x 3 ) + / (x4))

y para la ultima región se tiene:


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net



la suma de la medida de las áreas de estas regiones aproxima la medida del área de la

región acotada por la curva de ecuación y = f(x), el eje X y las rectas x = a, x = b y

Chcomo f(x)dx da la medida de la región, entonces una aproximación para estaJo

integral es:

f f to d x = % ( f{xo) + 4 A.v,) + f ( x2)) + (/ (x 2) + 4/Íjfj) + f ( x 4))+...+Ja 3 J

... (*)

A la ecuación (*) se le denomina La Regla de Simpson.

OBSERVACION.- Asi como en la regla de los trapecios se comete un errorET, también en la regla de Simpson se comete un error Es y

es calculado mediante el teorema siguiente.

TEOREMA 2. Si y = f(x) una función continua en el intervalo [a,b] y si / ' , / " ,

/ ’" y f tx existen en [a,b], si Es = j f ( x ) d x - S . donde S es elJa'

valor aproximado de | f (x)dx , entonces 3 k e [a,b] tal que:J a

OBSERVACION.- Si fíx) es un polinomio de grado 3 o menor entonces

/ ív(jc)=Ü => Es =0 entonces la regla de Simpson da un valor t»b

exacto para la integral í f ( x )d x .J a


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net



Al aplicar la regla de Simpson a la integral f(x)dx donde f(x) es un polinomio deJ a

tercer grado y tomemos 2n = 2, xn - a . x, = , x2 =b, Ax = , el valor

exacto de la integral f j(x)dx :Ja

la ecuación (*) se denomina la fórmula Prismoidal.

1 6.4 PROBLEMAS DESARROLLADOS.-

© Calcular el valor aproximado de la integral definida por la regla trapecial para el valor

de n indicado £ ^\ + x2 dx , n = 6.

Solución

3 -2 1Hallaremos Ax = ------= — = 0.16 ; x0 = 2 , x, =x„ +/Ax para i = 1,2...... 66 6

£ 4 + x2cLx * (/(x„) + 2 /(x ,) + 2 f ( x 2) + 2/ ( x 3) + 2 /(x4) + 2 /(x s) + / (x 6))

i k Ax2

/(* ,) k.^- . f (x¡)x

0 2 1 0.08 2.236067 0.17888

1 2.16 2 0.08 2.38025 0.38004

2 2.32 2 0.08 2.52634 0.404214

3 2.48 2 0.08 2.67402 0.42784

4 2.64 2 0.08 2.82304 0.45168

5 2.80 2 0.08 2.977321 0.47571

6 2.96 1 0.08 3.12435 0.49989

2.81825

i £ ./(x ) r fx = te c ;/(« )+


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net



j ^ \ + x 2d x * 2.81825, / ( x )= ^ l + x2

( 2) Calcular el valor aproximado de la integral definida por la regla del trapecio para el

valor indicado de n. f Vi + x 4dx , n = 6Jo

Solución

Hallaremos Ax = - —- = —6 3

x0 = 0, x, = x0 + i&x para i = 1,2,...,6 además f ( x i) = /l+xf

[ 2 - J l í S d x = Ax[fiXo)+/ {Xe) + f ( x ¡ ) + f ( x 2) + f ( x 3 ) + f ( x A) + / ( Jt5 )]Jo 2

i *i /(* ;)= V l + *¡40 0 1.0000000

1 1/3 1.0061539

2 2/3 1.0943175

3 1 1.4142136

4 4/3 2.0397289

5 5/3 2.9522956

6 2 4.1231056

£ J l + x*dx« Ax( — - 6- + /(jCj) + / ( x 2)+ /(jc3) + / ( x 4)+ / ( * 5))

f2 -Jl + x^dx * -(2.5615528 + 8.5067095)Jo 3

f -Jl+xAdx » 3.6894208 aprox.Jo


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net



Calcular el valor aproximado de la integral definida por la regla trapecial para el valor

r1 dxindicado de a r JoVi +x2. n = 5

Solución

A x =b - a

na * “ 0 1 n oA x = -----------= — = 0 . 2 .

5 5

Hallaremos los valores de

x0 = x0 + ax . x2 = x0 + 2Ax , x3 ~ x 0 + 3Ax, xA = jc0 + 4Ax , xs = jc0 + 5Ax

Los valores encontrados mostraremos en el siguiente cuadro

i K Ax fív. - Ajc , r, .

T ' ' 1 ' 1 ■> -y/l+X;

0 0 1 0.1 1 0.1

1 0.2 2 0.1 0.9805806 0.1961161

2 0.4 2 0.1 0.9284767 0.1856953

3 0.6 2 0.1 0.8574429 0.1714985

4 0.8 2 0.1 0.7808688 0.1561737

5 1 1 0.1 0.7071068 0.0707106

Suma total. 0.8801942

í1 dx « 0.880■\/l+jc2

Calculando la integral por el método usual.

f1 . ^ - = ln|jc+Vl+jr2 i / = ln(l +-JÏ) - ln l = ln |l + 1.414213 | = 0.88137358J u V l + x 2 / ü


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net


1 ?Calculando el error por la regla de trapecio: E, = - — {b - a ) f " (A')(Ax)

/ ( * ) = - 7= ^ = = =>/'(*) = ------ f y - = > / " ( * ) = 3 x 2 ( l + x 2) 5/2V l+x2 (1 + x2)*

Luego el intervalo [0,1]: /"(O) = 0, /"(1) = — -— , reemplazando tenemos:5.6568

- ^ d - 0 ) /" ( l ) ( A x ) 2 <E, < - i( l-0 ) /" (0 ) (A x )2

1 (3)(0.2)2 ^ E ^ 3(0)(0.2)212 ‘ (5.6568) ' (12)(5.6568)

-1.76778x10-3 <E, ¿ 0

© Aproximar la integral definida por la regla de Simpson usando el valor indicado de 2n.

f2 , dx , 2n = 8

Solución

r , . 1 A b - a 2 -0 2 1f (x ) = , , Ax ~ ------ “ ------- = — = —^ | ü ^ 2 n 2n 8 4

xo = 0 , Xj = x0 + iAx = - -

J*2 ¿ r Ay

- r = = * — (/(O) + 4 f { x , ) + 2 /(x 2 ) + 4/{x3 ) + 2 /(x 4 ) +Ü V 1 + * 3 3

+4/(*5 ) + 2 /(x 6 ) + A f i x , ) + / ( x 8 )


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net


i *¡ k /(* ¡) * /(* ¡ )

0 0 1 1 1

1 0.25 4 0.9922 3.9688

2 0.50 2 0.9428 1.8856

3 0.75 4 0.8386 2.5544

4 1.00 2 0.7071 1.4142

5 1.25 4 0.5819 2.3276

6 1.50 2 0.4780 0.9560

7 1.75 4 0.3965 1.5860

8 2.00 1 0.3333 0.3333

16.1259

£“ dx Ar

a — (16.1259) * 1.3438

© Aproximar la integral definida por la regla de Simpson usando el valor indicado de 2n.

1 dxí X + X + 1■, 2n = 4

Solución

/(*)=-5- ---. Ax = —r -—= -7 = 0-25+ x +1 2/2 4

Jt0 = 0, x{ = x0 + iAx = —

pl d x Ar

[ ■“j-------7 * T (/(*o ) + 4/ ( * i ) + 2/ ( x2 ) + 4 /( x3 ) + / ( x 4 ))Jo x* +x + l 3


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net


i *¡ k /(* ¡ ) *./(*;)0 0 1 1 1

1 0.25 4 0.7619 3.0476

2 0.50 2 0.5714 1.1428

3 0.75 4 0.4324 1.7296

4 1.00 1 0.333 0.333

Suma 7.253

— « — (1+3.0476+1.1428 +1.7296 + 0.333) * — (7.253) = 0.6044 Jojc2 +jt+ l 3 12V

© Aproximar la integral definida por la regla de Simpson usando el valor indicado 2n. r1 dxJo Vl+JC2

, 2n = 4

Solución

f ( x)= dx ... Ax= — = - = 0.254 ^ 7 4 4

f - r ^ = T * 4 r ( / < * 0 > + 4 / ( * l ) + Z / ( * 2 ) + 4 / ( ^ 3 ) + / ( * 4 ) )

i *¡ k /(* ¡) L /(x ,)0 0 1 1 1

1 0.25 4 0.9701425 3.88057

2 0.50 2 0.8944272 1.7888544

3 0.75 4 0.8 3.2

4 1.00 1 0.7071068 0.7071068

Suma 10.576531


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net

f1 , = * — (10.576531) * (0.0833)(10.576531) * 0.88137763

1Calcular el error para la regla de Simpson: Es = ------ (b - a)f* (¿)(Ax) *

180

f ( x ) = ■*** => f iv(x) = 105jt4(l+ x 2) 9/2, como [0,1]Vl+Jt2

/ ív(0) = 0 , / " ( ! ) = 10522.627416

para k=0. Es = - - l- ( l) (0 ) ( I )2 =0 180 4

k= 1, E = — — (1)(--- — -----)(-)2 = —1.61124*10”*180 ' 22.627416 4

—1.61124 < ^ < 0

( 7) Calcular el valor aproximado de la integral definida por la regla de Simpson para el

valor indicado 2n. f sen x dx , 2n = 6 Jo

Solución

f(x) = senx, Ax= —, x0 = 0 , x{ = x0 + iAx6

i *¡ k Ax3

/(* ;) - y ■/(*:)

0 0 1 n/18 0.000 0.174532925

1 n/6 4 it/18 0.500 0.34906585

2 ji/3 2 7t/18 0.866025 0.302299753

3 n/2 4 it/18 1.0000 0.6981317

4 2n/3 2 n/18 0.866025 0.302299753

5 5ti/6 4 71/18 0.50000 0.34906585

6 JT 1 71/18 0.0000 0.000000

2.175395831


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net


fsenx t ic a — (2.175395831) = (0.174532925)(2.175395831) Jo 3

.*. f senx dx » 0.379678197 Jo


I. Usando los métodos de los trapecios y de Simpson, estimar el valor de cada integral, redondear las soluciones de cuatro cifras decimales.

© r2dxJ, t * n=4X

Rpta. T: 2.7500 , S : 2.6667

© r1 dx ---T ' n = 4Jol + jc2

Rpta. T : 0.7828 , S : 0.7854

©-21 x3dx. n = 4 Jo

Rpta. T : 4.2500 . S : 4.0000

©f2 31 x dx, n = 8 Jo

Rpta. T : 4.0625 , S : 4.0000

II.

a)

Aproxime las integrales usando.

El método de los trapecios. b) El método de Simpson,

©p*/21 cosx dx9 n = 4 Jo

Rpta. a) 0.957 b) 0.978

© fV l + jr3dx, n = 2 Jo

Rpta. a) 3.41 b) 3.22

© f -\/xa/i- x d x , n = 4 Jo

Rpta. a) 0.342 b) 0.372

© f senx2í¿c, n = 2 Jo

Rpta. a) 0.334 b) 0.305


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net


In te g r a c ió n N u m é r ic a 5 11

©ñn< 4I x teje dw n = 4 Jo

Rpta. a) 0.194 b) 0.186

©ri 2J e x dx , n = 4 Rpta. a) — = 0.212

6413f>b) * 0.035

1024

111. Por la regla del trapecio aproximar la integral:

©f4 *dx _ _ £h \ o +s

Rpta. 1.13

©r* x dx , i n = 6

2^¡4 + x2Rpta. 9.47

© f x 2T¡16-x4dx,n = 4Jo Rpta. 6.156

© r4 ^1------T ’ n = 4-1/4 + X'

Rpta. 1.227

IV. Por la regla de Simpson, aproximar la integral.

© i V m -jc2dx. 2n = 6 Rpta. 0.561* .

© J V i2 6 - jc3í£c, 2n = 4 Rpta. 35.306

ijx3 - x d x , 2n = 4 Rpta. 11.140

[ Vi + x3í£c, 2n = 6 Rpta. 3.24Jo


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net


CAPITULO VII

7 . E C U A C IO N E S P A R A M E T R IC A S .-

7.1 REPRESENTACION DE CURVAS EN FORMA PARAMETRIC A _______________________________________________

Las coordenadas (x,y) del punto P de una curva pueden estar dadas en función de una tercera variable, llamado parámetro es decir:

A la expresión dada en (1) se denomina ecuaciones paramétricas, en donde cada valor de t le corresponde un punto p(f(t). g(t)) del plano XY.

El lugar geométrico que describe el punto P se denomina curva parametrizada de la ecuación paramétrica, para obtener la ecuación cartesiana se elimina el parámetro t y de esa manera se obtiene una ecuación en forma cartesiana.

y,~ F(x) 6 B(x,y} - 0

Ejemplo.- Trazar la gráfica de las siguientes ecuaciones paramétricas.

x = 2 t, y = -5lSolución

Para trazar la gráfica primeramente hacemos una tabulación


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net


E c u a c io n e s a r a m é tr ic a s 579

t X y0 0 0

1 2 -5

2 4 -10

-1 -2 5

-2 -4 10

( 2) x = t - 1, y = rSolución

Para trazar la grafica hacemos una tabulación.

t X y0 -1 0

1 0 1

-1 -2 1

2 L 4

-2 -3 4

Ejemplos.- Trazar la gráfica de las ecuaciones paramétricas pasando a coordenadas cartesianas.

x = -I + eos 0 , y = 2 + 2 sen 0

Solución

[jc = —1 + COS0

y = 2 + 2 sen 6

jt + l = cos 6v - 2 , elevando al cuadrado para eliminar el parámetro.-----= sen^


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net



(jc+1)2 + ——— = cos2 0+sen2fl =1

( V — ' l ì(jc + 1)2 + 4 -1 , que es una elipse

© x = t, y = -

Solución

Para obtener la ecuación cartesiana, eliminaremos el parámetro t.

Consideremos dos funciones f y g derivables en un intervalo [a,b] tal que:

... (a)

son las ecuaciones paramétricas.

La derivada — cuando x e y están dados en forma paramétrica se obtiene aplicando dx

la regla de la cadena, es decir:


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net


E c u a c io n e s a r a m é tr íc a s 581

dydv ~.dt r ß iO. ( { \ .JfcOdx dx / \ l f 'T~ Ufiú

dtpara obtener la segunda derivada, se aplica nuevamente la regla de la cadena, es decir:

— (ÉL)d 2y _ d dy d dy dt _ d¿d¿_dx2 dx dx dt dx dx dx

di

d g'U) / '( / )g " ( / ) - /" ( / )g ’(/)d 2y _ di f ' j t ) _dx2 ./'(/) ./'(/)

d 2y nÉC2 ( f i o ?

Generalizando se tiene:

OBSERVACION.-

dx A?*(01) La primera derivada — = - — - nos permite determinar los intervalos dedy f ' d )

crecimiento y decrecimiento de acuerdo al signo de la derivada.

2) La segunda derivada = L HIß. í í l L ífl£ nos permite determinar ladx2 (/'(O)

dirección de la concavidad en cada punto de la curva.

Ejemplo.- Calcular la derivada — de las funciones dadas en forma paramétrica.dx


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net



©X -

/ +1. í 1

> = WSolución

/ + 1

y = í - ^ ) 2 t+\

x ' ( t )= -

y'U) =

i(/ + 1)2 2/

(/ + !)'

2/dy_y'V)_ (/ + D'Í¿T jc’( / )

2/1 t + 1

(/ + 1)2

dydx

2/

/+1

© Lv = a(/-sen /) ;rpara t = —

I y = £/(l-eos 0 2Solución

Íjt = a(/ -sen/) I >’ = £/(!-eos/)

JV(/) = tf(l-COS/) !>•’(/) = asen/

dy y'(t) asen/ sen {dx jc’(/) a(\ -eos/) 1 —eos/

r/v sen/dx 1 — eos/

dydx t=LL 1-0

= 1 => dydx

= 1

©

Ejemplos.- Encontrar la ecuación de la tangente y normal de la curva especifica en el punto correspondiente al valor dado del parámetro.

x —1~ +1, y = t* + 2/, t = -2Solución

El punto para t = -2 es P(5,-12)


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net


E c u a c io n e s a ra m é tr ic a s 583

dy v*(/) 3 r + 2 dv— = ------= --------- => mi. - —dx x'(t) 2 i dt r=-2

L, : y + 12 = - —(jc-5 )

1 2 ?m¡ ------- = — por lo tanto / : y+ 12 = — (x-5)m¡ 7 1

© x = 4cost, y = 2sen2 / , /= —3

Solución

7T 3El punto para t =— es P(2,—)

dy _ y'U) _ 4 sen icos/ dx x’(t) -4sen/

-cosí

mi = n:— 3

7T 1= — eos— = — 3 2

7.3 APLIC ACIONES DE EAS ECIJACIONES PARAMETRICAS -

73.1 AREA BAJO UNA CURV A DADA F.N FORMA PAR4METR1CA.-

Consideremos una curva C definida mediante las ecuaciones paramétricas.

Entonces el área de la región acotada por está curva, el eje X y las rectas verticales x = a, x = b se expresa mediante la integral


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net


J a

donde a y p se determinan de las ecuaciones a = fla); b = f(p) y g(t) > 0 en [u.P]

Ejemplo.- Hallar el área contenida en el interior de la astroide y = # cos /

r = /;sen3 / .

Solución

Aplicando la simetría, el área de la región es dado por

■/<A= 4f Z(t).f'{t)dtJa

ahora calculamos los límites de integración.

x = f (t) = a eos3/ => f(a) = 0 => tí eos1 a =0 => a = —

f(p) = a => c/cos3/i=¿/ => p = 0

/ (t) = a eos3/ / ’(/) = -3#cos2 /sen/

J'/J rO . , f n» 2 , ,g (/)/',í/)rf/ = 4l ftsen t(-3a cos~ t sen Delt =\2ah\ sen icos'l di

a J t 2 J O

12ab A sen 4/ sen 2/ ,*,2 3ab ,n „ f 3¿7/?7r(----------------------- ) / = ----- (-----0 - ( j) = -------fs //o 2 4 R8 2 8

/í = -------U~

1 X 2 L O N G I T U D U E A R C O C U A N D O L Á C U R V A . E S 0 A 0 A i m E C U A C I O N E S

P A R A M E T R I C A S . -

Si la ecuación de la curva C es dada en forma paramétrica mediante un par de funciones con derivadas continuas, es decir:


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net

entonces la longitud de la curva C es:

Ejemplo.- Hallar la longitud del arco de la curva x = t3, y = / 2 desde t = 0

hasta t = 4.Solución

x = t

v = /2

— = 3r dt

^ = 2/ di

L = f4,/(— )2 + (— )2ífr = = f4 t j 9 r + 4 di =— (9r + 4)3'2 / 4Jo v dt Jo Jo 27 ' 0

= ¿ (3 7 ^ 3 7 -1 )» 27 ¿ = ^-(37^37-1)»

Si la curva es dada por las ecuaciones paramétricas: C : \ X donde — , —[>• = >•(/) dt dt

son continuas en a < t < p, entonces el área de la superficie obtenido por rotación alrededor del eje X, del arco de la curva desde t = a hasta t = p es expresado por la fórmula:

jfA = l n \ j i f t ) . H í t t p »

, m : Vd i d t

OBSERVACION.- Cuando se rota alrededor del eje Y y el área de la superficie esdado por:

A ~ 2 ñ fVoJ(í)2 + ( $ ) 2d i«ta ■:>.


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net


Ejemplo.- Hallar el ¿rea de la superficie de la esfera engendrada al rotar un círculo de radio 4 alrededor de un diámetro.

Solución

Con respecto a un sistema de coordenadas cartesianas la ecuación del círculo de radio 4 es:

x 2 + v2 =16, cuyas ecuaciones paramétricas son x = 4 eos t , y = 4 sen t entonces:

— = - 4 sen / , — = 4 eo s /, donde el área de la superficie es dado por: di dt

A = 2 n f^ v(í)J(— )2 +(— )2dt = 2 n f 4seiW l6cos2 / + 16sen2 1 dt Ja V dt dt Jo

= 211 f l 6sen / dt = -32n eosi /* = 64nw2 Jo /o

NOTA.- Cuando t varia desde t = 0 hasta t = n se obtiene el semicírculo de diámetro sobre el eje X.

o Hallar el área de la región bajo un arco de la curva x = at, y = a( 1 — eos t).

Hallar el área limitada por la cicloide dada por: x(t) = a(t — sen t), y(t) = a( 1 — eos t), y por el eje X entre dos puntos sucesivos de intersección con el eje X.


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net


E c u a c io n e s a r a m é tr ìc a s 587

Solución

A = í >•(/)*'(/) diJo'

pin

A = a(l-cos/)tf(l -cos/)d/ Jo

. - sen2/ ,2 7>í =a~(---- 2sen/+—-----) / = ¿r (311-0) = 3n¿r9 a f o A=3Ua^u7.

Hallar el área de la región limitada por la cardioide

Solución

[x = #(2 eos/-eos 2/) [>* = ¿7(2 sen/-sen 2 / )

Como la cardioide es simétrica su área es:

rPA = 2 ></)xf(/) dt de donde jtf(/)=2tf(serí2/-sen/)Ja

Íjc = £7(2 cosí- eos 2í ) r**\ .. => /í = 2j v(t)x (l)dl[v = a(2 sen i-sen 2t) Jn

J.C)a( 2 sen t - sen 2t )2a(sen 2t - sen t)dt71

7 f°A=&a~ (sen/-cos/.sen/)(2sen/cos/-sen/)d/Jtt

7 f° ? ?/! = -8cr sen- /(I-3 eos/+ 2 eos- t)dtJn

„ 7 , 3r sen i eos / -, sen 2/ eos 2/ ,o^ = - 8a 1 (------ ------- -----sen / ------------------) /4 2 8 ' n

A = -8 a2( 0 - — ) = 6a2n 4

/I = 6 a 2Tl


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net


© Hallar la longitud de un arco completo de la cicloide j*

©

x = a(t-sent) — ¿7(1 - C O S Í )

[x - a ( t - sen t) \y = a(\ - eos t)

dx~dtdy~dt

Solución

-a(\ -eos/)

= a sen /

= a^2 J ¡2 sen ~^dt = 2a| sen ~^dt = 2a[2 eos = ~Aa[-l -1] = 8a

L = 8a

Hallar el área de la figura limitada por el lazo del Folium de Descartes3a i 3a t2x =-----y = --------- 1*1.

1+/3 1+|*Solución

A = y(t)x'(t)dt donde Ja

x(l) = 3at 3 c(l-2 t3)l + f3

para a = 0, p = +x

Luego el área de la región es:

(1 + r ')


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net


M r 3a(l -2 f3)r 'J iar_Jo i+,3 (1+/3)2

cit n f+0°= 9 a - i Jo

r - 2 /5 (1 + r3)3

di

:9^ r ^ _ _ 2 r 4 ± i L rf,]Jo n + í 3)3 Jo (r> + i)3

= 9<j2[- 1 2 ,+ -------- T tV o = - 72(1 + / 3)2 3(1+ r ’)

. 3o2 ,A = -----u~

(ó ) Encontrar la longitud total de la curva dada por: x = a(2 eos t — eos 2t),

y = a(2 sen t - sen 2t).

Solución

Como la curva es simétrica con respecto al eje X, y además se tiene que cuando t varia de t = O hasta t = n el punto P(x,y) recorre la parte superior de la curva, entonces.

L - 2 f j A ^Jo V di didi

jx = a{2 eos t - eos 2t) |y = ¿7(2 sen/-sen 2t)

— = a{-2 sen / + 2 sen 2t) didv— = a(2cos/-2cos/ 2t) dt

L = 2¡ J a 2(-2 sent + 2 sen 2/)2 + a2 (2eos/ - 2 eos/ 2t)2 dt h

= 8a I**Jo

71 1-eos/ dtCK f t K

= 8ij sen—di = -16a eos— / = 16oJo 2 2 ' 0

L = 16a.

© Calcula el area de la superficie generada por la rotación alrededor del eje X, del arco


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net


Solución

x - e senty - e cost

= e'(sen/ + cos/)dx dt

— = er (eos/-sen/) dt

A - 2/rf v(t)J(— )2 +(— )2dt = 2n\ í?'eost^JledtJo ' \ dt dt Jo

A = 2 ^2n j e2' cost dt = — (e2f(sent + 2cost))/* ~

. 2^2n n 2.. A - — — (e -2)u

( i ) Hallar el área de la superficie generada por la rotación alrededor del eje Y, del arco de

la curva >• = —(x2 -21nx), x e [1,4].4

Solución

Parametrizando la curva se tiene:

x —t1 7 , t e [1,4], calculando sus derivadas.

v= — ( r -21n/)4

— = 1; - = — ( / - - ) , de donde el área de la supei *lcie es: dt dt 2 t

= 2/rji4 z ^ = 2n [ ' ^ (/+; }2d/

= 2n í —(í+~)dt = n f (l2 +1 )dt = 7r(— + /) / 4 = 24n Ji 2 / Ji 3 ' 1

A = 2 4 m r


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net


E c u a c io n e s a ra m é tr ic a s 591

2 2( ? ) Hallar el área de la superficie engendrada al girar la elipse = 1, alrededor:

a~ b~

a) Del eje OX b) Del eje OY (a > b)

Solución

\ ~ y“+ 1 parametrizandoésta curva: x = acost , y = b sen t

cr b~

Por ser simétrica con respecto al eje X se tiene:

Para x = 0 => / = — ; x = a => t - 02

jx = crcos/ I y = 6senf

dx— =-a sen /^ , que al reemplazar tenemos:

dt

A = 4/r J,,. b sen isla2 sen2 / + 62 eos2 / dt = 4/r¿>sen t^Ja2 + (b2 - a 2} eos2/ dt

A = 4bn:jn sent ^ a 2 - ( a 2 - b 2)cos2 / d/ = 4ny]a2 - b 2 cosr sen/ <

. A TTrcos/ I ¿/2 1 a 2 ^ a 2 - b 2 ,oA = 4n^a~ - b ~[—— J •• •• ■— cos~ / +---- ----- — aresen------------eos/]/2 U 2 - ¿ 2 2(a2 - b 2) a ! ”n-

evaluando y simplificando se tiene:

^ a 2 - b 2 E a

^ = 2/rfc2 + aresen E donde E =


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net

en forma similar para la parte b).

a n 2 nb2 . l + £ , , „ 4 a 1 - b *A = 2m + -----ln(------ ) donde EE 1 - E a

@ Calcular el área de la superficie obtenida al rotar un arco comprendido de la cicloide.

\x = a(/-sen /) .< , alrededor de la tangente a la cicloide en su punto mas alto.[y = a(l-cos /)

Solución

Un arco completo de la cicloide se obtiene cuando t varia desde 0 hasta 2n, en donde

el punto mas alto en este intervalo es cuando

dydy ¿i asen/ , , t dxt = 7i y como — =Jr~ =----------- entonces la pendiente de la tangente es — =0.dx dx a{ 1-cosf) dt r=n

di

Luego la ecuación de la tangente es y = 2a. Como la distancia del punto (x,y) de la cicloide a la recta tangente es (2a—y) por lo tanto el área pedida es:

A = 2 n \2\ 2 a - . v ) J Á 2 H ^ r d t Jo V dt dt

¡x = a(l-sent)I v = fl(l—eos/)

dx— = a(l-cos/) dtdv— = a sen t di

A - 2 n \ (2a - y h (— ) 2 + (— ) 2d i , reemplazando se tiene: Jo V di dt


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net


i f2* i t t i 21 tA = 2jia I 2cos~ — .2sen — dt =#a~n eos" — .sen — dtJo 2 2 Jo 2 2

7 i16 a _/r 3r ,2«: 16¿T7Tr t 327tzr^ = ----------.eos— / = ---------- [ - 1- 1] = --------** 9 / 0 1 L J 2

. 32m 2 -> /í = --------w

7*5 EJER C IO O S PROFUESTOS -

1. Construir las gráficas de las siguientes ecuaciones dadas en forma paramétrica:

©x = 2' +2“'

y = 2 '- 2 ~ ' ©A: = fl(2cos/-cos2 0 y = ß(2sen/-sen 21)

©

a

■\/l + ratv =

©

/ - IX = -----í + 11

> = 7

©x = t - t~ y = t2 - í 3

© '

© x = t 2 -2 t y = t 2 +2t

© jc = -Vi- t >■ = aresen r

© -t ©x = e 2t -1 y = \ - e l

© [x = 3seru ly = 4tgísecf

[x = /- tg h f I y = sec ht


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net



x =3-Jt—2 y = 2 ^ 4 - /

1jc = -

/y = ln\í\

II. En cada una de las ecuaciones, encontrar — , en donde:dx dx~

©x = arctg/

y = ln(l + r ) © I jc = a eos / i y = a sen t

©[x = a(senf-/cosí) [y = a(cos/ + /senf) © x = ln/

> - / 3

© x = aresen/©

x = lní 1

y =i - t

@x = e eos/ y =er sen t ©

x = ln/

y - i "

©jx ~aG-asenG |y = a -a c o s0 ©

y — e +cos/ x - e -senr

x = / — sen t y — {t—n)2 © 2/ ,x =e +1

y = l - e '

III. Hallar las ecuaciones de la tangente y la normal a la curva en el punto correspondiente al valor del parámetro que se indica:

©[x = l + 3sení nI v = 2 - 5 cosí 6 © [x = 2 sen/

|y = 5cos/n /= — 3

©[x = er(l-sen/) nI y = er(l-cos/) ’ 4 © x = 2 eos i n

, / = —y = 2 sen3/ 4


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net


©x =

y =

2l /3 + 1 3?2

r 3 + 1

, t = 0 ©x = 4cos/ n>' = 2sen3/ ’ 3

©

IV.

©

©

©

[jc = 3 sen / - 8 5;rlv = 5 + 2sen/ ' 4

\x~ae cosí, t = 0

( í ) Hallar el área de la región limitada por el astroide x = a eos3 / , y - a sen3 /

Rpta. 3 a n i8

Hallar el área de la superficie comprendida entre el eje OX y el arco de la cicloide,

x = a(t-sent), y = a (l-c o s t) . Rpta. 3a 2n u 2

Hallar el área de la figura limitada por una rama de la Trocoide, x = at —bsent,

y = a -b c o s t , (0<b< a). Rpta. (b2 +2ab)nu2

Hallar el area de la región encerrada por los lazos de las curvas.

a) jc = 3/2, >* = 3/ — / 3 Rpta. ^ ^ - u 2

b) x — / — / 2, y - t 3 -3t

c) x = cos3/, y - eos2 /.sen/

81 2 Rpta. — u20

Rpta. 3/rT

~ A n a ( n - 2 ) 2Rpta. ---------- - u

(? ) Hallar el área de la región encerrada por las curvas: x = —<—, y w 1 + r 1 + /

t e [0,+ o>, y el eje Y.


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net


(ó ) Hallar el área de la región limitada por la curva x = a eos5 t , y = b sen5

15a27r 2 Rpta. --------u128

Calcular el área de la región limitada por la curva cerrada x = -----—, y1 + r

a2(4 -n )n 2Rpta. ------------- u4

© Determinar el área encerrada por el lazo de la curva descrita por:

y = í3 -12 /. Rpta. 129.6 u2

© Hallar el área encerrada por el lazo de la curva dada por: x = t 2 - t , y =

81 ,Rpta. — u ~V 20

© Hallar el área encerrada por: x = í 3 - t . y - r + t . Rpta. ^ w 2

V.

® Hallar la longitud del arco de la envolvente del círculo:

x = a(cos t + 1 sen t), y = a(sen t - 1 eos t) desde t = 0 hasta t = T.

Rpta.

Hallar la longitud de la envolvente de la elipse x = c 2 eos3 / a

3 »3

(c2 =a2 - b 2). Rpta. A(—------- — )ab

Hallar la longitud de un arco de la cicloide dada por: xy = a( 1 - eos t). Rpta. 8a

1 + / ‘

x = t 2 - 2 1 ,

/ 3 - 3 / .

c2 sen3 1 : b ’

a(t — sen t).


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net


(T) Hallar la longitud de la curva dada por: x = a(2 eos t - eos 2t), y = a(2 sen t - sen 2t).

Rpta. 16a

2

(T) Calcular la longitud de la curva cuyas ecuaciones son * = — + / , v = — - / de

rt= 0 hastat= l. Rpta. l + -ln (l+ V 2 )

(ó ) Determinar la longitud de la curva x = e ' sen / , y = e ' eos í , desde t = 0

hasta t = n. Rpta. 71)

2 4( 7) Hallar la longitud del arco de la curva cuyas ecuaciones son: x - — , y = — ,

2 4

l < t <2 . Rpta. -(4VÍ7-V2)H-ln(4 + ^ ? )4 1 + /2

(? ) Encontrar la longitud del arco de la curva dada por: x = l - a tgh(—), v = a sec h(—)a a

desde t = -a hasta t = 2a. Rpta. [ln(cosh2)-ln(cosh(-l))]

( 9) Hallar la longitud de la curva dada en coordenadas paramétricas x = e 2í sen 3/,

v = e2r eos3/. desde el origen hasta el punto en que t = ln 2. Rpta.

^ 0) Las ecuaciones paramétricas de una curva son:|,y = 50(1 - eos / ) + 50(2 *-/) sen / v = 50 sen i + 50(2 - / ) sen /

Determinar la longitud de la curva entre los puntos i = 0 y 1 = 2. Rpta. 100

Determinar las ecuaciones paramétricas de una curva jrscn/ + ycost = /2,

x eos l — y sen t = 2t, en donde t es el parámetro, se pide hallar la longitud de la curva•>71 7l~ + ^4comprendida entre los puntos 1 = 0 y / = — . Rpta. — —— n


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net

59K E d u a rd o E s p in o z a R a m o s

^2 ) Calcular la longitud de arco de la curva paramctrizada.

x = (t2 -2)scn / + 2/cos/, v - ( 2 - / ' i )cos/ + 2 /scn /, desde 1 = 0 hasta t = n.

n 1Rpta. -y-

^3 ) Hallar la longitud de arco de cada un de las curvas siguientes:

a) x = e sen / , y - e 1 eos / , 1 e [0,rc] Rpta. V2(i' -1)

2 1 yb) x = 4 t - v = — + — .desde t= 1 hasta t = 3. Rpta. —

S 4/ 6

c) x = ef (cost + /sen/), v= V (sen /-/cos/) t e [0.2tt] Rpta. 2U’2* 1)

14j Calcular la distancia recorrida por una partícula que viaja a lo largo de la curva dada

en forma paramétrica v = / 2 -3 , y = 3t durante el tiempo t e [0,2].

VI.

Rpta. 5 — In 3

© Hallar el área de la superficie engendrada por la rotacion alrededor del eje OX, de la1 ^8 i *)cicloide x = a{2 eos t eos 2l), y - a(2 sen t — sen 2t). Rpta. - j - a~mi=

© Hallar el area de la superficie engendrada al girar uno de los arcos de la cicloide:x = a(t - sen t), y = a( 1 — eos t) alrededor:

64¿?2a) del eje OX Rpta. ------ k u "

b) del eje O Y Rpta. 16a ~n ~u ~

32 ac) de la tantieme a la cicloide en su punto supei iur Rpta. -------n u


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net



Hallar el área de la superficie de revolución que se obtiene al girar alrededor del eje OX, las curvas dadas por:

12a) x = acos3t , y = asen* t Rpta. — a 2n u 2

b) y = e * . x > 0 Rpta. — ( e " - 2 ) n u 25

( 4) Encontrar el arco de la superficie generada al girar alrededor del eje X la curvaO /*t

x = ef sen / , y = e* cosr* /e [0 ,—]. Rpta- — — (en -2 )

Hallar el área de la superficie generada al rotar alrededor del eje Y la curva x = t + 1,2 'y

y = ■— +1. t g [0.4], Rpta. (26^/26 - 2^2 )u 2


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net



CAPITULO VIII

8 . C O O R D E N A D A S P O L A R E S -

8.1 INTRODUCCION.-

El sistema de coordenadas polares consiste de una distancia y la medida de un ángulo respecto de un punto fijo y una semirecta fija. El punto fijo se llama el polo (u origen) y se denota por “o’\ la semirecta fija se llama eje polar que denotaremos por O A y se gráfica horizontalmente y a la derecha.

el polo eje polaro------------------------------------------ ►A

Sea P un punto distinto del polo “O” y 0 e ángulo en radianes cuyo lado inicial es___ ___O A y su lado terminal OP . Entonces: si r es la distancia dirigida desde “O” a V4P”

(r = | OP |) un conjunto de coordenadas del punto P está dado por r y 0 y denotaremos por: P(r,0) (ver gráfico).

Ejemplo.- Graficar los puntos PA4,—), A ( 4 - —) , /^(-4 ,—), f tí-4 ,“ —)4 ' 4 4 4

Solución


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net


C o o rd e n a d a s P o la re s 601

8.2 RELACION ENTRE COORDENADAS POLARES Y RECTANGULARES,______________ _ _ _ _ _ ___________________

Suponiendo que el polo de un sistema de coordenadas polares coincide con el origen del sistema cartesiano y el eje polar coincide con el eje X en sentido positivo.

Luego, cualquier punto P del plano tiene por representación en coordenadas polares P(r,0) y cartesianas P(x,y).

P(r,Ö) En el A OAP se tiene: tg0 =■ 0 = arctg(—) x

1 1 7= * “ + > • “ => r = - / * 2 + V2


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net



Que es la relación entre coordenadas polares y cartesianas.

7Ejemplo.- Trazar el punto (-6,— ) y encontrar sus coordenadas cartesianas.4

Solución

Como x = r eos 0 , y = r sen 0 entonces:

x = -6 eos — = -3a/24

V = -6 sen— =3^2 4

7?r 4

Luego ( a*, y ) = ( - 3 ^ 2 3 ^ 2 )

Ejemplo.- Encontrar una ecuación polar de la gráfica cuya ecuación cartesiana es

dada por jr2 + v2 =ff2

Solución

Se conoce que:[x = rcos0 I v = rsen0

2 7 ^A' = r eos" O2 2 *>v = r sen ’ (y

a “ + ,v - r

Coino x2 + y2 =a2 => r 2 =a2 => r =a

Por lo tanto la ecuación polar es

Ejemplo.- Encontrar una ecuación polar de la gráfica cuya ecuación cartesiana es V" — 4(x + l) .

Solución

Se conoce que: x = r eos 0» y = r sen Ü. Lue^o reemplazando en la ecuación

y■- = 4(x + l) entonces

r 1 sen2 0 - 4 / eos0 - 4 = 0

r~ sen‘ 0 = 4(r eo s 0 +1 ) de donde


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net


2(cos0±l) , , , 2 2Entonces r = ------- -----de donde r =-------------- o r - ------------sen2 6 1 — eos0 l + cos0

Ejemplo.- Encontrar una ecuación cartesiana de la gráfica cuya ecuación polar es:

r 2 =2 sen 6 .

Solución

Se sabe que r 1 = x 2 + y 2, y= rsen 0 sen 0 = ~r

Como r 2 =2 sen 6 => x 2 + y 2 =

(x2 -i-y2 h jx2 + y 2 = 2y

Ejemplo.- Encontrar una ecuación cartesiana de la gráfica cuya ecuación es: r 2 = 6 .

Solución

y vConocemos que: tg 6 = — => 6 = arctg(—)x x

r 2 =x2 + y2 como r2 =6 => x 2 + j 2 =arctg(—)

O LA RECTA Y LA CIRCUNFERENCIA EN COORDENADAS POLARES,_______ ! _ _ _ _________ t________■■ : " ■

Consideremos la recta L que pasa por el punto A(a,o) y que es perpendicular al eje polar ó a su prolongación, su ecuación cartesiana es dada por x = a. como x = r eos 0 entonces su ecuación polar es: r eos 0 = a.

Cuando a > 0, la recta L se encuentra a la derecha del polo; cuando a < 0 la recta L se encuentra a la izquierda del polo.

2 y

V*2 + y2


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net

L L

A(a,0)0

___A(a,0) 0 *

a < 0a > 0

Consideremos una recta L que pasa por el punto A ( a ^ ) que es paralelo al eje polar.

Su ecuación cartesiana es y = a, como y = r sen 0, entonces su ecuación polar es: rsen 0 = a.Cuando a > 0, la recta se encuentra arriba del eje

L polar; Cuando a < 0, la recta se encuentra por71 debajo del eje polar; cualquier recta que pase por el2 polo, su ecuación es 0 = k, donde k es la medida

0 del ángulo que forma la recta con el eje polar.

La ecuación de la circunferencia con centro en el polo y radio k es r = ± k es decir, el punto P(r,0) pertenece a la circunferencia sí y solo sí | OP |= k .


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net

C o o rd e n a d a s P o la r e s 605

Luego si la distancia | OP |= k , entonces r = ± k es la ecuación de la circunferencia de centro en el polo y radio igual a k.

P(r,0) pertenece a la circunferencia y como AOPA es recto por ser inscrito en una

circunferencia. Luego cos0 = — de donde r = 2a eos 0.2a

1. Encontrar una ecuación polar de la gráfica que tiene la ecuación cartesiana que se indica.

© x 2 + y 2 + 4x = 0 © x 2 + y2 +4x + 4y = 0

© x 2 = 6y - y 2 © x 3 =4y2

© (x2 + y2)2 =4(x2 - y 2) © x 3 +y3 -3axy = 0

©2x

y x 2 +1 © y 2 - 4 x - 4 = 0

© 3x2 +4>-2 - 6 x- 9 = 0 ©V 37 X

y “ o2a~x

© jc4 +jc2>'2 —(x + y)2 = 0 ©/ 2 2x 3 \ f 2 2 / 2(x + y ) =16x y (x

© (x2 + y 2)2 =4x2 y 2 © x 2 +y 2 - 4 x + 2y = 0

© 2x2 - y 2 =0 © (x2 + y2)2 =2 a 2xy


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net



II. Hallar una ecuación cartesiana de la gráfica que tiene la ecuación polar dada:

© r = 3 sen 0 + 5 eos 0 © r 2 =2sen0

© r 2 eos 20 = 10 © r 2 = eos©

© r 2 =4cos2 0 © r 2 = 6

© r = 2 sen 30 © r 6 = r2 eos2 6

© r = a 0 © 3r = -------------2 + 3 sen 6

© r 2 =4 sen 2 6 © r = 1 + 2 sen 0

@ 9r —-------------4-5cos0 © r 2 eos 20 = 3

© r = 2 eos 20 © r sen 20 = 3

© /•sen2 6 =4cos0 © r = 2(1 + sen 0)

© 6 4j* —

2-3sen0t* —

3-2cosß

© r = a sen 0 + b eos 0 © r = a(l — eos 0)

8.5 TRAZADO DE CURVAS EN COORDEN vDAS POLARES.-

La gráfica ó lugar geométrico de una ecuación expresada en coordenadas polares es:

G = {(r.O) c- RxR l r ~ fft))}

DISCUSION DE UNA ECUACION POLAR.-

Para facilitar el trazado de la gráfica de una ecuac ón en coordenadas polares es conveniente establecer el siguiente análisis.


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net



ler. Las Intersecciones:

a) Con el eje polar: se hace 0 = nn, n e Z

b) Con el eje a 90°: se hace 6 =—+nn , n e Z

2do. Simetrías:

a) Con respecto al eje polar: se reemplaza (r,-0) por (r,0) si no cambia la ecuación, la curva presenta simetría.

b) Con respecto a eje a 90°: se reemplaza (r,0) por (r,jr — 0) y por (-r,-0) si laecuación no cambia la curva es simétrica.

c) Con respecto al polo: se sustituye (r,0) por (-r,0) si la ecuación no cambia la curva es simétrica.

3er. Tabulación:

Se determinan los valores de r correspondiente a los valores asignados a 0 en el dominio y se ordenan los pares.

4to. Trazado de la Gráñca:

En el sistema coordenado se localizan los puntos hallados y se traza la curva.

\ M e j e m p lo s ,- Discutir y graficar las ecuaciones.

( ! ) r = a(l + eos 0) (La Cardioide)

Solución

a) Intersecciones:

i) Con el eje polar: 0 = nrc, n € Z

r = a(l + cosmr)


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net


S í n = 0 = > r = 2 a , ( 2 a , 0 )

S í n = 1 = > r = 0 , (O.tt)

s i n = - 1 = > r = 0 , ( 0 , - tc)

S í n = 2 = > r = 2 a , ( 2 a , 2 7 i ) = ( 2 a , 0 )

i¡) C o n e l e j e a — : + n e Z2 2

s i n = 0 , 6 = — , r = a , ( a , — )2 2

s i n = 1 , r = a ^

s i n = - 1 , G = - j < r = a > ( a - y ) = ( ° > y )

iii) C o n e l p o l o : r = 0 = > c o s 0 = - l = > 0 = r r , 3n

b) Simetrías:

i) C o n r e s p e c t o a l e j e p o l a r : ( r . - 0 ) p o r ( r , 0 ) .

r = a ( l + e o s 0 ) = a ( l + c o s ( - 0 ) ) = > 3 s i m e l r i a .

71¡i) C o n r e s p e c t o a l e j e 0 = — : ( r . 0 ) p o r ( r , 7 t — 0 )

r = a ( l + e o s 6 ) * a ( l + c o s ( n - 0 ) ) = > 2 s i m e t r í a

¡ ü ) C o n r e s p e c t o a l p o l o : ( r , ü ) p o r ( - r , 0 ) ó ( r , 0 4 - t i)

r = a ( 1 + e o s 0 ) * a ( 1 + c o s ( n - 0 ) ) = > 3 s i m e t r í a

c) Tabulaciones:

0 0 1 5 °

OO

4 5 ° 6 0 ° 7 v° 9 0 °

r 2 a 1 . 9 7 a 1 . 8 7 a 1 . 7 0 a 1 . 5 a ’■ 2 6 a a


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net

Coordenadas Polares 609

U Y

r 2 = 5 e o s 2 6 ( l e m n i s c a t a )

Solución

a) Intersecciones:

i) C o n e l e j e p o l a r : 0 = n 7 c , n € Z

r 2 = 5 e o s 2 n n

S í n = 0 , 0 = 0 , r = ± 4*> = > ( ^ 5 , 0 ) y ( - ^ , 0 )

s i n = 1 , 0 = tu, r - ± 4 5 ( 4 5 9n ) y ( - 4 5 9n )

s i n = - 1 , 0 = -ti, r = ± ^ 5 = > ( 4 5 , - n ) y ( - 4 5 - n )


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net



ii) C o n e l e j e a — : 0 = — + « / r , n e Z 2 2

S í n = 0 , r 2 = - 5 , 3 r e R

s i n = 1 , r 2 = - 5 , 3 r e R

s i n = - 1 , r 2 = - 5 , 2 r e R

ili) C o n e l p o l o r = 0 .

S i r = 0 e o s 2 0 = 0 6 = —4 2 4

b) Simetría:

i) C o n r e s p e c t o a l e j e p o l a r : ( r , 0 ) p o r ( r , - 0 )

r 2 = 5 e o s 2 0 = 5 c o s ( - 2 0 ) = 5 e o s 26> = > 3 s i m e t r í a

ii) C o n r e s p e c t o a l e j e y : ( r , 0 ) p o r (T,n - 0 )

r 2 = 5 c o s 2 ( 7 r - 0 ) = 5 c o s 2 0 = > 3 s i m e t r í a

iii) C o n r e s p e c t o a l p o l o : ( r , 0 ) p o r ( - r , 0 ) ó ( r , x t + 0 )

r 2 = 5 e o s 26 = ( ~ r ) 2 - r 2 ^ > 3 s i m e t r í a .

c) i ul ulación.

0 0 n 71 Tt TT

6 ~4 7 TR ±-V3 ± 1.58 0 a a


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net



r = 2 sen 30 (Rosa de tres pétalos)

Solución

a) Intersecciones:

i) C o n respecto al eje polar: Q = nn

si n = 0 , 0 = 0 , r = 2 sen 0 = 0, (0 ,0)

si n = 1, 0 = 7i, r = 2 sen 3 n = 0, (0 ,tt)

si n = 2, 0 = 2tc, r = 2 sen 671 = 0, (0,27t)

si n = 3, 0 = 371, r = 2 sen 971 = 0 , (0,3tü)

¡i) C o n respecto al eje a — : 6 = — +nn


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net



s i n = 2 , 0 = — , r = 2 s e n ^ ^ = - 2 , ( - 2 , — )2 3 2

^ 7n -i 21;r _s i n = 3 , 0 = — , r - 2 s e n ------------ = 2 , ( 2 , — )

2 2 2

iii) C o n r e s p e c t o a l p o l o : r = 0

s i r = 2 s e n 3 0 = 0 = > 3 0 = = > 0 = y

b) Simetría:


s i r = 2 s e n 3 0 * 2 s e n ( - 3 0 ) = > 3 s i m e t r í a

ii) C o n r e s p e c t o a l e je a — : ( r , 0 ) p o r ( r , n - 0 )2

s i r = 2 s e n 3 0 = 2 s e n 3 ( 7 i - 0 ) = 3 s e n 3 0 = > B s i m e t r í a

iii) C o n r e s p e c t o a l p o l o : ( r , 0 ) p o r ( - r , 0 )

s i r = 2 s e n 3 0 = - 2 s e n 3 0 = > 3 s i m e t r í a .

c) Tabulación:

e 71 n n 71 5 / r 71 1 0 5 °

T i ~6 ~4 y 7 2 2

R 1 . 4 1 4 2 1 . 4 1 4 0 - 1 . 4 1 4 - 2 - 1 . 4 1 4

e 2n 3n 5n l l T T 71 1 3 tt I nT T ~6 1 2 2 6

R 0 1 . 4 1 4 2 1 . 4 1 4 0 - 1 . 4 1 4 - 2

e 5n 4n 1 7 tt 3n 2 8 5 ° 5n l nT T 1 2 T T 4

R - 1 . 4 1 4 0 1 . 4 1 4 2 1 . 4 1 4 0 - 1 . 4 1 4


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net



e H tt

6

23>r

12

2 n

r -2 -1.414 0

“V

© r = a(l - 2 eos 0)

Solución

a) Intersecciones:

i) C o n respecto al eje polar: 0 = n n, n e Z

n = 0, 0 = 0, r = -a, (-a,0)

n = 1, 0 = n, r = 3a, (3a,n)

n = -l, 0 = 71, r = 3a, (3a,-7i)


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net



A n 71 /s i n = 0 , 0 = — , r = a , ( a , — )

2 2

, 3/r 3/rsi n = 1, r= a. (fl,— )

s i n = - 1 , 6 r = a , ( a , - — )2 2


b) Simetría:


r = a ( l - 2 e o s 0 ) = a ( l - 2 c o s ( - 0 ) ) = > 3 s i m e t r í a

¡ i ) C o n r e s p e c t o a l e je — : ( r , 0 ) p o r ( r , 7 i - 0 )2

r = a ( 1 - 2 e o s 0 ) * ¿7(1 — 2 c o s ( 7 r - 0 ) ) = > 3 s i m e t r í a

Iii) C o n r e s p e t o a l p o l o : ( r , 0 ) p o r ( - r , 0 ) ó ( r j r + 0 ) .

r = a ( l — 2 e o s 0 ) ^ a ( l - 2 e o s ( 7 i + 0 ) = > 3 s i m e t r í a ,

c) Tabulación:

0 0 3n n n n 5n n~12 J ~4 y 1 7 1

R - a - 0 . 9 5 a - 0 . 7 3 a - 0 . 4 1 a 0 0 . 4 8 5 a a

0 I n 2n 3 ; r 5n \ \ n 2n1 2 3 4 ~6 1 2

r 1 . 5 1 a 2 a 2 . 4 1 a 2 . 7 3 a 2 . 9 5 a 3 a

L o s d e m á s p u n t o s e s d e c i r d e 7 t a 2n s e h a c e p o r s i m e t ía .


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net



1-COS0Solución

a) Intersecciones:

i) C o n respecto al eje polar: 0 = nn, n e Z

2si n = 0, 0 = 0 , r = — , 3 r e R

0

si n = 1, 0 = ti, r = 1, (l,n)

si n = -1,0 = -n , r= 1, (l,-7t)


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net



ii) C o n r e s p e c t o a l e j e y : 6 = y + n n , n e Z

_ _ Tí 7t _si n = 0, r = 2> í2»-y)

t /i 3;r o /-*si n = l , 0 = — , r = 2 , ( 2 , — ) 2 2

¡ii) C o n r e s p e c t o a l p o l o : r = 0

2r = 3 0 q u e v e r i f i q u e :l - c o s f l

b) Simetría:


2 21 — e o s 0 1 - c o s ( - 0 )

= > 3 s i m e t r í a

7Tii) C o n r e s p e c t o a l e j e — : ( r , 0 ) p o r ( r nn - 0 )

r = = > 3 s i m e t r í al - c o s 0 l - c o s ( / r - 0 ) 1 - C O S 0

i i i ) C o n r e s p e c t o a l p o l o : ( r , 0 ) p o r ( ~ r , 0 ) o ( r , 7 t + 0 ) .

c) Tabulación:

0 0 1 5 °

OOry 4 5 ° 6 0 ° 7 5 ° 9 0 °

r oc 5 7 .1 4 4 .9 2 6 .8 2 4 2 . 6 6 2

0 1 0 5 ° 1 2 0 ° 1 3 5 ° 1 5 0 ° 1 6 5 °

OOQC

r 1 .6 1 .3 3 1 .1 7 1 .0 7 1 .01 1


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net



r = 3 eos 20 (Rosa de tres pétalos)

Solución

a) Intersecciones:

i) C o n el eje polar: 0 = nn, n e Z

si n = 0, 0 = 0, r = 3, (3,0)

si n = 1, 0 = 7i, r = 3, (3,it)

si n = 2 . 0 = 271, r = 3, (3,271) = (3,0)

si n = -1, 0 = -7i, r = 3, (3,-k ) = (3,7r)

71 71ii) C o n respecto al eje a y : 6 = — + n n , n € Z


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net



s i n = O , 6 = — . r = - 3 , ( - 3 . — ) 2 2

i o 3?r 1 rs i n = l , 6 = — , r = - 3 , ( - 3 , — )

2 2

„ 5n _ , , 5tt. , , 3 i r s i n = 2 , 0 = — , r — - 3 , ( - 3 , — ) = ( - 3 , — )

. ^ 7T , _ 7TX , _ 7Ts i n = - l , 6 = -------- , r = - 3 , ( - 3 ) = ( - 3 , — )

2 2 2


c o m o r = 3 e o s 2 6 = 0 ==>4 4

b) Simetría:


s i r = 3 e o s 2 0 = 3 e o s ( - 2 0 ) = > 3 s i m e t r í a

ii) C o n r e s p e c t o a l e j e a — : ( r * 0 ) p o r ( r , 7 t - 0 )2

s i r = 3 e o s 2 0 = 3 e o s 2(n - 0 ) = 3 e o s 0 = > 3 s i m e t r í a

iii) C o n r e s p e c t o a l p o l o : ( r , 0 ) p o r ( - r , 0 ) o ( r , 7 i + 0 )

r = 3 e o s 2 ( n + 0 ) = 3 e o s 2 0 = > 3 s i m e t r í a ,

c) Tabulación:

0 0 n n n n 75° 90°

12 I J yr 3 3^3

23.5 0 -3.5 3-^3

2- 3


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net



e 1 0 5 ° 1 2 0 ° n4

1 3 5 ° 1 5 0 ° 1 6 5 °

r 3 /3 - 1 . 5 0 0 1 .5 3 ^ 3

2 2

0

0Ooc

1 9 5 ° 2 1 0 ° 2 2 5 ° 2 4 0 ' 2 5 5 °

r 3 3 -V 3

2

1 .5 0 - 1 . 5_ 3 ^

2

0 2 7 0 ° 2 8 5 ° 3 0 0 ° 3 1 5 ° 3 3 0 ° 3 4 5 ° 3 6 0 °

r - 33 ^

2

- 1 . 5 0 1 .5 3-J3

2

3


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net



© r = 2 — 2 sen 6Solución

a) Intersecciones:

í ) C o n r e s p e c t o a l e je p o l a r : 0 = n i r , n e Z

s i n = 0 , 0 = 0 . r = 2 , ( 2 , 0 )

s i n = 1 , 0 = 7r, r = 2 , ( 2 , tt)

s i n = - 1 , U = - T i , r = 2 , ( 2 , - tt) = ( 2 , tt)

ii) C o n r e s p e c t o a l e j e y . ; 0 = ~ + n n , n e Z

s i n = 0 , 6 - y , r = 0 , ( 0 , y )

1 n 371 A f A ,As i n = l . f l = - , r = 4 , ( 4 . — ) = ( 4 , - y )

s i n = » l , 0 - ~ , r = 4 , ( 4 - ^ )2 2

iii) C o n r e s p e c t o a l p o l o : r - 0

r = 2 - 2 s e n 0 = O = > s e n 0 = 1 = > 6 =2

b) Simetría:

h C o n r e s p e c t o a l e j e p o l a r : ( r , 0 ) p o r ( r . - Ü )

r = 2 - 2 s e n 0 * 2 - 2 s e n ( - 0 ) = > 3 s i m e t r í a

ii) C o n r e s p e c t o a l e je a y : ( r , 0 ) p o r ( r . T i - 0)

r = 2 - 2 sen 0 = 2 - 2 sen (jt - 0) => 3 simetría


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net



c) Tabulación:

e 0 n n n 7r 5/r 7r

12 6 7 y T T ~2

R 2 1.48 1 0.58 0.26 0.66 0

e l i t12

2nT

3n~4

5n~6

llTT

12

71 13tt

12

R 1.51a 2a 2.41a 2.73a 3a 2 2.51

0 7 tt 5n 4 tt 11 n 3/r \9n 5/r

6 4 T 12 T 12 TR 3 3.41 3.73 3.92 4 3.93 3.73


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net



© r = 20, 0 g [0,2tt] ( e s p i r a l d e A r q u í m e d e s )

Solución

a) Intersecciones:

i) C o n r e s p e c t o a l e je p o l a r : 0 = n r c , n e Z

s i n = 0 , 0 = 0 , r = 0 . ( 0 . 0 )

s i n = l , 0 = T r , r = 2 n ; . ( 6 . 2 8 , k )

s i n = 2 , 0 = 2 7 ü, r = 4 7 r , ( 1 2 . 5 7 , 2 tt)

i i ) C o n r e s p e c t o a l e j e a 9 0 ° : 6 = y + u n , n e Z

s i n = 1 ' Q = ~ Y ■> r = 3 j r , ( 9 . 4 2 , ^ )

s i n = - l , 0 = - — , r = - J t , ( 3 . 1 4 , - — ) 2 2


r = 2 6 = 0 , 0 = 0 , ( 0 , 0 )

b) Simetría:


r = 2 0 * 2 ( - 0 ) = > 3 s i m e t r í a

ii) C o n r e s p e c t o a l e j e a y : ( r , 0 ) p o r ( r , j t - 0 )

r = 20* 2(tt - 0) => 2 simetría


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net



üi) C o n respecto al polo: (r,0) por(-r,0) o (r,7r + 0)

r = 20 * 2(7t + 0) => 2 simetría

c) Tabulación:

e 0° 15° 30° 45° 60° 75° 90°r 0 0.52 1.05 1.57 2.09 2.62 3.14

6 105° 120° 135° 150° 165° 180° 195° 210°

r 3.67 4.19 4.71 5.24 5.76 6.28 6.81 7.33

0 225° 240° 255° 270° 300° 315° 330° 360°

r 7.85 8.38 8.9 9.42 10.5 11 11.5 12.6

n Ái


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net



8.7 EJERCICIOS PROPÜESTOS,-

©

©

©©©

©©©

i a

Í23

D i s c u t i r y g r a f i c a r l a s s i g u i e n t e s c u r v a s

r = 4 e o s 3 0 ( R o s a d e t r e s p é t a l o s )

r = 2 - 4 e o s 0 ( C a r a c o l )

r 2 = a 2 e o s 26 ( L a l e m n i s c o t a )

r = a s e n 2 0 ( R o s a d e c u a t r o p é t a l o s )

r = 4 — 4 e o s 0

r = 6 e o s 4 0

r = 7 s e n 5 0

r = 2 - 2 s e n 0

© r =s e n 6

( L a r e c t a )

/■ = e° ( e s p i r a l l o g a r í t m i c a )

( ó ) r = ~ ( E s p i r a l d e A r q u í m e d e s )

( I ? ) r ( l — 2 e o s 0 ) = 4 ( h i p é r b o l a )

( í o ) r = | 2 a e o s 0 |

12) r = 3 — 3 s e n 0

14) r = 1 + 2 e o s 0

r = 2 e o s 2 0

1 7 ) r = b + a e o s 0 ( b > a > 0 ) ( L i m z o n ) ( 1 8 ) r = 2 a t g 0 - s e n 0 ( C i s o i d e )

^ 9 ) r = a ( 2 + e o s 0 ) ( C a r a c o l d e P a s c a l ) ( 20) r = 4 e o s 0

( 2 ^ r = a ( 1 — 2 e o s 0 ) ( C a r a c o l d e P a s c a l ) ( 22) r = 3 e o s 2 0

r = 4 s e n 2 0

r = 2 ( 1 + s e n 0 )

r = 3 + 3 e o s ©

26) /*1-2COS0

© 1 - 2 s e n 0

© r 2 = 9 s e n 20

( S i ) r~ = - 2 5 e o s 2 O

2S) ;• = 4sen ©.eos- 6

30) , 2 = -4 sen 26

32) /• =


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net



r = |cos 20| (^4) r = |sen 30|

© r = 2 eos 40 ( 3 ^ r = 6 eos 50

8.8 DISTANCIAPOLARES.

ENTRE DOS PINTOS EN COORDENADAS

Consideremos dos puntos en coordenadas polares Px (rx ,6 X) y P2 (rl 96 2) y cuyos

componentes en el sistema de coordenadas cartesianas son Px (xl 9y \) y P2 (x l 9y 2)

y c o m o la distancia entre dos puntos es dado por:

d(Pl ,P2 )=^j(x2 - x , ) 2 + (y2 ~ ^ i ) 2

d(Pi?P2) = ^jx¡ +y¡ +x2 +y¡ -2(XjX2 +y¡y2)

d(P¡,P2) = V ri2 + r2 ~ 2rxr2 cos(0, - 0 2 )

Solución

d(Pl ,P2) = -y]9 + 2 5 - 2(-3)(5) cos(75° - 45°) =V34+30cos30° = 3 4 + 1 5 = ^ 4 9 = 7

d(P1,P2) = 1


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net



8.9 INTERSECCION PE CURVAS EN COORDENADAS POLARES.

L a s i n t e r s e c c i o n e s d e d o s c u r v a s d a d a s e n c o o r d e n a d a s p o l a r e s , s e d e t e r m i n a

r e s o l v i e n d o l a e c u a c i ó n r y 0 .

Ejemplo.- H a l l a r l o s p u n t o s d e l a i n t e r s e c c i ó n d e l a s c u r v a s

r = a ( l + 2 c o s 0 ) , r = a e o s 0

Solución

R e s o l v i e n d o e l s i s t e m a d e e c u a c i o n e s s e t i e n e :

s u s t i t u y e n d o e l v a l o r e n c u a l q u i e r a d e l a s e c u a c i o n e s s e t i e n e r = - a t l u e g o e l p u n t o d e

i n t e r s e c c i ó n e s ( - a , 7 i ) ( s i r = 0 , a m b a s e c u a c i o n e s t i e n e n s o l u c i ó n ) .

O B S E R V A C I O N . - C o n s i d e r e m o s l a e c u a c i ó n d e u n a c u r v a e n c o o r d e n a d a s p o l a r e s .

E n e f e c t o : n = 0 , r = f ( 0 )

n = 1 , - r = f ( 0 + 2 n) = > P(-r, 0 + T i)

P ( - r . 0 + 2 t t )

n = 2. r = f ( 0 + 2 k ) = > P ( r , 0 + 2n)

p o r l o t a n t o ( 1 ) y ( 2 ) s o n e q u i v a l e n t e s .

L u e g o p a r a h a l l a r l o s p u n t o s d e i n t e r s e c c i ó n d e l a s c u r v a s r = f ( 0 ) y r = g ( 0 ) s e

M g u e l o s s i g u i e n t e s p a s o s :

a ( l + 2 e o s 0 ) = a e o s 0

= > e o s 0 = - 1 = > 0 = 71

r- ífe )

l a m i s m a c u r v a e s t a d a d a p o r : p i l t -.(2)


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net



1) Se obtiene todas las ecuaciones distintas de las dos curvas aplicando (2) en cada

una de ellas.

Jr = /,(0) f r = f 2m \r = h { 0 )l ^ g . í e ) ’ \ r = g 2( e y \ r = g 3 l0 )

2) Se resuelven las ecuaciones simultaneas.

| i r - / , » )

V = 8(0I I r - * , (6)

3) Se verifica si el polo es un punto de la intersección haciendo r = 0, en cada

ecuación para determinar si existe solución para 0 (no necesariamente la misma)

Ejemplo.- Hallar los puntos de intersección de las curvas. r = 2 eos 0 y r = 2 sen 0

Solución

Calculando las ecuaciones distintas de las dos curvas para el cual aplicamos.

(-l)n r = f (6 + n n ) y n c Z se tiene:

para n = 1,f—r = 2 eos (0 + n) j r = 2 eos 0l-r = 2 sen(0 + n) \ r - 2 sen 0

C o m o se obtiene las mismas ecuaciones entonces es suficiente resolver el sistema de

ecuaciones iniciales.

Ír = 2 c o s 0 n=> sen 0 = eos 0 => tg 0 = 1 => 0 = —

r = 2 s e n 0 4

r = 2 c o s — = ^ 2 => r = V 2 4

luego el punto de intersección de las curvas es P(-j2 .— )4


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net


Ejemplo.- Hallar los puntos de intersección de las curvas r = 4(1 + sen 0) y

r(l— sen 6) = 3

Solución

Calculemos las distintas ecuaciones de las curvas dadas, para lo cual aplicamos.

( - l ) V = /(0 + /i/r), n e z se tiene

para n = 1, <

r = 4(1 + sen(0 + /r)) 3r =

r = 4(1 — sen 0)

3

l-sen(0 4 - /r )\ - r

1 + sen 0

para n = 2, «

r = 4(l + sen(0 + 2/r))

3r —---------------l-sen(0 + 2/r)

\r = 4(1 + sen 0)

3

l - s e n 0

El sistema (2) va repitiendo, luego para hallar los puntos de intersección resolveremos

los sistemas de ecuaciones dada.

r - 4(1- sen 0)

3r —l + sen0

1 + sen 01 - sen 2 0 = —

4

3 „ J3eos“0=— => eos0 = ± —4 2

e=~-, e = — ,6 6 6 6

c o m o r = 4(sen 0 - 1 )

- r = 4(sen-^--l) = — 2 , r - 2

- r = 4(sen-^--l) = -2 , r = -2

P 3(2 , ^ ) , P 4 ( 2 , - ^ ) 6 6


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net


8.10 DERIVADAS Y RECTAS TANGENTES EN COORDENADAS POLARES.

Consideremos la ecuación de una curva dada por

C: r = f ( 0 )

Sabemos que las coordenadas cartesianas y polares están relacionados por:

x ~ r eos 0 , y - r sen 6 » . (2)

Luego al reemplazar (1) en (2) en la ecuación de la curva lo escribiremos en la forma.

; | y #?: /(e).senö

que son las ecuaciones paramétricas de la curva con parámetro 0.

Ahora calculamos la derivada de cada ecuación paramétrica con respecto al

parámetro 0.

[x = /(0 ) .c o s0 Iv = /(0 ) .sen 0

^ = f ' (0) eos 0 - /(0) sen 0

dy_d 6

= f ' ( 6 ) sen 0 + f ( 6 ) eos 0

luego calculamos — es decirdx

dydy _ de _ / ' ( 0 ) s e n 0 + /(0)coS 0 = r m x g e + m dx dx_ / ’(O) eos 0 - / ( 0 ) s e n e f (6 ) - /(0) tg 0

de

n —

d y r ( 0 ) l g e + f ( 0 ) l g O d e + r

dx / ' ( 0 ) - / ( 0 )tgo dr__r i ßd B B


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net



d y .. tg0.d r— i-r

dedx dr

m-rtgíí

C o m o la — representa la pendiente de la recta tangente a la curva, se tiene que: dx

Si a es el ángulo formado por la recta tangente y el eje polar, entonces:

, r + i g 0 . ~...4 S L

- - ' • t g e

Si P(r,0) es el punto de tangencia y 8 es el ángulo que forma el radio vector OP y la

tangente, veremos los siguientes casos:

i )

Se deduce que a = 0 + 5 => 5 = a - 0, aplicando tangente se tiene: tg 5 = tg (a - 0)

i¡)


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net


S = a + 7 T - 0 => f t =7 T + ( a - 0 ) d e d o n d e

tg 8 = tg{7T + ( a - 0 ) = t g ( a - 0 ) p o r lo ta n to e n a m b o s c a s o s s ig n i f i c a q u e :

. n dr- t 0 r + lg 6 . —

tg 8 = t g ( a - 0 ) d e d o n d e tg S = — — — - — c o m o tg a = ^1 + t g a . t g 0

/ + t g 0 . — - t g 0 d 6

dr

tg<5 =•de

r i g e

1 +

r + r tg” e, , dr dr 2 n dr

r + tg£.— — + t r 0 . —dfí e dB B dO

dr- — r t g e de

É Lde

- n g e

t s _ r ( 1 + t g - O ) _ r _ / ( f l )

g dr 2 fl4 dr f ' ( 0 )------(1 + t g 0) ------ J ' ’de 5 de

Ejemplo.- H a l la r e l á n g u lo a y 8 , e l v a lo r d e la p e n d ie n te d e la ta n g e n te e n e l p u n to

d a d o .

( ? ) r = 4(1 + s e n 0), P(4,0°)

Solución

r = 4(] + sen 0) => — = 4 eos 0 => —de de

= 4

e=o

tg« =

„ drr + lge.—* de

É Lde

- n g e

4 + 0t g a = -------- = 1

4 - 0

tg a = 1 na = —4


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net


f ' ( 0 ) 4 4

( ? ) r = a(l - eos 0) 0 = - , a > 0 w 6

Solución

r = a(l — eos 0) => = a sen 6 => —d6> rfO

_ a

e = l ”2

r = a(l — eos 0) para 0 = — => r = — (2 - ^ 3 )6 2

r + tg0.— —(2—y¡3)+—. ^ ~tg a = — — — — => t g a = — --------

^ - r t g e d 6 2 2 3

i ^ c o m o tg a = 1 => a = —

5 4

* a n n 71S ~ a ~ 6 =------ => —4 6 12

Consideremos una función continua y positiva en el intervalo [a,p], suponiendo

— ► — ►que la curva C tenga por ecuación r = f{0) y dos radios vectores OP¡ y OP2

que pasan por las rectas 0 = a y 0 = p


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net



r = f(0)

Pi

6 = a

El area de un sector circular es igual al semiproducto del radio por el arco.

Luego el área del i-ésimo sector circular es:

Luego el área de los n sectores circulares es:

Teniendo en cuenta que la integral definida, expresa geométricamente el área bajo una

curva, por lo tanto el área buscada es el limite de los n sectores circulares, es decir:

A - tim ~ il: f r - mft — Um / .... ..............—p...2 2 -

i r ¿ívla

Luego el área determinada por el radio vector de la curva al desplazarse de la posición

— ^ —yOPx a la posición OP2 es expresada por la fórmula.

Ejemplo.- Hallar el área de la figura limitada por la cardioide r = a(l + eos 0).

Solución


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net


1 fP 01 r

a = i lr - d O

r = f(0) = a(l + cos 0)

0

a = 2[— a 1 {\ +cos 6 ) 2 d 6 ] 2 Jo

- o 1 f (l + 2 c o s 0 + cos2 6 )d6 - a 2 (— + 2 sen fl +S e n )/* Jo 2 4 ' 0

. 3¿r;r iA - ---- i f ~

O B S E R V A C I O N . - Consideremos dos función f,g : [a,p] => R tales que

0 < g(G) < f(0), V 0 <e [a,p] y sea R el sector limitado

por los gráficos r = g(0), r = f(0) y las rectas 0 = a y 0 = p entonces el área de la

región R es expresado por la fórmula.

Ejemplo.- Hallar el área de la figura limitada por la curva r = 2a sen 30 que está

fuera del círculo r = a.

Solución

Seanrx =2¿*sen30 r, = a


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net

El volumen V del sólido obtenido por la rotación alrededor del eje polar de la

región R limitada por la curva r = f(0) y las rectas 0 = a y 0 = p es dado por

la fórmula,

de l3 Ja ;________ i

Ejemplo.- Hallar el volumen del cuerpo engendrado al girar la curva r = ¿7 eos2 6

alrededor del eje polar.

Solución

Consideremos una función r = f(0) continua en el intervalo [a,p]; c o m o

x = r eos 0, y = r sen 0, por diferenciación se tiene:

í dx = eos 6 .dr - r sen 6 .d 0 \ — (l) [dy = sen 6 .dr + r eos 6 .d6

Si en coordenadas cartesianas se tiene ds c o m o la hipotenusa de un triángulo de

catetos dx, dy. Entonces.

(<kf ~(dxf Hdy?. ...(2)


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net


e = p— ►

x


(ds)2 = (cos0 . d r - r sen 6 .d 6 ) 2 + (sen ti.dr + r eos 6 .d6 ) 2

(ds)2 = c o s 2 6 (dr)2 + r 2 sen2 6 (d6 ) 2 - 2 sen0 eos0 .dr.d0 + sen2 6 (dr)2 +

+ r 2 eos2 6 (d6 ) 2 + 2r sen0 eosO.drdi)

(ds) 2 = ( s e n 2 0 + eos2 6 )(dr) 2 + r 2(sen2 6 + eos2 6 )(d6 ) 2

(ds) 2 =(dr ) 2 + r2 (dO)2 extrayendo la raíz cuadrada

ds = 4 ¡ d ñ 2 + r 2 (dO) 2 = J r 2 + ( ~ ) 2 d 6

Integrando ambos miembros de a hasta p.

que la longitud del arco de la curva desde A hasta B.

T E O R E M A . - Si f es una función continua en el intervalo cerrado [a,P], entonces

la longitud de la curva r = f(0), desde, Px(rl 9a) hasta P2 (r29(})

está expresado por:


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net


tEjemplo.- Hallar la longitud total de la cardioide r = a(l + eos 0)

Solución

r = a(l + cos0)d rde

= - a sen 0

L = f J/-2 +(r')2dO Ja

c o m o la gráfica es simétrica.

L = 2 ^ -y/o2(1 + eos6 ) 2 + a 2 sen2 6 d 6

L = 2-^2a í -v/2 eos— d 6 = 8a sen— /* = 80 Jo 2 2 ' 0

L = 8a

18.12 KJKKCl<IOSDESARROLiAPt)S.-

Calcular el área de la región limitada por la lemniscata r 2 = 9 eos 20 .


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net

© Hallar el área limitada por la curva r 2 = a 2 sen 46Solución

©

©

Del gráfico se tiene:

1 f*'4 i r*/4 ■>A = 4[— jo r ■2rf0] = 2 £ o 2 sen 4 0 ¿ 0

2 2 A ^ <í /\ é7[/A d | . “>i4 = — — eos 4 0 / o = - — [-l-l] = <r

2 /f) 2

A = a 2u 2

Hallar el área comprendida entre la primera y segunda espiral de Arquímedes r = a0.

Solución

] #*2 K 7 7Del gráfico se tiene: A = — (r{ - r,~ )d6

^ * donde, rx = a 6 y r2 = a (6 + 2n)

A = -[2*[a2(e + 27r)-a2e 2]d02 Jo

/. ^ = 8fl2^ 3!/2

Hallar el área de la región encerrada por la Lemniscata r 2 = 4 sen 20

Solución

0 = n / 2La gráfica es simétrica con respecto al polo,

entonces

e=0 ^ z { r rideH ‘í¡mwMX 2

A = - 2 c o s 2 6 / o ' = -2[-l-l] = 4

/. = 4m


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net


© Hallar el área de la región encerrada por la curva r = a sen 20

Solución

C o m o la gráfica es simétrica con respecto a ios dos

ejes entonces.

1 cRl- o cKÍ- *>A =4/1, = 4[- Jo ¡-dB] = 2jo a 2 sen

2 f / í 2 2 ^ s e n 4 0 v ,jt/2 a 27rA = a \ (1— c o s 4 0 ) í/ 0 = a ( 6 -------- ) / = -----Jo 2 n 2

. o'tt ■>.. A =---- u~

2

© Encontrar el área c o m ú n de las dos circunferencias r = 2 sen 0 y r = 2 eos 0.

Solución

Ubiquemos la región c o m ú n

Calculando las intersecciones

ir = 2 c o s 0

r = 2 s e n 0sen 0 = eos 0

nt g 0 = 1 = > 6 = —

4

también se intercepta en el polo (origen) es decir

para r = 0 se satisface las ecuaciones

] /«TT/4 - 1 rntl - rn i 4 rm lA = - \ (2sen e ) 2d 6 + ~~\ (2cos0)2¿ 0 =2[ sen2 0.¿0 + cos 2 6 .d6 ]

2 Jo 2 Jí) J?r / 4

.4 = n í - c o s z s w s t r o + « » 2 e ) í e = (e - ” “ ) / " 4 + , e + i ? !“ ) / " !Jo Jtt.4 2 ' 0 2 ' nl


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net


( f y Encontrar el área de la región acotada por la curva r = 2a eos 0 y que se encuentra

Hiera del circulo r = a.

Solución

Calculando la intersección

IV = 2a eos 0

iY

k

n/ —

/ 3//

~ 4 < — \/* \ \/ / \ \

\ \' \ 1 ......... *

\ ° ' ' t ay Í2a X\ lX MX r

'

I r = acosfí = —

2

de donde 6 = — , 0 = — 3 3

C o m o se tiene simetría respecto al eje polar.

1 pR1 i J cu -i -y -i ■) A = 2[— i (2acos0)2í / 0 - - a dO] = 4a í eos2 6.d0 - a 2 f d e

2 Jo 2 Jo Jo Jo

n / 3

©

. , 2 f/í3 2a l*n 1 2/„ S e n 2 0 4/ff/3 fiTTTA = 2a J (1 + co s20 )d 6 -a ® / 0 = 2cr (0 + — — — )/() — —

. 7 ,Tl V 3 t *»/. /4 = a (— + — — )«“

3 2

Calcular el volumen de un sólido obtenido por rotación de la región acotada por la

curva r = a eos2 6 alrededor del eje polar.

Solución

Por simetría se tiene:

V = 2 [ - y £ V eos6 0sen0.</0]

y _ 4a37i _cos7 0 jn . i _ 4a^jz ^1 21


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net

® Calcular el volumen del sólido

a > 0 alrededor del eje X.

obtenido al hacer girar la cardioide r = a(l + eos 0),

Solución

Ubicando la región se tiene:

■> Del gráfico se observa que el sólido de revolución

se obtiene de hacer girar alrededor del eje X la

región de la parte superior de la cardioide.

27T Cn „ 1 2 n ( l+ C O S 0 ) 4 f l3 tnV = — <r(l + cos0) senfl.¿/0 = --------------- ----- /3 Jo 7 3 4 /o

3

© Hallar el volumen del sólido generado por la rotación de la región

R: a < r < a 4 2 sen 26 , a > 0, alrededor del eje polar..

Solución

Ubicando la región de las curvas polares que encierran c o m o R: a < r < a^J 2 sen 26 ,

a > 0, entonces r = a circunferencia.

r 2 = a 22sen26 , 0 e[0,y]U[/r,— ] donde la ecuación r 2 - 2a 2 s e n 20

corresponde a la gráfica de la Lemnicata.


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net

Por simetría se tiene V = 2VX

F = 2[— i [(úh/2sen 26) ]senO.dB------------- í a senOMG]3 Jtt/12 3 J/r /12

4/r [f5'1'1 2 2V2(sen20)3/2 sen0.</0-a3 Psen0.rf0] 3 J« 7 !2 Jff/12

K [J* o 32-v/2(sen20)3/z senfíxiO+ cos6/

rSa/12

V =4 ,1a 3 ,5»/12 3

[f5íI ‘V 2 V 2 ( s e n 2 0 ) 3,2 s e n 0 ¿ 0 + - L/1 2 -yj2.

...d)

7TSea 0 = --- r = > d 0 = -dz, reemplazando en (1)

4

J*5tt /12 1 _ i í«^/o - ? -

(sen 26) ' sen = —= (eos z) “ (eos z)dz =7r /12 *yj2. J 71'

3?r + 8

32. - (2 )

Reemplazando (2) en (1) se tiene: F = [2^2. +_!_]«y2


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net

©0

Hallar la longitud del arco de la parte de la parábola r = asee2(— ), cortado de la

m i s m a por la recta perpendicular que pasa por el polo.

Solución

C o m o - — < 0 < —2 2

0 or 2 = a 2 sec4(— ) d e d o n d e r = o s e c 2(— )

dr 26 6— = a sec— . te—d e 2 * 2

L = r 2 J o 2 sec4 A + Ö 2 sec4 A tg2 A dO J - n / 2 V 2 2 2

©

L = [ n 2 a see3( - )dO = 2a[4 ¿ +ln(-j2 +1)] J-ít/2 2

. 0

U n móvil recorre una pista que sigue la trayectoria de la espiral de Arquímedes.

Solución

drr = a0 => — = ade

► Ja V dede

L = [2n Ja2e 2+a2dO = a t J ü ^ d O Jo Jo

L = a [ - 4 Ü ^ 2 - ^ - ^ e + ^ ü ^ 2 \ ] j2"

\\


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net


L = a[n^J 1 + 4tt2 + -i-ln|2tt+ -\/lh-4?r2 |]

(l3) Hallar la longitud del bucle (Lazo) de la curva polar r = sec3(y)

Solución

Por simetría se tiene: L

I-

J'n n> . f +(í ‘

i/«

■>,,0 dr 3 6 0r = see (— ) => -— = sec (— ).tg(— ) 3 d e 3 3

)+sec6 (|).tg2(|) de

Z, = fl£sec4 (y)rf0 = 12^3 /. Z, = 12-^3


I. Halle los puntos de intersección de las gráficas del par de ecuaciones dado:

©2r = 3

r = 3 sen 6 © > = 3

Ir = l + cosG

© {r = 2 c o s 0

r = 2 s e n 0 © /• - 2 eos 20

r — 2 sen 6

©Y = 4 er = n 12 ©

[r = cosí? -1

r = eos 26

©V = 1 - sen 0r = eos 20 ©

r 2 = 2cos0r = 1


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net


©

©

©

r = 4 tg 0.sen0

r — 4 c o s 0

r = 2 eos 0

r = 2 ^ 3 sen 0

r = 4(1 + sen 0) r(l-sen0) = 3

r sen 0 = 4 r eos 0 = 4

> = tg0

r = 4 s e n 0

r 2 sen 20 = 8

r c o s 0 = 2

= 4

e = 4

r = sen 0

= sen 20

r = 4 s e n 0 c o s 2 0

r = sen 0

r = 1 + eos 0

r = l - s e n 0

II. Calcular el área de la región de las curvas que se indican y hacer su gráfica.

(í) r = a eos 0, 0 < 0 < n ß

© r = a(l - eos 0)

r = 4 eos 20

r = a eos 50

Rpta. 0.37 a~ u

Rpta. a 2u 2

Rpta. An u 2

Rpta. ^ — u 2

r = a sen 20

I n(ó) r = a(l + 2 sen 0), 0 = - - ^ , 0 =

n . Tía 7 Rpta. — — u~

Rpta. 2 7T +3^3

^7) r = eos 30 Rpta. —u4


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net

o


©r = b + a eos 0, (0 < b < a) Rpta. ”1{a2 +21J2)

2

©r = a eos 0 Rpta.

7UJ2 2------- U2

©2 2 sen 36r = a ------

cosí?Rpta. cr2 ( | - l n 2 ) M 2

©r = 2 sen 30 Rpta. n u 2

©r 2 = 9 sen 2 6 Rpta. 9 u 2

©r = 4 — 4 eos 0 Rpta. 24n u 2

© r 2 = 4 sen 26 Rpta. 4 u 2

© r 2 = 2 a 2 sen 30 Rpta. 4a 2 u 2

III.

n /a(V ) Hallar el área interior a r = 4 sen 6 eos2 6 y exterior a r = sen 0 Rpta. — + ----

6 8

© Calcular el área de la región que es interior a la curva r = 2a eos 30 y exterior al

q 2círculo r = a, a > 0. Rpta. — (2^ + 3*\/3)w2

6

©3 ti — 8

Hallar el área c o m ú n a las cardioides r = a( 1 ± eos 0) Rpta. — -— a 2u 2

( T ) Hallar el área encerrada por las curvas r =------ — y r = 2a en el intervalo de

cos-(-)

0 = 0 a 6 = - .2

aRpta. - ( 3 7 i - 4 ) u 4


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net

Calcular el área exterior a la lemniscata r 2 = 2a2 eos20 comprendida dentro del

1 r% "*■ 3^3 2 2circulo r =a. Rpta. ----------a u

© Hallar el área de la regirá que es interior a la curva r = 3a eos 2 0 y exterior a la curva

r = a( l + cos20). a > 0 . Rpta. a 2(4n+ — J Í 5 - 6 a )4

3 V n - b a )

D o n d e a es tal eos 2a = — -4

( 7 ) Hallar el área limitada por la curva r 2 = a 2 sen 40 . Rpta. a 2u 2

Q j ) Hallar el área limitada por la parábola r = a sec2(— ) y las semirectas 0 = — y

n 14-8^2 2 2Rpta. --------- a Lu ¿

Hallar el área de la figura limitada por la curva r = 2a eos 30 que esta fuera del

a 2ncirculo r = a. Rpta. — — u 2

© Calcular el área de la superficie obtenida al rotar, alrededor del eje polar, la

Lemniscata r 2 = a 2 eos2 0 . Rpta. 2na2(2 -^ ¡2 )u 2

(11) Hallar el área de la superficie generada al rotar alrededor del eje X la curva

r = a(l + eos 0), a > 0, 0 < 0 < Jt. Rpta. ~

(12) Hallar el área de la superficie generada 1 rotar la curva r = 2a eos 0 alrededor del

ejeX. Rpta. 4 o 2tt

(13) Hallar el área de la superficie generada al hacer girar la circunferencia r = 2a sen 0

* ■ 2 _ 2alrededor del eje a — . Rpta. 4a n


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net

^ 4 ) Hallar el área dentro de r = 8 eos 0 y a la derecha de la recta r = 2 sec 0.

Rpta. ^ ^ - + 4^3

(l5) Hallar el área de la región dentro de r = 10 sen 0 y encima de la recta r = 2 cosec 0.

Rpta. 25/T-58+10-V5-50arcsen(-|=)-v/5

© Hallar el área de la región encerrada por las curvas:

a) r = ee , 0 < 0 < n , r = e 6' 2 , 0 < 0 < n y los rayos 0 =2n y 0 = 3n.

Rpta.

b) r = e6 , 27t<0<37t, r = 0, 0 < 0 < n y los rayos 0 = 0 y 0 = 71.

Rpta. j - [ 3 e An (e2n - ) 2 n 3]

^ 7) Encontrar el área de la región limitada por la curva.

a) (x2 + y 2) 3 = 4 a 2xy(x2 - y 2), a > 0 . Rpta. a 2

b) x 4 + y 4 = x 2 + y 2 Rpta.

IV.

Calcular la longitud de la curva r - a sec2(— ) desde 0 = 0 hasta 6 = — .2r ^

Rpta. a[V2 +ln(l+-\/2)]

© Hallar la longitud del arco de la espiral hiperbólica r0 = 1 desde el punto (2,— )

hasta el punto (— ,2). Rota '

*¿)


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net

© Hallar la longitud de la curva r = 2b tg 0. sen 0, b > 0 desde 0 = 0 desde 6 - — .3

© Calcular la longitud del arco de la curva r = sen3(^-) comprendida entre

O < 0 < — . Rpta. — (271-3-^3)2 8

© Hallar la longitud del arco de la espiral logarítmica r = aem , ( m > 0), que se

encuentre dentro del círculo r = a. Rpta. +m

(ó) Hallar la longitud del arco de la curva r = a sen1 (— ), a > 0. Rpta.2 2

'

Cj) Hallar la longitud del arco de la curva 6 = — (/■ + — ), desde r = 1 hasta r = 3.2 r

4 + ln3

^ 2

© Calcular la longitud del arco de la curva r - 6 2 , entre 0 < 0 < tt.

Rpta.

® G ixCalcular la longitud del arco de la curva r = <?cos3 (— ), entre O < 0 < — .

3 2

Rpta. —(2n + 3^3)X

(lo) Hallar la longitud del arco de la parte de la parábola r - ¿7sec2(^-), cortada por la

recta perpendicular que pasa por el polo. Rpta. 2a[42 +ln(-s/2 + l)]w


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net

(íí) Calcular la longitud del arco de la curva r = sen 0 desde 0 e [0,2tt].

Rpta. n ú

(12) Hallar la longitud de la primera espira de la espiral de Arquímedes r = a0.

Rpta. an-J^ñ2 + l + —la \2n+ -^4n 2 + 1 12

(13) Calcular la longitud del arco de la espiral hiperbólica r0 = 1 desde 0, hasta

4 3 50, = - . Rpta. ln(— ) + —2 3 H 2 12

(Í4 ) Si R es la región exterior a la circunferencia r = eos 0 e interior a la cardioide

r = 1 — eos 0. calcular la longitud de su perimetro. Rpta. 4-^3 + y

3 < m© Calcular la longitud total de la curva r = o s e n 3(— ). Rpta.

3 2

© ) Encontrar la longitud de la espiral logaritmica r = — desde (r,,6 l ) hasta (r2,02 ) .0

Rpta. a ln ^ — ^ L l + ^ a 2 + r 2 - ^ j a 2 +r2 r2( a + ^ a 2 + r 2 )

© ) Hallar la longitud de r = 4 — 4 eos 0.

V.

© Hallar el volumen del sólido obtenido por la rotación alrededor del eje polar de la

figura acotada por la cardioide r = 4 + 4 c o s 0 y las rectas 0 = 0 y 0 = y .

Rpta. 160;r « 3


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net

(7) Hallar el volumen del cuerpo generado por la rotación de la figura limitada por una

semi espira de la espiral de Arquímedes r = a0, desde a > 0, 0 < 0 < ir.

2a*n 2 ( n 2 -6) 3 Rpta. ------- -------- u

© Hallar el volumen del sólido formado por rotación alrededor del eje polar de la curva

. 576 3r = 3 sen 20. Rpta. ----n u

35

( 4) Hallar el volumen del sólido generado por la rotación de la superficie

.3_2

a < r< a ^ 2 sen20 , a > 0 alrededor del eje polar. Rpta.a n 3 u2 4 2

© Hallar el volumen en coordenadas polares por la curva r = a tg 0 al girar alrededor

del eje polar y entre los límites 6 =— y 0 = 0. Rpta. ^[61n(3 +t/2)-7t/2]w34 2


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net

652 Eduardo Espinota Ramos

í A P E N D I C E

I. LOGARITMOS.-

a * = N , a > 0 < = > jr = loga N x = ey <=> y = loge x = Lux

( 1 ) loga AB = loga A + loga B

( 2 ) loga — = log„ A - loga BB

® log a A " = n L o g aA

G ) log0 C Í = - l o g a A n

© log Nlog¿ N = log,, o.loga N = -y-g b (cambio de base)

II . ...... ECUACIONES CUART1CAS.-

x4 + 2px3 + qx2 + 2rx + s= 0, sum a n d o (ax + b)2

x4 + 2px3 + qx2 + 2rx + s + (ax + b)2 = (ax + b)2

x4 + 2px3 + (a2 + q)x2 + 2 (r + ab)x + s + b2 = (ax + b)2

(x2 + px + k)2 = (ax + b )2

x4 + 2px3 + (p2 + 2k)x2 + 2pkx + k 2 = (ax + b)2


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net

Apéndice 653

2 p k - 2r ~ lab

p k - r = ab

(p k - r )2 = a 2b2 =>

(pk - r)2 = a2 b2 = (p2 + 2kp - q) (k2 - s)

simplificando: 2k3 - qk2 + (2pr - 2s)k - p 2 s - r 2 + qs = 0

Hallando las raíces de k se tiene: (x2 + px + k)2 = (ax + b)2

I1L ECUACIONES CUBICAS -

x 3 + px2 + qx + r = 0 haciendo x = y - p/3

'*1 ^i 7 2 p qi

se transforma en y + (q - p /3) y + ---- ----27 3

y3 + Q y + R = 0

se hace y = A + B

x2 + px + k = ± (ax + b) de donde *Jt2 + ( p - a ) x + k - b = 0

x 2 +(p + a )x+ k + b = 0

donde


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net



0 y = k f (x ) = c=> — = k f ' (x )dx

Q ) y = f { x ) ± g ( x ) ^ > — = f ' ( x ) ± g ( x )dx

(4) y = f ( x ) = x"=> — = f ' ( x ) = nxn ldx

© y = f ( x ) . g ( x ) ^ — = f ' { x ) .g { x ) + f ( x ) .g ' ( x )dx

® . f (x) dy g ( x ) . f ' ( x ) - f { x ) . g ' ( x )y - ----- => — = --------------- i----------

g(x) dx g(x)~

© > = ( / ( * ) ) " = > — = « í/ ,(jc))""1 ./'(*)dx

V. DERIVADAS DE LAS. FUNCIONES TRIGONOMETRICAS Y SUS 1NVERSAS.-

© >» = sen(/(x)) => — = cos/(x)./*(x)dx

( 2) y = cos(/(x)) => — - —sen( f (x ) ) . f ' ( x )dx

© y = tg(/(*)) => — = see2 ( f ( x ) ) . f ' ( x )dx

( 4 ) y = ctg(/(x)) => — = -cos ec2( f (x))./’(x)dx

( 5) y = sec( f (x)) => — = sec( /'(x)).tg(/(x))./'(x)dx

( ? ) y = coser(/(x)) => — = -costr ( f (x)).ctg(/'(x))./'(x)dx


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net


Apéndice 655

\ , r . s . dy f ' ( X )\ 1 ) y = are. sen (/(*)) => — = ■

dx J l - f - ( x )

v, dy -/'(*)W y - arc.cos{f (x)) =>— =—. -

* V 1- / ( * )

® rfv r w>• = are. tg ( / (x)) => — = ----- V----

<¿v ! + / - ( * )

,nl A , ,, „ dy - f (x)10} y = arc.e tg( / (x)) — = 2

dx 1 + / (x)

n i / rt » ^11) y = arc.szc(f(x)) = > — = ■

1

¿y -/'(x)111 y = arc.cosec(f (x)) => —

VI, ». * i OGARITP

w L ' a u iMICAS.-'

,AS: FUNCIONES' EXPONENCIALES • V

® dy logfl ey = l o g „ ( / ( x ) ) = > - f = -^ - ./ '(x ), a * 0 , 1

í¿í /(x)

© ,v = In(/(x))/'(x)

rfr /(x)

© >• = fl/(x) => — = af(x) .Ln a . f ( x )dx

© v = / <,> => — = / M . f { x ) dx

© y = ( . f ( x f lx) ^> — = g ( x ) ( f ( x ) f (xy i . r ( x ) + ( f ( x ) f (x)ln( f(x)) .g '(x)dx


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net

VIL DERIVADAS DE LAS FUNCIONES HIPERBOLICAS Y SUS INVERSAS.*

© y = senh ( / (x)) => — = cosh(/(x))./'(x)dx

© > = cosh(/(*)) => — = senh(/(x))./’(x)dx

>’ = tgh(/(x))=> — = secA2 (/(.v))./'(x)dx

© j> = ctgh(/(x)) => — = -cos ech2 ( f ( x ) ) . f ’(x)dx

© y = sech(f(x))=> — = - se ch ( f ( x ) )A g h ( f ( x ) ) . f ' ( x )dx

© y t eos eh(f (x )) => — = -cosech(f(x )) .c tgh(/(x)). f ’(x)dx

- «ív /'(x)(J7; >• = ore. senh( A x ) ) => — = ■ -

rfy ± f ' ( x )^ 8) y = ore. cosh(/(x)) => — =

dx 1/ / 2 (x)-l

® í/v r ( x )^ = are.tgh(/(x)) => — = - ^ 5 ------------------ , - < ffr) < 1

dx 1 - f ~ { x )

dv f ’(x)10) y = arc.c tgh(/(x)) => — = — — ---- , (fix)) > 1

dx l - / - ( x )

1 1 1 « ,/r / « ^1 1 ) 3; = arc. see h ( f (x)) => — = '

dx / ( x ) V l - f \ x )


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net

Apéndice 657

dv -/'(x) 12) y = are. cosech(f (x)) => — = ■

dx |/(x ) |V l+ /2(Jc)

...................................................................................................................■'■■■■

© Jodx = ax + c

© J d (f(x)) = f{x) + c

© J (/(x) ± g(x))dx = J f(x)dx + J g(x)dx

\ x ndx=—-- + c, n * - 1J /i +1

»+1

f undu = —— +c, n * - \J n + 1

© J-^=Ln|«| + c

| eVw = eu + c

(5 ) f audu = + c, a > O, a 1J lno

® r rfw 1 u— j = — a r c t g — + c

^ J uL -a~ 2aU - Q

u + a+ c


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net


J o 2 - « 2 2a

í/ + tf

u - a+ c

© jrf« .u= are. sen(— ) + c

©y¡u~ +a~

a

= Z,wL + ^ u 2 + a 2 + c

+ c

ó) J Va2 - icd u = - -a/o2 -w2 +y-c/r.sen —+ <

7) J* Vw2 - a 2d u - ^ 4 u 2 - a 2 - — Lnu + •ju2 - a 2

(l8) JVtr + a2du=—^ju2 +a2 + — Lnu + -Ju2 +a2

+ c

+ c

19J sen udu = -cosw + cj

(20) J eos udu = sen 1/ + c

(21) J tg udu = -L«|cos w|+ c

© J c tg wí/w = £«|sen u\ + c

/ see wí/w = ¿;/|sec u + tg «| + c

@ 1 eos ecudu = Líbeos ecu —c tg «| + c


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net

Apéndice 659

© sec2 udu = lgu + c

© cosec2udu = -c lg u + c

© secw tgu rfw = s e c w + c

© cos ecu.c tg udu = - cos ecu + c

© senh udu - cosh u + c

© cosh udu = senhw + c

© tgh udu = Ln|coshw| + c

© c tgh udu = L/?|sec hu\ + c

© sec frudu = tghw + c

© cos ech2udu = -c tgh u + c

© sec hu. tgh udu = - sec hu + c

© cos ech u. c tgh udu = - cos ech u + c

© sen(bu)du = <■»(0 sen(,’" ) - ♦ ca +bL

© au , , x , au (a cos bu + b sen(bu)) e cos (bu)du = e -------- j--- — — + ca +b


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net

BIBLIOGRAFIA

© Calculus V o l u m e n 11 por: T o m M . Apostol

© Análisis Matemático por: Protter M o n e y

© Análisis Matemático T o m o II por: L. D. Kudriavtsev

© Calculo con Geometría por: Louis Leithold

© Calculo y Geometría Analítica por: Larson-Hostetle

© Análisis Matemático V o l u m e n II por: Hasser - Lasalle - Sullivan

© Calculo de una y Varías Variables con Geometría

Analítica por: Satumino L. Sales, Einar Hile

© Calculo con Geometría por: E d w i n J. Purcell

© Calculo y Geometría Analítica por: Sherman K. Stein

© Matemática Superior para Ingeniería por: C. R. Wylie J. R.

© Matemática Superior para matemáticos, físicos e

ingenieros V o l u m e n II por: R. Rothe

© Calculo Avanzado por: Murray R. Spiegel

© Calculo Diferencial e Integral por: Banach

© Calculo de Varias Variables en Algebra Lineal.

© Calculo Infinitesimal por: Smith - Longly y Wilson

© Calculo con Geometría Analítica por: John B. Fraleich

© Análisis Matemático por: M. N. Benlebol, J. Margalef


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net


Q 8 ) E j e r c i c i o s y p r o b l e m a s d e m a t e m á t i c a s u p e r i o r

T o m o I I p o r : P . D a i i k o P o p o v .

^ 1 9 ) P r o b l e m a s y E j e r c i c i o s d e A n á l i s i s M a t e m á t i c o p o r : B . D e m i d o v i c h .

( 20) P r o b l e m a s y E j e r c i c i o s d e A n á l i s i s M a t e m á t i c o p o r : G . N , B e r m a n

( 21) C a l c u l o D i f e r e n c i a l e I n t e g r a l T o m o I , I I p o r : N . P i s k u n o v

( 22) 5 0 0 0 p r o b l e m a s d e A n á l i s i s M a t e m á t i c o p o r : B . P . D e m i d o v i c h

( 23) A n á l i s i s d e u n a V a r i a b l e R e a l p o r : C e l s o M a r t í n e z . C a r r a c e d o .

M i g u e l A . S a n z A l i x

( 24) C a l c u l o D i f e r e n c i a l e i n t e g r a l p o r : G r a n v i l l e - S m i t h - L a n g l e y

( 2? ) C a l c u l o c o n G e o m e t r í a A n a l í t i c a p o r : R . E . J o h n s o n — F . L .

K i o k e m e i s t e r - E . S . W o l k .

( 2 ó ) C a l c u l o p o r : J a m e s S t e w a r t

( 27) C a l c u l u s T o m o I , I I p o r : M i c h e l S p i v a k

( 2 8 ) P r o b le m a s d e l a s M a t e m á t i c a s S u p e r i o r e s I , I I p o r : V . B o l g o v , A . K a r a k u l i n , R .

S h i s t a k

( S ) C a l c u l o D i f e r e n c i a l e I n t e g r a l p o r : Y u T a k e u c h i

( 30) C a l c u l o I n f i n i t e s i m a l c o n G e o m e t r í a A n a l í t i c a p o r : G . B . T h o m a s

C a l c u l o c o n G e o m e t r í a A n a l í t i c a p o r : E d w a r d s y P e n n e y

( 32) C a l c u l o d e u n a V a r i a b l e p o r : F i n n e y — D e m a n a - W a i t s —

K e n n e d y

( 33) C a l c u l o d e u n a v a r i a b l e p o r : C l a u d i o P i t a R u i /

B 4 ) C a l c u l o I I p o r : A l v a r o P i n z ó n


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net


PEDIDOS AL POR MAYOR Y M ENOR

AV. GERARDO UNGER N° 247 OF. 202 Urbanización Ingeniería (Frente a ia UNI)

Teléfono: 3888564-

LIM A — PERU


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net


OBRAS DEL

■ Matemática Básica para estudiantes de Ciendás e Ingeniería■ Análisis Matemático I para estudiantes de Ciencias é Ingeniería■ Análisis Matemático II para estudiantes de Ciencias é Ingeniería■ Análisis Matemático III para estudiantes de Ciencias é Ingeniería■ Análisis Matemático IV para estudiantes de Ciencias é Ingeniería■ Transformada de Laplacep Sucesiones y Series Infinitas A Geometría Analítica Plana■ Vectores, Matrices y sus Aplicaciones■ Algebra Lineal■ Rectas, Planos y Superficies■ Números Complejos y Polinomios■ Variable Compleja■ Solucionarlo de Makarenko (Ecuaciones Diferenciales)■ Solucionarlo de Análisis Matemático f por Deminovich■ Solucionarío de Análisis Matemático II por Deminovich■ Solucionarlo de Análisis Matemático III por Deminovich■ Solucionarlo de Análisis Matemático !I1 por G. Berman■ Solucionarlo de Leithold 2da. Parte■ Solucionarlo de Matemática para Administración y Economía

de WeberPre - Universitario:■ Trigonometría Plana■ Algebra


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net


Análisis Matemático II – Eduardo Espinoza Ramos – 1ed

Documents

Transcript of Análisis Matemático II – Eduardo Espinoza Ramos – 1ed