Captulo8Seriesnumericas8.1. Denici onyprimeraspropiedadesInformalmente, unaseriees unasumadeinnitos sumandos(ver antecedentes historicosycomentariosen[Apostol1, cap. 10] yen[Dur an, pag. 184ysiguientes]). Talessumasseusanimplcitamente, por ejemplo, al considerar desarrollos decimales ilimitados de los n umeros reales:as, la igualdad73= 2, 333 . . . signica73= 2 +310 +3100 +31000 + . . . ,suma con innitos sumandos de la forma310n,n N. En general, consideraremos una sucesioncualquiera (an) y su suma n=1 an. Que sentido habra que darle a tal suma? La respuesta seimpone de modo natural: n=1 an tiene que ser lmmm

n=1an.Analizando el proceso anterior, se trata, pues, de formar mediante la sucesion de sumandos(an) una nueva sucesion de sumas (sm) dada porsm = a1 + a2 + + am,m N, y determinarel lmite (si existe) de esta ultima sucesion. Esquematicamente:lugar 1 2 3 4 . . . n . . .termino a1a2a3a4. . . an. . .suma a1a1 + a2a1 + a2 + a3a1 + a2 + a3 + a4. . . a1 + + an. . . ?Ahorabien: si, endenitiva, vamosapararal estudiodelaconvergenciadeunasucesion,que novedad vamos a encontrar respecto a lo que ya sabemos de sucesiones? El cambio radica enel punto de partida: tomando como dato la sucesion de sumandos (an), nos planteamos determinarpropiedades de la sucesion de sumas (sn) basandonos en propiedades de los terminosan. Pasemosa formalizar estas ideas.8.1.1. Series: terminos ysumas parciales. Series convergentes, divergentes yoscilantesDenicion 8.1.1. Unaserie

n=1 an es un par ordenado de sucesiones ((an), (sn)) relacionadaspor la condicion de que para cadan N essn = a1 + a2 + + an.El termino n-esimo de la primera sucesion, an, recibe el nombre de terminon-esimodelaserie;el terminon-esimo de la segunda sucesion,sn, recibe el nombre desumaparcial n-esimadelaserie.139rea de Anlisis MatemticoUniversidad de Zaragoza140 CAPITULO8. SERIESNUMERICASDiremos que la serie n=1 an esconvergente,divergentea +o ,uoscilanteseg unsea convergente, divergente a + o , u oscilante la sucesion de sus sumas parciales.Si unaserie n=1 anesconvergente, sellamasumadedichaserieal lmitedelasucesionde sus sumas parciales; si la serie diverge a + (resp., ), se dice que su suma es + (resp.,).Conunabusodenotacionquenosueleconduciraerror,sedenotalasumaconel mismosmbolo que la serie.Nota. A veces es comodo considerar series de la forma n=m an, dondem es un n umero entero:las sumas parciales seran entoncess1 = am,s2 = am + am+1,. . . ,sn = am + + am+n1, . . .Se utiliza tambien la notacionam + am+1 + + an + en vez de n=m an y, cuando no dalugar a confusion, se abrevia en an.Ejemplo(seriesgeometricas). Unaserie n=1 anesunaseriegeometricasiexisteunr Rtal que para todon N esan+1 = r an (oan+1/an = r sia1 = 0); de otro modo, si es de la forma

n=0 a rn. Sisn es su suma parcialn-esima, se tendrasn = a + a r + + a rn1=_a1rn1rsir = 1an sir = 1 .Excluyendo el caso triviala = 0, se sigue:a) si |r| < 1, la serie

n=0arnes convergente y la suma esa1 r;b) sir > 1, la serie es divergente a + (sia > 0) o a (sia < 0);c) sir = 1, la serie es oscilante, aunque las sumas parciales estan acotadas;d) sir < 1, la serie es oscilante y las sumas parciales tienden, en valor absoluto, a +.Ejemplo(seriearmonica). Se denomina as la serie

n=11n.Se comprueba que, para cada n, su suma parcial n-esima, denotada habitualmente por Hn, cumpleHn =n

k=11k n

k=1_k+1kdxx=_n+11dxx= log(n + 1),luego la serie armonica diverge a + a pesar de que lmn1n= 0.El caracter de una serie no cambia si se prescinde de un n umero nito de sumandos (aunqueesto pueda afectar al valor de la suma). Dicho de forma mas precisa,Proposicion8.1.2. Dada una serie n=1 any un enterom > 1, se tiene:a) n=1 anconverge si y solo si converge n=m an. Si convergen, entonces

n=1an =m1

n=1an +

n=man.b) n=1 andiverge a + si y solo si n=m andiverge a +.c) n=1 andiverge a si y solo si n=m andiverge a .8.1. DEFINICIONYPRIMERASPROPIEDADES 141d) n=1 anes oscilante si y solo si n=m anes oscilante.Demostracion. Basta observar que para todop > m esp

n=1an =m1

n=1an +p

n=man,donde m1n=1anesjo(independientede p), yaplicar lasdenicionespreviasylosresultadosconocidos para sucesiones.8.1.2. LinealidaddelaconvergenciadeseriesProposicion8.1.3. Sean n=1 an, n=1 bnseries convergentes. Para cualesquiera, R, laserie n=1(an + bn) es convergente y se tiene

n=1(an + bn) =

n=1an +

n=1bn.Demostracion. Basta tener en cuenta queN

n=1(an + bn) = N

n=1an + N

n=1an.Corolario8.1.4. Si n=1 anconverge y n=1 bnno es convergente, entonces n=1(an + bn) noes convergente.Demostracion. Si la serie n=1(an + bn) convergiera, entonces la serie

n=1bn =

n=1_(an + bn) + (1)an_tambien convergera, seg un la proposicion anterior.Ejemplos. La serie (1/n + 1/2n) no converge, pues 1/n no es convergente y 1/2ns.Sin embargo, al sumar dosseriesnoconvergentes, la suma puede ser tanto convergente comono convergente: examnense los casosan = bn = 1 yan = 1,bn = 1.8.1.3. Seriestelesc opicasProposicion8.1.5. Sean (an) y (bn) dos sucesiones de n umeros reales tales que para todon Nse cumplean = bn bn+1.Entonceslaserie n=1 an(denominadaserietelescopica)esconvergentesiysolosilasucesion(bn) tiene lmite real, en cuyo caso tenemos

n=1an = b1 lmnbn.Demostracion. Basta tener en cuenta que las sumas parciales de la serie n=1 an sonN

n=1an = (b1 b2) + (b2 b3) + + (bN1 bN) + (bN bN+1) = b1 bN+1.142 CAPITULO8. SERIESNUMERICASEjemplo. Sian =1n(n + 1)=1n 1n + 1, entonces la suma parcialN-esima es simplementeSN=N

n=11n(n + 1)=N

n=1_1n 1n + 1_= 1 1N + 1 ,con lo que lmNSN= 1. Es decir, la serie n=1 an converge y su suma es 1:

n=11n(n + 1)= 1 .Ejemplo. Sea ahoraan = log_1 +1n_. La suma parcial de ordenNesN

n=1an =N

n=1log_1 +1n_=N

n=1_log(n + 1) log n_= log(N + 1) log 1 = log(N + 1)y tiende a +. Es decir, la serie

n=1log_1 +1n_ diverge a +.Nota. Toda serie n=1 an se puede ver trivialmente como una serie telescopica: basta ponerb1 = 0, bn+1 = (a1 + a2 + + an) (n N),lo que no a nade nada interesante al estudio de la serie. Como es obvio, el resultado que hemos ob-tenido solo es util cuando la sucesion (bn) es una sucesion conocida, cuyo comportamiento sabemosde antemano.Ejercicio. Escribiendolas como series telescopicas, estudiar las siguientes series:a)

n=112nn + 2n(n + 1)(descomponern + 2n(n + 1)en fracciones simples).b)

n=13nsen3a3n(observese que sen = 3 sen 3 4 sen3a3).c)

n=12n1tg2a2n tga2n1(utilizar que tg =2 tg(/2)1 tg2(/2)).d)

n=1sen12ncos32n(tener en cuenta que cos sen =12[sen( + ) sen( )]).8.1.4. Condici on necesaria para la convergencia de una serie. Condici on generaldeconvergenciadeCauchyProposicion8.1.6(condicionnecesariaparalaconvergenciadeunaserie). Si laserie

n=1 anconverge, necesariamentelmnan = 0.8.2. SERIESDETERMINOSNONEGATIVOS 143Demostracion. Si (sN) es la sucesion de las sumas parciales, es decir,sN=N

n=1an,entonces lmNsN R.ComoaN= sN sN1, se deduce quelmNaN= lmNsN lmNsN1 = 0.Esta condicion no es suciente para la convergencia de una serie: veremos numerosos ejemplosdeseriesnoconvergentescuyasucesiondeterminostiendea0; el massencilloesquizalaseriearmonica

n=11n= 1 + 12 + 13 + +1n + ,ya estudiada.Teorema8.1.7(condicionde Cauchyparalaconvergenciade unaserie). Unaserie

n=1 anes convergente si y solo si para cada > 0 existe unN= N() tal que para cualesquieram,n N conm n > Nse cumplem

k=nak< .Demostracion. La serie es convergente si y solo si lo es la sucesion (sn) de sus sumas parciales, loqueequivaleaque(sn)seadeCauchy, yestoasuvezesesequivalenteaqueparacada>0exista unN= N() tal que para cualesquieram,n N conm n > Nsea |sm sn1| < ; perosm sn1 =m

k=1ak n1

k=1ak =m

k=nak.8.2. Seriesdeterminosnonegativos8.2.1. Convergenciadeunaseriedeterminosnonegativos. Criteriosdecom-paraci onEl estudio del caracter de una serie se simplica cuando esta es de terminos no negativos.Proposicion8.2.1. Sea n=1 anunaserietal quean 0paracadan N.Entonces n=1 anconvergesiysolosilasucesion(sn)desussumasparcialesestaacotadasuperiormente.Encasocontrario, la serie diverge a +.Demostracion. Puesto que para cadan N essn+1 sn = an+1 0,la sucesion (sn) es monotona no decreciente. Luego o bien esta acotada superiormente y converge,o bien no esta acotada superiormente y diverge a +.Este resultado permite deducir en algunos casos la convergencia (o divergencia) de una serie apartir del caracter de otra serie conocida.144 CAPITULO8. SERIESNUMERICASTeorema8.2.2(criteriodecomparacion). Sean n=1 any n=1 bndosseriesyn0 Ndemodoqueparan n0es0 an bn. Si n=1 bnconverge, tambienconverge n=1 an. Enconsecuencia, si n=1 andiverge, n=1 bnes asimismo divergente.Demostracion. Sabemos que n=1 an tiene el mismo caracter que n=n0 an, y que n=1 bn tieneel mismo caracter que n=n0 bn. Denotando por (sn) la sucesion de sumas parciales de n=n0 anypor(tn)lade n=n0 bn, sesiguequeparacadan Nessn tn, luegosi (tn)estaacotadasuperiormente,(sn)estaraacotadasuperiormente.Ysi(sn)noestaacotadasuperiormente,(tn)tampoco puede estar acotada superiormente. Basta aplicar ahora el teorema anterior.Enloslibrosclasicos, el criterioanteriorrecibeel nombredecriteriodelamayoranteydelaminorante, expresandoselarelaciondescritaentrelasseries n=1 any n=1 bndiciendoquelaprimeraestamayoradaporlasegundayqueestaestaminoradaporlaprimera. El criterioseenunciaentoncesenlaformasiguiente: si laseriemayoranteesconvergente, laminoranteesconvergente; si la minorante es divergente, la mayorante es divergente.Lacomparacionentredos series suelehacerseenlapracticaestudiandoel cocientedesusterminos:Corolario 8.2.3 (criterio de comparacion por paso al lmite).Sean

n=1 an,

n=1 bn seriesde terminos no negativos. Supongamos que existelmnanbn= [0, +].a) Si < + y la serie n=1 bnconverge, entonces la serie n=1 antambien converge.b) Si 0 1, entoncesan 0 y la serie n=1 anes divergente.Un complemento interesante del criterio del cociente es el criterio de Raabe.Proposicion8.2.7(criteriodeRaabe). Sea n=1 anunaseriedeterminosnonegativostalque existaR =lmnn(1 an+1an). Entonces:a) SiR > 1, la serie n=1 anes convergente.b) SiR < 1, la serie n=1 andiverge a +.Demostracion. Ver [Garay-Cuadra-Alfaro, teorema 5.28, pags. 101102].8.2.2. Otroscriterios.ConvergenciadealgunasseriesdeterminosnonegativosProposicion8.2.8(criteriointegral). Dadaf: [1, +) [0, +)nocreciente, laintegralimpropia _+1fes convergente si y solo si la serie n=1 f(n) converge. Ademas, existe siempreC = lmn_n

k=1f(k) _n1f_ [0, +)y esn

k=1f(k) =_n1f + C + ncon0 n f(n) lmx+f(x).Demostracion. Para cadan N, pongamossn =n

k=1f(k), tn =_n1f, dn = sn tn.Entoncesdn =n

k=1f(k) n1

k=1_k+1kf= f(n) +n1

k=1_f(k) _k+1kf(x) dx_= f(n) +n1

k=1_k+1k[f(k) f(x)] dx 0.Comodn dn+1 = sn tn sn+1 + tn+1 =_n+1nf(x) dx f(n + 1)=_n+1n[f(x) f(n + 1)] dx 0,se sigue que (dn) es monotona no creciente y acotada inferiormente por 0, con lo que existeC=lmndn [0, +) y, en consecuencia, (sn) y (tn) seran simultaneamente convergentes o divergentes.Puesto quef 0, la convergencia de (tn) equivale asimismo a la de la integral _+1f, luego estaintegral converge si y solo si converge la serie n=1 f(n).146 CAPITULO8. SERIESNUMERICASPor ultimo, para obtener la relacion entresn ytn, observemos que0 dn dn+1 =_n+1nf(x) dx f(n + 1) _n+1nf(n) dx f(n + 1) = f(n) f(n + 1).Reiterando, para cualquier n umero naturalp,0 dn dn+1 f(n) f(n + 1),0 dn+1 dn+2 f(n + 1) f(n + 2),. . .0 dn+p dn+p+1 f(n + p) f(n + p + 1).Al sumar las desigualdades resulta que0 dn dn+p+1 f(n) f(n + p + 1).Pasando al lmite en p, y teniendo en cuenta que lmx+f(x) existe por ser f monotona no creciente,obtenemos0 dn C f(n) lmx+f(x).Si hacemosn = dn C = sn tn C =

nk=1 f(k) _n1f C, hemos probado que0 n f(n) lmx+f(x),lo que completa la demostracion.Aplicaciones. 1.- LaconstantedeEuler. Aplicando los resultados que acabamos de obtenera la funcionfdada porf(x) = 1/x y teniendo en cuenta que_n11x dx = log n,podemos escribir la suma parcialn-esima de la serie armonica comoHn =n

k=11k= log n + + n,donde 0 n 1/n y = lmn_n

k=11k log n_= 0, 5772156649 . . .es un n umero introducido por Euler en 1734 en el estudio de la funcion , denida tambien por el.Euler obtuvo sus dieciseis primeras cifras decimales en 1781; en 1963, Sweeney calculo 3.566 cifras.No se sabe todava si es un n umero racional o irracional (ver [LeLionnais, pag. 28]).2.- LafunciondeRiemann. El criterio integral permite comprobar facilmente que la serie

n=11nsconverge si y solo sis > 1 (ver [Apostol1, ejemplo 1, pag. 485]). La funcion : s (1, +) (s) =

n=11ns R,8.3. SERIESDETERMINOSCUALESQUIERA 147denominada funcionzetadeRiemann, tiene importantes aplicaciones (especialmente en teorade n umeros). Hay expresiones mas o menos sencillas para (2n), n N, pero no para otros valores.Se sabe por ejemplo que (2) =26 , (4) =490. Hasta fechas recientes (R. Apery, 1978) no se habapodido probar siquiera que(3) es irracional: ver [LeLionnais, pag. 36].3.-Serieslogartmicas. Tambien mediante el criterio integral se prueba que la serie

n=21n(log n)sconverge si y solo sis > 1 (ver [Apostol1, pag. 486]).Por comparacion con las series anteriores se deducen inmediatamente los siguientes criterios deconvergencia.Proposicion 8.2.9 (criterio de Pringsheim). Sea n=1 an una serie de terminos no negativostal que para alg un R existe el lmitelmnnan = [0, +].Entonces:a) Si > 1 y < +, la serie n=1 anconverge.b) Si 1 y > 0, la serie n=1 andiverge (a +).Proposicion 8.2.10 (criterios logartmicos). Sea n=1 anuna serie de terminos no negativostal que existe alguno de los dos lmitesA =lmnlog anlog n,B =lmnlog(nan)log(log n). Entonces:a) SiA > 1, la serie n=1 anes convergente; siA < 1, diverge a +.b) SiB> 1, la serie

n=1 anes convergente; siB< 1, diverge a +.8.3. Seriesdeterminoscualesquiera8.3.1. Seriesalternadas:criteriodeLeibnizProposicion 8.3.1 (criterio de Leibniz). Sea n=1 xnuna serie alternada, es decir, una serietal que para cadan N esxn = (1)n+1anconan 0. Si (an) es una sucesion no creciente conlmite 0, entonces la serie n=1 xn =

n=1 (1)n+1anes convergente. Ademas, denotando consnla suma parcialn-esima de la serie y cons su suma, se verican para todon N las desigualdades0 (1)n(sn+2 sn) an+1, (8.1)0 (1)n(s sn) an+1. (8.2)Nota.De (8.1) se sigue que las sumas de orden par forman una sucesion no decreciente y las sumasde orden impar una sucesion no creciente. Las desigualdades (8.2) pueden interpretarse del siguientemodo: si tomamossncomo valor aproximado des, el error que cometemos es menor o igual que|an+1|, de modo que si (an) converge rapidamente a 0 , obtenemos una buena aproximacion dela suma mediante una suma parcial de pocos terminos.Demostracion. Observese que dadok N, la diferencia(s2k+1 s2k1) = a2k a2k+1148 CAPITULO8. SERIESNUMERICASes mayor o igual que 0 por ser (an) decreciente, y menor o igual quea2kpor sera2k+1 0, lo queda (8.1) en el cason = 2k 1. Paran = 2k ess2k+2 s2k = a2k+1 a2k+2,queanalogamenteesmayoroigualque0ymenoroigualquea2k+1,loquecompletalapruebade(8.1)paratodosloscasos.Ademas,hemosobtenidoque(s2k)esunasucesionnodecreciente.Comos2k = a1 [(a2 a3) + + (a2k2 a2k1) + a2k] a1,(s2k) esta acotada superiormente, luego es convergente. Seas su lmite. Puesto ques2k1 = s2k + a2kya2k 0, resulta quelmks2k1 = lmk(s2k + a2k) = lmks2k + lmka2k = s + 0 = s.Esdecir: tantolasubsucesiondeterminosparescomoladeterminosimparesde(sn)soncon-vergentesconlmites. Estopermitearmarque(sn)esconvergenteconlmites, esdecir, que

+n=1 xn = s.Finalmente, puesto que para cadan N ess = x1 + + xn ++

k=n+1xk = sn ++

k=n+1(1)k+1ak,se sigue que(1)n(s sn) =+

k=n+1(1)n+k+1ak= an+1 an+2 + lmm[(an+3 an+4) + + (an+2m+1 an+2m+2)] an+1 an+2 0y que(1)n(s sn) =+

k=n+1(1)n+k+1ak= an+1 lmm[(an+2 an+3) + + (an+2m an+2m+1)] an+1,lo que prueba (8.2).Ejemplo. La serie armonica alternada

n=1(1)n1nes convergente. Ademas, su suma se calcula facilmente utilizando la constante de Euler. En efecto:para cadan N, sumando y restando terminos, se tiene2n

k=1(1)k+1k= 1 12 + 13 14 + +12n 1 12n= 1 + 12 + 13 + 14 + +12n 1 +12n 2_12 + 14 + +12n_= H2n Hn = log 2n + + 2n log n n = log 2 + 2n n.8.3. SERIESDETERMINOSCUALESQUIERA 149Como sabemos ya que la serie armonica alternada es convergente, podemos escribir:+

k=1(1)k+1k= lmmm

k=1(1)k+1k= lmn2n

k=1(1)k+1k= log 2.Ejemplo. La serie

n=2(1)nlog nnes convergente. En efecto, es facil comprobar que la funcion f(x) =log xxes decreciente en [3, +)(porejemplo, calculandof

). Ademas,log nn0ylog nn0. Deaqu sededucequelaserie

n=3(1)nlog nnconverge.8.3.2. SeriesabsolutamenteconvergentesDenicion 8.3.2.Una serie n=1 an se dice absolutamenteconvergentesi la serie n=1|an|es convergente.El ejemplo mas sencillo de serie convergente que no converge absolutamente es la serie armonicaalternada.Observacion.Una serie obtenida mediante combinacion lineal de series absolutamente convergen-tes es absolutamente convergente (ver [Apostol1, pag. 496]).Denicion8.3.3. Para un n umero real cualquierax, escribamosx+= max{x, 0}, x = max{x, 0}.Es facil comprobar que |x| = x++ x,x = x+x,x+ 0,x 0.Proposicion8.3.4. Toda serie absolutamente convergente es convergente: dicho de otro modo, si

n=1|an| converge, entonces la serie n=1 antambien converge. Y en ese caso,

n=1an

n=1|an|.Demostracion. Con la notacion anterior,0 a+n |an|, 0 an |an|,luego las dos series n=1 a+ny n=1 anconvergen. Como an = a+n an, la serie n=1 an tambienconverge. Ademas, para cadan Nn

k=1akn

k=1|ak|,por la desigualdad triangular. Pasando al lmite (una vez que ya sabemos que las dos series con-vergen),

k=1ak

k=1|ak|.150 CAPITULO8. SERIESNUMERICASProposicion8.3.5. (a) Siunaserie n=1 anconvergeperolaserie n=1|an|divergea+,entonces las dos series n=1 a+ny n=1 andivergen a +.(b) Unaserie n=1 anes absolutamenteconvergentesi ysolosi sonconvergentes las series

n=1 a+ny n=1 an; y entonces se tiene

n=1an =

n=1a+n

n=1an.Demostracion. a) Para cadan se tiene |an| = a+n+ anyan = a+n an, luego|an| = 2a+n an, |an| = 2an+ an.Comolaserie n=1 anconverge,deestasdos ultimasigualdadessededucequesialgunadelasdos series n=1 a+ny n=1 anconverge, entonces la serie n=1|an| converge tambien.b) Para cadan, 0 a+n |an| y 0 an |an|. Luego si la serie n=1|an| converge, las dos series

n=1 a+ny n=1 anconvergentambien.Recprocamente,siestasdosseriesconvergen,entoncesla serie n=1|an| tambien converge, porque |an| = a+n+ an. Y en ese caso, comoan = a+n ansededuce que

n=1an =

n=1a+n

n=1an.8.3.3. Criterios generales de Cauchy (de la raz) y de DAlembert (del cociente)Loscriteriosyavistossobreconvergenciadeseriesdeterminosnonegativossetraducendemanera obvia en criterios de convergencia absoluta para series de terminos cualesquiera. As:Proposicion8.3.6(criteriodelarazodeCauchy). Sea n=1 anunaserietal queexisteR =lmnn_|an|. Entonces:a) SiR < 1, la serie n=1 anconverge absolutamente.b) SiR > 1, entoncesan 0 y la serie n=1 anno es convergente.Demostracion. a)SupongamosqueR 1 (funcion zetade Riemann). En particular(2) =

n=11n2=26, (4) =

n=11n4=490.Reordenadasdelaseriearm onicaalternadaEn algunos casos pueden hallarse expresiones simplicadas de ciertas sumas parciales en termi-nos deHn, y deducir as el comportamiento de la serie.SeriesquesereducenalaexponencialPartiendode que paratodo xRes

n=0xnn!=ex, se puedensumar series de laforma

P(n)n!xn, dondePes un polinomio de gradom, sin mas que reescribirP(n) = a0n(n 1) (n m + 1) + a1n(n 1) (n m + 2) + + am1n + ampara coecientesa0, . . . ,am adecuados, y observar quen(n 1) (n k)n!=1(n k 1)!,sin > k.Bibliografa[Apostol1] Apostol,T.M.: Calculus,vol.I (segunda edicion). Reverte, Barcelona,1989. Citado en la(s) pagina(s) 139, 146, 147, 149, 151[Dur an] Duran, A. J.: Historia, con personajes, de los conceptos del calculo. Alian-za, Madrid, 1996. Citado en la(s) pagina(s) 139[Garay-Cuadra-Alfaro] Garay, J. - Cuadra, J. L. - Alfaro, M.: Una introduccion al calculo in-nitesimal. Edicion de los autores, Zaragoza, 1974. Citado en la(s) pagina(s)145, 153[LeLionnais] Le Lionnais, F.: Les nombres remarquables. Hermann, Paris, 1983. Citadoen la(s) pagina(s) 146, 147[Ortega] Ortega, J. M.:Introduccional AnalisisMatematico.Labor, Barcelona,1995. Citado en la(s) pagina(s) 153155rea de Anlisis MatemticoUniversidad de Zaragozaanalisis@unizar.es