Problemes de SERIES · XB Apuntes Series XB Apuntes Tema : Series numéricas. Problemas 2 PROBLEMAS...

Tema : Series numéricas. Problemas

Apuntes

Apuntes

Problemas resueltos

Series Numéricas

Ximo BeneytoXimo BeneytoXimo BeneytoXimo Beneyto3

Genius, a good idea in Maths Genius, a good idea in Maths Genius, a good idea in Maths Genius, a good idea in Maths

XB

Apuntes

Series

XB Apuntes

Tema : Series numéricas. Problemas 2

PROBLEMAS RESUELTOS1. De una serie conocemos el término general de su suma parcial de orden "n", .

Se pide :

1.1. Hallar an y formar la serie

1.2. Hallar la suma de los 100.000 primeros términos de la sucesión

1.3. Estudiar si la serie es CONVERGENTE y hallar su SUMA.

1.1.- ¿ an ?

Recordemos la relación entre Sn y an

a1 = S1 =

[ Observa que en el segundo sumatorio, sumamos desde n = 2 ]

1.2.- ¿ ?

Interpretando Sn como la suma de los n primeros términos de Y

1.3.- ¿ CONVERGENCIA ? ¿ SUMA ?

Como es CONVERGENTE y su SUMA es 4.

S)))))))))))))))))))))))))))))))Q ËËËËËË S)))))))))))))))))))))))))))))))Q

XB

Apuntes

Series

XB Apuntes


2. De una serie sabemos el término general de su suma parcial de orden "n", .

Se pide :

2.1. Hallar an y formar la serie

2.2. Hallar la suma de los 100.000 primeros términos de la sucesión

2.3. Estudiar si la serie es CONVERGENTE y hallar su SUMA.

1.1.- ¿ an ?

Operando como en el problema anterior :

a1 =

1.2.- ¿ ?

1.3.- ¿ CONVERGENCIA ? ¿ SUMA ?

Y es CONVERGENTE y su SUMA es 1

XB

Apuntes

Series

XB Apuntes


S)))))))))))))))))))))))))))))))Q ËËËËËË S)))))))))))))))))))))))))))))))Q

3. Estudiar el carácter de la Serie

[ Criterio de D' Alembert ( Serie de términos positivos )]

Sea

Y La Serie DIVERGE

S)))))))))))))))))))))))))))))))Q ËËËËËË S)))))))))))))))))))))))))))))))Q



Y La Serie CONVERGE

[ Observa : (2n +1) ! = ( 2n+1 ) A (2n) A ( 2n-1)! ]

S)))))))))))))))))))))))))))))))Q ËËËËËË S)))))))))))))))))))))))))))))))Q

XB

Apuntes

Series

XB Apuntes




[ Si bn = 1 A 5 A 9 A ... A ( 4n - 3 ) Y bn+1 = 1 A 5 A 9 A ... A ( 4n - 3 ) ( 4n + 1 ) ¡ Ojo! ]

S)))))))))))))))))))))))))))))))Q ËËËËËË S)))))))))))))))))))))))))))))))Q



[ Observa : 5n+1 = 5n A 5 ]

Y La Serie CONVERGE

S)))))))))))))))))))))))))))))))Q ËËËËËË S)))))))))))))))))))))))))))))))Q

7. Estudiar según r 0000 úúúú el carácter de la Serie

Se trata de una Serie de términos cualesquiera, pues r 0 ú . Estudiemos su convergencia absoluta.

XB

Apuntes

Series

XB Apuntes


[ Criterio de D' Alembert ]

Sea

Y La Serie es ABSOLUTAMENTE CONVERGE Y Es CONVERGENTE œ r 0 ú

S)))))))))))))))))))))))))))))))Q ËËËËËË S)))))))))))))))))))))))))))))))Q

8. Estudiar según los valores de x 0000 úúúú la naturaleza de la Serie

Si x 0 ú Y es una Serie de Términos cualesquiera . Estudiemos la convergencia

absoluta. Aplicando el Criterio de D' Alembert a la serie en valor absoluto:

Sea

Hagamos unas consideraciones sobre el valor de x.

i) Si

i.1) Si x = 1 Y

Sustituyendo en la serie original queda : . Aplicando ahora la Condición necesaria de

Cauchy, tenemos :

Y La Serie DIVERGE para x = 1

XB

Apuntes

Series

XB Apuntes


i.2) Si x = -1 Y

Sustituyendo en la serie original queda : . Aplicando de nuevo la Condición necesaria

de Cauchy, tenemos :

Y La Serie DIVERGE para x = -1

ii) Si .

Aplicando ahora la condición necesaria de Cauchy , sustituyendo x / *x* < 1 en la Serie:

Y La Serie DIVERGE para *x* < 1

iii) Si

iii.1) Si x > 1 Y Y

La Serie CONVERGE

iii.2) Si x < -1

S)))))))))))))))))))))))))))))))Q ËËËËËË S)))))))))))))))))))))))))))))))Q

9. Estudiar según los valores de a 0000 úúúú, a > 0 el carácter de la Serie y aplicar el

resultado obtenido para estudiar el carácter de las series

Se trata de una Serie de términos positivos œ a > 0, apliquemos el criterio de convergencia del

cociente ( D'Alembert)

XB

Apuntes

Series

XB Apuntes


[

Observa : ( n+1 )! = (n+1) A n! ; ( n+1)n+1 = (n+1)n A (n+1) ]

Aplicando las condiciones del criterio del cociente, tenemos :

i) si < 1 a < e Y La serie CONVERGE

ii) si > 1 a > e Y La serie DIVERGE

iii) si = 1 a = e Y DUDA ?

Resolvamos el caso DUDA ( a = e )

Sustituyendo en la serie original, quedará :

Comprobemos la condición de convergencia de Cauchy.

Y DIVERGE

XB

Apuntes

Series

XB Apuntes


Resumiendo, la serie œ a > 0

¿ Carácter ?

Observando el estudio anterior, tomando a = 3, como 3 > e Y La Serie Diverge

¿ Carácter ?

Razonando como anteriormente, tomando a = 2, como 2 < e Y La Serie Converge

[ Nota : Recordemos que e . 2,71828182 ]



<

XB

Apuntes

Series

XB Apuntes


Y Y La Serie DIVERGE

S)))))))))))))))))))))))))))))))Q ËËËËËË S)))))))))))))))))))))))))))))))Q

11. Estudiar según los valores de x 0 ú la naturaleza de la Serie

Como x 0 ú, es una Serie de Términos cualesquiera . Estudiemos la convergencia absoluta.

Aplicando el Criterio de D' Alembert a la serie :

i) Si x = 0

Obtenemos la serie , que es una serie convergente, œ n 0 ù y

CONVERGE

ii) Si x … 0

Estudiemos la Convergencia absoluta aplicando el criterio del cociente ( D'Alembert )

œ x 0 ú

Y La serie es Absolutamente Convergente Y La serie es CONVERGENTE.

Por tanto, es CONVERGENTE œ x 0 ú

S)))))))))))))))))))))))))))))))Q ËËËËËË S)))))))))))))))))))))))))))))))Q

12. Estudiar según los valores de a 0 ú, a > 0 el carácter de la Serie

Se trata de una Serie de términos positivos œ a > 0, apliquemos el criterio de convergencia del

cociente ( D'Alembert)

XB

Apuntes

Series

XB Apuntes


[ Mira aquí : ( 2n + 2 ) ! = ( 2n+2) ( 2n+1) (2n)! ; (n!)2 = (n!) A (n!) ]

Si aplicamos la conclusión del criterio :

si < 1 Y a < 4 Y La Serie Converge

si > 1 Y a > 4 Y La Serie Diverge

si = 1 Y a = 4 Y DUDA

Resolvamos la duda sustituyendo a = 4 en la Serie Original

Apliquemos el criterio de Raabe aprovechando el último cociente del criterio de D'Alembert

Y La serie diverge.

Resumiendo, La Serie :

XB

Apuntes

Series

XB Apuntes


Y Converge si 0 < a < 4

Y Diverge si a $ 4 [ Pregunta : ¿ De dónde hemos obtenido 4n2 + 8n + 4 ?]


Se trata de una Serie Alternada, optemos por estudiar la convergencia absoluta.

Sea pues la serie de términos positivos :

. Apliquemos el criterio de la raíz ( Cauchy ):

Dividiendo por "n" numerador y denominador

Y La serie es CONVERGENTE

es ABSOLUTAMENTE CONVERGENTE Y

es CONVERGENTE

[ Recordemos que toda serie absolutamente Convergente, es Convergente ]

S)))))))))))))))))))))))))))))))Q ËËËËËË S)))))))))))))))))))))))))))))))Q

14. Estudiar según los valores de x 0 ú la naturaleza de la Serie

Si x 0 ú, es una Serie de Términos cualesquiera . Estudiemos la convergencia absoluta.

i) Si x = -1. Sustituyendo queda la Serie nula que es una Serie convergente, tal como

hemos visto.

ii) Si x … -1

XB

Apuntes

Series

XB Apuntes


Apliquemos el criterio del COCIENTE

Aplicando las conclusiones de convergencia del criterio tenemos :

Y Si < 1 Y * x + 1 * < 3 Y -3 < x+1 < 3 Y -4 < x < 2 Y La Serie Converge

Y Si = 1 Y * x + 1 * = 3 Y DUDA

Y Si > 1 Y La serie diverge

Estudiemos las DUDAS:

6 Si x = -4 sustituyendo en la serie obtenemos :

Serie alternada que es fácil comprobar que converge (Criterio de Leibniz, ¡típico además!)

[ Mira : (-3)n = (-1)n A 3n ]

6 Si x = 2 Operando de igual forma :

Serie de términos positivos (Serie armónica) , divergente ( Criterio de Pringsheim " = 1 )

Resumiendo, la serie

< Es absolutamente convergente y, por tanto, CONVERGENTE si -4 # x < 2

< Es absolutamente divergente y, por tanto, DIVERGENTE si x < 4 ó x $ 2

[ No olvidemos que la divergencia absoluta (estudiada mediante criterio del cociente) implica

divergencia ]

S)))))))))))))))))))))))))))))))Q ËËËËËË S)))))))))))))))))))))))))))))))Q

XB

Apuntes

Series

XB Apuntes



Se trata de una Serie de términos positivos . Aplicando el criterio de la Raíz ( Cauchy ) :

Separando “astutamente” los límites :

Y La Serie CONVERGE

S)))))))))))))))))))))))))))))))Q ËËËËËË S)))))))))))))))))))))))))))))))Q


Se trata de una Serie de términos positivos . Antes de decidir qué criterio aplicar, una

reflexión interna quedaría indecisa ante la estructura de an, un poco exponencial, un poco

polinómica... Sin embargo, hay un bloque dominante y ese es y, por ese camino lo

vamos a intentar por comparación por paso al límite.

Comparemos con serie Geométrica Convergente pues

XB

Apuntes

Series

XB Apuntes


Sea, pues,

Como la serie es convergente, aplicando el criterio de comparación

Y la Serie Converge. Bueno, ¡ Tampoco era tan complicada !

[ Todos los límites de la fracción resultante al dividir por 3n y 5n dan cero mediante la técnica de

Stolz explicada en el tema de Sucesiones ]

S)))))))))))))))))))))))))))))))Q ËËËËËË S)))))))))))))))))))))))))))))))Q


Intentemos, en primer lugar la convergencia absoluta

Aplicando el criterio de Pringsheim :

Sea " 0 ú /

Y La Serie Diverge en valor absoluto

Y La serie alternada no podemos afirmar nada. Apliquemos ahora directamente el criterio de

Leibniz a la serie alternada

XB

Apuntes

Series

XB Apuntes


i) ¿ ?

ii) ¿ es monótona creciente ?

Y la Serie

Converge


Al llevar expresiones trigonométricas en su término general, cualquier criterio que apliquemos

nos va a llevar a un límite de difícil cálculo. Intentaremos el criterio de comparación, pues las

funciones trigonométricas se suelen acotar con cierta facilidad.

Utilizando el Criterio de Comparación

[ Pues 1 + sen2 n $ 1 œ n ]

Utilizando el Criterio de Pringsheim

" = 2 Y La serie CONVERGE Y CONVERGE

S)))))))))))))))))))))))))))))))Q ËËËËËË S)))))))))))))))))))))))))))))))Q

XB

Apuntes

Series

XB Apuntes


19. Estudiar el carácter de la Serie según valores de " 0 ú

Utilizando el Criterio de Pringsheim (Serie de términos positivos)

Y p = " - 3

Si " - 3 > 1 Y la Serie Converge Y " > 4

Si " - 3 # 1 Y la Serie Diverge Y " # 4

Si " > 4 Y Serie Convergente

Si " # 4 Y Serie Divergente

[ Fácil y sencillo !!. Pringsheim es muy práctico en las expresiones polinómicas ]

S)))))))))))))))))))))))))))))))Q ËËËËËË S)))))))))))))))))))))))))))))))Q

20. Estudiar el carácter y la suma de la Serie

Como se trata de una Serie Geométrica

TÉRMINOS 1,

Serie Geométrica Y Como < 1 Y La serie Converge

SUMA a1 = 1 Y Y

S)))))))))))))))))))))))))))))))Q ËËËËËË S)))))))))))))))))))))))))))))))Q


XB

Apuntes

Series

XB Apuntes


[ Observa que hemos separado la Serie como suma de dos Series ]

CARÁCTER

a) Serie Geométrica Y La serie Converge

b) Serie Geométrica Y La serie Converge

Y La serie es Convergente

SUMA

a)

b)

S = Sa + Sb = Y

[ ha sido buena idea separar la Serie en dos Series auxiliares geométricas ]


XB

Apuntes

Series

XB Apuntes


Preparemos un poco el término general operando sobre el [ (-1)2n = [(-1)2 ]n = 1n = 1 ]:

se trata de una Serie de Geométrica

TÉRMINOS

CARÁCTER Serie Geométrica Y La serie Converge

SUMA

Y

S)))))))))))))))))))))))))))))))Q ËËËËËË S)))))))))))))))))))))))))))))))Q


[ Observa que hemos separado la Serie como suma de dos Series]

CARÁCTER

XB

Apuntes

Series

XB Apuntes


a) Serie Geométrica Y La serie Converge

b) Serie Geométrica Y La serie Converge

Y La serie es Convergente al ser Suma de Series Convergentes.

SUMA

Sumando ambas como Series Geométricas.

a)

b)

S = Sa + Sb = Y

S)))))))))))))))))))))))))))))))Q ËËËËËË S)))))))))))))))))))))))))))))))Q


Y Se trata de una Serie Geométrica.

TÉRMINOS

Serie Geométrica Y Como < 1 Y < 1 Y La serie Converge

XB

Apuntes

Series

XB Apuntes


SUMA a1 = Y Y

S)))))))))))))))))))))))))))))))Q ËËËËËË S)))))))))))))))))))))))))))))))Q


CARÁCTER [ Aplicando el criterio de Pringsheim, an es un COCIENTE DE POLINOMIOS

]

La Serie es CONVERGENTE

SUMA. Aplicaremos la técnica de descomposición de an, en este caso al ser un cociente de

polinomios, efectuaremos una descomposición en suma de fracciones simples.

Raíces del denominador : n3 + n2 - 2n = 0 Y

Propongamos

XB

Apuntes

Series

XB Apuntes


Como era , el primer valor que damos a n es n = 2

XB

Apuntes

Series

XB Apuntes


< n = 2 6

< n = 3 6

< n = 4 6

< n = 5 6

< n = 6 6

AAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAA

< n = n-2 6

< n = n-1 6

< n = n 6

Sumando )))))))))))))))))))))))

Observamos que los términos

cuyo denominador es el mismo en los tres

sumandos, se van cancelando, ya que los

numeradores suman cero.

[ ¡ Ojo ! Puede ser una buena idea

para sumar, cuando se descompone an en

fracciones simples ]

Tomando límites :

[ Un poco " durilla " para ser la primera serie que sumamos

mediante esta técnica ]

XB

Apuntes

Series

XB Apuntes


S)))))))))))))))))))))))))))))))Q ËËËËËË S)))))))))))))))))))))))))))))))Q

26. Estudiar el carácter y, en caso de ser convergente, obtener la suma de la Serie

CARÁCTER [ Aplicando el criterio de Pringsheim ]

¡ Bueno, sí, hemos cambiado " por p, pero no importa, enriquecemos un poco nuestra operativa !


SUMA A primera vista, la estructura de an no nos permite identificar la suma de esta serie

con ninguno de los tipos que conocemos. No obstante, por eliminación de las

demás técnicas, vamos a tratar de hacer una descomposición en factores. Para ello,

vamos a trabajar un poco sobre el término General.

Hemos llegado, pues, a una serie telescópica

Asignando valores a n

XB

Apuntes

Series

XB Apuntes


[ Observa que los términos con el mismo denominador se van cancelando entre sí al efectuar la

suma pues tienen signo contrario ]

S)))))))))))))))))))))))))))))))Q ËËËËËË S)))))))))))))))))))))))))))))))Q


CARÁCTER [ Serie de términos positivos. Aplicando el criterio de Pringsheim ]


SUMA Mediante descomposición de an en suma de fracciones simples :

Raíces del denominador Y n3 + 5n2 + 6n = 0 Y

4

XB

Apuntes

Series

XB Apuntes


Operando e igualando numeradores, pues el denominador es el mismo

<

<

<

<

<

AAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAA

<

<

<

Sumando :

Los términos con el mismo

denominador en los tres sumandos

se van cancelando al sumar cero

sus numeradores.

[ Fíjate que hemos dejado los

valores de A, B, C en el numerador

sin operar la fracción resultante,

para que se "vean" mejor los

términos que se cancelan entre sí ]

Tomando límites :

Y

XB

Apuntes

Series

XB Apuntes


[ Supongo que te ha resultado más sencillo ]

S)))))))))))))))))))))))))))))))Q ËËËËËË S)))))))))))))))))))))))))))))))Q


CARACTER [ Serie de términos positivos. Aplicando el criterio de Pringsheim ]


SUMA Por descomposición . Aplicando la Suma por descomposición de an en suma de

fracciones simples :

[ Mira esta nueva forma de hallar los coeficientes indeterminados ]

¿ Qué te ha parecido ? Se llama método de coeficientes indeterminados (MCI) y consiste en

XB

Apuntes

Series

XB Apuntes


igualar los coeficientes de los términos del mismo grado de cada uno de los polinomios situados a cada

lado del símbolo “igual”.

Dando valores a "n" :

S)))))))))))))))))))))))))))))))Q ËËËËËË S)))))))))))))))))))))))))))))))Q




SUMA ¿ Es Hipergeométrica ?

XB

Apuntes

Series

XB Apuntes


es Hipergeométrica

Al ser Hipergeométrica y convergente

[ También podíamos haber sumado mediante descomposición de an en suma de fracciones simples

]

S)))))))))))))))))))))))))))))))Q ËËËËËË S)))))))))))))))))))))))))))))))Q


CARÁCTER: [ Serie de términos positivos. Aplicando el criterio de Pringsheim ]


[ ¡ Vaya sorpresa ! emplear el criterio de Pringsheim en la convergencia de esta serie ]

SUMA: Preparemos an

[ Aplicando las propiedades de los logaritmos ]

XB

Apuntes

Series

XB Apuntes


Dando valores a "n"

Y

S)))))))))))))))))))))))))))))))Q ËËËËËË S)))))))))))))))))))))))))))))))Q




SUMA por descomposición de an en suma de fracciones simples :

XB

Apuntes

Series

XB Apuntes


Sumando todo

Tomando Y Y

Observa esta " variante " en la suma Sn para no especificar todos los términos ]

32. Estudiar el carácter y, en caso de ser convergente, la suma de la Serie


XB

Apuntes

Series

XB Apuntes



SUMA propongamos una descomposición en factores :

Sea pues

Igualando numeradores ( pues los denominadores son iguales )

y asignando valores a "n "

6 si n = 1

6 si n = 2

6 si n = 3

6 si n = 4

AAAAAAAAAAAAAAAAA

6 si n = n-2

XB

Apuntes

Series

XB Apuntes


6 si n = n-1

6 si n = n

Sumando y simplificando los elementos que son iguales pero con signo distinto

Tomando límites :

S)))))))))))))))))))))))))))))))Q ËËËËËË S)))))))))))))))))))))))))))))))Q




SUMA ¿ Es hipergeométrica ?

XB

Apuntes

Series

XB Apuntes


Al ser hipergeométrica y convergente

S)))))))))))))))))))))))))))))))Q ËËËËËË S)))))))))))))))))))))))))))))))Q





Al ser Hipergeométrica y Convergente

S)))))))))))))))))))))))))))))))Q ËËËËËË S)))))))))))))))))))))))))))))))Q



XB

Apuntes

Series

XB Apuntes




Al tratarse de una serie convergente su suma es :

Veamos a continuación como hubiera sido la suma mediante una descomposición en factores :

Igualando numeradores :

Asignando valores a "n" a ambos lados de la igualdad :

6 Si n = -2 2 = 2 A Y A = 1

6 Si n = -3 2 = -B Y B = -2

6 Si n = -4 2 = 2 C Y C = 1

Por lo tanto,

Así, pues,

XB

Apuntes

Series

XB Apuntes


[

Obviamente, en esta serie, la suma como hipergeométrica resultaba mucho más sencilla, pero bueno,

comparamos métodos y consolidamos técnicas. ¡Todo positivo!

S)))))))))))))))))))))))))))))))Q ËËËËËË S)))))))))))))))))))))))))))))))Q


6 Antes de empezar, busquemos el término general al cual obedecen en los términos de la serie.

No es difícil comprobar que:

1, 3, 5, 7, .... Y 2n - 1

3, 5, 7, 9, .... Y 2n + 1

5, 7, 9, 11,.... Y 2n + 3

Por tanto, la serie queda:


XB

Apuntes

Series

XB Apuntes



SUMA

Ante la doble opción para obtener la Suma de la serie, optamos por ... las dos.

¿ Es hipergeométrica ?

Como :

Al tratarse de una serie convergente su suma es :

Veamos a continuación como hubiera sido la suma mediante una descomposición en factores :

Igualando numeradores :

Asignando valores a "n" a ambos lados de la igualdad :

6 Si n = 1 = 8 A Y A =

6 Si n = - 1 = -4B Y B =

6 Si n = 1 = 8 C Y C =

XB

Apuntes

Series

XB Apuntes


Y asignando valores a "n" :

[Observa que en la suma se anulan los términos con el mismo denominador a partir de denominador igual

a 5.]

[Por ambos métodos hemos llegado bien a la suma. Como siempre un poco más sencillo si la Serie es

Hipergeométrica, sumándola como tal ]

37. Estudiar carácter y suma de según valores de p, y, en particular

obtener el carácter y la suma de

CARÁCTER ( Serie de términos positivos œ p 0 ù ) Aplicando el criterio de Pringsheim ]

XB

Apuntes

Series

XB Apuntes


Aplicando sobre " el criterio de Pringsheim :

6 Si " > 1 Y p > 1 Y La Serie Converge

6 Si " # 1 Y p # 1 Y La Serie Diverge

SUMA œ p > 1 p 0 ù

Comprobamos si se trata de una Serie Hipergeométrica

Como

Al ser convergente su suma es :

En particular, para observamos que se trata de la Serie anterior para p = 3

CARÁCTER

Como p = 3 > 1 Y La Serie Converge

SUMA. Tomando en la expresión de suma p = 3 Y

XB

Apuntes

Series

XB Apuntes


38. Estudiar carácter y suma de

CARÁCTER ( Serie de términos positivos ) Aplicando el criterio de D'Alembert]

Y La Serie Converge

SUMA. Claramente, an tiene la forma adecuada para obtener la Suma de la Serie como

Aritmético-Geométrica, es decir, , apliquemos pues esta técnica

Tomando límites :

XB

Apuntes

Series

XB Apuntes



CARÁCTER ( Serie de términos positivos ) Aplicando el criterio de D'Alembert]

Y

La Serie Converge

SUMA. Sumando como Serie Aritmético-Geométrica

Tomando Límites :

XB

Apuntes

Series

XB Apuntes


[ NOTA : mediante Stolz, aplicándolo dos veces ]

[ Observa que al ser el polinomio del numerador de 2º grado hemos aplicado la técnica de suma de

series Aritmético-Geométricas dos veces]

S)))))))))))))))))))))))))))))))Q ËËËËËË S)))))))))))))))))))))))))))))))Q


CARÁCTER ( Se trata de una Serie Alternada) . Ante la doble opción que tenemos para su

estudio de convergencia ( Leibniz, Convergencia Absoluta ), elegimos la convergencia absoluta. ]

Mediante el Criterio del Cociente (D'Alembert)

es CONVERGENTE

Así es ABSOLUTAMENTE CONVERGENTE

XB

Apuntes

Series

XB Apuntes


es CONVERGENTE

SUMA

Sumemos por el procedimiento de la Serie Aritmético-Geométrica

Aplicando límites :

S)))))))))))))))))))))))))))))))Q ËËËËËË S)))))))))))))))))))))))))))))))Q


CARÁCTER (Como an > 0 œ n 0 ù Y Es una Serie de Términos positivos. Apliquemos el

criterio de D'Alembert)

XB

Apuntes

Series

XB Apuntes


Y

La serie CONVERGE

SUMA

En principio, an no se ajusta a ninguno de los modelos de suma conocidos. Preparemos el término

general...:

Estudiemos cada una de las Series obtenidas por separado :

Y 31 Se trata de una Serie Geométrica, demos algunos términos :

Y 32 Se trata de una Serie Aritmético-Geométrica, Apliquemos la técnica adecuada.

[ Para no abusar de notación fraccionaria, llamaremos a = 5/2 ]

XB

Apuntes

Series

XB Apuntes


[ ¡ Bonita suma !, ¿ eh ? ]

S)))))))))))))))))))))))))))))))Q ËËËËËË S)))))))))))))))))))))))))))))))Q


2n es PAR, œ n 0 ù Y (-1)2n = 1, œ n 0 ù

Y

CARÁCTER es una Serie de términos positivos.

Apliocando el criterio de D'Alembert :

Y

La Serie CONVERGE

SUMA. Serie Aritmético-Geométrica. Apliquemos la técnica adecuada:

XB

Apuntes

Series

XB Apuntes


Tomando límites :

S)))))))))))))))))))))))))))))))Q ËËËËËË S)))))))))))))))))))))))))))))))Q


CARÁCTER: La Serie dada, se puede descomponer como una resta de dos series así :

Estudiemos cada una de ellas por separado :

Serie de términos positivos. Por D'Alembert :

Y

XB

Apuntes

Series

XB Apuntes


La Serie CONVERGE

SUMA. Apliquemos la técnica adecuada para sumar la Serie Aritmético-Geométrica

Tomando límite :

Serie de términos positivos. Apliquemos el criterio de Pringsheim

Y La Serie CONVERGE

Propongamos una descomposición del término general en SUMA de fracciones según las raíces

del denominador

XB

Apuntes

Series

XB Apuntes


Asignando valores a "n" ( “Hábil e inteligentemente” seleccionados )

6 Si n = -2 1 = A Y A = 1

6 Si n = -3 1 = -B Y B = -1

Refundiendo los resultados :

CARÁCTER es CONVERGENTE

SUMA

NOTA : La serie también es Hipergeométrica pues

XB

Apuntes

Series

XB Apuntes


Y al ser CONVERGENTE su suma es

“That’s all”

Problemes de SERIES · XB Apuntes Series XB Apuntes Tema : Series numéricas. Problemas 2 PROBLEMAS...

Documents

Transcript of Problemes de SERIES · XB Apuntes Series XB Apuntes Tema : Series numéricas. Problemas 2 PROBLEMAS...