2009

APUNTES DE INTRODUCCION A LAS SERIES DE TIEMPO Guía de estudio NARCISO GUARAMATO PARRA

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INTRODUCCION

El presente trabajo tiene como objetivo principal, ayudar a todas aquellas personas con conocimientos limitados de Estadística y Economía, especialmente a los alumnos involucrados en esta cátedra. Aportándoles una herramienta que les proporcione un conocimiento básico de la Econometría.

A lo largo de mi experiencia docente en la Escuela Nacional de Administración y Hacienda Pública I.U.T, y en la Universidad Santa María, he observado con preocupación lo difícil y problemático que le resulta al estudiantado, el inicio del estudio de la Econometría.

Entre los factores que explican esta situación, destacan la deficiencia que traen algunos alumnos en materias imprescindibles para el estudio del tema, como son la Estadística y la Economía. La Econometría involucra todo un bagaje de nuevo vocabulario que dificulta en una primera etapa su entendimiento.

Esta investigación documental, ha aprovechado la claridad de algunos

autores para tratar algunos temas específicos y mi experiencia enseñando la materia, para lograr un texto donde se combinen los fundamentos teóricos básicos de la Econometría con unos ejemplos prácticos, que permitan ver en una forma sencilla sus aplicaciones, usando en varios de ellos el Software economètrico Eviews 3.1..

Es importante señalar que este trabajo, de ninguna manera sustituye a un

libro de texto de la materia, debido a que en el mercado existen muchos de una excelente calidad. Igualmente tampoco pretende que el alumno, mediante su lectura, pueda prescindir de las clases presénciales.

Finalmente, quiero agradecerle a la Escuela Nacional de Administración y

Hacienda Pública I.U.T. por haberme invitado como profesor de la materia durante los años 2000 y 2001, y a la Universidad Santa María, lo cual me permitió ordenar mis apuntes, fuente de este trabajo.

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CONTENIDO

I INTRODUCCIÓN A LAS SERIES DE TIEMPO (TECNICAS CLASICAS) 1.. Características y análisis de una serie de tiempo. 2. Técnicas elementales de estimación con tendencia. 3. Metodología del filtro de Hodrick–Prescott. 4. Indicadores o medidas de error. II MODELOS AR, MA, ARMA, ARIMA y FUNCION DE TRANSFERENCIA 1. Procesos Estocásticos. 2. Caminata Aleatoria, 3. Estacionariedad, 4. Raíces unitarias, operador diferencia y orden de integración de una serie de

tiempo 5. Prueba de estacionariedad basada en el correlograma. 6. Prueba de raíz unitaria sobre estacionariedad – prueba DICKEY – FULLER

(ADF). 7. Prueba de PHILLIPS-PERRON (test PP) 8. Estacionalidad. 9. Modelo Autorregresivo de orden p (AR(p)). 10. Modelo de promedio móvil de orden q (MA(q)). 11. Modelo Autorregresivo de promedio móvil (ARMA(p,q)). 12. Modelo Autorregresivo integrado de promedio móvil (ARIMA(p,d,q)). 13. Metodología de Box-Jenkis. 14. Modelos fe función de transferencia. III. MODELOS DE VECTORES AUTORREGRESIVOS (VAR) . IV: COINTEGRACION Y MODELO DE VECTOR DE CORRECIÒN DEL ERROR (VEC) 1. Cointegración. 2. Modelo de vector de corrección del error (VEC). 3. Test de Cointegración de JOHANSEN:

V: MODELOS AUTORREGRESIVOS CON HETEROCEDASTICIDAD CONDICIONAL (ARCH)

BIBLIOGRAFIA

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CAPITULO I

INTRODUCCIÓN A LAS SERIES DE TIEMPO

TECNICAS CLASICAS Una serie de tiempo es un conjunto de datos estadísticos, recopilados, observados o registrados a intervalos regulares y ordenados en el tiempo. Las técnicas de estimación de series tienen como objetivo primordial el control y el pronóstico de las variables con periodicidad subanual Esta técnicas no se basan en ninguna teoría económica, a diferencia de los modelos econométricos, sino que parten del supuesto de que una serie de tiempo se puede descomponer en cuatro componentes:

a) La tendencia, el cual es un movimiento regular de la serie a largo plazo. b) Las variaciones estacionales:, que son oscilaciones a corto plazo de

periodo regular, menor o igual a un año. c) Variaciones cíclicas: movimientos a mediano plazo en torno a la

tendencia, cuyo período y amplitud presentan cierta regularidad. d) Variaciones irregulares: recoge la influencia que ejercen sobre la serie

circunstancias aleatorias y accidentales. Las técnicas de estimación se basan en descomponer una serie de tiempo, es decir, en determinar los cuatro componentes básicos. A continuación se presenta un cuadro1 donde se hace una comparación entre las series de tiempo y los modelos econométricos, así como un cuadro señalando las ventajas y desventajas de cada uno.

1 Tomado de: Blanco, Carlos. “Convergencia de las Técnicas de Series de Tiempo con los Métodos Econométricos”. Mimeo. Banco Central de Venezuela,. Departamento de Apoyo Cuantitativo. Caracas. 1997

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SERIES DE TIEMPO MODELOS ECONOMETRICOS

Se basan exclusivamente en lainformación muestral, por tanto noimpopnen restricciones. Teóricamenteson menos eficientes que los modeloseconométricos.

Se basan tanto en la informaciónmuestral como en la teoríaeconómica, la cual imponerestricciones que pueden sersubjetivas

Se usan para Control, pronóstico y elanálaisis coyuntural dinámico

se usan para control, pronostico,simulación y e nanálisis estructuralestático y dinámico. Para medir lainfluencia de cada una de lasvariables incluidas en el sistema.

VENTAJAS DESVENTAJAS

Son mas económicos en términos de información,ya que las variables se expresan en función de simisma

Requieren de información subanual,aunque posrían utilizarse en series anuales

Series de Tiempo

Requieren menos dominio de la teoría económica No recogen los puntos de cambioadecuadamente

Son eficientes en el pronóstico a corto plazo Se pierde información de largo plazo

Tratamiento muy satisfactorio de los errores. Reqieren del juicio para determinar si unproceso es o no integrado.

Los componentes del modelo son estocásaticos Análisis parcial

Facilitan el análisis de causalidad El pronóstico de corto plazo no es óptimopor lo complejo de la dinámica

Describen la estructura económica y la relaciónentre dos o mas variables

Son mas complejos y exigen másconocimiento de la teoría

Modelos econométricos

Dan mayor coherrencia a los pronósticos demediano plazo

Implican un mayor volumen de información

Recogen bastante bien los puntos de cambio tratamiento insastifactorio de los errores

Análisis global es posible Grado de intetfración no concluyente

El método más utilizado en el estudio de una serie de tiempo es el Modelo Multiplicativo, el cual supone que el valor de los datos originales es el producto de los cuatro componentes como sigue:

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IrregularVariaciónI

cíclicaVariaciónC

estacionalVariaciónE

TendenciaT

tfestudioentemporalSerieY

IxCxExTYtivoMultiplicaModelo

t

t

t

t

t

ttttt

)(,

El objetivo principal del estudio de una serie de tiempo es proporcionar buenos pronósticos o predicciones de futuros valores de la serie a partir de valores pasados El método clásico que se utiliza es primeramente estimar la tendencia a través de las medias móviles o el alisado exponencial para luego realizar la proyección de tendencia ajustada por variaciones estacionales. Este método se puede esquematizar en los siguientes pasos:

a) Captar los componentes de tendencia y ciclo a través del método de las medias móviles o otra metodología.

b) Cálculo de los factores estacionales y desestacionalizar la serie original. c) Determinar la regresión lineal de tendencia través del método de los

mínimos cuadrados para describir el movimiento medio subyacente a largo plazo de la serie de tiempo.

d) Bajo la suposición de que dicha tendencia se mantendrá en el futuro, se

utiliza la ecuación anterior para obtener las proyecciones desestacionalizadas deseadas y se obtienen las proyecciones finales al multiplicar cada uno de los resultados obtenidos anteriormente a través de la línea de regresión lineal por su respectivo factor estacional.

En el presente capítulo se tratarán las técnicas clásicas de estimación de series de tiempo, dejando para capítulos posteriores las técnicas avanzadas.

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TECNICAS DE ESTIMACION DE SERIES DE TIEMPO

Medias Móviles

Alisado ExponencialClásicas

Alisado con Tendencia

Ajuste Estacional

Modelos AR, MA, ARMA y ARIMA

Avanzados Vectores Autorregresivos (VAR)

Vector de Corrección del Error (VEC)

1. CARACTERISTICAS Y ANALISIS DE UNA SERIE DE TIEMPO2 Una serie temporal es una sucesión de vectores observados de una variable en momentos del tiempo diferentes. Los datos de la serie aparecen ordenados cronológicamente, esto supone distintas repercusiones entre Xt y Xt-1, de forma que el comportamiento futuro de la serie se puede extrapolarse en función de sus valores pasados. También nos encontramos con determinados efectos, conocidos como problemas de calendario, que se refiere a la diferente incidencia de acontecimientos que pueden variar de fecha. Por ejemplo. Cuando trabajamos con seriares de tiempo de frecuencia mensual podemos comprobar la repercusión que tiene en el análisis de la serie el hecho que la “Semana Santa” caiga en el mes de marzo o en el mes de abril. Incluso la propia movilidad de los días, que conduce a las fechas festivas puedan caer un día laborable o en fin de semana, tiene distinta casuística, así como los festivos en lunes o martes pueden conllevar a los llamados “puentes”. Otro criterio a considerar es la deflación de los valores de la serie, pues si realmente queremos analizar la evolución de una serie, medida en bolívares, es conveniente aislar el efecto de los precios y no siempre podemos encontrar el deflactor más apropiado para ello. Adicionalmente, debemos considerar las posibles incidencias de los cambios en los criterios de contabilización. Dado que el principal origen de los datos es la encuesta, un cambio en la selección muestral afecta considerablemente los resultados, provocando problemas de enlace de la serie. Al plantearse el análisis de series de tiempo, se pueden distinguir dos enfoques diferentes, según la información que se utilice:

2 Pulido, Antonio y Ana María López. Ob.Cit. p.166

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a) Enfoque univariante, se refiere a los datos históricos de la serie de tiempo, es decir, a la autoproyección. Supone que la información pasada contenida en la serie es suficiente para realizar predicciones. Este enfoque consiste en describir las pautas de regularidad que sigue cada uno de los componentes de la serie.

b) Enfoque multivariante, se basa en las relaciones existentes entre dos o

mas series temporales.

Además, se pueden distinguir varios componentes en una serie de tiempo: Tendencia: es el movimiento regular a largo plazo. La tendencia se explica por

alguna función del tiempo. La tendencia se suele describir mediante alguna funciòn del tiempo. El tiempo en si no rs una variable que explique otra cosa que la existencia d una evolución regular, pero, si no hay motivos para pensar que esa regularidad deje de mantenerse en el futuro, la función de tendencia puede ser util para realizae predicciones.

Componente cíclico: fluctuaciones a medio plazo en torno a la tendencia, Se

determina después de eliminar tendencia y estacionalidad. No hay métodos fiables de aplicación mecánica para proyectar el comportamiento cíclico debido a la relativa irregularidad de su comportamiento.

Componente estacional: oscilaciones a corto plazo de período regular, inferior

al año y amplitud regular. Al tener carácter oscilatorio, queda determinado por su periodo y amplitud. En la práctica sulen calcularse indices de estacionalidad que se aplican a la tendencia, por lo general, en forma multiplicativa

Componente irregular: parte residual de la serie cuando se eliminan los

componentes anteriores.

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DESCOMPOSICIÓN DE LOS DATOS DE SERIES DE TIEMPO

La descomposición de la serie puede realizarse de tres formas diferentes. Modelo aditivo: ttttt IECTX

Modelo Multiplicativo: ttttt IECTX ***

Modelo Mixto: ttttt IECTX )1(*)1(*

En la práctica, resulta difícil poder aislar adecuadamente los distintos componentes de la serie; y en el caso de la descomposición se realice con éxito, suele presentarse con mayor frecuencia el Modelo Multiplicativo. Esta descomposición de la serie nos conduce a la consideración de dos enfoques distintos en el análisis de las series de tiempo, según la importancia que se conceda al componente irregular. Enfoque Clásico o determinista: que establece que el componente irregular es

una desviación de una pauta de comportamiento sistemática. Enfoque moderno o estocástico: que establece que e término irregular (azar) no es una desviación momentánea, sino que es una sucesión de impulsos que cuentan en el futuro movimiento del sistema. Aparte de las consideraciones diferentes sobre el término de error o pauta irregular entre ambos enfoques, el moderno no presta tanta atención como el clásico a la diferenciación de los cuatro componentes de las series de tiempo.

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En la práctica, lo habitual es distinguir en una serie los componentes de tendencia y estacionalidad, donde además, se considera que esta última sigue un proceso multiplicativo. Para analizar estas dos características. En una serie de tiempo, se ha seleccionado los datos mensuales del índice de ventas al comercio al menor a precios constantes (1994=100) de la economía española para el período comprendido entre enero de 1995 y diciembre de 1998.

INDICE DE VENTAS DEL COMERCIOAL MENOR1994=100

1995 1996 1997 1998ENE 101.684 101.743 102.661 108.149FEB 82.712 85.799 82.978 85.679MAR 94.665 92.018 89.527 93.303ABR 91.333 90.851 94.226 96.863MAY 97.133 93.858 96.261 102.144JUN 98.733 944.407 94.382 101.962JUL 104.260 103.603 105.156 113.154AGO 92.082 90.698 90.961 95.141SEP 99.904 96.096 98.168 103.557OCT 98.733 100.762 102.545 109.875NOV 95.580 93.643 94.367 99.527DIC 126.772 123.248 129.456 133.554FUENTE: INE. España.

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. Primeramente visualizamos el gráfico de la serie de tiempo, lo cual nos permite observar la evolución temporal de la misma.

La observación del gráfico de la serie VENTAS nos permite apreciar la presencia de un componente de estacionalidad clara en la serie, identificada en las subidas que se presentan en los meses de diciembre respecto al comportamiento medio de los meses restantes. Esto significa que en el último mes del año se comprueba una mayor compra de bienes y servicios en comparación con la que cabría

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esperar en meses anteriores.. Por otra parte, la evolución general de la serie, es decir, a medio/largo plazo, nos muestra una tendencia creciente en torno ala cual fluctúan los valores de la serie. Para la aplicación de determinadas técnicas de predicción, en particular las denominadas clásicas. Y en situaciones con historia (medias móviles y algunos tipos de alisados exponenciales) debemos proceder, previamente, a la transformación de los datos de la serie, para aislar la tendencia y la estacionalidad. Dado que la serie presenta tendencia y estacionalidad, se procede a la transformación de la misma. En primer lugar, se comienza con la desestacionalización de la serie, procedimiento que consiste en la obtención de un factor de estacionalidad propio para cada mes. En general hay dos métodos de ajuste estacional o desestacionalización: multiplicativo y aditivo. Los métodos multiplicativos son apropiados cuando la serie puede descomponerse en el producto de un componente de tendencia y otro estacional. Además, los métodos multiplicativos sólo pueden aplicarse cuando la serie presenta siempre valores positivos, es decir una serie con valores negativos habría que optar por un procedimiento aditivo de desestacionalización En nuestro caso, dado que todos los valores son positivos, supondremos un planteamiento multiplicativo de descomposición de la serie de tiempo.. De esta forma, la serie original (VENTAS) será igual a una serie desestacionalizada (SVENTAS) multiplicada por un factor estacional (FACTOR):

VENTAS = SVENTAS x FACTOR Lo que significa que obtendremos la serie desestacionalizada (SVENTAS) dividiendo los datos de la serie original entre un factor que contiene 12 datos mensuales (uno diferente para cada mes).. Para realizar esta operación, en el menú principal de Eviews, seleccionamos QUICK /SERIRES STATISTICS / SEASONAL ADJUSMENT:

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e indicamos que vamos a trabajara sobre la variable ventas

A continuación, aparece el siguiente cuadro de diálogo, en el que seleccionamos el métdo de desestacionalización (Adjustment Method), indicamos el nombre para la variable desestacionalizada (Adjusted Series) y para el factor (Factors).

Seleccionamos el método de mediad móviles (Ratio to moving average- Multiplicative). Nombramos a la serie desestecionalizada como SVENTAS, aunque Eviews nos proporciona ppor defecto un nombre, que se corresponde con el de la

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serie original seguido de las letras SA. Al factor que calcula el programa lo llamamos, simplemente FACTOR. Como rersultado se muestra una pantalla en la que podemos observar los datos del factor estacional calculado, dfonde se aprecia que se trata de valores en torno a la unidad, siendo el valor más alto, el correspondiente al mes que presentaba inicialmente estacionalidad (diciembre),

Dado que Eviews ha generado la nueva serie desestacionalizada (SVENTAS) se puede visualizar un gráfico de la misma.

El gráfico de la serir SVENTAS mustra fluctuaciones que ya no se corresponden con la estacionalidad, puesto aque ha sido corrergida, y como es lógicosigue presentando tendencia. Una forma sencilla, y la mas empleada para corregir la

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tendencia consiste en la aplicación en primeras diferencias de la serie. Se basa en calcular una serie tz obtenida como:

yyyz ttt 1

Si al representar graficamente una serie, tz , comprobamos que oscila alrededor

del mismo valor, entonces tendríamos que se trata de la serie original sin tendencia. Si tz crece o decrece a largo plazo, entonces aún presenta tendencia y

habría que volver a diferenciar, es decir, proseguiriamos calculando ahora la segunda diferencia:

tttttttttttt yyyyyyyyyzzz 2212111 2)()(

y, en caso necesario, seguiriamos diferenciando, teniendo en cuenta que en cada diferenciación perdemos una observación. En cualquier caso, lo habitual es que con una primera diferencia la serie ya fluctue en torno al mismo valor, es decir, ya no presente tendencia y, como mucho, se realizaría una asegunda diferencia. Para eliminar la tendencia de la serie SVENTAS, ya corregida de estacionalidad, selecionamos en el menú QUICK / GENERATE SERIES y escribimos la operación a realizar, generando una nueva serie DSVENTAS a partir de las primeras diferencias de SVENTAS.

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Se consigue el mismo resultado si escribimos directamente en la ventana de comandos

podemos visualizar un gráfico de la nueva serie DSVENTAS, serie sin estacionalidad y sin tendencia. Para comprobar que los datos de la serie transformada fluctúan en torno a un mismo valor, calculamos la media de esta serie generando (GENR) una variable media, tal que

En el gráfico representamos la serie DSVENTASy su valor medio (MEDIA).

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El gráfico sugiere una oscilación de los valores de la serie DSVENTAS en torno al valor medio, por lo que podemos considerarla ya como una serie sin tendencia. Finalmente, y a modo de comparación, se ha desestacionalizado la serie original VENTAS, con otro procedimiento de los disponibles en Eviews: el método CensusX11, método estándar de desestacionalización del U.S. Bereau of the Census, que puede aplicarse a serires mensuales y trimestrales con el requisito de disponer como mínimo de cuatro años completos de datos. Este método presenta, adicionlamente, una restricción de volumen de información, pues el máximo de datos para una serie mensual debe ser de veinte años y de treinta si se trata de una serie trimestral. Como ya se realizó anteriormente, se selecciona en el menú principal QUICK / SERIRES STATISTICS / SEASONAL ADJUSTMENT. La serie original que se va a desestacionalizar es VENTAS y la serire desestacionalizada se llamará CVENTAS. Siendo FACTORC el nombre elegido para el factor estacional con el método CensusX11 Multiplicativo.

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Una vez obtenida la nueva serire CVENTAS, desestacionalizada con el procedimiento Census X11, procedemos a representarla en un gr´pafico junto con la serie SVENTAS.

La evolución que presentan ambas serires es similar, aunque parece que la serie SVENTAS suaviza mas las oscilaciones de los valores de las ventas del comercio al por menor corregidas de estacionalidad. Posiblemente sea más iloustrativo comprobar conjuntamente los valores de los dos factores de estacionalidad que han dado lugar a ambas series.

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Comparación de factores mensualesde desestacionalización

Relación de la media móvil Census X11FACTOR FACTORC

ENE 106,03 104,68FEB 86,21 85,00MAR 93,02 92,62ABR 95,21 93,57MAY 98,47 98,08JUN 97,81 97,69JUL 106,90 107,33AGO 93,36 92,60SEP 100,30 99,63OCT 102,93 104,32NOV 96,51 95,88DIC 128,96 128,36

La diferencia entre el factor calculado por el método de relación a la media móvil y el del método X11 es que en este segundo caso el factor puede variar año a año, mientras que en el primer caso se asume un valor constante. 2. TECNICAS ELEMENTALES DE ESTIMACION CON TENEDENCIA Después de desestacionalizar la serie el siguiente paso es realizar las predicciones a través de un modelo simple que parata del supuesto de la existencia de la tendencia en la serie. El modelo màs simple es el modelo de tendencia lineal . Si creemos que una serie ty se incrementará en cantidades

absolutas constantes en cada período. Se puede predecir ty , ajustando la linea de

tendencia

tyt 21

Donde t es el tiempo y ty es el valor esperado de y en el tiempo t. Por lo general t

se elige igual a cero en el período base (primera observación) y se incrementa en 1 durante cada período sucesivo.

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El modelo de tendencia cuadrática es una extensión simple del modelo de tendencia lineal y consiste en agregar un término 2t

2321 ttyt

Si 2 y 3 son ambos positivos, ty siempre estará incrementándose, pero cada vez

más rápido conforma pasa el tiempo. Si 2 es negativo y 3 , ty disminuir´primero

pero después se incrementará. Si ambos son negativos , ty siempre disminuirá.

Otros métodos de estimación, considerados como elementales, se basan en modelos autorregresivos. Entre los mas simples se pueden señalar:

1. tt yy 1ˆ ; 2. 11ˆ tttt yyyy

La ecuación 1 utiliza como valor de predicción del próximo período, el dato del período actual. La ecuación 2 supone la igualdad no de los valores, sino de los incrementos. Dado la simplicidad de los modelos anteriormente descritos se debe suponer que las estimaciones que se realicen deberán tener un elevado error de predicción. Una variante ligeramente más elaborada es utilizar el valor medio de la serie, en lugar de las últimas observaciones

yyt

1ˆ

Este modelo parte del supuesto que la serie carece de tendencia y la misma oscila alrededor de la media. En este caso el valor mas probable de estimación, es el valor medio de la serie. . Otro tipo de modelo utilizado para la estimación en serie con tendencia es el Modelo de Promedio movil. Como ejemplo, se supone que para estimar un valor dada una serie de tiempo mensual, se utilizaría el siguiente modelo:

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1221 ...12

1 ttt yyyxf

Entonces, el pronóstico para el período 1t estará determinado por:

12211 ...12

1 tttt yyyy

El modelo de promedio móvil es útil si se cree que un valor probable para el próximo período es el valor promedio de la serie durante los últimos 12 meses. El modelo de promedio móvil tiene la virtud de proporcionar una base para suavizar series de tiempo. Por ejemplo una de las formas más simples de suavizar una serie es tomar un promedio movil de n períodos:

ntttt yyyn

y ...1

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Mientras mayor sea n mas suave será la curva Ejemplo:

OBS Yt PM3 PM4 PM5 PM6

1 42 53 6 5,04 8 6,3 5,85 10 8,0 7,3 6,66 13 10,3 9,3 8,4 7,77 15 12,7 11,5 10,4 9,58 8 12,0 11,5 10,8 10,09 10 11,0 11,5 11,2 10,7

10 6 8,0 9,8 10,4 10,311 14 10,0 9,5 10,6 11,012 18 12,7 12,0 11,2 11,8

PM3 = promedio movil últimos tres períodosPM4 = promedio movil últimos cuatro períodosPM5 = promedio movil últimos cinco períodosPM6 = promedio movil últimos seis períodos

25

0

5

10

15

20

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

OBSERVACIONES

Yt PM3 PM4 PM5 PM6

El alisado exponencial puede considerarse como aquel obtenido por una media móvil con ponderaciones decreciente en forma de progresión geométrica:

...)1()1( 2

21 ttt yyyM

donde el coeficiente podrá tomar valores entre 0 y 1. La suma de los coeficientes siempre será la unidad, ya que:

1)1(1

)1(0

s

s

Por tanto, el número de términos de la media móvil será tanto más reducido cuanto mayor sea el valor de . Para 1 , la media coincidirá con el valor del período. Para cercano a cero, las ponderaciones de los valores serán todas muy pequeñas y, por tanto, el número de términos será elevado. Como fórmula de predicción, la media deberá calcularse iniciándola en el último dato disponible, es decir,

...11ˆ 22

11 tttt yyyy

o en su forma más resumida:

ttt yyy ˆ1ˆ 1

ya que, por sustituciones sucesivas, legaríamos a la fórmula anterior. Por tanto, la predicción de alisado pueda interpretarse como una media ponderada de los valores previos anteriores, reales y de predicción.

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La expresión anterior exige disponer de los valores de y de un valor inicial de . Esta última cuestión es relativamente poco importante y puede resolverse

adoptando directamente tt yy ˆ o bien igualando este primer valor al promedio de un pequeño número inicial de observaciones. La elección del parámetro debe acomodarse a cada serie en particular. Por ello la mayor parte de los programas de computación disponibles permiten el cálculo automático del valor óptimo de , en el sentido de selecciona aquel que minimiza el error cuadráticos medio. En general se considera que un alto es indicativo de fuertes oscilaciones o de la existencia de tendencia en la serie, lo que conlleva un reducido alisado para ajustarse mejor a estos cambios continuos. Por el contrario, una serie con pequeñas oscilaciones irregulares aconsejará un reducido (habitualmente comprendido entre 0,01 y 0,4), que supondrá un fuerte alisado de la serie al considerar un elevado número de valores anteriores de ésta. Tanto el método de los promedios móviles como el alisado exponencial tienden a ser ad hoc, en particular cuando se usan para generar pronósticos. Un problema es que no se tiene forma de determinar el número correcto de rezagos o el valor correcto de , así que la elección de estos parámetros es un tanto arbitraria. Si el objetivo es tan sólo la suavización de la serie para facilitar su análisis, este no es un problema, ya que se puede elegir los parámetros para obtener la serie suavizada que se desea. El Eviews nos permite obtener en forma rápida un alisado exponencial de la serie, a tal fin seleccionamos en el menú principal QUICK /SERIES STATISTICS / EXPONENTIAL SMOOTHING e indicamos la serie a alisar (SVENTAS)3

3 Es importante tener en cuenta que para que la serie con alisado exponencial incluya las predicciones, antes de realizar el mismo hay que modificar el rango de la serie (range) para que incluya el periodo a proyectar.

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El menú que se encuentra en la opción EXPONENTIAL SMOOTHING nos permite realizar distintos tipos de alisados exponensiales, en función de las características que presente la serie. El primero de ellos, Simgle, es el alisado exponencial simple, par el que Eviews proporcuiona un monbre a la serie que recogerá los valores alisados SVENTASM, que podemos midificar si queremos, Asimismo nos da la opción de calcular automáticamente los valores de los parámetros, en este caso solo , o bien podemos iuntroducir arbitrariamente un valor comprendido entre 0 y 1. Al permitir que el propio programa calcule automáticanmente el valor de que minimice la suma al cuadrado de los residuos, calculados estos como la diferencia entre la serie original y la serie alisada, obtenemos los siguientes resultados:

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A continuación se presenta un gráfico de la serie original y la serie con alisado exponencial simple..

Es importante destacar que las proyecciones recogidas en SVENTASM no reflejan las variaciones estacionales, par obtener las proyecciones deseadas creamos multiplicamos las proyecciones obtenidas por los factores estacionales obtenidos.

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En este caso se estimaron los primeros 3 meses del año 1999.

Relación de la media móvil PROYECCIONSVENTASM FACTOR VENTAS

ENE 103,8316 1,0603 110,093FEB 103,8316 0,8621 89,513MAR 103,8316 0,9302 96,584

Eviews, en el menú de EXPONENTIAL SMOOTHING, trae adicionalmente los métodos de alisado exponencial: El doble alisado de Brown o de alisado exponencial lineal con parámetro único y el alisado exponencial lineal con doble parámetro o técnica de Holt-Winters. Ambos métodos se utilizan para eliminar el sesgo en la predicción de series de tiempo con tendencia aproximadamente lineal. El método adecuado (simple, doble y el de Holt-Winters) será aquel que minimice la sumatoria del cuadrado de los residuales (Sum os Squared Residuals) 3. METODOLOGIA DEL FILTRO DE HODRICK–PRESCOTT . Hodrick y Prescott en 1980, propusieron un filtro que descompone la series de tiempo macroeconómicas en un componente tendencial no estacionario4 y un

4 El concepto de serie estacionaria se tratará en el capítulo II

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residuo cíclico estacionario. De esta manera es posible utilizar el filtro para estimar la tendencia estocástica de una serie, si existen evidencias de que no la describe correctamente una tendencia determinística De acuerdo con este método es preciso encontrar la serie Y*t (tendencia) que

minimice : t

N

1

( Yt - Yt* )2 + t

N

2

( Yt - Yt* )2 la serie Yt* equivale a la

variable potencial y es el parámetro de suavización, en una serie estacionaria la tendencia es casi paralela al eje X. El filtro de Hodrick – Prescott es quizá el método mas frecuentemente utilizado para determinar la tendencia de una serie estacionaria, sin embargo ha sido sujeto a criticas diversas. Entre ellas destaca el hecho de que la determinación ex ante del parámetro de suavización esta sujeta a la discrecionalidad del investigador, que los extremos de la serie de tendencias están deficientemente definidos y que induce un comportamiento cíclico espurio en los datos. Sin embargo el método representa un patrón contra el cual pueden compararse otros métodos de estimación para series estacionarias. Bello y Ruiz5 (2005) adicionalmente señalan que el filtro de Hodrick y Prescott está diseñado para tratar problemas de largo plazo por lo que presenta comportamientos inusuales y es susceptible de alteraciones en los valores extremos, lo que trae como consecuencia que si esta herramienta se utiliza para análisis de corto plazo, se puede incurrir en apreciaciones incorrectas Para estimar el filtro de Hodrick–Prescott con Eviews, teniendo la serie activa, seleccionamos en el menú secundario PROCS / HODRICK–PRESCOTT FILTER

Con lo cual aparece el siguiente cuadro de diálogo:

5 Bello, Omar D. Y Alexander Ruiz. “ El filtro de Hodrick y Prescott y el análisis de corto plazo”. Banco Central de Venezuela. 2005. mimeo.

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Donde en la parte superior izquierda se registra el nombre deseado o el que Eviews coloca por defecto, de la serie suavizada . y en lado inferior observamos el valor del parámetro de suavización.

4. INDICADORES O MEDIDAS DE ERROR Como se ha señalado el objetivo principal de las series de tiempo, es el de poder realizar estimaciónes futuras de la serie. Para lo cual se requiere elegir un método que nos garantice exactitud6, entendiendose por tal, que tan bien puede reproducir el módelo de predicción los datos que ya se conocen. En los modelos de serires de tiempo, es posible utilizar un subconjunto de los datos conocidos para pronosticar lo que queda de los datos conocidos, posibilitándose el análisis de la precisión de los pronósticos más directamente. Para el usuario de los pronósticos, la exactitud más importante es el de la

6 Makridakis Spyros y Esteven C. Wheelwrigth. “Métodos de Pronósticos”. Editorial Limusa. México. 2004. P.68

32

predicciónes futuras; que tan bien un modelo se ha ajustado a los datos históricos disponibles es de poco o ningun valor. Las preguntas que más frecuentemente se hacen son:

1. ¿qué precisión adicional se puede lograr enuna situación dada mediante el uso de una técnica formal de predicción? (¿Qué tan inexacto serán loss pron´sticos si se basan en un enfoque muy simple o ingenuo más que una técnica estadísticamente mas refinada?).

2. Para una situación dada, ¿Qué tanto mejoramiento se puede obtener en la exactitud de la spredicciones?(¿Qué tan cerca se puede llegar a logro de los pronósticos perfectos?).

3. Si se comprende la oportunidad para lograr una mayor exactitud. En una situación dada, ¿cómo puede ayudar tal conocimiento para seleccionar la técnica de predicción más apropiada?.

A continuación se presentan algunos indicadores que miden la fiabilidad de las predicciones, en alguna medida todos ellos tratan de medir cuan alejado están los valores proyectados de los valores reles o observados, por ende mientras menor sean estos indicadores, mayor será la confiabilidad de los pronósticos realizados. Sean tX = Valor observado real para el período t

tF = Pronóstico para el período

ttt FXe Término de error.

a. Error medio

n

eME

n

tt

1

b. Error cuadratico medio

n

eMSE

n

tt

1

2

c. Desviacion absoluta de la media

n

eMAD

n

tt

1

33

d. Error porcentual

100*

t

ttt X

FXPE

e. Error porcentual medio

n

PEMAPE

n

Tt

t

1

f. Error porcentual absoluto medio

n

PEMAPE

n

Tt

t

1

34

CAPITULO II

MODELOS AR, MA, ARMA, ARIMA y FUNCION DE TRANSFERENCIA

Según José Otero7, una serie de tiempo o serie cronológica, es una sucesión de valores observados de una variable referidos a momentos o a periodos de tiempo diferentes, generalmente regulares. La característica distintiva entre una serie de tiempo , en contraposición a las observaciones de corte transversal, es que los datos aparecen ordenados cronológicamente. Una serie de tiempo está conformada por las siguientes partes8:

Y = sistemática + determinista + aleatoria

La variable Y se dice ser estocástica por que su valor en cada momento del tiempo está en función de una parte conocida bastante predecible y de una parte desconocida o impredecible. La parte conocida, a su vez, contiene dos elementos: uno sistemático que recoge patrones de comportamiento del fenómeno de interés (como la estacionalidad) y otro determinista que recoge características predeterminados de la serie. La parte puramente aleatoria está formada de eventos no explícitamente considerados en el modelo o factores estocásticos (tendencia estocástica) En este capítulo describiremos la metodología para la estimación de un tipo de modelos estocásticos especialmente útiles para la predicción de series de tiempo, los modelos ARIMA (Autoregressive Integrated Moving Average) a través de la metodología desarrollada por Box y Jenkins9 (1976) para tratar modelos lineales univariantes. Los cuales están conformados por dos componentes, la parte autorregresiva, a fin de recoger la parte determinista del modelo, y la partes de promedios móviles, que pretende reflejar el componente estocástico.

1.PROCESOS ESTOCASTICOS Un proceso estocástico tX , para t = 1,2,3,..., se define como una colección de

variables aleatorias, tX , ordenadas de acuerdo con el parámetro discreto , que en

7 Otero, José M. “Modelos Econométricos y Predicción de Series Temporales”.Editorial AC. España. 1989. p1. 8 Blanco Odio, Carlos M. “Aspectos Conceptuales Sobre Series de Tiempo”. Banco Central de Venezuela. Mimeo,1997 p.6. 9 Box, George y Gwilym Jenkis. “Time Series Analysis, Forecasting and Control”. San Francisco, Calif. Holden Day. 1976.

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nuestro contexto es el tiempo. En otras palabras se asume que cada valor

tXXX ,...,, 21 en la serie es extraído al azar de una distribución de probabilidad.

2. CAMINATA ALEATORIA El ejemplo mas simple de una serie de tiempo estocástica es el proceso de caminata aleatoria o Random Walk10. En el proceso más simple de caminata aleatoria cada cambio sucesivo en ty es extraído en forma independiente de una

distribución de probabilidad con media 0. Por tanto, ty está determinado por:

ttt yy 1

con 0tE , 22 tE y 0stE para t s. Dicho proceso puede ser

representado por los lanzamientos sucesivos de una moneda, donde una cara recibe un valor de +1 y una cruz recibe un valor de –1. A menudo, la caminata aleatoria es comparada con la caminata de una persona ebria. Al dejar el bar, el ebrio se mueve a una distancia aleatoria tu en el tiempo t

si el o ella continúa caminando indefinidamente, se alejarán cada vez más del bar. Lo mismo se dice acerca del precio de las acciones. El precio de las acción hoy es igual al precio de la acción ayer más un “shock” o innovación aleatoria11 Consideremos el caso en el que se requiere un pronóstico para un proceso de caminata aleatoria. El pronóstico está dado por:

tttttt yEyyyyEy 1111 ,...,/ˆ

3. ESTACIONARIEDAD Cuando se comienza a desarrollar modelos para series de tiempo, se desea saber si es posible suponer que el proceso estocástico subyacente que generó la series es invariable con respecto al tiempo. Si las características del proceso estocástico cambian con el tiempo; es decir, si el proceso no es estacionario, en general será difícil representar la serie de tiempo durante intervalos de tiempo pasados y futuros con un modelo algebraico simple. Por el contrario, si el proceso estocástico está fijo en el tiempo; es decir, si es estacionario, entonces podemos modelar el proceso a través de una ecuación con coeficientes fijos que pueden estimarse a partir de datos pasados.

10 Pindyck, Robert. Ob.Cit. p.515. 11 Gujarati, Damodar. Ob.Cit. p.702

36

En sentido amplio, se dice que un proceso estocástico es estacionario (o débilmente estacionario) si su media y su varianza son constantes en el tiempo y si el valor de la covarianza entre dos períodos depende solamente de la distancia o rezago entre dos períodos de tiempo y no del tiempo en el cual se ha calculado la covarianza. En otras palabras, una serie es estacionaria cuando su distribución de probabilidad no depende del tiempo. Esto implica que a pesar de sus oscilaciones la serie tiende a converger a un valor medio fijo, y su varianza es constante. Las series no estacionarias son aquellas cuya media o varianza cambian con el tiempo. Cuando sólo la media depende del tiempo se dice que existe tendencia determinística y cuando es la varianza la que depende del tiempo, se habla de tendencia estocástica. Es de resaltar que la mayoría de las series económicas encontradas en la práctica son no estacionarias. Un aspecto importante a considerar con respecto a las series estacionarias, tiene que ver con la innovaciones, lo que significa que mientras un shock tiene carácter transitorio en series estacionarias, su efecto es permanente sobre fenómenos no estacionarios. Gráfico Nº 1 Gráfico Nº 2

En el gráfico Nº 112 se puede observar una serie no estacionaria, en el mismo se puede observar claramente una tendencia, lo que es indicativo de que la media no es constante para toda la serie. En el gráfico Nº 2 se muestra una serie de tiempo estacionaria La definición de estacionariedad en sentido estricto implica que las características del proceso estocástico no sufren alteración al considerar tiempos históricos diferentes

12 El ejemplo es tomado de Pulido, Antonio y Ana María López. Ob.Cit. y el mismo consiste en una serie de tiempo que abarca el periodo 1980-1998, con periodicidad mensual de un indicador de renta salarial real para la economía española.

37

A continuación se presenta un cuadro resumiendo las características principales de una serie estacionaria y de una no estacionaria:

ESTACIONARIA NO ESTACIONARIA

Tiene una media constante y hay una

tendencia de la serie a volver hacia esta

media cuando se ha desviado de ella. Por

tanto tiende a fluctuar alrededor de la media

Tiene un comportamiento divagante, en elsentido de que no se manatiene sobre unvalor medio a lo largo de su historia.

Tiene autocorrelaciones que decrecenrapidamente al alejernos en el tiempo

Las autocorrelaciones tienden a uno paracualquier retardo

Tiene varianza finita e independiente deltiempo

La varianza depende del tiempo.

Tiene memoria limitada de sucomportamiento pasado. Por tanto losefectos de un Shock aleatorio son sólotransitorios y van decreciendo (perdiendofuerza) en el tiempo.

El proceso tiene memoria ilimitada y, portanto, un shock aleatorio tendrá efectospermanentes en el proceso.

Muy pocas series económicas de tiempo son estacionarias. Los motivos de la falta de estacionariedad suelen ser:

a) Se presenta una tendencia. b) La varianza no es una constante. c) Hay variaciones estacionales.

La presencia de variaciones estacionales se traduce en una variabilidad de la media del proceso, lo que es contrario a la hipótesis de estacionariedad. Afortunadamente, es posible transformar muchas series económicas de tiempo en otras estacionarias, sometiéndolas a operaciones algebraicas. 4. RAICES UNITARIAS, OPERADOR DIFERENCIA Y ORDEN DE INTEGRACION DE UNA SERIE DE TIEMPO es importante destacar la asociación existente entre la noción de serie no estacionaria y raíz unitaria, para ello consideramos la siguiente representación autorregresiva de la serie Xt:

ttt aXX 1 donde ta es un ruido blanco

38

utilizando el operador de retardo jttj XXB obtenemos la siguiente

representación:

tttt BXaXX 1

ttt aBXX

tt aXB 1

tt aXB donde BB 1

tt aXB es la representación general de un modelo autorregresivo de orden 1

Obsérvese que B es un polinomio de grado 1, cuya raíz viene dada por

1 :

BB1

01

Ahora bien, un resultado teórico establece que un modelo como el anterior es débilmente estacionario si toda raíz de B cumple con las siguiente condición:

1

(la raíz está fuera del circulo unitario)

-1 0 1

111

-1 0 1

El caso de mayor interés es cuando , esto es, cuando existe raíz unitaria, y se puede probar que cuando esto ocurre, la varianza de Xt no es finita, en otras

39

palabras, la serie es no estacionaria. De allí que la relación fundamental que siempre se ha de tener en cuenta es: EXISTENCIA DE RAICES UNITARIAS EQUIVALE A NO ESTACIONARIEDAD

NO ESTACIONARIEDAD EXISTENCIA DERAICESUNITARIAS

CRECIMIENTO EXPLOSIVO

SI 1

ttt aXX 1

ttt aXX 1 = caminata aleatoria

proceso integrado no estacionario Saber que existen raíces unitarias provee de la transformación necesaria para superar el problema de la no estacionariedad. Considerando nuevamente una representación autorregresiva para Xt, si existe raíz unitaria se tiene que:

ttt aXX 1 :

ttt aXX 1

denotando 1 ttt XXX y sustituyendo en la ecuación anterior, resulta:

tt aX

La primera diferencia de Xt es estacionaria, de forma que la no estacionariedad se supera diferenciando la serie tantas veces como raíces unitarias posea. En general, diremos que una serie Xt es integrable de orden d, si debe ser diferenciada d veces para alcanzar estacionariedad y se denota:

Xt ~ I(d)

40

5. PRUEBA DE ESTACIONARIEDAD BASADA EN EL CORRELOGRAMA Una prueba sencilla de estacionariedad está basada en la denominada función de autocorrelación (ACF). La ACF al rezago k, denotada por k , se define como:

ianza

krezagoalarianzakk var

...cov

0

Puesto que la covarianza y la varianza están medidas en las mismas unidades, k

es un número sin unidad de medida, o puro. Se encuentra entre –1 y +1, igual que cualquier coeficiente de correlación, Si se grafica k frente a k, la gráfica obtenida

se conoce como correlograma. Para obtener el correlograma en Eviews, seleccionamos VIEWS/CORRELOGRAM. La ACF de las series estacionarias disminuye sensiblemente a medida que aumenta el desfase temporal K (gráfico Nº 3). Esto no suele ocurrir con las series estacionarias (gráfico Nº 4).

Gráfico Nº 3

41

En el gráfico Nº 3 se aprecia como la función de autocorrelación decrece rápidamente, ya para la observación 2, esta función es cercana a cero, lo cual es indicativo de una serie estacionaria. En el caso de un proceso estocástico puramente aleatorio, su autocorrelación en cualquier rezago mayor que cero es cero.

Gráfico Nº 4

En el gráfico Nº 4 se aprecia que la ACF decrece exponencialmente y de forma lenta, mientras que la función de autocorrelación parcial presenta un valor significativo en el retardo uno, con un coeficiente de autocorrelación cercano a la unidad (0,941). Este gráfico puede considerarse como indicativo de la no estacionariedad. 6. PRUEBA DE RAIZ UNITARIA SOBRE ESTACIONARIEDAD – PRUEBA DICKEY – FULLER (ADF). Dado el siguiente modelo autorregresivo de primer orden13: ttt uYY 1 donde tu

es el término de error estocástico que sigue los supuestos del modelo clásico, tiene media cero, varianza constante y no esta autocorrelacionado. Un término de error con tales propiedades es conocido también como término de error de ruido blanco (White noise). Ahora bien si el coeficiente de 1tY es igual a 1, surge lo que

13 Gujarati, Damodar. Ob.Cit. p.702

42

se conoce como el problema de raíz unitaria es decir, una situación de no estacionariedad. Por consiguiente al realizar la regresión ttt uYY 1 y se

encuentra que 1 , entonces se dice que la variable estocástica tY tiene una raíz

unitaria. Si a la ecuación anterior se le resta 1tY podemos hallar una forma alternativa de

expresarla de muy frecuente utilización:

ttttt uYYYY 111

ttt uYY 11

ttt uYY 1

donde 1 y se el operador de primera diferencia 1 tt TY . Si se

cumple la hipótesis nula de 0 el modelo se puede escribir de la siguiente forma: tt uY , lo cual nos indica que la primera diferencia de una serie de tiempo

de caminata aleatoria es una serie de tiempo estacionaria porque por supuestos,

tu es puramente aleatoria.

Lo anterior supone que una serie de tiempo no estacionaria, se puede convertir en estacionaria diferenciándola. Ahora bien, si una serie de tiempo ha sido diferenciada una vez y la serie diferenciada resulta estacionaria, se dice que la serie original (caminata aleatoria) es integrada de orden 1, y se denota por I(1). En forma similar, si la serie original debe ser diferenciada dos veces (es decir, debe tomarse la primera diferencia de la primera diferencia) para hacerla estacionaria, se dice que la serie original es integrada de orden dos, o I(2). En general, si una serie de tiempo debe ser diferenciada d veces, esta se dice que esta es integrada de orden d, o I(d). En su gran mayoría las series de tiempo económicas son integrada de orden uno, o I(1). Para saber si una serie es estacionaria o no, se debe determinar si es

estadísticamente igual a uno 1ˆ:0 H , o si es estadísticamente igual a cero

0ˆ:0 H . Lamentablemente, los estadísticos t que se obtengan no siguen una

distribución t de Student aun en muestras grandes. Bajo la hipótesis nula de 1 , el estadístico t calculado se conoce como el estadístico (tau), cuyos valores críticos han sido tabulados por Dickey-Fuller14, por lo que a esta prueba se conoce como la prueba de Dickey-Fuller (DF). 14 A. Dickey y W.A. Fuller. Distribution of the Estimators for Autoregressive Time Series with a Unit Root”. Journal of the American Statistical Association. Vol. 4 1979.

43

Posteriormente, las tablas con los valores críticos, fueron ampliadas por Mackinnon. Por razones teóricas y prácticas, la prueba de Dickey-Fuller se aplica a regresiones efectuadas en las siguientes formas:

ttt uYY 1

ttt uYY 11

ttt uYtY 121

Donde t es la variable tiempo o tendencia. En cada caso, la hipótesis nula es que

0 , es decir que hay una raíz unitaria, o lo que es lo mismo, la variable estocástica no es estacionaria. Si el término de error tu está correlacionado, se modifica la ecuación

ttt uYtY 121 de la siguiente forma:

t

m

iittt uYYtY

11121

donde, por ejemplo, 211 ttt YYY , 322 ttt YYY , etc., es decir se utilizan

términos en diferencia rezagados. El número de términos en diferencia rezagados que deben incluirse con frecuencia se determina empíricamente, siendo la idea incluir suficientes términos, de tal manera que el termino de error tu sea

serialmente. Independiente (ruido blanco). La hipótesis nula es la misma, es decir que existe una raíz unitaria en tY (o lo que es igual, tY es no estacionaria). Esta

prueba se llama Dickey-Fuller aumentada (ADF) En el paquete Eviews, se puede obtener fácilmente la prueba de Dickey-Fuller, para tal fin seleccionamos VIEWS/UNIT ROOT TEST, con lo cual obtenemos el siguiente cuadro:

44

Como se puede observar, en el cuadro se pueden identificar cuatro áreas: en la superior izquierda, identificamos que prueba se utilizará, la de Dickey-Fuller aumentada o la de Phillips-Perron (que se tratará mas adelante). En la inferior izquierda, indicamos si la prueba se va a realizar sobre la serie en niveles, primeras diferencias o segundas diferencias de la serie original. En el área superior derecha, especificamos la forma funcional del modelo a regresar: con intercepto solamente, con tendencia e intercepto, o finalmente, sin tendencia ni intercepto. Para esta parte resulta bastante importante ver el gráfico de la serie. Finalmente, en el área inferior derecho, indicamos el número de rezagos de la variable en diferencias que se va a utilizar. Por ejemplo, seleccionando:

Se obtiene el siguiente cuadro

45

El estadístico del test ADF (-2,749934) coincide con el estadístico t de la variable dependiente retardada IRENTA(-1), incluida como regresor en la ecuación estimada. La hipótesis nula ( :0H existe una raíz unitaria) se acepta si el estadístico t es

menor que los valores críticos de Mackinnon. En este ejemplo, comprobamos que la hipótesis nula se acepta a cualquiera de las de los tres niveles de significación presentados (1%, 5% y 10%), es decir, la serie IRENTA, presenta una raíz unitaria, es decir, no es estacionaria. Adicionalmente, podemos ver que tanto la tendencia como el intercepto son significativos a un 5%. Es importante destacar que un requisito para que esta prueba sea válida, es que el término de perturbación sea un ruido blanco, por lo cual, se hace necesario ver el correlograma de los residuales

46

Para que sea ruido blanco, los residuales no deben estar autocorrelecionados. En el correlograma se puede observar que los primeros 6 coeficientes de correlación no son significativos, con lo cual podríamos interpretar que el término de perturbación tu es un ruido blanco, por lo tanto la prueba del Dickey-Fuller es

válida En el caso de que no fuera un ruido blanco, se realiza una nueva prueba de Dickey-Fuller aumentada, incluyendo rezagos de la variable en diferencias.

A continuación se presenta un cuadro con el tipo de cambio promedio para Venezuela para el período 1996-2002. Se pide determinar si la serie es estacionaria o no.

CUADRO Nº 1VENEZUELA - TIPO DE CAMBIO PROMEDIO

(millones de US$)

1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002

ENERO 290,00 476,84 507,29 568,84 652,15 699,70 761,55FEBRERO 290,00 474,40 514,64 577,10 658,51 702,58 884,21MARZO 290,00 478,40 520,90 579,40 666,12 705,52 947,22ABRIL 360,47 479,25 530,08 587,29 672,01 709,64 876,54MAYO 468,89 483,27 537,05 595,63 679,53 714,39 965,48JUNIO 471,25 485,63 542,00 602,13 680,55 716,69 1196,74JULIO 470,75 491,25 557,39 610,56 685,21 722,00 1328,98AGOSTO 474,20 495,90 570,19 615,22 688,89 730,82 1373,93SEPTIEMBRE 476,12 496,79 584,42 624,48 690,08 742,94 1457,20OCTUBRE 470,01 498,62 571,25 630,19 692,46 743,07 1452,32NOVIEMBRE 471,57 499,93 569,25 634,15 695,31 744,73 1366,60DICIEMBRE 474,73 502,80 566,19 643,35 698,34 751,91 1320,67

FUENTE: B.C.V.

EJERCICIO Nº 1

47

En primer lugar debemos observar el gráfico de la serie:

Gráfico Nº 5

En el gráfico Nº 5, se observa que la serie de tiempo muestra una clara tendencia ascendente, por lo que la media no puede ser constante, lo que evidencia que la serie no es estacionaria en niveles. En segundo lugar vemos el correlograma:

Gráfico Nº 6 Correlograma TCP

Observando el correlograma, vemos como la función de autocorrelación decrece exponencialmente y de forma lenta, mientras que la función de autocorrelación parcial presenta un valor significativo en el retardo uno, con un coeficiente de

48

autocorrelación cercano a uno (0,93). Este gráfico puede considerarse como indicativo de la no estacionariedad de la serie, es decir, presenta raíz unitaria. Para comprobar de forma más exhaustiva esta característica de la serie, procedemos a aplicar la prueba de raíces unitarias. Seleccionando en el cuadro de diálogo de aplicación de la prueba ADF (datos en niveles, tendencia, intercepto y tres rezagos). Eviews nos presenta los siguientes resultados:

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GRAFICO Nº 7 CORRELOGRAMA DE

LOS RESIDUOS

El estadístico ADF (-3,4181) es menor que el valor crítico de Mackinnon a un 5% de significación, por lo que se acepta la hipótesis nula, es decir, la serie TCP presenta raíz unitaria, no es estacionaria. A continuación se presenta la prueba de Dickey-Fuller para la primera diferencia del tipo de cambio promedio y el correlograma de los residuales:

50

7. PRUEBA DE PHILLIPS-PERRON (test PP) Phillips y Perron15 propusieron en 1988 un método no paramétrico para controlar la correlación serial de orden elevado en una serie. La prueba de regresión contenida en el test PP es el proceso autorregresivo de primer orden AR(1):

ttt YY 1

Mientras que la prueba ADF corrige la correlación serial de orden elevado añadiendo más retardos del término diferenciado de la serie original en el lado derecho de la ecuación, el test PP realiza una corrección del estadístico t sobre el coeficiente en la regresión AR(1) para considerar la correlación serial en el término . La distribución asintótica del estadístico t del test PP es la misma que la del estadístico t de la prueba ADF y se contrastan los resultados del test con los valores críticos de Mackinnon. Igual que en la prueba ADF tenemos que especificar si incluimos una constante, constante mas término de tendencia o nada en la regresión, para el test PP además hay que especificar el numero de períodos de correlación serial a incluir. 15 Pulido, Antonio y Ana María López. Ob.Cit. p.271

51

8. ESTACIONALIDAD La estacionalidad16 es un comportamiento cíclico que se apoya en un calendario común. Un ejemplo de una serie de tiempo muy estacional sería la venta de juguetes, la cual exhibe un punto máximo en la temporada de navidad. A menudo los puntos máximos o mínimos estacionales pueden identificarse fácilmente mediante la observación directa de la serie, pero en el caso en que la serie de tiempo fluctúa en forma considerable, éstos no pueden distinguirse de las otras fluctuaciones. La identificación de la estacional es importante, debido a que proporciona información acerca de la regularidad en la serie que puede ayudarnos a hacer un mejor pronóstico. A través de la función de correlación podemos identificar la posible estacionalidad de la serie. Si una serie de tiempo mensual presenta estacionalidad anual, los datos individuales en la serie mostraran algún grado de correlación con los datos individuales correspondientes que se rezagan por 12 meses. A continuación observamos el correlograma de la serie IRENTA en primeras diferencias (la cual es estacionaria). En el mismo se puede ver los coeficientes de 16 Pindyck. Robert y Daniel L. Rubinfeld. Ob.Cit. p.530

52

correlación para las observaciones 12 y 24 son significativos, indicando una estacionalidad anual

GRAFICO Nº 8

Si la estacionalidad fuera semestral, por ejemplo, los coeficientes de correlación para las observaciones 6,12,18,24.... serían significativos. 9. MODELO AUTORREGRESIVO DE ORDEN p (AR(p)) Un modelo autorregresivo de orden p la observación actual tY es función del

promedio ponderado de observaciones pasadas que se remontan p periodos, junto con una perturbación estocástica en el período actual. Denotamos este proceso como AR(p) y escribimos su ecuación de la siguiente forma:

tptptttt YYYYY ...332211

donde es una constante y t es un ruido blanco.

Se debe recordar que con un modelo autorregresivo de orden p, se pretende recoger la parte determinista de la serie de tiempo, es decir, las características

53

predeterminadas y propias de la misma. En la práctica habitual lo mas frecuente es trabajar con modelos autorregresivos de orden bajo, AR(1) o AR(2). Un AR(p) se caracteriza por el siguiente comportamiento: Una función de correlación Con decaimiento exponencial o suave hacia cero y una función de autocorrelación parcial que se anula a partir del p-esimo rezago. Por ejemplo en el correlograma del tipo de cambio promedio (gráfico Nº 6), observamos un posible AR(1) o AR(2) En los modelos autorregresivos la estacionalidad se trata a través de los modelos SAR(s)

SAR(s) : tstt YY 0

S = 4 para datos trimestrales S =12 para datos mensuales

10. MODELO DE PROMEDIO MOVIL DE ORDEN q (MA(q)) Este tipo de modelo establece que el valor actual de la serie es determinado por movimientos no predecibles (aleatorios) de la misma en el pasado. Tales fluctuaciones de carácter no determinístico son representadas a través de perturbaciones aleatorias del tipo ruido blanco. Denotamos este modelo como MA(q) y escribimos su ecuación como:

qtqtttttY ...332211 blancoruidot .

Se puede decir que un MA(q) es sencillamente una combinación lineal de términos de error de ruido blanco. con un modelo de promedio móvil de orden q, se pretende recoger la parte puramente aleatoria de la serie de tiempo al igual que en los modelos autorregresivos, los ordenes suelen ser pequeños. Un modelo de promedio móvil de orden q se caracteriza por una función de autocorrelación que se anula a partir de q-esimo rezago y una función de correlación parcial con decaimiento exponencial o suave hacia cero. En los modelos de promedio móvil la estacionalidad se trata a través de los modelos MAR(s)

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MAR(s) : stttY

S = 4 para datos trimestrales S =12 para datos mensuales

11. MODELO AUTORREGRESIVO DE PROMEDIO MOVIL (ARMA(p,q)) La combinación de los modelos anteriormente señalados, da a lugar lo que se conoce como modelo autorregresivo de promedio móvil (ARMA), de gran poder explicativo y que se aplica básicamente a series de tiempo que no muestran tendencia. El caso mas simple y frecuente de orden (1,1), quedaría definido como:

1111 tttt YY

y en el caso mas general, un modelo ARMA(p,q) correspondería a la expresión:

qtqttptptt YYY ...... 1111

Resulta lógico pensar entonces que los modelos autorregresivos corresponden a modelos ARMA(p,0) y los de promedios móviles a modelos ARMA(0,q). Un modelo ARMA se caracteriza por que tanto la función de correlación como la de correlación parcial decaen suavemente a cero.. 12. MODELO AUTORREGRESIVO INTEGRADO DE PROMEDIO MOVIL (ARMA(p,d,q)) Si se debe diferenciar una serie de tiempo d veces para hacerla estacionaria y luego aplicar el modelo ARMA(p,q), se dice que la serie de tiempo original es ARIMA(p,d,q), es decir una serie autorregresiva integrada de promedios móviles, donde p denota el número de términos autorregresivos, d el número de veces que la serie debe ser diferenciada para hacerse estacionaria y q, el número de términos de promedio móvil. En general, un modelo ARIMA(p,d,q) corresponderá a la expresión17:

17 Pulido, Antonio y Ana María López. Ob.Cit. p.262

55

qtqttptd

ptd

td YYY ...... 1111

en la que se ha eliminado el término independiente, el cual frecuentemente es nulo al trabajar con series en diferencias. Otra forma de expresar el modelo es utilizando el operador de retardo B, el cual aplicado al valor de una variable, desfasa esta en un período:

1 tt YBY

y aplicado en forma sucesivamente j veces, desfasa en j períodos:

jttj YYB

Utilizando el operador de retardo, el modelo Arima puede expresarse de la siguiente forma:

tq

qtdp

p BByBBB ...11...1 1

o en forma mas condensada:

tqtd

p BYB

ejemplo de modelo ARIMA(1,1,1)18

tt BYB 11

1)(

tt BYBB )1(11 11

11211 )( tttttt YYYY

DECISIÓN SOBRE LOS ORDENES p Y q

18 Pulido, Antonio y Ana María López. Ob.Cit. p.263

56

Una guía19 bastante aceptable para decidir sobre el orden de q y p en un modelo ARIMA es observando las funciones de correlación y correlación parcial. Un proceso autorregresivo se caracteriza por una función de autocorrelación decreciente (geométricamente, con valores de igual signo, alternantes o incluso ondulados) y una función de autocorrelación parcial con uno o dos coeficientes sólo significativos según que el modelo apropiado sea AR(1) o AR(2). Los modelos MA() y MA(2) se caracterizan por un comportamiento similar a los procesos autorregresivos pero cambiando las funciones, es decir, una función de autocorrelación parcial decreciente y una función de autocorrelación con uno o dos coeficientes sólo significativos. Por último un proceso ARMA(1,1) se caracteriza por que ambas funciones de autocorrelación muestran tendencias decrecientes con todas las posibles combinaciones de cada tipo de decrecimiento (geométricamente, con o sin cambio de signos, y ello en cada una de las funciones).

13. METODOLOGÍA DE BOX - JENKIS

19 Pulido San Roman, Antonio y Julián Pérez García. Modelos Econométricos. Ediciones Pirámide S.A.. Madrid. 2001. P.648

k kkACF PACF

Ejemplo de un correlograma característicode un proceso AR(1)

k kkACF PACF

Ejemplo de un correlograma característico de un proceso MA(1)

k kkACF PACF

Ejemplo de un correlograma característico de un proceso ARMA(1,1)

57

La metodología de Box – Jenkis para la estimación de un modelo ARIMA, está conformado en forma general por cuatro etapas:

Identificación: Se apoya en dos instrumentos gráficos que miden el grado de correlación serial en la serie de tiempo. Estas herramientas son: la función de autocorrelación (ACF) y la función de autocorrelación parcial (PACF). La idea central es cada modelo se asocia con un ACF y PACF teóricas.

Estimación: En esta etapa se obtienen estimaciones de los parámetros del modelo elegido en la etapa de identificación.

Diagnóstico-Chequeo: Se utilizan test estadísticos que permiten determinar si el modelo es estadísticamente adecuado, es decir, si los residuos del modelo son no correlacionados. Además los test dan indicios de cómo reformular en caso de ser necesario.

Predicción: Una de las características que hacen atractiva la utilización de un modelo ARIMA, es su capacidad de predicción. En muchos casos las predicciones obtenidas por este método son más confiables que aquella obtenidas de la elaboración tradicional de modelos, particularmente para predicciones a corto plazo.

En forma mas detallada, las etapas para construir un modelo ARIMA son20:

1. Recopilación de los datos: Para aplicar esta técnica se necesita un mínimo de 20 datos o observaciones para series no estacionales y al menos 30-40 para series estacionales. Sin embargo, es conveniente de 50 o mas datos y para el caso, muy frecuente, de series mensuales, es frecuente trabajar entre seis y diez años completos de información.

2. Representación gráfica de la serie: Para decidir sobre la estacionalidad de la serie es de gran utilidad disponer de un gráfico de la misma.

3. Transformación previa de la serie: La transformación logarítmica es necesaria en caso de heterocedasticidad. Sin embargo, es una transformación muy frecuente, incluso en series con dispersión relativamente constantes en el tiempo. Una posibilidad práctica es ensayar siempre con la serie original y en logaritmos y comparar resultados.

4. Estacionalidad: La observación del gráfico de la serie, conjuntamente con el correlograma y la prueba de Dickey – Fuller, nos indicará la estacionariedad o no del modelo, Igualmente nos indicará si hay que aplicar diferencias o no de la variable. Como se comentó anteriormente, la mayoría de las variables económicas son I(1), lo cual obliga a diferenciar una sola vez a la variable, d=1.

5. Identificación del modelo: El paso siguiente consiste en determinar el tipo

de modelo más adecuado para la serie objeto de estudio, es decir, el orden de los procesos autorregresivos y de promedios móviles de los

20 Ibíd. P.285

58

componentes regular y estacional, (valores de p, q, P y Q). Técnicamente, esta decisión se tomará a partir de las funciones de autocorrelación y autocorrelación parcial. Habitualmente se terminará eligiendo entre los procesos mas simples: AR(1), AR(2), MA(1), MA(2) Y ARMA(1,1), tanto en la parte regular como la estacional. En caso de duda pueden seleccionarse varios modelos alternativos, que serán estimados y contrastados posteriormente, para decidir el que se adoptará en definitiva.

6. Estimación del modelo: Decidido el modelo, se procede a la estimación del mismo. El programa Eviews permite el calculo automático del modelo ARIMA.

7. Contraste de validez conjunta del modelo: Se utilizan diversos procedimientos para valorar el modelo o modelos inicialmente seleccionados: contraste de significación de los parámetros, covarianza entre estimadores, coeficientes de correlación, etc.

8. Análisis detallado de los residuales: Deberá comprobarse un comportamiento no sistemático de los mismos, así como se debe analizar la posible existencia de residuales especialmente significativos.

9. Selección del modelo definitivo: Con base en los resultados obtenidos en las etapas precedentes, se deberá escoger el modelo definitivo.

10. Predicción: El modelo seleccionado servirá como fórmula inicial de predicción. Deberá comprobarse la congruencia de las predicciones con los valores ya conocidos y analizar a los errores que se vayan cometiendo. El modelo podré reestimarse con la nueva información disponible o incluso reiniciar todo el proceso en caso de resultados no satisfactorios.

Finalmente es importante mencionar y recalcar la importancia que tiene la estacionariedad de la serie de tiempo después de una o más diferenciaciones para la metodología de Box – Jenkis. El objetivo de esta, es identificar y estimar un modelo estadístico que pueda ser interpretado como generador de la información muestral. Entonces, si este modelo estimado va a ser utilizado para predicción, se debe suponer que sus características son constantes a través del tiempo y, particularmente , en periodos de tiempo futuro. Así la simple razón para requerir información estacionaria es que cualquier modelo que sea inferido a partir de esta información pueda ser interpretado como estacionario o estable, proporcionando, por consiguiente, una base válida para predicción21.

21 Gujarati, Damodar. Ob.Cit. P. 721.

59

A continuación se presenta una serie de tiempo para los precios reales de la cesta petrolera venezolana para el periodo enero 1980 – mayo 200122.

Precio Petroleo de la cesta venezolana en términos reales de los precios IPC de los EE.UU.

USD de 1984(USD/B)

1980 1981 1982 1983 1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991ENERO 33,12 36,80 30,85 26,63 26,74 25,02 21,98 14,69 12,08 12,74 14,69 15,43FEBRERO 32,79 36,89 29,58 26,51 26,15 24,74 16,18 13,81 11,35 12,06 13,19 11,98MARZO 32,21 35,23 27,64 24,84 25,62 25,26 12,33 14,43 10,70 12,99 12,30 12,52ABRIL 29,51 33,88 27,64 24,07 25,75 24,48 11,17 14,37 12,19 15,65 11,44 10,96MAYO 30,13 33,61 28,63 25,15 25,89 24,25 10,96 15,08 12,48 15,17 11,50 11,57JUNIO 31,23 31,71 28,75 24,62 25,98 25,03 10,60 14,22 12,32 13,81 11,18 10,79JULIO 31,77 30,21 28,34 25,13 25,59 23,88 8,97 15,88 12,30 12,74 11,56 10,96AGOSTO 31,45 30,65 27,92 25,61 25,57 22,90 10,07 15,25 11,67 11,91 18,28 11,54SEPTIEMBRE 30,83 30,70 27,78 26,11 25,75 23,50 10,89 14,23 11,37 13,48 21,17 10,16OCTUBRE 31,88 30,76 28,44 25,74 25,60 23,80 10,10 14,58 10,08 13,18 20,76 13,34NOVIEMBRE 33,18 30,75 28,51 26,30 25,11 23,51 11,07 14,41 10,40 13,31 19,75 12,05DICIEMBRE 34,25 31,19 28,15 25,35 24,70 23,10 11,03 11,59 10,46 15,92 17,32 11,59

1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001ENERO 9,12 10,13 7,77 9,43 9,84 13,56 8,63 5,61 13,99 13,24FEBRERO 9,05 10,15 8,13 9,34 10,26 11,99 7,52 5,12 15,20 12,78MARZO 8,70 10,52 7,78 9,72 11,33 10,99 7,05 6,67 15,48 11,47ABRIL 10,50 10,40 8,81 11,04 11,96 10,20 7,42 8,24 12,86 12,60MAYO 11,06 10,36 9,16 10,98 11,44 10,59 7,06 8,30 14,82 13,06JUNIO 11,78 9,23 10,24 9,76 10,09 9,73 5,96 8,58 16,18JULIO 11,51 8,38 9,78 9,17 10,98 9,72 6,08 10,20 15,21AGOSTO 11,39 5,71 9,52 9,46 11,20 10,04 6,06 10,69 15,93SEPTIEMBRE 12,00 9,56 8,32 9,38 12,53 10,80 7,03 12,10 17,27OCTUBRE 11,50 9,46 8,66 8,39 13,61 10,24 6,70 12,04 16,90NOVIEMBRE 10,99 8,37 9,29 9,30 12,60 10,12 5,77 13,37 17,00DICIEMBRE 9,81 6,26 9,14 10,89 13,33 9,31 4,90 13,53 13,33

Se requiere mediante la estimación de un modelo ARIMA, realizar la estimación para el precio del petróleo para los próximos 6 meses. Solución:

22 Ejercicio tomado de los apuntes de clase de la cátedra de Econometría II, de la Maestría en Teoría y Política Económica de la Universidad Central de Venezuela. Febrero 2002.

EJERCICIO Nº 2

60

Inicialmente se realizará el estudio de la estacionariedad de la serie con los valores expresados en logaritmos de tal manera que se pueda eliminar de cierta forma cualquier posible problema de heterocedasticidad que pueda presentar la serie, y en cierta medida que esta sea estacionaria en la varianza. Seguidamente se presentan: le gráfico en niveles de la serie, el correlograma del mismo y los test de Dickey-Fuller y Phillips-Perron

En el gráfico se observa que la serie no tiene una media constante al mostrar una clara tendencia negativa, lo cual indica la no estacionariedad de la serie en niveles.

En el correlograma se puede observar como la función d autocorrelación (ACF) decrece exponencialmente y de forma lenta, mientras que la función de autocorrelación parcial presenta un valor significativo en el retardo uno, con un

61

coeficiente de autocorrelación cercano a uno (0,971). Este correlograma reafirma la hipótesis de no estacionariedad de la serie.

Finalmente tanto el test de Dickey-Fuller como el de Phillips-Perron llevan a aceptar la hipótesis nula de la existencia de raíz unitaria en la serie. En conclusión, la serie en niveles no es estacionaria

62

A continuación se realizan las mismas pruebas para la serie en primera diferencia

1 tt PRECIOSPRECIOSPRECIOS

El grafico muestra como la media de la serie es constante, lo cual es indicativo de que la serie es estacionaria

En el correlograma se observa como la función de autocorrelación no es significativo para ningún rezago, lo cual es indicativo de una serie estacionaria.

63

En el test de Dickey-Fuller se acepta la hipótesis alterna de la no existencia de raíz unitaria en la serie, es decir, la serie en primera diferencia es estacionaria. Es importante resaltar, que se ha comprobado a través del Correlograma de los residuos, que estos sean un ruido blanco con el fin de validar los resultados del test

64

.

El test de Phillips-Perron reafirma los resultados del test de Dickey-Fuller Como se mencionó anteriormente la serie LPRECIOS no es estacionaria en niveles, por lo que es necesario trabajar con la serie en primera diferencia ( 1 tt PRECIOSPRECIOSPRECIOS ). Ahora es necesario analizar las funciones

de Autocorrelación y Autocorrelación parcial de DLPRECIOS con el propósito de construir el modelo ARIMA que mejor explique su comportamiento. Para determinar el orden óptimo de “p” y “q” se utilizará la aproximación de Box-Jenkis, es decir, se estudiará la Función de Autocorrelación, (cuyo estudio permite encontrar el nivel de “q” óptimo) y la Función de Autocorrelación Parcial (que permite encontrar el nivel de “p” optimo), A continuación se muestra el correlograma

65

Como puede observarse en el correlograma ni la ACF Ni la PACF muestran un comportamiento sistemático, lo que si puede observarse claramente es que ambas funciones se mueven en el mismo sentido, lo que puede indicar que el orden de “p” y “q” son iguales. De forma que el procedimiento de determinación de “p” y “q” óptimos será por tanteo y de esta forma encontrar la especificación que mejor se ajuste al comportamiento de la serie. Inicialmente estimaremos un modelo ARIMA (1,1,1)

66

Como se puede observar en los resultados obtenidos, los coeficientes son individualmente significativos y los residuales son ruido blanco, lo que es indicativo del buen ajuste del modelo, no obstante los valores de las raíces invertidas son muy cercanos a uno23. Por lo que se desecha el modelo.

23 Es importante chequear la estacionariedad e invertibilidad del modelo ARIMA. La invertibilidad define la capacidad de un modelo para representar adecuadamente el corto plazo, esto es, un modelo invertible es aquel en el cual el valor corriente de la serie Xt es fundamentalmente determinado por el pasado mas reciente. Verificar la estacionariedad e invertibilidad, se lleva a

cabo mediante los polinomios B y B de la siguiente manera:

1) un modelo AR(p) es estacionario si la raíces del polinomio B están fuera del circuito

unitario, esto es, si es raíz de B debe cumplirse que 1 lo que equivale que su raíz

invertida sea menor que 1, 111

2) un modelo MA(q) es invertible si la raíces del polinomio B están fuera del circuito unitario,

esto es, si es raíz de B debe cumplirse que , 1 lo que equivale que su raíz invertida

sea menor que 1, 111

3) Un modelo ARMA(p,q) será estacionario e invertible si las raíces de los polinomios

B y B se encuentran fuera del circulo unitario.

67

A continuación se procede a estimar un modelo ARIMA (2,1,2)

68

En el modelo resultante se puede ver que los coeficientes son individualmente significativos24 y las raíces invertidas son menores que uno (0,50 y 0,48). Igualmente los valores de los criterios de Akaike y Schwarz son menores que en modelo ARIMA (1,1,1). Finalmente se comprobó a trabes del correlograma que los residuos son ruido blanco. Otra forma de chequear si los residuales son ruido blanco es utilizando el Serial Correlation LM test

el cual determina la presencia o no de correlación serial en el modelo a través de la estimación de un modelo en el cual los residuales están en función de las variables explicativas del modelo original y de sus valores rezagados.

24 Tanto en el modelo ARMA(1,1,1) como en el ARMA(2,1,2), el intercepto no resultó significativo, motivo por el cual se omitió en las salidas finales.

69

Como se puede observar ninguno de los coeficientes de los rezagos de los residuales son significativos lo que indica la no autocorrelación del modelo, por lo que se puede afirmar que los residuales son ruido blanco.

Finalmente realizamos una estimación con el modelo ARIMA (2,1,2) de los valores de la serie para comprobar la calidad del ajuste. Para tal fin señalamos FORECAST en el menú secundario de Eviews, y seleccionamos la estimación estática.

Eviews procederá a realizar la estimación de la variable que le indiquemos y la almacenará en una variable creada por defecto para tal propósito, la cual tiene el mismo nombre de la variable a estimar pero con la letra “F” al final de la misma.

70

Graficando las dos variables, la real, LPRECIOS, y la estimada LPRECIOSF, podemos apreciar la calidad del ajuste de nuestro modelo ARIMA (2,1,2).

Finalmente, después de aceptar el modelo ARIMA (2,1,2) como nuestro modelo óptimo, procedemos a estimar los valores proyectados para los próximos 7 meses. Antes de proceder a la estimación es necesario cambiar los parámetros del rango y sample de la serie para que estos incluyan el período a proyectar.

71

pulsando dos veces el botón derecho del ratón de la computadora sobre el rango, y posteriormente en el sample, en la pantalla, aparecerá los siguientes cuadros, donde se definirá los nuevos parámetros.

ya realizado el cambio en el rango y el sample, procedemos a realizar una estimación dinámica del modelo, igual que en el caso anterior señalamos en el menú secundario FORECAST e indicamos las características de la estimación

72

y obtenemos los valores proyectados deseados

73

A continuación se presenta datos para el indicador de valor de la industria manufacturera 25privada para el período enero 1992 – mayo 2001

CUADRO N° 2 INDUSTRIA MANUFACTURERA PRIVADA ÍNDICE DE VALOR DE LA PRODUCCIÓN

(BASE 1997=100)

1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001

ENERO 9,14 11,70 14,95 26,22 43,56 74,84 105,42 98,77 104,81 133,84

FEBRERO 10,83 13,59 17,29 30,06 52,26 81,93 117,13 113,21 131,36 145,18

MARZO 11,66 16,01 19,47 37,48 62,94 85,81 137,49 123,78 146,06 170,76

ABRIL 10,86 12,66 19,36 30,92 59,08 99,09 122,83 111,43 121,98 143,29

MAYO 12,10 14,43 22,11 40,30 72,53 97,36 125,06 118,93 147,96 170,00

JUNIO 12,63 13,80 22,55 39,79 71,69 99,18 121,26 119,50 144,44

JULIO 12,48 14,70 20,76 37,55 81,40 107,32 114,27 122,79 138,10

AGOSTO 12,50 16,19 23,63 42,51 80,94 106,24 117,59 127,32 154,03

SEPTIEMBRE 12,84 17,14 24,45 40,61 84,89 111,73 121,19 130,77 151,35

OCTUBRE 13,28 16,80 25,45 39,73 83,12 120,11 124,18 127,00 155,85

NOVIEMBRE 13,76 18,01 28,88 44,78 84,68 116,24 130,04 139,07 171,28

DICIEMBRE 11,10 14,75 24,59 37,05 67,17 100,13 100,32 112,28 140,54

25 Ejercicio tomado de: Benzaquen S. Moises y Manuel Delgado. “Evaluación del Comportamiento Actual y Modelización del Comportamiento Futuro del Sector Manufacturero Privado Venezolano a Través del Indice Valor período( 1992-2000”. Trabajo Especial de Grado para optar al Título de Economista (01-08-N). Universidad Santa María. Caracas. 2001

EJERCICIO Nº 3

74

Como primer paso, se presenta el gráfico de la variable en estudio para determinar si es estacionaria o no. Una variable estacionaria en su media no muestra tendencia ya que por definición su media es constante

GRAFICO Nº 9 ESTUDIO DE LA VARIABLE

EN NIVELES

En el gráfico se ve claramente que la media no es constante, presenta una clara tendencia, lo que señala la no estacionariedad en la varianza del modelo. La variable se ha expresado en logaritmo para que la serie sea estacionaria en su varianza. Como segundo paso, se realiza el análisis del correlograma. La condición de estacionariedad se caracteriza por una caída rápida en la autocorrelación.

GRAFICO Nº 10

75

CORRELOGRAMA DE LA VARIABLE EN NIVELES

Se puede observar que la autocorrelación desciende muy lentamente, lo que señala la no estacionariedad en la media de la variable. los estudios anteriores determinan que la variable en niveles no es estacionaria, por lo tanto a continuación se analiza con la misma metodología la primera diferencia del logaritmo de la variable.

Gráfico Nº 11 ESTUDIO DE LA VARIABLE EN

PRIMERA DIFERENCIA

El gráfico muestra medida y varianza constante, lo que indica que la variable es débilmente estacionaria.

76

Gráfico Nº 12 CORRELOGRAMA DE LA VARIABLE

EN PRIMERA DIFERENCIA

La autocorrelación desciende rápidamente, lo que indica o refuerza la estacionariedad de la variable. Adicionalmente se aprecia que el coeficiente de autocorrelación es significativo para la primera observación lo que es indicativo de un modelo de medias móviles de orden 1, MA(1). Igualmente en el coeficiente de correlación parcial es significativo para las dos primeras observaciones, lo que es representativo de un modelo auto regresivo de orden 2, AR(2). También es importante destacar que el correlograma indica un comportamiento estacional aleatorio indicado por la significancia de las observaciones 12, 24. Motivo por el cual en el modelo a estimar incluir un proceso ARMA estacional que defina retardos de 12 períodos. Finalmente para reforzar el análisis anterior se plantea el Test de Dickey Fuller ampliado.

77

TEST DE DICKEY FULLER PARA LA VARIABLE EN PRIMERA DIFERENCIA

Condiciones, no intercepto, no tendencia y cero rezagos

Donde IVAL97 = Indice de la producción manufacturera -13,03642 < -2.5643: por lo que se acepta la hipótesis alternativa de que no hay existencia de raíz unitaria, debido a que la variable es débilmente estacionaria. El test para que sea válido, los residuos tienen que ser un ruido blanco, es decir, con 0TE y varianza = 2

78

Gráfico Nº 13 CORRELOGRAMA DE LOS RESIDUOS

Observando el correlograma de los residuos vemos que las tres primeras autocorrelaciones no son significativas, indicando que los residuos son ruido blanco por lo tanto el test de Dickey Fuller es válido. Acorde con el análisis efectuado se puede decir que la variable es integrada de orden 1, lo que significa que hay que diferenciarla una vez para que sea estacionaria; por lo tanto el modelo ARIMA a estimar se basará en la variable en primera diferencia. Es importante destacar que en el correlograma sigue apareciendo el comportamiento estacional para las observaciones 12 y 24. PLANTEAMIENTO DE LA ECUACIÓN DEL MODELO ARIMA En concordancia con los resultados obtenidos, el modelo a estima está definido por la ecuación:

tt aBBIVALBB 12121222 97

Cuadro Nº 3

79

ESTIMACIÓN DEL MODELO ARIMA Donde IVAL97 = Indice de la producción manufacturera. Análisis de los Resultados

- Los parámetros son individualmente significativos a un 5% de significancia. - La raíz invertida del modelo autorregresivo es menor a uno.

142,027,087,0 22 , lo que señala la estacionariedad del modelo.

- La raíz invertida del modelo de promedios móviles es menor que uno 183,0

lo que indica la invertibilidad del modelo, es decir, tiene capacidad de predicción en el corto plazo - Realizando la estimación de la variable a través del modelo ARIMA planteado para el periodo en estudio se puede ver que el modelo se presta bastante bien a la

80

- serie en estudio; de manera especial en las ultimas observaciones, lo que refuerza la idea de la capacidad predictiva del modelo planeado.

GRAFICO Nº 14

ESTIMACIÓN DEL ÍNDICE DE VALOR DE LA INDUSTRIA MANUFACTURERA A

TRAVÉS DEL MODELO ARIMA (Millones de Bolívares)

En el gráfico se tiene la estimación de la data histórica del indicador de valor de la producción a través del modelo especificado.

Gráfico Nº 15 PROYECCIÓN DEL ÍNDICEDE VALOR DE LA

81

INDUSTRIA MANUFACTURERA A TRAVÉS DEL MODELO ARIMA

(Millones de Bolívares)

En el gráfico se muestra conjuntamente la data histórica real estimada para poder apreciar el ajuste que obtiene o a través del modelo. Se puede observar que los valores estimados se ajustan bastante bien a la data real, sobre todo en las últimas observaciones lo que refuerza la capacidad de la proyección del modelo.

Gráfico Nº 16

CORRELOGRAMA RESIDUOS MODELO ARIMA

82

El correlograma de los residuos para el modelo obtenido, se aprecia que los residuos son ruido blanco lo cual indica que el modelo está bien planteado. Análisis del Modelo

Dado los elementos señalados, aceptamos el modelo ARIMA obtenido como adecuado para realizar proyecciones de la variable en estudio.

Ecuación resultante:

))83,0(1(97525,097415,096714,097)35,0(1)()36,0()07,1(1( 122 BDDDDLIVALBBB

Desarrollando:

aBDDDDLIVALBBB )83,01(97525,097415,096714,097)35,01)(36,007,11( 122

Quedando la ecuación final:

83

)1(83,097525,0

97415,096714,0)14(9735,0*36,0)13(9735,0*07,1

)12(9735,0)2(9736,0)1(9707,197

aaD

DDDLIVALDLIVAL

DLIVALDLIVALDLIVALDLIVAL

Cuadro Nº 7 PROYECCIONES DEL ÍNDICE DE

VALOR DE LA PRODUCCIÓN

AÑO MES IVAL97

2001 junio 169,842001 julio 162,962001 agosto 180,49

donde IVAL97 = Índice de valor de la producción manufacturera En el cuadro N° 7 se tienen los valores proyectados del índice de valor de la producción manufacturera del sector privado a través del modelo ARIMA estimado. 14. MODELOS DE FUNCION DE TRANSFERENCIA (MARMA)

Un modelo de función de transferencia o modelo de promedio autorregresivo móvil autovariado (MARMA) es aquel que relaciona una variable dependiente con valores rezagados de si misma,, valores actuales y rezagados de una o más variables explicativas y un término de error que es explicado en forma parcial por un modelo de series de tiempo26. Por ejemplo para una sola variable explicativa, la especificación de un modelo MARMA puede ser:

tktktttt uXXXXY ...22110

donde

qtqttptptt uuu ...... 1111

26 Pindyck, Robert. Ob.Cit. p.618

84

La utilidad que presenta un modelo de función de transferencia, es que proporciona mejore pronósticos que un modelo de regresión mínimo cuadrática solo o una serie de tiempo sola dado que incluye tanto una explicación estructural (económica) de esa parte de la varianza de la variable dependiente que puede explicarse desde el punto de vista estructural como una explicación de series de tiempo de esa parte de la varianza de la variable dependiente que no puede explicarse estructuralmente. El cuadro siguiente presenta un ejemplo de un modelo de función de transferencia27 o modelo de promedio autorregresivo móvil autovariado (MARMA).en el cual relacionamos el Indice de precios al consumo (IPC) para un país hipotético y el Índice de precios al consumo de bienes no alimenticios (IPCNA)

tuIPCNADLOGIPCDLOG )12,2,(86229,0)12,2,(

con

112 989948,0530094,0 tttt uu

27 Tomado de Pulido Antonio y Ana María López. Ob.Cit. p.365

85

CAPITULO III

MODELO DE VECTORES AUTORREGRESIVOS (VAR) Los modelos de vectores autorregresivos28 (VAR) fueron originalmente propuestos como alternativa a la modelización econométrica convencional. El objetivo fundamental de la propuesta era proporcionar una estrategia de modelización alternativa a los modelos econométricos convencionales. Esta nueva modelización evitaría las imposiciones derivadas de la estimación e identificación de un modelo econométrico, y permitiría especificar modelos que reflejaran lo más fielmente posible las regularidades empíricas29 e interacciones entre las variables objetos de análisis. En forma aproximada, podríamos considerar los modelos VAR como un híbrido entre los modelos AR, pues en su modelización interviene la variable endógena retardada, las funciones de transferencia y los modelos de ecuaciones simultaneas, dado que se incorporan variables explicativas que a su vez son endógenas de otra ecuación. Por lo que, en definitiva, no especificamos un modelo uniecuacional, como los modelos ARMA, sino, que, al menos, se especifican dos ecuaciones. El enfoque VAR soluciona la necesidad de la especificación estructural de los modelos mediante la modelización de cada variable endógena en el sistema de ecuaciones como función de los valores retardados de todas las variables endógenas del sistema. La expresión matemática de un modelo VAR es:

ttptpttt xyyyy ...2211

donde yt es un vector de g variables endógenas, xt es un vector de k variables explicativas, p ...,1 y son matrices de coeficientes a estimar, y t es un vector de

innovaciones que puede estar correlacionado contemporáneamente con los demás, pero nunca correlacionado con las variables ubicadas a la derecha de la ecuación. Dado que en la parte derecha de cada ecuación sólo aparecen valores retardados de las variables endógenas, no hay problema de simulteanidad30, y el método de estimación del modelo puede ser el de mínimos cuadrados ordinarios. La cuestión 28 Capítulo tomado de: Pulido, Antonio y Ana María López. Ob.Cit. p375 29 Los modelos VAR centra su interés en la capacidad predictiva del modelo, sacrificando la base teórica del mismo. 30 La Simulteanidad o interdependencia es un problema que sucede en los sistemas de ecuaciones simultaneas cuando existe relaciones de causalidad de doble sentido entre las ecuaciones del modelo.

Es decir ji yy , indicando por la flecha de doble dirección el sentido de causalidad de iy a jy , y

viceversa. Como es el caso del siguiente modelo:

tttt xyy 1122101

tttt xyy 2221102

donde existe relación causal simultanea de la forma: ji yy

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relativa a que las perturbaciones puedan estar serialmente correlacionadas, no es una condición restrictiva, porque en principio, cualquier correlación serial puede ser absorbida añadiendo mas retardos de las variables endógenas El vector autorregresivo (VAR) se utiliza normalmente para plantear sistemas de predicción de series de tiempo interrelacionadas y para analizar el impacto dinámico de posibles perturbaciones (shocs) aleatorias en el sistema de variables De esta forma los modelos de vectores autorregresivos proporcionan una técnica de predicción para series de tiempo interrelacionadas. Suelen utilizarse para analizar el impacto dinámico de diferentes tipos de perturbaciones aleatorias y control sobre el sistema de ecuaciones. Precisamente, una de las motivaciones fundamentales de la aplicación de modelos VAR reside en el estudio de las interacciones dinámicas estimadas en el modelo. Estas implicaciones dependerán de la estructura de de correlaciones contemporáneas reflejadas en la matriz de varianzas-covarianzas de las perturbaciones. Un ejemplo de un modelo VAR sencillo es:

tttt IMGSEXGSEXGS ,11211

tttt EXGSIMGSIMGS ,21211

donde se supone que la exportación totales de bienes y servicios (EXGS) y las importaciones totales de bienes y servicios (IMGS) están determinadas conjuntamente por un modelo VAR de dos ecuaciones. En este modelo un cambio en t,1 modificará inmediatamente el valor presente de

EXGS, pero también puede modificar valores futuros de EXGS y IMGS al incluir el valor retardado de EXGS en ambas ecuaciones. Si, en este ejemplo, las innovaciones t,1 y t,2 no están correlacionadas, la

interpretación es sencilla, pues t,1 sería la innovación para EXGS y t,2 , la innovación

para IMGS. La función de impulso-respuesta 31 para t,2 mide el efecto de una

variación en los errores sobre los valores actuales y futuro de las importaciones y el valor futuro de las exportaciones. Sin embargo, normalmente, los vectores de innovaciones están correlacionados, en forma que presentan un componente común que no puede ser asociado a ninguna 31 La función de impulsos-respuesta muestra la respuesta (reacción) de las variables endógenas en el sistema ante cambio en los errores.

87

variable específica. Un procedimiento arbitrario, pero de uso generalizado, para resolver este problema consiste en atribuir todo el efecto de cualquier componente común a la variable que se especifica en primer lugar en el modelo VAR. En el ejemplo, el componente común de t,1 y t,2 se atribuye totalmente a t,1 , porque t,1

precede a t,2 . De esta forma, t,1 es la innovación de las exportaciones y t,2 , la

innovaciones de la importaciones, se transforman para sustraer el componente común. Gujarati32 plantea algunos problemas en la elaboración de un modelo VAR, algunos de ellos son:

1. Un modelo VAR a diferencia de un modelo de ecuaciones simultaneas es a-teórico dado que centra su interés en la capacidad predictiva, y no en la base teórica del modelo.

2. Debido a su énfasis en la predicción, los modelo VAR son menos apropiados para el análisis de políticas.

3. Es importante la selección de la longitud de los rezagos. Por ejemplo si se tiene un modelo VAR de tres variables y se decide incluir ocho rezagos de cada variable e cada ecuación. Se tendrán 24 parámetros rezagados en cada ecuación mas el término constante, para un total de 25 parámetros. A menos que el tamaño de la muestra sea grande, la estimación de tantos parámetros consumirá muchos grados de libertad, con todos los problemas que ello contrae.

4. Estrictamente hablando, en un modelo VAR de m variables, todas las m variables deben ser estacionarias (en forma conjunta). Si este no es el caso, se tendrá que transformar la información en forma apropiada (por ejemplo, mediante diferenciación).

5. Puesto que los coeficientes individuales estimados en los modelos VAR son, con frecuencia, difíciles de interpretar, los practicantes de esta técnica usualmente centran su estudio en el análisis de la función de impulso-respuesta, análisis que ha sido muy cuestionado por los investigadores.

EJERCICIO Nº 4 A continuación se estimará un modelo VAR33 de dos ecuaciones en el que el tipo de interés y el índice de precios al consumo están determinados conjuntamente. Específicamente, las variables IPC (índice de precios al consumidor) y TIC (tipo de interés) están determinadas por los valores retardados de IPC y TIC, donde se han elegido, para empezar dos retardos para cada variable, y por errores denominados 1e y

2e

1241322110 eTICTICIPCIPCIPC Ttttt 32 Gujarati, Damodar. Ob.Cit. p.730 33 Pulido, Antonio y Ana María López. Ob.Cit. p378

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2241322110 eIPCIPCTICTICTIC ttttt

Para estimar el modelo VAR se utilizaron datos con frecuencia mensual para el período enero 1980 – noviembre 1998. Para estimar el modelo en Eviews, seleccionamos en el menú QUICK/ESTIMATE VAR Y nos aparece la siguiente pantalla donde se ha incluido el término independiente en la especificación (exógenos) y el número de retardos seleccionados (dos)

En la aplicación se han obtenido como resultado las siguientes salidas del programa, operando en primer lugar con el índice de precios (IPC) como variable dependiente; y en segundo lugar, con la variable tipo de interés (TIC) como dependiente

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Cada columna de esta tabla corrersponde a la ecuación para cada una de las variables endógenas en el modelo VAR. Por filas, tenemos las variables explicativas, para las que se indica el valor de su coeficiente estimado, el error standar y el cálculo de t-Student. Por ejemplo, el coeficiente que acompaña a la variable IPC(-1) en la ecuación del IPC como variable endógena (primera columna) tiene un valor estimado de 1,027 con un error estandar de 0,067, resultando entonces un valor significativo para la prueba t (15,2). Al final de esta tabla se muestran los resultados de la regresión para cada ecuación por separado:

90

Así , en la primera ecuación ( la que define el IPC como variable dependiente) se tiene una bondad de ajuste de 0,9998. Que como se puede observar es ligeramente mayor a la bondad de ajuste de la ecuación del tipo de cambio ((0,9733). En la parte inferior de esta salida aparecen los estadísticos del modelo VAR en su conjunto: el Determinante de Covarianza Residual (Determinant Residual Covariance), El valor del Logaritmo de Verosimilitud (log Likelihood), el Criterio de información de Arkaike y el Criterio de Schwarz. Estos criterios de información pueden utilizarse para seleccionar el modelo mas apropiado entre varios modelos VAR con distintos retardos especificados. Aquel que presente menores valores en estos criterios, será el modelo mas adecuado. Un vez estimado el modelo VAR, la principal utilización del modelo son las funciones de impulso – respuesta y la descomposición de la varianza que Eviews proporciona automáticamente. En primer lugar, para obtener la función impulso – respuesta, dentro del menú de la ventana creada para el modelo VAR, selecionamos IMPULSE

y en la nueva ventana marcamos las opciones de visualización de datos (table), función de impulso respuesta (Impulse responses) y aceptamos, el número de períodos que nos indica Eviews (10):

Una función de impulso respuesta muestra el efecto de un cambio en los errores sobre las variables endógenas del sistema de ecuaciones. Eviews nos muestra nuestro

91

modelo con sus dos ecuaciones, de tres formas diferentes, seleccionando VIEW/REPRESENTATIONS dentro del menú de la ventana del modelo VAR estimado

se obtiene

En la asegunda expresión, el primer número que figura dentro de C(nº, nº) se refiere al orden (número) de la ecuación del modelo VAR, mientras que el sgundo número se refiere al orden que ocupa la variable en cada ecuación. Por ejemplo, C(2,3) es el coeficiente del tercer regresor (TIC(-1)) en la ecuación segunda (la de TIC). En la tercera expresión, los coeficientes ya se sustituyen popr sus valores estimados.

92

Un cambio en e1 modificará automaticamente el valor de la variable IPC, pero no sólo se aterará el valor de ésta, también el de la variable TIC debido a la estructura dinámica del sistema. Un impulso respuesta separa los determinantes de las variables endógenas en cambios o innovaciones identificadas con variables específicas. De esra forma, una función de impulso respuesta para e2 medirá el efecto de una desviación en TIC hoy sobre el valor actual y futuro de IPC y TIC.

La función de impulso respuesta mide un cambio en los errores equivalente al valor de su error estandar que es, precisamente, 0,320227, valor que aparece como respuesta de IPC en el primer período. Así un cambio en los errores de la ecuación IPC, del orden de una desviación típica del error de esta primera ecuación, provoca un incremento equivalente de 0,32 en el período inicial, aumentando a 0,33 despues de 2 y 3 períodos. A partir del cuarto período los efectos tienden a decrecer lentamente. Por otra parte, el efecto sobre los tipos de interés es nulo en el primer período, incluso negativo durante los períodos 2 y 3, pero va acumulando sus efectos hasta añadir 0,07 al cabo de 10 períodos. Un cambio en TIC, equivalente a una desviación típica del error de esta segunda ecuación (0,69, según resultados precedentes), apenas tiene efecto sobre precios en el primer período – como resultado de situar la variable IPC antes de TIC en el orden - , y provoca una caida de -0,03 y –0,04 despues de 2 y 3 periodos de IPC. Sobre los propios tipos de interés, el efecto va aumentando durante los tres primeros períodos hasta transformar el cambio inicial de 0,69 en 0,90, para después ir reduciéndose

93

progresivamente su impacto hasta alcanzar 0,45 al final del período considerado de 10 meses. Esto puede verse en el cuadro siguiente:

Podemos visualizar los efectos comentados en términos gráficos, si en lugar de seleccionar tabla de resultados (table) en las opciones para obtener la función de respuesta de impulso indicamos la opción gráfica (Combines response graphs),

y como resultado obtenemos:

94

En definitiva, y en este caso, comprobamos nuevamente que el efecto de un choque sobre la variable tipo de interés no tiene apenas efecto sobre la variable índice de precios al consumo, mientras que los efectos sobre la propia variable son crecientes hasta el cuarto período, donde empiezan a decrecer.

95

Para obtener el cálculo de la descomposición de la varianza seleccionamos esta opción (Variance decomposition) en la ventana de impulso respuesta del modelo VAR que ya conocemos:

que nos proporciona las siguientes tablas de resultados:

La columna S:E. De la tabla puede interpretarse como el error de predicción de la variable IPC en diferentes períodos en el futuro. La fuente de este error de predicción

96

es la variación en los valores actuales y futuros de las innovaciones de cada variable endógena en el modelo VAR, Vemos que se indica un error de predicción de o,32 en un primer período y de 0,46 en dos períodos hacia delante, y así sucesivamente. Las otras dos columnas muestran el porcentaje de variación debido a cada innovación específica, donde cada fila suma la unidad. Un período hacia delante, toda la innovación de IPC es debida a cambios en IPC, y dos períodos hacia delante del porcentaje de explicación corresponde un 99,99 a IPC y el resto (0,01) a TIC. La segunda parte de la tabla nos muestra que, de nuevo, la descomposición de la varianza depende del orden de las ecuaciones. Así, si situamos TIC en primer lugar, antes de IPC, obtenemos resultados diferentes. Finalmente, suponiendo que los resultados obtenidos con la estimación de este modelo de vectores autorregresivos fuesen satisfactorios para el objetivo perseguido, podríamos realizar predicciones con el modelo VAR. Para ello , dentro del menú de la ventana del modelo VAR seleccionamos PROCS / MAKE MODEL:

Veremos entonces una ventana donde se especifica el modelo y en la que podemos introducir los cambios que creamos convenientes:

97

Seleccionamos la opción SOLVE en el menú de esta última ventana del modelo y en el cuadro de opciones que aparece a continuación indicamos el período para el que queremos obtener predicciones (hasta junio de 1999):

Es importante rceordar que como paso previo a la estiamación hay que cambiar el tamaño del Range y del Sample para que incluyan el período a estimar.

98

Automáticamente Eviews nos proporcionará predicciones para nuestras dos series IPCF y TICF34 en el período comprendido entre el mes de de diciembre de 1998 y junio de 1999.

34 Eviews le agrega automáticamente la letra F al final del nombre de cada variable para tener separados las serie original de la serie estimada.

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CAPITULO IV

MODELOS DE VECTOR DE CORRECCION DEL ERROR (VEC)

Y COINTEGRACION Los modelos de corrección de errores35 han ganado popularidad en el análisis econométrico aplicado a series de tiempo en los últimos años. En su forma más general estos modelos se plantean en términos de las variaciones (o tasas de cambio) de las variables, incorporando uno o más términos de corrección de error (o salidas de equilibrio) para incorporar restricciones dinámicas de largo plazo. La preocupación de este tipo de modelos tiene su origen en la constatación de algunos problemas de ocurrencia frecuente en econometría con datos de series temporales, así como con la insuficiencia de algunas de las soluciones tradicionales. La raíz del problema radica en que la gran mayoría de las series de datos económicos muestran tendencias bastante fuertes en el tiempo y, ya sea a causa de la inflación o el crecimiento real de la economía, dichas tendencias están fuertemente correlacionadas. En estas circunstancias se aprecia que muchos estudios econométricos adolecen de serias limitaciones a causa de la colinealidad de las series para las variables supuestamente independientes y, al mismo tiempo, se observa la ocurrencia muy frecuente de problemas de autocorrelación residual. Todo esto redunda en estimaciones muy imprecisas y test de hipótesis muy débiles o francamente inapropiadas36. Estos malos resultados no son de extrañar, dado que no hacen más que confirmar algo que un estadístico habría advertido desde un comienzo ante la falta de control del “proceso generador de los datos” (experimentos), los datos para distintas variables no sólo no son independientes entre sí, sino que además no corresponden a un proceso estacionario37 (muestran fuertes tendencias). En estas circunstancias, es altamente probable que los errores de las regresiones no sean estacionarios, lo que se refleja en bajos valores del estadístico de Durbin-Watson, así como en rechazos de la hipótesis de homocedasticidad38. Como es bien sabido, si los residuos de una regresión no son estacionarios, todas las pruebas estadísticas tradicionales pierden validez. Enfrentados a este problema, muchos econometristas han optado por transformar sus modelos, expresando las variables en primeras diferencias o en tasa de cambio, con el 35 Tomado de :Vial, Joaquin. “Especificación y Evaluación de Modelos Econométricos”. Serie Docente Nº 3. Corporación de Investigaciones Económicas para América Latina (CIEPLAN). Santiago de Chile. 1991. P 50 36 Este fenómeno se conoce como “Regresión Espuria”.. 37 Recordemos que por estacionario o débilmente estacionario caracterizamos a aquellas series que tienen media y varianza constantes, es decir que son independientes del tiempo 38 La tradición en la enseñanza de la econometría ha enfatizado erróneamente que la heterocedasticidad es un fenómeno propio de los estudios con datos de corte transversal, por lo que rara vez se realizan pruebas de esta hipótesis en estudios de series de tiempo.

100

objeto de eliminar tendencias y conseguir estacionariedad en las series y en los residuos. Sin embargo, esta práctica no está exenta de problemas: uno de ocurrencia muy frecuente es que al hacer este tipo de transformaciones se pierde, en la práctica, la posibilidad de imponer ciertas condiciones de equilibrio o regularidades que se dan entre variables en niveles. Un ejemplo característico se da en modelos de inflación, donde se estiman ecuaciones para las tasas de cambio de los salarios nominales, los precios y otras variables, y con ello se pierde la vinculación entre salarios reales y productividad, de manera que simulaciones con el modelo tienden a violar ciertas condiciones de equilibrio de largo plazo en el mercado. Si bien existe la posibilidad de imponer estas condiciones por la vía de restringir los coeficientes de las distintas ecuaciones, en muchos casos no son coherentes con los datos. El modelo de vector de corrección del error (VEC) busca superar las limitaciones de ambos enfoques con una aproximación empírica: se estima un modelo en tasas de cambio, pero se incluye además un término de corrección de errores (TCE) para forzar a que las tasas de cambio de las variables respondan a las desviaciones respecto a las condiciones de equilibrio de largo plazo que se desea imponer. Si expresamos todas las variables en logaritmos y usamos el operador para denotar primeras diferencias, un típico modelo de corrección de errores toma la siguiente forma:

tttttTt uXYXXYY 11110110

donde 0uE y el término 11 tt XY se denomina término de corrección del

error Si bien en sus orígenes este tipo de modelos se desarrollo en forma ad-hoc, sin precisar las condiciones bajo las cuales este enfoque tiene validez, ni eventuales pruebas de dicha hipótesis, hoy día si se cuenta con un marco formal apropiado gracias a los desarrollos teóricos en el campo de la teoría de las series de tiempo y, en particular, del desarrollo del concepto de cointegración (Granger y Newbold, 1977; Granger 1986; Engle y Granger, 1987). La premisa fundamental para la validez de un modelo de corrección de errores es que efectivamente la relación de equilibrio 0´ tX exista y se vea reflejada en los datos.

Una condición suficiente para ello es que las variables en el vector Xt sean co-integradas (Granger, 1986). 1. COINTEGRACION

101

Supongamos que tenemos una serie de observaciones para una variable Xt . Si dicha serie es estacionaria; es decir, si su media, varianza y autocorrelaciones son constantes, entonces se dice que Xt es “integrada de orden 0”, )0(IX t .

Sólo unas pocas variables económicas cumplen con estas características, generalmente requieren “d” diferenciaciones para llegar a una serie estacionaria. La mayoría de las series macroeconómicas son integradas de orden 1. )1(IX t .

Algunas características distintivas de estas series son las siguientes: Una serie I(0) tiene una media y exhibirá una tendencia a volver a dicha media, por lo que habrán fluctuaciones en torno a ella. Las autocorrelaciones tienden a declinar rápido y el peso de observaciones distantes será muy bajo (“memoria finita”).

Series Integradas de orden 0 Series Integradas de orden 1Características I(0) I(1)

Media Fluctúan alrededor de la mediaOscilan ampliamente y no en tornoal valor medio

VarianzaVarianza finita e independiente deltiempo

Varianza depende del tiempo ytiende a infinito con el paso delmismo

AutocorrelasciónLa autocorrelación disminuyerapidamente a medida que seincremente los retardos

La autocorrelación tiende al valor 1para cualquir orden de retardo

Efectos de innovacionesTienen memoria limitada, luego lasinnovaciones no tienen efectospermanentes

Cualquier innovación afectapermanentemente sus procesos

Supongamos que existen dos series TY y tX ambas I(1). Supongamos también que

existe una constante , la combinación lineal de estas dos variables podría ser estacionaria. Más específicamente, si se escribe como:

ttt XYZ

y se encuentra que Zt (es decir la combinación lineal tt XY ) es I(0) o estacionaria,

entonces se dice que las variables tY y tX están cointegradas¸ es decir, están sobre

la misma longitud de onda39. Intuitivamente se observa que cuando Zt es I(0), las tendencias en tY y tX se cancelan. Así si una serie Y es I(1) y otra serie X es I(1),

ellas pueden estar cointegradas. En general, si Y es I(d) y X también es I(d) , donde d es el mismo valor, estas dos series pueden estar cointegradas. Si ése es el caso, la regresión de las dos variables en niveles, es significativa (es decir, no es espuria); y no

39 Gujarati. Ob.Cit. p.709

102

se pierde información valiosa de largo plazo, lo cual sucedería si se utilizaran sus primeras diferencias.. La combinación lineal estacionaria ( tt XY ) se denomina

ecuación de cointegración y puede interpretarse como la relación de equilibrio a largo plazo entre las distintas variables que conforman la ecuación. El parámetro se conoce como el parámetro de cointegración y en un sistema bidimensional es único, cuando existe. 2. MODELO DE VECTOR DE CORRECCION DEL ERROR (VEC) Si dos variables están cointegradas, se dice que hay una relación de equilibrio a largo plazo entre las dos. Por supuesto en el corto plazo, puede haber desequilibrio. En consecuencia, se puede tratar el término de error en ttt XYZ como el “error de

equilibrio “ y se puede utilizar este término de error para atar el comportamiento de corto plazo de Yt con su valor de largo plazo. El mecanismo de corrección del error

popularizado por Engle y Granger corrige el desequilibrio. Un modelo de vector de corrección del error (VEC) es un modelo VAR restringido (habitualmente, con sólo dos variables) que tiene restricciones de cointegración incluidas en su especificación, por lo que se diseña para ser utilizado con series que no son estacionarias pero se sabe que son cointegradas. La especificación de un VEC restringe el comportamiento a largo plazo de las variables endógenas para que converjan a sus relaciones de cointegración mientras que permite un amplio espectro de relaciones dinámicas a corto plazo. El concepto de cointegración se interpreta como una corrección del error, dado que la desviación respecto al equilibrio a largo plazo se corrige gradualmente a través de ajustes parciales en el corto plazo. Para ver un ejemplo de un VEC partamos del supuesto de que tenemos dos variable (Yt y Xt)

40 que son I(1) y no están cointegradas, con los cuales se puede estimar un modelo dinámico en primeras diferencias:

ttttt uXXYY 110110

donde tu tiene media cero dadas 11 ,, ttt XYX y rezagos adicionales.

Si Yt y Xt están cointegradas con parámetro , tenemos variables adicionales I(0) que

se pueden incluir en la ecuación anterior. Sea ttt XYS de modo que tS es I(0) y

por simplicidad, tiene media cero. Ahora, incluimos en la ecuación los rezagos de tS .

En el caso más simple incluimos un rezago de tS :

tttttt uSXXYY 1110110

40 Wooldigde, Jeffrey M. Introducción a la Econometría. Thomson Learning. México, 2001.p591.

103

ttttttt uXYXXYY 11110110

donde )( tt XY es el término de corrección del error.

3. TEST DE COINTEGRACION DE JOHANSEN41 Johansen (1991) desarrolló una metodología para analizar las restricciones impuestas por la cointegración de las series incluidas en un modelo VAR restringido. El planteamiento teórico de la propuesta de Johansen considera un modelo VAR de orden p:

ttPTpTt BXYAAYY ...1

donde Yt es un vector de k variables no estacionarias I(1), Xt es un vector de d variables determinísticas, y t es un vector de innovaciones.

En forma condensada podemos reescribir el modelo VAR como:

1

11

p

iTtititt BXYYY

donde

p

ii IA

1

p

ijji A

1

El teorema de representación de Granger afirma que si la matriz de coeficientes

tiene un orden reducido r < k, entonces existen k*r matrices y de orden r tal que

´P y tY es estacionaria, donde r es el número de relaciones de cointegración (el

orden de cointegración). Cada columna de es el vector de cointegración. Los elementos de son conocidos como los coeficientes de ajuste en el modelo del vector de corrección del error. El método de Johansen estima la matriz en forma

restringida, de modo que analiza si se pueden rechazar las restricciones implícitas por el orden reducido de .

Respecto al número de relaciones de cointegración, si tenemos k variables endógenas, cada una de las cuales con una raíz unitaria, puede haber cero hasta k-1 relaciones de cointegración. Si no hay ninguna relación de cointegración, cualquier

41 Pulido, Antonio y Ana María López. Ob.Cit. p.391

104

método de análisis de series temporales, cómo, por ejemplo, los modelos VAR sin restricciones, puede aplicarse a las primeras diferencias de los datos. Dado que hay k elementos integrados separados en las series, los niveles de las series no aparecen en el modelo VAR en este caso. Por el contrario, si hay una ecuación de cointegración en el sistema, entonces una combinación lineal de los niveles de las variables endógenas 1´ tY deberá ser añadida en cada ecuación del

modelo VAR. Cuando se multiplica una ecuación por un coeficiente, el término resultante 1´ tY se refiere al término de corrección del error. Si existen ecuaciones

adicionales de cointegración, cada una conllevará un término adicional de corrección del error, que contenga una combinación lineal diferente de los niveles de la serie. Si existen, exactamente, k relaciones de cointegración, es decir, tantas como variables endógenas, es por que ninguna de las series contiene una raíz unitaria, y el modelo VAR puede expresarse en términos de los niveles de todas las series. Nótese que en algunos casos, el test individual de raíces unitarias puede indicar que algunas de las series están integradas ( tienen raíz unitaria), pero el test de Johansen puede, sin embargo, indicar que el orden de cointegración es k. Esta aparente contradicción puede ser el resultado del error de especificación del modelo. Por otra parte, cada columna de la matriz proporciona una estimación del vector de cointegración. El vector de cointegración no se identifica a menos que se imponga alguna normalización arbitraria. Por ejemplo Eviews adopta la normalización de que las r relaciones de cointegración se resuelven para los primeras r variables en el vector Yt como función del resto de variables k-r. Sin embargo, una consecuencia de esta normalización es que los vectores normalizados que proporciona Eviews no son, en general, ortogonales, a pesar de la ortoganilidad de los coeficientes normalizados. Por tanto, el test de cointegración de Johansen nos permitirá confirmar que las variables están cointegradas y el número de ecuaciones de cointegración. Para acceder a el, abrimos un grupo de series con SHOW y el nombre de las series, y seleccionamos VIEW / COINTEGRACION TEST, o bien, en el menú principal QUICK / GROUP STATISTICS / COINTEGRACION TEST

105

El primer paso es seleccionar una de las opciones que especifican el tipo de tendencia presente en los datos. Las primeras opciones proporcionan alternativas particulares acerca de la inclusión de una constante y un término de tendencia en la especificación de las ecuaciones de cointegración. Hay que considerar, pues, que las series objeto de estudio pueden tener medias distintas de cero, es decir, pueden tener tendencia o

106

no. Similarmente, las ecuaciones de cointegración pueden tener un término independiente y tendencia. La distribución asintótica del test estadístico LR (likelihood ratio) para el test de orden reducido no presenta la distribución usual de la 2 y depende de las hipótesis respecto a las tendencias determinísticas. Eviews proporciona el test para las siguientes cinco posibilidades consideradas por Johansen (1995):

1. Las series Y no presentan tendencia y las ecuaciones de cointegración no tienen término independiente:

112 ´: ttt YBXYrH

2. Las series Y no presentan tendencia y las ecuaciones de cointegración incluyen término independiente:

)´(: 011

*1 ttt YBXYrH

3. Las series Y tienen tendencia y las ecuaciones de cointegración sólo

incluyen término independiente:

00111 )´(: ttt YBXYrH

4. Tanto las series Y como las ecuaciones de cointegración tienen tendencia

lineal:

01011* )´(: tYBXYrH ttt

5. Las series Y tienen tendencias cuadráticas y las ecuaciones de

cointegración tienen tendencia lineal:

)()´(: 101011* ttYBXYrH ttt

donde es la matriz (no única) rkk * tal que 0´ y el orden

k /

Estos cinco casos se clasifican desde el más hasta el menos restrictivo, dado un particular orden de cointegración r :

rHrHrHrHrH *1

*12

Para cada caso, Eviews tabula los valores críticos para el test de orden reducido de Osterwal-Lenum (1992), no los tabulados en Johansen y Juelius (1990).De estas cinco

107

opciones descritas Eviews utiliza, por defecto, la tercera. Esta selección se basa en que las condiciones de equilibrio a largo plazo probablemente no tengan tendencia. Para elegir el modelo más apropiado habrá que guiarse tanto por la interpretación económica implícita en el mismo como por los criterios estadísticos. Adicionalmente, podemos incluir variables exógenas, como, por ejemplo, Dummys estacionales,, sin considerar aquí ni el término independiente, ni la tendencia.. También hay que indicar el número de retardos del modelo VAR como pares de intervalos. Los retardos se especifican como retardos de la primera diferencias de las series, no como retardos para los datos en niveles. Por ejemplo, si señalamos 1,4, el test VAR hace la regresión de tY sobre 4321 ,,, tttt YYYY y sobre otras variables

exógenas que especifiquemos, A continuación se presenta la salida en Eviews del test de Johansen:

En cada cada contraste de hipótesis, se proporcionan unos valores estadísticos de contrate denomindos autovalores (Eigenvalues) ubicados en primer término, y en la siguiente columna se propoeciona el estadístico LR (Likelihood ratio) que se calcula como:

108

EJERCICIO Nº 5

k

riir TQ

1

1log

para r =0, 1, … , k-1, donde i es el i-ésimo eigenvalue mayor. rQ se denomina

estadístico traza (trace statistic) y es el test de la hipótesis rH1 frente a kH1 . El estadístico Q rechaza la primera hipótesis (no cointegración) tanto al nivel de significación del 5 por 100 como al 1 por 100 si el valor calculado es superior al de lso valores críticos. En el ejemplo podemos ver que 27,59743 es mayor que 15,41 y es mayor que 20,04, por lo tanto se rechaza la hipótesis de no cointegración tanto al nivel de significación del 5 por 100 como al de 1 por 100. Por su parte, la segunda hipótesis (al menos una relación de cointegración) se aceptará si el valor calculado para el ratio de verosimilitud (Likelihood ratio) es inferior a los valores críticos fijados para los niveles de significación del 5 por 100 y del 1 por 100 En el ejemplo podemos ver que 5,452656 es mayor que 3,76, por lo tanto se rechaza la hipótesis de al menos una relación de cointegración al nivel de significación del 5 por 100, pero 5,452656 es menor que 6.65 por lo tanto se acepta la hipótesis de al menos una relación de cointegración al nivel de significación del 1 por 100. Debajo de los resultados de los contrates de orden de cointegración. Eviews proporciona las estimaciones de los vectores o relaciones de cointegración. El vector de cointegración no es identificado a menos que impongamos algun criterio arbitrario de normalizaciñon. Eviews resuelve este problema adoptando una normalización tal que la primera r serie en el vector Yt se normaliza a una matriz identidad.. en el ejemplo la relación de cointegración normalizada aaaaasume una relación de cointegración r = 1, que puede ser escrita como:

TIC + 0,028861 IPC -14,98822

Adicionalmente, hay que considerar que los valores críticos están disponibles para un máximo de diez series y pueden no ser apropiados para modelos que contengan otras variables deterministas como regresores somo, por ejemplo variables Dummy. Para aplicar el análisis de cointegración42 se han tomado dos series de frecuencia mensual, con un horizonte temporal desde 1980 (enero) hasta 1998 (noviembre). Las series en cuestión son la oferta monetaria (M1) y los créditos internos concedidos a las

42 Ejercicio tomado de: Pulido, Antonio y Ana María López. Ob.Cit. p.395

109

familias y empresas (CRED), ambas medidas en miles de millones de pesetas y obtenidas del Banco de España. En primer lugar hay que comprobar que las series son no estacionarias, es decir, que presentan una raíz unitaria. Para comprobar esta condición, utilizamos el test de Dickey-Fuller aumentado disponible en Eviews, al que accederemos de dos formas diferentes: en el menú principal QUICK / SERIES STATISTICS / UNIT ROOT TEST, o bie en le ventana de la serie (abierta con SHOW o con dos pulsaciones del botón izquierdo del ratón sobre el nombre de la serie) seleccionamos VIEW / UNIT ROOT TEST.

En este menú de selección, elegimos, en primer lugar, el test de Dickey-Fuller aumentado. En segundo lugaar hay que indicar ai queremos realizar el test sobre la variable en niveles, primeras o segundas diferencias. Podemos utilizar esta opción para determinar el número de raices unitarias que contiene la serie. Si el test aplicado sobre la serie en niveles acepta la hipòtesis nula (existe una raíz unitaria en la serie), pero la rechaza trabajando con los datos en primeras diferencias, entonces la serie presenta una araìz unitaria y es integrada de orden 1: I(1). Por el contrario, si el test acepta la hipótesis nula aplicado sobre la serie en niveles y también en primeras diferencias, pero la rechaza en segundas diferencias, entonces la serie contiene dos raices unitarias y es integrada de orden 2: I(2) En tercer lugar, especificamos si queremos incluir una constante o término independiente, una constante y una tendenciaaa lineal o, simsplemente, nada. La selección es importante en el sentido en que la distribución estadística del test, bajo la hipótesis nula., es diferente en cada uno de los tres casos. Por último, seleccionamos el orden de la correlación serial o númereo de retardos a incluir en la especificación.a fin de que los residuales sean ruido blanco. Obtenemos, en primer término, el estadístico ADF para la variable CRED y, a continuación, para la variable M1

110

111

Para el test ADF, el valor que presenta (1,525537 en CRED y -0,822899 en M1) se acepta la hipótesis nula de una raíz unitaria en las series CRED y M1 en todos los niveles de significación. Para modelizar conjuntamente el efecto de estas dos series utilizamos un modelo VEC (vector de corrección del error), pues ya sabemos que un modelo VAR sin restricción no supone la presencia de cointegración. Como la especificación de un modelo VEC solamente se aplica sobre series cointegradas, debemos previamente chequear el test de cointegración de Johansen. Para acceder a el , abrimos un grupo se series con SHOW de las series CRED y M1 y seleccionamos VIEW / COINTEGRATION TEST o bien, en el menú principal, QUICK / GROUP ESTATISTICS / CONTEGRATION TEST.

En la selección de las opciones, optamos por dejar el tipo de tendencia que tiene Eviews por defecto (la tercera), no colocamos variables exógenas y especificamos 4 retardos para el modelo VAR.,

112

En los resultados del estadístico rQ podemos observar que se rechaza la hipótesis nula (primera fila) de no cointegración (24,955528 > 15,41 y > 20,04) tanto al nivel de significación del 5 por 100 como el de 1 por 100. Sin embargo se acepta la hipótesis nulo (segunda fila) de al menos una relación de cointegración, tanto al nivel de significación del 5 por 100 como el de 1 por 100. La relación de cointegración normalizada, asume una relación de cointegración r= 1, que puede ser escrita como:

CRED -9,188926 M1 – 14.166,62

El número entre paréntesis debajo del coeficiente estimado para M1 es la desviación estándar asintótica. Los coeficientes que son normalizados al valor 1 aparecen sin el valor de la desviación estándar, como CRED, y también los que no son identificados. La presentación de las relaciones normalizadas de cointegración dependen del orden especificado para las variables VAR. Por ejemplo si queremos una relación con un coeficiente unitario en M1, tendremos que especificar esta variable como la primera en el modelo VAR. Por supuesto, este cambio no afecta la esencia de las relaciones, dado que cualquier combinación lineal de las ecuaciones de cointegración es también una relación de cointegración.

113

Una vez comprobada que las series están cointegradas de orden 1, podemos estimar un modelo de corrección del error. Seleccionamos en el menú principal de Eviews: QUICK / ESTIMATE VAR. En la ventana de opciones marcamos Vector Error Correction, las variables endógenas (CRED y M1), con retardos comprendido entre 1 y 4. También hay que especificar el número de ecuaciones de cointegración del modelo VEC. Este número debe ser determinado por el test de cointegración de Johansen, como se vio anteriormente. El máximo número de ecuaciones de cointegración es uno menos que el número de variables endógenas en el modelo VAR. Para el modelos que estamos planteando, el número de ecuaciones de cointegración es 1, y así lo especificamos en la parte inferior de esta ventana (Number of CE´s):

114

Naturalmente, el coeficiente 0,009588 que afecta a CointEq1 debe interpretarse a partir de los resultados de la ecuación de cointegración, que en nuestro caso es :

CRED(-1) -9,188926 M1(-1) – 14.166,62

Al final de esta tabla se muestran los resultados de la regresión para cada ecuación computándolos, por separado para cada variable:

115

En la primera ecuación (la que define como variable dependiente CRED) se alcanza una bondad de ajuste del 65,66%, siendo inferior (46,66%) en la ecuación que explica la oferta monetaria (M1). En la parte inferior de esta salida de resultados, aparecen los estadísticos del modelo VEC en su conjunto, que se utilizan para elegir entre modelos VEC alternativos. Así podríamos repetir el proceso especificando ahora un modelo VEC con retardos de 1 a 2 y comparar los resultados hasta seleccionar aquel que parezca apropiado. Una vez especificado el modelo VEC, podemos trabajar con él en forma análoga a un modelo VAR, aunque en este caso no disponemos de las funciones de impulso-respuesta, ni del análisis de descomposición de varianza. Para ver las ecuaciones que constituyen nuestro modelo VEC, seleccionamos en el menú de la ventana del modelo las opciones VIEW / REPRESENTATION:

El primer número que acompaña al coeficiente A es el número de la ecuación del VEC. Mientras que el segundo hace referencia al número de la ecuación de cointegración. Por ejemplo A(2,1) es el coeficiente ajustado de la primera ecuación de integración (y única) en la segunda ecuación del modelo VEC. En el primer número que sigue al coeficiente B es el número de la ecuación de cointegración, y el segundo es el número de la variable en la ecuación de cointegración. Por ejemplo B(1,2) es el coeficiente de la segunda variable en la primera ecuación de cointegración. En el caso C, el primer número es el número de la ecuación del VEC, y el segundo término es el número de la variable del primer regresor diferenciado en el modelo VEC. Por ejemplo C(2,1) es el coeficiente de la primera diferencia del primer regresor en la segunda ecuación del VEC.

116

Al igual que en el modelo VAR, podemos realizar predicciones con el modelo VEC estimado. Para ello, dentro del menú de la ventana del modelo VEC seleccionamos PROCS / MAKE MODEL, y aparece la siguiente ventana en la que pulsamos SOLVE

Indicamos el período de predicción, desde el mes de diciembre de 1998 hasta el mes de junio de 1999, y automáticamente tendremos predicciones con el modelo VEC para las variables CRED y M1.

117

En el grafico siguiente se muestra la evolución de la serie Créditos internos concedidos a las empresas y familias (CRED) y la oferta monetaria (M1), incluyendo el período histórico y el de predicción con los datos en niveles. Se aprecia la evolución paralela que siguen ambas series en el tiempo, lo que nos ha hecho suponer la presencia de una cointegración de orden 1 entre ambas y que hemos corroborado en este ejercicio.

118

CAPITULO V

MODELOS AUTORREGRESIVOS CON HETEROCEDASTICIDAD CONDICIONAL (ARCH)

Los modelos autorregresivos con heterocedasticidad condicional (ARCH) se diseñan específicamente para modelizar y predecir las varianzas condicionales, es decir, tienen como objetivo principal el determinar un patrón de comportamiento estadístico para la varianza. EL planteamiento básico reside en modelizar la varianza de una variable dependiente en función de los valores pasados de la propia variable y de las variables independientes o exógenas que se incluyan en el modelo. Este tipo de modelos fueron tratados por primera vez en un artículo publicado en 1982 por Robert Engle43 en el que recogía una serie de situaciones en las que parecía necesaria la consideración explícita de una varianza dinámica para analizar correctamente la evolución de algunos fenómenos económicos. Específicamente Engle pretendía obtener una predicción adecuada para la inflación del Reino Unido, sujeta a una fuerte volatilidad, con periodos de especial calma o, por el contrario, de agitación. Aunque su uso se ha extendido a diversas ramas de la econometría, la principal aplicación de estos modelos se encuentra en la serie de tiempo financieras. En el artículo en referencia Engle cita tres situaciones que motivan o justifican la Modelización de una modelo ARCH. Estas serían las siguientes.

1. La experiencia empírica nos lleva a contrastar períodos de amplia varianza de error seguidos de otros de varianza más pequeña. Es decir, el valor de la dispersión del error respecto a su media cambia en el pasado, por lo que es lógico pensar que un modelo que atienda en la predicción a los valores de dicha varianza en el pasado servirá para realizar estimaciones más precisas.

2. En segundo lugar, Engle expone la validez de estos modelos para determinar los criterios de mantenimiento o venta de activos financieros. Los agentes económicos deciden esta cuestión en función de la información proveniente del pasado respecto al valor medio de su rentabilidad y la volatilidad que ésta ha tenido. Con los modelos ARCH se tendrían en cuenta estos dos condicionantes.

3. El modelo de regresión ARCH puede ser una aproximación a un sistema más complejo en el que no haya factores de innovación con heterocedaticida condicional.

En definitiva, la clave de los modelos ARCH está en considerar la información pasada de la variable y su volatilidad observada como factor que explica en alto grado el 43 Engle, R.F. (1982): “Autorregresive Conditional Heterocedasticity with Estimastes of the Variance of the U.K. Inflation”. Econometrica. Num 50, pp. 987 –1008.

119

comportamiento presente y, por extensión lógica, de su futuro predecible.. Estadísticamente, esta conclusión se refleja en tener en cuenta la esperanza condicional del cuadrado de una variable (la cual es la expresión de la varianza si la media es nula) De los modelos ARCH se han surgido diversas variantes como son los modelos GARCH (Genaralized ARCH) por Bollerslev (1986),, los modelos TARCH (Threhold ARCH) introducido, independientemente por Zakoian (1990) y Glosten, JAGANATHAN Y runkle (1993); los modelos EGARCH (Exponential GARCH) propuesto por Nelson (1991). 1. MOMENTOS MARGINALES Y MOMENTOS CONDICIONALES44. Antes de presentar la especificación de los modelos ARCH, resulta pertinente realizar un breve repaso sobre la diferencia existente entre los momentos marginales y los momentos condicionales de una distribución, ya que estos modelos, como su nombre lo indica, están centrados en e3l análisis de la heterocedasticidad condicional. La diferencia fundamental entre los momentos condicionales y los marginales de una distribución es que en los marginales no disponemos de información a priori, sobre las realizaciones (observaciones) de dicha distribución, mientras que en los momentos condicionales disponemos de todas las realizaciones previas de la misma. Para ilustrar esta diferencia, tenemos un ejemplo muy intuitivo en términos probabilísticos y que hace referencia a la media condicional y la media marginal. Si consideramos la variable aleatoria definida por los sucesivos valores que se obtienen al lanzar un dado al aire, en principio dicha distribución es uniforme y la esperanza marginal sería directamente el valor medio de los seis posibles resultados a obtener (dado que todos presentan la misma probabilidad). Determinando nFd la función de distribución que genera las distintas observaciones

(tiradas) n del dado, podríamos afirmar que la esperanza marginal de dicha distribución es 3,5

5,3)654321(6

1)( nFE d

Ahora bien, si obtenemos una serie de valores muestrales de dicha distribución (tiramos el dado n veces), podríamos obtener una muestra como la que figura continuación donde, para cada valor, se recoge el número de veces que ha aparecido y su probabilidad observada, 44 Pulido San Roman, Antonio y Julián Pérez García. “Modelos Econométricos”. Ediciones Pirámide S.A.. Madrid. 2001. P 741

120

Valor 1 2 3 4 5 6

Ocurrencia 157 230 150 155 156 152 % ocurrencia 0,157 0,230 0,150 0,155 0,156 0,152 Probabilidad esperada 0,167 0,167 0,167 0,167 0,167 0,167 A la vista de esta muestra parece demostrarse que el valor 2 tiene una probabilidad de ocurrencia superior a la que le correspondería de acuerdo con la distribución uniforme supuesta a priori, por lo que se podría inferir que el dado está cargado. Disponiendo de esta manera, si tuviéramos que asignar un valor esperado a la observación 1n , la esperanza condicional a toda la información disponible hasta la observación n sería ligeramente inferior a la esperanza marginal, la que teníamos sin conocer la muestra.

35,3,06152,05156,04155,03150,02230,01157,0/)1( xxxxxxnnFE d

Esta diferenciación entre momentos marginales y condicionales no tendría mayor importancia sino fuera porque pueden exis tir procesos estocásticos cuya esperanza y varianza marginales fueran constantes, mientras que su varianza condicional varía en cada punto muestral t . Tomemos como ejemplo un proceso estocástico definido como:

2/121 )( ttt yy

donde t es un ruido blanco, y en el que para cada momento condicional t la

información disponible 1t es una realización concreta, no aleatoria. Calculando los momentos de primer y segundo orden, marginales y condicionales de dicho proceso, podemos comprobar que sería un proceso estacionario en media y varianza marginal (sus valores no dependen del tiempo), y, sin embargo, es un proceso no estacionario en su varianza condicional, pues este depende del período de tiempo que consideremos.

Momentos marginales y condicionales del proceso

121

Marginal Condicional Esperanza

2/121 )( ttt yEyE

0)()( 2/121 tyEE

0)()|()|( 2/12111 ttttt yEyE

Varianza

2

22

21

22

1

)...1(

)(

t

tt

ttt

yE

yEyE

(1) Sustituciones sucesivas

22

1

122

112 |)|(

t

ttttt

y

EyyE

Donde la varianza condicional depende de las realizaciones de la variable en el período anterior

Sobre este proceso, así definido, se puede demostrar que la función de autocovarianzas, y por tanto de autocorrelaciones, son nulas para la variable original

ty ; mientras que presentan valores distintos de cero para el proceso elevado al

cuadrado 2ty , al menos en el primer retardo.

Es decir, el proceso analizado, aun presentando autocorrelaciones nulas en la forma lineal, presenta autocorrelación en sus cuadrados. Esta circunstancia se utiliza para la identificación de procesos autorregresivos de varianza condicional. 2. ESPECIFICACION DE LOS MODELO ARCH Y GARCH Los modelo ARCH , como de comentó anteriormente, tienen su origen en un artículo de Engle (1982), en el que se pretendía obtener una predicción adecuada para la inflación del Reino Unido, sujeta a una fuerte volatilidad y con períodos de especial calma o de especial agitación. Para especificar un modelo ARCH, primeramente comenzaremos con la ecuación:

tttt XXY 33221 (2.1)

donde se relaciona una variable dependiente con dos variables explicativas. Luego escribiremos una segunda ecuación relacionando la varianza del término de error con la cantidad de volatilidad observada en períodos anteriores, la más simple de estas ecuaciones sería:

2

1102

tt (2.2)

La ecuación (2.2) dice que la varianza de t , 2

t , tiene dos componentes: una

constante y las noticias respecto a la volatilidad del último período, lo cual es

122

modelado como el residual al cuadrado del último período (el término ARCH). Obsérvese que en este modelo t es heterocedástico, condicional en 1t . Tomando

en cuenta esta información acerca de la heterocedasticidad condicional de t , se

pueden obtener estimaciones más eficientes de los parámetros 321 , y .

La estimación de las ecuaciones 2.1 y 2.2 con frecuencia se hace con máxima verosimilitud. Dado el bajo costo del poder de cálculo, esto no es muy difícil. Por consiguiente, los paquetes de programas de econometría para computadoras mas usados hacen posible estimar modelos ARCH de esta clase con mucha facilidad. Dado que la varianza de t en la ecuación 2.2 sólo depende de la volatilidad del último

período, nos referimos a este modelo como ARCH(1). De forma más general, la varianza podría depender de cualquier cantidad de volatilidades rezagadas. Podemos especificar un modelo ARCH(p), como:

2222

2110

2 ... ptpttt (2.3)

Nótese que en este caso los parámetros 1p del proceso de varianza deben

estimarse junto con los parámetros 321 , y de la regresión, una ves más usando

estimación de máxima verosimilitud. A menudo hay razón para esperar que la varianza de t dependerá de volatilidades

pasadas que se remontan a una gran cantidad de períodos. (esto sucede en particular en aplicaciones de finanzas que implican el uso de datos diarios o semanales) El problema en este caso es que deben estimarse una gran cantidad de parámetros, y esto puede ser difícil de hacer con alguna precisión. Sin embargo, si reconocemos que la ecuación 2.3 tan sólo es un modelo de rezago distribuido para 2

t , vemos que

podemos remplazar muchos de estos valores rezagados de 2t con sólo uno o dos

valores rezagados de 2t . Esto nos conduce al modelo autorregresivo de

heterocedaticidad condicional generalizado. (GARCH), el cual también puede estimarse por máxima verosimilitud. El modelo GARCH más simple es el modelo GARCH(1,1):

211

2110

2 ttt

Ahora la varianza del término de error tiene tres componentes, una constante, la volatilidad del último período (el término ARCH) y la varianza del último período (el término GARCH). En general, se puede tener cualquier número de término ARCH y cualquier número de términos GARCH. El modelo GARCH(p,q) se refiere a la siguiente ecuación para 2

t :

123

EJERCICIO Nº 6

22

1122

1102 ...... qtqtptptt

En este ejercicio45 se modelará en comportamiento de la tasa de un bono corporativo AAA relacionándola con valores actuales y pasados de una tasa de interés libre de riesgo a corto plazo (la tasa de bonos de tesorería a tres meses) al igual que con el índice de producción industrial y la tasa de de inflación de precios al por mayor.

La figura anterior muestra el bono corporativo AAA y la tasa de bonos de tesorería a tres meses desde enero de 1960 hasta febrero de de 1996. Obsérvese que la tasa del bono, por lo general, es mayor que la tasa de bonos de tesorería y también tiende a suavizar las fluctuaciones a corto plazo en la tasa de bonos de tesorería. La tasa del bono refleja expectativas de valores futuros de la tasa de tesorería (y por tanto, deberá ser menos volátil que esa tasa) y también incluye una pequeña prima de riesgo que refleja la probabilidad de incumplimiento.

- 45 Tomado de Pindiyck, Robert S. y Daniel L. Rubenfeld. Econometría, modelos y pronóstico. Mc.

Graw Hill. México. 2001. p.301

124

En primer lugar se realizará la regresión de la tasa del bono AAA contra valores actuales y rezagados de la tasa de tesorería (R3), valores actuales y rezagados del índice de producción industrial (IP), la tasa de crecimiento del índice de precios al productor para todas las mercancías (GPW) y el valor rezagado de la tasa del bono AAA. (la inclusión de la variable dependiente rezagada impone una estructura de rezago que declina geométricamente, esta estructura suaviza las fluctuaciones a corto plazo en las otras variables explicativas.) Después de algunos ensayos se eligió la siguiente ecuación, estimada con mínimos cuadrados ordinarios. valores actuales y rezagados del

Seguidamente se presenta el gráfico de los residuos de la regresión en el cual se puede observar el agrupamiento de la volatilidad. Hay períodos en la que la volatilidad es bastante baja (1962-1967) y períodos en que la volatilidad es bastante alta (1980-1988). Esto sugiere que el término del error es condicionalmente heterocedástico y, por tanto, puede ser representado por un modelo ARCH o GARCH.

125

Para estimar un modelo tipo ARCH, o alguna de sus variantes metodológicas con Eviews, se comienza por contrastar la posible existencia de heterocedasticidad condicional, mediante la observación del correlograma de los residuos al cuadrado. Para tal fin seleccionamos en el menú VIEW/ RESIDUAL TEST / CORELOGRAM SQUARED RESIDUAL, como se muestra en la figura.

Lo que se busca con el correlograma, es determinar en que retardos aparecen coeficientes significativos analizando el correlograma en forma similar a cuando se

126

analiza el correlograma de los residuos para la estimación de un modelo ARIMA, en nuestro caso no se ve claro cual puede ser el proceso autorregresivo de la varianza, por lo cual se hace necesario realizar el contraste del multiplicador de Lagrange. Seleccionamos en el menú VIEW / RESIDUAL TEST / ARCH LM TEST

E indicamos tres retardos

127

Este test ARCH LM proporciona el test del multiplicador de Lagrange para chequear si los residuos estandarizados muestran un proceso ARCH adicional, que no existirá si la ecuación de varianza está correctamente especificada. En la salida del test se comprueba que las variables son significativas estadísticamente, es decir, el contraste es claramente significativo de la relación cuadrática entre el residuo y sus valores retardados. Parece entonces, conveniente construir un modelo ARCH para identificar correctamente el proceso de formación de la varianza del término de error. Al tratarse de un modelo no lineal, el método de estimación no puede ser el tradicional de mínimos cuadrados ordinarios. Para realizar la estimación seleccionamos en el menú: QUICK / ESTIMATE EQUATION.

128

Y seleccionamos la opción ARCH que aparece como uno de los métodos de estimación

En la nueva ventana de especificación de modelos ARCH, se debe indicar, además de la formulación genérica de la ecuación básica (Mean equation Specification), las características propias del modelo ARCH a estimar. Comenzando por la parte superior, debemos indicar si se desea incluir la varianza condicional como explicativa del modelo básico (ARCH-M term), pudiéndose optar por su no inclusión (None), o por su inclusión en términos de desviación típica (Std.Dev) o de su cuadrado (Variance). A continuaciones debe especificar el orden de los procesos a estimar, tanto para la parte autorregresiva (ARCH) como para la parte de medias móviles (GARCH), para lo cual inicialmente se utilizan los resultados obtenidos en el análisis del correlograma de residuos al cuadrado. En nuestro ejemplo al no observarse con claridad los posibles

129

procesos, se inicio la estimación con un retardo, tanto para el ARCH como para el GARCH

Como se puede observar en la imagen anterior, se puede optar por una especificación general (GARCH) o por alguna de las variantes metodológicas alternativas (TARCH, EGARCH, Component ARCH, o Asymetric Component ARCH) Adicionalmente se puede incluir variables explicativas adicionales sobre la ecuación de la varianza condicional (Variante Regressors). Inicialmente se estimará un modelo GARCH(1,1)

130

La salida de la estimación del modelo ARCH está dividida en dos partes: la superior que muestra los resultados de la ecuación de la media, e inmediatamente debajo, en la parte denominada Variante Equation, la correspondiente a la ecuación de la varianza. Al observar la salida del Eviews, se puede determinar que el incluir esta representación GARCH de la varianza del error tuvo muy poco impacto en cualquiera de las estimaciones de los coeficientes. Además, sólo uno de los coeficientes en la ecuación GARCH es estadísticamente significativo. Es importante también destacar que el error estándar de la regresión se incrementó, al pasar de 0,001835 a 0,001841. Esta variación en el error estándar se explica por el hecho de que al estimar una ecuación con errores heterocedásticos con mínimos cuadrados ordinarios, loe errores estándar estimados serán sesgados. A continuación se estimaron diferentes combinaciones del modelo GARCH: GARCH(2,1), GARCH(2,2), etc. Concluyéndose que el modelo que mejor se ajustaba es el modelo GARH(1,1) a pesar de las limitaciones antes indicadas.

131

Pindiyck y Rubinfeld46 sugieren a fin de explorar mas a fondo el patrón de la heterocedasticidad, incluir una variable exógena a la ecuación de la varianza. Estos autores proponen incluir el cambio del valor rezagado de la tasa de bonos de tesorería a tres meses. Para tal fin, activamos la ventana Equation Specification seleccionando Estimate en el menú secundario.

Y se añade en el espacio Variante Regressiors la variable indicada

46 Pindiyck, Robert S. y Daniel L. Rubinfeld. Ob.Cit. p.303

132

El cambio rezagado en la tasa de bonos de tesorería a tres meses se añade, significativamente, a la explicación de los cambios en la varianza del término del error de la regresión. Además, los coeficientes en los términos ARCH y GARCH ahora son altamente significativos desde el punto de vista estadístico. Por último hay un cambio pequeño pero notorio en la magnitud de algunos de los coeficientes en la ecuación de regresión, y varios de los estadísticos t se han incrementado. Con este modelo final se puede realizar una razonable predicción de los intervalos de confianza en los que se moverían nuestros valores de predicción, empleando correctamente la varianza del error que se ha estimado. Para efectuar la proyección activamos dentro de la ventana de la ecuación, en el menú secundario, Forecast y se indica el período de predicción

BIBLIOGRAFIA

133

1) BENZAQUEN S. MOISES Y MANUEL DELGADO. Evaluación del

Comportamiento Actual y Modelización del Comportamiento Futuro del Sector Manufacturero Privado Venezolano a Través del Indice Valor período( 1992-2000. Trabajo Especial de Grado para optar al Título de Economista (01-08-N). Universidad Santa María. Caracas. 2001.

2) BLANCO, CARLOS. Convergencia de las Técnicas de Series de Tiempo con

los Métodos Econométricos. Mimeo. Banco Central de Venezuela,. Departamento de Apoyo Cuantitativo. Caracas. 1997

3) CARRASCAL A, URSICINO, YOLANDA GONZÁLEZ G. Y BEATRIZ

RODRÍGUEZ P. Análisis Econométrico con Eviews. RA – MA Editorial. Madrid. 2001.

4) CHAREMZA, WOJCIECH W. Y DERECK F. DEADMNAN. New Directions in

Econometric Practice, General to Specific Modelling, Cointegration and Vector Autoregression. Second Edition. Edward Elgar Publishing Limited. .1997.

5) CHIANG, ALPHA C. Métodos Fundamentales de Economía Matemática.

Tercera Edición. McGraw-Hill. México.1993.

6) DHRYMES, PHOEBUS J. Mathematics for Econometrics. Third Edition. Springer - Verlag New York Inc. 2000.

7) ENDERS, WALTER. Applied Econometric Time Series. John Wiley & Sons.

INC. USA. 1995.

8) GREENE, WILLIAM H. Análisis Econométrico. Tercera edición, Prentice Hall. Madrid.1999.

9) GUERRA, JOSÉ.” Raíces Unitarias en las series de Tiempo”. Temas de

Coyuntura Nº 31. Instituto de Investigaciones Económicas y Sociales UCAB. Caracas.1995.

10) GUERRA, JOSÉ, GUSTAVO SÁNCHEZ Y BELKIS REYES.”Modelos de Series

de Tiempo Para Predecir la Inflación en Venezuela”. Banco Central de Venezuela. Serie Documentos de Trabajo, Gerencia de Investigaciones Económicas Nº 13. Caracas.1997

11) GUJARATI, DAMODAR N. Econometría.. cuarta edición. Mc. Graw Hill.

Mexico. 2003.

134

12) HAMILTON, JAMES D. Times Series Analysys. Princenton University Press. USA.1994.

13) HANS FRANCES Y DICK VAN DIJK. Non-Linear Time Series Models in

Empirical Finances. Cambridge University Press. United Kingdom. 2000.

14) HARRIS, RICHARD L.D. Using Cointegration Análisis in Eonometric Modelling. Prentice Hall. Great Britain. 1995.

15) HARVEY, ANDREW C. Forecasting, Structural Time Series models and the

Kalman Filter. Cambridge University Press. Great Britain. 1991.

16) JOHNTON,, JACK Y JOHN DINARDO. Econometric Methods. Fourth Edition. McGraw Hill Internacional Editions. Economics Series.Singapore. 1997.

17) LÓPEZ BAZO. ENRIQUE, JORDI SURIÑACH CARALT Y ANDREU SANSÓ

ROSSELLÓ. “Análisis de Integrabilidad de Variables Económicas y Relaciones de Largo Plazo. Una Aplicación”. Doc. 9204. Departamento de Economía, Estadística y Economía Española. Universidad de Barcelona. mimeo

18) MADDALA G.S. Y IN-MOO KIM. Unit Roots, Cointegration, and Structural

Change. Cambridge University Press. Great Britan. 2000

19) MAKRIDAKIS, SPYROS Y ESTEVEN C. WHEELWRIGTH. Métodos de Pronósticos.Editorial Limusa S.A.. México. 2004.

20) MILLS, TERENCE C. The econometric Modelling of financial Time Series.

Second Edition. Cambridge University Press. Great Britan. 1999.

21) OTERO, JOSÉ M. Modelos Econométricos y Predicción de Series Temporales. Editorial AC. España 1989.

22) PINDIYCK, ROBERT S. Y DANIEL L. RUBENFELD. Econometría, modelos y

pronóstico. Mc. Graw Hill. México. 2001.

23) PULIDO, ANTONIO Y ANA MARÍA LÓPEZ. Predicción y Simulación Aplicada a la Economía de Empresas. Ediciones Pirámide S.A.. Madrid. 1999.

24) PULIDO SAN ROMAN, ANTONIO Y JULIÁN PÉREZ GARCÍA. Modelos

Econométricos. Ediciones Pirámide S.A.. Madrid. 2001

25) VIAL, JOAQUIN. “Especificación y Evaluación de Modelos Econométricos”. Serie Docente Nº 3. Corporación de Investigaciones Económicas para América Latina (CIEPLAN). Santiago de Chile. 1991.

26) WOOLDIGDE, JEFFREY M. Introducción a la Econometría. Thomson Learning.

México, 2001

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