Analisis Matematico Unidad 1/ Entornos

8/18/2019 Analisis Matematico Unidad 1/ Entornos

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Prof. Clarisa Berman

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ANÁLISIS MATEMÁTICO I

Este material es una herramienta de apoyo para abordar los trabajos prácticos de la cátedra.

Se recomienda previo a la resolución de los trabajos prácticos estudiar la teoría referida aél, elaborar un apunte y luego recurrir a este documento.

UNIDAD I

Los ejercicios y problemas que encontrarán en esta primera unidad han sido elaborados conel objetivo de colaborar en la tarea de aprender los conceptos más relevantes de la primeraunidad de la Cátedra de Análisis Matemático I de la Universidad Tecnológica NacionalRegional Mendoza.Apunta a reforzar los conceptos haciendo uso de una terminología al alcance del estudiantede primer año.El alumno encontrará en un “diccionario matemático” la notación y el significado desímbolos que usará en esta unidad, intentando que se familiarice con ellos. Se pretenderepetirlo en cada unidad, dejando abierta la posibilidad que el alumno complete cadadiccionario a medida que avanza en su estudio.Al estudiar las propiedades de una relación de orden, es común que el alumno no encuentrela importancia de su estudio, es por ello que se muestra mediante ejercicios sencillos laaplicación de ellas para resolver una inecuación.Al trabajar con intervalos, se ha incorporado una serie de problemas sencillos parafavorecer la construcción del pensamiento matemático. Trabajar con modelosmatemáticos sencillos pretende que al alumno encuentre significado a lo que aprendelo que redunda en la calidad de su aprendizaje.

Al abordar el concepto de función, contenido ya estudiado en el seminario de ingreso, sedará importancia al significado de los conceptos asociados a él como Dominio, Imagen,ceros mediante el uso de modelos matemáticos.

Para abordar los contenidos de esta primera unidad, es fundamental familiarizarse con ellenguaje simbólico..Símbolo se lee

conjunto de números enteros

+ conjunto de números enteros positivos

- conjunto de números enteros negativos

conjunto de números racionales

conjunto de números irracionales


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conjunto de números reales

incluido

incluido o coincide

unión

intersección

Un elemento:

pertenece a un conjunto

no pertenece a un conjunto

Relación entre elementos de un conjunto:< menor

> mayor

menor o igual

mayor o igual

Cuantificadores:

para todo

existe

Conectores lógicos:

o ( se relaciona con la unión entre conjuntos )

y ( se relaciona con la intersección entre conjuntos, exigesimultaneidad)

Notación:

entonces

si y sólo si ( equivalencia)

| | valor absoluto

E (a; h) entorno de centro a y radio h


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E’ (a ;h) entorno reducido de centro a y radio h

NÚMEROS REALES

Ejercicio 1:

Expresa las siguientes afirmaciones mediante símbolos adecuados:

• a es positivo• el opuesto de b es positivo• a+b es no negativo• 2x es menor que – 2

• el valor absoluto de (x – a ) es menor que delta ( )

• el valor absoluto de (x – a ) es menor que delta ( )y positivo

•

para todo epsilon ( ) positivo• existe un delta positivo

Ejercicio 2:

Expresa en lenguaje coloquial las siguientes afirmaciones

• x x > 0• x x < 5• x 0 < x < 5

• x - < x - a <• x x > 3 x < - 3

Ejercicio 3:

¿Son correctas las siguientes proposiciones? En caso de no serlas, justificar

• 5 < x < - 5

• Para que sea un número real, el radicando (a)sólo puede ser un número positivo

RELACIÓN DE ORDEN:

Modelo1:

El diámetro de un conducto de calefacción puede medir como máximo 2,54cm (1pulgada) y supera los 2cm.

Determinar entre que valores reales varía el radio,


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Determinar los valores entre los que puede variar la longitud de lacircunferencia del conducto (aproximar al centésimo).

Para dar respuesta al problema es necesario recordar las propiedades de orden de losnúmeros reales y aplicar la fórmula de longitud de la circunferencia.

RELACIÓN DE ORDEN:

El conjunto de números reales, entre otras características, es completo y ordenado, lo que permite establecer una relación biunívoca entre punto y número real. Es decir a cadanúmero real le corresponde un punto de la recta y a cada punto un número real.Por ello al decir: “dado un punto a….” expresa además “dado un número real a…”.

Se define la relación de orden:

a , b

Se lee: Para todo número a y b que pertenece a los reales, a es menor que b si y sólo si b – a es positivo.

Al trabajar con inecuaciones en el conjunto de números reales se aplican propiedades talescomo:

Propiedad Adi tiva:

Si a < b a + c < b + c, siendo a, b, c cualquier número real.

Esta propiedad permite resolver inecuaciones del tipo:

• X – 5 < 10 x – 5 + 5 < 10 +5 x < 15

• X + 1 > -12 - 1 > - 12- 1 x > -13

Propiedad mul tipli cativa:

Si a < b c siendo a, b cualquier número real.

Si a < b c < 0 siendo a, b cualquier número real.

Es decir:. Si a ambos miembros de una desigualdad se la multiplica por un número real positivo, elsentido de la desigualdad no cambia.


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. Si a ambos miembros de una desigualdad se la multiplica por un número real negativo, elsentido de la desigualdad se invierte.

Esta propiedad permite resolver inecuaciones del tipo:

1) 8x + 3 < - 2x +4 8x+2x 4-3 10x 1 x

Aditiva multiplicativa

2) -5x +4 > 3x-6 -5x -3x -6 -4 -8x -10 x

Este último ejercicio puede resolverse asociando la incógnita en el miembro donde figura lade mayor coeficiente, evitando un posible error al aplicar la propiedad multiplicativa.

-5x + 4> 3x-6 4 + 6 3x +5x 10 8x x

En el modelo 1:Determinar el intervalo de valores posibles del radio,Determinar el intervalo de valores entre los que puede variar la longitud de lacircunferencia del conducto (aproximar al centésimo).

Para resolver, recordamos:

INTERVALOS:

Los intervalos son subconjuntos de números reales.

Se clasifican en cerrados y abiertos, según los extremos pertenezcan o no al conjunto.

Notación:Sean a IR b IR , con a < b , a y b se denominan extremosIntervalo cerrado: [a; b]Intervalo abierto: (a; b)

Al resolver una inecuación en el conjunto de números reales, la solución se expresamediante notación de intervalos o unión de intervalos.

Intervalos finitos:Intervalo abierto: toma todos los números reales comprendidos entre los extremos.(a; b) = {x: x IR a


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Ejercicio 1:

Siendo los siguientes intervalos semiabiertos, completar:

• [a ;b) =

•

(a : b] =

La representación gráfica de los intervalos de extremos finitos corresponde a segmentos derectas.

Intervalos infinitos: al menos uno de los extremos no es finito.

Ejercicio2:

(No debe escribir x< o x > - )

Completar:• (a; ) =

• (- ; b] =

• (- ; b) =

• (- ; ) =

La representación gráfica de los intervalos con sólo un extremo finito corresponde asemirrectas y con los dos extremos infinitos a la recta.

Al resolver inecuaciones se deben aplicar las propiedades de orden enunciadasanteriormente

Ejemplo1:

4x+1


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7

El conector se relaciona con la operación de unión entre conjuntos

Ejemplo2:

3 < x +1< 6 x +3 5

aditiva

3-1 < x < 6-1 x 5- 3

2< x < 5 x 2

S = (2;5) (- ; 2] = (- ; 5)

Ejemplo3:

Atención: si la propiedad a aplicar es multiplicativa de factor negativo

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pudiendo tomar x valores mayores que 3,5 pero menores o iguales que 6 para notener que aumentar la producción. Indicar usando notación de intervalos, entre quevalores puede variar T.

Modelo 3:Si el lado de un cuadrado puede ser mayor que 7¿Qué puede decirse de su perímetro?¿Y si fuese menor que7?

Modelo 4:

La tensión detectada por un osciloscopio al ser conectado a un aparato determinó unvalor de 5V (volt), si la precisión en la medición es del 3%. Determinar el intervalode valores posibles de tensión para dicha medición. (osciloscopio: aparato electrónicoque mide tensión)

Modelo 5:

Un tanque tiene 1,53m de alto, si debe contener líquido por lo menos hasta la mitad¿cuál es el intervalo de variación de la altura del líquido?

ENTORNO:

Si 4,28 es el punto medio de un intervalo abierto y equidista de los extremos 0,3unidades ¿cuál es el intervalo que lo representa exactamente?

Resolución:Debemos hallar (a;b) tal que 4,28 sea el centro del conjunto y la distancia de él a losextremos sea de 0,3 unidadesa = 4,28-0,3 a= 3,98 b = 4,8 +0,3 b= 5,1 - 0,3 0,3

a 4,48 b

S = (3,98; 5,1)

Los intervalos abiertos y finitos, se pueden expresar mediante entornos.

Dado un punto a y un número real h>0, se llama entorno de centro a y radio h (E(a; h) ) alintervalo abierto de extremos a-h, a+ h.a: número real(relación biunívoca punto-número real), valor medio del intervalo.h: distancia del centro a cada uno de los extremos.

E(a; h) = (a - h; a + h) =


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Notación de entorno Notación de intervalo abierto y finito Notación de distancia

Pasaje de una notación a otra:

Si se conoce el entorno y se desea encontrar el intervalo que él representa:

Datos: a y hBasta hallar a – h y a + h

En el ejercicio anterior:Datos; a = 4,28, h =0,3E )3,0;28,4( = (4,28-0,3; 4,28+0,3) = (3,98; 5,1)

Si se conoce el intervalo (x 1 ; x 2 ) y se desea determinar el entorno que él

representa:

Datos: (x 1 ; x 2 ), siendo: x 1 = a - h y x 2 = a + hBasta hallar a y hPor ser a punto medio del intervalo

a =2

21 x x

Por ser h la distancia media entre los extremos

h= 221

x x

Si se conoce la notación de distancia:

Datos: a y h

Sólo basta expresar como entorno y hallar a-h, a + h para expresarlo como intervalo.Conocer la notación de valor absoluto (distancia), resulta muy práctico para hallar lasolución de inecuaciones modulares sin necesidad de trabajar algebraicamente, sólo hayque recordar que la distancia de un punto x a otro punto a en la recta se expresa:

d(x; a) = a x Ejemplo:Dar el conjunto de valores que verifican:

a) 5 x


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b) 3,4 x 0 : L y siempre que : 0< a x delta ( )

epsilon ( )


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b)Expresar los valores absolutos de a) en notación de entorno o entorno reducidosegún corresponda.

Para resolver l os sigu ientes problemas es importante: realizar primero una lectura global del enunciado

luego una lectura comprensiva para identificar datos explícitos e implícitos ( noestán en el enunciado pero deben tenerse en cuenta ) identificarlos con letras adecuadas

reconocer la incógnita del problema

asignar una letra que la identifique si es posible hacer un esquema de la situación ( representación gráfica

aproximada), encontrar una vinculación entre datos e incógnita para poder resolverlo verificar si la respuesta obtenida es coherente

FUNCIÓN DE UNA VARIABLE REAL

Problema 8:Experimentalmente se obtuvieron los siguientes valores al utilizar un regulador de tensión

Tensióndeentrada(V)

Tensióndesalida(V)

4 2,5 5 3,6 6 4,4 7 5 8 4,9 9 4,8 10 4,8

Elaboración propia de la tabla extraída deFuente: http:2011lab51g7.blogspot.com.ar

a) ¿Qué variables se relacionan? Identifique a los ejes de un sistema cartesianoortogonal con cada variable y ubique los puntos en el plano.b) ¿Qué significa el par ordenado (9; 4,8)?

Problema 9:Se desea delimitar una zona de seguridad para lo que se disponen de 14m de cinta.¿Cuáles deberán ser las dimensiones para que el área a cercar sea la mayor posible?Hallar el área máxima.

Identificamos con letras adecuadas los datos e incógnitas:x: medida del ancho en metros

y: medida del largo en metros

A: medida del área en metros cuadrados

P = 14m (los 14 m de cinta serán utilizados para delimitar el sector, por lo que representanel perímetro P del mismo).


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Es conveniente realizar un esquema de la situación a resolver colocando los datos

Como se desea obtener el área máxima, partimos de la fórmula del área de un rectángulo

A= ………….. (1)

Para trabajar con una sola variable por ejemplo x (variable independiente), expresamos y(variable dependiente) en función de x teniendo en cuenta que el sector debe tener un perímetro de 14m.

P: Perímetro del rectángulo P= …………….

y =……………., simplificando y = ………… (2)

Por lo que sustituyendo (2) en (1)

A(x) = ………….

Esta última expresión algebraica, expresa como varía el área de los distintos sectoresrectangulares de perímetro 14 m en función de x.

Al trabajar con área de un rectángulo, esta debe ser positiva, por lo que se debe resolver lainecuación:

(7x – x2 ) > 0 en forma factorizada x(7-x) > 0

Si x vale cero o siete la expresión algebraica x(7-x) es nula, para cualquier otro valorresulta positiva o negativa, por ello podemos dividir a la recta real en intervalos mediantelos valores cero y siete y determinar los signos de la expresión en cada uno de losintervalos.

0 7

Quedan determinados tres intervalos: (- )0; , (0; 7), (7; )

• Para cualquier valor de x del primer intervalo el producto x(7-x) es negativo ya quex < 0 (7-x) > 0 (por ser x menor que siete).

• Para cualquier valor de x del segundo intervalo el producto x(7-x) es positivo yaque x > 0 (7-x) > 0 (por ser x menor que siete).

• Para cualquier valor de x del tercer intervalo el producto x(7-x) es negativo ya que

x > 0 (7-x) < 0 ( por ser x mayor que siete).

Por lo tanto el intervalo (0, 7) es el que verifica la inecuación x(7-x)> 0 y es el más amplioconjunto al que puede pertenecer la variable independiente para que el área resulte unnúmero real positivo, siendo el perímetro de 14m.

A(x) = 7x – x2 corresponde a la función cuadrática ya estudiada f(x) = ax2+bx+c, con a= -1, b= 7 y c=0.Por tener coeficiente principal negativo presenta un valor máximo.


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La mayor superficie a cercar con 14m de cinta corresponde al valor numérico de laordenada del vértice (AM=yv) y se obtiene para una dimensión del sector que corresponde al

Xv=a

b

2

xv = 3,5

reemplazando xv en (2) se obtiene la otra dimensión del sector:y = 7-3,5= 3,5

Conclusión

: Cuando el sector sea cuadrado de largo y ancho 3,5m el área a cercar es la mayor posibley tiene un valor A= 7. 3,5 – 3,52

A= 12,25m2

En general, es fácil establecer una relación de elementos de un conjunto con elementos deotro conjunto. Por ejemplo: para cada persona hay un número de documento; hay unacorrespondencia entre los alumnos de la facultad y al menos una carrera, para cadarectángulo hay un área.En matemática interesa particularmente las relaciones numéricas funcionales. En nuestros cursos de primer año el concepto de función se define mediante las condicionesde existencia y unicidad.Condición de existencia y unicidadDecimos que una relación es función si para todo elemento x del Dominio (condición deexistencia), existe un valor y en la Imagen, que es único para cada x (condición deunicidad).

Siendo f una función de A en B (f: A B)

A: dominio de la funciónB: conjunto que incluye o coincide con el conjunto imagen de f

x: variable independiente, y: variable dependiente de x y de la función.

Al escribir: y= f(x) se está indicando que y es función de x.

Expresar en palabras: y x f B y A x )(:,

En el problema 8: y = A(x)

Al definir una relación entre variables como función es necesario indicar el conjunto al que pertenece x, llamado Dominio de la función, El conjunto determinado por los valoresy=f(x) se lo denomina conjunto Imagen de f o Rango. Notación:x Df Df: Dominio de la funcióny Imf Imf: Imagen de la función


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Dominio de la función: Más amplio conjunto al que pertenece la variable independiente para los que la variable dependiente y=f(x) es un número real.Al más amplio Dominio se lo llama dominio implícito. y= f(x) Imf , Imf : Imagen de la función

• En el problema 8: el Dominio de la función es (0,7)

•

En el problema 8: el conjunto Imagen es (0; 12,25] Para ejemplificar:

I. Siendo f(x)= 7x-x2. Determinar:

1-Dominio para que resulte función

2- Determinar f(-1), f(6), f( 7 ), f(x+ h)3- ¿Para qué valores de x, a) f(x) = 0, b) f(x) = 5?4-Conjunto Imagen1-

Las funciones polinómicas enteras (exponente entero positivo) tienen como Dominioimplícitoal conjunto de los números reales.Por lo tanto:Dom= IR

2-Si se desea evaluar la función en valores del dominio, se sustituye a x por los númerosuno por vez, aplicando las operaciones algebraicas indicadas.

si x = -1: f(-1) = 7(-1) -(-1)2 = -9

si x = 6: f(6) = 7(6) -(6)2 = 6

si x = x+ h : f(x+ h) = 7(x+ h) - (x+ h)2 = 7(x+ h) - (x2+2xh+h2) = 7x+7h -x2-2xh-h2== -x2+ (7-2h) x-h2

3-Debemos hallar él o los valores del Dominio para los cuales la imagen resulte•

Si se desea evaluar la variable independiente para valores de la imagen, se sustituye a y por los números uno por vez y se despeja x

7x-x

2

=→

-x

2

+7x + = 0→

x1= , x2 =Para x1 = , x2 = el valor numérico de y es

• y = 57x- x2= 5 -x2+7x -5 = 0 →x1= , x2=

Para x1 = , x2= - el valor numérico de y es 5

4-


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El Conjunto Imagen de la función cuadrática depende del signo del coeficiente principal (coeficiente cuadrático) y de la ordenada del vértice de la curva que larepresenta (parábola).En forma general recordamos que una función cuadrática tiene como notacióny= ax2+bx+c, siendo b y c números reales y a real distinto de cero.

Si a> 0, la función presenta un valor mínimo.Si a < 0, la función presenta un valor máximo.Toda función cuadrática está asociada a una parábola, la que presenta un punto más bajo o más alto de la curva. Dicho punto se llama vértice (V(xv; yv)):

de abscisa xv =a

b

2

y ordenada yv = f(xv).

En el ejemplo: a= -1, por lo que la función presenta un valor máximo, cuyo valor es laordenada del vértice, para hallarlo determinamos xv= 3,5Luego yv= f( 3,5 ) =7.3,5-3,5

2 , yv= 12,25Por lo tanto:Im = (- ]25,12;

Es importante analizar: el ejemplo presenta la misma expresión algebraica (f(x) = 7x-x 2) del problema 8.

Las funciones son distintas ya que en el ejemplo, en un contexto matemático puro, el dominio es el conjunto de los números reales en cambio en el problema,el contexto es geométrico por lo que el dominio es el conjunto de los númerosreales convenientes para que la función área sea positiva.

Es necesario tener en cuenta que en toda función cuadrática el valor máximo o mínimo dela función corresponde a la imagen de la función para el valor xv del dominio.

II. Determinar el Dominio de las siguientes funciones:

• f(x) =27

1

x x

• g(x) = 27 x x

1- La función racional exige la condición que el denominador no puede anularse ya que 1/0no es un número real, se dice que es indefinido.

Por lo que 7x-x2 0 , es decir x no puede valer 0 ni 7D f = R- 7;0

2-La función irracional de índice par exige la condición que el radicando sea positivo o

cero ya que si el radicando es negativo la solución es un par de números complejos.Por lo que se debe resolver la inecuación 7x- x2 0, cuya solución se puede obtenerfactorizando la expresión 7x- x2= x (7-x) 0.Para resolver la inecuación dividimos a la recta real en intervalos mediante los puntos decorte 0 y 7. Se seleccionan valores de prueba de cada intervalo, se sustituyen en lainecuación y se determina el signo para cada intervalo, seleccionando aquellos queverifican 7x- x2 0.

- + -


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0 7

Por lo que la solución es Dg = [0; 7]

Es importante analizar: La expresión 7x-x2 aparece en los ejemplos, pero no tiene el mismo Dominioen cada uno de ellos ya que depende como está actuando en la función, comonumerador, denominador, como radicando de índice par y hay que tener encuenta en qué contexto (matemático, geométrico, físico entre otros) se plantea el problema.

III La función factorial f(n) = n! tiene Dominio al conjunto de los números enteros positivos y se define como el producto de los factores naturales desde uno hasta nf(n) = 1.2.3.4.5.6…….n, determinar

a)4! b) f(9) c) (n +1)! d) expresar (n +2)! en función de n!

Respuestas:a)4! = 1.2.3.4 = 24 b)f(9) = 1.2.3.4.5.6.7.8.9 = 362880c)(n +1)! = 1.2.3.4.5…..n.(n +1 )= n!(n+1) d)(n + 2)!= 1.2.3.4…..n.(n+1)(n+2) = n!(n +1)(n +2)

Ceros de una función

a es un cero de f si a pertenece al Domino de la función y f(a) = 0Para hallar los ceros de una función f es necesario hallar las raíces de la ecuación f(x) =0 yseleccionar aquellas que pertenecen al Domino de f.Gráficamente los ceros son los puntos de coordenadas P(a; 0) donde la curva intercepta aleje de abscisas.En el caso de funciones afines se resuelve la ecuación ax+b= 0 despejando la incógnita x,

en las cuadráticas se resuelve la ecuación ax2+bx+c=0 mediante: x1,2=a

acbb

2

42

Intersecciones: Para graficar una función y =f(x) en un sistema de ejes cartesianos esconveniente hallar los puntos de intersección de la gráfica con los ejes. Todo punto sobre eleje de ordenadas tiene abscisa 0 y ordenada f(0), es decir el punto P(0,f(0)), dicho puntose llama ordenada al origen.A modo de ejemplo se han graficado cuatro funciones y=f(x) con Dominio adecuado

y

y=f(x)(0; f(0))

(x1;0) (x 2 ;0) (x3;0) x


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Figura1: Una intersección con eje y, tres intersecciones con eje x

f tiene al menos tres ceros reales y

y

(0;f(0))

x

Figura 2: Una intersección con eje y, no tiene intersección con eje xla función no tiene ceros

Completar para que resulte lo que indica Figura 3

y

x

Figura3: Una intersección con eje x, f tiene al menos un cero

Completar para que resulte lo que indica Figura 4y

x


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Figura4: Una intersección con eje y, dos con eje xf tiene al menos dos ceros, uno de ellos coincide con la ordenada al origen

Problema 10:

La función f(x) = x2 – bx + c, se anula en las abscisas de los puntos de intersección dey= 2x2+x-1 con y= x2-x+2. Determinar b y c.

Simetrías:

Para ejemplificar gráficamente:

Figura5: Gráfica de una función par, presenta simetría de eje de ordenadas

Se observa que el punto (x; y) pertenece a la gráfica y el punto (-x; y) también le pertenece,decimos entonces que la función y=f(x) es par.Es decir a elementos opuestos del Dominio le corresponden imágenes iguales, la gráfica essimétrica respecto del eje y.

Si graficamos la función f(x) = x3

Figura6: Gráfica de una función impar, presenta simetría de origen de coordenadas

Se observa que el punto (x; y) pertenece a la gráfica y el punto (-x; -y) también le

pertenece, decimos entonces que la función y=f(x) es impar.Es decir a elementos opuestos del Dominio le corresponden imágenes opuestas, la gráficaes simétrica respecto del origen de coordenadas. En síntesis:Si x f D – x f D :

f(x) = f(-x) f es par y su gráfica es simétrica respecto del eje y. f(x) = - f(-x) f es impar y su gráfica es simétrica respecto del origen de

coordenadas.


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Para ejemplificar analíticamente:1-Se desea saber si la función f(x) =x2 +1 presenta paridad

f(x) = x2 +1 ,

f(-x) = (-x)

2

+ 1= x

2

+1 = f(x)Luego la función es par y su gráfica presenta simetría de eje de ordenadas.

2-Se desea saber si toda función potencia de exponente par es par:Si podemos encontrar al menos una función con las características enunciadas que nocumpla la condición de par se comprobaría la no paridadf(x) = (x-1)4

f(-x) = (-x-1)4 = [-( x+ 1)]4 = (-1)4.(x+1)4 = 1.(x+1)4 No es par ni imparLuego, no toda función potencia de exponente par es par.

Se desea saber si toda función potencia de exponente impar es impar:Se demuestra en forma análoga al ejemplo anterior:f(x) = (x +2)3

f(-x) = (-x+2)3= = [-( x - 2)] 3= (-1)3(x-2)3= - ( x-2)3 No es par ni imparLuego, no toda función potencia de exponente impar es impar

Traslación vertical:Conocer las transformaciones de una función puede agilizar su estudio, en cuanto a quésucede con su Dominio, Imagen, intersección con los ejes, paridad entre otras.Supongamos una función y = f(x).Otra función g(x) = f(x) + k resulta de sumar a las imágenes de f un valor K real positivo onegativo, decimos que la gráfica de g resulta de trasladar verticalmente la gráfica de f.La transformación es una traslación vertical de la función f, k unidades hacia arriba si kes positivo y hacia abajo si k es negativo.Modifica:

Conjunto Imagen Intersección con los ejes Paridad

No modifica DominioEjemplo1

Figura7: Gráfica de una función y su desplazamiento Figura8: Gráfica de una función y su desplazamiento verticalvertical hacia arriba. hacia abajo

Funciones hiperbólicas


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Para estudiar las funciones hiperbólicas recordaremos las funciones exponenciales.Hasta ahora hemos trabajado con funciones potencias de la forma f(x) = xn , con basevariable (x) y exponente constante (n).Las funciones exponenciales son de la forma f(x) = ax, con base (a) constante y exponente(x) variable.

D = (- ); Im = ( 0; ) ; ya que la base es positivaCaracterísticas según:

Figura9: Gráfica de la función exponencial con base mayor que uno

creciente

no tiene cerosordenada al origen f(0) = 1no acotada (acotada inferiormente)Son ejemplos de este tipo y= 2x, y = ex( e número de Nepper ), entre otras

Figura10: Gráfica de la función exponencial con base positiva menor que uno

derecienteno tiene cerosordenada al origen f(0) = 1no acotada (acotada inferiormente)

Son ejemplos de este tipo y= (2

1)x, y= (0,3)x, y = ( )1

ex =e-x, entre otras.

Las operaciones de sumas y diferencias de las funciones y = e x e y = e-x dan origen a lasfunciones hiperbólicas que por su importancia reciben nombres particulares como senohiperbólico, coseno hiperbólico, tangente hiperbólica y sus recíprocas en forma análogaa las funciones trigonométricas cosecante hiperbólica, secante hiperbólica y cotangente

hiperbólica.Una aplicación es la curva que forman los cables de alta tensión subtendida por sus

extremos y que puede observarse en las rutas, la curva se llama catenaria f(x) =k2

x xee

,

siendo k una constante positiva que depende del material del cable, si k vale uno la funciónes

f(x) =2

x x ee llamada coseno hiperbólico.


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Seno hiperbólico:

: senh(x) =2

x x ee

Coseno hiperbólico:

: cosh(x) =2

x xee

Tangente hiperbólica::

tanh(x) = x x

x x

ee

ee

, en forma análoga a las funciones trigonométricas:

tanh(x)=cosh(x)

senh(x):

Secante hiperbólica:

: sech(x) = x x ee

2 , recíproca del coseno hiperbólico

Cosecante hiperbólica::

cosech(x) = x x ee

2

, recíproca del seno hiperbólico

Cotangente hiperbólica:

: cotanh(x) = x x

x x

ee

ee

, recíproca de la tangente hiperbólica

Para graficar las funciones hiperbólicas se hace uso del álgebra de funciones exponenciales:Si se representa gráficamente las funciones y = y =

Para representar la función seno hiperbólico basta sumar las imágenes de ambas funciones para cada x.Para representar la función coseno hiperbólico se deben representar y = y = y luegosumar las imágenes para cada x.


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Para representar la función tangente hiperbólica basta dividir las imágenes del senohiperbólico y coseno hiperbólico para cada x.

Problema 12:

Recurriendo al álgebra de funciones representar las funciones hiperbólicas.

Analisis Matematico Unidad 1/ Entornos

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